close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Белокуров В. П. Гидравлика. Техническая механика жидкости

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Воронежская государственная лесотехническая академия
В.П. Белокуров
Г.А. Денисов
ГИДРАВЛИКА
Техническая механика жидкости
Учебное пособие
Воронеж 2002
УДК532
Б 43
Белокуров В.П. Гидравлика Техническая механика жидкости: Учеб. пособие /В.П. Белокуров, Г.А. Денисов. – Воронеж: Воронеж. гос. лесотехн.
акад., 2002. – 51с.
В учебном пособие в краткой форме изложены основные положения
статики, динамики и кинематики жидкого тела, рассмотрены вопросы расчета
основных факторов, характеризующих состояние жидкого тела и потери
энергии при его движении.
Предназначается для студентов технических специальностей.
Библиогр.: табл. 1. Ил. 26. 7 наим.
Печатается по решению редакционно-издательского совета ВГЛТА
Рецензенты: кафедра безопасности жизнедеятельности и научнотехнического прогресса ВМИПКППП;
доц. А.Ф. Брехов (ВГТА)
УДК 532
© Белокуров В.П., Денисов Г.А.,
2002
© Воронежская государственная
лесотехн. акад., 2002.
Учебное издание
Владимир Петрович Белокуров
Геннадий Александрович Денисов
ГИДРАВЛИКА
Техническая механика жидкости
Учебное пособие
Редактор А.В.Гладких
Подписано в печать15.12.02. Бумага писчая. Формат 60х84 1/16.Заказ №
Усл. печ.л. 2,96. Уч.-изд.л. 3,98. Тираж 500 экз.
Воронежская государственная лесотехническая академия
394613, г. Воронеж, ул. Тимирязева, 8
Типография Воронежского ЦНТИ
394730, г. Воронеж, пр-т Революции, 30
Оглавление
Введение ……………………………………………………………………...
1 Физические свойства жидкости. Классификация жидкости .…………………
2 Гидростатика ……………………………………………………………………...
2.1 Гидростатическое давление и его свойства …………………………………
2.2 Общие дифференциальные уравнения гидростатики ………………………
2.3 Основное уравнение гидростатики …………………………………………..
2.4 Классификация давлений …………………………………………………….
2.5 Единицы измерения давления ………………………………………………..
2.6 Приборы для измерения давления …………………………………………...
2.7 Пьезометрический и гидростатический напоры ……………………………
2.8 Закон Паскаля и его применение ………………………………………….…
2.9 Давление жидкости на плоские поверхности ………………………….……
2.10 Определение положения центра давления ……………………….………..
2.11 Давление жидкости на криволинейные поверхности ……………………..
2.12 Закон Архимеда …………………………………………………….………..
3 Гидродинамика …………………………………………………………………...
3.1 Основные понятия. Модель движения ………………………………………
3.2 Уравнение неразрывности потока …………………………………………...
3.3 Дифференциальные уравнения движения жидкости ……………………….
3.4 Удельная энергия движения жидкости ……………………………………...
3.5 Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости…...
3.6 Уравнение Бернулли для элементарной струйки вязкой жидкости………..
3.7 Уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости …………………………
3.8 Уклоны: геометрический, пьезометрический, гидравлический …………...
3.9 Основное уравнение равномерного движения жидкости. Формула Шези...
3.10 Два режима движения вязкой жидкости ……………………….
3.11 Ламинарный режим движения жидкости в трубах ………………………..
3.12 Турбулентный режим движения жидкости в трубах ……………………...
3.13 Коэффициент гидравлического трения …………………………………….
3.14 Местные потери напора ……………………………………………………..
3.15 Коэффициент сопротивления системы. Характеристика системы ………
3.16 Гидравлический расчет трубопроводов ……………………………………
3.17 Гидравлический удар в трубах ……………………………………………...
Библиографический список ………………………………………………...
Введение
Техническая механика жидкости (гидромеханика) – это наука, изучающая
законы равновесия, движения жидкости, взаимодействие жидкости с обтекаемыми ею или ограничивающими ее поверхностями.
Прикладную часть гидромеханики называют гидравликой.
Гидромеханика разделяется на статику жидкости (гидростатику) и динамику жидкости (гидродинамику), в которую может быть включена и кинематика жидкого тела.
Гидростатика изучает законы покоя, равновесия жидкости, законы распределения давления внутри жидкости, действие жидкости на погруженные в
нее тела.
Гидродинамика изучает законы движения жидкости в трубопроводах и
открытых потоках.
В гидравлике, в отличие от гидромеханики, решается «внутренняя» задача, а именно взаимодействие потока жидкости с ограждающими ее твердыми
стенками.
Гидромеханика является одной из старейших естественных наук. Ее развитие и становление связано, прежде всего, с использованием человеком воды
для бытового потребления, орошения, а также как носителя энергии и среды
водного транспорта.
Первым научным трудом в области гидромеханики принято считать
трактат Архимеда «О плавающих телах», написанный им за 250 лет до нашей
эры. Этим трудом было положено начало существованию известного закона
Архимеда, дошедшего до наших дней. В дальнейшем, на протяжении 17 веков
после Архимеда, не появилось ни одного научного труда, обобщающего накопленные практикой сведения о законах жидкости. И только в XV веке Леонардо
да Винчи написал исследование, которое было опубликовано лишь в начале
XX века, т.е. спустя 400 с лишним лет после смерти великого ученого. За это
время были выполнены работы, имевшие характер отдельных научных исследований такими учеными, как Стевин, Галилей, Торичелли, Паскаль, Ньютон.
В самостоятельную науку гидромеханика стала формироваться только в
XVIII веке после трудов академиков Российской Академии наук
М.В.Ломоносова, Д. Бернулли, Л.Эйлера, Ж. Д’ Аламбера. Ее стали рассматривать как область техники и начали преподавать в технических учебных заведениях. Большую роль в этом сыграли представители французской школы Пито,
Шези, Борда, Дюбуа. В XIX веке гидравлическое направление механики жидкости стало быстро развиваться во многих странах. В этот период в той или
иной мере были разработаны и решены многие теоретические и практические
вопросы современной гидромеханики. В стенах Петербургского института инженеров путей сообщения существовала единственная в то время гидравлическая школа России, где профессором П.И.Мельниковым был создан первый на
русском языке курс «Основания практической гидравлики» и организована в
1855 году первая в России учебная гидравлическая лаборатория.
В начале XX века ведущая роль от старой французской гидравлической
школы перешла к немецкой школе. Однако в 30-х годах в связи с планом электрификации ГОЭЛРО началось бурное развитие гидромеханики в России. Были
созданы крупные научно–исследовательские институты и лаборатории, началось строительство ГЭС и других гидротехнических сооружений. Отечественная гидромеханика выдвинулась на одно из первых мест в мире.
Весомый вклад в развитие гидромеханики внесли такие российские и советские
ученые,
как
Н.П.Петров,
Н.Е.Жуковский,
И.С.Громека,
М.А.Великанов, Б.А.Бахметьев, Н.Н. Павловский, Н.М. Бернадский, М.В. Келдыш, А.Н.Колмогоров, С.А.Христианович, С.С.Руднев, А.А.Ломакин и другие.
1 Физические свойства жидкости
Классификация жидкости
Жидкостью называют физическое тело, обладающее свойством текучести, т.е. способностью неограниченно изменять свою форму под действием
сколь угодно малых сил.
Жидкости делятся на капельные и газообразные. Капельная жидкость в
сосуде принимает его форму и образует свободную поверхность. Газообразная
жидкость принимает форму сосуда и заполняет весь его объем. Капельные
жидкости (вода, керосин, бензин, нефть, и др.) в состоянии невесомости образуют капли. Гидравлика занимается изучением капельных жидкостей, однако
ее основные законы можно применять и при изучении газов, находящихся в состоянии покоя или движущихся со скоростью до 100 м/с.
В дальнейшем под термином «жидкость» будем подразумевать главным
образом капельную жидкость, а также газообразную жидкость при малом изменении ее плотности.
Жидкости обладают рядом свойств, присущих всем физическим телам.
Плотность – это количество массы М, заключенное в единице объема W
однородного жидкого тела
ρ=
M
.
W
(1.1)
Единицей измерения плотности в системе СИ является кг/м3.
С ростом давления плотность жидкостей увеличивается, а при возрастании температуры, как правило, уменьшается.
Удельный вес – это вес единицы объема жидкости
γ =
G
.
W
(1.2)
Измеряется удельный вес в Н/м3. В случаях, когда единицей измерения
удельного веса является кгс/м3 (система МКГСС), численные значения плотности и удельного веса совпадают.
Между ρ и γ существует прямая взаимосвязь:
γ = ρg .
(1.3)
Следует отметить, что обычная пресная вода (речная, колодезная, водопроводная) за счет растворимых в ней различных веществ несколько тяжелее
дистиллированной воды. Однако это различие невелико. Поэтому в практике
гидравлических расчетов удельный вес пресной воды без существенной погрешности принимается равным удельному весу дистиллированной воды.
Сжимаемость – свойство жидкости изменять свой объем под действием
внешних сил. Несмотря на то, что подвижность молекул в жидкости велика,
жидкость удается заметно сжать только с помощью очень больших давлений.
Жидкости обладают ничтожной сжимаемостью. Характеризуется сжимаемость
жидкости коэффициентом объемного сжатия βс. Он представляет собой относительное уменьшение объема жидкости при повышении давления на одну
единицу. В качестве единицы давления в системе СИ принимается Н/м2, или
Па. Если W0 – начальный объем жидкого тела, ∆W – абсолютное уменьшение
объема жидкости и ∆р – полное приращение давления, то
βc =
∆W
W0∆ρ
.
(1.4)
Размерность коэффициента βс в системе СИ – м2/Н, или 1/Па.
Капельные жидкости в отличие от газов оказывают значительное сопротивление сжимающим силам и поэтому имеют очень малые значения коэффициента βс. Так для пресной воды βс = 2,06 ⋅ 10-9 м2/Н. По причине малости βс
жидкости считаются практически несжимаемыми и во многих инженерных
расчетах свойством сжимаемости жидкости пренебрегают.
Величину, обратную βс, называют модулем упругости
1
(1.5)
E=
.
βc
Для пресной воды Е = 2,06 ⋅ 109 Па.
Температурное расширение – свойство жидкости изменять свой объем
под действием температуры. Это свойство количественно характеризуется коэффициентом температурного расширения βt,, который выражает относительное изменение объема жидкости при повышении температуры на 1 оС.
∆W
βt =
,
W0 ∆t
(1.6)
где ∆W – полное приращение объема жидкости, ∆t – повышение
температуры. Единица измерения βt – 1/оC.
Величина βt у капельных жидкостей относительно мала, что позволяет ею пренебречь во многих инженерных расчетах. Например, для пресной
воды при разных давлениях и температурах βt = 0,00014 – 0,00066 (1/оС), для
нефти и нефтепродуктов βt = 0,0006 – 0,00085 (1/оС).
Вязкость. Вязкостью или внутренним трением называется свойство
жидкости оказывать сопротивление при относительном смещении ее слоев.
Впервые гипотезу о внутреннем трении в жидкости сформулировал
Исаак Ньютон. Сущность этой гипотезы состоит в следующем: сила внутреннего трения Т, возникающая между соседними слоями жидкости при их относительном смещении, прямо пропорциональна площади трения ω и разности
скоростей du, обратно пропорциональна расстоянию между слоями dh и зависит от рода жидкости, т.е.
T=µ
du
ω,
dh
(1.7)
где µ - коэффициент пропорциональности, называемый динамической вязкостью, du/dh – градиент скорости.
Впервые гипотеза Ньютона была экспериментально подтверждена
проф. Н.П. Петровым и с этой поры зависимость (1.7) стала именоваться законом вязкого трения Ньютона.
Разделим правую и левую части формулы (1.7) на ω и обозначим
Т/ω = τ, тогда
τ =µ
du
`,
dh
(1.8)
где τ - удельная сила трения, или касательные напряжения, Н/м2. Зависимость
(1.8) называется формулой Петрова.
Различают динамическую и кинематическую вязкость жидкости.
Динамическая вязкость жидкости µ имеет размерность Паскаль –
секунда (Па⋅с). Ранее использовалась единица Пуаз (П). 1П = 0,1 Па⋅с.
Кинематическая вязкость ν - это отношение динамической вязкости
к плотности
ν=
µ
.
ρ
(1.9)
Единицей измерения ν в системе СИ является м2/c. До 1980 г в качестве единицы измерения использовались стоксы. 1 Ст = 10-4 м2/с.
Величина, обратная коэффициенту динамической вязкости, называется текучестью.
С увеличением температуры вязкость жидкости существенно падает.
Изменение вязкости происходит и при изменении давления на жидкость. Однако в пределах давлений до 10,1 МПа (100 атмосфер) это изменение
незначительно и им обычно в практических расчетах пренебрегают.
Кроме рассмотренных физических свойств жидкостей в некоторых практических задачах приходится учитывать давление насыщенных паров, растворимость газов, пенообразование, поверхностное напряжение, капиллярность.
Численные значения этих параметров при необходимости могут быть найдены
в справочниках физических или теплофизических величин.
Различают реальную, совершенную и неньютоновскую жидкости.
Реальная – это жидкость, обладающая всем комплексом рассмотренных ранее физических свойств. С точки зрения гидравлики наиболее важным свойством жидкости является вязкость, поэтому реальные жидкости часто называют еще вязкими или ньютоновскими (т.к. проявление сил вязкости
описывается законом Ньютона).
Поведение реальной жидкости при разнообразных внешних условиях может оказаться весьма сложным, труднодоступным для изучения и математического описания. Для получения приближенных решений, зачастую
подлежащих последующему уточнению, в гидравлике с успехом применяется
модель так называемой совершенной или идеальной жидкости.
Совершенной называется условная абсолютно подвижная (т.е.
лишенная вязкости) жидкость, абсолютно несжимаемая, не изменяющая объема с изменением температуры, абсолютно неспособная сопротивляться разрыву.
Для совершенной жидкости µ = 0, ν = 0, βc = 0, βt = 0.
В совершенной жидкости не может существовать ни касательных, ни
растягивающих напряжений.
Неньютоновская, или аномальная – это жидкость, не подчиняющаяся закону вязкого трения Ньютона.
Опытами установлено, что движение неньютоновских жидкостей
начинается только после того, как касательные напряжения достигнут некоторого предельного минимального значения τ0 (так называемое начальное напряжение сдвига). При меньших напряжениях эти жидкости не текут, а только испытывают упругие деформации. Для этого типа жидкостей
du
τ = τ0 + µ
.
(1.10)
dh
Примером аномальных жидкостей могут служить коллоиды, нефтепродукты при температуре, близкой к температуре застывания, густые глинистые
и грязевые растворы и т.п.
2 Гидростатика
2.1 Гидростатическое давление и его свойства
Гидростатическим давлением называются внутренние напряжения сжатия в жидкости, возникающие под действием внешних сил.
Всякое тело в состоянии равновесия находится под воздействием
двух категорий сил: поверхностных и массовых.
Поверхностные – силы, оказывающие воздействие на поверхность
жидкого тела (силы давления поршня или плунжера насоса, атмосферное
давление и т.п.).
Массовые или объемные – это силы, распределенные в однородной жидкости по всему ее объему (силы тяжести, инерции, центробежные силы).
Силы внутреннего трения в покоящейся жидкости не проявляются.
Возьмем жидкое тело, находящееся в состоянии покоя, и мысленно разделим его горизонтальной плоскостью на две части. Верхнюю часть отбросим, а ее силовое воздействие на нижнюю часть
заменим силой F (рис. 2.1).
Сила F, приложенная к площади ω, разделяющей верхнюю и нижнюю части жидкого тела,
называется силой гидростатического давления. При
этом следует иметь в виду, что нижняя часть
воздействует на верхнюю с силой, равной по
величине F, но противоположной по направлению.
Величина среднего гидростатического давления
определяется величиной силы, приходящейся на
единицу площади, т.е.
F
рcp =
.
(2.1)
ω
Величина гидростатического давления в какой-либо точке площади ω
определяется отношением элементарной силы dF, приложенной к элементарной площадке dω, расположенной в области данной точки.
dF
dр =
.
dω
(2.2)
Единицей измерения давления в системе СИ является Па (Н/м2).
Гидростатическое давление обладает двумя основными свойствами.
Первое свойство. Гидростатическое давление действует всегда по внутренней нормали, направленной к площадке действия.
Предположим, что вектор гидростатического давления р направлен не
по нормали, а по наклонной линии (рис.2.2). Разложим его на нормальную рн
и касательную рк составляющие. Нормальные составляющие верхней и ниж-
ней частей тела уравновешиваются, а касательная составляющая вызовет
смещение частиц жидкости, что противоречит состоянию покоя.
Теперь предположим, что вектор р направлен
не по внутренней, а по внешней нормали. Так как
жидкость не обладает способностью воспринимать
растягивающие усилия, то произойдет разрыв
жидкого тела, что также противоречит состоянию
покоя и свойствам жидкости.
Следовательно, гидростатическое давление
всегда направлено внутрь жидкости и является
давлением сжимающим.
Рис. 2.2
Второе свойство. В любой точке внутри
жидкости гидростатическое давление одинаково во всех направлениях и не
зависит от угла наклона площадки, на которую оно действует в данной точке.
Для доказательства выделим в неподвижной жидкости элементарный
объем в форме прямоугольной призмы с ребрами, направленными по координатным осям и соответственно равными dx, dy и dz. Рассмотрим проекцию
призмы в плоскости XOZ (рис.2.3).
Пусть вблизи выделенного объема на жидкость действует единичная
массовая сила, составляющие которой
равны X, Y, Z.
Обозначим через рх гидростатическое давление,
действующее на
грань, нормальную к оси ox, через рy
давление на грань, нормальную к оси oy
и т.д. Гидростатическое давление,
действующее на наклонную грань,
обозначим через рн, а площадь грани
через dω.
Составим уравнение равновесия
выделенного объема жидкости
Рис. 2.3.
сначала в направлении оси ох
dFx - dFn + dGx = 0.
(2.3)
Направление действия массовой силы dG значения не имеет, т.к. поверхностные силы элементарного тетраэдра пропорциональны произведению
двух длин сторон тетраэдра, а массовые - объему и, следовательно, массовыми силами как величинами третьего порядка малости, можно пренебречь.
Тогда уравнение (2.3) с учетом значений сил можно переписать в виде
1
р х ⋅ dydz - pn ⋅ dω ⋅ cos α = 0 ,
(2.4)
2
или
1
1
(2.5)
р х ⋅ dydz - p н ⋅ dydz = 0 ,
2
2
Разделим члены уравнения (2.5) на площадь yoz, которая является проекцией наклонной грани dω. Будем иметь
или
рх – рn = 0
рх = рп .
(2.6)
Аналогично составляя уравнения равновесия вдоль осей oy и oz, после
таких же рассуждений получим
ру = рп и
р z = р n,
или
р х = р y = р z = р n.
(2.7)
Так как размеры тетраэдра dx, dy и dz были взяты произвольно, то и наклон площадки dω произволен и, следовательно, в пределе при стягивании
тетраэдра в точку давление в этой точке по всем направлениям будет одинаково.
Рассмотренное свойство давления в неподвижной жидкости имеет место также при движении идеальной жидкости. При движении же реальной
жидкости возникают касательные напряжения, вследствие чего давление в
реальной жидкости указанным свойством, строго говоря, не обладает.
2.2 Общие дифференциальные уравнение гидростатики
(Уравнения Эйлера)
C помощью общих дифференциальных уравнений гидростатики определяется величина гидростатического давления в любой точке жидкости, находящейся в различных состояниях равновесия и покоя .
Для получения уравнений Эйлера рассмотрим случай относительного
покоя жидкости, т.е. когда на жидкость действует не только сила тяжести, но
и, например, силы инерции переносного движения.
Возьмем в неподвижной жидкости точку М с координатами x, y, z и
давлением р. Выделим в жидкости элементарный объем в форме прямоугольного параллелепипеда, ребра которого равны dx, dy, dz. При этом точка М
пусть будет одной из его вершин (рис. 2.4).
Рассмотрим условия равновесия выделенного объема, когда
внутри параллелепипеда на жидкость
действует равнодействующая массовая сила, составляющие которой,
отнесенные к единице массы, равны
X, Y, Z.
Вблизи точки М давление р
одинаково по всем направлениям. В
точке N оно получит приращение,
равное частному дифференциалу и
будет равно
дp
dx .
дp
Составим уравнение равновесия относительно оси ox :
∂p
pdydz - (p +
dx)dydz + Χρdxdydz = 0 .
∂x
Раскроем скобки и сократим на массу, т.е ρdxdydz, получим
p+
Χ−
(2.8)
1 ∂p
=0.
ρ ∂x
(2.9)
Аналогично составим уравнения равновесия относительно осей oy и oz.
В конечном итоге будем иметь
Χ-
1 ∂p
=0
ρ ∂x
1 ∂p
=0
ρ ∂y
1 ∂p
Z=0
ρ ∂z
Y-
.
(2.10)
Полученная система уравнений называется дифференциальными уравнениями равновесия жидкости, или уравнениями Эйлера.
2.3 Основное уравнение гидростатики
Для получения основного уравнения гидростатики, более удобного при выполнении инженерных расчетов, умножим первое из уравнений
(2.10) на dx, второе на dy, третье на dz и сложим все уравнения, получим
1 дp дp дp
Xdx + Ydy + Zdz - ( +
+ )=0 .
(2.11)
ρ дx дy дz
Перепишем уравнение (2.11) относительно трехчлена, заключенного в скобки, который является полным дифференциалом давления dp:
dp = ρ (Xdx + Ydy + Zdz) .
(2.12)
Уравнение (2.12) выражает закон распределения давления внутри покоящейся жидкости и имеет большое значение при решении многих прикладных задач в области гидростатики.
Предположим, что на жидкость, находящуюся в резервуаре (рис. 2.5),
действует лишь сила тяжести (случай абсолютного покоя).
Тогда
X = Y = 0; z = -g.
Уравнение (2.12) будет иметь вид
dp = -ρgdz,
(2.13)
или после интегрирования,
(2.14)
p = -ρgz + c .
или
Постоянную С найдем, подставив параметры свободной поверхности:
z = z0 и p = p0.
Будем иметь
С = p0 + ρgz0 .
(2.15)
Подставим (2.15) в (2.14) :
p = -ρyz + p0 +ρgz0,
точки М.
p = p0 + (z0-z)ρg.
Обозначим z0 – z = h – глубина погружения произвольно взятой
Тогда
p = p0 + ρgh.
(2.16)
Зависимость (2.16) называется основным уравнением гидростатики, из которого вытекает, что одинаковым гидростатическим давлением обладают только те точки в жидкости, которые расположены на одинаковой
глубине от свободной поверхности, т.е. при h = const. Каждая такая система
точек образует поверхность, называемую поверхностью равного давления. В
частности поверхностью равного давления является свободная поверхность
жидкости, для которой p = p0, z = z0, h = 0.
2.4 Классификация давлений
Давлением в жидкости называется напряжение сжатия в рассматриваемой точке.
В реальных условиях и жидкости, и приборы для измерения давления,
как правило, находятся под действием атмосферного давления.
В некоторых технических задачах жидкость с атмосферным давлением
на поверхности удобно считать еще не сжатой. В других случаях требуется
учитывать воздействие атмосферного давления. Для того чтобы подчеркнуть,
от какого начального состояния жидкости ведется отсчет напряжений сжатия,
вводятся понятия о давлениях: абсолютном, избыточном (или манометрическим) и вакуумметрическом.
Абсолютное давление ра создается весом столба атмосферного воздуха,
приходящегося на единицу площади. Нормальное атмосферное давление
уравновешивается давлением столба ртути высотой 760 мм.
Абсолютным называется давление, отсчитанное от абсолютного
нуля шкалы давлений, который соответствует нулевому напряжению сжатия
и абстрактно может быть представлен как состояние внешнего сжатия на свободной поверхности жидкости в условиях абсолютного вакуума. По величине
абсолютное давление может быть и больше атмосферного давления, и меньше его.
Если абсолютное давление превышает атмосферное, то разность
между этими давлениями называется избыточным или манометрическим
давлением:
(2.17)
Pизб = Pабс – Pа,
Если абсолютное давление меньше атмосферного, то разность
между этими давлениями называется вакуумметрическим давлением:
(2.18)
Pвак = Pа – Pабс.
Если обозначение давления дается без индекса (просто р), то подразумевается, что это – абсолютное давление.
2.5 Единицы измерения давления
Так как гидростатическое давление имеет размерность напряжения, то его величина в общем случае может быть измерена величиной силы,
приходящейся на единицу площади.
В системе СИ за единицу давления принят Паскаль (Па).
1 Па = 1 Н/м2.
В табл. 2.1 приводится перевод некоторых внесистемных единиц
измерения давления в систему СИ.
Таблица 2.1
Соотношение между единицами давления
Единица
Наименование
Паскаль
Бар
бар
105
Миллиметр водяного столба
мм вод. ст.
9,8067
Миллиметр ртутного столба
мм рт. ст.
1,3332
Килограмм – сила на квадратный сантиметр (техническая атмосфера)
кгс / см2 (ат)
9,8067 ⋅ 104
2.6 Приборы для измерения давления
Приборы для измерения давления классифицируются следующим образом.
1 По принципу действия: жидкостные, пружинные, поршневые, электрические, комбинированные.
2 По характеру измеряемой величины: барометры, манометры, вакуумметры, дифференциальные манометры, микроманометры.
Барометры предназначены для измерения атмосферного давления.
Манометры – для измерения манометрического (избыточного) давления.
Вакуумметры – для измерения вакуумметрического давления.
Приборы, которыми можно измерять избыточное и вакуумметрическое давление, называются мановакуумметры.
Дифференциальные манометры используются для измерения давлений в двух разных точках.
Микроманометрами измеряют малое избыточное давление или
вакуум.
Весьма широко для измерения давлений используются жидкостные и пружинные (механические) манометры и вакуумметры.
Из механических манометров наиболее распространенными являются
трубчатые пружинные манометры (рис. 2.6).
Рис. 2.6
Манометр состоит из корпуса 1, штуцера для присоединения к области
измеряемого давления 2, серповидной трубки 3 (основной части прибора),
приводного устройства 4, стрелки 5 и шкалы 6. Жидкость под давлением через штуцер 2 поступает в серповидную трубку 3, которая, распрямляясь, через устройство 4 приводит в движение стрелку 5, указывающую на шкале манометра 6 величину измеряемого давления.
Механические манометры измеряют давления до 2,5 МПа при латунной и выше 2,5 МПа при стальной серповидной трубке.
Прибор компактен, прост по устройству и в эксплуатации. Главным недостатком является возникновение с течением времени остаточных деформаций. Поэтому все механические приборы подлежат обязательной периодической проверке.
2.7 Пьезометрический и гидростатический напоры
Рассмотрим состояние равновесия жидкости, находящейся в закрытом
сосуде (рис. 2.7).
С целью сравнения положения различных точек в жидкости проведем
горизонтальную плоскость сравнения 0-0.
Пусть давление p0 воздействует на свободную поверхность жидкости и несколько превышает атмосферное, т.е. p0 > pa. Тогда под влиянием
избыточного давления со стороны резервуара жидкость в пьезометре А, установленном в области произвольно взятой точки В на глубине h, поднимется
на высоту hp.
Пьезометрическим напором жидкости Hp в какой-либо ее точке
называется сумма геометрической высоты этой точки z и ее пьезометрической высоты hp, т.е.
Нр = z + hр .
(2.19)
Значение пьезометрической высоты определим из условия равновесия жидкости в резервуаре и пьезометре А, составленного относительно
плоскости равного давления С-С
p 0 + γh = p а + γh р .
(2.20)
Отсюда
hp = h +
p0 - pa
.
(2.21)
γ
Следовательно, пьезометрический напор равен
p - pa
Нp = z + h + 0
,
(2.22)
γ
или
Нp = z0 +
po - pa
γ
,
(2.23)
где z0 – расстояние от плоскости сравнения до свободной поверхности жидкости в резервуаре.
Так как правая часть формулы (2.23) есть величина постоянная, то
Hp = const.
Следовательно, если в различные точки резервуара подсоединить
пьезометры, то уровни жидкости в них установятся в одной горизонтальной
плоскости П-П, называемой пьезометрической плоскостью, или плоскостью
пьезометрического напора.
Установим в плоскости точки В замкнутый пьезометр D, из которого выкачан воздух и устранено атмосферное давление, т.е. p0 = 0. Благодаря
pа
этому жидкость поднимается на дополнительную высоту, равную
.
γ
Гидростатическим напором жидкости Hs в какой-либо ее точке
называется сумма геометрической высоты этой точки и высоты столба жидкости, соответствующего абсолютному давлению жидкости в данной точке,
т.е.
p
HS = z + .
(2.24)
γ
Поскольку
p = p 0 + γh ,
гидростатический напор будет равен
p
H s = z 0 + 0 = const .
γ
(2.25)
(2.26)
Горизонтальная плоскость H-H, проведенная на высоте Hs от
плоскости сравнения, называется напорной плоскостью или плоскостью гидростатического напора.
С энергетической точки зрения пьезометрический напор представляет удельную потенциальную энергию, соответствующую избыточному
давлению в рассматриваемой точке жидкости.
Гидростатический напор представляет собой удельную энергию
жидкости относительно выбранной плоскости сравнения. При этом z выражает удельную потенциальную энергию положения, а
p
γ
- удельную потенци-
альную энергию абсолютного давления.
2.8 Закон Паскаля и его применение
Известное в гидравлике положение о передаче давлений внутри
жидкости, называемое законом Паскаля, может быть сформулировано следующим образом: внешнее давление, приложенное к покоящейся жидкости,
передается во все ее точки без изменений. При этом внешнее давление может
быть приложено к жидкости посредством давления на нее газа, жидкости или
твердого тела.
Так как все частицы покоящейся жидкости обладают одинаковым
гидростатическим напором, то для всех ее точек можно записать
р1
γ
+ z1 =
p2
γ
+ z2
(2.27)
Тогда закон Паскаля представим уравнением
р1 + γz1 = р 2 + γz 2 ,
(2.28)
из которого следует, что изменение давления в одной точке на величину ∆P
вызовет изменение давления в другой точке на такую же величину.
На применении закона Паскаля основано действие многих гид-
равлических машин и устройств, имеющих широкое применение в технике. К
их числу относятся гидравлические прессы, подъемники, гидравлические аккумуляторы, гидравлические мультипликаторы и ряд других машин.
На рис. 2.8 показана схема гидравлического преcса.
Сравнительно небольшая внешняя сила F1, приложенная к малому
поршню с площадью поперечного сечения ω 1, создает на уровне 1-1 гидростатическое давление.
F
р1 = 1 .
(2.29)
ω1
Гидростатическое давление р2 на уровне 2-2 под другим поршнем
со значительно большей площадью ω 2 определится по закону Паскаля уравнением
р 2 = р1 + γ ( z1 − z 2 )
.
(2.30)
Различие в давлении
∆р 2 = р 2 − р1 = γ ( z1 − z1 ) .
(2.31)
вызванное разностью геометрических высот, по сравнению с высокими значениями самих давлений в гидравлических прессах, незначительно и в расчетах обычно не учитывается.
Тогда
F1 F2
=
.
(2.32)
ω1
ω2
Откуда прессующая сила будет равна
F2 = F1
ω2
,
ω1
(2.33)
или с учетом затрат энергии в процессе прессования
F2 = F1
ω1
η.,
ω2
(2.34)
где η -КПД гидравлического пресса.
2.9 Давление жидкости на плоские поверхности
Суммарная сила давления жидкости на плоскую горизонтальную поверхность равна весу столба жидкости, расположенной над рассматриваемой
поверхностью
F=ρghω.
(2.35)
Если мы возьмем несколько сосудов различной формы, но с одинаковой
площадью дна ω, то суммарная сила гидростатического давления будет в них
также одинаковой и определяется формулой (2.35).
Законы гидравлики утверждают, что давление жидкости не зависит от
формы сосуда, а зависит от глубины погружения площади и ее размеров.
В практике часто встречаются плоские поверхности, расположенные
под каким-либо углом α к горизонту. Рассмотрим такую поверхность (рис.
2.9) и определим действующую на нее суммарную силу гидростатического
давления. Для этого выберем на поверхности элементарную площадку dω,
выберем оси координат и развернем
их на 900, обозначим центр тяжести
площади ЦТ и центр давления ЦД.
На элементарную площадку d ω
будет действовать элементарная сила
гидростатического давления
dF = (ρgh + ρ0) dω .
(2.36)
Проинтегрируем
(2.36)
и
найдем суммарную силу гидростатического давления на весь щит.
Рис. 2.9
F = ∫ ρghdω + ∫ ρ 0 dω = ρg ∫ hdω + ρ 0 ∫ dω .
(2.37)
ω
ω
ω
Из рис. 2.9 видно, что h = y ⋅ sinα, тогда
F = ρg sin α ∫ ydω + ρ 0 ∫ dω ,
ω
где
∫ ydω
ω
(2.38)
ω
- статический момент площади относительно оси ох, равный произ-
ω
ведению площади на расстояние от центра ее тяжести до оси ох
∫ ydω = ωy 0 .
(2.39)
ω
Так как давление ρ0 рассредоточено по всей поверхности, а y0sinα = h0,
то с учетом (2.39) формула (2.38) принимает вид
F = ( ρgh0 + ρ 0 )ω ,
(2.40)
или
F = ρgh0ω + ρ 0ω .
(2.41)
Таким образом, полная сила давления жидкости на плоскую стенку
равна произведению площади стенки на величину гидростатического давления в центре тяжести этой стенки, причем внешняя сила ρ0ω приложена в ЦТ
площади, сила избыточного давления ρgh0ω ниже ЦТ – в центре давления.
В случае, если ρ0 = ρа ,
F = ρgh0ω .
(2.42)
2.10 Определение положения центра давления
Центр давления – это точка приложения равнодействующей избыточного гидростатического давления.
Обратимся к рис. 2.9 и воспользуемся теоремой теоретической механики о том, что момент равнодействующей силы равен сумме моментов составляющих сил.
Fy c = ∫ dFсост y = ∫ ρghdωy = ρg sin α ∫ y 2 dω ,
ω
где h = y ⋅ sinα.
ω
(2.43)
ω
Интеграл ∫ y 2 dω = J x - момент инерции смоченной площади относиω
тельно оси ох.
Тогда
Fy c = ρg sin αJ x .
Отсюда
уc =
ρg sin αJ x
F
=
ρg sin αJ x
J
= x ,
ρgy0 sin αω y0ω
(2.44)
(2.45)
где h0 = y0 sinα.
Момент инерции Jx представили как Jx = J0 + у02ω, где J0 – момент
инерции смоченной площади относительно оси, проходящей через центр ее
тяжести. С учетом этого формула (2.45) принимает вид
J 0 + у 02ω J 0
уc =
=
+ y0 .
(2.46)
y 0ω
y 0ω
В случае когда щит расположен горизонтально, его центр давления
совпадает с центром тяжести.
2.11 Давление жидкости на криволинейные поверхности
Отыскание силы гидростатического давления на криволинейные поверхности усложняется тем обстоятельством, что элементарные силы dF,
приложенные к элементам площади dω, имеют различные направления. Поэтому отыскание равнодействующей гидростатического давления связано с
геометрическим сложением составляющих сил.
Возьмем криволинейную поверхность А и выберем оси координат (рис.
2.10). Исходную силу гидростатического давления F разложим на три взаимно перпендикулярные составляющие Fx, Fy, Fz.
Для отыскания силы Fx, действующей по направлению оси ох, спроектируем поверхность А на плоскость, нормальную к оси ох и рассмотрим равновесие жидкого тела, ограниченного поверхностью А и ее проекцией ωх.
Fx − Fx' = 0 ,
где Fx' - сила гидростатического давления на проекцию ωх, или
Fx = Fx' .
Так как проекция ωх является плоской фигурой, то
(2.47)
(2.48)
Рис. 2.10
Fx = Fx' = ρghox ω x ,
(2.50)
где hox – глубина расположения центра тяжести площади.
Спроектируем поверхность А на плоскость oxz и аналогичным образом
найдем Fy:
F y = F y' = ρghoy ω y .
(2.51)
Спроектируем поверхность А на свободную поверхность жидкости
(плоскость ω0) и для нахождения вертикальной составляющей Fz рассмотрим
равновесие жидкого тела, ограниченного поверхностью А и ее проекцией ω0.
Fz – G = 0,
(2.52)
отсюда
Fz = G = ρgW
,
(2.53)
где G – сила тяжести, W – объем тела давления.
Равнодействующая сила гидростатического давления на криволинейную поверхность найдется по формуле
F = Fx2 + F y2 + Fz2 .
(2.54)
Составляющие силы Fx, Fy, Fz приложены по линиям действия соответствующих сил Fx’, Fy’, Fz’, центры давления которых определяются по формулам
J ox
,
ω x hox
J oy
hcy = hoy +
,
ω y hoy
hcx = hox +
(2.55)
(2.56)
где hcx и hcy – глубины центров давления соответственно сил Fx’ и Fy’, Jox и Joy
– центральные моменты инерции соответствующих плоских фигур ωх и ωу
относительно горизонтальных осей.
Линия действия вертикальной составляющей Fz всегда проходит через
центр тяжести тела давления.
2.12 Закон Архимеда
На погруженное в жидкость тело действует выталкивающая сила, равная весу жидкости, вытесненной этим телом. Для доказательства закона рассмотрим рис 2.11.
Рис. 2.11.
На погруженное в жидкость тело А действуют:
1 Боковые силы Fn. Т.к. они равны и противоположны, то равнодействующая их равна нулю.
2 Сила тяжести тела G, направленная вниз и равная
G=ρgW,
(2.57)
где W – объем погруженного тела А.
3 Сила давления на тело сверху F1
F1=ρgh1ω.
(2.58)
4 Сила давления на тело снизу F2
F2=ρgh2ω .
(2.59)
Суммарная сила жидкости на погруженное тело А, или выталкивающая сила, будет равна
F = F2 - F1 = ρgω(h2-h1) = ρgωh.
(2.60)
В формуле (2.60) произведение ωh есть объем погруженного тела А.
Тогда
F = ρgW = G,
(2.61)
что и требовалось доказать.
Величина выталкивающей силы не зависит от глубины погруженного
тела и на различной глубине будет постоянной.
3 Гидродинамика
3.1 Основные понятия. Модель движения
Гидравлика изучает закономерности движения жидкости. Основными
факторами движения рассматриваемой частицы жидкости будут напряжения
сжатия, которым подвергается эта частица, иначе – гидродинамическое давление и скорость перемещения частицы. Если эти факторы зависят только от
координат частицы, движение называется установившимся. Если от координат и времени – неустановившимся.
Движущуюся массу жидкости называют потоком. Кроме скоростей и
давлений, координат и времени, относящихся к отдельным частицам, поток в
целом характеризуется еще и формой поперечного сечения. Жидкость может
заполнять все сечение канала или часть сечения. В последнем случае у потока
имеется свободная поверхность и можно говорить о глубине потока. Движение жидкости в этом случае называется безнапорным. При напорном движении поток жидкости ограничен твердыми стенками по всему периметру поперечного сечения.
Во многих случаях для удобства и упрощения теоретических исследований движения жидкости реальный поток мысленно считается состоянием
из бесконечного числа элементарных струек, где все частицы жидкости перемещаются в потоке по так называемым линиям тока. Линией тока называется
кривая S – S (рис. 3.1), проведенная в жидкости по направлению ее движения
таким образом, что векторы скоростей в каждой ее точке направлены по касательной к этой кривой.
Если взять элементарную площадку dω и через все
ее точки провести линии
тока, то получится так
называемая трубка тока,
которая
образует
элементарную
струйку
движущейся жидкости.
Рис. 3.1
В установившемся движении элементарная струйка условно имеет следующие свойства.
1 Форма элементарной струйки постоянна и не изменяется с течением
времени.
2 Частицы жидкости не могут переходить из одной струйки в другую,
т.к. ограничены линиями тока.
3 Скорости во всех точках какого-либо поперечного сечения ввиду
его малости одинаковы.
Основными гидравлическими элементами движения потока жидкости
являются скорости, живое сечение и расход.
Для реальных потоков скорость u в какой-либо точке поперечного сечения является величиной переменной.
Живым сечением потока ω называется поверхность поперечного сечения, нормальная к местному значению вектора скорости в каждой своей точке. Для потока жидкости живое сечение сложится из суммы живых сечений
элементарных струек
ω = ∫ dω .
(3.1)
ω
Помимо площади ω характеристикой живого сечения является и гидравлический радиус R, представляющий отношение площади сечения к смоченному периметру f
R=
ω
.
(3.2)
f
Расходом Q называется количество жидкости, проходящее через данное живое сечение в единицу времени. Полный расход потока жидкости составится из суммы расходов элементарных струек, взятых в пределах данного
живого сечения потока
Q = ∫ udω .
(3.3)
ω
Для большинства реальных потоков не всегда удается математически
установить закон распределения местных скоростей и проинтегрировать
уравнение (3.3). Поэтому при решении данной задачи прибегают к понятию о
средней скорости потока.
Средней скоростью потока V называется такая условная скорость, произведение которой на площадь поперечного сечения потока равно его расходу
(3.4)
V⋅ω = Q, ,
Q
или
V=
.
(3.5)
ω
3.2 Уравнение неразрывности потока
Рассмотрим движение жидкости в элементарной струйке между двумя
произвольно взятыми сечениями 1-1 и
2-2 (рис. 3.2.). За отрезок времени ∆t в
рассматриваемый отсек струйки через
сечение 1-1 войдет некоторое количество жидкости, равное
dW = u1dω1∆t.
(3.6)
Рис. 3.2
Принятые ранее условия, что движение капельной, практически несжимаемой жидкости, происходит сплошной массой без пустот и разрывов, с
учетом свойств элементарной струйки, позволяет заключить, что за время ∆t
через сечение 2-2 из отсека должно выйти точно такое же количество жидкости
dW = u2dω2∆t .
(3.7)
Приравнивая правые части выражений объемов dW, будем иметь
u1dω1 = u2dω2 .
(3.8)
Это значит, что через все сечения элементарной струйки в единицу
времени протекает одинаковое количество жидкости, равное расходу элементарной струйки.
Уравнение неразрывности для потока может быть получено в результате интегрирования уравнения (3.8.)
(3.9)
∫ u1dω1 = ∫ u 2 dω 2 .
ω
ω
Так как левая и правая части последнего уравнения согласно зависимости (3.4) выражают расходы в соответствующих сечениях, то окончательно
получим
V1ω1 = V2 ω2 .
(3.10)
Уравнение неразрывности является математической записью закона сохранения массы применительно к движению жидкости постоянной плотности.
3.3 Дифференциальные уравнения движения жидкости
Общие дифференциальные уравнения движения совершенной жидкости
могут быть получены из общих дифференциальных уравнений равновесия
(2.10), если к действующим в жидкости массовым силам и силам давления по
принципу Д’Аламбера добавить силы инерции, возникающие от изменения
скорости движения жидкости.
Пусть при движении жидкость в произвольно взятой точке А перемещается со скоростью u. Проекции этой скорости на выбранные оси координат
обозначим соответственно через ux, uy, uz. Тогда проекции ускорения для этой
точки будут соответственно равны
du y
du
du
ax = x ; a y =
; az z .
dt
dt
dt
Силы инерции, отнесенные к единице массы, по величине равные ускорениям, не имеют противоположного направления. Поэтому выражения ускорений добавятся в уравнения равновесия (2.10) с отрицательным знаком
1 ∂p du x

⋅ −
= 0
ρ ∂x dt

du

1 ∂p
y
Y− ⋅ −
=0 .
(3.11)
ρ ∂y dt


1 ∂p du
Z− ⋅ − z

ρ ∂z dt

Уравнения (3.11) являются общими дифференциальными уравнениями
движения совершенной жидкости, которые были получены Леонардом Эйлером в 1755 году и носят его имя.
Следует иметь в виду, что для нахождения р, ux, uy, uz уравнений движения (3.11) недостаточно. Для решения этой задачи необходимо четвертое
уравнение, уравнение неразрывности, которое в дифференциальной форме
выражаем зависимостью
∂u х ∂u у ∂u z
+
+
=0 .
(3.12)
∂x
∂y
∂z
X−
3.4 Удельная энергия движения жидкости
Энергия, отнесенная к единице веса жидкости, называется ее удельной
энергией.
Полная удельная энергия жидкости, находящейся в состоянии движения, сложится из удельной потенциальной Ер и удельной кинетической энергии Ек.
В свою очередь удельная потенциальная энергия состоит из удельной
p
энергии положения z и удельной энергии давления
, т.е.
γ
Ep = z +
p
.
γ
Кинетическая энергия частицы массой ∆m равна
(3.13)
∆mu 2
.
(3.14)
2
Удельная кинетическая энергия определится как частное от деления Эк
на вес частицы ∆mg
Эк =
Эк
u2
=
.
(3.15)
Ек =
∆mg 2 g
Следовательно, полная удельная энергия жидкости в данной точке будет равна
u2
Е=z+ +
γ 2g
p
.
(3.16)
Удельная потенциальная энергия, равная пьезометрическому напору,
является величиной постоянной.
Что касается удельной кинетической энергии, то ее величина будет изменяться по мере изменения величины скорости в зависимости от расположения точки в живом сечении потока. Поэтому величина полной удельной энергии жидкости для различных точек живого сечения потока будет величиной
переменной.
3.5 Уравнение Бернулли для элементарной струйки
идеальной жидкости
Рассмотрим установившееся течение идеальной жидкости, находящейся
под воздействием лишь одной массовой силы – силы тяжести и выведем для
этого случая основное уравнение, связывающее между собой давление в жидкости и скорость ее движения. Впервые эту задачу решал Д. Бернулли в своем
знаменитом сочинении «Гидродинамика» (1738 г.). Однако классическую
форму, в которой основная закономерность движения жидкости известна ныне как уравнение Бернулли, придал этому закону Л. Эйлер в 1755 г.
Возьмем одну из струек, составляющих поток и выделим сечениями 1-1
и 2-2 участок этой струйки произвольной длины (рис. 3.3).
Пусть площадь первого сечения dω1, скорость в нем u1, давление p1, а
высота расположения центра тяжести сечения относительно произвольно взятой горизонтальной площади z1. Во втором сечении соответственно dω2, , p2 и
z2.
Рис. 3.3
За бесконечно малый промежуток времени dt участок струйки переместится в положение 1’-1’, 2’-2’. Применим к этому участку струйки теорему
механики о том, что работа сил, приложенных к телу, равна приращению кинетической энергии этого тела. Такими силами в данном случае являются силы давления и сила тяжести.
Подсчитаем работу сил и изменение кинетической энергии участка
струйки за время dt.
Работа силы давления сложится из работ сил давления в первом и втором сечениях
dAд =p1u dω1dt - p2u2dω2dt.
(3.17)
Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии положения участка струйки. Поэтому из энергии положения жидкости в объеме 1-1,
2-2 вычтем энергию положения жидкости в объеме 1’-1’, 2’-2’. При этом
энергия положения промежуточного объема 1’-1’, 2-2 сократится, и согласно
уравнению неразрывности видно, что объемы, а следовательно и веса отрезков 1-1, 1’-1’ и 2-2, 2’-2’ равны между собой
dG = γu1dω1dt = γu2dω2dt .
(3.18)
Поэтому работа сил тяжести будет равна
dAт = (z1-z2)dG .
(3.19)
Приращение кинетической энергии рассматриваемого участка струйки
найдем как разность кинетических энергий объемов 1’-1’, 2’-2’ и 1-1, 2-2
dG
dЭк = (u 22 − u12 )
.
(3.20)
2g
Сложим уравнения (3.17), (3.19) и приравняем их к (3.20)
dG
p1u1dω1dt − p 2u 2 dω 2 dt + ( z1 − z 2 )dG = (u 22 − u12 )
.
(3.21)
2g
Разделим уравнение (3.21) на вес и сгруппируем в левую и правую части уравнения члены, относящиеся к 1 и 2 сечениям. Получим
z1 +
p1
p2
u 22
= z2 +
+
.
(3.22)
2g
γ
2g
Уравнение (3.22) называется уравнением Бернулли для струйки идеальной несжимаемой жидкости.
Энергетический смысл уравнения Бернулли согласно (3.16) заключается в постоянстве вдоль струйки полной удельной энергии жидкости.
γ
+
u12
3.6 Уравнение Бернулли для элементарной струйки вязкой
жидкости
При движении реальной жидкости вдоль твердой стенки, например в
трубе, происходит торможение потока
вследствие влияния его вязкости и действия
сил молекулярного сцепления между жидкостью и твердой стенкой, поэтому наибольшей величины скорость жидкости достигает
в центральной части потока, а по мере приближения к стенке уменьшается практически
до нуля (рис. 3.4).
Рис. 3.4
По поверхности соприкосновения элементарных струек, движущихся с
различными скоростями, возникают силы трения, препятствующие движению
жидкости. Вязкая жидкость в этом случае затрачивает часть своей энергии на
преодоление этих сил, возникающих при относительном перемещении элементарных струек, которая будет теряться безвозвратно. Вследствие этого величина удельной энергии какой-либо струйки в сечении 2-2 окажется меньше
величины удельной энергии той же струйки в сечении 1-1, т.е.
E1 〉 E 2 .
Значит на участке движения жидкости от сечения 1-1 до сечения 2-2 потеря удельной энергии составит величину
hw' = E1 − E 2 .
(3.23)
Поскольку полная удельная энергия движущейся жидкости равна гидродинамическому напору в данном сечении, то запишем
z1 +
p1
+
u12
= z2 +
p2
+
u 22
'
+ hw
.
(3.24)
2g
γ
2g
Так как движение вязкой жидкости происходит с уменьшением ее энергии, то и гидродинамические напоры по мере движения будут постепенно
убывать. Потеря напора является линейной величиной и измеряется обычно в
метрах.
γ
3.7 Уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости
Для получения уравнения необходимо просуммировать энергию всех
элементарных струек жидкости и потери энергии при ее движении.
Обозначим через Э1 и Э2 полные энергии потока в двух произвольно
взятых сечениях 1-1 и 2-2. Тогда баланс энергий для вязкой жидкости выразится уравнением
Э1 = Э2 + Эw ,
(3.25)
где Эw – полная энергия, потерянная жидкостью при ее движении на рассматриваемом участке.
Запишем баланс средних удельных энергий потока, для чего разделим
уравнение (3.25) на весовой расход γQ, получим
Е1ср = Е 2ср + hw ,
(3.26)
где hw = Эw/γQ – средняя потеря удельной энергии
Раскроем выражение средних удельных энергий, каждое из которых
сложится из средней потенциальной Еп ср и средней кинетической Ек ср энергий.
Поскольку для параллельно-струйных потоков величина удельной потенциальной энергии является постоянной во всех точках поперечного сечения потока, то запишем
Е пср = z +
p
γ
.
(3.27)
Для определения среднего значения удельной кинетической энергии
сначала найдем кинетическую энергию для всего потока жидкости в данном
сечении, предварительно умножив удельную кинетическую энергию струйки
на элементарный весовой расход ρgudω
u2
ρ
Эк = ∫
⋅ ρguω = ∫ u 3 dω .
(3.28)
2ω
ω 2g
Распределение скорости по живому сечению потока определить довольно сложно, поэтому найдем кинетическую энергию потока через условную кинетическую энергию, вычисленную по средней скорости
Эк' =
ρωV 3
ρQV 2
=
.
(3.29)
2
2
Кинетическая энергия, вычисленная по средней скорости, всегда меньше фактической кинетической энергии. Обозначим отношение действительной кинетической энергии к кинетической энергии, вычисленной по средней
скорости через α:
Э
α = к' ,
Эк
тогда
Эк = αЭк' =
αρQV 2
.
(3.30)
2
Разделим (3.30) на весовой расход и найдем среднюю кинетическую
энергию потока
Эк
V2
Е к ср =
=α
.
(3.31)
ρgQ
2g
С учетом (3.27) и (3.31) средняя удельная энергия потока в каком-либо
сечении будет равна
Е ср = Е пср + Е кср = z +
p
γ
+α
v2
.
2g
(3.32)
Подставим (3.32) в (3.26) и окончательно запишем
2
2
V
V
ρ
ρ
z1 + 1 + α1 1 = z 2 + 2 + α 2 2 + hw ,
γ
γ
2g
2g
(3.33)
где α1 и α 2 - коэффициенты кинетической энергии (Кориолиса), характеризующие неравномерность распределения скоростей в соответствующих поперечных сечениях потока.
Следует иметь в виду, что уравнение (3.33) приемлемо только для параллельно-струйных потоков и потоков с плавно изменяющимся движением
жидкости. Значения геометрических высот и давлений, входящих в это урав-
нение, для напорных потоков принято брать по точкам, лежащим на оси потока.
3.8 Уклоны: геометрический, пьезометрический,
гидравлический
Геометрическим уклоном называется падение геометрической линии
струйки или потока жидкости на единицу длины. Для элементарной струйки,
показанной на рис. 3.5, на участке длиной l между сечениями 1-1 и 2-2 полное
падение геометрической линии S-S равно разности геометрических высот
∆z = z1 − z 2 . Средний геометрический уклон на этом участке равен
z −z
(3.34)
iср = 1 2 .
l
В случае, когда геометрическая линия криволинейна,
dz
i= .
(3.35)
dl
За геометрическую линию напорных потоков принимается обычно их
осевая линия.
Пьезометрическим уклоном называется падение пьезометрической линии H p1 − H p2 на единицу длины струйки или потока жидкости
Рис. 3.5
H g1
p  
p 

 z + 1  −  z + 2 
H p1 − H p 2 
γ  
γ 
J p ср =
=
.
(3.36)
l
l
При криволинейной пьезометрической линии
dH р ⋅ l
.
(3.37)
Jp =
dl
Гидравлическим уклоном называется падение напорной линии
− H g 2 на единицу длины струйки или потока жидкости.
J ср =
H g1 − H g 2
,
(3.38)
l
Так как H g1 − H g 2 = hw , то гидравлический уклон выражает также потерю напора на единицу длины струйки или потока жидкости
h
J ср = w .
(3.39)
dl
Следует отметить, что геометрический и пьезометрический уклоны в
различных случаях могут быть и положительными, и отрицательными. Гидравлический же уклон всегда положителен.
3.9 Основное уравнение равномерного движения жидкости
Формула Шези
Условием равномерного движения является постоянство живого сечения, скорости течения и глубины по длине потока.
Для вывода уравнения рассмотрим часть потока, ограниченного сечениями 1-1 и 2-2 (рис 3.6). Составим баланс сил, спроектированных на ось
движения потока.
Рис. 3.6
Будем иметь
F1 − F2 + G ⋅ sin α − Tтp = 0 .
(3.40)
Здесь F1 = p1ω и F2 = p 2ω - суммарные силы гидростатического давления в соответствующих сечениях, G - сила тяжести, равная весу жидкости
в объеме W = ωl
G = ρgωl .
(3.41)
Синус угла наклона оси потока к горизонту выразим через отношение
противолежащего катета к гипотенузе
z −z
sin α = 1 2 .
(3.42)
l
Сила трения равна
Tтр = τ 0 S = τ 0 fl ,
(3.43)
где τ 0 - касательные напряжения, возникающие между жидкостью и
стеной трубы, S-площадь трения, f- смоченный периметр, l – длина участка
трубы.
Подставим значение суммарных сил давления, а также (3.41), (3.42) и
(3.43) в уравнение баланса (3.40) и поделим на ρgω , получим
τ 0 fl
р1 p 2
−
+ z1 − z 2 −
= 0.
(3.44)
ρg ρg
ρgω
Перегруппируем члены уравнения (3.44)

p  
p  τ fl
 z1 + 1  −  z 2 + 2  = 0 .
(3.45)
ρ
g
ρ
g
ρ
g
ω

 

Левая часть уравнения (3.45) в условиях равномерного движения выражает потерю напора на рассматриваемом участке, тогда
τ fl
hw = 0 ,
ρgω
или
τ o ω hw
= ⋅
.
(3.46)
ρg f l
Поскольку ω / f = R (гидравлический радиус), а hw / l = J (гидравлический уклон), окончательно запишем
τ0
= RJ .
ρg
(3.47)
Из уравнения равномерного движения жидкости (3.47) можно вывести
формулу Шези, позволяющую определить среднюю скорость потока. Для
этого отметим, что при развитом турбулентном движении жидкости отношениеτ 0 / ρg пропорционально квадрату средней скорости потока, т.е.
τ0
= bV 2 ,
ρg
(3.48)
где b –коэффициент пропорциональности.
Тогда с учетом уравнения (3.47)
RJ = bV 2 ,
(3.49)
откуда
V =
1
RJ
b
.
(3.50)
1
= C , тогда
b
V = C RJ .
(3.51)
Формула (3.51) называется формулой Шези, где С - скоростной множитель, или коэффициент Шези, который может быть определен по формуле
академика Н.Н. Павловского или по формуле Базена.
Обозначим
3.10 Два режима движения вязкой жидкости
Еще в 1880 г. Д.И. Менделеев впервые высказал предположение о существовании двух совершенно различных по структуре потока режимов движения жидкости. Спустя три года английский исследователь Осборн Рейнольдс открыл оба эти режима экспериментальным путем.
Оказалось, что при малых скоростях течения частицы жидкости движутся вдоль оси потока параллельными траекториями. Такой режим движения называется ламинарным. При более высоких скоростях течения наряду с
основным поступательным движением по некоему среднему направлению
наблюдаются незакономерные поперечные и вращательные перемещения отдельных объемов жидкости. Этот вид движения жидкости получил название
турбулентный.
Если в стеклянную трубу, по которой движется прозрачная жидкость,
подвести тонкую струйку жидкости, подкрашенную легким красителем, то
при малых скоростях движения жидкости перемешиваться не будут, а движение осуществится в ламинарном режиме. При дальнейшем увеличении средней скорости произойдет срыв потока, ламинарный режим движения сменится турбулентным.
Если опыт провести в обратном порядке, т.е. идти от больших скоростей к меньшим, то турбулентный режим смениться ламинарным, но при значительно меньшей скорости. Таким образом, можно отметить две критические скорости:
Vкр.в - верхняя критическая (переход ламинарного режима в турбулентный);
Vкр.н - нижняя критическая (переход турбулентного режима в ламинарный).
В диапазоне между Vкр.н и Vкр.в возможен и тот, и другой режим движения, однако ламинарный режим в этой зоне очень неустойчив.
Для характеристики режима движения жидкости в круглой трубе Рейнольдс предложил безразмерный параметр, который впоследствии получил
его имя – число Рейнольдса
Vd
Re =
,
(3.52)
v
где d – диаметр трубы, V, v - соответственно скорость и кинематическая вязкость жидкости.
Многочисленными опытами установлено, что нижней критической скорости для всех жидкостей соответствует число Рейнольдса:
Reкр = 2320 (для труб);
Reкр = 580 (для открытых русел).
Считается, что если Re ниже этих значений, режим движения - ламинарный, если Re выше – турбулентный.
Важнейшим результатом открытия ламинарного и турбулентного режимов движения жидкости и дальнейших их исследований явилось установление положений о том, что характер режима оказывает существенное влияние на формирование потерь напора. Установлено, что удельная сила трения
τ0 и потери напора hw при ламинарном режиме движения пропорциональны
средней скорости v в первой степени, при турбулентном – в степени n, где n
колеблется в пределах от единицы до двух.
3.11 Ламинарный режим движения жидкости в трубах
Выделим сечениями 1-1 и 2-2 участок прямой цилиндрической трубы
длиной l, в котором жидкость движется в установившемся ламинарном режиме (рис. 3.7). Пусть r - радиус трубы, V – средняя скорость потока, u – скорость какого-либо ламинарного слоя жидкости.
Рис. 3.7
Итак, концентричные слои жидкости перемещаются вдоль трубы друг
относительно друга. Первый слой, состоящий из частиц жидкости, прилипших к стенкам трубы, не участвуют в движении. Его скорость u=0. Второй
слой с небольшой скоростью перемещается вдоль трубы и скользит по первому. Третий слой, обладая более высокой скоростью, скользит по второму и
т.д. Очевидно, что последний слой, находящийся у оси потока, будет перемещаться с наибольшей скоростью.
Применим к движущемуся цилиндру жидкости с произвольным радиусом h уравнение (3.47).
τ
= RJ .
γ
Гидравлический радиус в данном случае
πh 2 h
R=
= .
(3.53)
2πh 2
Решая уравнение (3.47) относительно τ с учетом (3.53), получим
1
τ = γJh .
(3.54)
2
Выразим касательные напряжения в зависимости (3.54) в соответствии
с законом Ньютона
du 1
−µ
= γJh .
(3.55)
dh 2
Знак минус указывает, что положительному приращению радиуса dh
соответствует отрицательное приращение скорости du.
Решим (3.55) относительно du и проинтегрируем.
γJ
du = −
hdh ,
2µ
γJ 2
u =−
h +C.
(3.56)
4µ
Постоянную интегрирования определим по условиям движения жидкости y стенки трубы, где h = r, u=0
γJ 2
C=
r .
4µ
Тогда уравнение (3.56) принимает вид
γJ 2
u=
r − h2 .
(3.57)
4µ
Из уравнения (3.57) видно, что при ламинарном режиме у стенок трубы,
где h=r, скорость имеет нулевое значение, на оси потока при h = 0 скорость
достигает максимума и равна
γJ 2
u маx =
r .
(3.58)
4µ
(
)
Среднюю скорость движения потока найдем как частное от деления
полного расхода потока Q на площадь его поперечного сечения. После соответствующих преобразований будем иметь
γJ 2
V=
r .
(3.59)
8µ
Заменим в (3.59) гидравлический уклон J через соотношение J = hw / l
и решим это уравнение относительно потерь, получим
8µlV
hw =
.
(3.60)
2
γr
Приведем формулу (3.60) к универсальному виду. Для этого числитель
и знаменатель правой части умножим на 2 gv , удельный вес представим как
γ = ρg , а радиус трубы запишем через ее диаметр r = d / 2
64 µ l V 2
⋅ ⋅
,
hw =
vdρ d 2 g
или
hw =
64 l V 2
⋅ ⋅
.
Re d 2 g
Обозначим
64
.
(3.61)
Re
Окончательно получим известную в гидравлике формулу для определения потерь – формулу Дарси
λ=
l V2
hw = λ ⋅
,
(3.62)
d 2g
где λ - коэффициент сопротивления трения, зависящий при ламинарном режиме только от числа Рейнольдса и совершенно не зависящий от степени
шероховатости стенок трубы.
Опыт эксплуатации реальных жестких трубопроводов показывает, что в
них
75
λ=
,
(3.63)
Re
в резиновых шлангах
108
λ=
.
(3.64)
Re
3.12 Турбулентный режим движения
жидкости в трубах
Структура потока жидкости при турбулентном режиме иная, чем при
ламинарном. Турбулентность является одним из сложнейших гидравлических
явлений. При турбулентном движении скорости отдельных частиц жидкости,
в отдельных точках пространства, занятого жидкостью, все время меняются
по величине и направлению. Это изменение называют пульсацией скоростей.
Тем не менее, мгновенные скорости в данной точке пространства колеблются
около некоторой постоянной скорости, называемой осредненной. Мгновенное
значение вектора скорости в какой-либо точке можно представить как сумму
осредненной скорости и переменной по направлению и во времени пульсационной составляющей.
u мгн = u оср + u пульс .
(3.65)
Осредненная скорость направлена вдоль оси потока, пульсационная
может иметь любое направление и за достаточно большой промежуток времени равна нулю.
Исследованиями установлены три характерные области поперечного
сечения турбулентного режима.
Рис. 3.8
Непосредственно у поверхности трубы (рис. 3.8) имеется весьма тонкий
слой, называемый ламинарным подслоем, или ламинарной пленкой, где движение жидкости происходит в ламинарном режиме. Второй, также сравнительно тонкий слой, является переходной зоной от ламинарного к турбулентному режиму движения жидкости, а вместе они называются пограничным
слоем, отделяющим ядро потока, движущееся в турбулентном режиме, от
твердой стенки трубы или какого-либо иного русла.
Для выяснения закономерностей изменения скоростей и сил трения по
сечению потока при турбулентном режиме рассмотрим понятие о шероховатости стенок, ограждающих поток. Шероховатость является одной из причин
появления дополнительных гидравлических сопротивлений, и для ее оценки
введено понятие абсолютной шероховатости, обозначаемой через ∆.
Рис. 3.9
Если ламинарный подслой покрывает выступы шероховатости, труба
считается гидравлически (технически) гладкой (рис. 3.9).
Если выступы шероховатости больше, чем толщена ламинарного подслоя, труба называется гидравлически шероховатой.
Запишем уравнение для определения касательных напряжений при турбулентном режиме
2
 du cp 
du
 .
τ = µ + ρl 2 
(3.66)
dy
dy


Здесь l -условный коэффициент, имеющий линейную размерность и названный Прандтлем «длиной пути перемещения». По гипотезе Прандтля величина l пропорциональна удалению от стенки канала
l = ky ,
(3.67)
где y = r − h (рис. 3.7), k - коэффициент пропорциональности, называемый
универсальной постоянной. По данным Г.А. Гуржиенко k = 0,435 .
du
Первый член уравнения (3.66) µ ⋅
характеризует вязкостное трение,
dy
которое соответствует силам трения в ламинарном режиме. Второй член
2  du 
2
уравнения (3.66) ρl   выражает дополнительные касательные напря dy 
жения от пульсаций и с увеличением Re оказывает наибольшее влияние на
величину касательных напряжений.
du
Для развитого турбулентного режима величиной µ ⋅ , ввиду ее малоdy
сти, можно пренебречь, тогда
2  du ср 
2
τ = ρl 
 ,
 dy 
или
(3.68)
du cp
τ
=l
.
ρ
dy
Комплекс
(3.69)
τ
получил название «динамическая скорость»
ρ
uд =
τ
ρ
.
(3.70)
Подставим (3.67) и (3.70) в уравнение (3.69) и перепишем его
относительно du cp
du cp =
uД
dy .
ky
Примем u д = const , тогда после интегрирования
u
u cp = д ln y + C .
(3.71)
k
Постоянную интегрирования найдем из условия, что на оси потока
h = 0 , u cp = u max . С учетом этого осредненные значения скорости на рас-
стоянии h от оси потока будут равны
u
r
.
u cp = u max − д ln
k
y
3.13 Коэффициент гидравлического трения
(3.72)
Величина коэффициента гидравлического трения λ зависит от числа
Рейнольдса Re и относительной шероховатости стенок, ограждающих поток
жидкости ∆ / r .
Исследования по установлению этой зависимости впервые были проведены в 1932 г. Никурадзе и в 1937 г. проф. А.П. Зегжда.
Никурадзе были построены кривые по результатам экспериментальных
исследований для труб с искусственной шероховатостью. Из полученных им
графиков следует, что при движении жидкости в напорном трубопроводе
можно выделить три области.
Первая область относится к ламинарному режиму движения жидкости.
Эта область ограничена значениями Re < 2320 . Здесь λ зависит только от
числа Рейнольдса и не зависит от шероховатости стенок трубы
64
λ=
.
(3.73)
Re
Потери напора в этой области пропорциональны скорости течения жидкости в первой степени.
Вторая область принадлежит к турбулентному режиму движения жидкости в гидравлически гладких трубах. Коэффициент λ зависит также только
от Re . Значение λ в области гидравлически гладких труб при
2300 < Re < 100000 можно определить по формуле Блазиуса
λ=
0,3164
4
Re
(3.74)
или по формуле П.К. Конокова
λ=
1
(1,8 lg Re− 1,5)2
.
(3.75)
Третья область называется областью квадратичных сопротивлений. Она
r
наступает при числах Рейнольдса Re > 1120 .
∆
Без существенных ошибок величину λ в этой области можно определить по упрощенный универсальной формуле А.Д. Альтшуля
k
68
λ = 0,11 4 э +
,
(3.76)
d
Re
где k э - абсолютная величина эквивалентной равномерно-зернистой
шероховатости. Значения k э для труб из различных материалов имеются в
справочной литературе.
3.14 Местные потери напора
Местные потери напора возникают на относительно коротких участках
потока, где происходит изменение величины и направления средней скорости. Подобное изменение скоростей обычно имеет место в тройниках, кранах,
вентилях, задвижках и различной запорной арматуре. В области местных сопротивлений происходит образование вихрей, водоворотных зон и нарушение
струйности потока.
Рассмотрим местное сопротивление на примере внезапного расширения
потока (рис. 3.10). Обозначим р1 , р 2 , V1 ,V2 , ω1 , ω 2 - соответственно давления, скорости, площади в 1-м и
2-м сечениях.
Предположим,
что
распределение
скоростей
в
сечениях 1-1 и 2-2 равномерное,
т.е. α 1 = α 2 = 1 . Тогда уравнение
Бернулли для сечений, с учетом
потери напора h расш на расширение будет иметь вид
Рис.3.10
р1
γ
+
V12
2g
=
р2
γ
+
V22
2g
+ h расш ,
или
(3.77)
V12 − V22 р1 − р 2
h расш =
+
.
2g
γ
Применим к движущемуся объему жидкости теорему механики об изменении количества движения в проекциях на ось потока
∆К = ∑ F ⋅ ∆t ,
(3.78)
здесь ∆K - приращение количества движения, ∑ F ⋅ ∆t - сумма проекций на
ту же ось импульсов всех сил.
Пусть за время ∆t рассматриваемый объем переместился в положение
'
'
1 − 2 . Тогда ∆K будет равно разности между количеством движения в объеме 1-2. Так как объем жидкости, заключенный между сечениями 1' − 1' и 2-2
фактически остается на месте, то
∆K = ∆m2V2 − ∆m1V1 ,
(3.79)
где ∆m1 - масса жидкости в объеме 1 − 1' , ∆m 2 - масса жидкости в объеме
2 − 2' .
Из условия неразрывности следует, что
∆m1 = ∆m 2 = ρQ∆t =
тогда
γ
g
Q∆t ,
γ
(3.80)
Q(V2 − V1 )∆t .
g
В результате подстановки (3.80) в (3.78) получим
∆K =
γ
Q (V2 − V1 ) = ∑ F .
(3.81)
g
В проекциях на ось потока, слева на рассматриваемый объем действует
горизонтальная сила, приложенная к площади ω 1 , и сила, приложенная к
кольцевой площади ω 2 - ω 1 . Справа действует горизонтальная сила по площади ω 2 . Изменением давления на участке оси сечения 1-1 до внезапного расширения можно пренебречь, поэтому на площадь ω 2 - ω 1 действует давление
р1 , тогда
(3.82)
∑ F = р1ω1 + р1 (ω2 − ω1 ) − р2ω 2 = ( р1 − р2 )ω 2 .
Подставим (3.82) в (3.81)
γ
g
Q(V2 − V1 ) = ( р1 − р 2 )ω 2 ,
или
р1 − р 2
Q V2 − V1
=
⋅
.
γ
ω2
2g
Поскольку Q / ω 2 = V2 , то
(3.83)
р1 − р 2 V2 (V2 − V1 )
=
.
(3.84)
γ
g
Найденную разницу пьезометрических высот введем в выражение потерь напора (3.77)
V12 − V22 V2 (V2 − V1 )
h расш =
+
.
2g
g
После сложения получим
(V1 − V2 ) 2
h расш =
.
2g
По уравнению неразрывности V1 = V2
(3.85)
ω2
с учетом этого
ω1
2
2
 ω2
 V2
h расш = 
− 1 ⋅
.
ω
 1
 2g
(3.86)
Обозначим
2
ω

ξ =  2 − 1 ,
 ω1

где ξ - коэффициент сопротивления, учитывающий особенности конфигурации поточной части, в результате чего получим формулу Вейсбаха для
определения местных потерь напора
h расш = ξ
V22
2g
.
(3.87)
3.15 Коэффициент сопротивления системы.
Характеристика системы
Полные потери напора в каком-либо трубопроводе складываются из потерь напора на трение и потерь напора, вызванных местными сопротивлениями. Подобное суммирование потерь напора по всему пути движения жидкости в трубопроводе носит название принципа наложения потерь. В трубопроводе, состоящем из нескольких участков последовательно соединенных труб,
суммарные потери напора будут равны
Рис. 3.11
2
 λ (∑ l )
V
.
(3.88)
+ (∑ ξ )
∑ hw = 
 d
 2g
Рассмотрим несложную систему трубопровода, представленную на рис.
3.11. Трубопровод состоит из двух участков труб, все размеры которых и гидравлические характеристики известны. Помимо потерь напора на трение на
участках I и II в системе имеются местные потери на входе в трубу (а), на повороте (б), во внезапном расширении (в) и на выходе из трубы (г). Полные
потери напора в соответствии с формулой (3.88) сложатся из суммы
2
2
V12
V12
V22
V22
l1 V1
l 2 V2
⋅
+ λ2
⋅
+ ξ вх
+ ξ пов
+ ξ в. р.
+ ξ вых
.
∑ hw = λ1
d1 2 g
d 2 2g
2g
2g
2g
2g
Сгруппируем слагаемые с общими множителями
2
2
 l1
 V1  l 2
 V2
+ ξ вх + ξ пов  ⋅
+  λ
+ ξ в. р. + ξ вых  ⋅
.
∑ hw =  λ
 d1
 2g  d2
 2g
Из уравнения неразрывности потока
(3.89)
2
d 
ω
V1 = V2 2 = V2  2  .
ω1
 d1 
(3.90)
Подставим (3.90) в (3.89)
4
 l
 V2
 d 2 
l2
1
+ ξ вх. + ξ пов.   + λ2
+ ξ в. р. + ξ вых  ⋅ 2 . (3.91)
∑ hw =  λ1
d2
 d1
 2g
 d1 


Выражение, стоящее в квадратных скобках, представляет собой сумму
всех коэффициентов сопротивлений, приведенных к единому скоростному
напору и называется коэффициентом сопротивления системы ξ сист , тогда
∑ hw = ξ сист
V22
.
(3.92)
2g
Теперь запишем уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2 данной системы. Скоростными напорами пренебрегаем. Давления на свободной поверхности одинаковы и равны атмосферному. Поэтому
z1 = z 2 + ∑ hw .
(3.93)
Координата z1 есть исходный геометрический напор жидкости Н, находящийся в левом баке. Координата z 2 характеризует запас удельной энергии положения после перемещения жидкости через сопротивления из левого
бака в правый, назовем эту величину свободным напором hсв . Следовательно,
H = ∑ hw + hсв .
(3.94)
Выразим скорость V2 через расход V2 = Q / ω 2 и подставим в уравнение
(3.92)
2
1  Q 

 = K сист ⋅ Q 2 .
(3.95)
∑ hw = ξ сист
2g  ω 2 
Коэффициент К сист связывает суммарные гидравлические потери в системе с протекающим расходом.
Подставим (3.95) в (3.94) и окончательно получим
H = K сист ⋅ Q 2 + hсв .
(3.96)
Это уравнение называется характеристикой системы и показывает, каким напором необходимо располагать, чтобы обеспечить в системе расход Q
и свободный напор на выходе hсв .
3.16 Гидравлический расчет трубопроводов
По конструкции и гидравлическим условиям работы трубопроводы разделяются на простые и сложные, длинные и короткие.
Простым называется трубопровод, состоящий из последовательно соединенных труб одного или различных диаметров, без ответвлений, по всей
длине которого протекает постоянный расход. Все остальные трубопроводы
относятся к сложным.
Длинными считаются те трубопроводы, в которых на всем протяжении
l основными потерями напора являются потери на преодоление трения. Местные же потери невелики и составляют не более 5…10 % от общих потерь.
При расчете длинных трубопроводов местными потерями либо пренебрегают,
либо приблизительно учитывают их за счет увеличения длины.
l расч. = (1,05...1,1)l .
В коротких трубопроводах местные потери составляют более 10 %
суммарных потерь. Эти потери наряду с потерями на трение подлежит обязательному расчету. К коротким трубопроводам относятся всасывающие трубопроводы насосов, сифонные трубопроводы, топливопроводы, маслопрово-
ды систем гидропривода и трубопроводы гидравлических систем двигателей,
станков, механизмов и технологических линий.
Рассмотрим задачи гидравлического расчета простейшего трубопровода, состоящего из труб одинакового диаметра (рис.
3.12), где жидкость, вследствие разности
уровней в резервуарах, равной Н, перетекает из
резервуара I в резервуар II с некоторым
расходом Q.
1 Определим необходимый напор Н, обеспечивающий заданный расход Q при известных
размерах трубопровода l и d. Для этого составим уравнение Бернулли относительно сечений
1-1 и 2-2. Принимая, что V1 = V2 и
p1 = p = р 2 = р aтм получим z1 = z 2 + hw ,
отсюда H = z1 − z 2 = hw .
Рис. 3.12
Следовательно, весь действующий напор полностью расходится на преодоление гидравлических сопротивлений в трубопроводе. Этот напор Н сложится из потерь на трение (путевых потерь) и местных потерь напора.
e V2
V2
∑
Н =λ ⋅
+ ξ
.
(3.89)
d 2g
2g
2 Определим расход Q, если известен напор и размеры трубопровода. В
данной задаче с помощью зависимости (3.89) находим скорость
2 gH
V=
.
e
λ + ∑ξ
d
Тогда исходный расход найдется из выражения
Пd 2
Q =V ⋅ω =
4
2 gH
(3.90)
l
λ + Σξ
d
3 Определим диаметр трубопровода
d mp., если заданы расход, напор и все
остальные размеры.
Данная задача решается методом
последовательных приближений, в котором
задаются произвольно значе- нием диаметра и
по формуле (3.90) определяют расход Q . При
несовпадении найденного расхода с заданным
принимают иное значение диаметра и расчет
Рис 3.13
повторяют. Решение задачи может быть ускорено с помощью графика (рис. 3.13). На основании результатов не менее чем
четырех попыток расчета строится кривая Q = f (d ) . Искомый dтр. определяется графически, как это
показано на рисунке. Если местные потери напора в рассматриваемом трубопроводе незначительны и ими можно пренебречь,
то при наличии справочных таблиц со значениями расходных характеристик
все три задачи решаются значительно быстрее.
3.17 Гидравлический удар в трубах
Гидравлическим ударом называется резкое изменение давления в трубопроводе, вызванное внезапным изменением скорости движения жидкости.
Различают положительный и отрицательный гидроудар. Положительный удар
возникает при внезапном уменьшении скорости движения жидкости. В этом
случае давление в трубопроводе увеличивается. Отрицательный удар характеризуется
уменьшением
давления
в
трубопроводе.
За процессом развития явления гидравлического удара можно проследить на
трубопроводе, схема которого представлена
на рисунке 3.14. В результате внезапного
закрытия задвижки δ
в трубопроводе
произойдет резкое торможение жидкости. В
первый момент остановится слой жидкости,
непосредственно примыкающий к задвижке.
Рис 3.14
Вся остальная масса
жидкости, стремясь сохранить первоначальное направление движения, окажет на него давление и вызовет его сжатие. Затем произойдет остановка второго слоя, третьего и т.д. вплоть до напорного резервуара Q.
При этом одновременно с уплотнением жидкости будет происходить
повышение давления внутри трубопровода с некоторой скоростью с в направлении, противоположном движению жидкости. Для большинства трубопроводов значения этой скорости весьма велики и достигают величины 1000
м/с и более.
В момент, когда остановится последний слой, находящийся у резервуара, давление у задвижки достигнет наибольшего значения. Вся жидкость в
трубопроводе окажется сжатой и давление в
нем превысит давление в напорном резервуаре. Жидкость из трубопровода устремится обратно в резервуар. Произойдет снижение давления сперва в начальной области трубопровода, а затем зона пониженного давления в
виде обратной ударной волны с той же скоростью с распространится по направлению к задвижке. После того как обратное движение в
трубопроводе прекратится, и давление у заРис. 3.15
движки достигнет наименьшего значения, жидкость вновь устремится по направлению к задвижке. Произойдет повторный удар, и цикл смены давлений
в трубопроводе повторится еще несколько раз. При этом каждый новый удар
будет сопровождаться все меньшим и меньшим повышением давления. В
конце концов вследствие затраты энергии на сжатие жидкости и деформацию
стенок трубопровода этот процесс затухнет. На графике (рис. 3.15) представлена диаграмма, показывающая изменение давления во времени в процессе
развития гидравлического удара в трубопроводе. Видно, что наиболее высокое давление в трубопроводе наблюдается не в самом начале удара, а несколько позднее. Это объясняется тем, что явление удара происходит в упругой среде.
Наиболее высокое повышение давления в трубопроводе возникает в
случае так называемого прямого гидравлического удара, который наблюдается при очень быстром закрытии задвижки. Время пробега ударной волны от
задвижки к напорному резервуару и обратно называется продолжительностью фазы гидравлического удара, или временем цикла
2l
Т= .
(3.91)
с
В случае прямого удара отраженная волна подойдет к задвижке, когда
последняя будет полностью закрыта. При более медленном закрытии задвижки в трубопроводе произойдет непрямой гидравлический удар. В этом случае
отраженная волна подойдет к задвижке раньше полного перекрытия трубопровода и повышение давления будет меньшим, чем при прямом ударе.
Явление гидравлического удара было открыто и впервые исследовано
проф. Н.Е. Жуковским, который для определения повышения давления в случае прямого гидроудара вывел следующую зависимость:
∆p = ρcV .
(3.92)
Здесь V –величина потерянной скорости.
Скорость распространения ударной волны находится также по формуле
Н.Е. Жуковского
Еo
с=
ρ
,
(3.93)
Еo d
1+
Eδ
где Ео, Е – соответственно модуль упругости жидкости и материала стенок
трубы, d δ - соответственно диаметр и толщина стенки трубы.
Для обычных стальных и чугунных водопроводных труб общего применения скорость с имеет значение около 1000…1300 м/с. Это значит, что
каждый потерянный метр скорости движения воды согласно формуле (3.92)
вызывает повышение давления в трубопроводе на 10…13 атмосфер.
Гидравлический удар - весьма нежелательное явление в эксплуатации
трубопроводных систем. Основной мерой борьбы с гидроударом является
увеличение времени закрытия трубопроводных затворов. С этой целью на
практике применяют затворы только вентильного типа.
При внезапной остановке насосов, турбин и других устройств, причин
которой заранее устранить нельзя, на трубопроводах устанавливают специальную арматуру в виде предохранительных клапанов, снижающих эффект
гидравлического удара.
Библиографический список
1. Гидравлики. Гидрология: Учебник в 2-х ч. / Под ред. Н.М. Константинова. – М.: Высш. шк., 1987. – Ч. 1: Общие законы. – 303 с.; Ч. 2:
Специальные вопросы. – 430 с.
2. Осипов П.Е. Гидравлика. Гидравлические машины и гидропривод:
Учеб. пособие / П.Е. Осипов. – 3-е изд. – М.: Лесн. пром-сть, 1981. –
424 с.
3. Лебедев Н.И. Объемны гидропривод машин лесной промышленности: Учеб. пособие / Н.И. Лебедев. – 2-е изд. – М.: Лесн. пром-ть,
1986. – 293 с.
4. Рид Р.К. Свойства газов и жидкостей; Под ред. В.Б. Когана / Р.К.
Рид, Т.К. Шервуд. – 2-е изд. – Л.: Химия, 1971. – 702 с.
5. Справочное пособие по гидравлике, гидромашинам и гидроприводам
/ Под общ. ред. Б.Б. Некрасова. – 2-е изд.. – Минск: Высш. шк., 1985.
– 382 с.
6. Чугаев Р.Р. Гидравлика: (Техническая механика жидкости). – 4-е изд.
– Л.: Энергоиздат. Ленингр. отд-ние, 1982. – 672 с.
7. Повх И.Л. Техническая гидромеханика / И.Л. Повх. – Л.: Машиностроение, 1976. – 502 с.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
1
Размер файла
498 Кб
Теги
механика, технические, гидравлика, жидкости, белокуров
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа