close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

вопрос 11

код для вставкиСкачать
11 Определение производной. Производные некоторых основных элементарных функций.
Пусть функция y = f(x) определена на некотором интервале (a, b). Зафиксируем x  (a, b).
(здесь рисунок)
Дадим аргументу х приращение х. Функция y = f(x) получит приращение у = f(x + х) - f(x). Отметим, что при фиксированной точке х у является функцией только x. Составим отношение:
=- функция аргумента х.
Определение: Если существует , то он называется производной функции y = f(x) в точке х и обозначается f '(x). Другие обозначения: y'(x), (x), .
Примеры:
1) y = c = const. у = f(x + х) - f(x) = с - с = 0, = 0 ==> = 0. Итак, c' = 0.
2) y = xn (n  N). у = (x + х)n - xn = xn + nxn-1х + xn-2(х)2 + ... + (х)n - xn .
= nxn-1х + xn-2(х) + ... + (х)n-1, = nxn-1. Итак, (xn)' = nxn-1 (n - натуральное число).
3) y=sin x. = = = =cos.  1 при х  0 (первый замечательный предел), cos cos x при х  0, так как cos x - непрерывная функция, поэтому = cos x. Итак, (sin x)' = cos x.
4) (cos x)' = -sin x (доказать самостоятельно).
5) y = logax (x > 0).
===loga. Так как  е при х  0, то
= loga е =, то есть (logax)' = Второй способ вывода этой формулы:
= ==+, следовательно, =.
6) у = ах.
==== ах(ln a +), следовательно, = ахln a, то есть (ах)' = ахln a. В частности, если а = е, то (ех)' = ех.
Односторонние производные.
Рассмотрим у = f(x + х) - f(x) при х > 0. называется правой производной функции в точке х и обозначается (x). Аналогично: =(x).
Примеры:
1) f(x) = sin x.
(x) = (x) = f'(x)= cos x.
2) f(x) = | x | =.
(здесь рисунок)
В точке х = 0 у =.
Поэтому = .
Следовательно, (0) = 1, (0) = -1, f '(0) - не существует.
Частные производные.
Рассмотрим функцию двух переменных z =f(x, y). Зафиксируем аргумент у, тогда z =f(x, y) станет функцией одной переменной х. Производная этой функции называется частной производной z =f(x, y) по аргументу х и обозн.(x, у). Аналогично определяется (x, у).
Примеры: 1) z = sin(x + y). Найти (0, ). Положим у = , тогда z = sin(x + ), =cos(x+4), (0, ) = cos  = -1.
2) z = xy, = yxy-1, = xyln x.
§ 2. Физический и геометрический смысл производной.
Физический смысл производной.
Пусть х - время, y = f(x) - путь, пройденный точкой, движущейся прямолинейно, за время х.
(здесь рисунок)
Зафиксируем момент времени х. у = f(x + х) - f(x)- путь, пройденный точкой за промежуток времени от х до х + х. = vср(х)- средняя скорость точки на этом промежутке времени. = v(х), то есть f '(x) = v(х) - мгновенная скорость в момент времени х. Для произвольной функции y = f(x): f '(x) - скорость изменения переменной у по отношению к переменной х.
Геометрическая интерпретация производной.
(здесь рисунок)
Углом между прямой l и осью х назовём угол , на который нужно повернуть ось х для того, чтобы совместить её положительное направление с одним из направлений на прямой, причём -<  . Поворот по часовой стрелке:  > 0, иначе  < 0. Число k = tg  называется угловым коэффициентом прямой.
(здесь рисунок)
Пусть задана функция y= f(x). Рассмотрим в прямоугольной системе координат (x, y) множество точек {(x, f(x))}, x  X - области определения f(x).
(здесь рисунок)
Это множество точек представляет собой график функции y= f(x). Проведём прямую MN. Её угол с осью х обозначим (х)). Прямая MN называется секущей. Определение. Если существует (х) = 0, то прямая l, проходящая через точку M(x, f(x)) и имеющая угловой коэффициент k = tg 0, называется касательной к графику функции y = f(x) в точке M.
Если существует(х) = 0, то прямая l называется предельным положением секущей MN при стремлении точки M к точке N по графику функции. Поэтому говорят так: касательная к графику функции в точке М - это предельное положение секущей MN.
Докажем, что если функция y = f(x) имеет производную f '(x) в точке х, то в точке M(x, f(x)) существует касательная к графику функции и угловой коэффициент касательной k = f '(x).
Доказательство:
tg (x) =, откуда (x) = arctg, (x) =arctg = [так как arctg-непрерывная функция] = = arctg() = arctg f '(x), так как по условию = f'(x). Существование предела (x) при x  0 и означает по определению, что в точке M (x, f(x)) существует касательная к графику функции. При этом 0 =(x) = arctg f '(x), поэтому k = tg 0 = f '(x). В этом и состоит геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции в точке M(x0, f(x0)): y - f(x0) = f '(x0)(x - x0).
Документ
Категория
Разное
Просмотров
16
Размер файла
140 Кб
Теги
вопрос
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа