close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СВЕТОВЫХ ИМПУЛЬСОВ В УСЛОВИЯХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНО ИНДУЦИРОВАННОЙ ПРОЗРАЧНОСТИ ПРИ ВЫРОЖДЕНИИ АТОМНЫХ УРОВНЕЙ

код для вставкиСкачать
ФИО соискателя: Лосев Александр Сергеевич Шифр научной специальности: 01.04.02 - теоретическая физика Шифр диссертационного совета: Д 212.199.21 Название организации: Российский государственный педагогический университет им.А.И.Герцена Адрес организ
На правах рукописи
УДК 535.370
Лосев Александр Сергеевич
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СВЕТОВЫХ ИМПУЛЬСОВ В УСЛОВИЯХ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНО ИНДУЦИРОВАННОЙ ПРОЗРАЧНОСТИ
ПРИ ВЫРОЖДЕНИИ АТОМНЫХ УРОВНЕЙ
Специальность: 01.04.02 – теоретическая физика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Санкт - Петербург
2012
Работа выполнена на кафедре теоретической физики и астрономии федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Российский государственный педагогический университет им. А. И. Герцена»
Научный руководитель
доктор физико-математических наук, доцент
Трошин Александр Сергеевич
профессор кафедры теоретической физики и
астрономии Российского государственного
педагогического университета им. А. И.
Герцена
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор
Соколов Игорь Михайлович
профессор кафедры теоретической физики
Санкт-Петербургского государственного политехнического университета;
доктор физико-математических наук
Козлов Виктор Викторович
доцент кафедры общей физики-1 СанктПетербургского государственного университета
Ведущая организация:
Казанский физико-технический институт
Казанского НЦ РАН
Защита состоится «____» _______ 2012 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 212.199.21 на базе Российского государственного педагогического университета имени А. И. Герцена по адресу: 191186,
Санкт-Петербург, наб. реки Мойки, 48, корпус 3, ауд. 52.
С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Российского
государственного
педагогического
университета
имени
А. И. Герцена, 191186, Санкт-Петербург, наб. реки Мойки, 48, корпус 5.
Автореферат разослан «___»____________2012 г.
Ученый секретарь Совета
кандидат физико-математических
наук, доцент
Н.И. Анисимова
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность исследования. Исследование нелинейных оптических эффектов, возникающих при резонансном взаимодействии лазерного излучения с ансамблями атомов в условиях электромагнитно индуцированной прозрачности, представляет собой интенсивно развивающуюся область современной физики, находящую применение в прецизионных
измерениях, оптической связи, теории обработки информации, а также
являющуюся основой для создания новых типов оптоэлектронных приборов, оптической памяти.
Экспериментальная реализация бозе-эйнштейновского конденсата разреженных паров щелочных металлов с помощью лазерного и испарительного охлаждения сделала возможным изучение новых эффектов когерентного взаимодействия электромагнитного излучения с веществом при
предельно низких температурах. В экспериментах были изучены особенности усиления и рассеяния света в атомарных бозе-конденсатах, значительное сокращение групповой скорости световых импульсов, обратное
когерентное рассеяние и др. Теоретический анализ экспериментально обнаруженных эффектов, исследование новых эффектов, связанных с когерентным преобразованием световых импульсов, в настоящее время представляет собой актуальную задачу.
Объектом исследования являются нелинейные оптические системы,
а предметом исследования – динамические эффекты, возникающие при
взаимодействии когерентного излучения и вещества.
Целью настоящей работы является исследование эффекта электромагнитно индуцированной прозрачности (ЭИП) при резонансном взаи-
–3–
модействии лазерного излучения с холодными атомарными газами при
вырождении актуальных атомных уровней. Были поставлены следующие
задачи:
1. Проанализировать динамику индуцированной поляризованности и населенностей подуровней сверхтонкой структуры для различных значений
квантового числа углового момента F при сохранении вырождения уровней энергии.
2. Выяснить особенности нелинейного взаимодействия световых импульсов, обусловленные вырождением уровней, установить возможность и эффективность проявления ЭИП.
3. Исследовать эффекты записи, хранения и воспроизведения пробного
импульса для различных схем с вырождением уровней. Определить схемы и методы возбуждения, обеспечивающие наименьшую групповую скорость распространения пробного импульса в среде.
4. Исследовать эффекты записи, хранения и воспроизведения двух пробных импульсов при наличии одного управляющего поля в схемах с вырождением уровней.
5. Исследовать возможность управляемого изменения очередности импульсов при их воспроизведении.
6. Проанализировать возможности создания двух и более копий пробного
импульса.
Достоверность и научная обоснованность результатов и выводов
диссертации обеспечиваются четкой формулировкой поставленных задач
и физических условий, последовательным использованием надежных методов теории резонансного взаимодействия электромагнитного излучения
с атомами, сопоставлением предельных частных случаев с более ранними
–4–
результатами других авторов, а также, где это возможно, сопоставлением
полученных расчетных и имеющихся экспериментальных данных.
Научная новизна полученных результатов.
В диссертации для холодных атомарных газов щелочных металлов
получены следующие результаты:
1. Установлено посредством качественного анализа и прямого численного
решения полной системы уравнений полуклассического подхода, что при
вырождении по проекции MF полного углового момента F атома все
связанные с ЭИП эффекты реализуются во всех рассмотренных схемах,
кроме двух, но предваряются (подготавливаются) перезаселением состояний (оптической накачкой).
2. Показано, что при учете вырождения подуровней сверхтонкой структуры можно выделить три группы схем атомных переходов, в которых
эффект ЭИП проявляется с разной степенью эффективности, вплоть до
исчезновения эффекта.
3. Предложен и проанализирован метод записи, хранения и воспроизведения одновременно для двух пробных импульсов в триподной атомной
схеме, построенной на вырожденных подуровнях сверхтонкой структуры
в условиях ЭИП.
4. Предложен и проанализирован метод изменения очередности двух пробных импульсов в процессе их воспроизведения при вырождении атомных
уровней в условиях ЭИП.
5. Предложен и проанализирован метод, позволяющий в условиях ЭИП в
атомных схемах с вырождением получить на выходе из среды две копии
вошедшего пробного импульса, при том, что сам импульс рассеивается
средой.
–5–
Основные положения, выносимые на защиту.
1. При сохранении вырождения подуровней сверхтонкой структуры после вхождения в среду интенсивного управляющего светового импульса и
процесса установления (перезаселения квантовых состояний) возникают
условия проявления эффектов, связанных с ЭИП: значительного сокращения групповой скорости пробного импульса, сохранения фазовой памяти атомов, генерации атомарной средой импульсов, аналогичных пробному, после “темных“ пауз [7].
2. Эффективное сокращение групповой скорости световых импульсов при
формировании области электромагнитно индуцированной прозрачности
существенно зависит от кратностей вырождения уровней используемой
атомной схемы и длительности пробного импульса (в любом случае — превышающей время жизни возбужденных состояний). Минимальная групповая скорость достижима, если кратность вырождения возбужденного
уровня меньше или равна кратности основного; в противоположном случае фактически не достигаются условия электромагнитно индуцированной прозрачности и сильного снижения групповой скорости (переходный
процесс завершается перезаселением состояний и возможным простветлением среды) [1 — 4, 7].
3. Эффект электромагнитно индуцированной прозрачности и связанные с
ним возможности записи, хранения и воспроизведения пробного импульса
проявляются в триподной атомной конфигурации одновременно для двух
пробных импульсов [5].
4. В условиях электромагнитно индуцированной прозрачности в триподной атомной схеме существует метод изменения очередности выхода двух
пробных импульсов, вошедших в среду [7].
–6–
5. В условиях электромагнитно индуцированной прозрачности в триподной атомной схеме существует метод получения двух копий пробного импульса, при этом данный исходный импульс рассеивается средой [6].
Практическая значимость исследования заключается в следующем:
1. Предложен и проанализирован эффект записи, хранения и воспроизведения одновременно двух пробных импульсов в условиях электромагнитно индуцированной прозрачности. Даннные результаты могут быть
использованы для реализации многомодовых ячеек памяти.
2. Предложены и проанализированы эффект изменения последовательности воспроизведения двух импульсов в условиях электромагнитно индуцированной прозрачности и эффект получения двух копий пробного импульса в условиях электромагнитно индуцированной прозрачности. Данные результаты могут быть использованы в схемах преобразования и оптической задержки импульсов в устройствах квантовой информации.
Теоретическая значимость результатов, обобщенных в диссертации: фундаментальными методами полуклассической теории взаимодействия света с веществом детально исследованы особенности взаимодействия нескольких мод электромагнитного поля с холодными атомами щелочных металлов, обусловленные вырождением энергетических уровней;
для ряда схем уровней и переходов, различных типов поляризации сета
найдены количественные характеристики ЭИП, замедления и управляемого воспроизведения световых импульсов.
Апробация работы. По материалам диссертации сделаны доклады
на следующих конференциях и семинарах: IV Международная конференция Фундаментальные проблемы оптики“ (Санкт-Петербург, 2007 г.); X
”
–7–
Международные чтения по квантовой оптике (Самара, 2007 г.); XI Международная научная школа Когерентная оптика и оптическая спектро”
скопия“ (Казань, 2007 г.); V Международная конференция Фундамен”
тальные проблемы оптики“ (Санкт-Петербург, 2008 г.); Мемориальный
семинар памяти Д.Н.Клышко (Москва, 2009 г.); IX Международный симпозиум по фотонному эхо и когерентной спектроскопии (Казань, 2009 г.);
Ecole Predoctorale de Physique des Houches Ultracold Atoms, Metrology
”
and Quantum Optics“ (Лез Уш, Франция, 2010 г.); VI Международная конференция Фундаментальные проблемы оптики“ (Санкт-Петербург, 2010
”
г.); XI Международные чтения по квантовой оптике (Волгоград, 2011 г.);
XV Международная научная молодежная школа Когерентная оптика и
”
оптическая спектроскопия“ (Казань, 2011 г.); а также на городском межвузовском семинаре по квантовой оптике при РГПУ им А. И. Герцена.
Публикации: по теме диссертации опубликовано 7 работ, в том числе
статей в научных журналах - 4, в сборниках материалов конференций -3.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и двух приложений.
Работа изложена на 120 страницах машинописного текста, содержит 67
рисунков. Библиография содержит 100 наименований.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснованы выбор темы и актуальность исследования,
сформулированы цель работы, научная новизна полученных результатов,
практическая значимость работы и основные положения, выносимые на
защиту.
В первой главе “Электромагнитно индуцированная прозрачность.
–8–
Полуклассическая теория“ рассмотрены основы полуклассической теории резонансного взаимодействия когерентного излучения с ансамблем
атомов и применение этой теории к описанию эффекта электромагнитно
индуцированной прозрачности.
В основу полуклассической теории положен квантово-механический
подход для описания вещества и использование уравнений классической
электродинамики для описания поля излучения. Необходимость учета релаксационных процессов обуславливает применение аппарата матрицы
плотности. Рассматривая разреженные атомарные газы, охлажденные до
температуры, близкой к началу бозе-эйнштейновской конденсации, мы
в данной работе учитываем лишь радиационную релаксацию (спонтанное испускание). Резонансный характер когерентных процессов позволяет применить приближение медленно меняющихся амплитуд. Приведем
здесь систему самосогласованных уравнений Максвелла-Блоха, основную
для исходной, наиболее простой модели, применяемой в теории ЭИП ( Λ схема, три невырожденных уровня, управляющая световая волна резонансна переходу 2 ↔ 3 , спектрально узкий пробный импульс — переходу
1 ↔ 3 ; уровень 1 — основной):
x
Ep (x, t) = Ep (t) + i4 π No ℘p
ρ31 (x , t)dx ,
(1)
0
x
Ec (x, t) = Eco + i4 π No ℘c
ρ32 (x , t)dx ,
0
ρ˙ 11 = γ11 ρ33 + [iΩp ρ31 − c.c.]
ρ˙ 22 = γ22 ρ33 + [iΩc ρ32 − c.c.]
–9–
(2)
ρ˙ 33 = −γ33 ρ33 + [(iΩc ρ∗32 + iΩp ρ∗31 ) − c.c.]
ρ˙ 21 = −γ21 ρ21 + iΩc ρ31 − iΩp ρ∗32
ρ˙ 31 = −γ31 ρ31 + iΩc ρ21 + iΩp (ρ11 − ρ33 )
ρ˙ 32 = −γ32 ρ32 + iΩp ρ∗21 + iΩc (ρ22 − ρ33 ), Ωp,c =
℘p,c Ep,c
,
2
где Ωp,c — модифицированные частоты Раби, γik — релаксационные константы, ℘p,c — дипольный момент перехода, Ep,c — напряженность поля
излучения, No — концентрация атомов.
Во второй главе “Электромагнитно индуцированная прозрачность
в двухуровневых схемах с вырождением“ рассмотрен эффект ЭИП для
двухуровневых атомных схем с различной кратностью вырождения верхнего и нижнего уровней. На основе сверхтонкой структуры D2 линии натрия были исследованы шесть атомных схем, показанные на рис. 1. Для
каждой из них получена система уравнений Максвелла-Блоха, аналогичная системе (1), (2). В эффекте ЭИП используются два квазимонохроматических циркулярно поляризованных импульса: управляющий Ec и
более слабый пробный Ep , противоположных спиральностей. Так, для
определенности, примем, что управляющий левой круговой поляризации,
а пробный правой. В соответствии с таким обозначением и правилами отбора были сформированы указанные выше схемы.
Исследование эффекта проводилось двумя способами. Полагая, что
воздействие одной квазимонохроматической управляющей световой волны не сопровождается никакими когерентными осцилляциями населенностей, на основе полученных уравнений фон Неймана, была определена в
стандартном смысле характеристика линейного отклика среды на ожидаемое слабое возмущение ( Ep ). Другими словами, из уравнений для каж– 10 –
32P 3/2
32S 1/2
32P
F=0
Ep
Ec
А
mF=-2
|12〉
mF=0
|4〉
|3〉
|2〉
|1〉
mF=-1
|7〉
mF=0
|5〉
mF=+1
|4〉
32S 1/2
mF=-2
|8〉
Ec
|2〉
|1〉
mF=-1
|7〉
mF=0
|6〉
mF=+1
|5〉
Ec
F=1
|5〉
mF=-2
F=1
mF=+1
|8〉
mF=+2
|7〉
|4〉
mF=-1
32P 3/2
|1〉
mF=+1
|3〉
mF=0
|2〉
mF=+1
|1〉
mF=+2
mF=-1
|8〉
mF=0
|7〉
mF=+1
|6〉
Ec
F=2
mF=+2
|4〉
Ep
|2〉
mF=0
mF=0
|9〉
32S 1/2
F=2
32P 3/2
Д
F=1
mF=+2
|6〉
Ec
Ep
|3〉
|3〉
mF=-1
mF=-1
|10〉
Ep
3/2
В
mF=-2
|11〉
|4〉
mF=-2
|10〉
mF=-1
|9〉
|3〉
mF=0
|8〉
|2〉
mF=+1
|7〉
Ec
32S 1/2
|5〉
mF=-2
F=1
Г
|1〉
mF=+2
|6〉
Ep
|4〉
mF=-1
|3〉
mF=0
|2〉
mF=+1
Б
F=2
Ep
|5〉
F=3
|1〉
mF=+2
F=2
F=2
Е
F=2
Рис. 1: Атомные схемы, построенные на вырожденных подуровнях сверхтонкой структуры D2 линии атома Na: А – Λ -схема, Б – W 3V -схема, В
– Λ V-схема, Г – M Λ -схема, Д – W V -схема, Е – M W -схема
дой из схем, аналогичных (2), была найдена линейная поляризованность
и далее показатели поглощения и преломления. На рис. 2 приведены результаты расчета показателя преломления для четырех схем: Λ , M Λ ,
Λ V и MW. Видно, что хотя ход кривой дисперсии является достаточно
крутым для всех четырех схем, но, следуя выражению для групповой скоdn
рости ( vg = c/(n+ω dω
),
n = 1+4πReχ ), где Reχ — вещественная часть
линейной восприимчивости, наименьшую скорость будет иметь пробный
импульс, распространяющийся через среду из атомов с M Λ -схемой.
Подтверждением полученных результатов стали аналогичные результаты численных расчетов взаимодействия двухмодового поля с протяженной средой на основе уравнений Максвелла-Блоха для каждой из рассмат– 11 –
ReΧ
150000
100000
50000
1.0
0.5
Δ
0.5
Δ
1.0
50000
100000
150000
Рис. 2: Резонансная часть показателя преломления Re χ(∆), γe ∆ = ν −
ωat , γe−1 – время жизни возб. сост.: длинный штрих – M Λ -схема, средний
штрих – MW-схема, короткий штрих – Λ V-схема, сплошная – Λ -схема.
риваемой конфигурации переходов. Получены зависимости интенсивности поля и элементов матрицы плотности от времени и координаты. Из
них видно, что в схемах, имеющих кратность вырождения верхнего уровня больше, чем нижнего, эффект ЭИП не возникает. Это связано с оптической накачкой, которую производит управляющее поле. В результате
атомная схема, обладающая несколькими переходами, трансформируется
в двухуровневую.
В третьей главе “Управление световыми импульсами в условиях
электромагнитно индуцированной прозрачности при вырождении уровней“ представлены результаты трех предложеных и исследованных эффектов, связанных с преобразованием световых импульсов в условиях
ЭИП. Первые два параграфа этой главы посвящены исследованию записи, хранения и воспроизведения пробных импульсов. Пусть в протяженной среде холодного атомарного газа щелочного металла слабый пробный
импульс имеет, например, гауссообразную формую. Теперь, если адиабатически выключить управляющее поле в тот момент, когда пробный им– 12 –
пульс вошел в среду, но еще не вышел из нее целиком, то в эффект ЭИП
исчезнет, и не вышедшая часть пробного импульса рассеется в среде. Наступает "темная пауза". Однако в Λ -схеме, в присутствии обоих полей,
формируется зеемановская (рис. 1А) когерентность (элемент ρ31 матрицы плотности), величина которой пропорциона интенсивности пробного
поля. Таким образом, ансамбль холодных атомов отображает форму проходящего сквозь него пробного импульса, а во время темной паузы ее хранит. Длительность темной паузы меньше чем время жизни зеемановской
когерентности. Тогда после повторного включения управляющего поля,
среда генерирует “сохраненную“ часть пробного импульса.
В §3.2 предложена атомная схема записи, хранения и воспроизведения одновременно двух импульсов. Используется триподная схема (3А);
управляющее поле имеет линейную поляризацию, а два пробных импульса — круговую, противоположных спиральностей. Показано, что во время
темной паузы ансамблем атомов храниться информация сразу о двух импульсах, при этом они имеют различные формы. Для такой же триподной
Б
mF=0
|4〉
E с2
mF=0
|4〉
32P 3/2 F=0
E с1
Ep2
|2〉
mF=0
E p1
Eс
Ep
|3〉
mF=-1
А
|1〉
mF=+1
32S 1/2 F=1
|3〉
mF=-1
|2〉
mF=0
|1〉
mF=+1
Рис. 3: Триподные атомные схемы: А – два пробных поля и одно управляющее, Б – два управляющих поля и одно пробное.
конфигурации в § 3.3 показан метод перестановки на выходе двух последовательно вошедших в среду пробных импульсов. В триподной схеме
– 13 –
(рис. 3Б) используются два управляющих импульса с циркулярной поляризацией, противоположных спиральностей Ec1 и Ec2 , и два линейно
поляризованных пробных импульса Ep1 и Ep2 . Суть метода сводится к
следующим операциям: 1) включают поле Ec1 , и в среду посылается пробный импульс Ep1 ; 2) когда импульс Ep1 уже весь вошел в среду, но еще
не начал из нее выходить, поле Ec1 адиабатически выключают; в среде, в зеемановской когерентности ρ21 , сохранена информация о первом
пробном импульсе Ep1 ; 3) включают поле Ec2 . В среду посылается импульс Ep2 , который в режиме ЭИП выходит из нее; 4) управляющее поле
Ec2 выключают; 5) адиабатически включают поле Ec1 ; среда генерирует
импульс Ep1 .
В § 3.4 представлен метод, позволяющий создать две копии вошедшего
пробного импульса. Используется триподная схема (рис. 3Б). Включаются
оба управляющих поля. В среду посылается пробный импульс, информация о котором, после адиабатического выключения сразу двух управравляющих импульсов, записывается в ансамбле атомов. Так как управляющих полей два, то формируется сразу две зеемановских когерентности.
Далее включается сперва первое управляющее поле Ec1 и среда генерирует одну копию пробного импульса. Затем его выключают и включают
второе Ec2 , и средой генерируется вторая копия.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Основные результаты и выводы диссертации состоят в следующем:
1. Фундаментальными методами полуклассической теории взаимодействия
света с веществом детально исследованы особенности взаимодействия нескольких мод электромагнитного поля поля с холодными атомами щелочных
металлов, обусловленные вырождением энергетических уровней. Теоре– 14 –
тически исследованы эффект электромагнитно индуцированной прозрачности прозрачности и медленного света, а также связанного с ними эффекты записи, хранения и воспроизведения пробного импульса, в случае
вырождения атомных уровней при различной кратности вырождения.
2. Предложены и проанализированы эффект изменения последовательности воспроизведения двух импульсов в условиях ЭИП и эффект получения двух копий пробного импульса в условиях ЭИП. Данные результаты
могут быть использованы в устройствах преобразования.
3. Предложен и проанализирован эффект записи, хранения и воспроизведения одновременно двух пробных импульсов в условиях ЭИП. Даннные
результаты могут быть использованы для реализации многомодовых ячеек памяти.
Основное содержание и результаты исследования отражены
в следующих публикациях соискателя:
1. Лосев А.С., Трошин А.С. К теории эффектов, связанных с электромагнитно-индуцированной прозрачностью: композиция λ - и V-схем //Физический вестник. Сборник научных статей. 2007. Вып.1. С.9-17. (0.562
п.л./0.281 п.л.)
2. Лосев А.С., Трошин А.С., Васильев Н.А. Эффект электромагнитноиндуцированной прозрачности и сокращение групповой скорости света в
вырожденных двухуровневых атомах //Когерентная оптика и оптическая
спектроскопия. Сборник статей. 2007. Вып.11. С.102-105. (0.25 п.л./0.083
п.л.)
3. Лосев А.С., Трошин А.С. Электромагнитно-индуцированная прозрачность и преобразование импульсов в схемах с вырожденными уровнями
//Материалы международной конф. “ФПО - 2008“. 2008. С.29-31. (0.187
– 15 –
п.л./0.093 п.л.)
4. Losev A.S., Troshin A.S., Vasil’ev N.A. To the theory of effects
associated with electromagnetically induced transparency: composition of A- and V-types //Proceedings of SPIE. 2008. V.7024.
P.70240B. (0.625 п.л./0.208 п.л.)
5. Лосев А.С., Трошин А.С. Воспроизведение сложных оптических импульсов различной поляризации при электромагнитноиндуцированной прозрачности //Ученые записки Казанского
университета. Физ.-мат. науки. 2010. Т.152. Кн.2. C.119-126. (0.5
п.л./0.25 п.л.)
6. Лосев А.С., Трошин А.С. Оптическая ориентация, Электромагнитноиндуцируемая прозрачность и варианты управления световыми импульсами при вырождении уровней //Материалы VI Международной конференции Фундаментальные проблемы оптики - 2010“. 2010. С.129-132.
”
(0.187 п.л./0.093 п.л.)
7. Лосев А.С., Трошин А.С. Варианты управления световыми
импульсами в условиях электромагнитно-индуцированной прозрачности при вырождении уровней //Опт. спектр. 2011. Т.110.
№ 1. С.71-77. (0.5 п.л./0.25 п.л.)
Личный вклад автора в получении представленных в диссертации
научных результатов состоит в том, что им проанализированы публикации по теме исследования, предложены ранее не изученные другими авторами схемы эффективной реализации ЭИП, разработаны алгоритмы,
составлены программы и проведены аналитические и численные расчеты.
Совместно с научным руководителем выбраны объект и предмет исследования, определены методы решения, проведен анализ результатов.
– 16 –
Документ
Категория
Физико-математические науки
Просмотров
21
Размер файла
411 Кб
Теги
кандидатская
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа