close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Кондратенко И. Ю. Гидравлика гидропривод и гидросистемы

код для вставкиСкачать
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Воронежская государственная лесотехническая академия
И.Ю. КОНДРАТЕНКО, А.П. НОВИКОВ
ГИДРАВЛИКА,
ГИДРОПРИВОД И ГИДРОСИСТЕМЫ
Учебное пособие
Воронеж 2007
2
СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
Введение……………………………………………………………………………3
1. Физические свойства жидкостей……………………………………………. 5
2. Гидростатика ………………………………………………………………….13
2.1. Гидростатическое давление и его свойства…………………………13
2.2. Общие дифференциальные уравнения гидростатики (Эйлера)……17
2.3. Интегрирование уравнений Эйлера
контактный теплообмен в соединениях …………………………….19
2.4. Основное уравнение гидростатики…………………………….…….20
2.5. Поверхности равного давления…….………………………………...21
2.6. Относительный покой жидкости……………………………………..22
2.7. Классификация давлений……………………………………………..25
2.8. Единицы измерения давлений………………………………………..26
2.9. Приборы для измерения давлений……………………………………27
2.10. Гидростатический и пьезометрический напоры…………………...32
2.11. Закон Паскаля и его применение……………………………………39
2.12. Давление жидкости на плоские поверхности………………………40
2.12.1. Давление жидкости на плоскую горизонтальную поверхность...40
2.12.2. Давление жидкости на наклонную поверхность…………………41
2.12.3. Определение положения центра давления………………………..43
2.12.4. Эпюры гидростатического давления на плоские поверхности….45
2.13. Давление жидкости на криволинейные поверхности……………...48
2.13.1.Определение равнодействующей суммарного гидростатического давления……………………………………………………....48
2.13.2.Эпюры гидростатического давления на криволинейные
поверхности………………………………………………………...51
2.14. Закон Архимеда………………………………………………………53
3
3. Гидродинамика..………………………………………………………………..55
3.1. Задачи гидродинамики…………………………………….………......55
3.2.Основные понятия. Модель движения………………………………..55
3.3. Уравнения неразрывности для элементарной струйки
и для потока…………………………………………………………....60
3.4. Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной
несжимаемой жидкости…………………………………………….....62
3.5. Формы механической энергии. Преобразование энергии…………..65
3.6. Уравнение Бернулли для элементарной струйки вязкой
Жидкости…………………………………………………………….....67
3.7. Уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости……………….…69
3.8. Уклоны: геометрический, пьезометрический и гидравлический…..72
3.9. Основное уравнение равномерного движения жидкости.
Формула Шези…………………………………………………………74
3.10. Два режима движения вязкой жидкости……………………………76
3.10.1. Ламинарный режим движения жидкости в трубах………………79
3.10.2. Турбулентный режим движения жидкости…………………...….82
3.10.3. Силы трения и закон распределения скоростей при
турбулентном режиме…………………………...…………………85
3.11. Коэффициент гидравлического трения……………………………..87
3.12. Гидравлические потери………………………………………………89
3.12.1. Местные потери напора……………………………………………90
3.13. Коэффициент сопротивления системы. Характеристика системы. 94
3.14. Гидравлический расчёт трубопроводов…………………………….96
3.15. Гидравлический удар в трубах………………………………………99
4. Гидропривод……………………………………………………………..….....102
4.1. Назначение. Основные элементы схемы………….………..……….102
4.2. Классификация гидропривода……………………………………….107
4.3. Насосы…………………………………………………………….......110
4
4.3.1. Простой поршневой насос………………………………………...111
4.3.2. Радиально-поршневые насосы….………………………………...115
4.3.3. Аксиально-поршневые насосы……………………………….…...118
4.3.4. Пластинчатые насосы……………………………………………...121
4.3.5. Шестерённые насосы……………………………….…………...…123
4.4. Гидроцилиндры………………………………………………...…….127
4.5. Гидрораспределители………………………………………………...132
4.5.1. Золотниковые гидрораспределители……………………………...133
4.5.2. Крановые (пробковые) гидрораспределители…………………....137
4.6. Гидроклапаны……………………………………………………...…138
4.6.1. Напорные гидроклапаны…………………………………...……...139
4.6.2. Редукционные гидроклапаны…………………………….………..141
4.6.3. Обратные гидроклапаны…………………………………………...143
4.6.4. Ограничители расхода……………………………………..………143
4.6.5. Делители потока………………………………...………………….143
4.7. Дроссели………………………………………………………………144
4.8. Регулирование гидропривода………………………………………..148
4.9. Вспомогательные устройства гидропривода…………………….....149
5. Библиографический список……………………………………………...….150
5
Введение
Гидравлика – это прикладная часть гидромеханики, которая изучает законы равновесия и движения жидкости и разрабатывает методы использования
этих законов в инженерной практике.
По мере усложнения технических задач произошло слияние гидравлики и
гидромеханики в единую науку – техническую гидромеханику. Вводную, наиболее общую часть этой науки в силу традиций часто продолжают именовать
гидравликой. Техническая гидромеханика – наука развивающаяся. Этому свидетельствует бурное развитие в последние десятилетия таких специальных разделов, как электромагнитная гидродинамика, теория гидромашин, гидропривод.
Современная гидравлика с прикладной точки зрения изучает законы различных состояний покоя и многообразных форм движения не только для воды,
но и применительно к множеству других технических жидкостей.
Гидравлика делится на две части: гидростатика и гидродинамика.
Гидростатика изучает законы покоя и равновесия жидкостей, законы распределения давления внутри жидкости и её действие на погруженные в жидкость тела.
Гидродинамика изучает законы движения жидкости в трубопроводах и в
открытых потоках.
Знание основ гидравлики необходимо для гидравлического расчёта трубопроводов различного назначения – для воды, масел, горючего и других жидкостей. На основании законов гидравлики определяется сила давления жидкости на стенки трубопроводов, цистерн, бензобаков и других ёмкостей. Производится расчёт их прочности, деформаций и устойчивости.
Основные законы гидравлики чрезвычайно широко используются в теории расчёта и эксплуатации всех гидравлических машин и гидравлического
привода.
Гидравлическими машинами называются механические устройства,
принцип работы которых основан на силовом взаимодействии их рабочих орга-
6
нов с жидкостью. К гидравлическим машинам относятся насосы, гидравлические двигатели, гидравлические прессы, подъёмники и др. Насосы, например, в
качестве вспомогательных устройств входят в состав тепловых двигателей, в
различных машинах они служат для подачи в рабочие органы топлива, масла,
воды, воздуха, и других жидкостей.
Гидравлический привод невозможно представить без применения гидравлических машин.
Гидравлический привод представляет собой совокупность устройств, которые служат для передачи механической энергии и преобразования движения
при помощи жидкости. Например, поступающая в систему гидравлического
привода внешняя механическая энергия с помощью него преобразуется в гидравлическую энергию рабочей жидкости. Последняя подаётся, например, по
системе трубопроводов в гидравлический двигатель – гидромотор или силовой
цилиндр – где энергия жидкости преобразуется в механическую энергию.
Гидравлические приводы различных типов нашли широкое применение в
качестве силовых трансмиссий, в системах управления рабочими органами
станков, различных машин и технологических линий. Поэтому, с ростом автоматизации современного производства инженерам просто необходимо знание
теории гидравлических машин для правильного выбора и эффективной эксплуатации насосов, турбин, гидравлических прессов, систем гидравлического
привода и других гидравлических машин и устройств.
Таким образом, изучение настоящего курса имеет очень большое значение в профессиональной подготовке инженера по автоматизации лесопромышленного комплекса.
7
1 Физические свойства жидкостей
Жидкостью называют физическое тело, обладающее свойством текучести, т.е. способностью неограниченно изменять свою форму под действием
сколь угодно малых сил. В отличие от газа, жидкость мало изменяет свою
плотность при изменении давления.
Жидкости делятся на капельные и газообразные. Капельная жидкость в
сосуде принимает форму сосуда и образует свободную поверхность. Газообразная жидкость принимает форму сосуда и заполняет весь его объём.
Капельные жидкости, такие, как вода, керосин, бензин, нефть, ртуть и
другие, в состоянии невесомости образуют капли. Газообразные жидкости –
воздух и другие газы в состоянии невесомости капель не имеют.
Гидравлика занимается изучением капельных жидкостей, однако её основные законы можно применять и при изучении газов, находящихся в состоянии покоя или движущихся со скоростями до 80 – 100 м/с.
В дальнейшем под термином «жидкость» будем подразумевать главным
образом капельную жидкость, а так же газообразную жидкость при малом изменении её плотности.
Жидкости обладают рядом свойств, присущих всем физическим телам –
массой, весом и другие, а так же свойствами, характерными только для жидкостей, знание которых необходимо при рассмотрении последующего материала.
Плотность жидкости – это количество массы m, заключённое в единице
объёма W однородного жидкого тела
ρ=
m
.
W
(1.1)
Единицей измерения плотности в системе СИ является 1 кг/м3. Например,
среднее значение плотности для бензина ρ =710 кг/м3, для нефти ρ =800 кг/м3,
плотность дистиллированной воды при 4оС и нормальном барометрическом
давлении, ρ =1000 кг/м3, ртуть имеет плотность ρ =13600 кг/м3. С ростом дав-
8
ления, плотность жидкостей увеличивается, а при возрастании температуры,
как правило, уменьшается.
Удельный вес – это отношение веса жидкости G, т.е. силы тяжести, действующей на жидкость, к её объему W
γ =
G
.
W
(1.2)
В системе СИ единицей удельного веса является 1 Н/м3. В случаях, когда
удельный вес измеряется в кГс/м3 (система МКГСС), численные значения
плотности и удельного веса совпадают. Например, удельный вес чистой дистиллированной воды при температуре 4оС и нормальном барометрическом давлении составляет
γ в = 9810 Н/м3. Обычная пресная вода (речная, колодезная,
водопроводная) за счёт растворимых в ней различных веществ несколько тяжелее дистиллированной воды. Однако это различие невелико. Поэтому в практике гидравлических расчётов удельный вес пресной воды без существенной погрешности принимается равным удельному весу дистиллированной воды.
Удельный вес морской воды в зависимости от её солёности на 2..3 % выше
удельного веса дистиллированной воды.
Между плотностью и удельным весом существует прямая взаимосвязь.
Удельный вес может быть выражен произведением плотности на ускорение силы тяжести g:
γ = ρ ⋅g.
(1.3)
Откуда плотность жидкости или какого либо другого вещества может
быть определена из соотношения его удельного веса к ускорению силы тяжести:
ρ=
γ
g
.
(1.4)
Сжимаемость – это свойство жидкости уменьшать свой объём под воздействием внешних сил. Несмотря на это, подвижность молекул в жидкостях
9
невелика, жидкости удаётся заметно сжать только с помощью очень больших
давлений. Жидкости обладают ничтожной сжимаемостью. Сжимаемость жидкости характеризуется коэффициентом объёмного сжатия β c .
Он представляет собой относительное уменьшение объёма жидкости при
повышении давления на одну единицу
βc =
ΔW
,
W 0 ⋅ ΔP
(1.5)
где W0 - начальный объём жидкого тела, ΔW - абсолютное уменьшение объёма
жидкости, ΔP - полное приращение давления.
Размерность коэффициента β c в системе СИ - м2/Н или 1/Па.
Капельные жидкости в отличие от газов оказывают значительное сопротивление сжимающим силам и потому имеют очень малые значения коэффициентов объёмного сжатия. Например, для пресной воды β с =
1
м2/Н.
6
2060 ⋅ 10
По причине малости β c жидкостей последние считаются практически
несжимаемыми, и во многих инженерных расчётах свойством сжимаемости
жидкости пренебрегают.
Величина, обратная β c называется модулем упругости Е:
Е=
1
βc .
(1.6)
Для пресной воды Е = 2,06 ⋅10 9 Н/м2.
Температурное расширение – это свойство жидкости изменять свой объём при изменении температуры. Это свойство количественно характеризуется
коэффициентом температурного расширения β t , который выражает относительное увеличение объёма жидкости при повышении её температуры на 1оС
β t = ΔW .
W0 ⋅ Δt
(1.7)
10
Здесь W0 - начальный объём жидкого тела, ΔW - полное приращение объёма
⎡ 1 ⎤
жидкости, Δt - повышение температуры. Единица измерения β t – ⎢ 0 ⎥ .
⎣ C⎦
Коэффициент температурного расширения воды увеличивается с возрастанием давления и температуры, для большинства других капельных жидкостей, β t с увеличением давления уменьшается. Величина β t у капельных жидкостей относительно мала, и это позволяет во многих практических расчётах
пренебрегать температурным расширением. Например, β t для воды в пределах
температур от 10 до 20оС и давлении в 1 атмосферу равен 0.00015 1/ оС. Для
нефти и нефтепродуктов β t = 0.00060 … 0.00085 1/ оС.
Вязкость или внутреннее трение – это свойство жидкости оказывать сопротивление при относительном смещении её слоёв. Сопротивление среды при
сдвиге связано с возникновением касательных напряжений.
Впервые гипотезу о внутреннем трении в жидкостях сформулировал Исаак Ньютон (1687год).
Рис. 1.1 Относительное смещение двух соседних слоев жидкости
Сущность этой гипотезы состоит в следующем: сила внутреннего трения,
возникающая между соседними слоями жидкости a и b (рис.1.1), при их относительном смещении, прямо пропорциональна скорости движения и площади
их взаимодействия, обратно пропорциональна расстоянию между слоями и зависит от рода жидкости, т.е.
T =μ⋅
du
⋅ω ,
dh
(1.8)
11
где Т – сила сопротивления сдвигу слоёв, ω - поверхность, на которой происходит силовое взаимодействие, du – разность скоростей движения соседних
слоёв, dh – расстояние между слоями жидкости, μ - коэффициент пропорциональности, характеризующий вязкостные свойства данной жидкости.
Впервые гипотеза Ньютона была официально подтверждена профессором
Н.П.Петровым (1883 г.), и с этой поры зависимость (1.8) стала именоваться законом Ньютона для трения жидкости.
Разделим правую и левую части формулы (1.8) на ω и обозначим Т/ ω =
τ, тогда
τ =μ
du
,
dh
(1.9)
где τ - удельная сила трения, или касательные напряжения, Н/м2.
Эта зависимость называется формулой проф. Петрова. Отношение
du
наdh
зывается градиентом скорости, который показывает изменение скорости смещения слоёв жидкости на единицу расстояния в поперечном направлении. Из
формулы Ньютона видно, что при нулевой разнице скоростей (du = 0, например, в покоящейся жидкости) силы внутреннего трения не проявляются.
Коэффициент пропорциональности μ в приведённых формулах характеризует абсолютную, или динамическую вязкость жидкости. Более вязким жидкостям соответствует более высокие значения μ .
Размерность коэффициента μ в системе СИ – Паскаль-секунда (Па ⋅ с) =
Н ⋅ с/м2 = кг/(Па ⋅ с). До 1980 года использовалась единица – Пуаз (П). 1 П = 0.1
Па ⋅ с (в честь французского исследователя Ж. Пуазейля).
Кинематическим коэффициентом вязкости υ называется отношение динамического коэффициента вязкости к плотности данной жидкости, т.е.
υ=
μ
.
ρ
(1.10)
12
Единицей измерения υ в системе СИ является м2/с. До 1980 года в качестве единицы измерения υ использовались стоксы (в честь английского физика
Д. Стокса). 1Ст = 10-4 м2/с.
Величина, обратная коэффициенту динамической вязкости называется
текучестью.
При слоистом движении капельной жидкости вязкость проявляется благодаря силам молекулярного сцепления. С увеличением температуры эти силы
уменьшаются, поэтому вязкость существенно падает.
Изменение вязкости происходит и при изменении давления на жидкость.
Однако в пределах давлений до 10,1 МПа (100 атмосфер) это изменение незначительно и в практических расчётах им обычно пренебрегают.
Установление числовых значений коэффициентов вязкости различного
рода жидкостей производится опытным путём с помощью приборов вискозиметров (от франц. viscosite – вязкость). Существует множество типов вискозиметров, основанных на различных принципах действия. В нашей стране для исследований жидкостей более вязких, чем вода применяется вискозиметр Энглера. Он представляет собой латунный бачок ёмкостью 200 см3 (рис.1.2). Для выпуска исследуемой жидкости сферическое дно бачка снабжено отверстием диаметром 2,8 мм. В каждом случае время истечения исследуемой жидкости сравнивается со
временем истечения дистиллированной воды, взятой в том же объеме.
Рис. 1.2 Вискозиметр Энглера
Условная вязкость исследуемой жидкости (“ВУ”), выраженная в градусах
Энглера (оЕ), находится из соотношения:
13
" ВУ " =
t1
,
t2
(1.11)
где t1– время истечения исследуемой жидкости в объеме 200 см3, t2 – время истечения дистиллированной воды, взятой в том же объеме.
Вязкость жидкости в градусах Энглера обычно определяется при температуре 20 оС. Для поддержания постоянной температуры в течение всего опыта
вискозиметр снабжен водяной ванной, обогрев которой до заданной температуры производится с помощью газовой горелки или электрического подогревателя.
Для пересчета градусов Энглера или градусов “ВУ” в стоксы пользуются
эмпирической формулой Уббеллоде
⎛
⎝
υ = ⎜ 0,0731о Е −
0,0631 ⎞
⎟.
о
Е ⎠
(1.12)
Динамический коэффициент вязкости в соответствии с формулой (1.10)
определяется как
μ = υρ .
(1.13)
Кроме рассмотренных физических свойств жидкостей в некоторых практических задачах для капельных жидкостей приходится учитывать давление
насыщенных паров, растворимость газов, пенообразование, поверхностное натяжение, капиллярность. Численные величины этих параметров при необходимости могут быть найдены в справочниках физических или теплофизических
величин.
Жидкость, обладающая всем комплексом рассмотренных выше физических свойств, является реальной.
С точки зрения гидравлики одним из важнейших свойств реальной жидкости является вязкость, поэтому реальные жидкости часто называют еще вязкими или ньютоновскими (поскольку проявление сил вязкости описывается законом Ньютона).
14
Поведение реальной жидкости при разнообразных внешних условиях
может оказаться весьма сложным, труднодоступным для изучения и математического описания (например, бурный ручей). Поэтому для получения приближенных решений, зачастую подлежащих последующему уточнению, в гидравлике с успехом применяется модель так называемой совершенной или идеальной жидкости.
Совершенной называется условная абсолютно подвижная (т.е. лишенная
вязкости) абсолютно несжимаемая, не изменяющая объема с изменением температуры жидкость, абсолютно неспособная сопротивляться разрыву.
Для совершенной жидкости: μ = 0, υ = 0, β с = 0, βt = 0 .
В совершенной жидкости не может существовать ни касательных, ни растягивающих напряжений.
Кроме вязкой и совершенной жидкостей в гидравлике приходится иметь
дело с так называемым аномальными или неньютоновскими жидкостями, т. е.
такими, которые не подчиняются закону вязкого трения Ньютона.
Опытным путем установлено, что движение неньютоновских жидкостей
начинается только после того, как касательные напряжения достигнут некоторого предельного минимального значения τ 0 (так называемое начальное напряжение сдвига). При меньших напряжениях эти жидкости не текут, а испытывают только упругие деформации.
Для этого типа жидкостей
τ =τ0 + μ
du
.
dh
(1.14)
Эта формула получена Бингемом, поэтому неньютоновские жидкости
называют бингемовскими.
Примером аномальных жидкостей могут служить коллоиды (студни),
нефтепродукты при температуре, близкой к температуре застывания, густые
глинистые и грязевые растворы и т. п.
15
2 Гидростатика
2.1 Гидростатическое давление и его свойства
Гидростатическим давлением называется внутренние напряжения сжатия
в жидкости, возникающие под действием внешних сил.
Всякое жидкое тело в состоянии равновесия находится под воздействием
двух категорий внешних сил: поверхностных и массовых.
Поверхностные силы – это силы, которые оказывают действие на поверхность жидкого тела, например, силы давления поршня или плунжера насоса,
атмосферное давление и т. п.
Массовые, или объемные, силы – это силы тяжести, инерции и центробежные силы, которые в однородной жидкости распределены по всему объему
жидкого тела. Величина элементарной массовой силы, приложенной к частичке
жидкости, пропорциональна массе этой частицы.
Силы внутреннего трения в покоящейся жидкости не проявляются.
Рис. 2.1
Возьмем жидкое тело, находящееся в состоянии покоя и мысленно разделим его по плоскости А-А на две части. Верхнюю часть отбросим, а ее силовое
воздействие на нижнюю часть заменим силой F (рис.2.1). Сила F, приложенная
к площади Ω, разделяющей верхнюю и нижнюю части жидкого тела, называется силой гидростатического давления.
При этом следует иметь ввиду, что нижняя часть воздействует на верхнюю с силой равной по величине F, но противоположной по направлению.
16
Величина среднего гидростатического давления определяется величиной
силы, приходящейся на единицу площади, т. е.
Pср =
F
.
Ω
(2.1)
Величина гидростатического давления в какой-либо точке площади Ω, определяется отношением элементарной силы dF, приложенной к элементарной площадке dω, расположенной в области данной точки.
dp =
dF
.
dω
(2.2)
Единицей измерения гидростатического давления в системе СИ является
Паскаль. 1 Па = 1 Н/м2.
Гидростатическое давление обладает двумя основными свойствами.
Первое свойство гидростатического давления.
Гидростатическое давление действует всегда по внутренней нормали, направленной к площадке действия. Это положение может быть доказано методом от противного. Предположим, что вектор гидростатического давления Р направлен не по нормали, а по наклонной
линии (рис.2.2 ). Разложим его на нормальную Рн и касательную Рк
составляющие. Нормальные составляющие
верхней и нижней частей тела уравновесятся, а касательные
составляющие вызовут смещение одной части жидкости относительно другой, что противоречит состоянию покоя. Следовательно, гидростатическое давление может быть направлено лишь по нормали к площадке
действия.
Теперь предположим, что вектор Р направлен не по
внутренней, а по внешней нормали (рис. 2.3). Так как жидкость не обладает способностью воспринимать растягивающие усилия, то произойдет разрыв жидкого тела, что также
противоречит состоянию покоя и физическим свойствам
17
жидкости. Поэтому и это предположение исключается.
Из рассмотренного следует, что гидростатическое давление, будучи всегда направленным внутрь жидкости, является давлением сжимающим.
Второе свойство гидростатического давления.
В любой точке внутри жидкости гидростатическое давление одинаково
по всем направлениям и не зависит от угла наклона площадки, на которую оно
действует в данной точке.
Для доказательства этого свойства выделим в неподвижной жидкости
элементарный объем в форме прямоугольной призмы с ребрами, параллельными координатным осям и соответственно равным dx, dy, dz (рис.2.4)
Рис.2.4.
Для наглядности сделаем проекцию призмы на координатные оси Оx и
Оz. Пусть вблизи выделенного объема на жидкость действует единичная массовая сила, составляющие которой равны X, Y и Z.
Обозначим через Pк гидростатическое давление, действующее на грань,
нормальную к оси Ox, через Py давление на грань, нормальную к оси Oy и т. д.
Гидростатическое давление, действующее на наклонную грань обозначим через
Pn, а площадь грани через dω. Все эти давления направлены по нормалям к соответствующим площадкам.
Составим уравнение равновесия выделенного объёма жидкости сначала в
направлении оси Ox
18
dFx − dFn ± dGx = 0 ,
(2.3)
где ± – направление действия массовой силы.
Решаем:
dFx = Px ⋅ dy ⋅ dx ,
dFx = Pn ⋅ dω ⋅ cosα = Pn ⋅ dy ⋅ dt ,
(2.4)
(2.5)
(угол α образован нормально Pn и осью Ox)
dGX = dM ⋅ X ,
H м
=
кг с 2
(2.6)
(X – единичная массовая сила вдоль его объёма).
Масса тетраэдра равна произведению его объёма dW на плотность ρ, т.е.
dM = dW ⋅ ρ =
1
⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz ⋅ ρ .
2
(2.7)
Тогда,
dG =
1
⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz ⋅ ρ ⋅ X .
2
(2.8)
Запишем теперь уравнение равновесия:
1
Px ⋅ dy ⋅ dz − Pn ⋅ dω ⋅ cos α + ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz ⋅ ρ ⋅ X = 0 ,
2
(2.9)
Разделим все члены уравнения (2.9) на площадь yOz (т.е. на dydz)
Будем иметь:
1
Px − Pn + ⋅ dx ⋅ ρ ⋅ X = 0 .
2
(2.10)
При стремлении размеров к нулю, последний член уравнения (2.10), содержащий множитель dx, будет так же стремиться к нулю, а давления Px и Pn
будут оставаться величинами конечными.
Следовательно, в пределе мы получим:
Px − Pn = 0
(2.11)
Px = Pn .
(2.12)
или
19
Аналогично составляя уравнения равновесия вдоль осей Oy и Oz, после
таких же рассуждений получим:
Py = Pn , Pz = Pn
(2.13)
Px = Py = Pz = Pn .
(2.14)
или
Так как размеры прямоугольной призмы dx, dy, dz были взяты произвольно, то и наклон площадки dω произволен, и, следовательно, в пределе при стягивании призмы в точку давление в этой точке по всем направлениям будет
одинаково.
Рассмотренное свойство давления в неподвижной жидкости имеет место
так же при движении идеальной жидкости. При движении же реальной жидкости возникают касательные напряжения, вследствие чего давление в реальной
жидкости указанным свойством не обладает.
2.2 Общие дифференциальные уравнения гидростатики
(уравнения Л. Эйлера)
С помощью общих дифференциальных уравнений гидростатики определяется величина гидростатического давления в любой точке жидкости, находящейся в различных состояниях равновесия и покоя.
Для получения уравнений Эйлера рассмотрим случай относительного покоя
жидкости,
т.е.
когда
на
жидкость
действует не только сила тяжести, но и ,
например, силы инерции переносного движения.
Возьмём в неподвижной жидкости точку
М с координатами х ,у, z и давлением р. Выделим в жидкости элементарный объём в форме
прямоугольного
параллелепипеда,
рёбра
20
которого равны dx, dy, dz. При этом точка М пусть будет одной из его вершин
(рис. 2.5).
Рассмотрим условия равновесия выделенного объёма, когда внутри параллелепипеда на жидкость действует равнодействующая массовая сила, составляющие которой, отнесенные к единице массы, равны X, Y и Z.
Вблизи точки М давление р одинаково по всем направлениям. В точке N
оно получит приращение, равное частному дифференциалу и будет равно
р+
∂р
dх .
∂х
Составим уравнение равновесия относительно оси Ох:
∂p ⎞
⎛
pdydz − ⎜ p +
dx ⎟dydz + Xρdxdydz = 0 .
∂х ⎠
⎝
(2.15)
Раскроем скобки и сократим на массу, т.е. на ρdxdydz , получим
X−
1 ∂p
⋅
= 0.
ρ ∂x
(2.16)
Аналогично составим уравнения равновесия относительно осей Оy и Oz.
После проведенных преобразований получим
⎫
1 ∂p
⋅
= 0;⎪
ρ ∂x
⎪
⎪
1 ∂p
= 0; ⎬
Y− ⋅
ρ ∂y
⎪
⎪
1 ∂p
= 0. ⎪
Z− ⋅
ρ ∂z
⎭
X−
(2.17)
Система уравнений (2.17) называется дифференциальными уравнениями
равновесия жидкости, или уравнениями Эйлера.
21
2.3 Интегрирование уравнений Эйлера
Для практического применения полученные уравнения Эйлера не всегда
удобны, поэтому их следует проинтегрировать. Для этого запишем их в следующей форме:
⎫
∂p
= ρ X ;⎪
∂x
⎪
∂p
⎪
= ρY ; ⎬
∂y
⎪
⎪
∂p
= ρ Z. ⎪
∂z
⎭
(2.18)
Умножив каждое из уравнений (2.18) соответственно на dx, dy, dz и сложив их,
получим
∂p
∂p
∂p
dx +
dy +
dz = ( Xdx + Ydy + Zdz )ρ .
∂x
∂y
∂z
(2.19)
Так как р = f (x, y, z), то левая часть уравнения (2.19) есть полный дифференциал давления, то есть
dp = (Xdx + Ydy + Zdz)ρ.
(2.20)
Уравнение (2.20) называется приведённым уравнением Эйлера.
При постоянном значении плотности ρ уравнение (2.20) имеет смысл лишь
в том случае, когда правая его часть так же представляет собой полный дифференциал. А это возможно при условии существования функции u = f (x, y, z), частные производные которой по x, y, z будут равны:
∂u
∂u
∂u
=Y ;
=Z.
=X;
∂y
∂x
∂z
(2.21)
Функция u называется силовой или потенциальной функцией, а силы,
удовлетворяющие условиям (2.21), называют силами, имеющими потенциал
(запас энергии).
Наиболее известные силы, имеющие потенциал – это силы тяжести и силы
инерции.
22
Если проинтегрируем уравнение (2.20), то получим
р = ρu+C,
(2.22)
где С – постоянная интегрирования.
Если для некоторой точки, находящейся на поверхности или внутри жидкости известны давление р0 и потенциальная функция u0, то
C = р0 – ρu0 , тогда
р = р0 + ρ(u – u0).
(2.23)
Выражение (2.23) является интегралом приведённого уравнения Эйлера. С
его помощью можно определить гидростатическое давление в различных точках при известных значениях потенциальной функции. Наибольшее практическое значение имеют случаи применения выражения (2.23) для абсолютного и
относительного покоя жидкости в условиях земного тяготения. Именно эти задачи будут рассматриваться далее.
2.4 Основное уравнение гидростатики
Основное уравнение гидростатики является рабочей формулой, с помощью
которой определяется гидростатическое давление в любой точке жидкости, находящейся в состоянии абсолютного или обычного покоя.
Под обычным покоем понимается состояние покоя только под воздействием сил тяжести, когда другие массовые силы отсутствуют.
Определим величину гидростатического давления в какой-либо точке жидкости, находящейся
в резервуаре. Обозначим искомое давление в точке А через р, а известное давление газовой среды
на свободную поверхность жидкости через р0.
Рис.2.6
Массовая сила, приложенная к единице массы
в области точки А в данном случае равна ускорению силы тяжести g. Её проекции на оси координат равны
23
Х = 0; Y = 0; Z = -g.
Плоскость XOY, относительно которой ведётся отсчёт вертикальных координат, назовем плоскостью сравнения.
В результате подстановки значений проекций сил в дифференциальное
уравнение (2.20), то есть dр = (Xdx+Ydy+Zdz)ρ, получим
dр = -ρgdz.
(2.24)
После интегрирования получим:
р = -ρg z + С.
(2.25)
Постоянную интегрирования С получим по точкам, лежащих у свободной
поверхности жидкости, то есть р = р0 и z = z0..
Тогда
p0 = -ρg z0 + С.
(2.26)
С = p0 + ρg z0.
(2.27)
Отсюда
Заменив значение С в зависимости (2.27) получим
р = р0 + ρ(z0 -z).
(2.28)
Из рис.2.6 видно, что z0 – z = h выражает глубину погружения точки А под
свободной поверхностью. Следовательно, можно записать
р = р0 + ρgh или р = р0 + γh.
(2.29)
Зависимость (2.29) называется основным уравнением гидростатики.
Таким образом, полное гидростатическое давление в какой-либо точке
равно сумме веса столба жидкости высотой, равной глубине погружения точки,
с площадью основания равной единице и давления на свободной поверхности.
2.5 Поверхности равного давления
В покоящейся жидкости можно выделить множество точек с одинаковым
гидростатическим давлением p = const. Каждая такая система точек образует
поверхность, называющуюся поверхностью равного давления. Изменение дав-
24
ления на этой поверхности не происходит, то есть dр = 0. Поэтому дифференциальное уравнение (2.20) преобразуется в выражение
dz = 0,
(2.30)
z = const.
(2.31)
что после интегрирования даёт
Следовательно, для жидкости, находящейся в состоянии обычного покоя,
поверхности равного давления представляют собой горизонтальные плоскости
с постоянной координатой z. Этот вывод также вытекает из основного уравнения гидростатики, из которого следует, что одинаковым гидростатическим давлением обладают только те точки в жидкости, которые расположены на одинаковой глубине от свободной поверхности, то есть при h = const. Этим свойством обладают точки горизонтальных поверхностей. В частности, поверхностью
равного давления является свободная поверхность жидкости, для которой р =
р0 , z = z0 , h = 0.
2.6 Относительный покой жидкости
Мы рассмотрели основное уравнение гидростатики, являющееся решением
дифференциальных уравнений равновесия Эйлера для частного случая – абсолютного покоя жидкости в поле сил земного (притяжения) тяготения. Возможны и другие случаи равновесия, в частности, относительный покой.
Относительным покоем называется состояние покоя относительно стенок
сосуда, в котором находится жидкость. Сам же сосуд вместе с жидкостью может перемещаться относительно Земли. Например, в состоянии относительного
покоя находится жидкость, помещённая в транспортные ёмкости – баки, цистерны и различные движущиеся сосуды. При относительном покое помимо сил
тяжести, жидкости находятся ещё под воздействием сил инерции, которые также относятся к массовым или объёмным силам.
При рассмотрении состояния относительного покоя наибольший практический интерес представляет установление закона распределения давлений в
25
конкретных случаях. Эти задачи решаются с помощью основного дифференциального уравнения гидростатики.
Рассмотрим относительный покой жидкости при прямолинейном равноускоренном
движении сосуда.
Пусть сосуд с жидкостью, например,
цистерна, движется в горизонтальном направлении с положительным ускорением,
равным а.
Свободная поверхность жидкости нахоРис. 2.7
дится под воздействием давления р0. За начало
координат примем точку О, лежащую на свободной поверхности жидкости в
середине цистерны. Ось Ох направим в сторону движения, а ось Oz по вертикали вверх. Массовыми силами, отнесёнными к единице массы в области произвольно взятой точки А, являются сила тяжести g и сила инерции, равная по величине ускорению а, но направленную в противоположную сторону. Тогда, согласно основному дифференциальному уравнению гидростатики (2.20), проекции этих сил на оси координат будут равны:
x = -a; y =0; z = -g
В результате замены получим
dр = -ρ(adx + gdz),
(2.32)
р = -ρ(ax + gz) + C.
(2.33)
что после интегрирования даст
Данное выражение гидростатического давления справедливо для всех точек жидкости, в том числе и для точки О, расположенной на свободной поверхности в начале координат, где x = z = 0, p = p0. В результате подстановки значений давления и координат в уравнение (2.33) определится постоянная интегрирования С = p0. После замены значения С получим зависимость, определяю-
26
щую гидростатическое давление в любой точке пространства, заполненного
жидкостью.
p = p0 – ρ(ax + gz).
(*)
Поверхности равного давления, для которых dp = 0 и p = const согласно
выражению (2.33) определяются уравнениями типа
ax + gz = const.
(2.34)
Следовательно, поверхности равного давления представляют собой плоскости,
параллельные свободной поверхности и наклонные к оси Оx под углом α.
tg α =-a/g.
(2.35)
Уравнение свободной поверхности жидкости, для которой p = p0 выразится
зависимостью
ax+gz=0.
(2.36)
Таким образом, при движении с положительным ускорением жидкость
сместится к задней стенке цистерны, как показано на рис.2.7. При отрицательном ускорении, то есть при торможении, сила инерции проектируется на ось Оx
с положительным знаком и жидкость сместится в переднюю часть цистерны.
Следует отметить, что уравнение давления (*) по структуре совпадает с основным уравнением гидростатики и, следовательно, гидростатическое давление
при относительном покое также равно сумме давления столба жидкости и давления на свободную поверхность.
В случае относительного покоя жидкости, находящейся в цилиндрическом
сосуде, вращающемся вокруг своей оси гидростатическое давление в любой
точке жидкости, находящейся в сосуде определяется по формуле:
⎞
⎛ ω уг2 r 2
р = р 0 + ⎜⎜
+ z ⎟⎟ ρ g ,
⎠
⎝ 2g
(2.37)
где ω уг – угловая скорость, с-1; r – радиус цилиндра, м; p0 – давление на свободную поверхность, Н/м2; z – вертикальная координата данной точки, м.
27
2.7 Классификация давлений
Давлением жидкости является напряжение сжатия в рассматриваемой точке.
На практике, и жидкости, и приборы для измерения давления, как правило,
находятся под действием атмосферного давления.
В некоторых технических задачах жидкость с атмосферным давлением на
поверхности удобно считать ещё не сжатой. В других случаях требуется учитывать действие атмосферного давления. Для того чтобы подчеркнуть, от какого
начального состояния жидкости ведётся отсчёт напряжений сжатия, вводится
понятия о давлениях – абсолютном, избыточном (или манометрическом) и вакуумметрическом.
Атмосферное давление ра создаётся весом столба атмосферного воздуха,
приходящегося на единицу площади. Нормальное атмосферное давление уравновешивается давлением столба ртути высотой 760 мм.
В соответствии с основным уравнением гидростатики, р = р0 + γh, на свободной поверхности жидкости (h =0) атмосферное давление создаёт напряжение сжатия
р =ра= р0 .
(2.38)
Здесь р – абсолютное давление. Оно обозначается рабс или просто р.
Абсолютным давлением называется давление, отсчитанное от абсолютного
нуля шкалы давлений. По величине оно может быть как больше, так и меньше
атмосферного.
Если абсолютное давление превышает атмосферное, то есть р > ра , то разность между этими давлениями называется избыточным или манометрическим
давлением:
ризб = р – ра
или
р = ра + ризб..
(2.39)
28
Если абсолютное давление меньше атмосферного, р < ра, то разность между этими давлениями называется вакуумметрическим давлением:
рвак = ра – р
или
р = ра – рвак. .
(2.40)
Численно вакуумметрическое давление может изменяться в пределах от 0
до атмосферного. Как вакуумметрическое, так и избыточное давление мы можем наблюдать при работе насоса (всасывание, нагнетание), двигателя внутреннего сгорания и т. п.
2.8 Единицы измерения давлений
Величина гидростатического давления в общем случае может быть измерена величиной силы, приходящейся на единицу площади. В системе СИ за
единицу давления принят Паскаль (Па):
1Па = 1Н/м2..
Эта единица рекомендуется для преимущественного использования в научно-технической литературе и гидравлических расчётах.
В связи с введением единиц СИ допускается измерение давления в барах.
1 бар = 105 Н/м2 (Па)
До 1980 г. к применению допускались следующие единицы измерения давления: техническая атмосфера, физическая атмосфера, миллиметры ртутного
столба, миллиметры водяного столба. Между ними существуют следующие соотношения:
техн. атм. 1 ат = 0,980665 бар = 98,0665 кПа;
физ. атм. 1 атм = 1,01325 бар = 101,325 кПа;
1 мм. рт. ст. = 133,3224 Па (≈ 133,2);
1 мм. вод. ст. = 10-4 ат = 9,80665 Па (≈ 9,81).
Соответствующей высотой ртутного или водяного столба до настоящего
времени принято измерять барометрическое и другие невысокие виды давлений
29
(например, барометры перепада давления в лабораторных и экспериментальных установках).
2.9 Приборы для измерения давления
Приборы для измерения давления классифицируются по следующим признакам:
1) по принципу действия – на жидкостные, пружинные, поршневые, электрические, комбинированные.
2) по характеру измеряемой величины – на барометры, манометры, вакуумметры, дифференциальные манометры, микроманометры.
Барометры предназначены для измерения атмосферного давления. Манометры – для измерения манометрического (избыточного) давления. Вакуумметры – для измерения вакуумметрического давления. Приборы, которыми можно
измерить ризб и рвак называются мановакуумметрами. Дифференциальные манометры позволяют измерять разность давлений в двух разных точках. Микроманометры – приборы, используемые для измерения малого избыточного давления или вакуума.
Весьма широко для измерения давлений используются жидкостные и пружинные (механические) манометры или вакуумметры.
В жидкостных приборах измеряемое давление уравновешивается давлением столба жидкости, высота столба служит мерой давления.
В пружинных (механических) приборах сила измеряемого давления деформирует упругий элемент прибора (пружину, сильфон, мембрану), величина
деформации пропорциональна давлению и служит его мерой.
К жидкостным приборам относятся пьезометры, манометры, вакуумметры
и дифференциальные манометры.
30
Пьезометр является разновидностью жидкостного
манометра и представляет собой стеклянную трубку
диаметром 6–10 мм, нижний конец которой посредством
резиновой трубки присоединяется к области измеряемого давления, а верхний конец открыт в атмосферу
Рис.2.8
(рис.2.8).
Под влиянием давления р, действующего в точке присоединения прибора,
жидкость поднимается в ней на высоту hp, которая называется пьезометрической высотой.
Величина измеряемого давления вычисляется по основному уравнению
гидростатики. Абсолютное давление р в точке присоединения равно:
р = ра + γhp ,
а избыточное ризб = р – ра = γhp ,
(2.41)
(2.42)
где пьезометрическая высота hp определяется непосредственным измерением в
натуре.
Таким образом, пьезометр показывает давление в натуральную величину,
то есть в метрах или миллиметрах столба данной жидкости. Пьезометры применяются для измерения сравнительно невысоких избыточных давлений – до 23 метров столба жидкости. При измерении более высоких давлений прибор
становится чрезмерно громоздким и неудобным для использования. Пьезометры имеют значительную инерцию и обычно применяются в лабораторных исследованиях
Для измерения высоких давлений, более чем 2-3 м вод. ст. применяют
жидкостные манометры, которые используют как правило уравновешивание
давления р с помощью более тяжёлой жидкости, по сравнению с жидкостью,
находящейся в резервуаре. Благодаря этому существенно сокращается высота
поднятия жидкости в трубке прибора. Во избежание переливания более тяжёлой жидкости в резервуар, трубке манометра придаётся изогнутая U-образная
31
форма. Из жидкостных манометров наиболее распространены ртутные манометры (рис. 2.9).
Для измерения один конец трубки соединяется с резервуаром, второй открыт в атмосферу. Под влиянием боле высокого давления р со стороны резервуара жидкость в трубке манометра переместится
в сторону меньшего давления ра и займёт положение, указанное на рисунке. Горизонтальная плоскость О-О, проведённая по нижнему уровню ртути, является поверхностью равного давления в
обоих коленах трубки, представляющих два сообщающихся сосуда. Гидростатическое давление
р1 в левом колене трубки в плоскости А- А, вызванное давлением р0 и давлением столба жидкосРис.2.9
ти высотой h+а со стороны резервуара, уравновешивается гидростатическим давлением р2 со сто-
роны правого колена, вызванного давлением столба ртути высотой hрт и атмосферного давления ра.
Условие равновесия жидкостей в левом и правом коленах прибора, определяемое равенством давлений в плоскости А-А:
р1 = р2
выразится зависимостью:
или
р0 + γ(h + a) = ра + γртhрт
(2.43)
р0 + γh = ра + γртhрт – γа .
(2.44)
Нетрудно увидеть, что левая часть последнего уравнения выражает давление р, измеряемое манометром, то есть р= р0 + γh. Тогда абсолютное давление
в точке присоединения манометра:
р = ра + γртhрт – γа,,
(2.45)
а избыточное в той же точке
ризб = р – ра = γртhрт – γа .
(2.46)
32
Ртутные манометры с достаточно высокой точностью позволяют измерять
давление до 2-3 атмосфер.
Довольно широкое распространение получила модификация ртутного Uобразного манометра – чашечный манометр. В нём вместо одного из Uобразных колен используется чашка, диаметр которой намного больше диаметра трубки. Верхняя полость чашки соединена с областью измерения давления.
Запас ртути в чашке настолько велик, что при разных hрт в трубке, положение
плоскости О-О остаётся практически неизменным. Шкала прибора имеет постоянный нуль отчёта, что удобно при измерении hрт.
Дифференциальный жидкостный манометр (рис.2.10) весьма близок к Uобразному ртутному манометру. Различие состоит в том, что давление в интересующей точке сравнивается не с атмосферным, а с давлением в другой точке.
Условие
равновесия
жидкостей
относительно плоскостей равного давления, при расположении сравниваемых точек на одном уровне, выразится зависимостью:
р1 +γ(h + ∆h) = р2 + γh + γрт ∆h, (2.47)
отсюда находим разность давлений:
Рис.2.10
∆р = р2 – р1= (γрт – γ)∆h.
(2.48)
Жидкостные вакуумметры по устройству бывают чашечные и U-образные.
Чашечный вакуумметр представляет собой образный пьезометр, а Uобразный – образный манометр. В том и другом приборе внешнее атмосферное
давление ра уравновешивается атмосферным давлением и давлением столба
жидкости высотой hвак, то есть
ра = р0 + γhвак..
(2.49)
Отсюда определяется значение абсолютного давления в резервуаре
р0= ра - γhвак ,
(2.50)
33
и величина вакуума
рвак = ра - р0 = γhвак .
(2.51)
В качестве жидкостей для наполнения трубок может применяться ртуть,
вода и т.п. Ртутные вакуумметры применяются для измерения высоких вакуумов, а водяные – для измерения малых вакуумов, когда высота столба жидкости
в трубке не превышает 0.8-1м.
U-образный жидкостный вакуумметр по устройству одинаков с Uобразным манометром, поэтому и тот и другой прибор может быть использован
и как манометр и как вакуумметр. В этом случае прибор называется мановакуумметр.
Из механических манометров
наиболее распространены трубчатые
пружинные
манометры
(рис.2.11). Подобный манометр
состоит из корпуса 1, главной частью такого прибора является
серповидная трубка эллиптического
поперечного
сечения
2
(трубка Бурдона). Один конец её
Рис.2.11.
выведен наружу и снабжён штуцером для присоединения к области
измерения давления 3. Второй заглушен и соединён со стрелкой 5 шкалы прибора 6.
Ввиду того, что внешняя сторона трубки имеет большую площадь, чем
внутренняя, измеряемое давление действует на неё с большей силой, несколько
выпрямляя трубку. Трубка, через приводной механизм 4 поворачивает стрелку,
указывающую на шкале манометра величину измеряемого давления. Градуировка шкалы манометра производится на тарировочных стендах под известным
давлением.
34
Прибор компактен, прост по устройству и применению. Главным недостатком является возникновение с течением времени остаточных деформаций.
Поэтому все механические приборы подлежат обязательной периодической
проверке. Предел измерения от 0.5 до 10 000 атмосфер.
Механические вакуумметры, как и манометры аналогичны по конструкции, только деформация трубки происходит в обратную сторону, следовательно
и отклонение стрелки осуществляется в противоположную сторону.
Помимо рассмотренных приборов в современной технике применяются
различного рода электрические датчики (давление воздействует на упругий
элемент и преобразуется в электр. импульс). Запись сигналов осуществляется
соответствующим прибором. Преимущества таких датчиков – малые размеры и
масса, малая инерционность, автоматический контроль и управление, возможность дистанционного управления.
2.10 Гидростатический и пьезометрический напоры
Рассмотрим состояние равновесия жидкости, находящейся в закрытом резервуаре (рис. 2.12).
Рис. 2.12
35
Пусть давление р 0 воздействует на свободную поверхность жидкости и несколько превышает атмосферное, т.е. р 0 > р а . Тогда, под влиянием избыточного
давления со стороны резервуара жидкость
в пьезометре С , установленном в
области произвольно выбранной точки В на глубине h , поднимется на высоту hP ,
где hP – пьезометрическая высота.
С целью сравнения положения различных точек в жидкости проведем горизонтальную плоскость сравнения O − O . Вертикальное расстояние z от плоскости
сравнения до какой-либо рассматриваемой точки называется геометрической
высотой данной точки.
Пьезометрическим напором H P жидкости, в какой – либо ее точке называется
сумма геометрической высоты этой точки z и ее пьезометрической высоты hP , т.е.
H P = z + hP .
(2.52)
Значение пьезометрической высоты hP может быть определено из условия равновесия жидкости в сосуде и пьезометре С , составленного относительно плоскости
равного давлении А − А
р 0 + γh = р а + γhP .
(2.53)
Отсюда
hP = h +
р0 − ра
γ
,
(2.54)
следовательно, пьезометрический напор равен
HP = z + h +
р0 − ра
γ
.
(2.55)
Для каждой точки жидкости сумма ее геометрической высоты z и глубины h
выражает расстояние от плоскости сравнения O − O до плоскости свободной поверхности жидкости, т.е. z + h = z 0 . Поэтому
H P = z0 +
р0 − ра
γ
.
(2.56)
36
Так как правая часть равенства есть величина постоянная, не зависящая от местонахождения точек, то покоящаяся жидкость во всех своих точках обладает
одинаковым пьезометрическим напором
H P = const.
(2.57)
Следовательно, если в различных точках резервуара установить не один, а несколько пьезометров, то уровни жидкости в них установятся в одной горизонтальной плоскости (например П − П ) на высоте H P от плоскости сравнения O − O .
Плоскость П − П , проведенная по уровням жидкости в пьезометрах, называется
пьезометрической плоскостью или плоскостью пьезометрического напора.
Так как р 0 − р а = р изб , то можно сказать, что пьезометрический напор в какойлибо точке равен сумме ее геометрической высоты и высоты столба жидкости,
соответствующего избыточному давлению в данной точке, т.е.
H P = z0 +
р изб
γ
.
(2.58)
Гидростатическим напором жидкости H S в какой – либо ее точке называется
сумма геометрической высоты этой точки и высоты столба жидкости, соответствующего абсолютному давлению жидкости в рассматриваемой точке, т.е.
HS = z +
р
γ
.
(2.59)
Поскольку абсолютное давление в точке B равно р = р 0 + γh , то
HS = z + h +
р0
,
(2.60)
= const .
(2.61)
γ
или
H S = z0 +
р0
γ
Следовательно, гидростатический напор жидкости во всех ее точках является
величиной постоянной. Это положение также вытекает из сравнения выражений
пьезометрического напора (2.56) и гидростатического напора (2.60), откуда следует,
37
что гидростатический напор превышает величину пьезометрического напора на
постоянную величину, равную высоте столба жидкости, соответствующего атмосферному давлению
HS = HP +
Высоту
р
γ
ра
γ
.
(2.62)
, входящую в уравнение (2.59), геометрически можно представить
как высоту поднятия жидкости в замкнутом пьезометре D , из которого выкачан
воздух и устранено атмосферное давление, т.е. р а = 0 . Благодаря этому, жидкость в
пьезометре D поднимается на дополнительную высоту, соответствующую устраненному атмосферному давлению, равную
ра
γ
.
Горизонтальная плоскость H − H , проведенная на высоте H S от плоскости
сравнения O − O и на высоте
ра
γ
от плоскости П − П , называется напорной плоско-
стью или плоскостью гидростатического напора.
Установив геометрическую сущность гидростатического и пьезометрического
напора, выясним теперь их энергетический смысл. Для этого определим потенциальную энергию частицы жидкости весом ΔG , находящейся в области точки В . Под
воздействием гидростатического давления р эта частица по трубке пьезометра D
поднимается на высоту равную
окажется на высоте, равной z +
р
γ
р
γ
и по отношению к плоскости сравнения O − O
, то есть на высоте гидростатического напора H S .
Полная потенциальная энергия данного количества жидкости относительно плоскости сравнения будет равна
Э = ΔG ( z +
р⎞
⎟ = ΔGH S .
γ ⎟⎠
(2.63)
38
Определяем удельную энергию E рассматриваемого количества жидкости, т.е.
энергию, отнесенную к единице веса жидкости
E=
р
Э
= z + = HS .
γ
ΔG
(2.64)
Таким образом, с энергетической стороны гидростатический напор представляет собой удельную энергию жидкости относительно выбранной плоскости сравнения O − O . При этом составляющая z выражает удельную потенциальную энергию
положения, а составляющая
р
γ
– удельную потенциальную энергию абсолютного
давления.
Рассуждая аналогичным образом, нетрудно показать, что пьезометрический
напор представляет удельную потенциальную энергию, соответствующую избыточному давлению в рассматриваемой точке жидкости.
Так как покоящаяся жидкость во всех своих точках обладает одинаковым гидростатическим и одинаковым пьезометрическим напорами, то из всего рассмотренного также следует, что все частицы жидкости, находящиеся в состоянии покоя,
обладают еще и одинаковой удельной энергией, т.е.
E = const .
(2.65)
2.11 Закон Паскаля и его применение
Законом Паскаля может быть сформулирован следующим образом: внешнее
давление, приложенное к покоящейся жидкости, передается во все ее точки без
изменений. Это положение вытекает из основного уравнения гидростатики
р = р 0 + γ h , из которого следует, что внешнее давление, приложенное к погранич-
ной поверхности жидкости, передается всем ее точкам в одинаковой мере. При этом
внешнее давление может быть приложено к жидкости посредством давления на нее
газа, жидкости и твердого тела.
39
Так как все частицы покоящейся жидкости обладают одинаковым гидростатическим напором, то для двух любых ее точек в соответствии с зависимостью (2.59)
можно записать
р1
γ
+ z1 =
р2
γ
+ z2 ,
(2.66)
где z1 и z 2 – геометрические высоты рассматриваемых точек относительно какойлибо плоскости сравнения, р1 и р 2 – гидростатические давления в этих точках.
На основании зависимости (2.66) закон Паскаля может быть представлен уравнением
р1 + γ z1 = р 2 + γ z 2 ,
(2.67)
из которого следует, что какое-либо изменение давления р1 в одной точке на
величину Δр вызовет точно такое же изменение давления р 2 в других точках на ту
же самую величину Δр , т.е.
р1 + Δр + γ z1 = р 2 + Δр + γ z 2 .
(2.68)
На применении закона Паскаля основано действие многих гидравлических машин, имеющих широкое применение в технике. К числу таких машин, в частности,
относятся гидравлические прессы, подъемники и другие аналогичные гидравлические устройства, составляющие группу гидростатических гидравлических машин.
Схема устройства гидравлического пресса представлена на рис.2.13.
Сравнительно небольшая внешняя
сила F1 , приложенная к малому поршню с площадью поперечного сечения
ω1 , создает на уровне 1 − 1 гидростати-
ческое давление, равное
р1 + γ z1 = р 2 + γ z 2 ,
р1 =
Рис. 2.13
F1
ω
.
(2.69)
(2.70)
40
Гидростатическое давление р 2 на уровне 2 − 2 под другим поршнем со значительно большей площадью ω 2 определится по закону Паскаля уравнением
р 2 = р1 + γ ( z 1 − z 2 ) .
(2.71)
Различие в давлении, равное
Δр = р 2 − р1 = γ ( z1 − z 2 ) ,
(2.72)
вызванное разностью геометрических высот, по сравнению с высокими значениями
самих давлений в гидравлических прессах и подобных гидравлических устройствах
незначительно и в расчетах обычно не учитывается.
F1
ω1
=
F2
ω2
,
F2 =
ω2
F1 .
ω1
(2.73)
Следовательно, сила F2 во столько же раз больше силы F1 , во сколько раз площадь ω 2 больше площади ω1 .
В связи с некоторой затратой энергии в процессе прессования на преодоление
трения в уплотнениях поршней и на преодоление гидравлических сопротивлений в
соединительных трубопроводах действительная прессующая сила окажется несколько меньше силы, вычисленной по формуле (2.73). Ее величина определится из
выражения
F2 = F1
где η
ω2
η,
ω1
(2.74)
– коэффициент полезного действия гидравлического пресса.
Нагнетание жидкости в гидравлических прессах обычно производится с помощью специальных насосов высокого давления. В качестве рабочих жидкостей, как
правило, применяются различные технические масла.
В большинстве случаев гидравлические прессы в производственных условиях
используются в сочетании с гидравлическими аккумуляторами.
Гидравлический аккумулятор (рис. 2.14) представляет собой устройство, состоящее из цилиндра и массивного поршня, утяжеленного дополнительным грузом
с общим весом G . Жидкость, нагнетаемая насосом в период холостого хода пресса,
41
поступает в аккумулятор, поднимает
поршень вместе с грузом и накапливается в объеме W . Во время рабочего хода жидкость будет нагнетаться в пресс
одновременно и насосом и аккумулятором. Благодаря этому, возрастает производительность пресса и обеспечивается
непрерывная работа насоса с постоянРис. 2.14
ной производительностью и давлением,
равным р =
G
ω
.
В прессовом оснащении предприятий иногда применяется еще одна разновидность гидравлических машин, работающих на основе закона Паскаля – гидравлические мультипликаторы. Они применяются с целью повышения давления в случае,
когда насос и гидравлический аккумулятор не могут обеспечить подачу рабочей
жидкости в пресс с более высоким давлением.
Гидравлический мультипликатор состоит из неподвижного цилиндра 1 , пустотелого подвижного плунжера 2 и неподвижного плунжера 3 (рис.2.15).
Рабочая жидкость с давлением р1 поступая от насоса в цилиндр 1 , оказывает
давление на плунжер 2 с силой, равной
F = р1ω1 и поднимает его вверх. Плунжер
3 , оставаясь неподвижным, с той же силой
F
оказывает давление на жидкость в
плунжере 2 и создает гидростатическое
Рис. 2.15
давление
р2 =
F
ω2
=
ω1
р1 , р 2 >> р1 .
ω2
В результате жидкость поступает в пресс с более высоким давлением.
42
2.12. Давление жидкости на плоские поверхности
2.12.1 Давление жидкости на плоскую горизонтальную поверхность
Рассмотрим сосуд с глубиной воды h . Поскольку давление жидкости в какойлибо точке сосуда зависит от глубины погружения этой точки, то давления в произвольно взятых точках А, В, С , будут равны (рис. 2.16):
Рис. 2.16
p A = ρgh A ; p B = ρghB ; p C = ρghC .
(2.75)
Сила гидростатического давления на горизонтальную площадку ω С будет
равна
FC = ρghC ω C .
(2.76)
Сила гидростатического давления на дно сосуда площадью Ω определится по
формуле
F = ρghΩ .
(2.77)
Следовательно, суммарная сила давления жидкости на горизонтальную поверхность равна весу столба жидкости, расположенной над рассматриваемой
поверхностью.
Теперь рассмотрим три сосуда различной формы, но с одинаковой площадью
дна Ω . Все сосуды наполнены однородной жидкостью на глубину H (рис. 2.17 а, б,
в). На рис. 2.17, б: H = H1 + H 2 .
43
Рис. 2.17
Гидростатическое давление на дно во всех сосудах будет одинаковым и равным
р = ρgH .
(2.78)
Суммарная сила гидростатического давления так же будет одинаковой и равной
F = ρgHΩ .
(2.79)
Откуда же в сосуде 1 берется дополнительная сила по сравнению с сосудом 2
и куда пропадает избыток веса жидкости в сосуде 3 по сравнению с сосудом 2? Нет
ли здесь противоречия с законами физики?
Законы гидравлики утверждают, что давление жидкости не зависит от формы
сосуда, а зависит от глубины погружения площади и её размеров. В этом заключается гидростатический парадокс, который может быть объяснен законом Паскаля.
2.12.2 Давление жидкости на наклонную поверхность
В практике часто встречаются плоские поверхности (щиты, стенки), расположенные под каким-либо углом α к горизонту.
Выведем расчётную зависимость для определения силы давления жидкости
на наклонную плоскую стенку (рис.2.18).
44
Рис. 2.18
Для этого:
1) выделим элементарную площадку dω , расположенную на глубине h;
2) выберем оси координат, развернём их на прямой угол;
3) обозначим центр тяжести щита (Ц.Т).
На dω будет действовать элементарная сила гидростатического давления
dF = (ρgh + p0 )dω ,
(2.80)
где ρ – плотность жидкости, кг/м3; ρ gh – избыточное гидростатическое давление, Па; p 0 – давление на свободной поверхности жидкости, Па.
Суммарная сила гидростатического давления на весь щит равна сумме
элементарных сил, действующих по всей смоченной площади щита. Проинтегрируем выражение (2.80) по площади Ω
F = ∫ ρghdω + ∫ p0 dω = ρg ∫ hdω + p0 ∫ dω .
Ω
Ω
Ω
(2.81)
Ω
Из рис.2.18 видно, что h = у sin α , тогда
F = ρg sin α ∫ уdω + p0 ∫ dω ,
Ω
(2.82)
Ω
где ∫ уdω – статический момент площади относительно оси ОХ, он равен проΩ
изведению площади на расстояние от Ц.Т. до оси ОХ, значит
∫ уdω = Ω у
Ω
0
.
(2.83)
45
Из рис.2.18 видно, что у0 sin α = h0 . Тогда, с учётом этого, подставив (2.83) в
(2.82), получим
F = (ρgh0 + p0 )Ω .
(2.84)
Полная сила давления жидкости на плоскую стенку равна произведению
площади стенки на величину гидростатического давления.
Внешняя сила p 0 Ω приложена в Ц.Т площади, сила избыточного давления
приложена ниже Ц.Т, в – Ц.Д (центре давления).
В случае, если Р 0 = Р А (рис. 2.19), на щит будет действовать с одной стороны атмосферное давление, а с другой – давление со стороны жидкости, направленные навстречу друг к другу, то формула (2.84) примет вид
F = ρgh0 Ω .
(2.85)
Рис.2.19
2.12.3 Определение положения центра давления
Центр давления – это точка приложения равнодействующей избыточного
гидростатического давления.
Обратимся к рис.2.19 и воспользуемся теоремой теоретической механики о
том, что момент равнодействующей силы равен сумме моментов составляющих
сил. На основании данной теоремы запишем уравнение моментов относительно
оси ОХ, полагая, что координата центра давления равна у c . Тогда
F у С = ∫ dFу = ∫ ρghdωу = ρg sin α ∫ у 2 dω ,
Ω
Ω
Ω
т. к. h0 = у 0 sin α , h = у sin α , hc = у c sin α (из рис.2.18).
Равнодействующая сила
(2.86)
46
F = ρ gΩ y 0 sinα .
(2.87)
Интеграл ∫ у 2 dω = I Х - момент инерции смоченной площади относительно
Ω
оси ОХ.
Тогда
F у С = ρg sin α I Х .
(2.88)
Откуда
уС =
ρg sin α I Х
F
=
ρg sin α I Х
I
= Х .
ρgΩ у 0 sin α Ω у 0
(2.89)
Учитывая, что
I Х = I 0 + Ω у 02 ,
(2.90)
где I 0 - момент инерции смоченной площади относительно оси проходящей через центр ее тяжести.
Тогда
I
I 0 + Ω у 02
= 0 + у0 .
уС =
Ω у0
Ω у0
(2.91)
Из формулы (2.91) следует, что центр давления (Ц.Д) всегда располагается
ниже центра тяжести (Ц.Т) фигуры на величину
I0
.
Ω у0
В случае, когда щит расположен горизонтально, его центр давления совпадает с центром тяжести.
bH 3
I0 =
;
12
а)
I0 =
б)
πD 4
64
bH 3
I0 =
36
;
в)
47
Рис.2.20. Примеры определения момента инерции для различных случаев.
2.12.4 Эпюры гидростатического давления на плоские поверхности
Первый случай. Щит вертикальный прямоугольный, жидкость находится
с левой стороны (рис. 2.21).
Построим эпюру гидростатического давления с указанием ее ординат по всей высоте щита (Р 0 = Р а ) . В любой точке гидростатическое
давление
p = ρghi ,
(2.92)
Рис. 2.21
где hi - глубина погружения соответствующей точки.
При h = 0 избыточное гидростатическое давление p = 0 . В точке А
p А = ρ gh ; в точке К
p K = ρ ghK . Отложим найденные значения p в рассмат-
риваемых точках нормально к площадке действия и соединим их вершины линией (прямая ВС ). Величина давления зависит от глубины погружения точки и
изменяется по закону прямой линии. Эпюра гидростатического давления в рассматриваемом случае будет иметь вид ΔАВС .
Равнодействующая суммарного гидростатического давления жидкости
пройдет через центр тяжести ΔАВС на расстоянии
1
h от его основания. Точка
3
приложения суммарного избыточного гидростатического давления (точка Е ) –
центр давления.
Суммарная сила гидростатического давления на вертикальный прямоугольный щит равна произведению площади эпюры на ширину щита (например, b )
48
F=
ρgh 2
2
b.
(2.93)
Расстояние от основания эпюры до центра давления называют плечом давления и обозначают через l . В данном случае
l=
1
h.
3
(2.94)
Второй случай. Наклонный прямоугольный щит, давление жидкости с од-
ной стороны (рис. 2.22)
Суммарная сила гидростатического давления F определится той же формулой, что и в
первом случае.
F=
ρghl1
2
b=
ρgh 2
b,
2 sin α
(2.95)
Рис. 2.22
где l1 - длина щита; l1 =
h
.
sin α
Плечо давления в этом случае будет
h
1
.
l = l1 =
3
3 sin α
(2.96)
Третий случай. Вертикальный прямоугольный щит, да ΔАВС вление жид-
кости с двух сторон (рис. 2.23).
Построим
эпюры
давления справа и слева
в виде ΔАВС и ΔАКВ ′ .
Суммарная сила гидростатического
давления
49
слева F1 =
ρ gh12
b , справа F2 =
2
ρ gh22
2
b.
Рис. 2.23
Равнодействующая сила гидростатического давления на щит будет равна
разности
F = F1 − F2 =
ρ gb
2
(h
2
1
− h22 ).
(2.97)
Трапеция AMNC представляет эпюру равнодействующей гидростатического давления на щит.
Найдем плечо этой силы, для чего составим уравнение моментов относительно точки A .
Fl = F1 l1 − F2 l 2 ,
(2.98)
где l , l1 , l 2 - соответствующие плечи давлений суммарных сил F , F1 , F2 .
Но мы знаем, что
l1 =
1
1
h1 ; l 2 = h2 ,
3
3
поэтому, плечо давления равнодействующей силы F на щит может быть определено из следующего выражения
ρgb
2
(h
2
1
− h )l =
2
2
ρgh12 1
b h1 −
2
3
ρgh22 1
ρgb 3
(h1 − h23 ),
b h2 =
2
3
6
(2.99)
откуда
h13 − h23
.
l=
3(h12 − h22 )
(2.100)
Ординату центра можно определить так же и графическим способом.
Четвертый случай. Наклонный прямоугольный щит, давление жидкости с
двух сторон.
50
Для данного случая суммарное гидростатическое давление определяется
аналогичным образом, как и для третьего случая с той лишь разницей, что в
указанные формулы вводят синус угла наклона щита ( F1 , F2 , F , l )
ρgh12
F1 =
b
2 sin α
и.т.д.
(2.101)
2.13 Давление жидкости на криволинейные поверхности
2.13.1 Определение равнодействующей суммарного
гидростатического давления
В расчётной практике важно уметь определять давление жидкости на
криволинейные поверхности.
Определение силы гидростатического давления на криволинейные
поверхности усложняется тем обстоятельством, что элементарные силы dF,
приложенные к элементам площади dω , имеют различные направления.
Поэтому
отыскание равнодействующей
криволинейную
поверхность
связано
гидростатического
с
геометрическим
давления
на
сложением
составляющих сил.
Рассмотрим один из примеров решения этой задачи, который заключается
в
предварительном
определении
нескольким направлениям (рис. 2.24).
составляющих
полного
давления
по
51
Рис. 2.24
Выберем оси координат. Искомую силу F гидростатического давления на
некоторую криволинейную поверхность А разложим по направлениям осей
координат на три взаимно перпендикулярные составляющие Fx , Fy , Fz .
Для отыскания силы Fx , действующей по направлению оси ОХ, заданную
криволинейную поверхность А спроектируем на плоскость проекций В,
нормальную к оси ОХ и рассмотрим равновесие жидкого тела, ограниченного с
одной стороны поверхностью А и с другой стороны – её проекцией ω x .
Составим уравнение равновесия в проекциях всех сил, приложенных к этому
телу, на ось ОХ. Силы давления окружающей жидкости на боковые
поверхности данного тела нормальны к оси ОХ и их проекции равны нулю. Так
же не войдут в уравнение равновесия нормальные к оси ОХ составляющие силы
Py , Pz и сила тяжести данного жидкого тела.
Тогда уравнение равновесия составится из проекций только двух сил
∑ x =Fx − Fx′ = 0 ,
(2.102)
52
где Fx′ – сила гидростатического давления на плоскую фигуру ω x .
Fx = Fx′ .
(2.103)
Следовательно, составляющая силы гидростатического давления на
криволинейную поверхность в направлении оси ОХ равна сила давления
жидкости на её вертикальную проекцию, нормальную к оси ОХ. Так как эта
′
проекция является плоской фигурой, то сила Fk в соответствии с ранее
полученной формулой F = pcω найдётся как произведение её площади ω x на
гидростатическое давление в её центре тяжести, т.е.
Fk = Fk ′ = ρghc xω x,
(2.104)
где hc x - глубине расположения центра тяжести площади.
Другая горизонтальная составляющая Fy определится аналогичным
образом. Для этого криволинейную поверхность следует спроектировать на
плоскости проекций ZOX и рассмотреть равновесие аналогичного жидкого тела
в проекциях всех сил на ось ОУ.
В конечном счёте получим
Fy = ρghc yω y ,
(2.105)
где ω y – площадь проекции; hc y – глубина погружения центра тяжести площади
ωy .
Для нахождения вертикальной составляющей силы
криволинейную
поверхность
спроектируем
на
Fz
плоскость
заданную
свободной
поверхности жидкости и рассмотрим равновесие жидкого тела, ограниченного
снизу рассматриваемой поверхностью А, а сверху- её проекцией ω0 . Из всех
сил, приложенных к этому телу, которое называется телом давления, на
вертикальную ось OZ спроектируется только сила Fz и сила тяжести тела
давления G. Все остальные силы нормальны к оси OZ и в уравнение равновесия
не войдут.
53
∑ z = Fz − G = 0.
(2.106)
Fz = G = ρgW ,
(2.107)
Откуда
где W- объём тела давления.
Равнодействующая сила гидростатического давления на криволинейную
поверхность найдётся по формуле
F = Fx2 + Fy2 + Fz2 .
(2.108)
Положение центра давления для криволинейных поверхностей может
быть определено либо графическим, либо аналитическим способом по
известным
законам
составляющие силы
механики.
Fx , Fy , Fz
При
этом
следует
иметь
ввиду,
что
в соответствии с условиями равновесия
приложены по линиям действия соответствующих сил Fx′ , Fy′ , G. Линии
′
′
действия горизонтальных сил Fx и Fy
приложенных к плоским фигурам,
определяется с помощью формулы:
hgx = hcx +
hgy = hcy +
I ox
,
ω x hcx
I oy
ω y hcy
,
(2.109)
(2.110)
где hgy иhgx – глубины центров давления соответственно сил; I oxиI oy –
центральные моменты инерций соответствующих плоских фигур ω xиω y
относительно горизонтальных осей.
Линия действия вертикальной составляющей Pz всегда проходит через
центр тяжести тела давления W.
54
2.13.2 Эпюры гидростатического давления
на криволинейные поверхности
Первый случай. Цилиндрическая поверхность, давление жидкости с
одной стороны – справа (рис 2.25).
Рис.2.25
1) Выберем оси координат ОУ.
2)Определим горизонтальную (спроектируем) составляющую суммарного
гидростатического
давления.
Она
равна
произведению
силы
гидростатического давления на площадь сечения, т.е.
h
h
h2
Fx = pcω = ρ ghc hb = ρ g b, hc = , т.к. hc = .
2
2
2
(2.111)
3) Плечо давления горизонтальной составляющей силы
1
l = h,
3
4)Определим
вертикальную
(2.112)
составляющую
суммарного
гидростатического давления.
Поскольку силу давления жидкости на стенку можно вычислить так же по
объёму эпюры, принимая последнюю за нагрузку, приложенную к стенке, то
запишем
55
Fy =
πR 2
4
ρgb =
πh 2
4
ρgb .
(2.113)
5) Определим равнодействующую
F = Fx 2 + Fy2 .
(2.114)
6) Найдём угол наклона линии действия силы F
sin α =
Fx
.
F
(2.115)
7) Графическим способом определим точку приложения силы F. Для
этого проводим линию по направлению Fx до пересечения с вертикальной
составляющей силой Fy , приложенной в центре тяжести тела давления. От
точки пересечения сил
Fx
и
Fy
строим параллелограмм и находим
равнодействующую силы F. Далее величину F откладываем в масштабе на
линии равнодействующей от криволинейной поверхности – точка Е, которая и
есть точка приложения равнодействующей силы – центр давления.
Второй случай. Цилиндрическая поверхность, давление жидкости слева.
Все расчёты и графическое определение центра давления производятся как и в
первом случае (вместо Fx - Fy ).
Третий и четвёртый случаи построения эпюр гидростатического
давления на криволинейные поверхности можно изучить по [ ].
2.14 Закон Архимеда
Закон Архимеда о силе, действующей на погруженное в воду тело был
сформулирован Архимедом за 250 лет до н.э. В настоящее время он звучит
следующим
образом:
на
погруженное
в
жидкость
тело
действует
выталкивающая сила, равная весу жидкости, вытесненной этим телом.
56
Рис. 2.26
Рассмотрим силы, действующие на погруженное в жидкость тело А (рис.
2.26):
1)боковые силы Fn . Так как они равны и противоположны, то их
равнодействующая равна нулю;
2)сила тяжести тела А, направленная вниз;
3)сила давления жидкости на тело А сверху – F1 ,
F1 = ρgh1Ω ;
(2.116)
4)сила давления жидкости на тело А снизу – F2 ,
F2 = ρgh2Ω ;
(2.117)
Суммарная сила давления жидкости на погруженное тело, или
выталкивающая сила, будет равна
F = F2 − F1 = ρ gΩ (h2 − h1 ) = ρ ghΩ .
(2.118)
Но т.к. Ωh – есть объём погруженного тела А, то выталкивающая сила
F = ρgW = γW =
G
⋅W = G .
W
(2.119)
Следовательно, подъёмная, или выталкивающая, сила, действующая на
погруженное в жидкость тело, равна весу жидкости, вытесненной данным
телом.
Величина выталкивающей силы не зависит от глубины погружения тела и
на различной глубине будет постоянной.
57
3 Гидродинамика
3.1 Задачи гидродинамики
Гидродинамика
изучает
закономерности
движения
жидкости
и
применение их в инженерной графике. Основные трудности изучения
движения
реального
тела
обусловлены
самой
природой
жидкости
и
сложностью учёта вязкости сил внутреннего трения и трения жидкости о
стенки канала. По предложению Л. Эйлера изучение гидродинамики начинают
с рассмотрения идеальной (совершенной), невязкой жидкости, внося затем в
найденные уравнения коррективы для учёта сил трения реальных жидкостей.
Основной задачей гидродинамики является определение величин,
характеризующих
движение
жидкости:
скорости
течения
и
гидродинамического давления. Если эти факторы зависят только от координат
рассматриваемой частицы, движение называется установившимся; если от
координат и от времени, то движение – неустановившееся.
Задачей гидродинамики является так же нахождение зависимости между
основными факторами движения, координатами и временем.
3.2 Основные понятия. Модель движения.
Направленную движущуюся массу жидкости называют потоком. Кроме
скоростей и давления, координат и времени, относящихся к отдельным
частицам, поток в целом характеризуется ещё и формой поперечного сечения.
Форма потока обычно определяется сечением канала, в котором движется
жидкость. Жидкость может заполнять всё сечение канала, или только часть
сечения. В последнем случае у потока имеется свободная поверхность и можно
говорить о глубине потока.
Движение потока, как и отдельной частицы, может быть установившимся
и неустановившимся. Примером установившегося движения является движение
воды в реках, и каналах при постоянных уровнях свободной поверхности, так
58
же движение жидкости в трубах или её истечение через отверстие при
постоянном напоре (например, холостой ход работы двигателя, бензонасос,
помпа, масляный насос). Если же в реках и каналах уровни воды с течением
времени изменяются (паводок) или движение в трубах и через отверстия
происходит при переменном напоре, то движение жидкости в этих случаях
будет.
В свою очередь установившееся движение жидкости может быть
равномерным и неравномерным.
Равномерным движением жидкости называется такое движение, при
котором её частицы, перемещаясь вдоль оси потока от одного поперечного
сечения к другому, сохраняют свою скорость постоянной по величине и по
направлению. Равномерное движение жидкости возможно только при
постоянном поперечном сечении потока по всей его длине (применение –
движение жидкости в цилиндрических трубах). Неравномерное движение
жидкости наблюдается в открытых руслах и трубах с изменяющимися
поперечными сечениями, что приводит к изменению скоростей по длине
потока.
По степени заполнения потоком поперечного сечения канала различают
напорное и безнапорное движение жидкости.
При напорном движении поток жидкости ограничен твёрдыми стенками
по всему периметру поперечного сечения, например, в водопроводных трубах.
При безнапорном движении поток жидкости ограничен твёрдыми
стенками только по части периметра поперечного сечения. Движение в этом
случае происходит только под влиянием сил тяжести, вследствие текучести
жидкости. Напорное же движение осуществляется под влиянием сил тяжести и
разности давлений в начале и в конце трубопровода.
Во многих случаях для удобства и упрощения теоретических расчётов
движения жидкости реальный поток мысленно считается состоящим из
бесконечного
числа
элементарных
струек.
Это
позволяет
результаты
59
исследований, приведённых для элементарной струйки, распространить с
соответствующими поправками на весь поток жидкости.
Принимая для исследований струйчатую модель реального потока,
считают, что все частицы жидкости перемещаются в потоке по так называемым
линиям тока (рис. 3.1)
Рис.3.1
Линией тока называется кривая S-S, проведённая в жидкости по
направлению её движется таким образом, что векторы скоростей U1 ,U 2 ,U 3 в
каждой её точке направлены к этой кривой.
Построим вокруг точки А (рис 3.1) замкнутый элементарный контур,
образующий элементарную площадку dω . Если через все точки этого контура
провести линии тока, то получим так называемую трубку тока, которая и
образует элементарную струйку движущейся жидкости.
Рис.3.2
Так как в реальном потоке жидкость перемещается как единое
физическое тело и в действительности трубок тока не существует, то и
свойства, которыми наделяется элементарная струйка, являются условными.
В установившемся движении элементарная струйка имеет следующие
свойства:
1. Форма элементарной струйки постоянна и не изменяется с течением
времени, поскольку рассматривается установившееся движение.
60
2. Частицы жидкости не могут переходить из одной струйки в другую,
т.к. струйки ограничены линиями тока, которые векторы скорости не
пересекают, а являются касательными к ним.
3. Скорости во всех точках какого-либо поперечного сечения, ввиду его
малости, одинаковы.
Основными гидравлическими элементами движения потока жидкости
являются скорость, живое сечение и расход.
Скорость движения жидкости в какой-либо точке поперечного сечения
потока в дальнейшем будем обозначать через u. Для реальных потоков эта
скорость является величиной переменной, зависящей от местоположения точки
в рассматриваемом поперечном сечении потока.
Живым сечением потока называется поверхность поперечного сечения,
нормальная к местному значению вектора скорости u в каждой своей точке.
Для потока жидкости живое сечение ω сложится из суммы живых
сечений элементарных струек.
ω = ∫ dω .
(3.1)
ω
Кроме
площади
ω
характеристиками
живого
сечения
являются
смоченный периметр f, представляющий длину контура живого сечения, по
которому жидкость соприкасается с неподвижными твёрдыми стенками и
гидравлический радиус R, который есть отношение площади живого сечения ω
к смоченному периметру f.
πR 2
R= =
.
f 2πR
ω
(3.2)
Гидравлический радиус характеризует форму живого сечения и может
быть разным при одинаковых значениях ω . Для круглого живого сечения
гидравлический радиус численно равен половине геометрического радиуса.
Расходом называется количество жидкости, проходящей через данное
живое сечение в единицу времени.
61
Полный расход потока жидкости составится из суммы расходов
элементарных струек, взятых в пределах данного живого сечения потока
Q = ∫ udω.
(3.3)
ω
Для большинства реальных потоков не всегда удаётся математически
установить закон распределения местных скоростей в поперечном сечении
потока и проинтегрировать уравнение (3.3). Поэтому для решения данной
задачи прибегают к понятию о средней скорости потока.
Средней скоростью потока V называется такая условная скорость,
произведение которой на площадь поперечного сечения потока равно его
расходу
Q = ωV .
(3.4)
Следовательно, средняя скорость реального потока в каком-либо его
сечении может быть определена из соотношения.
V=
Q
ω
=
∫ udω
ω
ω
.
(3.5)
3.3 Уравнения неразрывности
для элементарной струйки и потока жидкости
Рассмотрим движение жидкости в элементарной струйке между двумя
произвольно взятыми сечениями 1-1 и 2-2 (рис. 3.3)
За
отрезок
рассматриваемый
времени
отсек
Δt
струйки
в
через
сечение 1-1 войдёт некоторое количество
жидкости, равное
Рис. 3.3
dW = u1 dω1 Δt .
(3.6)
Принятые ранее условия, что движение капельной жидкости происходит
без пустот и разрывов сплошной массой, а частицы жидкости не могут
62
переходить из одной струйки в другую позволяют заключить, что за
время Δt через сечение 2-2 должно выйти точно такое же количество жидкости
dW = u 2 dω 2 Δt .
(3.7)
Приравняв правые части уравнений (3.6) и (3.7), получим
u1 dω1 = u 2 dω 2 .
(3.8)
Полученное уравнение (3.8) является уравнением неразрывности для
элементарной струйки, т.е. через все сечения элементарной струйки в единицу
времени
протекает
одинаковое
количество
жидкости,
равное
расходу
элементарной струйки.
Уравнение неразрывности для потока может быть получено в результате
интегрирования уравнения неразрывности для элементарной струйки (3.8),
после которого запишем:
Q1 = ∫ u1 dω1 = Q2 = ∫ u 2 dω 2 .
ω1
(3.9)
ω2
Т.к. правая и левая части уравнения (3.9) согласно зависимости (3.3)
выражают расходы в соответствующих сечениях потока, то согласно
зависимости (3.4) запишем равенство
ω1V1 = ω 2V2 ,
(3.10)
выражающее уравнение неразрывности для потока. Уравнение неразрывности
является математической записью закона сохранения массы применительно к
движению жидкости постоянной плотности.
3.4 Уравнение Бернулли для элементарной струйки
идеальной несжимаемой жидкости
Рассмотрим установившееся течение идеальной жидкости, находящейся
под воздействием только одной массовой силы – силы тяжести, и выведем для
этого случая основное уравнение, связывающее между собой давление в жидкость и скорость её движения. Впервые эту задачу решал Даниил Бернулли в
своём знаменитом сочинении «Гидродинамика» в 1738 году. Однако классиче-
63
скую форму, в которой основная закономерность движения жидкости известна
ныне как уравнение Бернулли, придал этому закону Л. Эйлер в 1755 г.
Возьмём одну из струек, составляющих поток, и выделим сечениями 1-1
и 2-2 участок этой струйки произвольной длины.
Рис.3.4
Пусть площадь первого сечения dΩ1, скорость в нём u1, давление р1, а высота расположения центра тяжести сечения относительно произвольно взятой
горизонтальной площади – z1. Во втором сечении соответственно dΩ2, u2, p2 и
z2. За бесконечно малый промежуток времени, выделенный нами участок
струйки, переместится в положение 1’ – 2’ (1-2 →1’-2’). Применим к этому участку струйки теорему механики о том, что работа сил, приложенных к телу,
равна приращению кинетической энергии этого тела. Такими силами в данном
случае являются силы давления и сила тяжести
dAд+dAт= dЭк .
(3.11)
Подсчитаем работу сил и изменение кинетической энергии участка
струйки за время dt.
1. Работа силы давления сложится из суммы работ сил давления в 1 и 2 сечениях, которые в свою очередь выразятся как произведения силы рdΩ на путь udt.В
первом сечении направление сил положительно (+), во втором – отрицательно
(–), следовательно:
64
dAд = р1 u1 dΩ1 dt – р2 u2 dΩ2 dt.
(3.12)
2. Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии положения
участка струйки. Поэтому из энергии положения жидкости в объёме 1-2 вычтем
энергию положения жидкости в объёме 1’-2’. При этом энергия положения
промежуточного объема 1’-2 сократится и согласно уравнению неразрывности
видно, что объёмы, а, следовательно, и вес отрезков 1-1’ и 2-2’ равны между
собой, то есть
dG1 = dG2 = dG = γ u1 dΩ1 dt = γ u2 dΩ2 dt.
(3.13)
Поэтому работа сил тяжести будет равна произведению разности высот
на вес жидкости
dAт = (z1 – z2)dG.
(3.14)
3. Приращение кинетической энергии рассматриваемого участка струйки найдём как разность кинетической энергии объёма 1’-2’ и 1-2.
dЭк = (u22 – u12)
dG
.
2g
(3.15)
Сложим уравнения (3.12) и (3.14) и приравняем к уравнению (3.15):
p1 u1 dΩ1 dt – p2 u2 dΩ2 dt + (z1 – z2)dG = (u22 – u12)
dG
.
2g
(3.16)
Разделим это уравнение на вес dG и после соответствующих сокращений
получим:
u 22 u12
−
+ z1 − z 2 =
−
.
γ
γ
2g 2g
p1
p2
(3.17)
Сгруппируем в левую и правую части уравнения члены, относящиеся к 1
и 2 сечениям:
u12
p1
u 22
p
+
+ z1 =
+ 2 + z2 .
2g γ
2g γ
(3.18)
Полученное уравнение называется уравнением Бернулли для струйки
идеальной несжимаемой жидкости.
Составляющие уравнения имеют линейную размерность и называются:
65
z – нивелирная высота или геометрический напор;
p
γ
- пьезометрическая высота
u2
или пьезометрическим напор;
- скоростная высота или скоростной напор;
2g
p
u2
z + - статическая высота (напор). Трёхчлен вида
+ + z = H называется
γ
2g γ
полным напором.
p
Так как сечения 1 и 2, для которых мы получили уравнение Бернулли,
были взяты произвольно, то и для любого другого сечения этой струйки полный напор будет величиной равной и постоянной, то есть:
u2 p
+ + z = H = const .
2g γ
(3.19)
Итак, для идеальной движущейся жидкости сумма трёх высот: нивелирной, пьезометрической и скоростной есть величина постоянная вдоль струйки.
Из уравнения Бернулли и уравнения расхода следует, что если площадь
поперечного сечения струйки уменьшается, то есть струйка сужается, то скорость движения жидкости увеличивается, а давление уменьшается, и, наоборот,
если струйка расширяется, то скорость уменьшается, а давление увеличивается.
Рассмотрим энергетический смысл уравнения Бернулли. Условимся называть удельной энергией жидкости энергию, отнесённую к единице веса, то
есть:
Е = Э/G = Дж/Н = м.
(3.20)
Удельная энергия имеет линейную размерность, так же как и члены уравнения Бернулли. Нетрудно доказать, что члены этого уравнения являются различными формами удельной механической энергии жидкости, а именно:
z – удельная энергия положения, так как частица жидкости весом ΔG, находясь на высоте z, обладает энергией положения, равной ΔG·z, а на единицу
веса приходится энергия z =
ΔG ⋅ z
;
ΔG
66
р
γ
– удельная энергия движущейся жидкости, так как частица жидкости
весом ΔG при давлении р имеет способность подняться на высоту
мым приобретает энергию положения
р
γ
р
γ
р
γ
и тем са-
ΔG. После деления на ΔG получаем
.
u2
z + – удельная потенциальная энергия жидкости;
– удельная кине2g
γ
р
p
u2
+ + z = H – полная удельная энергия движутическая энергия жидкости;
2g γ
щейся жидкости.
Таким образом, энергетический смысл уравнения Бернулли для элемен-
тарной струйки идеальной жидкости заключается в постоянстве вдоль струйки
полной удельной энергии жидкости.
3.5 Формы механической энергии. Преобразование энергии
Уравнение Бернулли выражает собой закон сохранения энергии в идеальной жидкости.
В свою очередь механическая энергия может иметь 3 формы:
1) энергия положения;
2) энергия давления;
3) кинетическая энергия.
Первая и третья формы энергии известны из механики, они в равной степени свойственны жидким и твёрдым телам. Вторая форма энергии является
специфической для движущейся жидкости. В процессе движения одна форма
преобразовывается в другую, однако полная энергия при этом, как следует из
уравнения Бернулли остаётся неизменной.
Энергию давления легко преобразовать в механическую работу. Простейшим устройством для этого является цилиндр с поршнем.
67
Покажем, что при преобразовании энергии давления в механическую работу каждая единица веса жидкости совершает работу, численно равную пьезометрической высоте.
Пусть Ω – площадь поршня, L – его ход, избыточное давление жидкости, подводимое к левой
полости цилиндра р, избыточное давление по другую сторону поршня равно нулю. Тогда суммарная
сила давления жидкости при перемещении поршня
Рис.3.5
будет равна
F = pΩ,
(3.21)
А = рΩL .
(3.22)
а работа этой силы
Вес жидкости, которую нужно подвести к цилиндру для совершения этой
работы, равен весу жидкости в объёме цилиндра
G = ΩLγ.
(3.23)
Следовательно, работа, приходящаяся на 1Н веса равна:
A pΩL p
= ,
=
E=
G ΩLγ γ
(3.24)
что и требовалось доказать.
3.6 Уравнение Бернулли для элементарной струйки вязкой жидкости
При движении вязкой жидкости вдоль твёрдой стенки происходит торможение потока вследствие влияния его вязкости и действия сил молекулярного сцепления между жидкостью и твёрдой
стенкой. Поэтому наибольшей величины скорость достигает в центральной части потока, а
по мере приближения к стенке скорость
уменьшается практически до нуля (рис. 3.6).
При таком движении по поверхности со-
Рис.3.6
68
прикосновения элементарных струек, движущихся с различными скоростями,
возникают силы внутреннего трения, препятствующие движению жидкости.
Поэтому вязкая жидкость будет затрачивать часть своей энергии на преодоление сил внутреннего трения, возникающих при относительном перемещении
элементарных струек. Рассмотрим движение элементарной струйки вязкой
жидкости (рис.3.7).
Рис. 3.7
1 – пьезометр; 2 – скоростная трубка (трубка Пито); П-П – пьезометрическая линия; Н-Н – напорная линия; Hg1-Hg2 – линия гидродинамического напора; О-О – плоскость сравнения;
Пьезометр измеряет пьезометрический напор, который является мерой
потенциальной энергии жидкости, он равен:
HP = z +
p
γ
.
(3.25)
Движущаяся жидкость, кроме потенциальной энергии обладает ещё и кинетической. Удельную кинетическую энергию можно измерить, если в данной
точке жидкость остановить. Тогда кинетическая энергия перейдёт в потенци-
69
альную и может быть измерена пьезометром. С этой целью в данной точке одновременно с пьезометром устанавливается трубка Пито. В ней жидкость поднимается на некоторую высоту, большую, чем в пьезометрической трубке, соответствующую удельной кинетической энергии, т.е. u2/2g.
Мы ранее отмечали, что часть энергии вязкой жидкости будет затрачена
на преодоление сил внутреннего трения между струйками. Она перейдёт в тепловую энергию, и для жидкости будет безвозвратно теряться.
В результате этого, величина удельной энергии жидкости в сечении 2-2
окажется меньше величины удельной энергии в сечении 1-1, т.е. Е1 >Е2.
Значит, на участке движения жидкости от сечения 1-1 до сечения 2-2 потеря удельной энергии составляет величину:
h' w = E1 − E 2
.
(3.26)
Перепишем в следующем виде:
E1 = E 2 + h' w .
(3.27)
Поскольку полная удельная энергия движущейся жидкости равна гидродинамическому (полному) напору в данном сечении, то запишем:
p 2 u 22
u12
+
= z2 +
+
+ h' w .
z1 +
γ 2g
γ 2g
p1
(3.28)
Это есть уравнение Бернулли для элементарной струйки вязкой жидкости.
Геометрически удельные энергии в сечениях 1-1 и 2-2 представлены на
рис.3.7 гидродинамическими напорами Hg1 и Hg2 .
Гидродинамические напоры определяются геометрической суммой высот: геометрической, пьезометрической, скоростной.
Так как движение вязкой жидкости происходит с уменьшением её энергии, то и гидродинамические напоры по мере движения будут постепенно убывать. Потеря энергии на участке движения жидкости будет равна разности гидродинамических напоров в рассматриваемых сечениях
70
h'W = Hg1 − Hg 2 .
(3.29)
Потеря напора является линейной величиной и измеряется обычно в метрах.
3.7 Уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости
Для получения уравнения Бернулли необходимо просуммировать энергию всех элементарных струек жидкости и потери энергии при её движении.
Обозначим через Э1 и Э2 полные энергии потока в двух произвольно взятых сечениях 1-1 и 2-2. Тогда баланс энергий для взятой жидкости выразится
уравнением:
Э1=Э2+ Э w ,
(3.30)
где Э w – полная энергия, потерянная жидкостью при движении на рассматриваемом участке.
Запишем баланс средних удельных энергий потока. Для этого поделим
уравнение (3.30) на весовой расход потока
γQ . Получим:
E1cp = E2cp + hw ,
(3.31)
где hw – средняя потеря удельной энергии потока жидкости между сечениями
1-1 и 2-2, равная
hw =
Эw
γQ .
(3.32)
Данная зависимость является уравнением Бернулли для потока вязкой
жидкости в первичном виде. Для получения уравнения в развёрнутом виде необходимо раскрыть выражения средних удельных энергий, каждое из которых
сложится из средней потенциальной E Рcp и средней кинетической E Kcp энергии потока.
Поскольку для параллельно-струйных потоков величина удельной потенциальной энергии является постоянной во всех точках поперечного сечения по-
71
тока жидкости, то средняя потенциальная энергия в каком-либо сечении может
быть определена как сумма удельной энергии давления и удельной энергии положения, т.е.:
E Pcp =
р
γ
+ z.
(3.33)
Для определения среднего значения удельной кинетической энергии сначала найдём кинетическую энергию для всего потока жидкости в данном сечении. Полную кинетическую энергию найдём интегрированием энергий по всем
элементарным струйкам в пределах данного сечения, перед этим умножим
удельную кинетическую энергию струйки на элементарный весовой расход
γudω = ρgudω
ρ
u2
ЭК = ∫
⋅ ρ gdω = Э К = ∫ u 3 dω .
2ω
ω 2g
(3.34)
Поскольку распределение скорости по живому сечению определить довольно сложно, найдём кинетическую энергию потока через условную кинетическую энергию Э К/ , вычисляемую по средней скорости
2
2
ρQV
ρωV
,
=
Э К/ =
2
2
где
(3.35)
ρQ - расход потока по массе жидкости.
Кинетическая энергия, подсчитанная по средней скорости, всегда меньше
фактической кинетической энергии.
Отношение действительной кинетической энергии к кинетической энергии, подсчитанной по средней скорости обозначим через α .
α=
ЭК
Э К/
.
Тогда фактическая кинетическая энергия выразится зависимостью:
(3.36)
72
ЭК = α
⋅ Э К/
=
αρ QV 2
2
.
(3.37)
Поделив кинетическую энергию на весовой расход потока, найдём среднюю кинетическую энергию потока
E Kcp
ЭК
αV 2
=
=
.
ρgQ 2 g
(3.38)
Тогда средняя удельная энергия потока в каком-либо сечении будет равна:
Е ср = Е Кср + Е Рср =
αV 2
2g
+
p
γ
+ z.
(3.39)
Подставляя (3.39) в уравнение (3.31), окончательно получим уравнение
Бернулли для потока вязкой жидкости
α 1V1 2
2g
где
α1 и α 2
+
p1
γ
+ z1 =
α 2V2 2
2g
+
p2
γ
+ z 2 + hw ,
(3.40)
- коэффициенты кинетической энергии (Кориолиса), выражающие
отношение действительной кинетической энергии потока к кинетической энергии, вычисленной в предположении, что скорости во всех точках живого сечения равны средней скорости потока (или характеризующие неравномерность
распределения скоростей в соответствующих поперечных сечениях потока).
При практическом применении уравнения Бернулли (3.40) следует иметь
в виду, что оно приемлемо только для параллельно-струйных потоков и потоков с плавно изменяющимся движением жидкости. Значения геометрических
высот и давлений, входящих в это уравнение для напорных потоков принято
брать по точкам, лежащим на оси потока.
Значения поправочных коэффициентов α в общем случае могут изменяться в пределах от
α = 1, для абсолютно невязких жидкостей до α = 2, для
потоков, движущихся в ламинарном режиме. В практических расчётах при тур-
73
булентном режиме движения жидкости обычно принимают
тех случаях, когда величина
нимать
p
γ
>>
α =1.05 … 1.10 . В
V2
без особых потерь точности можно при2g
α =1.
3.8 Уклоны: геометрический, пьезометрический и гидравлический
Геометрическим уклоном называется
падение геометрической линии струйки
или потока жидкости на единицу длины.
Для элементарной струйки, показано на
рис. 3.8, на участке длиной l между сечениями 1-1 и 2-2 полное падение геометрической линии S-S равно разности геометрических высот Δ z = z1 − z 2 .
Средний геометрический уклон на
Рис. 3.8
этом участке равен
iср =
z1 − z 2
.
l
(3.41)
В случае, когда геометрическая линия криволинейна
i=
dz
dl .
(3.42)
За геометрическую линию напорных потоков (в трубах) обычно принимается их осевая линия.
Пьезометрическим уклоном называется падение пьезометрической линии
П-П на единицу длины струйки или потока жидкости.
74
I Pcp =
H p1 − H p 2
l
⎞
⎛ р1
⎞ ⎛р
⎜⎜ + z1 ⎟⎟ − ⎜⎜ 2 + z 2 ⎟⎟
γ
⎠
⎠ ⎝ γ
=⎝
.
l
(3.43)
При криволинейной пьезометрической линии
Iр =
dH p
l
.
(3.44)
Гидравлическим уклоном называется падение напорной линии Н-Н на
единицу длины струйки или потока жидкости
I ср =
Hg1 − Hg 2
.
l
(3.45)
Так как, Hg1 − Hg 2 = hw , то гидравлический уклон выражает так же потерю
напора на единицу длины струйки или потока жидкости.
hw
l .
(3.46)
dhw
dl .
(3.47)
I ср =
При криволинейной напорной линии
I=
Следует отметить, что геометрический и пьезометрический уклоны в различных случаях могут быть и положительными и отрицательными. Гидравлический уклон всегда положителен.
3.9 Основное уравнение равномерного движения жидкости
Формула Шези
Равномерное движение жидкости мы можем наблюдать во многих случаях жизни. Это может быть установившееся движение жидкости в каналах, водопроводных трубах и т.п. Условием равномерного движения является постоянство живого сечения, скорости течения и глубины по длине по длине потока.
75
Для вывода основного уравнения движения жидкости необходимо рассмотреть часть потока, ограниченного сечениями 1 – 1 и 2 – 2 и составить
уравнение баланса сил, спроектированных на ось движения потока
Р1 – Р2 + G sin α – Tтр = 0 .
(3.48)
Здесь Р1 = р1ω и Р2 = р2ω – суммарные силы гидростатического давления в соответствующих сечениях; G –
сила тяжести части потока в объёме W =
ωl
G = ρ·g·ω·l,
(3.49)
α – угол наклона оси потока;
Рис.3.9
sin α =
z1 − z 2
.
l
(3.50)
Ттр – суммарная сила трения потока о стенки
Ттр = τ0 S = τ0 f l ,
где
(3.51)
τ0· – касательные напряжения между жидкостью и стенкой трубы;
f – смоченный периметр; l – длина участка трубы, ограниченного сечениями 11 и 2-2.
Если подставить соответствующие значения суммарных сил давления, а также
(3.49), (3.50) в уравнение (3.48) и поделить на ρgω, то получим
τ fl
p1 p 2
−
+ z1 − z 2 = 0 .
ρg ρg
ρg ω
(3.52)
Перегруппируем составляющие уравнения (3.53)
(
τ fl
р1
p
+ z1 ) − ( 2 + z 2 ) = 0 .
ρg
ρg
ρgω
(3.54)
Левая часть уравнения (3.54) в условиях равномерного движения выражает потерю напора на рассматриваемом участке движения жидкости, тогда
76
hw =
τ 0 fl
,
ρgω
или
τ 0 ω hw
= ⋅
.
ρg f l
Поскольку
ω
f
= R (гидравлический радиус), а
(3.55)
hw
= I (гидравлический
l
уклон), окончательно получим
τ0
= RI .
ρg
(3.56)
Зависимость (3.56) есть основное уравнение равномерного движения
жидкости, которое показывает, что касательные напряжения, отнесённые к
удельному весу жидкости, равны произведению гидравлического радиуса на
гидравлический уклон.
Из уравнения (3.56) можно вывести формулу Шези для определения
средней скорости потока.
Многочисленными опытами подтверждается, что при развитом турбулентном движении жидкости, отношение
τ0
пропорционально средней скороγ
сти потока, то есть
τ0
= bv 2 ,
γ
(3.57)
где b – коэффициент пропорциональности, тогда
RI = bv2.
или средняя скорость равна
(3.58)
77
V =
Обозначим
RI
=
b
1
RI .
b
(3.59)
1
= C , тогда
b
V = C RI .
(3.60)
Формулу (3.60) называют формулой Шези для определения средней скорости потока. Для определения расхода жидкости используют формулу Шези в
следующем виде
Q = ωC RI ,
(3.61)
где С – скоростной множитель или коэффициент Шези. Он может быть определён по формуле академика Н.Н. Павловского или по формуле Базена.
3.10 Два режима движения вязкой жидкости
В 1880 г. Д.И. Менделеев в работе «О сопротивлении жидкости и воздухоплавании» впервые высказал предположение о существовании двух, совершенно различных по структуре потока режимов движения жидкости. Спустя
три года английский учёный Осборн Рейнольдс открыл оба эти режима экспериментальным путём.
Выяснилось, что при малых скоростях течения частицы движутся только
вдоль оси потока параллельными траекториями, то есть поток как бы состоит
из отдельных слоёв. Такой режим движения получил название ламинарного.
При более высоких скоростях течения наряду с основным поступательным
движением по некоему среднему направлению наблюдаются незакономерные
поперечные и вращательные перемещения отдельных объёмов жидкости.
78
Этот режим движения жидкости получил название турбулентного. Визуально, указанные режимы течения жидкости можно наблюдать на приборе Рейнольдса.
1 – бак с исследуемой жидкостью; 2 – трубка; 3 –
кран; 4 – измерительный
сосуд; 5 – бак с однотипной
жидкостью другого цвета.
Жидкость в баке 5 подкрашивается лёгким красителем, чтобы не было различия в удельном весе, вязкости и других свойствах.
Рис.3.10
При малых скоростях движения подкрашенная жидкость будет перемещаться в виде отдельной струйки. Если к трубке 2 подвести несколько наконечников, то подкрашенная жидкость будет перемещаться несколькими параллельными подкрашенными струйками. При дальнейшем увеличении средней
скорости потока до определённой критической скорости будет так же наблюдаться ламинарный режим движения жидкости. Далее ламинарный режим нарушается и сменяется турбулентным режимом движения (струйка колеблется,
затем активнее перемешивается). При дальнейшем увеличении скорости течения интенсивность перемешивания увеличивается.
Если же опыт произвести в обратном порядке, то есть идти от больших
скоростей к меньшим, то турбулентный режим в определённое время сменится
ламинарным. Однако этот переход произойдёт при заметно меньшем значении
критической скорости, чем переход от ламинарного режима к турбулентному.
Таким образом, здесь отмечаются две критические скорости:
Vвк- верхняя критическая (переход ламинарного режима в турбулентный);
79
Vнк - нижняя критическая (переход турбулентного режима в ламинарный).
В диапазоне от Vвк к Vнк возможен и тот, и другой режимы, однако ламинарный режим движения в этой зоне очень неустойчив. Достаточно малейшего
возмущения потока, чтобы произошёл преждевременный срыв ламинарного
режима с последующим переходом в турбулентный. С другой стороны, при
очень тщательно поставленных опытах иногда удаётся сохранить ламинарный
режим при скорости, превышающей обычные значения Vвк. В результате исследований установлено, что режим движения зависит от средней скорости потока
V, динамического коэффициента вязкости жидкости μ, её плотности ρ и поперечного размера потока.
Для характеристики режима движения жидкости в круглой трубе Рейнольдс предложил безразмерный параметр, который в последствии получил его
имя – число Рейнольдса.
Rе =
vdρ
μ
=
vd
ν
⋅
(3.62)
Многочисленными опытными исследованиями так же установлено, что
нижней критической скорости для всех жидкостей соответствует число Рейнольдса
Rе кр = 2320 (для труб);
Rе кр = 580 (для открытых русел).
Поэтому для аналитического определения режима движения потока достаточно
подсчитать Rе кр. Если Rе > Rе кр, то режим движения – турбулентный; если
Rе < Rе кр – ламинарный.
Важнейшим результатом открытия ламинарного и турбулентного режимов движения жидкости явилось установление положения о том, что характер
движения оказывает существенное влияние на формирование потерь напора.
Установлено, что удельная сила трения τ0 и потери напора hw при ламинарном
режиме пропорциональны средней скорости в первой степени, а при турбу-
80
лентном – в степени n. При этом показатель n в области устойчивых турбулентных режимов равен 2, следовательно
τ0 = bV2,
(3.63)
hw = BV2,
(3.64)
где b и B – коэффициенты пропорциональности.
В области турбулентного режима, близко прилегающего к ламинарному,
1< n <2.
3.10.1 Ламинарный режим движения жидкости в трубах
Жидкость, движущуюся по трубе в ламинарном режиме, можно представить состоящей из концентрических слоёв, перемещающихся относительно
друг друга вдоль трубы. Первый слой, состоящий из частиц жидкости, прилипших к стенкам трубы, не участвует в движении. Для этого слоя скорость u = 0.
Второй концентрический слой с небольшой скоростью перемещается вдоль
трубы и скользит по первому слою. Третий слой, обладая более высокой скоростью, скользит по второму слою и т. д. Очевидно, что последний слой жидкости, находящийся на оси трубы, будет перемещаться с наибольшей скоростью.
Вследствие относительного перемещения, между каждой парой соседних
слоёв возникают силы трения – силы гидравлического сопротивления, препятствующие движению жидкости.
Рис.3.11
Применим основное уравнение равномерного движения к движущемуся
цилиндру жидкости с произвольным радиусом h и длиной l
81
τ
= RI ,
γ
(3.65)
где τ – касательное напряжение.
Гидравлический радиус в данном случае
π h2 h
R=
=
2π h 2 .
(3.66)
Решая уравнение (3.65), относительно τ, и подставив в него уравнение
(3.66), получим
1
2
τ = γ Ih.
(3.67)
Следовательно, касательные напряжения в какой-либо точке поперечного
сечения пропорциональны её расстоянию от оси трубы. На оси трубы, где h = 0
и τ = 0. Участок трубы, где h = r, касательные напряжения принимают максимальное значение и равны τ0 (рис.3.11).
Выразим в уравнении (3.67) касательные напряжения τ в соответствии с
законом Ньютона
−μ
du 1
= γ Ih.
dh 2
(3.68)
Знак «–» указывает, что положительному приращению радиуса соответствует отрицательное приращение скорости (рис.3.11).
Решим уравнение (3.68) относительно du и проинтегрируем
u=−
γI 2
h +С.
4μ
(3.69)
Постоянную интегрирования получим из условий движения жидкости у
стенки трубы при h = r, u = 0
82
С=
γIr02
4μ
.
(3.70)
γI 2 γI 2
h +
r0
4μ
4μ .
(3.71)
Тогда, уравнение (3.69) примет вид
u=−
Следовательно, при ламинарном режиме движения жидкости, скорости в
различных точках поперечного сечения потока изменяются по закону параболы. У стенок трубы, при h = r: u = 0; на оси потока, при h = 0: u = max, т.е. скорость достигает максимального значения и равна
u max
γ I r02
=
4μ
(3.72)
Среднюю скорость движения жидкости найдём как частное от деления
полного расхода потока Q на площадь поперечного сечения потока (конечная
формула)
γ I r02
u= =
ω
8μ
Q
,
(3.73)
то есть средняя скорость оказалась равна половине максимальной скорости.
Определим потерю напора hw при движении жидкости в пределах рассматриваемого участка трубы. Для этого в уравнении (3.73) заменим гидростатический уклон I на
hw
и решим это уравнение относительно hw
l
hw =
8μ lV
γ r02 .
(3.74)
Из формулы (3.74) видно, что потери напора при ламинарном режиме
движения жидкости прямо пропорциональны средней скорости потока.
Формулу (3.74) в результате преобразований можно привести к универсальному виду
83
64 l V 2
hw =
⋅ ⋅
Re d 2 g
(3.75)
Обозначив λ = 64/Rе, окончательно получим известную в гидравлике формулу Дарси
l V2
hw = λ ⋅
d 2g
(3.76)
где λ – коэффициент сопротивления трения, зависящий при ламинарном режиме только от числа Рейнольдса и совершенно не зависящий от шероховатости
стенок трубы.
Необходимо отметить, что величина λ для ламинарного потока весьма
чётко реагирует на искажения живого сечения цилиндрической трубы (сплющивание, вмятины и т. д.)
Опыт эксплуатации реальных жёстких трубопроводов показывает, что в
них
λ=
75
,
Re
(3.77)
λ=
108
.
Re
(3.78)
а в резиновых шлангах
3.10.2 Турбулентный режим движения жидкости
При турбулентном режиме структура потока жидкости несколько иная,
чем при ламинарном. Турбулентность является одним из сложнейших гидравлических явлений. При турбулентном движении скорости отдельных частиц
жидкости, в отдельных точках пространства занятого жидкостью всё время меняются по величине и направлению. Это изменение скоростей в данной точке
пространства, занятого жидкостью, называется пульсацией скоростей.
84
Несмотря на кажущуюся беспорядочность изменения скоростей при турбулентном режиме, оказывается, что мгновенные скорости u в данной точке
пространства колеблются около некоторой постоянной величины, называемой
осреднённой скоростью uср.
Мгновенное значение вектора скорости в
точке можно представить как сумму осреднённой скорости и переменной по направлению и
во времени пульсационной составляющей u’
u = u ср + u ' .
Рис.3.12
(3.79)
Из рис.3.12 видно, что осреднённая скорость направлена вдоль оси потока. Пульсационная составляющая может иметь любое направление. В пропорциях на координатные оси она равна
u ' = u x' + u 'y + u z'
.
(3.80)
Если с помощью специального датчика записать величину пульсационной составляющей по какому-либо направлению, то зависимость пульсации
скорости от времени будет иметь вид, характерный для случайных процессов.
Средняя величина пульсаций за достаточно большой промежуток времени равна нулю.
Рис.3.13
85
Исследованиями установлены три характерные области поперечного сечения турбулентного потока.
Рис.3.14
Непосредственно у поверхности трубы находится весьма тонкий слой,
называемый ламинарной плёнкой, где движение жидкости происходит в ламинарном режиме. Его толщина δпл измеряется в долях мм. Второй, также сравнительно тонкий слой является переходной зоной от ламинарного к турбулентному движению жидкости. Ламинарная плёнка и переходный подслой составляют
вместе пограничный слой, непосредственно граничащий со стенками трубы или
какого-либо русла. Всю остальную площадь поперечного сечения трубы занимает ядро потока, движущееся в турбулентном режиме.
Для выяснения закономерностей изменения скоростей и сил трения по
сечению потока при турбулентном режиме, рассмотрим понятие о шероховатости стенок, ограждающих поток.
Шероховатость является одной из причин появление дополнительных
гидравлических сопротивлений и потерь энергии при движении потока. Для
оценки выступов шероховатости в гидравлике введено понятие абсолютной
шероховатости Δ.
а)
б)
Рис.3.15
86
Если ламинарный подслой покрывает выступы шероховатости, то труба
считается гидравлически гладкой (рис.3.15а), и наоборот, если выступы шероховатости больше, чем толщина ламинарного подслоя, труба называется гидравлически шероховатой (рис.3.15б).
Отношение абсолютной шероховатости Δ к радиусу трубы r называется
относительной шероховатостью ε
ε=
Δ
.
r
(3.81)
3.10.3 Силы трения и закон распределения скоростей
при турбулентном режиме
За счёт активного перемещения жидкость при турбулентном режиме её
движения появляются дополнительные потери энергии и возникают дополнительные касательные напряжения (это связано с беспорядочным движением
частиц).
При рассмотрении ламинарного режима движения жидкости касательные
напряжения мы определяли, используя закон трения Ньютона.
При турбулентном движении ввиду отсутствия слоистости потока этот
закон не применим. Здесь мы используем следующее уравнение
⎛ du ср
du
+ ρ l 2 ⎜⎜
τ =μ
dy
⎝ dy
2
⎞
⎟ ,
⎟
⎠
(3.82)
где l – условный коэффициент, имеющий линейную размерность и названный
Прандтлем «длиной пути перемешивания». По гипотезе Прандтля величина l
прямо пропорциональна удалению от стенок канала
l =ky,
(3.83)
где y = r – h (рис.3.14); k – коэффициент пропорциональности, называемый
универсальной постоянной. По данным Г.А. Гуржиенко k = 0.4. Следовательно,
l=0.435y.
87
Первый член уравнения (3.81) μ
du
характеризует вязкое трение, которое
dy
соответствует силе трения в ламинарном режиме. Второй член этого уравнения
⎛ du ср
ρ l ⎜⎜
⎝ dy
2
2
⎞
⎟ выражает дополнительные касательные напряжения от пульсаций
⎟
⎠
и с увеличением числа Рейнольдса оказывает наибольшее влияние на величину
касательных напряжений.
Для развитого турбулентного режима (то есть при больших значениях Re)
первый член уравнения по сравнению со вторым является очень малой величиной. Это связано с тем, что в пограничном слое участвует очень малая масса
жидкости то есть толщина пограничного слоя очень сильно уменьшается. Поэтому им можно пренебречь.
Тогда уравнение (3.81) будет иметь вид
⎛ du ср
τ = ρ l ⎜⎜
⎝ dy
или
Комплекс
2
⎞
⎟⎟ ,
⎠
(3.84)
du cр
τ
=l
.
ρ
dy
(3.85)
2
τ
имеет размерность скорости, и получил название «динаρ
мическая скорость» uд.
uд =
τ0
.
ρ
(3.86)
Подставим (3.82) и (3.85) в уравнение (3.84) и перепишем его относительно duср
du cp =
uд
dy .
ky
Примем uд = const, тогда после интегрирования
(3.87)
88
u cp =
uд
ln y + C .
ky
(3.88)
Постоянная интегрирования С находится из условия, что на оси потока
при h=0, ucp = u. С учётом этого осреднённые значения скорости на расстоянии
h от оси потока будут равны
u cp = u max −
uд r
ln .
k
y
(3.89)
3.11 Коэффициент гидравлического трения
Величина коэффициента гидравлического трения λ зависит от числа Рейнольдса и относительной шероховатости стенок, то есть λ = f(Re, Δ/r).
Впервые исследования по установлению этой закономерности были выполнены в 1932 г. Никурадзе и в 1938 г. профессором А.П. Зегжда (СССР).
Никурадзе были построены кривые по результатам экспериментальных
исследований для труб с искусственной шероховатостью. Из полученных им
графиков следует, что при движении жидкости в напорном трубопроводе можно выделить 3 области.
I область относится к ламинарному режиму движения жидкости. Эта область ограничена значениями чисел Re < 2320. Здесь λ зависит только от Re и не
зависит от шероховатости
λ=
64
.
Re
(3.90)
Потери напора в этой области пропорциональны скорости течения жидкости в первой степени.
II область – турбулентный режим движения жидкости в гидравлически
гладких трубах, когда выступы шероховатости меньше толщины ламинарного
слоя. Коэффициент λ можно определить по формуле Блазиуса (1913 г.)
89
λ=
0,3164
4
для 2320 < Re <100 000
Rе
(3.91)
или по формуле П.К. Конакова (1946 г.)
λ=
1
(0,8 lg Rе − 1.5) 2
.
(3.92)
III область является областью квадратичных сопротивлений, которая наступает при Re >1120 r/Δ.. Данные по абсолютной величине шероховатости Δ
имеются в справочной литературе.
Без существенных ошибок величину λ в этой области можно определить
по упрощенной универсальной формуле А.Д. Альтшуля
λ = 0.114
где
k э 68
+
,
d Rе
(3.93)
kэ
– абсолютная величина эквивалентной равномерно-зернистой шерохоd
ватости. Значения k э имеются в справочных изданиях.
Эта область соответствует турбулентному режиму движения жидкости,
когда потери напора пропорциональны квадрату скорости течения жидкости.
3.12 Гидравлические потери
Потери удельной энергии (напора) или гидравлические потери зависят от
формы, размеров и шероховатости русла (трубы и т.п.), а так же от скорости течения и вязкости жидкости, но практически не зависят от абсолютного значения давления в ней.
В большинстве случаев гидравлические потери примерно прямо пропорциональны квадрату скорости течения жидкости, поэтому в гидравлике принято выражать гидравлические потери полного напора в линейных единицах.
90
hw = ξ
где коэффициент
ξ–
Vср2
2g ,
(3.94)
есть безразмерный коэффициент сопротивления, выра-
жающий отношение потерянного напора к скоростному напору.
Гидравлические потери разделяют на местные и потери на трение.
Местные потери обусловлены так называемыми местными гидравлическими сопротивлениями (изменение формы и размеров русла, в трубах – повороты, диафрагмы, краны и т.п.).
Потери на трение или потери по длине – это потери энергии, которые
возникают в прямых трубах постоянного сечения. Они обусловлены внутренним трением в жидкости, а потому имеют место не только в шероховатых, но и
в гладких трубах.
Коэффициент сопротивления на трение в этом случае удобнее связать с
относительной длиной трубы
ξ тр = λ
где
l
,
d
(3.95)
λ - безразмерный коэффициент потерь на трение.
3.12.1 Местные потери напора
Местные потери напора возникают на относительно коротких участках
потока, где происходит изменение величины и направления средней скорости.
Подобные изменения скорости обычно имеют место в фасонных частях и арматуре трубопроводов – в отводах, переходах, тройниках, кранах, вентиляциях,
клапанах и т. п. Движение жидкости в области местных препятствий сопровождается резким нарушением структуры потока, образования дополнительных
вихрей и водоворотных зон, закручиваний и нарушений стройности потока.
Несмотря на многообразие геометрических конфигураций местных сопротивлений, в каждом из них можно выделить участок, где поток вынужден
91
резко уменьшать или увеличивать свою среднюю скорость. Иногда местное сопротивление представляет последовательное чередование таких участков.
Поэтому изучение местных сопротивлений целесообразно начать с простейшего случая – внезапного расширения потока (рис.3.16).
Рис. 3.16
Местная потеря напора, вызванная внезапным расширением потока на
участке между сечениями 1-1 и 2-2, определится как разность удельных энергий жидкости в сечениях:
hв. р. = Е1 − Е 2 = (
αV12
p
αV 2 p
αV12 − αV22 p1 − p 2
+ 1)−( 2 + 2 ) =
+
. (3.96)
2g
γ
2g
γ
2g
γ
Для определения разности давлений, входящей в уравнение (3.95) применим к
движущему объёму жидкости между сечениями 1-1 и 2-2 известную из механики теорему об изменении количества движения в проекциях на ось потока S-S.
Для этого:
1) определим импульс внешних сил, действующих на рассматриваемый объём
в направлении движения;
2) найдём изменение количества движения как разность между секундным количеством движения, выносимым из рассматриваемого объёма и вносимым в
него.
После преобразований получим:
92
hв . р .
(V1 − V 2 ) 2
=
.
2g
(3.97)
Из формулы (3.97) видно, что потеря напора (удельной энергии) при внезапном
расширении русла равна скоростному напору, подсчитанному по разности скоростей. Это положение называется теоремой Борда-Карно.
Потери напора при внезапном расширении можно отнести либо к V1, либо
к V2. Если учесть, что V1ω1 = V2ω2 то есть V2 = V1ω1 /ω2 (согласно уравнения неразрывности), то формулу (3.97) можно записать в следующем виде, соответствующем общему способу выражений местных потерь
hв. р.
ω1 2 V12
V12
= (1 −
=ξ
)
ω2 2g
2g .
(3.98)
Уравнение (3.98) называют формулой Вейсбаха.
Следовательно, для случая внезапного расширения русла коэффициент
сопротивления равен
ξ = (1 −
ω1 2
) .
ω2
(3.99)
Данная теорема хорошо подтверждается опытными данными при турбулентном течении и широко используется в расчётах.
В частном случае, когда площадь ω2 весьма велика по сравнению с площадью ω1 и, следовательно, скорость V2 можно считать равной нулю, потеря на
расширение равна
hв. р.
V12
=
2g
,
(3.100)
то есть в этом случае теряется весь скоростной напор (вся кинетическая энергия, которой обладает жидкость). Коэффициент сопротивления ξ в этом случае
равен единице.
Рассмотрим случай внезапного сужения канала.
93
Рис.3.17
При внезапном сужении, как показывают многочисленные опыты, поток
жидкости начинает сжиматься на некотором расстоянии перед входом в узкое
сечение. После входа в узкий участок, вследствие инерции, сжатие потока продолжается до минимального сечения ωс, после чего струя начинает расширяться до тех пор, пока не заполнит всё сечение узкого участка трубопровода ω2.
потери напора при взаимном движении hв.с. при переходе потока из сечения ω1 к
сечению ω2 связаны с расширением струи на участке С-С – 2-2 и могут быть
найдены по формуле Борда
hв.с.
(Vc − V2 ) 2
=
,
2g
(3.101)
2
ω2
2 V2
=(
− 1)
.
ω1
2g
(3.102)
а с учётом уравнения неразрывности
hв.с.
Отношение площади сжатого сечения струи к площади канала, где это
сжатие наблюдается, называется коэффициентом сжатия струи
ε=
С учётом этого
ωс
;
ω2
(3.103)
94
v 22
= ( − 1)
ε
2g .
1
hв.с.
2
(3.104)
Опыт показывает, что величина ε зависит от соотношения площадей трубопровода до и после сужения.
ε = f(
ω2
)
ω1 .
(3.105)
Мы рассмотрели два вида местных потерь напора – при внезапном расширении и сужении трубопровода, в которых коэффициент сопротивления определяется теоретически. Для всех остальных местных сопротивлений величину коэффициента сопротивления определяют опытным путём.
Наиболее часто встречающиеся местные сопротивления:
- труба расположена под углом к стенке резервуара;
- труба расположена перпендикулярно стенке резервуара;
- колено трубы с закруглением на угол 900;
- резкий поворот трубы и т. п.
Численные значения коэффициентов сопротивления для этих случаев обычно
приводятся в справочной литературе.
В заключении следует отметить, что величина местного сопротивления
остаётся постоянным лишь при развитом турбулентном режиме при Re >3000.
В переходной зоне и при ламинарном режиме (Re < 3000) следует учитывать
увеличение ξ, вызываемое существенным влиянием сил вязкостного трения.
3.13 Коэффициент сопротивления системы. Характеристика системы
Полные потери напора в каком-либо трубопроводе слагаются из потерь
напора на трение и потерь напора, вызванных местными сопротивлениями. Подобное геометрическое суммирование потерь напора по всему пути движения
жидкости в трубопроводе носит название принципа наложения потерь. Если в
трубопроводе, состоящем из нескольких участков последовательно соединён-
95
ных труб, имеются различные местные препятствия, то суммарная потеря напора равна
2
l V2
v 2 ⎡ λ (∑ l )
⎤V
+ (∑ ξ )
=
+ (∑ ξ )⎥
∑ hw = ( ∑ λ )
.
2 g ⎢⎣ d
d 2g
⎦ 2g
(3.106)
Рассмотрим несложную систему трубопровода,
представленную
на
рис.3.18.
Трубопровод состоит из 2х
участков труб, все размеры которых и
гидравлические характеристики известны. В данной системе возникнут
потери:
1. на трение на участках I и II;
2. на входе в трубу (а);
3. в повороте (б);
4. во внезапном сужении (в);
Рис.3.18
5. на выходе из трубы (г).
Тогда полные потери напора составятся из суммы:
l1 V12
l 2 V 22
V12
V12
V 22
V 22
+ λ2
+ ξ вх
+ ξ пов
+ ξ в. р .
+ ξ вых
∑ hw = λ1
2g
2g
2g
2 g . (3.107)
d1 2 g
d 2 2g
Сгруппировав слагаемые с общими множителями, получим
l1
V12
l2
V 22
+ (λ 2
+ ξ в. р + ξ вых )
∑ hw = (λ1 + ξ вх + ξ пов )
d1
d2
2g
2g .
(3.108)
По условию неразрывности потока имеем
V1 = V2
Подставим (3.109) в (3.108)
d
ω2
= V2 ( 2 ) 2 .
d1
ω1
(3.109)
96
⎤ V22
⎡
l1
d2 4
l2
hw = ⎢(λ1
+ ξ вх + ξ пов )( ) + λ 2
+ ξ в. р. + ξ вых ⎥
.
d
d
d
1
1
2
⎦ 2g
⎣
(3.110)
Выражение, стоящее в квадратных скобках, представляет собой коэффициент сопротивлений данной системы трубопроводов ξсист. В результате, выражение суммарных потерь напора приобретает краткую запись в виде формулы
Вейсбаха
V22
∑ hw = ξ сист
.
2g
(3.111)
Таким образом коэффициентом сопротивления системы называется сумма всех коэффициентов сопротивлений, приведённых к единому скоростному
напору.
Запишем уравнение Бернулли для жидкости, перетекающей из левого бака в правый. В качестве характерных сечений возьмем свободные поверхности
1-1 и 2-2, за плоскость сравнения примем плоскость 2-2. Скоростными напорами в сечениях пренебрегаем.
p1
γ
+ z1 =
p2
γ
+ z 2 + ∑ hw .
(3.112)
Давления на свободной поверхности одинаковы и равны атмосферному,
поэтому
z1 = z 2 + ∑ hw .
(3.113)
Координата z1 – это исходный геометрический напор жидкости Н, находящейся в левом баке. Координата z2 характеризует запас удельной энергии
положения после перемещения жидкости через сопротивления из левого бака в
правый. Назовём эту величину свободным напором после сопротивления hсв ,
следовательно
H = ∑ hw + hcв ,
(3.114)
то есть располагаемый напор истрачен на преодоление сопротивлений и создание свободного напора.
97
Выразим скорость V2 через расход V2 = Q ω 2 и подставим в уравнение
(3.111)
∑ hw = ξ сист
1 Q 2
( ) = K систQ 2 .
2 g ω2
(3.115)
Коэффициент Ксист связывает суммарные гидравлические потери в системе с протекающим расходом. Подставим (3.114) в (3.113) и окончательно получим
H = K сист Q 2 + hсв .
(3.116)
Это уравнение называется характеристикой системы и показывает, каким
напором необходимо располагать, чтобы обеспечить в системе заданный расход Q и свободный напор на выходе hсв.
3.14 Гидравлический расчет трубопроводов
По конструкции и гидравлическим условиям работы трубопроводы делятся
на простые и сложные, гидравлически длинные и короткие.
Простым называется трубопровод, состоящий из последовательно соединённых труб одного или нескольких диаметров, без ответвлений, но по всей
длине которого протекает постоянный расход. Все остальные трубопроводы
относятся к сложным, например, разветвлённые параллельно кольцевые и трубопроводы с переменным расходом жидкости по длине.
Длинными считаются такие трубопроводы, в которых на всём протяжении
основными потерями напора являются потери напора на преодоление трения.
Местные же потери напора невелики, они составляют не более 5-10% от общих
потерь. Поэтому при расчёте длины трубопроводов местными потерями либо
пренебрегают, либо с целью их приблизительного учёта производят увеличение
потерь за счёт дополнительной эквивалентной длины, то есть расчетная длина
трубопровода будет на 5-10% больше действительной.
l расч = (1.05…1.1)l.
(3.117)
98
К длинным трубопроводам, в частности, относятся трубопроводы сети водоснабжения, нефтепроводы, газопроводы и другие трубопроводы, имеющие
значительную протяженность.
В коротких трубопроводах местные потери напора составляют существенную долю суммарных потерь – более 10%. Поэтому при расчетах коротких трубопроводов наряду с потерями на трение подлежат обязательному расчету и
местные потери напора. К коротким трубопроводам относятся всасывающие
трубопроводы насосов, сифонные трубопроводы, топливопроводы, маслопроводы систем гидропривода и трубопроводы гидравлических систем двигателей
станков, механизмов и технологических линий.
Рассмотрим задачи гидравлического расчёта
простейшего трубопровода, состоящего из труб
одного диаметра (рис.3.19), где жидкость из-за
разности уровней в резервуарах, равной H, перетекает из резервуара I в резервуар II с некоторым расходом Q.
1. Определим необходимый напор H, обеспечивающий заданный расход Qпри известных размерах трубопровода l и d. Для
этого составим уравнение Бернулли относительно сечений 1-1 и 2-2. Принимая, что V1 = V2 и р1 = р = р2 = ратм,
получим z1 = z2 +hw,
Рис. 3.19
отсюда
H = z1 – z2 = hw.
То есть, весь располагаемый напор полностью расходится на преодоление
гидравлических сопротивлений в трубопроводе. Этот напор H сложится из потерь на трение (путевых потерь) и местных потерь напора
99
V2
l V2
+∑ ξ
H =λ ⋅
2g
d 2g
.
(3.118)
2. Определим расход жидкости Q при известных диаметрах, длинах трубопровода и напоре H. В данной задаче с помощью (3.118) находим скорость
V=
2 gH
.
l
λ + ∑ξ
d
(3.119)
Тогда исходный расход найдётся из выражения
Q =V ⋅ω =
πd2
4
2 gH
.
l
λ + ∑ξ
d
(3.120)
3. Определим диаметр трубопровода dтр при заданном расходе жидкости, напоре и остальных параметрах. Данная задача решается методом последовательных приближений, для чего задаются произвольным значением d и по формуле
(3.120) определяют расход Q. При несовпадении найденного значения расхода с
заданным принимают другое значение d и расчёт повторяют. Решение задачи
может быть ускорено при помощи графика (рис.3.20). На основании не менее,
чем четырёх попыток расчёта строится кривая Q = f (d ) . Искомый диаметр
трубопровода dтр может быть найден графически. Если местные потери в трубопроводе незначительны, и ими можно пренебречь, то при наличии справочных таблиц со значениями расходных характеристик все три задачи решаются значительно быстрее.
Рис. 3.20
100
3.15 Гидравлический удар в трубах
Гидравлическим ударом называется резкое изменение давления в трубопроводе, вызванное внезапным изменением скорости движения жидкости в
нём. Различают положительный и отрицательный гидравлический удар. Положительный удар возникает при внезапном уменьшении скорости движения
жидкости. В этом случае давление в трубопроводе увеличивается.
Отрицательный удар характеризуется уменьшением давления в трубопроводе. За процессом развития явления гидроудара
можно
проследить
на
трубопроводе, схема которого представлена на
рис.3.21. Из резервуара а
жидкость движется по
Рис.3.21
трубопроводу в сторону
задвижки б. В результате внезапного закрытия задвижки, произойдёт резкое
торможение движения жидкости, но остановка всей массы жидкости произойдёт не сразу. В первый момент остановится слой жидкости, непосредственно
примыкающий к задвижке. Вся остальная масса жидкости, стремясь сохранить
первоначальное направление движения, окажет давление на передний, уже остановившейся слой и т. д. вплоть до напорного резервуара а. При этом одновременно с уплотнением жидкости будет происходить увеличение давления в
трубопроводе.
Таким образом, в начале удара зона повышения давления в виде волны будет распространяться по трубопроводу с некоторой скоростью с в направлении
противоположном давлению жидкости.
Скорость с называется скоростью распространения ударной волны. Для
большинства трубопроводов значение этой скорости весьма велики и достига-
101
ют величины 1000 м/с и более. Поэтому данный процесс протекает очень быстро.
Повышение внутреннего давления в трубе вызывает в свою очередь расширение её стенок, поэтому вместе с перемещением ударной волны происходит
перемещение и зоны деформации трубопровода.
При достижении у задвижки максимума давления жидкости, жидкость устремляется обратно в резервуар в виде ударной волны с той же скоростью с. Такой цикл повторяется несколько раз. В конце концов вследствие затрат энергии
на сжатие жидкости и деформацию стенок трубопровода процесс затухает.
Изобразим диаграмму изменения
давления во времени в процессе
развития гидравлического удара.
Рис.3.22
Из диаграммы (рис.3.22) видно, что наиболее высокое давление в трубопроводе наблюдается не в самом начале удара, а несколько позднее. Это объясняется тем, что явление удара происходит в упругой среде.
Явление гидравлического удара было открыто и впервые экспериментально и теоретически исследовано профессором Н.Е. Жуковским в 1898 г.
Различают прямой (при быстром закрытии задвижки) и не прямой (при
медленном закрытии задвижки) гидравлический удар.
При прямом ударе время закрытия задвижки, намного меньше времени
возвращения ударной волны, то есть Т3 << T. Время пробега ударной волны от
задвижки к напорному резервуару и обратно называется продолжительностью
фазы гидравлического удара или временем цикла.
T=
2l
.
с
(3.121)
102
Для определения величины повышения давления Δр при прямом гидравлическом ударе профессором Жуковским впервые была выведена следующая
формула
Δ р = ρ сV
,
(3.122)
где V - величина потерянной скорости.
Скорость распространения ударной волны так же определяется по формуле
Жуковского:
E0
ρ
с=
E d
1+ 0
Eδ
(3.123)
,
где Е0 – модуль упругость жидкости; Е – модуль упругости материала стенок
труб; d – диаметр трубы; δ – толщина стенок трубы.
Числитель формулы (3.122) есть известная в физике формула Ньютона для
определения скорости звука в неограниченной жидкой среде. Для воды эта скорость равна 1425 м/с
'
с =
Ер
ρ
.
(3.124)
Отметим, что для обычных стальных и чугунных водопроводных труб общего применения скорость распространения ударной волны имеет значение
около 1000 – 1300 м/с. Это значит, что каждый потерянный метр скорости движения воды, согласно формуле (3.121) вызывает повышение давления в трубопроводе на 10-13 атмосфер.
Эластичные трубопроводы, обладающие малыми модулями упругости (например, резиновые шланги) дают очень низкие значения скоростей с, а поэтому
повышение давления в них при внезапном закрытии затвора невелико.
103
При непрямом ударе время закрытия задвижки превышает длительность
фазы гидравлического удара, то есть Т3 > T. В этом случае повышение давления
может быть посчитано по формуле
Δр = ρcV
T
T3
.
(3.125)
Гидравлический удар является весьма нежелательным явлением в эксплуатации трубопроводных систем. Прямой гидравлический удар может привести к
разрушению трубопровода. Поэтому при расчете и проектировании трубопроводных систем следует предусматривать мероприятия по снижению или ликвидации гидроудара.
Основной мерой борьбы с гидроударом является увеличение времени закрытия задвижки (затворы вентильного типа).
При внезапной остановке насосов, турбин и т.п. на трубопроводах устанавливается специальная арматура в виде предохранительных клапанов, клапановгасителей и иных устройств, снижающих эффект гидравлического удара.
4 Гидропривод
4.1 Назначение. Основные элементы схемы
Впервые идею применения в машинах гидропривода высказал в конце 18
века Блез Паскаль. Он указал на возможность создания гидравлического пресса.
Идею реализовали в 1859-1861 годах. В дальнейшем гидропривод долгое время
применялся лишь при создании кузнечного-прессового оборудования.
В лесной промышленности гидропривод начал применяться в 1960-х
годах. Это дало возможность комплексно механизировать лесозаготовительные
процессы, повысить уровень автоматизации производства и исключить ручной
труд при выполнении некоторых трудоёмких и опасных операций. И,
естественно, снизить себестоимость лесопродукции.
104
Гидроприводом называют совокупность устройств, предназначенных для
приведения в действие механизмов и машин с помощью жидкости. Он состоит
из гидропередачи, устройств управления, вспомогательных устройств и
гидролиний.
Гидроприводы бывают двух типов: гидродинамические и объёмные.
В гидродинамических передачах энергия от насоса к турбине передаётся
потоком рабочей жидкости, т.е. используется в основном кинетическая энергия
потока жидкости. Поэтому при увеличении нагрузки на ведомом валу
гидродвигателя автоматически уменьшается скорость этого вала и наоборот.
Объёмными называются гидроприводы, основой которых является
объёмная гидропередача (или объёмный гидродвигатель). В объёмном
гидроприводе машины и механизмы приводятся в движение посредством
жидкости под давлением. Таким образом, механическая энергия приводящего
двигателя насосом преобразуется в основном в потенциальную энергию
давления, которая рабочей жидкостью передаётся к гидродвигателю.
В
машинах
и
механизмах
лесной
промышленности
наибольшее
распространение получили объёмные гидроприводы. Это объясняется тем, что
в объёмном гидроприводе на выходном звене гидродвигателя можно развивать
значительные усилия и крутящие моменты.
Для наглядности зарисуем схему объёмного гидропривода (рис.4.1)
Рис.4.1
105
Объёмная гидропередача является силовой частью гидропривода.
(преобразование мех. энергии в энергию потока рабочей жидкости). Её
основные элементы – объёмный насос потока рабочей жидкости и объёмный
гидродвигатель (преобразовывает энергию потока рабочей жидкости в мех
энергию выходного звена).
В некоторых объёмных гидропередачах, например, где ограничено время
действия, вместо насоса могут быть использованы предварительно заряженные
гидроаккумуляторы. Они предназначены для аккумулирования энергии
рабочей жидкости, находящейся под давлением. Гидроаккумуляторы, как и
насосы, используются для приведения в работу гидродвигателя.
В гидропередачу могут входить так же гидропреобразователи. Они
служат для преобразования энергии одного потока рабочей жидкости с
давлением p1
и расходом Q1 в энергию другого потока с давлением p2 и
расходом Q 2 .
На производстве в цеховых условиях объёмные гидродвигатели могут
приводиться в движение и от единой гидромагистрали.
Устройства управления предназначены для изменения или поддержания
на определённом уровне давления, расхода в гидросистеме, для изменения
направления движения потока рабочей жидкости.
Гидрораспределители служат для изменения направления движения,
регулирования последовательности включения гидродвигателей.
Гидроусилители – управляют работой насосов посредством рабочей
жидкости.
Вспомогательные устройства используются в зависимости от назначения
гидропривода и условий его эксплуатации.
Гидролинии – это трубы, рукава, каналы и соединения. Служат для
прохождения рабочей жидкости в процессе работы гидропривода.
106
В зависимости от своего назначения гидролинии бывают всасывающие,
напорные, сливные, дренажные и гидролинии управления.
Все рассмотренные нами устройства гидролиниями объединяются в
единую гидросистему.
Достоинства объёмного гидропривода:
1) небольшая масса и габариты (по сравнению с другими видами
приводов: механическими, электрическими);
2) несложная компоновка элементов гидропривода;
3) малая
инерционность
(возможность
реверсирования
за
малый
промежуток времени).
4) бесступенчатое регулирование скорости движения рабочих органов;
5) надёжное и простое предохранение от перегрузок;
6) возможность использования стандартных и унифицированных узлов
(что значительно облегчает эксплуатацию);
7) высокая износостойкость (за счёт использования в качестве рабочей
жидкости минеральных масел, что обеспечивает смазку узлов трения).
Основными недостатками являются:
1) возможность попадания воздуха в гидросистему;
2) возможность возникновения гидроудара (при быстрых переключениях,
особенно при p〉 25 МПа);
3) высокая точность изготовления деталей (приводит к удорожанию
гидропривода);
4) изменение вязкости рабочей жидкости в зависимости от температуры.
В настоящий момент эти недостатки почти полностью устраняются за
счёт создания жидкостей с высоким индексом вязкости, а также за счёт
высокого технического уровня выполнения узлов и уплотнений.
107
4.2 Классификация гидропривода
В зависимости от конструкции, типа, способа циркуляции рабочей
жидкости
и
других
факторов
гидропривод
можно
классифицировать
следующим образом:
1)
По
характеру
движения
выходного
звена
гидродвигателя
гидроприводы бывают:
- вращательного движения (ведомое звено совершает неограниченное
вращательное движение);
- поступательного движения (в качестве гидродвигателя - гидроцилиндр
с
возвратно-
поступательным
движением
ведомого
звена:
например,
перемещение штока поршня или плунжера или корпуса гидроцилиндра);
- поворотного движения (используется поворотный гидроцилиндр,
поворот на угол меньше 30º).
2) По возможности регулирования гидропривод делится на:
- регулируемый (скорость выходного звена регулируется по требуемому
закону). Регулирование бывает: объёмное, дроссельное, с ручным или
автоматическим регулированием
- нерегулируемый (скорость выходного звена не регулируется).
3) По схеме циркуляции рабочей жидкости гидроприводы бывают:
- с замкнутой схемой циркуляции (рабочая жидкость от гидродвигателя
возвращается во всасывающую линию насоса). Они компактны, имеют
высокую частоту вращения ротора насоса, однако, имеют плохие условия для
охлаждения жидкости, неудобны в ремонте, так как требуют слива всей
рабочей жидкости.
- с разомкнутой системой циркуляции (рабочая жидкость сообщается с
гидробаком или атмосферой). Хорошие условия для охлаждения и очистки,
однако, имеют большую массу и громоздки, ограничена частота вращения
ротора насоса скоростями движения жидкости во всасывающем трубопроводе.
108
4) По источнику подачи рабочей жидкости гидроприводы бывают:
- насосные, имеющие объёмный насос, подающий рабочую жидкость в
объёмный гидродвигатель;
- безнасосные, приводятся в действие механическим способом и работает
по схеме сообщающихся сосудов;
-аккумуляторные,
работающие
от
предварительно
заряженных
аккумуляторов;
- магистральные, приводится в действие от гидролинии, не являющейся
составной частью гидропривода.
5) По типу приводящего двигателя (электродвигатель, турбо-дизель и
т.п.).
Принцип работы объёмного гидропривода основан на законе Паскаля:
всякое изменение давления в какой-либо точке покоящейся жидкости
передаётся во все её точки без изменений.
Рассмотрим две принципиальные схемы гидропривода
1) Нерегулируемый гидропривод (рис.4.2)
Работа гидропривода осуществляется следующим образом. Насосом 1
рабочая
жидкость подаётся в напорную гидролинию 2 и далее через
гидрораспределитель 3 к гидродвигателю 4, который в одном направлении
осуществляет рабочий ход, а в другом – холостой. В валу плунжера имеются
отверстия для отвода рабочей жидкости. Из гидродвигателя жидкость через
гидрораспределитель поступает в сливную линию 5 и далее через фильтр 6 в
гидробак 7. В гидробаке жидкость охлаждается и вновь поступает в систему. В
напорной линии для защиты гидропривода от чрезмерного повышения
давления установлен напорный клапан 8. Если по какой-либо причине
возрастёт нагрузка на гидродвигатель, то включается напорный клапан и весь
поток рабочей жидкости идёт через него в гидробак минуя гидродвигатель. В
данной схеме напорный клапан выполняет функцию предохранительного
клапана.
109
Нерегулируемый гидропривод используется в тех случаях, когда в процессе
эксплуатации не требуется изменение скорости выходного звена.
Рис. 4.2
1-насос; 2-напорная линия; 3-гидрораспределитель; 4-гидродвигатель; 5сливная линия; 6-фильтр грубой очистки; 7-гидробак; 8-напорный клапан; 9манометр.
2) гидропривод с машинным (объёмным) управлением (рис.4.3)
Рис.4.3
1- насос; 2 - напорная линия; 3 - гидрораспределитель; 4- гидродвигатель;
5 - сливная линия; 6 - фильтр грубой очистки; 7- гидробак; 8 - напорный
клапан; 9 - манометр; 10 - обратный клапан (блокирует поток рабочей жидкости
в одном направлении и пропускает в другом).
110
В данной схеме осуществляется регулирование скорости выходного
звена гидродвигателя. Для этого применено машинное управление насоса 1,
которым можно изменять и расход нерегулируемого гидромотора. Движение
рабочей жидкости осуществляется по замкнутой системе циркуляции.
Машинное управление является наиболее экономичным, хотя стоимость
регулируемых насосов и гидромоторов выше, а конструкция и эксплуатация
сложнее.
4.3 Насосы
Насос – это объёмная гидромашина, применяемая для перекачки
(перемещения) различных жидкостей.
По характеру движения рабочих органов насосы подразделяются на:
крыльчатые, возвратно- поступательные и роторные.
В
свою
очередь
возвратно-поступательные
насосы
делятся
на:
поршневые и диафрагменные, а роторные на: роторно-вращательные, роторноповоротные и роторно-поступательные.
При работе насоса происходит преобразование механической энергии
приводящего двигателя в гидравлическую энергию потока жидкости.
Название объёмной гидромашины насосы получили вследствие того, что
жидкая среда перемещается в них путём периодического изменения объёма
занимаемой ею
камеры, попеременно сообщающейся с входом и выходом
насоса.
Большинство объёмных гидравлических машин обратимы, т.е. могут
работать и в качестве насоса и в качестве гидродвигателя. Такие машины
называются насосом-мотором.
В процессе эксплуатации насосы могут изменять направление движения
жидкости или выходного звена. Такие насосы называются реверсивными.
111
4.3.1 Простой поршневой насос
Поршневым называется насос, работающий по принципу «вытеснения»
жидкости. Давление в рабочей камере поршневого насоса создаётся при
помощи поршня или плунжера, совершающего возвратно-поступательное
движение внутри цилиндра.
Рассмотрим схему простого поршневого приводного насоса (рис.4.4)
Предположим, что поршень 1 занимает крайнее левое положение и насос
не работает. Для работы насоса всасывающая труба 6 и рабочая камера 8
должны быть заполнены жидкостью, с этой целью в схеме насоса установлены
обратные клапаны 7 и 10.
Рис. 4.4
1-поршень; 2-шток; 3- цилиндр; 4-шатун; 5-кривошип; 6-всасывающая труба; 7всасывающий
клапан;
8-рабочая
камера;
9-нагнетательная
труба;
10-
нагнетательный клапан; 11-фильтр.
При включении двигателя, т.е. при вращении кривошипа поршень начнёт
перемещаться право. При этом в рабочей камере начнётся понижение давления
по сравнению с атмосферным.
Под действием атмосферного давления жидкость придёт в движение во
всасывающей трубке, поднимет всасывающий клапан и начнёт заполнять
рабочую камеру. Эта часть рабочего цикла называется процессом всасывания
жидкости. Всасывание будет происходить до тех пор, пока поршень не займёт
112
своего крайнего положения. При этом он совершит путь S = 2r, называемый
ходом поршня. Здесь r-радиус кривошипа.
При дальнейшем движении кривошипа поршень начнёт перемещаться
влево и вызовет повышение давления в рабочей камере. Произойдёт закрытие
всасывающего клапана 7 и откроется нагнетательный клапан 10. Жидкость
начнёт вытесняться из рабочей камеры в нагнетательную трубу.
Эта часть процесса называется процессом нагнетания жидкости. После
достижения поршнем крайнего левого положения цикл работы насоса
повторяется.
Недостатком поршневого насоса простого действия является то, что
подача жидкости в нагнетательную линию будет неравномерной.
Для устранения этого недостатка используют насосы с большим числом
рабочих камер, например: двойного, тройного, четверного действия и
дифференциальные насосы.
Насос двойного действия имеет две рабочие камеры, соединённые между
собой цилиндром. Каждая камера в отдельности работает как насос простого
действия. В силу асинхронности действия камер обеспечивается достаточно
равномерная подача жидкости.
Насос тройного действия представляет собой агрегат, состоящий из 3-х
насосов простого действия, кривошипы которых смещены на угол 120°
относительно друг друга.
Насос четверного действия состоит из двух насосов двойного действия,
кривошипы которых смещены на угол 90° .
Дифференциальный насос имеет
две камеры, соединённых между собой
цилиндрами,
в
которых
ходит
дифференциальный плунжер (рис.4.5)
Рис.4.5
113
Дифференциальный насос, имея только два клапана (в чём заключается его
преимущество), обеспечивает подачу жидкости при обоих ходах плунжера с
равномерностью, соответствующей насосам двойного действия.
Одной
из
основных
характеристик
насоса
является
его
производительность или подача. Если через ω обозначить площадь цилиндра, S
– ход его поршня, тогда теоретическая подача будет равна
QT =
ωSn м3
,
c
60
(4.1)
где n – число оборотов кривошипа в минуту.
Производительность насоса двойного действия определяется следующим
образом: обозначим ω – площадь поршня; ωш – площадь штока, тогда за один
оборот кривошипа теоретический объём жидкости составит
ωS + (ω − ω ш ) S = (2ω − ω ш ) S .
(4.2)
Теоретическая производительность
QT =
(2ω − ωш ) S n м3
,
c
60
(4.3)
Итак, теоретическая подача:
насоса простого действия
QT1 =
ωSn м3
,
;
c
насоса двойного действия
QT2 =
(2ω − ωш ) S n м3
,
;
c
60
насоса тройного действия
60
3
QT3 = 3QT1 , м ;
c
(4.4)
3
насоса четверного действия QT4 = 2QT2 , м ;
c
(4.5)
3
дифференциального насоса QTд = QT1 , м .
c
(4.6)
Для определения фактической производительности каждое из уравнений
(4.2) – (4.3) умножается на η v , где η v – объёмный КПД насоса. Его значения
колеблются в следующих пределах:
114
1) для малых насосов (Q = 1K 30 м
3
ч
), ( D 〈 50 мм)
η v = 0.85 K 0.90;
2) для средних (Q = 30 K 300 м
3
ч
), ( D : 50 K150 мм)
η v = 0.90 K 0.95;
3) для крупных Q = 300 м
3
ч
и более), ( D 〉 150 мм)
η v = 0.95 K 0.99.
Если рассмотреть схему действия кривошипного механизма насоса, то
увидим, что подача насоса изменяется по синусоиде, имея максимум при
ϕ = ωt =
π
2
(здесь ω – угловая скорость вращения кривошипа, ω t – угол
поворота кривошипа), т.е. подача осуществляется неравномерно.
Рис.4.6
Для оценки степени неравномерности подачи служит отношение
максимальной подачи Q max к её среднему значению Qср .
Qmax / Qcр = σ .
(4.7)
Для простого поршневого насоса Qmax / Qcр = 3.14, для поршневого двухстороннего действия – 1.57, трёхпоршневого – 1.047, двухпоршневого трёхстороннего действия – 1.11;
При работе поршневых насосов в них возникают большие инерционные
силы движения жидкости. Во избежание этих сил насосы снабжают
воздушными колпаками, которые устанавливаются на всасывающий и
115
нагнетающий коллекторы. Во время работы насоса объём воздуха должен
составлять 2/3 полного объёма колпака.
4.3.2 Радиально - поршневые насосы
Радиально-поршневые насосы относятся к роторно-поршневым насосам.
Недостатком
поршневых
насосов
является
наличие
распределительных
клапанов, которые ограничивают, вследствие их инерционности число
оборотов насоса. С этой точки зрения преимущество имеют многоцилиндровые
роторно-поршневые
насосы
с
бесклапанным
или
золотниковым
распределением.
На рис.4.7 представлена кинематическая
схема радиально-поршневого насоса.
Кинематически
подобные
насосы
построены на базе кривошипно-шатунного
механизма, в котором неподвижным звеном
является кривошип 1, цилиндр
вращается
вокруг его оси O2 , а шатун - вокруг оси O1 .
Рис.4.7
Таким образом, при вращении цилиндра поршень 4 будет совершать
возвратно-поступательные движения, которые используются для процессов
всасывания и нагнетания насоса.
Благодаря тому, что цилиндр 3 вращается вокруг оси O2 появляется
возможность использовать его в качестве распределительного устройства –
золотника
(золотник
–
это
подвижный
элемент
системы
управления
механическим процессом, направляющий поток рабочей жидкости в нужный
канал путём своего смещения относительно окон в поверхности, на которой он
скользит).
116
По принципу действия радиально-поршневые насосы делятся на одно-,
двукратного и многократного действия, т.е. в насосах однократного действия
поршень совершает один двойной ход, двукратного – два и т.д.
Рассмотрим схему радиально-поршневого насоса однократного действия.
Рис.4.8
1-статор, 2-ротор, 3-поршни, 4-цилиндры, 5-канал всасывания; 6-канал
нагнетания, 7-отверстия, 8-распределительная ось (цапфа).
Если сравним данный рисунок с предыдущей схемой, то увидим, что роль
кривошипа здесь выполняет эксцентриситет е, шатун заменён статорным
кольцом 1, а цилиндр ротором 2, т.е. механизм этого насоса целиком построен
на базе кривошипно-шатунного механизма.
При вращении ротора 2 от приводного вала, например по часовой
стрелке, поршни 3 вначале выдвигаются из цилиндров 4, происходит
всасывание жидкости через отверстие 7 и канал 5. При дальнейшем движении
ротора поршни вдвигаются в цилиндры, происходит нагнетание жидкости так
117
же через отверстия 7 и канал нагнетания 6. Соответственно рабочая жидкость
вначале заполняет цилиндры 4, а затем вытесняется оттуда поршнями 3 в
напорную линию гидросистемы.
Поршни выдвигаются и прижимаются к статору либо центробежной
силой, либо принудительно (пружиной, давлением рабочей жидкости или иным
путём).
При работе насоса между поршнями и неподвижным статором возникают
силы трения, снижающие механический КПД насоса (механический КПД
η m =0.85…0.95, а полный КПД η = 0.70…0.90). Для уменьшения этих сил в
реальных конструкциях гидромашины заменяют трение скольжения трением
качения (устанавливают на концах поршней стальные закалённые ролики или
делают статор вращающимся в специальном подшипнике).
Как мы отметили ранее, каждый поршень за один оборот ротора делает
один двойной ход. Величина хода поршня и подача насоса зависят от величины
эксцентриситета, т.е. S = 2, следовательно, меняя величину эксцентриситета,
можно получить разную величину подачи насоса при постоянной частоте
вращения ротора.
Подачу радиально-поршневого насоса определяют по формуле
Q=
π d п2
4
2еn zη v , n = 3K105 об / мин ,
(4.8)
где d п – диаметр поршня, м; е – эксцентриситет, м; n – частота вращения
ротора, мин-1; z – число поршней в насосе, шт.; ηv – объёмный КПД насоса.
Его определяют как отношение
ηv =
ΔQ
Q
=1−
.
QT
QT
(4.9)
QT можно определить путём медленного проворачивания насоса (n =
20…30 об/мин) с нулевым перепадом давления жидкости на входе и выходе из
118
насоса, или при нулевой разности уравнений жидкости в заборном или сливном
резервуаре.
Вращающий момент, возникающий на валу насоса от давления жидкости
μ = 0.159 pq,
(4.10)
где p – давление, МПа, в серийно выпускаемых наосах до 20 МПа
(выпускаются и до 50 МПа); q – удельная подача насоса или гидродвигателя
(как отмечали ранее, насосы в большинстве случаев обратимы).
Удельная подача насоса равна
q=
π d п2
4
2е z.
(4.11)
Радиально-поршневые гидромашины получили широкое распространение
в гидропередачах с большими крутящими моментами и малыми скоростями
вращения. Области применения – автомобилестроение, тракторостроение,
также в дорожно-строительных и лесотранспортных машинах. Используются
они в качестве ведомого звена трансмиссий.
Преимущества радиально-поршневых насосов:
1) исключается надобность применения понижающих редукторов;
2) обеспечивается независимость компановки агрегатов трансмиссии;
3) возможность осуществления торможения без использования двигателя
и тормозных устройств.
Технические характеристики некоторых радиально-поршневых насосов и
гидромоторов даны в [2], [4].
4.3.3 Аксиально-поршневые насосы
Они также относятся к роторно-поршневым насосам и нашли широкое
применение в гидроприводах, что объясняется рядом их преимуществ. По
сравнению с радиально-поршневыми они:
1) имеют меньшие размеры, массу, и момент инерции вращающихся масс;
119
2) могут работать при большом числе оборотов;
3) более удобны при монтаже и ремонте.
Аксиально-поршневые насосы называют ещё насосами с наклонным
диском или с пространственной кинематикой.
Рассмотрим кинематическую схему данного вида насосов.
Кинематической основой этих насосов
является
видоизменённый
кривошипно-шатунный
механизм,
схема которого отличается от схемы
поршневого насоса тем, что цилиндр
при повороте кривошипа вокруг оси
Рис.4.9
совершает
здесь
перемещения
по
вертикали, двигаясь параллельно самому себе и сохраняя горизонтальное
положение своей оси. Поршень же перемещается в цилиндре и одновременно
по вертикали вместе с цилиндром.
Аксиально-поршневые насосы делятся на насосы с наклонным блоком и
насосы с наклонным диском.
Рассмотрим принципиальную схему насоса с наклонным блоком
(рис.4.10)
1– неподвижный распределительный диск, 2 –
вращающийся блок цилиндров, 3 – поршни, 4 –
штоки, 5 – шарниры, 6 – диск, 7 – вал, 8 –
корпус насоса.
Рис.4.10
120
Приводной вал насоса 7 жёстко связан с диском 6. При их вращении
приводится в движение блок цилиндров 2, в котором имеются поршни 3. В
процессе совместного вращательного движения блока цилиндров и диска,
поршни совершают вращательное и возвратно-поступательное движение при
котором осуществляется процессы всасывания и нагнетания.
Для попеременного сообщения рабочих камер с полостями всасывания и
нагнетания
в
неподвижном
распределительном
диске
имеются
два
дугообразных окна.
Увеличение или уменьшение подачи насоса осуществляется изменением
угла наклона диска γ . Обычно этот угол составляет 15K 20° , но бывает
доходит и до 45° .
За один оборот диска поршень подаёт объём жидкости, равный
V=
π d п2
4
S.
(4.12)
Тогда теоретическая производительность будет равна
QT = Vn z =
π d п2
4
S nz ,
где n составляет от 900 до 3000 об/мин.
(4.13)
В свою очередь ход поршня
S = D sin γ , где D – диаметр окружности центров цилиндров.
QТ =
а с учётом ηv =
πd п2
4
D sin γ n z ,
(4.14)
0.84…0.98 получим действительную производительность.
Полный КПД составляет 0.72…0.93.
Насосы эти, так же как и радиально-поршневые, нашли применение в
качестве
привода
строительных
и
рабочего
оборудования,
транспортных
машин,
а
в
так
трансмиссиях
же
в
дорожно-
гидросистемах
грузоподъёмных машин и самоходных агрегатов. Технические характеристики
аксиально-поршневых насосов даны в [2].
121
4.3.4 Пластинчатые насосы
Радиально- и аксиально-поршневые насосы по характеру движения рабочих органов относятся к насосам роторно-поступательным. Рассмотрим ещё
один тип насосов, относящихся к этой группе.
Пластинчатые насосы – это такие насосы, в которых рабочие камеры ограничены двумя соседними вытеснителями (пластинами) и поверхностями ротора и статора.
Рассмотрим схему простейшего двупластинчатого насоса (рис. 4.11)
Он состоит из статорного кольца 1, ротора 2, пластин (лопаток) 3, поджимаемых к статорному кольцу
пружинами 4, всасывающей
полости 5 и нагнетательной
полости 6.
Рис.4.11
При повороте ротора 2 (направление по часовой стрелке), объём камеры
насоса, соединённой с входной полостью 5 увеличивается, а камеры, соединённой с полостью 6 уменьшается, в связи с чем происходит всасывание и нагнетание жидкости. Ротор 2 имеет плотный контакт с нижней частью статорного
кольца, а одна из пластин в любом положении ротора отделяет всасывающую
полость от нагнетательной полости.
Этот насос пригоден для работы при небольших давлениях и применяется
для вспомогательных целей (подача смазки и т.п.)
122
Недостатком работы этого насоса является большая неравномерность
подачи. Для устранения этого недостатка применяют насосы с большим количеством пластин.
Число пластин в основном чётное и колеблется от 2 до 12 (бывает 17). С
увеличением числа пластин подача насоса уменьшается, но при этом увеличивается её равномерность.
Пластины в роторе могут быть установлены как по радиусу, так и под углом к нему от 7 до 15 о. Большие углы наклона соответствуют насосам с меньшей подачей. Наклонное расположение пластин выполняют с целью уменьшения трения и исключения заклинивания пластин.
Поджатие пластин к статорному кольцу может осуществляться как механически (с помощью пружин), так и за счёт давления рабочей жидкости (на рис.
отверстия и каналы).
Пластинчатые насосы бывают однократного и двойного действия.
В насосах двойного действия ротор и статор сосны, т.е. эксцентриситет
отсутствует. Эти насосы имеют по две симметрично расположенные полости
всасывания и нагнетания. Такое расположение зон уравновешивает силы, действующие на приводной вал со стороны рабочей жидкости, и он остаётся нагружен только крутящим моментом.
Отметим так же, что насосы однократного действия за счёт изменения величины эксцентриситета могут быть регулируемыми, а при изменении знака
эксцентриситета и реверсивными.
Подача пластинчатых насосов определяется по следующим формулам.
Подача насоса однократного действия:
QT = 2ben(πD − zδ ) ,
(4.15)
где b – ширина ротора, е – эксцентриситет, n – число оборотов ротора в единицу времени, D – диаметр колодца (расточки) в корпусе статора (статорного
кольца), z – число пластин, δ - толщина пластин.
123
Подача насоса двойного действия:
⎡
(r − r )δ z ⎤
QT = 2bn ⎢π r22 − r12 − 2 1
⎥
cos α ⎦ ,
⎣
(
)
(4.16)
где r2 и r1 – большая и малая полуоси статора; α - угол наклона пластин к радиусу ротора.
Для насосов двойного действия с радиальным расположением пластин
(соsα = 1), следовательно, формула (4.16) примет вид
[(
)
]
QT = 2bn π r22 − r12 − (r2 − r1 )δ z .
(4.17)
Действительная подача насоса Q = QT ⋅ η v (л/мин)
Для пластинчатых насосов η v = 0.75…0.93, η = 0.50…0.80.
Пластинчатые насосы выпускаются промышленностью давлением до 6,5
МПа при подаче от 5 до 200 л/мин.
Кроме одинарных изготавливают сдвоенные насосы, что позволяет получить давление до 10 МПа.
Пластинчатые насосы можно соединять последовательно, что так же позволяет получить давление до 10 МПа. При работе на высоком давлении быстрее изнашиваются пластины. Характеристики некоторых насосов даны в [2].
4.3.5 Шестерённые насосы
Наибольшее распространение в машинах и механизмах лесного комплекса получили шестерённые насосы. Это объясняется простотой их изготовления
и эксплуатации, малыми габаритами и массой. Они сравнительно долговечны и
не требуют высокой точности очистки рабочей жидкости.
В гидроприводах применяют шестерённые насосы, выполненные по различным конструктивным схемам:
124
1. По характеру зацепления – с внешним и внутренним. С внешним зацеплением насосы более просты в изготовлении, поэтому их применяют более
часто. Насосы с внутренним зацеплением более компактны, их применяют в установках малых размеров, однако они более сложны в изготовлении.
2. По форме зубьев – с прямыми, наклонными и шевронными.
3. По числу одновременно находящихся в зацеплении шестерён - двух,
трёх и более шестерённые насосы. Насосы, имеющие более трёх шестерён не
получили широкого распространения, так как при сравнительно более высокой
подаче они имеют низкий КПД, вследствие больших утечек рабочей жидкости.
Рассмотрим схему двухшестерённого насоса с внешним зацеплением
(рис. 4.12).
Рис. 4.12
Насос состоит из ведущей 1 и ведомой 2 шестерён, размещённых с небольшим зазором в корпусе 3. При вращении шестерён жидкость, заполнившая
рабочие камеры (межзубовые пространства), переносится из полости всасывания 4 в полость нагнетания 5. При этом в полости всасывания создаётся
разряжение и жидкость непрерывно поступает из гидробака к насосу. Из полости нагнетания жидкость вытесняется в напорный трубопровод.
125
При работе шестерённого насоса во впадинах между зубьями может происходить запирание
рабочей жидкости и развиваться высокое давление, которое передаётся на валики и опоры насоса,
что приводит к сокращению срока его службы. Для
избежания этого необходимо производить разгрузку насоса.
С этой целью во впадинах устраивают радиРис. 4.13
альные каналы для отведения жидкости (рис. 4.13).
У работающего насоса полость всасывания расположена с той стороны,
где зубья выходят из зацепления, а нагнетания со стороны, где зубья входят в
зацепление.
Подачу шестерёнчатого насоса определяют по формуле:
Q = 2 π b(R г2 − R н2 − l 2 ) nη 0 ,
(4.18)
где Rг и Rн – соответственно радиусы головок зубьев и начальной окружности
шестерён; b – ширина шестерён; l = R н ϕ cos α – половина длины линии зацепления (α – угол зацепления шестерён; ϕ – угол поворота шестерён, рад).
В случае, когда обе шестерни имеют одинаковые размеры, т.е. одинаковый объём межзубовых впадин, подача будет равна:
Q = 2π bDн m nη 0 ,
(4.19)
где Dн – диаметр начальной окружности; m – модуль зацепления (m = Dн /z);
η 0 = η v ⋅ k1 , где η v
– объёмный КПД насоса, находится в пределах 0.80…0.90,
k1 – поправочный коэффициент, учитывающий разницу между действительным объёмом впадин зубьев и расчётным кольцевым объёмом (в среднем
1.1).
k1 =
126
Подача в шестерённых насосах носит пульсирующий характер. Частота и
амплитуда пульсаций зависят от угла зацепления α, угловой скорости вращения
и числа зубьев шестерён. С увеличением числа зубьев равномерность работы
насоса увеличивается, а подача уменьшается. Коэффициент неравномерности
подачи вычисляется по формуле:
kн = l +
1
,
z
(4.20)
где z – число зубьев, в серийно выпускаемых насосах z колеблется от 8 до 14.
На вал и на ось насоса действует неуравновешенная сила, создаваемая перепадом давления в полостях нагнетания и всасывания. Эта сила действует на каждую шестерню и определяется по формуле
Р = 0.85D Г b( p 2 − p1 ) ,
(4.21)
где DГ – диаметр окружности головок зубьев, р1 и р 2 – давление жидкости в
полостях всасывания и нагнетания.
Для уменьшения этой силы ширину шестерён обычно принимают не более 10 m
(отношение шага зубьев зубчатого колеса к числу π ).
Для компенсации неуравновешенной силы в насосах, работающих при
большом давлении, прибегают к гидравлической разгрузке. В этом случае в
корпусе насоса прокладывают узкие каналы, которыми соединяют с полостями
всасывания и нагнетания.
Шестерённые насосы выпускают для низкого давления – до 1 МПа, среднего – до 3 МПа и высокого – 10 МПа.
Шестерённые насосы обратимы, т.е. могут работать как
насос-
гидромотор.
Конструктивно шестерённые гидромоторы отличаются от насосов следующим:
1) меньшими зазорами в подшипниках,
2) меньшими усилиями поджатия втулок к торцам шестерён,
127
3) разгрузкой подшипников от неуравновешенных радиальных усилий.
Крутящий момент, создаваемый жидкостью, воздействующей на зубья
шестерён, можно определить по формуле:
(
)
М кр = ΔРb Rг2 − Rн2 − l 2 η m ,
(4.22)
где ΔР - перепад давлений в гидродвигателе, η m – механический КПД.
Наибольшее распространение в машинах и механизмах лесного комплекса, автомобиле- и тракторостроении получили насосы типа НШ и гидродвигатели типа НМШ.
4.4 Гидроцилиндры
Гидроцилиндры – это простейшие гидродвигатели, в которых выходное
звено совершает ограниченное прямолинейное возвратно-поступательное движение. Выходным звеном может быть шток, плунжер или корпус гидроцилиндра, для случая, когда поршень со штоком при работе гидродвигателя находится
в неподвижном состоянии.
Гидроцилиндры бывают прямолинейного действия и поворотные. Гидроцилиндры, у которых выходное звено совершает ограниченные углы поворота называются поворотными.
По конструкции рабочей камеры гидроцилиндры подразделяют на поршневые, плунжерные, телескопические, мембранные и сильфонные.
Поршневые гидроцилиндры могут быть с односторонним или двусторонним штоком.
Бывают комбинированные гидроцилиндры (две камеры, два поршня и т.п.)
По направлению действия рабочей жидкости гидроцилиндры бывают одностороннего и двустороннего действия.
Одностороннего действия – рабочий ход осуществляется под действием рабочей жидкости, холостой ход – с помощью усилия пружины, массы, слива рабочей жидкости, электромагнита и т.п.
128
Рассмотрим схемы гидроцилиндров.
Рис. 4.14 Поршневой гидроцилиндр одностороннего действия
У поршневого гидроцилиндра с односторонним штоком полезные объёмы
штоковой и бесштоковой полостей цилиндра не равны между собой, скорость
движения поршня в одном и другом направлениях будет различной.
Рис. 4.15 Поршневой гидроцилиндр двустороннего действия
Такие гидроцилиндры (рис.4.15) имеют одинаковую скорость движения
поршня в обоих направлениях, но они более сложны и громоздки.
Рис.4.16 Плунжерный гидроцилиндр одностороннего действия
129
Плунжерные гидроцилиндры могут иметь плунжер сплошного или трубчатого сечения. Преимущество плунжерных гидроцилиндров перед поршневыми заключается в том, что они не требуют отшлифованной внутренней поверхности, так как герметичность обеспечивается сальниками и уплотнительными
устройствами. Однако, плунжерные гидроцилиндры более громоздки посравнению с поршневыми. Холостой ход осуществляется путём слива рабочей
жидкости.
Рис. 4.17 Телескопический гидроцилиндр одностороннего действия
Телескопическим гидроцилиндром называют объёмный гидродвигатель, в
котором выходным звеном является несколько концентрически расположенных
поршней или плунжеров, перемещающихся относительно друг друга, причем
сумма их ходов равна ходу выходного звена. При работе выдвигается сначала
плунжер с диаметром D1 (т.е. с большим диаметром), затем D2.
Рис. 4.18 Мембранный гидроцилиндр
1 – корпус; 2 – резиновая мембрана; 3 – шток; 4 – пружина
130
Жидкость под давлением через отверстие, указанное стрелкой, поступает в
корпус 1, от этого мембрана 2 выгибается книзу и приводит в движение шток 3,
который сжимает пружину 4. После прекращения давления со стороны жидкости на мембрану шток под действием пружины совершает движение в обратном
направлении.
Наибольшее распространение в гидросистемах машин лесной промышленности получили поршневые, телескопические и плунжерные гидроцилиндры
одностороннего действия. Среди этих гидроцилиндров наиболее просты по устройству и дешевле при изготовлении плунжерные гидроцилиндры.
Мембранные гидроцилиндры не нашли широкого применения из-за небольшого хода поршня. Однако эти гидроцилиндры имеют высокий объемный
КПД, так как ввиду хорошей герметичности рабочей камеры в них практически
отсутствуют утечки.
Запишем формулы расчета некоторых рабочих параметров гидроцилиндров:
– скорость рабочего хода поршня без учета потерь для гидроцилиндров с
односторонним штоком
vp =
4Q
Q
=
;
π D2 π D2
4
(4.23)
– скорость холостого хода
vх =
Q
π
4
(D
2
−d
2
)
;
(4.24)
– для гидроцилиндров с двусторонним штоком
v X = vP =
Q
π
4
(D
2
−d
2
)
;
(4.25)
– скорость последовательного выдвижения поршней или плунжеров телескопического гидроцилиндра двустороннего действия
131
v1, 2, 3 =
4Q
.
π (D12, 2,3 )
(4.26)
Время, потребное для совершения одного двойного хода поршня:
– для гидроцилиндра с односторонним штоком
t=
S
S
;
+
vP v X
(4.27)
– для гидроцилиндра с двусторонним штоком
t=
2S
πD 2
Q
4 .
(4.28)
Подъемная сила гидроцилиндра:
– для гидроцилиндра на рис.4.14
p= p
πD 2
4
− R ПР ,
(4.30)
где р – давление жидкости, подводимое в гидроцилиндр, МПа; R ПР = сS – усилие, создаваемое пружиной; c – жесткость пружины; S – ход поршня;
– для телескопического гидроцилиндра двустороннего действия
p= p
πD32
4
− ∑ PТР ,
(4.31)
где РТР – силы трения в уплотнениях;
– для мембранного гидроцилиндра
P=k
πD 2
4
p,
(4.32)
где k – коэффициент активности мембраны, зависящий от размеров грибка
1+α +α 2
k=
,
3
(4.33)
где α = d D ; оптимальное значение α = 0.67 ; d – диаметр грибка, м; D – активный диаметр мембраны, м.
132
Ход штока в мембранных гидроцилиндрах выбирают в зависимости от диаметра мембраны:
– для плоских мембран S = 0,15 D ;
– для тарельчатых мембран S = 0,20 D ;
– для гофрированных мембран S = 0,25 D .
Гидроцилиндры являются наиболее распространенными гидродвигателями,
применяемыми в гидроприводе машин лесной промышленности. С помощью
гидроцилиндров приводятся в движение рабочие органы тракторов, дорожных
машин, валочно-трелевочных машин, лесопогрузчиков и т.п.
4.5 Гидрораспределители
Гидрораспределители – это устройства, с помощью которых осуществляется изменение направления движения потока рабочей жидкости.
Они устанавливаются в гидросистему для изменения направления движения исполнительных механизмов машины, а так же для обеспечения нужной
последовательности включения в работу этих механизмов. С помощью гидрораспределителей производится разгрузка насоса и гидросистемы от давления и
ряд других операций.
Гидрораспределители являются одним из основных элементов схемы
гидропривода любой машины. Поэтому к ним предъявляются следующие требования:
1) безотказность работы в течение определенного времени независимо от
условий эксплуатации;
2) минимальные утечки рабочей жидкости;
3) небольшие потери давления на преодоление гидравлических сопротивлений;
4) невысокая стоимость;
5) быстрота переключения;
133
6) безударный реверс;
7) точное положение реверсируемого механизма.
По способу присоединения к гидросистеме гидрораспределители выпускают в трех исполнениях:
1) резьбовом;
2) фланцевом;
3) стыковом.
Выбор способа присоединения зависит от назначения гидрораспределителя и расхода через него рабочей жидкости.
Основным
элементом
гидрораспределителя
является
запорно-
регулирующий элемент.
По конструкции запорно-регулирующего элемента гидрораспределители
подразделяют на:
1) золотниковые;
2) крановые;
3) клапанные.
По воздействию потока рабочей жидкости гидрораспределители различают прямого и непрямого действия (воздействие непосредственно на запорнорегулирующий элемент или через вспомогательное устройство).
Наибольшее распространение получили золотниковые гидрораспределители, а в машинах и механизмах лесной промышленности используются только
золотниковые и крановые (пробковые) гидрораспределители.
4.5.1 Золотниковые гидрораспределители
Они состоят из запорно-регулирующего элемента – золотника с поясками, корпуса с окном для подвода и отвода рабочей жидкости, крышек и устройств управления.
Эти распределители просты по устройству, многопозиционны, легко
управляются, статически уравновешены от сил давления рабочей жидкости.
134
В гидроприводе гидрораспределители выполняют несколько операций,
которые определяются числом фиксированных положений золотника.
По числу фиксированных положений золотника гидрораспределители делятся на:
1) двухпозиционные;
2) трехпозиционные;
3) многопозиционные.
По числу подводов (линий) могут быть:
1) двухходовые;
2) трехходовые;
3) четырех и более ходовые.
Рассмотрим схему четырехходового гидрораспределителя (рис. 4.19).
1 – гидроцилиндр;
2 – плунжер (рабочий элемент);
3 и 5 – каналы отвода;
4 – канал подвода;
6 – насос;
7 – линия слива;
8 – гидробак
Рис. 4.19
Жидкость от насоса 6 подводится к каналу 4, из которого в зависимости
от положения плунжера 2 поступает в левую или правую полость гидроцилиндра.
135
В схеме гидропривода каждая позиция золотника изображается в виде
клетки, в которой показан вариант соединения в этой позиции, например:
1) В нейтральном положении золотника запираются обе полости гидродвигателя, подвод и слив рабочей жидкости.
2) Обе полости гидродвигателя соединены с
подводом, слив заперт.
3) Обе полости и подвод соединены со сливом.
4) Подвод заперт, обе полости соединены со сливом.
Гидрораспределители бывают как с одним, так и с несколькими золотниками, в этом случае они моноблочные или секционные.
Гидрораспределители с несколькими золотниками устанавливают в случае, если от одного насоса работают несколько гидродвигателей.
Для уравновешивания плунжера распределителя от сил давления жидкости, возникающих в сливной магистрали, плунжер золотника снабжают с левой
стороны ложным хвостовиком (рис.4.20).
При отсутствии хвостовика на неуравновешенную площадь плунжера ω =
π (D 2 − d 2 )
4
будет действовать неуравновешенное усилие давления жидкости
Рис 4.20
P = p сл ω = p сл
π (D 2 − d 2 )
4
,
(4.34)
где p сл - давление в сливной магистрали; D и d - диаметры плунжера и хвостовика соответственно.
136
Уравновешивание плунжера от указанных сил достигается так же, применением трёх и четырёхпоясковых схем (рис.4.21), в которых плунжеры уравновешены в осевом направлении от сил рабочего и сливного давлений.
Как и любое оборудование, распределители не должны быть громоздки. Размеры
золотника распределителя выбираются в зависимости от расхода и скорости масла в его
Рис.4.21
каналах. Величина скорости выбирается в 2 – 2.5 раза выше скорости жидкости
в подводящих трубах. Практически скорость потока жидкости в любом сечении
выбирают в пределах 6 – 10 м/с.
Кроме неуравновешенных сил в распределителях возникают и силы трения, которые определяют качество изготовления распределителя. Силы трения
возникают при переключении распределителя. Величина силы трения при распространенном диаметре плунжера 20 мм, перепаде давления жидкости 100
кГс/см2 (100 ат), (9,81 МПа) и неподвижном состоянии золотника 5-8 мин, со-
ставляет примерно 2.5-3 кГс (25 – 30 Н).
Наиболее простым способом снижения сил трения является выполнение
на поверхности плунжера или корпуса золотника прямоугольных канавок. Так,
при выполнении на пояске плунжера 5 – 7 канавок сечением 1 мм2 , сила трения
снижается в 5-8 раз.
По управлению гидрораспределители подразделяются на:
1) с ручным управлением;
2) электромагнитным;
3) гидравлическим или электрогидравлическим.
На схеме они обозначаются следующим образом (рис.4.22):
1)
2)
3)
Рис. 4.22 Условные обозначения гидрораспределителей:
137
1) с ручным управлением и фиксацией; 2) с электромагнитным управлением;
3) с гидравлическим управлением
4.5.2 Крановые (пробковые) гидрораспределители
В крановых гидрораспределителях изменение направления потока рабочей
жидкости
достигается
поворотом
пробки,
имеющей
плоско-
цилиндрическую, сферическую или коническую форму.
Они бывают двух, трёх и многопозиционные.
Герметичность кранового гидрораспределителя (рис.4.23) достигается
путем притирки пробки к корпусу крана. В многопозиционных гидрораспределителях положение пробки фиксируется. Зазор между пробкой и корпусом принимаем равным 0.01…0.02 мм.
Рис.4.23 Крановый распределитель
Недостатком пробкового гидрораспределителя является то, что вследствие износа пробки и корпуса зазор между ними, а вследствие чего и утечки
жидкости увеличиваются.
Для устранения этого недостатка используют гидрораспределитель с конической пробкой.
Иногда эти распределители используются в качестве основных, но в
большинстве случаев в качестве вспомогательных в золотниковых гидрораспределителях с гидравлическим управлением.
138
4.6 Гидроклапаны
Гидроклапаны, так же как и гидрораспределители, объединяются общим названием – гидроаппаратура. Сама по себе гидроаппаратура предназначена для
регулирования скорости движения силового органа (выходного звена), поддержания заданного давления в гидросистеме и выходных звеньях при различных режимах работы гидропривода. Гидроаппаратура бывает регулирующая и направляющая, а по принципу своего действия подразделяется на гидроклапаны и гидроаппаратуру неклапанного действия.
Гидроклапаном называется гидроаппарат, у которого величина открытия рабочего проходного сечения изменяется от воздействия проходящего через него
потока рабочей жидкости. Гидроаппарат, величина открытия сечения которого не
зависит от потока рабочей жидкости – называется гидроаппаратом неклапанного
действия.
По функциональным признакам, т.е. по назначению, которое клапаны выполняют в гидросистеме, различают гидроклапаны:
1) давления (напорные, редукционные, разности давлений) – предохраняют
гидросистему от чрезмерных давлений, поддерживают давление постоянным и т.п.
2) управляющие потоком рабочей жидкости (делители и сумматоры потоков, обратные клапаны, ограничители расхода, гидрозамки) – поддерживают заданное соотношение расходов в двух или нескольких параллельных потоках, пропускают рабочую жидкость в двух или нескольких направлениях и т.п.
3) обеспечивающие нужную последовательность включения в работу исполнительных органов (клапаны последовательности, выдержки времени).
По характеру воздействия потока на запорно-регулирующий элемент гидроклапаны делятся на клапаны прямого действия (непосредственное действие
139
рабочей жидкости) и непрямого действия (поток действует на вспомогательный
элемент, а тот, в свою очередь, на запорно-регулирующий элемент клапана).
4.6.1 Напорные гидроклапаны
Предназначены для ограничения давления в подводимых к ним потоках рабочей жидкости. Служат как предохранительные гидроклапаны системы от давления, превышающего установленное. Работают они постоянно или эпизодически
(только в момент повышения давления).
При постоянной работе напорные клапаны перепускают рабочую жидкость
на слив, поддерживая тем самым в гидросистеме постоянное давление.
По конструкции запорно-регулирующего элемента подразделяются на: шариковые, конические и золотниковые.
Рассмотрим принципиальные схемы напорных клапанов прямого действия.
1 – корпус;
2 – отверстие;
3 – регулировочный винт;
4 – пружина;
5 – запорно-регулировочный
элемент (шарик);
6 – отверстие.
Рис. 4.24 Шариковый гидроклапан
При установке клапанов гидросистемы пружина 4 затягивается с помощью
винта 3 так, чтобы создаваемое ею давление было на 10-20% больше рабочего
140
давления. Как только давление в гидросистеме окажется выше требуемого, шарик
5 поднимется вверх, сожмёт пружину 4 и жидкость через отверстие 6 сбрасывается
в сливную линию. При уменьшении рабочего давления в гидросистеме пружина 4
прижимает шарик 5 и снова восстанавливается заданное давление.
Недостатком шарикового гидроклапана является вибрация шарика при сбросе давления. Чтобы устранить этот недостаток применяют специальные демпферные устройства.
Шариковые гидроклапаны имеют простое устройство, мало чувствительны к
загрязнению, поэтому они широко применяются в гидроприводах для невысоких
давлений, малых расходов и в гидросистемах, где гидроклапан редко срсбатывает.
Устройство конусного гидроклапана (рис.
4.25) аналогично устройству шарикового клапана, отличие в том, что вместо шарика в качестве
запорно-регулировочного элемента используется конус.
Рис. 4.25 Конусный гидроклапан
Рис.4.26 Тарельчатый гидроклапан
141
4) Плунжерный гидроклапан выполнен по типу гидрораспределителя. Усилие создается пружинами. В схемах гидропривода напорные клапаны изображаются следующим образом (рис. 4.27)
Рис.4.27 Условное обозначение напорных гидроклапанов
4.6.2 Редукционные гидроклапаны
Редукционными называются гидроклапаны давления, предназначенные для
поддержания в отводимом от них потоке рабочей жидкости более низкого давления, чем давление в подводимом к клапанам
потоке.
В гидроприводе используются два типа
редукционных клапанов:
1) Клапаны, обеспечивающие только установленное соотношение между давлениями
на входе и выходе из клапана;
2) Поддерживающие постоянное редуцированное давление в ответвлении от напорной линии на заданном уровне, независимо от колебания давления в подводимом и отводимом потоках рабочей жидкости.
Рис. 4.28 Редукционный клапан первого типа
142
1 – корпус; 2 – запорно-регулирующий элемент – дифференциальный плунжер; 3 – пружина; 4 – винт; 5 – отверстие, соединенное с гидролинией высокого
давления; 6 – отверстие, соединенное с гидролинией низкого давления.
Рассмотрим редукционный клапан первого типа (рис. 4.28).
В исходном положении вход 5 отделен от выхода 6.
При повышении давления Р1 плунжер 2 поднимается и ГЛ высокого давления соединяется с ГЛ низкого давления.
Редуцированное давление определяется по следующей формуле:
⎛ πD 2 πd 12 ⎞
⎟⎟ − Pпр − сх
P1 ⎜⎜
−
4
4
⎝
⎠
,
P2 = P1
2
πd 2 πd 12
−
4
4
(4.35)
где Р1 – давление на входе; Рпр – начальная сила натяжения пружины клапана;
с – жесткость пружины; х – осевое смещение клапана.
Рис. 4.29 Условное обозначение редукционных гидроклапанов
4.6.3 Обратные гидроклапаны
Обратным гидроклапаном называется направляющий гидроаппарат, предназначенный для пропускания рабочей жидкости только в одном направлении. Так
же как и напорные гидроклапаны они могут иметь шариковый, конусный, тарельчатый или плунжерный запорно-регулирующий элемент.
Основное требование к обратным клапанам – герметичность. Поэтому они
могут иметь один и более запорных элементов. Наиболее герметичны конусные и
плунжерные обратные гидроклапаны.
143
В схеме гидропривода они обозначаются (рис.4.30):
Рис.4.30
4.6.4 Ограничители расхода
Ограничитель расхода – это клапан, предназначенный для ограничения расхода в гидросистеме.
В схеме гидропривода обозначается (рис.4.31):
Рис.4.31
4.6.5 Делители потока
Делители потока служат для деления одного потока рабочей жидкости на
два и более равных потоков независимо от величины противодавления в каждом
из них.
Условное обозначение делителей потока
представлено на рис.4.32.
Рис. 4.32
Делители потока работают на чистых минеральных маслах с температурой от
10 до 50 °С и с кинематической вязкостью от 10 до 400 мм 2 с .
Технические характеристики некоторых делителей потока представлены в
[4].
144
4.7 Дроссели
Дроссель представляет собой местное гидравлическое сопротивление, устанавливаемое на пути течения жидкости для регулирования её расхода или
создания сопротивления.
В гидроприводах они применяются главным образом для регулирования
скорости выходного звена гидродвигателей прямолинейного движения (силовые гидроцилиндры) или числа оборотов вала гидромоторов.
Дроссельное регулирование основано на превращении части энергии в
тепло. Поэтому этот вид регулирования применяется в системах небольшой
мощности (до 5 л.с.). Это обусловлено невозможностью повышения температуры рабочей жидкости (так как изменятся плотность, вязкость и другие свойства).
По принципу действия различают дроссели:
– вязкостного сопротивления, потеря напора в котором определяется преимущественно вязкостным сопротивлением потоку жидкости в длинном дроссельном канале, такие дроссели получили название линейных;
– инерционного сопротивления с малой длиной канала, потеря напора в
котором определяется в основном инерционными силами, они называются нелинейными дросселями.
Первый тип дросселей характеризуется большой длиной и малым сечением дроссельного канала. Ввиду этого потери напора в них обусловлены трением при ламинарном течении, т.е. при небольших числах Рейнольдса.
В качестве примера линейного дросселя рассмотрим канавочный дроссель (рис. 4.33)
145
Рис.4.33 Канавочный дроссель
1 – корпус; 2 – винт; 3,4 – окна подвода и отвода рабочей жидкости
Жидкость движется по винтовой прямоугольной канавке, длину которой
можно изменять поворотом винта. Чем меньше длина пути, чем больше расход
жидкости через дроссель и наоборот.
Площадь живого сечения и длину канала устанавливают в зависимости от
требуемого перепада давлений и исключения засоряемости канала механическими примесями.
Расход жидкости через дроссель зависит от давления перед дросселем,
т.е.:
Q = k1 ⋅ P ,
(4.35)
где k1 – коэффициент, зависящий от конструкции дросселя.
Т.к. вязкость рабочих жидкостей изменяется в зависимости от температуры, эти дроссели имеют нестабильную расходную характеристику и их применение ограничено.
В дросселях второго типа изменение давления происходит практически
пропорционально квадрату скорости потока жидкости, ввиду чего такой дроссель называется квадратичным. Его характеристика практически не зависит от
вязкости.
146
Изменение перепада давления, а, следовательно, и изменение расхода
жидкости через дроссель достигается изменением площади проходного сечения
или числа местных сопротивлений.
Наиболее распространённым дросселем
этого типа является поворотный кран (рис.4.34)
Изменение проходного сечения регулируется поворотом пробки с канавкой переменного сечения.
Недостатком является зависимость расхода масла от температур и возможность засорения проходного канала при малых его сечениях.
Рис.4.34
К дросселям второго типа относятся так же игольчатые дроссели
(рис.4.35а), пластинчатые (рис.4.35б), щелевые (рис. 4.35в), пакетные и комбинированные.
Рис.4.35
а) Игольчатый дроссель
в) щелевой дроссель
б) пластинчатый дроссель
147
Пакетный дроссель (устанавливается для достижения больших ΔР ) может
быть выполнен в виде ряда последовательно установленных пластин
(рис.4.35б). В них l должно быть не меньше (3…5)d, а δ не более (0,4…0,5)d.
В нелинейных дросселях расход зависит от перепада давлений.
Q = k 2 ⋅ ΔP ,
(4.36)
где k2 – коэффициент зависящий от конструкции и степени открытия дросселя.
Расчёт дросселей производят по следующим формулам.
Расход жидкости через дроссель
Q = μ ⋅ω ⋅ 2 ⋅ g ⋅
ΔP
γ
,
(4.37)
где ω - площадь проходного сечения; ΔР – перепад давлений у дросселя; μ - коэффициент расхода.
Для каналов с круглой формой поперечного сечения
μ =ε⋅
1
l
∑ξ + λ ⋅
d
,
(4.38)
с прямоугольной формой
μ =ε⋅
1
l
∑ξ + λ ⋅
4R
,
(4.39)
где ε - коэффициент сжатия струи; ξ - коэффициент местного сопротивления; λ
- коэффициент сопротивления трению; R – гидравлический радиус, м; l - длина
канала дросселя, м; d – диаметр канала, м.
При дроссельном регулировании гидропривода, дроссель
может быть установлении на входе, на выходе, или на ответвлении от напорной гидролинии.
Условное
рис.4.36
Рис.4.36
обозначение
дросселей
представлено
на
148
4.8 Регулирование гидропривода
Рассмотренные нами основные элементы схемы гидропривода – это насосы, гидромоторы, гидрораспределители, гидроклапаны, дроссели и другое оборудование гидролиниями объединяются в единую гидросистему, приводящую в
движение силовые органы машин, станков и поточных линий. В процессе их
эксплуатации возникает необходимость регулирования скорости движения этих
силовых органов (например, автотормозная система, в лесопильных машинах –
скорость приближения пилы на бревно и т.д.)
Изменить скорость движения исполнительных механизмов можно путём
регулирования скорости движения или поворота гидродвигателя.
Регулирование это может быть: объёмным, дроссельным, объёмнодроссельным или при помощи приводящего двигателя. Наибольшее применение получили первые три способа.
Объёмное регулирование обычно используется в гидроприводах с замкнутой системой циркуляции.
Объёмное регулирование осуществляется в следующих вариантах:
1. Регулируемый насос и нерегулируемый гидромотор
2. Регулируемый гидромотор и нерегулируемый насос
3. Регулируемые насос и гидромотор.
Объёмное регулирование по сравнению с другими имеет более высокий
КПД, особенно в гидроприводах большой мощности.
Дроссельное регулирование осуществляется установкой дросселя в следующих местах:
– у входа гидродвигателя;
– у выхода гидродвигателя;
– на ответвлении от магистрали.
149
Дроссельное регулирование используют при мало изменяющихся нагрузках или когда при эксплуатации машины не требуются стабильные скорости
движения выходного звена.
В случае, когда объёмное регулирование не обеспечивает достаточной
равномерности движения выходного звена гидродвигателя из-за влияния на
расход утечек рабочей жидкости в гидросистеме, используют объёмнодроссельное регулирование.
4.9 Вспомогательные устройства гидропривода
К вспомогательным устройствам относятся гидробаки, теплообменники,
фильтры, уплотнительные устройства, гидравлические аккумуляторы, гидравлические реле давления, гидроклапаны выдержки времени, гидрозамки и измерительная аппаратура.
Служат вспомогательные устройства для обеспечения надёжной работы
гидропривода.
1. Гидробаки.
Они осуществляют питание гидропривода рабочей жидкостью (кроме того в них происходит охлаждение жидкости, выделение из неё воздуха и осаждение механических примесей)
Изготовляют их сварными из листовой стали или листами из чугуна.
Форма – чаще прямоугольная. В гидробаке имеются перегородки отделяющие
всасывающую полость от сливной. Для поддержания одного уровня в гидробаке в перегородках имеются отверстия. Для выделения воздуха из рабочей жидкости в гидробаке устанавливается сетка. Так же имеется сапун для отвода паров и пробка для слива и очистки рабочей жидкости (магнит). Заполняют жидкостью до смотрового глазка.
150
2. Теплообменники.
Теплообменники служат для охлаждения рабочей жидкости. В гидроприводе применяют два типа теплообменников: с воздушным и водяным охлаждением.
1) теплообменники с воздушным охлаждением выполнены по типу автомобильных радиаторов (для улучшения теплообмена устанавливаются вентиляторы). В них температура охлаждённой жидкости на 6-10 градусов выше температуры охлаждения воздуха.
2) теплообменники с водяным охлаждением компактнее и эффективнее
воздушных. Выполнены в виде змеевика, который помещён в гидробак. По
змеевику циркулирует холодная вода. Применяют их в стационарных машинах,
работающих в тяжёлых условиях.
3. Фильтры.
Служат для очистки рабочей жидкости от частиц, загрязняющих её веществ, которые попадают в жидкость извне и образуются в результате износа
гидроагрегатов.
Фильтры бывают бумажные, из металлической сетки, глубинные, магнитные. Глубинные устанавливают для повышения тонкости фильтрации. В качестве фильтрирующего элемента пористый металл, керамика, спрессованный
текстиль и т.п.
151
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Лебедев Н.И. Объёмный гидропривод машин лесной промышленности
[Текст]: учеб.пособие / Н.И. Лебедев. – 2-е изд. – Москва: Лесн. промть, – 1986. – 293 с.
2. Осипов П.Е. Гидравлика. Гидравлические машины и гидропривод
[Текст]: учеб.пособие / П.Е. Осипов. – 3-е изд. – Москва: Лесн. промть, – 1981. – 424 с.
3. Чугаев Р.Р. Гидравлика [Текст]: Техническая механика жидкости / Р.Р.
Чугаев. – 4-е изд. – Л.: Энергоиздат. Ленингр.отд-ние, 1982. – 672 с.
4. Башта Т.М. Гидравлика, гидромашины и гидроприводы [Текст] / Т.М.
Башта [и др.]. – Москва: Машиностроение, – 1982. – 422 с.
5. Башта Т.М. Техническая диагностика гидравлических приводов [Текст]
/ под ред. Т.М. Башты. – Москва: Машиностроение, – 1989. – 264 с.
6.Чупраков Ю.И. Гидропривод и средства гидроавтоматики [Текст]
Учеб.пособие / Ю.И. Чупраков – Москва: Машиностроение, – 1979. –
232 с.
7. Гамынин Н.С. Гидравлический привод систем управления / Н.С. Гамынин – Москва: Машиностроение, – 1972. – 376 с.
8. Гидравлика, гидромашины и гидропривод [Текст]: учеб. пособие / Т.В.
Артемьева [и др.]; под ред. С.П. Стесина. – М. : «Академия», 2005. –
336 с.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
41
Размер файла
1 212 Кб
Теги
кондратенко, гидравлика, гидросистем, гидроприводы
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа