close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Дручинин Д. Ю. Математические методы в инженерии

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Г.Ф. МОРОЗОВА»
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ИНЖЕНЕРИИ
Методические указания к практическим занятиям
для студентов по направлению подготовки
15.04.02 – Технологические машины и оборудование
Воронеж 2016
2
УДК 621
Дручинин, Д. Ю. Математические методы в инженерии [Текст] : методические
указания к практическим занятиям для студентов по направлению подготовки
15.04.02 – Технологические машины и оборудование / Д. Ю. Дручинин ;
М-во образования и науки РФ, ФГБОУ ВО «ВГЛТУ». – Воронеж, 2016. – 83 с.
Печатается по решению учебно-методического совета
ФГБОУ ВО «ВГЛТУ» (протокол № 1 от 6 ноября 2015 г.)
Рецензент заведующий кафедрой электротехники и автоматики
ФГБОУ ВО Воронежский ГАУ д-р техн. наук,
проф. Д.Н. Афоничев
Методические указания могут быть использованы при обучении слушателей
по соответствующим программам дополнительного профессионального образования.
3
Оглавление
Введение……………………………………………………………………………
Практическое занятие № 1. Математическое моделирование процесса
взаимодействия рабочего органа лесной машины с порослью…………………
Практическое занятие № 2. Моделирование структуры геометрических связей
при проектировании технологического процесса………………………………
Практическое занятие № 3. Определение эффективности работы нижнего
лесного склада на основе теории массового обслуживания………………………
Практическое занятие № 4. Первичные статистические методы обработки
экспериментальных данных………………………………………………………
Практическое занятие № 5. Вторичные статистические методы обработки
экспериментальных данных………………………………………………………
Практическое занятие № 6. Регрессионный анализ экспериментальных
данных.……………………………………………………………………………
Практическое занятие № 7. Решение нелинейных уравнений с
использованием ЭВМ………………………………………………………………
Практическое занятие № 8. Решение систем линейных алгебраических
уравнений с использованием ЭВМ………………………………………………
Практическое занятие № 9. Решение дифференциальных уравнений с
использованием ЭВМ………………………………………………………………
Библиографический список……………………………………………………….
4
5
17
28
32
41
54
64
68
76
82
4
ВВЕДЕНИЕ
Неотъемлемой частью инженерной деятельности является анализ
различных систем и процессов, моделирование, обработка данных, полученных
на практике. Часто для этого используются математические методы.
В целом математические методы можно охарактеризовать как
совокупность приемов количественного изучения и анализа состояния и (или)
поведения систем и процессов.
Для решения различных инженерно-технических задач используется
математическое моделирование, принципы сетевого планирования и
построения сетевых моделей, основы теории массового обслуживания, методы
статистической обработки данных и т.д., что позволяет добиться высокого
качества разрабатываемых технических объектов.
В данных методических указаниях рассмотрены этапы решения
определенных инженерных задач с использованием классических
математических методов.
5
Практическое занятие № 1
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ РАБОЧЕГО ОРГАНА ЛЕСНОЙ МАШИНЫ
С ПОРОСЛЬЮ
Цель: ознакомиться с процессом построения математической модели
процесса взаимодействия режущего элемента рабочего органа лесной машины
со стеблем поросли.
1.1. Основные положения и методические указания
Специфические условия технологического процесса лесных почвообрабатывающих машин должны быть учтены при обосновании параметров рабочих
органов, гидропривода и режимов его работы.
Так, фрезерование почвы, насыщенной древесными включениями, при ее
обработке на нераскорчеванных вырубках сопровождается ударными нагрузками на рабочие органы. Вследствие высоких окружных скоростей рабочих органов динамические нагрузки могут достигать больших величин и значительно
превышать среднее сопротивление фрезерованию. Это может привести к поломке как рабочих органов, так и элементов трансмиссии машины. Поэтому силы, действующие на рабочие органы при фрезеровании почвы на нераскорчеванных вырубках, необходимо учитывать при расчете и проектировании лесных почвообрабатывающих орудий.
Критерии, определяющие влияние на сопротивление разрушению корней,
зависят от трех групп факторов: формы рабочих органов (геометрические размеры и расположение режущих элементов); параметров грунтово-древесной
среды (физико-механические свойства грунта и древесины) и способа резания.
К геометрическим относятся следующие параметры режущего элемента
инерционно-рубящего рабочего органа: острота режущей кромки , угол заточки
, передний угол , угол резания , затылочный или задний угол , угол наклона
, толщина b, длина l (рис. 1.1). К физико-механическим свойствам относятся:
параметры материала элемента (состав, прочность, твѐрдость, износостойкость,
антиадгезивные свойства); параметры древесины (твѐрдость, размеры, негоскальпические свойства, изнашивающие свойства); другие параметры (коэффици-
6
енты трения стали о древесину, коэффициент восстановления волокон древесины). Под негоскальпическими свойствами понимается сопротивляемость материала разделению на части. К основным негоскальпическим свойствам относятся
модуль деформации, коэффициент Пуассона, коэффициент трения о материал
лезвия и разрушающее контактное напряжение.
Рис. 1.1. Геометрические параметры режущего элемента рабочего органа:
1 – лезвие; 2 – перерезаемое тело; V – направление движения лезвия
В связи с действием переменных нагрузок рабочие органы лесных машин
часто функционируют на неустановившихся режимах. Поэтому при моделировании работы гидростатического привода важно знать не только действующие
на режущий орган силы сопротивления, но и динамические характеристики
машины.
Для описания работы машины с инерционно-рубящими рабочими органами применимо известное из теоретической механики дифференциальное
уравнение вращения твѐрдого тела вокруг неподвижной оси
J пр 
где
d
 M дв  M cф ,
dt
(1.1)
Jпр – приведенный момент инерции вращающихся масс к валу гидромото-
ра, кгм2;
 – угловая скорость вала гидромотора, с-1;
Мдв – движущий момент, развиваемый гидромотором, Нм;
Мсф – момент сопротивления фрезерованию почвы и разрушению верхней
части корневой системы, Н·м.
Приведенный момент инерции вращающихся масс к валу гидромотора
можно рассчитать по формуле Jпр = Jгид + Jд + ΣJб + ΣJк, кг·м2;
где Jгид – момент инерции вращающихся элементов гидромотора, кг·м2;
7
Jд – момент инерции барабана, кг·м2;
Jб – момент инерции ножа, кг·м2;
Jк – момент инерции гибкого рабочего органа, кг·м2.
Момент, развиваемый гидромотором, вычисляется по формуле
 q  p
M дв  п m ,
2 0
(1.2)
где
ηп – полный КПД гидромотора;
η0 – объѐмный КПД гидромотора;
qm – удельный объѐм гидромотора, м3/об;
p – перепад давлений рабочей жидкости между полостями нагнетания и
слива гидромотора, то есть
p  p1  p0 ,
(1.3)
где
p1 – давление рабочей жидкости в полости нагнетания гидромотора, МПа;
p0 – давление рабочей жидкости в полости слива гидромотора, МПа.
Значения давлений масла можно определить из уравнения постоянства
расхода рабочей жидкости, подаваемой в гидромотор от насоса p1 и выходящей
из гидромотора на слив p0.
Момент сопротивления фрезерованию почвы и срезанию поросли определяется по формуле
M сф  Pcуд  Rф ,
(1.4)
где Pсуд – ударная сила резания при импульсном резании почвы и корневых
систем, Н;
Pcуд  Pсф  Pрез ,
Pсф – сила сопротивления фрезерования почвы при равномерном вращении
барабана, Н;
Ррез – сила резания поросли, Н;
Rф – радиус фрезерования, м.
Из теории импульсного резания известно, что усилие резания при скорости резания 20…30 м/с можно выразить в виде зависимости
Pсуд  Pсф  n ,
(1.5)
где n – коэффициент динамичности, определяемый опытным путем,
n = 1,4…1,6.
При расчете ножевых рабочих органов могут быть использованы эмпирические
зависимости,
связывающие
усилие
подачи
Pn,
8
усилие резания Pp и толщину стружки h
Pn  9,81 45  8,4h, Н,
(1.6)
где h – толщина стружки, мм.
Pn
 0,560h  0,0213 .
Pp
(1.7)
Полагая, что Pp = Pсф, после преобразования получим
Pсф 
9,8145  8,4h  441,45  82,404h

0,560h  0,0213 0,560h  0,0213
(1.8)
В этом случае формулу (1.8) можно записать как
Pсуд  Pсф  n 
441,45-82,404h
n .
0,560h  0,0213
(1.9)
Сила сопротивления фрезерованию и срезанию корней поросли Pсф может
быть представлена тангенциальной составляющей Pτ, которая по величине равна окружному усилию Pокр, создаваемому крутящим моментом, и противоположной ему по направлению, действующей по касательной к окружности барабана, и нормальной составляющей Pн, действующей по радиусу барабана и направленной к его оси вращения.
Точка Д приложения силы сопротивления расположена на дуге резания
при повороте барабана на угол  (рис. 1.2)
,
(1.10)
где к – угол встречи рабочего органа с почвой,
к 
 а 

arccos 1 R ,
180
ф 


(1.11)
где a – глубина фрезерования, м.
Толщину стружки с достаточной точностью можно определить по формуле
2 
h  S  Sin к     S  Sin  к  ,
3 
где
S – подача на один нож, м/с-1;
h – толщина стружки в исследуемом положении ножа, м.
Подача S будет равна
S
где
(1.12)
2Rф
z
,
λ – кинематический параметр, равный отношению λ = Vокр/Vаг;
(1.13)
9
z – количество одновременно работающих ножей.
Рис. 1.2. Схема сил, действующих на рабочий орган машины
Тогда толщина стружки h будет
h

2 
a 
 Sin 
arccos 1 
 R  .
z
3 180
ф 

2Rф
(1.14)
С учетом формулы (1.14) формула (1.9) запишется

2 
a 
Sin 
arccos 1 
 R 
z
3 180
ф 


n .


1,12Rф
2 
a
  0,0213
Sin 
arccos 1 
 R 
z
3 180
ф 


441,45 
Pсуд 
164,808R ф
(1.15)
Так как нормальная сила Рн при гибких рабочих органах инерционнорубящего типа составляет незначительную часть тангенциальной Pτ, поэтому в
дальнейших расчетах можно ей пренебречь.
Подставив уравнение (1.15) в формулу (1.4), получим момент сопротивления, создаваемый на валу гидромотора от ударных сил резания почвы. При
этом полагаем, что в формуле (1.15) Pсуд  P уд :

2 
a 
 Sin 
arccos 1 
 R 
z
3 180
ф 


 n  Rф .


1,12Rф
2 
a
  0,0213
 Sin 
arccos 1 
 R 
z
3 180
ф 


441,45 
M сф 
164,808Rф
(1.16)
10
Подставив найденные выражения Мдв и Мсф в исходное уравнение (1.1),
получим дифференциальное уравнение движения гибкого рабочего органа с
приводом от гидромотора
J пр 
d  п qm p


dt
2 0

2 
a 
Sin 
arccos 1 
 R 
z
3 180
ф 

 n R .
ф


1,12Rф
2 
a
  0,0213
Sin 
arccos 1 
 R 
z
3 180
ф 


441,45 
164,808R ф
(1.17)
Для возможности более полного анализа динамических процессов в гидроприводе лесной фрезерной машины уравнение (1.17) должно быть дополнено
вторым дифференциальным уравнением, которое описывает расход рабочей
жидкости.
Это уравнение имеет вид
dp
1

dt K p



  qн nн  qm
 a y p  ,
2p


(1.18)
где
Kp – коэффициент податливости упругих элементов гидропривода;
qн – рабочий объем насоса, м3/об;
qm – рабочий объем гидромотора, м3/об;
nн – угловая скорость вращения насоса, с-1;
ω – угловая скорость вращения вала гидромотора, с-1;
ay – коэффициент утечек, м3/(с∙Па).
При моделировании динамических процессов в гидроприводе лесной машины уравнения (1.17) и (1.18) рассматриваются совместно как система, то есть
 dp
1 


 dt  K   qн nн  qm 2  a y p 

p 



164,808R ф
2 
a 

441,45 
Sin 
arccos 1 

 R 
z
3 180
ф 

 nR
 J  d   п qm p 
пр
ф

dt
2 0
 


1,12Rф
2
a

  0,0213
Sin 
arccos 1 
 R 

z
3 180
ф



(1.19)
Система (1.19) представляет собой систему дифференциальных уравнений первого порядка, которая математически описывает динамические процессы в рассматриваемом гидроприводе.
Решим эту систему уравнений.
11
Для простоты записи решения произведем замену

2 
a 
Sin 
arccos 1 
 R 
z
3 180
ф 

 nR ;
ф


1,12Rф
2 
a
  0,0213
Sin 
arccos 1 
 R 
z
3 180
ф


441,45 
c
1

J пр
b
164,808R ф
a
q n
q
1  п qm
; d  н н ; e m ; f  y .

Kp
J пр 2 p0
Kp
Kp2p
(1.20)
Тогда получим систему уравнений в следующем виде:
 dp
 dt  d  e    f  p
.

d


 b p c
 dt
(1.21)
Решаем первое уравнение системы
d2p
d
dp
.
 e 
f
2
dt
dt
dt
(1.22)
Подставим в уравнение (1.22) второе уравнение системы
d2p
dp
 e  b  p  c   f  ;
2
dt
dt
(1.23)
d2p
dp
 f   eb p  ec .
2
dt
dt
(1.24)
Заменим e  c  k ; b  e  g , тогда
d2p
dp
 f  g p k .
2
dt
dt
(1.25)
Для решения данного дифференциального уравнения отбросим правую
часть и возьмем порядок дифференциального уравнения как степень некоторого числа y, получим
y 2  f  y  g  0;
D  f 2  4  g.
y1, 2 
f D
.
2
(1.26)
Опытным путем установлено, что значение дискриминанта D < 0. Из
высшей математики, с учетом этого, известно, что уравнение (1.26) дает предварительный ответ
p0  e
c
 t
2

 D 
 D 
 C1  cos
t   C2  sin
t .
2
2





(1.27)
12
Найдем константы C1 и C2, если известны граничные условия 0 t 0  0 :
C1  C2  0  C1  C2 .
Пусть C2 = 1, значит C1 = -1. Подставив полученные значения C1 и C2 в
(1.27), получим
p0  e
c
 t
2
  D 
 D 
 sin
t   cos
t .
2
2



 
(1.28)
Вернемся к правой части уравнения (1.25). Пусть   A – в соответствии с
  0; 
  0. Подставим значения  в (1.25):
уравнением, тогда 
gA  z  A 
k
;
g
  A  
k
.
g
p  p0   .
(1.29)
(1.30)
Используя величины, характеризующие разгон, холостой и рабочий
режим, получим решение системы уравнений относительно времени
pt   e
c
 t
2
  D 
 D  k
 sin
t   cos
t   .
  2 
 2  g
(1.31)
Подставим в уравнение (1.31) значения k и g.
pt   e
c
 t
2
  D 
 D  c
 sin
t   cos
t   .
2
2


 b
 
(1.32)
Окончательно это уравнение примет вид
  J     a 2  K   q  q
 
пр
0
y
p
п
н
m
 
 
 
J пр  0
 
t  
sin 
2  K p 
 
 

 
ay
 

t

 
2K p
pt   e



 J     a 2  K   q  q

пр
0
y
p
п
н
m






J пр  0
 cos
 t 
2

K





p







2 
a 
sin 
arccos 1 
 2  n  Rф    0
 R 
z
3 180
ф



1,12    Rф


2 
a  

sin 
arccos 1 
 0,0213  п  qm
 R 
z
3  180


ф 

441,45 

(1.33)
164,808   R ф
В итоге получили выражение, характеризующее изменение давления в
13
напорной гидромагистрали как функции времени. Аналогично данная система
уравнений решается и относительно угловой скорости.
1.2. Пример расчёта влияния параметров лесной фрезерной машины
на работу гидросистемы
Необходимо определить влияние параметров гидропривода кустореза на
работу гидросистемы, оценивая всплески давления в гидромагистрали.
Расчѐт произведѐм для моментов времени t = 0,02; 0,04; 0,06; 0,08; 0,1;
0,12 с по формуле
  J     a 2  K   q  q
 
пр
0
y
p
п
н
m
 
 

 
J



пр
0

 
sin

t

2  K p 
 
 

 
ay


t

 
2K p

pt   e



 J     a 2  K   q  q

пр
0
y
p
п
н
m






J пр  0
 cos
 t 
2  K p 










2 
a 
sin 
arccos 1 
 2  n  Rф    0
 R 
z
3 180
ф 


1,12    Rф


2 
a  

sin 
arccos 1 
 0,0213  п  qm
 R 
z
3  180


ф 

441,45 

164,808   R ф
Исходные данные: аy = 15,69·10-6;
qн = qм = 32·10-6 м3/об;  n = 0,8;
 o = 0,95; К(р) = 2…5·10 ; Jпр = 0,7…0,9 кгм ; z = 1; Rф = 0,07 м; a = 0,03 м;
-6
2
n = 1,5; Vокр = 1,75 м/с; Vаг = 1,11 м/с.
В уравнении (1.33) первое слагаемое характеризует изменение давления
во время разгона ротора машины для агротехнического ухода. В момент разгона ротора наблюдается всплеск давления от гидравлического удара и последующая стабилизация. Второе слагаемое представляет собой скачок давления
при срезании поросли силой Рсуд .
Таким образом, в момент разгона и в момент резания будет происходить
аналогичный всплеск давления, но разного масштаба. Для вычисления этого
масштаба необходимо найти максимальное давление при разгоне и разделить
14
его на давление при срезании (второе слагаемое). После чего в момент срезания
поросли разного диаметра силой Рсуд скачок давления, а значит и масштаб,
уменьшающий всплеск при разгоне, будут разными для каждого случая. В результате получаем корректное изменение давления во время резания.
Приведѐнный алгоритм действий был реализован в компьютерной программе «Исследование динамики гидропривода машины с гибкими активными
рабочими органами».
Математическая модель рабочего процесса машины с гибкими активными рабочими органами позволяет определить проектные параметры гидропривода и рабочих органов, а также установить оптимальные режимы срезания поросли и фрезерования почвы.
Для решения данной системы дифференциальных уравнений была составлена программа на языке программирования «Delphi 7.0» и произведены
расчеты на ЭВМ.
Данная зависимость представляет собой скачки давления при изменении
силы резания Рсуд , величина которой зависит от глубины обработки почвы и
Зависимость давления (Па) от времени
диаметра срезаемой поросли, при этом возрастают всплески давления и время,
затрачиваемое на срез. Каждый последующий всплеск давления происходит на
различной глубине обработки почвы (рис. 1.3).
Рис. 1.3. Общий вид решения программы «Исследование динамики
гидропривода машины с инерционно-рубящими рабочими органами для
уничтожения поросли малоценных древесных пород»
15
Рсуд
На графике (рис. 1.4) можно увидеть, что при изменении силы резания
= 1…20 кН, величина которой зависит от диаметра срезаемой поросли и
типа гибкого рабочего органа, также линейно возрастают всплески давления и
время, затрачиваемое на срез. При изменении параметров гидропривода, таких
как ay, Jm, qн,м, Кр, п, 0, характер кривой изменения давления в гидроприводе
при разгоне, холостом и рабочем режимах также будет изменяться.
Из графика видно, что при увеличении силы резания происходит существенное изменение режима работы гидропривода, а именно давление увеличивается примерно в 2,5 раза с 0,7 до 1,7 МПа, а также его скачки являются более
продолжительными как по амплитуде, так и по времени.
Таким образом, теоретически обоснованы динамические процессы, происходящие в гидроприводе машины, с учѐтом параметров гидропривода и силы, необходимой для перерезания поросли активными инерционно-рубящими
рабочими органами.
Рис. 1.4. График изменения давления в гидроприводе машины при
Рсуд =1…20 кН и диаметре поросли d = 10 мм
3.3. Задание
На основе приведенного математического описания процесса выполнить
расчѐт влияния параметров гидропривода гибкого рабочего органа кустореза на
работу гидросистемы, согласно заданию, и построить график зависимости дав-
16
ления рабочей жидкости в гидроприводе от времени его работы.
I вариант
Исходные данные: аy = 15,67·10-6; qн = qм = 32·10-6 м3/об;  n = 0,85;
 o = 0,95; К(р) = 2·10 ; Jпр = 0,9 кгм ; z = 1; Rф = 0,08 м; a = 0,04 м; n = 1,5;
-6
2
Vокр = 1,85м/с; Vаг = 1,05 м/с.
Расчѐт произвести для моментов времени t = 0,01; 0,03; 0,05; 0,07; 0,09 и
0,11 с.
II вариант
Исходные данные: аy = 15,69·10-6; qн = qм = 32·10-6 м3/об;  n = 0,8;
 o = 0,9; К(р) = 3·10 ; Jпр = 1 кгм ; z = 1; Rф = 0,07 м; a = 0,035 м; n = 1,5;
-6
2
Vокр = 1,75 м/с; Vаг = 1,11 м/с.
Расчѐт произвести для моментов времени t = 0,02; 0,04; 0,06; 0,08; 0,1 и
0,12 с.
III вариант
Исходные данные: аy = 15,65·10-6; qн = qм = 32·10-6 м3/об;  n = 0,8;
 o = 0,95; К(р) = 4·10 ; Jпр = 0,9 кгм ; z = 1; Rф = 0,07 м; a = 0,04 м; n = 1,5;
-6
2
Vокр = 1, 75 м/с; Vаг = 1,11 м/с.
Расчѐт произвести для моментов времени t = 0,03; 0,06; 0,09; 0,12; 0,15 и
0,18 с.
3.4. Контрольные вопросы
1. От чего зависит сопротивление корней разрушению?
2. Почему для описания работы машины с инерционно-рубящими рабочими органами за основу взято уравнение вращения твѐрдого тела вокруг неподвижной оси?
3. От чего зависит момент, развиваемый гидромотором?
4. С какой целью уравнение движения рабочего органа дополняется ещѐ
одним дифференциальным уравнением?
5. Что такое коэффициент податливости упругих элементов гидропривода, и как он влияет на характеристику изменения давления в гидросистеме?
6. Пояснить этапы решения системы дифференциальных уравнений, описывающих работу гидропривода ротора.
7. Вследствие чего наблюдается всплеск давления в гидросистеме при работе лесной машины?
17
Практическое занятие № 2
МОДЕЛИРОВАНИЕ СТРУКТУРЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ СВЯЗЕЙ ПРИ
ПРОЕКТИРОВАНИИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА
Цель: приобретение навыков моделирования структуры геометрических
связей при проектировании технологического процесса на основе расчета и
анализа сетевых моделей для оптимизации использования различных видов
ресурсов.
2.1. Основные положения и методические указания
Граф – совокупность непустого множества вершин и наборов пар вершин
(связей между вершинами). Это основной предмет изучения раздела математики – теории графов, где различные объекты представляются как вершины, или
узлы графа, а связи между ними – как дуги, или рѐбра. Для разных областей
применения виды графов могут различаться направленностью, ограничениями
на количество связей и дополнительными данными о вершинах или рѐбрах.
Графы бывают ориентированные, неориентированные и смешанные. В ориентированных графах известны взаимосвязи между вершинами или узлами (компонентами, узлами конструкции и т.д.).
Одним из разделов теории графов является сетевое планирование и построение сетевых моделей.
Сетевая модель – графическое изображение плана выполнения комплекса работ, состоящего из нитей (работ) и узлов (событий), которые отражают логическую взаимосвязь всех операций. В основе сетевого моделирования лежит
изображение планируемого комплекса работ в виде графа.
Теория графов использует понятие пути, объединяющее последовательность взаимосвязанных ребер.
Контур – это такой путь, у которого начальная вершина графа совпадает
с конечной. Сетевой график – это ориентированный граф без контуров. В сетевом моделировании имеются два основных элемента – работа и событие.
Работа – это активный или пассивный процесс (ожидание), требующий
затрат ресурсов, либо приводящий к достижению намеченного результата.
Фиктивная работа – это связь между результатами работ (событиями),
18
не требующая затрат времени и ресурсов.
Событие – это результат (промежуточный или конечный) выполнения
одной или нескольких предшествующих работ.
Путь – это любая непрерывная последовательность (цепь) работ и событий.
Критический путь – это путь, не имеющий резервов и включающий самые напряженные работы комплекса. Работы, расположенные на критическом
пути, называют критическими. Все остальные работы являются некритическими (ненапряженными) и обладают резервами времени, которые позволяют передвигать сроки их выполнения, не влияя на общую продолжительность выполнения всего комплекса работ.
Календарное планирование предусматривает определение моментов начала и окончания каждой работы и других временных характеристик сетевого
графика. Это позволяет проанализировать сетевую модель, выявить критические работы, непосредственно определяющие срок выполнения проекта, провести оптимизацию использования ресурсов (временных, финансовых, исполнителей).
Расчет сетевой модели начинают с временных параметров событий, которые вписывают непосредственно в вершины сетевого графика (рис. 2.1):
• Tp (i) – ранний срок наступления события i, минимально необходимый
для выполнения всех работ, которые предшествуют событию i;
• Tп(i) – поздний срок наступления события i, превышение которого вызовет аналогичную задержку наступления завершающего события сети;
• R(i) = Tп(i) – Tр(i) – временной резерв события i, т.е. время, на которое
может быть отсрочено наступление события i без нарушения сроков завершения проекта в целом.
Рис. 2.1. Отображение временных параметров события на сетевом графике
Ранние сроки свершения событий Tp(i) рассчитываются от исходного (И)
к завершающему (З) событию следующим образом:
19
1) для исходного события И Tp(И);
2) для всех остальных событий,
где максимум берется по всем работам (k, i) входящим в событие i; t(k; i) – длительность работы (k; i) (рис. 2.2).
Рис. 2.2. К расчету раннего срока Tp(i) свершения события i Tp (k1)
Поздние сроки свершения событий Tp(i) рассчитываются от завершающего к исходному событию:
1) для завершающего события З Tп (З) = Тр (З);
2) для всех остальных событий
где минимум берется по всем работам (i; j) выходящим из события i; t (k; i) –
длительность работы (k; i) (рис. 2.3).
Рис.2.3. К расчету позднего срока Tп(i) свершения события i
20
Временные параметры работ определяются на основе ранних и поздних
сроков событий:
Tрн(i, j) = Tp(i) – ранний срок начала работы;
Tро(i, j) = Tp(i) + t(i, j) – ранний срок окончания работы;
Tпо(i, j) = Tп(j) – поздний срок окончания работы;
Tпн(i, j) = Tn(j) – t(i; j) – поздний срок начала работы;
Rn(i, j) = Tп(j) - Tp(i) – t(i, j) – полный резерв работы, показывающий максимальное время, на которое можно увеличить длительность работы (i, j), или
отсрочить ее начало, чтобы не нарушился срок завершения проекта в целом;
Rc(i, j) = Tp(j) – Tp(i) – t(i, j) – свободный резерв работы, показывающий
максимальное время, на которое можно увеличить продолжительность работы
или отсрочить ее начало, не меняя ранних сроков начала последующих работ.
При поиске критических путей следует помнить, что признаком критической работы являются нулевые значения резервов времени. Это означает, что
каждая последующая критическая работа будет начинаться строго в момент
окончания предыдущей критической работы. Вследствие этого сдвиг любой из
работ критического пути обязательно приведет к увеличению первоначальной
длительности проекта (Ткр). Кроме того, следует учесть, что критический путь
является полным, т.е. соединяет исходное и завершающее события сети. Поэтому на графике привязки первая из работ критического пути всегда начинается в
исходном событии сети с нулевого (начального) момента времени, а последняя
из работ критического пути всегда завершается позже всех остальных работ сети в завершающем событии.
Построение сетевого графика начинается с составления списка операций
(работ), подлежащих реализации (например, как в табл. 2.1). Все события на
графике имеют начало и конец, кроме первого, к которому могут не идти стрелки, и последнего, из которого они не выходят. Последовательность операций в
списке произвольная, однако, порядок нумерации работ осуществляется в соответствии с последовательностью их записи в списке. Перечень операций тщательно продумывается и в зависимости от конкретных условий с определенной
степенью детализируется. Все без исключения события должны быть связаны
последовательными работами. Операции, включенные в список, характеризуются определенной продолжительностью, которая устанавливается на основе действующих нормативов или по опыту ранее выполнявшихся операций.
21
График строится строго слева направо в последовательном порядке.
При построении сетевых графиков необходимо соблюдать следующие
основные правила:
- в сетевом графике не должно быть тупиков, т.е. событий, из которых не
выходит ни одной операции (за исключением завершающего события);
- сеть не должна иметь событий (кроме исходного), которым не предшествует хотя бы одна работа;
- на графике не должно быть замкнутых контуров (циклов);
- в сетевой модели не допускаются работы, имеющие одинаковые шифры;
- любые два события должны быть непосредственно связаны не более чем
одной работой-стрелкой;
- целесообразно иметь одно исходное и одно завершающее события.
2.2. Пример построения сетевого графика
Необходимо построить сетевой график выполнения комплекса операций по
раскрою пиловочного сырья на брус. Список операций представлен в табл. 2.1. Для
полученного графика рассчитать коэффициент напряженности операции 8→9.
Таблица 2.1
Комплекс операций по раскрою пиловочного сырья на брус
Операция
Шифр
Наименование
Опирается Продолжительность,
операции
операции
на операции
часы
1
2
3
4
5
a1
0→1
Разделка сырья
1
a2
1→2
Окорка
a1
3
1
Подготовка
пильного инстa3
2→3
a2
румента
a4
3→4
Раскрой бруса
a3
7
a5
4→5
Торцовка
a4
2
a6
5→6
Проверка суa5
1
шильной камеры
a7
6→7
Подготовка суa6
2
шильной
камеры
22
1
a8
2
5→8
a9
8→9
a10
9→10
a11
a12
a13
7, 10→11
11→12
12→13
3
Подвоз пиломатериалов на формировочную
площадку
Формирование
штабеля
Транспортировка
штабеля в сушильную камеру
Сушка
Пакетирование
Отгрузка на
склад
4
a5
Окончание табл. 2.1
5
1
a8
1
a9
0,5
a7, a10
a11
a12
8
2
1
Все операции на графике являются действительными. Числа в скобках означают продолжительность выполнения соответствующих операций (рис. 2.4).
Операция a1 означает начало выполнения технологического процесса и не
опирается ни на какие операции, поэтому на графике она изображена стрелкой,
выходящей из события (0).Операция a2 опирается на операцию a1, поэтому на
графике данная стрелка следует непосредственно за стрелкой a1. После окорки
(операция a2) начинается работа a3 по подготовке пильного инструмента для
раскроя бруса.
Событие 4 означает завершение операции по раскрою бруса a4 и начала
операции по его торцовке a5.
Затем одновременно выполняются работы по проверке работоспособности сушильной камеры (операция a6) и подвозу пиломатериалов на формировочную площадку (операция a8), поэтому на графике происходит разделение
операций на две цепи параллельных работ.
Для выполнения события 11 (сушка) необходимо выполнить операции по
подготовке сушильной камеры a7, формированию штабеля a9 и его загрузки в
сушильную камеру a10, следовательно, моментом свершения события 11 будет
такой момент, к которому будут выполнены все входящие в это событие опера-
23
ции и может быть начата операция по пакетированию бруса a12, отраженная
стрелкой, выходящей из него.
Завершающее событие 13 означает окончание операций по раскрою пиловочного сырья на брус – то есть выполнение отгрузки готовой продукции на
склад (операция a13).
Рис. 2.4. Сетевой график технологического процесса раскроя пиловочного
сырья на брус
На основе построенного сетевого графика можно рассчитать критический
путь Tk технологического процесса раскроя пиловочного сырья на брус. Из графика видно, что самыми продолжительными являются операции a1, a2, a3, a4, a5,
a6, a7, a11, a12 и a13. С учетом этого продолжительность критического пути
составляет
Tk = 1 + 3 + 1 + 7 + 2 + 1 + 2 + 8 + 2 + 1 = 28 ч,
то есть время, необходимое для получения бруса из исходного пиловочного сырья, составляет 28 часов.
В процессе анализа графика часто целесообразно обратить внимание
на напряженность выполнения отдельных работ по срокам. Напряженность выполнения работ характеризуется коэффициентом напряженности, который определяется по формуле
н
(2.1)
где Tmax – максимальный путь, проходящий через данную операцию от исходного до завершающего события;
tк – продолжительность отрезка рассматриваемого пути, совпадающего с
критическим путем;
Tк – продолжительность (длина) критического пути.
Вычислим коэффициент напряженности операции 8→9.
24
Продолжительность критического пути составляет 28 часов. А максимальный путь, проходящий через работу 8→9, включает в себя следующие
операции: 0→1→2→3→4→5→8→9→10→11→12→13 продолжительностью
27,5 часов. Данный путь совпадает с критическим на отрезках
0→1→2→3→4→5 и 11→12→13, продолжительность операций на которых составляет 17 часов. Таким образом
н
Коэффициент напряженности Кн работы Pi,j может варьироваться в пределах от 0 (для работ, у которых отрезки максимального из путей, не совпадающие
с критическим путем, состоят из фиктивных работ нулевой продолжительности)
до 1 (для работ критического пути). Чем ближе к единице коэффициент напряженности Kн работы Pi,j, тем сложнее выполнить рассматриваемую работу в установленные сроки. Чем ближе Kн работы Pi,j к нулю, тем большим относительным резервом обладает максимальный путь, проходящий через данную работу.
2.3. Задание
На основе изученных теоретических сведений по созданию сетевых моделей и построению сетевых графиков выполнить построение сетевого графика
заданного технологического процесса. Рассчитать продолжительность критического пути и напряженность операции, обозначенной преподавателем.
I вариант
Операция
1
a1
a2
a3
Таблица 2.2
Комплекс операций по сборке узла лесной машины
Шифр
Наименование
Опирается Продолжительность,
операции
операции
на операции
часы
2
3
4
5
0→1
Подготовительные
0,5
работы
1→2
Получение загоa1
0,2
товки для изготовления детали 1
Получение заго0,2
1→3
товки для изготовa1
ления детали 2
25
1
a4
2
2→4
a5
4→5
a6
5→6
a7
6→7
a8
5→8
3
Обработка заготовки 1 на станке
Обработка заготовки 2 на станке
Сверление отверстий в детали 2
Сборка узла из деталей 1 и 2
Транспортировка
узла на склад
4
a2
Окончание табл. 2.2
5
1,5
a3
1,8
a5
0,5
a4, a6
0,5
a7
0,5
II вариант
Операция
a1
a2
a3
a4
Таблица 2.3
Комплекс операций по сборке изделия из древесины
Шифр
Наименование
Опирается Продолжительность,
операции
операции
на операчасы
ции
0→1
Подготовительные
0,4
работы
1→2
Получение загоa1
0,2
товки для изготовления детали 1
Получение заго0,2
1→3
товки для изгоa1
товления детали 2
2→4
Обработка загоa2
1,5
товки 1 на станке
a5
4→5
a6
4→6
a7
6→7
a8
5, 7→8
a9
5→8
Обработка заготовки 2 на станке
Сверление отверстий в детали 1
Шлифовка детали
1
Сборка узла из деталей 1 и 2
Транспортировка
узла на склад
a3
1,4
a4
0,5
a6
1
a3, a6
0,5
a7
0,5
26
III вариант
Таблица 2.4
Операция
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
a11
a12
a13
a14
a15
a16
Комплекс операций по сборке механизма
Шифр
Наименование
Опирается Продолжительность,
операции
операции
на операчасы
ции
0→1
Подготовительные
0,5
работы
1→2
Получение загоa1
0,2
товки для изготовления детали 1
Получение заго0,2
1→3
товки для изгоa1
товления детали 2
1→4
Получение загоa1
0,2
товки для изготовления детали 3
1→5
Получение загоa1
0,2
товки для изготовления детали 4
2→6
Обработка загоa2
1,5
товки 1 на станке
3→7
Обработка загоa3
1,4
товки 2 на станке
4→8
Обработка загоa4
1,2
товки 3 на станке
5→9
Обработка загоa5
2
товки 4 на станке
7→10
Сверление отверa7
0,5
стий в детали 2
10→11
Шлифовка детали
a10
1
2
8→12
Окраска детали 3
a8
1
6, 11→13 Сборка узла из деa6, a11
0,5
талей 1 и 2
9, 12→14 Сборка узла из деa9,a12
0,7
талей 3 и 4
14→15
Сборка механизма
a13, a14
1,5
15→16
Транспортировка
a15
0,5
механизма на
склад
27
2.4. Контрольные вопросы
1. Понятия «граф» и «сетевая модель»?
2. Что такое работа? Какая работа называется фиктивной?
3. Что в сетевом планировании именуется событием и путем?
5. Принципы построения сетевого графика?
6. Как на сетевом графике найти критический путь? Расчет продолжительности критического пути.
7. Методика расчета коэффициента напряженности работ.
28
Практическое занятие № 3
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ РАБОТЫ НИЖНЕГО ЛЕСНОГО
СКЛАДА НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ МАССОВОГО
ОБСЛУЖИВАНИЯ
Цель: изучение принципов моделирования систем массового обслуживания на примере деревообрабатывающего цеха.
3.1. Основные положения и методические указания
Теория массового обслуживания составляет один из разделов теории вероятностей.
Система массового обслуживания (СМО) – система, производящая обслуживание поступающие в неѐ заявки (требования). Обслуживание заявок в
СМО производится по каналам обслуживания. Примерами массового обслуживания является транспортное обслуживание, обслуживание покупателей в сфере торговли, поставка сырья для производственных процессов, ремонт эксплуатируемых машин и механизмов и т.д.
Классическая СМО содержит от одного до бесконечного числа обслуживающих каналов. Системы массового обслуживания различаются как по числу
каналов обслуживания n, так и по допустимой длине очереди m. На основе данной классификации можно выделить следующие типы СМО (табл. 3.1):
Таблица 3.1
Типы систем массового обслуживания
Вид СМО
Параметры СМО
Число каналов n
Длина очереди m
Одноканальная, без очереди
n=1
0
Многоканальная, без очереди
n˃1
0
n=1
1<m<∞
Одноканальная, с ограниченной очередью
n˃1
1<m<∞
Многоканальная, с ограниченной очередью
n=1
m=∞
Одноканальная, с неограниченной очередью
n˃1
m=∞
Многоканальная, с неограниченной очередью
29
Кроме приведенных типов систем массового обслуживания, СМО с очередями подразделяются на разные виды в зависимости от того, как организована очередь – ограничена или не ограничена. Ограничения могут касаться как
длины очереди, так и времени ожидания, «дисциплины обслуживания».
При рассмотрении задач массового обслуживания целесообразно придерживаться следующей последовательности их решения:
1) определение типа системы массового обслуживания;
2) выбор формул в соответствии с типом СМО;
3) решение задачи;
4) формулирование выводов по решаемой задаче.
3.2. Определение эффективности работы нижнего лесного склада
Задача. На нижний склад прибывают сортиментовозы с интенсивностью
λ = 1,7 машины в час. Среднее время разгрузки одного автомобиля
= 0,5 часа. Определить показатели эффективности работы нижнего лесного
склада: интенсивность потока обслуживаний, среднее число заявок в очереди,
интенсивность нагрузки канала (трафик), вероятность, что канал свободен,
вероятность, что канал занят, среднее число заявок в системе, среднее время
пребывания заявки в очереди, среднее время пребывания заявки в системе.
Решение
Нижний склад можно рассматривать как одноканальную систему массового обслуживания с неограниченной очередью. Таким образом, параметры СМО
следующие: число каналов обслуживания n = 1, число мест в очереди m = ∞.
Согласно условию задачи интенсивность входящего потока λ = 1,7 машины в час, а среднее время обслуживания одной заявки – то есть разгрузки одного автомобиля
= 0,5 часа. Найдем интенсивность потока обслуживания заявок μ
(3.1)
об
заявки/ч
Вычислим коэффициент загрузки СМО ρ
(3.2)
.
30
Найдем среднее число сортиментовозов, ожидающих обслуживания
(разгрузки) оч
(3.3)
оч
машин.
оч
Так как ρ < 1, следовательно, очередь составов на сортировку не может
бесконечно возрастать, а значит, предельные вероятности существуют. Вероятность того, что разгрузочная площадка свободна p0, рассчитывается следующим
образом:
где k = 0, 1, 2,
(3.4)
(3.5)
.
Тогда вероятность того, что разгрузочная площадка занята равняется
зан
Среднее число заявок в системе (на нижнем складе)
следующей формуле:
сист
оч
сист
определяется по
(3.6)
об
заявок.
сист
Среднее время пребывания заявки в очереди (в ожидании разгрузки)
оч
оч
оч
(3.7)
ч
оч
Среднее время пребывания заявки в системе
сист
об
сист
оч
(3.8)
сист
ч
В качестве вывода можно отметить, что скорость разгрузки автомобилейсортиментовозов на разгрузочной площадке нижнего склада невысокая, так как
время, проведенное автомобилем в очереди в ожидании разгрузки (2,84 часа)
превышает время на обслуживание (разгрузку) – 0,6 часа. Для повышения эффективности погрузочно-разгрузочных работ на нижнем складе необходимо
либо уменьшение времени разгрузки одного сортиментовоза, либо увеличение
числа каналов обслуживания – то есть разгрузочных площадок.
31
3.3. Задание
На основании приведенного примера самостоятельно определить параметры эффективности разгрузочных работ на нижнем лесном складе и сделать
вывод об эффективности организации данного вида работ. Интенсивность прибытия сортиментовозов λ и среднее время разгрузки одного автомобиля об
приведены в табл. 3.2.
Таблица 3.2
Исходные данные для определения эффективности погрузочноразгрузочных работ на нижнем лесном складе
Параметр
Вариант
1
2
3
λ
1,5
1,4
1,1
0,4
0,5
0,6
об
3.4. Контрольные вопросы
1. Какая система называется системой массового обслуживания? Примеры систем массового обслуживания.
2. Классификация систем массового обслуживания.
3. Как определить интенсивность потока обслуживания?
4. Методика вычисления коэффициента загрузки СМО.
32
Практическое занятие № 4
ПЕРВИЧНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ
Цель: изучение принципов выполнения основных статистических методов обработки данных, полученных в результате эксперимента, с использованием современных методов обработки информации.
4.1. Основные положения и методические указания
Неотъемлемой частью инженерной деятельности являются научные исследования. Одной из наиболее важных составляющих исследований являются
эксперименты.
Получаемые в результате экспериментальных исследований данные подвергаются статистической обработке.
Методы статистической обработки результатов эксперимента –
это математические приемы, при помощи которых полученные данные можно
сводить в систему с возможностью выявления скрытых закономерностей статистического характера.
Первичная статистическая обработка нацелена на упорядочивание полученной информации об объекте и предмете изучения. В ходе использования
первичных методов статистической обработки получаются показатели, непосредственно связанные с производимыми в исследовании измерениями.
Условно все статистические методы обработки данных также делятся на
первичные и вторичные. Первичные – методы, используя которые получают
показатели, непосредственно отражающие результаты экспериментальных
измерений (мода, медиана, дисперсия, выборочное среднее и др.).
Выборочное среднее – результат деления суммы всех полученных значений на их количество.
Мода – это наиболее часто встречающееся в выборке значение.
Медиана – центральное значение в последовательном ряду данных.
Среднее отклонение – среднеарифметическое разницы между каждым
значением в выборке и ее средним (по абсолютной величине).
Дисперсия – параметр, характеризующий отклонения от средней величины в рассматриваемой выборке.
33
Стандартное отклонение – положительное значение квадратного корня
из дисперсии для оценки отклонений полученных данных.
Методика расчета приведенных показателей будет рассмотрена на основе
использования программного пакета Microsoft Excel.
4.2. Пример выполнения
показателей обработки данных
расчета
первичных
статистических
Задание. В таблице, сформированной на листе Microsoft Excel (рис. 4.1),
приведены данные экспериментальных наблюдений за процессом работы лесопосадочной машины. По полученным показателям необходимо рассчитать основные статистические показатели выборочных данных, выполнить построение
гистограммы и обобщить полученные результаты.
Рис. 4.1. Таблица с данными о сменной производительности лесопосадочной
машины
Решение
Для проведения статистической обработки данных в программе Microsoft
Excel предварительно должна быть установлена надстройка «Пакет анализа»
(вкладка Данные). Выполнение обработки осуществляется при помощи опции
«Описательная статистика» (рис. 4.2).
34
Рис. 4.2. Опция «Описательная статистика» из надстройки «Анализ данных»
На рис. 4.3. показано диалоговое окно опции «Описательная статистика». Пользователю необходимо указать входной интервал с числовыми показателями исследуемых данных (рис. 4.1). Переключатель «Группирование» размещается в положении «По столбцам» или «По строкам» в зависимости от вида размещения данных.
Рис. 4.3. Диалоговое окно опции «Описательная статистика»
Флажок в поле «Метки в первой строке» позволяет использовать обозначения в таблице данных в качестве заголовков итоговых таблиц.
Кроме того, определяются параметры вывода результатов – это может
быть как определенный выходной интервал, так и новый рабочий лист или рабочая книга.
При обработке полученных данных необходимо выбрать используемый
уровень надежности. Обычно это 95 % (задан по умолчанию). В этом случае
35
флажок в поле «Уровень надежности» может отсутствовать. Он используется
при изменении уровня надежности.
Активация поля «Итоговая статистика» позволяет вывести полные показатели описательной статистики (среднее, стандартная ошибка, мода, дисперсия выборки и т.д.).
В случае если в результирующую таблицу необходимо включить строку
для k-го наименьшего значения рассматриваемого диапазона данных, флажок в
поле «К-й наименьший» позволяет ввести соответствующее число k.
При необходимости в поле «K-й наибольший» указывается k-е наибольшее значение рассматриваемого диапазона данных.
Таблица итоговых значений по результатам расчетов представлена на
рис. 4.4.
Рис. 4.4. Результат выполнения расчета описательной статистики
в MS Excel
При обработке данных, имеющих случайный характер, важно определить
закон распределения случайных величин – то есть зависимость в виде формулы, позволяющей получить теоретические значения случайной величины. Это
позволяет более полно охарактеризовать выборку. В Microsoft Excel имеется
опция «Гистограмма» (рис. 4.5), позволяющая выбрать закон распределения
случайной величины для конкретного массива данных.
36
Рис. 4.5. Опция «Гистограмма» из надстройки «Анализ данных»
Диалоговое окно рассматриваемой опции представлено на рис. 4.6.
Рис. 4.6. Диалоговое окно опции «Гистограмма»
В поле «Входной интервал» указываются ячейки с числовыми показателями анализируемых данных. Также пользователю предлагается указать интервал карманов – то есть диапазоны, в пределах которых лежат исследуемые значения (поле «Интервал карманов»). В случае оставления данного поля пустым
программа выполнит необходимые вычисления самостоятельно.
Флажок в поле «Метки» позволяет использовать обозначения в таблице
данных в качестве заголовков итоговых результатов.
Гистограмму с дополнительными результирующими таблицами можно
разместить как в определенном выходном интервале текущего листа, так и на
новом рабочем листе или рабочей книге.
В случае необходимости размещения столбцов гистограммы в порядке
убывания их частоты ставится флажок в поле «Парето».
37
Флажки в строках «Интервальный процент» и «Вывод графика» позволяют отобразить гистограмму и величину накопленных частот при выводе
результатов.
Столбцы на гистограмме можно сблизить при использовании пункта выпадающего меню «Формат ряда данных» (в случае нажатия правой кнопки
мыши на одном из столбцов), где во вкладке «Параметры ряда» ширина бокового зазора устанавливается равной нулю (рис. 4.7).
Рис. 4.7. Пункт «Формат ряда данных» из выпадающего меню
Результаты построения гистограммы по исходным данным представлены
на рис. 4.8.
Рис. 4.8. Результаты построения гистограммы по данным о сменной
производительности лесопосадочной машины
38
После построения гистограммы возможно проведение анализа полученных результатов.
В рассматриваемом примере установлено, что средняя производительность лесопосадочной машины с уровнем надежности 95 % находится в пределах от 10,5 до 12,25 пог. км, что можно принять за норматив ее сменной производительности. Рассмотренные данные подчиняются нормальному закону распределения случайных величин.
4.3. Задание
На основании приведенных примеров самостоятельно выполнить расчет
первичных статистических показателей обработки данных в программе
Microsoft Excel согласно заданному варианту.
I вариант
Сменная производительность плуга для сплошной вспашки
Номер
Сменная производисмены
тельность плуга, га
1
3,2
2
3
3
2,9
4
3,4
5
2,7
6
3,1
7
2,9
8
3
9
3,2
10
3,3
11
2,9
12
2,8
13
3,3
14
3,1
15
3
16
2,7
39
II вариант
Сменная производительность корчевателя
Номер
Сменная производительсмены
ность корчевателя, пней
1
144
2
138
3
144
4
140
5
142
6
138
7
146
8
150
9
139
10
144
11
147
12
144
13
140
14
138
15
145
40
III вариант
Сменная производительность сортиментовоза
Номер
Сменная производительсмены
ность сортиментовоза, м3
1
200
2
190
3
195
4
198
5
202
6
197
7
201
8
194
9
203
10
199
11
200
12
197
13
196
14
201
4.4. Контрольные вопросы
1. Что такое методы статистической обработки данных?
2. Первичные методы обработки данных.
3. Какие показатели, непосредственно отражающие результаты экспериментальных измерений, вычисляются при помощи первичных методов обработки данных?
4. Методика расчета первичных статистических показателей обработки
данных в программе Microsoft Excel?
41
Практическое занятие № 5
ВТОРИЧНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ
Цель: изучение принципов выполнения основных статистических методов обработки данных, полученных в результате эксперимента, с использованием современных методов обработки информации.
5.1. Основные положения и методические указания
Методы статистической обработки результатов эксперимента – это
математические приемы, при помощи которых полученные данные можно сводить в систему с возможностью выявления скрытых закономерностей статистического характера.
Условно все статистические методы обработки данных делятся на первичные и вторичные. Первичные методы были рассмотрены в предыдущей работе. К вторичным методам обработки данных относят корреляционный анализ,
ковариационный анализ, регрессионный анализ и др.
Корреляция – статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин.
Корреляционный анализ – это метод, основанный на математической теории корреляции для обнаружения зависимости между несколькими случайными
величинами. В качестве случайных величин могут выступать как входные (независимые) переменные, так и результирующая (независимая) переменная.
Корреляционный анализ данных состоит из следующих основных этапов:
1) построение корреляционного поля и составление корреляционной таблицы;
2) определение выборочных коэффициентов корреляции или корреляционного отношения;
3) проверка статистической гипотезы значимости связи.
Проведение корреляционного анализа подчиняется требованиям:
- исследуемые переменные должны быть случайными величинами;
- анализируемые переменные должны соответствовать нормальному закону распределения случайных величин.
42
Ковариационный анализ – совокупность методов математической статистики, которая относится к анализу моделей зависимости среднего значения
некоторой случайной величины У от набора неколичественных факторов K и
набора количественных факторов X.
Ковариационный анализ тесно связан с дисперсионным анализом.
Дисперсионный анализ – статистический метод, направленный на поиск
зависимостей между факторными и результативным признаками в экспериментальных данных путѐм определения различий (разнообразия) значений признаков. В основе дисперсионного анализа лежит предположение о том, что одни
переменные могут рассматриваться как причины (факторы) – независимые переменные, а другие как следствия – зависимые переменные.
Дисперсионный анализ целесообразно применять, когда:
- задача исследования заключается в определении силы влияния одного
или нескольких (до трех) факторов на зависимую переменную или определение
силы совместного влияния различных факторов на зависимую переменную;
- изучаемые факторы должны быть независимые, то есть не связаны между собой.
- полученные данные имеют случайный характер.
В зависимости от вида и количества переменных различают следующие
типы дисперсионного анализа:
› однофакторный и многофакторный дисперсионный анализ (одна или несколько независимых переменных);
› одномерный и многомерный дисперсионный анализ (одна или несколько зависимых переменных);
› дисперсионный анализ с повторными измерениями (для зависимых выборок);
› дисперсионный анализ с постоянными факторами, случайными факторами, и смешанные модели с факторами обоих типов.
5.2.
Пример
выполнения
экспериментальных данных
корреляционного
анализа
Задание. В таблице, сформированной на листе Microsoft Excel (рис. 5.1),
приведены данные экспериментального исследования процесса работы сошни-
43
ка лесопосадочной машины. По полученным данным необходимо установить
наличие взаимосвязи между приведенными показателями, произвести оценку
тесноты связи анализируемых величин, сделать вывод о том, какие из рассматриваемых параметров оказывают большее влияние на эффективность работы
сошника.
Рис. 5.1. Таблица с экспериментальными данными работы сошника
лесопосадочной машины
Решение
Для проведения корреляционного анализа в программе Microsoft Excel
предварительно должна быть установлена надстройка «Пакет анализа» (вкладка Данные). Выполнение анализа осуществляется при помощи опции «Корреляция» (рис. 5.2).
Рис. 5.2. Опция «Корреляция» из надстройки «Анализ данных»
44
Диалоговое окно опции «Корреляция» представлено на рис. 5.3. Пользователю необходимо указать входной интервал исследуемых данных – числовые
показатели всех анализируемых параметров (рис. 5.1). Кроме того, определяются параметры вывода результатов – это может быть как определенный выходной интервал, так и новый рабочий лист или рабочая книга.
Рис. 5.3. Диалоговое окно опции «Корреляция»
В зависимости от группирования результатов по строкам или столбцам в
диалоговом окне нужно установить соответствующую метку.
Заголовки данных по строкам или столбцам можно отобразить в итоговой
таблице при помощи установки флажка в поле «Метки в первой строке».
Результат корреляционного расчета показан на рис. 5.4.
Рис. 5.4. Результат выполнения корреляционного анализа в MS Excel
Величина коэффициента корреляции может быть в пределах от -1 до 1.
Полученные в результате корреляционного характера выводы о взаимосвязи
между переменными могут быть следующего характера:
- прямая зависимость (коэффициент корреляции находится в диапазоне
0 < k < 1) – увеличение или уменьшение одного параметра ведет соответствен-
45
но к увеличению или уменьшению другого;
- обратная зависимость (коэффициент корреляции находится в диапазоне
-1 < k < 0) – увеличение или уменьшение одного параметра ведет соответственно к уменьшению или увеличению другого параметра.
Теснота взаимосвязей между двумя параметрами может быть оценена при
помощи шкалы Чеддока (табл. 5.1).
Таблица 5.1
Шкала Чеддока
Значение коэффициента корреляции
Теснота связи
прямая связь
обратная связь
Слабая
0,1-0,3
(-0,1)-(-0,3)
Умеренная
0,3-0,5
(-0,3)-(-0,5)
Заметная
0,5-0,7
(-0,5)-(-0,7)
Высотная
0,7-0,9
(-0,7)-(-0,9)
Весьма высокая
0,9-0,99
(-0,9)-(-0,99)
Если коэффициент корреляции равен -1, то параметры имеют строго отрицательную корреляцию, и наоборот, если значение коэффициента равно 1, то
переменные имеют строго положительную корреляцию.
В рамках рассматриваемой задачи по результатам корреляционного анализа установлено, что высокое прямое влияние прослеживается между глубиной хода сошника и его тяговым сопротивлением (k = 0,768), а также между
глубиной хода сошника и высотой осыпи почвы (k = 0,829). Слабая обратная
связь отмечена между углом установки сошника и его тяговым сопротивлением
(k = -0,176). Величиной связи между углом установки сошника и высотой осыпи почвы можно пренебречь, так как коэффициент корреляции мал (k = -0,034).
Умеренная прямая связь наблюдается между твердостью почвы и тяговым сопротивлением сошника (k = 0,399), заметная прямая связь – между твердостью
почвы и высотой ее осыпи (k = 0,511).
5.3. Пример выполнения дисперсионного анализа данных
Задание. В таблице, сформированной на листе Microsoft Excel (рис. 5.5),
приведены данные об объемах работ по вспашке почвы, определенные при ана-
46
лизе сменной производительности двух рабочих, задействованных в различные
смены на одном из тракторов, имеющегося в наличии на предприятии. По полученным данным необходимо установить, в какой степени изменение производительности зависит от оператора пахотного агрегата, или же различия в
производительности обусловлены факторами, не зависящими от рабочего.
Рис. 5.5. Таблица с данными по производительности работ при вспашке почвы
Решение
Дисперсионный анализ дает адекватные результаты при условии, что все
полученные данные являются независимыми случайными величинами, которые
имеют нормальное распределение и одинаковую генеральную дисперсию.
Перед проведением дисперсионного анализа необходимо подтвердить гипотезу о равенстве генеральных дисперсий. Это можно сделать, используя критерий Бартлетта или критерий Кокрена.
Плюсы использования критерия Бартлетта заключаются в том, что он
может использоваться при значительных объемах выборок. При этом отклонения выявляются как в наибольшую, так и в наименьшую стороны.
Вычислить коэффициент Кокрена проще, однако он определяет отклонения значений только в большую сторону.
Расчет критерия Бартлетта целесообразно выполнить на новом рабочем
листе MS Excel.
Предварительно необходимо рассчитать число наблюдений и величину
дисперсий для каждой группы данных о производительности (рис. 5.6).
47
Рис. 5.6. Расчет критерия Бартлетта
В ячейку D5 введена следующая формула: =((D3-1)*D4+(E3-1)*E4)/((D3-1)+(E3-1)).
Расчет коэффициента q, используемого при нахождении критерия Бартлетта произведен по формуле =1/(1+1/(2*(2-1)))*(1/(D3-1)+1/(E3-1)-1/((D3-1)+(E3-1))).
Значение критерия Бартлетта произведено при помощи формулы
=D6*((D3-1)*LN(D5/D4)+(E3-1*LN(D5/D4))).
При использовании функции ХИ2ОБР из набора функций Microsoft Excel
рассчитано граничное значение критической области (ячейка D8). Диалоговое
окно опции представлено на рис. 5.7.
В случае попадания значения критерия Бартлетта в критический интервал
гипотеза о равенстве генеральных дисперсий отвергается. В рассматриваемом
примере критерий равен 1,052 и не попадает в критическую область (3,841; +∞).
Следовательно, генеральные дисперсии данных равны и можно выполнять дисперсионный анализ.
Рис. 5.7. Диалоговое окно функции MS Excel ХИ2ОБР
48
При решении поставленной задачи целесообразно использовать опцию
«Однофакторный дисперсионный анализ» (рис. 5.8).
Рис. 5.8. Опция «Однофакторный дисперсионный анализ» из надстройки
«Анализ данных»
Диалоговое окно рассматриваемой опции представлено на рис. 5.9. Пользователю необходимо указать входной интервал исследуемых данных – числовые показатели анализируемых параметров производительности работ по
вспашке почвы с указанием их группирования (по столбцам или строкам)
(рис. 5.5). Кроме того, определяются параметры вывода результатов – определенная ячейка на текущем рабочем листе, новый рабочий лист или рабочая книга.
Флажок в поле «Метки в первой строке» позволяет отобразить заголовки
данных по строкам или столбцам в итоговой таблице с результатами дисперсионного анализа.
Уровень значимости результатов задается в поле «Альфа» (в рассматриваемой задаче – 0,05).
Рис. 5.9. Диалоговое окно опции «Однофакторный дисперсионный анализ»
49
Результаты дисперсионного анализа представлены на рис. 5.10.
Рис. 5.10. Результаты выполнения дисперсионного анализа
F расчетное (5,09) попадает в критическую область (4,6; +∞), значит
величина ежедневной производительности работ по вспашке почвы зависит от
задействованного оператора.
Выборочный коэффициент детерминации позволяет оценить степень
влияния контролируемого фактора на результативный признак. Он рассчитывается по следующей формуле:
(5.1)
где σ2 – дисперсия групповых средних, вызванная влиянием на результативный
признак контролируемого фактора;
ф
– общая выборочная дисперсия, вызванная влиянием на результатив-
ный признак контролируемого и неконтролируемых факторов.
В приведенном примере
Расчет показывает, что различия в величинах ежедневной производительности работ по вспашке почвы на 27 % зависят от квалификации оператора пахотного агрегата.
В случае одновременного влияния на результативный признак нескольких контролируемых факторов в Microsoft Excel имеется опция «Двухфакторный дисперсионный анализ» (с повторениями и без них).
50
5.4. Задание
На основании приведенных примеров самостоятельно выполнить корреляционный и дисперсионный анализ данных в программе Microsoft Excel
согласно заданному варианту.
I вариант
Корреляционный анализ
Результаты экспериментального исследования работы обрезчика ветвей с
дисковой пилой
Х1
Х2
Y
№
Угол резаУгол
Величина давлеопыта ния, град.
встречи,
ния, МПа
град.
1
90
135
6,7
2
30
135
3,9
3
90
45
2,7
4
30
45
2,3
5
90
90
5,2
6
30
90
4,4
7
60
135
3,8
8
60
45
1,2
Номер
смены
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Дисперсионный анализ
Анализ работ по корчевке пней
Производительность, шт.
Оператор 1
Оператор 2
144
140
142
138
146
150
139
144
147
135
140
137
135
138
134
138
133
134
51
II вариант
Корреляционный анализ
Результаты экспериментального исследования работы машины для выкопки
посадочного материала с почвенным комом
Х1
Х2
Y
№
Твѐрдость Влажность Величина давления
опыта
почвы,
почвы,
в напорной гидроМПа
%
магистрали, МПа
1
1
45
3,48
2
1
60
3,67
3
1
75
3,73
4
1,5
45
3,80
5
1,5
60
3,86
6
1,5
75
3,9
7
2
45
3,81
8
2
60
3,97
9
2
75
4,18
Номер
смены
1
2
3
4
5
6
7
8
Дисперсионный анализ
Анализ работ по высеву семян
Производительность, га
Оператор 1
Оператор 2
2,68
2,7
2,59
2,64
2,71
2,69
2,61
2,69
2,61
2,65
2,63
2,7
2,59
2,63
2,62
2,6
52
III вариант
Корреляционный анализ
Результаты экспериментального исследования работы фрезерного рабочего
органа для измельчения пней
Х1
Х2
Y
№ опыта
Скорость подачи,
м/с
Выступ подрезного
ножа, мм
Работа по измельчению пня,
Дж/см3
1
0,0034
1
5,0
2
0,0034
2
5,0
3
0,0034
3
7,8
4
0,0034
4
8,0
5
0,0034
5
9,9
6
0,0065
1
3,6
7
0,0065
2
4,2
8
0,0065
3
4,8
9
0,0065
4
6,0
10
0,0065
5
6,3
11
0,0088
1
3,7
12
0,0088
2
3,9
13
0,0088
3
5,1
14
0,0088
4
4,7
15
0,0088
5
6,3
53
Номер
смены
1
2
3
4
5
6
7
8
Дисперсионный анализ
Анализ работ по вспашке почвы
Производительность, га
Оператор 1
Оператор 2
3
3,1
3,2
2,9
3
3,3
3,1
2,9
Оператор 3
2,6
2,7
2,5
2,8
2,6
2,7
2,7
2,9
5.5. Контрольные вопросы
1. Что такое корреляция и корреляционный анализ?
2. Основные этапы корреляционного анализа.
3. Что такое ковариационный и дисперсионный анализ?
4. Типы дисперсионного анализа.
5. Критерии оценки равенства генеральных дисперсий.
2,5
2,9
3
2,7
2,6
2,9
2,8
2,8
54
Практическое занятие № 6
РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ
Цель: изучение принципов выполнения регрессионного анализа данных,
полученных в результате эксперимента, с использованием современных методов обработки информации.
6.1. Основные положения и методические указания
При разработке новых машин и механизмов для обработки полученных
экспериментальных данных часто используется регрессионный анализ.
Регрессионный анализ – это статистический метод установления аналитического выражения зависимости между исследуемыми признаками, показывающий, как изменяется зависимая переменная Y при изменении одной или нескольких независимых переменных X1, X2,…Xn.
Регрессионный анализ состоит из определенной последовательности этапов.
1) Задание аналитической формы уравнения регрессии и определение параметров (коэффициентов) регрессии.
2) Определение степени стохастической взаимосвязи результативного
признака и факторов в уравнении регрессии, проверка общего качества уравнения регрессии.
3) Проверка статистической значимости каждого коэффициента уравнения регрессии и определение их доверительных интервалов.
4) Оценка влияния факторов на зависимую переменную по полученной
модели.
Регрессионные зависимости могут быть линейные и нелинейные.
Линейное уравнение множественной регрессии в общем виде представляется формулой
(6.1)
где – теоретическое значение зависимой переменной (результативный признак);
X1, X2 … Xn – значения независимых переменных (факторные признаки);
a1, a2 … an – параметры (коэффициенты уравнения регрессии).
55
Нелинейные уравнения регрессии различаются:
- уравнения, в которых результативный признак линейно связан с параметрами уравнения регрессии, но нелинейно – с факторными признаками
(полиномы различных степеней, гипербола);
- уравнения, в которых результативный признак нелинейно связан с параметрами уравнения регрессии (степенная функция, показательная функция,
экспоненциальная функция).
Параметры уравнения регрессии находятся из условия минимума суммы
квадратов отклонений измеренных значений результативного признака (фактических) от вычисленных по уравнению регрессии (теоретических).
6.2. Пример выполнения регрессионного анализа экспериментальных
данных
Задание. В таблице, сформированной на листе Microsoft Excel (рис. 6.1)
приведены результаты экспериментального исследования работы плуга, где содержится информация о результативном признаке (критерии) Y (тяговом сопротивлении плуга) и независимых случайных величинах (факторах) X1 (твердость
почвы) и X2 (влажность почвы). По полученным данным необходимо выполнить регрессионный анализ экспериментальных данных.
Рис. 6.1. Таблица с экспериментальными данными работы плуга
56
Решение
Для проведения регрессионного анализа в программе Microsoft Excel
предварительно должна быть установлена надстройка «Пакет анализа». Выполнение анализа осуществляется при помощи опции «Регрессия» (рис. 6.2).
Рис. 6.2. Опция «Регрессия» из надстройки «Анализ данных»
Диалоговое окно опции «Регрессия» представлено на рис. 6.3.
Рис. 6.3. Диалоговое окно опции «Регрессия»
В открывшемся окне пользователю необходимо указать входные данные:
входной интервал Y – значения результативного признака (в рассматриваемой
задаче это тяговое сопротивление плуга), а также входной интервал X – столбцы со значениями независимых переменных (твердость и влажность почвы).
57
Также указываются параметры вывода результатов – это может быть как
определенный выходной интервал, так и новый рабочий лист или рабочая
книга.
Если строки или столбцы в таблице данных содержат заголовки, то возможна установка флажка «Метки» для их использования в итоговой таблице
результатов.
В поле «Уровень надежности» возможно задание необходимого уровня
надежности расчетов (например, 95 %).
Для того, чтобы регрессия прошла через начало координат, используется
флажок «Константа-ноль».
При необходимости в итоговые результаты можно включить создание
графиков остатков, подбора или нормальной вероятности, установив соответствующий флажок. Аналогично можно включить в выходную таблицу и значения
стандартизированных остатков.
Итоги выполнения регрессионного анализа представлены на рис. 6.4. Рассчитанные параметры (коэффициенты) уравнения регрессии располагаются в
ячейках B17:B19.
Рис. 6.4. Итоги выполнения регрессионного анализа экспериментальных
данных работы плуга в MS Excel
Проверка качества полученного уравнения регрессии основана на оценке
значения множественного коэффициента детерминации R2 (ячейка B5), который рассчитывается как квадрат множественной корреляции R (ячейка B4) и
определяющий долю влияния учтенных факторных признаков на зависимую
переменную Y. Изменение зависимой переменной в основном будет связано с
58
изменением включенных в модель факторов, если значение R2 ˃ 0,7. В рассматриваемой задаче значение R2 = 0,934 (˃ 0,7).
Адекватность уравнения регрессии проверяется на основе дисперсионного анализа с использованием F-критерия Фишера. Значимость коэффициента
детерминации R2 подтверждается, если расчетное значение F-критерия Фишера
(ячейка E12) меньше критического значения, рассчитываемого при помощи
функции FРАСПОБР из набора функций Microsoft Excel из категории «Статистические» (рис. 6.5).
Рис. 6.5. Функция FРАСПОБР из категории «Статистические»
В диалоговом окне «Аргументы функции» (рис. 6.6) необходимо ввести
значение вероятности (0,05), а также указать ячейки из столбца df Регрессия и
Остаток (в рассматриваемой задаче это B12 и B13) в поле Степени_свободы1
и Степени_Свободы2 соответственно.
Рис. 6.6. Диалоговое окно функции MS Excel FРАСПОБР
59
Функция рассчитала значение 5,14 (< значения F-критерия Фишера) →
коэффициент детерминации R2 значим.
Проверка значимости также осуществляется путем сравнения значения
ячейки Значимость F с заданным 0,05 – оно должно быть меньше (в задаче это
ячейка F12).
Проверка статистической значимости полученных коэффициентов уравнения регрессии выполняется на основании t-критерия Стьюдента. Коэффициент регрессии является значимым, если модуль расчетного значения t-критерия
Стьюдента (ячейки D17:D19) больше модуля критического значения, рассчитанного при помощи функции MS Excel СТЬЮДРАСПОБР из категории
«Статистические».
В диалоговом окне «Аргументы функции» (рис. 6.7) необходимо указать
уровень значимости (0,05) и значение разности a-b-c, где а – число наблюдений, b – число независимых переменных, с – число свободных членов в уравнении регрессии.
Рис. 6.7. Диалоговое окно функции MS Excel СТЬЮДРАСПОБР
В рассматриваемой задаче критическое значение t-критерия равно 2,45,
что в целом подтверждает значимость коэффициентов уравнения регрессии,
за исключением свободного члена. В таком случае необходим пересчет уравнения с удалением свободного члена. Для этого необходима активация флажка
«Константа-ноль» при выборе опции «Регрессия», означающая, что свободный
член был признан незначимым и исключен из уравнения регрессии.
После исключения свободного члена результаты расчета регрессионного
анализа представлены на рис. 6.8.
60
Рис. 6.8. Итоги выполнения регрессионного анализа после исключения
свободного члена
Если незначимым получился один из коэффициентов регрессии, то данный
коэффициент, а также соответствующий ему факторный признак необходимо
исключить из расчета, а затем заново пересчитать коэффициенты регрессии.
Значение коэффициента регрессии также считается незначимым в том
случае, когда модуль его значения меньше модуля его стандартной ошибки
(ячейки C18:C19).
Показатель P-значения для каждого из коэффициентов в случае значимости коэффициента регрессии должен быть меньше заданного уровня значимости (в рассматриваемой задаче – 0,05).
Для оценки влияния факторов на зависимую переменную используется
коэффициент эластичности. Эластичность показывает, на сколько процентов
изменяется значение зависимой переменной при изменении факторного признака на 1 %, но не учитывает степень колеблемости факторов. Он вычисляется
по формуле
,
(6.2)
где b – соответствующий коэффициент факторного признака;
– среднее значение факторного признака;
– среднее значение результативного признака.
Рассчитаем эластичность фактора «Твердость почвы».
.
При изменении твердости почвы на 1 % тяговое сопротивление повышается на 0,45 %.
Рассчитаем эластичность фактора «Влажность почвы».
61
.
При изменении влажности почвы на 1 % тяговое сопротивление повышается на 0,56 %.
На основании проведенного анализа установлена зависимость между тяговым сопротивлением плуга и твердостью, а также влажностью почвы в виде
Y = 3,78X1 + 0,14X2,
(6.3)
где X1 – значение твердости почвы;
X2 – значение влажности почвы.
Изменение тягового сопротивления плуга на 99,8 % связано с изменением
твердости и влажности почвы, а 0,2 % относится к неучтенным факторам.
6.3. Задание
На основании приведенного примера самостоятельно выполнить регрессионный анализ экспериментальных данных. Результаты опытов приведены в
табл. 6.1-6.3.
I вариант
Таблица 6.1
Результаты экспериментального исследования работы выкопочной машины
Х1
Х2
Y
Твѐрдость Влажность Величина давления
№
почвы,
почвы,
в напорной
опыта
МПа
%
гидромагистрали,
МПа
1
1
45
3,48
2
1
60
3,67
3
1
75
3,73
4
1,5
45
3,80
5
1,5
60
3,86
6
1,5
75
3,9
7
2
45
3,81
8
2
60
3,97
9
2
75
4,18
62
II вариант
Таблица 6.2
Результаты экспериментального исследования работы фрезерного рабочего
органа для измельчения пней
Х1
Х2
Y
№ опыта
Скорость подачи,
м/с
Выступ подрезного
ножа, мм
Работа по измельчению пня,
Дж/см3
1
0,0034
1
5,0
2
0,0034
2
5,0
3
0,0034
3
7,8
4
0,0034
4
8,0
5
0,0034
5
9,9
6
0,0065
1
3,6
7
0,0065
2
4,2
8
0,0065
3
4,8
9
0,0065
4
6,0
10
0,0065
5
6,3
11
0,0088
1
3,7
12
0,0088
2
3,9
13
0,0088
3
5,1
14
0,0088
4
4,7
15
0,0088
5
6,3
63
III вариант
Таблица 6.3
Результаты экспериментального исследования работы обрезчика ветвей
с дисковой пилой
Х1
Х2
Y
№
Угол резаУгол
Величина давлеопыта ния, град.
встречи,
ния, МПа
град.
1
90
135
6,7
2
30
135
3,9
3
90
45
2,7
4
30
45
2,3
5
90
90
5,2
6
30
90
4,4
7
60
135
3,8
8
60
45
1,2
6.4. Контрольные вопросы
1. Что такое регрессионный анализ?
2. Этапы выполнения регрессионного анализа.
3. Виды регрессионных зависимостей.
4. Методика проверки адекватности уравнения регрессии.
5. Методика проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии.
64
Практическое занятие № 7
РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЭВМ
Цель: изучение алгоритма решения нелинейных уравнений с использованием программы Microsoft Excel.
7.1. Основные положения и методические указания
В инженерной практике для математического описания различных систем
и процессов, а также при обработке экспериментальных данных, часто используются нелинейные уравнения.
Под нелинейным уравнением понимается алгебраическое и трансцендентное уравнение вида f(x) = 0, где x – действительное число, а f(x) – нелинейная
функция.
В общем случае решение нелинейного уравнения производится численно
в два этапа. Сначала производится поиск интервалов, в которых содержится
только по одному корню. Второй этап решения связан с определением значения
корня с заданной точностью. Известно, что корень уравнения – это такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю, а в графическом
представлении – это может быть точка пересечения или касания графика функции с осью абсцисс.
Современные математические программные пакеты позволяют без программирования решать нелинейные уравнения. Так, в программе Microsoft
Excel возможно осуществить решение нелинейных уравнений следующими
способами:
- с помощью опции «Подбор параметра»;
- с использованием циклических ссылок.
- с помощью опции «Поиск решения».
7.2. Пример решения нелинейного уравнения в MS Excel
Задание. С использованием программы Microsoft Excel необходимо решить нелинейное уравнение вида
(7.1)
65
Решение
1. Заданное уравнение необходимо преобразовать к виду f(x) = 0.
Умножим левую и правую части уравнения на x. В результате получаем
Переносим единицу в левую часть уравнения
Таким образом, функция, для которой необходимо найти нуль, имеет вид
(7.2)
2. Первоначально решим уравнение графически, то есть найдем такие
значения x, при которых функция обращается в нуль.
Произведем табулирование значений заданной функции на интервале от
-5 до 5 с шагом 0,5 (рис. 7.1.). В ячейки столба A были введены значения x на
выбранном интервале. В каждой n-й ячейке столбца B была введена формула
=An*COS(An)-1.
По произведенным расчетам построен график функции.
Рис. 7.1. Результаты табулирования значений заданной функции с построением
графика
66
3. Анализ графика позволяет произвести локализацию корней с определением интервалов значений x, на которых находятся корни рассматриваемой
функции (в столбце значений они выделены желтым цветом). Это интервалы
[-4,5; -4], [-2,5; -2] и [4,5; 5].
4. Используя команду «Подбор параметра» из выпадающего меню «Анализ «что-если»»
во вкладке «Данные» найдем корни функции методом последовательных приближений.
На текущем рабочем листе MS Excel отдельно выпишем серединные значения выявленных интервалов, где располагаются корни функции (рис. 7.2). В
рассматриваемом примере это значения -4,25; -2,25; 4,75, указанные соответственно в ячейках A26, A27 и A28. Справа от заполненных ячеек введем формулу
рассматриваемой функции.
Рис. 7.2. Нахождение корней функции
5. Выбрать команду «Подбор параметра».
6. В открывшемся диалоговом окне команды (рис. 7.3) проверить правильность адреса ячейки, где располагается формула для вычисления функции, в поле «Установить в ячейке» (для первого корня это B26). В случае неправильности указания ячейки исправить адрес. В поле «Значение» ввести ноль. Указать
ячейку со значением x (A26) в поле «Изменяя значения ячейки» и выполнить команду.
Рис. 7.3. Диалоговое окно команды «Подбор параметра»
7. Значения двух остальных корней находим аналогично.
67
Результат решения уравнения будет представлен в ячейках A26…A28
(рис. 7.4).
Рис. 7.4. Результат решения нелинейного уравнения с использованием
команды «Подбор параметра»
7.3. Задание
На основании приведенного примера самостоятельно решить заданное
нелинейное уравнение в программе Microsoft Excel.
I вариант
II вариант
III вариант
7.4. Контрольные вопросы
1. Что понимается под нелинейным уравнением?
2. Где в инженерной практике используются нелинейные уравнения?
3. Этапы решения нелинейного уравнения.
4. Методика решения нелинейного уравнения в MS Excel.
68
Практическое занятие № 8
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЭВМ
Цель: изучение алгоритма решения систем линейных алгебраических
уравнений с использованием программы Microsoft Excel.
8.1. Основные положения и методические указания
Часто математическое описание различных систем и процессов осуществляется посредством систем линейных уравнений.
Система линейных алгебраических уравнений – объединение из n линейных уравнений, содержащих k переменных. Система линейных алгебраических уравнений имеет вид
,
(8.1)
где m – количество уравнений;
n – количество переменных;
x1, x2...xn – неизвестные;
a11, a12…amn – коэффициенты уравнений;
b1, b2…bn – свободные члены уравнений.
Решение системы заключается в нахождении последовательности чисел
k1, k2…kn, являющейся решением каждого уравнения системы, а значит, при
подстановке найденных чисел в уравнение вместо переменных выполняется
его числовое равенство – то есть все уравнения системы превращаются в тождества.
Решение системы нелинейных уравнений с использованием математических пакетов (Mathcad, Matlab, MS Excel и другие) может осуществляться следующими способами:
- методом обратной матрицы;
- методом Крамера;
- методом Гаусса;
- с использованием опции «Поиск решения».
69
8.2. Пример решения системы линейных алгебраических уравнений
в MS Excel
Задача. С использованием программы Microsoft Excel необходимо решить систему линейных алгебраических уравнений
.
(8.1)
Решение
1. Сначала решим заданную систему методом обратной матрицы.
На основании уравнений системы составим матрицы A и B, а затем введем их элементы в ячейки рабочего листа MS Excel.
Матрица A, состоящая из коэффициентов уравнений системы, имеет вид
.
Матрица B, включающая в себя свободные члены уравнений системы,
имеет следующую запись:
.
Матрицы, записанные на рабочем листе MS Excel, представлены на рис. 8.1.
Рис. 8.1. Матрицы, составленные на основании уравнений системы
2. Необходимо вычислить обратную матрицу для A, используя функцию
МОБР из набора встроенных функций Microsoft Excel (категория «Математические»).
Для этого выделяем произвольный диапазон ячеек, где будут записаны
элементы обратной матрицы. При этом количество строк и столбцов будет равняться соответствующим параметрам исходной матрицы. В рассматриваемой
задаче выделены ячейки в диапазоне B5…D9 (рис. 8.2).
70
Рис. 8.2. Выделенный диапазон ячеек для расчета обратной матрицы
Далее пользователю при помощи опции «Мастер функций» необходимо
выбрать функцию МОБР и нажать кнопку «ОК». В диалоговом окне «Аргументы функции» в поле «Массив» указываем диапазон ячеек, где располагаются
элементы исходной матрицы (рис. 8.3).
Рис. 8.3. Диалоговое окно функции МОБР, возвращающей обратную матрицу
После нажатия кнопки «ОК» в левом верхнем углу ранее выделенного
массива появится первое рассчитанное значение обратной матрицы.
Рис. 8.4. Первое рассчитанное значение обратной матрицы
При последовательном нажатии клавиш F2 и комбинации Ctrl+Shift+Enter
будут рассчитаны остальные элементы обратной матрицы (рис. 8.5).
71
Рис. 8.5. Рассчитанная обратная матрица
3. Используя функцию МУМНОЖ из «Мастера функций», возвращающей
матричное произведение двух массивов, выполняется перемножение обратной
матрицы A-1 и матрицы B. Диалоговое окно данной функции представлено на
рис. 8.6.
Рис. 8.6. Диалоговое окно функции МУМНОЖ, возвращающей
матричное произведение двух массивов
Причем в поле «Массив1» обязательно должна быть указана обратная
матрица A-1, а в поле «Массив2» – матрица B.
Предварительно необходимо выделить произвольные пустые ячейки, где
будут размещены рассчитанные корни для системы линейных уравнений.
Число пустых ячеек должно быть равным количеству неизвестных в уравнениях системы. В рассматриваемой задаче были использованы пустые ячейки
G5…G7.
После заполнения всех полей в диалоговом окне используемой функции и
нажатия кнопки «ОК» будет рассчитан первый корень для системы. Последовательное нажатие клавиши F2 и комбинации Ctrl+Shift+Enter позволит рассчитать остальные корни.
72
Результат расчет корней для заданной системы линейных алгебраических
уравнений показан на рис. 8.7. x1 = 16,5; x2 = 4,21429; x3 = 32,42857.
Рис. 8.7. Результат расчета корней системы линейных алгебраических
уравнений
4. Проверку найденных корней выполним с использованием метода Крамера. Сперва рассчитаем с использованием функции МОПРЕД определитель
для исходной матрицы A, указав в поле «Массив» диалогового окна команды
диапазон ячеек B1:D3 (рис. 8.8).
Рис. 8.8. Диалоговое окно функции «МОПРЕД», рассчитывающей
матричный определитель
В ячейке F3 рассчитан определитель для исходной матрицы, равный -14
(рис. 8.9).
Рис. 8.9. Расчет значения определителя для исходной матрицы
73
5. На текущем рабочем листе запишем три матрицы (A1, A2 и A3), каждая из которых получается заменой одного из столбцов исходной матрицы A на
столбец матрицы B (рис. 8.10).
Рис. 8.10. Матрицы, полученные заменой одного столбца исходной
матрицы A на столбец матрицы B
6. Найдем определители для каждой из созданных матриц A1, A2 и A3
с использованием функции МОПРЕД (рис. 8.11).
Рис. 8.11. Расчет определителей для матриц A1, A2 и A3
74
7. Корни для системы линейных алгебраических уравнений рассчитываются на основании формулы
(8.2)
где xn – n-й корень;
Dn – определитель матрицы An;
D – определитель исходной матрицы A.
Расчет корней также удобно производить путем введения соответствующих формул в выбранные ячейки рабочего листа.
Результат расчета корней по методу Крамера для рассматриваемого примера приведен на рис. 8.12. Значения, найденные по методу обратной матрицы,
и методом Крамера совпадают (x1 = 16,5; x2 = 4,214286; x3 = 32,42857). Расчет
корней выполнен верно.
Рис. 8.12. Расчет корней методом Крамера
8.3. Задание
На основании приведенного примера самостоятельно решить заданную
систему линейных уравнений методом обратной матрицы и методом Крамера в
программе Microsoft Excel.
75
I вариант
II вариант
III вариант
.
8.4. Контрольные вопросы
1. Что такое система линейных алгебраических уравнений?
2. Привести пример системы линейных уравнений с объяснением всех
входящих в уравнения членов.
3. Способы решения системы линейных алгебраических уравнений с использованием специальных программных пакетов?
4. Методика решения системы линейных уравнений методом обратной
матрицы и по методу Крамера в MS Excel.
76
Практическое занятие № 9
РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЭВМ
Цель: изучение алгоритма решения дифференциальных уравнений
с использованием программы Microsoft Excel.
9.1. Основные положения и методические указания
Часто математическое моделирование сложных процессов и систем приводит к необходимости использования уравнений, где, кроме независимых переменных и зависимых от них искомых функций, содержатся еще и производные или дифференциалы от неизвестных функций. Данные уравнения называются дифференциальными.
Дифференциальное уравнение – уравнение, связывающее значение производной функции с самой функцией, а также со значениями независимой переменной и числами (параметрами). Порядок используемых в уравнение производных может быть различен. Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях или вовсе отсутствовать, кроме хотя бы одной производной. Пример дифференциального уравнения первого порядка представлен ниже
(9.1)
Порядок (степень дифференциального уравнения) – это наивысший порядок производных, входящих в него. При этом дифференциальное уравнение,
имеющее порядок выше первого, можно преобразовать в систему уравнений
первого порядка, где число уравнений равно порядку исходного уравнения.
Дифференциальные уравнения подразделяются на обыкновенные, где в
уравнение входят функции и их производные от одного аргумента; уравнения с
частными производными, где функции зависят от множества переменных; стохастические, описывающие случайно протекающие процессы.
Решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция y(x), которая на некотором интервале (a, b) имеет производные y/(x),
y//(x)…yn(x) (то есть до n-го порядка), и удовлетворяющая заданному уравнению.
Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием.
77
Решение дифференциальных уравнений с использованием математических пакетов может осуществляться следующими способами:
- методом Эйлера;
- модифицированным методом Эйлера;
- методом Рунге-Кутта.
9.2. Пример решения дифференциального уравнения в MS Excel
Задача. С использованием программы Microsoft Excel необходимо
решить дифференциальное уравнение
(9.2)
Решение необходимо выполнить на интервале [0; 3] с шагом h = 0,2 при
начальном условии x0 = 0, y(x0) = 0.
Решение
1. Выполним решение заданного дифференциального уравнения методом
Эйлера.
Разместим на рабочем листе
программы Microsoft Excel исходные данные задачи в отдельных
ячейках (рис. 9.1) – параметры отрезка
интегрирования
(ячейки
B2…B3), начальное значение функции y0 (ячейка B4), шаг интегрироРис. 9.1. Исходные данные для
вания (B6) и количество отрезков
решения задачи
разбиения (B5).
2. В столбце D разместим 15 точек разбиения отрезка интегрирования.
Формула Эйлера имеет вид
(9.3)
3. Реализуем ее в ячейках E2:E17, сперва внеся в ячейку E2 начальное
условие y(x0) = 0, а в остальные записав формулу
=En-1+$B$6*(3*Dn-1-2*En-1+Dn-1^2),
(9.4)
где n – порядковый номер ячейки, в которую записывается формула.
Рассчитанные значения Y по формуле Эйлера представлены на рис. 9.2.
78
Рис. 9.2. Результаты решения
дифференциального уравнения
методом Эйлера
4. Для оценки точности полученных результатов дополнительно решим
заданное уравнение модифицированным методом Эйлера.
Модифицированная формула Эйлера имеет вид
.
(9.5)
Реализуем ее в ячейках F2:F17, также сперва внеся в ячейку F2 начальное
условие y(x0) = 0, а в остальные записав формулу
=Fn-1+$B$6/2*((3*Dn-1-2*En-1+Dn-1^2)+(3*Dn-2*En+Dn^2)),
(9.6)
где n – порядковый номер ячейки, в которую записывается формула.
Рассчитанные значения Y с использованием модифицированной формулы
Эйлера представлены на рис. 9.3.
Рис. 9.3. Результаты решения
дифференциального уравнения
модифицированным методом
Эйлера
79
5. В заключение выполним решение дифференциального уравнения по
методу Рунге-Кутта, который является более точным методом, чем два ранее
использовавшихся, так как правая часть уравнения рассчитывается четыре раза,
а не два, как в предыдущих способах. Формула расчета Y в данном случае
выглядит следующим образом:
(9.7)
где k1 = h · f(xk, yk);
k2 = h · f(xk + h/2, yk + k1/2);
k3 = h · f(xk + h/2, yk + k2/2);
k4 = h · f(xk + h, yk + k3).
Реализуем данные формулы в столбцах H, I, G и K, введя соответствующие формулы:
k1 – = $B$6*(3*Dn-2*En+Dn^2);
k2 – =$B$6*((3*(Dn+($B$6/2))-2*(En+H2/2)+(Dn+$B$6/2)^2));
k3 – =$B$6*((3*(Dn+$B$6/2))-2*(En+I2/2)+(Dn+$B$6/2)^2);
k4 – =$B$6*((3*(D2+$B$6))-(2*(E2+J2))+(D2+$B$6)^2);
где n – порядковый номер ячейки, в которую записывается формула.
Результаты четырех расчетов правой части дифференциального уравнения представлены на рис. 9.4.
Рис. 9.4. Результаты четырех расчетов правой части заданного
дифференциального уравнения
80
6. На основании полученных результатов выполним расчет Y по методу
Рунге-Кутта, введя в ячейки столбца G следующую формулу, реализующую
выражение 9.7:
=Gn-1+((Hn+2*In+2*Jn+Kn)/6),
(9.8)
где n – порядковый номер ячейки, в которую записывается формула.
Рассчитанные значения Y по методу Рунге-Кутта представлены на рис. 9.5.
Рис. 9.5. Результаты решения дифференциального уравнения
методом Рунге-Кутта
7. Рассчитанные тремя способами приближенные значения Y изобразим
на графике (рис. 9.6).
Рис. 9.6. График рассчитанных приближенных значений Y
81
9.3. Задание
На основании приведенного примера самостоятельно решить заданное
дифференциальное уравнение методом Эйлера, модифицированным методом
Эйлера и методом Рунге-Кутта в программе Microsoft Excel.
Дифференциальное
уравнение
Интервал
Шаг
Начальное
условие
I вариант
[0, 2]
0,2
x0 = 0, y(x0) = -1
II вариант
[0, 3]
0,2
x0 = 0, y(x0) = 1
III вариант
[0, 1]
0,1
x0 = 0, y(x0) = 1,5
9.4. Контрольные вопросы
1. Что называется дифференциальным уравнением?
2. Как определяется порядок дифференциального уравнения?
3. Классификация дифференциальных уравнений.
4. Что называется решением дифференциального уравнения?
5. Способы решения дифференциальных уравнений.
6. Методика решения дифференциальных уравнений в программе
Microsoft Excel.
82
Библиографический список
Основная литература
1. Ивановский, Р. И. Теория вероятностей и математическая статистика.
Основы, прикладные аспекты с примерами и задачами в среде Mathcad
[Электронный ресурс] / Р. И. Ивановский. – СПб. : БХВ-Петербург, 2008. –
528 с. – ЭБС "Знаниум".
2. Калиткин, Н. Н. Численные методы [Электронный ресурс] : учеб.
пособие / Н. Н. Калиткин. – 2-е изд., испр. – СПб. : БХВ-Петербург, 2011. –
586 с. – ЭБС "Знаниум".
3. Кобелев, Н. Б. Имитационное моделирование [Электронный ресурс] :
учеб. пособие / Н. Б. Кобелев, В. В. Девятков, В. А. Половников. –
М. : КУРС : НИЦ Инфра-М, 2013. – 368 с. – ЭБС "Знаниум".
Дополнительная литература
4. Замятина, О. М. Компьютерное моделирование [Электронный ресурс] :
учеб. пособие / О. М. Замятина. – Томск, 2007. – 121 с. – ЭБС "Единое окно".
5. Редькин, А. К. Математическое моделирование и оптимизация технологий лесозаготовок [Текст] : учеб. / А. К. Редькин. – М., 2005. – 504 с.
6. Рукомойников, К. П. Компьютерные методы обработки лесотехнической информации [Электронный ресурс] / К. П. Рукомойников. – Йошкар-Ола,
2010. – 103 с. – ЭБС «Лань».
7. Штерензон, В. А. Моделирование технологических процессов
[Электронный ресурс] : конспект лекций / В. А. Штерензон. – Екатеринбург,
2010. – 66 с. – ЭБС "Единое окно".
83
Дручинин Денис Юрьевич
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ИНЖЕНЕРИИ
Методические указания к практическим занятиям для студентов
по направлению подготовки
15.04.02 – Технологические машины и оборудование
Редактор С.Ю. Крохотина ЕАА.С
Подписано в печать 29.02.2016. Формат 60х90 /16.
Усл. печ. л. 5,2. Уч.-изд. л. 5,1. Тираж 20 экз. Заказ
ФГБОУ ВО «Воронежский государственный лесотехнический университет
имени Г.Ф. Морозова»
РИО ФГБОУ ВО «ВГЛТУ». 394087, г. Воронеж, ул. Тимирязева, 8
Отпечатано в УОП ФГБОУ ВО «ВГЛТУ»
394087, г. Воронеж, ул. Докучаева, 10
84
21,00
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
2 060 Кб
Теги
метод, дручинин, инженерия, математические
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа