close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Драпалюк М. В. Теория механизмов и машин. Тексты лекций (для ТДО)

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ВОРОНЕЖСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ
М.В. ДРАПАЛЮК
ТЕОРИЯ МЕХАНИЗМОВ И МАШИН
ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ
Воронеж 2002
2
УДК 621.01
Д 72
Драпалюк М.В. Теория механизмов и машин: Тексты лекций.- Воронеж:
Воронеж. гос. лесотехн. акад., 2002.- 44 с.
Изложен структурный анализ и синтез механизмов. Даны основные определения курса ТММ. Рассмотрен кинематический анализ и синтез механизмов на основе аналитических, графических и графоаналитических методов. Представлены способы определения динамических характеристик механизмов.
Текст лекций рассчитан на студентов специальности «Технология деревообработки» очной и заочной форм обучения, изучающих дисциплину
«Теория машин и механизмов»
Печатается по решению редакционно-издательского совета ВГЛТА
Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук, проф. кафедры теоретической и прикладной механики Воронежского государственного университета Т.Д. Семыкина,
кафедра прикладной механики ВГАУ
Науч. ред. проф. И.М. Бартенев
УДК 621.01
С
С
Драпалюк М.В.
Воронежская государственная
лесотехническая академия, 2002
3
РАЗДЕЛ 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТММ. СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ И
СИНТЕЗ МЕХАНИЗМОВ
Основные определения курса ТММ
Теория машин и механизмов (ТММ) представляет собой науку, состоящую из двух основных частей:
1 Теория механизмов изучает структуру, кинематику и динамику механизмов в связи с их анализом и синтезом.
Анализ – исследование свойств механизмов.
Синтез – проектирование механизмов с заданными свойствами.
2 Теория машин изучает совокупность взаимно связанных механизмов,
которая образует машину или систему машин.
Машина – устройство, преобразующее энергию, материалы или информацию в целях облегчения труда человека.
В зависимости от выполняемых функций машины могут быть:
энергетическими - преобразуют энергию в механическое движение
(двигатель) или наоборот (генератор);
рабочими – преобразуют материалы. Если преобразование материала
заключается только в его перемещении, то такая рабочая машина называется
транспортной. Если преобразуется форма или свойства материала, то машина
называется технологической.
Контрольно–управляющие машины преобразуют информацию от контрольно-измерительных приборов с целью управления энергетической или
рабочей машиной.
Математические машины преобразуют информацию, заданную в виде чисел или алгоритмов.
Кибернетические машины имитируют механические, биологические и
другие процессы, присущие живой природе, в частности человеку (искусственное сердце, почки).
Машинный агрегат – развитое устройство, состоящее из двигателя,
передаточных механизмов, рабочей машины, контрольно-управляющих машин.
Механизм – система тел предназначенная для преобразования движения одного или нескольких тел в требуемое движение других тел.
Механизм может быть плоским, если точки его звеньев движутся в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях. Если это условие не соблюдается, то механизм называется пространственным.
Каждый механизм состоит из отдельных деталей.
Деталь – простейшая часть машины, механизма или прибора выполненная без применения сборочных операций.
Звено – деталь или совокупность деталей, не имеющих относительного
движения между собой.
Звенья бывают подвижными и неподвижными. Неподвижное звено в
механизме всегда только одно и называется стойкой.
4
Подвижные звенья в механизме имеют определенные названия в зависимости от характера движения и расположения их в схеме. В рычажных механизмах наиболее часто встречаются следующие звенья:
кривошип – звено, совершающее полный оборот вокруг неподвижной
оси;
коромысло – звено, совершающее неполный оборот вокруг неподвижной оси;
шатун – звено, не имеющее общих кинематических пар со стойкой;
ползун – звено, входящее в поступательную кинематическую пару с
направляющей;
кулиса – подвижная направляющая.
Подвижные звенья соединяются между собой или со стойкой с возможностью движения одного звена относительно другого.
Кинематическая пара – подвижное соединение двух соприкасающихся звеньев.
Кинематические пары делятся на классы. Класс кинематической пары
определяется числом условий связи. Под условием связи понимается невозможность какого-либо элементарного движения.
Считается, что любое тело в пространстве может совершать шесть элементарных движений вдоль осей Х;
У; Z и вокруг этих осей (рис. 1.1).
Если рассматривать кинематическую пару, то соединение звеньев
Z
будет накладывать ограничение на
их взаимное перемещение. Сколько элементарных движений становится невозможно, столько условий связи, таков и класс пары
(табл. 1.1).
Элемент звена – совокупность поX
Y
верхностей, поверхность, линия
или точка, по которой звено соприкасается с другим звеном, образуя кинематическую пару.
Высшая кинематическая пара –
Рис. 1.1 Пространственная система
такое подвижное соединение, где
звенья соприкасаются в точке либо
по линии.
Высшие кинематические образуются при соединении двух зубчатых колес,
шара или цилиндра с плоскостью, кулачка с толкателем и т.п.
Низшая кинематическая пара – такое подвижное соединение, где звенья
соприкасаются по поверхности.
Низшими кинематическими парами являются соединение ползуна с направляющей (поступательная пара), вращательная пара (цилиндрический шарнир), где звенья соприкасаются по цилиндрической поверхности и т.п.
5
Таблица 1.1
Условное обозначение наиболее распространенных кинематических пар
Наименование
1
Внешний вид
2
Первый класс
Шар - плоскость
Второй класс
Шар - цилиндр
Третий класс
Сферическая
Плоскостная
Обозначение на
кинематических
схемах
3
6
1
2
Четвертый класс
Сферическая с
пальцем
Цилиндрическая
Пятый класс
Поступательная
Вращательная
Винтовая
3
7
Структурный анализ механизмов
Кинематическая цепь – это связанная система звеньев, соединенная
между собой с образованием кинематических пар.
Открытая кинематическая цепь, в которой имеются звенья, входящие только
в одну кинематическую пару. В том случае, если подобных звеньев нет, то
она называется замкнутой кинематической цепью (рис. 1.2). Кинематическое
соединение – кинематическая цепь, конструктивно заменяющая кинематическую пару (подшипник качения, соединение шатуна и поршня через поршневой палец).
Рис. 1.2 Схема открытой и замкнутой кинематической цепи
Одно звено либо система могут образовывать замкнутый контур, который не разбивается на более простые.
Класс замкнутого контура определяется числом кинематических пар,
его образующих (рис. 2.2).
Рис. 1.3 Замкнутые контуры различных классов
Одной из важнейших характеристик механизма является число степеней подвижности.
Число степеней подвижности (свободы) W показывает, сколько необходимо задать простых входных движений, чтобы охарактеризовать положение любого звена относительно стойки.
Например, число степеней подвижности W=1 показывает, что движения
одного входного (ведущего) звена вполне достаточно, чтобы однозначно определить движение всех остальных звеньев механизма.
Степень подвижности пространственных механизмов определяется по
формуле Сомова-Малышева
8
(1.1)
W = 6n − 5 p5 − 4 p 4 − 3 p3 − 2 p 2 − p1 ,
где n – число подвижных звеньев; p5 – число кинематических пар пятого
класса; p4 – число кинематических пар четвертого класса и т.п.
Определим число степеней подвижности пространственного механизма
(рис. 1.4).
С
2
3
Е
4
В
D
1
0
5
А
Рис. 1.4 Кинематическая схема пространственного механизма
Данный механизм содержит пять подвижных звеньев: 1; 2; 3; 4; 5, т.е.
n = 5; четыре кинематические пары пятого класса: А, В, С, Е, таким образом р5 = 4; одну кинематическую пару третьего класса – D, т.е. р3 = 1; кинематические пары первого, второго и четвертого класса отсутствуют р1 =0,
р2 = 0, р4 = 0. Подставив полученные значения в формулу 1.1, получим
W = 6n − 5 p5 − 4 p4 − 3 p3 − 2 p2 − p1 = 6 ⋅ 5 − 5 ⋅ 4 − 4 ⋅ 0 − 3 ⋅1 − 2 ⋅ 0 − 0 = 7.
Число степеней свободы W = 7 говорит о том, что необходимо задать
семь входных движений, чтобы определить движение всех звеньев механизма.
Число степеней подвижности плоского механизма определяется по формуле П.Л. Чебышева
W = 3n − 2 p5 − p 4 или W = 3n − 2 p 2 − p1 ,
(1.2)
где n – количество подвижных звеньев; р5 – количество кинематических пар
пятого класса; p4 – количество кинематических пар четвертого класса; р2 –
количество низших кинематических пар; р1 – количество высших кинематических пар.
Определим число степеней подвижности плоского механизма (рис. 1.5).
Подвижными звеньями данного механизма являются: зубчатые колеса 1;
2, кривошип 3 и ползун 4. К низшим кинематическим парам относятся вращательные кинематические пары А; С; D; Е; F и поступательная кинемати-
9
ческая пара F, так как их звенья соприкасаются
по
поверхности.
Зубчатые звенья 1 и 2, соприкасаясь по линии, образуют высшую кинематическую пару В. Таким образом, механизм содержит четыре подвижных звена
n = 4, одну высшую кинематическую пару р1 = 1 и пять низших кинематических р2 = 5. Подставив, полученные значения в формулу 1.2, получим
W = 3 ⋅ 4 − 2 ⋅ 5 −1 = 1 .
D
3
1
А
В
С
2
E
2
0
0
0
F
Рис. 1.5 Кинематическая схема плоского механизма
Число степеней подвижности определяет количество элементарных
входных движений. Входное движение задает ведущее звено, которое является частью механизма первого класса. Механизм первого класса – ведущее
звено, соединенное кинематической парой со стойкой. Таким образом,
сколько степеней свободы имеет механизм, столько и механизмов первого
класса он должен содержать. При проектировании механизма с заданным количеством степеней свободы необходимо взять столько же механизмов первого класса. Помимо ведущих звеньев механизм может содержать и другие
группы звеньев, которые не должны нарушать заданной степени свободы.
Такие группы называются группами Ассура.
Группа Ассура – открытая кинематическая цепь, которая при присоединении к механизму не изменяет его числа степеней свободы.
Если группу Ассура присоединить свободными элементами звеньев к
стойке, то она станет неподвижной(W=0).
Любой механизм можно представить как совокупность некоторого количества механизмов первого класса и некоторого количества групп Ассура.
Для того чтобы выполнялось условие W=0, количество звеньев в группе Ассура должно составлять 2/3 от количества низших кинематических пар:
W = 3n − 2 p 2 − p1 ;
W=0; p1=0 → n = ⅔ p2
Данное выражение удовлетворяет следующий ряд целых чисел:
n 2 4 6 8 …
р2 3 6 9 12 …
10
Пользуясь данными значениями, можно составить различные группы
Ассура (рис. 1.6).
B
E
B
F
B
A
C
D
F
A
C
A
C
E
D
Рис. 1.6 Примеры групп Ассура
Класс группы Ассура определяется высшим классом замкнутого контура, входящего в его состав.
Класс замкнутого контура определяется количеством кинематических
пар, входящих в контур.
Порядок группы Ассура определяется числом свободных элементов, которыми группа Ассура присоединяется к механизму.
Избыточные связи. Лишние степени свободы.
Замена высших кинематических пар на низшие
Избыточные (пассивные) связи – звенья и кинематические пары, формально уменьшающие степень подвижности механизма, но фактически не
влияющие на его кинематику. При конструировании плоских механизмов избыточные связи часто вводят по конструктивным соображениям для повышения жесткости конструкции, снижения контактных напряжений или для
устранения неопределенности их движения в некоторых положениях.
На рис. 1.7 а представлена схема механизма, избыточными связями которого являются звено 1 и кинематические пары А и F. При подсчете числа
степеней свободы получим ноль. Фактически число степеней свободы этого
механизма – единица. После удаления избыточных связей из механизма
(рис.1.6 б) получим W=1.
3
С
D
4
2
В
2
В
1
С
3
D
А
E
А
1
а
F
б
Рис. 1.7 К определению избыточных связей в механизме
11
Лишние степени свободы – степени свободы, не оказывающие влияния на кинематику механизма.
На рис. 1.8 а представлен кулачковый механизм, число степеней свободы которого равняется двум. Лишнюю степень свободы дает звено 2 - ролик,
которое не влияет на кинематику движения механизма. Удалив ролик из механизма, получим W=1 (рис. 1.8 б).
D
C
3
2
В
2
С
В
1
1
А
а
А
б
Рис. 1.8 Кинематическая схема кулачкового механизма
Для упрощения анализа механизмов часто избавляются от высших кинематических пар, заменяя их низшими. Одну высшую кинематическую пару
можно заменить двумя низшими, и звеном, длина которого равна сумме радиусов кривизны соприкасающихся поверхностей, образующих высшую кинематическую пару. Высшая кинематическая пара В образована зацеплением
двух зубчатых колес 1 и 2 (рис. 1.9 а), заменим ее двумя низшими кинематическими парами В, С и звеном 2 длина r которого равна сумме радиусов зубчатых колес r1 и r2 (рис 1.9 б). Кулачковый механизм содержит высшую кинематическую пару В (рис. 1.9 в), ее заменяем низшими кинематическими
парами В,С и звеном 2 длинной r, причем r=r1(рис.1.9 г)
В
В
2
1
1
А
D
А
С
r2
r1
r
3
2
а
С
б
D
С
3
2
С
В
А
1
r1
r
в
г
2
А
1
В
Рис. 1.9 К замене высших кинематических пар низшими
12
Структурный анализ механизмов
Последовательность выполнения структурного анализа
1 Составляется кинематическая и структурная схема механизма.
Кинематическая схема показывает принцип работы механизма, т.е.
относительное перемещение звеньев, и строится в определенном масштабе с обозначением всех звеньев и кинематических пар.
Структурная схема составляется для структурного анализа механизмов и отличается от кинематической схемы следующим:
а) высшие кинематические пары заменяются условным звеном, входящим в две низшие кинематические пары;
б) поступательные пары заменяются вращательными, поскольку они
структурно эквивалентны (относятся к пятому классу);
в) избыточные связи и лишние степени свободы убираются;
г) звенья, входящие в три кинематические пары, заменяются треугольником; в четыре кинематические пары четырехугольником и т.д.
2 Определяется число степеней подвижности.
3 Механизм разделяется на группы Ассура и механизмы первого класса. Отделение группы Ассура начинается с последнего звена (ведомого). После отделения группы Ассура число степеней свободы оставшейся части механизма измениться не должно.
Сначала пытаются отделить простейшую группу Ассура (2 звена 3 кинематические пары). Если число степеней механизма изменяется, то
отделяют более сложную группу Ассура.
4 Определяется класс и порядок групп Ассура и класс всего механизма.
5 Записывается формула строения механизма.
ПРИМЕР: Необходимо произвести структурный анализ механизма.
Из кинематической схемы (рис. 1.10) видно, что механизм состоит из
пяти подвижных звеньев(1; 2; 3; 4; 5) шести низших (A; C; D; E; F; H) и
одной высшей кинематической пары. При составлении структурной
схемы (рис. 1.11 ) механизма необходимо заменить высшую кинематическую пару В на низшие, отбросить звено 2(ролик), т.к. оно дает лишнюю степень свободы, звено 3 заменить треугольником, т.к. оно входит
в три кинематические пары, поступательную пару Н заменить на вращательную.
С
В
2
А
D
S 3
F
E
4
5
H
1
Рис. 1.10 Кинематическая схема механизма
13
D
S
3
С
F
E
5
H
4
2
А
1
В
Рис. 1.11 Структурная схема механизма
По формуле Чебышева определяем число степеней свободы механизма
W = 3n − 2 p 2 − p1 = 3×5-2×7-0=1.
F
5
H
4
E
Рис. 1.12 Группа Ассура 4-5
D
S
С
3
2
В
Рис.1.13 Группа Ассура 2-3
Отделяем группу Ассура второго класса, второго порядка
(рис. 1.12), при этом число степеней подвижности оставшейся
части механизма остается неизменным. Отделяем следующую
группу Ассура, содержащую
звенья 2; 3, она также имеет второй класс и второй порядок
(рис. 1.13).
После отделения групп Ассура
остается механизм первого класса, состоящий из стойки-0 и ведущего звена-1(рис. 1.14). Записываем формулу строения механизма
(0;1)
2 (2;3)
2 (4;5).
Формула читается следующим образом: механизм первого класса, содержащий звенья один и два, присоединяет к себе группу Ассура второА
0
го класса второго порядка, со1
держащую звенья два, три и при0
соединяет группу Ассура второго
класса второго порядка, содерРис.1.14 Механизм первого класса
жащую звенья четыре, пять.
14
РАЗДЕЛ 2
КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И СИНТЕЗ МЕХАНИЗМОВ
Кинематический анализ механизма – изучение движения звеньев механизма без учета масс звеньев и сил, действующих на механизм.
Задача кинематического анализа состоит в определении перемещений
звеньев, траекторий точек звеньев, а также в нахождении скоростей и ускорений точек в функции времени или в функции перемещения начальных
звеньев.
Кинематический анализ может производиться следующими способами:
1 Графическим (с помощью построения диаграмм перемещения, скоростей, ускорений).
2 Графоаналитическим (построение планов скоростей, ускорений со
вспомогательными расчетами по формулам).
3 Аналитическим (с помощью формул).
Определить положения звеньев механизма, их перемещения и траектории точек в зависимости от положения ведущего звена можно графическим
способом (методом построения планов механизма).
Построение планов положений механизма
Рассмотрим графический метод построения планов положений механизма на примере кривошипно-ползунного механизма. Заданы длины звеньев
ℓОА,; ℓАВ, положение направляющей оси Х-Х (рис. 2.1). Примем, что ведущее звено ОА вращается с постоянной угловой скоростью. Строим кинематическую схему механизма в определенном масштабе:
µl =
l ОА l АВ
=
, м/мм,
ОА АВ
(2.1)
где ℓОА; ℓАВ – действительные длины звеньев; ОА, АВ – длины звеньев, отложенных на кинематической схеме в масштабе.
Из точки О проводим окружность радиуса ОА и отмечаем на ней положения точки А ведущего звена – АО, А1…А11. Положения звена АВ определяют методом засечек. Точка В движется по прямой Х-Х. Ее положения
ВО, В1…В11, получим на пересечении оси Х-Х с дугой окружности В-В радиуса АВ, описанной из точек АО, А1…А11 соответственно. Соединив точки
АО, А1, А2…А11 с центром О, а также с точками ВО, В1, В2… В11, получим
планы механизма в 12 положениях (рис. 2.1).
15
А8
А9
А10
А7
А11
А0
О
А6
B6 B7 B8
B9
B10 B11 B0
В5 В4
В3
В2
А1
В1
А5
А4
А3
А2
Рис. 2.1 Планы положений механизма
Графический способ определения кинематических характеристик механизма методом кинематических диаграмм
Данный способ заключается в определении графиков (кинематических
диаграмм) изменения перемещения, скорости, ускорения в функции времени
t. Пусть необходимо построить кинематические диаграммы S = f (t );
V = f (t ) ; а = f (t ) точки В, кривошипно-ползунного механизма. Для этого:
1 Строим отрезок ℓ=ОО мм, изображающий время одного полного оборота кривошипа ОА в масштабе µt.
t
µ t = , с/мм,
(2.2)
l
где t – время одного полного оборота кривошипа
60
t=
, с,
(2.3)
n
n – частота вращения кривошипа [об/мин].
Отрезок ℓ=ОО делим на 12 равных частей. На плане положений механизма определяем расстояния В0В1; В0В2; В0В3 и т.д., откладываем их в одноименных точках 1; 2; 3 и т.д. Масштабный коэффициент µS для оси перемещения диаграммы S = f (t ) принимаем равный двум масштабным коэффициентам плана положений механизма µ S = 2µ l .
2 Соединив последовательно плавной кривой полученные точки 0; 1/; 2/;
3/ и т.д., получим диаграмму перемещения точки В (рис. 2.2). Диаграмма скорости точки В ( V = f (t ) ) получается графическим дифференцированием диаграммы S = f (t ) . Графическое дифференцирование выполняется методом хорд в следующей последовательности:
16
5'
4
3'
2'
1'
'
6'
7'
8'
9'
10'
11'
О
Рис. 2.2 Диаграмма перемещения точки В
Рис. 2.3 Диаграмма скорости точки В
Рис 2.4 Диаграмма ускорения точки В
17
а) под диаграммой S = f (t ) строим параллельную систему координат
V = f (t ) и влево от точки О1 откладываем отрезок О1Р=Н1 [мм]. Из точки Р проводим лучи параллельно хордам 01/; 1/2/; 2/3/ до пересечения с
осью 0S. От полученных точек проводим горизонтали до середины
диапазонов, в которых проведены хорды. Соединив точки в серединах
диапазонов плавной кривой, получим диаграмму V = f (t ) (рис. 2.3).
Имея диаграмму скорости, аналогично строим диаграмму ускорения,
а=f(t) (рис.2.4).
Масштаб µt для всех графиков остается неизменным. Масштабы по
осям ординат определяются по следующим формулам:
для диаграммы скоростей
µs
м/с
µv =
,
;
(2.4)
µ t ⋅ Н 1 мм
для диаграммы ускорения
µa =
µv
,
м /с
.
мм
(2.5)
µt ⋅ Н 2
Из формул видно, что величины масштабов зависят от полосных расстояний Н1 и Н2.
Графоаналитический метод определения кинематических
характеристик
Кинематическое исследование этим методом осуществляется в следующей последовательности:
1) производится структурный анализ заданного механизма;
2) вычерчивается механизм в положениях, для которых требуется построить планы скоростей и ускорений;
3) строятся планы скоростей и ускорений сначала для ведущих звеньев, а затем для всех групп Ассура;
Произведем кинематический анализ кривошипно-ползунного механизма в заданном положении (рис. 2.5). Известно, что кривошип ОА вращается с
постоянной угловой скоростью ω (рад/с), а также даны основные размеры
1
3
lОА; lАВ; l АS = l АВ . Точка S2 является центром масс шатуна.
2
Произведя структурный анализ, установим, что механизм состоит из
механизма первого класса, содержащего звенья 0; 1 и группы Асура II класса
2-го порядка, включающей звенья 2; 3. Число степеней подвижности механизма – единица (W=1).
18
А
S2
ω
х
О
2
1
В
х
3
Рис. 2.5 Кинематическая схема кривошипно-ползунного механизма
Построение плана скоростей
Значение скорости точки А определяется по формуле:
(2.6)
для построения плана скоростей необходимо выбрать масштабный коэффициент
V A = ω ⋅ l OA
µv =
vA
Pa
м/c,
м/с
,
мм
(2.7)
Ра – длина отрезка, изображающего скорость ϑА.
Для определения скорости точки В составим векторное уравнение. Точка В совершает сложное движение: она повторяет движение точки А и одновременно вокруг нее вращается.
где
r
r
r
ϑ B = ϑ A + ϑ BA ,
(2.8)
r
где ϑ B - вектор скорости точки В;
r
ϑ A - вектор скорости точки А;
r
ϑ BA - вектор скорости точки В в ее относительном движении вокруг
точки А.
Это векторное уравнение решается графически (рис. 2.6).
r
r
Отрезок РА, изображающий скорость ϑ A ,
Р
b
ϑ B
откладывается из полюса Р плана скоростей в
направлении вращения кривошипа перпендиr
r
кулярно ОА, из точки а проводится прямая,
ϑ S2
ϑBA
перпендикулярная шатуну АВ, а из точки Р
r
S2
проводится прямая, параллельная оси х-х. Обе
ϑA
прямые пересекаются
в т. b. Отрезок Рb обоr
значает ϑ B – вектор скорости точки В, а отреa
r
зок
ва
ϑ
Рис. 2.6 План скоростей
BA – вектор скорости точки В в ее относительном движении вокруг точки А.
19
Скорость
точки
S2
центра масс шатуна АВ находится из подобия
аS 2 l AS2
=
, отсюда
ав
l AB
аS 2 =
где
l AS2 , l AB
l AS2
⋅ ав ,
l AB
- реальные размеры механизма.
Отрезок aS2 плана скоростей определяет положения точки S2 вектора ϑS2 на
отрезке ав. Соединив точку S2 с полюсом плана Р, получим отрезок РS2, изображающий в масштабе µv скорость ϑS точки S.
Для определения величин скоростей необходимо длины отрезков плана
скоростей умножить на масштабный коэффициент µv
VB = Pв ⋅ µ v ; VBA = вa ⋅ µ v ;
VS2 = PS 2 ⋅ µ v
2
Построение плана ускорений
Величина ускорения точки А определяется по формуле
аА = а
n
AO
V A2
=
, м/с2.
l OA
(2.9)
Задаваясь длиной отрезка Па [мм], изображающего на плане ускорений векr
тор а А определяем коэффициент плана ускорений µа
µа =
а А м / с2
,
.
Па мм
(2.10)
Ускорение точки В найдется из векторного уравнения
r
r
r
n
а В = а А + а BA
+ а τBA ,
(2.11)
r
где а В - вектор ускорения точки В;
r
а А - вектор ускорения точки А;
n rr
а BA
, а BA - векторы нормального и тангенциального ускорения точки В в
ее относительном движении вокруг точки А.
n
Нормальное ускорение а BA
определяется:
n
а BA
=
2
VBA
, м/с2.
l AB
(2.12)
n
Величина отрезка an2, изображающего вектор а BA
,
n
а BA
, мм.
(2.13)
µа
Векторное уравнение 2.11 решается графически (рис. 2.7).
Из полюса плана ускорений П откладываем вектор ускорения точки А (отрезок Па) параллельно звену ОА, направляя его от точки А к центру вращения
О. Из точки а отрезка Па откладываем отрезок an2, параллельный шатуну АВ,
аn2 =
20
в направлении от В к А. Из точки n2 проводится прямая, перпендикулярr
ная отрезку an2, а из полюса плана
b
аВ
П
ускорений П проводится прямая,
rτ
параллельная оси х-х.
а BA
r
Прямые пересекутся в точке в. Отr
аА
n2
резок Пв обозначает а В - вектор усn
а BA
а
корения точки В, а отрезок n2в, перпендикулярный отрезку аn2, изоРис. 2.7 План ускорений
r
бражает а τBA - вектор тангенциального ускорения точки В в ее относиr
тельном движении вокруг точки А. Соединив точки а и в, получим вектор а AВ .
Положение точки S2, центра масс шатуна АВ на отрезке ав находится из
подобия
l AS2
аS 2 l AS2
=
, отсюда аS 2 =
⋅ ав .
ав
l AB
l AB
Соединив точку S2 с полюсом плана П, получим отрезок ПS2, изображающий
вектор ускорения аS2.
Для определения величин ускорений точек механизма необходимо
длины отрезков плана ускорений умножить на масштабный коэффициент µа:
а В = Пв ⋅ µ а ;
а S2 = ПS 2 ⋅ µ а ; и т.д.
Аналитический способ определения кинематических характеристик
методом векторных контуров
Аналоги скоростей и ускорений
При кинематическом анализе механизмов скорости и ускорения звеньев
часто удобно выражать не в функции времени, а в зависимости от перемещения (S1) или угла поворота(φ1) ведущего звена механизма.
Пусть угол поворота (φk) звена k задан в виде функции угла поворота
входного звена φk=f(φ1), тогда угловая скорость звена равняется
ωk=
dϕ k dϕ k dϕ1
dϕ k dϕ1
=
⇒ ωk =
= ωϕ ω1 = ω1ϕ k′ ,
dt
dt dϕ1
dϕ1 dt
где ω1- угловая скорость начального звена [c-1], ωφ = ϕ k′ =
(2.14)
dϕ k
есть безdϕ1
размерная угловая скорость звена k. Безразмерная угловая скорость называется аналогом угловой скорости звена k.
Таким образом, действительная угловая скорость ωk равна произведению
угловой скорости ω1 начального звена на аналог угловой скорости ϕ k′ звена k.
Дифференцируя уравнение (2.14) по времени t, получим величину углового ускорения εk звена k.
εk=ω12φ"k+ε1φ'k,
(2.15)
где φ2”k- аналог углового ускорения звена k.
21
Аналогично могут быть получены уравнения для скорости и ускорения
какой либо точки поступательно движущегося звена k.
VK =
dS k dS k dϕ1 dS k dϕ1
=
=
= Vϕ ω1 = S k′ ω1 ,
dt
dt dϕ1 dϕ1 dt
где ω1- угловая скорость начального звена [c-1], а Vφ =S'k=
(2.16)
dS k
, м- аналог
dϕ1
скорости звена k.
Дифференцируя выражение (2.16) по времени t, получим величину ускорения звена k.
аk=ω12S"k+ε1 S'k,
(2.17)
где S"k [м]- аналог ускорения звена k.
Графические методы нахождения кинематических характеристик наглядны, но не обладают высокой точностью.
Аналитический метод - самый точный и легко поддается программированию. Аналитическое исследование удобнее всего вести методом векторных
контуров. Смысл этого метода состоит в том, что получают зависимости положения звеньев механизма в зависимости от положения ведущего звена.
Имея формулы перемещения звеньев в функции перемещения ведущего звена легко получить скорости и ускорения звеньев как производные.
Рассмотрим аналитический способ определения кинематических характеристик методом векторных контуров на примере кривошипно-ползунного
механизма (рис.2.8).
y
1
l1
О
А
2
φ1
l2
3
a
0
хв
В
x
φ2
Рис. 2.8 Кинематическая схема кривошипно-ползунного механизма
Для определения скоростей и ускорений звеньев представим контур
ОАВСО как сумму векторов
r r r r
. а + l1 + l 2 = xв
( 2.18)
22
Спроектируем
это
векторное уравнение на оси Ох и Оу, получим
Ох: l1cosφ1+l2cosφ2=xв;
(2.19)
Оу: a+l1sinφ1+l2 sinφ2=0.
(2.20)
Из уравнения(2.20) имеем
sin ϕ 2 = −
l1 sin ϕ1 + a
.
l2
(2.21)
Зная, что sin 2 ϕ + cos 2 ϕ = 1 ⇒ cos ϕ = 1 − sin 2 ϕ , тогда, подставив уравнение
(2.21) в уравнение(2.19), получим величину перемещения ползуна 3.
x в = l1 cos ϕ 1 + l 2 1 − (
l1 sin ϕ 1 + a 2
) .
l2
(2.22)
Для определения угловой скорости шатуна 2(ω2) и скорости ползуна 3
(Vb) продифференцируем уравнения (2.19) и (2.20)
dx
dϕ 2
l 2 sin ϕ 2 = b ;
dϕ 1
dϕ1
dϕ
l1 cos ϕ1 + 2 l 2 cos ϕ 2 = 0 ,
dϕ1
− l1 sin ϕ1 −
(2.23)
(2.24)
dxb
dϕ 2
- аналог угловой скорости шатуна 2 и хв'=
- аналог скороdϕ1
dϕ1
dϕ
сти ползуна 3. Из уравнения (2.23) выразим ωφ= 2 .
dϕ1
l cos ϕ1
ωφ=- 1
.
(2.25)
l 2 cos ϕ 2
где ωφ=
Подставим уравнение (2.25) в уравнение (2.23) получим
x ′в = l1
sin(ϕ 2 − ϕ1 )
.
cos ϕ 2
(2.26)
Продифференцировав уравнение (2.23) (2.24) по φ1, получим аналог углового ускорения звена 2 (ω'φ) и аналог ускорения звена 3 (х"в).
-l1cosφ1-ω2φcosφ2-ω'φl2sinφ2=x"в
(2.27)
2
- l1sinφ1-ω φl2sinφ2+ ω'φl2cosφ2=0
(2.28)
Из уравнения (2.28) можно выразить аналог углового ускорения (ω'φ)
l1 sin ϕ1 + ω 2 ϕ l 2 sin ϕ 2
ωϕ′ =
.
(2.29)
l 2 cos ϕ 2
Подставив уравнение (2.29) в уравнение (2.27), можно определить аналог ускорения звена 3(x"в).
Действительные скорости Vв, ω2, а также действительные ускорения ав, ε2 определяются из следующих выражений:
Vв= xв ω1; ω2= ωφ ω1.
ав= ω12х»в+ ε1 Vв; ε2= ω12 ω'φ+ ε1ωφ,
(2.30)
(2.31)
где ω1, ε1 –заданные угловая скорость и угловое ускорение ведущего звена.
23
РАЗДЕЛ 3. КИНЕТОСТАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ
Задача силового анализа механизма – определение сил, действующих на
механизм.
Практически любой машинный агрегат можно представить в виде схемы:
Механизмы
двигателя
Передаточные
механизмы
Технологич. машины
механизма
На данной части машинного агрегата действуют силы:
1) движущие силы, которые стремятся ускорить движение механизма, совершающие полезную работу (в двигателе внутреннего сгорания (ДВС)
сила давления газа на такте расширения);
2) силы полезного сопротивления – те, которые необходимо преодолеть
для выполнения требуемого технологического процесса (в станках –
сила резания, в автомобилях – сила сопротивления качения);
3) силы вредных сопротивлений, на которые затрачивается дополнительная работа сверх той, которая необходима для преодоления сил полезного сопротивления (силы трения в узлах машины).
Следует отметить некоторую условность в разделении сил на движущие и силы сопротивления. Например, при подъеме звеньев силы их тяжести
являются силами сопротивления, а при опускании – движущими.
Среди сил, действующих на механизм, следует определить:
1) силы тяжести отдельных звеньев и машины в целом;
2) силы упругости – при деформировании звена под действием движущих
сил происходит накопление энергии, при снятии нагрузки происходит
переход потенциальной энергии деформируемого звена в кинетическую энергию, распрямляясь, звено движет соприкасающиеся звенья
машин;
3) силы инерции, а также моменты от сил инерций. Силы инерции возникают при ускоренном (замедленном) движении звеньев.
Силой инерции называют геометрическую сумму сил противодействия
движению звена.
Рассмотрим силы инерции в зависимости от характера движения звена:
1) звено движется поступательно (рис 3.1а)
Pu = − m ⋅ а s ,
(3.1)
минус показывает, что Рu направлена противоположно аs.
24
а
б
в
г
д
Рис. 3.1 Частные случаи движения звеньев механизма
2) звено неравномерно вращается вокруг оси, проходящей через центр
тяжести ω≠const; Ри = 0 , так как аs=0 (рис. 3.1 б)
М = −J s ⋅ ε ,
(3.2)
Мu - момент от пар сил инерции [H·м];
Js – момент инерции звена [кг.м2];
ε - угловое ускорение [рад/с];
3) звено равномерно вращается через ось, не проходящую через центр
тяжести (рис. 3.1 в)
М и = 0 ; Pu = −m ⋅ а s ;
4) звено равномерно вращается вокруг оси, проходящей через центр
тяжести ω=const; М и = 0 ; Ри = 0 , так как при ω=const ε=0⇒Мu=0;
аs=0⇒ Рu=0 (рис. 3.1 г);
5) звено совершает сложное плоскопараллельное движение (рис. 3.1 д)
Pu = −m ⋅ а s ; М = − J s ⋅ ε .
25
Определение уравновешивающей силы методом построения планов сил
Всякий механизм, обладающий одной степенью подвижности и находящийся под действием заданной системы внешних сил, можно считать находящимся в равновесии, если к одному из его звеньев приложить уравновешивающее эту систему усилие. Уравновешивающим силовым фактором может быть либо некоторая условная уравновешивающая сила Ру, либо уравновешивающая пара сил с моментом Му. Уравновешивающее усилие считают
приложенным либо к звену, получающему энергию извне (технологические
машины), либо к звену отдающему энергию (в двигателях). Звено к которому
прикладывается уравновешивающее усилие, называется ведущим или начальным.
При определении Ру удобно все силы, действующие на механизм, заменить одной силой Рпр, приложенной к ведущему звену (кривошипу) в точке
его присоединения к остальному механизму. Такая заменяющая сила представляет собой реакцию в кинематической паре со стороны групп Ассура на
кривошип.
Для того чтобы система находилась в равновесии, такую заменяющую приведенную силу Рпр должна уравновешивать сила Ру. Уравновешивающей называется такая сила, работа которой на рассматриваемом перемещении по
величине равна сумме работ всех сил, действующих на механизм. По направлению Ру и Рпр- противоположны.
Для определения приведенной силы необходимо узнать реакции в тех
кинематических парах, где присоединяются группы Ассура к ведущему звену. Решение задачи о реакциях следует начинать с наиболее удаленной от
ведущего звена группы. Затем переходить к следующей по направлению к
ведущему звену. При расчете последующей группы кроме действующих на
нее сил надо учитывать и реакции со стороны ранее рассмотренной группы.
Последним рассматривается механизм первого класса.
Последовательность силового анализа механизма:
1. Произвести структурный анализ механизма.
2. Произвести кинематический анализ.
3. Найти силы тяжести, силы инерции, момент от пар сил инерции, силу
давления газов.
4. К наиболее удаленной от механизма первого класса группе Ассура
приложить найденные силы и реакции.
5. Найти реакции с помощью многоугольника сил.
6. Выполнить действия по пунктам 4-5 для остальных групп Ассура.
7. Произвести анализ механизма первого класса, найти реакции, уравновешивающую силу и уравновешивающий момент.
При силовом анализе механизма используется принцип Даламбера:
систему можно рассматривать без нарушения движения или покоя, если
при отсоединении от механизма, приложить к ней все силы, включая силы
инерции и силы реакции в разрушенных шарнирах.
26
Произведем силовой анализ кривошипно-ползунного механизма
двигателя внутреннего сгорания для заданного положения (рис. 3.2).
Произведя структурный
анализ, установим, что механизм состоит из механизма перВ
вого класса, содержащего зве3
нья 0; 1 и группы Ассура II
класса 2-го порядка, включающей звенья 2; 3. Число степеней
2
подвижности механизма – едиS2
ница (W=1).
Строим план скоростей
(рис. 3.3) и ускорений (рис. 3.4).
А
Методика построения плана
скоростей и ускорений подробω1
но рассматривалась в предыдущем разделе.
1
Определение силы давления газов на поршень
О
Индикаторное давление
газов( Pi ) в цилиндре двигателя
определяется по индикаторной
диаграмме с использованием
Рис. 3.2 Кинематическая схема
циклограммы работы двигателя.
кривошипно-ползунного механизма ДВС
Р
Площадь поперечного сечения цилиндров
VА
VВ
FB =
а
π ⋅d2
4
, м2.
(3.3)
Сила давления газов на поршень В:
S2
PДB = PiB ⋅ FB , Н .
(3.4)
VВА
в
Рис. 3.3 План скоростей
Определение результирующих сил
инерции
Сила инерции шатуна 2 определятся по формуле
Р и 2 = −m2 ⋅ a S 2 , Н .
(3.5)
Сила инерции поршня 3 определятся
P и 3 = − m3 ⋅ a B , Н .
(3.6)
27
Знак “-“ в формулах показывает, что направление векторов сил инерций и
соответствующие им вектора ускорений противоположно направлены.
Силу инерции кривошипа не определяем, т.к. он
уравновешен и центр масс его находится на оси
П
вращения О и не имеет ускорения.
Момент пар сил инерции шатуна 2 определятся
по формуле
аА
M и 2 = − J S 2 ⋅ε 2 , Н ⋅ м,
(3.7)
где J S 2 ; - момент инерции шатуна 2;
аS 2
аB
а
ε 2 ; - угловое ускорение шатуна 2.
Знак ″-″ в формуле показывает, что направление
S2
момента пары сил инерции и углового ускорения
в
– противоположны.
а n ВА
τ
а ВА
Угловое ускорение определятся по формуле
n
aτ
ε 2 = BA , c − 2 .
(3.8)
l AB
Момент M и 2 удобно представить в виде пары сил Pми 2 , приложенных в точках А и В шатуна
2, перпендикулярно ему. Сила Pми 2 прикладывается в соответствии с направлением момента.
Величина силы
Pми 2 = M и 2 / l AB , H .
(3.9)
Момент пары сил инерции кривошипа равен нулю, поскольку вращение кривошипа равномерное и угловое ускорение отсутствует.
Рис.3.4 План ускорений
Определение сил тяжести звеньев
Массы шатуна 2 и поршня 3 определяются по формулам:
(3.10)
G 2 = m 2 ⋅ g , H ; G3 = m3 ⋅ g , H ,
где g - ускорение свободного падения g = 9,8 м / с 2 .
Силовой анализ группы Ассура 2-3
Произведем силовой анализ группы Ассура, состоящей из звеньев 2 и 3.
Отделенная группа Ассура должна находиться в равновесии, поэтому в той
точке, где присоединялся кривошип, прикладывается реакция со стороны
τ
n
n
кривошипа на шатун R12 = R12 + R12 (рис. 3.5). Составляющая R12 направлена
τ
параллельно оси шатуна, а R12 - перпендикулярно ему. Со стороны стойки на
поршень действует реакция R 03 , направленная перпендикулярно оси цилиндра.
Равновесие группы выражается векторной суммой
τ
n
P ДB + P и 2 + P и 3 + G 2 + G 3 + R12 + R12 + R 03 + P ми 2 + P ми 2 = 0.
(3.11)
28
τ
Величина и направление касательной составляющей R12 определяются из
условия равновесия группы Ассура в форме сумм моментов сил относительно точки В:
τ
(3.12)
∑ M B (P ) = M B (P и 2 )+ M B (G 2 )+ M B R12 + M B (P ми 2 ) = 0,
∑ M B (P ) = Pи 2 ⋅ h1 − G2 ⋅ h2 − R12τ ⋅ (l AB / µ l ) + Pми 2 ⋅ (l AB / µ l ) = 0. (3.13)
Из уравнения
( )
Pи 3
P ми 2
R12τ =
R 03
В
l AB
⋅ (Pи 2 ⋅ h1 − G2 ⋅ h2 + Pми 2 ⋅ (l AB / µ l )), H .
n
Величины и направления R12 и
R 03 определяются при помощи плана
hP
G3
P
µl
сил, построенного в масштабе µ P ,
Pи2
ДB
Мми2
S2
hG
G2
τ
R12
А
P ми 2
n
R 12
Рис. 3.5 План группы Ассура 2-3
Н
по
мм
векторному уравнению. При построении
плана сначала откладываются векторы
известных по модулю и направлению
сил, а затем известных лишь по линии
действия (рис. 3.6). Начало откладываемого вектора должно совпадать с концом ранее отложенного вектора. Проведенные последними, линии действия
n
векторов R12 и R 03 пересекутся; при
этом векторы взаимно ограничатся по
длине.
τ
G2
G3
Pи 2
P ДB
Pи 3
R 03
Соединив начало вектора R12 с
n
концом R12 , получим вектор R12 .
Действительные величины реакций,
определенных с помощью силового многоугольника, с учетом масштабного коэффициента µ P ,
Н
.
мм
Силовой анализ ведущего звена
(кривошипа)
R 12
Величина и направление уравновешивающего момента M У определяются из
Рис. 3.6 План сил группы
условия равновесия ведущего звена в
Ассура 2-3
форме суммы моментов относительно
опоры (рис. 3.7):
∑ M O (P ) = M O (R 21 ) + M У = 0, (3.14)
где R 21 - реакция со стороны шатуна 2 на кривошип 1.
n
R 12
τ
R 12
R 21 = − R 12 ;
29
∑ M (P ) = M
(3.15)
Величина уравновешивающего момента
найдется из уравнения
O
R 12
h21
Му
A
Ру
У
− R21 ⋅ h21 = 0.
M У = R21 h1 , Н ⋅ м.
Уравновешивающая сила
О
PУ =
Рис. 3.7 План сил ведущего
звена
MУ
, H.
l OA
(3.16)
Реакция со стороны стойки на кривошип
R 01 определяется из уравнению 3.7 в масштабе
R 21 + R 01 = 0.
(3.17)
РАЗДЕЛ 4 ДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И СИНТЕЗ МЕХАНИЗМОВ
Приведение сил
Механизм обычно является многозвенной системой, нагруженной силами и моментами, приложенными к различным его звеньям. Рассмотрим двигатель внутреннего сгорания (рис. 4.1). К поршню 3 приложена движущая
сила Рд и сила тяжести G3, к шатуну 2 приложена сила тяжести G2. При исследовании движения механизма, находящегося под действием заданных сил,
удобно все силы, действующие на звенья заменить силами, приложенными к
одному из звеньев механизма.
В качестве такого звена выберем звено 1, оно будет называться звеном
приведения.
Приведенной силой называется такая условная сила, работа или мощность которой равна сумме работ или мощностей сил, действующих на механизм.
Приведем силы, действующие на механизм к звену 1. В результате силы
будут представлены приведенными моментами. Их алгебраическая сумма
даст величину суммарного приведенного момента.
пр
пр
пр
пр
М ∑ = М РД + М G2 + М G3 .
(4.1)
пр
Найдем приведенный момент силы тяжести звена 2( М G2 ). Для этого запишем (согласно определению приведенной силы) исходное условие - равенство элементарных работ фактически приложенной силы G2 и заменяющего ее
пр
приведенного момента М G2 ,
dA( М G2
пр
)=dA( G2 ), т.е. М G2 dϕ 1= G2 dS к . Отсюда получим
пр
30
М G2 dϕ 1= G2 dS к cos(G2 ; dS к ) ,
(4.2)
где dφ1 и dSк –возможные перемещения звена 1 и точки к приложения силы.
Решим уравнение (2) относительно искомого приведенного момента
dS
dS dt
V
пр
М G2 = G2 к cos(G2 ; dS к ) = G2 к cos(G2 ; dS к ) = G2 к cos(G2 ; dS к ), откуда,
ϕ1
ϕ1 dt
ω1
имея в виду, что ∠(G2 ; dS к ) = ∠(G2 ;Vк ) , получим
V
пр
М G2 = G2 к cos(G2 ;Vк ). (4.3)
ω1
В
Аналогично получим
3
G3
V
пр
М РД = Р Д В cos(Р Д ;VВ ) ; (4.4)
2
ω1
Рд
k
V
пр
М G3 = G3 В cos(G3 ;VВ ) (4.5)
пр
ω1
G2
А
Приведение масс
ω1
Приведение масс механизма
рассмотрим на примере двига1
теля внутреннего сгорания, выбрав в качестве начального звеО
на (звена приведения) кривошип ( 1), сосредоточим в
этом звене инертность всех
звеньев механизма и найдем
приведенный момент инерции
Рис. 4.1 Кинематическая схема
пр
J ∑ , который является эквивакривошипно-ползунного механизма ДВС
лентом инертности всего механизма. Кинетическая энергия звена приведения должна равняться кинетической энергии всего механизма
Епр=Е.
(4.6)
Кинетическая энергия звена приведения определяется следующим образом:
J ∑ ω 21
=
,
2
пр
E пр
(4.7)
где ω1-частота вращения ведущего звена.
Кинетическая энергия любого звена может быть записана в общем виде
Ek =
miV 2 Si J iS ω 2 i
+
,
2
2
(4.8)
где VSi- скорость центра масс Si звена i; JiS- момент инерции звена k относительно оси, проходящей через центр масс Sn. В случае поступательного движения ωi=0. В случае вращательного движения вокруг оси А уравнение (4.5)
приводится к виду
31
J iАω 2 i
Ek =
.
2
(4.9)
Кинетическая энергия заданного механизма складывается из всех трех
его подвижных звеньев Е=Е1+Е2+Е3. Звено 1 совершает вращательное движение, звено 2-плоское, звено 3- поступательное. Поэтому
J 10ω 21
m V 2 k J 2k ω 2 2
m V 2В
+( 2
+
)+ 3
.
2
2
2
2
E=
(4.10)
Подставим выражения Е и Епр в исходное уравнение (4.6), после простых
преобразований получим
J∑
пр
= J 1O + m2 (
Vk
ω1
) 2 + J 2k (
V
ω2 2
) + m3 ( В ) 2 .
ω1
ω1
VA
V
, ω 2 = BA :
l OA
l BA
l
V
V
+ J 2 k ( OA ) 2 ( BA ) 2 + m3 ( В ) 2 l 2 OA .
l BA
VA
VA
(4.11)
Преобразуем уравнение (4.11), учитывая, что ω1 =
J∑
пр
= J 1O + m2 (
Vk 2
)l OA
VA
(4.12)
Уравнения движения машины
Запишем уравнение движения механизма в форме кинетической энергии
к
2
2
к
mV
mV
Ад − Ас = ∑ i i − ∑ i i 0 ,
2
2
1
1
(4.13)
где Vi; Vi0- скорость в конце и начале рассматриваемого промежутка
времени; Ад- работа всех движущих сил; Ас - работа всех сил сопротивления.
Для обеспечения разбега машины должно соблюдаться условие Ад>Ас.
При установившемся движении Vi0=Vi→ Ад=Ас. При выбеге Vi0>Vi Ад<Ас.
Уравнение движения механизма можно записать в форме изменения кинетической энергии с приведенными к звену приведения силами и массами,
тогда AFд − AFc =
mпр − V A
2
2
−
mпр 0 − V A0
2
2
,
(4.14)
где АFд- работа приведенной движущей силы; АFc - работа приведенной силы
сопротивления; mпр, mпр0- приведенная масса в конце и начале рассматриваемого промежутка времени; VА, VАо- скорость точки приведения в конце и начале рассматриваемого промежутка времени.
Основные характеристики установившегося движения
При установившемся движении скорость главного вала изменяется периодически. В частном случае скорость может быть постоянна. Периодом установившегося движения машины называют такой наименьший промежуток
времени, по истечении которого положения и скорости всех точек машины
начинают изменяться в той же последовательности, в какой они изменялись в
течение этого промежутка времени. Из этого определения следует, что:
1) приращение кинетической энергии машины за период установившегося движения равно нулю;
32
2) алгебраическая сумма работ всех сил, действующих на звенья
машины в течение периода установившегося движения, равна нулю.
Угловая скорость ω главного вала машины изменяется в течение периода установившегося движения машины, колеблясь около среднего значения
ωср, и возвращается в конце периода к первоначальному значению.
ω ср =
πn
30
,c-1,
(4.15)
где n- частота вращения ведущего вала.
Разность между наибольшим ωmax и наименьшим ωmin значениями угловой скорости, которые она принимает в течение периода установившегося
движения, связана с коэффициентом δ неравномерности хода машины такой
зависимостью:
δ=
ω max − ω min
.
ω cp
(4.16)
Обычно принимают, что ωmax, ωmin и ωср связаны зависимостью:
ω cp =
ω max + ω min
2
,c-1.
(4.17)
Задача динамического синтеза заключается в определении момента
инерции маховика, обеспечивающего требуемое условие движения, заданное
коэффициентом неравномерности.
Маховое колесо как составная часть машины, обладающая большим
моментом инерции, предназначено для ограничения в заданных пределах периодической неравномерности движения (изменения скорости) ведущего
звена.
Маховые массы аккумулируют приращение кинетической энергии машины, когда работа движущих сил превышает работу сил сопротивления и,
следовательно, главный вал вращается ускоренно. При превышении работы
сил сопротивления над работой движущих сил (главный вал вращается замедленно) маховик отдает машине накопленную кинетическую энергию. Таким образом, маховое колесо исполняет роль аккумулятора избыточной энергии машины.
Определив необходимую величину момента инерции махового колеса и
его махового момента, устанавливают из конструктивных соображений диаметр маховика, а затем и соответствующую выбранному диаметру массу.
При расчете махового колеса в основном применяются графоаналитические методы расчета, среди которых часто используется метод определения
момента инерции маховика, разработанный Ф. Виттенбауэром.
При определении момента инерции махового колеса вместо исследования комплекса сил, действующих на машину, рассматривают действие одной
приведенной силы только на одно ведущее звено – звено приведения с приведенным моментом инерции.
33
Порядок расчета махового колеса по методу проф. Ф. Виттенбауэра
1. Аналитически привести моменты сил тяжести звеньев и движущих
сил к звену приведения. Для механизма изображенного на рис. 4.1, формула
выглядит так:
пр
М Д +G = М РД
пр
пр
пр
+ М G2 + М G3 .
(4.18)
В развернутом виде выражение примет вид
пр
М Д +G = ( Р Д VВ cos(Р Д ;VВ ) + G2Vк cos(G2 ;Vк ) + G3VВ cos(G3 ;VВ )) ω1
(4.19)
Приведенные моменты рассчитать для различных положений механизма
в течение цикла.
2. По величинам М Д +G пр строится графическая зависимость (рис. 4.2 а)
суммарного приведенного момента в функции угла поворота кривошипа
пр
М Д +G = f (ϕ ) . График строится в прямоугольной системе координат в масштабах: по оси моментов µм= [ Нм мм] ; по оси положений кривошипа
µϕ = [ рад мм] .
3. Методом графического интегрирования под диаграммой
пр
М Д +G = f (ϕ ) строим диаграмму работ сил давления газов и сил тяжести
AД +G = ƒ(ϕ).
ϕ
AД +G = ∫ M ДПР+G dϕ .
(4.20)
0
Интегрирование методом хорд производится в следующей последовательности:
а) ниже оси абсцисс диаграммы М Д +G пр = f (ϕ ) строим параллельную систему координат графика AД +G = ƒ(ϕ) и разбиваем ее на такие же диапазоны,
как и график М Д +G пр = f (ϕ ) ;
б) влево от точки О графика М Д +G пр = f (ϕ ) откладываем отрезок ОР, являющийся полюсным расстоянием Н;
в) из точек кривой М Д +G пр = f (ϕ ) , взятых в середине диапазонов, проводим горизонтали до пересечения с осью ординат;
г) из точек пересечения горизонталей с осью ординат проводим лучи в
полюс Р;
д) на диаграмме AД +G = ƒ(ϕ) из точки О проводим линию в диапазоне 02, параллельную лучу, связывающему полюс с горизонталью, проведенной из
середины диапазона 0-2 графика М Д +G пр = f (ϕ ) . Из точки 2 графика
AД +G = ƒ(ϕ) проводим прямую линию в диапазоне 2-4, параллельную лучу,
связывающему полюс с горизонталью, проведенной из середины диапазона
2-4 графика М Д +G пр = f (ϕ ) и т.д.;
34
Рис. 4.2 Общий вид построения диаграммы проф. Ф. Виттенбауэра
35
е) ломаную кривую 0-2-4-6-8 и т.д. заменяем плавной линией и
получаем диаграмму AД +G = ƒ(ϕ) (рис. 4.2 б).
Масштабный коэффициент для оси работ определяется из выражения
µ A = µ M ⋅ µϕ ⋅ H , [
Дж
],
мм
где µφ- масштабы осей углов поворота кривошипа у диаграммы моментов и диаграммы работ одинаковы;
Н- полюсное расстояние, задается из соображения рациональной компоновки формата.
4. Приведенный момент от действия сил сопротивлений M CПР считаем постоянным, тогда диаграмма работы момента M CПР будет представлять собой
прямую линию. Маховик рассчитывается для периода установившегося движения механизма. Поскольку при установившемся движении за один оборот
кривошипа, работа движущих сил должна быть равна работе сил сопротивлений ( AДПР+G = AC ), то конечные ординаты работ AДПР+G и AC должны быть
равны по абсолютной величине. Соединяя начало и конец диаграммы
AД +G = ƒ(ϕ) прямой линией, получим диаграмму работ сил сопротивлений
AC = ƒ(ϕ).
5. Графически продифференцировав диаграмму AC = ƒ(ϕ), найдем приведенный момент сил сопротивлений M CПР =ƒ(ϕ).
6. Вычитаем из ординат диаграммы AД +G = ƒ(ϕ) ординаты диаграммы
AC = ƒ(ϕ) и откладываем разницу на тех же ординатах. Получим диаграмму
изменения кинетической энергии механизма ∆E = ƒ(ϕ).
Масштабный коэффициент µ E по оси ординат диаграммы ∆E = ƒ(ϕ) равен
масштабному коэффициенту µ A .
7. Вычисляем приведенный момент инерции Jпр.
Для механизма одноцилиндрового двигателя (рис. 4.1) приведенный момент
инерции вычисляется по формуле
J пр = J 1O + m2 (
Vk 2
l
V
V
)l OA + J 2 k ( OA ) 2 ( BA ) 2 + m3 ( В ) 2 l 2 OA .
VA
l BA
VA
VA
Строим график J ПР =ƒ(ϕ), причем оси этого графика располагаем под углом
900 к осям графика ∆E = ƒ(ϕ) (рис.4.4 в).
8. Методом исключения общей переменной ϕ из диаграммы изменения кинетической энергии ∆E = ƒ(ϕ) и диаграммы приведенных моментов инерции звеньев механизма J ПР =ƒ(ϕ) строим диаграмму энергомасс ∆E = ƒ (J ПР )
(диаграмму Ф. Виттенбауэра).
Диаграмма образуется на пересечении прямых, параллельных осям Оφ, проведенных из одноименных точек графиков ∆E = ƒ(ϕ) и J ПР =ƒ(ϕ) (рис. 4.2 г).
9. К диаграмме Виттенбауэра проводятся две касательные под углами ψ max и
ψ min , которые определяются по следующим формулам:
36
tgψ max
µ
2
= J ⋅ (1 + δ ) ⋅ ω СР
;
2µ E
tgψ min =
µJ
2
⋅ (1 − δ ) ⋅ ω СР
,
2µ E
(4.21)
δ - коэффициент неравномерности хода;
ω СР - средняя угловая скорость кривошипа.
Касательные пересекают ось ∆E диаграммы ∆E = ƒ (J ПР ) в точках k и l.
Отрезок kl изображает в масштабе µ E наибольшее изменение кинетической
энергии маховика за период установившегося движения.
Момент инерции махового колеса определяется по формуле
где
JМ =
kl ⋅ µ E
, кг ⋅ м 2 .
ω СР ⋅ δ
(4.22)
Зная момент инерции маховика можно определить его основные размеры.
Задача динамического анализа заключается в том, что необходимо определить закон движения механизма, а затем и фактическое значение δ при известных всех характеристиках механизма.
РАЗДЕЛ 5 КОЛЕБАНИЯ В МЕХАНИЗМАХ
Вибрация
Создание высокопроизводительных машин и скоростных транспортных
средств, форсированных по мощностям, нагрузкам и другим рабочим характеристикам, приводит к увеличению интенсивности и расширению спектра
вибрационных полей. Вредная вибрация нарушает планируемые конструктором законы движения машин, механизмов и систем управления, порождает
неустойчивость рабочих процессов и может вызвать отказ и полную разрушение всей системы. Из-за вибрации увеличиваются динамические нагрузки
в элементах конструкции (кинематических парах, стыках и др.), в результате
снижается несущая способность деталей, развиваются трещины, возникают
усталостные разрушения. Действие вибрации может изменить внутреннюю и
поверхностную структуру материалов, условия трения и износа на контактных поверхностях деталей машин и привести к нагреву конструкций.
Вибрация порождает шум, являющийся важным экологическим показателем среды обитания человека. Вибрация оказывает и непосредственное
влияние на человека, снижая его функциональные возможности и работоспособность. Однако вибрация не всегда является вредной. В настоящее время
имеется много машин, в которых для выполнения того или иного технологического процесса намеренно возбуждаются колебания. Машины, в которых
технологический процесс выполняется на основе возбужденных колебаний,
называют вибрационными машинами. Такие машины получили большое
распространение в различных отраслях промышленности и в сельском хозяйстве. С помощью вибрации дробят, измельчают, транспортируют кусковой и
сыпучий материал, разделяют смеси, уплотняют бетон.
Наиболее распространенным возбудителем колебаний является дебалансный возбудитель(рис. 5.1). Неуравновешенная масса m вращается около
37
оси О с угловой скоростью ω и развивает
инерции Fи, равную
Fи=mω2ρ,
центробежную
силу
(5.1)
где ρ- расстояние центра масс m от оси О. Сила инерции дебаланса через опору О передается массе М, с которой связан рабочий орган вибромашины.
Fи
m
ω
О
ρ
М
Рис. 5.1 Схема дебалансного вибратора
Существует дебалансный вибратор направленного действия (рис.5.2), в
котором два дебаланса m вращаются с одинаковой скоростью в противоположных направлениях. Горизонтальные составляющие Fиx двух центробежных сил инерции Fи взаимно уравновешиваются, а вертикальные Fиу - складываются, образуя суммарную силу инерции
Fи=2Fиу=2 mω2ρcosα,
(5.2)
где α – угол, образуемый силой Fи с вертикальной осью.
Fи
Fиx
Fиу Fи
m
Fиx
ω
Fиу
m
ω
ρ
О
ρ
М
Рис. 5.2 Схема дебалансового вибратора направленного действия
Общее для всех вибромашин следущее:
1) вибрационная машина является колебательной системой, состоящей
из возбудителя колебаний – вибратора и колеблющейся массы, т.е. рабочего
органа и частей, жестко с ним скрепленных;
38
2) рабочий процесс в вибромашинах получается в результате суммарного эффекта большого количества отдельных циклов, идущих один за другим.
При динамическом исследовании вибромашин необходимо составить и
решить уравнения движения. В эти уравнения входят такие параметры:
1) возбуждающая сила вибратора;
2) восстанавливающие силы;
3) силы взаимодействия вибрирующего органа со средой;
4) инерционные силы.
Рассмотрим динамическую модель вибрационной машины (рис.5.2). Дебалансный возбудитель направленного действия создает возбуждающую колебания силу Fи периодического действия, которая передается массе М, с
массой М жестко связан рабочий орган – например дека для вибротранспортирования материалов. Пружина с жесткостью с и демпфер с коэффициентом затухания b моделируют систему упругой подвески к неподвижному
корпусу машины.
m
ω
с
Fи
М
b
ω
m
Рис. 5.3 Динамическая модель вибрационной машины с десбалансным
вибратором направленного действия
В линейной колебательной системе возбуждающая сила меняется по
гармоническому закону
Fи=2mω2ρcоsωt,
(5.3)
2
где А=2mω ρ амплитудное значение возбуждающей силы.
Обозначим через х линейную координату перемещения массы М, тогда
упругая сила пружины будет
Fупр= -сx,
(5.4)
где с - жесткость пружины.
Демпфирующие свойства системы представим тоже в виде линейной
функции скорости –bx. Проектируя все силы, приложенные к массе М на ось
х, получим уравнение колебаний массы М
Мx"+bx'+cx= Аcоsωt.
(5.5)
39
Разделим обе части уравнения на М, получим
(5.6)
x"+2nx'+k2 x= αcоsωt,
2
где b/М=2n, c/ М= k , А/ М=α.
Полное решение этого дифференциального уравнения представляет собой закон движения массы М, в которую входят свободные и вынужденные
колебания. Свободные колебания в системе затухают быстро, тогда решение
вынужденных колебаний массы М имеет вид
x=
α
cos( ω t − δ ) = H cos( ω t − δ ), (5.7)
( k 2 − ω 2 ) 2 + 4 n 2ω 2
где δ = аrctg
Н=
2 nω
;
k −ω2
(5.8)
2
α
;
(5.9)
(k 2 −ω 2 ) 2 + 4n 2ω 2
Н- амплитуда колебаний массы.
Основные методы виброзащиты
Уменьшение интенсивности колебаний объекта может быть достигнуто
несколькими способами.
1. Изменение конструкции объекта.
Устранение резонансных явлений, за счет изменения собственных частот
объекта.
2. Виброизоляция.
Препятствуетсвязи между источником колебаний и объектом, вибрацию которого необходимо снизить.
3. Динамическое гашение колебаний.
Осуществляется за счет ввода в конструкцию доплнительных устройств –
виброгасителей.
4. Снижение виброактивности источника.
Причина возникновения колебаний может быть связана с трением в кинематических парах. Снижения виброактивнасти в этом случае можно добиться
путем применения смазки. Если причиной возникновения колебаний являются движущиеся тела (ротор, перемещающееся звеньев механизма), то снизить
интенсивность колебаний можно с помощью уравновешивания движущихся
масс.
Уравновешивание вращающихся тел
Задача об уравновешивании вращающихся тел заключается в таком подборе их масс, который обеспечил бы полное или частичное погашение добавочных инерционных давлений на опоры. Вращающееся тело состоит из бесконечно большого числа элементарных масс mi, удаленных на расстояние ri j
от оси вращения и на расстояние ai от плоскости, проходящей через центр S
масс тела; тогда результирующая сила инерции Ри и результирующий момент
Ми всех сил инерции тела относительно плоскости, проходящей через центр S
масс:
Р и = ω 2 ∑ mi ri = ω 2 mrs ;
(5.10)
40
М и= ω 2 ∑ mi ri ai = ω 2 J ra ,
(5.11)
где m- масса всего тела, rs- расстояние центра S масс тела от оси вращения;
J ra - центробежный момент инерции относительно оси вращения и плоскости, перпендикулярной к оси вращения и проходящей через центр масс S тела.
При вращении тела угол между векторами Р и и М и сохраняет все время
одно и то же значение α. Тело считается полностью уравновешенным, если
результирующая сила инерции равна нулю и, следовательно, вращающееся
тело не оказывает никаких динамических давлений на опоры.
В этом случае имеем
mrs = ω 2 ∑ mi ri = 0;
(5.12)
J ra = ω 2 ∑ mi ri ai = 0 .
(5.13)
Условия (5.12) и (5.13) будут удовлетворены только тогда, когда центр масс
тела будет лежать на оси вращения, являющейся одной из главных осей
инерции.
Тело считается уравновешенным статически, если выполняется только условие ( 5.12), и уравновешенным динамически, если выполняется только условие (5.13).
Динамическая неуравновешенность, или динамический дисбаланс ∆ Д
вращающегося тела измеряется величиной
2
∆ Д = ∑ Gi ri ai [Hм ].
(5.14)
Статическая неуравновешенность, или статический дисбаланс ∆ С , характеризующий оставшуюся неуравновешенность, измеряется статическим
моментом
∆ С = GrS [Hм],
(5.15)
где G- вес вращающегося тела, Н.
Неуравновешенное тело на практике чаще всего уравновешивают при
помощи добавочных масс (противовесами). Вращающиеся тела, у которых
общая длина значительно меньше их диаметра (шкивы, маховики, зубчатые
колеса), имеют незначительные центробежные моменты инерции Jra, поэтому
такие тела достаточно уравновесить только статически.
Пусть тело вращения массой m статически не уравновешено (рис. 5.4).
Центр масс S данного тела расположен на расстоянии от оси вращения rs.
При уравновешивании противовес массой mпр помещают на линии N-N, проходящей через центр тяжести S перпендикулярно оси вращения, и закрепляют грузик с противоположной стороны.
Массу противовеса находим из уравнения
m пр = m
rs
.
rпр
(5.16)
41
Вместо установки противовеса можно удалить часть массы с противоположной стороны. Величина удаляемой массы должна быть равна массе противовеса.
Если конструктивно установить противовес на линии N-N не удается,
можно заменить его на два противовеса массами m1 и m2, расположенных на
расстояниях a1 и а2 от линии N-N.
N
Р1
m1
mпр m2 Р2
rпр
rs
а1
N а2
Ри
Рис. 5.4 Схема уравновешивания вращающегося тела
Массы m1 и m2 определяются из уравнений
откуда
mrs=m1rпр+m2 rпр
m1rпрa1- m2 rпрa2=0,
m1 = m
rs a 2
rпр (a1 + a 2 )
m2 = m
(5.17)
(5.18)
(5.19)
rs a1
rпр (a1 + a 2 )
(5.20)
Сложив массы этих противовесов, получим
m1 + m2 = m
rs
= mпр ,
rпр
(5.21)
а из отношения найдем
m1 a 2
=
.
m2 a1
(5.22)
Из приведенных формул следует, что один противовес массой mпр может
быть заменен двумя противовесами с массами m1 и m2, расположенных на
линии, параллельной оси вращения тела и подобранных так чтобы их суммарная масса равнялась массе mпр, а их общий центр масс S совподал с положением противовеса mпр
42
Динамическое гашение колебаний
Как было отмечено выше, динамическое гашение осуществляется за
счет ввода в конструкцию дополнительных устройств – виброгасителей.
Пружинный одномассивный инерционный динамический гаситель
Объект, колебания которого необходимо снизить, представлен в виде массы
М, прикрепленной к основанию пружиной с жесткостью с. Колебания объекта возбуждаются либо периодической силой, действующей на объект, либо
вибрациями основания. Для уменьшения колебаний объекта к нему присоединяется динамический гаситель массой mг, имеющий пружину с жесткостью
сг и вязкий демпфер с коэффициентом трения bг.
При настройке частоты
упругих колебаний гас
сителя
М
сг
bг
mг
Рис. 5.5 Схема одномассивного инерционного
динамического гасителя
ωг = сг mг
на
частоту внешних возбуждений ω колебания
объекта оказываются
пропорциональными
потерям в гасителе.
При этом частота антирезонанса совпадает с
частотой резонанса исходной модели системы.
Катковые инерционные динамические гасители
Рассмотрим демпфируемый объект с одной степенью свободы, возбуждаемый гармонической силой G(t)=G0cos(ωt+φ) и
снабженный шариковым гасителем массой mги
радиусом rг, расположенным в цилиндрической
с
полости радиусом r(рис.5.6).
Рассматриваемая система описывается следуюm
щими дифференциальными уравнениями:
mг
Рис.5.6 Схема каткового
инерционного
динамического гасителя
(m+mг)х"+сх=G0cos(ωt+ψ)+(rrг)mг(φ'2cosφ+φ"sinφ);
mг(r-rг)2 φ"= mг (r-rг) х" sinφ,
(5.23 )
где х- продольная координата объекта; φ- отно-
43
сительная
угловая
координата положения гасителя, отсчитываемая
от вертикальной оси. Условие стабилизации объекта при х=х'=х"=0 будет
φ=ωгt+φ0,
(5.24)
При этом условии гаситель совершает равномерное вращение.
Центробежная реакция, передаваемая равномерно вращающимся телом
демпфируемому объекту, полностью уравновешивает возбуждение и обеспечивает стабилизацию объекта.
Инерционные динамические гасители с активными элементами
Использование элементов с собственными источниками энергии в системах динамического гашения расширяет их функциональные свойства. Это
позволяет в широком диапазоне изменять параметры гасителя, производить
непрерывную настройку в режиме слежения, отыскивать и реализовывать
наилучшие законы для компенсирующих реакций. В качестве регулятора эквивалентной жесткости динамического гасителя продольных колебаний используется электромагнит (рис. 5.6).При относительном смещении элементов
1 и 2 наблюдается силовое взаимодействие, причем коэффициент эквивалентной упругости сгэ=kI2, где I-сила тока в обмотках, k- постоянная, определяется свойствами магнитопроводов и обмоток. Пользуясь условием равенства частоты гасителя и частоты возбуждения колебаний (ωг=ω) можно записать
(5.25)
сгэ=mгω2.
Удобным способом регулирования эквивалентной упругости подвеса
электромагнитного гасителя является обеспечение силы тока в обмотках,
пропорциональной частоте возбуждения.
с
m
сгэ
mг
2
сг
1
Рис. 5.6 Схема инерционного динамического гасителя с электромагнитным регулятором:
1- сердечник; 2- катушка
44
Библиографический список
1. Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин: Учеб. для втузов.- 4-е
изд., перераб. и доп. – М.:Наука. 1988.-640 с.
2. Гончаров П.Э. Теория механизмов и машин: Учеб. пособие / П.Э. Гончаров, П.И. Попиков, С.А. Колосов.-Воронеж, 2000.-139 с.
3. Курсовое проектирование по теории механизмов и машин / А.С. Кореняко, Л.И. Кременштейн, С.Д. Петровский, Г.М. Овсиенко, В.Е. Баханов, П.М. Емец.-Киев: Вища школа,1970.-332 с.
4. Теория механизмов и механика машин: Учеб. для втузов/ К.В. Фролов,
С.А. Попов, А.К. Мусатов, Д.М. Лукичев, В.А. Никоноров, Г.А. Тимофеев, А.В. Пуш.-3-е изд., стер.- М.: Высш.шк., 2001.-496 с.
Учебное издание
Драпалюк Михаил Валентинович
ТЕОРИЯ МЕХАНИЗМОВ ИМАШИН
Тексты лекций
для студентов специальности
260200-Технология деревообработки
Редактор: А.В. Гладких
Подписано в печать 7.10.02
Заказ №
Уч.-изд.л. 2,72.
Формат бум. 60×84 1/16.
Усл.п.л. 2,55
Тираж 200 экз.
Воронежская государственная лесотехническая академия
394613, г. Воронеж, ул. Тимирязева, 8
Типография ЦНТИ, 394730, г. Воронеж, пр-т Революции, 30
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
878 Кб
Теги
лекция, тдо, механизм, текст, теория, драпалюк, машина
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа