close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

14-26

код для вставкиСкачать

Билет 14.
Вопрос 2.
Свободные гармоничесие колебания. Колебания с одной степенью свободы. Сложения колебаний. Биения. Фигуры Лиссажу.
Среди различных процессов втречаются периодически повторяющиеся (колебания). Колебательный процесс может возникнуть за счёт внешней силы, которая вывела систему из равнвесия и перестала действовать, а колебания происходят под действием только внутренних сил, без участия внешних. Такие колебания наз. собственными. Колебания с одной степенью свободы - это колебания при которых движения системы можно описать одним независимым параметром (координатой). Пример: колебания математического маятника, колебания физического маятника (твёрдое тело, подвешенное за точку и способное колебаться вокруг оси, не проходящей через ц. м.), колебания груза на пружинке.
Уравнения для физического маятника: J=-mgasin-mga, приведённая длинна физического маятника, равна длинне математического маятника с тем же периодом - l=J0+ma2/ma. T=, решение этого уравнения: =0cos(t+), 0,  определяются начальными условиями,  - параметр системы. Колебания происходящие по закону sinуса или cosинуса наз. гармоническими.
Сложение гармонических колебаний одинаковой частоты. x1=A1cos(t+1), x2=A2cos(t+2). Представим в комплексной форме: x=x1+x2=A1ei(t+1)+ A2ei(t+2)=eit(A1ei1+A2ei2), A1ei1+A2ei2=Aei, A2=A12+A22+2 A1A2cos(1-2,), tg =(A1sin1+A2sin2)/(A1cos1+A2cos2) ==> x=x1+x2=Aei(t+) ==> x=Acos( t-).
Сложения гармонических колебаний с близкими частотами. x1=A1cos(1t+1), x2=A2cos(2t+2). Каждое из колебаний представим в комплексной форме, а сложение будем производить векторно. Пусть A1>A2. Cуммой двух колебаний с близкими частотами является колебание с изменяющейся амплитудой (от А1-А2 до А1+А2) и с частотой |1-2|. Колебания амплитуды с частотой =|1-2| называются с биениями, а частота  - частотой биения.
Фигуры Лиссажу.
Билет 15.
Вопрос 1.
Уравнение движения в релятивистской меканике. Импульс и энергия. Энергия покоя.
Уравнение движения в релятивистской механике
Полную силу F , действующую на частицу, можно разложить на тангенциальную и нормальную компоненты:
Каждая из компонент силы создает в соответствующем направлении ускорение, которое определяется инертностью тела в этом направлении
; Если ввести единичные векторы: и , то эти уравнения можно записать в виде:
Левую часть этого уравнения можно упростить.
Принимая во внимание, что:, и представляя формулу:
в виде заменим на , прямым дифференцированием проверяем равенство , с помощью которого левую часть упрощаемого уравнения преобразуем к виду:
, где -скорость частицы.
Таким образом, уравнение движения в релятивистской механике:
, или - релятивистский импульс.
Импульс материальной точки - вектор, равный произведению массы точки на ее скорость:
Энергия покоя
получается из при Вопрос 2.
Затухающие колебания. Показатель (коэффициэнт) затухания, логарифмический декремент, добротность.
Затухающие колебания. Воспользуемся наиболее простым случаем "жидкого" или "вязкого" трения, когда сила трения направлениа противоположно скорости и пропорциональна скорости. Колебания при наличии трения становятся затухающими: . - коэффициент трения,
Решение этого уравнения удобно искать в виде
. Учитывая, что ,
, находим Решение этого уравфнения:, где , (*)
При не очень больших - вещественная величина и - гармоническая функция
Вещественная часть колебания, описываемого равенством (*), представляется формулой:
Отсюда видно, что амплитуда колебаний уменьшается
в е=2,7 раза в течение времени -время затухания, а - показатель (коэффициент, декремент) затухания.
Всё выше написанное относится к случаю не очень больщих коэффициентов трения и когда  - действительное число.
Логарифмический декремент
, , - логарифмический декремент
Другая интерпретация: Приамплитуда уменьшается в е раз, поэтому
Добротность. Q=Aрез/Аст=0/2=2/2T=/, т. к. рез2=02+22.
Билет 16.
Вопрос 1.
Кинематика твёрдого тела. Углы Эйлера. Поступательное, плоское и вращательное движения тела.
Кинематика твердого тела
(Абсолютно) твердое тело - это система материальных точек, относительные положения которых остаются неизменными, то есть все макроскопические элементы такого тела неподвижны в системе координат жестко связанной с телом
Задача кинематики твердого тела - дать способы описания движения твердого тела и, исходя из закона его движения , определить положение , скорость и ускорение любой точки тела в любой момент времени.
Углы Эйлера
Число степеней свободы - это число независимых величин, которые необходимо задать для того, чтобы однозначно определить положение тела в пространстве.
Для того, что однозначно задать положение твердого тела в пространстве, надо зафиксировать три его точки, не лежащие на одной прямой. Одна материальная точка имеет три степени свободы (X,Y,Z). Две : 3+3-1=5 степеней. В этом случае координаты точек X1,Y1,Z1 и X2,Y2,Z2 не являются независимыми величинами, так как имеется уравнение связи
L2=(X2-X1)2+(Y2-Y1)2+(Z2-Z1)2 , Где L - расстояние между точками
Таким образом, в общем случае для твердого тела получаем 3+3+3-3=6 степеней свободы.
Зададим три различные декартовы системы координат:
1.Лабораторная X Y Z
2.Система X0,Y0,Z0, начало которой связано с некоторой точкой О твердого тела, а оси остаются параллельными осям лабораторной системы X Y Z, т.е. она движется поступательно.
3.Система x y z, начало которой находится в той же точке О, что и начало x0 y0 z0, а оси жестко связаны с твердым телом. Тогда шести степеням свободы твердого тела будут соответствовать три координаты точки О (в X Y Z) и три угла φ, ψ, Θ, однозначно определяющие положение системы x y z относительно x0 y0 z0 - углы Эйлера
φ - угол собственного вращения (поворот вокруг оси Z),
ψ - угол прецессии (поворот вокруг Z0 с сохранением угла Θ между осями Z0 и Z),
Θ - угол нутации (отклонение тела от оси Z0)
Поступательное движение
Поступательное движение - это такое движение, при котором любой выделенный в теле отрезок остается параллельным самому себе (движение кабинок "колеса обозрения").
Допустим, закон движения точки А задан в виде
Тогда закон движения точки В будет иметь вид
Где rAB - вектор проведенный от точки А к точке В
Скорость точки А VA=drA/dt
Скорость точки В VB=drB/dt=VA, т.к. rAB=const
Ускорение: aA=dVA/dt=dVB/dt=aB
Вращательное движение
Вращательное движение - это такое, при котором две точки тела остаются все время неподвижными. Прямая, проходящая через эти точки, называется осью вращения. Все точки твердого тела, лежащие на оси вращения, неподвижны. Другие точки движутся по окружностям в плоскостях, перпендикулярных оси вращения.
Угловое перемещение всех точек твердого тела за одно и тоже время будут одинаковыми.
Угловая скорость:
Вектор элементарного углового перемещения Δφ направлен вдоль оси вращения в соответствии с правилом буравчика. Вектор угловой скорости ω=dφ/dt определяет модуль угловой скорости, ориентацию оси вращения в пространстве и направление вращения тела.
Вектор скорости VA: VA=ω×rA (формула Эйлера)
VA= ω rA*sinα=ωρ
Ускорение точки А:
aA=d ω/dt×rA+ ω×drA/dt=ε×rA+ω×VA
 - угловое ускорение тела
aA=a+an - все три вектора лежат в плоскости, перпендикулярной оси вращения
a=×rA=*ρ* - тангенциальное ускорение ( - единичный вектор в направлении VA).
an= ω× VA= ω×( ω× rA)= ω2n - центростремительное ускорение (n - единичный вектор в направлении к оси вращения)
Плоское движение
Плоское движение - это такое движение твердого тела, при котором траектории всех его точек лежат в неподвижных параллельных плоскостях.
Скорость любой точки А тела геометрически складывается из скорости какой-либо другой точки О, принятой за полюс, и скорости вращательного движения вокруг этого полюса.
Радиус-вектор точки А:
rA=r0+r` , r` - вектор, проведенный из полюса в точку А.
Скорость точки А:
VA= drA/dt= dr0/dt+ dr`/dt=V0+ ω× r`
Отсюда можно сделать вывод, что в любой момент времени должна существовать такая точка М, скорость которой в лабораторной системе X Y Z равна нулю - для этой точки
V0= -ω×r`
Причем точка может находиться и вне тела.
Таким образом, плоское движение твердого тела в данный момент времени можно представить как чистое вращение вокруг оси, проходящей через эту точку М - мгновенной оси вращения.
Ускорение точки А:
aA=dVA/dt=dV0/dt+dω/dt×r`+ω× dr`/dt=a0+a+an
a=×r`
an= ω× dr`/dt=ω×(ω×r`)=ω*(ω*r`)-r`(ω*ω)=- ω2*r`
((ω*r`)=0, т.к. ωr`)
Вопрос 2.
Вынужденные колебания под действием гармонической внешней силы. Процесс установления колебаний. Амплитудно-частотные и фазо-частотные кривые. Резонанс.
Вынужденные колебания под действием гармонической внешней силы. Если на систему постоянно действует постоянно меняющаяся внешняя, зависящая от времени сила, то такие колебания наз. вынужденными.
mx``=-Dx-x`+F0cost
x``+2x`+02x=(F0/m)cost
Процесс установления колебаний
Каковы бы ни были условия в момент начала действия внешней силы, осциллятор будет совершать одни и те же установившиеся гармонические колебания. Процесс установления колебаний называется переходным режимом. Он происходит потому, что с течением времени затухнут собственные колебания. Время установления колебаний определяется временем затухания колебаний, которые имелись в момент начала действия силы -  = 1/. Даже если начальных колебаний не было, то все равно время установления будет тем же.
a) малые частоты: 0, 0А=(F0/m)sint, A(t)=( F0/m 02)sint =( F0/k) sint
б) большие частоты: 0, Ä(F0/m)sint, А=(F0/m2)sin(t-)
в) резонанс: 0: Рассмотрим подробнее именно этот режим. С этой целью перепишем уравнение в комплексном виде:
(12.29) а его частное решение будем искать в виде
(t)=A. (12.30)
Реальная часть этого решения будет решением уравнения (12.27)(вместо в 12.29. cos wt) Подставляя (12.30) в (12.29), получаем
Из условия стационарности решения (независимости его от времени) следует, что =, откуда
A есть комплексное число, которое удобно представить в экспоненциальном виде A=x+iY=Ao. Тогда модуль А будет Aо=, а его фаза tg=Y/X. .Получаем
, tg  = (2)/(02-2). АЧХ и ФЧХ. Резонанс.
АЧХ-кривая,описывающая зависимость амплитуды вынужденных установившихся колебаний от частоты внешней силы.
ФЧХ-то же для разности фаз вынужденных колебаний и внешней силы. резонанс: 0
А=А0sin(0t+)
Ä+02A=0
2Á=(F0/m)sin0t
A=(F0/2m0)sin(t-/2)
A0=F0/2m0=( F0/m02)*(0/2)=(F0/k)*Q
tg  = (2)/(02-2)
(0-)/  1
(02-2)2 = (0-)2*(0+)2 ; 0+ ≈ 2ω ; 4γ2ω2 ≈ 4γ2ω02
- Формула Лоренца
∆ω = 2δ=ω0/Q - ширина резонансной кривой.
 - дектремент затухания.
(ω02-2)1/2.
Билет 17.
Вопрос 1.
Движение тела с одной закреплённой точкой. Регулярная прецессия свободного симметричного волчка.
Движение твердого тела с одной неподвижной точкой. В этом случае тело имеет три степени свободы - начала систем XYZ и x 0 y 0 z 0 , введенных в начале лекции, можно совместить с точкой закрепления, а для описания движения тела использовать три угла Эйлера: =(t), =(t), =(t).
Для твердого тела с одной неподвижной точкой справедлива теорема Эйлера: твердое тело, закрепленное в одной точке, может быть переведено из одного положения в любое другое одним поворотом на некотjрый угол вокруг неподвижной оси, проходящей через точку закрепления. Cледствие из этой теоремы: движение закрепленного в точке твердого тела в каждый момент времени можно рассматривать как вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через точку закрепления. Положение этой оси как в пространстве, так и относительно самого тела с течением времени общем случае меняется. Г М положений мгновенной оси вращения относительно неподвижной системы XYZ (или x 0 y 0 z 0 ) - это сложная коническая поверхность с вершиной в точке закрепления. В теоретической механике ее называют неподвижным аксоидом. Г М положений мгновенной оси вращения относительно подвижной системы xyz, жестко связанной с твердым телом, - это тоже коническая поверхность - подвижный аксоид. Линейная скорость произвольной точки твердого тела вокруг мгновенной оси: v=r, где r - радиус-вектор точки относительно начала системы XYZ (или x 0 y 0 z 0 ), совмещенного с точкой закрепления. Эти уравнения наз. уравнениями Эйлера. В ряде случаев движение с одной закр. точкой можно представить как суперпозицию 2-х вращений вокруг пересекающихся осей, угловые скорости складываются векторно.
Регулярная прецессия свободного симметричного волчка. Рассмотрим тяжелый симметричный гироскоп, у которого неподвижная точка S (точка опоры о подставку) не совпадает с центром масс О (рис. 4.6). Момент силы тяжести относительно точки S: M=mglsin. Изменение момента импульса L определяется выражением: dL=Mdt. При этом и L, и ось волчка прецессируют вокруг вертикального направления с угловой скоростью . Еще раз подчеркнем: делается допущение, что выполнено условие >> и что L постоянно направлен вдоль оси симметрии гироскопа. dL=L sindt, dL=L dt ==> M= dL=L.
Это соотношение позволяет определить направление прецессии при заданном направлении вращения волчка вокруг своей оси. Обратим внимание, что M определяет угловую скорость прецессии, а не угловое ускорение, поэтому мгновенное "выключение" M приводит к мгновенному же исчезновению прецессии, то есть прецессионное движение является безынерционным. mglsin=Jz sin ==> =mgl/Jz
Билет 18.
Вопрос 1. Момент импульса твёрдого тела относительно оси. Момент инерции относительно оси. Теорема Штейнера. Примеры вычисления осевых моментов инерции.
Уравнение моментов. Момент инерции относительно закрепленной оси. Рассмотрим твердое тело как систему жестко связанных между собой материальных точек. Уравнение движения для i-й материальной точки массы m, в лабораторной системе координат имеет вид: где F. - сумма всех внешних сил, действующих на i-ю материальную точку, f - сила, действующая на i-ю материальную точку со стороны j-й материальной точки, т.е. внутренняя сила. Будем полагать, что силы взаимодействия являются центральными, то есть векторы и коллинеарны.
Умножим обе части уравнения движения (В.6) векторно на радиус-вектор С учетом того, что (так kак ,то), после суммирования по всем точкам системы получим
Величина- импульс i-й материаль-
ной точки) называется моментом импульса системы относительно некоторой неподвижной точки, выбранной за начало координат; момент внешних сил относительно той же точки; величина является моментом всех внутренних сил. Выражение для момента внутренних сил можно преобразовать:
Заметим, что для центральных сил . Тогда с
учетом введенных выше обозначений уравнение (В.8) записывается в
следующем виде:
(B10)
Это уравнение называется уравнением моментов.
Если твердое тело вращается вокруг закрепленной оси, то векторное уравнение (В.10) сведется к скалярному уравнению. В частности, если ось вращения совпадает с осью координат z, то
М - проекции L и М на ось г.
При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью w скорость каждой материальной точки т, тела будет равна где l - ее расстояние до оси z. Проекции моментов импульса
на ось z для этих точек будут равны Так как w одинакова для всех точек твердого тела, то момент импульса всего тела относительно оси z равен Величину (B13)
называют моментом инерции тела относительно закрепленной оси. Момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении относительно закрепленной оси.
получаем основное уравнение вращательного движения тела вокруг закрепленной оси z: При непрерывном распределении массы по объему для вычисления момента инерции пользуются не суммированием, а интегрированием по всему объему тела и тогда (В. 13) приводится к следующему виду: Если удалось определить момент инерции JO относительно некоторой оси, проходящей через центр масс - точку с радиусом-вектором (m-масса точки тела, r- ее радиус-вектор), то в
соответствии с теоремой Гюйгенса-Штейнера момент инерции тела / относительно любой другой оси, параллельной первоначальной и находящейся на расстоянии а от нее, равен
(В. 17) где т - масса тела.
Теорема Гюнгенса-Штейнера. Вычисление моментов инерции относительно оси во многих случаях облегчает теорема Гюйгенса, связывающая моменты инерции относительно двух параллельных осей, одна- из которых проходит через центр масс тела . Ось АоВо пусть будет осью, проходящей через центр масс. Радиус-вектор точки с массой m отсчитываемый от этой оси в плоскости, перпендикулярной оси, обозначим R" а от оси АВ, параллельной оси АоВо, но не проходящей через центр масс, r . Проведем от оси АоВо к оси АВ в этой плоскости вектор а. Пусть Jо - момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, a J - относительно оси АВ, не проходящей через центр масс. По определению моментов инерции имеем (32.11)
Видно, что r = -a+R; и, следовательно, Поэтому получаем (32.12) Учтем, что =0 по определению оси, проходящей через центр масс, а =m-масса тела. Поэтому (32.12) принимает вид
Моменты инерции параллелепипеда со сторонами а, b и с относительно его главных осей. Выберем оси системы координат (х, у, z) совпадающими с главными центральными осями. Начало системы координат совпадает с центром параллелепипеда. Для определения момента инерции относительно оси Ох представим параллелепипед как совокупность тонких прямоугольных пластинок массой dm = dy и
толщиной dy. Момент инерции каждой такой
пластинки относительно оси Ох в соответствии с теоремой Гюйгенса-Штейнера равен Момент инерции всего параллелепипеда получим, интегрируя по всему объему Аналогично вычисляются моменты инерции относительно осей у и х:
Вопрос 2.
Работа внешней гармонической силы при вынужденных колебаниях. Автоколебания. Параметрические колебания. Примеры.
Параметрические и автоколеьания. Пример. Работа внешней силы.
Работа за период: Aпер.=(F022T)/((20-2)+422)
Из-за потери энергии на трение собственные колебания постепенно затухают. Если к осциллятору подводить энергию от источника внешней гармонической силы, -то он начнет колебаться с частотой этой силы, которая вообще говоря, отличается от собственной частоты осциллятора.
Однако можно создать устройства, в которых осциллятор сам регулирует подвод энергии из внешнего источника таким образом, чтобы компенсировать потери энергии на трение. За период колебаний из внешнего источника энергия, приобретаемая осциллятором, равна энергии, затрачиваемой на преодоление сил трения. В результате осциллятор совершает незатухающие колебания. Такие самоподдерживающиеся колебания называются автококлебаниями. Если трение невелико, то за один период в систему поступает лишь небольшая доля полной энергии осциллятора. В этом случае автоколебания с очень большой точностью являются гармоническими и их частота очень близка к частоте собственных колебаний. Если же силы трения велики, то за один период в систему подводится значительная часть полной энергии осциллятора и поэтому колебания сильно отличаются от гармонических, хотя и являются периодическими. Период этих колебаний не совпадает с периодом собственных колебаний осциллятора.
Автоколебания маятника. Рассмотрим колебания маятника, подвешенного на оси во вращающейся втулке (Матвеев рис. 156 305 стр), и превращение его энергии в различных случаях. Вращающаяся втулка в результате скольжения относительно оси совершает работу на преодоление сил трения. Источником энергии, превращенной во внутреннюю, является машина, приводящая во вращение втулку. В тот полупериод колебаний маятника, когда направления вращения оси маятника и втулки совпадают, силы трения совпадают по направлению с движением точек поверхности оси. Поэтому эти силы вызывают усиление колебаний маятника. С другой стороны, энергия, превратившаяся во внутреннюю, за врмя полупериода колебаний в сравнении со случаем покоящегося маятника уменьшаетс, я ввиду того, что относительное перемещение трущихся поверхностей (внешняя поверхность оси и внутренняя поверхность втулки) уменьшается. Поэтому лишь часть энергии от машины, вращающей втулку, превращается во внутреннюю, а другая часть идет на увеличение энергии колебаний маятника. В другой полупериод колебаний маятника, когда направления вращения его оси и оси втулки противоположны, силы трения действуют против направления движения маятника. Поэтому они тормозят его движение и энергия колебаний маятника превращается во внутреннюю. Энергия от машины, вращающей втулку, в этом случае также полностью превращается во внутреннюю. Полный результат превращений энергии в течение периода колебаний определяется характером зависимости сил трения от скорости. Если силы трения не зависят от скорости, то энергия, приобретаемая маятником в полупериоде колебаний, когда направления вращения его оси и вала совпадают, равна энергии, теряемой им на работу против сил трения в другом полупериоде. В этом случае вращение втулки не вносит каких-либо изменений в колебания маятника в сравнении со случаем невращающейся втулки. Если сила трения увеличивается с возрастанием скорости, то энергия, приобретаемая маятником за полупериод колебаний, когда направления вращения его оси и вала совпадают, меньше энергии, теряемой им на работу против сил трения в другом полупериоде, поскольку во втором полупериоде относительные скорости больше, а следовательно, и силы трения больше, чем в первом полупериоде. В этом случае вращение втулки увеличивает затухание колебаний маятника.
Параметрическое возбуждение колебаний. Свойства колеблющихся систем описываются величинами, называемыми параметрами. Например, математический маятник характеризуется одним параметром - его длиной. При изменении этого параметра изменяются колебательные свойства маятника, а именно частота собственных колебаний. Если этот параметр изменять в определенном такте с колебаниями, то можно сообщить маятнику энергию и тем самым увеличить амплитуду его колебаний либо просто поддерживать колебания в незатухающем режиме. Такое возбуждение и поддержание колебаний называется параметрическим.
Хорошо известным примером параметрического возбуждения и поддерживания колебаний является качание на качелях. Когда качели находятся в верхней точке, качающийся на них приседает, а когда качели проходят нижнюю точку, он снова выпрямляется. В результате приседания в верхних точках совершается меньшая по модулю работа, чем работа при подъеме в нижней точке. Разность работ, по закону сохранения, равна разности энергий качаний, и качели раскачиваются. Если эта энергия затрачивается полностью на работу силы трения, то качания поддерживаются в незатухающем режиме.
Билет 19.
Вопрос 1.
Связь момента импульса твёрдоготела с угловой скоростью еговращения. Тензор инерции. Главные и центральные оси инерции. Оси свободного вращения.
Момент импульса. Тензор инерции. Момент импульса тела относительно неподвижной точки - важнейшее понятие в динамике вращательного движения твердого тела. Он определяется так же, как и для системы материальных точек:
Здесь pi=mivi - импульс элементарной массы dmi в лабораторной системе XYZ, а ri - радиус-вектор массы dmi с началом в той неподвижной точке, относительно которой вычисляется момент импульса тела. С учетом постоянства расстояний между точками абсолютно твердого тела вектор момента импульса L удается связать с вектором угловой скорости w.Рассмотрим, к примеру, две одинаковые точечные массы m, укрепленные на концах невесомого стержня АВ (рис. 2.3). Стержень с массами вращается с угловой скоростью w вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня и перпендикулярной ему. В этом случае:
L=mrivi+ mr2v2=2mr2, здесь учтено, что: r1 =r2 =r, а v1=v1=r.
Существенно, что в этом примере век тор L направлен так же, как и . К сожалению, так бывает не всегда. В этом можно убедиться на примере, показанном на рис. 2.4. Получим выражение для L в случае твердого тела произвольной формы, закрепленного в некоторой точке О. Пусть ri - радиус-вектор элементарной массы mi твердого тела, а  -угловая скорость. Тогда:
Векторы ri,  и L можно проектировать как на оси лабораторной системы XYZ, так и на оси системы xyz, жестко связанной с твердым телом (поскольку точка О неподвижна, начала обеих систем можно совместить). Преимущество системы xyz заключается в том, что в ней проекции r i являются постоянными величинами (в системе XYZ они зависят от времени), и выражения для компонент L оказываются проще.
ываются центробежными моментами инерции. Если Jxy=Jyx, Jxz=Jzx, Jzy=Jyz, то тензор наз. симметричным.
Если оси Ox, Oy, Oz совместить с главными осями инерции, то тензор инарциипримет дигональный вид. Величины Jxx=Jx, Jyy=Jy, Jxx=Jz в этом случае наз. главными моментами инрции тела, причём: Lx=Jxx и т. д. Эти оси также называются главными осями тензора инерции. Они жестко связаны с телом.
Направление главных осей тела часто можно определить, пользуюсь соображениями симметрии. Так, например, главные оси однородного прямоугольного параллелепипеда параллельны его рёбрам. К телам такого рода относится, например цилиндр.
Оси свободного вращения. Вращательное движение - это такое, при котором две точки тела остаются всё время неподвижными. Прямая, проходящая через эти точки, называется осью вращения. Все точки твердого тела, лежащие на оси вращения, неподвижны. Другие точки твердого тела движутся по окружностям в плоскостях, перпендикулярных оси вращения. Центры этих окружностей лежат на оси вращения. Вращательное двизение твердого тела является плоским.
Вопрос 2.
Колебания системы с двумя степенями свободы. Нормальные колебания(моды). нормальные частоты. Примеры.
Если система обладает несколикими слепенями свободы, то при малых отклонениях от положения равновесия возможны колебания сразу по всем степеням свободы. Обычный маятник может колебаться в двух взаимо перпендкудярных вертикальных плоскостях, проходящих через точку подвеса. Поэтому он имеет две степени свободы. Наличие связи раздичных степеней свободы между собой придает колебанию системы со многими степенями свободы новые физические закономерности. Связанной системой называется система со многими степенями свободы, между которыми имеется связи, обеспечивающие возможность обмена энергией между различными степенями свободы. Примером связанной системы с двумя степенями свободы могут служить два маятника, соединенных между собой пружиной.
Несмотря на сложность движения двух связанных маятников, оно всегда может быть представлено как суперпоизция четырех гармонических колебаний, частоты которых называются нормальными частотами связанной системы. Число нормальных частот равно числу степеней свободы. В приведенном примере имеем две степени свободы. И можно представить колебание как суперпозицию двух колебаний. ωISI1(t)=S20sin(ωI*t+φI)
SI2(t)=S10sin(ωI*t+φI)
ωI, SI20/SI10=1 - первая мода
ωI=√(k/m)
ωIISII1(t)=SII20*sin(ωII*t+φII)
SII2(t)=SII10*sin(ωII*t+φII)
ωII, SII20 / SII10 = -1 - вторая мода ωII=√((k+2k1)/m)
S1(t)=SI10*sin(ωI*t+φI)+SII10*sin(ωII*t+φII)
S2(t)=SI20*sin(ωI*t+φI)+SII20*sin(ωII*t+φII)
ωI,ωII, SI20/SI10, SII20 / SII10 }--> известны
Начальные условия S1(0), S1'(0)
S2(0), S2'(0) } → SI10 ; φI
SII10 ; φII
Еслимаятинки отклонить одинаково в одну сторону, то они колеблются с некоторой частотой ω1, которая называется нормальной. Частота колебаний маятников, отклоненных одинаково в противоположных направлениях, является другой нормальной частотой ω2.
Если ωI ≈ ωII , |ωI - ωII | <<ωI ≈ ωII , тогда отчетливо будут наблюдаться биения. Биение - колебание, которое происходит с медленой частотой и является суммой двух гармонических колебаний с близкими частотами. Это колебание с изменяющейся амплитудой. Оно лишь приблизительно гармоническое с частотой ωI ≈ ωII , а его амплитуда изменяется с частотой |ωI - ωII |. Tбиен=2/(ωI - ωII ).
Δω=ωI - ωII <ω>=(ωI +ωII)/2
S1(t)=2*S1(t)*(cos( Δω/2)t) *cos(<ω>t)
S2(t)=2*S1(t)*(sin( Δω/2)t) *cos(<ω>t)
Билет 20.
Вопрос 1. Закон сохранения момента импульса системы тел и его связь с изотропностью пространства. Примеры.
Момент импульса материальной точки. Пусть положение некоторойматериальной тоски относительно точки О, принятой за начало координат, характеризуется радиусом-вектором r. Моментом импусльса материальной точки относительно О называется вектор L=rp.
Моментом импульса системы материальных точек относительно тоски О , принятой за начало, называется сумма моментов импульса, материальных точек, составляющих систему.
Закон сохранения момента импульса. Этот закон справедлив лишь для изолированных систем. Для них момент внешних сил М равен нулю и уравнение моментов принимает вид
dL/dt=0
Интегрируя это уравнение получаем L=const,
Lx=const, Ly=const, Lz=const
Это равенство выразает закон сохранения момента импульса:
момент импусльса изолированной системы не изменяется при любых процессах, происходящих внутри системы.
Может случится, что система не является полностью изолированной, но на некоторое направление, например на ось z, проекция момента сил равна нулю. Тогда уравнение моментов озапишится в проециях в следующем виде: dLx/dt=M, dLy/dt=M, dLz/dt=0. Lz=const.
Поэтому закон сохранения момента импульса можно применять не только к полностью изолированным системам, но и к частичнро изолированным.
Связь закона сохранения момента импульса с изотропностью пространства. Под изотропностью пространстав понимается эквивалентность различных направлений в пространстве. Это означает, что если имеется некоторая изолированная физическая система, то развитие событий в ней зависитот того, как она ориентирована в пространстве. В применениии к изилированной системе материальных точек отсюда следует, что угловое перемещение системы на δφ не изменит её внутреннего состояния и его внутренних движений. Поэтому полная работа внутренних сил при угловом перемещении должна быть равна нулю. При угловом перемещении δφ материальная точка, характеризуемая радиусом вектором ri , испытывает смещение δri =δφ*ri. Равенство нулю полной работы внутренних сил при угловом перемещении системы на δφ выражается в виде
1/2*∑∑(δri∙Fji+δri∙Fij)=0.(1)
Следовательно можно написать:
δri∙Fji+δri∙Fij=(δφri)∙Fji+( δφri)∙Fij=δφ∙(riFji)+δφ(riFij)=δφ∙[(ri-rj)Fji], (2)
где во внимание известное из векторной алгебры правило о циклической перестановке сомножетелей в смешанном векторном произведении и третий закон Ньютона. Пожставляя (2) в (1), находим 1/2*∑i∑jδφ∙[(ri-rj)*Fji]=0. Поскольку угловое перемещение δφ произвольно, получаем равенство ∑i∑j(ri-rj)*Fji=0. Можно сказать, что полученное равенство следует из изотропности пространства. А это означает, что закон сохранения момента импульса изолированной системы материальных точек обусловлен фундаментальным свойством пространства в инерциальных система - его изотропностью. Вопрос 2.
Уравнение бегущей монохроматической волны. Частота, период колебаний, фазоваяскорость, лдолина волны, волновое число. Волновой вектор. Уравнение бегущих цилиндрической и сферичческой волн.
Фронт волны - это Г. М. Т, до которых доходят возмущения к одному моменту времени Т.
Плоская волна - это такая волна, фронт у которой плоский.
Уравнение п. м. в. для одной точки: S*(t)=S0sin(t+*)
Уравнение п. б. м. в.: S(t)=S0sin[(t-(x/c))]
S=S(0)*cos(wt-2xсos(wt-k*x)
Длина волны - расстояние, на которое распространяется колебание на один период сТ
Скорость распространения волн - это скорость передачи энергии колебания.
Частота - число полных колебаний источника в единицу времени.
Фазовая скорость волны - это скорость её распространения. Ф=(t-(x/c)) - const., (t-(x/c))=0, (x/t)=c - фазовая скорость.
S(t,x)=S0sin[(t-(x/c))] или S(t,x)=S0sin[t-kx], где k-волновое число.
Волновое число: k=w/c=2c)=2;
Волновой вектор: = где k -волновое число, n - нормаль к фронту.
={kx; ky; kz;} ==> S(x, y, z, t)=S0sin(t-kxx-kyy-kzz).
Уравнение сферической волны: S(t,r)=cos(wt-kr), где r - радиус.
Уравнение цилиндричекой: S(t,r)=cos(wt-kr), где r - радиус.
Билет 21.
Вопрос 1.
Уравнение движения ценра масс и уравнение моментов относительно оси, проходящей через центр масс при плоском движении твёрдого тела. Примеры.
НЭТУ.
Вопрос 2.
Волновое уравнение и его решение. Вывод волнового уравнения для бегущих волн по струне. Скорость волны.
Волновое уравнение.
S(t,r)=S0sin(t-); 2S/t2=-2S; ==>
2S/x2+2S/y2+2S/z2=-S(kx2+ ky2+kz2)=-Sk2
2S/(t2c2)=2S/x2+2S/y2+2S/z2
2S/t2=S/c2, где S - оператор Лапласа. c=/k
Волновому уравнению также удовлетворяет уравнение любого импульса.
S=S(t-/c)
Вывод волнового уравнения для бегущих волн по струне.
1) Поперечные волны:
Пусть натяжение в струне Т. При малых деформациях изменением натяжения можно пренебречь. Пусть (х) - угол между силой Т и горизонталью, p - линейная плотность струны. dx T(x+dx)

T(x)
Из закона Ньютона для элемента (x,x+dx):
dx2S/t2=T(sinx+dx - sinx )=T(tgx+dx - tgx)=T((x+dx)-(x))=T, где  - линейная плотность, ==> , S(t,x)=S(t-(x/c)).
2) Продольные волны в твёрдом теле:
(рисунок)
=dx'/dx, (>0 - сжатие, <0 - растяжение).
dm=dx, ( - площадь), dm(2S/t2)=F=F(x+x)-F(x)=E ==>
mdx(2S/t2)=E ==> (2S/t2)=(E/)(2S/x2) ==> c2=E/
Билет 22.
Вопрос 1.
Гироскопы. Прецессия гироскопа. Гироскопические силы. Потяние о нутационнм движении гироскопа.
Гироскоп - массивное аксиально-симметричное тело, вращающееся с большой угловой скоростью вокруг оси симметрии.
Если гироскоп раскручен вокруг оси симметрии, то L=Jw=const и направление оси симметрии остаётся неизменным.
Прецессия гироскопа.(к оси гир. приложена сила, линия действия которой не проходит через точку закрепления).
Ось гироскопа перемещается не в направлении сил, а перпендикулярно к ней.
Элементарная теория гир.(мгн. угловая скорость вращения и мом. импульса направлены вдоль оси симметрии, >>).
Мом. импульса: L=Jz (Jz - мом. ин. относительно оси симметрии)
Рассмотрим гир, у которого точка опоры S не совпадает с центром масс О.
Мом силы тяжести: M=mglsin, где  - угол между вертикалью и осью симметрии.
dL=M*dt, при этом и ось и L прецессируют вокруг вертикали с угл скоростью .
dL=L sin  dt dL= xL dt M=xL Для силы тяжести:
mgl sin = Jzw sin угл скорость прецессии =mgl/ Jzw.
Если сообщить гироскопу толчок, изменяющий угол  , то прецессия перестанет быть равномерной (часто говорят: регулярной), а будет сопровождаться мелкими колебаниями вершины гироскопа - нутациями. Вектор момента импульса L описывает неподвижный в пространстве конус прецессии, и при этом ось симметрии гороскопа движется вокруг вектора L по поверхности конуса нутации. Вершина конуса нутации, как и вершина конуса прецессии, находится в точке закрепления гироскопа, а ось конуса нутации совпадает по направлению с L и движется вместе с ним. Угловая скорость нутации определяется выражением
wнут=L/JsJzw/Js
где Jz и Js - моменты инерции гироскопа относительно его оси симметрии и относительно оси, проходящей через точку опоры и перпендикулярной оси симметрии, w - угловая скорость вращения вокруг оси симметрии.
Раскрутим гироскоп вокруг его оси симметрии до большой угловой скорости (момент импульса L) и станем поворачивать раму с укрепленным в ней гироскопом вокруг вертикальной оси с некоторой угловой скоростью . Момент импульса L получит при этом приращение dL, которое должно быть обеспечено моментом сил М, приложенных к оси гироскопа. Момент М, в свою очередь, создан парой сил F+ F`, возникающих при вынужденном поаороте оси гироскопа и действующих на ось со стороны рамы. По третьему закону Ньютора ось действует на раму с силами Ф + Ф`. Эти силы называются гироскопическими, они создают гироскопический момент М` . Появление гироскопических сил называют гироскопическим эффектом. Именно эти гироскопические силы мы и чувствуем, пытаясь повернуть ось вращающегося колеса.
Гироскопический момент нетрудно рассчитать. Положим, согласно элементарной теории, что
L=Jw
Где J - момент инерции гироскопа относительно его оси симметрии, а w - угловая скорость собственного вращения. Тогда момент внешних сил, действующих на ось, будет равен
M=xL=x(Jw)
Где  - угловая скорость вынужденного поворота ( иногда говорят: вынужденной прецессии).Со стороны оси на подшипники действует противоположный момент
M`=-M= (Jw)x
Направление гироскопических сил можно найти легко найти с помощью правилa, сформулированного Н.Е.Жуковским гироскопические силы стремятся совместить момент импульса L гироскопа с направлением угловой скорости вынужденного поворота. Вопрос 2.
Волновое уравнение для бегущих волн в газах. Скорость звука. Зависимость скорости звука от температуры.
Волны в жидкости (газе).
Жидкости и газы обладают только объёмной упругостью. В них возможны только продольные волны.
Рассмотрим участок газа, сечения s, длины dx.
dm=0dx; 0dx(2S/t2)=[Px - Px+dx]; p0(2S/t2)= - P/x
Pp
При малых изменениях давления у положения p0 dP = (P/)p0 d =c2d; -P/x =-c2 (dp/x)=-c2 /x[p0(-S/x)]=c2po(2S/x2)
(2S/t2)= c2 (2S/x2), c2= P/, при p=p0
Зависимость от температуры:
P=RT/M; P=const p; dP/dp=  const p-1=  P0/0
Зависимость: C2=P0/0=  RT/M; =CP/CV.
Билет 23.
Вопрос 1.
Центробежная и кориолисова силы инерции. Примеры проявления их действия.
(см. билет №25 вопрос 1)
Аабс=Аотн+2[w*Vотн]+dv0/dt+[w[wr]]+[dw/dt*r],
2[w*Vотн]=Акор,
[dw/dt*r]=Ацб,
Fкор=-mАкор=2m[Vотн*w], Fцб=-m[dw/dt*r].
Центробежные силы инерции существуют лишь в ускоренно движущихся (вращающихся) системах отсчета и исчезают при переходе к инерциальным системам. (Рассуждения на тему см. в Сивухине стр.374).
Примеры: пассажир в движ. транспорте на поворотах и т.п.
Кориолисова сила инерции возникает, когда матер. точка движется относительно вращающейся системы отсчета. От других сил инерции кориол. сила отличается тем, что она зависит от относительной скорости Vотн. Пример: маятник Фуко, пассажир на повороте идет по автобусу и т.п.
Кориол. сила всегда перпендикулярна к относительной скорости, поэтому при относительном движении она не совершает работы. Следов., она является гироскопической силой (см. Сивухин, стр.145).
Билет 24.
Вопрос 1.
Движение тел с переменной массой. Связь реактивной силы с расходом массы. Уравнение Мещерского.
Движение тела с переменной массой является реактивным движением, причем сила тяга создается в результате извержения части массы, принадлежащей телу.
Уравнение движения выводится на примере движения ракеты.
dP=Fdt, dP=P2-P1,
P2=(M+dM)(V+dV)+vdm, P2=MV,
где M - масса ракеты (в произвольный момент времени), V - скорость ракеты (-"-), v - скорость газов; dM, dV и dm - приращения массы ракеты, скорости ракеты и массы газов за время dt. Так как масса сохраняется, то dM + dm=0.
(M+dM)(V+dV)+vdm-MV=Fdt,
MV +dMV+MdV+dMdV-vdM-MV=Fdt, так как dt стремится к 0, то пренебрегаем dMdV,
(dMV+MdV)-vdM=Fdt (1)
d(MV)/dt=vdM/dt+F, если ввести Vотн=v-V (скорость газов относительно ракеты), то из (1) получим:
MdV/dt=Vотн*dM/dt+F - уравнение Мещерского.
Член Vотн*dM/dt может быть истолкован как реактивная сила.
Очевидно, что реактивная сила прямо пропорциональна скорости газов и изменению их массы со временем.
Билет 25.
Вопрос 1.
Преобразование ускорения материальной точки при переходе из инерциальных в неинерциальные системы отсчёта.
При рассмотрении неинерциальных систем отсчёта используется следующая терминология. Ускорение а относительно инерциальной системы отсчета называется абсолютным, а ускорение а' относительно неинерциальной системы - относительным.
Пусть неинерциальная система движется прямолинейно вдоль оси Х инерциальной системы. Ясно, что связь между координатами некоторой точки даётся формулами
Х=Х 0 +x' ,y=y'; z=z'; t=t';
Отсюда dx/dt=dx0 /dt+dx'/dt,v=v0 +v', где v0 -абсолютная- v'- относительная скорости Переходя к ускорениям : a=dv/dt; a0 =dv0/dt , a'=dv'/dt
Абсолютное, переносное и относительное соответственно. У вращающихся систем дело обстоит сложнее. Отличие обуславливается тем, что переносная скорость различных точек вращающейся системы координат различна. Абсолютная скорость по- прежнему является суммой переносной и относительной скоростей: v=v0 +v'; при перемещении из одной точки системы координат в другую точку изменяется переносная скорость точки. Поэтому, если даже относительная скорость точки при движении не меняется, она должна испытать ускорение, отличное от переносного. Это приводит к тому , что для вращающихся систем координат в выражение для абсолютного ускорения входит ещё одно ускорение ак ,называемое кориолисовым. Для выяснения физической сущности кориолисово ускорениярассмотрим движение в плоскости вращения. Прежде всего нас интересует движение точки с постоянной относительной скоростью вдоль радиуса.Возьмём два момента времени разделённые промежутком t , в течение которого радиус повернётся на угол =wt. Скорость vr вдоль радиуса изменяется за это время по направлению, а скорость v n , перпендикулярная радиусу изменяется как по направлению так и по модулю. Модуль полного изменения скорости равен vn=v n2-vn1 cos+ vr  = wr2 -wr1cos+ vr wr+wtvr,где косинус порядка 1; следовательно в пределе t к 0 имеем ак=2WV', анализируя направление величин понимаем что ак=2WxV';где v' относительная скорость направленная перпендикулярно радиусу. В случае движения точки перпендикулярно радиусу, т.е. по окружности , относительная скорость v'=wr в неподвижной системе координат равна w+w', где w угловая скорость вращающейся системе координатю Для абсолютного ускорения получаем следующее выражение а=(w+w')2 r=w2r +w'2 +2ww'r ; Первый член представляет собой переносное ускорение, второй относительное ускорение, третий очевидно является кориолисовым. Произвольная скорость может быть представленна в виде суммы двух компонент, направленных по радиусу и перпендикулярно ему. А=а0+а' +ak
Вопрос 2.
Изменение частоты звука при движении источника и приёмника. Эффект Доплера.
Эффект Доплера . Движение источника звука , сопровождающееся изменением расстояния от источника до приёмника ,приводит к изменению частоты принимаемого звука. Это связано с тем, что скорость распространения звуковой волны в среде не зависит от скорости движения источника. Поэтому , если источник звука движется от приёмника со скоростью v см/сек, то за единицу времени мимо приёмника пройдут не все максимумы, а только часть их: приёмник отметит меньшее число колебаний, чем создаёт источник. Убедиться в этом можно при помощи элементарного расчёта. Пусть источник в начале секунды находился на расстоянии с см от приёмника, с см/сек -скорость звука в среде, тогда через секунду он будет находится на расстоянии с+v см на этом расстоянии уложатся все f максимумов которые за 1 сек созданы излучателем (f-частота) , но за 1 секунду до приёмника дойдут не все максимумы, а часть на расстоянии с см f'=f/(1+v/c) -частота полученная приёмником ,если приёмник приближается то f'=f/(1-v/c); если же вдижется приёмник, а не источник ,то если приёмник движется к источнику со скоростью v то за 1 сек он пройдёт не f , а f '' максимумов, где f''=f(1+v/c) если удаляется то f''=f(1-v/c); Билет 26.
Вопрос 1.
Энергия запасённая в колебательной системе. Взаимопревращение потенциальной и кинетической энергии. Потери энергии в системе с затуханием. Добротность.
Запас начальной кинетической и потенциальной энергий определяется из начального смещения и начальной скорости. Если бы потери энергии в системе отсутствовали, то этот начальный запас энергии оставался бы неизменным при колебаниях. Процесс колебаний сопровождался бы только переходом энергии из потенциальной в кинетическую и обратно, которые будут происходить в двое большей частотой, чем сами колебания. U=kx2 /2=kx2cos2(wt+p)/2=kX2(1+cos2(wt+p))/4;
Tk=mV2/4(1- cos2(wt+p))/4; формулы содержат двойную частоту, но изменения потенциальной и кинетической энергий происходят по гармоническому закону. Так как амплитуды смещения и скорости связаны соотношеннием V=wX; то полная энергия равна W=Tk+U=kX2/2=mV2/2;
При наличии трения , являющегося внешней силой, энергия колебаний уменьшается.
Добротноть. Для характеристики осциллирующей системы часто принимается величина Q называемая добротностью. Эта величина представляет собой умноженное на 2 отношение запасённой энергии к среднему значению энергии, теряемому за один период. Большим значениям Q соответствует слабое затухание осциллятора.Q=/ , где  логарифмический декримент затухания.
Вопрос 2.
Динамика твёрдого тела. Уравнение моментом относительно неподвижной точки, неподвижной оси и движущейся оси, проходящей через центр масс при плоском движении.
Твердое тело может рассматриваться как система материальных точек, расстояние между которыми постоянно.Поэтому все уравнения справедливые для системы материальных точек справедливы и для твердого тела: dp/dt=F; dL/dt=M; Для твёрдого тела эти уравнения являются замкнутой системой с их помощью без каких либо дополнительных условий можно полностью определить движение твёрдого тела в заданых внешних силовых полях. Необходимо лишь знать начальные условия. Из кинематики плоского движения известно, что в этом случае все точки движутся в пврвллельных плоскостях . Поэтому достаточно рассмотретьь движение какого-либо сечения тела в одной плоскости. Вектор угловой скорости всегда перпендикулярен плоскоски и следовательно имеет постоянное направление. Поэтому если ось Z связанной с телом системы провести перпендикулярно плоскости движения, то угловая скороть вращения всегда будет направленна по этой оси. Для того чтобы избежать учёта центробежных моментов тензора инерции целесообразно ось вращения провести через центр масс. Таким образом уравнения для плоского движения примут вид: mdv/dt=F; Jdw/dt=M;
2
Документ
Категория
Разное
Просмотров
217
Размер файла
664 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа