close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Конструктивное мышление

код для вставкиСкачать
Конструктивні задачі як засіб розвитку творчого мислення учнів у процесі навчання геометрії
Геометричні властивості фігур та їх
елементів, що застосовуються при
розв’язуванні конструктивних задач
Загальні властивості площ фігур
1) Рівні фігури мають рівні
площі
Если F1=F2, то SF1=SF2
F1, F2 - рівновеликі фігури
2) Площа фігури дорівнює сумі
площ фігур, з яких вона
складається
S ф S1 S 2
Медіана трикутника поділяє його на дві рівновеликі частини
AD - медіана
S ABC S ABD S ADC
Нехай М – довільна точка сторони АС
трикутника ABC, тоді
S ABM
S MBC
AM
MC
Бісектриса кута трикутника поділяє його площу на
частини, які пропорційні прилеглим сторонам кута
S ABD
S ADC
AB
AC
Площі трикутників зі спільною основою відносяться
як висоти, що проведені до основи
S ABC
S ADC
BK
DM
У трикутнику точка перетину медіан з'єднана з
вершинами. Площа кожного з отриманих трикутників
складає третю частину площі даного трикутника
S AOB S BOC S AOC 1
3
S ABC
Відношення площ подібних трикутників (фігур) дорівнює
квадрату коефіцієнта подібності
ABC ~ MBN
S ABC
S MBN
k
2
Середні лінії трикутника поділяють його на чотири
рівних трикутника (на чотири рівновеликих трикутника)
S1 S2 S3 S4
Діагоналі паралелограма поділяють його на чотири
трикутника з рівними площами
S1 S2 S3 S4
Середини сторін будь-якого чотирикутника є
вершинами паралелограма, периметр якого дорівнює
сумі діагоналей чотирикутника
KMNP - паралелограм
PKMNP
AC BD
Пряма, що перетинає протилежні сторони
паралелограма і проходить через точку перетину
утворює пари рівних трикутників
1 2 ; S1 S2
3 4 ; S3 S4
Якщо паралелограм і трикутник мають спільну основу і
висоту, то площа паралелограма в 2 рази більше площі
трикутника
S AKD 1
2
S ABCD
S ABCD 2 S AKD
ABCD – паралелограм
M, K, N, P – середини сторін паралелограма АВСD
MKNP – паралелограм
S ABCD 2 S MKNP
Точка М - середина сторони квадрата ABCD.
Площа заштрихованої частини дорівнює
7см2. Знайти площу квадрата.
Розв’язок:
Додаткова побудова:
АС – діагональ. ∆ABC, АМ – медіана.
S ABM S AMC , S ABC 2 S ABM
S ABCD 2 S ABC 2 2 S ABM 4 S ABM
S ABCD 4 7 28 ( см ).
2
Відповідь:
S ABCD 28 см .
2
Задачі на готових кресленнях
Знайти площу Х
2
1
Х 7 кв . од .
Х S DBC 2 S BDE 2 6 12 кв . од . Знайти відношення площ S1 : S2
Дано: ABDC - паралелограм
44
3
S ABD S BDC , S AED S DEC
S1
S2
1
3
S 1 S ABD S AED , S 2 S BDC S DEC
S1 S2 ,
S1
S2
1
Одна зі сторін трикутника дорівнює 20
см, а медіани, проведені до двох інших
сторін рівні 18 см і 24 см. Знайти площу
трикутника.
Розв’язок:
1) AOC
AO : AC 20 см .
2
AD 3
СO 2
p СK p ( p AC )( p AO )( p CO ) .
20 16 12
24 ( см ).
2
S AOC 2) S
24 ( 24 20 )( 24 12 )( 24 16 ) 96 ( см ).
2
3 S AOC 3 96 288 ( см ).
2
ABC
Відповідь:
S ABC 288 см .
2
18 12 ( см ).
3
3
S AOC 2
2
3
24 16 ( см ).
У рівнобедреному трикутнику основа
дорівнює 66 см. Бісектриса кута при
основі ділить бічну сторону на відрізки
5:6, починаючи від вершини. Знайдіть
площі частин трикутника, на які ділить
його бісектриса.
Розв’язок:
1) За властивістю бісектриси трикутника
АВ
AC
11 х
66
BD
, AB BC BD DC 5 6 11 частин
CD
5х
6х
; 11 х 6 66 5 ; х 5 см .
АВ BC 11 5 55 ( c м ).
2) Знайдемо площу трикутника ABC за
формулою Герона
p 55 2 66
2
S 176
88 ( c м ).
2
88 ( 88 55 )( 88 55 )( 88 66 ) 88 33 33 22 33
4 22 22 33 22 2 1452 ( см ).
2
3) За властивістю бісектриси трикутника
S ABD
S ADC
3)
5
6
; S ABD 5
11
S ABC S ADC S ABC S ABD 1452
Відповідь:
5 1452
5 132 660 ( см ).
2
11
660 792 ( см ).
2
S ABD 660 см , S ADC 792 см .
2
2
MK - середня лінія трикутника ABC.
Площа трикутника ABC дорівнює 20 см2.
Знайдіть площу чотирикутника ABMK.
Розв’язок:
1) MK || AB за властивістю середньої
лінії трикутника
MKC
AB : KM
~ BAC ,
2 k.
S BAC : S MKC k
2)
S ABMK
2
4 . S MKC 20 : 4 5 ( см ).
2
S BAC S MKC 20 5 15 ( см ).
Відповідь:
2
S ABMK 15 см .
2
ABCD – трапеція.
Знайти: S1:S2.
Розв’язок:
BEC
k BE
DE
~ DEA
1
2
.
по двум равным углам.
S1 : S2 k
2
1
4
.
У прямокутнику ABCD прямі m і n
проходять через точку перетину
діагоналей. Площа фігури, яка
складається з трьох зафарбованих
трикутників, дорівнює 12 см2.
Обчисліть площу прямокутника ABCD.
Розв’язок:
S AOD 12 см , S ABCD 4 S AOD 4 12 48 ( см )
2
Відповідь:
2
S ABCD 48 см .
2
На малюнку зображений
прямокутник ABCD і рівносторонній
трикутник ABK, периметри яких
відповідно дорівнюють 20 см і
12 см. Знайдіть периметр
п'ятикутника AKBCD.
Розв’язок:
AB 1
12 4 ( см )
∆ABK - рівносторонній
3
P AKBCD
P ABCD P ABK 2 AB 20 12 2 4 24 ( см ).
Відповідь:
P AKBCD
24 см .
На малюнку зображений квадрат ABCD і
трикутник BKC, периметри яких відповідно
дорівнюють 24 см і 20 см. Знайдіть
периметр п'ятикутника ABKCD.
Розв’язок:
BС 1
24 6 ( см ) , ABСD – квадрат
4
P ABKCD
P ABCD PBK С 2 B С 24 20 2 6 32 ( см ).
Відповідь:
P ABKCD
32 см .
У чотирикутнику діагоналі
рівні 8 см і 5 см. Знайдіть
периметр чотирикутника,
вершинами якого є
середини сторін даного
чотирикутника.
Розв’язок:
ABСD – паралелограм
P ABCD 8 5 13 ( см ).
Відповідь:
P ABCD 13 см .
Точка K лежить на стороні
DC паралелограма ABCD.
Відомо, що кут AKB
прямий, АК = 8 см,
KB = 5 см. Знайдіть площу
паралелограма.
Розв’язок:
S AKB 1
AK KB 2
1
8 5 20 ( см ).
2
2
S AB СB 2 S AKB 2 20 40 ( см ).
2
Відповідь:
S ABCD 40 см .
2
Дано: ABCD – трапеція
Знайти: S1:S2.
Розв’язок: S ABD S ACD
як площі трикутників зі
спільною основою AD та
висотою h.
S 1 S ABD S AED
S 2 S ACD S AED
S 1 S 2 , отже ,
S1 : S 2 1.
Знайти: S1:S2.
Розв’язок: додаткові побудови KN, NP – середні лінії
трикутника, отже, S1:S2=1:3.
№256 Геометрія, 10 клас, Бевз Г.П, та ін.,
профільний рівень
В трикутнику ABC через точку М – середину сторони АВ –
проведена площина α, α||BC, α AC = N. Знайдіть: а) ВС, якщо
MN=a; б) SBMNC:SMAN.
1 ) ( ABC ) MN , BC ( ABC ), BC ,
BC || MN ;
2 ) ABC , MN середня
MN 1
лінія ,
BC , BC 2 MN 2 a ;
2
3 ) S BMNC : S MAN 3 : 1 .
З циліндра виточений конус так, що його основа збігається з
однією з основ циліндра, а вершина з центром іншої основи
циліндра. Знайдіть відношення об'єму сточеної частини циліндра
до об'єму конуса.
Розв’язок:
V конуса 1
3
V цилиндра
V об ' єм сточеної
V V цил V кон V : V кон 2
3
V цил :
2
3
1
3
частини
V цил .
V цил 2 : 1
циліндра
.
Об’єм куба ABCDA1B1C1D1
дорівнює 216 см3. Знайдіть
об’єм піраміди D1ACD.
Розв’язок:
V ACDA
1C 1 D 1
3 V D
V куба 2 V ACDA
V куба 6 V D
VD
1
ACD
1
6
V куба ; V D
Відповідь:
VD
1
ACD
1
216 36 ( см ).
3
6
36 см .
3
1 ACD
1
1C 1 D 1
1 ACD
;
ACD
;
;
У посудину циліндричної форми,
наповненою водою доверху,
поклали металеву кулю, що
дотикається дна і стінок. Визначте
відношення об'єму води, яка
залишилася в посудині, до об'єму
води, яка вилилася.
Розв’язок:
V1 – об’єм води, що залишилась;
V2 – об’єм води, яка вилилась.
V 1 V цил V кулі .
2
V1 R 2 R 2
4
3
4
V 2 V кулі R
3
2
3
R ;
3
V1
V2
3
4
3
R
R
3
3
R
3
3
2
4
1
2
.
№16. П. 19 Многогранники. Геометрія,
Погорєлов О.В.
У правильній чотирикутній призмі
через середини двох суміжних
сторін основи проведена площина,
яка перетинає три бокових ребра і
нахилена до площини основи під
кутом α. Сторона основи дорівнює
a. Знайдіть площу отриманого
перетину.
Розв’язок: ортогональною проекцією перетину KMNPL на
площину основи є п’ятикутник ABCMK.
S ABCMK
S сеч S ABCD S KDM a 2
S ABCMK
cos 7a
2
8 cos .
1
8
a
2
7
8
2
a .
Автор
gii64
Документ
Категория
Методические пособия
Просмотров
308
Размер файла
1 053 Кб
Теги
мышление, конструктивное
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа