close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Зимарин С. В. Начертательная геометрия. Практикум

код для вставкиСкачать
Министерство образования и науки
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Воронежская государственная лесотехническая академия
С. В. Зимарин, Н. А. Бородин
НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Практикум
Воронеж 2012
2
УДК 744.1
З 62
Печатается по решению учебно-методического совета
ГОУ ВПО «ВГЛТА»
Рецензенты: кафедра механики ВГАУ
доц. Кузьменко С. В.
Зимарин, С.В.
З 62 Зимарин, С. В. Начертательная геометрия [Текст]: практикум / С. В. Зимарин, Н. А. Бородин; Министерство образования и науки, ГОУ ВПО «ВГЛТА» –
Воронеж, 2012. – 55 с.
ISBN
(в обл.)
Даны методические указания, задания и примеры необходимые для выполнения графических работ по основным разделам дисциплины «Начертательная геометрия».
Рекомендуется для бакалавров высших учебных заведений, обучающихся
по направлению подготовки 250700 – Ландшафтная архитектура.
Табл. 7. Илл. 48. Библиогр.: 3 наим.
УДК 744.1
ISBN
© Зимарин С. В., Бородин . А., 2012
© ГОУ ВПО «Воронежская государственная
лесотехническая академия», 2012
3
Принятые обозначения
1 Плоскости проекций: горизонтальная – π1, фронтальная – π2, профильная – π3, дополнительная – π4. Плоскости – строчными буквами (α, β, γ)
2 Оси проекций – строчными буквами х, у, z.
3 Точки в пространстве – прописными буквами А, В, С и цифрами.
4 Проекции точек: на горизонтальную плоскость π 1 – АI, ВI, СI; на π 2 –
AII, ВII, СII; на π3 – АIII, ВIII, СIII; на дополнительную плоскость π 4 – АIV, ВIV, СIV.
5 Прямые в пространстве – двумя точкам, лежащим на прямой (AB, ВС).
6 Горизонтальная (фронтальная) проекция прямой АВ – АIВI (AIIBII)
7 Горизонтальный (фронтальный) след прямой АВ – МАВ (NАВ)
8 Горизонтальный (фронтальный) след плоскости α – hIoα (fIIoα); точка
схода следов плоскости α – Xα.
9 А* – действительная тень точки; (А*) – мнимая тень точки.
10 П – предметная плоскость; К – картинная плоскость; ОК – основание
картины; ЛГ – линия горизонта; S – точка зрения; Р – главная точка картины;
SP – главный луч зрения; D1,D2 – дистанционные точки; F1, F2 – точки схода.
11 АК – перспективная проекция точки; АОК – ортогональная проекция
точки на картину; АI – проекция точки на предметную плоскость.
12 Символы: ∩ – пересекаются; || – параллельны; ≡ – совпадают; < – угол.
Графические работы выполняются на листах чертежной бумаги формата
A3 в масштабе 1:1. Лист оформляется рамкой, основной надписью (рис. 1) и
таблицей с исходными данными (располагается в правом верхнем углу чертежа).
10 10
10
(Наименование работы)
Выполнил
Лист
М 1:1
(Ф. И. О.)
Проверил
25
30
120
Рис. 1
25
4
1 Графическая работа № 1
АКСОНОМЕТРИЯ
Цель работы: приобрести навыки построения аксонометрических проекций.
Индивидуальные задания
Исходные данные для построений принимаются из табл. 1.
Размеры для построения геометрических фигур принимаются из табл. 2.
Таблица 1
№ Изометрия Диметрия окружности
фигуры
(в плоскости/диаметр)
1
Рис.2
π1 / Ǿ 80
2
Рис.3
π2 / Ǿ 70
3
Рис.4
π3 / Ǿ 60
4
Рис.5
π1 / Ǿ 70
5
Рис.2
π2 / Ǿ 60
6
Рис.3
π3 / Ǿ 80
7
Рис.4
π1 / Ǿ 60
8
Рис.5
π2 / Ǿ 80
9
Рис.2
π3 / Ǿ 70
10
Рис.3
π1 / Ǿ 80
№ Диметрия Изометрия окружности
фигуры
(в плоскости/диаметр)
11
Рис.2
π1 / Ǿ 80
12
Рис.3
π2 / Ǿ 70
13
Рис.4
π3 / Ǿ 60
14
Рис.5
π1 / Ǿ 70
15
Рис.2
π2 / Ǿ 60
16
Рис.3
π3 / Ǿ 80
17
Рис.4
π1 / Ǿ 60
18
Рис.5
π2 / Ǿ 80
19
Рис.2
π3 / Ǿ 70
20
Рис.3
π1 / Ǿ 80
Таблица 2
№
1,2,3,4,
11,12,13,14
5,6,7,8,
15,16,17,18
9,10, 19,20
D
d
d1
d2
h
H
80
60
40
50
50
80
90
70
50
60
60
90
70
50
30
40
40
70
5
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 4
Рис. 5
6
Задача 1. Построение аксонометрической проекции геометрического тела (с вырезом четвертой части).
Построение аксонометрической поверхности сводится к умению строить
аксонометрические проекции многогранников и тел вращения (цилиндр, конус).
Для построения аксонометрии многогранника необходимо определить
аксонометрические проекции его вершин, затем соединить их прямыми линиями (аксонометрические проекции ребер многогранника).
Для построения аксонометрической проекции тела вращения необходимо построить аксонометрические проекции оснований этого тела (основанием
является окружность), предварительно определив положения центров оснований на аксонометрических осях. Аксонометрическая проекция окружности
представляет собой эллипс, вместо которого для упрощения построения изображают овал, состоящий из дуг окружностей, проведенных из четырех центров
овала. Далее образующими данного тела вращения соединяют его основания.
Форма деталей может усложняться различными срезами, вырезами, пересечением составляющих поверхностей. Тогда предварительно нужно определить форму линий пересечения, а строить их по отдельным точкам, вводя обозначения проекций точек, которые после выполнения построений могут быть
удалены с чертежа.
В прямоугольной изометрии аксонометрические оси ОХ, ОY, ОZ рас°
положены под углом 120 (рис. 6), коэффициенты искажения по осям равны
0,82. Строят изометрические проекции точек по их координатам, снятым с ортогональных проекций (рис. 7, где АI, АII – соответственно горизонтальная и
фронтальная проекция точки А), принимая для упрощения построений приведенный коэффициент искажения по осям равный 1.
Рис. 6
Рис.7
7
Таким образом, изометрическая проекция, в сравнении с ортогональной проекцией, получается увеличенной в 1:0,82 = 1,22 раза, что
следует отмечать в основной надписи: 1,22:1 или на поле чертежа. Окружности, лежащие в основных
плоскостях проекций, изображаются
эллипсами (рис.8), у которых направление малой оси совпадает с направлением оси, не входящей в плоскость, а большая ось ей перпендикулярна. При этом малая ось равна
Рис. 8
0,71D, а большая – 1,22D (D – диаметр окружности).
Рассмотрим построение изометрической проекции окружности (рис. 9)
диаметром D в горизонтальной плоскости проекций (X0Y).
Рис. 9
Рис. 10
Построим изометрические оси OX, OY, OZ с началом отсчета, совпадающим с положением центра окружности (точка О). По осям ОХ и ОY откладываем отрезки аО = bО = cО = dО = D/2 (аc = bd = D, где D – диаметр окружности) и строим ромб, стороны которого проходят через точки a, b, c, d и соответственно параллельны осям ОХ и ОY. Точки 1, 2 (вершины ромба, лежащие
на оси Z) и 3, 4 (находим на пересечении отрезков 1d и 1c с большей диагона-
8
лью ромба, проходящей через точку О) являются центрами овала. Имея центры
сопряжения (центры овала) и точки сопряжений ( точки a, b, c, d) строим овал,
где R1 и R2 – радиусы сопряжений, при этом R1 равен отрезку 1d, а R2 равен отрезку 3d.
Аналогично строим изометрические проекции окружностей в плоскостях
XOZ и YOZ, предварительно построив ромб, отложив отрезки аc и bd на соответствующих осях (рис. 8 – на осях X и Z, если строим в плоскости XOZ; на
осях Y и Z, если строим в плоскости YOZ) и определив центры овала.
Для выявления внутреннего контура детали применяют разрезы. При
этом, как правило, секущие плоскости располагают параллельно плоскостям
ХОZ и ZОY. На рис. 10 показано построение направлений линий штриховки на
изометрических проекциях. Для этого по осям X, Y, Z откладывают отрезки
равной длины и соединяют их концы.
В прямоугольной диметрии аксонометрическая ось ОZ располагается вертикально, ось
ОХ – под углом 7010’ к горизонтальной ли-
нии, а ось ОY – под углом 41025’ (рис. 11), на
практике ось Х проводят с уклоном 1:8 к горизонтальной прямой, а ось Y строят как биссектрису угла между осями X и Z. Коэффициенты
искажения по осям Х и Z равны 0,94, а по оси Y
– 0,47. Строят изометрические проекции точек
по их координатам, снятым с ортогональных
проекций, принимая для упрощения построений
приведенный коэффициент искажения по осям
X и Z равным 1, а по оси Y – 0,5. В этом случае
Диметрическое изображение увеличено по
сравнению с действительным в 1,06 раза.
На рис. 12 показано построение направлений линий штриховки на диметрических проекциях. Для этого по осям X и Z откладывают отрезки равной длины, а на оси Y – отрезок
вдвое меньший, далее соединяют их концы.
Рис. 11
Рис. 12
9
Окружности (рис. 13), лежащие в основных плоскостях проекций (или им
параллельных), проецируются в эллипсы, у которых большая ось равна 1,06D, а
малая ось в плоскости XOZ равна 0,94D, в других плоскостях – 0,35D (D –
диаметр окружности). Направление осей эллипсов определяется так же, как в
изометрии.
Рис. 13
Рассмотрим построение диметрической проекции окружности (рис. 14)
диаметром D в горизонтальной плоскости проекций (X0Y).
Рис. 14
10
Через центр проекции окружности (т. О) проводят две взаимно перпендикулярные линии, совпадающие с осями овала: на вертикальной прямой откладывают
отрезки О1, О2 равные 1,06 D и отрезок сd равный 0,35CD, а на горизонтальной
прямой откладываем отрезок ab равный 1,06D. Далее от точек a и b откладывают отрезки a3 и b4 равные cd/4. выполняют построение лучей 13, 14, 23, 24. Из
центров 1 и 2 строят дуги радиусом R1 равным отрезку 1d до пересечения с лучами 13, 14 и 23, 24 соответственно. Из центров 3 и 4 строят дуги радиусом R2
равным отрезку 3а до пересечения с лучами 13, 23 и 14, 24 соответственно.
Диметрическая проекция окружности в плоскости ZOY строится аналогично. Предварительно определяется положение осей овала (рис. 13).
Рассмотрим построение диметрической проекции окружности (рис. 15)
диаметром D во фронтальной плоскости проекций (X0Z). Через центр проекции
окружности (т.О) проводят оси X и Z, на них откладывают отрезки ЕF и MN
равные D и строят ромб со сторонами параллельными осям X и Z. Проводят
диагонали ромба. Через точки E и F проводят горизонтальные линии до пересечения с диагоналями ромба и определяют центры овала (точки 1, 2, 3, 4).
Рис. 15
11
Из центров 1 и 2 строят дуги радиусом R1 равным отрезку 1Е от точки Е
до точки М и от точки F до точки N соответственно. Из центров 3 и 4 строят дуги
радиусом R2 равным отрезку 3F от точки F до точки М и от точки E до точки N соответственно.
Решение задачи:
1 По заданным размерам с учетом самостоятельно выбранного масштаба
построить ортогональные проекции геометрической фигуры.
2 Выполнить построение ее аксонометрической проекции.
На рис. 16 показан пример построения изометрической проекции детали
по еѐ чертежу, форма которой представлена двумя простыми геометрическими
телами – цилиндром и многогранником (правильной четырехгранной призмой).
Этапы выполнения:
1) Привязка осей координат к изображениям детали на чертеже.
2) Построение изометрических осей.
3) Построение многогранника. На чертеже задают вершины призмы (точки 0, 1, 2, 3, 4), которые строят на изометрических осях. По ним выполнена
изометрия верхней грани призмы (четырехугольник 0132), а затем и еѐ видимой
части. На аксонометрических проекциях, как правило, не показывают невидимый контур штриховыми линиями.
4) Построение цилиндра. Предварительно задают на чертеже и в дальнейшем определяют на изометрических осях центры оснований цилиндра (точки 5 и 6). Строят основания цилиндра (представляющие собой овалы) на высоте
30 мм друг от друга, затем основания соединяют образующими цилиндра.
Аналогично выполняется построение диметрической проекции геометрической фигуры (пример выполнения рис. 17).
Задача 2. Построение аксонометрической проекции окружности, лежащей в заданной плоскости.
Решение задачи:
Выполнить аксонометрическую проекцию окружности, используя предложенные выше методики построения.
12
Рис. 16
Рис. 17
13
2 Графическая работа № 2
ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ
Цель работы: изучить разделы начертательной геометрии – точка,
прямая, плоскость; освоить методы решения позиционных задач.
Индивидуальные задания
Исходные данные к выполнению задач принимаются из табл. 3
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Координаты точек, мм
B
C
A
X
120
120
120
120
120
120
120
120
120
120
120
120
120
120
120
120
120
120
120
120
Y
40
20
40
80
80
40
40
20
35
25
35
75
75
45
40
25
40
40
80
80
Z
50
80
50
20
50
20
80
50
50
75
50
20
50
20
75
50
50
50
50
50
Х
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
Y
20
40
80
40
40
80
20
40
20
40
75
40
45
80
20
40
80
80
40
40
Z
80
50
20
50
20
50
50
80
75
50
20
55
25
45
45
75
80
80
80
80
X
90
90
90
90
90
90
90
90
90
90
90
90
90
90
90
90
90
90
90
90
Y
80
80
20
20
20
20
80
80
80
80
20
20
20
20
80
80
20
80
20
80
Z
20
20
80
80
80
80
20
20
20
20
80
80
80
80
20
20
20
80
20
80
D
X Y Z
70 40 20
105 40 20
70 30 20
105 40 20
70 20 30
105 30 30
70 30 30
70 30 40
105 40 20
70 20 30
105 50 30
70 40 20
105 40 40
70 20 30
105 30 20
105 30 30
70 30 40
105 40 20
105 50 40
70 30 20
Таблица 3
Углы наклона к оси Х, град
Горизонталь- Фронтального следа
ного следа
I
h oα
f IIoα
50
40
50
40
50
40
50
40
50
40
50
40
50
40
50
40
50
40
50
40
40
50
60
40
50
60
40
50
60
40
50
60
40
50
60
40
50
60
40
50
14
Задача 1. Построение следов плоскости
Решение задачи:
1 Строят проекции треугольника АВС, предварительно построив по заданным координатам проекции точек А, В, С.
Пример построения по заданным координатам проекции точки А.
Рассмотрим рис. 18, на котором представлена система двух плоскостей
проекций (π 1, π 2 – соответственно горизонтальная и фронтальная плоскости
проекций).
Z
AII
π2
II
–Y
I
A
X
AX
O
AI
π1
Y
III
A
I
Рис. 18
IV
–Z
Плоскости π 1 и π 2 перпендикулярны друг другу, пересекаются по оси Х и
разбивают пространство на четыре двугранных угла; их называют четвертями
пространства. Первая четверть (I) располагается над π 1 и перед π 2 , вторая (I I)
– над π 1 и за π2 и т. д. При этом направление осей относительно начала координат (О) следующее: влево положительное направление оси Х; вверх и вниз соответственно положительное и отрицательное направление оси Z; на нас и от
нас положительное и отрицательное направление оси У.
15
В пространстве первой четверти располагается точка А. Через А проведем
проецирующие прямые ААI и ААII соответственно перпендикулярные π 1 и π 2, в
месте пересечения прямой ААI с π1 находится горизонтальная проекция точки
АI, а в месте пересечения ААII с π 2 фронтальная проекция точки АII.
Для построения плоского чертежа (эпюра) необходимо совместить π 1 с π2
путем вращения вокруг оси Х в указанных на рис. 19 направлениях.
Положение точки А в пространстве опреZ≡–Y
деляется тремя координатами – А (Х;У;Z). УсII
A
тановлена определенная связь между координатами точки и еѐ проекциями. Так координата Х
определяется отрезком ОАХ, т. е. Х = ОАХ; У =
X
AX
O АХАI ; Z = АХАII. Отрезки АХАI и АХАII перпендикулярны оси Х, они откладываются вверх
или вниз от точки АХ в зависимости от того,
какой знак имеет координата точки. Таким обI
II
I
разом
А
,
и
А
лежат на одной линии перпендиA
– Z ≡ Y кулярной оси Х, называемой вертикальная лиРис. 19
ния связи.
На рис. 19 представлен чертеж точки А(10; 20; 10), следовательно, ОАХ
= 10мм, АХАI = 20мм, АХАII = 10мм. При этом отрезок АХАI откладывается
вниз от АХ, так как координата У положительная, а отрезок АХАII строится
вверх от АХ, потому что координата Z положительная.
Аналогично строят проекции точек В и С. Далее соединяют одноименные проекции точек и определяют положение проекций отрезков прямых (например, соединив горизонтальные проекции точек АI и ВI, строят горизонтальную проекцию отрезка АIВI), составляющих горизонтальную и фронтальную
проекции треугольника АВС (АIВIСI и АIIВIIСII).
2 Определяют горизонтальные и фронтальные следы двух любых прямых, являющихся сторонами треугольника АВС (горизонтальный след прямой
– точка пересечения прямой с π1, фронтальный след прямой – с π2), и находят
соответствующие следы плоскости (горизонтальный след плоскости – линия
пересечения плоскости с π1, фронтальный след плоскости – с π2), так как известно, что следы прямой, принадлежащей плоскости лежат на одноименных
следах этой плоскости.
16
Рассмотрев рис. 20, на котором представлен треугольник ABC, принадлежащий плоскости α, отметим, что горизонтальные следы (МАС, МАВ) прямых
I
АС и АВ лежат на горизонтальном следе плоскости α (h оα), а фронтальные
следы (NАС, NАВ) прямых АС и АВ лежат на фронтальном следе плоскости α
II
(f оα).
Nав
π2
f IIоα
А
Nвс
х
хα
α
С
О
Мас
В
I
h оα
π1
Мав
Рис. 20
На рис. 21 показан пример последовательности действий производимых
после построения проекций треугольника АВС:
1) Определяем положение горизонтального и фронтального следа прямой
АВ. Для этого продолжим фронтальную проекцию прямой АВ (АIIВII) до пересечения с осью Х. В месте пересечения располагается фронтальная проекция
горизонтального следа прямой АВ (MIIав), из которой проведем вертикальную
линию связи до пересечения с горизонтальной проекцией прямой АВ (АIВI), в
месте пересечения располагается горизонтальная проекция горизонтального
следа прямой АВ (MIав), совпадающая с положением самого горизонтального
следа прямой АВ (Мав).
Затем продолжим горизонтальную проекцию прямой АВ (АI ВI), до пересечения с осью Х, в месте пересечения находится горизонтальная проекция
фронтального следа прямой АВ (NIав), из которой проводим вертикальную ли-
17
нию связи до пересечения с фронтальной проекцией прямой АВ (АII ВII) и определяем положение фронтальной проекции фронтального следа этой прямой
(NIIав), которая будет совпадать с фронтальным следом данной прямой (Nав).
2) Аналогично найдем положение горизонтального и фронтального следа
прямой АС (Мас, Nас).
3) Соединяя горизонтальные следы прямых АВ и АС (точки Мав и Мас),
строим горизонтальный след плоскости ( линия hIoα); а соединяя фронтальные
следы данных прямых – фронтальный след плоскости (линия f IIoα).
II
f oα
Nав≡ NIIав
NIIас≡ Nас
АII
CII
Х
MIIас
ВII
I
N ав
MIIав
NIас
АI
СI
Мас≡ MIас
ВI
hIoα
МIав ≡ Мав
Рис. 21
18
Задача 2. Определение угла наклона плоскости к горизонтальной
плоскости проекций
Рассмотрев рис. 22, отметим, что угол наклона плоскости β (в которой
лежит треугольник АВС) к π1 (<α) равен углу наклона прямой С2 к π1 (<2М2I),
где М – горизонтальный след прямой С2. Прямая С2 является линией наибольшего наклона плоскости треугольник АВС к π1, данная прямая лежит в плоскости треугольника АВС и перпендикулярна горизонтали А1. Горизонталь А1 –
это линия лежащая в плоскости треугольника АВС и параллельная π1.
Из рис. 22 видно, что <α это угол между прямой С2 и горизонтальной
проекцией этой прямой (СI2I). При этом треугольник 2ЕС прямоугольный, в котором С2 гипотенуза, катет СЕ = СI2I, так как отрезок СЕ перпендикулярен 22I,
катет 2Е равен разности координат Z точек 2 и С (2Е = 22I – ССI = Z2 – ZС), а
<2СЕ = <α.
π2
f IIoβ
β
А
2
х
хβ
О
В
Е
АI
С
1
2I
hIoβ
СI 1I
π1
ВI
М
19
Рис. 22
Решение задачи:
1 По координатам точек А, В,С определяют проекции треугольника АВС.
2 Строят горизонталь А1 треугольника АВС (рис. 23). Фронтальная проекция горизонтали (АII1II) параллельна оси Х. Через 1II проводят вертикальную
линию связи до пересечения c ВIСI, в месте пересечения определяется 1I; далее
строят горизонтальную проекцию горизонтали (АI1I).
3 Проводят линию наибольшего наклона плоскости треугольника АВС к
π1 (С2). Горизонтальная проекция линии наибольшего наклона плоскости к π1
(СI2I) строится перпендикулярно АI1I. Далее находим СII2II, предварительно определив 2II.
4 Определяют угол наклона прямой С2 к π1, который равен углу наклона
треугольника АВС к π1 (<α). Для этого строят прямоугольный треугольник
Д2IСI (<Д2IСI = 90°), в котором катет Д2I = E2II = 2Е, катет СI2I, следовательно
гипотенуза ДСI = С2, а значит <ДСI2 = <α.
BII
2II
АII
1II
х
CII
СХ ˚
АХ
˚
Е
ВХ
О
˚
Д
I
А
2I
ВI
1I
СI
20
Рис. 23
Задача № 3. Построение линии пересечения плоскостей
Для построения (рис. 24) линии пересечения плоскостей общего положения α и β, т.е. плоскостей не параллельных ни одной из плоскостей проекций (π
1, π 2, π 3), необходимо, вводить вспомогательные плоскости частного положения ω и δ (например, горизонтальные плоскости – плоскости параллельные π1)
и находить точки пересечения трех плоскостей W и F, которые определят линию пересечения (WF) исходных плоскостей.
D
K
δ
W
Е
G
α
R
β
ω
P
F
T
S
Рис. 24
Для определения точек W и F сначала введем горизонтальную плоскость
δ, находим линии пересечения этой плоскости с плоскостями α (прямая DG) и β
(линия EK). В месте пересечения прямых DG и EK лежит точка W, в которой
пересекаются три плоскости α, β и δ. Затем введем горизонтальную плоскость
ω, определим линии пересечения этой плоскости с плоскостями α (прямая RS) и
β (линия TP). В месте пересечения прямых RS и TP располагается точка F, в которой пересекаются три плоскости α, β и ω.
21
Решение задачи:
1 Построить проекции треугольника АВС и следы плоскости α (рис. 25).
Следы плоскости α строят следующим образом: принять точку схода следов
(Хα) совпадающей с началом отсчета (О) и от неѐ провести горизонтальный
(hIoα) и фронтальный (f IIoα) следы под соответствующими углами наклона к
оси Х принятыми из табл. 1.
f IIoα
ВII
f IIoδ
II
WII
II
E
K
DII
GII
АII
f IIoω
TII
II
FII R
PII
SII
СII
х А
X
GI
СX
BX
АI
SI
хα
О
СI
I
T
PI
DI
RI
I
E
FI
KI
ВI
Рис. 25
WI
hIoα
2 Вводим горизонтальную плоскость δ, фронтальный след (fIIoδ) которой
располагается параллельно оси Х на произвольном расстоянии по высоте от
неѐ. Находим ЕIIKII (фронтальную проекцию линии пересечения плоскости δ и
треугольника АВС), точки ЕII и КII располагаются в местах пересечения фронтальных проекций сторон треугольника АIIВII и ВIIСII с fIIoδ. Строим ЕIКI, предварительно определив точки ЕI и КI в местах пересечения вертикальных линий
связи ЕIЕII и КIКII с соответствующими проекциями сторон треугольника АIВI и
ВIСI. Далее определяем проекции линии пересечения плоскостей α и δ. Эти
22
плоскости пересекаются по горизонтали DG плоскости α. Фронтальная проекция горизонтали (DIIGII) совпадает с fIIoδ, а горизонтальная проекция горизонтали (DIGI) располагается параллельно hIoα. Причем точка G лежит в месте пересечения фронтальных следов плоскостей α и δ, следовательно, GII располагается
на fIIoα, а GI находится на оси Х; точка DII выбирается в произвольном месте
фронтальной проекции DIIGII для обозначения проекций прямой DG на чертеже.
В месте пересечения ЕIКI и DIGI находится WI (горизонтальная проекция
точки пересечения трех плоскостей – δ, α и треугольника АВС), фронтальная
проекция этой точки (WII) лежит на фронтальных проекциях прямых ЕIIКII и DII II
G .
Далее аналогично вводим горизонтальную плоскость ω, фронтальный
след (fIIoω) которой располагается параллельно оси Х на произвольном расстоянии по высоте от неѐ. Находим TIIPII (фронтальную проекцию линии пересечения плоскости ω и треугольника АВС), точки TII и PII располагаются в местах
пересечения фронтальных проекций сторон треугольника АIICII и ВIIСII с fIIoω.
Строим TIPI, предварительно определив точки TI и PI в местах пересечения вертикальных линий связи TITII и PIPII с соответствующими проекциями сторон
треугольника АICI и ВIСI. Далее определяем проекции линии пересечения плоскостей α и δ. Эти плоскости пересекаются по горизонтали RS плоскости α.
Фронтальная проекция горизонтали (RIISII) совпадает с fIIoω, а горизонтальная
проекция горизонтали (RISI) располагается параллельно hIoα. Причем точка S
лежит в месте пересечения фронтальных следов плоскостей α и ω, следовательно, SII располагается на fIIoα, а SI находится на оси Х; точка RII выбирается в
произвольном месте фронтальной проекции RIISII для обозначения проекций
прямой RS на чертеже.
В месте пересечения TIPI и RISI находится FI (горизонтальная проекция
точки пересечения трех плоскостей – ω, α и треугольника АВС), фронтальная
проекция этой точки (FII) лежит на фронтальных проекциях прямых TIIPII и RIISII.
3 Соединяем одноименные проекции точек W и F и строим горизонтальную (WIFI) и фронтальную (WIIFII) проекции линии пересечения плоскости α и
треугольника АВС.
23
Задача 4. Определение точки пересечения плоскости и прямой,
перпендикулярной данной плоскости
Прямая АВ, проходящая через точку А (рис. 26), будет перпендикулярна
плоскости α в том случае, если она перпендикулярна двум прямым лежащим в
плоскости α. В качестве таких прямых принимаем горизонтальный (hIoα) и
фронтальный (fIIoα) следы плоскости α..
π2
АII
II
f oα
2≡2II
β
ВII
f IIoβ
α
ЕII
х
АX
BX
А
хβ=2I
1II
хα
Е
В
1≡ 1
ВI
π1
hIoβ
О
I
ЕI
hIoα
АI
Рис. 26
Следовательно, на чертеже горизонтальная проекция прямой (АIВI) должна
располагаться перпендикулярно горизонтальному следу плоскости α (hIoα), а фронтальная проекция прямой – перпендикулярно фронтальному следу плоскости α (fIIoα).
Для определения точки пересечения прямой АВ с плоскостью α необходимо:
1 Через прямую АВ провести вспомогательную плоскость β
2 Найти линию пересечения плоскостей α и β – прямая 12
24
3 Определить точку пересечения прямой АВ и 12, данная точка Е и будет
являться точкой пересечения прямой АВ и плоскости α.
Решение задачи:
1 Построить проекции точки А и следы плоскости α (рис.27). Для построения горизонтального следа (hIoα) необходимо построить точку схода следов (Хα) и проекции точки М, лежащей на (hIoα), далее провести прямую через
Хα и МI и определить положение горизонтального следа плоскости α. Аналогично строят фронтальный след (fIIoα), построив проекции точки N, лежащей на
fIIoα, и соединив прямой точки NII и Хα.
2 Из точки А провести прямую перпендикулярную плоскости α. Через АI
провести горизонтальную проекцию такой прямой перпендикулярно hIoα (на
этой проекции прямой в произвольном месте выбрать положение точки ВI для
обозначения горизонтальной проекции прямой (АIВI), проходящей через точку
А перпендикулярно α). Далее через АII провести фронтальную проекцию перпендикуляра (АIIВII) к α (ВII находится в месте пересечения вертикальной линии
связи (ВIВII) и фронтальной проекции перпендикуляра, которая проходит через
АII перпендикулярно fIIoα).
3 Через прямую АВ провести вспомогательную (горизонтальнопроецирующую) плоскость β. Из условия принадлежности прямой горизонтально-проецирующей плоскости известно, что горизонтальная проекция прямой должна лежать на горизонтальном следе такой плоскости. Таким образом,
через АIВI проводим hIoβ, в месте пересечения с осью Х находим точку сода
следов плоскости β (Хβ). Из точки проводим фронтальный след плоскости β
(fIIoβ) перпендикулярно оси Х (особенность расположения фронтального следа горизонтально-проецирующей плоскости, т. е. плоскости перпендикулярной π1).
4 Найти линию пересечения плоскостей α и β. Для этого необходимо определить точки пересечения одноименных следов данных плоскостей, которые
задут линию пересечения этих плоскостей. В месте пересечения hIoα и hIoβ располагается горизонтальная проекция точки (1I), которая лежит на горизонтальных следах данных плоскостей, следовательно, ее фронтальная проекция (1II)
лежит на оси Х (в месте пересечения вертикальной линии связи 1I1II и оси Х). А
в месте пересечения fIIoα и fIIoβ лежит фронтальная проекция точки (2II), которая
находится на фронтальных следах данных плоскостей, значит ее горизонтальная проекция (2I) лежит на оси Х (в месте пересечения вертикальной линии свя-
25
зи 2I2II и оси Х). Далее соединяем одноименные проекции точек 1 и 2 и выполняем построение горизонтальной (1I2I) и фронтальной (1II2II) проекций прямой
12 являющейся линией пересечения плоскостей α и β.
5 Определяем проекции точки Е являющейся точкой пересечения плоскости α и прямой АВ, перпендикулярной данной плоскости. В месте пересечения
АIIВII и 1II2II лежит ЕII, а ЕI находится в месте пересечения АIВI и вертикальной
линии связи (ЕIЕII).
АII
ВII
f IIoα
2 ≡ 2II
f IIoβ
II
Е
N ≡ NII
х
хα
МII
хβ=2I
О
АX
NI
1II
hIoβ
М ≡ MI
ЕI
1 ≡ 1I
ВI
АI
Рис. 27
hIoα
26
3 Графическая работа № 3
СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА
Цель работы: изучить раздел начертательной геометрии – способы
преобразования чертежа; усвоить методы решения метрических задач.
Индивидуальные задания
Исходные данные принимаются из табл. 3
Задача 1. Определение расстояния от точки до плоскости способом
замены плоскостей проекций
Сущность способа перемены плоскостей проекций заключается в том,
что положение точек, линий плоских фигур, поверхностей в пространстве остается неизменным, а система π1, π2 дополняется плоскостями, образующими с π1,
или π2 или между собой системы двух взаимно перпендикулярных плоскостей,
принимаемых за плоскости проекций.
Каждая новая система выбирается так, чтобы получить положение, наиболее удобное для выполнения требуемого построения.
На рис. 28а представлена система π1, π2. Заменим π2 новой плоскостью π4,
перпендикулярной к π1, и перейдем к новой системе плоскостей проекций π1, π4
с осью Х14. При этом АIV – проекция точки А на плоскость π4. Отметим, что
расстояние от заменяемой проекции точки (АII) до заменяемой оси (Х12) равно
расстоянию от новой оси (Х14) до новой проекции точки (AIV), т. е. AIIAX12 =
AX14AIV. Таким образом для определения новой проекции точки АIV на чертеже
(рис. 28б) необходимо через AI провести линию связи перпендикулярную оси Х14,
на которой откладывают отрезок AX14AIV равный отрезку AIIAX12.
На рис. 29а представлена система π1, π2. Заменим π2 новой плоскостью π4,
перпендикулярной к π2, и перейдем к новой системе плоскостей проекций π2, π4
с осью Х24. При этом АIV – проекция точки А на плоскость π4. Заметим, что расстояние от заменяемой проекции точки (АI) до заменяемой оси (Х12) равно расстоянию от новой оси (Х24) до новой проекции точки (AIV), т. е. AIAX12 =
AX24AIV. Таким образом для определения новой проекции точки АIV на чертеже
(рис. 29б) необходимо через AII провести линию связи перпендикулярную оси
Х24, на которой откладывают отрезок AX24AIV равный отрезку AIAX12.
27
АII
f IIoπ4
π2
а)
б)
A IV
AII
π4
Х12
А
Х12
AIV
AX12
π1
О1
АX12
π2
О
AX14
π4
АX14
π1 х14
I
A
π1
hIoπ4
I
A
х14
Рис. 28
х24
а)
π2
б)
f IIoπ4
АII
π2
АX24
π4
AII
AX24
А
A IV
Х12
х24
О1
АX12
О
Х12
π2
AIV
AX12
π1
π4
AI
I
A
hIoπ4
π1
Рис. 29
Для определения расстояния от точки Д до плоскости треугольника АВС
(рис.30), необходимо, заменить плоскость π2 плоскостью π4, перпендикулярной
28
к треугольнику АВС; две плоскости взаимно перпендикулярны, если в одной из
них лежит прямая перпендикулярная другой плоскости, отсюда прямая А1
должна быть перпендикулярна π4. Тогда треугольник АВС проецируется на π4 в
виде прямой АIVВIVСIV. Следовательно расстояние между точкой Д и треугольником АВС определится отрезком ДIVFIV, который является перпендикуляром
проведенным из ДIV до пересечения с АIVВIVСIV.
π2
ВIV
f IIoπ4
F
Д
IV
IV
π4
AIV = 1IV
В
Х12
Д
1
СIV
А
π1
С
hIoπ4
х14
Рис. 30
Решение задачи:
1 По заданным координатам точек А, В, С и Д строятся проекции треугольника АВС и точки Д (рис. 31).
2 Произведем замену плоскости π2 плоскостью π4 и перейдем к системе
π1,π4, при этом π4 должна быть перпендикулярна плоскости треугольника АВС.
Из условия перпендикулярности плоскостей необходимо, чтобы одна из прямых, лежащих в плоскости треугольника АВС, была перпендикулярна π4. В качестве такой прямой принимаем горизонталь А1 треугольника АВС (проведем
АII1II параллельно оси Х12, 1II лежит на ВIIСII,а 1I находится в месте пересечения
вертикальной линии связи (1I1II) и ВIСI). Из условия проецирования прямого
угла, на чертеже ось Х14 располагается перпендикулярно АI1I на произвольном
расстоянии от 1I.
29
3 Построим проекции треугольника АВС и точки Д на π4. Для этого через
горизонтальные проекции точек (АI, ВI, СI и ДI) проведем линии связи перпендикулярные оси Х14, на которых определим проекции этих точек на π4 (АIV, ВIV,
СIV и ДIV), исходя из того, что расстояние от заменяемой проекции точки (АII,
ВII, СII и ДII) до заменяемой оси (Х12), равно расстоянию от новой оси (Х14) до
новой проекции точки (АIV, ВIV, СIV и ДIV). Отсюда, положение ДIV определится
равенством ДIIДX14 = ДX24ДIV. А построение АIVВIVСIV выполним следующим
образом: определим АIV и СIV, зная, что AIIAX14 = AX24АIV и CIICX14 = CX24CIV; ВIV
находится в месте пересечения линии связи (BIBIV) и проекции АС на π4
(АIVСIV).
4 Определим расстояние от точки Д до треугольника АВС, измерив отреIV IV
зок Д F (ДIVFIV располагается перпендикулярно АIVВIVСIV , а FIV лежит в месте пересечения ДIVFIV и АIVВIVСIV).
ВII
АII
1II
ДII
Х12
π2
AХ14
СII
ДХ14
ВХ14
СХ14 О
1Х14
π1
АI
CI
СХ24
1I
СIV
AХ24
AIV = 1IV
ДI
BII
ВХ24
FIV
ДХ24
π1
Рис. 31
х14
π4
ДIV
ВIV
30
Задача 2. Определение натуральной величины прямой способом
вращения вокруг оси
При вращении (рис. 32, 33) вокруг некоторой неподвижной прямой (ось
вращения – 12) каждая точка вращаемой фигуры перемещается в плоскости
(плоскость вращения – π4), перпендикулярной к оси вращения. Точка перемещается по окружности, центр вращения которой (точка 1) находится в точке
пересечения оси с плоскостью вращения, а радиус вращения окружности ( отрезок А1) равняется расстоянию от вращаемой точки до центра вращения. Если
какая-либо точка данной системы (точка 2) находится на оси вращения, то при
вращении системы эта точка считается неподвижной.
Ось вращения может быть задана или выбрана; в последнем случае целесообразно расположить ось перпендикулярно к одной из плоскостей проекций,
так как при этом упрощаются построения.
На рис. 32 точка А вращается вокруг оси 12 перпендикулярной к π2,
π2
1II ≡ 2II
II
AII
2
π4
1
Х
O
А
2I
hIoπ4
π1
AI
1I
Рис. 32
I
31
при этом фронтальная проекция точки (АII) перемещается по окружности радиусом равным отрезку АII1II, а горизонтальная проекция точки (АI) перемещается по горизонтальному следу плоскости π4 (hIoπ4), который располагается перпендикулярно горизонтальной проекции оси вращения (1I2I).
На рис. 33 точка А вращается вокруг оси 12 перпендикулярной к π1, при
этом горизонтальная проекция точки (АI) перемещается по окружности радиусом равным отрезку АI1I, а фронтальная проекция точки (АII) перемещается по
фронтальному следу плоскости π4 (fIIoπ4), который располагается перпендикулярно горизонтальной проекции оси вращения (1II2II).
π2
II
1II
AII
f IIoπ4
2II
1
А
Х
O
2
π4
I
1 ≡2
I
AI
I
π1
Рис. 33
– это новое (требуемое, в том или ином случае) положение точки А, в
которое переводится точка А при вращении вокруг оси 12.
32
Решение задачи:
1 По заданным координатам точек А и В строятся проекции прямой АВ
(рис. 34).
2 Выберем положение оси вращения, так чтобы она располагалась перпендикулярной к π2 и проходила через точку В.
Выполним построение проекций оси вращения (В1): через ВI проведем
горизонтальную проекцию оси вращения перпендикулярно оси Х (ВI1I), на которой в произвольном месте выбираем положение точки 1I (для обозначения
проекции оси вращения на чертеже).
AII
ВII ≡ 1II
II
Х
O
ВI
1I
I
Рис. 34
I
А
hIoπ4
при котором она будет располагаться параллельно плоскости π1, тогда на π1
прямая проецируется в натуральную величину, то есть АВ = IВI.
Так как точка В лежит на оси вращения, то еѐ проекции не изменяют своего положения. Следовательно задача сводится к вращению точки А вокруг оси
В1. При этом АII перемещается по окружности радиусом равным АIIВII, а АI перемещается по прямой (hIoπ4), проходящей через АI перпендикулярно ВI1I.
II
II II
В располагаII
проведем вертикальную линию связи до пеI
I
ресечения с h oπ4
. Далее строим новую гориI I
В ).
33
4 Графическая работа № 4
ПОВЕРХНОСТИ
Цель работы: изучить раздел начертательной геометрии – поверхности;
усвоить методы решения задач данной темы.
Индивидуальные задания
Исходные данные для решения первой задачи принимаются из табл. 4,
для второй – из табл. 5.
Таблица 4
Координаты точек, мм
№
A
B
C
S
D
E
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
X
120
120
120
120
120
120
120
120
120
120
120
120
120
120
120
120
120
120
120
120
Y
20
30
40
20
30
40
20
30
40
40
30
20
40
30
20
40
30
20
20
30
Z
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Х
90
90
90
90
90
90
90
90
90
90
90
90
90
90
90
90
90
90
90
90
Y
90
90
90
70
70
70
50
50
50
50
50
50
70
70
70
90
90
90
70
50
Z
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
X
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
Y
40
30
20
40
30
20
40
30
20
20
30
40
20
30
40
20
30
40
40
30
Z
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
X
70
70
70
70
70
70
70
70
70
70
70
70
70
70
70
70
70
70
70
70
Y
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
Z
90
85
80
90
85
80
90
85
80
90
85
80
90
85
80
90
85
80
90
85
X Y
105 10
125 80
110 10
125 75
105 10
125 80
110 10
125 75
105 10
125 80
110 10
125 75
105 10
125 80
110 10
125 75
105 10
125 80
110 10
125 75
Z
75
15
70
20
75
15
70
20
75
15
70
20
75
15
70
20
75
15
70
20
X
25
35
30
35
25
35
30
35
25
35
30
35
25
35
30
35
25
35
30
35
Y
80
20
75
25
80
20
75
25
80
20
75
25
80
20
75
25
80
20
75
25
Z
25
70
30
65
25
70
30
65
25
70
30
65
25
70
30
65
25
70
30
65
34
Таблица 5
Координаты точек, мм
S
Xα
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
X
Y
Z
Х
Y
Z
50
60
50
60
50
60
50
60
50
60
50
60
50
60
50
60
50
60
50
60
50
55
60
50
55
60
50
55
60
50
55
60
50
55
60
50
55
60
50
55
70
75
80
70
75
80
70
75
80
70
75
80
70
75
80
70
75
80
70
75
120
130
120
130
120
130
120
130
120
130
120
130
120
130
120
130
120
130
120
130
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Диаметр
основания
конуса
D, мм
80
70
60
80
70
60
80
70
60
80
70
60
80
70
60
80
70
60
80
70
Угол
наклона
плоскости α
к Π1, град
15
20
25
30
15
20
25
30
15
20
25
30
15
20
25
30
15
20
25
30
35
Задача 1. Построение точек пересечения прямой с пирамидой.
Решение задачи:
1 По координатам точек А, В, С, S строят проекции пирамиды, по координатам точек D и E – проекции прямой (рис. 35).
2 Для построения точек пересечения прямой с пирамидой через прямую
необходимо провести вспомогательную плоскость частного положения. В качестве такой плоскости выбираем фронтально-проецирующую плоскость α. По
условию принадлежности прямой фронтально-проецирующей плоскости на
чертеже фронтальная проекция прямой (dIIeII) должна совпадать с фронтальным
следом плоскости α (f II 0α).
3 Далее необходимо построить сечение пирамиды плоскостью α, для этого необходимо найти точки пересечения фронтального следа плоскости α (fII0α)
с фронтальными проекциями ребер пирамиды (aIIsII, bIIsII, cIIsII) – 1II, 2II, 3II.
Построив вертикальные линии связи, определим горизонтальные проекции точек
1I, 2I, 3I, лежащие на соответствующих горизонтальных проекциях ребер пирамиды. Соединив отрезками точки 1I, 2I, 3I построим горизонтальную проекцию
сечения пирамиды плоскостью α (1I 2I 3I).
4 Определим точки (kI, rI) – как точки пересечения горизонтальной проекции сечения пирамиды плоскостью α (1I 2I 3I) с горизонтальной проекцией
прямой (dIeI), затем построим фронтальные проекции этих точек (kIIrII).
Данные точки (K, R) будут являться искомыми точками пересечения
прямой DE с пирамидой ABCS.
36
Рис. 35
37
Задача 2. Определение натуральной величины сечения конуса фронтально-проецирующей плоскостью.
Решение задачи:
1 По координатам точки S строят проекции вершины конуса (рис. 36).
2 Зная диаметр основания конуса, строят сначала горизонтальную проекцию конуса, затем – его фронтальную проекцию.
3 Определяют положение точки схода следов (Xα), зная угол наклона
плоскости α к горизонтальной плоскости проекций (Π 1), под этим же углом к
оси Х12 выполняют построение фронтального следа плоскости α (f
II
0α),
гори-
зонтальный след плоскости (h I 0α ) строят под прямым углом к оси Х12.
4 Фронтальная проекция сечения лежит на фронтальном следе плоскости
и определяется линией 1I I 2I I, точки 1I I и 2I I определяем в местах пересечения
фронтального следа плоскости α (f I I 0α) с образующими конуса.
5 Для построения горизонтальной проекции сечения выбираем на фронтальной проекции положение точек 3I I, 4I I, 5I I, точку 3I I находим в месте пересечения фронтального следа плоскости (f II 0α) с вертикальной осью симметрии
конуса, точки 4II и 5II определяем в произвольных местах соответственно отрезков 1II 3II и 2II 3II (желательно ближе к середине этих отрезков).
Далее необходимо построить горизонтальные проекции данных точек (1I ,
2I, 3I , 4I, 5I) в следующей последовательности:
Через точки 1II и 2II проводим вертикальные линии связи до пересечения
с горизонтальными проекциями образующих, на которых они лежат (на чертеже горизонтальные проекции данных образующих совпадают с горизонтальной
осью симметрии нижнего основания конуса), в местах пересечения находим
точки 1I и 2I.
Через 3II проводим вспомогательную горизонтальную плоскость β (на
чертеже через 3I I строим фронтальный след плоскости β (f II 0β) параллельно оси
Х12). В местах пересечения f II 0β с образующими конуса найдем точки АI I , ВI I,
которые определят фронтальную проекцию сечения конуса плоскостью β.
Плоскость β пересекается с конусом по окружности диаметром равным отрезкам АIIВII = АIВI, исходя из этого строим горизонтальную проекцию сечения
конуса плоскостью β (на чертеже эта окружность выделенная штриховой лини-
38
ей с центром совпадающим с SI). В местах пересечения вертикальной линии
связи проведенной из точки 3II со штриховой линией найдем точки 3I.
Через 4II проведем фронтальную проекцию образующей (SII 6II), для этого через точки SII и 4II проведем линию до пересечения с основанием конуса, в
месте пересечения найдем точку 6II. Далее находим точки 6I в местах пересечения вертикальной линии связи опущенной из точки 6II с горизонтальной проекцией основания конуса. Затем строим отрезки SI 6I , в местах пересечения вертикальной линии связи опущенной из точки 4II с построенными отрезками (SI
6I) определяем точки 4I.
Аналогично найденным точкам 4I определяем точки 5I (предварительно
построив через 5II фронтальную проекцию образующей конуса SII 7II и затем
определив отрезки SI 7I ).
5 Последовательно плавно соединив дугами точки 1I , 2I , 3I , 4I , 5I построим горизонтальную проекцию сечения.
6 Найдем натуральную величину сечения конуса фронтальнопроецирующей плоскостью α способом замены плоскостей проекций.
Заменим горизонтальную плоскость проекций (Π 1) новой плоскостью
проекций (Π4), которую выбираем параллельно сечению, следовательно, на
чертеже новая ось (Х24) будет располагаться параллельно фронтальной проекции сечения на произвольном расстоянии от него.
Найдем новые проекции точек (1I V, 2IV , 3IV , 4IV , 5IV) на плоскость Π4, которые и определят контур натуральной величины сечения. Для этого через
фронтальные проекции данных точек (1II , 2II , 3II, 4II , 5II ) проведем линии связи
перпендикулярные оси Х24, в местах пересечения линий связи с осью Х24 определяем положение точек 124, 224, 324, 424, 524.
Исходя, из равенства отрезков 1141I = 1241I V найдем положение точки 1I V.
Аналогично определим положение точек 2IV , 3IV , 4IV , 5IV.
7 Последовательно плавно соединив дугами точки 1I V, 2IV , 3IV , 4IV , 5IV
построим натуральную величину сечения конуса фронтально-проецирующей
плоскостью
39
Рис. 36
40
5 Графическая работа № 5
ТЕНИ
Цель работы: приобрести навыки построения теней
.Индивидуальные задания
Исходные данные для решения первой задачи принимаются из табл. 3;
для второй задачи – вариант 1-10 (чертеж пирамиды SABC) из табл. 4, вариант
2-20 (чертеж конуса) из табл. 5.
Задача 1. Построить тень плоскости, заданной треугольником АВС, на
плоскости проекций.
Решение задачи:
1 Построить действительные тени вершин треугольника (А*, B*, С*)
(рис.37). Так для построения действительной тени точки А (А*) через горизонтальную проекцию точки А (АI) проводят линию параллельную направлению
проекции светового луча на горизонтальную плоскость проекций до пересечения с осью Х. В месте пересечения с осью Х определяют точку А*I , через которую проводят вертикальную линию связи до пересечения с линией параллельной направлению проекции светового луча на фронтальную плоскость проекций, проходящую через фронтальную проекцию точка А (АII), и в итоге определяют положение А*. Аналогично строят действительные тени других вершин
2 В том случае, когда действительные тени от вершин падают на разные
плоскости проекций (в рассматриваемом примере действительные тени от вершин А, В (А*, В*) падают на фронтальную плоскость проекций, от вершины С
(С*) – на горизонтальную плоскость проекций) необходимо построить точки
излома тени сторон треугольника.
Так для построения точки излома тени отрезка АС (т. М) предварительно
строят мнимую тень точки А ((А*)). Для этого через фронтальную проекцию
точки А (АII) проводят линию параллельную направлению проекции светового
луча на фронтальную плоскость проекции до пересечения с осью Х и определяют точку А*II, через которую проводят вертикальную линию связи до пересечения с линией проходящей через горизонтальную проекцию точки А (АI) и параллельной направлению проекции светового луча на горизонтальную плоскость проекций; в итоге находим положение мнимой тени точки А ((А*)).
41
Далее, соединив точки С* и (А*), строят тень отрезка АС на горизонтальной плоскости проекций и определив место пересечения данного отрезка с
осью Х находят точку излома тени М.
Аналогично определяют положение точки излома тени отрезка ВС (т. К).
Для этого строят мнимую тень вершины В ((В*)), а затем тень отрезка ВС на
горизонтальную плоскость проекций (соединив точки С* и (В*)). В месте пересечения этого отрезка с осью Х определяют положение точки К.
3 Окончательно строят контур падающей тени треугольника АВС
(А*В*КС*М) последовательно соединив построенные ранее действительные
тени вершин треугольника АВС и точки излома теней сторон АС и ВС.
Рис. 37
42
Задача 2. Построить тени геометрической фигуры.
Решение задачи:
Построение тени пирамиды (рис. 38):
1 Определить грани находящиеся в собственной тени пирамиды. Пирамида располагается на горизонтальной плоскости проекций ( 1) следовательно,
тень от грани АВС (А*В*С*) совпадает с горизонтальной проекцией этой
грани (АIВIСI). В собственной тени находятся грани SAС и SВС. Границами
неосвещенных граней являются ребра SA и SВ.
2 Для построения падающей тени пирамиды необходимо построить падающие тени рѐбер SA и SВ: для этого построим действительную и мнимую
тени вершины S и найдем точки излома тени рѐбер SA и SВ – М, К.
3 Окончательно строят контур падающей тени пирамиды (АIМS*КВI).
Рис. 38
43
Построение тени конуса (рис. 39):
1 Конус стоит на горизонтальной плоскости проекций ( 1) следовательно
тень от основания конуса совпадает с горизонтальной проекцией основания.
2 Для построения падающей тени конуса определим падающие тени образующих SA и SВ, для этого: построим действительную и мнимую тени вершины S, найдем точки А, В (построив касательные к горизонтальной проекции
конуса) и определим точки преломления тени образующих SA и SВ – М, К.
3 Окончательно строят контур падающей тени конуса (АIМS*КВI).
Рис. 39
44
6 Графическая работа № 6
ПЕРСПЕКТИВА
Цель работы: приобрести навыки построения перспективных проекций.
Индивидуальные задания
Исходные данные принимаются из табл. 6. Схема сооружения рис. 40 (конек располагается по середине крыши).
Таблица 6
№
L Диаметр
α, град Н L Диаметр № α, град Н
окр-ти
окр-ти
1
25
60
11
25
60
2
30
70
12
30
70
15 100
20 100
3
35
80
13
35
80
4
40
90
14
40
90
5
45
100
15
45
100
6
25
60
16
25
60
7
30
70
17
30
70
20 80
15
80
8
35
80
18
35
80
9
40
90
19
40
90
10
45
100
20
45
100
Рис. 40
45
Задача 1. Построение перспективы сооружения
Решение задачи:
1 Построить ортогональные проекции сооружения (вид спереди и сверху).
2 Определить аппарат перспективы (рис. 41), построив: основание картины (ОК) через один из углов сооружения под углом α к фасаду здания; линию
горизонта (ЛГ) на высоте Н от основания сооружения; точку стояния (SI) на
дистанции L от основания картины, при этом при выборе положения точки стояния необходимо учитывать чтобы угол зрения (угол между крайними лучами зрения) был в пределах 28-370. Главный луч зрения делит картину примерно пополам.
3 Перспектива сооружения складывается из перспективы отдельных точек, таким образом, построение сводится к определению проекций точек сооружения на картинную плоскость лучами, идущими из точки зрения к каждой
точке сооружения. Исходя из этого, задать точки сооружения 1,2,…,13 и построить их горизонтальные и фронтальные проекции.
4 Построить точки схода f0 и f10 (f0 – точка схода для всех ребер сооружения параллельных горизонтальной линии SIf0; f10– точка схода для всех ребер
сооружения параллельных вертикальной линии SIf10). При этом все вертикальные ребра сооружения в перспективе отображаются вертикальными линиями.
5 Найти точки (10,…,90) пересечения лучей зрения проведенных из точки
стояния (SI) к точкам сооружения с основанием картины (ОК). Для построения
конька 813 определить точку m0 (вместе пересечения линии 8 13 с ОК), а для
построения конька 5 6 определить точку n0 (вместе пересечения линии 65 с ОК)
6 Перейти к выполнению самой перспективы сооружения (рис. 42), предварительно построив основание картины (зафиксировав на ней точки 10,…,90 ; f0
и f10 ; m0 и n0) и линию горизонта (определив на ней точки F и F1).
7 Построить ребро 1К2К, так как картинная плоскость проведена через
ребро сооружения 12, оно проецируется в натуральную величину (1К2К =1II2II =
12), далее точки 1К и 2К соединить с точками схода F и F1 и, восстановив перпендикуляры из точек 40 и 90 найти точки 9К, 11К и 4К и 10К. Аналогично строят
все ребра и стороны сооружения, последовательно определив точки 7К, 3К и 12К.
8 Определить точки МК и NК (отрезки m0 МК и NК n0 соответственно равны
высоте от земли до каждого конька), далее в местах пересечения линий NКF и
МКF1 с вертикальными линиями построенными из точек 50, 60 и 80 найти точки 5К,
6К и 8К ; и затем завершить построение контура кровли сооружения.
46
Рис. 41
Рис. 42
47
Задача 2. Построение перспективы окружности расположенной в горизонтальной плоскости проекций
Решение задачи:
1 Построить окружность и выбрать аппарат перспективы (рис. 43): основание картины (ОК) провести на расстоянии 10 мм от окружности; точку стояния (SI) на дистанции L от основания картины; главный луч зрения должен делить картину примерно пополам.
2 Построить квадрат описывающий окружность (две стороны которого
должны быть перпендикулярны картине). Задать вершины квадрата точками
АI,ВI,СI,DI и построить его диагонали (АI СI и ВIDI).
3 Разделить окружность точками на 8 частей (при этом нечетные точки
I I I I
1 ,3 ,5 ,7 располагают на диагоналях квадрата, четные 2I,4I,6I,8I – на серединах
сторон квадрата). Найти все точки на основании картины (m0,…,n0 )
4 Через точки деления провести прямые, получая сетку.
5 Перейти к выполнению перспективы окружности (рис. 44), предварительно построив основание картины (зафиксировав на ней точки m0,…,n0 ); линию горизонта (ЛГ) на высоте 70 мм (вариант 1-10) и 80 мм (вариант 11-20) от
основания картины и главную точку картины (Р).
6 Построить перспективу линий перпендикулярных основанию картины
(они сходятся в главной точке картины).
7 Найти перспективу точка АI (АК) восстановив перпендикуляр из точки
а0. Далее построить перспективу линии АIВI (АКВК), зная, что перспектива линии параллельной картинной и предметной плоскости параллельна ОК.
Аналогично построить СКDК, предварительно определив точку СК.
8 Построить перспективны диагоналей квадрата (АКСК и ВКDК). В месте
пересечения диагоналей найти перспективу центра окружности ОК.
9 В местах пересечения перспективных изображений сторон и диагоналей квадрата с линиями сетки найти перспективы точек, принадлежащих окружности (1К,…, 8К).
10 Полученные точки (1К,…, 8К) обвести по лекалу.
48
Рис. 43
Рис. 44
49
7 Графическая работа № 7
ПРОЕКЦИИ С ЧИСЛОВЫМИ ОТМЕТКАМИ
Цель работы: приобрести навыки построения проекций с числовыми отметками.
Индивидуальные задания
Исходные данные для построений принимаются из табл. 7.
Исходные построения для первой задачи выполняются согласно рис. 45;
для второй задачи – рис. 46.
Таблица 7
№
вар-та
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Отметки точек, м
a
b
e
4
10
5
5
11
6
5
10
5
6
11
6
4
10
5
5
11
6
5
10
5
6
11
6
4
10
5
5
11
6
5
10
5
6
11
6
4
10
5
5
11
6
5
10
5
6
11
6
4
10
5
5
11
6
5
10
5
6
11
6
L, мм
70
lδ, мм
12
α, град β, град
45
50
50
45
50
45
45
50
50
45
8
80
8
12
70
12
8
80
8
12
70
12
8
Построения выполняются в масштабе 1:100.
α; β – углы наклона вспомогательных линий к вертикали;
L – заложение прямой АВ на чертеже;
lδ – интервал масштаба уклона на чертеже;
i – уклон прямой.
i
1:2
2:3
4:5
4:9
4:9
4:5
2:3
1:2
4:9
4:5
2:3
1:1
1:1
1:2
2:3
4:5
4:5
1:2
2:3
4:9
50
20мм
О
e
а
lδ
L
α
β
b
Рис. 45
20мм
О
b
lδ
e
α
β
Рис. 46
51
Задача 1. Через точку пересечения прямой АВ с плоскостью δ провести
прямую перпендикулярную заданной плоскости.
Решение задачи:
1 Выполнить исходные построения чертежа прямой АВ и плоскости δ в
проекциях с числовыми отметками согласно рис.
2 Проградуировать прямую АВ (рис. 47). Для этого на произвольной
прямой проходящей через точку а6 отложить 6 равных отрезков, определяющих
в конечном итоге положение точки F (количество отрезков определяется разностью отметок точек А и В: 12 – 6 = 6). Построить отрезок Fb12 и параллельно
ему провести линии, определив, таким образом отметки на прямой АВ(11, 10,
…,7).
3 Через прямую АВ провести вспомогательную плоскость, задав еѐ масштабом уклона. В этой плоскости прямая АВ должна быть линией наибольшего наклона.
4 Построить линию пересечения вспомогательной плоскости и исходной
– MN. Для этого в плоскостях необходимо построить по две горизонтали с
одинаковыми отметками. Точки М7 и N10 определятcя в местах пересечения горизонталей плоскостей с отметками соответственно 7 и 10.
5 Найти точку пересечения прямой MN и АВ – S (в месте пересечения
проекций прямой MN и АВ).
6 Определить отметку точки S аналитическим методом:
hS = hA – iABlS,
где hA , hS – соответственно отметки точек A и S, iAB – уклон прямой АВ, lS –
заложение отрезка AS (определяется на чертеже, в рассматриваемом примере
lS= 3,5 м).
Рассчитываем уклон прямой АВ:
iAB = h/L ,
где h – превышение отрезка прямой АВ (h = 12 – 6 = 6м), L – заложение отрезка
AВ (пусть в рассматриваемом примере L = 6м)
Тогда : iAB = 6 м / 6 м = 1:1.
Отсюда: hS = 6 – 2,5 = 3,5 м.
7 Построить перпендикуляр к исходной плоскости – SK (зная, что проекция перпендикуляра к плоскости параллельна масштабу уклона этой плоскости; интервал перпендикуляра обратно пропорционален интервалу уклона
52
плоскости; отметки перпендикуляра и плоскости возрастают в противоположных направлениях). Длина отрезка SK произвольна.
8 Рассчитать интервал перпендикуляра SK – lSK:
lSK = 1/lδ ,
где – lδ интервал уклона плоскости δ (пусть в рассматриваемом примере lδ =
0,8м).
Тогда: lSK = 1/ 0,8 = 1,25м (с учетом масштаба на чертеже lSK = 12,5мм)
9 Определим положение ближайшей целочисленной отметки к точке S на
перпендикуляре SK. Такой отметкой будет отметка 4.
Тогда на чертеже расстояние от точки S3.5 до отметки 4 – l4 определится
из формулы: h4 = hS + l4 / lSK ,
l4 = (h4 – hS) * lSK = (4– 3,5) * 1,25 мм ≈ 0,6 м (с учетом масштаба на чертеже l4 = 6 мм).
10 Построить отметки на прямой SK, зная длины отрезков l4 и lSK.
Рис. 47
53
Задача 2. Через т.В провести прямую с уклоном i параллельную плоскости δ.
Решение задачи:
1 Выполнить исходные построения чертежа точки и плоскости δ в проекциях с числовыми отметками согласно рис.
2 В плоскости δ построить отрезок прямой SC с заданным уклоном i.
Для этого в плоскости (рис. 48) строим горизонталь (например, с отметкой 7), в произвольном месте этой горизонтали выбираем положение точки S7.
Определиться с отметкой точки С отрезка SС (принимается произвольное значение отметки). Пусть точка С имеет отметку 10.
Расcчитать натуральное заложение (LН) отрезка SC по формуле:
hC = hS + iLН, где hC , hS – соответственно отметки точек С и S.
Пусть в рассматриваемом примере задан уклон i = 1:2, тогда:LН = (hC – hS)/i = 6 м.
Исходя из масштаба (M) чертежа 1:100, определяем заложение (L) отрезка SC на чертеже: L = LН * M = 6000 мм / 100 = 60 мм.
Найти положение точки С10 (в месте пересечения горизонтали плоскости
с отметкой 10 и дуги окружности с центром в точке S7 и радиусом R равным
величине заложения L).
3 Через точку b построить прямую (например, BK) параллельную прямой
SC, зная, что у параллельных прямых должны быть параллельны проекции,
равны интервалы (lSC = lBК), а отметки возрастают в одном направлении. Интервал прямой SC (lSC ) определяем на чертеже, построив горизонталь с отметкой 8.
Рис. 48
54
Содержание
Принятые обозначения………………………………………………………..…..3
1 Графическая работа № 1 АКСОНОМЕТРИЯ……………………………..…4
Задача 1. Построение аксонометрической проекции геометрического тела (с вырезом четвертой части)…………………………………………………….4
Задача 2. Построение аксонометрической проекции окружности, лежащей в заданной плоскости…………………………………………………………11
2 Графическая работы № 2 ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ......13
Задача 1. Построение следов плоскости……………………………..……14
Задача 2. Определение угла наклона плоскости к горизонтальной
плоскости проекций………………….……………………………………...18
Задача 3. Построение линии пересечения плоскостей…………………..20
Задача 4. Определение точки пересечения плоскости и прямой,
перпендикулярной данной плоскости…………………………………......23
3 Графическая работа № 3 СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА..26
Задача 1. Определение расстояния от точки до плоскости
способом замены плоскостей проекций…………………………………...26
Задача 2. Определение натуральной величины прямой
способом вращения вокруг оси…………………………………………….30
4 Графическая работа № 4 ПОВЕРХНОСТИ…………………………………33
Задача 1. Построение точек пересечения прямой с пирамидой………....35
Задача 2. Определение натуральной величины сечения конуса
фронтально-проецирующей плоскостью…………………………………..37
5 Графическая работа № 5 ТЕНИ………………………………………………40
Задача 1. Построить тень плоскости, заданной треугольником АВС, на
плоскости проекций………………………………………………………………..40
Задача 2. Построить тени геометрической фигуры……………………...42
6 Графическая работа № 6 ПЕРСПЕКТИВА…………………………………44
Задача 1. Построение перспективы сооружения…………………………45
Задача 2. Построение перспективы окружности расположенной в горизонтальной плоскости проекций………………………………………………….47
7 Графическая работа № 7 ПРОЕКЦИИ С ЧИСЛОВЫМИ ОТМЕТКАМИ...44
Задача 1. Через точку пересечения прямой АВ с плоскостью δ провести
прямую перпендикулярную заданной плоскости………………………………..51
55
Задача 2. Через т.В провести прямую с уклоном i параллельную плоскости δ...53
Библиографический список…………………………………………………….55
Библиографический список
Основная литература
1. Бударин, О. С. Начертательная геометрия. Краткий курс [Текст]: учеб.
пособие / О. С. Бударин. – СПб.: Лань, 2008. – 386 с.
Дополнительная литература
1. ГОСТ 2.001-93–ГОСТ Р.901-99, ЕСКД [Электронный ресурс]// Электронная библиотека ВГЛТА/ ФБГОУ ВПО «ВГЛТА», ФГУП «Стандартинформ».– Электронная версия.
2. Лукина И. К. Архитектурная графика и основы композиции [Текст]:
тексты лекций / И. К. Лукина; Фед. агентство по образованию, ГОУ ВПО
«ВГЛТА».– Воронеж, 2007 – 92 с. – Электронная версия.
Зимарин Сергей Викторович
Бородин Николай Александрович
НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Практикум
Редактор С. Ю. Крохотина
Подписано в печать
Формат 60 84 1/16
Заказ №
Объем
п.л
Усл.п.л.
Уч.-изд. л
Тираж
экз.
Воронежская государственная лесотехническая академия
РИО ВГЛТА. УОП ВГЛТА
394613, г. Воронеж, ул. Тимирязева, 8
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
1 572 Кб
Теги
практикум, зимарин, геометрия, начертательной
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа