close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Компьютерное модел.-ие процессов в машинах и оборудовании ЛК(ЛР

код для вставкиСкачать
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Воронежский государственный лесотехнический университет
имени Г.Ф. Морозова»
КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ В МАШИНАХ И
ОБОРУДОВАНИИ ЛЕСНОГО КОМПЛЕКСА
Методические указания к лабораторным работам для студентов
по направлению подготовки
15.03.02 – Технологические машины и оборудование
Воронеж 2016
УДК 630*:51+630*:65.011.54
Дручинин, Д.Ю. Компьютерное моделирование процессов в машинах и оборудовании лесного комплекса [Текст] : методические указания к лабораторным
занятиям для студентов по направлению подготовки 15.03.02 – Технологические машины и оборудование / Д. Ю. Дручинин, Л.Д. Бухтояров, Е.В. Поздняков ; М-во образования и науки РФ, ФГБОУ ВО «ВГЛТУ». – Воронеж, 2016. –
102 с.
Печатается по решению учебно-методического совета
ФГБОУ ВПО «ВГЛТА» (протокол № __ от _________ г.)
Рецензент заведующий кафедрой электротехники и автоматики Воронежский ГАУ д-р техн. наук, проф. Д.Н. Афоничев
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Лабораторная работа № 1. Разработка модели движения гибкого рабочего органа кустореза……………………………………………………………………….
4
Лабораторная работа № 2. Разработка модели перерезания стебля лезвием рабочего органа кустореза…………………………………………………………… 15
Лабораторная работа № 3. Разработка модели динамических процессов в гидроприводе кустореза с гибкими инерционно-рубящими рабочими органами… 19
Лабораторная работа № 4. Разработка модели работы на вырубке трактора с
навешенным на гидроманипулятор площадкоделателем для подготовки пней
к понижению ниже поверхности почвы…………………………………………
27
Лабораторная работа № 5. Моделирование силового взаимодействия режущего элемента кустореза с порослью и математическое описание условий, при
которых произойдет ее перерезание……………………………………………… 54
Лабораторная работа № 6. Моделирование силового взаимодействия пильного диска с древесно-кустарниковой растительностью…………………………... 60
Лабораторная работа № 7. Моделирование условий равновесия ствола спиленного дерева……………………………………………………………………..
74
Лабораторная работа № 8. Расчѐт необходимой силы для торможения лесовоза на спуске…………………………………………………………………………. 78
Лабораторная работа № 9. Составление плана производства двух изделий,
обеспечивающего максимальную прибыль от их реализации………………….
81
Лабораторная работа № 10. Моделирование транспортной задачи по перевозке грузов между пунктами поставки и пунктами приема………………………
88
Лабораторная работа № 11. Моделирование системы массового обслуживания на примере деревообрабатывающего цеха…………………………………... 94
Лабораторная работа № 12. Решение задачи оптимального распила древесины
методом линейного программирования………………………………………….. 98
Библиографический список……………………………………………………….. 102
3
Лабораторная работа №1
РАЗРАБОТКА МОДЕЛИ ДВИЖЕНИЯ ГИБКОГО РАБОЧЕГО ОРГАНА
КУСТОРЕЗА
1.1 Основные положения и методические указания
Одной из разновидностей кусторезов – орудий для удаления нежелательной
древесно-кустарниковой растительности при осветлении лесных культур – являются орудия с гибкими инерционно-рубящими рабочими органами (цепями, тросами).
В процессе срезания поросли рабочий орган кустореза совершает одновременно вращательное и переносное поступательное движение. Поступательное
движение определяет величину подачи рабочего органа при срезании растений.
Рабочий орган кустореза описывает траекторию, вид которой зависит от соотношения скоростей резания v и подачи un, равной скорости движения трактора, а
также от положения оси ротора относительно обрабатываемого материала.
Траекторией движения любой точки гибкого рабочего органа кустореза в
горизонтальной плоскости будет являться циклоида, описываемая системой параметрических уравнений:
где
 x  u п  t  r  sin(  t );

 y  r  cos(  t ),
x, y, – координаты вершины гибкого рабочего органа, м;
uп – поступательная скорость трактора, м/с;
r – длина гибкого рабочего органа, м;
(1.1)
 – угловая скорость гибкого рабочего органа, с-1;
t – время поворота гибкого рабочего органа на угол t, с.
Поступательная скорость трактора на порядок меньше линейной скорости
любой точки гибкого рабочего органа, поэтому она не оказывает значительного
влияния на его траекторию движения, и ею можно пренебречь. Учитывая возможность перемещения точек рабочего органа в вертикальной плоскости (биение гибкого рабочего органа), систему (1.1) можно преобразовать к виду
 x k  rk  sin( k  t );

 y k  rk  cos( k  t );
 z  r  sin(  t ),
k
k _b
 k
4
(1.2)
где
xк, yк, zк – координаты k-ой точки гибкого рабочего органа, м;
rк – длина рабочего органа от места крепления до его k-ой точки, м;
к – угловая скорость k-ой точки гибкого рабочего органа в горизонтальной плоскости, с-1;
k_b – угловая скорость отклонения k-ой точки гибкого рабочего органа в
вертикальной плоскости оси, с-1.
Далее представим гибкий рабочий орган как систему материальных точек, имеющих возможность перемещения относительно друг друга. Так как работа гибкого рабочего органа рассматривается в трѐхмерном пространстве, то
координаты, определяющие его положения, в соответствии с рис. 1.1, находим
как проекции точек на соответствующие оси:
 xk  rk  sin(k  t )  cos(к 1  t  к  t );

 yk  rk  cos(k  t )  cos(к 1  t  к  t );

2
2
 zk  ( xk  xk 1 )  ( yk  yk 1 )  sin(k _ b  t ).
(1.3)
а) Общий вид ротора кустореза с гибкими рабочими органами
б) Проекции материальных точек рабочего органа в плоскости ХОZ
в) Проекции материальных точек рабочего органа в плоскости YOZ
Рис. 1.1. Схема ротора кустореза с гибкими инерционно-рубящими
рабочими органами
5
Введем в систему связи, учитывающие возможность вращения каждой
точки относительно друг друга без изменения длины рабочего органа, и вычислим его длину. С учетом системы (1.3)
Rk  ( xk  xk 1 ) 2  ( yk  yk 1 ) 2  ( zk  zk 1 ) 2 .
(1.4)
После чего введѐм в эту систему коэффициент, позволяющий масштабировать координаты точек. Он будет равен отношению постоянной длины гибкого рабочего органа rk к длине Rk, получаемой после приращения углов поворота его точек.
 x k  rk  sin( k  t )  cos( к 1  t   к  t )  rk / Rk ,

(1.5)
 y k  rk  cos( k  t )  cos( к 1  t   к  t )  rk / Rk ,

2
2
 z k  ( x k  x k 1 )  ( y k  y k 1 )  sin( k _ b  t )  rk / Rk .
Данная математическая модель позволяет рассчитать траекторию движения гибкого рабочего органа, если известны угловые скорости входящих в него
элементов. На основании приведѐнной математической модели была составлена программа для ЭВМ. В качестве примера результата расчѐта программы рассмотрим процесс разгона гибкого рабочего органа, который характеризуется
изменением координат точки рабочего органа во времени (рис. 1.2).
Этот график построен для материальной точки гибкого рабочего органа,
находящейся на расстоянии 0.6 м от оси ротора, на котором он закреплѐн.
Рис. 1.2. Изменение координат одной из точек рабочего органа
6
На основании полученных в программе данных можно также построить
зависимость, которая характеризует биение рабочего органа в плоскости ХОZ
(рис. 1.3).
Рис. 1.3. Зависимость аппликаты точки гибкого рабочего органа от абсциссы
точки его крепления на роторе кустореза
Аналогично будет выглядеть зависимость, характеризующая биение рабочего органа в плоскости YОZ (рис. 1.4).
Рис. 1.4. Зависимость аппликаты точки гибкого рабочего органа от ординаты
точки его крепления на роторе кустореза
Изменение координат точки рабочего органа, с помощью которой он закреплѐн на роторе, показано на рис. 1.5.
7
Рис. 1.5. Зависимость ординаты точки крепления гибкого рабочего
органа на роторе от еѐ абсциссы
Изменение координат точки рабочего органа, изначально отстоящей от
оси вала на расстоянии 0.6 м, показано на рис. 1.6.
Рис. 1.6. Зависимость ординаты точки гибкого рабочего органа
от еѐ абсциссы
8
Из рис. 1.5 следует, что точка крепления гибкого рабочего органа на роторе вращается с постоянным радиусом 0.2 м, величина которого характеризует
расстояние от оси ротора, на котором закреплѐн рабочий орган.
Из графика, приведенного на рис. 1.6, видно, что точка, расположенная на
гибком рабочем органе и первоначально находящаяся на расстоянии 0.6 м, в
процессе разгона постепенно приближается к нулевой координате, характеризующей ось ротора. То есть, за счѐт сил инерции, угловые скорости материальных точек, составляющих гибкий рабочий орган, будут не одинаковы, на основании чего можно сделать вывод, что гибкий рабочий орган во время разгона
будет стремиться к свѐртыванию в центре ротора. В случае, когда длина гибкого рабочего органа будет больше длины радиуса ротора, возможно захлѐстывание рабочих органов друг за друга.
Во время срезания поросли гибкими инерционно-рубящими рабочими органами, в соответствии с рис. 1.7, будет наблюдаться аналогичное их свѐртывание, как и во время его разгона, но в меньшей степени.
Рис. 1.7. Зависимость ординаты точки гибкого рабочего органа от еѐ абсциссы (рабочий режим)
Из рис. 1.7 следует, что после момента среза поросли происходит уменьшение ширины захвата из-за снижения скорости рабочего органа, а в дальнейшем ширина захвата восстанавливается за счѐт ускорения, которое передаѐтся
гибкому рабочему органу от гидропривода.
9
На рис. 1.8 показано изменение ширины захвата в зависимости от скорости рабочего органа, из которого следует, что его свѐртывание в результате срезания поросли будет незначительным, если частота вращения вала ротора будет
более 13,4 с-1. В этом случае линейная скорость режущего элемента рабочего
органа, отстоящего от оси вала на расстоянии 0,5 м, будет более 40 м/с.
Рис. 1.8. Зависимость габаритного размера рабочего органа от линейной скорости его движения при снижении этой скорости в результате удара для трѐх случаев: I – Vл = 3 м/с; II – Vл = 6 м/с; III – Vл = 10 м/с
1.2 Пример расчѐта положения гибкого рабочего органа в трехмерном пространстве
Дан гибкий рабочий орган: цепь или трос. Представим его в виде пяти
материальных точек, равноудалѐнных друг от друга, причем первая материальная точка закреплена на роторе.
Определить положение рабочего органа в пространстве при заданных угловых скоростях материальных точек, длине рабочего органа и его жѐсткости в
вертикальной плоскости. Исходные данные для пяти материальных точек приведены в табл. 1.1.
10
Таблица 1.1
Скорости материальных точек в горизонтальной и вертикальной плоскостях и
их расстояния относительно центра вращения
k0
k1
k2
k3
k4
120
115
110
105
100
k
биен
R
0
30
30
30
30
0,2
0,4
0,6
0,8
1
Расчѐт произведѐм для момента времени t = 0,05 c, коэффициент жесткости гибкого рабочего органа Koeff = 0,4. В табл. 1.2 представлены формулы из
рассмотренной ранее теоретической части (значения углов под знаком синуса и
косинуса необходимо перевести в радианы).
Таблица 1.2
Расчет кинематики пяти материальных точек гибкого рабочего органа
k0
k1
k2
k3
Находим вектор длины
xk  rk  sin(k  t )
yk  yk  cos(k  t )
zk  rk  Koeff  sin(биен k  t )
X k  xk  cos(k 1  t  k  t )
Находим проекции этих
координат
Х0=х0
Yk  yk  cos(k 1  t  k  t )
Y0=y0
Z k  zk  cos(биен k 1  t  биен k  t )
Z0=z0
Gip _ XYk  ( X k  X k 1 ) 2  (Yk  Yk 1 ) 2
Gip _ XZk  Gip _ XZk 1  Gip _ XYk 2  (Z k  Z k 1 ) 2
Gip _ XY0 
 R0
Gip _ XZ 0 
 R0
Находим итоговые
координаты
X kитог  Х k  rk 1 / Gip _ XZk
X 0итог  x0
Ykитог  Yk  rk 1 / Gip _ XZk
Y0итог  y0
Z kитог  Z k  rk 1 / Gip _ XZk
Z 0итог  z0
11
k4
В табл. 1.3 показаны результаты расчѐта по исходным данным.
Таблица 1.3
Результаты расчета кинематики гибкого рабочего органа
k0
k1
k2
k3
k4
Находим вектор длины
xk  rk  sin(k  t )
-0,06
-0,20
-0,42
-0,69
-0,96
yk  yk  cos(k  t )
0,19
0,34
0,43
0,41
0,28
zk  rk  Koeff  sin(биен k  t )
0,00
X k  xk  cos(k 1  t  k  t )
-0,06
-0,20
-0,41
-0,67
-0,93
Yk  yk  cos(k 1  t  k  t )
0,19
0,33
0,41
0,40
0,27
Z k  zk  cos(биен k 1  t  биен k  t )
0,00
0,01
0,24
0,32
0,40
0,2
0,200
0,227
0,256
0,290
0,2
0,400 0,722 0,990
Находим итоговые
координаты
1,291
0,16
0,24
0,32
Находим проекции этих
координат
0,40
Gip _ XYk  ( X k  X k 1 ) 2  (Yk  Yk 1 ) 2
Gip _ XZk  Gip _ XZk 1  Gip _ XYk 2  (Z k  Z k 1 ) 2
X kитог  Х k  rk 1 / Gip _ XZk
-0,06
-0,197
-0,341
-0,538
-0,719
Ykитог  Yk  rk 1 / Gip _ XZk
0,19
0,334
0,342
0,321
0,213
Z kитог  Z k  rk 1 / Gip _ XZk
0,00
0,011
0,199
0,258
0,309
На рис. 1.9 показаны в трех плоскостях положения пяти материальных
точек, то есть сам рабочий орган. Таким образом, в рассматриваемый момент
времени получено положение гибкого рабочего органа кустореза с учетом режима его работы.
1.3 Задание
На основе приведенного примера выполнить расчѐт положения гибкого
рабочего органа кустореза в трехмерном пространстве согласно исходным дан-
12
ным (табл. 1.4). Построить графики положения гибкого рабочего органа в трехмерном пространстве.
Расчѐт произвести для момента времени t = 0,05 c. Коэффициент жесткости гибкого рабочего органа равен Koeff = 0,45.
Вид Спереди - Плоскость XZ
-0,80
-0,60
-0,40
Вид сбоку - Плоскость YZ
0,40
0,40
0,30
0,30
0,20
0,20
0,10
0,10
0,00
0,00
-0,10
-0,20
0,00
0,00
-0,10
0,10
0,20
0,30
0,40
Вид сверху - Плоскость XY
0,40
0,30
0,20
0,10
-0,80
-0,60
-0,40
-0,20
0,00
0,00
Рис. 1.9. Положение гибкого рабочего органа в трехмерном
пространстве
Таблица 1.4
k0
k1
k
биен
130
125
0
35
R
0,25
0,5
Вариант I
k2
120
k3
k4
115
110
35
35
35
0,75
1
1,25
13
k
биен
R
k0
115
k1
110
0
35
0,35
0,7
k0
Вариант II
k2
105
35
k1
k
биен
125
120
0
30
R
0,3
0,6
1,05
Вариант III
k2
115
k3
100
k4
95
35
35
1,4
1,75
k3
k4
110
105
30
30
30
0,9
1,2
1,5
1.4 Контрольные вопросы
1. С чем связана необходимость использования трехмерной системы координат при составлении математической модели движения гибкого рабочего
органа кустореза?
2. Что даѐт и как рассчитывается коэффициент масштабирования rk/Rk?
3. Как задать в модели различные режимы работы гибкого рабочего органа (ускорение, разгон, холостой ход)?
4. За счет чего рабочая зона захвата остается постоянной?
14
Лабораторная работа №2
РАЗРАБОТКА МОДЕЛИ ПЕРЕРЕЗАНИЯ СТЕБЛЯ ЛЕЗВИЕМ
РАБОЧЕГО ОРГАНА КУСТОРЕЗА
2.1 Основные положения и методические указания
При углублении лезвия в слой материала толщиной h (рис. 2.1) на величину hсж на его режущей кромке возникает разрушающее контактное напряжение р, и начинается процесс резания. На нож действуют следующие силы: Ррез
– сопротивление разрушению материала под кромкой лезвия, направленное
вверх; Робж – силы обжатия материалом, имеющие вертикальные направления и
действующие на боковые грани лезвия (возникают они от расширения слоя материала, вызванного внедрением в него клина лезвия); Рсж – сопротивление
слоя сжатию фаской лезвия, направленное по горизонтали.
а) сопротивления, возникающие при
внедрении лезвия в поросль;
б) схема к определению усилий Рсж и Робж
Рис. 2.1. Силовое взаимодействие лезвия с материалом
Таким образом, на фаску лезвия действует сила N, являющаяся суммой
проекций сил Робж и Рсж, в направлении нормали. От действия нормальной силы N на фаске лезвия возникает сила трения Т2 = N·f. Аналогичная сила трения
Т1 возникает на другой грани лезвия от действия силы Робж . Т1 = Робж  f. Вертикальная проекция силы T2  T2 cos  . Подставив значение N, получим
15
1


(2.1)
T2  f  Pсж sin 2  Pобж cos2   .
2


В момент начала резания критическая сила Ркррез, приложенная к ножу,
должна преодолеть сумму всех сил, действующих в горизонтальном направлении,
(2.2)
Ркр рез  Ррез  Рсж  Т1  Т 2
.
В нашем случае сила Рсж относится к площади, и зависимость между сж
и  подчиняется степенному закону  сж  E   n .
Получаем
Pсж 
1
1
 E n
 
1h
1
n
Сила обжатия выражается аналогично
1
hсжn tg (  ) .
1
1
(2.3)
1
1  E  n 1 n
(2.4)
Pобж   
  h .
1  h  сж
1
n
Подставляя значения всех сил, противодействующих Ркррез, получим еѐ
значение
1
1


1  Е  n 1 n
2
2
Pкр рез       Р 
  hсж  tg (  )  f sin (  )   ( f  cos (  ) , (2.5)
1
1  h 
т
где l – длина рабочего органа, соприкасающегося с порослевиной;
 – ширина рабочего органа;
Е – модуль деформации;
 – коэффициент Пуассона;
 – угол трения;
 – угол наклона фаски, рад;
f – коэффициент трения массы о материал лезвия, f = tg.
2.2 Пример расчета влияния геометрических параметров режущего
элемента на силу резания стебля растения
Определить влияние угла наклона фаски , геометрических параметров
16
режущего элемента l,  на силу резания стебля. Расчѐт выполнить для h = 0,4;
1,2; 2; 2,4 и 3,2 см.
Константы: Е = 5000 Па;  =
0,14;  = 45; m = 1; n = 1; р =
24106 Па. Переменные величины  =
30…85; l = 2…5 см;  = 0,4…1 см.
На рис. 2.2 показана зависимость силы резания от диаметра поросли для четырех случаев (I –  =
0,01 м,  = 85; II –  = 0,005 м,  =
85; III –  = 0,01 м,  = 45. IV –  =
0,005 м,  = 45).
На основании полученной зависимости установлено, что толщина
лезвия оказывает большее влияние на
снижение силы резания, чем его заточка.
Рис. 2.2. Зависимость силы резания
от диаметра поросли
2.3 Задание
На основе приведенных сведений рассчитать силу резания стебля древесного растения определенного диаметра (0,5; 1,3; 1,9; 2,5 и 3,4 см). Построить
график зависимости силы резания от диаметра поросли для каждой комбинации
геометрических параметров лезвия.
Сделать вывод о влиянии параметров лезвия рабочего органа кустореза
на данный параметр.
Комбинации параметров режущего элемента приведены в табл. 2.1.
Таблица 2.1
Комбинации параметров лезвия
1 вариант
Номер
Толщина лезвия, м.
Угол заточки лезвия,
комбинации
град.
I
0,007
75°
II
0,002
75°
17
III
IV
Номер
комбинации
I
II
III
IV
Номер
комбинации
I
II
III
IV
0,007
0,002
2 вариант
Толщина лезвия, м.
0,008
0,003
0,008
0,003
3 вариант
Толщина лезвия, м.
0,009
0,004
0,009
0,004
Продолжение табл. 2.1
30°
30°
Угол заточки лезвия,
град.
60°
60°
30°
30°
Угол заточки лезвия,
град.
75°
75°
45°
45°
2.4 Контрольные вопросы
1. Какие силы действуют на лезвие при его внедрении в стебель?
2. Что оказывает большее влияние на силу резания: угол заточки лезвия
или его толщина? Почему?
3. От каких физико-механических параметров древесины зависит сила резания?
4. Будет ли различие в величине прикладываемой силы резания Pкр при
одинаковой толщине режущего элемента, но разных диаметрах перерезаемого
стебля?
18
Лабораторная работа № 3
РАЗРАБОТКА МОДЕЛИ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В
ГИДРОПРИВОДЕ КУСТОРЕЗА С ГИБКИМИ ИНЕРЦИОННОРУБЯЩИМИ РАБОЧИМИ ОРГАНАМИ
3.1 Основные положения и методические указания
Для математического описания работы гибкого инерционно-рубящего
рабочего органа с приводом от гидромотора применим известное из теоретической механики дифференциальное уравнение вращения твѐрдого тела вокруг
неподвижной оси
d
(3.1)
J пр 
 M дв  M c ,
dt
где  – угловая скорость вала гидромотора, с-1;
Мдв – момент, развиваемый гидромотором, Нм;
Jпр – приведенный момент инерции вращающихся масс к валу гидромотора, рассчитываемый по формуле J пр  k p J д  J эл , кгм2;
кр – коэффициент, учитывающий вращающиеся массы редуктора;
Jд – момент инерции роторной группы гидромотора, кгм2;
Jэл – момент инерции гибкого рабочего органа, кгм2;
Момент инерции в вертикальной плоскости, представляя режущий элемент как параллелепипед, находим по формуле
1
J Z  mэл  l 2   2 ,
(3.2)
12
где l – длина элемента, м;
 – толщина элемента, м;
mэл – масса элемента гибкого рабочего органа mэл = V, кг;
 – плотность материала, из которого изготовлен режущий элемент, кг/м3;
V – объѐм режущего элемента, м3.
Используя теорему Штейнера, из формулы (3.2) находим момент инерции
режущего элемента относительно оси вращения вала
J эл  J Z  mэл  R 2 ,
где R – расстояние от оси вращения элемента до оси вращения вала, м.
Момент, развиваемый гидромотором, вычисляется по формуле
19
(3.3)
М дв 
 n q м p
,
2 o
(3.4)
где  n – полный КПД гидромотора;
 o – объѐмный КПД гидромотора;
qм – удельный объѐм гидромотора, м3/об;
p – перепад давлений масла между полостями нагнетания и слива гидромотора, то есть
p  p1  p0 ,
где
(3.5)
р1 – давление масла в полости нагнетания гидромотора, МПа;
ро – давление масла в полости слива гидромотора, МПа.
Значения давлений масла можно определить из уравнения постоянства
расхода рабочей жидкости, подаваемой в гидромотор от насоса p1 и выходящей
из гидромотора на слив p0.
Момент нагрузки на валу гидромотора, создаваемый силами сопротивления резанию, для инерционно-рубящего органа равен
(3.6)
M c   уд  J эл ,
где
уд – угловое ускорение удара, с-2.
Из теории импульсного резания известно, что усилие импульсного резания можно выразить из усилия «силового» резания Fл, введя поправочный совокупный коэффициент динамичности по усилию резания КДР
FДИН  FЛ  К ДР .
(3.7)
Импульс силы, согласно положениям теоретической механики, выражается формулой
mЭЛ  R  ( до. уд   п. уд )
,
(3.8)
 FДИН 
t уд
где
до.уд. – угловая скорость рабочего органа до удара, с-1;
п.уд. – угловая скорость рабочего органа после удара, с-1;
tуд – момент времени, в течение которого произошѐл удар, с.
Тогда ускорение, получаемое режущим элементом в результате взаимодействия с порослью, вычисляем по формуле
 п. уд   до. уд FДИН
 уд 

.
(3.9)
t уд
mR
20
Подставим это ускорение в формулу (3.6), получив искомый момент, создаваемый на валу от сил резания
F ДИН
(3.10)
Мс 
 J эл .
m R
Подставив найденные выражения Мдв и Мс в исходное уравнение (3.6),
получим дифференциальное уравнение движения гибкого рабочего органа с
приводом от гидромотора
d  n q м p F ДИН
J пр


 J эл .
(3.11)
dt
2 o
m R
Для возможности более полного исследования динамических процессов в
рассматриваемом гидроприводе уравнение (3.11) должно быть дополнено вторым дифференциальным уравнением, которое будет описывать расход рабочей
жидкости. Это уравнение имеет вид


dp
1

qнн  q м  a y p ,
dt K  p 
где
(3.12)
К(р) – коэффициент податливости упругих элементов гидропривода;
qн – рабочий объѐм насоса, м3/об;
qм – рабочий объѐм гидромотора, м3/об;
н – угловая скорость вращения насоса, с-1;
 – угловая скорость вращения вала гидромотора, с-1;
аy – коэффициент утечек.
При моделировании динамических процессов в рассматриваемом гидроприводе уравнения (3.11) и (3.12) рассматриваются совместно как система, то есть
1
 dp

 dt K qн н  q м  a y p ;
 p

(3.13)

F

J

q
p
d

1
1
ДИН
эл
n
м





.
 dt J пр 2 o J пр
m R
Система (3.13) представляет собой систему дифференциальных уравнений первого порядка, которая математически описывает динамические процессы в рассматриваемом гидроприводе.
Решим эту систему уравнений.
Для простоты записи решения произведем замену:
21
b
ay
q
q
1 FДИН  J эл
1 n qм
; c
; d  н н ; e м ; f 
.


K ( p)
K ( p)
K ( p)
J пр 2 o
J пр
mR
Тогда получим систему уравнений в следующем виде:
 dp
 d  e    f  p,

 dt

 d  b  p  c.

 dt
Решаем первое уравнение системы:
(3.14)
d2p
d
dp


e


f

;
dt 2
dt
dt
(3.15)
Подставим в уравнение (3.15) второе уравнение системы (3.14):
d2p
dp

e

(
b

p

c
)

f

;
dt 2
dt
d2p
dp
 f
be p ec .
2
dt
dt
(3.16)
(3.17)
Заменим: e  c  z; be  g , тогда
d2p
dp
f
 g  p  z.
2
dt
dt
(3.18)
Для решения данного дифференциального уравнения отбросим правую
часть и возьмем порядок дифференциального уравнения как степень некоторого числа y. Получим
y 2  fy  g  0;
D  f 2  4 g;
f  D
.
(3.19)
2
Опытным путем установлено, что значение дискриминанта D меньше нуля. Из высшей математики, с учетом этого, известно, что уравнение (3.18) дает
предварительный ответ:
y1, 2 
pо  е
с
 t
2
 (C1 cos(
D
D
t )  C2 sin(
t )).
2
2
Найдем константы C1 и C 2 , если известны граничные условия  o
C1  C2  0  C1  C2 .
22
(3.20)
t 0
 0:
Пусть C2  1 , значит C1  1 . Подставив полученные значения C1 и C 2 в
(3.20), получим
pо  е
с
 t
2
 (sin(
D
D
t )  cos(
t )).
2
2
(3.21)
Вернемся к правой части уравнения (3.18), пусть:
  0; 
  0.
  А – в соответствии с уравнением, тогда 
Подставим значения  в (3.18)
gA  z  A 
z
;
g
 A  
z
.
g
p  pо  . .
(3.22)
(3.23)
Используя величины, характеризующие разгон, холостой и рабочий режимы, получим решение системы уравнений относительно времени
p(t )  е
с
 t
2
 (sin(
D
D
z
t )  cos(
t ))  .
2
2
g
(3.24)
Подставим в уравнение (3.24) значения z и g
p(t )  е
с
 t
2
 (sin(
D
D
c
t )  cos(
t ))  .
2
2
b
(3.25)
Окончательно это уравнение примет вид
p(t )  е

ay
2 K ( p )
  2  J пр     0  a y2  4  K ( p )   п  qн  q м 

 
t

2  J пр     0
 
 sin 
t 
2  K( p)

 

 


(3.26)
 2  J пр     0  a y2  4  K ( p )   п  qн  q м 



 FДИН  J эл  2     0
2  J пр     0
 cos
 t  
.
2

K
m

R



q
( p)
эл
п
м






В итоге получили уравнение, характеризующее изменение давления в напорной гидромагистрали как функции времени. Аналогично данная система
23
уравнений решается и относительно угловой скорости.
Первое слагаемое в этом уравнении характеризует изменение давления
во время разгона ротора кустореза. В момент разгона ротора наблюдаются
всплеск давления от гидравлического удара и последующая стабилизация.
Второе слагаемое представляет собой скачок давления при срезании поросли
силой Fдин.
3.2 Пример расчѐта влияния параметров гидропривода кустореза на
работу гидросистемы
Необходимо определить влияние параметров гидропривода кустореза на
работу гидросистемы, оценивая всплески давления в гидромагисрали.
Расчѐт произведѐм для моментов времени t = 0,02; 0,04; 0,06; 0,08; 0,1;
0,12 с по формуле
p(t )  е

ay
2 K ( p )
  2  J пр     0  a y2  4  K ( p )   п  qн  q м 

 
t

2  J пр     0
 
 sin 
t 
2  K( p)

 

 


 2  J пр     0  a y2  4  K ( p )   п  qн  q м 



 F  J  2     0
2  J пр     0
 cos
 t   ДИН эл
.
2

K
m

R



q
( p)
эл
п
м






Исходные данные: аy = 15,69·10-6; qн = qм = 32·10-6 м3/об; mэл = 0,4 кг;
-6
2
 n = 0,8;  o = 0,95; R = 0,5 м; l = 0,5 м; К(р) = 2…5·10 ; Jm = 0,1…0,3 кгм .
Таким образом, в момент разгона и в момент резания будет происходить
аналогичный всплеск давления, но разного масштаба. Для вычисления этого
масштаба необходимо найти максимальное давление при разгоне и разделить
его на давление при срезании (второе слагаемое). После чего в момент срезания
поросли разного диаметра силой Fдин скачок давления, а значит и масштаб,
уменьшающий всплеск при разгоне, будут разными для каждого случая. В результате получаем корректное изменение давления во время резания (рис. 3.1).
24
Рис. 3.1. Исследование динамики гидропривода кустореза с гибкими инерционно-рубящими рабочими органами
3.3 Задание
На основе приведенного математического описания процесса выполнить
расчѐт влияния параметров гидропривода гибкого рабочего органа кустореза на
работу гидросистемы, согласно заданию, и построить график зависимости давления рабочей жидкости в гидроприводе от времени его работы.
I вариант
Исходные данные: l = 0,05 м; δ = 0,02 м; Fдин = 2000 Н; аy = 15,49·10-6;
qн = qм = 31·10-6 м3/об; mэл = 0,4 кг;  n = 0,8;  o = 0,95; R = 0,5 м; К(р) = 4·10-6;
Jm = 0,2 кгм2.
Расчѐт произвести для моментов времени t = 0,01; 0,03; 0,05; 0,07; 0,09 и
0,11 с.
II вариант
Исходные данные: l = 0,06 м; δ = 0,03 м; Fдин = 2500 Н; аy = 15,59·10-6;
qн = qм = 33·10-6 м3/об; mэл = 0,45 кг;  n = 0,8;  o = 0,95; R = 0,5 м; К(р) = 5·10-6;
Jm = 0,15 кгм2.
25
Расчѐт произвести для моментов времени t = 0,02; 0,04; 0,06; 0,08; 0,1 и
0,12 с.
III вариант
Исходные данные: l = 0,07 м; δ = 0,03 м; Fдин = 3000 Н; аy = 15,69·10-6;
qн = qм = 32·10-6 м3/об; mэл = 0,5 кг;  n = 0,8;  o = 0,95; R = 0,5 м; К(р) = 4,5·10-6;
Jm = 0,3 кгм2.
Расчѐт произвести для моментов времени t = 0,03; 0,06; 0,09; 0,12; 0,15 и
0,18 с.
3.4 Контрольные вопросы
1. Почему при рассмотрении динамики гибкого рабочего органа взято за
основу уравнение вращения твѐрдого тела вокруг неподвижной оси?
2. Какой из моментов больше: момент вращения тела вокруг собственной
оси вращения или вокруг центральной оси вращения. Почему?
3. От чего зависит момент, развиваемый гидромотором?
4. Как определить угловое ускорение удара?
5. С какой целью уравнение движения гибкого рабочего органа дополняется ещѐ одним дифференциальным уравнением?
6. Что такое коэффициент податливости упругих элементов гидропривода, и как он влияет на характеристику изменения давления в гидросистеме?
7. Пояснить этапы решения системы дифференциальных уравнений, описывающих работу гидропривода ротора.
8. Как изменяется давление при включении гидросистемы, холостом ходе
и процессе резания?
26
Лабораторная работа № 4
РАЗРАБОТКА МОДЕЛИ РАБОТЫ НА ВЫРУБКЕ ТРАКТОРА С
НАВЕШЕННЫМ НА ГИДРОМАНИПУЛЯТОР
ПЛОЩАДКОДЕЛАТЕЛЕМ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ ПНЕЙ К
ПОНИЖЕНИЮ НИЖЕ ПОВЕРХНОСТИ ПОЧВЫ
4.1 Основные положения и методические указания
Понижение пней является экологически безопасной и энергосберегающей
операцией при подготовке вырубок к лесовосстановлению. Перспективно осуществлять понижение пней ниже поверхности почвы с целью повышения качества работ по восстановлению лесных насаждений на вырубках и гарях.
Для подготовки пней к понижению ниже поверхности почвы разработан
специальный агрегат (рис. 4.1), включающий в себя трактор 1, телескопический
гидроманипулятор 2, винтовой ротатор 3 и площадкоделатель для формирования площадок-углублений вокруг пней 4.
Рис. 4.1. Агрегат для формирования площадок-углублений вокруг пней
Технологический процесс подготовки пней к понижению ниже поверхности земли заключается в следующем: площадкоделатель при помощи гидроманипулятора устанавливается над пнем и опускается до контакта с почвой, после
чего роторы приводятся во вращение посредством гидромоторов, а тросы, кон27
тактируя с пнем, производят его очистку. Профиль площадки-углубления –
глубина 15…20 см и радиус 60…90 см – обеспечивается за счет реверсивного
поворота ротатора, осуществляемого одновременно с вращением роторов. После завершения операции устройство перемещается к другому пню, и технологический процесс повторяется. В зависимости от диаметра пней расстояние
между роторами регулируется при помощи двухштокового гидроцилиндра.
После очистки пни могут измельчаться ниже поверхности почвы машинами для понижения, дробления и фрезерования пней.
Использование гидроманипулятора для позиционирования площадкоделателя значительно повышает производительность агрегата по сравнению с вариантом крепления машины непосредственно на навесном механизме трактора.
Гидроманипулятор позволяет сократить количество переездов трактора на вырубке за счет того, что при каждой остановке агрегата удается сформировать
площадки-углубления для последующего понижения нескольких пней.
Для оценки эффекта от манипуляторного размещения площадкоделателя
и обоснования основных параметров гидроманипулятора необходимо разработать математическую модель работы агрегата на вырубке, позволяющую рассчитать количество переездов трактора на вырубках с различной плотностью
распределения пней (от 200 до 1200 пней/га).
Моделирование целесообразно производить в двухмерном пространстве
XY, представляя плоскость моделирования как «вид сверху» на вырубку. Первоначально выполним генерацию модельной вырубки с заданной плотностью
распределения пней σП (рис. 4.2).
i  1...  П Lx L y ;

i
 xi  F1 Lx ;
y  F iL ,
2 y
 i
(4.1)
где i – номер пня в модели;
||...|| – оператор округления;
σП – заданная плотность распределения пней;
Lx и Ly – длина и ширина модельного фрагмента вырубки;
(xi, yi) – координаты i-го пня на вырубке;
и
– реализации случайных величин, распределенных по равномерному закону в интервале (0, 1).
28
Рис. 4.2. Фрагменты вырубок размерами 20х20 м, специально сгенерированные
для различных плотностей распределения пней
Основной задачей моделирования является определение количества переездов трактора Nт при обработке заданного количества пней Nп. Для решения
данной задачи в модели производятся имитация движения трактора вдоль прямой линии гона и периодическая проверка попадания окружающих агрегат
пней в рабочую область гидроманипулятора, которая представляет собой сектор кольца и определяется диапазоном углов поворота стрелы φ1...φ2 и диапазоном расстояний вылета стрелы R1...R2 (рис. 4.3).
В соответствии с расчетной схемой условие попадания i-го пня в рабочую
область гидроманипулятора можно записать в виде системы уравнений
 R1  Ri  R2 ;
     ;
i
2
 1
 Ri   x i  x т  2   y i  y т  2 ;

yi  y т


arctg
, xi  x т  0;


x

x
i
т
 i  
y

y
y  yт
т

(arctg i
)  180  , i
 0,


x

x
x

x
i
т
i
т


(4.2)
где R1, R2 – минимальный и максимальный вылеты стрелы гидроманипулятора;
29
φ1, φ2 – предельные углы поворота стрелы гидроманипулятора;
хт, ут – координаты колонны гидроманипулятора;
Ri и φi – полярные координаты вылета и угла поворота стрелы гидроманипулятора для i-го пня в системе координат, связанной с осью поворота колонны (xт, yт).
Рис. 4.3. Рабочая область гидроманипулятора и ее геометрические параметры
Размещение трактора с гидроманипулятором и навешенным на него площадкоделателем на модельной вырубке необходимо выполнять с учетом того,
чтобы рабочая область гидроманипулятора не выходила за пределы области вырубки Lx×Ly. После подсчета количества попавших в рабочую область пней производится перемещение трактора вдоль оси ОХ на такое расстояние, чтобы не
произошло пропуска пня мимо рабочей области в обрабатываемой полосе. Таким образом моделируется переезд трактора с одного положения обработки на
другое. В результате происходит постепенное смещение рабочей области, при
этом каждый раз выполняется подсчет количества пней, попавших в рабочую
область. При достижении суммарного количества обработанных пней, равного
некоторому заданному значению Nmax, необходимо подсчитывать суммарное
время обработки tобр заданного количества пней Nmax
tобр  N тt т  N пt п ,
30
(4.3)
где Nт – количество переездов трактора;
tт – время переезда трактора с одного рабочего положения на другое,
включающее в себя время движения, время фиксации и время снятия фиксации
трактора, время подготовки оператора к управлению гидроманипулятором,
время оценки расположения окружающих агрегат пней и выбора оптимальной
последовательности обработки пней;
Nп – заданное количество пней;
tп – время обработки одного пня, включающее время позиционирования,
опускания и подъема площадкоделателя.
Наиболее важным показателем, определяемым по результатам моделирования, является производительность П площадкоделателя, то есть количество
пней, обрабатываемых за единицу времени:
П
Nп
.
t обр
(4.4)
Таким образом, разработанная модель позволяет выяснить, как производительность площадкоделателя с манипуляторным позиционированием зависит
от основных геометрических параметров гидроманипулятора: минимального и
максимального вылетов стрелы R1 и R2 и предельных углов поворота стрелы φ1
и φ2 .
На основании разработанной математической модели была составлена
специальная компьютерная программа на языке Object Pascal в среде программирования Borland Delphi 7 (рис. 4.4).
Рис. 4.4. Вывод результатов моделирования в разработанной программе
31
На рис. 4.5 приведены примеры работы программы: показана последовательность областей обработки при постепенно смещающемся вдоль линии гона
агрегате. В случае малого количества пней на единице площади вырубки
(200…400 шт/га) (рис. 4.5, а) трактор при каждой остановке обрабатывает ориентировочно в пределах 1…3 пней и совершает длинные переезды (около 10 м).
При большем количестве (600…800 шт/га) (рис. 4.5, б) число обрабатываемых
пней за одну остановку агрегата возрастает до 3…5, а переезды между остановками сокращаются до 5 м.
а – 200 пней/га; б – 800 пней/га
Рис. 4.5. Примеры работы агрегата для формирования вокруг пней площадокуглублений на вырубках с различной плотностью распределения пней
С помощью модели изучено влияние плотности распределения пней σп на
вырубке и основных геометрических параметров гидроманипулятора (R2, Δφ =
φ2 – φ1) на производительность площадкоделателя (рис. 4.6).
Так как производительность площадкоделателя увеличивается с возрастанием плотности распределения пней на вырубке (рис. 4.6, а), то можно сделать вывод, что гидроманипуляторное позиционирование площадкоделателя
целесообразно при высокой плотности (более 600 пней/га): в этом случае удается при каждой остановке трактора обработать сразу от 3 до 5 пней. При малой
32
же плотности (менее 400) пни расположены далеко друг от друга, и с одной остановки трактора редко удается обработать более одного пня. Поэтому в данном случае целесообразно размещать площадкоделатель непосредственно на
механизме навески трактора.
а – от плотности распределения пней на вырубке σП; б – от максимального вылета стрелы R2; в – от углового диапазона поворота стрелы Δφ
Рис. 4.6. Зависимости производительности П площадкоделателя, размещенного
на гидроманипуляторе
С увеличением максимального вылета стрелы R2 производительность (рассчитана для 600 пней/га) увеличивается практически линейно (рис. 4.6, б). Поэтому для площадкоделателя целесообразно выбирать гидроманипулятор с как
33
можно большим вылетом стрелы, но с одновременным учетом массовых и стоимостных параметров гидроманипулятора, а также тягового усилия трактора.
Увеличение углового диапазона поворота стрелы приводит к увеличению
площади рабочей зоны гидроманипулятора, и, соответственно, – к приблизительно линейному росту производительности (рис. 4.6, в). Поэтому целесообразно устанавливать гидроманипулятор на тракторе так, чтобы угловой диапазон поворота стрелы был как можно большим.
4.2 Пример расчѐта производительности площадкоделателя, размещенного на базе манипуляторного энергетического средства, при проведении работ по подготовке пней к понижению ниже поверхности почвы
Агрегат обрабатывает фрагмент вырубки размером 25x25 м с плотностью
распределения пней σП = 250 шт./га.
Выполним генерацию модельной вырубки с заданной плотностью σП.
Рассчитаем общее количество пней, приходящееся на заданный фрагмент
nп =
= 250 · 0,25 · 0,25 ≈ 16 пней.
Определим координаты (м) каждого из 16 пней, используя генератор случайных чисел.
34
Для дальнейших расчетов принимаем параметры манипулятора: угловой
диапазон поворота стрелы Δφ = 240°, угол φ1 = 60°, угол φ2 = 300°, минимальный вылет стрелы R1 = 1,25 м; максимальный вылет стрелы R2 = 3,8 м; время
переезда агрегата с одного рабочего положения на другое tт = 50 с; время обработки одного пня tп = 30 с.
Определим координаты хт и ут каждого их положений поворотной колонны гидроманипулятора, считая, что агрегат осуществляет проход по центру
обрабатываемого фрагмента вырубки (рис. 4.7).
Рис. 4.7. К определению координат положений поворотной колонны
манипулятора
Координаты начального положения поворотной колонны следующие:
хт1 = 23,75 м; ут1 = 12,5 м.
Определяем координаты положений поворотной колонны при дальнейшем перемещении агрегата по вырубке с учетом необходимости перекрытия
рабочей зоны (рис. 4.8).
35
Рис.4.8. Координаты положений поворотной колонны при перемещениях
агрегата по вырубке
С некоторыми допущениями агрегату необходимо выполнить 9 переездов
по заданному участку вырубки при подготовке площадок-углублений. Запишем
координаты каждого положения поворотной колонны гидроманипулятора:
Для обработки рабочими органами площадкоделателя пень должен попасть в рабочую зону манипулятора, то есть должны выполниться условия
36
Рассмотрим возможность попадания какого-либо из 16 пней в рабочую
зону гидроманипулятора, расположенного в начальной рабочей позиции 1.
Пень № 1
17,8 м ˃ 3,8 м; 10° ˂ 60°,
Требуемые условия не выполняются → обработка пня не производится
Пень № 2
21,01 м ˃ 3,8 м; 3° ˂ 60°,
Требуемые условия не выполняются → обработка пня не производится
Пень № 3
16,57 м ˃ 3,8 м; 60° ˂147° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Пень № 4
8,1 м ˃ 3,8 м; 60° ˂89° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Пень № 5
17,34 м ˃ 3,8 м; ; 4° ˂ 60°,
Требуемые условия не выполняются → обработка пня не производится
Пень № 6
10,29 м ˃ 3,8 м; 60° ˂ 67° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Пень № 7
12,02 м ˃ 3,8 м; 60° ˂ 64° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Пень № 8
17,17 м ˃ 3,8 м; 27° ˂ 60°,
Требуемые условия не выполняются → обработка пня не производится
37
Пень № 9
0,8 м ˂ 1,25 м; 60° ˂ 87° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Пень № 10
10,05 м ˃ 3,8 м; 60° ˂ 176° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Пень № 11
19,3 м ˃ 3,8 м; 22° ˂ 60°°,
Требуемые условия не выполняются → обработка пня не производится
Пень № 12
1,25 м ˂ 2,62 м ˂ 3,8 м; 60° ˂ 68° ˂ 300°,
Требуемые условия выполняются → обработка пня производится
Пень № 13
7,82 м ˃ 3,8 м; 60° ˂ 82° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Пень № 14
7,92 м ˃ 3,8 м; 60° ˂145° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Пень № 15
24,05 м ˃ 3,8 м; 60° ˂ 154° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Пень № 16
13,22 м ˃ 3,8 м; 52° ˂ 60°,
Требуемые условия не выполняются → обработка пня не производится
Таким образом, находясь в рабочей позиции 1, агрегат производит обработку одного пня (№ 12).
38
Аналогичным образом оцениваем возможность попадания какого-либо из
пней в рабочую зону гидроманипулятора, расположенного в каждой из оставшихся 8 рабочих позиций. Обработанные пни в дальнейших расчетах не учитываем.
Оценим возможность попадания какого-либо из 15 оставшихся пней в рабочую зону гидроманипулятора, расположенного в рабочей позиции 2. Координаты положения поворотной колонны в рабочей позиции 2 следующие:
хт2 = 21,2 м; ут2= 12,5 м.
Пень № 1
15,25 м ˃ 3,8 м; 12° ˂ 60°,
Требуемые условия не выполняются → обработка пня не производится
Пень № 2
18,47 м ˃ 3,8 м; ; 3° ˂ 60°,
Требуемые условия не выполняются → обработка пня не производится
Пень № 3
14,53 м ˃ 3,8 м; 60° ˂141° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Пень № 4
8,56 м ˃ 3,8 м; 60° ˂72° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Пень № 5
14,8 м ˃ 3,8 м; 5° ˂ 60°,
Требуемые условия не выполняются → обработка пня не производится
Пень № 6
9,59 м ˃ 3,8 м; 60° ˂ 81° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Пень № 7
11,13 м ˃ 3,8 м; 60° ˂ 256° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
39
Пень № 8
14,95 м ˃ 3,8 м; ; 32° ˂ 60°,
Требуемые условия не выполняются → обработка пня не производится
Пень № 9
1,25 м ˂ 2,63 м ˂ 3,8 м; 60° ˂ 163° ˂ 300°,
Требуемые условия выполняются → обработка пня производится
Пень № 10
7,52 м ˃ 3,8 м; 60° ˂ 175° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Пень № 11
16,95 м ˃ 3,8 м; ; 25° ˂ 60°,
Требуемые условия не выполняются → обработка пня не производится
Пень № 13
8,59 м ˃ 3,8 м; 60° ˂65° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Пень № 14
6,04 м ˃ 3,8 м; 60° ˂130° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Пень № 15
21,81 м ˃ 3,8 м; 60° ˂151° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Пень № 16
11,79 м ˃ 3,8 м; 60° ˂ 62° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Таким образом, находясь в рабочей позиции 2, агрегат производит обработку одного пня (№ 9).
40
Оценим возможность попадания какого-либо из оставшихся пней в рабочую зону манипулятора, расположенного в рабочей позиции 3. Координаты положения поворотной колонны в рабочей позиции 3 следующие: хт3 = 18,65 м;
ут3 = 12,5 м.
Пень № 1
12,76 м ˃ 3,8 м; 14° ˂ 60°,
Требуемые условия не выполняются → обработка пня не производится
Пень № 2
15,92 м ˃ 3,8 м; 3° ˂ 60°,
Требуемые условия не выполняются → обработка пня не производится
Пень № 3
12,67 м ˃ 3,8 м; 60° ˂134° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Пень № 4
9,7 м ˃ 3,8 м; 57° ˂ 60°,
Требуемые условия не выполняются → обработка пня не производится
Пень № 5
12,26 м ˃ 3,8 м; 6° ˂ 60°,
Требуемые условия не выполняются → обработка пня не производится
Пень № 6
9,54 м ˃ 3,8 м; 60° ˂ 97° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Пень № 7
10,78 м ˃ 3,8 м; 60° ˂ 89° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Пень № 8
12,85 м ˃ 3,8 м; 38° ˂ 60°,
Требуемые условия не выполняются → обработка пня не производится
41
Пень № 10
4,99 м ˃ 3,8 м; 60° ˂ 172° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Пень № 11
14,67 м ˃ 3,8 м; 29° ˂ 60°,
Требуемые условия не выполняются → обработка пня не производится
Пень № 13
9,97 м ˃ 3,8 м; ; 51° ˂ 60°,
Требуемые условия не выполняются → обработка пня не производится
Пень № 14
4,82 м ˃ 3,8 м; 60° ˂ 106° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Пень № 15
19,63 м ˃ 3,8 м; 60° ˂ 147° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Пень № 16
10,8 м ˃ 3,8 м; 60° ˂ 73° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Таким образом, находясь в рабочей позиции 3, агрегат обработку пней не
производит.
Оценим возможность попадания какого-либо из оставшихся пней в рабочую
зону манипулятора, расположенного в рабочей позиции 4. Координаты положения
поворотной колонны в рабочей позиции 4 следующие: хт4 = 16,1 м; ут4 = 12,5 м.
Пень № 1
10,3 м ˃ 3,8 м; 17° ˂ 60°,
Требуемые условия не выполняются → обработка пня не производится
42
Пень № 2
13,38 м ˃ 3,8 м; 4° ˂ 60°,
Требуемые условия не выполняются → обработка пня не производится
Пень № 3
11,09 м ˃ 3,8 м; 60° ˂ 124° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Пень № 4
11,3 м ˃ 3,8 м; 46° ˂ 60°,
Требуемые условия не выполняются → обработка пня не производится
Пень № 5
9,72 м ˃ 3,8 м; 7° ˂ 60°,
Требуемые условия не выполняются → обработка пня не производится
Пень № 6
10,15 м ˃ 3,8 м; 60° ˂ 111° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Пень № 7
11,03 м ˃ 3,8 м; 60° ˂ 103° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Пень № 8
10,93 м ˃ 3,8 м; 46° ˂ 60°,
Требуемые условия не выполняются → обработка пня не производится
Пень № 10
1,25 м ˂ 2,5 м ˂ 3,8 м; 60° ˂ 162° ˂ 300°,
Требуемые условия выполняются → обработка пня производится
Пень № 11
12,49 м ˃ 3,8 м; 35° ˂ 60°,
Требуемые условия не выполняются → обработка пня не производится
43
Пень № 13
11,75 м ˃ 3,8 м; ; 42° ˂ 60°,
Требуемые условия не выполняются → обработка пня не производится
Пень № 14
4,79 м ˃ 3,8 м; 60° ˂ 76° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Пень № 15
17,56 м ˃ 3,8 м; 60° ˂142° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Пень № 16
10,35 м ˃ 3,8 м; 60° ˂ 87° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Таким образом, находясь в рабочей позиции 4, агрегат производит обработку одного пня (№ 10).
Оценим возможность попадания какого-либо из оставшихся пней в рабочую
зону манипулятора, расположенного в рабочей позиции 5. Координаты положения
поворотной колонны в рабочей позиции 5 следующие: хт5 = 13,55 м; ут5 = 12,5 м.
Пень № 1
7,9 м ˃ 3,8 м; ; 23° ˂ 60°,
Требуемые условия не выполняются → обработка пня не производится
Пень № 2
10,83 м ˃ 3,8 м; 4° ˂ 60°,
Требуемые условия не выполняются → обработка пня не производится
Пень № 3
9,91 м ˃ 3,8 м; 60° ˂ 111° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
44
Пень № 4
13,21 м ˃ 3,8 м; 38° ˂ 60°,
Требуемые условия не выполняются → обработка пня не производится
Пень № 5
7,2 м ˃ 3,8 м; 10° ˂ 60°,
Требуемые условия не выполняются → обработка пня не производится
Пень № 6
11,31 м ˃ 3,8 м; 60° ˂ 123° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Пень № 7
11,03 м ˃ 3,8 м; 60° ˂ 114° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Пень № 8
9,32 м ˃ 3,8 м; 57° ˂ 60°,
Требуемые условия не выполняются → обработка пня не производится
Пень № 11
10,48 м ˃ 3,8 м; 42° ˂ 60°,
Требуемые условия не выполняются → обработка пня не производится
Пень № 13
13,77 м ˃ 3,8 м; 35° ˂ 60°,
Требуемые условия не выполняются → обработка пня не производится
Пень № 14
5,98 м ˃ 3,8 м; 51° ˂ 60°,
Требуемые условия не выполняются → обработка пня не производится
Пень № 15
15,64 м ˃ 3,8 м; 60° ˂137° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
45
Пень № 16
10,35 м ˃ 3,8 м; 60° ˂ 100° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Таким образом, находясь в рабочей позиции 5, агрегат обработку пней не
производит.
Далее оценим возможность попадания какого-либо из оставшихся пней в рабочую зону манипулятора, расположенного в рабочей позиции 6. Координаты положения поворотной колонны в рабочей позиции 6 следующие: хт6 = 11 м;
ут6 = 12,5 м.
Пень № 1
5,62 м ˃ 3,8 м; 33° ˂ 60°,
Требуемые условия не выполняются → обработка пня не производится
Пень № 2
8,29 м ˃ 3,8 м; 6° ˂ 60°,
Требуемые условия не выполняются → обработка пня не производится
Пень № 3
9,31 м ˃ 3,8 м; 60° ˂ 97° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Пень № 4
15,3 м ˃ 3,8 м; 32° ˂ 60°,
Требуемые условия не выполняются → обработка пня не производится
Пень № 5
4,69 м ˃ 3,8 м; 15° ˂ 60°,
Требуемые условия не выполняются → обработка пня не производится
Пень № 6
12,89 м ˃ 3,8 м; 60° ˂ 133° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
46
Пень № 7
13,09 м ˃ 3,8 м; 60° ˂ 125° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Пень № 8
8,21 м ˃ 3,8 м; 60° ˂ 72° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Пень № 11
8,76 м ˃ 3,8 м; 54° ˂ 60°,
Требуемые условия не выполняются → обработка пня не производится
Пень № 13
15,95 м ˃ 3,8 м; 29° ˂ 60°,
Требуемые условия не выполняются → обработка пня не производится
Пень № 14
7,84 м ˃ 3,8 м; 37° ˂ 60°,
Требуемые условия не выполняются → обработка пня не производится
Пень № 15
13,91 м ˃ 3,8 м; 60° ˂ 129° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Пень № 16
11,27 ˃ 3,8 м; 60° ˂ 114° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Таким образом, находясь в рабочей позиции 6, агрегат обработку пней не
производит.
Оценим возможность попадания какого-либо из оставшихся пней в рабочую
зону манипулятора, расположенного в рабочей позиции 7. Координаты положения
поворотной колонны в рабочей позиции 7 следующие: хт7 = 8,45 м; ут7 = 12,5 м.
47
Пень № 1
1,25 м ˂ 3,72 м ˂ 3,8 м; 54° ˂ 60°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Пень № 2
5,75 м ˃ 3,8 м; 8° ˂ 60°,
Требуемые условия не выполняются → обработка пня не производится
Пень № 3
9,38 м ˃ 3,8 м; 60° ˂ 81° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Пень № 4
17,51 м ˃ 3,8 м; 28° ˂ 60°,
Требуемые условия не выполняются → обработка пня не производится
Пень № 5
2,31 м ˃ 3,8 м; 30° ˂ 60°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Пень № 6
14,73 м ˃ 3,8 м; 60° ˂ 140° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Пень № 7
14,69 м ˃ 3,8 м; 60° ˂ 133° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Пень № 8
7,8 м ˃ 3,8 м; 0° ˂ 60°,
Требуемые условия не выполняются → обработка пня не производится
Пень № 11
7,52 м ˃ 3,8 м; 60° ˂ 70° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
48
Пень № 13
18,22 м ˃ 3,8 м; ; 25° ˂ 60°,
Требуемые условия не выполняются → обработка пня не производится
Пень № 14
10 м ˃ 3,8 м; 28° ˂ 60°,
Требуемые условия не выполняются → обработка пня не производится
Пень № 15
13,91 м ˃ 3,8 м; 60° ˂ 120° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Пень № 16
12,51 ˃ 3,8 м; 60° ˂ 125° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Таким образом, находясь в рабочей позиции 7, агрегат обработку пней не
производит.
Оценим возможность попадания какого-либо из оставшихся пней в рабочую
зону манипулятора, расположенного в рабочей позиции 8. Координаты положения
поворотной колонны в рабочей позиции 8 следующие: хт8 = 5,9 м; ут8 = 12,5 м.
Пень № 1
1,25 м ˂ 3,02 м ˂ 3,8 м; 60° ˂ 97° ˂ 300°,
Требуемые условия выполняются → обработка пня производится
Пень № 2
5,75 м ˃ 3,8 м; 14° ˂ 60°,
Требуемые условия не выполняются → обработка пня не производится
Пень № 3
10,12 м ˃ 3,8 м; 60° ˂ 66° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
49
Пень № 4
19,81 м ˃ 3,8 м; 25° ˂ 60°,
Требуемые условия не выполняются → обработка пня не производится
Пень № 5
1,25 м ˂ 1,28 м ˂ 3,8 м; 60° ˂ 116° ˂ 300°,
Требуемые условия выполняются → обработка пня производится
Пень № 6
16,76 м ˃ 3,8 м; 60° ˂ 140° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Пень № 7
16,53 м ˃ 3,8 м; 60° ˂ 140° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Пень № 8
7,8 м ˃ 3,8 м60° ˂ 109° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Пень № 11
7,03 м ˃ 3,8 м; 60° ˂ 89° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Пень № 13
20,56 м ˃ 3,8 м; 22° ˂ 60°,
Требуемые условия не выполняются → обработка пня не производится
Пень № 14
12,33 м ˃ 3,8 м; 22° ˂ 60°,
Требуемые условия не выполняются → обработка пня не производится
Пень № 15
11,42 м ˃ 3,8 м; 60° ˂ 109° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
50
Пень № 16
14,1 ˃ 3,8 м; 60° ˂ 133° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Таким образом, находясь в рабочей позиции 8, агрегат производит обработку двух пней (№ 1 и № 5).
Оценим возможность попадания какого-либо из оставшихся пней в рабочую
зону манипулятора, расположенного в рабочей позиции 9. Координаты положения
поворотной колонны в рабочей позиции 9 следующие: хт9 = 3,55 м; ут9 = 12,5 м.
Пень № 2
1,1 м ˃ 3,8 м; 44° ˂ 60°,
Требуемые условия не выполняются → обработка пня не производится
Пень № 3
11,28 м ˃ 3,8 м; 56° ˂ 60°,
Требуемые условия не выполняются → обработка пня не производится
Пень № 4
21,98 м ˃ 3,8 м; 22° ˂ 60°,
Требуемые условия не выполняются → обработка пня не производится
Пень № 6
18,75 м ˃ 3,8 м; 60° ˂ 150° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Пень № 7
18,37 м ˃ 3,8 м; 60° ˂ 144° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Пень № 8
9,22 м ˃ 3,8 м; 60° ˂ 123° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
51
Пень № 11
7,37 м ˃ 3,8 м; 60° ˂ 108° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Пень № 13
22,76 м ˃ 3,8 м; 20° ˂ 60°,
Требуемые условия не выполняются → обработка пня не производится
Пень № 14
12,33 м ˃ 3,8 м; 19° ˂ 60°,
Требуемые условия не выполняются → обработка пня не производится
Пень № 15
10,9 м ˃ 3,8 м; 60° ˂ 97° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Пень № 16
15,8 ˃ 3,8 м; 60° ˂ 140° ˂ 300°,
Одно из требуемых условий не выполняется → обработка пня не производится
Находясь в рабочей позиции 9, агрегат обработку пней не производит.
Таким образом, за 9 перемещений по центру обрабатываемого фрагмента
вырубки агрегат обрабатывает пять пней.
Подсчитаем суммарное время обработки tобр заданного количества пней Nmax
tобр = 9 · 50 + 5 ·30 = 450 + 150 = 600 с = 10 мин.
Наиболее важным показателем, определяемым по результатам моделирования, является производительность П площадкоделателя, то есть количество
пней, обрабатываемых за единицу времени
П
5
 0,5пней / мин.
10
4.3 Задание
На основе приведенного примера выполнить расчѐт производительности
площадкоделателя, размещенного на базе манипуляторного энергетического
средства, согласно исходным данным.
52
I вариант
Размеры фрагмента вырубки 20x20 м с плотностью распределения пней
σП = 250 шт./га. Манипулятор с параметрами: угловой диапазон поворота стрелы Δφ = 220°, угол φ1 = 70°, угол φ2 = 290°, минимальный вылет стрелы R1 = 3 м;
максимальный вылет стрелы R2 = 7,4 м; время переезда агрегата с одного рабочего положения на другое tт = 55 с; время обработки одного пня tп = 35 с.
II вариант
Размеры фрагмента вырубки 20x20 м с плотностью распределения пней
σП = 300 шт./га. Манипулятор с параметрами: угловой диапазон поворота стрелы Δφ = 240°, угол φ1 = 60°, угол φ2 = 300°, минимальный вылет стрелы R1 =
1,25 м; максимальный вылет стрелы R2 = 3,8 м; время переезда агрегата с одного рабочего положения на другое tт = 50 с; время обработки одного пня tп = 30
с.
III вариант
Размеры фрагмента вырубки 25x25 м с плотностью распределения пней
σП = 200 шт./га. Манипулятор с параметрами: угловой диапазон поворота стрелы Δφ = 260°, угол φ1 = 50°, угол φ2 = 310°, минимальный вылет стрелы R1 = 5 м;
максимальный вылет стрелы R2 = 9 м; время переезда агрегата с одного рабочего положения на другое tт = 50 с; время обработки одного пня tп = 30 с.
4.4 Контрольные вопросы.
1. Принцип генерации модельной вырубки с заданной плотностью распределения пней.
2. Какие параметры обрабатываемой площади и агрегата влияют на его
производительность?
3. От каких параметров зависит время обработки заданного количества
пней?
4. Условия, при которых пень попадает в зону действия манипулятора.
53
Лабораторная работа № 5
МОДЕЛИРОВАНИЕ СИЛОВОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ РЕЖУЩЕГО
ЭЛЕМЕНТА КУСТОРЕЗА С ПОРОСЛЬЮ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
ОПИСАНИЕ УСЛОВИЙ, ПРИ КОТОРЫХ ПРОИЗОЙДЕТ ЕЕ
ПЕРЕРЕЗАНИЕ
5.1 Основные положения и методические указания
Условием работы инерционно-рубящего органа является то, что его ускорение должно быть не меньше ускорения стеблей, то есть линейная скорость,
получаемая стеблем поросли Vст от воздействия на него режущего элемента,
должна быть меньше линейной скорости самого режущего элемента Vэл.
Vэл  Vст .
(5.1)
Ускорение стебля находится из формулы
 ст
4 2 f
.

T2
(5.2)
Под действием силы резания Fдин на высоте l от земли стебель отклоняется на амплитуду f и приходит в колебательное движение, период которого рассчитываем по формуле
T
где
 my 2
l
2
4m пр  2 f
Fдин
.
(5.3)
 m пр – приведѐнная масса стебля к точке удара, кг;
y   d 2
m

4
 – плотность древесины, г/см3;
Fдин – сила удара, Н;
y – высота ствола порослевины, м;
l – высота, на которой произошѐл удар, м.
Далее, по теории упругости, величина прогиба для такого стебля находится из формулы
f 
Fдин l 3
 ,
EI 3
54
(5.4)
где
E – модуль упругости, Па;
I – полярный момент инерции поперечного сечения у основания стебля
I = d4/64, м4;
d – диаметр поросли, м.
Зная, что скорость ствола поросли равна произведению времени удара на
приобретѐнное под действием силы резания ускорение, получим
где
4  2  f
Vст   СТ  t уд 
 t уд .
(5.5)
T2
Скорость рабочего органа находим по формуле
  nдв
Vэл  R 
,
(5.6)
30
n – частота вращения вала гидромотора, мин-1.
И если Vэл  Vст , значит, будет происходить непосредственный контакт
рабочего органа с порослью.
Силу удара рассчитываем по формуле
Fуд  mэл  an2  a2 ,
где
(5.7)
an – нормальная составляющая ускорения, an = 2R, м/с2;
a – тангенциальная составляющая ускорения, a = R, м/с2.
Подставляя значения нормальной и тангенциальной составляющей в
формулу (5.7), получим
F уд
 Vel2
 m эл  
 R

2


   Vel
t

 ud

2

 .

(5.8)
Таким образом, если Vэл  Vст и Fуд  Fдин , то поросль срежется.
Если Vэл  Vст , то существует вероятность, что произойдѐт излом ствола,
когда изгибающий момент, создаваемый силой резания на поросли, достигнет
максимума. Максимальный изгибающий момент вычисляем по формуле
F
M  дин .
(5.9)
( y  l)
Момент сопротивления изгибу, принимая поросль как цилиндр, находим
по формуле
Wy 
 d3
32
55
.
(5.10)
Тогда, подставляя формулы (5.9) и (5.10) в (5.1), получим максимальное
напряжение от изгиба max, после превышения которого ствол поросли сломается
M
.
(5.11)
 max 
Wy
Таким образом, срезание поросли будет наблюдаться в двух случаях:
- первый случай – когда линейная скорость режущего элемента больше
скорости, сообщаемой им поросли, а сила удара достаточна для перерезания.
- второй случай – когда поросль отклонится на такую величину, что напряжения изгиба превысят допустимые, и произойдѐт еѐ излом.
5.2 Пример расчѐта необходимых условий для осуществления процесса среза древесно-кустарниковой растительности гибким рабочим органом кустореза
Исходные данные представлены в табл. 5.1: диаметр ствола поросли
d = 0,01…0,045 м; высота ствола поросли y = 2 м, уровень среза l = 0,5 м; модуль упругости ствола E = 9,1106 Па, плотность древесины  = 50 кг/м3; масса
режущего элемента mэл = 0,5 кг, время удара tуд = 0,005 с.
На основе выполненного расчета сделать вывод о том, каждый ли из
стволиков поросли заданных диаметров будет перерезан гибким рабочим органом кустореза с определенными параметрами (частотой вращения рабочего органа n и длиной R), который должен создавать определенную силу инерции (резания).
Таблица 5.1
Исходные данные
Частота вращения n, об/мин
2000
Длина рабочего органа R, м
0,5
Высота стволика поросли l, м
2
Уровень среза y, м
1
Модуль упругости древесины ствола поросли Е, Па
9100000
Масса режущего элемента, mэл, кг
1
Время удара tуд, с
0,005
Плотность древесины ρ, кг/м3
50
Динамическая сила резания Fдин, Н
1600
56
Таблица 5.2
Расчет силового взаимодействия режущего элемента со стволом
d, м
I
f
m, кг
mпр, кг
Т, с
0,01
4,906E-10
119456
0,01
0,03
9,62
0,015
2,484E-09
23596
0,02
0,07
6,41
0,02
7,85E-09
7466
0,03
0,13
4,81
0,025
1,917E-08
3058
0,05
0,20
3,85
0,03
3,974E-08
1475
0,07
0,28
3,21
0,035
7,362E-08
796
0,10
0,38
2,75
0,04
1,256E-07
467
0,13
0,50
2,40
0,045
2,012E-07
291
0,16
0,64
2,14
Таблица 5.3
Условия протекания процесса перерезания
d, м
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
0,035
0,04
0,045
Vэл, м/с
104,7
104,7
104,7
104,7
104,7
104,7
104,7
104,7
Vcт, м/с
254,8
113,2
63,7
40,8
28,3
20,8
15,9
12,6
Fуд, Н
30302,8
30302,8
30302,8
30302,8
30302,8
30302,8
30302,8
30302,8
Fдин, Н
1600
1600
1600
1600
1600
1600
1600
1600
Таким образом, на основании проведенного расчета можно сделать вывод
о том, что стволики поросли диаметров 0,02 м; 0,025 м; 0,03 м; 0,035 м; 0,04 м и
0,045 м будут перерезаться гибким инерционно-рубящим рабочим органом кустореза, так как в каждом из данных случаев выполняются два условия:
- линейная скорость рабочего органа больше скорости, которую приобретает поросль при его ударном воздействии (Vэл ˃ Vcт);
- сила удара рабочего органа кустореза больше, чем динамическая сила,
необходимая для перерезания ствола (Fуд ˃ Fдин).
В то же время перерезание поросли диаметрами 0,01 м и 0,015 м осуществляться не будет в связи с тем, что скорость, приобретаемая стеблем при
57
ударном воздействии больше скорости рабочего органа (Vcт ˃ Vэл).
На рис. 5.1 показана зависимость скорости, которую приобретает поросль
различного диаметра в момент контакта с режущим элементом, от диаметра стебля.
Vст, м/с
300,0
250,0
200,0
150,0
100,0
50,0
0,0
d, м
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
Рисунок 5.1 Зависимость скорости стволиков поросли от их диаметра
5.3 Задание
На основе приведенного примера расчѐта необходимых условий для осуществления процесса среза древесно-кустарниковой растительности гибким рабочим органом кустореза необходимо сделать вывод о том, будут ли стволики
поросли определенного диаметра перерезаться гибким инерционно-рубящим
рабочим органом кустореза. Построить график зависимости скорости стволиков
поросли, приобретаемой при ударном воздействии, от их диаметра.
I вариант
Расчет выполнить для стволиков поросли диаметром 0,015 м; 0,03 м;
0,045 м; 0,06 м; 0,075 м и 0,09 м.
Частота вращения n, об/мин
2100
Длина рабочего органа R, м
0,55
Высота стволика поросли l, м
1,8
Уровень среза y, м
0,9
Модуль упругости древесины ствола поросли Е, Па
9100000
Масса режущего элемента, mэл, кг
1,2
Время удара tуд, с
0,005
Плотность древесины ρ, кг/м3
55
Динамическая сила резания Fдин, Н
1800
58
II вариант
Расчет выполнить для стволиков поросли диаметром 0,025 м; 0,05 м;
0,075 м; 0,1 м; 0,125 м и 0,15 м.
Частота вращения n, об/мин
2200
Длина рабочего органа R, м
0,6
Высота стволика поросли l, м
1,9
Уровень среза y, м
1
Модуль упругости древесины ствола поросли Е, Па
9100000
Масса режущего элемента, mэл, кг
1,3
Время удара tуд, с
0,005
3
Плотность древесины ρ, кг/м
60
Динамическая сила резания Fдин, Н
2100
III вариант
Расчет выполнить для стволиков поросли диаметром 0,02 м; 0,03 м; 0,04
м; 0,05 м; 0,06 м и 0,07 м.
Частота вращения n, об/мин
1900
Длина рабочего органа R, м
0,45
Высота стволика поросли l, м
1,7
Уровень среза y, м
0,8
Модуль упругости древесины ствола поросли Е, Па
9100000
Масса режущего элемента, mэл, кг
1,1
Время удара tуд, с
0,005
Плотность древесины ρ, кг/м3
50
Динамическая сила резания Fдин, Н
1800
5.4 Контрольные вопросы
1. Назовите условия, при которых будет происходить процесс перерезания стебля гибким инерционно-рубящим рабочим органом?
2. Если не произойдет перерезание стебля, возможен ли его излом?
3. Как влияет диаметра стебля поросли на приобретаемую им скорость?
4. Как увеличить силу удара, накапливаемую в режущем элементе рабочего органа?
59
Лабораторная работа № 6
МОДЕЛИРОВАНИЕ СИЛОВОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПИЛЬНОГО
ДИСКА С ДРЕВЕСНО-КУСТАРНИКОВОЙ РАСТИТЕЛЬНОСТЬЮ
6.1 Основные положения и методические указания
Усилие резания зависит от многих факторов, которые условно можно
подразделить на три группы. Структурная формула, предложенная В.В. Овчинниковым, имеет вид
Р  [(П ,W , T )( ,  , S )( , F , l )] .
(6.1)
В первую группу входят независимые параметры, обусловленные природными факторами: П – порода перерезаемой древесины; W – влажность, Т –
температура. Параметры этой группы оказывают косвенное влияние на силу резания через показатель прочности древесины и характеризуют физикомеханические свойства древесины.
Вторая группа объединяет параметры режущих органов ( – радиус режущей кромки, изменяющийся в интервале 0,001…0,04 мм;  – угол заточки
клинообразной части ножа (оптимальное значение находится в диапазоне
30…40); S – толщина ножа (рассчитывается из условия обеспечения необходимой прочности и устойчивости ножа, еѐ значения колеблются от 3 до 15 мм).
Отклонения от оптимальных значений могут существенно увеличить силу резания и отрицательно повлиять на сам процесс резания.
Третья группа представляет собой активно варьируемые параметры, изменяя значения которых, можно оказывать влияние на силу резания, форму режущих органов, кинематику и процесс резания в целом:  – угол наклона режущей кромки по отношению к вектору движения ( = 0…45); F – площадь
контакта перерезанной древесины с боковыми гранями ножа, участвующими в
резании. Эта группа определяет форму режущих органов и является основной.
В результате сопоставления и анализа этих параметров в рамках имеющихся
условий резания, возможно функциональное, конструктивное и параметрическое усовершенствование режущих элементов.
Одним из достоинств бесстружечного резания является простая кинематика движения ножа, поэтому большинство исследователей обратили внимание на
простую и легко реализуемую схему взаимодействия прямоугольного ножа и об-
60
разца древесины. При этом исследовались, как правило, зависимости усилия резания от параметров инструмента, свойств древесины и температуры среды.
Наиболее интересные результаты получены при косоугольном резании, то есть
условии, когда вектор движения направлен под углом к режущей кромке или к
линии вершин зубьев в плоскости реза, а также резании с протяжкой, то есть
процессе, при котором осуществляется движение инструмента (плоского ножа)
относительно дна прорези. В работах приведены результаты теоретических и
практических исследований косоугольного резания, в частности при наклоне
лезвия ножа к вектору движения под различными углами ( = -30, -15, +15,
+30) плоского пластинчатого ножа. Полученные осциллограммы имели идентичный характер кривых, и при изменении угла наклона изменялось лишь значение силы перерезания. Результатами экспериментов установлено, что наименее
энергоѐмким является процесс перерезания с углом наклона лезвия  = -15, поскольку усилие резания снижается на 33%. Поэтому данное значение угла наклона лезвия является наиболее рациональным.
Таким образом, рассматривая зуб пилы как отдельный режущий элемент,
мы имеем право воспользоваться существующими исследованиями и получим
следующее:
1. Радиус режущей кромки  = 0,001…0,04 мм.
2. Угол заточки зуба пилы  = 30…40.
3. Угол наклона режущей кромки по отношению к вектору движения
 =5…-30
4. Заменяя наиболее эффективное косоугольное резание прямым ножом, мы
получаем резание пилой, зуб которой имеет форму, представленную на рис. 6.1.
Для определения основных кинематических параметров срезания стволов
и мелколесья воспользуемся схемой механизма резания (рис. 6.2).
i
Длину дуги контакта зуба lст
с i-м стволом определим по формуле
i
lст
где
i
2    Rпл   ст

,
360
(6.2)
Rпл – радиус диска пилы, м.
i
В соответствии с рис. 6.1 i-й угол контакта пилы со стволом  ст
находим, как
i
H ст
/2
1
i
.
sin( ст ) 
2
Rпл
61
(6.3)
Преобразуя, получим
i
 ст
i
 H ст
 arcsin
 Rпл

,


(6.4)
i
где H ст
– высота пропила i-го ствола, м.
Рис. 6.1. Профиль зуба пилы, предназначенного для срезания тонкомерных
стволов поросли
i
Толщина срезаемой стружки i-го ствола сст
, м:
i
сст
где

i
u z  H ст
,
(6.5)
Vп
,
1000  Vпл
(6.6)
i
lст
uz – подача на зуб, м;
uz  tз
где tз – шаг зуба, мм (для пилы D = 1500, Z = 120, t з    D / z  39,25 );
Vп – поступательная скорость агрегата (надвигание), м/с;
Vпл – окружная скорость резания, м/с
62
Vпл  Rпл
  nпл
30
,
(6.7)
где nпл – частота оборотов пилы, мин-1.
Из рис. 6.2 следует, что в момент перерезания вектор скорости ствола Vст
направлен во внешнюю сторону от пилы диска. За счѐт этого будет происходить отклонение ствола, что препятствует его срезанию и способствует прохождению под пилой или сбоку от нее. Для того чтобы избежать отклонения
ствола, необходимо вектор скорости направить во внутреннюю сторону пилы.
Это можно осуществить при помощи зуба пилы, у которого угол наклона передней режущей кромки  будет иметь значения менее 90.
На рис. 6.1 показано отличие между вектором скорости ствола Vств на
внешней кромке зуба и на его середине. В этом случае при соприкосновении
вершины зуба со стволом будет происходить процесс косоугольного резания, и
ствол будет затягиваться внутрь пилы во впадину зуба.
Рис. 6.2. Кинематическая схема взаимодействия дисковой пилы со стволом
поросли
63
Составим уравнения движения пилы с учѐтом профиля и количества
зубьев. Пренебрегая биением пилы в вертикальной плоскости, рассчитаем координаты основания i-го зуба на основании системы
 i
 2

X

R

cos
  пл  t ,
i 
ocн
дск


 Z


Y i  R  sin  i  2    t ,
ocн
дск
пл

 Z


где
(6.8)
Rдск – радиус диска пилы до основания зуба, м;
i
i
, Yocн
– координаты основания i-го зуба, м;
X ocн
Z – число зубьев пилы, шт.
i – рассматриваемый зуб, i = 1…Z.
Вершину i-го зуба находим на основании системы
 i
 2

X

(
R

h
)

cos
i






t

,
в
ерш
дск
з
пл

Z




Y i  ( R  h )  sin  i  2      t ,
в ерш
дск
з
пл

 Z


где
(6.9)
i
i
, Yверш
– координаты вершины i-го зуба, м;
X верш
hз – высота зуба, м;
 – угол наклона передней режущей кромки зуба, рад.
Задняя режущая кромка получается путѐм соединения основания текущего зуба с вершиной последующего.
Так как процесс перерезания ствола происходит в момент его контакта с
зубом дисковой пилы, а место произрастания ствола представлено областью, в
которой он может появиться с определѐнной долей вероятности, то необходимо
математически описать формирование этой области и условие соприкосновения
ствола с зубом дисковой пилы.
Ранее проведенные экспериментальные исследования таксационных показателей произрастания тонкомерных стволов древесины позволили установить среднее арифметическое значение выходного параметра X , меру рассеивания выходной величины относительно среднеарифметического, т.е. дисперсию S, меру рассеивания отклонения в виде среднеквадратического отклонения
S x , доверительную вероятность P, коэффициент вариации V. Найденные показатели представлены в табл. 6.1.
64
Таблица 6.1
Статистические показатели оценки экспериментальных данных по количеству
тонкомерной древесно-кустарниковой растительности и еѐ диаметру на высоте
0,8 м
Статистические показатели оценки экспериментальных
данных
Количество
стволов, шт
Диаметр на
высоте 0,8 м
X
15.26
15.74
S
P, %
V, %
3.76
Sx
0.532
3.49
24.65
4.29
0.607
3.85
27.25
При помощи программы Statistica 5.5 на основании полученного статистического материала были построены гистограммы распределения количества
тонкомерной древесной растительности и еѐ диаметра на высоте 0,8 м, представленные на рис. 6.3, из которого следует, что закон их эмпирического распределения носит нормальный характер. Для большей наглядности на гистограммы наложена кривая нормального распределения.
y=5
0*2*n
o
rm
a
l (x
;1
5
.2
6
;3
.8
0
0
1
6
)
y=5
0*0
.2*n
o
rm
a
l (x
;0
.8
7
2
;0
.2
9
1
4
0
1
)
15
11
14
10
13
9
12
11
10
7
9
6
8
Частота
Частота
8
5
4
7
6
5
3
4
2
3
2
1
1
0
<=10
(10;12]
(12;14]
(14;16]
(16;18]
(18;20]
(20;22]
0
>22
<=.2
2
(.2;.4]
(.4;.6]
(.6;.8]
(.8;1.]
(1;1.2] (1.2;1.4](1.4;1.6] >1.6
Д
иам
етрнавы
со
те0
.8
м
,см(1го
д
)
K
о
л
ич
ествопо
р
о
сл
ина1
м ,ш
т(1го
д
)
а)
б)
Рис. 6.3. Гистограммы распределения количества тонкомерной древеснокустарниковой растительности и еѐ диаметра на высоте 0.8 м
Таким образом, зная количество столов на 1 м2 и их диаметр, необходимо
провести рандомизацию и получить координаты места произрастания на рассматриваемом участке
65
i
 rand ( Х max ),
 xств
 i
 yств  rand (Ymax ).
(6.10)
где Xmax, Ymax – соответственно длина и ширина участка, м;
rand ( X max ), rand (Ymax ) – случайное число, взятое из промежутка от
нуля до соответствующего значения Xmax, Ymax, м.
Математически процесс соприкосновения i-го ствола с зубом пилы представляется как совпадение абсцисс и ординат зуба пилы с абсциссой и ординатой ствола. Для упрощения математических выкладок сделаем допущение, что
не пила движется на стволы, а наоборот.
Самым простым с математической точки зрения было бы сопоставление
массива всех координат стволов с координатами вершин зубьев (рис. 6.4), и их
равенство означало бы начало процесса перерезания.
i
i
 xств
 X верш
,
 i
ш
 yств  Yверш .
(6.11)
Рис. 6.4. Схема соприкосновения ствола дерева с зубом пилы
Однако такой подход потребовал бы неоправданно большого количества
вычислений. Так, при количестве зубьев пилы, равном 120, и обрабатываемом
66
участке площадью 1 м2, на котором произрастает порядка 20 шт. стволов, с учѐтом необходимости расчета для абсциссы и ординаты потребовалось бы 4800
сравнений. Но можно заметить, что координаты вершин зубьев пилы образуют
рабочую зону пилы относительно еѐ центра.
Поскольку в рассматриваемом случае радиус пилы является суммой радиуса
основания и высоты зуба с учѐтом его наклона, то он определяется по формуле
Rпл 
( Rдск  hз )  sin  2  ( Rдск  hз )  cos 2 .
(6.12)
Таким образом, рабочая зона, в соответствии с рис. 6.4, формируется радиусом Rпл, проведѐнным из центра положения диска, характеризуемого коорц
динатами X пл
, Yплц .
Сопоставим координаты ствола с центром положения диска и найдѐм радиус (расстояние, на котором находится ствол).
i
Rств
.пл 
где
x
i
ств
ц
 X пл
  y
2
i
ств
 Yплц

2
,
(6.13)
i
Rств
.пл. – радиус, на котором находится ствол от центра диска пилы, м.
При совпадении этих двух радиусов и будет начинаться процесс резания.
Динамика процесса резания дисковой пилой древесно-кустарниковой
растительности
Во время процесса резания стволов на пилу, как показано на рис. 6.5, действует сила резания Рр, направленная по касательной к диску пилы, и перпендикулярная ей нормальная сила резания Рн.
(6.14)
Рн   0 Pp ,
где 0 – коэффициент, зависящий от величины угла  и от степени затупления
зубьев пилы ( = 0,36 при 80    90 и  = 45).
Представляя векторы этих сил как проекции на ось абсцисс и ординат,
получим
Рх  Р р cos  Pн sin  ,

Рх  Р р cos  Pн sin  .
(6.15)
При попутном пилении  > 90, а значит, cos γ будет отрицательным, и
сила будет также со знаком минус, поэтому ствол поросли будет затягиваться
на пилу.
67
Рис. 6.5. Схема взаимодействия пильного диска со стволом поросли
Также на пилу действуют силы, возникающие от зажима еѐ стволом. Определим силу от зажима Рз, составив уравнение моментов всех сил относительно точки А и сделав допущение, что ствол является однородным цилиндром с
центром тяжести, находящимся в его середине.
(6.16)
 М А ( Рk )  0 ,
Gст АC  N1 AB  0 ,
(6.17)
где N1 – нормальная реакция ствола на диск в точке В, Н;
АВ – величина глубины пропила, м;
АС – расстояние от края ствола, с которого начинается его изгиб, с учѐтом высоты резания, м.
Таким образом, определим АВ и АС
d
АВ  cт ,
(6.18)
cos
d
AC  0.5   cт sin  0.5 ст ,
(6.19)
cos
68
где  – угол отклонения ствола от вертикали, град.
Подставив (6.18) и (6.19) в (6.17) и преобразовав его, получим
mcт  g   cт  cos  sin 
(6.20)
 1 .

2 
2  d cт

Таким образом, зная биометрические характеристики ствола, можно определить усилие зажима и, как следствие, тормозной момент, который будет
создаваться на дисковой пиле.
М т.з.  Рз f т Rпл .
(6.21)
Рз 
При одновременном пилении нескольких стволов определяется суммарный тормозной момент.
Сила резания ствола рассчитывается по формуле
K  cст  b
Рр 
,
6.22)
sin(   )
где  – угол наклона передней грани зуба;
` – угол между вектором скорости и вектором движения;
b – ширина пропила (или толщина пилы b  (0,08...0,15) D ), м
K – удельная работа резания
K  K aп aw a p aт ,
(6.23)
где K  – удельное сопротивление резанию ( K  = 5…8 МПа);
aп , aw , a p , aт – коэффициенты, учитывающие соответственно породу,
влажность, степень затупления зубьев и температуру (для растущего дерева
a85%=0,85, aт  1  0,13 T , Т – температура древесины, С).
Таблица 6.2
Значение коэффициента, учитывающего продолжительность работы
Время работы после заточки, ч
0
1
2
3
4
5
6
ap
1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
Таблица 6.3
Коэффициент, учитывающий влияние породы древесины
Порода Липа Осина Ель
ап
0,80
0,85
0,9
Сосна Ольха
1
1,025
69
Лиственница
1,1
Береза Бук
1,25
1,40
Дуб
1,55
Ясень
1,75
Тогда силу резания, которую затратит привод кустореза во время процесса резания, определим по формуле
Pp 
i
K a п a w a p a т  u z  H cт
 360  b
.
(6.24)
i 
 H cт
  sin(   )
2    Rпл  arcsin
 Rпл 


6.2 Результаты расчета силового взаимодействия дисковой пилы со
стволом
Используя формулы (6.8) и (6.9), необходимо рассчитать для заданных
входных параметров координаты трех вершин и четырех оснований зуба.
По формуле (6.24) рассчитать силу резания ствола.
Произвести рандомизацию произрастающих стволов в заданном объеме
и, на основании формул (6.12) и (6.13), определить возможность попадания какого-либо ствола в рабочую зону пилы. Результат расчета должен быть аналогичным результату, полученному на ЭВМ (рис.6.6).
На основе данных расчета силы резания по формуле (6.24), в соответствии с вариантом, построить зависимости, представленные на рис. 6.7…6.11.
Рис. 6.6. Общий вид программы по расчѐту процесса резания
стволиков древесной растительности дисковой пилой
70
Рис. 6.7. Зависимость силы резания от подачи на зуб
Рис. 6.8. Зависимость силы резания от
высоты пропила ствола
Рис. 6.9. Зависимость силы
резания от толщины диска пилы
Рис. 6.10. Зависимость силы
резания от радиуса пилы
Рис. 6.11. Зависимость силы резания от
угла наклона зуба пилы
71
Наибольшее влияние на качество среза оказывает подача ствола на зуб
пилы, поэтому необходимо построить зависимости Uz от окружной скорости
пилы и скорости подачи агрегата, как это показано на рис. 6.12 и 6.13.
Рисунок 6.12. Зависимость подачи на зуб от окружной скорости пилы при соответствующей скорости движения трактора (2, 5, 13, 20, 24 км/ч)
Рисунок 6.13. Зависимость подачи на зуб от скорости движения трактора при
соответствующей окружной скорости пилы (4, 13, 25, 38, 50 м/с)
6.3 Задание
На основе приведенного примера расчѐта силового взаимодействия дисковой пилы со стволом поросли построить зависимости силы резания от определѐнных параметров пильного диска.
72
I вариант
Радиус диска пилы Rдск = 0,5 м; рассматриваемые зубья i = 4…6; общее
число зубьев пилы Z = 120; угловая скорость пильного диска ωпл = 10 рад/с;
время t = 1 с; высота зуба hз = 0,02 м; угол наклона передней режущей кромки
зуба δ = 20°; высота пропила ствола
= 0,02 м; θ = 0°; время работы пилы после заточки – 3 ч; порода – осина; температура древесины – 30 °C.
II вариант
Радиус диска пилы Rдск = 0,6 м; рассматриваемые зубья i = 7…9; общее
число зубьев пилы Z = 130; угловая скорость пильного диска ωпл = 15 рад/с;
время t = 2 с; высота зуба hз = 0,019 м; угол наклона передней режущей кромки
зуба δ = 25°; высота пропила ствола
= 0,025 м; θ = 0°; время работы пилы
после заточки – 4 ч; порода – ольха; температура древесины – 35 °C.
III вариант
Радиус диска пилы Rдск = 0,65 м; рассматриваемые зубья i = 10…12; общее число зубьев пилы Z = 135; угловая скорость пильного диска ωпл = 12
рад/с; время t = 1,5 с; высота зуба hз = 0,021 м; угол наклона передней режущей
кромки зуба δ = 22°; высота пропила ствола
= 0,03 м; θ = 0°; время работы
пилы после заточки – 2 ч; порода – липа; температура древесины – 25 °C.
6.4 Контрольные вопросы
1. Общий вид формулы для определения силы резания.
2. Как определить дугу резания, подачу на зуб, ширину пропила?
3. Какие параметры необходимы для нахождения координат оснований и
вершин зубьев дисковой пилы?
4. Почему при резании тонких стволов угол передней режущей кромки
дисковой пилы не должен превышать 90?
5. Описание двух методов определения момента соприкоснования ствола
с зубом пилы.
6. Как произвести рандомизацию стволов при известной площади рассматриваемого участка?
7. Какие параметры используются при расчете силы резания?
73
Лабораторная работа № 7
МОДЕЛИРОВАНИЕ УСЛОВИЙ РАВНОВЕСИЯ СТВОЛА
СПИЛЕННОГО ДЕРЕВА
7.1 Основные положения и методические указания
Примем допущение, что ствол очищен от веток и не имеет сбежистости.
В этом случае его можно рассматривать как однородную балку AB длиной L.
Точкой А ствол опирается на негладкую горизонтальную плоскость (почву), а
точкой D – на гладкую вертикальную опору высотой а (рис. 7.1).
Коэффициент трения между балкой и плоскостью равен f.
Необходимо определить углы наклона балки, при которых она будет находиться в равновесии.
Рис. 7.1. Схема к определению равновесия ствола
На основании аксиомы освобождаемости от связей, рассмотрим балку AB
как свободное твердое тело, заменив действие горизонтальной плоскости и вертикальной опоры соответствующими реакциями ,
и
(рис.7.2). Здесь
– нормальные реакции плоскости и вертикальной опоры соответственно;
– сила трения скольжения. Приложим к балке вес
Расстояние АD обозначим d (АD = d).
74
в ее середине (точке C).
y
N1
d
С
G
N
Д

А
Fтр
E
X
Рис. 7.2. Силовой анализ равновесия ствола
Для решения поставленной задачи достаточно составить два уравнения
равновесия
(7.1)
Умножив левую и правую части второго уравнения полученной системы
на коэффициент трения скольжения f, приведем (7.1) к виду
(7.2)
Согласно закону Кулона (при равновесии
), из (7.2) получим
(7.3)
или
.
Учтем, что
(7.4)
, а угол α определяется из выражения
(7.5)
Теперь задача сведена к нахождению корней уравнения
(7.6)
и его графическому анализу на интересующем нас интервале изменения d.
75
7.2 Пример расчета равновесия ствола спиленного дерева
Решение с использованием Mathcad состоит в построении графиков
функций Z = Z(d) и α = α(d) (рис. 7.3). Там, где Z(d) ≤ 0, равновесие. Значения
корней уравнения Z(d) = 0 определяется с помощью функции Mathcad root ( ).
Определение углов наклона балки
Исходные данные:
-
коэффициент трения сколь жения;
f
0.1
L
1
-длина
a
0.1
-высота опоры;
 (d)
asin
балки;
a
-функция угла наклона балки;
d
Функция, позволя ющая оп ределить
углы наклона балки:
L sin ( 2   ( d ) )
Z( d )
2
2  f  d  cos (  ( d ) )  ( L
2d )
2  f  d  sin (  ( d ) )
2
График функции=(d)
График функции Z=Z(d)
2
0.2
Z( d )
( d )
0
1
0.2
0.6
0.8
1
0
d
0.5
d
1
Использование функции root( ) для нахождения корней уравнения
Z(d)=0
- начальное приближ ение;
d
5
D
root ( Z( d )  d )
-значения
D
asin
- корень;
a

L
корня;
-минимально
возмож ный угол;

2
-максималь но
возмож ный угол;
Углы, соответствующие корня м:
asin
D

L
Рис. 7.3. Определение равновесия дерева средствами Mathcad
76
7.3 Задание
На основе приведенного примера рассчитать условия равновесия ствола
спиленного дерева согласно заданному варианту.
I вариант
Коэффициент трения скольжения f = 0,15; длина ствола дерева L = 3 м;
высота опоры a = 0,7 м; угол α = 35°.
II вариант
Коэффициент трения скольжения f = 0,16; длина ствола дерева L = 3,2 м;
высота опоры a = 0,8 м; угол α = 40°.
III вариант
Коэффициент трения скольжения f = 0,14; длина ствола дерева L = 3,4 м;
высота опоры a = 0,9 м; угол α = 45°.
7.4 Контрольные вопросы
1. От каких параметров зависит равновесие спиленного ствола?
2. Закон Кулона для равновесия тел.
3. Каким образом определяется угол наклона ствола?
4. Чему равны минимальный и максимально возможный углы наклона
ствола?
77
Лабораторная работа № 8
РАСЧЁТ НЕОБХОДИМОЙ СИЛЫ ДЛЯ ТОРМОЖЕНИЯ ЛЕСОВОЗА НА
СПУСКЕ
8.1 Основные положения и методические указания
Внешняя тормозящая сила, действующая на лесовоз при торможении на
спуске, приближенно может быть задана выражением
(8.1)
где V – скорость автопоезда;
A, B, C,  – константы;
T – время, за которое давление воздуха в тормозных цилиндрах достигает
максимального значения, с.
Кроме того:
m – масса автопоезда, кг;
 – крутизна спуска, рад.;
g – ускорение свободного падения, м/с2.
Вычислим тормозной путь, если известны значения перечисленных постоянных и начальная скорость V0. Построим зависимости пути и скорости поезда от времени.
Запишем дифференциальное
уравнение движения лесовоза, рассматривая его как материальную
точку, в соответствии со схемой
Рис. 8.1. Схема к расчету силы, не(рис. 8.1).
обходимой для торможения лесовоза
.
Учитывая, что угол  весьма мал, и при этом sinα ≈ α, получим
.
78
(8.2)
(8.3)
Уравнение (8.3) перепишем в виде системы двух дифференциальных
уравнений первого порядка
(8.4)
8.2 Расчет силы, необходимой для торможения лесовоза
Решение с использованием пакета Mathcad показано на рис. 8.2.
Исходные данные: m = 5000 кг; A = 360 с/м; B = 72 с/Н; C = 6000 кН;
 = 0,1 с-1; T = 20 с;  = 0,001; V0 = 20 м/с; g = 9,81 м/с2.
Торможение поезда
Исходные данные:
6
m 5 10 a 360 
T

20
0
y
0.1
0.001
v0
20
6 10
6
c
b
72
g
9.81
-вектор началь ных условий.
v0
Задание силы сопротивления:
p ( v)
b a
c 
a b
f( v  t )
if T
v
v
t  0  p ( v)  1
e
 t
 p ( v)  1
e
 T
y1
D ( t  y)
f y1  t
m
gsin(  )
-вектор первых производных.
Численное интегрирование с помощь ю функции rkfixed:
Z
rkfixed( y  0  29  300  D )
n
0  299
Зависимость пути от
времени
Z
Зависимость скорости
от времени
400
25
300
18.75
Z
n  1 200
100
n2
12.5
6.25
0
0
0
7.22 14.45 21.67 28.9
Z
n0
0
7.5
15
Z
22.5
30
n0
Рис. 8.2. Расчет торможения лесовоза средствами Mathcad
79
8.3 Задание
На основе приведенного примера выполнить расчет необходимой для
торможения лесовоза на спуске силы согласно заданному варианту.
I вариант
Исходные данные: m = 5500 кг; A = 380 с/м; B = 75 с/Н; C = 6200 кН;
 = 0,3 с-1; T = 25 с;  = 0,0015; V0 = 23м/с; g = 9,81 м/с2.
II вариант
Исходные данные: m = 6000 кг; A = 390 с/м; B = 80 с/Н; C = 6300 кН;
 = 0,15 с-1; T = 27 с;  = 0,001; V0 = 25 м/с; g = 9,81 м/с2.
III вариант
Исходные данные: m = 6500 кг; A = 400 с/м; B = 85 с/Н; C = 6400 кН;
 = 0,2 с-1; T = 28 с;  = 0,001; V0 = 27 м/с; g = 9,81 м/с2.
9.4 Контрольные вопросы
1. Перечислить силы, действующие на лесовоз при его движении.
2. Какие величины входят в уравнение движения лесовоза?
3. Как изменятся тормозной путь и скорость торможения в зависимости
от времени?
80
Лабораторная работа № 9
СОСТАВЛЕНИЕ ПЛАНА ПРОИЗВОДСТВА ДВУХ ИЗДЕЛИЙ,
ОБЕСПЕЧИВАЮЩЕГО МАКСИМАЛЬНУЮ ПРИБЫЛЬ ОТ ИХ
РЕАЛИЗАЦИИ
9.1 Основные положения и методические указания
Для производства двух видов изделий А и В используются три типа технологического оборудования. Для производства единицы изделия А оборудование первого типа используется 1 час, оборудование второго типа – 3 часа, оборудование третьего типа – 3 часа.
Для производства единицы изделия В оборудование первого типа используется 2 часа, оборудование второго типа – 3 часа, оборудование третьего типа
– 1 час.
На изготовление всех изделий предприятие может использовать оборудование первого типа не более 32 часов, оборудование второго типа – не более 60
часов, оборудование третьего типа – не более 50 часов.
Прибыль от реализации единицы готового изделия А составляет 4 денежные единицы, а изделия В – 2 денежные единицы.
Составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации.
Необходимо решить задачу симплекс-методом путем преобразования
симплекс-таблиц. Дать геометрическое истолкование задачи, используя для
этого ее формулировку с ограничениями-неравенствами.
9.2 Составление плана производства с использованием теории линейного программирования
Под планом производства понимается ответ на простой вопрос: сколько
изделий А и сколько изделий В надо выпустить, чтобы прибыль была максимальна.
Прибыль рассчитывается по формуле F = 4x1 + 2x2.
Запишем математическую модель задачи:
81
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
.
(9.1)
Чтобы проиллюстрировать применение симплекс-метода решения этой
задачи, решим ее графически.
Для этого построим на плоскости (x1; x2) области, описываемые ограничениями-неравенствами, и прямую F = 4x1 + 2x2, которая называется целевой
функцией.
Три записанных выше неравенства ограничивают на плоскости многоугольник (выделен красным цветом), ограниченный слева и снизу координатными осями (так как искомое количество изделий положительно).
График целевой функции (выделен синим цветом) передвигается в направлении, обозначенном стрелкой (в направлении своего градиента), до тех пор, пока не достигнет граничной точки многоугольника, в нашем случае это точка (15;
5). В этой точке целевая функция будет достигать максимума (рис. 9.1).
F (15; 5) = 60 + 10 = 70.
(9.2)
Рис. 9.1. График целевой функции
Теперь решим задачу симплекс-методом. Для этого перейдем от ограничений-неравенств к ограничениям-равенствам, введя дополнительные переменные x3, x4, x5 ≥ 0.
82
xi ≥ 0; i = 1…5.
.
(9.3)
Таблица 9.1
Симплекс-метод
Базис
Cδ
B
4
2
0
0
0
A1
A2
A3
A4
A5
1
A3
0
32
1
2
1
0
0
2
A4
0
20
1
1
0
1
0
3
A5
0
50
3
1
0
0
1
4
Fi - Ci
0
-4
-2
0
0
0
1
A3
0
46/3
0
5/3
1
0
-1/3
2
A4
0
10/3
0
2/3
0
1
-1/3
3
A1
4
50/3
1
1/3
0
0
1/3
4
Fi - Ci
200/3
0
-2/3
0
0
4/3
1
A3
0
7
0
0
1
-5/2
1/2
2
A2
2
5
0
1
0
3/2
1/2
3
A1
4
15
1
0
0
-1/2
1/2
4
Fi - Ci
70
0
0
0
1
3
Симплекс-таблица составляется следующим образом.
В графе Базис записываются вектора переменных, принимаемые за базисные. На первом этапе – это A3, A4, A5. Базисными будут переменные, каждая
из которых входит только в одно уравнение системы, и нет такого уравнения, в
которое не входила бы хотя бы одна из базисных переменных.
В следующий столбец Сδ записываются коэффициенты целевой функции,
соответствующие каждой переменной. Столбец В – столбец свободных членов.
Далее идут столбцы коэффициентов Аi при i-ой переменной.
Под столбцом свободных членов записывается начальная оценка
.
(9.4)
Остальные оценки записываются под столбцами соответствующих векторов .
;
(9.5)
83
.
(9.6)
Следует отметить, что оценки для базисных векторов всегда равны нулю.
Преобразование симплекс-таблицы ведется следующим образом.
Шаг 1: Проверяется критерий оптимальности, суть которого состоит в
том, что все оценки Fi – Ci должны быть неотрицательными. В нашем случае
этот критерий не выполнен, поэтому переходим ко второму шагу.
Шаг 2: Для отрицательных оценок вычисляются величины:
;
(9.7)
;
(9.8)
;
(9.9)
.
(9.10)
Из этих элементов выбирается тот, для которого вычисленное произведение минимально. В нашем случае минимально (
), поэтому в качестве так
называемого разрешающего элемента выбирается третий элемент первого
столбца – 3 (выделен в таблице 9.1).
Шаг 3: Третья строка таблицы делится на 3 и вычитается из первой и второй строк. В сущности, применяется метод исключения неизвестных, называемый методом Жордана – Гаусса.
Таким образом, новыми базисными переменными становятся A3, A4, A1.
Возвращаемся к шагу 1 и повторяем весь процесс.
Под столбцом свободных членов записывается начальная оценка
.
ров
(9.11)
Остальные оценки записываются под столбцами соответствующих векто.
;
(9.12)
.
(9.13)
Снова проверяется критерий оптимальности. Отрицательная оценка только одна: в столбце А2.
Вычисляем
.
(9.14)
Разрешающим элементом будет второй элемент второго столбца – 2/3.
84
Новыми базисными переменными становятся A3, A2, A1.
Делим вторую строку на 2 и вычитаем из третьей.
Умножаем вторую строку на 5/2 и вычитаем из первой.
;
На этот раз отрицательных оценок нет, т.е. критерий оптимальности выполнен.
Таким образом, получается искомое значение целевой функции F (15; 5;
7; 0; 0) = 70, то есть, возвращаясь к системе неравенств, получаем
F (15; 5) = 60 + 10 = 70.
(9.15)
Ответы, полученные различными методами, совпадают.
9.3 Задание
На основе приведенного примера решить задачу составления оптимального плана производства двух изделий симплекс-методом путем преобразования симплекс-таблиц согласно заданному варианту.
I вариант
Для производства двух видов изделий А и В используются три типа технологического оборудования. Для производства единицы изделия А оборудование первого типа используется 2 часа, оборудование второго типа – 2,5 часа,
оборудование третьего типа – 3,5 часа.
Для производства единицы изделия В оборудование первого типа используется 3 часа, оборудование второго типа – 3,5 часа, оборудование третьего типа – 2 часа.
На изготовление всех изделий предприятие может использовать оборудование первого типа не более 35 часов, оборудование второго типа – не более 64
часов, оборудование третьего типа – не более 55 часов.
Прибыль от реализации единицы готового изделия А составляет 5 денеж85
ных единиц, а изделия В – 3 денежные единицы.
Составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации.
II вариант
Для производства двух видов изделий А и В используются три типа технологического оборудования. Для производства единицы изделия А оборудование первого типа используется 4 часа, оборудование второго типа – 3 часа, оборудование третьего типа – 4,5 часа.
Для производства единицы изделия В оборудование первого типа используется 5 часов, оборудование второго типа – 4 часа, оборудование третьего типа
– 1,5 часа.
На изготовление всех изделий предприятие может использовать оборудование первого типа не более 40 часов, оборудование второго типа – не более 68
часов, оборудование третьего типа – не более 50 часов.
Прибыль от реализации единицы готового изделия А составляет 4 денежные единицы, а изделия В – 3 денежные единицы.
Составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации.
III вариант
Для производства двух видов изделий А и В используются три типа технологического оборудования. Для производства единицы изделия А оборудование первого типа используется 1,5 часа, оборудование второго типа – 3 часа,
оборудование третьего типа – 4 часа.
Для производства единицы изделия В оборудование первого типа используется 1 час, оборудование второго типа – 4 часа, оборудование третьего типа –
2,5 часа.
На изготовление всех изделий предприятие может использовать оборудование первого типа не более 40 часов, оборудование второго типа – не более 50
часов, оборудование третьего типа – не более 60 часов.
Прибыль от реализации единицы готового изделия А составляет 4,5 денежные единицы, а изделия В – 5 денежных единиц.
Составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации.
86
9.4 Контрольные вопросы
Как называется решение модели симплекс-методом, если:
1. При решении математической модели симплекс-методом проверка условия допустимости приводит к неоднозначному выбору исключаемой переменной?
2. При решении математической модели прямая, представляющая целевую функцию, параллельна прямой, соответствующей связывающему неравенству, и целевая функция принимает одно и то же оптимальное значение на некотором множестве точек границ пространства решений?
3. Пространство допустимых решений является неограниченным?
4. Невозможно одновременно выполнить ограничения модели?
87
Лабораторная работа № 10
МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ ПО ПЕРЕВОЗКЕ
ГРУЗОВ МЕЖДУ ПУНКТАМИ ПОСТАВКИ И ПУНКТАМИ ПРИЕМА
10.1 Основные положения и методические указания
Имеются три пункта поставки однородного груза А1, А2, А3 и пять пунктов В1, В2, В3, В4, В5 потребления этого груза. На пунктах А1, А2, А3 находится
груз в количествах 90, 70, 110 тонн. В пункты В1, В2, В3, В4 и В5 требуется доставить соответственно 50, 60, 50, 40, 70 тонн груза. Расстояния в сотнях километров между пунктами поставки и потребления приведены в матрицетаблице 10.1.
Таблица 10.1
Расстояния между пунктами поставки и потребления
Пункты
Пункты потребления
поставки
В1
В2
В3
В4
А1
9
1
1
5
А2
6
4
6
8
А3
2
9
3
5
В5
6
5
3
Примем, что стоимость перевозок пропорциональна количеству груза и
расстоянию, на которое этот груз перевозится, т.е. для решения задачи достаточно минимизировать общий объем плана, выраженный в тонно-километрах.
Для решения задачи необходимо использовать метод северо-западного
угла и метод потенциалов.
Найдем такой план перевозок, при котором общие затраты будут минимальными. Составим математическую модель задачи: обозначим xij как количество груза, перевезенного от поставщика i к потребителю j.
Становятся очевидными следующие ограничения (т.к. весь груз должен
быть вывезен, и все потребности удовлетворены полностью):
88
При этом должна быть минимизирована целевая функция
(10.1)
.
10.2 Решение поставленной задачи
Построим опорный план методом северо-западного угла.
Таблица 10.2
Пункты
поставки
В1
А1
9
50
А2
6
А3
2
Потребности
50
Опорный план
Пункты потребления
В2
В3
В4
1
1
5
40
4
6
8
20
50
9
3
5
40
60
50
40
Запасы
В5
70
70
6
90
5
70
3
110
270
Принцип заполнения таблицы состоит в том, что, начиная с крайней левой верхней ячейки (принцип северо-западного угла), количество грузов вписывается в таблицу так, чтобы потребности полностью удовлетворялись или
груз полностью вывозился.
Построим систему потенциалов: U i – потенциалы, соответствующие поставщикам, V j – потенциалы, соответствующие потребителям.
89
Полагаем, что U1 = 0. Тогда для занятых клеток таблицы Ui + Vj = dij.
U1 + V1 = 9; V1 = 9;
U1 + V2 = 1; V2 = 1; U2 + V2 = 4; U2 = 3;
U2 + V3 = 6; V3 = 3;
U3 + V4 = 5; U3 = 0; V4 = 5;
U3 + V5 = 3; V5 = 3.
Таблица 10.3
Принцип северо-западного угла
Пункты
Пункты потребления
Запасы
поставки
В1
В2
В3
В4
В5
V1 = 9
V2 = 1
V3 = 3
V4 = 5 V5 = 3
А1
U1=0
9
1
1
5
6
90
50
40
А2
U2=3
6
4
6
8
5
70
20
50
А3
U3=0
2
9
3
5
3
110
40
70
Потребности
50
60
50
40
70
270
Проверим критерий оптимальности для свободных клеток: Ui + Vj  dij.
U1 + V3 = 3 > 1 на 2;
U1 + V4 = 5 = 5; U1 + V5 = 3 < 6;
U2 + V1 = 12 > 6 на 6; U2 + V4 = 8 = 8; U2 + V5 = 6 > 5 на 1;
U3 + V1 = 9 > 2 на 7;
U3 + V2 = 1 < 9; U3 + V3 = 3 = 3
Из условий, где критерий не выполняется, выбираем то, где разница максимальна. Это ячейка (3, 1).
Перебросим в ячейку (3, 1) 50 единиц груза из ячейки (1, 1).
Чтобы компенсировать недостаток в первой строке, перебросим те же 50
единиц груза из ячейки (2, 3) в ячейку (1, 3).
Теперь, чтобы компенсировать недостаток в строке 2, перебросим из
ячейки (3, 5) 50 единиц в ячейку (2, 5).
Таким образом, образовался цикл, показанный в таблице 10.4 пунктиром.
90
Таблица 10.4
Пункты
поставки
А1
U1=0
А2
U2=3
А3
U3=0
Потребности
Цикл при расчете
Пункты потребления
Запасы
В1
В2
В3
В4
В5
V1 = 9
V2 = 1
V3 = 3
V4 = 5 V5 = 3
9
1
1
5
6
90
-50 50
40
+50
6
4
6
8
5
70
20
-50 50
+50
2
9
3
5
3
110
+50
40
-50 70
50
60
50
40
70
270
Получаем новую таблицу, для которой повторяем расчет потенциалов:
полагаем, что U1 = 0, тогда Ui + Vj = dij для занятых клеток таблицы.
U1 + V2 = 1 V2 = 1;
U2 + V5 = 5 V5 = 2;
U1 + V3 = 1 V3 = 1;
U3 + V5 = 3 U3 = 1;
U3 + V4 = 5 V4 = 4.
U2 + V2 = 4 U2 = 3;
U3 + V1 = 2 V1 = 5;
Таблица 10.5
Повторный расчет потенциалов
Пункты
Пункты потребления
Запасы
поставки
В1
В2
В3
В4
В5
V1 = 1
V2 = 1
V3 = 1
V4 = 4 V5 = 2
А1
U1=0
9
1
1
5
6
90
40
50
А2
U2=3
6
4
6
8
5
70
20
50
А3
U3=1
2
9
3
5
3
110
50
40
20
Потребности
50
60
50
40
70
270
Проверим критерий оптимальности для свободных клеток: Ui + Vj  dij.
91
U1 + V1 = 1 < 9; U1 + V4 = 4 < 5; U1 + V5 = 2 < 6; U2 + V1 = 4 < 6
U2 + V3 = 4 < 6; U2 + V4 =7 < 8; U3 + V2 = 2< 9; U3 + V3 = 2 < 3
Критерий выполнен, значит, полученное решение оптимально.
Найдем минимальную стоимость перевозок
F = 40 + 50 + 4 · 20 + 5 · 50 + 2 · 50 + 5 · 40 + 3 · 20 = 780.
10.3 Задание
На основе приведенного примера решить транспортную задачу по перевозке грузов между пунктами поставки и пунктами приема согласно заданному
варианту.
I вариант
Имеются три пункта поставки однородного груза А1, А2, А3 и четыре
пункта В1, В2, В3, В4 потребления этого груза. На пунктах А1, А2, А3 находится
груз в количествах 80, 65, 100 тонн. В пункты В1, В2, В3 и В4 требуется доставить соответственно 55, 85, 60, 45 тонн груза. Расстояния в сотнях километров
между пунктами поставки и потребления приведены в матрице-таблице 10.6.
Таблица 10.6
Расстояния между пунктами поставки и потребления
Пункты
Пункты потребления
поставки
В1
В2
В3
В4
А1
8
1
1
6
А2
6
5
6
8
А3
2
9
4
5
II вариант
Имеются два пункта поставки однородного груза А1, А2 и четыре пункта
В1, В2, В3, В4 потребления этого груза. На пунктах А1 и А2 находится груз в количествах 80 и 100 тонн. В пункты В1, В2, В3 и В4 требуется доставить соответственно 35, 50, 60 и 35 тонн груза. Расстояния в сотнях километров между
пунктами поставки и потребления приведены в матрице-таблице 10.7.
92
Таблица 10.7
Расстояния между пунктами поставки и потребления
Пункты
Пункты потребления
поставки
В1
В2
В3
В4
А1
8
1
1
5
А2
7
4
6
8
III вариант
Имеются два пункта поставки однородного груза А1, А2 и пять пунктов
В1, В2, В3, В4, В5 потребления этого груза. На пунктах А1, А2 находится груз в
количествах 100 и 110 тонн. В пункты В1, В2, В3, В4 и В5 требуется доставить
соответственно 40, 35, 55, 30 и 50 тонн груза. Расстояния в сотнях километров
между пунктами поставки и потребления приведены в матрице-таблице 10.8.
Таблица 10.8
Расстояния между пунктами поставки и потребления
Пункты
Пункты потребления
поставки
В1
В2
В3
В4
А1
10
1
1
6
А2
7
5
6
8
В5
7
5
10.4 Контрольные вопросы
1. Какой алгоритм применяется для решения транспортной задачи по перевозки грузов?
2. Что является критерием оптимальности плана перевозок?
3. Пояснить принцип северо-западного угла.
4. В каком случае решение транспортной задачи называется опорным?
93
Лабораторная работа № 11
МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ НА
ПРИМЕРЕ ДЕРЕВООБРАБАТЫВАЮЩЕГО ЦЕХА
11.1 Основные положения и методические указания
Деревообрабатывающий цех имеет 5 станков. Поток заявок на обработку
древесины – простейший. Среднее число заявок, поступающих в цех за сутки,
равно 140. Время обработки одной заявки на одном станке распределено по показательному закону и составляет, в среднем, 40 минут. Определить, существует ли стационарный режим работы цеха; вероятность того, что заявка застанет
все станки занятыми; среднее число заявок в цеху; среднее число заявок в очереди; среднее время ожидания свободного станка; среднее время пребывания
заявки в цеху.
Для решения задач такого типа следует изучить раздел «Марковские системы массового обслуживания», познакомиться с классификацией систем массового обслуживания (СМО), показателями эффективности, параметрами и характеристиками СМО. Ознакомиться с методами решения задачи Эрланга и
расчета показателей эффективности для различных типов СМО.
11.2 Определение режима работы деревообрабатывающего цеха
Рассматриваемая в задаче СМО относится к классу многоканальных систем с неограниченной очередью. Число каналов k = 5.
24
1
 0,17
Найдем λ – интенсивность потока заявок:  
, где М [T ] 
М [Т ]
140
ч – среднее время между двумя последовательными заявками входящего потока
1
 5,85 заявок/ч.
пользователей. Тогда  
0,17
Найдем μ – интенсивность
потока обслуживания,  
1
, где
М [Tообс.]
М[Тобсл.] = 40 мин = 0,67 ч – среднее время обслуживания одной заявки на од1
 1,49 польз./ч.
ном станке, тогда  
0,67
94
Таким образом, классификатор данной системы имеет вид системы массового обслуживания (5; ∞; 5,85; 1,49).
 5,85
 3,93 . Известно, что
Вычислим коэффициент загрузки СМО   
 1,49
для СМО такого класса стационарный режим существует, если отношение коэффициента загрузки системы к числу каналов меньше единицы. Находим это
отношение
 3,93
x 
 0,79  1 .
(11.1)
k
5
Следовательно, стационарный режим существует. Предельное распределение
вероятностей состояний вычисляется по формулам
1
  2
 k  k 1
1 
р о  1  
 ... 


;
k ! k  k ! 1  x 
 1! 2!
(11.2)
i
 k r
р i   p o , i  { 1,...,k }, р k  r  r
 p 0 , r  1.
i!
k  k!
Поскольку k = 5, имеем
  2 3 4 5
6
1 
ро  1  






 1! 2! 3! 4! 5! 5  5! 1  x 
1

1
1 
 3,93 15,44 60,70 238,55 937,48 3684,30
 1 






 (11.3)
1
2
6
24
120
5  120 1  0,79 

 1  3,93  7,72  10,12  9,94  7,81  29,24  69,76  0,014.
1
1
Вычислим Р* – вероятность того, что заявка застанет все станки занятыми. Очевидно, она равна сумме вероятностей таких событий: все станки заняты, очереди нет (р5); все станки заняты, одна заявка в очереди (р6); все станки заняты, две заявки в очереди (р7) и т.д. Поскольку для полной группы событий сумма вероятностей этих событий равна единице, то справедливо равенство
Р* = р5 + р6 + р7 +…= 1 - ро - р1 - р2 - р3 - р4.
(11.4)
95
.
1) r – среднее число заявок в очереди
(11.5)
2) z – среднее число заявок в системе
z = r + ρ;
z = 2,76 + 3,93 ≈ 6,69 (заяв.)
3)
– среднее время ожидания свободного станка
(11.6)
(11.7)
4)
– среднее время пребывания заявки в цеху
(11.8)
Таким образом, стационарный режим работы цеха существует и характеризуется следующими показателями: Р* = 0,54; r  2,76 заявок; z  6,69 заявок;
t оч  28 мин.; t сист  68 мин.
11.3 Задание
На основании приведенного примера самостоятельно определить возможность стационарного режима работы металлообрабатывающего цеха и его
параметры.
Задача
Мебельный цех имеет 6 станков. Поток заявок на обработку заготовок их
древесины – простейший. Среднее число заявок, поступающих в цех за сутки,
96
равно 165. Время обработки одной заявки на одном станке распределено по показательному закону и составляет, в среднем, 45 минут. Определить, существует ли стационарный режим работы цеха; вероятность того, что заявка застанет
все станки занятыми; среднее число заявок в цеху; среднее число заявок в очереди; среднее время ожидания свободного станка; среднее время пребывания
заявки в цеху.
11.4 Контрольные вопросы
1. Какой поток называется стационарным, с последствиями, непрерывным, ординарным?
2. Классификация систем массового обслуживания.
3. Как определить интенсивность потока заявок и потока обслуживаний?
4. Как определить среднее время ожидания и пребывания заявки в системе?
97
Лабораторная работа № 12
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО РАСПИЛА ДРЕВЕСИНЫ МЕТОДОМ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
12.1 Основные положения и методические указания
Задачи оптимального планирования, связанные с отысканием оптимума
(максимума или минимума) заданной целевой функции, имеющей линейную
форму, при наличии ограничений в виде линейных уравнений или линейных
неравенств относятся к задачам линейного программирования.
Целевая функция позволяет выбирать наилучший вариант решения задачи из множества возможных. Наилучший вариант доставляет целевой функции
экстремальное значение (максимум или минимум).
Линейное программирование – направление математического программирования, посвященное теории и методам решения экстремальных задач на
множествах n-мерного векторного пространства, задаваемых системами линейных уравнений и неравенств.
Необходимым условием постановки задачи линейного программирования
являются ограничения на наличие ресурсов, производственную мощность
предприятия, величину спроса и другие производственные факторы.
Особенностью задач линейного программирования является то, что экстремума целевая функция достигает на границе области допустимых решений.
Пример задачи оптимального планирования
В деревообрабатывающий цех поступают доски длиной 12 метров. Согласно условиям заключенного контракта цех должен поставить клиенту не менее 120 досок длиной 6 метров, не менее 230 досок длиной 5 метров и не менее
345 досок длиной 4 метра. Как работникам деревообрабатывающего цеха выполнить условия контракта, затратив наименьшее количество исходного сырья
(досок длиной 12 метров)?
12.2 Решение экстремальной задачи на основе линейного программирования с использованием Microsoft Excel
Необходимо составить модель задачи.
98
Найдем все возможные способы распила досок длиной 12 метров на доски длиной соответственно 6, 5 и 4 метров (табл. 12.1).
Таблица 12.1
Возможные способы распила досок длиной 12 метров на доски длиной
соответственно 6, 5 и 4 метров
Способ расКоличество получаемых досок определенной
пила исходнодлины:
Остаток, м
го сырья
6м
5м
4м
(доски 12 м)
I
2
0
0
0
II
1
1
0
1
III
1
0
1
2
IV
0
1
1
3
V
0
2
0
2
VI
0
0
3
0
Пусть xi досок распиливается по способу i. Составляется модель задачи:
F = x1+ x2 + x3 + x4 + x5 + x6 → min
Подготовим таблицу с исходными данными задачи в Microsoft Excel (рис.
12.1). Затем введем ранее составленные формулы для расчета целевой функции и
левой части ограничений и заполним форму модуля Поиск решения (рис. 12.2).
Рис. 12.1. Заполнение таблицы с исходными данными задачи в Microsoft Excel
99
Рис. 12.2. Окно ввода данных модуля Поиск решения
Ограничения задачи вводятся в специальном окне, вызываемом кнопкой
Добавить (рис. 12.3).
Рис. 12.3. Добавление ограничений
Кнопка Параметры позволяет выбрать необходимые параметры поиска
решения задачи (рис. 12.4). В нашем случае используется опция Линейная модель и Неотрицательные значения.
Рис. 12.4. Окно Параметры поиска решений
100
После нажатия кнопки Выполнить программа Microsoft Excel выдает результаты автоматизированного расчета, представленные на рис. 12.5.
Рис. 12.5. Результаты расчета
Таким образом, для выполнения контракта работникам деревообрабатывающего цеха необходимо распилить 60 досок по I способу, 115 досок по V
способу и 115 по VI способу. При этом будет затрачено минимальное количество исходного сырья (досок 12 м) – 290 штук.
12.3 Задание
На основании приведенного примера самостоятельно решить задачу оптимального планирования с использованием программы Microsoft Excel.
Задача
В металлообрабатывающий цех поступает металлопрокат длиной 15 метров. Согласно условиям заключенного контракта цех должен поставить клиенту
не менее 150 заготовок длиной 5 метров, не менее 231 заготовки длиной 4 метров и не менее 312 заготовок длиной 3 метра. Как работникам металлообрабатывающего цеха выполнить условия контракта, затратив наименьшее количество исходного сырья (металлопроката длиной 15 метров)?
12.4. Контрольные вопросы
1. Что такое линейное программирование?
2. Что относится к задачам линейного программирования?
3. Какие задачи называются экстремальными?
101
Библиографический список
Основная литература
1. Пошарников Ф. В. Моделирование и оптимизация процессов в лесном
комплексе [Электронный ресурс] : рек. УМО по образованию в обл. лесн. дела
в качестве учеб. пособия для студентов вузов по специальности 260100 - Лесоинженерное дело / Ф. В. Пошарников; ВГЛТА. - стереотипное издание. - Воронеж, 2014. - ЭБС ВГЛТУ.
2. Кобелев Н. Б., Девятков В. В., Половников В. А. Имитационное моделирование [Электронный ресурс] : учеб. пособие / Н. Б. Кобелев, В. А. Половников, В. В. Девятков.- М.: КУРС: НИЦ Инфра-М, 2013.- 368 с. - Электронная
версия в ЭБС "Знаниум".
Дополнительная литература
1. Бухтояров Л.Д. Математическое моделирование при проектировании
лесных машин [Текст]: тексты лекций / Л. Д. Бухтояров. – Воронеж: ГОУ ВПО
«ВГЛТА», 2007. – 51 с. – электронная версия в ЭБС ВГЛТУ.
2. Лесотехнический журнал [Текст] : науч. журнал. - Воронеж : РИО
"ВГЛТА", 2011-.
3. Известия высших учебных заведений. Лесной журнал [Текст] : журнал.
– Архангельск : РИО «С(А)ФУ», 1958-.
102
Дручинин Денис Юрьевич
Бухтояров Леонид Дмитриевич
Поздняков Евгений Владиславович
КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ В МАШИНАХ И
ОБОРУДОВАНИИ ЛЕСНОГО КОМПЛЕКСА
Методические указания к лабораторным занятиям для студентов
по направлению подготовки
15.03.02 – Технологические машины и оборудование
Редактор А.С. Люлина ЕАА.С
Подписано в печать ___________. Формат 60х90 /16.
Усл. печ. л. 1,75. Уч.-изд. л. 2,3. Тираж 80 экз. Заказ
ФГБОУ ВО «Воронежский государственный лесотехнический университет
имени Г.Ф. Морозова»
РИО ФГБОУ ВО «ВГЛТУ». 394087, г. Воронеж, ул. Тимирязева, 8
Отпечатано в УОП ФГБОУ ВО «ВГЛТУ»
394087, г. Воронеж, ул. Докучаева, 10
103
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
2 570 Кб
Теги
процессов, оборудование, компьютерные, модель, машина
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа