close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

14-19

код для вставкиСкачать
Билет 14 Вопрос 1. Построение областей устойчивости. Область устойчивости решения задачи ЛП относительно вариации правых частей ограничений, коэффициентов функции цели.
Область устойчивости оптимального решения и возможности ее построения
Полученное решение задачи ЛП обладает определенной устойчивостью при изменении ее условий -
коэффициентов функции цели, правых частей ограничений, элементов матрицы условий. Принято рассчитывать интервалы изменения перечисленных параметров, в которых структура решения задачи ЛП остается неизменной: сохраняется тот же состав базисных переменных решения, а, следовательно, сохраняется тот же базис. Геометрически это означает, что деформация допустимого
многогранного множества решений вызванная изменениями условий задачи, не вызвала изменения
оптимальной вершины. Разумеется, количественно решение при этом изменяется.
Методы расчета областей устойчивости решения при одновременном изменении многих элементов матрицы условий очень громоздки и их рассмотрение выходит за рамки нашего курса; интервалы устойчивости решения при изменении любого одного из коэффициентов функции цели или элемента
вектора ограничений определяются достаточно просто и стандартно выводятся в листинг при решении задачи ЛП; область устойчивости при одновременном изменении многих коэффициентов функции цели и элементов вектора ограничений может быть построена методами параметрического программирования.
Область устойчивости решения при изменении коэффициентов функции цели.
В данном случае легко видеть, что изменение коэффициентов c1,c2,...,cn на некоторые величины g1,g2,...,gn влияет только на оценки столбцов матрицы условий, и следовательно, на выполнение условий оптимальности.
Отсюда вытекает, что значения вектора g = (g1,...,gn) должны в области устойчивости удовлетворять соотношениям:
Δj + Δj пр. = (Сбаз+gбаз)* B*Аj-(cj+gj)  0, j=1,...,n Так как произведение BAj, j=1,...,m (для базисных столбцов) дает единичную матрицу, то соответствующие оценки равны 0 и систему неравенств следует решать только для небазисных векторов-столбцов матрицы условий.
Область устойчивости решения задачи ЛП при изменении элементов вектора ограничений.
В результате решения задачи ЛП (сведенной к каноническому виду - к форме равенств) получим информацию: вектор Х=(x1,x2,...,xm) оптимальных значений базисных переменных (значения небазисных переменных равны 0); вектор оптимальных двойственных оценок ограничений задачи Y=(y1,y2,...,ym);
матрицу, обратную к оптимальной базисной В; вектор оценок векторов-столбцов матрицы условий Δ=( Δ1, Δ2,..., Δm,..., Δn); при этом все оценки для базисных векторов равны 0, для небазисных - неотрицательны (Δj  0). Мы предполагаем, что порядок следования векторов матрицы условий, а
значит и искомых переменных xj, коэффициентов функции цели cj изменен в соответствии с их позицией
в оптимальном решении; как известно, это не влияет на результаты.
Базисная матрица В размерности (m * m); обратная к ней (обозначим ее через В-1) служит основой для расчета всех параметров конечной симплексной таблицы; так, из равенства ВX = b следует Х = Вb; где Х - вектор базисных компонент оптимального решения, b - вектор правых частей ограничений задачи;
кроме этого, известно:
Δj = Сбаз*B*Аj - cj, где Сбаз=(c1,c2,...,cm) - вектор базисных коэффициентов функции цели; Аj - j-ый столбец матрицы условий; Δj - оценка вектора-столбца матрицы условий.
Так как план оптимален, то выполняются условия:
Δj  0, j =1,2,...,n - условия оптимальности;
X = Bb  0, - условия допустимости решения.
Пусть вектор правых частей b = (b1,b2,...,bm) не является фиксированным - некоторые из его компонент (или все) изменяются; эти изменения можно задать вектором h = (h1,h2,...,hm), так что правые части ограничений принимают вид: b1+h1, b2+h2,...,bm+hm или в форме вектора b+h, где величины h1,h2,...,hm
должны быть такими, чтобы новое решение имело ту же структуру (базис), что и исходное. Отсюда следует, что такие значения вектора h и определяют область устойчивости исходного плана (базиса). Действительно,
условия оптимальности решения в этой области не зависят от вектора h (базис не меняется), а для выполнения условий допустимости необходимо: X+Xпр = B(b+h)  0
Эти соотношения (система из m линейных неравенств и задают область устойчивости решения относительно
изменения правых частей ограничений.
Одновременно можно рассчитать, как изменится значение функции цели задачи в данной области,
используя двойственные оценки (они тоже не изменятся, ибо базис сохранился). Используя их
экономическое истолкование (количественно определяют изменение функции цели на ед. изменения
соответствующего ограничения задачи), получим:
dF(b1,b2,...,bm)
-------------- = yi, i=1,2,...,m
dbi
следовательно, dF = F(b1+h1,b2+h2,...,bm+hm)-F(b1,b2,...,bm) = y1*h1+y2*h2+...+ym*hm= (Y,h) = SUM yi*hi
Вопрос 2. Разработка целей и альтернатив их достижения, формирование критериев выбора решений. Обзор процедур, применяемых в неформализуемых этапах системного анализа.
Критерии - показатели, отражающие существующие аспекты целей управления.
Требования к критериям: 1) полнота совокупности критерия должна полно отражать цель правления, 2) совокупность критериев не д.б. избыточной
Критерии: качественные (оцениваются экспертом), количественные.
Свойства моделей: - является конечной
- приближенность (неточность математического описания)
- объективность (степень ее соответствия реальным процессам)
- надежность (верификация модели)
Адекватность - соответствия модели целям исследования.
Модели: 1) дискрептивные (простые) - характеристики объекта, статистические методы; 2) нормативный подход - хорошие или плохие характеристики объекта (линейные модели, симплекс-многорогранник)
Билет 15
Вопрос 1. Стандартные отчеты прикладных программных средств; отражение характеристик области устойчивости.
Типовые отчеты: 1.отчет по результатам х*=(х*.......х*), S*I - избыточные и дифицитные ресурсы. 2. отчет по устойчивости: то что решение оптимально(градиенты), т.е. отчет по градиентам, множители Лагранжа Этот отчет дает оценки значимости ресурсам. 3. отчет пределы Должен показывать надежность. В exel показывает как ухудшится решение из-за субъективного отказа от выпуска какого-либо продукта
для текущей вершины если они не оптимальны могут встречаться отрицательные оценки внебазисных столбцов. Предполож что Ак оценка ∆к<0, нужно это устранить, а следовательно перейти на другую вершину соотв Ак это кандидат на ввод в базис. По спец формулеопред-ся среди базисных столбцов кандидат на выброс, если задача разрешима F(x)+ ∆F, ∆F=-∆k*xk - приращение ф-ции цели (на столько она увеличивается в соседней точке). Если кандидат на выброс Аг не находится то задача будет неразрешима из-за неограниченности ф-ции цели
Вопрос 2. Содержание процесса моделирования и его отдельных этапов, их взаимосвязь. Классификация моделей. Основные элементы экономико-математической модели.
Модель-объект-заместитель,который отражает существенные характеристики оригинала т.е.,изучая модель мы получаем нов.знания об оригинале. Оригинал-->модель-->ЭММ-->Оригинал Физическая модель (самолета, солнечной системы) МОДЕЛИРОВАНИЕ-необходимо для косвеного опосредованного изучения объекта.
Типовые экономические модели:МАКРОМОДЕЛИ
1)модель народонаселения(демографич.)(труд.ресрсы с учетом миграции,пола...)
2)отраслевые модели(топливная,э/энергетика,транспортная система)
3)модели Римского Клуба(перспективы цивилизации)
МЕЗОМОДЕЛИ(средний уровень):1)все субъекты РФ 2)области,республики,края,округа 3)предприятия,объединения(корпорации)(кроме ТНК). 4)города,районы. Расчеты можно проводить на всех уровнях(например МОБ).
Билет 16.
Вопрос 1. Понятие чувствительности решения задачи МП к изменению условий. Чувствительность решения к изменению правых частей ограничений.
Чувствительность - это чувствительность качества решения к изменению информации и условий. Нужно указать скорость. Устойчивость характеризует область изменчивости исп-х в решении данных в которых решение сохраняет свои качественные характеристики. Здесь нужно указать границы. Область устойчивости: {оценки ∆j≥0, j=1.n, признак оптимальности; {Х*=В-1 b≥0 признак допустимости. X1*(m) Xn*(0) (MxM) ≤ b1. Можно определить область устойчивости по ресурсам b+∆b. X'=B-1(b+∆b)= B-1b(=x*)+ B-1∆b(=∆х), Х'=x*+ B-1∆b≥0. Область устойчивости опред-ся такими изменениями, при кот базис остается оптимальным..
F*(X,A,C,B) - оптимальный результат, - в области устойчивости оптимальных решений, , скорость изменения решения при изменении bi показывает чувствительность оптимального решения к изменению ресурса. F*=F(X*)>=F(X) - оптимальное решение.
Вопрос 2. Основные направления исследований по экономико-математическому моделированию (ЭММ). Современные сферы использования ЭММ в экономических исследованиях, множественность соответствующих прикладных дисциплин.
ЭММ: экономика, кибернетика, систем анализ, теория принятия решений, эконометрика, статистика.
Затруднения при изучении ЭММ. Для полноценного изучения необходимы знания, с одной стороны: математического анализа, особенно дифференциального исчисления; высшей, особенно линейной и матричной алгебры; математического программирования (методов оптимизации); теории вероятностей и математической статистики; с другой стороны: основ экономической теории (макро- и микроэкономики); экономической статистики; различных разделов конкретной экономики (народного хозяйства, регионов, отраслей и предприятий).
Билет 17.
Вопрос 1. Чувствительность решения к изменению элементов матрицы условий. Оценка влияния ошибок и погрешности данных на показатели решения.
Чувствительность - это чувствительность качества решения к изменению информации и условий. Нужно указать скорость. Устойчивость характеризует область изменчивости исп-х в решении данных в которых решение сохраняет свои качественные характеристики. Здесь нужно указать границы. Область устойчивости: {оценки ∆j≥0, j=1.n, признак оптимальности; {Х*=В-1 b≥0 признак допустимости. X1*(m) Xn*(0) (MxM) ≤ b1. Можно определить область устойчивости по ресурсам b+∆b. X'=B-1(b+∆b)= B-1b(=x*)+ B-1∆b(=∆х), Х'=x*+ B-1∆b≥0. Область устойчивости опред-ся такими изменениями, при кот базис остаетя оптимальным..
Влияние погрешности элементов матрицы А: С(внешний); А, b- (частично внутр) Если через F обозначить ф-цию цели, то | F(C,A,b), ∂aij |≤ | yi*xi* |; y-оценка значимости (множитель Лагранжа) x- объем выпуска
Чувствительность реш к изменению огранич рес-сов F(x,A,c,b), x-управляемые переменные, остальные - экзогенные. Df/dbi=yi*, bi - итый ресурс. В области устойчивости оптимального решения dF/dbi = const, Df/dbi=yi*, i=1,m показывает устойчивость к изменению. F*=F(x*)≥F(x)-оптимальное решение. Субоптимальным называется решение которое близко к оптимальному по существенным для выбора решения показателям: выпуск важнейших видов продукции, по структуре выпуска, расход важнейших ресурсов, по функции цели должны быть близкими S(x). Выбор должен осуществляться из субоптимального множества с учетом дополнительных условий. Единого метода для построения субоптимального множества не существует но его можно получить с помощью вариантных расчетов - x1:x2:x3=α1:α2:α3. Примечание: в прикладных системах обычно предусматривают построение некоторых видов субоптимальных решений.
Вопрос 2. Основные положения моделирования народного хозяйства как многоуровневой системы. Опыт разработки и применения систем моделей в прогнозировании развития народного хозяйства и его подсистем.
МОБ-25 Iкв →Х=Ах+У →У - конечный спрос [у1...у25] → IIкв [Квв; Кч; НПH]→мы можем определить валовый выпуск.
IIIкв - валовая добавленная стоимость Прогнозные цены
ЗП, Прибыль валовая, Налоги Снова строят 25 ур-й
Мы видим распределение Вал доб ст-ти по
всем 25 отраслям в текущих ценах. Транспонированный МОБ
Получаем сбалансир цены по отраслям
IVкв - Перераспределение валовой добавленной стоимости в прогнозных ценах (Валовая добавленная стоимость - это конечная продукция минус амортизация - в стоимостном виде должна равняться таблице без амортизации). В случае несбалансированности можно регулировать конечный спрос и вновь повторять расчёты, пока не будет достигнута сбалансированность между отраслями (такой подход - рекурсивная модель).
Используется 25 уравнений, по которым определяют заданные коэффициенты в отраслях. Расчёт ведётся в текущих ценах. Таким образом, делается прогноз по соотношению коэффициентов (II шаг).
Недостаток: отсутствует сбалансированность между 25 уравнениями (отрасли не связаны с собой, что нереально) и спрос на будущее прогнозировать трудно. Система взаимосвязанных уравнений (если бы они были связаны) называется VAR модель или система одновременных уравнений.
К (ВВ) - коэффициент возмещения и выбытия
К (Ч)- чистые кап вложения
НПH - непроизводственное потребление и накопление
УК (ВВ)К (Ч)НПНУ 1......У 25......
Билет 18.
Вопрос 1. Направления параметризации задачи ЛП для оценки устойчивости и чувствительности решений. Формулировка задачи с параметрами в функции цели, характеристика решений и свойства решающей функции.
(C,X) - max (1), Ax≤b (2), x≥0 (3); C1X1→(C'1+tC1'')X1, C2X3→(C'2+tC2'')X2, C'1 - исходная цена, t - время, C1''-новая цена. ∑(C'j+C''jt)Xj→max, t-параметр. (1). Это параметрическая задача 1. Св-ва модели: F*(X,t)= ∑(C'j+C''jt)Xj*-решающая функция. Теорема 1: Область разрешимости разбивается на конечное число интервалов и лучей; на каждом из них решающая ф-ция линейна относительно параметра t, угловые коэффициенты монотонно возрастают при переходе через границы, тюею не имеют выколотых точек. Примечание: Лучей может и не быть. Теорема 2. Каждой области устойчивости соответствует некоторое решение, оптимальное внутри этой области, включая ее граничные точки. Область неразрешимости если она есть всегда представляет левуй луч(-∞; о). Теорема 3. Задача 1 может быть исследована за конечное число шагов с помощью специальных процедур симплексного типа, однако вероятность образования циклов существенно выше чем в обычных задачах. Приближенные методы исследования этой задачи: 0≤t≤е"Сначала решим когда t=0, потом t1 и т.д. Такой метод называют методом последовательной оптимизации. Решения внутри областей устойчивости от параметра t не зависят, а вот оценки в области устойчивости зависят от параметра t линейно. y1+y02+ty1B. Прим: угловой коэффициент не обязательно изменяется строго монотонно. Задача 2: (C,X) - max, Ax≤b, x≥0, a11x1+a1nxn≤b1+tb1; для этой задачи решающая функция будет t. F(x,A,b(t)), F(X,t), 0≤t≤t" . Теорема 2 сохраняется, но ф-ция будет выпукла вверх. Это значит что угловые коэффициенты убывают, хотя и не строго монотонно. Оценки ресурсов не зависят от параметра t. Это полунепрерывная сверху функция. Компоненты решений зависят линейно.x1=(x11,x12,x1n), x1=(x11б+tx11∆) Задача 3. Общий случай. F(C(t), b(t),X) имеет место теорема 1, но решающая функция не является линейной, внутри каждой области устойчивости это функция второго порядка F(t)=Fл+tF1+t2F" Оценки все будут линейными фун-иями от параметра t.
Вопрос 2. Показатели экономики на макроуровне и их взаимосвязь в межотраслевом разрезе. Схема, система показателей и важнейшие соотношения межотраслевого баланса (МОБ).
МОБ
i=1,...n,-отрасли хозяйства,Хi-валовая продукция;j=1,...n-потребление отрасли.А-матрица прямых производственных затрат(квадратная матрица);aij-затраты вал.продукции i на единицу объема выпуска отрасли j.Y-конечная продукция(выходит за рамки производственого процесса).Y=Yамортизация(нокопление)+Yкап.вложения на расширение+Yнепрофил.потр-ие и накопл+Yзапасы;Х1=а11Х1+а12Х2+...+а1nХn - прямое производственное потребление;Х1+Y1=баланс при замкнутой системе;Х1+Y1+Sвывоз-Sввоз,S+,S-=S1-сальдо ввоза вывоза. Произв-ая функция Леонтьева:.
Свойства матрицы А:1).(Aij)<1;2).Σaij<1(для правильной матрицы);3).Матрица А д.б. продуктивной и не содержать циклов(все отрасли между собой обязательно взаимосвязаны).Продуктивность(при люб.заданном векторе конечной продукции Y всегда существует вектор валовой продукции Х,при котором решение системы уравнений существует).Х=А*Х - вектор валовой продукции;+Y-вектор конечной продукции;+S-сальдо ввоза-вывоза.Х(Е-А)=Y';Е-единичная конечная матрица;Y'-скорректированная конечная продукция с учетом ввоза-вывоза.(Е-А)-1(Е-А)Х=Y(Е-А)-1-->ЕХ=Х=Y(Е-А)-1;(Е-А)-1=С-вектор(матрица)полных затрат(учитывает все прямые и косвенные затраты).Х=С*Y'.ЦЕЛЬ: Определить валовую продукцию каждой отрасли,при которых достигается заданный объем конечной продукции и одновременно одновременно оптимизировать некоторый критерий F(экономический).F1-min суммарных приведенных затрат (производственных критерий).F1-->minΣcjxj - затраты будущих периодов.(1+Е)-t, t=1,2,3,4,5(лет)F2-max Yнпн(непроизв.потреб и накоплен-->)(социальный критерий) F3-min выбросы(экологический критерий) F3-->minΣμisXj, μis-приведенная масса выбросов.ОГРАНИЧЕНИЯ:1).на невозобновляемые прир.ресурсы ΣqjrXj=<Qr, r=1,...k;2).по приросту мощностей.РЕЗУЛЬТАТ:1).оптимальный объем продукции для каждой отрасли Х1*,Х2*...Хn* при заданном Y и F*(F2*,F3*);2).материально-вещественные потоки(связи)между отраслями;3).удельные показатели для сравнения с мировыми(энергоёмкость,трудоемкость).
Билет 19.
Вопрос 1. Задача ЛП с параметрами в правых частях ограничений, свойства решающей функции и множества разрешимости.
1) Функция цели -кусочно-линейная, выпуклая вверх
Цены bi'+μbi" i=1,m
Коэффициенты монотонно убывают.
Теорема. Область представляет собой связанное множество относительно параметра. Область является связанной и состоит из конечного числа локальных областей устойчивости. Область не разрешима, если она представляет собой луч с выколотым началом.
х2
х1* х2* х3* х4* х5*
х1
λ1 λ2 λ3 λ4
Теорема: Алгоритм симплекс-типа со специальными правилами перехода от текущего базиса к следующему позволяет полностью исследовать модель за конечное число шагов при условии, что предпринимаются меры против зацикливания процессов.
2) Функция цели: Цены bi'+tbi" i=1,m
Теорема. Область представляет собой связанное множество относительно параметра. Область является связанной и состоит из конечного числа локальных областей устойчивости. Область не разрешима, если она представляет собой луч с выколотым началом.
Теорема: Алгоритм симплекс-типа со специальными правилами перехода от текущего базиса к следующему позволяет полностью исследовать модель за конечное число шагов при условии, что предпринимаются меры против зацикливания процессов.
Теорема: функция может быть линейной либо второго порядка в области разрешимости.
F(x,t)=F0+F1t+F2t2
х2
х1* х2* х3* х4* х5*
х1
λ1 λ2 λ3 λ4
Типы моделей, для которых используются строгие эффективные методы:
1) Функция цели зависит от λ - PARAOBJ, F(x, λ)
2) Функция цели зависит от параметра b'+μb" - PARARHS
3) зависимость от t
4) два различных параметра - λ и μ
5) Любая строка матрицы условий зависит от параметра PARAROW (параметры вводятся только в строки)
(ai1*+µai1**) -1й элемент
(аi2*+µаi2**) - 2й элемент
0≤µ≤µ - количественный параметр
аi2* - коэф-т расхода сырья
аi2** - темпы изменения по линейному закону
6) Любой столбец зависит от параметра PARACOL (столбцы условий) Когда вводятся параметры в столбцы. Третий случай - когда добавляются ещё цены реализации 0≤t≤t'
Функция второго порядка F(t)=F*+tF**+t²F***
Цены меняются вне зависимости от запасов на складе - двухпараметрическая модель
Вопрос 2. Линейная модель межотраслевого баланса и типовые задачи. Информационные основы расчетов.
МОБ
i=1,...n,-отрасли хозяйства,Хi-валовая продукция;j=1,...n-потребление отрасли.А-матрица прямых производственных затрат(квадратная матрица);aij-затраты вал.продукции i на единицу объема выпуска отрасли j.Y-конечная продукция(выходит за рамки производственого процесса).Y=Yамортизация(нокопление)+Yкап.вложения на расширение+Yнепрофил.потр-ие и накопл+Yзапасы;Х1=а11Х1+а12Х2+...+а1nХn - прямое производственное потребление;Х1+Y1=баланс при замкнутой системе;Х1+Y1+Sвывоз-Sввоз,S+,S-=S1-сальдо ввоза вывоза. Произв-ая функция Леонтьева:.
Свойства матрицы А:1).(Aij)<1;2).Σaij<1(для правильной матрицы);3).Матрица А д.б. продуктивной и не содержать циклов(все отрасли между собой обязательно взаимосвязаны).Продуктивность(при люб.заданном векторе конечной продукции Y всегда существует вектор валовой продукции Х,при котором решение системы уравнений существует).Х=А*Х - вектор валовой продукции;+Y-вектор конечной продукции;+S-сальдо ввоза-вывоза.Х(Е-А)=Y';Е-единичная конечная матрица;Y'-скорректированная конечная продукция с учетом ввоза-вывоза.(Е-А)-1(Е-А)Х=Y(Е-А)-1-->ЕХ=Х=Y(Е-А)-1;(Е-А)-1=С-вектор(матрица)полных затрат(учитывает все прямые и косвенные затраты).Х=С*Y'.ЦЕЛЬ: Определить валовую продукцию каждой отрасли,при которых достигается заданный объем конечной продукции и одновременно одновременно оптимизировать некоторый критерий F(экономический).F1-min суммарных приведенных затрат (производственных критерий).F1-->minΣcjxj - затраты будущих периодов.(1+Е)-t, t=1,2,3,4,5(лет)F2-max Yнпн(непроизв.потреб и накоплен-->)(социальный критерий) F3-min выбросы(экологический критерий) F3-->minΣμisXj, μis-приведенная масса выбросов.ОГРАНИЧЕНИЯ:1).на невозобновляемые прир.ресурсы ΣqjrXj=<Qr, r=1,...k;2).по приросту мощностей.РЕЗУЛЬТАТ:1).оптимальный объем продукции для каждой отрасли Х1*,Х2*...Хn* при заданном Y и F*(F2*,F3*);2).материально-вещественные потоки(связи)между отраслями;3).удельные показатели для сравнения с мировыми(энергоёмкость,трудоемкость).
Документ
Категория
Разное
Просмотров
66
Размер файла
119 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа