close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Численное исследование критической динамики однородной и неупорядоченной дву-мерной XY-модели в низкотемпературной фазе методами Монте-Карло

код для вставкиСкачать
ФИО соискателя: Алексеев Сергей Вячеславович Шифр научной специальности: 01.04.02 - теоретическая физика Шифр диссертационного совета: Д 212.179.04 Название организации: Омский государственный университет им.Ф.М. Достоевского Адрес организации: 6440
?а правах рукописи
?лексеев Сергей ?ячеславович
Ч?С?????? ?СС????????? ?Р?Т?Ч?С??? ????????
????Р????? ? ??УП?РЯ??Ч????? ??У??Р???
????????? ? ?????Т??П?Р?ТУР??? Ф??? ??Т?????
???Т????Р??
???????? ? теоретическая физика
?втореферат
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико?математических наук
?мск ? ????
Работа выполнена на кафедре теоретической физики Ф???У ?П?
государственный университет им? Ф??? ?остоевского ?
?мский
?аучный руководитель? доктор физико?математических наук?
доцент Прудников Павел ?ладимирович?
?фициальные оппоненты? доктор физико?математических наук?
профессор? заведующий кафедрой физики
Сибирского государственного
аэрокосмического университета им? ??Ф? Решетнева?
?плеснин Сергей Степанович?
доктор физико?математических наук?
ведущий научный сотрудник
?нститута неорганической химии
им? ???? ?иколаева С? Р???
Холопов ?вгений ?икентьевич
?едущая организация? ?нститут физики им? Х??? ?мирханова
?аг?Ц Р??? г? ?ахачкала?
?ащита состоится ?? апреля ???? г? в ????? часов на заседании диссертационно?
го совета ? ?????????? при Ф???У ?П? ?мский государственный университет
им? Ф??? ?остоевского по адресу? ??????? г? ?мск? пр? ?ира? ??а?
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ф???У ?П?
дарственный университет им? Ф??? ?остоевского ?
?втореферат разослан
??
?мский госу?
марта ???? г?
Ученый секретарь
диссертационного совета ? ??????????
кандидат физико?математических наук
?ершинин ????
?бщая характеристика работы
?ктуальность темы
? последние годы исследование систем? характеризующихся медленной дина?
микой? вызывает значительный интерес как с теоретической? так и эксперимен?
тальной точек зрения? Это обусловлено предсказываемыми и наблюдаемыми в них
свойствами старения при медленной эволюции систем из неравновесного началь?
ного состояния и нарушениями флуктуационно?диссипативной теоремы ???? Хоро?
шо известными примерами подобных систем с медленной динамикой и эффектами
старения являются такие комплексные неупорядоченные системы как стекла? ди?
польные? металлические и спиновые? ?днако? данные особенности неравновесного
поведения? как показали различные аналитические и численные исследования? мо?
гут наблюдаться и в структурно однородных системах в критической точке или
вблизи нее при фазовых переходах второго рода? так как критическая динамика
таких систем характеризуется аномально большими временами релаксации? ? си?
стемам с медленной динамикой относится и двумерная ???модель при температу?
рах ниже и равной температуре T??Т фазового перехода ?ерезинского??остерлица?
Таулеса ??? ??? ? последнее время особое внимание уделяется исследованию эффек?
тов старения в низкоразмерных магнитных системах ??????
?ольшинство реальных систем содержат дефекты структуры? которые могут
оказывать заметное влияние на поведение системы? в том числе и вблизи тем?
пературы фазового перехода? ?з критерия Харриса следует? что наличие точеч?
ных замороженных дефектов структуры может существенно изменить критическое
поведение системы? если без их присутствия теплоемкость системы расходилась
вблизи критической точки? ? противном случае? присутствие дефектов не влия?
ет на характеристики системы за исключением такой неуниверсальной величины
как критическая температура? которая убывает с ростом концентрации дефектов
и при пороговой концентрации? соответствующей порогу перколяции системы? об?
ращается в нуль? Согласно критерию Харриса предсказывается? что в двумерной
???модели влияние дефектов структуры оказывается несущественным близи кри?
тической температуры T??Т ? ? низкотемпературной фазе для T < T??Т ? как пока?
зали аналитические и численные исследования равновесных свойств модели ??? ???
наличие дефектов приводит к изменению значений показателей для равновесной
корреляционной функции и к их концентрационной зависимости? ?инамика струк?
турно неупорядоченной двумерной ???модели до сих пор не исследована?
Цель работы
Целью настоящей диссертации является?
? численное исследование неравновесной динамики однородной двумерной ???
модели методами ?онте??арло в низкотемпературной области вплоть до темпера?
туры фазового перехода ?ерезинского??остерлица?Таулесса при эволюции системы
из полностью упорядоченного состояния в рамках динамики ?етрополиса и дина?
мики ?авасаки?
? численное исследование неравновесной динамики структурно неупорядоченной
?
двумерной ???модели для различных спиновых концентраций методами ?онте?
?арло в низкотемпературной области вплоть до температуры фазового перехода
?ерезинского??остерлица?Таулесса при старте системы из различных неравновес?
ных начальных состояний?
? численное исследование эффектов старения в однородной и структурно неупо?
рядоченной двумерной ???модели с целью выявления различных режимов времен?
ной зависимости автокорреляционной функции для различных значений времени
ожидания?
? определение показателей степенной зависимости автокорреляционной функции
однородной и структурно неупорядоченной двумерной ???модели? а также пока?
зателей пространственной корреляционной функции?
? численное исследование температурной зависимости поперечной жесткости си?
стемы в квазиравновесном состоянии и сравнение с аналитическими результатами?
? численное исследование нарушения флуктуационно?диссипативной теоремы
при эволюции системы из полностью упорядоченного начального состояния? а так?
же расчет значения асимптотического предела на больших временах наблюдения?
?аучная новизна результатов
?? ?первые осуществлено компьютерное моделирование критического поведения
двумерной ???модели в области низких температур в рамках динамики ?а?
васаки и получены соответствующие показатели степенной зависимости авто?
корреляционной функции?
?? ?первые численно исследованы эффекты старения во всей низкотемператур?
ной фазе? и получены подтверждения существования двух временных режимов
в динамике системы?
?? ?первые численно исследованы эффекты старения в структурно неупорядо?
ченных системах?
?? ?первые численно исследована температурная зависимость поперечной жест?
кости системы?
?аучная и практическая значимость работы
? настоящему моменту экспериментально обнаружено и синтезировано большое
число магнитных кристаллов? близких по свойствам к двумерным системам? фазо?
вые переходы в которых обладают рядом необычных свойств ????? Эти низкоразмер?
ные магнитные системы характеризуются сильным взаимодействием магнитных
ионов в плоскости и слабым межплоскостным взаимодействием? Термодинамиче?
ские свойства таких систем характеризуются достаточно широким температурным
интервалом? в котором проявляются только двумерные свойства этих систем? опре?
деляемых взаимодействием в магнитной ионной плоскости?
?сследование низкоразмерных систем представляет фундаментальный интерес
с точки зрения теории фазовых переходов? согласно которой асимптотическое по?
?
ведение термодинамических и корреляционных функций вблизи температуры фа?
зового перехода определяется главным образом размерностью системы и ее сим?
метрийными свойствами? выраженными главным образом через число компонент
параметра порядка ? спонтанной намагниченности в ферромагнетиках?
? настоящее время компьютерный эксперимент может стать серьезным подспо?
рьем для исследователя? ?ля компьютерного моделирования применяются мощ?
ные вычислительные кластеры? а также существенный вклад вносят алгоритмы
параллельных вычислений? ?ажной областью применения методов компьютерного
моделирования является теория критических явлений? в том числе и в структурно
неупорядоченных системах? системах с медленной динамикой и сильно коррелиро?
ванных системах? аналитическое описание которых невозможно без тех или иных
приближений?
Реальные материалы подвержены так называемым ?эффектам старения?? про?
явление которых становится тем существеннее? чем больше времени прошло с мо?
мента приготовления образца? ?анные эффекты оказывают заметное влияние на
эксперименты с материалами? Поэтому исследование эффектов старения дает важ?
ную информацию?
Полученные в диссертации результаты вносят существенный вклад в исследова?
ние критического поведения двумерных систем? как однородных? так и содержащих
дефекты структуры?
?ичный вклад диссертанта
Разработаны алгоритмы и программы моделирования неравновесного поведе?
ния двумерной ???модели? проанализированы полученные результаты? а также
сопоставлены с ранее полученными результатами других исследователей? сделаны
физические выводы?
?сновные положения? выносимые на защиту
?? ?етодика и результаты численного исследования неравновесного критическо?
го поведения и эффектов старения в структурно неупорядоченной двумерной
???модели?
?? ?аличие различных температурных областей применимости алгоритма ?ет?
рополиса и алгоритма ?авасаки для описания динамики двумерной ???модели?
?? Подтверждение существования в неравновесной динамике ???модели эффек?
тов старения при релаксации из начального упорядоченного состояния и двух
различных временных режимов? характеризующихся двукратным изменением
степенных показателей для автокорреляционной функции?
?? Сопоставление результатов численного определения температурной зависимо?
сти поперечной жесткости системы с аналитической зависимостью? получен?
ной из решения самосогласованного уравнения? указывает на наличие допол?
нительных вкладов от нелинейных спин?волновых эффектов и взаимодействия
вихревых возбуждений?
?
?? Численное доказательство существования эффектов нарушения флуктуационно?
диссипативной теоремы в неравновесном поведении двумерной ???модели?
?? Существенность влияния дефектов структуры на степенной характер релакса?
ции двумерной ???модели в низкотемпературной фазе на больших временах
наблюдения при эволюции системы из различных неравновесных начальных
состояний? ?аличие трех динамических режимов в неравновесном поведении
автокорреляционной функции?
?пробация работы
?сновные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались
на ????? и ???? научно?практических конференциях ??олодежь третьего ты?
сячелетия? ??мск? ????? ????? и международном симпозиуме ???s??? ??t?r??t?????
?????s??? ?? ?????t?s?? ??осква? ?????? а также на научных семинарах кафедры
теоретической физики ?м?У?
Публикации
Список публикаций автора по теме диссертации включает ?? статей и тезисов
докладов? опубликованных в российских и иностранных журналах? сборниках тру?
дов и материалах конференций?
Структура и объем диссертации
?иссертация состоит из введения? четырех глав и заключения? ?бъем диссер?
тации ? ??? страниц машинописного текста? в том числе ?? рисунков? ? таблиц и
список цитируемой литературы из ??? наименований?
?раткое содержание работы
?о введении обоснована актуальность выбранной темы диссертационной ра?
боты и сформулированы основные цели исследований?
? первой главе? носящей обзорный характер? в краткой форме излагается со?
держание концепций и методов? применяемых для описания критических явлений?
Рассматриваются особенности двумерных систем? эффекты старения? влияние де?
фектов структуры на критическое поведение систем?
?о второй главе осуществлено компьютерное моделирование однородной дву?
мерной ???модели в области низких температур в рамках динамики ?етрополиса
и динамики ?авасаки? Также была получена температурная зависимость попереч?
ной жесткости системы?
Рассматривается модель спиновой системы в виде плоской решетки с линейным
размером L и циклическими граничными условиями? ? данной модели с каждым
i ?м узлом связан спин ? единичный двумерный вектор Si ?
Si = (Six , Siy ) .
???
?юбая конкретная конфигурация системы задается набором векторов {S1 , . . . , SN }
для всех узлов решетки? ? отсутствие внешнего магнитного поля изотропная мо?
?
дель характеризуется гамильтонианом вида?
H = ?J
???
Si Sj ,
<i,j>
где J ? интеграл обменного взаимодействия? а сумма берется по всем ближайшим
соседям? ? угловых переменных?
H = ?J
???
cos(?i ? ?j ),
<i,j>
где ?i ? фаза i ?го спина? которая отсчитывается от произвольной вертикальной
оси против часовой стрелки?
?ид гамильтониана ??? указывает на сильную нелиней?
ность системы? следствием которой является существо?
вание наряду с обычными спиновыми волнами возбуж?
денных состояний особой природы ? вихрей и антивихрей
?рис? ??? количество которых растет с ростом температу?
?
?
ры?
Рис? ?? Схематическое изоб?
? двумерной ???модели? согласно теореме ?ермина
ражение вихря ?а? и анти?
вихря ?б? на примере дву? и ?агнера? спонтанная намагниченность отсутствует при
мерного магнетика?
T = 0 ? ?ыло показано ???? что спиновая корреляционная
функция спадая экспоненциально с расстоянием при высоких температурах при
низких температурах T < T??Т характеризуется степенным поведением?
C(x ? x ) ? exp {?|x ? x | ln(T /J)} , T
C(x ? x ) ? |x ? x |?T /2?J , T
J
J
???
???
? точке фазового перехода имеется степенная зависимость от расстояния?
C(x ? x ) ? |x ? x |?? ,
???
где ? = 1/4 ? критический индекс Фишера? непрерывно зависящий от температуры?
?аивысшая температурная точка? при которой экспоненциальное поведение кор?
реляторов сменяется степенным? соответствует фазовому переходу ?ерезинского?
?остерлица?Таулеса? температура которого оценивается из соотношения? Tc ? J ?
?иже этой температуры начинается спаривание вихревых возбуждений ? образо?
ванием инстантонов? С учетом взаимодействия вихрей выражение для определения
критической температуры запишется в виде?
?J
?2J
? 2 = exp ?
Tc
2Tc
???
Среднеквадратичное расстояние пары вихрь?антивихрь
r2 = a2 (T ? ?)/(2T ? ?),
?
???
остается конечным при ?/T > 2 ? С повышением температуры это расстояние уве?
личивается и при Tc = J?/2 становится бесконечным? т?е? происходит диссоциация?
? этом и состоит переход ?ерезинского??остерлица?Таулеса? являющийся фазовым
переходом второго рода? Температура данного перехода для двумерной ???модели
T??Т = 0, 893 ????? ?ритическое поведение двумерной ???модели определяется
следующими характеристиками корреляционной длины?
?=
T
exp b( T ?T
)1/2 , T > Tc ,
c
?,
T < Tc .
???
? работе ???? в пренебрежении эффектами взаимодействия вихрей и при усло?
вии сохранения параметра порядка осуществлено аналитическое описание нерав?
новесного поведения двумерной ???модели в низкотемпературной фазе и проведе?
но вычисление временной корреляционной функции? Предсказывается следующее
неуниверсальное асимптотическое степенное поведение для корреляционной и ав?
токорреляционной функций?
C(x ? x ) ? (x ? x )?2? ,
A(t ? t ) ? (t ? t )??/2 ,
????
где показатель ? = T /(4??s (T )) непрерывно зависит от температуры и называется
масштабной размерностью? ?инамика ?етрополиса переворотов отдельных спинов
описывает диссипативные процессы в системе? сопровождающиеся релаксацией на?
магниченности ?параметра порядка? из начального неравновесного отличного от
нуля значения к равному нулю для двумерной ???модели равновесному значению?
?инамика ?авасаки характеризуется сохранением параметра порядка? ? рамках
динамической модели с несохраняющимся параметром порядка предсказывается
следующее поведение автокорреляционной функции?
A(t ? t ) ? (t ? t )?? .
????
Таким образом? ожидается двукратное различие показателей автокорреляционной
функции? полученных в рамках динамики ?етрополиса и динамики ?авасаки?
? данной главе диссертации осуществлялось компьютерное моделирование дву?
мерной ???модели с линейным размером L = 256 в рамках различных динамиче?
ских моделей с помощью алгоритмов ?етрополиса и ?авасаки с целью подтвер?
ждения теоретических предсказаний и выявления областей их применимости? ?ля
исследования неравновесной динамики проводились измерения временной зависи?
мости автокорреляционной функции?
A(t ? t ) =
Si (t) · Si (t )
L2 ,
????
i
где скобки . . . означают усреднение по различным статистическим прогонкам?
?
?амильтониан модели с учетом ангармонических вкладов безвихревых флукту?
аций параметра порядка может быть записан в виде?
H = ?s
J
2
[?(x + a) ? ?(x)]2
????
<x,a>
где a ? постоянная решетки? ?s ? поперечная жесткость системы? температурная
зависимость которой определяется самосогласованным уравнением?
?s = exp(?T /4J?s ).
????
При T = 0 величина ?s = 1 ? При T > T??Т существует лишь решение ?s = 0 ?
?етод самосогласования приводит к выводу? что в точке фазового перехода жест?
кость системы принимает конечное значение ?????
? данной главе диссертации жесткость системы исследовалась в квазиравно?
весном состоянии при эволюции из полностью упорядоченного состояния с помо?
щью алгоритма ?етрополиса в течение времени ????? шагов ?онте??арло на спин
? MCS/s ?? после чего проводились измерения величины ?s с помощью следующего
выражения?
?s = 4 ? J
J
2
cos(?i ? ?j )
i,j
(?(x + a) ? ?(x))2 .
????
x,a
Температурная зависимость жесткости системы
была иссследованиа в температурном интервале от
T /J = 0, 1 до T??Т /J = 0, 89 с шагом ?T /J = 0, 1 ?
?ля каждой температуры ? проводилось усреднение
T /J
?s (T )
??? ???????????
получаемых значений по ??? прогонкам? ?а рис? ?
??? ???????????
представлен график полученной температурной за?
??? ???????????
висимости в сравнении с аналитически полученной
??? ???????????
??? ???????????
зависимостью ????? Полученный график имеет вид?
??? ???????????
качественно согласующийся с графиком аналогичной
??? ???????????
температурной зависимости? полученной из решения
??? ???????????
???? ???????????
самосогласованного уравнения ???? в ????? ?ыявлен?
ные численные различия обусловлены наличием дополнительных вкладов от нели?
нейных спин?волновых эффектов и взаимодействием вихревых возбуждений? ?
табл? ? представлены значения жесткости системы для всех исследуемых темпе?
ратур?
?а рис? ? представлены полученные температурные зависимости показателей
? для динамик ?етрополиса и ?авасаки? ?а рис? ??а? наблюдается качественное
согласие температурной зависимости показателей автокорреляционной функции в
динамике ?етрополиса с графиком величины ? ? полученным на основе ?s (T ) ? во
всем интервале температур? ?рафик температурной зависимости показателей ав?
токорреляционной функции в динамике ?авасаки ?рис? ??б?? в пределах погрешно?
сти совпадает с графиком величины ? ? полученным на основе ?s (T ) ? в интервале
Таблица ?? Температурная зави?
симость поперечной жесткости си?
стемы ?s (T )
?
Рис? ?? Температурная зависимость поперечной жесткости системы? полученная численно? в сравнении
с аналитически полученной зависимостью
Рис? ?? Сравнение показателей ? ? полученных из температурного поведения автокорреляционной функ?
ции A(T ) ??? и показателей? найденных при численном исследовании температурной зависимости ?s (T )
??? для динамик ?етрополиса ?а? и ?авасаки ?б?? а также показателей ? ???? рассчитанных для ?s (T )
на основе аналитического решения самосогласованного уравнения ????
температур от T /J = 0, 1 до T /J = 0, 4 ? Таким образом? динамика ?авасаки пра?
вильно описывает поведение двумерной ???модели в области низких температур? а
динамика ?етрополиса ? во всей низкотемпературной фазе и вблизи критической
температуры?
Поскольку вблизи критической точки происходит сильное взаимодействие вих?
рей и вследствие чего параметр порядка не является сохраняющейся величиной?
следовательно? для правильного описания поведения двумерной ???модели в кри?
тической области необходимо использовать алгоритм ?етрополиса? задающего ди?
намику системы с несохраняющимся параметром порядка? что подтверждается
рис? ?? ?инамику ?авасаки следует применять в области низких температур? где
взаимодействием вихрей можно пренебречь?
? третьей главе проведено численное исследование эффектов старения при
различных значениях времени ожидания посредством расчета временной зависи?
мости автокорреляционной функции структурно однородной системы при старте
из полностью упорядоченного состояния и состояния с малым значением намаг?
??
ниченности m0
1 ? а также проведено исследование нарушений флуктуационно?
диссипативной теоремы?
Под процессом старения материалов понимают явление роста времени релакса?
ции системы к состоянию равновесия с увеличением ?возраста? материала? т?е? вре?
мени прошедшего после приготовления образца ????? Явление старения проявляет?
ся математически прежде всего в двухвременных характеристиках системы? таких
как корреляционные функции и функции отклика? При неравновесных процессах
эти функции зависят от двух переменных временной природы? t и tw и не только
от их разницы? но и от каждой в отдельности? Причем эта зависимость сохраня?
ется и при достаточно больших временах наблюдения t ? ?ременная переменная
tw характеризует возраст образца? т?е? время? прошедшее после его приготовления?
и называется временем ожидания? При явлении старения процесс релаксации си?
стемы как функции времени наблюдения t замедляется тем больше? чем больше
время ожидания tw ?
Согласно работе ????? двухвременная зависимость автокорреляционной функции
для T
T??Т может быть представлена в следующей скейлинговой форме?
1
(1 + ?)2
A(t, tw ) =
4?
(t ? tw )?(T )/2
?(T )/4
,
????
для времен t ? tw
a2 ? где a ? ультра?фиолетовый параметр обрезания микроско?
пической природы? ? ? t/tw ? ?(T ) ? критический индекс? связанный с поперечной
жесткостью ?s системы следующим соотношением?
?(T ) =
T
2??s (T )
????
? неравновесном поведении автокорреляционной функции можно выделить два
временных режима? ?а временах t ? tw
tw автокорреляционная функция ведет
себя как?
1
A(t, tw ) ?
????
?(T )/2
(t ? tw )
Это соответствует квазиравновесному состоянию системы? ?а больших временах
t ? tw
tw наблюдается спадание автокорреляционной функции по степенному
закону?
1
A(t, tw ) ? ?(T )/4
????
t
Переход между двумя режимами происходит при t ? tw ? tw ? Таким образом?
временные зависимости автокорреляционной функции при различных временах
ожидания не совмещаются? Это явление получило название эффекта старения си?
стемы ????? т?е? проявление ее возраста при t > tw ?
? данной главе диссертации эффекты старения исследовались для времен ожи?
дания tw = 100, 500, 1000 MCS/s ? ?з полностью упорядоченного состояния си?
стема начинает свободно эволюционировать во времени в соответствии с алгорит?
мом ?етрополиса до момента? равного времени ожидания tw ? начиная с которого
??
Рис? ?? ?ременная зависимость автокорреляционной функции для времен ожидания tw = 100 ????
tw = 500 ???? tw = 1000 ??? при температурах T = 0, 1 ?а?? T = 0, 5 ?б?? T = 0, 89 ?в?
производился расчет автокорреляционной функции в течение времени наблюдения
t ? tw = 20000 MCS/s ? ?а рис? ? в двойном логарифмическом масштабе приведены
полученные временные зависимости автокорреляционной функции для некоторых
из исследуемых температур? ?а графиках наглядно видно наличие двух линей?
ных участков? отражающих степенную временную зависимость автокорреляцион?
ной функции в соответствующих временных интервалах? а также кроссоверной
области? в которой осуществляется переход от одного степенного режима к друго?
му? ?ля количественной характеристики данных степенных режимов были введены
показатели временной зависимости для автокорреляционной функции?
A(t, tw ) = (t ? tw )??A ,
????
значения? которых вместе со статистическими погрешностями их определения при?
ведены в табл? ??
? качестве исследования на соответствие полученных значений показателей вре?
менной зависимости автокорреляционной функции может служить сопоставление
с показателем статической корреляционной функции
C(x ? x ) ? (x ? x )??(T )
????
для ряда температур с T /J
0, 89 ? Показатель для статической корреляцион?
ной функции эффективнее определять при исследовании размерной зависимости
среднего квадрата намагниченности системы ?????
m2 (T, L) ? L??(T )
????
?змерения проводились на решетках с линейными размерами L = 4, 8, 16, 32, 64
в низкотемпературной фазе вплоть до критической температуры? Полученные чис?
ленные значения показателя ?(T ) ? отражающие его температурную зависимость?
со статистическими погрешностями их определения приведены в табл? ??
? критической точке T??Т /J = 0, 89 для показателя получено значение ? =
0, 248(4) ? что в пределах погрешности хорошо согласуется с точным теоретическим
значением ? = 1/4 ? Сопоставление значений показателя ?(T ) со значениями пока?
зателей временной зависимости автокорреляционной функции на разных времен?
ных этапах эволюции показывает? что для t ? tw
tw в пределах статистических
??
Таблица ?? Показатели корреляционной и автокорреляционной функций? полученные для различных
значений температур T ? времени ожидания tw и асимптотических временных интервалов
T /J
?(T )
???
???
???
???
???
???
???
???
????
?????????
?????????
?????????
?????????
?????????
??????????
??????????
??????????
??????????
tw = 100
??????
????????????
?????????
?????????
?????????
?????????
?????????
?????????
?????????
?????????
?????????
?????????
?????????? ?????????
?????????? ?????????
?????????? ?????????
?????????? ?????????
tw = 500
??????
????????????
?????????
?????????
?????????
?????????
?????????
?????????
?????????
?????????
?????????
?????????
?????????
?????????
?????????? ?????????
?????????? ?????????
?????????? ?????????
tw = 1000
??????? ?????????????
?????????
?????????
?????????
?????????
?????????
?????????
?????????
?????????
?????????
?????????
?????????
?????????
?????????
?????????
?????????
?????????
?????????
?????????
Рис? ?? ?ременная зависимость автокорреляционной функции при старте системы из состояния с малым
значением намагниченности m0
1 для времен ожидания tw = 100 ???? tw = 500 ???? tw = 1000 ??? при
температурах T = 0, 1 ?а?? T = 0, 5 ?б?? T = 0, 89 ?в?
погрешностей выполняется соответствие ?(T )/2 ? как и предсказывалось соотноше?
нием ????? а для t ? tw
tw выполняется соответствие ?(T )/4 ? характеризуемое
зависимостью ?????
Также были проведены исследования эффектов старения при старте системы
из состояния с малым значением намагниченности m0
1 при тех же значени?
ях времени ожидания? Полученные временные зависимости автокорреляционной
функции представлены на рис? ?? а соответствующие степенные показатели ?A в
табл? ??
?з вида графиков на рис? ? и значений ?A видно? что в структурно однородной
системе при старте из высокотемпературного начального состояния с m0
1 по?
ведение автокорреляционной функции качественно отличается от случая старта из
низкотемпературного начального состояния с m0 = 1 ? ? случае старта из состояния
с m0
1 наблюдается рост времени релаксации с увеличением времени ожидания?
в то время? как при старте из состояния с m0 = 1 ? уменьшение? ?а начальных
временных участках t ? tw ? tw показатели ?A для системы? эволюционирующей
из начального состояния с m0
1 ? больше значений аналогичных показателей
для системы с m0 = 1 примерно в ??? раза? ? случае дальних временных участков
t?tw
tw показатели ?A системы с m0
1 превосходят аналогичные показатели
для системы с m0 = 1 уже на ??? порядка?
?ыявленные различия в неравновесном поведении системы? эволюционирующей
??
Таблица ?? Показатели для автокорреляционной функции? полученные для различных значений тем?
ператур T ? времени ожидания tw и асимптотических временных интервалов при старте системы из
состояния с малой начальной намагниченностью m0
1
T /J
tw = 100
?????? ????????????
??? ????????
????????
??? ????????
????????
??? ????????
????????
??? ????????
????????
??? ????????
????????
??? ????????
????????
??? ????????
????????
??? ????????
????????
???? ????????
????????
tw = 500
?????? ????????????
????????
????????
????????
????????
????????
????????
????????
????????
????????
????????
????????
????????
????????
????????
????????
????????
????????
????????
tw = 1000
?????? ????????????
????????
????????
????????
????????
????????
????????
????????
????????
????????
????????
????????
????????
????????
????????
????????
????????
????????
????????
из разных начальных состояний? обусловлены тем? что при релаксации из низкотем?
пературного состояния с m0
1 роль в динамике высокоэнергетичных вихревых
возбуждений является малой и динамика системы определяется только низкоэнер?
гетичными спин?волновыми возбуждениями? При старте системы из высокотемпе?
ратурного состояния с m0 = 1 роль вихревых возбуждений и их взаимодействие
является определяющей?
Флуктуационно?диссипативная теорема ?Ф?Т? ? соотношение? устанавливаю?
щее связь между спектром флуктуации физических величин в равновесной дис?
сипативной среде и е? обобщ?нными восприимчивостями? т?е? параметрами? харак?
теризующими е? реакцию на внешнее воздействие? ?лавной особенностью нерав?
новесного поведения систем с медленной динамикой является нарушение транс?
ляционной инвариантности во времени за счет долговременного влияния неравно?
весных начальных состояний таких систем? Это находит проявление прежде всего
в двухвременных характеристиках системы? таких как корреляционные функции
и функции отклика? ?роме эффектов старения неравновесное поведение систем с
медленной динамикой характеризуется нарушением Ф?Т ???? на применении след?
ствий которой построены теоретические основы различных экспериментальных ме?
тодов по рассеянию и поглощению излучения веществом? ? состоянии равновесия
Ф?Т устанавливает связь корреляционной функции с сопряженной ей линейной
функцией отклика?
1 ?A(t ? tw )
,
????
T
?tw
причем временная зависимость данных функций реализуется через разность t?tw ?
При неравновесном поведении систем обобщение Ф?Т принимает вид?
R(t ? tw ) =
R(t, tw ) = X(t, tw )
1 ?A(t, tw )
,
T ?tw
????
где фактор X(t, tw ) называется флуктуационно?диссипативным отношением и яв?
ляется мерой нарушения флуктуационно?диссипативной теоремы?
??
? последнее время усилия многих исследователей ??? были направлены на опре?
деление асимптотического значения для флуктуационно?диссипативного отноше?
ния
X? = lim lim X(t, tw ).
????
tw ?? t??
? работе ??? было сделано предположение? что асимптотическое значение X? для
флуктуационно?диссипативного отношения является универсальной величиной для
систем? характеризующихся медленной динамикой? Функция отклика R(t, tw ) спи?
новой системы на внешнее магнитное поле? приложенное к системе в момент вре?
мени tw ? определяется соотношением?
R(t, tw ) =
1
V
dd x
? S(x, t)
?h(x, tw )
.
????
h=0
?днако? линейная функция отклика? соответствующая данному определению? не
может быть непосредственно измерена экспериментально или получена методами
компьютерного моделирования? ?олее удобной величиной является интегральная
характеристика ? динамическая восприимчивость
t
?(t, tw ) =
dt A(t, t ).
????
tw
?етодами ?онте??арло восприимчивость ?(t, tw ) для двумерной системы может
быть рассчитана на основе следующего соотношения?
?(t, tw ) =
1
L2 h2
hi (tw )S(t) ,
????
i
где h ? малое бимодальное магнитное поле? черта сверху обозначает процедуру
усреднения по различным реализациям магнитного поля?
?ля вычислений восприимчивости в данной диссертации использовалось значе?
ние h = 0, 04 ? ?ля того? чтобы из восприимчивости системы выделить информа?
цию о значениях флуктуационно?диссипативного отношения? необходимо на основе
вычисленных временных t ? tw зависимостей ?для t > tw ? для восприимчивости
?(t, tw ) и автокорреляционной функции A(t, tw ) выразить T ?(t, tw ) как функцию
A(t, tw ) ? представить в виде кривой и из ее асимптотической кривизны выделить
значение
d(T ?)
,
????
A?0 dA
которое и идентифицируется с X? ? ?а рис? ? представлены полученные параметри?
ческие зависимости для T ?(t, tw ? как функции A(t, tw ) для различных температур
и времен ожидания tw при релаксации системы из начального состояния с m0 = 1 ?
Штриховая прямая отображает соотношение между T ?(t, tw ) и A(t, tw ) ? соответ?
ствующее выполнению флуктуационно?диссипативной теоремы для t ? tw
tw
?
X?
= ? lim
??
Рис? ?? Параметрическая зависимость восприимчивости от автокорреляционной функции на временах
ожидания tw = 100 MCS/s ??? и tw = 500 MCS/s ??? для температур T = 0, 1 ?а? и T = 0, 4 ?б??
с X? = 1 ? ?з рисунка видно? что для t ? tw
tw наблюдается заметное от?
клонение от данной штриховой прямой с X? = 1 и? следовательно? неравно?
весное поведение двумерной Х? модели сопровождается эффектами нарушения
флуктуационно?диссипативной теоремы и характеризуется? как показали расчеты?
величиной X? = 2, 49(13) для времен t ? tw
tw ?
? четвертой главе осуществлено компьютерное моделирование структурно
неупорядоченной двумерной ???модели в области низких температур в рамках
динамики ?етрополиса при различных значениях концентрации дефектов?
?амильтониан структурно неупорядоченной двумерной ???модели можно запи?
сать следующим образом?
H = ?J
pi pj Si Sj ,
????
<i,j>
где числа pi = 1 ? если в ??м узле решетки находится спин? и pi = 0 ? если в узле
находится немагнитный атом?
?ля локализации низкотемпературной фазы необходимо определить критиче?
скую температуру системы в зависимости от концентрации дефектов cimp ?или
спиновой концентрации p = 1 ? cimp ?? ? работе ???? приведен способ определения
критической температуры системы на основе анализа температурного поведения
величины отношения корреляционных функций для решеток с различными линей?
ными размерами L ? ?орреляционная функция задается выражением?
C(r) =< pi pi+r Si Si+r > .
????
Тогда отношение корреляционных функций для решеток с различными L запи?
шется в виде?
[ C(L/2) ]
,
????
[ C(L/4) ]
где скобки < · · · > означают статистическое усреднение по прогонкам? а скобки
[. . .] ? по различным примесным конфигурациям? ?ля систем с линейными разме?
рами L = 16, 32, 48 в данной главе диссертации было осуществлено определение
корреляционного отношения ???? для спиновых концентраций p = 0, 8 и p = 0, 9 ?
Усреднение проводилось по ?? прогонкам для каждой примесной конфигурации и
R=
??
Рис? ?? ?орреляционные отношения для систем с линейными размерами L ? ?? ???? ?? ???? ?? ???? для
спиновых концентраций p = 0, 8 ?а? и p = 0, 9 ?б??
по ?? примесным конфигурациям после эволюции системы в течение ????? MCS/s ?
Соответствующие графики температурной зависимости данных величин представ?
лены на рис? ??
? данном случае графики можно аппроксимиро?
Таблица ?? Температуры пересе?
чения графиков корреляционных вать прямыми линиями? так как в отличие от метода
отношений для спиновых концен? кумулянтов ?индера? графики имеют более монотон?
траций p = 0, 8 и p = 0, 9 ?
ный вид? ?о при этом сохраняется общая для этих
L1 ? L2 ????? ????? ?????
методов характерная особенность? состоящая в том?
p = 0, 8 ????? ????? ?????
что положение графиков? соответствующих L1 > L2 ?
p = 0, 9 ????? ????? ?????
как бы инвертируются после точки пересечения ? если
до нее кривые R(L1 ) > R(L2 ) ? то после точки пересечения ? R(L1 ) < R(L2 ) ? ?роме
того? кривые также имеют область ?треугольник? пересечения в малой окрестности
критической температуры?
? табл? ? представлены значения температур пересечения корреляционных от?
ношений для спиновых концентраций p = 0, 8 и p = 0, 9 ? ?ля системы со спино?
вой концентрацией p = 0, 8 получено значение критической температуры T??Т =
0, 485(4) ? для системы со спиновой концентрацией p = 0, 9 ? значение T??Т =
0, 679(7) ? ?идно? что наличие примесей в системе существенно понижает темпера?
туру фазового перехода?
?ременная автокорреляционная функция структурно неупорядоченной ???модели
определяется следующим выражением?
A(t, tw ) =
1
pN
pi Si (t)Si (tw )
.
????
i
?сследования автокорреляционной функции в данной диссертации проводились
для спиновых концентраций p = 0, 8; 0, 85; 0, 9; 0, 95; 0.98 на временах ожидания
tw = 1000, tw = 10000, tw = 50000 MCS/s при температурах T /J = 0, 1 и T /J =
0, 4 ? ?бщее время наблюдения t?tw составляло от ????? MCS/s до ??????? MCS/s ?
?ля каждой температуры T проводилось усреднение получаемых значений по ???
прогонкам и ??? примесным конфигурациям?
?а рис? ? представлены в двойном логарифмическом масштабе графики времен?
??
Рис? ?? Поведение автокорреляционной функции при температуре T /J = 0, 4 ? времени ожидания tw =
1000 для неупорядоченной системы с p = 0, 98 ??? и однородной системы с p = 1 ???
ной зависимости автокорреляционной функции для слабо неупорядоченной модели
с p = 0, 98 и однородной модели с p = 1 при температуре T /J = 0, 4 и времени
ожидания tw = 1000 MCS/s ? ?идно? что даже малая концентрация дефектов су?
щественно меняет динамику системы?
? данной главе диссертации было получено численное подтверждение эффектов
старения для однородной модели и? в частности? для T /J = 0, 4 были получены
значения показателей для автокорреляционной функции ?A = 0, 0389(5) для t ?
tw
tw = 1000 MCS/s и ?A = 0, 0206(1) для t ? tw
tw = 1000 MCS/s ?
?ля неупорядоченной системы с p = 0, 98 на временах t ? tw ? tw наблюдает?
ся замораживание временной зависимости A(t) и лишь на временах t ? tw
tw
наблюдается степенное временное спадание A(t) с показателем ?A = 0, 0409(2) ?
?анное значение показателя оказывается близким к значению показателя однород?
ной системы ?(T )/2 для времен t ? tw
tw ?
?а рис? ??а? представлен в двойном логарифмическом масштабе график по?
лученной временной зависимости автокорреляционной функции при температуре
T /J = 0.4 и времени ожидания tw = 10000 MCS/s для различных спиновых
концентраций? ?з графиков видно? что в поведении автокорреляционной функции
для данных неупорядоченных систем можно выделить три динамических режи?
ма? соответствующих следующим временным интервалам? при t ? tw
tw реа?
лизуется начальный режим замораживания временного поведения автокорреляци?
онной функции? для которого A(t, tw ) аппроксимируется линейной зависимостью
A(t, tw ) = 1 ? a(t ? tw ) ? при t ? tw
tw осуществляется режим степенной ре?
лаксации на больших временах наблюдения с A(t, tw ) ? t?? и при t ? tw ? tw ?
промежуточный режим кроссоверного поведения? Также из этого рисунка видно?
что с увеличением концентрации дефектов начало степенного режима поведения
автокорреляционной функции сдвигается в область больших времен? При этом с ро?
стом концентрации дефектов относительное изменение величины этого временного
сдвига уменьшается?
?а рис? ??б? представлено в двойном логарифмическом масштабе поведение ав?
токорреляционной функции при различных временах ожидания? ?идно? что с уве?
личением времени ожидания tw процесс степенной релаксации в неупорядоченной
двумерной ???модели наступает раньше?
??
Рис? ?? Поведение автокорреляционной функции при следующих условиях? рис? ??? ? температура T =
0, 4 ? время ожидания tw = 10000 MCS/s для различных спиновых концентраций p ? 0, 8 ???? 0, 85 ????
0, 9 ???? 0, 95 ???? рис? ?б? ? T = 0, 4 ? p = 0, 9 для различных tw ? MCS/s ?? 1000 ???? 10000 ???? 50000
???? рис? ?в? ? tw = 10000 ? температура T = 0, 4 для различных p ? 0, 95 ???? 0, 9 ???? 0, 85 ???? 0, 8 ????
температура T = 0, 1 для различных p ? 0, 95 ???? 0, 9 ???? 0, 85 ???? 0, 8 ???
?а рис? ??в? представлены в двойном логарифмическом масштабе кривые вре?
менных зависимостей автокорреляционной функции при температурах T /J = 0, 1
и T /J = 0, 4 для всех рассмотренных в данной диссертации спиновых концентра?
ций? ?з приведенных графиков видно? что увеличение температуры заметно сокра?
щает длительность начального интервала замораживания в поведении автокорре?
ляционной функции? приводя к заметно более раннему началу режима степенной
релаксации? и существенно увеличивает значения показателя ?A (T, p) ? Увеличе?
ние концентрации дефектов приводит также к увеличению значений показателя
?A (T, p) ? хотя концентрационное влияние на ?A (T, p) значительно слабее темпе?
ратурного?
? работе ??? для структурно неупорядоченной двумерной ???модели с малой
концентрацией дефектов был проведен расчет показателя степенного убывания с
расстоянием равновесной корреляционной функции C(r?r ) с применением теории
возмущения?
C(r, r ) ? |r ? r |?? ,
????
с использованием показателя ?C = ?pure (T ) = T /2?J для однородной модели при
достаточно низких температурах? считая жесткость системы ?s ? 1 ? ?лияние де?
фектов было представлено в виде корректирующего множителя ?C = ?imp (T, p) =
?pure (T )a(p) с a(p) ? вычисленного в виде ряда по малой концентрации дефектов
cimp = 1 ? p << 1 и имеющего вид a(p) ? 1 + 2, 73(1 ? p) + 1, 27(1 ? p)2 ?
? отличие от работы ???? в которой влияние дефектов интерпретировалось че?
рез увеличение эффективной температуры системы с ростом их концентрации?
физически более правильно влияние дефектов определять через их воздействие
на величину жесткости системы? вводя для неупорядоченной модели показатель
?C = ?imp (T, p) = T /2?J?s (T, p) и считая? что с ростом концентрации дефектов
жесткость системы уменьшается? ? первой главе данной диссертации было осу?
ществлено численное определение для однородной модели температурного поведе?
ния жесткости системы ?s (T, p = 1) ? которое показало монотонное убывание ?s с
повышением температуры?
? табл? ? приведены рассчитанные значения показателя ?C для автокорреля?
ционной функции на временах t ? tw
tw для различных спиновых концентраций
??
Рис? ??? ?ременная зависимость автокорреляционной функции для структурно неупорядоченной систе?
мы с концентрацией спинов p = 0, 8 при старте системы из состояния с m0
1 для времен ожидания
tw = 100 ???? tw = 500 ???? tw = 1000 ??? для температур T = 0, 1 ?а?? T = 0, 3 ?б? и T = 0, 49 ?в?
Рис? ??? ?ременная зависимость автокорреляционной функции для структруно неупорядоченной систе?
мы с концентрацией спинов p = 0, 9 при старте системы из состояния с m0
1 для времен ожидания
tw = 100 ???? tw = 500 ???? tw = 1000 ??? для температур T = 0, 1 ?а?? T = 0, 4 ?б? и T = 0, 68 ?в?
p и температур T /J = 0, 1 и T /J = 0, 4 ? ?анные значения подтверждают выяв?
ленную тенденцию влияния температуры и концентрации дефектов на характер
степенной релаксации двумерной ???модели в низкотемпературной фазе на боль?
ших временах наблюдения?
Также в данной главе диссертации для систем со
Таблица ?? ?начения показателя ?C
спиновыми концентрациями p = 0, 8 и p = 0, 9 бы?
для различных спиновых концен?
ли проведены исследования эффектов старения при
траций p на временах t ? tw
tw
старте системы из состояния с малой намагниченно?
T /J = 0, 1 T /J = 0, 4
стью? ?изкотемпературная фаза была локализована
p = 0, 8 ????????? ?????????
p = 0, 85 ????????? ?????????
с учетом полученных значений критической темпе?
p = 0, 9 ????????? ?????????
ратуры для указанных концентраций?
p = 0, 95 ????????? ?????????
?а рис? ?? и ?? в двойном логарифмическом
масштабе представлены полученные временные зависимости автокорреляционной
функции для различных значений времени ожидания при некоторых исследуемых
температурах? а соответствующие показатели ?A приведены в табл? ? и ??
? поведении автокорреляционной функции структурно неупорядоченной моде?
ли было выделено три различных динамических режима? режим замораживания
при t ? tw
tw ? на котором временное поведение автокорреляционной функции
A(t, tw ) аппроксимируется линейной зависимостью A(t, tw ) = 1 ? a(t ? tw ) ? режим
степенной релаксации с A(t, tw ) ? t?? при t ? tw
tw и промежуточный режим
кроссоверного поведения при t ? tw ? tw ? Режим замораживания связан с эффек?
тами локализации пар вихрь?антивихрь на дефектах структуры и замедлении спи?
??
Таблица ?? Показатели автокорреляционной функции для структурно неупорядоченной системы со спи?
новой концентрацией p = 0, 8 ? полученные для различных значений температур T ? времени ожидания
tw и асимптотических временных интервалов при старте системы из состояния с m0
1
T /J
tw = 100
?????? ????????????
??? ????????
????????
??? ????????
????????
??? ????????
????????
??? ????????
????????
???? ????????
????????
tw = 500
??????? ????????????
????????
????????
????????
????????
????????
????????
????????
????????
????????
????????
tw = 1000
??????? ????????????
????????
????????
????????
????????
????????
????????
????????
????????
????????
????????
Таблица ?? Показатели автокорреляционной функции для структурно неупорядоченной системы со спи?
новой концентрацией p = 0, 9 ? полученные для различных значений температур T ? времени ожидания
tw и асимптотических временных интервалов при старте системы из состояния с m0
1
T /J
tw = 100
?????? ????????????
??? ????????
????????
??? ????????
????????
??? ????????
????????
??? ????????
????????
??? ????????
????????
??? ????????
????????
???? ????????
????????
tw = 500
??????? ????????????
????????
????????
????????
????????
????????
????????
????????
????????
????????
????????
????????
????????
????????
????????
tw = 1000
??????? ????????????
????????
????????
????????
????????
????????
????????
????????
????????
????????
????????
????????
????????
????????
????????
новой диффузии на временах? удовлетворяющих неравенству ldif Rimp ? где ldif ?
(?J?s (t ? tw ))1/2 ? ? ? кинетический коэффициент спиновой диффузии? Rimp ? сред?
нее расстояние между дефектами? При степенном режиме релаксации показатель
?C характеризуется сильной температурной зависимостью ?C = T /2?J?s (T, p) и
более слабой концентрационной зависимостью жесткости системы ?s ?
При старте из состояния с m0
1 показатели ?A для системы с концентрацией
спинов p = 0, 8 превосходят аналогичные показатели для системы с концентрацией
p = 0, 9 ? как на временном интервале t ? tw ? tw ? так и на интервале t ? tw
tw ?
То есть в случае m0
1 наличие примесей в системе ускоряет динамику системы?
? заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертации?
?сновные результаты и выводы
?? Проведено численное исследование неравновесной динамики двумерной ???
модели в низкотемпературной фазе в рамках динамики ?етрополиса и дина?
мики ?авасаки? Установлено? что динамика ?етрополиса правильно описыва?
ет неравновесное поведение двумерной ???модели во всей низкотемператур?
ной фазе и в критической области? а динамика ?авасаки ? только в области
очень низких температур? где можно пренебречь взаимодействием вихрей?
?? При исследовании эффектов старения в структурно однородной системе во
всей низкотемпературной области выявлены два режима степенного поведе?
ния автокорреляционной функции? ?ля временного интервала t ? tw
tw в
??
пределах статистических погрешностей выполняется соответствие ?(T )/2 ? а
для t ? tw
tw выполняется соответствие ?(T )/4 ?
?? Установлено? что при старте из состояния с m0
1 поведение автокорреляци?
онной функции качественно отличается от случая старта из упорядоченного
состояния? ? случае старта из состояния с m0
1 наблюдается рост времени
релаксации с увеличением времени ожидания? в то время? как при старте из со?
стояния с m0 = 1 ? уменьшение? ?а начальных временных участках t?tw ? tw
показатели ?A для системы с m0
1 ? больше примерно в ??? раза значений
аналогичных показателей для системы с m0 = 1 ? ? случае дальних временных
участков t ? tw
tw показатели ?A системы с m0
1 превосходят анало?
гичные показатели для системы с m0 = 1 уже на ??? порядка? Эти различия
обусловлены тем? что при релаксации из состояния с m0
1 роль в дина?
мике высокоэнергетичных вихревых возбуждений является малой и динамика
системы определяется только низкоэнергетичными спин?волновыми возбужде?
ниями? При старте системы из состояния с m0 = 1 роль вихревых возбуждений
и их взаимодействие является определяющей?
?? ? критической точке T??Т /J = 0, 89 для показателя получено значение ? =
0, 248(4) ? что в пределах погрешности хорошо согласуется с точным теорети?
ческим значением ? = 1/4 ?
?? Установлено? что динамика неупорядоченной двумерной ???модели существен?
но отличается от динамики однородной модели и становится более медленной?
? поведении автокорреляционной функции модели было выделено три различ?
ных динамических режима? Показатели автокорреляционной функции явля?
ются неуниверсальными не только по отношению к изменению температуры?
но и по отношению к изменению концентрации примесей в системе?
?? ?еравновесное поведение двумерной Х??модели сопровождается эффектами
нарушения флуктуационно?диссипативной теоремы и характеризуется вели?
чиной X? = 2, 49(13) для времен t ? tw
tw
?сновные результаты диссертации опубликованы в работах
?? Прудников ????? ?лексеев С??? Численное исследование неравновесного поведения двумер?
ной ???модели в низкотемпературной области ?? ?естник ?мского госуниверситета? ? ?????
? ?ып? ?? ? С? ??????
?? Прудников ????? Прудников П???? ?лексеев С??? ?сследование температурной зависимости
поперечной жесткости системы в двумерной ???модели ?? ?естник ?мского госуниверси?
тета? ? ????? ? ?ып? ?? ? С? ??????
?? Прудников ????? Прудников П???? ?лексеев С??? ?сследование эффектов старения в дву?
мерной ???модели ?? ?естник ?мского госуниверситета? ? ????? ? ?ып? ?? ? С? ??????
?? Прудников ????? Прудников П???? ?лексеев С??? ?сследование влияния дефектов струк?
туры на динамику двумерной ???модели в низкотемпературной фазе ?? ?естник ?мского
госуниверситета? ? ????? ? ?ып? ?? ? С? ??????
??
?? ?лексеев С??? ?сследование эффектов старения в двумерной ???модели? ?? Сборник статей
????? региональной научно?практической конференции ??олодежь ??? тысячелетия?? ?
?мск? ?зд?во ?м? гос? ун?та? ????? ? С? ??????
?? Прудников ????? Прудников П???? Попов ??С?? ?лексеев С??? ?сследование эффектов ста?
рения и нарушения флуктуационно?диссипативной теоремы в двумерной ???модели при
моделировании из начального состояния с малым значением намагниченности? ?? ?естник
?мского госуниверситета? ? ????? ? ?ып? ?? ? С? ??????
?? Прудников П???? Прудников ????? Попов ??С?? ?лексеев С??? ?сследования эффектов старе?
ния и нарушения флуктуационно?диссипативной теоремы в двумерной ???модели метода?
ми ?онте??арло ?? Труды семинара ??ычислительные технологии в естественных науках?
?ычислительная физика? алгоритмы? методы и результаты?? Под ред? Р?Р? ?азирова? ????
Щура? ? ??? ?зд?во ?Ротапринт ??? Р?? ????? ? ?? ???????? ?Труды ??? Р??? Серия
??еханика? управление и информатика?? ?ып? ??? ?
?? ?лексеев С??? ?сследование эффектов старения в неупорядоченной двумерной ???модели?
?? Сборник статей ???? региональной научно?практической конференции ??олодежь ???
тысячелетия?? ? ?мск? ?зд?во ?м? гос? ун?та? ????? ? С? ??????
?? ????s???? ????? Pr??????? P???? Pr??????? ???? ?????? ????????? ?? t????????s????? ???
?????? ?? ???? ?? ??str??ts? ??s??? ??t?r??t????? ?????s??? ?? ?????t?s?? ????st ??????
???? ? ??? ???С Пресс? ????? ? ??? с? ?на англ? яз??? ? С? ????????
Список литературы
??? ?????r?s? P?? ?????ss? ?? ?? ?? P??s? ?? ? ????? ? ????? ? P??????
??? ?ерезинский ???? ?изкотемпературные свойства двумерных систем? ?осква? Ф????Т??Т? ?????
??? ??? ????? ????? ?? ?? P??s? ???? ?? ? ????? ? ?? ??? ? P? ???????
??? ???r???? ?? ???? ????? ?? ?? P??s? ????? ??tt? ? ????? ? ?? ??? ? P? ?????
??? P????? ??? ?? ?????? ?? ????? P??s? ?? ? ????? ? ?? ???? ? P? ????
??? ?????r ??? P??? ?? ?? P??s? ???? ?? ? ????? ? ?? ??? ? P? ???????
??? P???????? ??? ?????ss? ?? ?? P??s? ???? ?? ? ????? ? ?? ??? ? P? ??????????
??? ??r??? ??? ??r???s???????? ?? ??? ??????t?? ???? P?r???s ?? ?? ??r? P??s? ?? ?? ? ????? ? ?? ??? ? P? ???
??? ?????r????? ??? ??r??? ??? ??????t?? ??? ?? P??s? ??tt? ?? ? ????? ? ?? ???? ? P? ????????
???? ?????? ??? ??r???s P? ??? ?????r? ??? ????r??rss?? ?? ?? P??s? ???? ?? ? ????? ? ?? ??? ? P? ???????
???? ????t? ??? ????? ?? ?? P??s?????? ? ????? ? ?? ??? ? P? ??????? ?? ??? ? P? ??????
???? Pr??????? ????? ???t?????? ???? ?? P??s???tt??? ? ?????? ?? ??? ? P? ????
???? Паташинский ????? Покровский ???? Флуктуационная теория фазовых переходов? ? ??? ?аука? ?????
???? ?????? ??? P???????? ?? ?????q?????r??? P??s? ?r??s?t???s? ?????? ?? ?????? ??? ????????? ???????
??r ?r?? ?q?????r???? ? ??r?r???t? ??r????r? ?????
???? ??rt???r ??? ????s??rt? P?????? ?????tt? ?? ?? ?? P??s? ?? ? ????? ? ?? ??? ? P? ?????
???? ?????r ??? ?????? ??P? ?? P??s??????? ? ????? ? ?? ??? ? P? ?????
??
Документ
Категория
Физико-математические науки
Просмотров
15
Размер файла
2 418 Кб
Теги
кандидатская
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа