close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Данилов А. Д. Цифровые системы управления

код для вставкиСкачать
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Воронежская государственная лесотехническая академия»
А.Д. Данилов
В.Н. Головнев
Цифровые системы управления
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Воронежская государственная лесотехническая академия»
А.Д. Данилов
В.Н. Головнев
Цифровые системы управления
Допущено Учебно-методическим объединением вузов по образованию в
области автоматизированного машиностроения (УМО АМ) в качестве учебного
пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по
направлению подготовки дипломированных специалистов
«Автоматизированные технологии производства»
Воронеж
ГОУ ВПО «Воронежская государственная лесотехническая академия»
2007
УДК 681.326
ББК 32.973.2
Д 18
Данилов, А.Д. Цифровые системы управления [Текст] : учеб. пособие / А.Д.
Данилов, В.Н. Головнев ; Фед. агентство по образованию, ГОУ ВПО «ВГЛТА».
– Воронеж, 2007. – 235 с. – ISBN 978-5-7994-0208-2.
В учебном пособии изложен материал, необходимый для понимания
цифрового управления.
Показано, что цифровые и непрерывные системы фактически близки, а
реакция
спроектированной
системы
управления совпадает
с реакцией
непрерывной системы.
Рассмотрены
следующие
пути
проектирования
цифровых
систем
управления: проектирование в непрерывном времени, а затем дискретизация
регулятора перед реализацией и моделирование процесса цифровой моделью
с выполнением проектирования в дискретном времени.
Предназначено для студентов специальности
210200 (220301) –
Автоматизация технологических процессов и производств, а так же для
инженеров промышленных предприятий.
Ил. 78. Табл. 6. Библиогр.: 5 наим.
Печатается по решению редакционно-издательского совета
ГОУ ВПО «ВГЛТА»
Научный редактор проф. В.С. Петровский
Рецензенты: кафедра автоматизации технологических процессов ВГАСУ;
д-р техн. наук., проф. В.П. Смоленцев
ISBN 978-5-7994-0208-2
© Данилов А.Д., Головнев В.Н., 2007
© ГОУ ВПО «Воронежская государственная
лесотехническая академия, 2007
3
ВВЕДЕНИЕ
В.1. Роль вычислительной техники в управлении процессами
Применение вычислительной техники (ВТ) в автоматическом управлении
– важнейшая черта технической инфраструктуры современного общества. Промышленность, транспорт, системы связи и защита окружающей среды существенно зависят от компьютерных систем управления. Практически ни одна техническая система от железной дороги до ядерного реактора – не работает без
той или иной формы управления. Цифровые электронные вычислительные машины (ЭВМ) – компьютеры – играют здесь ключевую роль; во многих случаях
не существует реальной альтернативы компьютерному управлению процессами.
Для описания особой роли компьютеров в управлении процессами необходимо определить, что, собственно, подразумевается под термином "процесс".
Физический процесс – это последовательная смена состояний объектов физического мира. Процессами в этом смысле, следовательно, являются движение, химические реакции или теплообмен. Примеры процессов – промышленное или
химическое производство, кондиционирование воздуха в помещении (изменение физических параметров - температуры и влажности), движение транспортного средства, которое есть суть управляемое изменение его скорости и положения. Обработка информации сама по себе не привносит видимых изменений в
физический мир и, таким образом, не может быть отнесена к физическим процессам.
Немецкий технический стандарт DIN 66201 дает точное определение физического процесса как "комбинации связанных событий в системе, в результате которых изменяются, перемещаются или запасаются материя, энергия и информация". Технический процесс определен как "процесс, физические переменные которого можно измерить и изменить техническими средствами". Разница
4
между физическим и техническим процессами заключена, следовательно, в том,
что физический процесс не обязательно должен управляться извне, а технический процесс включает обработку информации для достижения заданной целевой функции.
Любой физический процесс характеризуется входом и выходом в виде:
- материальных компонентов;
- энергии;
- информации.
Некоторые примеры приведены в табл. В.1.
Таблица В.1
Примеры входных и выходных потоков процесса
Химический
реактор
Ввод материальных Потоки
исходных
компонентов (сырья) реагентов
Выход материальных Один или несколько
компонентов (проновых продуктов
дукции)
Ввод энергии
Нагревание или охлаждение
Выход энергии
Получение тепла от
реакции
Ввод информации
Управление входными потоками реагентов и дополнительным нагревом
Вход/Выход
Вывод информации
Измерение температуры давления, интенсивности потоков,
концентрации
Кондиционирование
воздуха
Управление
самолетом
Нагревание или охлаждение
Излучение тепла
Топливо к двигателям
Движение самолета
Управление температурой и интенсивностью поступления
нагревающей
/охлаждающей жидкости
Измерение температуры
Управление двигателем и аэродинамическими поверхностями
Измерение скорости,
высоты, углов атаки,
крена, курса
5
В общем случае материальные компоненты (энергию и информацию)
можно рассматривать как входные и выходные потоки, которые изменяются в
ходе физических/технических процессов.
Материалы и энергия, очевидно, являются основными составляющими
физического процесса. Информация – тоже неотъемлемая часть всякого процесса, однако осознание этого факта произошло не так давно.
Всегда существуют посторонние по отношению к цели процесса факторы,
которыми нельзя управлять, но которые оказывают влияние на процесс. Эти
факторы рассматриваются как возмущения, отклоняющие процесс от штатного
рабочего режима (рис. В.1). Возмущения сами по себе не являются физическими величинами, а проявляются в виде случайных флуктуации в потоках материалов, энергии и информации.
Процесс производства заключается в выпуске продукции из сырья с соответствующими затратами (вводом) энергии. Входной информацией являются технологические инструкции, выраженные в виде набора параметров, которые можно
явно контролировать. Выходная информация есть набор измеряемых переменных и параметров, которые описывают текущее состояние процесса и его изменение. Большое количестве информации заключено в самом конечном продукте. Информация, следовательно, есть не только данные для наблюдения и
управления, но и технологические и организационные процедуры вплоть до
циркулирующих по кабинетам служебных документов и заявок на поставку.
Этот вид информации так же важен, как и любой другой элемент, обеспечивающий нормальный ход и оптимизацию производственного процесса.
6
Внешняя среда
Ввод сырья
Ввод энергии
Физический/технический
процесс
Ввод информации
Выход продукта
Выход энергии
Вывод информации
Рис. В.1. Обобщенная модель физического/технического процесса
Вход и выход процесса в последующем изложении понимаются в очень
широком смысле. Например, в случае транспортной системы не сразу может
быть очевидным, что же является результатом (выходом). Действительно,
транспортировка включает изменение географического положения (физического состояния), т. е. производится работа, а работа есть форма энергии. Следовательно, результатом процесса "перемещения" является изменение физической
переменной "энергия".
Информация – важнейший компонент управления физическими процессами, поскольку она позволяет лучше использовать два других слагаемых процесса – материю и энергию. Учитывая глобальнейшие проблемы, связанные с
производственной деятельностью (истощение природных ресурсов, отходы и
загрязнение окружающей среды), большой интерес представляет любое повышение эффективности процесса и снижение побочных эффектов. Обработка
информации, улучшающая характеристики технического процесса, выгодна в
любом случае.
7
Ввод информации
компьютер
Вывод информации
Рис. В.2. Обработка информации компьютером
Компьютеры, собственно, и предназначены для обработки информации
(рис. В.2), в том числе и относящейся к техническим/физическим процессам
(рис. В.3). В большинстве случаев компьютеры выполняют две основные функции: во-первых, контролируют, находятся ли параметры технического процесса
в заданных пределах, и, во-вторых, инициируют соответствующие управляющие воздействия, чтобы параметры оставались в этих пределах даже при наличии внешних возмущений.
Внешняя среда
возмущения
Ввод сырья
Ввод энергии
Физический/технический
процесс
Выход продукта
Выход энергии
вывод информации
ввод информации
ввод
вывод
компьютер
Рис. В.3. Применение компьютера в управлении процессом
Управление техническим процессом существенно отличается от обычной
обработки данных. В таких приложениях, как бухгалтерский учет или редактирование текста, и вход, и выход представляют собой данные в чистом виде, т. е.
их можно хранить или передавать с помощью любого носителя информации. В
8
этом случае время обработки зависит только от производительности компьютера, а результат будет всегда один и тот же.
Ситуация меняется в случае управляющих компьютеров. Здесь обработка
данных зависит не от компьютера и его производительности, а, напротив, следует за событиями во внешнем мире, т. е. процессом. Компьютерная система
управления должна достаточно быстро реагировать на внешние события и постоянно обрабатывать поток входных данных, чаще всего не имея возможности
изменить их количество или скорость поступления. Одновременно может потребоваться и выполнение других операций, например обмен информацией с
оператором, вывод данных на экран и реакция на определенные сигналы. Этот
режим обработки данных оказался настолько важным, что получил специальное
название – режим реального времени (геаl-time mode).
В.2. Структура системы цифрового управления процессами
Примеры цифрового управления встречаются везде, начиная от товаров
массового спроса и до высокотехнологичной продукции. Сегодня в самом
обычном автомобиле компьютеры применяются для управления как зажиганием
и составом бензиновой смеси, так и температурой в пассажирском салоне. Даже
настройка приемника не доверяется водителю, а управляется микропроцессором, который иногда не упрощает, а наоборот, усложняет жизнь.
На первый взгляд может показаться, что системы управления химическим
производством или движением на крупной железнодорожной станции имеют
мало общего с роботами для окраски автомобилей или с бортовым компьютером космического корабля. Однако во всех этих системах имеются одинаковые
функциональные блоки – сбора данных, управляемые таймером или прерываниями функции, контур обратной связи, обмен данными с другими компьютерами и взаимодействие с человеком-оператором.
9
В общем случае система цифрового управления физическим/техническим
процессом состоит из следующих компонентов (рис. В.4):
- управляющей ЭВМ;
- каналов обмена информацией;
- аналого-цифровых и цифро-аналоговых преобразователей (АЦП и ЦАП);
- датчиков и исполнительных механизмов;
- собственно физического/технического процесса.
аналоговые
сигналы
датчики и исполнительные
механизмы
цифровые
данные
АЦП и ЦАП
цифровые сигналы
физический/
технический
процесс
сетевой интерфейс
Сеть передачи данных
или системная шина
управляющая
ЭВМ
Рис. В.4. Основная структура системы цифрового управления
процессом
Физический процесс контролируется с помощью датчиков, т. е. устройств,
преобразующих физические параметры процесса (температуру, давление или
координаты) в электрические величины, которые можно непосредственно измерить (сопротивление, ток или разность потенциалов). Примерами датчиков являются термисторы (датчики температуры), концевые выключатели и ультразвуковые микрофонные зонды. Непосредственное влияние на процесс осуществляется с помощью исполнительных механизмов. Последние преобразуют электрические сигналы в физические воздействия, главным образом движение – перемещение и вращение, которые можно использовать для других целей, напри-
10
мер для открытия клапана.
Примерами исполнительных механизмов могут служить сервомоторы,
гидроклапаны и пневматические позиционирующие устройства.
Цифровые системы управления работают только с информацией, представленной в цифровой форме, поэтому полученные в результате измерений
электрические аналоговые величины необходимо обработать с помощью аналого-цифровых преобразователей (АЦП). Обратная операция – управление исполнительными механизмами (электромоторами и клапанами) – несколько проще,
поскольку компьютер может непосредственно вырабатывать электрические
сигналы.
Информация от удаленных объектов через каналы связи поступает к центральному управляющему компьютеру
- который интерпретирует все поступающие от физического процесса
данные;
- принимает решения в соответствии с алгоритмами программ обработки;
- посылает управляющие сигналы;
- обменивается информацией с человеком-оператором и реагирует на его
команды.
Нет ничего неожиданного в том, что поточное производство и машиностроение обеспечивают благоприятную почву для применения ВТ. Станки с числовым программным управлением (ЧПУ, Numerical Control – NC), производя
высокоточные механические детали, выполняют строго определенную последовательность операций. Такие станки применяются во многих отраслях; их работа зависит от программного обеспечения, которое можно сравнительно быстро
и дешево заменить. Гибкость промышленных роботов и многообразие выполняемых ими операций обеспечиваются, главным образом, компьютерным
управлением. Если один станок не может обработать деталь, то гибкая производственная система (Flexible Manufacturing System– FMS) обеспечит выполне-
11
ние необходимых операций другим станком участка или подразделения завода.
В такой системе работа каждого станка, их взаимодействие и перемещение деталей управляются компьютерами.
Вычислительная техника применяется и в отраслях, имеющих другой характер производства, в частности в химической, металлургической, целлюлозно-бумажной и т. п. Разные технологические процессы обычно взаимосвязаны,
и между ними постоянно перемещаются значительные материальные потоки.
Такие производства, как правило, носят непрерывный характер, поэтому важнейшим фактором является надежность. Кроме того, обычно число измеряемых
переменных очень велико, масштаб времени процессов в рамках одного предприятия составляет от нескольких секунд до нескольких дней, а территория может иметь значительные размеры. При высоких капитальных вложениях и
стоимости материалов даже небольшие изменения параметров производства и
показателей качества существенно влияют на экономику предприятия и конкурентоспособность продукции. Поэтому качество компьютерных систем управления имеет решающее значение.
Электроэнергетические системы относятся к категории наиболее сложных. Они включают первичные источники энергии – ГЭС, ТЭЦ и АЭС, а также
крупные передающие и распределительные сети. Чтобы описать объединенную
электроэнергетическую систему даже небольшой страны, необходимы тысячи
уравнений для генераторов, турбин, линий электропередачи, нагрузок и т. д.
Электрическую энергию нельзя запасти в сколько-нибудь значительных количествах, и поэтому ее приходится производить одномоментно с потреблением.
Управление генерацией и передачей электрической энергии должно быть быстрым и точным, чтобы своевременно выявлять и удовлетворять увеличение нагрузки, задействуя либо имеющиеся свободные генерирующие мощности, либо
мощности других энергосистем.
Для этого, кроме многих других факторов, диспетчерские службы должны
12
следить за нагрузкой в часы работы предприятий, а иногда даже учитывать начало и окончание популярной телевизионной программы.
Управление транспортом включает в себя множество задач, решаемых с
помощью компьютерного управления. Методика управления светофорами хорошо известна, однако определение оптимальной стратегии представляет собой
далеко не тривиальную задачу. Сколько людей мучается перед красным сигналом и расстраивается из-за преимущества, которое (как всегда кажется) получает другое направление движения. Управление системой светофоров в городском
районе является сверхсложной задачей, поскольку движение через перекрестки
достаточно сильно взаимосвязано, в результате возникают сложные эффекты
взаимного влияния транспортных потоков.
Однако нельзя забывать и о другом. Автоматизация означает не только
фантастические суперсовременные приложения вроде автоматизированных
фабрик и роботов. В большинстве стран эти направления почти не играют никакой роли из-за отсутствия технологической базы и должного общего уровня
развития. С другой стороны, автоматизация необходима именно в слабо- и
среднеразвитых странах для того, чтобы снизить потребление всегда ограниченных энергетических и материальных ресурсов, улучшить безопасность и
эффективность промышленных производств, загрязняющих окружающую среду.
В.3. Особенности систем цифрового управления
Компьютеры, управляющие процессами, имеют другие задачи, нежели
компьютеры, используемые для "классической" обработки информации. Основная разница состоит в том, что управляющий компьютер должен работать со
скоростью, соответствующей скорости процесса (рис. В.1). Само понятие "реальное время" указывает на то, что в реакции компьютерной системы на внеш-
13
ние события не должно быть заметного запаздывания.
Оператор
Компьютер, работающий
в режиме реального времени
Физический/
технический
процесс
Внешняя среда
Рис. В.5. Применение компьютера в управлении процессом
Другая главная особенность компьютерного управления процессом заключается в том, что ход исполнения программы нельзя определить заранее.
Внешние сигналы могут прерывать или изменять последовательность исполнения операторов программы, причем для каждого нового прогона по-разному.
Кроме того, существует проблема эффективного использования ресурсов компьютерной системы с учетом временных ограничений. Все это требует специальных методов программирования. Дополнительную проблему представляет
собой тестирование систем реального времени из-за отсутствия предсказуемого
порядка выполнения операторов программы по сравнению с обычными компьютерными системами.
Параллельность – одно из важных свойств реального мира. Все события
вокруг нас, мы сами и фактически любые физические процессы можно представить в виде множества "подпроцессов", которые протекают параллельно. Из
этого свойства следует важный вывод: компьютер, взаимодействующий с таким
процессом или управляющий им, должен учитывать эту параллельную природу,
а в некоторых ситуациях и работать в соответствии с ней. Естественным следствием параллельной природы реального мира является то, что компьютер должен
уметь управлять параллельными задачами. В этом и заключается отличие
управляющего компьютера от обычного, для которого естественным является
14
последовательный режим.
Рассмотрим конкретные примеры управления процессами.
1. Управление последовательностью событий и бинарное управление
Простой химический реактор, представленный на рис. В.6, – пример системы управления последовательностью событий. В химическом реакторе реагенты перемешиваются с помощью смесителя. Входные потоки реагентов и выход продукта регулируются входными клапанами А и Б и выходным клапаном
В соответственно. Уровень давления в баке контролируется датчиком Д, а температура – датчиком Т. Температура регулируется горячей или холодной водой,
подаваемой в окружающий бак кожух; потоки воды регулируются клапанами Г
(горячо) и X (холодно).
В этом примере в реакторе выполняются следующие операции:
1. Открыть клапан А и залить в бак реагент 1.
2. Если датчик давления Д показывает, что достигнут требуемый уровень,
то закрыть клапан А.
3. Запустить смеситель.
4. Открыть клапан Б и залить в бак реагент 2.
5. Если датчик давления Д показывает, что достигнут новый требуемый
уровень, то закрыть клапан Б.
6. Открыть клапан Г для нагрева бака.
7. Если датчик Т показывает, что достигнута требуемая температура, то
закрыть клапан Г.
8. Установить таймер на время протекания химической реакции.
9. При срабатывании таймера – время реакции истекло – остановить смеситель.
15
Рис. В.6. Простой химический реактор с регулированием температуры
10.Открыть клапан X для охлаждения бака.
11. Проверить температуру в баке. Если температура упала ниже заданного предела, то закрыть клапан X и открыть клапан В для опорожнения бака.
12. Закрыть клапан В. Повторить все этапы с самого начала.
Многие системы предназначены для управления очередностью выполнения операций, которая зависит от некоторых логических условий, как в приведенном примере. Входные и выходные данные системы являются бинарными в
том смысле, что датчики контролируют два состояния или граничное значение,
например клапан открыт или закрыт, индикатор сработал или нет, кнопочный
выключатель нажат или отжат и т. д.; и команды управления имеют аналогичный формат – запустить/остановить двигатель, включить/отключить нагреватель и т. п.
16
Если задача управления основана только на бинарной логике, то очевидно, что решать ее удобнее и проще цифровыми средствами. Существуют так называемые программируемые логические контроллеры, специально созданные
для решения таких задач.
2. Простой контур управления – регулятор температуры
Рассмотрим бак, заполненный жидкостью, температура которой должна
поддерживаться постоянной (рис В.7). Все сигналы в этом примере – аналоговые, т. е. изменение температуры отслеживается непрерывно, в отличие от предыдущего примера, где проверялось лишь превышение порогового значения, а
подача тепла может регулироваться плавно.
Рис. В.7. Простая система регулирования температуры
Температура измеряется датчиком, выходное напряжение которого пропорционально текущей температуре (пропорциональная зависимость существует как минимум в интересующем диапазоне температур). Измерения периодически, например каждую секунду, поступают в компьютер, и текущее значение
температуры сравнивается с требуемым (опорным), которое хранится в памяти
компьютера. Величина нагрева или охлаждения рассчитывается по разности
между опорным и измеренным значениями (рис В.8).
17
В зависимости от исполнительного механизма – устройства, непосредственно влияющего на процесс, – меняется вид управляющего сигнала, подающегося на его вход. Температуру можно регулировать с помощью нагревателя, периодически включаемого на заданный интервал времени, или использовать теплообменник, соединенный с трубопроводами пара и холодной воды. В первом
случае управляющим действием является момент включения нагревателя; во
втором – регулирование осуществляется за счет открытия или закрытия клапанов трубопроводов пара и охлаждающей жидкости
Сигнал управления
нагревателем
Опорное значение
температуры
Управляющий компьютер
Контроллер
Бак
Текущее значение
температуры
Рис. В.8. Простой контур управления – система регулирования температуры
Регулятор температуры демонстрирует некоторые основные свойства
контура управления. Температура должна измеряться с частотой, определяемой
постоянной времени процесса. Если теплоемкость бака велика, то постоянная
времени имеет относительно большое значение. Наоборот, если объем бака небольшой, а нагреватель мощный, то постоянная времени процесса мала и система управления должна достаточно часто измерять температуру и включать
или отключать нагреватель. Таким образом, при проектировании цифровой системы управления должны быть учтены основные динамические характеристики
процесса.
18
3. Генерация опорного значения
Иногда в химической реакции необходимо поддерживать величину температуры в соответствии с опорным значением (reference value) – уставкой (set
point value), – которое постоянно пересчитывается во время протекания процесса. Вычисление опорной температуры не должно иметь заметного запаздывания
– каждое ее новое значение должно быть рассчитано до момента очередного
сравнения с текущей температурой. Этот процесс схематично представлен на
рис В.9.
Система, отслеживающая значение опорного сигнала с достаточной точностью и быстротой, называется сервомеханизмом или, кратко, серво. В сервосистемах опорные значения либо рассчитываются, либо задаются в виде таблиц.
Например, в системе управления роботом перемещения манипулятора, как
функция времени, описываются траекторией. Траектория рассчитывается заранее как кривая в пространстве, которая называется путь (path) или контур (contour), и хранится в табличном виде в памяти компьютера вместе с заданными
интервалами времени. Таким образом, набор опорных значений для контроллеров положения шарниров манипулятора известен в любой момент времени. Однако во многих случаях траектория должна рассчитываться одновременно с перемещением манипулятора робота, что существенно загружает ЦП из-за сложной геометрии манипулятора.
Опорное значение
(установка)
Вычисление опорного значения
Сигнал
управления
Контроллер
Управляющий компьютер
Рис. В.9. Генерация опорного значения
Технический процесс
Результат измерения
19
Каждое вновь вычисленное опорное значение сравнивается с текущим
положением. Затем компьютер посылает сигналы коррекции двигателям, управляющим механическими шарнирами. Должна быть также предусмотрена и обратная операция – определение положения манипулятора по углам поворотов
шарниров. Оба вида расчетов требуют значительных вычислительных ресурсов
и критичны по времени.
4. Системы, содержащие несколько контуров управления
Во многих приложениях необходимо регулировать сразу несколько параметров – температуру, уровень, давление, положение и т. д., – для каждого из
которых используется свой контур управления. В большинстве случаев эти отдельные задачи можно решить независимо друг от друга с помощью локальных
специализированных регуляторов на основе алгоритма, аналогичного показанному на рис. В.8. Альтернативным решением является использование центрального управляющего компьютера, который выполняет одну и ту же программу
для различных параметров и входных данных каждого контура. Эта управляющая подпрограмма для каждого контура может исполняться со своей периодичностью, при этом компьютер должен обладать достаточными ресурсами для обработки всех данных за требуемое время.
Рассмотрим офисное здание или многоквартирный дом, в котором необходимо регулировать температуру каждой отдельной комнаты. Фактическое
значение температуры в каждой комнате зависит от влияния внешних факторов
– открытых или закрытых окон и дверей, количества людей в комнате, включено ли освещение и т. д. Для регулирования температуры в этом случае можно
использовать один компьютер, который поочередно обслуживает каждую комнату. Компьютер многократно исполняет одну и ту же программу управления
каждый раз с новыми значениями выходных и входных переменных.
20
5. Взаимосвязанные системы
На сложных производствах одновременно используются разные типы
управления, и, соответственно, существует взаимосвязь между частными процессами. Например, запуск промышленного процесса может заключаться в выполнении ряда последовательных шагов аналогично химическому реактору из
примера 1. После достижения процессом заданного рабочего состояния управление переводится на систему регулирования с обратной связью для более точного поддержания требуемого режима. Примерами в этом смысле могут служить система электропривода и химический реактор. Двигатель или реактор
выводится на рабочий режим при помощи управления последовательностью событий, а затем вступает в действие регулятор с обратной связью для поддержания требуемого значения скорости вращения или температуры соответственно.
Пример из поточного производства служит иллюстрацией другого вида
взаимодействия структур управления. В технологической линии робот перемещает детали между несколькими станками с ЧПУ. Положение и скорость каждого механизма, включая и робота, управляются несколькими контурами регулирования с обратной связью типа показанных на рис. В.8 и В.9. Очевидно, что
механизмы не могут работать независимо и их действия должны координироваться. Для синхронизации работы станков и робота необходимо наличие
управляющей системы – диспетчера. Механизмы посылают диспетчеру сигналы
о своем рабочем состоянии, как то: "операция выполнена", "робот блокирован",
"станок готов к получению новой детали" и т. д. Диспетчер определяет соответствующие управляющие воздействия для наиболее эффективного использования станков и робота, одновременно пытаясь избежать конфликтных ситуаций
типа длительного простоя станков или взаимных блокировок.
21
6. Критичные по времени процессы
Многие процессы требуют высокого быстродействия системы управления. Рассмотрим, например, регулирование скорости прокатного стана. Работу
различных двигателей и механизмов прокатного стана необходимо синхронизировать с высокой точностью, в противном случае стальная полоса может либо
порваться, либо значительно погнуться. Идея управления заключается в некотором ослаблении натяжения стальной полосы в течение всего процесса. Высокая
скорость движения полосы (10…100 м/с) обусловливает необходимость распознать изменение скорости любого двигателя в пределах нескольких миллисекунд с последующей коррекцией скорости других двигателей. Разумеется, это
предъявляет весьма высокие требования к быстродействию управляющего компьютера.
7. Свойства процессов, усложняющие управление
Уровень сложности системы управления определяется, в первую очередь,
свойствами управляемого процесса. Среди прочих проблем, усложняющих
управление, наибольшее влияние оказывают:
- нелинейность процесса;
- изменяющаяся внешняя среда;
- изменение условий самого процесса;
- значительные временные задержки;
- внутренние связи процесса.
Практически все физические процессы по своей природе нелинейны.
Фактически линейные соотношения в большинстве случаев представляют собой
искусственное упрощение реального положения вещей. Например, зависимость
между силой реакции и удлинением пружины в механических системах очень
часто нелинейна, т. е. если удлинение пружины увеличивается в два раза – сила
22
реакции не удваивается, а растет быстрее. Скорость протекания реакции в
большинстве химических процессов нелинейно зависит от температуры. При
некоторой рабочей температуре изменение последней на несколько градусов
вызывает изменение скорости реакции. Это, однако, не означает, что такое же
изменение при другой рабочей температуре приведет к точно такому же изменению скорости реакции.
Тем не менее, благодаря своей простоте – по крайней мере, по сравнению
с нелинейным представлением – линейные модели позволяют создавать удобные аппроксимации физических систем.
Важный вид нелинейности – насыщение магнитных материалов электрических машин. Намагничивание якоря является функцией не одной переменной,
а зависит от "истории" двигателя, т. е. состояний, предшествовавших текущему
режиму, – эффект гистерезиса. Разгон электрического двигателя от нулевой
скорости до половины номинальной не то же самое, что снижение скорости от
номинальной до ее половины. При проектировании системы управления такие
факторы необходимо учитывать.
Нелинейность встречается не только в физических процессах, но и в их
интерфейсе с компьютером, т. е. в датчиках и исполнительных механизмах. Типичный пример – переключающий клапан: он может быть либо полностью открыт, либо полностью закрыт. Компьютер способен на основе сложных вычислений определить, что оптимальный входной поток для процесса составляет 46
или 107 % от значения, соответствующего полному открытию, но реально для
клапана возможны лишь два значения 0 или 100 %. Кроме того, быстро изменяющиеся сигналы управления могут вызвать износ клапана, поэтому их необходимо избегать.
Меняющиеся условия внешней среды проявляются, например, в динамике
самолета. Самолет ведет себя по-разному на малых и больших высотах из-за
разницы в плотности воздуха. Реакция на движение закрылков проявляется
23
сильнее на низких высотах, где воздух более плотный. Поэтому автопилот должен учитывать высоту наряду с десятками других факторов, чтобы управлять
самолетом при изменяющихся условиях.
Поведение парового котла представляет собой пример процесса с изменяющейся динамикой. Из-за внутренних нелинейностей динамика котла существенно различна при малых и больших уровнях мощности. Это означает, что
настройки параметров регулятора должны зависеть от уровня мощности, на котором в данный момент работает котел. Рабочие параметры как функцию мощности можно сохранить в виде таблицы; такой метод называется табличным
управлением коэффициентом усиления.
Запаздывание сигналов или наличие зон нечувствительности (мертвых
зон) представляет собой серьезную проблему для управления. Из-за этого регулятор функционирует на основе устаревших данных, вплоть до того, что он может выдавать ложные команды. Запаздывания всегда присутствуют в тех процессах, где некоторые параметры нельзя измерить непосредственно. Например,
при регулировании концентрации жидкости ее величина измеряется в нижнем
сечении трубы и затем передается регулирующему клапану, расположенному
выше по течению. Время, требуемое для того, чтобы поток с новыми характеристиками достиг точки измерения, приводит к запаздыванию информации, которое может вызвать неустойчивую работу, т. е. осложнить достижение и поддержку требуемой концентрации. Временные запаздывания создаются не только длинными трубами. Многие типы датчиков характеризуются некоторым
временем, необходимым для получения нового значения измеряемой величины,
что ведет к задержке системы управления и, как следствие, к неустойчивости.
Хорошей иллюстрацией последствий запаздывания в распространении
сигнала служит эксперимент, демонстрируемый в некоторых музеях науки и
техники. Вы говорите в микрофон и слышите собственный голос в наушниках.
Если сигнал от микрофона поступает с задержкой более чем на несколько долей
24
секунды, то вы быстро сбиваетесь и прекращаете говорить. Этот пример наглядно демонстрирует неустойчивость, вызванную задержками во времени. Подобный эффект иногда встречается при разговоре по телефону через спутник.
Запаздывания такого рода осложняют разговоры.
Регулятор в системе с временными задержками должен "помнить" старые
управляющие воздействия, т. е. он должен хранить значения выходных управляющих сигналов и использовать их для последующих расчетов. Существуют
регуляторы, способные компенсировать временные задержки. Они содержат
модель управляемого процесса в той или иной форме и оценивают по специальным алгоритмам текущие значения тех переменных, которые нельзя измерить
прямо без запаздывания.
Учет внутренних взаимосвязей добавляет массу сложностей в модель
процесса, даже если он в основе своей прост. Примером в этом смысле может
служить задача регулирования температуры в комнатах здания. Если открывается окно в одной из комнат, то температура меняется не только локально, но и
до некоторой степени в соседних комнатах. Систему с внутренними связями,
где изменение на одном из входов влияет сразу на несколько выходов, можно
представить в виде блок-схемы, приведенной на рис. В.10.
возмущения
технический процесс
входные сигналы (управление)
выходные
сигналы (измерения)
Рис. В.10. Внутренние взаимосвязи технического процесса
Для систем производства и передачи электрической энергии характерны
большинство из отмеченных ранее проблем. Система чрезвычайно сложна во
25
всех смыслах – имеет большое число составляющих, обладает нелинейной динамикой, должна работать в рамках жестких временных ограничений, подвержена постоянному изменению нагрузки и внешних условий, требует очень высокой управляемости и надежности. Обеспечить круглый год без перебоев наличие в любой розетке электрической энергии с постоянными значениями напряжения и частоты далеко не просто. Эффективно управлять такими большими
системами можно только с помощью компьютеров.
Примеры, приведенные выше, отражают ряд свойств, которые необходимо учитывать в системах управления. Управляемый технический процесс представляет лишь только часть проблемы; другая ее часть – это управляющий компьютер. Система управления используется не только для регулирования и определения последовательности технологических операций типа описанных выше,
но должна выполнять и ряд дополнительных функций, например распознавать
нештатные ситуации и адекватно на них реагировать. Кроме того, она собирает
текущие рабочие данные, рассчитывает статистические параметры, отображает
информацию для операторов и исполняет их команды. Наиболее важные задачи,
решаемые системой управления техническим процессом, представлены на рис.
В.11.
26
управляющий компьютер
оператор
Пользовательский интерфейс
Вычисление опорного значения
Контроллеры
Реакция на нештатные ситуации
Технологический процесс
Последовательное управление
Бинарные сигналы
Индикация заштатных ситуаций
Результаты измерения аналоговых величин
Рис. В.11. Задачи, решаемые компьютером при управлении процессом
При разработке проекта, включая определение необходимых вычислительных ресурсов, необходимо исходить из требований, предъявляемых ко всей
технической системе, т. е. совокупности технического процесса и системы
управления (табл. В.2). Основное требование к системе управления заключается
в том, что ее ресурсы должны соответствовать целям управления и параметрам
управляемой системы.
Таблица В.2
Характеристики управляемого технического процесса, влияющие на решения по системе управления
Характеристика технического процесса
1
Масштаб времени
Соответствующие компоненты проекта системы управления
2
Динамика системы, модель системы
Частота измерений
Частота управляющих воздействий
Требования к аппаратным средствам
Требования к программному обеспечению
27
Продолжение табл. В.2
1
Тип переменных процесса
2
Измерительная аппаратура, датчики
Частота измерений
Возмущения в измерениях Фильтрация
Вид обработки
Управляемость системы
Аппаратные средства управления, исполнительные механизмы
Уровень сложности систе- Стратегия управления, взаимосвязь входных и выходных сигмы
налов
Алгоритмы регулирования
Требования к аппаратным средствам
Требования к программному обеспечению
Операционная система, языки программирования
Требования к коммуникациям
Назначение (цель) системы Стратегия управления
Топология информацион- Сбор данных, коммуникации, сети, протоколы
ных потоков
Межпрограммный объем
Распределенное управление
Интерфейс оператора
Психологические факторы
Интерфейс пользователя
Централизованное/ распре- Архитектура системы
деленное управление
Распределение ресурсов
Надежность
Отображение развития процесса во времени
Данные, полученные в результате измерений, должны с требуемой точностью отображать динамику процесса. Особую важность при этом имеет частота
выборки, т. е. периодичность измерения новых данных. Ее определение обычно
является нетривиальной задачей.
Высокая частота выборки влечет за собой большую загрузку компьютера,
так как он должен обрабатывать больше данных. В ряде случаев речь может идти даже о финансовых затратах, связанных со сбором данных процесса, например при измерениях концентрации, где необходимы химические реагенты. Это
означает, что число измерений необходимо минимизировать, однако их частота
должна быть достаточно высокой для обнаружения важных изменений в контролируемых параметрах процесса. Другими словами, должен быть найден
компромисс между затратами на измерение и ценой последствий, к которым
28
может привести потеря части информации об изменениях в процессе.
На загрузку компьютера влияет не только частота измерений, но и сложность расчетов в промежутках между измерениями.
Сбор данных измерений и обработка сигналов
Все сигналы измерений содержат как полезную информацию, так и помехи. Измерения всегда приблизительны из-за ошибок калибровки, неточности
датчиков или наличия шума. Сигнал, передающийся от датчика к компьютеру
через электрический провод, может быть искажен электромагнитным шумом.
Из повседневного опыта известно, что фильтрация сигналов и извлечение
информации являются важными задачами. Если несколько человек за столом
начнут говорить, то микрофон будет фиксировать лишь набор звуков, из которого невозможно получить полезную информацию. В то же время человеческое
ухо способно "отфильтровать" определенные голоса среди прочих и извлечь
требуемую информацию. То же самое нужно делать с измерительной информацией с помощью фильтра.
Фильтр в своей основе представляет устройство, обрабатывающее поступающий сигнал и извлекающее из него информацию в соответствии с заданным
критерием. Очевидно, что фильтр должен быть спроектирован таким образом,
чтобы он пропускал полезную информацию и блокировал ненужную. Фильтры
могут быть выполнены как по аналоговой, так и по цифровой технологии.
Даже если мы используем точный датчик и передаем сигнал без помех,
тем не менее, получаемые данные могут не всегда адекватно представлять интересующие параметры процесса. Например, измерение уровня жидкости может
быть некорректным из-за зыби, а концентрации – из-за наличия неоднородностей.
29
Уровень сложности системы
Уровень сложности технического процесса отражается на конфигурации
управляющего компьютера. Количество датчиков и исполнительных механизмов определяет необходимое число портов ввода/вывода и в целом требует более мощного процессора, большего объема оперативной и внешней памяти
и т. д.
Связь между внутренними переменными процесса и его входными или
выходными данными определяет сложность программного обеспечения регулятора. Программы реального времени гораздо труднее тестировать по сравнению
с обычными, поэтому их код должен быть настолько хорошо структурирован,
чтобы ошибки можно было выявить как можно раньше. В главе 10 описывается
структура программы, языки программирования и операционные системы для
решения задач реального времени.
Топология информационных потоков
Сложные системы управления и мониторинга обычно представляют собой
иерархическую структуру на базе соединенных между собой цифровых устройств разного класса.
Организация взаимодействия между этими устройствами является центральной задачей проектирования современных систем управления процессом.
Для рационального использования имеющихся ресурсов необходимо определить вид и количество информации, которой обмениваются компьютеры, – информационные потоки. Не все компьютеры должны получать подробную информацию об управляемом техническом процессе. Особую роль играет надежность передачи информации – необходимо принимать такие решения, чтобы
данные всегда достигали своего назначения без искажения и потерь.
Передача информации тесно связана со стандартизацией. Очевидно, что
кабели и разъемы должны соответствовать друг другу, уровни сигналов должны
30
быть соизмеримы, а программное обеспечение должно одинаково интерпретировать передаваемые сообщения и сигналы.
Интерфейс оператора
Хотя теоретически управляющая система или компьютер могут функционировать без вмешательства человека, на сегодняшний день всегда необходимо
взаимодействие с оператором, который должен получать информацию и иметь
возможность вводить команды.
Графические интерфейсы компьютерных терминалов становятся все более и более изощренными. Современные дисплеи обладают фантастическими
возможностями отображения сложно организованных данных, включая цветовые палитры с миллионами оттенков, разнообразную графику, даже мультипликацию и видео. Однако все это требует больших вычислительных ресурсов, за
которые программы интерфейса будут конкурировать с модулем обработки
данных, и поэтому оператор может получать информацию с задержкой. С другой стороны, не вся информация может ждать, например, сигналы тревоги и
другие важные сообщения должны отображаться немедленно. Поэтому при
проектирований интерфейса необходимо тщательно отбирать информацию и
сопоставлять способ отображения со степенью ее важности в текущий момент,
человеческими возможностями воспринимать и адекватно реагировать на нее и
имеющимися ресурсами.
Системная интеграция и надежность управления
Ключевым вопросом любой системы управления является надежность.
Цифровые системы – не исключение. Эта проблема возникла уже в первые годы
их применения. Один из основных недостатков принципа прямого цифрового
управления – это низкая надежность. Хотя общее качество вычислительной
техники существенно возросло с 1960-х годов, проблема надежности таких систем остается тем не менее одной из главных, так как центральный компьютер
31
по-прежнему представляет собой критическую точку (single-point failure) – узел,
выход которого из строя приводит к остановке всей системы. Очевидное решение этой проблемы – децентрализация вычислительных ресурсов, при которой
небольшие локальные вычислительные устройства управляют отдельными частями сложного процесса.
Надежность программного обеспечения крупных систем не менее важна,
чем надежность аппаратных средств. В январе 1990 года в течение почти 9 часов телефонная сеть США обеспечивала прохождение лишь около 50 % трафика. Причина заключалась в невыявленной ошибке в очень сложной программе.
Практический подход к повышению надежности систем предполагает, с
одной стороны, применение отказоустойчивых конфигураций аппаратных
средств, а с другой – специальные методы проектирования структуры программного обеспечения, программирования и отладки, позволяющие исключить
с самого начала наиболее вероятные ошибки.
В.4. ВЫВОДЫ
Для задач управления в режиме реального времени нельзя применять
обычные методы программирования из-за особенностей, присущих этому режиму, в частности:
- система реального времени содержит не одну, а несколько программ,
каждая из которых отвечает за решение определенной задачи;
- порядок выполнения операторов программы реального времени нельзя
определить заранее;
- порядок исполнения может быть изменен внешними сигналами (прерываниями).
Цифровая ВТ применяется как для управления последовательностью операций, так и для управления с обратной связью. Во многих системах эти методы
32
используются совместно. Конфигурация аппаратных средств зависит от многих
факторов, от количества и вида входных и выходных сигналов технического
процесса, количества и типа датчиков и исполнительных механизмов, динамики
процесса и его внутренних связей и алгоритмов регулирования. Управляющая
система должна постоянно проверять правильность функционирования технического процесса; в связи с этим особую важность имеет координация отдельных специализированных задач.
Организация обмена данными представляет собой центральную задачу
систем управления процессами. Под этим понимается взаимодействие между
вычислительной системой и физическим процессом, межпрограммный обмен
данными, как локально, так и в распределенной среде, и интерфейс пользователя.
33
ГЛАВА 1. МОДЕЛИ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
1.1 . КВАНТОВАНИЕ
Современные системы управления почти всегда снабжаются цифровым
компьютером. Таким образом, важно уметь оценить влияние реализации конкретного закона управления в цифровой форме. В этой главе мы приведем фундаментальные средства моделирования, необходимые для описания квантованных реакций непрерывных объектов. Основные темы включают:
• дискретные по времени сигналы;
• Z-преобразования и дельта-преобразования;
• квантование и восстановление;
• наложение спектров и сглаживающие фильтры;
• цифровые системы управления.
Компьютеры работают с последовательностями чисел, а не с непрерывными функциями времени. Поэтому, чтобы соединить аналоговый объект с
компьютером, нужно квантовать выходной сигнал системы (таким образом,
преобразовывая непрерывную функцию в последовательность чисел). Мы будем использовать нотацию {f[k]}, чтобы обозначить последовательность f [0], f
[1], f [2],... Когда {f[k]} является результатом квантования непрерывного сигнала
f(t) через фиксированный интервал ∆, мы будем писать
f[k]= (k∆)
k=0,1,2…
(1.1)
С точки зрения управления нас интересует кодирования непрерывного
сигнала в такую последовательность чисел (процесс квантования) и восстановление непрерывного сигнала по последовательности чисел (процесс восстановления).
Всегда имеется потеря информации из-за осуществления квантования.
Однако степень этой потери зависит от метода квантования и связанных с этим
34
параметров. Например, предположим, что последовательность квантованных
величин сигнала f(t) получается каждые ∆ секунд, тогда частота квантования
должна быть больше по сравнению с максимальной скоростью изменения f(t). В
противном случае высокочастотные компоненты будут ошибочно интерпретироваться как низкие частоты в последовательности квантованных величин.
Проиллюстрируем это простым примером.
Пример 1.1. Рассмотрим сигнал
π
(1.2)
f (t ) = 3cos 2π t + cos(20π t + ).
3
Если мы выберем период квантования ∆ равным 0.1 с, то
π
f (k Δ) = 3cos(0, 2kπ ) + (2kπ + ) =
3
(1.3)
= 3cos(0, 2kπ ) + 0,5,
(1.4)
откуда очевидно, что высокочастотный компонент преобразуется в
константу, т. е. высокочастотный компонент возникает как сигнал низкой
частоты (здесь нулевой). Это явление называется наложением спектров.
Результат изображен на рис. 1.1, где квантованный сигнал отображен
последовательностью маленьких кружков.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Время [с]
Рис. 1.1. Эффект наложения спектров при квантовании
35
Мы можем видеть на рис. 1.1, что квантованный высокочастотный
компонент появляется как постоянная составляющая.
Чтобы смягчить эффект наложения спектров, скорость квантования должна быть высока по отношению к скорости изменения интересующих нас сигналов. Обычное эмпирическое правило – требуется, чтобы скорость квантования
была в 5…10 раз больше полосы пропускания системы. Если это правило нарушено, наблюдаемые квантованные величины могут очень плохо отражать исходный непрерывный сигнал.
Даже когда вышеупомянутое эмпирическое правило выполняется, следует
защитить процесс квантования от других засоряющих сигналов высокой частоты, типа шумов. Чтобы предохранить преобразование этих сигналов к низким
частотам, обычно до процесса квантования помещается аналоговый фильтр.
Этот фильтр называется сглаживающим фильтром, и его цель состоит в том,
чтобы избежать наложения спектров для высокочастотных сигналов шума в
процессе квантования.
1.2. ВОССТАНОВЛЕНИЕ СИГНАЛА
Выход цифрового регулятора – другая последовательность чисел {u[k]},
являющихся квантованными величинами планируемого сигнала управления.
Эти квантованные величины должны быть преобразованы опять в непрерывную
функцию, прежде чем будут поданы на объект. Обычно это делается экстраполяцией их в кусочно-постоянную функцию u(t), как показано на рис. 1.2.
Управляемые компьютером системы обычно рассматривают только в моменты квантования. В простом случае, когда нас интересуют только моменты
квантования, описание объекта преобразуется в связь между входной квантованной последовательностью {u[k]}. Таким образом, нам требуются удобные
36
способы описания динамических моделей, которые связывают одну последова-
Ступенчатый сигнал
тельность (вход) с другой последовательностью (выход).
Время [периоды квантования]
Рис. 1.2. Ступенчатое восстановление
1.3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ. ОПЕРАТОР СДВИГА
Полезная дискретная модель типа, упомянутого выше, – линейная версия
модели разностных уравнений старших порядков. В дискретном случае эта модель принимает вид
y [ k + n ] + a n −1 y [ k + n − 1] + ... + a 0 y [ k ] = b n −1u [ k + n − 1] + ... + b 0u [ k ] .
(1.5)
Пример 1.2. Рассмотрим так называемый ПИ-регулятор, который формирует управляющую последовательность u[k] как сумму составляющей, пропорциональной ошибке управления и составляющей, пропорциональной накопленной (интегральной) ошибке. Это может быть смоделировано следующим
образом:
e [k + 1]=e[k} + cle[k],
(1.6)
u[k] = c2e[k]+ e [k],
(1.7)
37
u[k +1] = c2e[k + 1] + e[k + 1].
(1.8)
Вычитая (1.7) из (1.8) и используя (1.6), получим следующую модель разностного уравнения старших порядков:
u[k + 1] - u[k] = с2 (e[k + 1] - e [k]) + [k + 1] - e [k]=
(1.9)
=с2 (e[k + 1] - e[k]) + e [k + 1] +c1e [k],
В обозначениях (1.5) мы имеем a 0 = −1, b1 = c2 , b0 = c1 − c2 .
Заметим, что старший член c2e[k+1] появляется в правой части
потому, что регулятор бисобстенный (левая и правая части уравнения (1.9)
имеют один и тот же порядок). Заметим таксисе, что здесь {u[k}} – выход, a
{e[k]} –вход.
При описании далее дискретных моделей нам будет удобно использовать
обозначение оператора сдвига вперед. Мы определим оператор сдвига вперед
следующим образом:
q ( f [ k ])
f [ k + 1] .
(1.10)
В терминах этого оператора модель (1.5) будет иметь вид
q n y [ k ] + a n −1q n −1 y [ k ] + ... + ay [ k ] = b m q mu [ k ] + ... + b0u [ k ] .
(1.11)
Для дискретных систем можно также ввести дискретные модели пространства состояний. В области оператора сдвига эти модели имеют вид
qx[k} = Aqx[k] + Bqu[k],
(1.12)
y[k] = Cqx[k] + Dqu[k].
(1.13)
где {f[k]}, {u[k]}, {y[k]} – последовательности состояния входа и выхода
соответственно.
Решение уравнений (1.12) и (1.13) легко получается с помощью итерации
уравнения (1.13).
k −1
x [ k ] = Α kq x(0) + ∑ Αlq Βq u [ k − l − 1] .
l =0
(1.14)
38
(1.15)
k −1
y [ k ] = Cq Α kq x(0) + Cq ∑ Αlq Β q u [ k − l − 1] .
l =0
Пример 1.3. Рассмотрим дискретный ПИ-регулятор из примера 1.2.
Фактически уравнения (1.6) и (1.7) уже имеют форму дискретного пространства состояний, где
Aq=1, Bq=c1, Cq=1, Dq=c2.
(1.16)
1.4. Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
Таким же образом, как преобразования Лапласа переводят дифференциальные уравнения в алгебраические уравнения, мы можем использовать Zпреобразования, чтобы преобразовать разностные уравнения в алгебраические
Таблица 1.1
Таблица Z-преобразований
Область сходимости
f[k]
Z[f[k]]
1
2
z
z −1
3
z >1
1
z >0
1
δ K [k ]
k
z
( z − 1)
z ( z + 1)
z >1
2
k2
( z − 1)
z
z−a
az
k
a
kak
z >1
3
z >a
( z − a)
z ( z − cos θ )
z >a
2
cos kθ
z − 2 z cos θ + 1
z sin θ
2
z − 2 z cos θ + 1
z >1
2
sin kθ
z >1
39
Продолжение табл. 1.1
1
a k cos kθ
2
z ( z − a cos θ )
2
z − 2az cos θ + a 2
3
a k sin kθ
az sin θ
z − 2az cos θ + a 2
z >a
z ( z 2 cos θ − 2 z + cos θ )
z >1
z >a
2
k cos kθ
z − 2 z cos θ + 1
2
μ [ k ] − μ [ k − k0 ] , k0 ∈
z >0
1 + z + z 2 + ... + z k0 −1
z k0 −1
Рассмотрим последовательность {y[k]; k = 0,1,2,...}. Тогда пара Zпреобразований, связанная с {y[k]}, определяется следующим образом:
∞
Ζ ⎡⎣ y [ k ]⎤⎦ = Y ( z ) =
Z −1 ⎡⎣Y ( z ) ⎤⎦ = y [ k ] =
(1.17)
z − k y [k ],
∑
k =0
1
z
2π j ∫
(1.18)
Y ( z ) dz.
k −1
где контур интегрирования является окружностью с центром в начале координат и радиусом р.
Таблица 1.2
Свойства Z-преобразования
f[k]
l
Z[f[k]]
l
Название
Простейшие дроби
∑ a f [k ]
1 i
∑ a F ( z)
f [ k + 1]
zF ( z ) − zf ( 0 )
Сдвиг вперед
∑ f (l )
z
F ( z)
z −1
Суммирование
f [ k − 1]
z −1 F ( z ) + f (−1)
Сдвиг назад
y [k − l ] μ [k − l ]
z − lY ( z )
Единичная ступенька
kf[k]
dF ( z )
dz
∞
F (ζ )
∫z ζ dζ
i =1
k
l =0
1
f [k ]
k
lim y [ k ]
k →∞
i =1
i
i
−z
lim( z − 1)Y ( z )
z →1
Теорема о конечном
значении
40
Продолжение табл. 1.2
lim y [ k ]
lim Y ( z )
∑ f [l ] f [ k − l ]
F ( z )1 F2 ( z )
k
l =0
1
Теорема о начальном значении
Свертка
x →∞
k →0
2
f1 [ k ] f 2 [ k ]
Сложная свертка
⎛ z ⎞ dζ
F
(
)
F
ζ
1
2
⎜
⎟
∫
⎝ζ ⎠ ζ
k
Масштабирование час(λ ) f1 [ k ]
⎛z⎞
F1 ⎜ ⎟
тоты
⎝λ⎠
Заметим, что Fi ( z ) = Z ⎡⎣ fi [ k ]⎤⎦ , μ [ k ] означает обычно единичное ступенчатое
1
2π i
воздействие, значение у[∞] должно быть вполне определенным и что свойство
f1 [ k ] = f 2 [ k ] = 0
свертки справедливо при условии, что
для всех k < 0.
Y(z) называется Z-преобразованием y(t). Пара преобразований полностью
определена, если существует параметр ρ ∈
y [k ] < ρ k ,
+
, такой, что
∀k ≥ 0.
(1.19)
Z-преобразования различных распространенных сигналов приведены в
табл. 1.1. Некоторые полезные свойства Z-преобразования собраны в табл. 1.2.
Пример 1.4. Рассмотрим дискретный ПИ-регулятор из примера 1.2 и
пусть и[0] = 0, a e[k] – единичное ступенчатое воздействие, приложенное при
k = 0. Тогда, взяв Z-преобразование от (1.9), получим
zU(z) - zu[0] - U(z) = с2 (zE(z) - E(z] - ze[0]) + clE(z).
Следовательно ,
U ( z) =
c2 z + (c1 − c2 )
E ( z );
( z − 1)
U ( z)
c1
c
=
+ 2 ;
2
z
( z − 1)
z −1
E( z) =
U ( z) =
Следовательно, u [ k ] = c1k + c2 ; k ≥ 0 .
z
,
z −1
c1z
c
+ 2 .
2
( z − 1)
z −1
(1.20)
(1.21)
41
1.5. ДИСКРЕТНЫЕ ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ
Взяв Z-преобразование от обеих сторон модели в виде разностного уравнения старших порядков (1.11), получим
Aq ( z )Yq ( z ) = Bq ( z )U q ( z ) + f q ( z , x0 ),
(1.22)
где Yq(z) и Uq(z) – Z-преобразования последовательностей {y[k]} и {u[k]}
соответственно.
Заметим, что
Aq ( z ) = z n + an −1 z n −1 + ... + a0 ,
(1.23)
Bq ( z ) = bm z m + bm −1 z m −1 + ... + b0 .
(1.24)
и f q (z,x0) – слагаемое, зависящее от начальных условий.
Уравнение (1.22) может быть переписано в виде
Yq ( z ) = Gq ( z )U q ( z ) +
f q ( z , x0 )
Aq ( z )
,
(1.25)
где
Gq ( z )
Bq ( z )
(1.26)
Aq ( z )
называется дискретной (в форме оператора сдвига) передаточной функцией. Так же как и для непрерывного времени, передаточная функция однозначно определяет поведение входа-выхода в дискретные моменты квантования при
нулевых начальных условиях.
Мы можем также использовать Z-преобразование для получения передаточной функции, соответствующей дискретной модели пространства состояний
в форме оператора сдвига. Взяв Z-преобразования в (1.12) и (1.13) и пренебрегая начальными условиями, получим
Gq ( z ) = Cq ( zI − Aq ) Bq + Dq .
−1
(1.27)
42
Роль дискретных передаточных функций в описании динамического поведения аналогична роли передаточных функций для непрерывных систем. В
частности, расположение полюсов (корни Aq(z)) определяет собственные движения системы. Хотя непрерывные и дискретные передаточные функции имеют
много общего, есть некоторые специальные особенности у дискретного случая,
который иллюстрируется следующими двумя примерами.
Пример 1.5 (Полюсы в начале координат – конечное время переходного процесса). Вычислим переходную характеристику дискретной системы с
передаточной функцией
Gq ( z ) =
(1.28)
0.5 z 2 − 1.2 z + 0.9
.
z3
Решение
Z-преобразование реакции системы y[k] на входной сигнал u[k] определяется формулой
Gq ( z ) =
0.5 z 2 − 1.2 z + 0.9
U q ( z ) = 0.5 z −1U q ( z ) − 1.2−2 U q ( z ) + 0.9−3U q ( z ).
3
z
(1.29)
Следовательно1,
y [ k ] = 0.5u [ k − 1] − 1.2u [ k − 2] + 0.9u [ k − 3] .
(1.30)
Тогда, если u[k] = μ [k], реакция системы определяется выражением
⎧0;
⎪0.5;
⎪
y [k ] = ⎨
⎪ −0.7;
⎩⎪0.2;
k =0
k =1
(1.31)
k =2
∀k ≥ 3
Принципиальная особенность этой системы
то, что ее реакция
на ступенчатое воздействие имеет конечное время установления. Это получается благодаря полюсам в начале координат.
1
Заметим, что u[0]=c2e[0]
43
Пример 1.6. Устойчивые отрицательные вещественные полюсы–
пульсации.
Найдем переходную характеристику системы, имеющей передаточную
функцию вида
Gq ( z ) =
0.5
.
z + 0.5
(1.32)
Решение
Z-преобразование реакции на ступеньку y[k] имеет вид
Yq ( z ) =
0.5
0.5 z
U q ( z) =
.
z + 0.5
( z + 0.5)( z − 1)
(1.33)
Раскладывая на простейшие дроби (с помощью команды residue пакета
MATLAB), получим
Yq ( z ) =
z
z
1
−
⇔ y [ k ] = (1 − ( −0.5) k ) μ [ k ] .
3( z − 1) 3( z + 0.5)
3
(1.34)
Заметим, что реакция содержит компонент (-0.5)k, который соответствует колебательной реакции (известной как пульсации). В дискретном
времени это может произойти (как в данном примере) для единственного отрицательного вещественного полюса, в то время как при непрерывном времени
необходима пара комплексно-сопряженных полюсов для получения этого эффекта.
Это поведение можно оценить по рис. 1.3, где показана реакция на ступеньку (1.35).
Реакция на ступеньку
44
Время
Рис. 1.3. Переходная характеристика системы, обладающей колебательной
реакцией
1.6. ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ В ДЕЛЬТА-ОБЛАСТИ
Оператор сдвига вперед q, определенный в разд. 1.3, является наиболее
часто используемым дискретным оператором. Однако в некоторых приложениях оператор сдвига вперед приводит к трудностям. Причина этих трудностей
объясняется ниже.
Хотя наблюдается явное подобие между моделью с дифференциальным
оператором и моделью оператора сдвига, определяемой уравнением (1.11),
имеются тонкие (но далеко идущие) различия между этими представлениями.
Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим непрерывное уравнение первого
порядка
ρ y (t ) + y (t ) =
dy (t )
+ y (t ) = u (t )
dt
(1.35)
и дискретное уравнение в области оператора сдвига
a2 qy (tk ) + a1 y (tk ) = b1u (tk ).
(1.36)
Представляя дифференциал как предельную операцию в (1.35), мы получим:
45
⎛ y (t + Δ) − y (t ) ⎞
lim ⎜
⎟ + y (t ) = u (t ).
Δ→0
Δ
⎝
⎠
(1.37)
Если мы теперь сравним (1.35) с расширенной формой (1.36),
a2 y (t + Δ ) + a1 y (t ) = b1u (t );
(1.38)
где Δ = tk +1 − tk ,
то увидим, что принципиальное различие между непрерывным и дискретным
временем ощутимо улавливается в операции взятия предела у выражения (1.37).
Кроме этого, мы также замечаем, что (1.37) принципиально основано на относительном и временном смещении
y (t + Δ) − y (t )
от абсолютного значения y(t), в
Δ
то время как (1.38) моделирует ту же самую динамику двумя абсолютными значениями y(t) и y(t + ∆). В дальнейших главах мы увидим, что это отличие приводит к тому, что дискретные результаты, основанные на операторах смещения,
отличаются от соответствующих непрерывных результатов при ∆→0.
Эту принципиальную трудность можно избежать, используя альтернативный оператор, называемый дельта-оператором
δ ( f (k Δ) )
f ((k + 1)Δ) − f (k Δ)
,
Δ
(1.39)
где ∆ означает период квантования.
Для квантованных сигналов важная особенность этой операции в том, что
lim ⎡⎣δ { f ( k Δ )}⎤⎦ = ρ ( f ( t ) ) .
Δ→0
(1.40)
т. е., когда период квантования стремится к нулю, δ -оператор стремится к оператору дифференцирования. Заметим, однако, что мы не будем применять никакие приближения при использовании дельта-оператора для конечного периода
квантования, потому что мы получим точные. описания модели, соответствующей этому оператору, при конкретной скорости квантования.
Пример 1.7. Рассмотрим ПИ-регулятор из примера 1.4 и пусть ∆ означает период квантования. Деление обеих частей выражения (1.9) на ∆ приведет к
46
следующей дельта-форме регулятора:
δ u (k Δ) = c2δ e(k Δ) +
(1.41)
c1
e(k Δ).
Δ
В дельта-форме основная дискретная модель (1.5) будет иметь вид
δ n y [ k ] + an' −1δ n −1 y [ k ] + ... + a0' y [ k ] = bm' δ mu [ k ] + ... + b0' u [ k ] .
(1.42)
Заметим, что существуют простые однозначные отношения между коэффициентами ( ai , bi ) в (1.5) и ( ai' , bi' ) в (1.42).
Дискретные модели пространства состояний могут также быть описаны в
дельта-форме. Соответствующий вид модели пространства состояний следующий:
δ x [ k ] = Aδ x [ k ] + Bδ u [ k ] ,
(1.43)
y [ k ] = Cδ x [ k ] + Dδ u [ k ] .
(1.44)
Мы можем без труда преобразовать дискретную модель пространства состояний, данную в форме оператора смещения, в модель в дельта-форме (и наоборот). Например, (1.12) и (1.13) дают
qx [ k ] − x [ k ]
Δ
=
(A
q
−I)
Δ
x [k ] +
Bq
Δ
(1.45)
u [k ],
y [ k ] = Cq x [ k ] + Dq u [ k ] .
Эта модель представлена в форме (1.43) и (1.44), где
Aδ =
Aq − I
δ
;
Bq =
c1
;
Δ
Cδ = Cq ;
Dδ = Dq .
(1.46)
Пример 1.8. Для ПИ-регулятора из примера 1.7 мы имеем
Aδ = 0,
Bδ =
c1
,
Δ
Cδ = 1,
Dδ = c2 .
Решением (1.44) и (1.45), как легко видеть является
(1.47)
47
k −1
x [ k ] = ( I + Aδ Δ ) x [ 0] + ∑ Δ ( I + Aδ Δ )l Bδ u [ k − l − 1] ,
k
(1.48)
l =0
k −1
y [ k ] = Cδ ( I + Aδ Δ) k x [ 0] + Cδ ∑ Δ( I + Aδ Δ)l Bδ u [ k − l − 1] + Dδ u [ k ] .
(1.49)
l =0
1.7. ДИСКРЕТНОЕ ДЕЛЬТА-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
ДИСКРЕТНЫЕ ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ
Как можно видеть выражения в преобразованиях Лапласа и Zпреобразования не обладают явной структурной эквивалентностью. Интуитивно, мы могли бы ожидать, что такая эквивалентность будет существовать при
получении дискретной последовательности с помощью квантования непрерывного сигнала. В частности можно было бы ожидать, что преобразование Лапласа должно получаться из Z-преобразования при увеличении частоты квантования. Мы покажем, что это действительно происходит, если будем использовать
альтернативный дельта-оператор. Чтобы показать, как это происходит, рассмотрим последовательность
{ y [ k ] = y ( k Δ )} являющуюся
результатом квантования
непрерывного сигнала y(t) каждые Δ секунд. Вспомним, что преобразование
Лапласа определяется формулой
∞
L [ y (t ) ] = ∫ e − st y (t )dt
(1.50)
0
Естественно искать дискретный вариант этого преобразования Лапласа в
форме суммы Римана
∞
Yδ ( s ) = ∑ e− stk y (tk )Δ, tk = k Δ.
(1.51)
k =0
По причинам, о которых сейчас говорилось, желательно также использовать изоморфное изменение аргумента
48
e sΔ
1 + γΔ,
(1.52)
γ=
e sΔ − 1
.
Δ
(1.53)
Таблица 1.3
Таблица дельта-преобразований
f [k ]
( k ≥ 0)
D ⎡⎣ f [ k ]⎤⎦
Область сходимости
1 + Δγ
1
1
δ K [k ]
Δ
μ [ k ] − μ [ k − 1]
α∈
keαΔk
α∈
γ <∞
sin (ω0 Δk )
γ + Δφ (ω0, Δ ) γ + φ (ω0, Δ )
2
В
терминах
аргумента
γ
1 1
>
Δ Δ
1 1
γ+ >
Δ Δ
γ+
(1 + Δγ ) ( 2 + Δγ )
Δ 2γ 3
1 + Δγ
eαΔ − 1
γ−
Δ
(1 + Δγ )eαΔ
eαΔ − 1 2
Δ(γ −
)
Δ
(1 + Δγ ) ω0 sin c (ω0 Δ )
k2
1 1
>
Δ Δ
γ <∞
1
Δ
1 + Δγ
Δγ 2
k
eαΔk
γ+
γ
1
определим
пару
γ+
1 eαΔ
>
Δ
Δ
γ+
1 eαΔ
>
Δ
Δ
γ+
1 1
>
Δ Δ
дискретных
дельта-
преобразований
∞
−k
D ⎡⎣ y ( k Δ ) ⎤⎦ Yδ ( γ ) = ∑ (1 + γΔ ) y ( k Δ ) Δ,
(1.54)
k =0
1
D −1 ⎡⎣Yδ ( γ ) ⎤⎦ = y (k Δ ) =
2π j
∫ (1 + γΔ )
k −1
Yδ (γ )d γ .
(1.55)
Дискретное дельта-преобразование связано с Z-преобразованием соотношением
49
Yδ ( γ ) = ΔYq ( z )
z =Δγ +1
(1.56)
,
где Yq ( z ) = Z ⎡⎣ y ( k Δ ) ⎤⎦ . Обратно,
Yq ( z ) =
1
Yδ (γ )
Δ
z −1
γ=
Δ
(1.57)
.
Таблица 1.4
Свойства дельта-преобразования
f [k ]
D ⎡⎣ f [ k ]⎤⎦
∑ ai fi [ k ]
∑ a F (γ )
Простейшие дроби
f1 [ k + 1]
( Δγ + 1) ( F1 ( γ ) − f1 [ 0])
γ F1 ( γ ) − (1 + γΔ ) f1 [ 0]
Смещение вперед
l
l
i =1
i =1
f1 [ k + 1] − f1 [ k ]
i
i
Δ
1
k −1
∑ f [l ]Δ
γ
l =0
F (γ )
f [ k − 1]
(1 + γΔ ) −1 F ( γ ) + f [ −1]
f [k − l ] μ [k − l ]
(1 + γΔ ) −1 F ( γ )
1
f [k ]
k
1 + γΔ dF ( γ )
Δ
dγ
∞ F (ζ )
∫γ 1 + ζΔdζ
lim f [ k ]
lim γ F ( γ )
lim f [ k ]
γ F (γ )
γ →∞ 1 + γΔ
F1 (γ ) F2 ( γ )
kf [ k ]
−
γ →0
k →∞
lim
k →0
k −1
∑ f [l ] f [ k − l ] Δ
l =0
Названия
1
2
f1 [ k ] f 2 [ k ]
⎛ γ − ζ ⎞ dζ
1
F (ζ ) F ⎜
⎟
2π j ∫
⎝ 1 + ζΔ ⎠ 1 + ζΔ
1
(1 + aΔ )
k
f1 [ k ]
2
⎛ γ −a ⎞
F1 ⎜
⎟
⎝ 1 + aΔ ⎠
Масштабированная
разность
Сумма Римана
Смещение назад
Теорема о конечном
значении
Теорема о начальном
значении
Свертка
Сложная свертка
50
Заметим, что Fi ( γ ) = D ⎡⎣ fi [ k ]⎤⎦ , μ [ k ] означает, как обычно, единичное ступенчатое воздействие, параметр f [ ∞ ] должен быть полностью определен и
свойство свертки справедливо при условии, что f1 [ k ] = f 2 [ k ] = 0 для всех k < 0.
Выражения (1.56) и (1.57) позволяют получить таблицу дельтапреобразований из соответствующих Z-преобразований в табл. 1.3. Свойства
дельта-преобразования даны в табл. 1.4.
Принципиальное свойство дельта-преобразований заключается в том, что
они сходятся к соответствующим преобразованиям Лапласа при Δ → 0 , так что
lim Yδ ( γ ) = Y ( s )
Δ→0
s =γ
(1.58)
.
Далее мы проиллюстрируем это на простом примере.
Пример 1.9. Пусть последовательность {y[k]} получена при квантовании
с периодом ∆ непрерывной экспоненциальной функции e β t . Тогда
y [ k ] = eβ kΔ
(1.59)
и из таблицы 1.3
Yδ ( γ ) =
1 + γΔ
.
⎡ e βΔ − 1 ⎤
γ −⎢
⎥
⎣ Δ ⎦
В частности, заметим что при Δ → 0,Yδ ( γ ) →
(1.60)
1
– есть преобразование
γ −β
Лапласа e β t .
Для нас основным свойством дельта-преобразования будет следующее:
Дельта-преобразование может использоваться для преобразования разностного уравнения в алгебраическое, дельта-преобразование также позволяет легко перейти от дискретного к непрерывному времени с помощью увеличения скорости квантования.
Исторически анализ дискретных систем начался с использования дельтапреобразования. Позже акцент переместился к Z-преобразованию. Совсем не-
51
давно опять вернулись к дельта-преобразованию. Это связано с применением
более быстрых компьютеров, которые позволяют использовать меньшие периоды квантования; в этом случае дельта-преобразование имеет большие числовые
и концептуальные преимущества. Действительно причиной того, что цифровое
управление считалось отличающимся от непрерывного управления, частично
является практика, связанная с широким использованием Z-преобразования и
операторов сдвига. Эти концептуальные проблемы разрешаются при использовании дельта-преобразования, которое показывает, что цифровое и непрерывное
управление фактически весьма близки.
Применяя дискретное дельта-преобразование и его правило разности к
разностному уравнению высокого порядка в дельта-форме (1.42), мы получим
Aδ (γ )Yδ (γ ) = Bδ (γ )U δ (γ ) + fδ (γ , x0 ),
(1.61)
где Yδ (γ ) и U δ (γ ) – дельта-преобразования последовательностей {y[к]} и
{u[k}} соответственно.
Здесь, аналогично (1.2.3) и (1.2.4),
Aδ ( γ ) = γ n + an' −1γ n −1 + ... + a0' ,
(1.62)
Bδ ( γ ) = bm' γ m + bm' −1γ m −1 + ... + b0' ,
(1.63)
a fδ ( γ , x0 ) – компонент, зависящий от начальных условий.
Уравнение (1.61) может быть переписано в виде
Yδ ( γ ) = Gδ ( γ ) U δ ( γ ) +
fδ ( γ , x0 )
,
Aδ ( γ )
(1.64)
где
Gδ ( γ )
+
Bδ ( γ )
Aδ ( γ )
(1.65)
называется дискретной передаточной функцией (в дельта-форме).
Мы можем также использовать дельта-преобразования для получения передаточной функции, соответствующей модели пространства состояний в дель-
52
та-области. Взяв дельта-преобразование и пренебрегая начальными условиями,
получим
Gδ ( γ ) = Cδ ( γ I − Aδ ) Bδ + Dδ .
(1.66)
−1
Для каждого из трех преобразований (преобразование Лапласа, Zпреобразование и дельта-преобразование) существует характерный сигнал,
имеющий преобразование, равное единице. Эти сигналы следующие:
δ D ( t ) (дельта-функция Дирака) для преобразования Лапласа;
δ K [ k ] (единичный импульс или дельта-импульс Кронекера) для Z-
преобразования;
1
δ K [ k ] масштабированный единичный импульс) для дельта-преобразоΔ
вания.
Тогда видно, что передаточная функция в каждой из этих трех областей
является соответствующим преобразованием реакции системы на единичный
характерный сигнал при нулевых начальных условиях.
1.8. УСТОЙЧИВОСТЬ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
Связь с полюсами
Реакция дискретной системы (в области оператора сдвига) на входное
воздействие U(z) имеет форму
Y ( z ) = Gq ( z ) U ( z ) +
f q ( z , x0 )
( z − α1 )( z − α 2 ) ... ( z − α n )
.
(1.67)
где α1, ...α n – полюсы системы.
Тогда, используя разложение на простейшие дроби, выражение для Y(z)
можно записать следующим образом:
n
Y (z) = ∑
j =1
βjz
+ слагаемые, зависящие от U ( z ) ,
z −α j
(1.68)
53
где, для простоты, мы предполагаем, что все полюсы являются различными.
Соответствующая реакция во времени
y [ k ] = β j ⎡⎣α j ⎤⎦ + члены, зависящие от входного воздействия.
k
Устойчивость обеспечивается, если [aj]k –> 0, что выполняется в случае,
если α j < 1 . Следовательно, устойчивость требует, чтобы полюсы имели модули
меньше единицы, т. е. находились внутри единичной окружности с центром в
начале координат.
Устойчивость в дельта-области
Фактически, дельта-область – просто сдвинутый и отмасштабированный
вариант Z-области, что вытекает, например, из (1.56) и (1.57). Из этого следует,
что граница устойчивости дельта-области окружность радиуса
точке −
1
с центром в
Δ
1
в γ -плоскости. Снова обратим внимание на тесную связь между неΔ
прерывной s -областью и дискретной δ -областью: область δ -устойчивости приближается к области s-устойчивости (открытая ЛПП) при ∆–> 0.
1.9.
ДИСКРЕТНЫЕ
МОДЕЛИ
ДЛЯ
КВАНТОВАННЫХ
НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ
Как было упомянуто в разд. 1.1, регулятор в большинстве современных
систем управления реализован в цифровом компьютере, в то время как сам процесс развивается в непрерывном времени.
Таким образом, наша цель в данном разделе состоит в том, чтобы получить дискретные модели, которые связывают квантованный выход непрерывной
системы с квантованным входом. Сначала мы вспомним, как цифровой регулятор связан с непрерывным объектом.
54
Типичный вариант создания этой взаимосвязи показан на рис. 1.4. Аналого-цифровой преобразователь (на рисунке – АЦП) осуществляет процесс квантования (обычно с некоторым фиксированным интервалом ∆). Перед квантованием могли бы быть также включены сглаживающие фильтры. Цифроаналоговый преобразователь (на рисунке – ЦАП) экстраполирует дискретное управляющее воздействие в функцию, пригодную для использования на входе объекта. На практике это обычно достигается поддержанием дискретного сигнала в
течение всего периода квантования. Такой вариант называется экстраполятором
(фиксатором) нулевого порядка. Он дает кусочно-постоянный входной сигнал
(или сигнал в виде ступенек), показанный ранее на рис. 1.2.
Если используется экстраполятор нулевого порядка для формирования
u(t), то
u(t)=u[k]
для
k Δ ≤ t < ( k + 1) Δ.
(1.70)
Дискретные модели обычно связывают квантованный сигнал y[k] с квантованным входным сигналом u[k]. Цифровое управление обычно также вычисляет u[k] на основе y[j] и r[j], где {r(k∆)} –эталонная последовательность и j ≤ k.
Выход
Вход
Объект
ЦАП
АЦП
Цифровой
регулятор
Рис. 1.4. Цифровое управление непрерывным объектом
55
Использование моделей непрерывных передаточных функций
Мы видим, что формирование кусочно-постоянного сигнала u(t] из последовательности {u[k]} можно смоделировать структурой, показанной на
рис. 1.5.
На рис. 1.5 импульсный квантователь формирует последовательность
Дирака us(t), определяемую выражением
u s (t ) =
(1.71)
∞
∑ u [ k ]δ ( t − k Δ ) .
k =−∞
Эта последовательность при прохождении через экстраполятор нулевого
порядка (ЭНП) формирует кусочно-постоянный сигнал u(t). Важно подчеркнуть, что система на рис 1.5 имеет смысл только тогда, когда рассматривается в
целом; импульсный квантователь сам по себе не имеет никакого физического
значения.
Теперь мы видим, что цифровой регулятор управляет эквивалентной дискретной системой, как показано на рис. 1.6.
На рис. 1.6 изображена дискретная система со входом u[k] и выходом
y[k] = у(k∆). Мы знаем (из разд. 1.7), что передаточная функция дискретной
системы в форме Z-преобразования является Z-преобразованием выходного
сигнала (последовательность {у[k]}), когда на входе u[k] –дельта-импульс Кронекера при нулевых начальных условиях. Из рис. 1.6 мы также видим, что если
u[k] = δ K [ k ] , то us(t) = δ (t). Если мы обозначим через H0q(z) передаточную
функцию от Uq(z) к Yq(z), то получим следующий результат.
u [k ]
us (t )
Δ
m (t )
1− e
s
− sΔ
ЭНП
Рис. 1.5. Экстраполятор нулевого порядка
56
u (kΔ)
u s (t )
Δ
Gh 0 ( s )
y(t)
m (t )
G0 ( s )
ЭНП
Δ
Рис. 1.6. Дискретный эквивалент модели с экстраполятором
нулевого порядка
Дискретная передаточная функция на рис. 1.6 вычисляется как
H 0 q ( z ) = Z ⎡⎣ квантованная импульсная характеристика G h0 ( s )G0 ( s ) ⎤⎦
(1.72)
= (1 − z −1 ) Z ⎡⎣ квантованная переходная характеристика G0 ( s ) ⎤⎦
(1.73)
(Вторая строка вышеупомянутого выражения может быть также получена,
учитывая, что дельта-импульс Кронекера эквивалентен ступенчатому воздействию при k=0, сопровождаемой шагом задержки до к=1).
Передаточная функция H0q(z) иногда записывается в виде [Gh 0G0 ]q ; это следует понимать так же, как и в (1.73).
Дискретная передаточная функция обычно называется импульсной передаточной функцией непрерывной системы. Эта терминология является результатом того, что дельта-импульс Дирака, приложенный к квантователю и эксполятору нулевого порядка, преобразуется в импульс (единичной величины и длительности, равной ∆ [s]) на входе исходной непрерывной системы.
Пример 1.10. Рассмотрим двигатель постоянного тока. Его непрерывная передаточная функция
G0 ( s ) =
b0
.
s ( s + a0 )
Используя (1.74), мы видим, что
(1.74)
57
H 0q (γ ) =
=
=
1.10.
( z − 1) Z ⎧ b0 k Δ − b0 + b0 e−δ k ⎫
⎨ ( )
⎬
a02 a02
( z ) ⎩ a0
⎭
( z − 1) ⎪⎧ a0b0 zΔ −
2
0
a
⎨
2
⎩⎪ ( z − 1)
(b a Δ + b e
0 0
0
− a0 Δ
(1.75)
b0 z
b0 ⎫⎪
+
⎬
( z − 1) z − e− a0Δ ⎭⎪
)
− b0 z − b0 a0 Δe − a0 Δ − b0 e − a0 Δ + b0
(
a02 ( z − 1) z − e − a0 Δ
)
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ
.
НЕПРЕРЫВНОЙ
МОДЕЛИ
ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ
Далее мы покажем, как получить дискретную модель пространства состояний, когда выход экстраполятора нулевого порядка подается на непрерывный объект (описанный в форме пространства состояний). Рассмотрим непрерывный объект, у которого вход u ( t ) формируется эктраполятором нулевого порядка из входной последовательности {u [ k ]} .Это подразумевает, что
u(t)= u [k]
k Δ ≤ t < ( k + 1) Δ.
для
(1.76)
Если объект описывается непрерывной моделью в пространстве состояний
dx ( t )
= Ax ( t ) + Bu ( t ) ,
dt
(1.77)
y ( t ) = Cx ( t ) ,
(1.78)
то получим квантованную реакцию переменной состояния
x ( ( k + 1) Δ ) = e AΔ x( k Δ ) + ∫ e A( Δ−τ ) Bu (τ + k Δ) dτ
Δ
(1.79)
0
и, используя (1.76), можем записать
x ( ( k + 1) Δ ) = Aq x ( k Δ ) + Bq u ( k Δ ) ,
(1.80)
где
Aq = e AΔ ,
(1.81)
58
Bq = ∫ e A( Δ−τ ) Bdτ .
(1.82)
y (k Δ ) = Cq x ( k Δ ) , где Cq = C.
(1.83)
Δ
0
Аналогично, выход
Результат в форме оператора сдвига
Обычно дискретная модель (1.80)-(1.83) может быть выражена сжато, используя оператор сдвига вперед q, следующим образом:
qx[k] = Aqx[k] + Bqu[k],
(1.84)
y[k] = Cqx[k],
(1.85)
где
Aq
Bq
∫
Δ
0
e
AΔ
∞
=∑
( AΔ )
k =0
k!
k
(1.86)
,
e A( Δ−τ ) Bdτ = A−1 ⎡⎣e AΔ − I ⎤⎦ B,
(1.87)
если А невырожденная матрица
Cq
C,
(1.88)
Dq
D.
(1.89)
Результат в форме дельта-оператора
С другой стороны, если мы определим tk
k Δ , то (1.79)-(1.83) могут быть
выражены в форме дельта-оператора
δ x ( tk ) = Aδ x ( tk ) + Bδ u ( tk ) ,
(1.90)
y ( tk ) = Cδ x ( tk ) + Dδ u ( tk ) ,
(1.91)
где Cδ = Cq = С, Dδ = Dq = D и
Aδ
e AΔ − I
,
Δ
(1.92)
59
ΩB,
(1.93)
1
AΔ A2 Δ 2
Aτ
τ
e
d
⇒
I
+
+
+ ...
Δ∫
2!
3!
(1.94)
Bδ
Ω=
Некоторые сравнения формы оператора сдвига и дельта-оператора
Имеется несколько преимуществ формулировки (1.90) по сравнению с
(1.84). Например, мы можем ясно видеть, что для формы дельта-оператора
lim Aδ = A,
Δ→0
lim Bδ = B,
Δ→ 0
(1.95)
где (А, В) – исходные непрерывные величины.
Это совпадает с интуитивными представлениями, что дискретная модель
должна сходиться к исходной непрерывной модели, когда период квантования
стремится к нулю. С другой стороны, можно подумать о выражении (1.90) как о
конечном приближении разности к непрерывной производной. Эти интуитивные представления не справедливы для формулировки (1.86), поскольку
lim Aq = I ,
Δ→0
lim Bq = 0.
Δ→0
(1.96)
Другие преимущества дельта-формы включают следующее:
- Можно показать, что при быстрых условиях квантования выражение
(1.90) в количественном отношении лучше обусловлено, чем (1.84).
- Более существенно то, что (1.84) моделирует абсолютное смещение вектора состояния на один интервал, в то время как исходная непрерывная модель
основана на дифференциале, то есть бесконечно малых приращениях состояния.
Эта характеристика лучше у выражения (1.90), которое также описывает приращение состояния в один интервал времени.
60
1.11. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ
Понятие частотной характеристики применимо и для импульсных систем.
Рассмотрим непрерывную систему, имеющую экстраполятор нулевого порядка
на входе. Тогда вход квантователя и экстраполятора и выход системы представляют собой сигналы, квантованные каждые ∆ секунд. Рассмотрим теперь синусоидальный входной сигнал, заданный следующим образом:
⎛
ω
u ( k Δ ) = sin (ω k Δ ) = sin ⎜ 2π k
ωs
⎝
где ωs =
ω
ω
− j 2π k
⎞ 1 ⎛ j 2π k ω s
ωs
−e
⎜e
⎟=
⎠ 2 j ⎜⎝
⎞
⎟,
⎟
⎠
(1.97)
2π
.
Δ
Следуя той же процедуре, что и для непрерывных систем, мы видим, что
реакция системы на выходе при входном сигнале (1.97) будет иметь вид
y ( k Δ ) = α (ω ) sin (ω k Δ + φ (ω ) ) ,
(1.98)
где
H q ( e jωΔ ) = α (ω ) e
или
jφ (ω )
⎛ e jωΔ − 1 ⎞
jφ (ω )
Hq ⎜
,
⎟ = α (ω ) e
⎝ Δ ⎠
(1.99)
(1.100)
где Hq(z) или H δ ( γ ) –дискретная передаточная функция системы в z- или
δ -форме соответственно.
Частотная характеристика импульсной системы может также быть изображена, используя диаграммы Боде. Однако H q (e jωΔ ) – иррациональная функция частоты ω , так что некоторые простые правила для диаграмм Боде непрерывных систем здесь не применимы. Сегодня эта трудность потеряла часть своего традиционного значения, потому что современные вычислительные пакеты
позволяют непосредственно представить частотные характеристики дискретных
систем графически.
61
Характерная особенность частотной характеристики импульсной системы
- ее периодичность (по частоте ω ). Это свойство является результатом того, что
функция e jωΔ является периодической по частоте ω с периодом 2π / Δ . Периодичность, естественно, сохраняется как для амплитуды, так и для фазы частотной
характеристики. Иллюстрируя эту идею, на рис. 1.7 показана частотная характеристика импульсной системы, имеющей передаточную функцию
Hq [ z] =
(1.101)
0.3
.
z − 0.7
Частотная характеристика импульсной системы
1.2
Амплитуда
1
0.8
0.6
0.4
0.2
2
4
6
8
10
12
14
16
Фаза [°]
0
6
8
10
12
14
16
Частота [ω Δ ]
Рис. 1.7. Периодичность частотной характеристики импульсной системы
Другая интересная особенность заключается в том, что частотная характеристика импульсной системы сходится к характеристике непрерывного аналога при –> 0, и, следовательно, много информации можно получить просто из
характеристик непрерывной системы. Это иллюстрируется ниже.
62
Пример 1.11. Рассмотрим две системы, показанные на рис. 1.8. Сравним
частотные характеристики систем в диапазоне [ 0, ωs ].
Решение:
Для системы 1 частотная характеристика равна
H ( jω )
Y ( jω )
U ( jω )
=
(1.102)
a
.
jω + a
Для системы 2 частотная характеристика равна
Hq (e
jωΔ
)
Yq (e jωΔ )
a ⎫
⎧
= Z ⎨Gh 0 ( s )
⎬
jωΔ
s +a⎭
Uq (e )
⎩
U(t)
Система 1
Система 2
uq(k)
z =e
jωΔ
y(t)
a
s+a
1 − e − sΔ
s
Δ
(1.103)
1 − e − aΔ
= jωΔ − aΔ .
e −e
a
s+a
yq(k)
Δ
Рис. 1.8. Непрерывная система и импульсная система
Заметим, что если ω
ωs и a
ωs , т.е. ωΔ
1 и aΔ
1 , то мы можем ис-
пользовать разложение в ряд Тейлора первого порядка для экспонент e− aΔ и e jωΔ ,
что дает
H q ( jωΔ ) ≈
1 − 1 + aΔ
a
=
= H ( jω ) .
1 + jωΔ − 1 + aω jω + a
(1.104)
Следовательно, обе частотные характеристики будут асимптотически
(по частоте ωs ) приближаться друг к другу. Чтобы проиллюстрировать это
асимптотическое поведение, получим функцию ошибки He( jω ), которую определим как
63
H e ( jω ) = H ( jω ) − H q ⎡⎣e jω ⎤⎦ .
(1.105)
На рис. 1.9 показана амплитуда частотной характеристики H e ( jω ) . для
двух различных величин периода квантования ∆ и для а = 1. Мы видим, что для
малых значений ∆ непрерывные и дискретные частотные характеристики действительно очень близки.
Полный анализ этой проблемы в рамках цифрового управления будет сделан в гл. 3.
Частота [рад/с]
Рис. 1.9. Асимптотическое поведение передаточной функции импульсной
системы
1.12. ВЫВОДЫ
• Очень немного объектов, с которыми сталкивается инженер по системам
управления, являются цифровыми; чаще они непрерывны. Следовательно, сигнал управления, воздействующий на процесс, так же как и измерения процесса
является обычно непрерывным во времени.
• Современные системы управления, однако, почти исключительно реализованы на цифровых компьютерах.
• По сравнению с историческим аналоговым регулятором, цифровой компьютер обеспечивает:
- намного большую возможность осуществления сложных алгоритмов;
64
- удобные (графические) человеко-машинные интерфейсы;
- регистрацию данных, анализ тенденций и диагностику внутреннего регулятора и гибкость выполнения фильтрации и других форм обработки сигналов.
• Цифровые компьютеры работают с числовыми последовательностями
во времени, а не с непрерывными функциями времени.
• Поэтому
- входные сигналы цифрового регулятора, особенно процессы измерений,
должны быть квантованными;
- выходы цифрового регулятора, особенно сигналы управления, должны
быть экстраполированы из цифровой последовательности величин к непрерывной функции времени.
• Квантование выполняется аналого-цифровым преобразователем (АЦП).
• Обратное восстановление непрерывного сигнала из цифровых квантованных величин выполняется цифроаналоговым преобразователем (ЦАП).
Имеются различные способы экстраполяции дискретных квантованных величин, однако наиболее часто используется так называемый экстраполятор нулевого порядка.
• При квантовании непрерывного сигнала
- должна быть выбрана соответствующая скорость квантования;
- следует включать сглаживающий фильтр (низкочастотный), чтобы избежать эффекта транспонирования (кажущегося уменьшения) частоты высокочастотных сигналов типа шума.
•Анализ цифровых систем основан на дискретной версии непрерывных
операторов.
• В главе представлены два дискретных оператора:
- оператор смещения q, определяемый выражением qx [ k ] x [ k + 1] ;
65
x [ k + 1] − x [ k ]
- дельта-оператор δ , определяемый выражением δ x [ k ]
.
Δ
•Таким образом, δ =
q −1
или q = δΔ + 1 .
Δ
Дельта-оператор δ имеет следующие преимущества:
- он подчеркивает связь между непрерывными и дискретными системами
(похож на дифференциальный оператор);
- выражения сходятся к знакомым непрерывным выражениям, когда
Δ → 0;
- он значительно лучше в числовом плане при больших скоростях квантования.
•Анализ цифровых систем основывается на дискретной версии непрерывных операторов. Дискретная версия дифференциального оператора – разностный оператор. Дискретной версией преобразования Лапласа является или Zпреобразование (связанное с оператором сдвига) или γ -преобразование (связанное с дельта-оператором).
•С помощью этих операторов
- непрерывные модели дифференциальных уравнений могут быть преобразованы в дискретные модели разностных уравнений;
- непрерывные передаточные функции или модели пространства состояний могут быть преобразованы в дискретные передаточные функции или дискретные модели пространства состояний (либо в операторах смещения, либо в
дельта-операторах).
1.13. ЗАДАЧИ
Задача
1.1.
Вычислите
Z-преобразование
и
дискретное
дельта-
преобразование для дискретных последовательностей, которые получаются
квантованием следующих сигналов с частотой 1 Гц.
66
a ) μ ( t ) − μ ( t − 3)
á) e-0.1t cos ( 0.5t + π / 4 )
â)t 2e −0.25t
ã) te-0.1t cos ( t )
Задача 1.2. Рассмотрим следующие рекурсивные уравнения, описывающие отношение между входом и [k] и выходом y[k] различных дискретных систем (с квантованными данными).
а) y[k] - 0.8y[k - 1] = 0,4 u[k - 2],
(1.106)
б) y[k] - 0.5y[k - 1] + 0.06y[k - 2] = 0.6u[k - 1] + 0.3u[k - 2],
(1.107)
в) y[k] - 0.5y[k - 1] + 0.64y[k - 2] = u[k - 1].
(1.108)
1.2.1. Для каждого случая определите передаточную функцию.
1.2.2. Для предыдущего результата вычислите реакцию каждой системы
на единичный дельта-импульс Кронекера.
Задача 1.3. Определите реакцию на ступеньку дискретной системы, которая имеет следующие передаточные функции в Z-форме
z − 0.5
,
z ( z + 0.5 )
z
,
z − 0.5 z + 1
1
( z − 0.6 )
2
(1.109)
2
2
z +1
.
z − 0.4 z + 0.64
,
2
(1.110)
Задача 1.4. Рассмотрим непрерывную систему, имеющую передаточную
функцию
G (s) =
4
.
s + 2.4 s + 4
(1.111)
2
Найдите скорость квантования, такую, что импульсная передаточная
функция [GGh 0 ]q ( z ) имеет только один полюс.
67
Задача 1.5. Предположим, что на рис. 1.6 G0(s) имеет вид
G0 ( s ) =
2
( s + 1)( s + 2 )
.
(1.112)
1.5.1. Вычислите дельта-преобразование передаточной функции от u[k] к
y[k], H 0δ ( γ ) как функцию интервала квантования ∆.
1.5.2 Проверьте, что при ∆ –>0
lim H 0δ ( γ )
Δ→0
γ =s
= G0 ( s ) .
(1.113)
Задача 1.6. Выход y(t) непрерывной системы с входным единичным ступенчатым сигналом квантуется каждую секунду. Выражение для последовательности {у[ k ]} имеет вид
y [ k ] = 0.5 − 0.5 ( 0.6 ) ,
k
∀k ≥ 0.
(1.114)
1.6.1. Определите Yg(z).
1.6.2. Определите передаточную функцию от Uq(z) к Yq(z).
1.6.3. Из предыдущего результата получите разностное уравнение, связывающее {y[k]} с {u[k]}.
Задача 1.7. Рассмотрим установку, показанную на рис. 1.6, где интервал
квантования ∆ = 0.5 с. Предположим, что передаточная функция от Uq(z) к Yq(z)
равна
H 0q ( z ) =
z − 0.5
.
( z − 0.8 )( z − 0.2 )
(1.115)
1.7.1. Найдите G0(s). (Используйте команду d2c пакета MATLAB.)
1.7.2. Объясните, почему предыдущее решение не единственное и получите какие-нибудь альтернативные выражения для G0(s), которые также
удовлетворяют (1.115).
68
Задача 1.8. Рассмотрим установку, показанную на рис. 1.6, где
G (s) =
(1.116)
e− s
.
s + 0.8
Найдите передаточную функцию от Uq(z) к Yq(z) сначала для ∆= 1 с, а затем для ∆= 0.75 с.
Задача 1.9. Передаточная функция импульсной системы (в дельта-форме)
задана выражением
γ + 0.5
.
(γ − 0.1)(γ + 0.8 )
Gδ ( γ ) =
(1.117)
1.9.1. Если ∆ = 3.5 с, будет ли система устойчивой?
1.9.2. Найдите соответствующую передаточную функцию для Zпреобразований при ∆= 3.5 с.
1.9.3. Повторите 1.9.1 и 1.9.2 для ∆ = 1.5 с.
Задача 1.10. Рассмотрим непрерывный и дискретный фильтры низких
частот, имеющие передаточные функции Н (s) и H δ ( γ ) соответственно. Предположим, что для цифрового фильтра частота квантования ws выбрана равной
25 рад/с и что
H (s) =
1
,
s + 2s + 1
2
Hδ (γ ) =
1
.
γ + 2s + 1
(1.118)
2
1.10.1. Сравните частотные характеристики для фильтров в диапазоне частот [0;3 ωs ]. Прокомментируйте результат.
1.10.2. Может ли цифровой фильтр использоваться в качестве сглаживающего фильтра?
Задача 1.11. Рассмотрим две передаточные функции G1 ( s ) u G2 ( s ) :
G1 ( S ) =
1
2
, G2 ( s ) =
.
s +1
s+2
(1.119)
69
Сравните частотные характеристики следующих двух передаточных
функций:
[Gh 0G1G2 ]q ( z )
è
[Gh 0G1 ]q ( z ) [Gh 0G2 ]q ( z )
(1.120)
для двух различных периодов квантования ∆= 0.05 с и ∆ = 0.5 с. Обсудите основные проблемы, возникшие в этом примере.
70
ГЛАВА 2. ЦИФРОВОЕ УПРАВЛЕНИЕ
2.1. ДИСКРЕТНЫЕ ФУНКЦИИ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ
Модели дискретных систем были описаны в гл. 1. Там мы видели, что
цифровые и непрерывные системы фактически весьма близки. Следовательно,
обычно справедливо, что цифровые реакции приближаются к соответствующей
непрерывной реакции при стремлении периода квантования к нулю. В данной
главе рассмотрим вопросы:
• почему мы не можем просто обращаться с цифровым управлением, как
будто оно точно такое же самое, что и непрерывное управление;
• как спроектировать цифровую систему управления так, чтобы в моменты квантования ее реакция точно совпадала с реакцией непрерывной системы.
Предположим (как бывает почти всегда на практике), что объект работает
в непрерывном времени, в то время как регулятор реализован в цифровой форме. Наличие регулятора, реализованного в цифровой форме, вносит несколько
ограничений в задачу:
а)
регулятор чувствует реакцию выхода только в моменты квантова-
б)
обычно будет необходим сглаживающий фильтр (см. разд. 1.1) до
ния;
процесса квантования выходного сигнала, чтобы избежать преобразования высокочастотных сигналов (типа шума) в сигналы более низких частот, где они
будут неправильно восприняты;
в) непрерывный вход объекта просто связывается с цифровым (квантованным) выходом регулятора, например, с помощью экстраполятора нулевого
порядка
71
R(z)
Eq ( z )
Цифровой регулятор
Экстраполятор
Cq ( z )
+
Объект
Gh 0 ( s )
Y(s)
G0 ( s )
-
F (s)
Квантователь
Yf ( s )
Сглаживающий фильтр
Рис. 2.1. Контур управления с квантованными данными
Основная идея гл. 1 состоит в том, что если нас интересует реакция только в моменты квантования, эти квантованные величины могут быть описаны
дискретными моделями или с помощью дельта-оператора, или с помощью оператора сдвига. Например, рассмотрим контур управления с квантованными данными, показанный на рис. 2.1.
Заметим, что на рис. 2.1 мы использовали переменную Лапласа s, чтобы
описать непрерывные передаточные функции и переменную Z-преобразования
для описания цифрового регулятора.
Если нас интересует только квантованная реакция, то легко получить эквивалентную дискретную модель для квантованной реакции с помощью комбинации экстраполятор – объект – сглаживающий фильтр. Это может быть сделано или через передаточные функции, или через методы пространства состояний.
Для удобства мы здесь используем форму передаточной функции, которая
представлена в (1.72).
[ FG0Gh 0 ]q ( z )
[G0Gh 0 ]q ( z )
⎪⎧квантованная импульсная
⎪⎫
Z⎨
⎬
⎩⎪ характеристика F ( s ) G0 ( s ) Gh 0 ( s ) ⎭⎪
⎧⎪квантованная импульсная
⎫⎪
Z⎨
⎬.
⎪⎩ характеристика G0 ( s ) Gh 0 ( s ) ⎪⎭
(2.1)
(2.2)
Учитывая эквивалентную дискретную передаточную функцию объекта,
мы можем сразу же записать другие соответствующие передаточные функции
72
замкнутого контура:
дискретная функция чувствительности
S0 q ( z ) =
Eq ( z )
Rq ( z )
=
1
(1 + C ( z) [ FG G
q
] ( z ))
;
(2.3)
h0 q
0
дискретная функция дополнительной чувствительности
T0 q ( z ) =
Y fq ( z )
Rq ( z )
=
Cq ( z ) [ FG0Gh 0 ]q ( z )
(1 + C ( z) [ FG G
q
0
] ( z ))
.
(2.4)
h0 q
Пока это все кажется аналогичным непрерывному случаю (и, действительно, это так). Конечно, приведенные передаточные функции описывают
только квантованные реакции. Дополнительно будет сказано об этом в гл. 3, когда мы будем исследовать межтактовую реакцию цифрового контура управления. Термин «межтактовая реакция» означает реальную, но недоступную (для
компьютера) непрерывную реакцию основного процесса.
2.2. НУЛИ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ
Нули разомкнутого контура системы существенно влияют на достижимую характеристику замкнутого контура. Поэтому важность понимания значения нулей в дискретных моделях не удивительна. Оказывается, что здесь существуют некоторые проблемы, которые мы и рассмотрим ниже.
Если мы используем модели с оператором сдвига, то трудно заметить
связь между непрерывной и дискретной моделями. Однако если мы используем
эквивалентное описание в дельта-области, то станет ясно, что дискретные передаточные функции сходятся к соответствующим непрерывным описаниям. В
частности, отношения между непрерывными и дискретными полюсами (в дельта-области) представлены выражением (1.92). Например, мы видим, что
73
piδ =
(2.5)
e pi Δ − 1
; i = 1,...n,
Δ
где piδ и pi означают дискретные (в дельта-области) полюсы и непрерывные
полюсы
соответственно.
В
частности,
мы
видим,
что
piδ → pi , когда Δ → 0 .
Однако отношения между непрерывными и дискретными нулями более
сложны. Все дискретные системы, оказывается, имеют относительную степень,
равную единице, независимо от относительной степени первоначальной непрерывной системы1.
Следовательно, если непрерывная система имеет n полюсов и m ( < n ) нулей, то соответствующая дискретная система будет иметь n полюсов и (n- 1) нулей.
Ввиду сходимости дискретных нулей к непрерывным нулям, мы делим
(несколько искусственно) все дискретные нули на два множества.
1.
Системные нули: z1δ ,...z2δ имеют такое свойство, что
lim ziδ = zi
Δ→ 0
i = 1,..., m,
(2.6)
где ziδ – дискретные нули (выраженные для удобства в дельта-области) a zi
– нули соответствующей непрерывной системы.
2.
Нули квантования: zmδ +1 ,...znδ−1 имеют такое свойство, что
lim ziδ = ∞
Δ→0
i = m + 1,..., n − 1.
(2.7)
Конечно, если у непрерывной системы т = п – 1, то нулей квантования
нет. Заметим также, что раз нули квантования стремятся к бесконечности, то
они определяют относительную степень непрерывной системы.
Бывают исключения, когда квантованные непрерывные системы имеют или чистое запаздывание, или неминимально-фазовые нули (при особом выборе периода квантования).
1
74
Пример 2.1. Рассмотрим непрерывную систему, имеющую непрерывную
передаточную функцию
G0 ( s ) =
(2.8)
1
,
s ( s + 1)
где п = 2 и т = 0. Тогда мы можем ожидать, что дискретизация приведет к
одному нулю квантования, что мы проверим следующим образом.
С периодом квантования 0.1 с точная цифровая модель в области оператора смещения будет
G0 q ( z ) = K
(2.9)
z − z0q
,
( z − 1)( z − α 0 )
q
где К = 0.0048, z0 = -0.967 и α 0 = 0.905.
Соответствующая точная цифровая модель в дельта- области имеет вид
Gδ ( γ ) =
K ' ( γ − z0δ )
γ ( γ − α 0' )
(2.10)
,
где К1 = 0.0048 z0δ = −19.67 и α 0 = -0.9516.
Нуль квантования,
область оператора смещения
Период квантования [с]
Нуль квантования,
дельта-область
Период квантования [с]
Рис. 2.2. Расположение нуля квантования с различными периодами квантования
Расположение нулей квантования в области оператора смещения и
дельта-области как функция периода квантования ∆ определяется соответственно выражениями
75
z
q
0
1 + Δ ) e−Δ − 1
(
=
Δ + e−Δ − 1
(2.11)
e−Δ − 1
z =
Δ + e −Δ − 1
q
0
è
откуда легко проверить, что для очень маленького ∆, z0δ → ( −1) и z0δ → ∞ . Ана+
логично для очень большого ∆, z0δ → 0− и z0q → 0− . Эти изменения показаны на
рис. 2.2.
При управлении дискретными системами следует особое внимание обращать на нули квантования. Например, эти нули могут быть неминимальнофазовыми даже если исходная непрерывная система минимально-фазовая. Рассмотрим, например, минимально-фазовую непрерывную систему с передаточной функцией
G0 ( s ) =
s+4
( s + 1)
(2.12)
3
Для этой системы нули в области оператора смещения функции
[G0Gh 0 ]q ( z ) при двух различных периодах квантования будут следующими:
∆= 2 с
=> нули при -0.6082 и -0.0281;
∆ = 0.5 с ⇒ нули при -1.0966 и 0.1286.
Заметим, что для ∆ = 0.5 с импульсная передаточная функция имеет нуль
вне области устойчивости.
2.3. ПРИБЛИЖЕННОЕ НЕПРЕРЫВНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ
Здесь мы используем идею просто выполнить обычное непрерывное проектирование, а затем перевести полученный регулятор в дискретную область.
Чтобы проиллюстрировать эффект обычного перевода проекта системы
управления из непрерывной в дискретную область, рассмотрим три метода, почерпнутых из литературы по цифровой обработке сигналов.
76
1. Взять непрерывный регулятор, выраженный в терминах переменной
Лапласа s и затем заменить каждое вхождение s соответствующим оператором
γ дельта-области. Это приводит к следующему закону цифрового управления:
C1 (γ ) = C ( s )
s =γ
,
(2.13)
где C(s) - передаточная функция непрерывного регулятора, C1 ( γ ) результирующая передаточная функция дискретного регулятора в дельтаформе.
2. Преобразовать регулятор в дискретный эквивалент экстраполятором
нулевого порядка. Это называется ступенчато-инвариантным преобразованием. В результате получаем
C2 ( γ ) = D ⎡⎣ квантовая импульсная характеристика {С ( s ) Gh 0 ( s )}⎤⎦ ,
(2.14)
где C ( s ) , Gh 0 ( s ) , C 2 ( γ ) - передаточные функции непрерывного регулятора,
экстраполятора нулевого порядка и окончательного дискретного регулятора соответственно.
3. Можно использовать более сложный переход от s к γ . Например, можно выполнить следующее преобразование, обычно называемое билинейным преобразованием с предварительной деформацией.
Пусть сначала
s=
αγ
Δ
γ +1
2
⇔γ =
s
.
Δ
α− s
2
(2.15)
Дискретный регулятор тогда определяется следующим образом:
C 3 (γ ) = C ( s )
s=
αγ
Δ
γ +1
2
.
(2.16)
77
Затем выбираем α так, чтобы частотные характеристики этих двух регуляторов совпадали на некоторой желаемой частоте, скажем, ω * . Например,
можно было бы выбрать ω * как частоту, на которой непрерывная функция чувствительности имеет максимальное значение.
Далее, вспомним из гл. 1, что дискретная частотная характеристика на
(
)
*
частоте ω * получается заменой γ = e jω Δ − 1 / Δ , а непрерывная частотная характеристика получается заменой s на j ω * . Следовательно, чтобы приравнять дискретную и непрерывную частотные характеристики на частоте ω * , нам нужно,
чтобы параметр α удовлетворял условию
⎡ e jω Δ − 1 ⎤
α⎢
⎥
⎢ Δ ⎦⎥
⎣
*
jω =
.
*
Δ ⎡ e jω Δ − 1 ⎤
⎢
⎥ +1
2 ⎢⎣ Δ ⎥⎦
*
(2.17)
Результат будет следующим:
⎡ ω *Δ ⎤
ω *Δ ⎡ sin ω *Δ ⎤ ω *Δ
α=
=
ctg ⎢
⎥.
2 ⎢⎣1 − cos ω *Δ ⎥⎦
2
⎣ 2 ⎦
(2.18)
Проиллюстрируем это следующим примером.
Пример 2.2. Объект имеет номинальную модель следующего вида:
G0 ( s ) =
1
( s − 1)
2
.
(2.19)
2.2.1. Нужно синтезировать непрерывный ПИД-регулятор, такой, что
доминирующие полюсы в замкнутом состоянии являются корнями полинома s2
+ 3s + 4.
2.2.2. Используя полученный результат, нужно получить дискретный
ПИД-регулятор. Предположим, что частота квантования может быть такой, какой потребуется и что на входе объекта помещен экстраполятор нулевого порядка.
78
2.2.3. Используя SIMULINK, нужно сравнить реакции на единичный ступенчатый эталонный сигнал для
непрерывного и дискретного контуров.
Решение:
2.2.1. Характеристический полином замкнутого контура Ad(s) выбран в
следующем виде
Acl(s) = (s2 + 3s + 4)(s2 + 10s + 25),
(2.20)
где сомножитель s2-10s+ 25 добавлен, чтобы получить для Acl ( s ) степень,
равную 4, что является минимальной степенью для возможности произвольного выбора Acl ( s ) .
Решая уравнение назначения полюсов, мы получим P(s) = 88s2 + 100s + 100
и L(s) = s + 15. Это дает следующий ПИД-регулятор:
C (s) =
88s 2 + 100s + 100
.
s ( s + 15)
(2.21)
2.2.2. Если использовать высокие скорости квантования, то простейшей
процедурой получения дискретного ПИД-регулятора является замена s на γ в
(2.21):
Cδ ( γ ) =
88γ 2 + 100γ + 100
γ ( γ + 15 )
(2.22)
или в форме Z-преобразований
Cδ ( γ ) =
88 z 2 − 166 z + 79
,
( z − 1)( z + 0.5)
где мы предполагаем интервал квантования ∆ = 0.1.
(2.23)
79
2.2.3. Непрерывный и дискретный контуры смоделированы в пакете
SIMULINK для единичного ступенчатого эталонного сигнала в момент t = 1 и
единичного входного возмущения в момент t = 10. Разность выходных сигналов
Разница выходов
объекта показана на рис. 13.3.
Время[с]
Рис. 2.3. Различие в выходах объекта под действием дискретизации
регулятора (период квантования = 0.1 с)
Легко
проверить,
что
для
меньших
периодов
квантования, скажем, ∆ = 0.01, различие с непрерывным вариантом
было
бы
едва
заметным.
Оба
контура
включены
в
файл
Icodi.mdl
пакета SIMULINK.
Однако тот факт, что ни одно из специальных преобразований, перечисленных выше, не является полностью удовлетворительным с более скромными скоростями квантования, иллюстрируется в следующем примере.
Пример 2.3. Номинальная передаточная функция системы имеет вид
G0 ( s ) =
10
,
s ( s + 1)
(2.24)
а непрерывный регулятор задан выражением
C (s) =
0.416 s + 1
.
0.139 s + 1
(2.25)
Требуется заменить этот регулятор цифровым регулятором с ∆ = 0.157 с, перед которым находится квантователь, а за ним – экстраполятор нулевого по-
80
рядка, используя каждую из трех аппроксимаций, перечисленных выше. Протестировать реакцию на ступенчатый эталонный сигнал для каждой такой
аппроксимации.
Решение
1. Заменяя в C(s) s на γ , получим
C 1 (γ ) =
0.416γ + 1
.
0.139γ + 1
(2.26)
2. Эквивалент C(s) с экстраполятором нулевого порядка имеет вид
C 2 (γ ) =
0.416γ + 1
.
0.139γ + 1
(2.27)
3. Для билинейного преобразования с предварительной деформацией сначала получим непрерывную функцию чувствительности
S0 ( jω ) =
1
1 + C ( jω ) G ( jω )
(2.28)
.
Найдем, что S0 ( jω ) имеет максимум на частоте ω * = 5.48 рад/с.
Тогда, используя формулу (2.18), получим α= 0.9375. С этим значением α
найдем приближение
C 3 (γ ) = C ( s )
s=
αγ
Δ
γ +1
2
(2.29)
0.416γ + 1
=
.
0.139γ + 1
Переходные характеристики замкнутого контура, полученные с непрерывным
регулятором
C(s)
и
тремя
дискретными
регуляторами
C 1 ( γ ) , C 2 ( γ ) , C 3 ( γ ) представлены на рис. 2.4.
Из рисунка видно, что ни одно из приближений точно не воспроизводит
реакцию замкнутого контура, полученную с непрерывным регулятором. Фактически, из этого примера видно, что простая замена дает лучший результат, и
что нет смысла получать здесь результат более причудливыми методами. Однако было бы опасно делать из этого примера общие заключения.
Выход объекта
81
Время [с]
Рис. 2.4. Характеристики различных проектов систем управления:
непрерывной (yc(t)), простой подстановки ( y1 ( t ) ) , ступенчатой
инвариантности ( y2 ( t ) ) билинейного преобразования ( y3 ( t ) )
Вышеупомянутый пример показывает трудность получения дискретных
законов управления специальными средствами. Поэтому мы продолжим исследовать проектирование дискретных и цифровых систем управления.
2.4.
ЦИФРОВОЕ
ПРОЕКТИРОВАНИЕ
В
МОМЕНТЫ
КВАНТОВАНИЯ
Следующий вариант, который мы исследуем,– точное цифровое проектирование системы управления для квантованной реакции.
Напомним, что квантованная реакция точно описывается соответствующими дискретными моделями (выраженными или с помощью оператора
сдвига, или с помощью дельта-операции).
Здесь можно было бы использовать много разных возможных стратегий.
Поэтому кратко рассмотрим некоторые из временных и частотных методов.
82
2.4.1. Проектирование во временной области
Любая алгебраическая технология (типа назначения полюсов) имеет непосредственный цифровой аналог. По существу, все, что здесь необходимо,– работать с параметром z (или γ ) вместо переменной Лапласа s и иметь в виду различные области устойчивости замкнутого контура. Напомним следующие области устойчивости замкнутого контура
непрерывный: ℜ ( s ) < 0;
дискретный в z-области: z < 1;
дискретный в δ − области: δ +
1 1
<
Δ Δ
При определении полюсов замкнутого контура мы устанавливаем характеристики собственных движений замкнутого контура. Таким образом, общие
подходы назначения полюсов могут применяться с очевидными модификациями
в синтезе цифровых систем управления. Однако дискретные системы имеют
практическую особенность обладать конечным временем переходного процесса
(что невозможно достичь точно в непрерывных системах). Это достигается, когда все полюсы передаточной функции чувствительности расположены при z = 0
1
Δ
или, что эквивалентно, при γ = − (пример 1.5). Существует несколько вариантов
синтеза для получения контура цифрового управления с конечным временем переходного процесса (при ступенчатом эталонном воздействии), измеренного в
моменты квантования. Кратко исследуем два из этих подходов для следующей
структуры.
Рассмотрим непрерывный объект, имеющий импульсную передаточную
функцию в виде
G0 q ( z ) = [G0Gh 0 ]q ( z ) =
B0 q ( z )
A0 q ( z )
и цифровой регулятор с передаточной функцией
(2.30)
83
Cq ( z ) =
Pq ( z )
Lq ( z )
,
(2.31)
где Aoq(z), Boq(z), Lq(z) и Pq(z) –полиномы в z-плоскости с нормированными
Aoq(z) и Lq(z]. Степени Aoq(z) и Boq(z)–n и т (т < п) соответственно. Дальше мы
будем считать, что разомкнутый контур обладает накапливающим эффектом
(интегрирующее свойство), т. е. что Aoq(z)Lq(z) имеет, по крайней мере, один корень при z = 1, чтобы гарантировать нулевую ошибку в установившемся состоянии при ступенчатом эталонном сигнале и ступенчатом выходном возмущении.
2.4.2. Минимальная модель
Основная идея этой стратегии проектирования систем управления состоит
в том, чтобы достичь нулевой ошибки в моменты квантования за минимальное
число периодов квантования при ступенчатых эталонных воздействиях и ступенчатых выходных возмущениях (при нулевых начальных условиях). Это подразумевает, что дополнительная чувствительность должна иметь вид
T0 ( z ) =
p(z)
,
zl
(2.32)
где l ∈ , p(z) – полином степени, меньшей, чем l и р(1) = 1. Это последнее
условие гарантирует, что T0q (1) = 1; оно является необходимым и достаточным
условием получения нулевой установившейся ошибки.
Синтез регулятора можно тогда выполнить, используя методы назначения
полюсов. Рассмотрим два случая.
Случай 1. Предполагается, что у импульсной передаточной функции объекта Goq(z] все полюсы и нули находятся строго внутри области устойчивости.
Тогда регулятор может скомпенсировать числитель и знаменатель Goq(z,), и уравнение назначения полюсов становится следующим:
84
Lq ( z ) A0 q ( z ) + Pq ( z ) B0 q ( z ) = Aclq ( z ) ,
(2.33)
Lq ( z ) = ( z − 1) B0 q ( z ) Lq ( z ) ,
где
(2.34)
Pq ( z ) = K 0 A0 q ( z ) ,
(2.35)
Aclq ( z ) = zn − m B0 q ( z ) A0 q ( z ) .
(2.36)
Используя (2.34)-(2.36) в (2.33) и упрощая, получим
( z − 1) L q ( z ) + K 0 = z n −m .
(2.37)
Уравнение (13.6.8) можно теперь решить относительно К0, вычисляя выражение при z = 1 . Это приводит к К0 =1 и регулятору и дополнительной чувствительности, равным
Gq ( z ) = ⎡⎣G0 q ( z ) ⎤⎦
1
−1
z
n−m
−1
и
T0 ( z ) =
1
z
n−m
.
(2.38)
Проиллюстрируем этот случай на примере.
Пример 2.4. Рассмотрим непрерывный объект с передаточной функцией
G0 ( s ) =
(2.39)
50
.
( s + 2 )( s + 5 )
Нужно синтезировать регулятор с минимальной моделью, когда период
квантования Δ = 0.1 с.
Решение
Импульсная передаточная функция имеет вид
G0 q ( z ) =
0.0398 ( z + 0.7919 )
.
( z − 0.8187 )( z − 0.6065)
(2.40)
Заметим, что Goq(z) – устойчивая и минимально-фазовая с т = 2 и n = 3.
Используя (2.38), получим
Gq ( z ) =
24.124 ( z − 0.887 )( z − 0.6065 )
( z − 1) ( z + 0.7919 )
и
1
T0q = .
z
(2.41)
85
Характеристика окончательного контура управления рассмотрена при
единичном ступенчатом эталонном воздействии при t = 0.1 с. Выход объекта
Выход объекта и
эталонное воздействие
показан на рис. 2.5.
Время .с
Рис.2.5. Выход объекта для единичного ступенчатого эталонного сигнала и
цифрового управления с минимальной моделью; объект устойчивый
Мы видим, что квантованная реакция устанавливается точно за один период квантования. Так и ожидалось, потому что T0q ( z ) = z −1 . Однако рис. 2.5 иллюстрирует одну из слабостей управления с минимальной моделью: совершенное отслеживание гарантируется только в моменты квантования. Действительно, мы наблюдаем существенные межтактовые биения. Проанализируем
причину этой проблемы в следующей главе. Другой недостаток этого подхода –
большая требуемая величина управления: поскольку регулятор бисобственный,
он мгновенно реагирует на ступенчатое эталонное воздействие с начальной величиной, равной увеличенной в 48.73 раза амплитуде ступеньки.
Случай 2. Пусть объект минимально-фазовый и устойчивый за исключением полюса при z = 1, т. е. A0 q ( z ) = ( z − 1) A0 q ( z ) . В этом случае идея минимальной модели не требует, чтобы регулятор имел полюс при Z = 1. Тогда уравнения
(2.34)-(2.36) дадут
86
Lq ( z ) = B0 q ( z ) Lq ( z ) ,
(2.42)
Pq ( z ) = K 0 A0 q ( z ) ,
(2.43)
Aclq ( z ) = z n−m B0 q ( z ) A0 q ( z ) .
(2.44)
Уравнение (2.37) такое же, как и в случае 1. Таким образом, K 0 = 1 и
Cq ( z ) = ⎡⎣G0 q ( z ) ⎤⎦
=
B0 q ( z ) ( z
1
−1
z
n−m
−1
=
A0 q ( z ) z − 1
=
B0 q ( z ) z n − m − 1
A0 q ( z )
n − m −1
+z
n−m−2
+ z n − m −3 + ... + z + 1)
T0 q ( z ) =
1
z
n−m
,
(2.45)
(2.46)
(2.47)
.
Этот случай иллюстрируется следующим примером.
Пример 2.5. Рассмотрим устройство с передаточной функцией
G0 ( s ) =
(2.48)
1
.
s ( s + 1)
Нужно синтезировать регулятор с минимальной моделью, имеющий период квантования = 0.1 с.
Из примера 2.1 мы имеем, что импульсная передаточная функция системы (при Д = 0.1 с), заданная выражением (2.9), равна
G0 q ( s ) = 0.0048
z + 0.967
.
( z − 1)( z − 0.905)
(2.49)
Тогда
B0q(z)=0.0048(z +0.967) и
и, используя (2.45), получим
Aoq(z) = z -0.905
(2.50)
87
G0 ( z ) = 208.33
z − 0.905
,
z + 0.967
(2.51)
(2.52)
Выход объекта
и эталонное
воздействие
1
Toq ( z ) = .
z
Время [с]
Рис. 2.6. Выход объекта для единичного ступенчатого эталонного сигнала
и цифрового управления с минимальной моделью; объект с интегрированием
Характеристика окончательного контура управления оценена для единичного ступенчатого эталонного воздействия при t = 0.1 с. Выход объекта показан на рис. 2.6.
Снова
мы
видим,
что
квантованная
реакция
устанавливается
за один период квантования. Однако рис. 2.6 также подтверждает главные характеристики управления с минимальной моделью: ненулевые ошибки в межтактовые периоды и большие амплитуды управляющего воздействия.
Примечательная общая особенность в обоих случаях – межтактовая реакция имеет слабо затухающие колебания частоты, равной половине частоты
квантования. Мы исследуем причины этого в гл. 3.
Дальнейшее понимание подхода с использованием минимальной модели
можно получить, анализируя поведение выхода регулятора u[k]. Из (2.32) мы
имеем, что
88
Yq ( z ) = T0 q ( z ) =
A0 q p ( z )
−1
p( z)
⎡
⎤
R
z
U
z
G
z
Y
z
Rq ( z ).
⇔
=
=
(
)
(
)
(
)
(
)
q
q
q
q
0
⎣
⎦
zl
z ' B0 q ( z )
(2.53)
Для вышеупомянутых примеров p(z) = 1 и I равно относительной степени
Goq(z) (это обычно имеет место). Таким образом, собственные движения в u[k]
будут зависеть от расположения нулей Goq(z), т. е. корней Boq(z) (включая и нули
квантования!). Это подразумевает, что u[k] не приходит к своему установившемуся значению за конечное время. Поскольку нули квантования вообще имеют
отрицательные вещественные части, этот переходный процесс будет включать
колебательные движения; это явление (иллюстрируется примером 1.6) известно
как пульсации, и оно нежелательно из-за изнашивания исполнительных механизмов.
2.4.3. Оптимальное по времени апериодическое управление
Основная идея проектирования апериодического управления подобна случаю с минимальной моделью: достичь нулевой ошибки в моменты квантования
за конечное число периодов квантования для ступенчатых эталонных воздействий и ступенчатых выходных возмущений (при нулевых начальных условиях).
Однако в этом случае мы добавляем требование, чтобы для этого вида эталонного сигнала и возмущения, выход регулятора u[k] также достиг своей установившейся величины за то же самое число интервалов.
Рассмотрим контур с цифровым управлением со ступенчатым эталонным
воздействием и в котором y[k] должен достичь своей установившейся величины
(с нулевой ошибкой управления в моменты квантования) за n моментов квантования, где n является степенью полинома знаменателя. Тогда полином Y(z) должен иметь вид
89
Yq ( z ) =
ω ( z)
z
n
Rq ( z ) ⇔ T0 q ( z ) =
ω ( z)
z
n
(2.54)
,
ω ( z ) = ωn z n + ωn −1 z n −1 + ... + ω1 z + ω0 .
(2.55)
Чтобы достичь совершенного отслеживания установившегося состояния в
моменты квантования (для ступенчатых эталонных воздействий и ступенчатого
выходного возмущения), нам нужно, чтобы Toq(l) = 1, т. е.
(2.56)
n
ω (1) = ∑ ωi = 1.
i= 0
Мы также требуем, чтобы выход регулятора и[k] достиг установившегося
состояния за n периодов квантования. Это условие позволит нам вычислить1 полином ω (z), поскольку
−1
U q ( z ) = ⎡⎣G0 q ( z ) ⎤⎦ Yq ( z ) = Suoq Rq ( z ) =
A0 q ( z ) ω ( z )
B0 q ( z ) z
n
Rq ( z ).
(2.57)
Далее, чтобы переменная u[k] достигала своей установившейся величины
за n периодов, нужно, чтобы полинома Boq(z) не было в знаменателе последнего
выражения равенства (13.6.28). Следовательно, мы должны выбрать ω (z) в виде
ω ( z ) = α B0 q ( z ) , где
α=
1
.
B0 q ( z )
(2.58)
Окончательно мы видим, что
Uq (s) =
α Aoq ( z )
z
n
Rq ( z ),
(2.59)
Это равенство достигается с помощью следующего закона управления:
Gq ( z ) =
α A0 q ( z )
.
z − α B0 q ( z )
(2.60)
n
Апериодическое управление иллюстрируется следующим примером.
1
Заметим: чтобы чувствительность Suoq ( z ) была собственной, степень ω (z) должна быть, по
крайней мере, равна степени Boq(z).
90
Пример 2.6. Рассмотрим устройство из примера 2.5, которое имеет передаточную функцию
G0 ( s ) =
(2.61)
1
.
s ( s + 1)
Нужно синтезировать оптимальное по времени апериодическое управление с интервалом квантования Δ= 0.1 с.
Решение
Из примера 2.5 мы имеем, что импульсная передаточная функция (при Δ =
0.1 с), учитывая (2.49), имеет вид
G0 q ( z ) = 0.0048
z + 0.967
⇒ α = 105.5.
( z − 1) ( z − 0.905 )
(2.62)
Следовательно, используя (2.60), получим
Gq ( z ) =
α A0 q ( z )
105.49 z − 95.47
.
=
z − α B0 q ( z )
z + 0.4910
(2.63)
n
Характеристика этого регулятора показана на рис. 2.7 для единичного
ступенчатого эталонного сигнала, прикладываемого в момент времени t = 0.
Видно, что непрерывный выход объекта y(t) достигает установившейся
величины после двух периодов квантования, как и ожидалось. Кроме того,
межтактовая реакция теперь весьма приемлема. Чтобы оцепить управляющее
воздействие, используем (2.59), чтобы получить
Uq ( z ) =
α A0 q ( z )
z
n
Rq ( z ) = 105.49
( z − 1)( z − 0.905) R
z
2
q
( z ).
(2.64)
Решая уравнение, мы получим управляющую последовательность: и[0] =
105.49, и[1] = -95.47 и u[k] = 0 ∀k ≥ 2 . Заметим, что нулевые значения управляющего сигнала получаются потому, что объект обладает интегрирующими
91
свойствами. Обратим также внимание на то, что первые две квантованные
величины сигнала управления могут в практических приложениях привести к
насыщению исполнительного механизма: в этом отношении апериодическое
управление не отличается от управления с минимальной моделью или непрерывного управления; быстрое управление (относительно полосы пропускания объекта) будет всегда требовать больших амплитуд управления ( как и случилось в
этом примере) – этот компромисс не зависит от структуры управления или
Реакция объекта
философии управления.
Время [с]
Рис. 2.7. Оптимальное по времени апериодическое управление для объекта
второго порядка
Замечание. Рассмотренный выше регулятор был получен для устойчивых
объектов или объектов самое большее с одним полюсом в начале координат,
потому что допускается компенсация A0 q ( z ) . Однако апериодическая философия может также применяться и к неустойчивым объектам, при условии, что
результат достигается более чем за n периодов квантования. Чтобы сделать
это, мы просто используем назначение полюсов и размещаем все полюсы замкнутого контура в начале координат.
92
2.4.4. Проектирование цифровых систем с помощью назначения
полюсов
Подходы с использованием минимальной модели и апериодического
управления – специфические приложения назначения полюсов. Если, например,
нужно уменьшить управляющее воздействие, требуемое апериодическим проектированием, мы можем обратиться к синтезу с помощью назначения полюсов,
перемещая полюсы в начало координат чтобы ослабить требование к числу периодов квантования по сравнению со случаем размещения полюсов в точке (1;0).
При этой стратегии мы жертвуем скоростью управления (полоса пропускания
контура) в пользу уменьшения управляющего воздействия (амплитуда u [ k ] ). Эта
идея используется в следующем примере.
Пример 2.7. Общий синтез с помощью назначения полюсов
Рассмотрим ту же самую систему, что и в предыдущих примерах. Она
имеет непрерывную передаточную функцию, приведенную в (2.62) и импульсную
передаточную функцию, заданную выражением(2.63) (для Δ = 0.1 с).
Синтез с помощью назначения полюсов выполнен с полиномом замкнутого
контура Aclq ( z ) = ( z − 0.905 )( z − 0.8 )( z − 0.6 ) .. Если мы сравним этот выбор с апериодическим синтезом, то видим, что все еще компенсируем полюс при z =
0.905; но на сей раз другие полюсы замкнутого контура были перемещены из начала координат в точки z = 0.8 и z = 0.6. Тогда уравнение назначения полюсов
будет иметь вид
Aclq ( z ) = ( z − 1)( z − 0.905 ) Lq ( z ) + 0.0048 ( z + 0.967 ) Pq ( z )
= ( z − 0.905 )( z − 0.6 )( z − 0.8 ) ,
(2.65)
93
где
Lq ( z ) = z − α 0 ,
Pq ( z ) = β1 ( z − 0.905 ) ⇒ Cq ( z ) =
β1 ( z − 0.905 )
.
z − α0
(2.66)
Если решить уравнения (2.65) и (2.66), то получим
Gq ( z ) =
8.47 ( z − 0.905 )
8.47 ( z − 0.905 )( z − 1)
.
⇒ Suoq ( z ) =
z − 0.44
( z − 0.6 )( z − 0.8)
(2.67)
Можно проверить, что с этим регулятором реакция контура на единичное ступенчатое эталонное воздействие укладывается в 2 %-ый диапазон от
установившейся величины приблизительно за 20 с. Заметим, что это в десять
раз больше времени переходного процесса, полученного при оптимальной по
времени апериодической стратегии управления. Однако компромисс становится очевидным, когда мы используем чувствительность по управлению Suoq(z) из
(2.67), чтобы вычислить величину управляющего воздействия для того же самого эталонного сигнала. Для этого случая управляющая последовательность
{u[k}} = {8.47, 4.19, 1.80,0.51, -0.15, -0.45, -0.56, -0.57, -0.52, ... ,0}.
Еще один пример цифрового проектирования с помощью назначения полюсов приведен ниже.
Пример 2.8. Рассмотрим непрерывный объект, имеющий номинальную
модель
G0 ( s ) =
1
.
( s + 1) ( s + 2)
(2.68)
94
Нужно спроектировать цифровой регулятор Cq(z], который обеспечивает полосу пропускания замкнутого контура приблизительно в 3 рад/с.
Контур должен также обладать нулевой ошибкой в установившемся состоянии при постоянных эталонных сигналах.
Решение
Выполним проект, используя дельта-преобразование, и затем переведем
полученный регулятор Cδ ( γ ) в Z-форму Cq(z). Период квантования Δ выбран
равным 0.1 с. (Заметим, что эта частота квантования значительно выше, чем
требуемая полоса пропускания.) Сначала используем программу c2del.m пакета
MATLAB, чтобы получить дискретную передаточную функцию (в дельтаформе) системы, состоящей из непрерывного объекта и экстраполятора нулевого порядка. Это дает
D {Gh 0 ( s ) G0 ( s )} =
0.0453γ + 0.863
.
γ 2 + 2.764 + 1.725
(2.69)
Далее выберем полином замкнутой системы Aclδ ( γ ) в виде
Aclδ (γ ) = (γ + 2.5 ) (γ + 3)(γ + 4 ) .
(2.70)
2
Четвертый порядок полинома выбран потому, что нам нужны в регуляторе интегрирующие свойства. Окончательное уравнение для назначения полюсов имеет вид
(γ
2
+ 2.764γ + 1.725 ) γ Lδ (γ ) + ( 0.0453γ + 0.863) Pδ (γ ) = (γ + 2.5 ) (γ + 3)(γ + 4 ) .
2
(2.71)
Для решения этого уравнения используется программа paq.m пакета
MATLAB, что дает передаточную функцию Cδ ( γ ) , которая, в конце концов, преобразуется в Cq ( z ) . Регуляторы в дельта-области и в области оператора смещения имеют вид
Cq ( γ ) =
P (γ )
29.1γ 2 + 100.0γ + 87.0
= δ
,
2
γ + 7.9γ
γ Lδ ( γ )
(2.72)
95
Cq ( γ ) =
(2.73)
29.1z 2 + 48.3z + 20.0
.
( z − 1)( z − 0.21)
Проект проверен путем моделирования эталонного сигнала в виде прямоугольных колебаний с помощью файла dcpa.mdl пакета SIMULINK.
Выход объекта и
эталонное воздействие
Результат показан на рис. 2.8.
Время [c]
Рис. 2.8. Реакция цифрового контура управления
Используя файл dcpa.mdl пакета SIMULINK, можно проверить, что полоса пропускания контура (используя команду dlinmod) превышает требуемую величину. Интересно также оценить, как изменяется положение полюсов замкнутого контура при изменении периода квантования (без изменения Cq ( z ) ).
2.5.
ПРИНЦИП
ВНУТРЕННЕЙ
МОДЕЛИ
ДЛЯ
ЦИФРОВОГО
УПРАВЛЕНИЯ
Учитывая такие особенности, как различные области устойчивости и типы
модели рассмотрим принцип внутренней модели применительно к цифровому
управлению. Пусть возмущение моделируется дискретной моделью с помощью
полинома Γ dq ( z ) (или Γ 'dδ ( γ ) для дельта-операторов). Γ dq ( z ) будет обычно иметь
96
полюсы в единичном круге, a Γ 'dδ (δ ) – в смещенном круге γ : γ +
1 1
= . Принцип
Δ Δ
внутренней модели тогда обеспечивается помещением Γ dq ( z ) или Γ'dδ ( γ ) в знаменатель передаточной функции регулятора. Например, дискретное интегрирующее действие достигается размещением ( Γ dq ( z ) = z–1) или ( Γ'dδ ( γ ) = γ ) в
знаменателе передаточной функции регулятора. Проиллюстрируем это простым
примером.
Пример 2.9. Непрерывный объект управляется цифровым регулятором.
Выход объекта должен отслеживать синусоидальный эталонный сигнал частоты 0.2 рад/с в присутствии ступенчатых возмущений. Нужно определить
полином (который следует включить в знаменатель передаточной функции
цифрового регулятора), необходимый для достижения нулевых установившихся
ошибок. Пусть период квантования равен 1 с.
Решение
Заметим
сначала,
r [ k ] = K1 sin ( 0.2k + K 2 )
что
квантованный
эталонный
сигнал
–
, где K1 , K 2 – неизвестные константы. Таким образом, поли-
номы, формирующие эталонный сигнал, в форме оператора смещения или дельта-форме
соответствуют
знаменателям
Z-преобразования
и
дельта-
преобразования сигнала r[k] соответственно. Тогда мы получаем
rrq(z) = z2- 1.962z + 1;
Γ rδ (γ ) = γ 2 + 0.04γ + 0.04.
(2.74)
Соответственно полиномы, формирующие возмущение, имеют вид
Γ dq ( z ) = z − 1,
Γ dδ (γ ) =γ .
(2.75)
Чтобы получить нулевые установившиеся ошибки, необходимо удовлетворить принципу внутренней модели. Это требует, чтобы знаменатель передаточной
функции
регулятора
включал
любой
сомножитель
Γ rq ( z ) Γ dq ( z ) = ( z 2 − 1.96 z + 1) ( z − 1) (для формы с использованием оператора сдвига)
или сомножитель Γ rδ ( γ ) Γ dδ ( γ ) = ( γ 2 + 0.04γ + 0.04 ) γ для дельта-формы.
97
2.5.1. Периодическое управление
Интересен особый случай принципа внутренней модели в цифровом
управлении при периодических сигналах. Легко видеть, что любой квантованный периодический сигнал, чей период разбит на Np тактов квантования, может
быть смоделирован дискретной моделью (в области оператора сдвига) с помощью формирующего полинома
(
Γ dq ( q ) = q
Νp
)
−1 .
(2.76)
Следовательно, любой эталонный сигнал с периодом в Np тактов может
быть точно отслежен (по крайней мере, в моменты квантования) включением
Γ dq ( q ) в знаменатель передаточной функции регулятора. Эта идея – основа тех-
нологии, известной как периодическое управление, цель которого – научить систему тому, как выполнить повторяющуюся (периодическую) задачу.
Она нашла приложение во многих областях, например, в робототехнике.
Основная идея, как это изложено выше, проста и интуитивно понятна. В
приложениях обычно приходится модифицировать схему управления при возникновении практических требований. Одна такая проблема – обеспечение робастности.
Помещение (2.76) в знаменатель передаточной функции регулятора гарантирует, что функция дополнительной чувствительности будет точно равна единице на частотах
ωi =
i 2π
; i = 0,1,..., N p − 1,
N pΔ
(2.77)
где Δ – период квантования. Эти идеи иллюстрируются следующим примером.
Пример 2.10. Рассмотрим непрерывный объект с номинальной передаточной функцией G0(s), имеющей вид
98
G0 ( s ) =
(2.78)
2
.
( s + 1) ( s + 2 )
Пусть этот объект управляется цифровым регулятором с периодом
квантования Δ = 0.2 с таким образом, что выход объекта отслеживает периодический эталонный сигнал r[k], имеющий вид
r [ k ] = ∑ rΤ [ k − 10i ] ⇔ Rq ( z ) = RΤq ( z )
z10
,
z10 − 1
(2.79)
где {rT [ k ]} = {0.0; 0.1; 0.25; 0.6; 0.3; 0.2: -0.1; -0.3; -0.4; 0.0} и1 RTq ( z ) = Z ⎡⎣ rT [ k ]⎤⎦ .
Нужно синтезировать цифровой регулятор, который обеспечивает нулевую установившуюся ошибку в моменты квантования.
Решение
Из (2.79) мы видим, что полином, формирующий эталонное воздействие,
10
Γ qr ( z ) имеет вид z − 1 . Таким образом, принцип внутренней модели приводит к
следующей структуре регулятора:
Cq ( z ) =
Pq ( z )
Lq ( z )
=
Pq ( z )
L q ( z ) Γ qr ( z )
.
(2.80)
Далее используем принцип назначения полюсов для характеристического
полинома, имеющего вид Aclq ( z ) = z12 ( z − 0.2 ) . Решение диофантова уравнения дает
Pq ( z ) = 13.0 z11 + 11.8 z10 − 24.0 z 9 + 19.7 z 8 − 16.1z 7 + 13.2 z 6 − 10.8 z 5 + 8.8 z 4 − 7.2 z 3 + 36.4 z 2 − (2.81)
−48.8 z + 17.6,
Lq ( z ) = ( z10 − 1) ( z + 0.86 ) .
(2.82)
Рис. 2.9 показывает характеристику окончательного цифрового контура
управления.
1
Заметим, что RTq ( z ) — полином относительно z −1
Выход объекта и эталонное воздействие
99
Время [c]
Рис. 2.9. Периодическое управление
На рис. 2.9 мы видим, что после переходного периода выход объекта
y(t) точно следует за периодическим эталонным сигналом в моменты
квантования. Отметим опасность анализа и синтеза только в моменты квантования. Межтактовое поведение в этом примере может быть предсказано
методами для гибридных систем, которые будут рассмотрены в гл. 3.
Совершенное отслеживание в установившемся режиме для эталонного
сигнала с высокочастотными гармониками, может нарушить робастность номинального проекта. Это может быть оценено, добавляя несмоделированное запаздывание величиной 0.02с в контур управления, разработанный в примере 2.10.
Для этого случая поведение контура изображено на рис. 2.10.
Такое поведение может быть легко истолковано. В частности, совершенное отслеживание требует, чтобы чувствительность Т0 равнялась 1 на всех
интересующих частотах. Однако мы знаем, что робастная устойчивость обычно
требует, чтобы T0 уменьшался на высоких частотах. Это может быть достигнуто
несколькими способами. Например, можно было бы пересмотреть внутреннюю
модель в (2.76), чтобы включить периодические компоненты только до некоторой максимальной частоты, определяемой проблемой робастности, что мы и будем делать1
1
Напомним, что корни полинома (2.76) равны e jlθ , l = 0,1,..., N p − 1,θ =
2π
.
Np
100
Выход объекта и эталонное воздействие
N max ⎛
⎛ i 2π
Γ dq ( q ) = ( q − 1) ∏ ⎜ q 2 − 2 cos ⎜
⎜ Np
⎜
i =1 ⎝
⎝
⎞
⎞
N p −1
.
⎟⎟ q + 1⎟; N max ≤
⎟
2
⎠
⎠
(2.83)
Время[c]
Рис. 2.10. Контур периодического управления при наличии
несмоделированного запаздывания
2.6. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ОГРАНИЧЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК
Результаты, связанные с фундаментальными компромиссами проектирования, непосредственно распространяются также и на дискретный случай.
Например, свойства во временной области могут быть получены из леммы,
которая формулируется следующим образом.
Лемма 13.1. Пусть H(z) – рациональная функция z и аналитическая для
z > p . Пусть также соответствующая дискретная функция имеет вид
H(z) = Z{h[k]}
(2.84)
Тогда для любого z0 , такого, что z > p , мы имеем, что
∞
∑ h [k ]( z )
k =0
0
−k
= lim H ( z ) .
(2.85)
z → z0
Доказательство:
Из определения Z-преобразования мы имеем, что для всех z в области сходимости преобразования, т. е. для z > p
101
∞
H ( z ) = ∑ h [ k ]z − k .
(2.86)
k =0
Отсюда следует результат, потому что z0 – из области сходимости преобразования.
Использование этой леммы приводит к тем же самым выводам, как и в непрерывном случае. Это происходит потому, что в обоих случаях ключевые моменты следующие:
1. Функция чувствительности должна равняться нулю для неустойчивых
полюсов разомкнутого контура, а функция дополнительной чувствительности
должна равняться единице для тех же величин.
2. Функция дополнительной чувствительности должна равняться нулю в
неминимально- фазовых нулях, а функция чувствительности должна быть равна
единице для тех же величин.
3. Мы используем совокупную меру интересующих сигналов. Это приводит к той же самой совокупности аргументов относительно компенсации положительных и отрицательных накопленных величин.
Для иллюстрации этой параллели ниже сформулируем следующую лемму.
Лемма 2.2. Рассмотрим контур управления с обратной связью, имеющий
устойчивые полюсы замкнутого контура, расположенные внутри окружности
с центром в начале координат и радиусом р для некоторого р < 1. Предположим также, что регулятор C ( z ) =
P( z)
имеет, по крайней мере, один полюс в
L( z)
точке (1,0). Тогда для нуля объекта z0 и полюса объекта z0 , удовлетворяющих
условиям z0 > p и η0 > p соответственно, имеет место следующее:
1. Для положительного единичного ступенчатого эталонного сигнала или
отрицательного единичного ступенчатого выходного возмущения имеем
102
∞
∑ e[k ]( z )
−k
0
k =0
∞
=
∑ e [ k ] (η )
−k
0
k =0
(2.87)
1
,
1 − z0−1
(2.88)
= 0.
2. Для положительного единичного ступенчатого эталонного воздействия и для z0 вне круга единичного радиуса имеем
∞
∑ y [k ]( z )
−k
0
k =0
(2.89)
= 0.
3. Для отрицательного единичного ступенчатого входного возмущения
имеем
∞
∑ e[k ]( z )
0
k =0
−k
=
L (η0 )
(1 − η ) P (η0 )
−1
0
(2.90)
.
Доказательство:
Доказательство основано на том важном факте, что полюсы и нули, которые мы рассматриваем, находятся в области сходимости преобразования, т.
е. их модули больше, чем модули всех полюсов замкнутого контура.
1. В этом случае ошибка управления удовлетворяет уравнению
E(z) = Soq(z)(Rq(z)-D0(z)),
где
или Rq ( z ) = (1 − z −1 ) ,
−1
(2.91)
или Dq ( z ) = (1 − z −1 ) .
−1
Заметим
также,
что
S0 q ( z0 ) = 1; S0 q (η0 ) = 0 . Тогда результат следует из леммы 2.1, если h[k] заменить
на e[k].
2. В этом случае выходной сигнал объекта удовлетворяет выражению
Yq(z)=Toq(z}Rq(z)
(2.92)
при Rq ( z ) = (1 − z −1 ) . Заметим также, что T0 q ( z0 ) = 0 . Тогда результат следует из
−1
леммы 2.1, если h[k] заменить на y[k].
3. В этом случае ошибка управления удовлетворяет условию
E ( z ) = − Sioq ( z ) Di ( z ) ,
(2.93)
103
где Di ( z ) = (1 − z −1 ) . Заметим также, что Sio ( z0 ) = 1; Sio (η0 ) =
−1
L (η0 )
P (η0 )
. Тогда резуль-
тат следует из леммы 2.1, если h[k] заменить нa e[k].
Лемма 2.3. Рассмотрим дискретный устойчивый контур управления с одной степенью свободы, который имеет в разомкнутом состоянии рациональную передаточную функцию Hoq(z).
Предположим, что H0q(z) имеет q полюсов вне единичного круга, расположенных в точках ζ 1,ζ 2, ..., ζ q. Тогда функция номинальной чувствительности
удовлетворяет условию
1
2π
∫
2π
0
ln S0 (e jω ) dω =
1
π∫
π
0
q
ln S0 (e jω ) dω = ∑ ln ζ i .
(2.94)
i =1
Доказательство:
Доказательство следует из непосредственного использования формулы
Йенсена для единичного круга. Заметим, что h(z) следует заменить на S0(z), которая по определению является бисобственным устойчивым частным двух
нормированных полиномов, K f = 1, m = m ⇔ m' = 0.
Выражение (2.94) указывает на необходимость уравнять область с низкой
чувствительностью (отрицательный логарифм) с областью с высокой чувствительностью (положительный логарифм). Оно также показывает, что существование больших неустойчивых полюсов разомкнутого контура существенно смещает этот баланс в сторону области, где чувствительность больше, чем 1. Главная
сущность заключается в том, что для дискретного случая компенсация чувствительности должна быть достигнута в конечном диапазоне частот [0,2π].
Вышеупомянутый результат иллюстрируется следующим примером.
104
Пример 2.11. Объект с номинальной моделью G0 ( s ) =
13
управляs − 4 s + 13
2
ется цифровым регулятором. Используются период квантования Δ и экстраполятор нулевого порядка. Предположим, что номинальная чувствительность
должна удовлетворять условию
S0 (e jω ) ≤ ε < 1
∀ω ≤
ωs
4
=
π
2Δ
.
(2.95)
Используя лемму 2.3, нужно определить нижнюю границу пика чувствительности Smax.
Решение:
Заметим, что номинальная модель имеет два неустойчивых полюса, расположенных в точках p1,2 = 2 ± j3 . Когда будет получена дискретная модель, эти
неустойчивые полюсы отобразятся в ζ 1,2 = e( 2± j 3)Δ . Тогда применим лемму 2.3,
используя нормализованную частоту. Это даст
π
∫ ln S (e
0
jω
) dω =4πΔ.
(2.96)
0
π
π
Если мы разделим интервал интегрирования на [ 0, π ] = ⎢⎡0, ⎥⎤ ∪ ⎜⎛ , π ⎥⎤ , то
⎣ 2⎦ ⎝ 2 ⎦
ln S max > 4Δ − ln (∈) .
(2.97)
Эта граница становится меньше, если увеличивается частота квантования. Предлагаем читателю исследовать использование теоремы для получения
меньшей границы для Smax.
2.7. ВЫВОДЫ
• Имеются множество путей проектирования цифровых систем управления:
- проектирование в непрерывном времени, а затем дискретизация регулятора перед реализацией;
105
- моделирование процесса цифровой моделью и выполнение проектирования в дискретном времени.
•Непрерывный проект может быть дискретизирован для дальнейшей реализации с помощью следующих этапов:
- для проекта сначала используются непрерывные сигналы и модели;
- перед реализацией регулятор заменяется эквивалентной дискретной версией;
- эквивалентность означает простую замену s на δ (где δ – дельтаоператор);
- анализ был выполнен в непрерывном времени и поэтому ожидаемые результаты будут при условии, что скорость квантования достаточно высока, чтобы замаскировать эффекты квантования;
•Дискретный проект может быть основан на модели дискретизированного
процесса:
- сначала модель непрерывного процесса дискретизируется.
- затем на основе дискретного процесса разрабатывается и реализуется
дискретный регулятор;
- нужно учитывать, что анализ, очевидно, полностью основан на поведении в дискретные моменты времени, однако процесс обладает непрерывными
характеристиками между моментами квантования;
-проблемы можно избежать, воздерживаясь от проектных решений, которые кажутся выполнимыми в дискретном анализе, но, как известно, являются
недостижимыми в непрерывном анализе (типа удаления неминимально-фазовых
нулей из замкнутого контура!).
•Следующие эмпирические правила помогут избежать проблем в промежутках между моментами квантования, если выполнен полностью цифровой
проект.
106
- квантование должно быть в 10 раз чаще желаемой полосы пропускания
замкнутого контура;
- необходимо использовать простые сглаживающие фильтры, чтобы избежать чрезмерных фазовых сдвигов;
- никогда не следует пытаться удалить или каким-либо другим способом
скомпенсировать дискретные нули квантования;
- всегда следует проверять межтактовую реакцию.
2.8. ЗАДАЧИ
Задача 2.1. Частотная характеристика квантователя и экстраполятора нулевого порядка вычисляется по формуле
Gh 0 ( jω ) =
(2.98)
1 − e − jωΔ
.
jω
2.1.1. Нарисуйте график модуля этой частотной характеристики для различных значений Δ.
2.1.2 . Какова связь полученных результатов и ступенчатой природы входа объекта u(t)?
Задача 2.2. Непрерывный объект имеет передаточную функцию вида
G0 ( s ) =
1
( s + 1) ( s + 2 )
2
.
(2.99)
2.2.1. Определите положение нулей квантования для Δ = 0.2 с.
2.2.2 . Как меняются эти нули при изменении Δ в диапазоне [0.02; 2]?
Задача 2.3. Непрерывный объект имеет передаточную функцию
G0 ( s ) =
−s + 1
.
( s + 2) ( s + 1)
(2.100)
2.3.1. Есть ли такая частота квантования, при которой в импульсной передаточной функции нет нулей?
107
2.3.2. Синтезируйте регулятор с минимальной моделью для Δ = 0.5 с. Оцените реакцию контура управления для единичного ступенчатого выходного возмущения.
Задача 2.4. Непрерывный объект имеет номинальную модель, имеющую
передаточную функцию
G0 ( s ) =
1
.
( s + 2 ) ( s + 1)
(2.101)
2.4.1. Синтезируйте оптимальное по времени апериодическое управление
при Δ = 0.2 с. Оцените реакцию контура управления.
2.4.2. Предположим, что истинная передаточная функция имеет дополнительный полюс при s = – 8 (без изменения усиления на нулевой частоте). Оцените робастность исходного синтеза. Останется ли апериодической реакция?
Задача 2.5. Рассмотрим оптимальное по времени апериодическое управление, приведенное в разд. 2.4.3.
2.5.1. Докажите, что здесь, вообще-то, нет апериодического поведения для
ступенчатого входного возмущения.
2.5.2. Покажите, что апериодическое управление (для ступенчатого входного возмущения), которое завершается за 2n периодов квантования, может быть
синтезировано, используя технологию назначения полюсов, где n –число полюсов модели объекта.
2.5.3. Используйте ваши результаты для синтеза апериодического регулятора, если объект имеет номинальную модель
G0 ( s ) =
4
.
s + 3s + 4
2
(2.102)
108
Задача 2.6. Рассмотрим следующие номинальные модели объекта:
9
;
s + 4s + 9
-s+8
в)
;
( s+2 )( s + 3)
а)
2
;
-s+2
-s+4
г)
.
( -s+1)( s + 4 )
б)
2
2.6.1. Для каждого случая синтезируйте регулятор, обеспечивающий апериодическое управление (для ступенчатых выходных возмущений) за минимальное число периодов квантования. Используйте Δ = 0.1 с.
2.6.2. Обсудите трудности, с которыми вы встретились в случаях б), в) и г)
и предложите общую процедуру синтеза апериодического управления для систем с неустойчивыми полюсами и неминимально-фазовыми нулями.
Задача 2.7. Рассмотрим объект, имеющий номинальную модель
G0 ( s ) =
e− s
.
( s + 0.5)
(2.103)
2.7.1. Выберите А = 0.2 с и синтезируйте цифровой регулятор, такой, что
ошибка управления e[k] для ступенчатого входного возмущения затухает быстрее, чем (0.5) .
2.7.2. Используя упредитель Смита, спроектируйте непрерывный регулятор, который обеспечивает тот же результат. Сравните и обсудите результаты.
Задача 2.8. Рассмотрим объект с номинальной моделью
G0 ( s ) =
e− s
.
( 2s + 1) (4s + 1)
(2.104)
2.8.1. Используя метод настройки Коэна–Куна как первую итерацию, найдите непрерывный ПИД-регулятор C(s).
109
2.8.2. Сформируйте цифровой регулятор в дельта-форме, взяв Cδ ( γ ) = C ( γ )
и сравните реакцию непрерывного и дискретного контуров управления для ступенчатого эталонного сигнала и ступенчатых входных возмущений для периода
квантования Δ = 0.1 с.
2.8.3. Повторите то же самое для Δ = 1 с. Сравните и обсудите результаты.
Задача 2.9. Рассмотрим цифровой контур управления с обратной связью, у
которого передаточная функция в разомкнутом состоянии имеет вид
Cq ( z ) [Gh 0G0 ]q ( z ) =
K ( z −α )
( z − 1) ( z − 0.7 )
.
(2.105)
2.9.1. Зафиксируйте α = 0.4 и изучите устойчивость замкнутого контура,
используя критерий Найквиста.
2.9.2. Зафиксируйте К = 2 и изучите устойчивость замкнутого контура, используя метод корневого годографа.
Задача 2.10. Рассмотрим цифровой контур управления, для которого
[Gh 0G0 ]q ( z ) =
0.1
.
( z − 0.9 )
(2.106)
Предположим, что цифровой регулятор Cq(z) спроектирован так, чтобы
получить дополнительную чувствительность, равную
T0 q ( z ) =
1 − p0
z − p0
c
0<p 0 < 1.
(2.107)
2.10.1. Определите чувствительность по управлению Suoq(z).
2.10.2. Используя SIMULINK, убедитесь, что быстрый контур управления
при малом значении р0 приводит к большим амплитудам выхода регулятора u[k].
2.10.3. Задайте р0 = 0.1 и изобразите на одном графике амплитудные частотные характеристики объекта и дополнительной чувствительности.
110
Задача 2.11. В цифровом контуре управления непрерывным объектом мы
имеем, что
{Gh 0G0 }q ( z ) =
z −α
.
( z − 0.2 )( z − 0.6 )
(2.108)
2.11.1. Докажите, что если а > 1, то выходной сигнал объекта будет всегда
обладать недорегулированием при реакции на ступенчатый эталонный сигнал.
2.11.2. Будет ли сказанное выше истинным для α < -1?
Задача 2.12. Рассмотрим цифровой контур управления с Δ= 0.1 с для объекта, имеющего номинальную модель
G0 ( s ) =
3
.
(− s + 1) ( s + 3)
(2.109)
Синтезируйте цифровой регулятор, который в установившемся режиме
обеспечивает совершенное отслеживание в моменты квантования для эталонного
воздействия r ( t ) = 2 + cos ( 2π t ) .
111
ГЛАВА 3. ГИБРИДНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
3.1. МОДЕЛИ ДЛЯ ГИБРИДНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
Глава 2 дает традиционную трактовку цифрового управления, основанного на анализе реакции в моменты квантования. В целом это простой и
беспроблемный подход к проектированию цифровых систем управления. Однако результирующая непрерывная реакция может содержать неприятные неожиданности, если в исходную непрерывную систему вводится цифровой регулятор. Цель этой главы состоит в том, чтобы проанализировать эту ситуацию, и
объяснить следующее:
• почему непрерывная реакция может сильно отличаться от предсказанной в моменты квантования;
• как избежать этих трудностей при цифровом управлении.
Общее название для этого вида анализа, в котором мы смешиваем цифровое управление и непрерывные реакции, – гибридное управление.
Исследуем, что является причиной неожиданных различий между непрерывными и квантованными реакциями.
Гибридный контур управления, содержащий и непрерывные и дискретные
элементы, показан на рис. 3.1.
Чтобы выполнять гибридный анализ этого контура, нам будет нужно
смешивать непрерывные и дискретные сигналы и части системы.
Используя обозначения разд. 1.9, мы обозначим дискретную эквивалентную передаточную функцию комбинации {экстраполятор нулевого порядка +непрерывный объект +фильтр} через [ FG0Gh 0 ]q .
112
Рис. 3.1. Контур управления с квантованными данными (структурная схема)
Из (1.72) мы имеем
[ FG0Gh 0 ]q = Z {квантованная импульсная характеристика F ( s ) G0 ( s ) Gh 0 ( s )}.
(3.1)
В этом разделе мы будем смешивать Z-преобразование и преобразование
Лапласа. Будем использовать нижний индекс q, чтобы отличать первое из них.
Поставим также в соответствие последовательности
{ y [ k ]}
f
фиктивную
кусочно-постоянную функцию $y f ( t ) , которая равна
∞
(
)
$y ( t ) =
∑ y f [ k ] μ ( t − k Δ ) − μ ( t − ( k + 1) Δ ) ,
f
k =0
(3.2)
где μ ( t − τ ) - единичная ступенчатая функция, начинающаяся в момент τ . Связь
между y/(t), y f [ k ] и $y f ( t ) и для конкретного случая иллюстрируется рис. 3.2.
Заметим также, что из-за экстраполятора нулевого порядка u(t) кусочнопостоянная функция:
∞
(
)
u ( t ) = u$ ( t ) = ∑ u [ k ] μ ( t − k Δ ) − μ ( t − ( k + 1) Δ ) .
k =0
(3.3)
113
Рис. 3.2. Связь между y f ( t ) , y f [ k ] и $y f ( t ) для y f ( t ) =sin(2πt), Δ=0.1
Причина введения $y f ( t ) в том, что она имеет преобразование Лапласа
(подобно функции u$ ( t ) ). Например, преобразование Лапласа u$ ( t ) может быть
связано с Z-преобразованием {u [ k ]} следующим образом:
{ }
∞
U ( s ) = L u$ ( t ) = ∫ e− st u$ ( t ) dt =
∞
0
(
)
= ∫ e − st ∑ u [ k ] μ ( t − k Δ ) − μ ( t − ( k + 1) Δ ) dt.
∞
0
k =0
(3.4)
Меняя местами суммирование и интегрирование, получим
⎛ e − k Δs − e −( k +1)Δs
U ( s ) = U ( s ) = ∑ u [ k ] ⎜⎜
s
k =0
⎝
∞
⎡1 − e
= ∑ u [ k ]e− k Δs ⎢
k =0
⎣ s
∞
−Δs
⎞
⎟⎟ =
⎠
(3.5)
⎤
Δs
⎥ = U q ( e ) Gh 0 ( s ) ,
⎦
где Uq(z) – Z преобразование {u [ k ]} . Ясно, что
Y ( s ) = G0 ( s ) U ( s ) .
(3.6)
Мы также знаем, что переменная YJq ( z ) связана с U q ( z ) и квантованным
эталонным входом Rq(z) через стандартную дискретную передаточную функцию, т. е.
U q ( z ) = Cq ( z ) ⎡⎣ Rq ( z ) − Y fq ( z ) ⎤⎦ .
(3.7)
114
Y
G0
U =U
Yf
[ FG0Gh 0 ]q
Rq
−
Gh 0
+
Gq
Рис. 3.3. Форма передаточной функции контура управления
с квантованными данными
Умножая обе части на Gh 0 ( s ) и подставляя z = e sΔ , получим
⎡Gh 0 ( s ) U q ( e sΔ ) ⎤ = −Gq ( e sΔ ) Gh 0 ( s ) Y fq ( e sΔ ) + C ( e sΔ ) Gh 0 ( s ) Rq ( e sΔ ) .
⎣
⎦
(3.8)
и, используя (3.5) для U (s), окончательно получим
U ( s ) = −Gq ( e sΔ ) Y f ( s ) Cq ( e sΔ ) Gh 0 ( s ) Rq ( e sΔ ) .
(3.9)
Аналогично мы можем видеть, что
Y f ( s ) = [ FG0Gh 0 ]q U ( s ) .
(3.10)
Следовательно, для целей анализа мы можем изменить контур из рис. 3.1
так, как показано на рис. 3.3, где все дискретные функции (с нижним индексом
sΔ
q) зависят от e , а все другие функции – от s.
На рис. 3.3 показана гибридная система, содержащая и дискретные, и непрерывные сигналы. Эта структура может использоваться для различных гибридных вычислений.
Например, преобразование Лапласа непрерывного выхода гибридного
контура имеет вид
115
⎡ Cq ( e sΔ ) G0 ( s ) Gh 0 ( s ) ⎤
⎥ Rq ( e sΔ ) .
Y (s) = ⎢
sΔ
sΔ
⎢⎣1 + Gq ( e ) [ FG0Gh 0 ]q ( e ) ⎥⎦
(3.11)
Замечание 3.1. Хотя непрерывная передаточная функция G0(s) на рис. 3.3
находится в разомкнутом контуре, фактически обратная связь обеспечивается дискретным контуром. Таким образом, обратная связь будет гарантировать, что неустойчивые составляющие G0(s) будут стабилизированы.
Замечание 3.2. Заметим, что когда эталонный вход – чистая синусоида,
непрерывный выход не будет синусоидальным. Это связано с тем, что Rq ( e jω
0
)
– периодическая функция, и, как следует из (3.11), Y(jw) будет иметь компо2 kπ
⎫
; k = ..., −1, 0,1,...⎬ .
ненты с частотами ⎧⎨ω = ω0 +
Δ
⎩
⎭
3.2. АНАЛИЗ МЕЖТАКТОВОГО ПОВЕДЕНИЯ
Отправной точкой для анализа межтактового поведения являются результаты, полученные в разд. 3.1 для непрерывного выхода гибридного контура.
Здесь мы работаем с фильтрованным выходом. Из этих результатов получаем
Yf ( s ) =
Cq ( e sΔ ) F ( s ) G0 ( s ) Gh 0 ( s )
1 + Gq ( e sΔ ) [ FG0Gh 0 ]q ( e sΔ )
Rq ( e sΔ ) .
(3.12)
Напомним также, что квантованная выходная реакция имеет вид
Y fq ( e sΔ ) = T0 q ( e sΔ ) Rq ( e sΔ ) ,
(3.13)
где Toq ( z ) - дополнительная чувствительность в области оператора сдвига:
Toq ( z ) =
Y fq ( z )
Rq ( z )
=
Cq ( z ) [ FG0Gh 0 ]q ( z )
(1 + G ( z ) [ FG G
q
0
] ( z ))
.
(3.14)
h0 q
Итак, кусочно-постоянное приближение квантованного выхода имеет вид
116
Y f ( s ) = Gh 0 ( s ) Y fq ( e sΔ ) .
(3.15)
Из уравнений (3.12) и (3.15) отношение непрерывной реакции на выходе к
кусочно-постоянной форме квантованной реакции на выходе имеет вид
Yf ( s )
Y f (s)
=
F ( s ) G0 ( s )
[ FG0Gh 0 ]q ( e )
sΔ
.
(3.16)
Временно будем игнорировать влияние фильтра сглаживания. (Это разумно, потому что обычно фильтр проектируется таким образом, чтобы быть
достаточно прозрачным к динамике.)
Тогда из (3.16) видно, что отношение непрерывной реакции на выходе к
кусочно-постоянной форме квантованной реакции на выходе зависит от отношения
Θ(s) =
G0 ( s )
[G0Gh0 ]q ( e )
sΔ
.
(3.17)
Как показано в разд. 2.2, дискретная передаточная функция [G0Gh 0 ]q обычно будет иметь нули квантования. Влияние этих нулей будет особенно существенным на частотах, близких к половине частоты квантования. Следовательно,
можно ожидать, что отношение
Θ(s)
, данное в (3.17), станет большим вблизи
половины частоты квантования. Проиллюстрируем эту особенность, рассматривая систему из примера 2.5.
Пример 3.1. Сравнить непрерывную и дискретную реакции для примеров
2.5 и 2.6.
Решение
Модуль отношения Θ ( jω ) для примера 2.5 показан на рис. 3.4. Из рисунка
видно, что это отношение равно единице на низких частотах, но на частоте
ω=
π
Δ отношение приблизительно равно 23 : 1 между компонентами этой час-
117
тоты в непрерывной реакции и кусочно-постоянной форме квантованного выхода.
Частота[рад/с]
Рис. 3.4. Частотная характеристика Θ ( jω ) , Δ=0,1
Затем мы используем вышеупомянутый анализ для сравнения непрерывной частотной характеристики проекта, использующего минимальную модель и частотной характеристики системы с апериодической реакцией для
того же самого объекта.
а) Проект с использованием минимальной модели. Напомним, что при
таком проектировании устраняются нули квантования, что приводит к
T0q ( z ) = z −1 , которая является передаточной функцией с постоянным усилением
на всех частотах. Следовательно, квантованный синусоидальный входной сигнал вызовет квантованный синусоидальный сигнал на выходе той же самой
амплитуды. Однако рис. 3.4 предсказывает, что соответствующий непрерывный выход будет иметь в 23 раза большую амплитуду при частоте синусоиды
ω=
π
Δ рад/с. Причину этого пика легко понять. В частности, метод мини-
мальной модели компенсирует нуль квантования в дискретной системе. Однако этот нуль квантования примерно соответствует частоте ω =
π
Δ
рад/с. Сле-
118
довательно, как следует из (3.17), на частоте ω =
π
Δ
рад/с будет существенный
размах колебаний.
б) Оптимальный по времени апериодический проект. В противоположность этому оптимальный по времени апериодический проект из примера
2.6 не компенсирует нули квантования и приводит к следующей дискретной
функции дополнительной чувствительности:
T0 q ( z ) =
Модуль
B0 q ( z )
B0 q (1) z
частотной
2
=
(3.18)
0.5083z + 0.4917
.
z2
характеристики
этой
дополнительной
чув-
ствительности показан на рис. 3.5. Мы видим, что в этом случае дискретное
усиление существенно уменьшается на частоте ω =
π
Δ
рад/с, и, хотя особенно-
сти рис. 3.4 и имеют место по отношению к Θ ( jω ) , незначительная дискретная реакция на частоте
π
Δ
рад/с приводит к подавлению межтактовых пульса-
ций.
Мы видим, что при таком проектировании не делается никаких попыток
компенсировать нуль квантования, и, следовательно, нет никаких различий
между квантованной реакцией и полной непрерывной реакцией.
.
3.3. ФОРМУЛА СУММИРОВАНИЯ ПУАССОНА
Вспомним периодический регулятор, описанный в разд. 2.5.1 Там мы выяснили, что цифровую систему управления можно разработать для отслеживания (в моменты квантования) любого произвольного периодического эталонного сигнала. Однако это вызывает бесконечное усиление контура на высоких
частотах (относительно периода квантования), и это нежелательно из-за необходимости сохранить робастность. Поэтому было предложено изменить идею
119
так, чтобы точно отслеживались только компоненты до некоторой максимальной частоты.
Частота [рад/с]
Рис. 3.5. Частотная характеристика дополнительной чувствительности для
оптимального по времени апериодического проекта
Другая причина, чтобы не использовать идеализированную форму периодического управления, связана с проблемами межтактовой реакции. Мы видели
в разд. 2.5.1, что возникнет существенная межтактовая реакция, если попробовать получить ощутимую дискретную реакцию при приближении частоты к
π
Δ
.
Однако это как раз то, что идеализированная форма периодического регулятора
стремится делать. Таким образом, если периодический регулятор должен применяться в непрерывной системе, то необходимо осуществлять ограничение
полосы пропускания, в которой происходит точное отслеживание.
В заключение приведем результат, который часто полезен в контексте
гибридного управления. В частности, пусть мы хотим явно оценить Zпреобразование последовательности { f ( kΔ )} , полученной квантованием непрерывного сигнала f(t) при заданном периоде Δ. Используем F(s) и Fq(z), чтобы
обозначить преобразование Лапласа f(t) и Z-преобразование { f ( kΔ )} соответственно:
∞
F ( s ) = ∫ f ( t )e − st dt ,
0
(3.19)
120
(3.20)
∞
Fq ( z ) = ∑ f ( k Δ )z − k .
k =0
Тогда в соответствии с различными условиями регулярности, мы получим
Fq ( e sΔ ) =
1 ∞
2π
⎛
F ⎜ s + jk
∑
Δ k =−∞ ⎝
Δ
⎞ f (0)
.
⎟+
2
⎠
(3.21)
Этот результат известен как формула суммирования Пуассона. Эта формула полезна для анализа гибридных систем управления. Например, она показывает, что частотная характеристика квантованного сигнала является суперпозицией бесконечного числа копий соответствующей непрерывной частотной характеристики.
Чтобы установить это, запишем
1
2π
⎛
F ⎜ s + jk
∑
Δ
Δ
⎝
=
⎛
2π ⎞
n
−⎜ s + jk
∞
⎟t
⎞ 1
Δ ⎠
⎝
f
t
e
dt =
(
)
∑
⎟ = lim
∫
⎠ Δ n→∞ k =− n 0
∞
1
⎛ πt ⎞
lim ∫ f ( t )Dn ⎜ ⎟ e− st dt ,
0
n
→∞
Δ
⎝Δ⎠
(3.22)
(3.23)
πt
где Dn ⎛⎜ ⎞⎟ - специальная функция, определяемая формулой
⎝Δ⎠
πt
− jk
⎛πt ⎞
Dn ⎜ ⎟ = ∑ e Δ
⎝Δ⎠
⎛ ( 2n + 1) π t ⎞
sin ⎜
⎟
Δ
⎝
⎠.
=
⎛πt ⎞
sin ⎜ ⎟
⎝Δ⎠
(3.24)
πt
Функция Dn ⎛⎜ ⎞⎟ очень часто используется в доказательствах, касающихся
⎝Δ⎠
сходимости преобразований Фурье. Она известна как ядро Дирихле. Чтобы показать, как эта функция выглядит, на рис. 3.6 приведен ее график для случая n =
8.
121
Время [t/Δ]
Рис. 3.6 Ядро Дирихле (n = 8)
Интересным фактом, который легко установить, является то, что для всех
n
Δ
2
0
∫
⎛πt ⎞ Δ
Dn ⎜ ⎟ = .
⎝Δ⎠ 2
(3.25)
Когда n → ∞ , можно видеть, что интегрирование функции умноженной на
⎛ πt ⎞
Dn ⎜ ⎟ , даст значения функции при t = Δ, 2Δ,..., нормированные значением Δ и
⎝Δ⎠
значение функции при t = 0, нормированное значением Δ/2.
Таким образом, можно представить, что (3.23) просто дает
∞
f (0) ∞
1
⎛πt ⎞
lim ∫ f ( t )Dn ⎜ ⎟ e− st =
+ ∑ f ( k Δ )e− stΔ =
0
n
→∞
2
Δ
⎝Δ⎠
k =1
= Fq ( e − sΔ ) −
f ( 0)
.
2
(3.26)
(3.27)
Это – важный вывод из (3.21).
Замечание 3.3. Вышеупомянутое рассмотрение несколько эвристическое. Фактически, если функция f (t) такова, что e −σ t f ( t ) имеет равномерно
ограниченную вариацию для некоторого σ ∈ , то выражение (14.6.3) справедливо для любого s, такого, что ℜ {s} > σ .
122
3.4. ВЫВОДЫ
• Гибридный анализ позволяет смешивать свойства непрерывных и дискретных систем.
• Отношение амплитуды непрерывной реакции на частоте ω к амплитуде
гармонической составляющей на этой же частоте кусочно-постоянной формы
квантованного выхода определяется формулой
Θ(s) =
G0 ( s )
[G0Gh 0 ]q ( esΔ )
.
• Данная формула позволяет объяснить очевидные различия между квантованной и непрерывной реакциями цифровых систем управления.
• Нули квантования обычно приводят к уменьшению [G0Gh 0 ]q ( e jωΔ ) в окрестности частоты ω = π / Δ , т. е. к увеличению Θ ( jω ) на этих частотах.
• Поэтому обычно необходимо, что бы дискретная дополнительная чувствительность была существенно уменьшена по сравнению с единицей для сигналов чрезмерно большой частоты (см. разд. 1.1).
• Это часто интерпретируется так, что полоса пропускания замкнутого
контура должна быть, по крайней мере, на 20 % меньше максимально допустимой частоты сигнала (см. там же).
• В частности, никогда не следует в дискретном проекте явно или неявно
компенсировать нули квантования; это неизбежно приведет к существенным
межтактовым пульсациям.
3.5 . ЗАДАЧИ
Задача 3.1. Рассмотрим объект, имеющий номинальную модель с передаточной функцией
123
G0 ( s ) =
−s + 2
.
( s + 2 )( s + 4 )
(3.28)
Найдите выражение для расположения нулей квантованной функции
[G0Gh 0 ]q ( z ) как функцию периода квантования Δ.
Задача 3.2. Предположим, что [G0Gh 0 ]q ( z ) имеет вид
[G0Gh 0 ]q ( z ) =
( z + 1.2 )
.
2
( z − 0.5 ) ( z − 0.8)
(3.29)
Если G0(s) – передаточная функция системы третьего порядка, найдите
G0(s) для Δ = 0.1, Δ = 0.5 и Δ = 1 с.
Задача 3.3. Оцените функцию Θ ( jω ) так же, как в (3.17) для функций и
периодов квантования, приведенных ниже.
G0 ( s ) =
1
( s − 1)( s + 2 )
; Δ = 0.10;
G0 ( s ) =
e−0.4 s
; Δ = 0.20;
( s + 0.5 )( s + 0.25)
G0 ( s ) =
1
; Δ = 0.25.
s + 0.1s + 1
2
Задача 3.4. Цифровой контур управления с обратной связью спроектирован для объекта, имеющего номинальную модель
G0 ( s ) =
2
.
(10s + 1)( 5s + 1)
(3.30)
Период квантования равен 0.5 с. Однако вместо экстраполятора нулевого
порядка используется экстраполятор первого порядка. Импульсная реакция этого экстраполятора показана на рис. 3.7.
124
Рис. 3.7. Импульсная реакция экстраполятора первого порядка
Синтезируйте регулятор, обеспечивающий нулевую ошибку в моменты
квантования за минимальное время для постоянных эталонных сигналов. Обсудите ваши результаты.
Задача 3.5. Предположим, что нужен цифровой регулятор для объекта,
имеющего номинальную модель
G0 ( s ) =
−0.25 + 1
.
( 0.25s + 1)( s + 1)
(3.31)
3.5.1. Синтезируйте цифровой регулятор, такой, что контур управления
будет отслеживать точно, насколько это возможно, периодический треугольный
эталонный сигнал периода 10Δ, где период квантования Δ = 0.05.
3.5.2. Смоделируйте и оцените ваш проект. Обсудите результаты.
Задача 3.6. Использовать более сложные, чем нулевого порядка, экстраполяторы. Вспомним из разд. 1.9, что экстраполятор нулевого порядка имеет
модель, показанную на рис. 3.8.
125
u [k ]
u s (t )
Δ
m (t )
1− e
s
− sΔ
ЭНП
Рис. 3.8. Экстраполятор нулевого порядка
Это может быть обобщено простой заменой преобразования Лапласа импульсной реакции экстраполятора нулевого порядка более общей передаточной
функцией, как показано на рис. 3.9
u [k ]
u s (t )
m (t )
Ghg ( s )
Δ
Рис. 3.9 Обобщенный экстраполятор
3.6.1. Используя эти идеи, покажите, что дискретная модель, соответствующая непрерывному объекту G0(s) с обобщенным экстраполятором Ghg ( s )
имеет вид
Hoq(z] = Z [квантованная импульсная реакция Ghg ( s ) G0 ( s ) ].
(3.32)
3.6.2. Одним из способов формирования обобщенного экстраполятора является использование кусочно-постоянной функции. Рассмотрим импульсную
характеристику, изображенную на рис. 3.10.
126
Рис. 3.10 Пример импульсной характеристики
Покажите, что для обобщенного экстраполятора мы имеем
e
m
Δ
−( k −1) s
m
Ghg ( s ) = ∑
k =1
− sΔ
⎡
⎤
g k ⎢1 − e m ⎥
⎣
⎦.
s
(3.33)
Задача 3.7. Рассмотрим обобщенный экстраполятор, описанный в (3.33).
Пусть он используется с непрерывной моделью (в форме пространства состояний)
x ( t ) = Ax ( t ) + Bm ( t ) ,
(3.34)
y ( t ) = Cx ( t ) .
(3.35)
.
Покажите, что соответствующая дискретная модель имеет вид
x [ k + 1] = Aq x [ k ] + Bgq u [ k ] ,
(3.36)
y [ k ] = Cq x [ k ] ,
(3.37)
Aq = e AΔ ,
(3.38)
где
m
Bgq = ∑ gi Γi ,
(3.39)
i =1
где
iΔ
m
( i −1) Δ
Γi = ∫
m
e
A( Δ−τ )
Bdτ .
(3.40)
127
Задача 3.8. Обобщенные экстраполяторы могут фактически использоваться для произвольного перемещения дискретных нулей. Для иллюстрации
рассмотрим непрерывную систему, описываемую матрицами
⎛ −1 0 ⎞
⎡1⎤
A=⎜
⎟ ; B = ⎢ ⎥ ; C = [ 2 -3] .
⎝ 0 −2 ⎠
⎣1⎦
(3.41)
3.8.1. Получите соответственную дискретную передаточную функцию с
экстраполятором нулевого порядка и Δ = 0.1.
3.8.2. Покажите, что эта дискретная модель неминимально-фазовая с нулем, равным 1.10573 и полюсами 0.90484 и 0.81873.
3.8.3. Используя обобщенный экстраполятор, как в (14.9.6), с т =2, получите дискретную модель, имеющую нуль, равный 0.90484. Этот нуль компенсирует устойчивый полюс и приводит к дискретной передаточной функции
Ggq ( z ) =
0.1
.
z − 0.81873
(3.42)
Задача 3.9. Задачи 3.6 и 3.8 говорят о том, что можно устранить влияние
дискретных неминимально-фазовых нулей, используя обобщенный экстраполятор, что позволяет увеличить полосу пропускания замкнутой системы по сравнению с полосой, которую можно получить с помощью экстраполятора нулевого порядка.
Объясните, почему это недостаток (в общем случае), исследуя различие
между квантованным и непрерывным выходом с помощью (3.17). Оказывается,
что непрерывная система имеет меньшую реакцию на выходе, чем дискретная
система. Таким образом, реакция дискретной системы должна быть обеспечена
недопустимо большими частотами (высокочастотными составляющими, которые преобразуются в более низкие частоты из-за эффекта квантования).
Задача 3.10. Проиллюстрируйте идею задачи 3.9 проектированием регулятора методом минимальной модели для Ggq ( z ) , данной в (3.42).
Смоделируйте дискретную реакцию замкнутого контура и сравните ее с реакцией непрерывной системы, используя те же экстраполятор и регулятор.
Обсудите результат.
128
ГЛАВА 4. ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ В ЦИФРОВЫХ СИСТЕМАХ
УПРАВЛЕНИЯ
4.1. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ АНАЛОГОВЫХ СИГНАЛОВ
1. Ввод аналоговых сигналов в компьютер
Функциональные компоненты входного и выходного интерфейсов компьютера показаны на рис. 4.1.
Сигнал, выработанный датчиком, должен быть отфильтрован от всех посторонних частот до того, как он будет обработан компьютером. В частности,
необходимо устранить высокочастотный шум, который обычно наводится в кабеле при передаче сигнала. Отфильтрованные измерительные сигналы собираются в мультиплексоре. Это устройство, которое имеет несколько входов и один
выход. Основное назначение мультиплексора – уменьшить общую стоимость
системы за счет применения только одного устройства обработки (в данном случае – управляющего компьютера), которое обычно существенно дороже мультиплексора для всех входных сигналов. Преобразование аналогового сигнала в
цифровой происходит в аналого-цифровом преобразователе (АЦП). Схема выборки и хранения запоминает мгновенные значения входного сигнала в заранее
установленные моменты времени и удерживает его постоянным на выходе в течение интервала дискретизации. Перед дальнейшей обработкой в компьютере
значение сигнала измерительной информации необходимо дополнительно проверить, чтобы удостовериться в том, что оно приемлемо и имеет смысл в контексте физического процесса.
129
Рис. 4.1. Схема ввода/вывода в системе "процесс-управляющий
компьютер"
2. Мультиплексоры
Во многих случаях различные элементы системы должны совместно использовать некоторые ограниченные ресурсы, например входной порт компьютера или длинный сигнальный кабель, по которому передается информация от
нескольких датчиков. Мультиплексирование (multiplexing) позволяет компьютеру в любой момент времени выбирать, сигнал какого датчика необходимо считать. Иначе говоря, мультиплексор (multiplexer) можно рассматривать как переключатель (коммутатор), соединяющий компьютер в каждый момент времени
только с одним датчиком (рис. 4.2). Мультиплексирование применяется не только в области измерений, но и играет, хотя и в другом смысле, важную роль в
130
технике связи.
Рис. 4.2. Мультиплексирование и АЦ-преобразование измерительной
информации
Мультиплексор может быть либо электромеханическим, либо электронным. Если считать, что все входы мультиплексора пронумерованы, то переключение обычно происходит последовательно в соответствии с порядковым номером; однако применяются и другие алгоритмы. Электромеханический мультиплексор с язычковым реле – надежная, хотя до некоторой степени медленная, система; он может выполнять до сотни коммутаций в секунду. Эксплуатационный
период мультиплексоров этого типа ограничен естественным износом подвижных частей, хотя, с другой стороны, такие системы имеют хорошие изолирующие качества и низкую стоимость. Другой немаловажный фактор – очень малое
падение напряжения на контактах. Для сравнения: электронный полупроводниковый мультиплексор намного быстрее (коммутация занимает не более чем несколько микросекунд). В сочетании с развязывающим усилителем
этот тип
мультиплексоров имеет очень хорошие эксплуатационные характеристики, но он
существенно дороже релейного мультиплексора.
Токовые утечки и скачки напряжения на входах мультиплексора могут
представлять собой серьезную проблему. Развязывающий усилитель между датчиком и компьютером работает с дифференциальным входом, но потенциал сигнала может "плавать" относительно "земли". В этом случае проводники, подходящие к мультиплексору или АЦП, должны быть гальванически изолированы,
131
например, с помощью переключаемого проходного конденсатора
3. Дискретизация сигналов
Компьютер не может непрерывно считывать аналоговые сигналы, а выбирает их только в некоторые моменты времени. Поэтому компьютер воспринимает сигнал в виде последовательности дискретных значений. Дискретизация
(sampling) – выборка, оцифровка, квантование – представляет собой считывание
сигнала только в определенные моменты времени; этот процесс реализуется в
компьютере специальной схемой. Дискретизация включает мультиплексирование и АЦ-преобразование. Эти операции должны быть строго синхронизированы
с помощью задающего таймера (рис. 4.2).
Сама по себе дискретизация происходит очень быстро. Однако во время
АЦ-преобразования не должно быть каких-либо изменений во входном сигнале,
которые могли бы повлиять на цифровой выход. Это обеспечивается операцией
выборки и хранения (sample-and-hold) в каждом цикле дискретизации – значение
аналогового сигнала считывается в начале каждого интервала и остается постоянным в течение всего времени АЦ-преобразования. Эта операция называется
задержкой нулевого порядка (рис. 4.3). Такой подход может быть использован
при численном моделировании нелинейных систем и при дискретизации по
времени непрерывных динамических систем.
132
Рис. 4.3.
Дискретизация аналогового сигнала с задержкой нулевого
порядка
Схема выборки и хранения (sample-and-hold circuit) показана на рис. 4.4. Ее
работа управляется ключом. В моменты выборки (S-sample) ключ замыкается и
конденсатор С заряжается до текущего значения напряжения входного сигнала.
Во время удержания (H-hold) ключ открыт и на выходе операционного усилителя сигнал в идеальном случае остается постоянным и равен последнему выходному значению в момент, когда ключ был еще замкнут.
Рис. 4.4. Схема выборки и хранения с единичным усилением
В режиме выборки (S-sample) амплитуда выходного сигнала равна мгновенному значению входного сигнала. В режиме удержания (H-hold) выходной
сигнал постоянен и равен последнему выходному значению, когда цепь функционировала в режиме выборки
133
Дискретный сигнал отстает примерно на половину интервала дискретизации h относительно непрерывного сигнала. Если процедура дискретизации является частью большой системы управления, эта задержка может вызвать фазовое
отставание и привести к сокращению диапазона устойчивости цифрового регулятора по сравнению с соответствующим аналоговым устройством .
4. Определение интервала дискретизации
Очень важно правильно определить интервал дискретизации аналогового
сигнала; в общем случае это представляет собой нетривиальную задачу. Интервал дискретизации h должен быть достаточно коротким, чтобы выходной сигнал
с приемлемой точностью описывал изменения аналогового входа. Теоретически
частота дискретизации должна более чем в два раза превышать частоту наивысшей составляющей преобразуемого сигнала (частотные компоненты определяются с помощью Фурье-анализа исходного сигнала). Если интервал дискретизации слишком велик, т. е. частота выборки слишком мала, то компьютер получит
неверную картину исходного сигнала. В то же время слишком малый интервал,
т. е. высокая частота выборки, приводит к тому, что управляющий компьютер
выполняет неоправданно много вычислений. Кроме того, чем больше быстродействие – тем дороже устройство.
Поскольку после выборки об исходном сигнале ничего не известно до следующей выборки, период дискретизации должен быть настолько коротким, чтобы исходный сигнал не успел значительно измениться. Другими словами, частота выборки должна быть достаточной для последующего восстановления аналогового сигнала из дискретного. Нижний предел частоты, очевидно, связан с динамикой процесса, т. е. насколько быстро измерительный сигнал, а следовательно, и первоначальная физическая величина изменяются во времени. Ключевой
задачей дискретизации является сбор достаточной информации для последующей обработки сигнала, например для генерации необходимых выходных сигна-
134
лов в системе управления с обратной связью.
Выбор интервала дискретизации проиллюстрирован ниже на примерах.
Для простоты обсуждение ограничено синусоидальными сигналами. Однако поскольку каждый сигнал можно разложить на совокупность гармоник, например с
помощью преобразования Фурье, то дальнейшее изложение справедливо для
любых аналоговых сигналов.
Пример 4.1. Дискретизация синусоидального сигнала
Рассмотрим аналоговый синусоидальный сигнал с частотой f. Этот сигнал
дискретизируется с частотой f s . Если выборка делается шесть раз за период
исходного сигнала, то гладкая кривая, проведенная через эти точки, близка к
оригиналу и наблюдаемая частота f0 не отличается от исходной частоты f (рис.
4.5). Если делать выборки только три раза за период, то результирующая кривая
есть менее надежное представление исходного сигнала, хотя наблюдаемая частота f0 все еще равна частоте f.
Если исходный сигнал дискретизируется только 5/4 раз за период (т. е. 5
выборок за 4 периода), то соответствующая гладкая кривая также синусоидальна
(рис. 4.6), но наблюдаемая частота f0 равна f/4, т. е. намного меньше истинной
частоты f. Наблюдаемая ложная частота есть разность между частотой выборки 5/4 и истинной частотой f. Эта ложная, или кажущаяся, частота называется
псевдочастотой (alias frequency).
Отметим следующий эффект: если частота выборки слишком мала по отношению к частотным составляющим исходного сигнала, то в восстановленном
сигнале появляется ложная частота (псевдочастота), как показано в примере 1.
Наблюдаемая частота f0 (псевдочастота) есть разность между частотой выборки
f s и истинной частотой f
f0 = f s − f .
135
Частота восстановленного сигнала (наблюдаемая частота) будет той же
самой, что и исходная, до тех пор пока частота выборки достаточно высока, т. е.
f s > 2 f . При f s < 2 f наблюдаемая частота уменьшается линейно и достигает
нуля при f = f s ., т. е. при одной выборке за период. Если выборка происходит
один раз за период (или за N периодов), то очевидно, что исходный сигнал выбирается всегда в одной и той же фазе и для периодического сигнала будет
получено одно и то же значение; другими словами, наблюдаемая частота становится нулевой. Зависимость между наблюдаемой (восстановленной) и истинной частотами имеет пилообразный вид (рис. 4.7).
Рис.4.5. Если синусоидальный сигнал дискретизируется шесть или три
Рис.
раза за период, наблюдаемая частота равна истиной
Рис. 4.6. Если синусоидальный сигнал дискретизируется пять раз за
четыре периода, то наблюдаемая (аппроксимирующая) синусоида будет иметь
намного более низкую частоту, чем исходная
136
Рис. 4.7. Наблюдаемая частота f 0 как функция истинной частоты f
синусоидального сигнала при частоте выборки f s . Наблюдаемая частота
равна истинной частоте, только если f / f s <0.5,т.е. f s >2 f
Оказывается, что при частоте выборки f , меньшей удвоенной частоты
исходного сигнала f , последний нельзя восстановить на основании дискретных значений. Граничная частота называется частотой Найквиста (или
частотой Котельникова)
fN = 2 f .
(4.1)
Если аналоговый сигнал содержит любые частоты, превышающие fn/2, то
эти высокочастотные компоненты появляются в последовательности данных выборки как гармоники более низкой (псевдо) частоты. Во избежание появления
псевдочастот необходимо, чтобы частота выборки по крайней мере вдвое превышала самый высокочастотный компонент сигнала. В этом суть теоремы дискретизации (sampling theorem).
На практике частота выборки должна быть больше частоты Найквиста.
Теорема основана на предположении, что исходный сигнал периодический и
дискретизируется неограниченное время. Поскольку очевидно, что в реальных
системах это не так, то для сбора информации, достаточной для адекватного
описания сигнала и его последующего восстановления, частота выборки должна
быть выше. Более того, в случае непериодического сигнала нет теоремы, ограничивающей нижний предел частоты выборки.
Обычно аналоговый сигнал содержит высокочастотный шум. Поэтому
частота выборки должна определяться по самой высокочастотной составляю-
137
щей, присутствующей в исходном сигнале. Все частоты, превышающие половину частоты Найквиста, должны быть удалены из сигнала до дискретизации, в
противном случае они появятся как псевдочастоты в выходном сигнале. Этот
принцип иногда толкуют так: интересующие нас частоты должны быть ниже,
чем половина частоты Найквиста. Очевидно, что это неверно, ибо все частоты,
превышающие половину частоты Найквиста, приводят к появлению псевдочастот, независимо от того, представляют они интерес или нет. Если высокочастотный шум налагается на низкочастотный сигнал, то выборка с частотой, определенной только по низкочастотному сигналу, даст искаженные значения из-за наложения посторонних компонентов на полезный сигнал. Высокочастотные компоненты можно подавить либо удалить аналоговым фильтром низких частот
(противо-псевдочастотным фильтром).
Пример 4.2. Дискретизация аналогового сигнала
При дискретизации синусоидального сигнала 5/4 раз за период (пример 1)
псевдочастота f /4 и истинная частота f лежат симметрично относительно половины частоты Найквиста с шагом Δf = 3 f / 8 , т. е.
fN
5f 3f
f
− Δf =
−
=
2
8
8
4
fN
5f 3f
+ Δf =
+
= f
2
8
8
(псевдочастота)
(истинная частота)
После дискретизации оцифрованные данные уже невозможно исправить, поэтому истинную частоту f нельзя выделить из псевдочастот f + п f s . Таким образом, любая из псевдочастот
f s − f , f s + f , 2 f s − f , 2 f s + f ,...
(4.2)
может появиться в выходном сигнале, если частота f исходного сигнала выше половины частоты Найквиста f N / 2 = f s / 2 .
138
Пример 4.3. Искажения, вызванные псевдочастотами
Рассмотрим пример искажения, вызванного псевдочастотами. Белый
диск с черной отметкой на краю вращается с разной скоростью. Этот диск освещается стробоскопической лампой, которая вспыхивает с заданной частотой, например один раз в секунду. Таким образом, отметка видна только в определенные моменты времени.
Если диск вращается по часовой стрелке со скоростью 10° в секунду, то
черная отметка будет видна в положении 0°, 10°, 20°,... и т. д. Аналогично, если
диск вращается против часовой стрелки, то отметка будет видна в положении 0°,
350°, 340°,... и т. д. Если скорость вращения увеличивать, то отметки будут наблюдаться все дальше друг от друга. Если диск делает пол-оборота в секунду, то
отметка видна в положении 0° и 180°, и определить направление вращения уже
невозможно. Если диск вращается по часовой стрелке с еще большей скоростью,
например 215° в секунду, то после положения 0° отметка появится в том же положении, как при вращении против часовой стрелки со скоростью 145° в секунду.
Угловая скорость 180° в секунду соответствует половине частоты Найквиста. Частоты, симметричные относительно частоты Найквиста ( f N / 2 ± Δf ), проявляются одинаково (см. рис. 4.7). Кажущаяся частота является ближайшей к
частотам, кратным частоте выборки f s , 2 f s , 3 f s ... и т. д.). Таким образом, частоты 10°, 350° и 370° в секунду при дискретизации проявляют себя как одна и та
же частота (10°).
Дискретизация синусоидальных сигналов в примере 1 аналогично примеру
с вращающимся диском. Синусоида – это проекция точки на вертикальную ось,
а вращение по и против часовой стрелки соответствует разным фазам синусоидального сигнала.
В старых фильмах часто кажется, что колеса у повозок медленно вращаются против направления движения. Скорость киносъемки (частота выборки) –
139
24 кадра в секунду. Если колесо имеет N спиц, то оно кажется неподвижным при
условии, что поворачивается точно на 1/N(или на кратное 1/N) оборота за 1/24
секунды. Если колесо вращается немного быстрее, то кажется, будто оно медленно вращается вперед; соответственно, колесо кажется медленно вращающимся назад, если скорость вращения немного меньше, чем 1/N. Аналогично,
мерцание экранов компьютеров (или появление на них медленно движущихся полос) при демонстрации их по телевидению появляется из-за несоответствия между частотой обновления изображения на экране и частотой "выборки" телевизионной камеры.
Пример 4.4. Определение частоты выборки для измерения концентрации взвеси в устройстве осаждения
Этот пример иллюстрирует, как некоторые факторы влияют на частоту
выборки. В процессе осаждения активированного отстоя твердые компоненты
выделяются из жидкого раствора в устройстве осаждения, в котором сгущающаяся взвесь оседает на дне. Поскольку большая часть жидкости будет повторно
использоваться, необходимо знать концентрацию взвешенных частиц. Ее значение обычно изменяется очень медленно – для значительного изменения концентрации необходимо время от нескольких минут до нескольких часов. Поэтому
интервал выборки порядка 30 минут представляется адекватным. Некоторые
экспериментальные данные, полученные для отстойника, показаны на рис. 4.8.
140
Рис. 4.8.
отстойнике
Результаты измерения концентрации осажденных частиц в
Кривая концентрации имеет ярко выраженные пики каждые 12 минут. Эти
пики не объясняются какими-либо особенностями физического процесса. В действительности они вызваны вращением скрепера (скребка) на дне отстойника,
который удаляет осадок через клапан. Период вращения скрепера составляет 12
минут. Каждый раз, когда скрепер минует донный клапан, осадок у датчика
сжимается, что затем отражается как повышенная концентрация взвешенных
частиц. Поэтому адекватный интервал выборки должен быть порядка нескольких минут, а правильную концентрацию осадка можно рассчитать как среднее
значение за 30-минутный интервал.
Пример 4.5. Появление псевдочастот из-за наводок от силовых кабелей
переменного тока
Помехи на частоте 50 Гц (или 60 Гц в некоторых странах) могут наводиться от силовых кабелей на информационные и перекрывать исходный измерительный сигнал. Если измерительный сигнал с шумом 50 Гц квантуется с частотой = 60 Гц, то появятся псевдочастоты, потому что половина частоты Найквиста меньше, чем 50 Гц. В этом случае псевдочастота составляет 60 - 50 = 10
Гц. Аналогичная ситуация иллюстрируется примером на рис. 4.9.
141
Pис.
4.9.
Дискретизация
измерительного
сигнала
при
наличии
высокочастотного шума. Дискретный и восстановленный сигналы содержат
колебания, отсутствующие в исходном
4.2.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
АНАЛОГОВЫХ
И
ЦИФРОВЫХ
СИГНАЛОВ
Цифро-аналоговое преобразование
Важным этапом во многих процессах управления является цифроаналоговое преобразование – генерация аналогового сигнала с уровнем напряжения, соответствующим цифровому значению на входе. Эта процедура
используется для передачи от компьютера управляющего сигнала исполни-
142
тельному механизму или опорного значения для регулятора. ЦА-преобразование
– также необходимый шаг в выполнении обратного аналого-цифрового (АЦ)
преобразования.
Идеальный цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП, Digital-analog
Converter, D/A converter –DAC) вырабатывает выходной аналоговый сигнал, линейно зависящий от n-битного цифрового входного сигнала. В наиболее распространенных схемах каждый бит входного слова управляет некоторой составляющей выходного напряжения, которое генерируется каскадом сопротивлений (рис. 4.10). Величины резисторов выбираются так, чтобы получать напряжения, равные 1/2, 1/4, ..., 1/2n опорного значения, которые соответствуют позиции соответствующего бита в слове. Эти значения складываются под
управлением входных бит и затем усиливаются. ЦАП можно также сконструировать и для получения токового выхода.
Рис 4.10. Цифро-аналоговый преобразователь с каскадом сопротивлений
143
Положение ключей s1 ,…, sn соответствует либо 0, либо 1 во входном
цифровом слове. Выходное напряжение составляется из последовательно убывающих членов
s
⎛s s
v0 = −vref ⎜ 11 + 22 + ... + nn
2
⎝2 2
⎞
⎟.
⎠
Например, в 8-битном ЦАП байт 01011001 приводит к следующему выходному напряжению (при = vrev =-10B)
1 ⎞
⎛1 1 1
v0 = vref ⎜ + + +
⎟ ≈ −3.48B .
⎝ 4 16 32 256 ⎠
Очевидно, что ЦАП выдает только дискретные выходные напряжения с
разрешением vref 2− n .
Необходимо отметить, что если при изменении значения входного слова
соответствующие ключи ЦАП не изменяют своего состояния все одновременно,
то в переходном режиме может появиться нежелательный всплеск напряжения
на аналоговом выходе. Для устранения этой проблемы последовательно с ЦАП
включают схему выборки и хранения (стабилизатор), которая поддерживает выходное значение постоянным, пока ключи не установятся.
Самые важные характеристики ЦАП, которые нужно учитывать при его
выборе или разработке, перечислены ниже.
•
Линейность (linearity): в какой степени связь между цифровым вхо-
дом и выходным напряжением линейна, или иначе, величина отклонения реального выходного напряжения от расчетного из-за нелинейности.
•
Нулевое смещение (offset error): значение выходного сигнала при
нулевом значении на цифровом входе. Всегда должна быть возможность подстроить это значение, например, с помощью потенциометра или программного
управления.
•
Время установления (settling time): время, необходимое для установ-
ления выходного напряжения на новое постоянное значение.
144
•
Быстродействие (slew rate) максимальная скорость изменения вы-
ходного напряжения (выражается в В/мкс). Быстродействие зависит от времени
установления.
2. Аналого-цифровое преобразование
Для компьютерной обработки дискретные аналоговые значения измерительного сигнала необходимо представить в цифровой форме, т. е. выполнить
аналого-цифровое (Analog-Digital-A/D) преобразование. Соответствующее устройство называется аналого-цифровым преобразователем (АЦП, Analog-Digital
Converter, A/D converter -ADC). АЦП генерирует двоичное слово – цифровой
выход – на основе аналогового сигнала. Существуют АЦП, выполненные, например, в виде платы расширения компьютера.
АЦП может работать в соответствии с различными принципами; два широко распространенных метода – параллельное сравнение и пошаговое приближение (аппроксимация).
В АЦП, работающем по принципу сравнения, входное значение сравнивается с различными уровнями напряжения, выработанными на основе известного
опорного напряжения и каскада сопротивлений (рис. 4.11). На выходе каждой
схемы сравнения – компаратора – появляется 0 либо 1 в зависимости от соотношения входного и опорного напряжений. Выход каждого компаратора затем
преобразуются в двоичный код. Такие АЦП обладают хорошим быстродействием, но довольно дороги из-за применения компараторов.
АЦП, работающий по принципу пошагового приближения (incremental
approximation), построен на основе ЦАП (рис. 4.12 а). Диапазон входного сигнала разделен на 2n − 1 интервалов, где n – число бит в выходном слове. Счетчик
быстро генерирует последовательные числа, которые сразу преобразуются в
аналоговые значения. Счетчик продолжает наращивать выход до тех пор, пока
разница напряжений между выходом АЦП и входным аналоговым значением не
145
станет меньше разрешающей способности АЦП (рис. 4.12 б). Преобразование на
основе пошагового приближения требует определенного времени, которое зависит от времени ЦА-преобразования и от входного значения. Вообще говоря,
время ЦА-преобразования находится в наносекундном диапазоне, а АЦпреобразования – в микросекундном; для типового АЦП это время составляет от
0.5 до 400 мкс. Разрешение преобразования обычно составляет 10…12 бит, т. е.
1023 либо 4095 интервалов по напряжению; следовательно, входной сигнал
квантуется в соответствующих долях от полной входной величины. Часть характеристик АЦП определены так же, как для ЦАП, -разрешение, нулевое смещение, линейность и время преобразования.
Рис. 4.11. АЦП с параллельными схемами сравнения
146
При работе АЦП важно, чтобы его разрешающая способность (conversion
resolution) использовалась полностью. На практике редко бывает так, что преобразуемый входной сигнал (выход датчика) изменяется от 0 до 100 % всего своего
диапазона; обычно нормальным является изменение в пределах 10…20 %. Если,
например, сигнал изменяется в пределах 5 % от его теоретического диапазона и
поступает на 10-битный АЦП, тогда действительный входной диапазон сигнала
будет составлять 5 % от 1023 или около 50 интервалов напряжения. Таким образом, цифровое разрешение будет определяться только 1/50 частью всего диапазона, т. е. 2 % (рис. 4.13 а). Если вместо этого АЦП можно настроить на 0 при
20 % и на 1023 при 25 % входного сигнала, то разрешение становится намного
выше – 1/1023 или 0.1 % диапазона датчика.
Для того чтобы использовать весь диапазон АЦП, нужно подстраивать как
коэффициент усиления, так и смещение напряжения входного аналогового сигнала. Это можно сделать с помощью операционного усилителя (рис. 4.13 б).
Смещение напряжения настраивается переменным резистором R1 так, чтобы
выход усилителя постоянного тока соответствовал минимуму входного сигнала
АЦП, который, в свою очередь, соответствует минимальному значению измерительного сигнала. Переменный резистор R2 используется для настройки усиления так, чтобы выходной уровень усилителя для максимума входного измерительного сигнала соответствовал максимальному входному значению АЦП.
147
Рис. 4.12. АЦП, работающий по принципу пошагового приближения: а –
схема; б – принцип работы
Если для передачи сигналов используется диапазон 4…20 мА, то разрыв
цепи можно обнаружить как сигнал 0 мА. АЦП можно использовать также для
индикации нерабочего состояния датчика. Если АЦП откалиброван так, что максимальный входной сигнал (например, 20 мА) соответствует значению 4000 вместо 095 в 12-битовом АЦП, то большие значения выходного слова можно использовать для индикации исключительных и ошибочных ситуаций. Это, однако, требует некоторых дополнительных электронных схем и средств обработки.
148
Рис. 4.13. Использование всего диапазона АЦП – 0…100 % (а); настройка
смещения нуля резистором R1 и коэффициента усиления резистором R2 (б)
Простой способ, выявить отсоединенный датчик, основан на схеме с переключателем и источником постоянного напряжения. Напряжение должно быть
немного выше, чем максимальное выходное напряжение датчика, или, в случае
замкнутой токовой петли, выше, чем уровень напряжения, соответствующий
значению тока в 20 мА. Переключатель помещается перед мультиплексором
(рис. 4.14).
149
Рис. 4.14. Индикация отключенного датчика: переключатель канала 1
в положении "включен" – датчик подключен; переключатель канала n
в положении "выключен" – датчик отключен
При включенном положении переключателя вход мультиплексора соединяется с датчиком и оконечным резистором, следовательно, входной сигнал соответствует значению измеряемой величины. При отключенном положении переключателя вход мультиплексора соединяется с внешним источником напряжения. Когда датчик не работает, например, во время обслуживания или калибровки, переключатель переводится в положение "выключен" и значение на выходе АЦП превысит нормальный диапазон. Управляющий компьютер соответственно определит, что датчик не работает.
4.3. АНАЛОГОВАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
Фильтрация используется для уменьшения амплитуды определенных частотных составляющих сигнала. Фильтрация может быть как аналоговой – с помощью электронных цепей, так и цифровой, изменяющей дискретные значения
сигнала, после АЦ-преобразования. Для эффективной фильтрации необходимо,
150
чтобы частотные диапазоны разделяемых сигналов не пересекались. Наиболее
часто фильтрация применяется для устранения шума и помех и для усиления
сигнала, насколько это возможно, до первоначального уровня. На практике
фильтрация имеет смысл только тогда, когда исходный сигнал с самого начала
был защищен от влияния внешних помех.
Двумя основными параметрами аналоговой фильтрации являются ширина
полосы пропускания и граничная частота. Полоса пропускания (bandwidth,
passband) – это диапазон частот, проходящих фильтр без изменений. Граничная
частота (corner frequency), или частота среза (cutoff frequency), – это частота, на
которой амплитуда сигнала ослабляется в 2 раз, что соответствует уменьшению
мощности в 2 раза по сравнению с пропускаемыми частотами.
Фильтр низкой частоты (ФНЧ, low pass filter) пропускает частоты ниже
граничной частоты и ослабляет компоненты с частотами выше этого значения.
Этот фильтр используется для устранения или уменьшения тех частотных составляющих, которые могут способствовать появлению псевдочастот, и поэтому
он также называется противопсевдочастотным фильтром (anti-alias filter).
Фильтр высокой частоты (ФВЧ, high pass filter) пропускает высокие частоты и
ослабляет низкие. Полосовые фильтры (band pass filter) пропускают частотные
компоненты, лежащие между двумя граничными отсекающими частотами.
1. Фильтры низкой частоты первого порядка
Простейшим примером аналогового фильтра низкой частоты (аnа1оg 1оw
pass filter) является пассивная RС-цепь. Фильтр описывается дифференциальным
уравнением первого порядка
T
du0
= −v0 + vi ,
dt
(4.3)
где T = RC , v0 – выходное напряжение на конденсаторе, а vi – входное напряжение (рис. 4.15). Фильтр имеет единичный статический коэффициент уси-
151
ления, т. е. v0 = vi , когда производная равна нулю. С помощью преобразования
Лапласа из уравнения (4.3) можно получить передаточную функцию фильтра
G (s) =
V0 ( s )
Vi ( s )
=
1
1
.
=
1 + sRC 1 + sT
(4.4)
R
Vi
V0
Рис. 4.15. Пассивный низкочастотный RC- фильтр первого порядка
Известно, что выходная амплитуда при синусоидальном входе изменится в
1/ 1 + ( wRC ) = 1/ 1 + ( wT ) раз. Статический коэффициент усиления, как и ожида2
2
лось, равен 1. Частота среза (при которой затухание составляет 1/ 2 )
wc =
1
1
= [рад/с],
RC T
или
fC =
wc
1
1
=
=
[Гц].
2π 2π RC 2π T
Подставляя частоту fC в уравнение (4.4), получим коэффициент затухания
фильтра
G =
1
1
1
.
=
=
2
f
1 + jwRC 1 + j
⎛ f ⎞
1+ ⎜ ⎟
fc
⎝ fc ⎠
Во временной области скачок входного сигнала приведет к экспоненциальному росту выходной амплитуды напряжения ФНЧ, скорость которого определяется постоянной времени T (пример 3.4). Для синусоидальных входных сигналов затухание при частотах выше частоты среза происходит пропорционально
увеличению частоты (рис. 4.16).
152
Рис. 4.16. Частотная характеристика фильтра низкой частоты первого
порядка
Активный фильтр низкой частоты получается при подключении RCфильтра к операционному усилителю в качестве контура обратной связи (рис.
4.17).
В общем случае частотно-зависимый коэффициент усиления G ( jw ) для
идеального операционного усилителя с отрицательной обратной связью можно
выразить как отношение импеданса обратной связи к входному импедансу. Для
RC-фильтра импеданс цепи обратной связи
R2
.
1 + jwR2C
Тогда коэффициент усиления по напряжению
G ( jw ) =
V0 ( jw ) R2
1
=
.
Vi ( jw ) R1 jwR2C
Зависимость частоты та же, что и для пассивного фильтра, но амплитудный коэффициент усиления можно выбрать с помощью R1 и R2. На практике активный фильтр на базе операционного усилителя не является идеальным фильтром первого порядка. Причина – в ограниченной скорости изменения выходного
153
напряжения усилителя при скачке входного напряжения. Это означает, что очень
быстрые сигналы могут "проскочить" через фильтр, потому что операционный
усилитель не успевает на них реагировать. Более практичным решением будет
сначала пропустить сигнал через пассивный фильтр, а уже затем усилить его.
Рис. 4.17. Операционный усилитель с RC-фильтром в качестве контура
обратной связи. В идеальных условиях эта схема работает как фильтр низкой
частоты первого порядка
Пример 4.6. Пассивный RL-фильтр низкой частоты
Резистивно-индуктивная (RL) схема работает как фильтр низкой частоты
(рис. 5.17).
Рис. 4.18. Пассивный RL- фильтр низкой частоты первого порядка
По второму закону Кирхгофа имеем
vi − vL − v0 = 0 ,
где напряжение на катушке
vL = L
а ток
di
,
dt
154
i=
v0
.
R
Заменяя v0 и i, получим уравнение (4.3) для ФНЧ
T
dv0
L
= −v0 + v1 , где T = .
dt
R
Передаточная функция аналогична уравнению (5.4)
G (s) =
V0 ( s )
1
1
,
=
=
Vi ( s ) 1 + s L 1 + sT
R
а частота среза
fc =
R
[Гц].
2π L
Частотная зависимость такая же, как и у RC-фильтра. Составляющие сигнала с частотами, заметно превышающими частоту среза, сглаживаются индуктивностью и присутствуют в выходном напряжении фильтра со значительно
уменьшенной амплитудой.
2. Фильтры низкой частоты высоких порядков
Иногда характеристика RC-фильтра в области высоких частот имеет недостаточную крутизну, т. е. высокочастотные составляющие подавляются неэффективно. ФНЧ второго порядка имеет крутизну характеристики в области высоких частот вдвое большую, чем фильтр первого порядка (рис. 4.16); коэффициент затухания пропорционален квадрату увеличения частоты входного сигнала. Это означает, что при 10-кратном увеличении частоты входного сигнала коэффициент затухания будет в 100 раз выше. Поэтому такие фильтры более эффективны для удаления нежелательных частотных составляющих.
155
Пример 4.7. Фильтр низкой частоты второго порядка
ФНЧ второго порядка (рис. 4.19) имеет две независимые частоты среза
f c1è f c 2
Рис. 4.19. Фильтр низкой частоты второго порядка
Частотно-зависимый коэффициент усиления
G ( jw ) =
V0 ( jw )
R
=
Vi ( jw ) R1 + R2
1
⎡ ⎛ f ⎞2 ⎤ ⎡ ⎛ f ⎞2 ⎤
⎢1 + ⎜
⎟ ⎥ ⎢1 + ⎜
⎟ ⎥
⎢⎣ ⎝ f c1 ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ f c 2 ⎠ ⎥⎦
,
где
f c1 =
R1 R2
[Гц]
2π ( R1 + R2 ) C1
и
fc 2 =
1
[Гц].
2π R2C2
Если частоты среза совпадают ( f c = f c1 = f c 2 ) , то
G =
R3
R1 + R2
1
⎛ f ⎞
1+ ⎜ ⎟
⎝ fc ⎠
2
.
При частоте входного сигнала f c его амплитуда уменьшается в два раза.
156
Фильтр Баттерворта (Butterworlth filter) имеет постоянную частотную зависимость для частот, ниже характеристической частоты f 0 . Благодаря тому, что
этот фильтр верно воспроизводит амплитуды сигналов, он получил распространение как фильтр, подавляющий псевдочастоты. Фильтр Баттерворта можно
считать частным случаем фильтра Саллен-Ки (Sallen-Key filter). Вариант этого
фильтра второго порядка показан на рис. 4.20. Параметры элементов фильтра
Баттерворта должны удовлетворять соотношениям
2π RC1 f 0 = 2
и
2π RC2 f 0 =
2
.
2
Фильтры более высокого порядка (4, 6,...) представляют собой каскадное
соединение фильтров второго порядка.
Рис. 4.20. Фильтр низкой частоты второго порядка с единичным
коэффициентом усиления – фильтр Саллен-Ки
3. Фильтры высокой частоты
Очевидно, что, поменяв местами конденсатор и резистор в схеме рис. 4.15
или индуктивность и резистор в схеме рис. 4.18, в результате получим фильтры
высокой частоты (ФВЧ, high pass filter) (рис. 4.21).
157
Рис. 4.21. Пассивный RC-фильтр высокой частоты (а) и пассивный
RL-фильтр высокой частоты (б)
Выполняя те же преобразования, что и в примере 4.15, получим следующее выражение для выходного напряжения v0 высокочастотного RC-фильтра
T
dv0
dv
= −v0 + T i ,
dt
dt
(4.6)
где Т = RC. Передаточная функция имеет вид
G (s) =
V0 ( s )
Vi ( s )
=
sRC
sT
.
=
1 + sRC 1 + sT
(4.7)
Частотно-зависимый коэффициент усиления фильтра
G ( jw ) =
V0 ( jw )
jwRC
wRC
wT
=
=
=
.
2
2
Vi ( jw ) 1 + jwRC
1 + ( wRC )
1 + ( wT )
Такая схема будет задерживать низкочастотные и пропускать высокочастотные сигналы, как показано на частотной характеристике (рис. 4.22).
158
Рис. 4.22. Частотная характеристика фильтра высокой частоты первого
порядка
Частота среза f c , при которой ослабление амплитуды составляет 2 , определяется выражением
fc =
1
1
[Гц].
=
2π RC 2π T
Коэффициент усиления по напряжению
G =
f
fc
1
⎛ f ⎞
1+ ⎜ ⎟
⎝ fc ⎠
2
.
(4.8)
Так же как и низкочастотный фильтр, активный высокочастотный фильтр
можно построить на основе операционного усилителя с обратной связью (рис.
4.23).
Частотно-зависимый коэффициент усиления по напряжению активного
фильтра высокой частоты есть отношение импеданса обратной связи к входному
импедансу.
159
G ( jw ) =
− jwR2C
wR2C
.
=
1 + jwR1C
1 + ( wR1C ) 2
Рис. 4.22. Активный фильтр высокой частоты первого порядка
Поскольку все операционные усилители имеют ограниченную полосу пропускания, коэффициент усиления уменьшается по мере повышения частоты.
Строго говоря, все активные высокочастотные фильтры на самом деле являются
полосовыми фильтрами, поскольку обеспечивают усиление сигналов в определенном частотном диапазоне, ослабляя сигналы, лежащие соответственно выше
и ниже граничных частот.
Пример 4.8. Пассивный RC-фильтр высокой частоты
Пассивный фильтр высокой частоты, показанный на рис. 4.21, б определяется дифференциальным уравнением, полученным на основе второго закона
Кирхгофа
T
dv0
dv
= −v0 + T i ,
dt
dt
которое идентично уравнению (4.6), если положить T=L/R.
Его передаточная функция
G (s) =
V0 ( s )
Vi ( s )
=
sL
sT
=
R + sL 1 + sT
и частотно-зависимый коэффициент усиления
160
V ( jw )
jwL
=
=
G ( jw ) = 0
Vi ( jw ) ( R + jwL )
w
L
R
⎛L⎞
1+ w⎜ ⎟
⎝R⎠
2
=
wT
1 + ( wT )
2
.
Частота среза
fc =
1
2π L
=
1
[ ÃÖ ]
2π T
Используя это выражение для fC , коэффициент усиления по напряжению
можно записать аналогично уравнению (4.8).
4.4. ЦИФРОВАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
После аналоговой фильтрации, АЦ-преобразования и ввода данных в компьютер выполняется цифровая фильтрация. Цифровая фильтрация обладает
большой гибкостью, поскольку характеристики фильтра можно изменить, просто задав новые параметры соответствующей ему программы. В отличие от аналоговых, цифровые фильтры хорошо работают с длительными постоянными
сигналами.
1. Общая структура цифровых фильтров
В общем виде цифровой фильтр (digital filter) можно представить как
$y ( kh ) = −a $y ⎡( k − 1) h ⎤ − a $y ⎡( k − 2 ) h ⎤ − ... − a $y ⎡( k − n ) h ⎤ + b y ( kh ) + ... + b y ⎡( k − m ) h ⎤ , (4.9)
1 ⎣
n ⎣
m ⎣
⎦ 2 ⎣
⎦
⎦ 0
⎦
где h – это интервал выборки, $y – отфильтрованный выход, а у – вход. Заметим,
что аргумент kh, по смыслу представляющий собой время, можно рассматривать
и просто как номер (k) в последовательности входных значений. Если все коэффициенты ai равны нулю, то такой фильтр называется фильтром скользящего
среднего (Moving Average – МА) с конечной импульсной характеристикой. Это
означает, что если в течение некоторого времени все последовательные зна-
161
чения уi, кроме одного, равны нулю, то на выходе фильтра сигнал будет отличен
от нуля только на m временных интервалах. Если некоторые либо все коэффициенты аi не равны нулю, то такой фильтр называется авторегрессивным (Auto Regressive – АК) и имеет бесконечную импульсную характеристику. Другими словами, входной сигнал, отличающийся от нуля только на одном временном интервале, вызовет появление на выходе сигнала, отличного от нуля в течение бесконечно долгого времени. Обобщенный фильтр, описываемый уравнением (4.9),
называется авторегрессивным фильтром скользящего среднего (Auto Regressive
Moving Average – АК.МА).
Фильтры могут быть "причинными" и "непричинными". Причинный
(causal) фильтр вычисляет выходное значение на основании ранее введенных
данных (в любой момент t0 учитываются входные значения только для t ≤ t0 ). Поэтому все фильтры реального времени являются причинными. Последовательность отфильтрованных значений на выходе будет отставать на некоторое время
по сравнению с последовательностью на входе. Если данные обрабатываются в
автономном режиме, например при анализе серии значений уже собранных измерений, можно использовать непричинный (non-causal) фильтр. В этом случае
расчет для момента времени t0 можно производить на основе как предыдущих
( t ≤ t0 ), так и последующих ( t > t0 ) значений.
2. Цифровые фильтры низкой частоты
Для того чтобы исследовать медленно изменяющийся входной сигнал, необходимо удалить из измерительных данных случайные пики и высокочастотные наводки, которые не содержат какой-либо полезной информации. Это можно сделать с помощью цифрового фильтра низкой частоты (digital low pass filter).
Структура цифрового фильтра, который эффективно удаляет резкие колебания
сигнала и в то же время не влияет на медленные изменения, всегда компромиссна, потому что частотные диапазоны исходного и постороннего сигналов обычно
162
пересекаются. Как и у аналоговых фильтров, динамика фильтра высокого порядка более эффективна для удаления нежелательных высоких частот.
Два наиболее важных типа ФНЧ – скользящего среднего и экспоненциального сглаживания. ФНЧ, используемые в промышленности, почти всегда базируются на одном из этих простых фильтров.
Пример 4.9. Фильтр скользящего среднего – простейший ФНЧ
Простой фильтр скользящего среднего получается, если принять все параметры аi, в уравнении (4.9) равными нулю. Если необходимо простое усреднение, то все весовые коэффициенты bi равны и дают в сумме единицу. Например,
фильтр скользящего среднего с пятью входными отсчетами имеет вид
$y ( kh ) = 1 y ( kh ) + ... + y ⎡( k − 4 ) h ⎤ .
⎣
⎦
5
(
)
Если операция фильтрации производится не в режиме реального времени,
то величину скользящего среднего можно подсчитать, используя измерения как
до, так и после заданного момента времени Мг. В этом случае отфильтрованное
значение не отстает по времени относительно входных значений. Непричинный
простой фильтр скользящего среднего по пяти значениям имеет вид
$y ( kh ) = 1 y ⎡( k − 2 ) h ⎤ + ... + y ⎡( k + 2 ) h ⎤ .
⎦
⎣
⎦
5 ⎣
(
)
Если величина на выходе представляет собой усреднение по последним n
выборкам, то она смещается на 1 + n/2 циклов. При больших значениях п выходной сигнал становится более гладким, но при этом все больше отстает но времени. Импульсная характеристика фильтра скользящего среднего конечна. Для
входного импульса в момент t = 0 выходной сигнал после момента t = n становится нулевым.
Скользящее среднее – это простой метод, но он имеет определенные ограничения. При использовании одинаковых коэффициентов фильтр может быть
излишне инертным и недостаточно быстро реагировать на реальные изменения
163
во входном сигнале. С другой стороны, если коэффициенты различны и убывают
для больших значений индекса n, то это затрудняет анализ свойств фильтра.
Экспоненциальный фильтр (exponential filter) – это авторегрессионный
фильтр скользящего среднего первого порядка, определяемый следующим уравнением
$y ( kh ) = α $y ⎡( k − 1) h ⎤ + (1 − α ) y ( kh ) .
⎣
⎦
(4.10)
Отфильтрованное значение $y ( kh ) вычисляется суммированием предыдущего значения отфильтрованного сигнала $y ⎡⎣( k − 1) h ⎤⎦ и последнего значения y(kh)
измерительного сигнала с весовыми коэффициентами. Коэффициент а лежит в
интервале между 0 и 1. Уравнение (4.10) можно переписать в виде
(
)
$y ( kh ) = $y ⎡( k − 1) h ⎤ + (1 − α ) y ( kh ) − $y ⎡( k − 1) h ⎤ ,
⎣
⎦
⎣
⎦
т. е. экспоненциальный фильтр уточняет отфильтрованное значение на выходе
сразу, как только на вход поступает новое значение. Это уточнение невелико и
становится еще меньше для значений α , близких к 1; в этом случае появляется
эффект инерционности. Уменьшение шумовых компонентов выходного сигнала
происходит за счет слабого соответствия с реальными изменениями на входе.
При α , близком к нулю, величина поправки растет. Соответственно фильтрация
шума уменьшится, однако изменения исходного сигнала будут отслеживаться
более точно. При α = 0 сигнал на выходе идентичен сигналу на входе. Влияние
величины α на реакцию фильтра при скачке зашумленного входного сигнала
проиллюстрировано на рис. 4.24.
Пример
4.10.
Интерпретация
экспоненциального
фильтра
как фильтра скользящего среднего
Экспоненциальный фильтр можно интерпретировать как фильтр скользящего среднего, у которого в уравнении (4.9) бесконечное число членов с коэффициентами b j и отсутствием членов с коэффициентами a j . Коэффициенты b j
164
быстро уменьшаются для более старых значений во входной последовательности. Этот результат можно получить, переписав уравнение (4.10) как
$y ( kh ) = α $y ⎡( k − 1) h ⎤ + (1 − α ) y ( kh ) = (1 − α ) y ( kh ) + α (1 − α ) y ⎡( k − 1) h ⎤ + α 2 $y ⎡( k − 2 ) h ⎤ =
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
(1 − α ) y ( kh ) + α (1 − α ) y ⎡⎣( k − 1) h ⎤⎦ + α 2 $y ⎡⎣( k − 2 ) h ⎤⎦ + α 3 $y ⎡⎣( k − 3) h ⎤⎦ =
.
.
(1 − α ) y ( kh ) + α (1 − α ) y ⎡⎣( k − 1) h ⎤⎦ + ... + α n $y ⎡⎣( k − n ) h ⎤⎦ + ...,
где b0 = 1- α , b1 = α (1 - α ), b2 = α 2 (1 - α ) и т.д. Так как 0 ≤ α ≤ 1 , то коэффициенты для более старых значений убывают по экспоненциальному закону. Например, при α = 0.5 коэффициенты b j -равны 0.5, 0.25, 0.125, 0.0625, ..., а при α
= 0.9 – 0.1, 0.09, 0.081, 0,072, ... Другими словами, если а стремится к 1, то
фильтр имеет более долгую "память" и более эффективно сглаживает входной
сигнал. Из-за экспоненциального убывания значений коэффициентов фильтр и
получил свое название.
Экспоненциальный фильтр в действительности представляет собой дискретный вариант аналогового ФНЧ первого порядка с единичным статическим
коэффициентом усиления (см. раздел 4.3) и передаточной функцией, аналогичной уравнению (4.4)
Gf (s)
Y (s)
Y (s)
=
1
.
1 + sT
Постоянная времени Т равна RC либо L/R в зависимости от вида фильтра.
Дифференциальное уравнение цифрового фильтра
T
d $y ( t )
dt
= − $y + y .
(4.11)
165
Рис. 4.24. Влияние сглаживающего экспоненциального фильтра первого
порядка. Параметр α имеет значение 0, 0.5, 0.9, 0.95 и 0.98. При малых
значениях α фильтр довольно точно отслеживает изменения во входном
сигнале, однако сохраняется высокий уровень шума. При больших значениях α
фильтр вносит значительное запаздывание, а шум заметно подавляется.
При α = 0 выходной сигнал фильтра идентичен входному
166
При аппроксимации производной обратными разностями получим
$y ( t ) − $y ( t − h )
h
≈
1$
1
y (t ) + y (t ) ,
T
T
что является достаточно хорошим приближением для малых значений h. Уравнение можно упростить следующим образом
$y ( t ) =
$y ( t − h ) + h 1 $y ( t ) ,
h
T 1+ h
1+
T
T
1
что идентично уравнению (4.10) при
α=
1
1+
или
T=
h
T
αh
.
1−α
Поскольку было принято, что h/T мало, то аппроксимация верна, только
если а стремится к 1. В этом случае α можно определить следующим приближенным выражением
α ≈ 1−
h
h
.
⇒T ≈ −
T
1−α
(4.12)
В действительности точное решение дифференциального уравнения (4.11)
– это уравнение (4.10)
α = e− h / T ⇒ T ≈ −
h
ln (α )
,
(4.13)
для которого выражение (4.12) является хорошим приближением при малых значениях h/T.
Реакция фильтра на скачок входного сигнала (рис. 4.24) иллюстрирует
связь между α и T. В течение интервала, равного одной постоянной времени T,
сигнал на выходе достигает 63 % от величины окончательного значения: при α
= 0.95 постоянная времени T равна примерно 20 интервалам выборки, а при
α = 0.98 – около 50 интервалов.
167
Пример 4.11. Программа, реализующая экспоненциальный фильтр
Цифровой экспоненциальный фильтр [уравнение (4.10)] легко реализовать
программными средствами. Ниже приведен примерный вариант программы.
Функции AD_input и DA_output используются для ввода и вывода данных соответственно. Переменная delta_time есть интервал выборки, а next_time используется для синхронизации работы программы с выборкой (функция wait_until).
program exponential_filter
var in_signal, alpha:
real;
y_filtered, y_old:
real;
next_time, delta_time
real;
begin
next_time:=0;
while true do (* бесконечный цикл*)
begin
wait_until (next_time);
in_signal:=AD_ input (ch#1);
y_filtered:= alpha* y_old+(1-alpha)* in_signal;
y_old:= y_filtered;
DA_output (ch#2, y_filtered);
next_time:= next_time +delta_time;
end; (* бесконечного цикла*)
end; (* exponential_filter*)
3. Цифровые фильтры низкой частоты высоких порядков
Аналоговый фильтр второго порядка более эффективен для подавления
высокочастотных компонентов, чем фильтр первого порядка (раздел 4.3). Цифровой фильтр со структурой, определяемой уравнением (4.9), при n = m = 2 со-
168
ответствует аналоговому фильтру второго порядка. Соединив последовательно
два экспоненциальных фильтра первого порядка, получим фильтр второго порядка с двумя одинаковыми частотами среза
$y ( kh ) = α $y ⎡( k − 1) h ⎤ + (1 − α ) y (kh) ,
1
1⎣
⎦
$y ( kh ) = α $y ⎡( k − 1) h ⎤ + (1 − α ) $y (kh) ,
2
2 ⎣
1
⎦
где у – значение входного сигнала, $y1 – выходной сигнал первого фильтра, а $y1 выходной сигнал второго фильтра. Свойства фильтра определяются параметром
а. Если исключить переменную $y1 ( kh ) , то цифровой фильтр второго порядка
можно записать в следующем виде
$y ( kh ) = 2α $y ⎡( k − 1) h ⎤ + α 2 $y ⎡( k − 2 ) h ⎤ + (1 − α )2 y (kh) .
2
2 ⎣
2 ⎣
⎦
⎦
Результат применения фильтра второго порядка к сигналу, изображенному
на рис. 4.24, показан на рис. 4.25. Фильтр второго порядка эффективнее подавляет высокие частоты, поэтому можно выбрать меньшее значение а. Выходной
сигнал этого фильтра точнее соответствует изменениям входного сигнала, чем у
фильтра первого порядка.
Применение фильтров более высоких порядков (уравнение (5.9)) позволяет еще больше улучшить качество выходного сигнала. Платой за это является
увеличение сложности фильтра, однако стоимость обработки данных невелика.
Следует отметить, что если в аналоговых фильтрах добавление пассивных электронных компонентов к цепи фильтра означает дополнительные энергетические
потери в сигнале, то при программной реализации этой проблемы не существует.
169
Рис.
4.25.
Влияние
экспоненциального
фильтра
второго
порядка
при разных значениях параметра α
4. Цифровые фильтры высокой частоты
В некоторых случаях необходимо выделить высокочастотные компоненты
сигнала, а не плавные изменения. Поэтому сигнал должен быть обработан
фильтром высокой частоты. Разностная схема – это простой пример цифрового
фильтра высокой частоты (digital higt pass filter)
170
$y ( kh ) = Δy ( kh ) = y ( kh ) − y ⎡( k − 1) h ⎤ .
1
⎣
⎦
Выходной сигнал отличен от нуля только тогда, когда есть изменения во
входном сигнале.
Цифровой ФВЧ можно также получить разностной аппроксимацией аналогового ФВЧ (раздел 4.3). Соответствующее дифференциальное уравнение аналогично уравнению (4.6)
T
d $y ( t )
dy ( t )
,
= − $y ( t ) +
dt
dt
(4.14)
где у – это входной сигнал, а $y – выходной.
Применив к этому уравнению аппроксимацию разностями "вперед", получим цифровой ФВЧ
$y ( t + h ) = ⎛1 − h ⎞ $y (t ) + y (t + h) − y (t ) = α $y (t ) + y (t + h) − y ( t ) ,
⎜
⎟
⎝ T⎠
(4.15)
где α определяется уравнением (4.12). Дискретное уравнение фильтра можно
также вывести аналитически из уравнения (4.14); в результате получим а, выраженное уравнением (4.13), значение которого должно лежать между 0 и 1. При
α = 0 фильтр реализует чисто разностную схему. Следует еще раз подчеркнуть,
что для применения разностной аппроксимации и уравнения (4.12) отношение
h/T должно быть достаточно мало.
Чувствительность фильтра на высоких частотах определяется выбором
значения α . Малое значение α приводит к большей чувствительности, которая
соответствует большей частоте среза для ФВЧ.
Проиллюстрируем работу ФВЧ на нескольких примерах. На рис. 4.25
представлен тот же самый скачкообразный зашумленный входной сигнал рис.
4.23. Средняя диаграмма показывает выходной сигнал чистого разностного
фильтра ( α = 0). Она содержит пик при t = 50, так как фильтр распознает мгновенное изменение входного сигнала. Для α = 0.95 пик при t = 50 становится шире, что показано на нижней диаграмме.
171
На рис. 4.26 на вход фильтра поступает синусоидальный сигнал с наложенным высокочастотным шумом. Выходной сигнал ФВЧ сохраняет высокочастотные изменения, а более медленные синусоидальные колебания либо уменьшены, либо удалены.
Если на зашумленный синусоидальный сигнал наложить скачкообразный,
то на выходе высокочастотного фильтра появится пик, отражающий скачок во
входном сигнале (рис. 4.27).
Рис. 4.26. Влияние фильтра высокой частоты первого порядка
На верхней диаграмме показан исходный неотфильтрованный
сигнал. Средняя диаграмма показывает выходной сигнал
фильтра при α=0, а нижняя диаграмма – при α=0,95
Рис. 4.27. Влияние фильтра высокой частоты на
зашумленный синусоидальный сигнал. Выходной
сигнал фильтра (средняя диаграмма) отслежтвает
только высокочастотные колебания. На нижней
диаграмме показан выходной сигнал при α=0,95 –
низкочастотные компоненты присутствуют, однако
с меньшей амплитудой
172
173
Рис.
4.28.
Влияние
фильтра
высокой
частоты
на
зашумленный
синусоидальный сигнал со скачком при t= 50 ( α = 0). Выходной сигнал фильтра
имеет пик при t = 50, но при этом не содержит никаких низкочастотных
колебаний
4.5. ОСНОВЫ ОБРАБОТКИ ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ ИНФОРМАЦИИ
Преобразованные в цифровую форму измерительные данные должны быть
подвергнуты проверке. После АЦ-преобразования необходимо выполнить следующие операции – первичную обработку:
-
компенсировать дрейф;
-
сохранить исходные данные;
-
проверить соответствие исходных данных параметрам датчика –
диапазону допустимых выходных значений и диапазону скоростей изменения
выходного сигнала; если значение выходит из этих диапазонов, то должны генерироваться аварийные сообщения или другие указания для оператора;
174
-
вычислить среднее значение исходных данных ("посторонние" значе-
ния, которые заметно отличаются от других, возможно, должны быть отброшены);
-
применить цифровую фильтрацию;
-
сохранить отфильтрованные данные.
После цифровой фильтрации выполняются:
-
пересчет единиц измерения – масштабирование (при необходимо-
-
линеаризация;
-
другие типы обработки данных, например статистический анализ;
-
в автоматических системах – анализ входных данных для принятия
сти);
решения о дальнейших действиях, например генерации управляющих или опорных сигналов.
Коммерческие программные пакеты сбора данных обычно позволяют выполнять все эти операции.
1. Достоверность исходных данных и аварийная сигнализация
Существует много методов проверки достоверности исходных данных.
Для автоматизированных систем достоверность играет особую роль, так как
ошибки во входных данных могут привести к некорректным управляющим действиям. В первую очередь, необходимо убедиться, что величина входного сигнала лежит в пределах рабочего диапазона датчика. Как указывалось ранее, выход
за его границы может указывать на исключительную ситуацию, например, что
датчик отключен. Эта проверка не должна представлять собой простое сравнение с предварительно установленным пороговым значением, потому что в этом
случае даже небольшие колебания около этого значения могут вызывать множество аварийных сигналов. Во избежание таких ситуаций обычно определяют полосу гистерезиса вокруг порогового значения (рис. 4.28). Аварийный сигнал ге-
175
нерируется только тогда, когда входная величина превысит второе пороговое
значение. Для того чтобы сбросить аварийный сигнал, входная величина должна
снова пересечь первое пороговое значение. Новый аварийный сигнал может
быть выработан после того, как второй порог будет достигнут снова.
Проверка скорости изменения сигнала позволяет обнаружить ошибки датчика. Если изменения выходного сигнала датчика в течение нескольких последних интервалов выборки превышают заранее определенное значение, то вырабатывается аварийный сигнал. Контроль скорости изменения должен проводиться
перед цифровой фильтрацией, в противном случае изменения сигнала могут
быть утрачены и проверка становится бессмысленной.
Рис. 4.29. Полоса
гистерезиса около пороговых значений. Аварийная
индикация устанавливается, когда значения сигнала достигает точки 1, и
удерживается до тех пор, пока оно не станет меньше нижней границы полосы
гистерезиса; новый аварийный сигнал будет выработан в точке 2
Пример 4.12. Проверка данных зонда, измеряющего концентрацию
растворенного кислорода
Концентрация в аэраторе станции биологической очистки сточных вод измеряется с помощью зонда, который имеет время установления меньше минуты.
176
Если зонд вынут из воды для калибровки и очистки, то выходной сигнал датчика
увеличится в течение минуты от нормального значения 2…5 мг/л до значения
насыщения – около 10 мг/л. Реальное увеличение концентрации растворенного
кислорода в резервуаре не может произойти быстрее, чем за 10…20 минут. Поэтому такое значительное изменение сигнала в течение минуты должно считаться посторонним. Управляющая система может использовать эту ситуацию как
признак того, что произведена калибровка, и переустановить внутренние переменные.
2. Масштабирование и линеаризация
Собранные значения входного измерительного сигнала во избежание недоразумений и ошибок должны быть пересчитаны в соответствующие инженерные единицы измерения. Преобразование от внутреннего представления y к инженерным единицам z обычно можно произвести с помощью простой линейной
зависимости
z = k1 y + k2 ,
где k1 и k2 - константы.
Для нелинейных датчиков эта зависимость выражается более сложной
функцией или таблицей преобразования. Зависимость становится более сложной, если характеристики датчика имеют зону нечувствительности или гистерезис; в последнем случае должно быть известно направление изменения сигнала –
возрастание или убывание.
В разделе 4.2 обсуждалось, как использовать весь диапазон АЦП для сохранения приемлемой точности. Если измерительный сигнал превышает диапазон АЦП, то необходимо проверить, что выход преобразователя не "провернулся" и не начал снова отсчет с нуля – величина 10.1 В может, например, быть
представлена как 0.1 В, если предел диапазона АЦП равен 10В. Эта возможность
уже предусмотрена в качестве стандартной процедуры во многих системах и
177
устройствах сбора данных; однако двойной контроль помогает защититься от
неожиданностей.
3. Другие операции обработки данных
Усреднение. Влияние ошибок измерений можно уменьшить с помощью
простого усреднения. Например, АЦП может быть запрограммирован для выборки сигнала в 10 раз быстрее, чем необходимо, и тогда грубое значение можно
получить как среднее за 10 интервалов выборки. Дополнительно можно отбросить одно-два значения, не укладывающихся в общую тенденцию изменения
данных за период усреднения, т. е. слишком больших или слишком маленьких.
Это полезно в тех случаях, когда входной сигнал остается постоянным в течение
периода усреднения, а его колебания вызваны шумом с нулевым средним значением.
Калибровка и компенсация дрейфа. Значения входного измерительного
сигнала часто нуждаются в компенсации дрейфа или погрешностей калибровки
датчиков или электронных устройств. Для этой цели входные усилители и АЦП
должны тестироваться и, при необходимости, проходить калибровку с помощью
известного и точного эталона напряжения. В некоторых случаях вся процедура
калибровки может проводиться автоматически под управлением программного
обеспечения.
Построение графиков. Построение графика изменения сигнала во времени
или как функции другого сигнала позволяют выявить следующие детали:
-
исключительные или необычные возмущения;
-
потерю значений;
-
периодические колебания.
Поэтому средства построения графиков являются важной частью любых
компьютерных систем управления.
178
Программное обеспечение для анализа данных. Коммерческих программ
для анализа и фильтрации данных очень много. Одним из наиболее широко используемых в академической и научной среде пакетов является МАТLАВ.
МАТLАВ – это инженерный пакет для обработки и визуального представления,
который объединяет в общую среду процедуры численного анализа, матричных
вычислений, обработки сигналов и графического представления данных.
МАТLАВ можно расширить дополнительными инструментальными средствами
для конкретных приложений, например для фильтрации. Средства обработки
сигналов включают в себя цифровую обработку, анализ временных рядов и
функции для конструирования и анализа цифровых фильтров. Средства системной идентификации обеспечивают возможность параметрического моделирования и описания систем. Среди многих стандартных структур, представленных в
МАТLАВ, есть и модели авторегрессионного фильтра скользящего среднего.
4 Структура данных для обработки измерений
Каждый входной измерительный сигнал связан с определенным набором
параметров; эти параметры используются программами ввода и обработки измерений. Структура хранения этих параметров должна быть организована таким
образом, чтобы различные процедуры (подпрограммы или отдельные модули)
могли легко к ним обращаться. Наиболее важные параметры, используемые в
обработке измерений, включают в себя:
-
указатели на данные измерений;
-
адрес входного порта измерительной информации;
-
интервал выборки;
-
коэффициенты пересчета сигнала;
-
параметры датчика;
-
пороговые значения для физического процесса (полоса гистерезиса с
первым и вторым сигнальными пределами);
179
-
допустимая скорость изменения;
-
параметры фильтра ai , b j , α ; ;
-
результат измерений до и после обработки;
-
логические переменные, управляющие подключением тех или иных
процедур, например линеаризации, пересчета входных данных, фильтрации, обработки нештатных ситуаций.
Вышеперечисленные параметры имеют разные форматы: одним соответствуют целые числа, другим – вещественные, третьим – логические переменные
или символьные строки. Конкретное представление зависит от используемой
вычислительной платформы и языка программирования.
4.6. ВЫВОДЫ
Частота выборки аналоговых сигналов является фундаментальным параметром обработки измерений в цифровой системе управления. В идеале эта частота должна быть, по крайней мере, вдвое больше самой высокой частотной составляющей исходного сигнала; на практике она должна быть еще выше для
правильного восстановления сигнала за конечное время. К тому же если частота
выборки мала и на исходный сигнал наложен высокочастотный шум, то в дискретном сигнале появляются псевдочастотные искажения – ложные частоты.
После дискретизации уже невозможно отделить ложную информацию от исходной, "правильной".
Для преобразования аналогового сигнала в цифровой необходимо убедиться в том, что преобразователи обладают достаточным быстродействием, их
точность соответствует приложению и диапазон преобразования используется
полностью.
Высокочастотные компоненты сигнала, обычно появляющиеся из-за шумов и наводок, должны быть устранены либо подавлены до выборки. Чтобы ис-
180
ключить все составляющие с частотами, превышающими половину частоты выборки, применяются аналоговые фильтры низкой частоты (противопсевдочастотные).
Аналоговый фильтр можно сконструировать для подавления либо низких,
либо высоких частот. Очень часто эти фильтры реализуются на основе операционных усилителей, поэтому их надо применять с осторожностью, так как операционные усилители имеют ограниченный частотный диапазон и не реагируют на
очень высокие частоты.
Цифровая фильтрация – хороший метод извлечения полезной информации
из сигнала. В этой главе было рассмотрено, как реализовать ФНЧ и ФВЧ низких
порядков. На практике широко используются простые фильтры скользящего
среднего и цифровые экспоненциальные фильтры низкой частоты первого порядка. Фильтры более высокого порядка можно легко реализовать программным
способом. Наконец сигнал должен пройти несколько проверок перед тем, как он
поступит на вход алгоритма управления. Наиболее важные из них обсуждены в
этой главе.
181
ГЛАВА 5. СТРУКТУРЫ УПРАВЛЕНИЯ ЦИФРОВЫХ
РЕГУЛЯТОРОВ
5.1
АНАЛОГОВЫЕ
(НЕПРЕРЫВНЫЕ)
И
ДИСКРЕТНЫЕ
РЕГУЛЯТОРЫ
Регуляторы можно строить на основе как аналоговой, так и цифровой техники. Соответственно для анализа и проектирования аналогового и цифрового
регулятора требуются разные математические методы. Хотя цифровая технология позволяет хорошо моделировать работу аналоговой системы управления,
т. е. реализовать аналоговые понятия цифровыми средствами, ее возможности
гораздо шире. Например, можно построить нелинейные и самонастраивающиеся
регуляторы, которые нельзя создать на основе только аналоговых средств. Главная проблема цифрового управления – найти соответствующую структуру регулятора и его параметры. После определения этих параметров реализация алгоритмов управления обычно представляет собой простую задачу. Помимо этого,
каждый регулятор должен включать средства защиты, предотвращающие опасное развитие процесса под действием регулятора в нештатных ситуациях.
Многие производственные процессы характеризуются несколькими входными и выходными параметрами (раздел В.3). В большинстве случаев внутренние связи и взаимодействие соответствующих сигналов не имеют принципиального значения, и процессом можно управлять с помощью набора простых регуляторов, при этом каждый контур управления обрабатывает одну пару
вход/выход. Такой подход используется в системах прямого цифрового управления.
182
1. Квантование сигналов
При цифровом управлении сигнал аналогового датчика должен быть представлен в цифровом виде с помощью процедуры квантования и АЦпреобразования – этот процесс называется оцифровкой. На основании входных
данных цифровой регулятор вырабатывает соответствующее управляющее значение, поступающее на вход ЦАП, выходной сигнал которого, т. е. управляющий сигнал u(t) посылается исполнительному механизму. Управляющий сигнал
u(t) обычно сохраняет постоянное значение в течение интервала выборки (разделы 4.1 и 4.2). В некоторых случаях выход цифрового регулятора представляет
собой не аналоговый сигнал, а последовательность импульсов, предназначенных
для конкретного исполнительного механизма, например для шагового двигателя.
Моменты активизации алгоритма управления обычно задаются с помощью
таймера, т. е. регулятор включается периодически. Такая схема отличается от
асинхронного исполнения при последовательном управлении. Если несколько
управляющих алгоритмов (регуляторов) исполняются на одной ЭВМ, они не могут работать абсолютно одновременно, поскольку программы получают управление поочередно. Этот факт важно учитывать, если выход одного регулятора
является входом для других. В распределенных системах с несколькими процессорами синхронизировать различные задачи управления обычно не требуется.
2. Проектирование аналоговых и дискретных регуляторов
Регулятор в составе цифровой системы управления по определению является дискретным. Однако традиционно большинство динамических систем описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, которые выводятся из физических законов, например сохранения массы и энергии. Аналоговый
регулятор можно спроектировать на основе описания непрерывной системы с
помощью передаточной функции или в пространстве состояний; соответствующие методы хорошо известны из теории управления. Для того чтобы аналоговый
183
регулятор реализовать компьютерными средствами, его модель необходимо подвергнуть процедуре квантования. При цифровом управлении можно идти другим
путем, а именно: использовать в качестве исходной дискретную динамическую
модель процесса, а затем спроектировать регулятор непосредственно на основе
этой модели.
В общем случае если регулятор сначала проектируется как аналоговый, а
затем преобразуется в дискретную форму, то интервал выборки обычно меньше,
чем в случае, если регулятор спроектирован на основе дискретной модели; это
означает более высокую загрузку процессора. Поэтому квантование аналоговых
регуляторов обычно не рекомендуется, однако, большинство ПИД-регуляторов
проектируется таким способом.
Уравнения цифровых регуляторов, спроектированных непосредственно на
основе дискретной модели процесса, похожи на уравнения аналоговых регуляторов после процедуры квантования, хотя и имеют другие значения коэффициентов. Это означает, что соответствующие программы мало отличаются друг от
друга. Более того, можно создать программу обобщенного регулятора с последующей параметрической настройкой характеристик. Этот подход рассмотрен в
разделах 5.3 и 5.4.
Анализ непрерывных и дискретных линейных систем выполняется сходным образом. Многие принципы являются общими как для непрерывного, так и
для дискретного подхода. Простые структуры регуляторов рассмотрены ниже
вначале с аналоговых, а затем – с дискретных позиций.
В этой главе предполагается, что все линейные регуляторы с одним входом и одним выходом можно представить в обобщенном виде
u (kh) = −ru
1 ⎡
⎣( k − 1) h ⎤⎦ − ... − rnu ⎡⎣( k − n ) h ⎤⎦ + t0uc (kh) + t1uc [ (k − 1)h ] + ... + tnuc ⎡⎣( k − n ) h ⎤⎦
− s0 y (kh) − s1 y ⎡⎣( k − 1) h ⎤⎦ − ... − sn yu ⎡⎣( k − n ) h ⎤⎦ ,
где u – это выход регулятора (управляющая переменная физического/технического процесса), uc – опорное значение, а y – выходной сигнал физи-
184
ческого процесса (управляемая переменная). Параметр n представляет собой порядок регулятора. Обычный ПИД-регулятор может рассматриваться как частный
случай обобщенного дискретного регулятора при n = 2. В этой главе мы не будем подробно останавливаться на выборе коэффициентов ri, ti, si. Основное внимание будет уделено применению этого регулятора и его программной реализации. Хотя большинство процессов в действительности нелинейны, тем не менее,
с помощью линейных регуляторов можно успешно управлять значительной частью таких систем.
5.2. РЕАЛИЗАЦИЯ ЦИФРОВОГО ПИД-РЕГУЛЯТОРА
При реализации регулятора необходимо принять во внимание много различных факторов. Прежде всего следует разработать дискретную модель регулятора и определить соответствующую частоту выборки. Амплитуда выходной величины регулятора должна быть "реалистичной", т. е. находиться между минимальным и максимальным допустимыми значениями. Это ограничение вызывает
дополнительные проблемы при реализации и эксплуатации. Во многих приложениях должен быть ограничен не только выходной сигнал, но и скорость его
изменения из-за физических возможностей исполнительных механизмов и предотвращения их чрезмерного износа. Изменение настроек параметров и переключение с автоматического режима работы на ручной или другие изменения
условий эксплуатации не должны приводить к возмущениям регулируемого
процесса. Все эти проблемы рассмотрены в этом разделе.
Регуляторы можно создать по аналоговой технологии на базе операционных усилителей или, что становится все более распространенным, как цифровые
устройства на основе микропроцессоров. При этом они имеют практически одинаковый внешний вид – регулятор заключен в небольшой прочный корпус, который допускает установку в промышленной среде.
185
Несмотря на то что цифровая технология имеет много преимуществ, аналоговый подход по-прежнему сохраняет свои позиции, так как он является основой для цифровых решений. К очевидным преимуществам цифровых регуляторов относится возможность с помощью каналов связи соединять их друг с другом, что позволяет производить обмен данными и применять удаленное управление. В этом разделе приведен пример программы для цифрового ПИДрегулятора.
1. Дискретная модель ПИД-регулятора
Для того чтобы аналоговый регулятор реализовать программно, необходима его дискретная модель. Для этого применяются те же методы, которые описаны в разделе 4.4 для низкочастотных и высокочастотных аналоговых фильтров и
их преобразования в цифровые.
Если регулятор первоначально проектируется на базе аналогового описания, а затем строится его дискретная модель, при достаточно малых интервалах
выборки производные по времени заменяются конечными разностями, а интегрирование – суммированием. Этот подход будет использован и в данном случае.
Ошибка выходной величины процесса вычисляется для каждой выборки
e ( kh ) = uc ( kh ) − y ( kh ) .
(5.1)
Предполагается, что интервал выборки h является постоянным. Любые
изменения сигнала, которые могли подойти в течение интервала выборки, не
учитываются (раздел 4. 1).
Существует два типа алгоритма регулятора – позиционный и приращений.
Позиционный алгоритм
В позиционном алгоритме (position form) выходной сигнал представляет
собой абсолютное значение управляющей переменной исполнительного механизма. Дискретный ПИД-регулятор имеет вид
186
u ( kh ) = u0 + u p ( kh ) + u1 ( kh ) + u D ( kh ) .
(5.2)
Даже при нулевой ошибке управления выходной сигнал отличен от нуля и
определяется смещением u0.
Известно, что пропорциональная часть регулятора имеет вид
u p ( kh ) = Ke ( kh ) .
(5.3)
Интеграл аппроксимируется конечными разностями
uI ( kh ) = uI ⎡⎣( k − 1) h ⎤⎦ + K
h
e ( kh ) = uI ⎡⎣( k − 1) h ⎤⎦ + Kα e ( kh )
Ti
(5.4)
с постоянной
α=
h
.
Ti
(5.5)
Величина второго слагаемого при малых h и больших Ti может стать очень
маленькой, поэтому нужно позаботиться о том, чтобы обеспечить необходимую
точность его машинного представления.
Дифференциальная часть ПИД-регулятора представляется выражением
U D ( s ) = −K
Td s
Y (s) .
Td
1+ s
N
(5.6)
Соответствующие дифференциальные уравнения, связывающие u D ( t ) и
у(t), имеют вид
dxD N
= ⎡ − xD ( t ) + y ( t ) ⎤⎦ ,
dt Td ⎣
(5.7)
uD ( t ) = KN ⎡⎣ − y ( t ) + xD ( t ) ⎤⎦ ,
(5.8)
где xD ( t ) вводится как переменная состояния (это можно проверить, применив
преобразование Лапласа к уравнениям (5.7) и (5.8) и исключив xD ( t ) . Производная в уравнении (5.7) аппроксимируется разностью назад
xD ( kh ) = β xD ⎡⎣( k − 1) h ⎤⎦ + (1 − β ) y ( kh ) ,
(5.9)
187
где
−1
⎡ hN ⎤
Td
,
β = ⎢1 +
⎥ =
Td + hN
⎣ Td ⎦
(5.10)
Следует обратить внимание, что аппроксимация разностью назад является
численно устойчивой при любых Td. Используя уравнение (5.9) совместно с
(5.8), дифференциальную часть ПИД-регулятора можно представить как
uD ( kh ) = β u D ⎡⎣( k − 1) h ⎤⎦ − K
Td
(1 − β ) ⎡⎣ y ( kh ) − y ⎡⎣( k − 1) h ⎤⎦ ⎤⎦ . (5.11)
h
В дальнейшем считается, что 0 ≤ β < 1 . Если постоянная времени Тf дифференциального члена становится равной нулю (т.е. N → ∞ ), то β = 0 и дифференцирование описывается простой разностной аппроксимацией выходного сигнала
dy/dt. Аналогично, условие Тd = 0 ведет к β = 0, что приводит к uD (kh) = 0 , т. е.
дифференциальная составляющая в регуляторе отсутствует.
Алгоритм приращений
Альтернативным подходом является алгоритм ПИД-регулятора, в котором
вычисляется лишь изменение его выходного сигнала. Алгоритм приращений (incremental form) ПИД-регулятора удобно применять, если исполнительный механизм представляет собой разновидность интегратора, например шаговый двигатель. Другой пример такого исполнительного механизма – клапан, открытие и
закрытие которого управляется импульсами и который сохраняет свое положение при отсутствии входных сигналов.
В алгоритме приращений рассматриваются только изменения управляющего выходного сигнала от момента времени (k - 1)/h до момента kh. Алгоритм
регулятора записывается в виде
Δu ( kh ) = u ( kh ) − u ⎡⎣( k − 1) h ⎤⎦ = Δu p ( kh ) + ΔuI ( kh ) + Δu D ( kh ) . (5.12)
188
Пропорциональная часть алгоритма приращений вычисляется из уравнения (5.3)
Δu p ( kh ) = u p ( kh ) − u p ⎡⎣( k − 1) h ⎤⎦ = K ⎡⎣ e ( kh ) − e ⎡⎣( k − 1) h ⎤⎦ ⎤⎦ = K Δe(kh) , (5.13)
интегральная часть – из уравнения (5.4)
Δu I ( kh ) = u I ( kh ) − u I ⎡⎣( k − 1) h ⎤⎦ = Kα e ( kh ) ,
(5.14)
и дифференциальная часть – из уравнения (5.11)
Δu D ( kh ) = βΔu D ⎡⎣( k − 1) h ⎤⎦ − K
Td
(1 − β ) ⎡⎣ Δy ( kh ) − Δy ⎡⎣( k − 1) h ⎤⎦ ⎤⎦ ,
h
(5.15)
где Δy ( kh ) = y ( kh ) − y ⎡⎣( k − 1) h ⎤⎦ .
С вычислительной точки зрения алгоритм чрезвычайно прост. Для его
применения, как правило, достаточно операций с плавающей точкой ординарной
точности. В этом алгоритме не возникает проблем из-за насыщения (пункт 4).
При переключении с ручного режима на автоматический регулятор, вычисляющий приращения, не требует присвоения начального значения управляющему
сигналу (u0 в позиционном алгоритме, уравнение (5.2)). Исполнительный механизм можно привести в необходимое положение во время пуска как при ручном,
так и при автоматическом управлении.
Небольшим недостатком алгоритма приращений является необходимость
учитывать интегральную составляющую. Опорное значение сокращается как в
пропорциональной, так и дифференциальной частях, начиная со второй выборки
после его изменения. Поэтому если используется регулятор на базе алгоритма
приращений без интегральной составляющей, возможен дрейф управляемого
процесса от опорного значения.
189
2. Определение частоты выборки в системах управления
Оцифровка аналоговых сигналов и определение необходимой частоты выборки обсуждались в разделе 4.1. Определение адекватной частоты выборки для
процесса управления представляет собой нетривиальную задачу и скорее может
рассматриваться как искусство, чем наука. Слишком малая частота выборки может снизить эффективность управления, в особенности способность системы
компенсировать возмущения. Однако если интервал выборки превосходит время
реакции процесса, возмущение может повлиять на процесс и исчезнуть прежде,
чем регулятор инициирует корректирующее действие. Поэтому при определении
частоты выборки важно учитывать как динамику процесса, так и характеристики
возмущения.
С другой стороны, частота выборки не должна быть слишком высокой, так
как это приведет к повышенной загрузке компьютера и износу исполнительного
механизма. Таким образом, определение частоты выборки представляет собой
компромисс между требованиями динамики процесса и доступной производительностью компьютера и других технологических механизмов. Стандартные
цифровые регуляторы, работающие с небольшим числом контуров управления
(от 8 до 16), используют фиксированную частоту выборки порядка долей секунды.
На частоту выборки также влияет соотношение сигнал/шум. При малых
значениях этого соотношения, т. е. при больших шумах, следует избегать высокой частоты выборки, потому что отклонения в измерительном сигнале скорее
связаны с высокочастотным шумом, а не с реальными изменениями в физическом процессе.
Главная задача первичной обработки сигнала заключается в его оцифровке
и последующем восстановлении по набору дискретных значений. Теорема дискретизации (раздел 4.1) не учитывает продолжительность вычислений для восстановления сигнала, и в теории это время может быть бесконечным. Более того,
190
сигнал, анализируемый этой теоремой, считается периодическим, а в реальных
системах управления это обычно не так. Эти факторы также влияют на частоту
выборки.
Принято считать, что адекватная частота выборки связана с полосой пропускания или временем установления замкнутой системы. Некоторые эмпирические правила рекомендуют, чтобы частота выборки была в 6…10 раз выше, чем
полоса пропускания, или чтобы время установления соответствовало по крайней
мере пяти интервалам выборки.
Предыдущее обсуждение базировалось на непрерывном (аналоговом) описании системы. Один из способов определить подходящую частоту выборки
замкнутой системы – считать, что аналоговая система подключена к цепи выборки и хранения нулевого порядка (раздел 4.1). Такую цепь можно аппроксимировать временной задержкой, равной половине интервала выборки, что соответствует отставанию по фазе на 0,5hwc радиан, где wc – ширина полосы пропускания (по уровню 3 дБ) и h – интервал выборки. В случае если допустимо дополнительное отставание по фазе на 5…15° (0.09…0.26 рад), связанное с цепью задержки, справедливо следующее утверждение
hωc ≈ 0,15…0,5.
Это правило обычно приводит к достаточно высокой частоте выборки, и в
результате частота Найквиста оказывается значительно выше, чем ширина полосы пропускания системы. Оно используется в коммерческих цифровых одно- и
многоконтурных ПИД-регуляторах. Другие правила для определения частоты
выборки описываются в специальной литературе.
3. Ограничение управляющего сигнала
Выходной сигнал регулятора должен иметь ограниченную амплитуду по
крайней мере по двум причинам. Во-первых, амплитуда выходного сигнала не
может превышать диапазон ЦАП на выходе компьютера; во-вторых, рабочий
191
диапазон исполнительного механизма всегда ограничен. Клапан нельзя открыть
больше, чем на 100 %, на двигатель нельзя подавать неограниченный ток и напряжение. Поэтому алгоритм управления должен включать какую-либо функцию, ограничивающую выходной сигнал.
В некоторых случаях должна быть определена зона нечувствительности,
или мертвая зона (deadband). Если используется регулятор с алгоритмом приращений, то изменения управляющего сигнала могут быть настолько малы, что исполнительный механизм не сможет их обработать. Если управляющий сигнал
достаточен для того, чтобы воздействовать на исполнительный механизм, целесообразно избегать малых, но частых срабатываний, которые могут ускорить его
износ. Простым решением является суммирование малых изменений управляющей переменной и выдача управляющего сигнала исполнительному механизму
лишь после того, как будет преодолено некоторое пороговое значение. Разумеется, зона нечувствительности имеет смысл, только если она превосходит разрешение ЦАП на выходе компьютера.
4. Предотвращение интегрального насыщения
Интегральное насыщение (integral windup) представляет собой эффект, который наблюдается, когда ПИ- или ПИД-регулятор в течение длительного времени должен компенсировать ошибку, лежащую за пределами диапазона управляемой переменной. Поскольку выход регулятора ограничен, ошибку сложно
свести к нулю.
Если ошибка управления длительное время сохраняет знак, величина интегральной составляющей ПИД-регулятора становится очень большой. Это, в частности, происходит, если управляющий сигнал ограничен настолько, что расчеты и выход регулятора отличается от реального выхода исполнительного механизма. Так как интегральная часть становится равной нулю лишь некоторое время спустя после того, как значение ошибки изменило знак, интегральное насы-
192
щение может привести к большому перерегулированию (overhoot). Интегральное
насыщение является результатом нелинейностей в системе, связанных с ограничением выходного управляющего сигнала, и может никогда не наблюдаться в
действительно линейной системе.
Рассмотрим сказанное на примере. ПИ-регулятор, основанный на позиционном алгоритме, используется для управления сервомотором. Опорное значение для угла поворота оси двигателя изменяется настолько, что происходит насыщение выходного управляющего сигнала – напряжения, подаваемого на двигатель. В действительности ускорение двигателя ограничено. Переходная характеристика угла поворота оси двигателя показана на рис. 5.1.
Величина интегральной составляющей ПИ-регулятора пропорциональна
площади, ограниченной переходной характеристикой у и опорным значением uc.
Если ошибка uc ( t ) − y ( t ) положительна, интегральный член будет возрастать; в
противном случае он уменьшается. Пока управляющий сигнал неограничен, насыщение отсутствует. Если управляющий сигнал ограничен (рис. 5.1 б), реакция
становится более медленной и интегральная часть увеличивается до тех пор, пока ошибка не изменит знак при t = t1 . Однако даже после изменения знака ошибки управляющий сигнал u остается большим и положительным в течение длительного времени, что приводит к значительному перерегулированию по у(t).
Одним из способов ограничить влияние интегральной части заключается в
условном интегрировании. Пока ошибка достаточно велика, ее интегральная
часть не требуется для формирования управляющего сигнала, а для управления
достаточно пропорциональной части. Интегральная часть, используемая для устранения стационарных ошибок, необходима только в тех случаях, когда ошибка
относительно невелика. При условном интегрировании эта составляющая учитывается в окончательном сигнале, только если ошибка не превосходит определенного порогового значения. При больших ошибках ПИ-регулятор работает как
пропорциональный регулятор. Выбор порогового значения для активизации ин-
193
тегрального члена – далеко не тривиальная задача. В аналоговых регуляторах
условное интегрирование можно выполнить с помощью диода Зинера (ограничителя), который подключается параллельно с конденсатором в цепи обратной
связи операционного усилителя в интегрирующем блоке регулятора. Такая схема
ограничивает вклад интегрального сигнала.
В цифровых ПИД-регуляторах избежать интегрального насыщения можно
более удобным способом. Интегральную часть можно настроить на каждом интервале выборки так, чтобы выходной сигнал регулятора не превышал определенного предела. Управляющий сигнал ud сначала вычисляется с помощью алгоритма ПИ-регулятора, а затем следует проверять, превышает ли он установленные пределы
u = umin , если ud < umin ;
u = ud , если umin ≤ ud < umax ;
(5.16)
u = umax , если ud ≥ umax .
Случай а соответствует переходной характеристике без ограничения
управляющего сигнала, поэтому насыщения нет; значения параметров управления – К = 0.4, hK/Ti= 0.04. В случае б управляющий сигнал ограничен величиной
0.1; параметры К и Тi такие же, как в первом случае; механизм предотвращения
интегрального насыщения отсутствует. В случае в показано действие механизма
предотвращения интегрального насыщения в соответствии с уравнением (5.17);
дополнительный параметр Тt = 5
194
Рис. 5.1. Иллюстрация проблемы интегрального насыщения для привода
позиционирования с ПИ-регулятором
На рис. 5.1 отчетливо видна разница между непрерывными сигналами измерений и дискретными управляющими сигналами регулятора
После ограничения выходного сигнала интегральная часть регулятора
сбрасывается. Ниже приведен пример программы ПИ-регулятора с защитой от
насыщения до тех пор, пока управляющий сигнал остается в установленных пределах, последний оператор в тексте программы не влияет на интегральную часть
195
регулятора.
(*инициализация*)
c1:=K*h/Ti;
….
(*регулятор*)
…..
е := uc-y;
Ipart:=Ipart+c1*e;
ud := К*е +Ipart; (* вычисление сигнала управления *)
if (ud< umin) then u:=umin (* функция ограничения *)
else if (ud < umax) then u:= ud
else ud:= umax;
Iраrt:= u-K*e;
(* "антинасыщающая" поправка *)
(* интегральной части *)
…..
Для предотвращения насыщения у ПИД-регулятора описанный метод следует несколько видоизменить. Интегральная часть обновляется с помощью значения es = u − ud , которое представляет собой разность между реальным текущим выходом исполнительного механизмам и расчетным выходом регулятора
ud . Выход исполнительного механизма либо измеряется непосредственно, если
это возможно, либо вычисляется с помощью модели. Погрешность es равна нулю, если исполнительный механизм обеспечивает требуемый управляющий сигнал и насыщения нет. Для сброса интегральной части сигнал еs умножается на
множитель 1/Тt,, где Тt представляет собой коэффициент, который называется
постоянной времени слежения (tracking time constant). В алгоритме ПИрегулятора, приведенном выше, эта постоянная времени равна h, т. е. обновление
выходной величины регулятора происходит уже к моменту следующей выборки.
196
Если алгоритм регулятора содержит дифференциальную часть, целесообразно
обновлять интеграл гораздо реже. Соответствующее значение для постоянной
времени слежения Тt равно времени интегрирования Тi. При этом выходная величина ПИ регулятора равна
t
⎡
⎤ 1 t
1
ud ( t ) = u p + u I = K ⎢e ( t ) + ∫ e (τ ) dτ ⎥ + ∫ ⎡⎣u (τ ) − ud (τ ) ⎤⎦dτ ,
Ti 0
⎣
⎦ Tt 0
где u – ограниченное значение ud (5.1,6). Если управляющий сигнал насыщен, то
разность u-ud будет изменять интегральную часть до тех пор, пока насыщение не
исчезнет, т. е. насыщение предотвращается. Этот метод соответствует рис. 5.1,в.
Дифференцируя интегральную часть, получим
du I K
1
= e + (u − ud )
dt Ti
Tt
или в дискретном виде
uI ⎡⎣( k + 1) h ⎤⎦ = uI (kh) + h
K
h
e(kh) + ⎡⎣u ( kh ) − ud (kh) ⎤⎦ . (5.17)
Ti
Tt
В результате алгоритм ПИ-регулятора принимает вид
ud ( kh ) = Ke ( kh ) + u I (kh) ,
(5.18)
где uI (kh) определяется из уравнения (5.17). В данном случае интегрирование
аппроксимировано разностями вперед вместо разностей назад. Такая замена необходима, поскольку ud (kh) должно быть известно до вычисления интегральной
части. Эта модифицированная и улучшенная процедура предотвращения интегрального насыщения (5.17) и (5.18) включена в алгоритм ПИД-регулятора в
пункте 8.
197
5. Плавный переход при изменении режима работы регулятора
При переключении с ручного на автоматический режим выход регулятора
может измениться скачком, даже если ошибка управления равна нулю. Причина
в том, что интегральный член в алгоритме регулятора не всегда обязательно равен нулю. Регулятор является динамической системой, и интегральная часть
представляет собой один из элементов внутреннего состояния, который должен
быть известен при изменении режима управления. Скачок выходной величины
регулятора можно предотвратить, а смена режима в этом случае называется
плавным переходом (bumpless trasfer). В этой связи рассмотрим две ситуации:
-
переход с ручного на автоматический режим или наоборот;
-
изменение параметров регулятора.
Плавный переход с ручного на автоматический режим для аналогового регулятора достигается за счет того, что процесс вручную приводится к состоянию, в котором измеренное значение выходной величины равно опорному. Процесс поддерживается в этом состоянии до тех пор, пока выходной сигнал регулятора равен нулю. В этом случае интегральная часть также равна нулю, и поскольку ошибка равна нулю, то достигается плавный переход. Та же процедура
подходит и для цифровых регуляторов.
Другой метод состоит в медленном доведении опорного значения до необходимой конечной величины. Вначале опорное значение устанавливается равным текущему измерению, а затем постепенно вручную доводится до желаемого. Если эта процедура выполняется достаточно медленно, интегральная часть
сигнала регулятора остается настолько малой, что обеспечивается плавность перехода. Очевидным недостатком этого способа является то, что он требует достаточно большого времени, которое зависит от характера процесса.
ПИД-регулятор, основанный на алгоритме приращения (5.12), не требует
вышеописанной процедуры инициализации при изменении режима управления.
Оператор устанавливает исполнительный механизм в положение, соответст-
198
вующее опорному значению, перед переключением с ручного режима на автоматический. В этом случае регулятор не вырабатывает никакого выходного сигнала
для исполнительного механизма до тех пор, пока не возникнет несоответствие
между опорным значением и выходом процесса. Часто при использовании алгоритма приращения важно сохранить и абсолютную величину управляющего сигнала, поскольку оно может потребоваться позже для проверки.
Для цифровых ПИД-регуляторов существует еще одна возможность плавного перехода. Алгоритм управления выполняется даже в режиме ручного
управления. Измеренное значение выходной величины у считывается регулятором, и вычисляется ошибка управления, однако регулятор не вырабатывает выходной сигнал, влияющий на процесс. В этом случае интегральная часть регулятора постоянно обновляется. Если затем переключить регулятор в автоматический режим при условии, что опорное значение равно текущему значению выходной величины процесса, смена режима управления будет плавной.
Основная идея всех процедур плавного перехода заключается в обновлении интегральной части регулятора до такого уровня, что управляющий сигнал
остается неизменным непосредственно перед и сразу после переключения режима.
Еще одна проблема возникает при изменении параметров ПИД-регулятора.
Непосредственно перед этим выходной сигнал регулятора можно представить в
следующем виде (5.2)
u ( t − ) = u0 + u p ( t − ) + u I ( t − ) + u D ( t − ) ,
а сразу после изменения параметров
u ( t + ) = u0 + u p ( t + ) + u I ( t + ) + u D ( t + ) .
Изменение одного или нескольких параметров повлияет на все части регулятора. Плавный переход от одного набора параметров к другому произойдет
лишь в случае, если выход регулятора не изменится, т. е. u(t-) = u(t+), где t – мо-
199
мент изменения параметров. Значение интегральной или дифференциальной
части должно быть откорректировано так, чтобы в момент переключения не
произошло скачка выходного сигнала регулятора. Например, изменение интегральной части выражается следующим образом:
uI ( t + ) = u p ( t − ) + uI ( t − ) + uD ( t − ) − u p ( t + ) − uD ( t + ) .
Плавный переход достигается, если разность u(t+) - u(t-) равна нулю.
6. Ограничение скорости изменения управляющего сигнала
Во многих системах необходимо ограничивать амплитуду или скорость
изменения управляющего сигнала. Для этого используются специальные схемы
защиты, подключаемые после канала ручного ввода опорного значения uc ( t ) и
передающие регулятору отфильтрованный сигнал uL ( t ) , в результате процесс в
действительности «видит» этот управляющий сигнал вместо введенного вручную. Такой способ обычно применяется при регулировании электроприводов.
Ограничение скорости изменения сигнала можно получить с помощью простой
цепи обратной связи (рис. 5.2), на рисунке показана также реакция на скачок
опорного сигнала.
Сигнал ручного управления uc ( t ) , который должен выступать в качестве
опорного, сравнивается с допустимым управляющим сигналом uL ( t ) . Сначала их
разность ограничивается пределами uemin и uemax Затем полученное значение интегрируется, причем интеграл аппроксимируется конечной суммой. Алгоритм
ограничения скости изменения можно записать следующим образом:
…
Ue=uc-uL;
if (ue<uemin) then uelim:=uemin (*функция ограничения*)
else if (ue< uemax) then uelim:=ue
else uelim:=uemax;
200
uL=uL_old+h* uelim;
….
Рис. 5.2. Цепь ограничения скорости изменения сигнала (а); типичная
реакция на скачок опорного сигнала (б)
7. Вычислительные особенности алгоритма ПИД-регулятора
В реальности цифровая реализация ПИД-регулятора из-за последовательного характера вычислений приводит к задержкам, которые отсутствуют при
применении аналоговой технологии. Помимо этого, некоторые практические ограничения, такие как защита от насыщения и алгоритмы плавного перехода, требуют, чтобы выход регулятора и срабатывание исполнительного механизма происходили одновременно. Поэтому вычислительные задержки необходимо свести
к минимуму. Например, некоторые элементы цифрового регулятора можно вычислить до момента выборки. Для регулятора с защитой от насыщения (уравнение (5.17) интегральную часть можно записать следующим образом:
uI ⎡⎣( k + 1) h ⎤⎦ = uI (kh) + c1e(kh) + c2 ⎡⎣u ( kh ) − ud ( kh ) ⎤⎦ ,
(5.19)
где
c1 = K
h
h
; c2 = .
Ti
Tt
(5.20)
Интегральную часть можно вычислить заранее с помощью разностей вперед. Дифференциальную часть (5.11) можно записать как
201
Td
(1 − β ) ⎡⎣ y ( kh ) − y ⎡⎣( k − 1) h ⎤⎦ ⎤⎦ =
h
T
T
− K d (1 − β ) y ( kh ) + β u D ⎡⎣( k − 1) h ⎤⎦ + K d (1 − β ) y ⎡⎣( k − 1) h ⎤⎦
h
h
uD ( kh ) = β uD ⎡⎣( k − 1) h ⎤⎦ − K
или
uD ( kh ) = −c3 y ( kh ) + x ⎡⎣( k − 1) h ⎤⎦ ,
(5.21)
где
c3 = K
Td
(1 − β )
h
(5.22)
и
x ⎡⎣( k − 1) h ⎤⎦ = β u D ⎡⎣( k − 1) h ⎤⎦ + K
Td
(1 − β ) y ⎡⎣( k − 1) h ⎤⎦ = β uD ⎡⎣( k − 1) h ⎤⎦ + c3 y ⎡⎣( k − 1) h ⎤⎦ .
h
Состояние х можно обновить сразу после момента времени kh
x ( kh ) = β u D ( kh ) + c3 y ( kh ) = β ⎣⎡ −c3 y ( kh ) + x ⎡⎣( k − 1) h ⎤⎦ ⎦⎤ + c3 y ( kh ) =
β x ⎡⎣( k − 1) h ⎤⎦ + c3 (1 − β ) y ( kh ) .
.(5.23)
Таким образом, uD ⎡⎣( k − 1) h ⎤⎦ удается вычислить из уравнения (5.21), как
только получен результат измерения y ⎡⎣( k + 1) h ⎤⎦ .
Учитывая вычислительные возможности современных компьютеров, может показаться странным, что приходится затрачивать столько усилий на оптимизацию вычислений. Однако необходимо иметь в виду, что цифровой регулятор иногда должен выполнять несколько тысяч управляющих операций в секунду. В этих условиях имеет значение, будут ли некоторые коэффициенты доступны сразу или их придется вычислять каждый раз заново. Кроме того, промышленные регуляторы, используемые в заводских условиях, не всегда изготавливаются на основе самых быстрых из имеющихся на рынке процессоров. Поэтому
порядок и тип вычислений существенно влияют на скорость операций управления.
202
Промежуточные переменные c1, с2 и с3 не имеют очевидной физической
интерпретации. Вместо них оператор должен видеть значения основных параметров ПИД-регулятора К, Ti, Тd и Тf.
Кроме уже сказанного, необходимо учитывать точность вычислений. В
ПИД-регуляторе на основе алгоритма приращения вычисляются только малые
величины, для хранения которых достаточно короткого машинного слова. В то
же время неточности округления в интегральной части могут вызвать проблемы,
как упомянуто в п.1.
8. Алгоритм ПИД-регулятора
Ниже приведен пример программы ПИД-регулятора на языке Рascal. Вычисление коэффициентов c1, с2 и с3 необходимо производить лишь в случае изменения параметров регулятора К, Ti, Тd и Тf. Алгоритм регулятора выполняется
в момент каждой выборки. Программа так же содержит защиту от насыщения
интегральный составляющей.
(* Предварительное вычисление коэффициентов *)
с1 := К*h/Ti;
(* уравнение 6.38 *)
с2 := h/Тt; (* уравнение 6.38 *)
beta := Тd/(Тd + h*N);
(* уравнение 6.28 *)
сЗ := К*Тd*(1 - bеtа)/h; (* уравнение 6.40 *)
с4 := сЗ*(1 - beta);
(* локальная константа *)
iраrt:= 0;
х := 0;
(* Алгоритм управления *)
uc:=AD_input (ch1);
(*ввод опорного значения *)
(* аналоговый вход *)
y := AD_input (ch2);
(*ввод измерения, аналоговый вход *)
е:=uc-y
(*вычисление ошибки управления*)
203
ppart:=K*e;
(*пропорциональная часть*)
dpart:=x-(c3*y);
(*дифференциальная часть *)
(*уравнение (6.39) *)
ud:=u0+ppart+ipart+dpart
(*выход регулятора до ограничения сигна-
ла*)
if (ud<umin) then u:=umin
(*функция ограничения*)
else if (ud<umax) then u:=ud
else u:=umax;
DA_output (ср1бг)
(* вывод аналогового сигнала управления u,
канал вывода #1*)
ipart:= ipart+c1*e+c2*(u-ud);
(* интегрированная часть с «антинасыще-
нием» *)
(*уравнения (6,35)*)
x:=beta*x+c4*y
(* обновление состояния , уравнение (6.14));
с4
(* вычислено предварительно *)
Серийный ПИД-регулятор изображен на рис. 5.3. На передней панели регулятора отображаются опорные и текущие значения выходных величин процесса. Переключение с ручного режима на автоматический осуществляется кнопками. Прочие клавиши используются для изменения опорных значений и настройки других параметров регулятора.
204
Рис. 5.3. Серийный ПИД-регулятор
9. Применение проблемно-ориентированного блочного языка
Для алгоритмов регулятора можно использовать любой последовательный
язык программирования. Однако на практике обычно используются проблемноориентированные языки высокого уровня, так называемые блочные языки (block
languages). Как и для программируемых логических контроллеров, функции
управления принято обычно изображать в виде блоков, на которых помечены
лишь входные и выходные сигналы, а сам алгоритм не отображается. Естественно, что параметры управления могут изменяться управляющим компьютером. На
рис. 5.4 показано типичное описание ПИД-регулятора на блочном языке. Разработчик с помощью специальных программных средств должен лишь пометить
входы и выходы каждого блока регулятора соответствующими именами переменных и затем соединить блоки между собой и с другими элементами схемы.
Все это выполняется непосредственно на экране компьютера.
На рисунке представлены два ПИД-регулятора, присоединенных к переключателю. Выход одного из двух регуляторов выбирается с помощью двоичного сигнала, подаваемого на переключатель; затем выбранное значение поступает
на аналоговый выходной блок. Вход АUТО представляет собой двоичную пере-
205
менную для переключения с ручного на автоматический режим управления.
Опорное значение подается на вход REF, а измеренное значение выходной величины процесса – на вход обратной связи РВ. Предельные значения управляющего сигнала помечены параметрами НI(gh) и LО(w). Значения параметров настройки регулятора К, Тi и Тd (коэффициент усиления, постоянные времени интегрирования и дифференцирования) показаны ниже его символа. Аналоговая
выходная схема описывается ее номером канала и рабочим диапазоном.
Рис. 5.4.
Функциональная блок-схема из двух ПИД-регуляторов,
подключенных к выходному аналоговому устройству через селектор
206
В дополнение к функциям последовательного управления многие программные пакеты для промышленных приложений включают в себя блоки регуляторов. Законченные блоки для решения стандартных задач включаются в библиотеки программ либо в виде готовых к исполнению (возможно, после редактирования связей) подпрограмм, либо в виде включаемого исходного кода, который пользователь может при необходимости модифицировать. Пользователь,
кроме того, может разработать собственные блоки, реализующие специальные
алгоритмы. Некоторые из подобных программных пакетов обеспечивают большую гибкость, чем непосредственно ПИД-регуляторы. Это позволяет создавать
достаточно сложные программные структуры при относительно малых затратах.
5.3. ОБОБЩЕННЫЙ ЛИНЕЙНЫЙ ДИСКРЕТНЫЙ РЕГУЛЯТОР
Обобщенный линейный дискретный регулятор (general linear discrete controller) – это алгоритм, позволяющий в зависимости от набора параметров получать те или иные структуры цифрового управления. Этот раздел посвящен изучению его свойств.
Очень часто технический процесс, имеющий один вход и один выход, наиболее удобно представлять в виде явной зависимости между входной переменной u и выходной у. В этом случае и управляющий сигнал регулятора можно
представить как явную функцию выходной переменной процесса. Обобщенный
дискретный регулятор записывается в следующем виде:
u ( kh ) = −ru
1 ⎡
⎣( k − 1) h ⎤⎦ − ... − rnu ⎡⎣( k − n ) h ⎤⎦ + t0uc ( kh ) + t1uc ⎡⎣( k − 1) h ⎤⎦ +
... + tnuc ⎡⎣( k − n ) h ⎤⎦ − s0 y ( kh ) − s1 y ⎡⎣( k − 1) h ⎤⎦ − ... − sn y ⎡⎣( k − n ) h ⎤⎦ ,
(5.24)
где u – выход регулятора, uc – опорное значение, у – выходная переменная процесса, у(kh) – последовательность дискретных измерений. Для того чтобы добиться необходимого качества управления, требуется определить параметры
ri , si , ti .
207
Этот регулятор соответствует обобщенному аналоговому регулятору. Так
же как аналоговый регулятор n-го порядка может изменить все полюсы системы
того же порядка, дискретный регулятор может изменить нужным образом динамику дискретной системы n-го порядка. И опять-таки, подобно аналоговому регулятору, обобщенный дискретный регулятор можно расширить с помощью упреждающего управления.
1. Описание обобщенного регулятора с помощью оператора сдвига
Анализ дискретных уравнений упрощается, если использовать оператор
сдвига q. С помощью оператора сдвига q выражение для дискретного регулятора
становится более компактным. Уравнение (5.24) можно записать в виде
u ( kh ) = −r1q −1u ( kh ) − ... − rn q − nu ( kh ) + t0uc ( kh ) + t1q −1uc ( kh ) + tn q − nuc ( kh ) −
− s0 y (kh) − s1q −1 y ( kh ) − ... − sn q − n y ( kh ) .
(5.25)
Выполнив перестановку, получим
⎡⎣1 + r1q −1 + ... + rn q − n ⎤⎦ u ( kh ) = ⎡⎣t0 + t1q −1 + ... + tn q − n ⎤⎦ uc ( kh ) −
− ⎡⎣ s0 + s1q −1 + ... + sn q − n ⎤⎦ y ( kh ) .
Введем полиномы
R* ( q −1 ) = 1 + r1q −1 + ... + rn q − n ;
S * ( q −1 ) = s0 + s1q −1 + ... + sn q − n ;
(5.26)
T * ( q −1 ) = t0 + t1q −1 + ... + tn q − n .
Умножая на qn, получим
R ( q ) = q n R* ( q −1 ) = q n + r1q n−1 + ... + rn ;
S ( q ) = q n S * ( q −1 ) = s0 q n + s1q n−1 + ... + sn ;
(5.27)
T ( q ) = q nT * ( q −1 ) = t0 q n + t1q n−1 + ... + tn .
Регулятор можно записать в виде полинома
R(q )u ( kh) = T ( q)uc ( kh ) − S ( q ) y ( kh ) ,
(5.28)
208
или
u ( kh ) =
T (q)
S (q)
uc ( kh ) −
y ( kh ) = uF 1 ( kh ) − u FB ( kh ) . (5.29)
R(q)
R(q)
Умножение на qn просто означает, что время в уравнении (5.24) сдвинуто
на n интервалов выборки
u ⎡⎣( k + n ) h ⎤⎦ = − ru
1 ⎡
⎣( k + n − 1) h ⎤⎦ − ... − rnu ( kh ) + t0uc ⎡⎣( k + n ) h ⎤⎦ + t1uc ⎡⎣( k + n − 1) h ⎤⎦ +
+... + tnuc ( kh ) − s0 y ⎡⎣( k + n ) h ⎤⎦ − s1 y ⎡⎣( k + n − 1) h ⎤⎦ − ... − sn y ( kh ) .
Уравнение (5.29) формально похоже на уравнение для аналогового регулятора. Оба регулятора содержат две части – управление по возмущению uF 1 ( kh )
и U F 1 ( s ) обратную связь uFB ( kh ) и U FB ( s ) соответственно. Передаточная функция
для управления по возмущению равна Т/R, а для цепи обратной связи – S/R.
2. Свойства обобщенного регулятора
Замкнутый контур управления с обобщенным дискретным регулятором
представлен на рис. 5.5
Рис. 5.5. Обобщенный дискретный регулятор с контуром упреждающего
управления и обратной связью по выходной переменной процесса
Процесс описывается дискретным передаточным оператором H(q)
y ( kh )
B(q)
= H (q) =
,
u ( kh )
A( q )
209
где
A ( q ) = qn + a1q n−1 + ... + an ,
B ( q ) = b0 qn + b1q n−1 + ... + bn .
С помощью уравнения обобщенного регулятора (5.28) отношение
вход/выход для всей замкнутой системы управления (рис. 5.5) можно записать
следующим образом:
y ( kh ) =
TB
AR
uc ( kh ) +
ω ( kh ) .
AR + BS
AR + BS
(5.30)
В этом уравнении первый член определяет передаточный оператор от
опорного значения к выходу процесса у через контуры упреждения и обратной
связи, а второй – передаточный оператор от возмущения ω к выходу у через контур обратной связи.
Параметры полиномов А и В зависят от вида процесса и поэтому считаются постоянными, а параметры полиномов R, S и Т можно настраивать, как и у
аналогового регулятора. Изменяя параметры полиномов R и S, можно произвольно сдвинуть полюса замкнутой системы при условии, что процесс является
управляемым, т. е. полиномы А и В не имеют общих множителей. Это в том числе означает, что неустойчивую, но управляемую систему можно стабилизировать регулятором.
В непрерывной и в дискретной модели полюса можно произвольно изменить при условии, что амплитуда управляющего сигнала не ограничена. Между
тем, в реальной системе всегда есть ограничения на перемещение полюсов. Полюса определяют составляющие динамики реакции системы (т. е. постоянные
времени), а нули – относительный вес этих составляющих. Из уравнения (5.30)
видно, что полином В по-прежнему остается в числителе, поэтому нули не изменяются. Однако, благодаря полиному Т, в замкнутом контуре управления можно
добавить новые нули.
210
Дискретный регулятор легко расширить для компенсации любого возмущения, которое можно измерить. В отличие от аналоговой системы, переменные
здесь – функции времени, а не изображения Лапласа. Передаточный оператор
H(q) соответствует дискретной версии передаточной функции G(s).
Для компенсации влияния возмущения w на выход у дискретный регулятор
с упреждающим управлением по возмущению должен иметь вид
HF2 (q) =
Hω ( q )
.
Ht ( q ) Hv ( q ) H p ( q )
Компенсирующий сигнал упреждающего управления по возмущению
uF 2 ( kh ) = H F 2 ( q ) H t ( q ) w ( kh )
или явно с числителем и знаменателем
uF 2 ( kh ) =
V (q)
w ( kh ) .
R(q)
Динамическая реакция Нt(q) датчика возмущений включена в передаточную функцию регулятора. Как и для аналоговых регуляторов, степень полинома
V(q) выше, чем полинома R(q). Аналоговый упреждающий регулятор включает
производные по времени измеряемого возмущения; в дискретном случае это соответствует операции дифференцирования измерительного сигнала. Таким образом, ясно: для того чтобы с самого начала исключить влияние возмущения, необходимо заранее знать тенденцию его изменения и характер воздействия на
выходную переменную процесса.
211
Рис. 5.6. Блок-схема обобщенного дискретного регулятора
Как и аналоговый, обобщенный дискретный регулятор можно представить
тремя составляющими – контур упреждения по опорному значению, контуров
обратной связи по выходу процесса и контур упреждения по измеренному возмущению (рис. 5.7)
u ( kh ) = u F 1 ( kh ) − u FB ( kh ) − uF 2 ( kh ) =
=
T (q)
S (q)
V (q)
uc ( kh ) −
y ( kh ) −
w ( kh ) .
R(q)
R(q)
R(q)
(5.31)
Оператор обратной связи S/R включает динамику датчика Нm, а оператор
упреждающего управления V/R, компенсирующий возмущение, включает динамику датчика Ht. Уравнение (5.31) в развернутом виде
212
u ( kh ) = −ru
1 ⎡
⎣( k − 1) h ⎤⎦ − rnu ⎡⎣( k − n ) h ⎤⎦ + t0uc ( kh ) +
+t1uc ⎡⎣( k − 1) h ⎤⎦ + ... + tnuc ⎡⎣( k − n ) h ⎤⎦ −
− s0 y ( kh ) − s1 y ⎡⎣( k − 1) h ⎤⎦ − ... − sn y ⎡⎣( k − n ) h ⎤⎦ −
(5.32)
−v0 w ( kh ) − v1w ⎡⎣( k − 1) h ⎤⎦ − ... − vm w ⎡⎣( k − m ) h ⎤⎦ ,
где m ≥ n . Это такое же уравнение, как и (5.24), но с дополнительными слагаемыми: коэффициентами vi, отражающими работу контура упреждающего подавления измеренных возмущений.
Рис. 5.7. Обобщенный дискретный регулятор с упреждением по опорному
значению и возмущению
3. Частные случаи обобщенного дискретного регулятора
Если регулятор (5.28) учитывает только ошибку выходной переменной
e(kh), то полиномы T(q) и S(q) равны
R ( q ) u ( kh ) = T ( q ) ⎡⎣uc ( kh ) − y ( kh ) ⎤⎦ = T ( q ) e ( kh ) .
(5.33)
213
Если сравнить полученное выражение с описанием ПИД-регулятора, то
очевидно, что дискретный ПИД-регулятор фактически есть частный случай
обобщенного дискретного регулятора. Другим важным случаем является компенсация запаздываний; регулятор Смита
также можно представить в виде
обобщенного дискретного регулятора.
Дискретный ПИД-регулятор
Пропорциональный регулятор (5.3) – это простой частный случай обобщенного регулятора. Его уравнение можно записать так
u ( kh ) == Ke ( kh ) = Kuc ( kh ) − Ky ( kh )
R(q)=1; s0=K; t0=K.
Уравнение ПИД-регулятора можно переписать в следующем виде
u ( kh ) = −ru
1 ⎡
⎣( k − 1) h ⎤⎦ − r2u ⎡⎣( k − 2 ) h ⎤⎦ + t0uc ( kh ) + t1uc ⎡⎣( k − 1) h ⎤⎦ +
+t2uc ⎡⎣( k − 2 ) h ⎤⎦ − s0 y ( kh ) − s1 y ⎡⎣( k − 1) h ⎤⎦ − s2 y ⎡⎣( k − 2 ) h ⎤⎦ .
(5.34)
Это выражение получается из уравнения (5.24) при n = 2. Эквивалентность
между уравнением (5.34) и дискретным ПИД-регулятором можно показать, если
последний записать в сжатой форме с оператором q. Интегральная часть (5.4)
принимает вид
uI ( kh ) = q −1u I ( kh ) + Kα e ( kh ) ,
где α определяется выражением (5.5). Разрешая относительно uI ( kh ) , получим
uI ( kh ) =
Kα q
e ( kh ) .
q −1
Аналогично, дифференциальную часть (5.11) можно записать в виде
uD ( kh ) = β q −1uD ( kh ) − K
Td
(1 − β ) (1 − q −1 ) y ( kh ) ,
h
где β определяется выражением (5.10). Разрешая относительно u D ( kh ) , получим
214
uD ( kh ) = − K
Td (1 − β )( q − 1)
y ( kh ) .
h
q−β
Так как 0 ≤ β < 1, система всегда устойчива. Таким образом, для ПИДрегулятора имеем
⎡
αq ⎤
T (1 − β )( q − 1)
u ( kh ) = K ⎢1 +
e ( kh ) − K d
y ( kh ) .
⎥
q
h
q
β
−
1
−
⎣
⎦
Исключая знаменатель, получим
( q − 1) (q − β )u ( kh ) = K ( q − β )( q − 1 + α q ) e ( kh ) − K
Td
2
(1 − β )( q − 1) y ( kh ) ,
h
где e ( kh ) = uc ( kh ) − y ( kh ) .
Простая перестановка членов приводит к
⎡⎣ q 2 − (1 + β ) q + β ⎤⎦ u ( kh ) = ⎡⎣ K (1 + α ) q 2 − K (1 + β + αβ ) q + K β ⎤⎦ uc ( kh ) −
− ⎡⎣ K (1 + α + γ ) q 2 − K (1 + β + αβ + 2γ ) q + K ( β + γ ) ⎤⎦ y ( kh ) ,
(5.35)
где
γ=
Td
(1 − β ) .
h
Полиномы R, S и T вычисляются следующим образом:
RPID ( q ) = q 2 − (1 + β ) q + β ;
TPID (q) = K (1 + α ) q 2 − K (1 + β + αβ ) q + K β ;
(5.36)
S PID (q ) = K (1 + α + γ ) q 2 − K (1 + β + αβ + 2γ ) q + K ( β + γ ) .
Подставляя q, получим
u ⎡⎣( k + 2 ) h ⎤⎦ − (1 + β ) u ⎡⎣( k + 1) h ⎤⎦ + β u ( kh ) = K (1 + α ) uc ⎡⎣( k + 2 ) h ⎤⎦ − K (1 + β + αβ ) uc ⎡⎣( k + 1) h ⎤⎦ +
+ K β uc ( kh ) − K (1 + α + γ ) y ⎡⎣( k + 2 ) h ⎤⎦ + K (1 + β + αβ + 2γ ) y ⎡⎣( k + 1) h ⎤⎦ − K ( β + γ ) y ( kh ) .
Применив операцию сдвига на два интервала выборки назад, выражение
для ПИД-регулятора можно переписать в следующем виде:
215
u ( kh ) − (1 + β ) u ⎡⎣( k + 1) h ⎤⎦ − β u ⎡⎣( k − 2 ) h ⎤⎦ = K (1 + α ) uc [ kh ] − K (1 + β + αβ ) uc ⎡⎣( k − 1) h ⎤⎦ +
+ K β uc ⎡⎣( k − 2 ) h ⎤⎦ − K (1 + α + γ ) y ( kh ) + K (1 + β + αβ + 2γ ) y ⎡⎣( k − 1) h ⎤⎦ −
(5.37)
− K ( β + γ ) y ⎡⎣( k − 2 ) h ⎤⎦ .
Таким образом, регулятор должен помнить управляющие сигналы, опорные и измеренные значения, соответствующие двум предыдущим выборкам.
ПИ-регулятор получается, если положить Td= 0, что соответствует β = 0 и
γ = 0,
u ( kh ) = u ⎡⎣( k + 1) h ⎤⎦ + K (1 + α ) uc ( kh ) − Kuc ⎡⎣( k − 1) h ⎤⎦ −
− K (1 + α ) y ( kh ) + Ky ⎡⎣( k − 1) h ⎤⎦ = u ⎡⎣( k − 1) h ⎤⎦ + K (1 + α ) e ( kh ) − Ke ⎡⎣( k − 1) h ⎤⎦ .
(5.38)
Если дифференциальная часть вычислена по ошибке управления, то полином R не меняется, а полином T становится идентичным полиному S. Относительно уравнения (5.30) можно отметить, что различные варианты ПИДрегулятора добавляют больше или меньше нулей в передаточную функцию контура упреждения, что влияет на поведение всей замкнутой системы.
Связь между параметрами полиномов R, S и Т и собственно параметрами
ПИД-регулятора является достаточно сложной. Параметры этих полиномов не
имеют явного физического смысла, но оператор и не должен их знать. Настройка
управления выполняется с помощью параметров ПИД-регулятора, которые преобразуются программой в параметры полиномов R, S и Т в соответствии с уравнением (5.36).
Компенсация временных запаздываний
Экстраполятор Смита можно рассматривать как частный случай обобщенного дискретного регулятора. Его управляющий сигнал зависит не только от текущих измерений и опорного значения, но также и от изменений управляющего
сигнала в течение времени, соответствующего запаздыванию в регулируемом
процессе.
216
Из выражения (5.27) ясно, что полином R должен иметь достаточный порядок, чтобы учесть временной сдвиг, равный по крайней мере времени запаздывания Тdeley. Другими словами, время, эквивалентное nR интервалам выборки
(nR – степень полинома R), должно быть больше, чем время запаздывания процесса Тdeley. Дискретные значения измеряемой величины и дискретные значения
управляющего сигнала должны быть доступны по крайней мере в течение интервала Тdeley .
Обычно в промышленных приложениях интервал выборки устанавливается так, чтобы время запаздывания Тdeley превосходило его не более чем в пять раз,
т. е. степень полинома R меньше или равна пяти.
Влияние запаздывания, связанного с выполнением вычислений, у дискретного регулятора такое же, как и у ПИД-регулятора (раздел 5.2). Это запаздывание должно быть значительно меньше интервала выборки.
4. Критерии качества дискретного регулятора
В обобщенном виде дискретный регулятор можно настроить так, чтобы он
удовлетворял различным качественным и количественным критериям. Если рабочие характеристики замкнутой системы известны заранее, их можно использовать как базисный критерий для оценки регулятора. В то же время этот критерий
не учитывает в явной форме влияние возмущений. "Классический" критерий для
управления – измеренные значения выходных величин должны как можно
меньше отличаться от опорных. Этот критерий математически формулируется
следующим образом
J mv
1 N
= ∑ ⎡⎣uc ( kh ) − y ( kh ) ⎤⎦
N k =1
2
при N → ∞ . Такой подход известен как критерий минимальной дисперсии (minimum variance criterion). Показатель, вычисленный по той же формуле, но без деления на N, называется суммарным квадратичным отклонением (quadratic control
217
area). В обоих случаях параметры регулятора (5.27) настраиваются, чтобы минимизировать соответствующий показатель.
Критерий минимальной дисперсии или другой интегральный критерий
может привести к неограниченным (математически) управляющим сигналам. Во
всех реальных приложениях управляющий сигнал должен быть ограничен, чтобы, например, избежать износа исполнительных устройств. Ограничения на поведение регулятора можно учесть введением весового коэффициента ρ .
J lq =
2
1 N ⎡
⎡⎣uc ( kh ) − y ( kh ) ⎤⎦ + ρ u 2 ( kh ) ⎤ .
∑
⎦
N k =1 ⎣
Этот критерий называется квадратичной функцией стоимости J lq и быстро
возрастает при увеличении управляющего сигнала. Закон управления, который
минимизирует J lq , называется линейным законом управления, минимизирующим квадратичное отклонение (linear quadratic control law), соответствующий регулятор можно описать в терминах обобщенного регулятора.
В принципе, все регуляторы, которые были упомянуты выше, включая
адаптивные, можно представить в форме уравнения обобщенного регулятора
(5.27). Структура программы обобщенного регулятора не зависит от его сложности и стратегии управления. Вначале выбираются стратегия управления и соответствующий критерий качества, а уже на их основе определяются параметры
обобщенного регулятора.
5.4.
РЕАЛИЗАЦИЯ
ОБОБЩЕННОГО
ДИСКРЕТНОГО
РЕГУЛЯТОРА
Проблемы реализации ПИД-регулятора рассматривались в разделе 5.2.
Часть из них присуща только ПИД-регуляторам, а другие имеют общий характер
и должны решаться для любого регулятора. Общие проблемы включают определение интервала выборки, ограничение управляющего сигнала и скорости его
218
изменения, интегральное насыщение и плавный переход от ручного управления
к автоматическому. Все они рассмотрены здесь еще раз применительно к обобщенному регулятору.
В этом разделе приведен также пример программы обобщенного регулятора с упреждающим управлением по опорному значению и измеряемым возмущениям. Эта программа предназначена для того, чтобы проиллюстрировать различные концепции, и поэтому далеко не оптимальна. Принято, что параметры
полиномов R, S, Т и V известны. Из текста программы ясно, что оператор сдвига
q – это просто сохранение предыдущего значения сигнала. Из-за того что параметры полиномов R, S и T незнакомы большинству инженеров, объяснено преобразование параметров ПИД-регулятора в коэффициенты этих полиномов.
1. Пересчет параметров
Преобразование параметров П ИД-регулятора в коэффициенты полиномов
R, S и T суммировано ниже. Полиномы для ПИД-регулятора задаются выражениями
RPID ( q ) = q 2 − (1 + β ) q + β ;
TPID (q) = K (1 + α ) q 2 − K (1 + β + αβ ) q + K β ;
S PID (q ) = K (1 + α + γ ) q 2 − K (1 + β + αβ + 2γ ) q + K ( β + γ ) .
−1
⎡ hN ⎤
h
Td
; β = ⎢1 +
;
α=
⎥ =
Ti
Td + hN
⎣ Td ⎦
γ=
Td
(1 − β ) .
h
соответственно параметры обобщенного дискретного регулятора
r1 = − (1 + β ) ;
r2 = β ;
s0 =K (1+α +γ ) ;
s1 = − K (1 + β + αβ + 2γ ) ;
s2 = K ( β + γ ) ;
t0 = K (1 + α ) ;
t1 = − K (1 + β + αβ ) ;
t2 = K β .
219
2. Предотвращение интегрального насыщения обобщенного
дискретного регулятора
Как уже указывалось, из-за ограниченности управляющего сигнала может
возникнуть интегральное насыщение (раздел 5.2). Следовательно, в вычислительной процедуре должна быть предусмотрена такая возможность. Выходной
сигнал до ограничения вычисляется по следующему выражению, которое соответствует несколько преобразованному уравнению (5.28):
ud ( kh ) = T * ( q −1 ) uc ( kh ) − S * ( q −1 ) y ( kh ) + ⎡⎣1 − R* ( q −1 ) ⎤⎦ u ( kh ) . (5.39)
В результате ud ограничено в соответствии с выражением (5.16). В уравнении (5.39) амплитуда управляющего сигнала сразу корректируется так, чтобы
она оставалась в заданных пределах. Для частного случая ПИ-регулятора эта
процедура ограничения такая же, как была приведена раньше. Однако для ПИрегулятора в уравнении (5.17) было показано, что коррекция насыщения требует
более чем одного интервала выборки, что заставляет регулятор работать более
плавно. То же относится и к обобщенному регулятору.
Уравнение (5.28) преобразуется следующим образом:
A0* ( q −1 ) u ( kh ) = T * ( q −1 ) uc ( kh ) − S * ( q −1 ) y ( kh ) + ⎡⎣ A0* ( q −1 ) − R* ( q −1 ) ⎤⎦ u ( kh ) ,
A0* ( q −1 ) – полином, который называется наблюдателем (observer), определяет,
насколько быстро корректируется режим насыщения. Тогда обобщенный регулятор с компенсацией насыщения записывается в следующем виде:
A0* ( q −1 ) ud ( kh ) = T * ( q −1 ) uc ( kh ) − S * ( q −1 ) y ( kh ) + ⎡⎣ A0* ( q −1 ) − R* ( q −1 ) ⎤⎦ u ( kh ) (5.40)
или
ud ( kh ) = −a01q −1ud ( kh ) − ... − a0 n q − nud ( kh ) + t0uc ( kh ) +
+t1q −1uc ( kh ) + ... + tn q − nuc ( kh ) −
− s0 y ( kh ) − s1q −1 y ( kh ) − ... − sn q − n y ( kh ) +
+ [ a01 − r1 ] q −1u ( kh ) + ... + [ a01 − rn ] q − nu ( kh ) .
(5.41)
220
Таким образом, сигнал ud ( kh ) ограничен в соответствии с выражением
(5.16).
3. Плавный переход от ручного управления к автоматическому
Проблема плавного перехода от ручного управления к автоматическому
была рассмотрена в разделе 5.2. В принципе, когда происходит переключение
режимов работы, величина управляющего сигнала должна устанавливаться
вручную. Общее решение этой проблемы – при каждом переключении имитировать ввод выходного сигнала регулятора, равного текущему выходному значению, установленному вручную.
4. Вычислительные особенности алгоритма обобщенного регулятора
Рассмотрим в деталях, как вычисляется u ( kh ) . В момент времени kh компьютер считывает значения сигналов uc ( kh ) , y ( kh ) и w ( kh ) ; остальные члены
уравнения (5.32), описывающего дискретный регулятор, к этому моменту уже
известны. Обобщенный регулятор можно записать в следующем виде
u ( kh ) = t0uc ( kh ) − s0 y ( kh ) − v0 w ( kh ) + x ⎡⎣( k − 1) h ⎤⎦ ,
(5.42)
где
x ⎡⎣( k − 1) h ⎤⎦ = − r1u ⎡⎣( k − 1) h ⎤⎦ − ... − rn u ⎡⎣( k − n ) h ⎤⎦ +
t1uc ⎡⎣( k − 1) h ⎤⎦ + ... + tnuc ⎡⎣( k − n ) h ⎤⎦ − s1 y ⎡⎣( k − 1) h ⎤⎦ − ... − sn y ⎡⎣( k − n ) h ⎤⎦ −
−v1w ⎡⎣( k − 1) h ⎤⎦ − ... − vm w ⎡⎣( k − m ) h ⎤⎦ .
Значение x ⎡⎣( k − 1) h ⎤⎦ к моменту времени kh уже вычислено, так что задержки, связанные с компьютерной обработкой, минимальны. Как только вычислен сигнал управления u ( kh ) , можно получить новое значение x, которое будет использовано для вычисления сигнала управления на следующем шаге выборки (рис. 5.8).
221
Рис. 5.8. Последовательность вычислений для обобщенного регулятора
5. Алгоритм обобщенного регулятора
Приведенный алгоритм базируется на уравнении (5.42) и включает код для
предотвращения интегрального насыщения. Параметры регулятора уже преобразованы из стандартной формы во внутреннее представление. В этой программе
на языке Рascal учтены требования работы в режиме реального времени – защита
ресурсов и синхронизация задач.
program general_controller
(* пример обобщенного регулятора*)
const n=5;
(*степень управляющего полинома*)
m=5;
(*степень упреждающего полинома*)
(*по возмущению; m ≥ n *)
var
vect_protect:semapfore;
next_time, delta_time:time(real);
i,j:integer;
out_signal,x:real;
u,uc,y,w:array[0..n] of real;
R, S, T, V: array[0..n] of real;
begin
x:=0;
vect_protect:=1;
222
(*инициализация векторов состояния*)
for i=0 to n do
begin
u [i]:=0;
uc [i]:=0;
y [i]:=0;
w [i]:=0;
end
while true do
(*основной бесконечный цикл*)
begin
(* ввод текущих значений *)
wait_until (next_time);
uc[0]:=AD_input (ch#1); (*ввод опорного значения*)
y[0]:=AD_input (ch#2); (*ввод измерений*)
w[0]:=AD_input (ch#3); (*ввод возмущений*)
(*вычисление управляющего сигнала*)
wait (vect_protect);
(*защита доступа у управляющему
полиному*)
out_signal:= T[0]*uc[0]-S[0]*y[0]-V0*w[0]+x;
signal(vect_protect);
(*снятие защиты управляющего
полинома*)
DA_output (out_signal,ch#10);
(*обновление векторов состояния*)
u[0]:=out_signal;
for i=n downto 1 do
begin
j:=i-1;
(*вывод сигналов управления*)
223
u[i]:=u[j];
uc[i]:=uc[j];
y[i]:=y[j];
end;
for i=m downto 1 do w[i]:=w[i-1]; (*расчет значения x*)
x:=0;
for i=1 to n do
begin
x:=x-R[i]*u[i];
x:=x+T[i]*uc[i];
x:=x-S[i]*y[i];
end;
for i=1 to m do x:= x-V[i]*w[i];
next_time:= next_time+delta_time;
end; (* основной цикл*)
end; (*обобщенный регулятор*)
Функции wait и signal защищают вектора R, S, Т и V, которые являются
общим ресурсом. Как правило, к этим переменным имеет доступ только подпрограмма регулятора, так что серьезных задержек обработки возникать не должно.
Если другая программа получает доступ к коэффициентам регулятора, например
для их обновления, тогда процедура регулятора должна ждать во избежание
конфликта. В многозадачном режиме программа регулятора имеет более высокий приоритет, чем программа, изменяющая коэффициенты. Переменная
next_time используется для того, чтобы избежать ошибок синхронизации.
Как уже неоднократно отмечалось, коэффициенты полиномов обобщенного регулятора не имеют прямой связи с физическими свойствами контура управления. Только в самых простых регуляторах соотношения между коэффициен-
224
тами и физическими свойствами контура управления имеют очевидный смысл.
В П-регуляторе все коэффициенты, кроме s0 и t0, равны нулю. Количество
коэффициентов si и ti, отличных от нуля, задает порядок дискретного управления. ПИД-регулятор имеет второй порядок, поэтому первые три коэффициента в
полиномах R, S и T ненулевые, а все остальные равны нулю (уравнение (5.34)). В
контуре упреждающего управления по возмущениям процесса некоторые из коэффициентов полинома V ненулевые, и то же самое справедливо в отношении
контура упреждающего управления по опорному значению и полинома Т.
В случае регулятора Смита для компенсации задержек в техническом процессе коэффициенты полинома R отличны от нуля, так что предыдущие управляющие сигналы сохраняются в течение такого количества интервалов выборки,
которое соответствует времени задержки Тdelay, плюс порядок системы n, если
Тdelay равно 4 интервалам выборки, а порядок системы равен 2, то старые значе-
ния хранятся в течение 6 интервалов.
Если изменяется интервал выборки, то необходимо изменить и размерность полиномов R, S, Т и V для того, чтобы дискретные значения переменных с
течением времени сдвигались назад и были доступны для вычисления нового
управляющего сигнала.
Ниже приведена программа ввода новых параметров ПИД-регулятора, их
преобразования в коэффициенты полиномов R, S и Т и оперативного обновления
этих коэффициентов, т. е. без прерывания работы регулятора.
procedure parameter_input
лятора и их
(*оперативный ввод параметров ПИД- регу-
(*преобразование в коэффициенты полиномов R, S, T *)
const n=5;
(*степень управляющего полинома*)
var K, Ti, Td, N, sample_h: real;
C_alfa, C_beta, C_gamma: real;
begin
225
while true do (*бесконечный цикл*)
writeln («Введите следующие параметры»);
input «Коэффициент усиления К?» , К;
input «Постоянная времени интегрирования Ti», Ti;
input «Постоянная времени дифференцирования Td», Td;
input «Нормирующий коэффициент уравнения N» , N;
input «Интервал выборки h», sample_h
(*Вычисление новых коэффициентов*)
C_alfa:= sample_h/ Ti;
(* уравнение (6,23)*)
C_beta:= Td/( Td+sample_h*N);
(* уравнение (6,28)*)
C_gamma:= Td*(1- C_beta)/sample_h;
(* уравнение (6,53)*)
(*Вычисление новых полиномов*)
wait (vect_protect);
(*Защита доступа к
управляющему полиному*)
R[0]:=0;
R[1]:=-1- C_beta;
R[2]:= C_beta;
T[0]:=K*(1+ C_alfa);
T[1]:=-K*(1+ C_beta+ C_alfa* C_beta);
T[2]:=K* C_beta;
S[0]:= T[0]+K* C_gamma;
S[1]:=T[1]-2*K* C_gamma;
S[2]:=T[2]+K* C_gamma;
signal(vect_protect);
(*Снятие защиты
управляющего полинома*)
end; (* Бесконечного цикла*)
end; (*parameter_input *)
Процедура parameter_input является универсальной, поскольку с ее
226
помощью можно вводить не только коэффициенты полиномов R, S, Т и V, но и
прочие параметры, используя для этого как стандартный ввод (клавиатуру), так
и другие интерфейсы. То есть свойства системы управления можно изменять, не
переписывая программу заново. Приведенную программу можно также использовать как часть адаптивного регулятора. В этом случае другая процедура должна постоянно вычислять новые параметры для полиномов R, S и Т на основании
последовательностей u(kh) и y(kh) и соответственно корректировать их.
5.5. ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ ПО ПЕРЕМЕННЫМ СОСТОЯНИЯ
До сих пор в этой главе динамические системы описывались своими непрерывными передаточными функциями или дискретными передаточными операторами. Это означает, что выявлялись только соотношения между входными и
выходными переменными, а регуляторы описывались только в виде отношения
вход/выход. Внутренние связи процесса были скрыты и в явном виде не формулировались.
Во многих случаях, однако, более удобно описывать процесс в пространстве состояний. Это внутреннее описание приводит к другой управляющей
структуре, которая называется обратной связью по переменным состояния (state
feedback).
Линейное дискретное описание системы в пространстве состояний позволяет описать систему с несколькими входами и выходами. Параметры системы
обычно имеют физическую интерпретацию, поскольку уравнения выводятся на
основании уравнений баланса сил, моментов, массы или энергии.
Модель в пространстве состояний представляет основу для проектирования обратной связи по переменным состояния системы с произвольным количеством входных и выходных переменных
227
u (t ) = Mu c (t ) − Lx (t )
(5.43)
где М и L – матрицы, а uс – опорное значение сигнала (рис. 5.9).
Рис. 5.9. Структура регулятора с обратной связью по переменным
состояния
В случае одной выходной переменной закон управления приобретает следующий вид:
u (t ) = mu c (t ) − I 1 x1 (t ) − I 2 x 2 (t ) − ... − I n x n (t ) ,
где m, I1 ,…,In– постоянные. В принципе, обратная связь по переменным состояния есть сумма выходных сигналов пропорциональных регуляторов – по одному
сигналу на каждую переменную состояния.
Если переменная состояния неизвестна или ее нельзя непосредственно измерить, то для нее применяется процедура либо косвенного вычисления, либо
оценки, результат которой включается в уравнение регулятора.
Считая, что все переменные состояния измеряемы и известны, замкнутая
система с обратной связью по переменным состояния описывается следующим
уравнением:
x[(k + 1)h ] = Φx(kh ) + Γ[Mu c (kh) − Lx(kh)] = (Φ − ΓL) x(kh) + ΓMu c (kh) ,
(5.44)
Матрицы Ф и Г зависят от вида процесса и не могут изменяться, а матрицы
М и L можно настраивать. Выход регулятора остается постоянным между мо-
ментами выборки и рассчитывается с помощью матричных операций над данными измерений, известными в момент kh.
228
Динамика замкнутой системы (уравнение (5.44) описывается матрицей
Φ − ΓL Собственные числа этой матрицы определяют динамические свойства
системы с обратной связью. Если система является управляемой, эти собственные числа можно произвольно изменить, настраивая параметры регулятора с
помощью матрицы L. Точно так же, как и для регулятора, описанного отношением вход/выход, динамические свойства замкнутой системы можно произвольно
изменить при условии, что управляющие сигналы не ограничены. Однако и в
этом случае имеются определенные практические ограничения.
Собственные числа (полюса) управляемой технической системы можно
изменить на основе обратной связи по переменным состояния точно так же, как
и у регулятора, описанного отношением вход/выход. Разница заключается в том,
что внутреннее описание системы иногда позволяет более глубоко понять ее
свойства и на их основе создать соответствующую структуру регулятора.
5.6. ВЫВОДЫ
Обратная связь имеет фундаментальное значение в любых системах
управления процессами. Основные выводы, касающиеся обратной связи, одинаковы и для аналоговых, и для дискретных систем. Аналоговый и дискретный линейные регуляторы имеют одинаковую структуру, но разные значения параметров. С точки зрения программирования разные типы линейных регуляторов легко получаются как частные случаи алгоритма обобщенного регулятора.
Есть два способа проектирования цифровых регуляторов.
• Сначала разрабатывается аналоговый регулятор, а затем строится его
дискретнаямодель.
• Вначале разрабатывается дискретная модель технического процесса, а затем на базе этой модели создается дискретный регулятор.
В этой главе применялся в основном первый способ. Недостаток такого
229
подхода заключается в том, что требуемый интервал выборки получается меньше, чем при непосредственном проектировании дискретного регулятора.
Важнейшей концепцией является упреждающее управление. Эта структура
помогает расширить и улучшить свойства регулятора. Например, в высокоточных сервоприводах применение этого подхода позволяет более строго придерживаться опорного значения. В управлении процессами очень важно обеспечить
как можно более раннюю компенсацию измеряемых возмущений и изменений
нагрузки. В принципе, передаточная функция от опорного значения к выходной
величине должна иметь значительный коэффициент усиления во всем диапазоне
рабочих частот, а передаточная функция от возмущения к выходной величине –
минимальное усиление.
ПИД-регулятор – это наиболее распространенная структура управления в
промышленных системах. Причина его популярности в том, что большинство
процессов можно аппроксимировать динамической моделью невысокого порядка. ПИД-регулятор, представляющий собой систему второго порядка, дает практичное и недорогое решение, обеспечивая большую гибкость при работе в замкнутых системах регулирования. Дискретный вариант ПИД-регулятора обладает
дополнительными преимуществами. Например, в дискретный регулятор значительно проще включаются функции плавного перехода и предотвращения режима интегрального насыщения. Кроме того, он обеспечивает необходимое качество фильтрации при регулировании производной. При необходимости цифровой
регулятор позволяет легко ограничить как величину управляющего сигнала, так
и скорость его изменения. Возможно каскадное соединение ПИД-регуляторов,
если несколько переменных взаимодействуют между собой сложным образом.
Однако ПИД-регулятор не подходит для системы с более сложными динамическими свойствами. Наиболее очевидные проблемы возникают в системах с
зонами нечувствительности и запаздываниями, с ярко выраженной колебательной динамикой или с параметрами, меняющимися во времени. Обобщенный
230
дискретный регулятор позволяет не только справляться со всеми этими проблемами, но и отвечает еще более высоким требованиям. Программирование обобщенного дискретного регулятора не вызывает затруднений. Основная сложность
заключается в подборе необходимых параметров. Обобщенный дискретный регулятор может включать как обратную связь по выходной переменной, так и
контур упреждающего управления по опорному значению и измеренным возмущениям.
Если изменение параметров процесса известно заранее, то применяется
табличное управление коэффициентом усиления. Для процессов с неопределенным изменением параметров во многих случаях подходят адаптивные регуляторы. Если динамика системы имеет невысокий порядок, можно использовать самонастраивающийся ПИД-регулятор.
231
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Проектирование систем управления [Текст] : [пер. с англ.] / Г.К. Гудвин,
С.Ф. Гребе, М.Э. Сальгадо, А.М. Епанешникова. – М. : Бином «Лаборатория
знаний», 2004. – 911 с.
2. Олесон, Г. Цифровые системы автоматизации и управления [Текст] /
Густав Олесон, Джангундо Пиани – СПб. : Невский диалект, 2001. – 557 с.
3. Острем, К. Системы управления с ЭВМ [Текст] / К. Острем, Б. Виттенмарк. – М. : Мир, 1987. – 480 с.
4. Куо, Б. Теория и проектирование цифровых систем управления [Текст] /
Б. Куо. – М. : Машиностроение, 1986. – 448 с.
5. Данилов, А.Д. Микропроцессорные элементы и устройства локальной
автоматики [Текст] : справ. пособие / А.Д. Данилов; ВГЛТА. – Воронеж, 2005. –
268 с.
232
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ........................................................................................................... 3
ГЛАВА 1. МОДЕЛИ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ .......................................... 33
1.1. Квантование .................................................................................................... 33
1.2. Восстановление сигнала ................................................................................ 35
1.3. Линейные дискретные модели. Оператор сдвига ....................................... 36
1.4. Z-преобразование ........................................................................................... 38
1.5. Дискретные передаточные функции ............................................................ 41
1.6. Дискретные модели в дельта-области.......................................................... 44
1.7. Дискретное дельта-преобразование. Дискретные передаточные
функции.................................................................................................................. 47
1.8. Устойчивость дискретных систем................................................................ 52
1.9. Дискретные модели для квантованных непрерывных систем .................. 53
1.10. Использование непрерывной модели пространства состояний .............. 57
1.11. Частотные характеристики импульсных систем ...................................... 60
1.12. Выводы ......................................................................................................... 63
1.13. Задачи ........................................................................................................... 65
ГЛАВА 2. ЦИФРОВОЕ УПРАВЛЕНИЕ ........................................................ 70
2.1. Дискретные функции чувствительности ..................................................... 70
2.2. Нули импульсных систем.............................................................................. 72
2.3. Приближенное непрерывное проектирование ............................................ 75
2.4. Цифровое проектирование в моменты квантования .................................. 81
2.4.1. Проектирование во временной области.................................................... 82
2.4.2. Минимальная модель.................................................................................. 83
2.4.3. Оптимальное по времени апериодическое управление .......................... 88
2.4.4. Проектирование цифровых систем с помощью назначения полюсов ........................................................................................................................... 92
233
2.5. Принцип внутренней модели для цифрового управления......................... 95
2.5.1. Периодическое управление........................................................................ 97
2.6. Фундаментальные ограничения характеристик.......................................... 100
2.7. Выводы ............................................................................................................ 104
2.8. Задачи ............................................................................................................. 106
ГЛАВА 3. ГИБРИДНОЕ УПРАВЛЕНИЕ....................................................... 111
3.1. Модели для гибридных систем управления ................................................ 111
3.2. Анализ межтактового поведения.................................................................. 115
3.3. Формула суммирования Пуассона ............................................................... 118
3.4. Выводы ............................................................................................................ 122
3.5. Задачи ............................................................................................................. 122
ГЛАВА 4. ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ В ЦИФРОВЫХ СИСТЕМАХ
УПРАВЛЕНИЯ .................................................................................................... 128
4.1. Дискретизация аналоговых сигналов........................................................... 128
4.2. Преобразование аналоговых и цифровых сигналов .................................. 141
4.3. Аналоговая фильтрация................................................................................. 149
4.4. Цифровая фильтрация .................................................................................. 160
4.5. Основы обработки измерительной информации ........................................ 173
4.6. Выводы ............................................................................................................ 179
ГЛАВА
5.
СТРУКТУРЫ
УПРАВЛЕНИЯ
ЦИФРОВЫХ
РЕГУЛЯТОРОВ .................................................................................................. 181
5.1. Аналоговые (непрерывные) и дискретные регуляторы ............................. 181
5.2. Реализация цифрового ПИД-регулятора .................................................... 184
5.3. Обобщенный линейный дискретный регулятор ......................................... 206
5.4. Реализация обобщенного дискретного регулятора .................................... 217
5.5. Обратная связь по переменным состояния.................................................. 226
5.6. Выводы ............................................................................................................ 228
Библиографический список ................................................................................. 231
234
Учебное издание
Данилов Александр Дмитриевич
Головнев Вячеслав Николаевич
ЦИФРОВЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
Учебное пособие
235
Редактор В.В. Терлецкая
Подписано в печать 03.09.07. Формат 60х84/16. Объем 14,7 п.л.
Усл. п. л. 13,67. Уч.-изд. л. 12,18. Тираж 150 экз. Заказ №
ГОУ ВПО «Воронежская государственная лесотехническая академии»
РИО ГОУ ВПО «ВГЛТА». 394613, г. Воронеж, ул. Тимирязева, 8
Отпечатано в тип. ИП Хасанова И.Б. 394087, г. Воронеж, ул. Ломоносова, 87
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
66
Размер файла
3 393 Кб
Теги
цифровые, система, данилов, управления
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа