close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Математическое моделирование электрогидродинамических поверхностных волн в жидкостях на пористой среде

код для вставкиСкачать
ФИО соискателя: Миронова Светлана Михайловна Шифр научной специальности: 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Шифр диссертационного совета: Д 212.117.14 Название организации: Мордовский государственный униве
На правах рукописи
МИРОНОВА СВЕТЛАНА МИХАЙЛОВНА
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН В
ЖИДКОСТЯХ НА ПОРИСТОЙ СРЕДЕ
Специальность 05.13.18 – математическое моделирование, численные методы и
комплексы программ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Саранск – 2012
1
Работа выполнена на кафедре математики ФГБОУ ВПО «Мордовский
государственный педагогический институт имени М. Е. Евсевьева»
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук, профессор
Тактаров Николай Григорьевич
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, профессор
Логинов Борис Владимирович
доктор физико-математических наук, профессор
Перегудин Сергей Иванович
Ведущая организация:
ФБГОУ ВПО
университет»
«Тюменский
государственный
Защита состоится 27 апреля 2012 г. в 1400 часов на заседании диссертационного
совета Д 212.117.14 при ФГБОУ ВПО «Мордовский государственный
университет имени Н. П. Огарева» по адресу: 430005, г. Саранск, пр. Ленина,
15, корп. 3, ауд. 110.
С
диссертацией
можно
ФГБОУ ВПО «Мордовский
Н. П. Огарева».
ознакомиться
в
государственный
научной
библиотеке
университет
имени
Отзывы на автореферат просим направлять по адресу: 430005, г. Саранск,
ул. Большевистская, 68, ФГБОУ ВПО
«Мордовский государственный
университет имени Н. П. Огарева», диссертационный совет Д 212.117.14.
Автореферат разослан «__» _______ 2012 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета Д 212.117.14
доктор физико-математических наук,
профессор
Н. Д. Кузьмичев
2
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена исследованию
распространения поверхностных волн в жидкостях, взаимодействующих с
электрическим полем и граничащих со слоем пористой среды. Исследование
поверхностных волн в жидкости, граничащей с пористой средой, представляет
большой интерес для изучения природных явлений, а также во многих
технологических процессах.
Волновые явления чрезвычайно широко распространены в природе и
часто используются во многих технических устройствах и технологических
процессах.
Большой
интерес
представляют
волны
в
средах,
взаимодействующих с электрическим полем, в связи с различными
практическими применениями. Эффекты, возникающие в жидких средах,
взаимодействующих с электрическим полем, часто встречаются также во
многих природных процессах, в частности, связанных с движением грунтовых
вод, а также различных биологических жидкостей в живых организмах.
Основными характеристиками распространения поверхностных волн являются
частота и коэффициент затухания колебаний волны, в связи с этим в
диссертации особое внимание уделено изучению именно этих величин.
Как известно, поверхностные волны произвольного вида могут быть
представлены в виде рядов или интегралов Фурье от гармонических
составляющих. В связи с этим, исследование волн может быть сведено к
изучению более простых, гармонических волн. Именно эти волны
рассматриваются в диссертации.
Раздел
гидродинамики,
изучающий
движение
жидких
сред,
взаимодействующих с электрическим полем, называется электрогидродинамикой
(ЭГД). Специфика электрических сил в ЭГД состоит в том, что они дают
возможность управлять движением жидкости, в частности, влиять на характер
распространения поверхностных волн.Развитие гидродинамики жидких сред,
взаимодействующих с электрическим полем, стимулируется в большой степени
задачами управления поведением жидкостей в состоянии невесомости.
Цель диссертационной работы
Построение и исследование математических моделей распространения
поверхностных волн в жидкостях, взаимодействующих с электрическим полем
и находящихся на пористой среде. В соответствии с поставленной целью было
необходимо решить следующие задачи:
1) построитьи
численно
исследовать
математическую
модель
распространения поверхностных волн в диэлектрических жидкостях,
взаимодействующих с электрическим полем и находящихся на
пористой среде;
2) построитьи
численно
исследовать
математическую
модель
распространения поверхностных волн в электропроводных жидкостях
с поверхностным зарядом, находящихся на пористой среде;
3
3) построитьи
численно
исследовать
математическую
модель
распространения поверхностных волн на заряженной поверхности
цилиндрического столба проводящей жидкости, окружающей длинное
пористое ядро;
4) построить математическую модельстоячих волн на поверхности слоя
жидкости, находящейся на пористом основании в полости, имеющей
форму прямого кругового цилиндра;
5) построить математическую модель стоячих волн в жидкости на
пористой среде в полости, имеющей форму прямоугольного
параллелепипеда;
6) разработать численный метод и соответствующий программный
комплекс,
позволяющие
исследовать
поведение
решений
дисперсионного уравнения, описывающего распространение волны.
Методы
исследования.Работа
носит
теоретический
характер,
основанный на использовании различных математических методов: метод
разделения переменных для решения уравнений в частных производных,
методы теории функций комплексной переменной, методы решения
обыкновенных дифференциальных уравнений.Для исследования поведения
решений
дисперсионного
уравнения
использовалсякомбинированный
численный метод, основывающийся на методе половинного деления и
модифицированном методе Ньютона. Численные расчеты проводились при
помощи разработанных программ на языке Delphi.
Научная новизна.Все основные результаты диссертации являются
новыми. В диссертации впервые проведено исследование распространения
волн в жидкостях с различными электрическими свойствами на пористой среде
в электрическом поле. Этот вопрос имеет как самостоятельный научный
интерес, являясь разделом механики и прикладной математики, так и в связи с
разнообразными практическими приложениями, в частности, в химической
технологии, экологии и геофизике. Основные результаты диссертации
заключаются в следующем:
1. Впервые построена и численно исследована математическая модель
распространения поверхностных волн в диэлектрических жидкостях,
взаимодействующих с электрическим полем и находящихся на
пористой среде.
2. Получено и численно исследовано дисперсионное уравнение,
описывающее распространение поверхностных волн в диэлектрических
жидкостях, взаимодействующих с поперечным к поверхности жидкости
электрическим полем и находящихся на пористой среде. Исследовано
влияние электрического поля на коэффициент затухания и частоту
колебаний волны. Установлено, что с увеличением напряженности
электрического поля при фиксированных прочих параметрах
увеличиваются коэффициент затухания волны и частота волны.
Установлено также, что с ростом волнового числа (уменьшения длины
волны) коэффициент затухания сначала возрастает, а затем, по достижении
4
максимального значения, убывает. При этом с ростом толщины
свободного слоя жидкости значения коэффициента затухания волны
уменьшаются, а значения частоты волны увеличиваются при
фиксированных значениях прочих параметров. Частота волны с ростом
волнового числа возрастает при каждом фиксированном значении
толщины слоя свободной жидкости.С ростом пористости значения
коэффициента затухания волнысначала возрастают, а по достижении точки
максимума, убывают. С ростом пористости частота волны возрастает при
фиксированных значениях толщины слоя свободной жидкости.
3. Численно исследовано дисперсионное уравнение для поверхностных
волн в диэлектрических жидкостях на пористой среде в продольном к
поверхности жидкости электрическом поле. Установлено, что
зависимость коэффициента затухания волны и частоты колебаний
волны от параметров, входящих в дисперсионное уравнение,
аналогична случаю поперечного поля. Отличие состоит в немного
меньших значениях коэффициента затухания и частоты волны при
возрастании напряженности электрического поляи фиксированных
значениях прочих параметров.
4. Впервые построена и численно исследована математическая модель
распространения поверхностных волн в проводящих жидкостях,
взаимодействующих с электрическим полем и находящихся на
пористой среде.
5. Получено и численно исследовано дисперсионное уравнение,
описывающее распространение поверхностных волн в проводящих
жидкостях, взаимодействующих с электрическим полем и находящихся на
пористой среде. Исследовано влияние поля на коэффициент затухания и
частоту колебаний волны. Установлено, что с увеличением напряженности
электрического поля при постоянных прочих параметрах уменьшается
коэффициент затухания волны и частота волны. С ростом волнового числа
(уменьшения длины волны) монотонно увеличиваются значения
коэффициента затухания волны при фиксированном значении толщины
пористого слоя. Частота волны с ростом волнового числа возрастает при
фиксированном значении толщины слоя свободной жидкости. При
увеличении толщины пористого слоя значения коэффициента затухания
волны увеличиваются при каждом фиксированном значении волнового
числа; при увеличении толщины слоя свободной жидкости значения
частоты волны увеличиваются при каждом фиксированном значении
волнового числа.
6. Впервые решена задача о распространении и неустойчивости волн на
заряженной поверхности цилиндрического столба электропроводной
жидкости, окружающей длинное пористое ядро. С использованием
численных методов было найдено, что в области существования волн
частота увеличивается, а коэффициент затухания уменьшается с
увеличением радиуса жидкого столба при каждом заданном значении
5
волнового числа и зафиксированных значениях прочих параметров. С
ростом волнового числа значения коэффициента затухания волны при
каждом заданном значении радиуса пористого ядра сначала резко
возрастают, а затем монотонно убывают. Частота волны меняется очень
слабо при изменении радиуса пористого ядра. С ростом радиуса жидкого
столба максимальные значения коэффициента затухания волны
уменьшаются. При каждом заданном значении волнового числа частота
волны увеличивается с ростом радиуса жидкого столба. С ростом
волнового числа значения частоты волны увеличиваются. Показано, что с
ростом напряженности электрического поля максимальные значения
коэффициента затуханий волны уменьшаются при каждом фиксированном
значении волнового числа. С ростом напряженности электрического поля
значения частоты волны уменьшаются. Показано, что при
затухание возмущений сильнее, а частота
волны больше, чем при
при каждом заданном
и одинаковых значениях прочих
параметров. При
движение является апериодическим, с сильным
затуханием всех возмущений.
7. Впервые построена математическая модельстоячих волн на
поверхности слоя жидкости, находящейся на пористом основании в
полости, имеющей форму прямого кругового цилиндра.
8. Впервые построена математическая модель стоячих волн в жидкости на
пористой среде в полости, имеющей форму прямоугольного
параллелепипеда.
9. Для исследования поведения решений дисперсионных уравнений
разработан специальный численный метод и соответствующий
программный комплекс.
Практическая значимость.Результаты проведенных исследований
имеют самостоятельный научный интерес, являясь разделами гидродинамики,
а, кроме того, могут быть использованы для изучения некоторых природных
явлений, а также для расчета различных технических устройств и
технологических
процессов,
в
которых
используются
жидкости,
взаимодействующие с электрическим полем. Например, в аппаратах
химической технологии, в устройствах транспортирования диэлектрических
жидкостей по трубам и каналам, в особенности в условиях невесомости.
Электрическое распыление жидкости широко используется во многих
отраслях
промышленности.
Процессы
распыления
основаны
на
гидродинамической неустойчивости волн, распространяющихся на свободной
поверхности жидкости.
В последнее время обнаружились новые способы интенсификации
движения в диэлектрических жидкостях с использованием электрического
поля. Значение этого обстоятельства особенно велико в связи с тем, что
электрическое поле позволяет управлять процессом движения жидкости даже в
условиях невесомости.
6
Достоверность научных положений диссертации обеспечивается
использованием известных уравнений Дарси движения жидкостей в пористых
средах и других уравнений гидродинамики, уравнений Максвелла в
электрогидродинамическом
приближении,
применением
известных
математических методов (включая численные методы), а также тем, что из
полученных в диссертации результатов следуют как частные случаи
результаты, полученные ранее в предположении отсутствия электрического
поля и пористой среды.
В частности, из полученных результатов при условии, что толщина слоя
пористой среды стремится к нулю, как частный случай следуют известные
ранее результаты по распространению поверхностных волн на твердом
непроницаемом основании. Для волн, распространяющихся по поверхности
жидкого цилиндра при отсутствии электрического поля, как частный случай
следует результат Релея о волнах на поверхности жидкой струи.
Основные научные положения, выносимые на защиту:
1. Построение и численное исследование математической модели
распространения поверхностных волн в диэлектрических жидкостях в
поперечном электрическом поле, находящихся на пористой среде.
Дисперсионное уравнение для поверхностных волн. Зависимость
частоты и коэффициента затухания волны от волнового числа. С
увеличением напряженности электрического поля возрастают частота
колебаний и коэффициент затухания волны. Частота волны
увеличивается с увеличением пористости, а коэффициент затухания
сначала возрастает, а по достижении максимума, убывает. С ростом
толщины пористого слоя коэффициент затухания уменьшается, а
частотаволны возрастает при фиксированных значениях прочих
параметров.
2. Численное исследование распространения поверхностных волн на
поверхности диэлектрической жидкостив продольном электрическом
поле, находящейся на пористой среде. Дисперсионное уравнение для
поверхностных волн. Установлено, что зависимость коэффициента
затухания волны и частоты волны от параметров, входящих в
дисперсионное уравнение, аналогична случаю для поперечного поля.
Отличие состоит в немного меньших значениях коэффициента
затухания и частоты волны при возрастании напряженности
электрического поляи фиксированных значениях прочих параметров.
3. Построение и численное исследование математической модели
распространения поверхностных волн в проводящих жидкостях в
электрическом поле, находящихся на пористой среде. Дисперсионное
уравнение для поверхностных волн. С увеличением напряженности
электрического поля при постоянных прочих параметрах уменьшаются
коэффициент затухания и частота волны. С ростом волнового числа
(уменьшения длины волны) монотонно увеличивается коэффициент
затухания волны при фиксированном значении толщины пористого
7
слоя. Частота волны с ростом волнового числа возрастает при
фиксированном значении толщины слоя свободной жидкости. При
увеличении толщины пористого слоя коэффициент затухания волны
увеличивается при каждом фиксированном значении волнового числа;
при увеличении толщины слоя свободной жидкости частотаволны
увеличивается при каждом фиксированном значении волнового числа.
4. Построение
и
численное
исследование
математической
моделираспространения и неустойчивости волн на заряженной
поверхности цилиндрического столба жидкости, окружающей длинное
пористое ядро. Частота волны увеличивается с ростом волнового числа,
а коэффициент затухания сначала резко возрастает, а по достижении
максимума – монотонно убывает. С ростом напряженности
электрического поля частота волны и коэффициент затухания
уменьшаются. С увеличением радиуса пористой среды частота волны
изменяется слабо, а коэффициент затухания увеличивается.
5. Построениематематической моделистоячих волн на поверхности слоя
жидкости, находящейся на пористом основании в полости, имеющей
форму прямого кругового цилиндра.
6. Построение математической моделистоячихволн в слое жидкости на
пористом основании в полости, имеющей форму прямоугольного
параллелепипеда.
7. Численный метод, разработанный для исследования поведения
решений дисперсионного уравнения в зависимости от значений
параметров задачи.
8. Программный комплекс, разработанный для решения поставленных задач:
две программы, написанные на языке Delphi, для численного
расчета распространения волн на поверхности поляризующейся
жидкости на пористом основании для случаев поперечного и
продольного электрического поля;
программа, написанная на языке Delphi, для численного расчета
распространения волн на заряженной поверхности жидкого
проводника на пористом основании;
программа, написанная на языкеDelphi, для численного расчета
распространения поверхностных волн на заряженной поверхности
цилиндрического столба жидкости, окружающей длинное пористое
ядро.
Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались
на следующих научных мероприятиях:Международная научная конференция
«Приоритетные направления развития науки, технологий и техники», 20–27
ноября 2009 г., г. Шарм-Эль-Шейх, Египет;Международная научная
конференция «Современные наукоемкие технологии», 10–17 апреля 2010 г,
г. Тель-Авив, Израиль;Всероссийская научно-практическая конференция «46-е
Евсевьевские чтения», 20 мая 2010, г. Саранск;Третья научно-практическая
региональная конференция «Современные проблемы математического и
8
информационного моделирования. Перспективы разработки и внедрения
инновационных IT-решений», 14–15 апреля 2010 г., г. Тюмень;Седьмая
Всероссийская конференция с международным участием «Математическое
моделирование и краевые задачи», 3–6 июня 2010 г, г. Самара;Всероссийская
научно-практическая конференция «Актуальные проблемы механики,
математики, информатики», 12–15 октября 2010 г., г. Пермь;Восьмая
Всероссийская конференция с международным участием «Математическое
моделирование
и
краевые
задачи»,
15–17
сентября
2011 г.,
г. Самара;X Всероссийский
съезд
по
фундаментальным
проблемам
теоретической и прикладной механики, 24–30 августа 2011 г., г. Нижний
Новгород;Всероссийская с международным участием научно-практическая
конференция «Математика и математическое моделирование», 13–14 октября
2011 г., г. Саранск;II Всероссийская молодежная научная конференция
«Современные проблемы математики и механики», 12–14 октября 2011 г., г.
Томск.
Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 14
публикациях, список которых приведен в конце автореферата.
Личный вклад.Личный вклад автора в работе заключается в участии в
разработке методов и подходов исследования, в решении поставленных задач, а
также в аналитическом исследовании полученных результатов. Численный
анализ проведен автором самостоятельно.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из
введения, 4-х глав, заключения, шести приложений, содержит 194 страницы
машинописного текста, включая 41 рисунок. Список использованных
источников состоит из 146 наименований.
Работа проведена при финансовой поддержке Минобрнауки РФ в рамках
проектов «Построение математических моделей поверхностных волн в
жидкостях» (гос. контракт № П695 от 20 мая 2010 года) и «Описание волновых
процессов методами гомологической алгебры и алгебраической топологии»
(гос. контракт № П1113 от 02 июня 2010 года) ФЦП «Научные и научнопедагогические кадры инновационной России» на 2009–2013 годы.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной
работы, формулируются цель и задачи исследования, дается литературный
обзор работ, относящихся к теме диссертационного исследования, научная
новизна и практическая значимость работы, описываются используемые
методы теоретического исследования, а также основные положения,
выносимые на защиту.
В первой главе диссертации приведены общие уравнения гидродинамики, а
также граничные условия для электрических и гидродинамических величин. Затем
ставится задача о распространении волн на поверхности жидкого диэлектрика с
постоянной диэлектрической проницаемостью, находящегося на слое
9
диэлектрической пористой среды, насыщенной жидкостью с плотностью .
Систему координат выбираем так, что ось Oz направлена вертикально вверх против
вектора ̅ ускорения свободного падения;
– твердая поверхность,
ограничивающая снизу пористый слой
;
– поверхность
раздела пористого слояcпористостью
и свободной жидкости;
–
невозмущенная свободная поверхность слоя жидкости, занимающей область
. Над поверхностью жидкости находится среда пренебрежимо малой
плотности (атмосфера). Номерами 1, 2, 3 обозначаются в необходимых случаях
величины, относящиеся соответственно к пористой среде, свободной жидкости и
атмосфере.
Записываются уравнения движения жидкости в пористой среде, в слое
свободной жидкости, а также уравнения для электрического поля в областях 1,
2, 3 и соответствующие граничные условия.
Решенияуравнений ищутся в виде бегущих затухающих волн:
,
,
,
где ,
,
– амплитуды;
,
– компоненты волнового вектора
̅
̅
̅ ;
;
, – коэффициент затухания колебаний
волны (β ≥ 0), – частота колебаний волны.
Во второй главе получено дисперсионное уравнение (1) для декремента
волны, действительная и мнимая части которого дают выражения для
коэффициента затухания и частоты волны. Рассмотрен частный случай
бесконечной толщины пористой среды в связи с громоздкостью вычислений в
общем случае:
(
)
(*
+
)
,
(1)
где
;
;
;
;
;
.
Здесь – вязкость, K – коэффициент проницаемости, – коэффициент
√
поверхностного натяжения,
, (i = 1, 2, 3) – диэлектрическая
проницаемость, – напряженность электрического поля.
10
Решение дисперсионного уравнения, дающее значения
и
,
осуществлялось комбинированным численным методом, основывающемся на
методе половинного деления и модифицированном методе Ньютона.
Идея численного метода состоит в следующем. Рассмотрим уравнение
, где функция
непрерывна на [a, b] и
.Чтобы найти
корни этого уравнения, содержащиеся на отрезке
, разделим его пополам.
Если ( )
, то
– корень уравнения. Если ( )
, то возьмем
ту из половин *
+ или *
+, на концах которой функция
принимает
противоположные знаки. Полученный отрезок
снова разделим пополам
и повторяем те же вычисления. Таким образом, на некотором этапе вычислений
получим или точный корень уравнения, или бесконечную последовательность
вложенных друг в друга отрезков
таких, что выполняется
и
.
(2)
В соответствии с (2) существует общий предел
,
являющийсякорнем уравнения
.
Метод половинного деления дает в общем случае грубое значение корня
уравнения (2). Для уточнения этого корня воспользуемся модифицированным
методом Ньютона, состоящим в следующем. Если производная
меняется
мало на
, то в формуле
обычного метода Ньютона (метода касательных) можно принять:
.
Тогда для нахождения
последовательные приближения:
корня
(3)
уравнения
получим
.
На основе данного комбинированного численного метода были написаны
программы на языке Delphiдля исследования различных дисперсионных
уравнений, рассматриваемых в диссертации.
Программа
для
исследования
дисперсионного
уравнения
(1)приведенавПриложении 3к диссертации.
11
На рисунке 1 приведена зависимость коэффициента затухания волны от
напряженности электрического поля. Показано, что с ростом напряженности
возрастают значения коэффициента .
Наличие слоя свободной жидкости оказывает значительное влияние на
коэффициент затухания: с ростом слоя
значения уменьшаются.
Рис. 1: Зависимость коэффициента затухания
волны
от напряженности электрического
поля
. Волновое число k = 0,006
.
Толщина слоя жидкости равна 100 см.
Рис. 2: Зависимость коэффициента затухания
от пористости
. Кривые, обозначенные
номерами 1–5, рассчитаны соответственно для
значений толщины слоя свободной жидкости
100, 150, 200, 250, 300 см. Напряженность
электрического поля зафиксирована и равна 20
ед. СГС. Волновое число равно 0,004
.
Влияние пористости на видно из рисунка 2. С ростом пористости
величина
сначала возрастает, а
по достижении точки максимума,
убывает. При сравнении нескольких
графиков заметно, что точка
максимума смещается влево при
увеличении
толщины
слоя
жидкости.
Найдена также зависимость
частоты волны от напряженности
электрического
поля
(Рис. 3).
Рис. 3: зависимость частоты волны
от
Показано, что значения
с ростом
напряженности электрического поля
при
толщины слоя свободной жидкости
и толщине слоя свободной
увеличиваются. С ростом пористости
жидкости 100 см.
увеличивается частота колебаний
⁄ возрастает частота волны
волны. С уменьшениемдлины волны
В случае малой толщины слоя жидкости используем зависимость
⁄
, при этом предполагаем, что
. В связи с этим
дисперсионное уравнение (1) преобразуетсяк виду:
12
(
)
*
(
;
)+
(4)
где
;
;
;
.
Рис. 4: Зависимость коэффициента затухания
волны
от напряженности электрического
поля
при =0,02
. Номерами 1–5
обозначены
кривые,
рассчитанные
соответственно для значений , равных 0,5;
1; 1,5; 2; 2,5 см.
Рис. 5 :Зависимость частоты волны
напряженности электрического поля
k=0,02
и
см.
от
при
На рисунке 4 представлена зависимость коэффициента затухания волны
от напряженности электрического поля. Номерами 1–5 обозначены кривые,
рассчитанные соответственно для значений толщины слоя свободной жидкости,
равной 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5 см. Из рисунка 4 видно, что с ростом напряженности
электрического поля возрастает коэффициент затухания волны .
Показано, что изменение толщины слоя свободной жидкости в пределах
0,5
2,5 см слабо влияет на коэффициент затухания при фиксированном
значении =20 ед. СГС.
На рисунке 5 представлена зависимость частоты волны от напряженности
электрического поля . С ростом возрастает частота волны .
При подробном исследовании было установлено, что с ростом толщины
слоя свободной жидкости частота волны увеличивается.С ростом волнового
числа частота колебанийтакже увеличивается.
В случае продольного приложенного электрического поля, т. е.
,
(i=1, 2, 3),
причем
,
также
будем
предполагать, что слой пористой среды имеет бесконечную толщину (
).
13
Дисперсионное уравнение для поверхностных волн при этом примет вид:
(
)
*(
)
+
,
(5)
где
;
;
;
(
)(
);
;
.
Программа
для
исследования
дисперсионного
уравнения
(5)приведенавПриложении 4.
На рисунке 6 представлена зависимость коэффициента затухания волны от
волнового числа . Из рисунка 6 видно, что при каждой фиксированной толщине
слоя и значении , при увеличении значения вначале возрастают, а затем, по
достижении максимума, убывают. Чем меньше
, тем круче график
зависимости
на участке роста. Точка максимума каждой кривой сдвигается
влево при увеличении толщины слоя свободной жидкости.
Рис. 6 : Зависимость коэффициента затухания
волны от волнового числа . Номерами 1–5
обозначены кривые, рассчитанные для
значений , равных 100, 150, 200, 250, 300
см соответственно.
Рис. 7 :Зависимость частоты волны от
значения пористости при
ед. СГС
и
= 100 см. Номерами 1–5 обозначены
кривые, рассчитанные для волнового числа
, равного соответственно: 0,01; 0,02; 0,03;
0,04; 0,05
.
С увеличением напряженности увеличивается и коэффициент затухания.
При более подробном изучении данных графиков было установлено, что с
увеличением толщины слоя свободной жидкости значения
уменьшаются при
каждом фиксированном значении
(при фиксированных значениях волнового
числа k=0,006
и толщины слоя свободной жидкости , равной 100 см).
14
На рисунке 7приведена зависимость частоты волны от пористости. Из
рисунка 7 видно, что с ростом пористости частота волны
возрастает. С
ростом волнового числа (уменьшении длины волны) увеличиваются значения
при каждом фиксированном значении .
Частота волны увеличивается с ростом напряженности электрического
поля. При подробном исследовании было установлено, что с ростом толщины
слоя свободной жидкости увеличиваются значения частоты колебаний волны
при каждом фиксированном .
В случае малой толщины слоя жидкости, т. е. при ⁄
,
дисперсионное уравнение (5) принимает следующий вид:
(
)
*(
)
;
+
(6)
где
;
;
(
)
;
.
На рисунке 8 представлена зависимость частоты волны
от волнового
числа .С ростом толщины слоя свободной жидкости
при каждом
фиксированном значении волнового числа увеличиваются значения .С ростом
напряженности электрического поля возрастают значения частоты колебаний
волны . При подробном исследовании было установлено, что с ростом
толщины слоя свободной жидкости значения частоты волны также
увеличиваются.
Рис. 8 : Зависимость частоты волны
от
волнового числа
при =20 ед. СГС.
Номерами 1–5 обозначены кривые,
рассчитанные для значений , равных
соответственно 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5 см.
15
Рис. 9 : Зависимость коэффициента
затухания волны
от напряженности
электрического поля
при =0,02
.
Номерами 1–5 обозначены кривые,
рассчитанные
соответственно
для
значений , равных 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5 см.
На рисунке 9 представлена зависимость коэффициента затухания волны
от напряженности электрического поля .Из рисунка 9 видно, что с ростом
возрастают значения .
С ростом толщины слоя свободной жидкости значения уменьшаются
при каждом фиксированном .
Изменение толщины слоя свободной жидкости в пределах 0,5
2,5 см
слабо влияет на коэффициент затухания
при фиксированном значении
электрического поля =20 ед. СГС.
Втретьей главе диссертации построена и исследована модель
распространения поверхностных волн по заряженной поверхности жидкого
проводника. Проводящая жидкость находится на недеформируемом пористом
слое. Пористая среда ограничена снизу сплошным твердым электропроводным
основанием (дном).
Декартова система координат Oxyz выбрана так же, как и в гл. 1.
Величины, относящиеся к пористой среде, жидкости и атмосфере, обозначаются
в необходимых случаях номерами 1, 2 и 3 соответственно.
Записываются уравнения движения электропроводной жидкости в
пористой среде при условии ̅
, уравнения движения свободной жидкости
при отсутствии электрического поля,уравнения для электрического поля в
атмосфере. Затем записываются граничные условия на поверхностях раздела и
на свободной поверхности жидкости.
Решения уравнений ищутся в виде бегущих затухающих волн:
,
,
.
Полученное дисперсионное уравнение рассматривается для упрощения
вычисленийв случаебесконечной толщины слоя воздуха :
(
)
(
)
(7)
где
(
|
|),
,
,
,
.
Здесь – диэлектрическая проницаемость.
Программа для исследования дисперсионного уравнения (7) приведена в
Приложении 5.
2
Конкретные числовые расчеты велись для жидкого натрия при
температуре
с параметрами:
,
. Значения
брались в промежутке от 0 до 50 ед. СГС
(1 ед. СГС = 300
). Принимаем, что
в атмосфере.
Рассмотрены следующие частые случаи:
1)
,
;
2)
,
.
Впервом случае коэффициенты дисперсионного уравнения (7)
принимают вид:
,
,
,
,
.
Рис. 10 : Зависимость коэффициента
затухания
от
напряженности
электрического поля при
,
,
.
Рис. 11 : Зависимость частоты
от
напряженности электрического поля
при
,
,
.
На рисунке 10 приведена зависимость коэффициента затухания
от
напряженности электрического поля .Из рисунка10 видно, что с увеличением
значения коэффициента затухания волны уменьшаются.
При более подробном исследовании было установлено, что при
увеличении толщины пористого слоя
значения
увеличиваются, а при
увеличении толщины слоя свободной жидкости
значения
уменьшаются
при каждом фиксированном значении .
На рисунке 11 представлена зависимость частоты волны от
напряженности электрического поля . Видно, что с ростом значения частоты
уменьшаются.При более подробном исследовании было установлено, что
изменение
практически не влияет на , при увеличении
значения
увеличиваются (при заданных , ).
Во втором случае(
,
) коэффициенты дисперсионного
уравнения (7) принимают вид:
,
,
,
,
17
.
На рисунке 12 представлена зависимость коэффициента затухания
от
волнового числа . Из рисунка 12 видно, что с ростом увеличиваются значения .
При увеличении толщины слоя свободной жидкости (
)
увеличиваются значения
при каждом фиксированном значении . Изменения
толщины пористого слоя
слабо влияют на значения . С увеличением
коэффициент уменьшается.
Рис. 12 : Зависимость коэффициента
затухания от волнового числа. Номерами 1–5
обозначены
кривые,
рассчитанные
соответственно для значений : 1; 2; 3; 4; 5
см. Толщина слоя пористой среды бралась
как функция от
в виде:
;
ед. СГС.
Рис. 13 : Зависимость частоты колебаний
волны от волнового числа . Номерами 1–
5 обозначены кривые, рассчитанные
соответственно для значений : 1; 2; 3; 4; 5
см. Толщина пористой среды бралась в виде:
;
ед. СГС.
На рисунке 13 представлена зависимость частоты волны от волнового
числа .Видно, что с ростом волнового числа увеличивается частота волны .
C ростом толщины свободного слоя жидкости при каждом фиксированном
увеличиваются значения .Изменения толщины пористого слоя
слабо
влияют на значения частоты .
В четвертой главе диссертации построена и исследована математическая
модель распространения и неустойчивости волн на заряженной поверхности
цилиндрического столба электропроводной жидкости, окружающей длинное
пористое ядро. Задача решается в цилиндрической системе координат (
), в
которой жидкий столб покоится. Ось Oz направлена по оси пористого
цилиндра. Радиус пористого цилиндра, невозмущенной поверхности жидкости
и внешнего электрода обозначим
и b соответственно.
Записываются уравнения движения электропроводной жидкости в
пористой среде при условии ̅
, уравнения движения свободной жидкости
при отсутствии электрического поля, и в предположении, что амплитуда волны
значительно меньше ее длины;уравнения для электрического поля в воздухе.
Затем
записывается
система
граничных
и
дополнительных
условий.Решенияуравнений ищутся в виде бегущих затухающих волн
18
̂}
̂
{
} {̂
̂
Здесь, например,
̂
, где ̂
– амплитуда;
– волновое число; – длина волны;
;
,
–
частота,
– коэффициент, который может быть как положительным (при
затухании возмущения), так и отрицательным (при неустойчивости, приводящей к
нарастанию возмущения).
Получено дисперсионное уравнение для поверхностных волн, кубическое
относительно :
,
(8)
где
;
;
;
;
*
+
, (m=0, 1, 2, …),
и
– модифицированные функции Бесселя первого и второго рода порядка m,
– напряженность электрического поля, – диэлектрическая проницаемость
воздуха.
Программа для исследования дисперсионного уравнения (8) приведена в
Приложении 6.
Конкретные числовые расчеты с дисперсионным уравнением (8)
проводились для следующих значений параметров:
,
,
,
,
,
,
,
ед.
СГС (1 ед. СГС = 300 вольт/см).
Для симметричных возмущений (
) и значений
,
,
ед. СГС интервал
делится критической
точкой
, которая находится из условия
(здесь
–
дискриминант соответствующего кубического уравнения),на два интервала. В
интервале
волны отсутствуют: происходит нарастание возмущений
. Амплитуда растет с наибольшей скоростью при некотором
.
Размер образующихся при распаде жидкого столба капель равен
.
При
движение жидкости замедляется, т. е.
,
.В
интервале
существуют затухающие
волны.
При
ед. СГС, когда
, появляются две критические точки
и
(
). При этом для
и
существуют
затухающие волны, а в интервале
происходит апериодическое
19
движение с нарастающей амплитудой, приводящее к образованию капель. При
ед. СГС выполняется неравенство
, следовательно, в
промежутке
остается одна критическая точка.
В таблице приведены значения
и
в зависимости от
для
,
,
. При
ед. СГС даны два значения (
–
первая строка,
– вторая строка).
Таблица 1 –Значения волновых чисел
напряженности электрического поля
0
0.909
5
0.915
10
0.934
15
0.968
20
1.024
25
1.112
30
1.246
0.634
0.640
0.653
0.681
0.730
0.800
0.900
и
в зависимости от
, при a= 0,1 см, =1,1 см, m=0
35
0.046
1.444
1.100
40
0.145
1.722
1.300
45
0.233
50
0.299
1.520
1.830
На рисунке14приведены графики зависимостей частоты
от волнового
числа
Номерами 1–5 обозначены кривые, рассчитанные для
ед. СГС соответственно. Ветви графиков с номером 5 при
ед. СГС для промежутка
(
– первая
критическая точка) не показаны.
Из рисунка 14 видно, что с ростом увеличиваются значения частоты
волны. С ростом напряженности электрического поля
значения
уменьшаются при каждом фиксированном .
Рис. 14: Зависимость частоты
числа , при
; = 0,1 см,
от волнового
=1,1 см.
Рис. 15 : Зависимость коэффициента затухания
от волнового числа при
;
0,1 см,
=1,1 см.
На рисунке 15 представлена зависимость коэффициента затухания от
волнового числа при
. Номерами 1–5 обозначены кривые, рассчитанные
соответственно для
ед. СГС. Из рисунке15 видно, что с
ростом коэффициент затухания волны сначала резко возрастает, а затем, по
достижении максимума, монотонно убывает. Отметим, что с ростом
максимальные значения уменьшаются.
С ростом волнового числа значения при каждом заданном
сначала
увеличиваются, а затем монотонно убывают.
20
При увеличении волнового числа значения
при каждом заданном
сначала резко возрастают, а затем монотонно убывают.
Частота волны меняется очень слабо при изменении .
В приложении 1построена математическая модель стоячих волн на
поверхности слоя жидкости, находящейся на пористом основании в полости,
имеющей прямого кругового цилиндра радиуса L, ось которого совпадает с
осью Oz, направленной вертикально вверх против вектора ускорения
свободного падения ̅ .
Задача решается в цилиндрической системе координат
;
–
твердая поверхность (дно цилиндра), ограничивающая снизу слой пористой
среды, насыщенной жидкостью;
– поверхность раздела пористой среды и
слоя свободной жидкости;
– невозмущенная (плоская) свободная
поверхность жидкости, граничащей с атмосферой. Номерами 1 и 2 обозначены
(в необходимых случаях) величины, относящиеся к пористой среде (область 1)
и свободной жидкости (область 2).
Записаны уравнения движения жидкости в пористой среде, уравнения
движения свободной жидкости, а также система граничных условий.
Решения уравнений ищутся в виде стоячих затухающих волн:
̂
(
),
где ̂
– амплитуды потенциалов скорости
,
– декремент
волны, – коэффициент затухания волны, – частота волны.
Получено дисперсионное уравнение, устанавливающее связь между
декрементом волны и волновым числом:
*
+
*
(9)
+
.
Найдено уравнение свободной поверхности жидкости в данной
математической модели.
В приложении 2построена математическая модель стоячих волн в слое
жидкости на пористом основании в полости, имеющей форму прямоугольного
параллелепипеда.
Система координат:ось Oz направлена вертикально вверх против вектора
̅ ускорения свободного падения;
– твердая поверхность,
ограничивающая снизу пористый слой (
);
– поверхность
раздела пористого слоя и свободной жидкости;
– невозмущенная
свободная поверхность слоя жидкости, занимающей область
. Оси
Ox и Oy лежат на плоской поверхности раздела жидкости и пористой среды и
одновременно на двух боковых поверхностях параллелепипеда. Стенки
параллелепипеда описываются уравнениями:
,
;
,
. Над
поверхностью жидкости находится воздух. Номерами 1, 2 обозначаются
21
величины, относящиеся к пористой средеи свободной жидкости
соответственно.
Записываются уравнения движения жидкости в пористой среде,
уравнения движения в слое свободной жидкости; система граничных условий
на поверхностях раздела сред.
Решения ищем в виде стоячих затухающих волн:
̂
где ̂
– амплитуды потенциалов скорости ,
.
Дисперсионное уравнение, устанавливающее связь между декрементом
волны
и волновым числом, имеет тот же вид, что и для стоячих
волн в цилиндрической полости.
Найдено уравнение свободной поверхности жидкости в данном случае.
В приложении 3приведен текстпрограммы для численного исследования
математической
модели
распространения
поверхностных
волн
в
диэлектрических жидкостях, взаимодействующих с поперечным к поверхности
жидкости электрическим полем и находящихся на пористой среде.
В
приложении
4приведен
текстпрограммыдля
численного
исследованияматематической модели распространения поверхностных волн в
диэлектрических жидкостях на пористой среде в продольном к поверхности
жидкости электрическом поле.
В приложении 5 приведен текстпрограммы для численного
исследованияматематической модели распространения поверхностных волн в
проводящих жидкостях, взаимодействующих с электрическим полем и
находящихся на пористой среде.
В приложении 6 приведен текстпрограммы для численного
исследованияматематической моделираспространения волн на заряженной
поверхности
цилиндрического
столба
электропроводной
жидкости,
окружающей длинное пористое ядро.
Основные результаты диссертационной работы:
1. Построена и исследована математическая модель распространения
поверхностных
волн
в
диэлектрических
жидкостях,
взаимодействующих с электрическим полем и находящихся на
пористой среде;
2. Построена и исследована математическая модель распространения
поверхностных волн на поверхности электропроводной жидкости,
взаимодействующей с электрическим полем и находящейся на
пористой среде;
3. Построена и исследована математическая модель распространения и
неустойчивости волн на заряженной поверхности цилиндрического
столба жидкости, окружающей длинное пористое ядро;
22
4. Построена математическая модель стоячих волн на поверхности слоя
жидкости, находящейся на пористом основании в полости, имеющей
форму прямого кругового цилиндра;
5. Построена математическая модель стоячих волн в слое жидкости на
пористом основании в полости, имеющей форму прямоугольного
параллелепипеда;
6. Разработаны вычислительные алгоритмы и программный комплекс
для исследования дисперсионных уравнений, полученных при
решении каждой из вышеперечисленных задач;
7. Исследовано влияние различных параметров, входящих в
дисперсионные уравнения, на коэффициент затухания и частоту
волны.
ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК
1. Миронова, С. М. Математическое моделирование поверхностных
волн в слое жидкости с поверхностным зарядом на пористом
основании / С. М. Миронова, Н. Г. Тактаров // Известия высших
учебных
заведений.
Поволжский
регион.
–
Сер.физикоматематические науки – 2011. – № 2. – С. 41–48.
2. Тактаров, Н. Г. Моделирование поверхностных волн в слое жидкости
на пористом основании / Н. Г. Тактаров, С. М. Миронова // Вестник
Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. № 4. Часть 3. –
Н. Новгород : Изд-во ННГУ им. Н. И. Лобачевского, 2011. – С. 1163–
1164.
Публикации в прочих изданиях
1.
2.
3.
Миронова, С. М. Математическая модель распространения волн по
заряженной поверхности жидкого проводника на пористом
основании / С. М. Миронова // «Современные наукоемкие
технологии», научная международная конференция «Приоритетные
направления развития науки, технологий и техники», 20–27 ноября
2009 г. : [материалы]. / Академия Естествознания. – М., 2009. –
С. 46–47.
Миронова, С. М. Распространение поверхностных волн в слое
жидкого диэлектрика на пористом основании / С. М. Миронова //
Современные наукоемкие технологии. – 2009. – № 9. – С.138–141.
Миронова, С. М. Исследование стоячих волн в слое жидкости на
пористом основании в полости, имеющей форму параллелепипеда /
С. М. Миронова // «Современные проблемы математического и
информационного моделирования. Перспективы разработки и
23
4.
5.
6.
7.
8.
9.
внедрения инновационных IT-решений», третья научно-практическая
региональная
конференция
«Современные
проблемы
математического и информационного моделирования. Перспективы
разработки и внедрения инновационных IT-решений», 14–15 апреля
2010 г. : [материалы] / Издательство «Вектор Бук». – Тюмень, 2010. –
С. 176–180.
Миронова, С. М. Математическое моделирование стоячих волн в
слое жидкости на пористом основании в сосуде, имеющем форму
параллелепипеда / С. М. Миронова // «Современные наукоемкие
технологии», международная научная конференция «Современные
наукоемкие технологии», 10–17 апреля 2010 г. : [материалы] /
Академия Естествознания. – М., 2010. – С. 61–62.
Тактаров, Н. Г. Математическое моделирование волн в слое жидкого
диэлектрика на пористом основании / Н. Г. Тактаров, С. М. Миронова //
Вестник Мордовского университета. – Сер. Физико-математические
науки. – 2010. – №4. – С. 75–78.
Тактаров, Н. Г. Математическое моделирование волн на заряженной
поверхности жидкости, находящейся на пористой среде / Н. Г.
Тактаров, С. М. Миронова // «Математическое моделирование и
краевые задачи. Математические модели механики, прочности и
надежности элементов конструкций», седьмая Всероссийская
конференция с международным участием «Математическое
моделирование и краевые задачи», 3–6 июня 2010 г. : [материалы]. В
3 ч. Ч. 1. / СамГТУ. – Самара, 2010. – С. 365–367.
Тактаров, Н. Г. Математическое моделирование поверхностных волн
в слое электропроводной жидкости на пористом основании в
электрическом
поле /
Н. Г. Тактаров,
С. М. Миронова
//
Международный журнал экспериментального образования. – 2010. –
№2. – С. 8–14.
Тактаров, Н. Г. Моделирование стоячих волн в слое жидкости на
пористом основании в цилиндрической полости / Н. Г. Тактаров,
С. М. Миронова // «Актуальные проблемы механики, математики,
информатики», Всероссийская научно-практическая конференция
«Актуальные проблемы механики, математики, информатики», 12–15
октября 2010 г. : [материалы] / Перм. гос. ун-т. – Пермь, 2010. – С. 220.
Миронова, С. М. Математическое моделирование поверхностных волн в
жидком диэлектрике / С. М. Миронова // «Подготовка учителя
математики, физики, информатики в современных условиях»,
Всероссийская
научно-практическая
конференция
–
46-е
Евсевьевские чтения, посвященная году учителя «Подготовка
учителя математики, физики, информатики в современных
условиях», 19–20 мая 2010 г. : [материалы] / редкол.: С. М. Мумряева
(отв. ред) [и др.] ; Мордов. гос. пед. ин-т. – Саранск, 2011. – С. 55–58.
24
10. Миронова, С. М. Математическое моделирование поверхностных волн в
жидкости на пористом основании / С. М. Миронова // «Математическое
моделирование и краевые задачи. Математические модели механики,
прочности и надежности элементов конструкций», восьмая
Всероссийская
конференция
с
международным
участием
«Математическое моделирование и краевые задачи», 15–17 сентября
2011 г. : [материалы]. В 3 ч. Ч. 1. / СамГТУ. – Самара, 2011. – С. 76–79.
11. Миронова, С. М. Математическое моделирование стоячих волн в слое
жидкости в сосуде, имеющем форму параллелепипеда / С. М. Миронова
// «Современные проблемы математики и механики», II Всероссийская
молодежная научная конференция «Современные проблемы математики
и механики», 12–14 октября 2011 г. : [материалы]. – Томск, 2011. –
С. 264–268.
12. Миронова, С. М. Моделирование стоячих волн в слое жидкости в
сосуде, имеющем форму параллелепипеда на пористом основании /
С. М. Миронова // «Математика и математическое моделирование»,
Всероссийская научно-практическая конференция с международным
участием «Математика и математическое моделирование», 13–14
октября 2011 г. : [материалы]. – Саранск, 2011. – С. 234–236.
25
Подписано в печать 24.03.2012 г. Формат 60×84 1/16.
Печать ризография. Гарнитура TimesNewRoman.
Усл. печ. л. 7,4. Тираж 120 экз. Заказ № 38.
ФГБОУ ВПО «Мордовский государственный педагогический институт
имени М. Е. Евсевьева»
Редакционно-издательский центр
430007, г. Саранск, ул. Студенческая, д. 11а
26
Документ
Категория
Физико-математические науки
Просмотров
32
Размер файла
940 Кб
Теги
кандидатская
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа