close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Математика. Высшая математика. Математика (Геометрия)(практ.)

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ Г.Ф. МОРОЗОВА»
МАТЕМАТИКА
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
МАТЕМАТИКА (Геометрия)
методические указания к практическим занятиям для студентов
по направлениям подготовки 05.03.06 – Экология и природопользование,
35.03.01 – Лесное дело, 35.03.10 - Ландшафтная архитектура
Воронеж 2016
УДК 512.8, 517 519.21
Сапронов, И. В. Математика. Высшая математика. Математика (Геометрия)
[Электронный ресурс]: методические указания к практическим занятиям для
студентов по направлениям подготовки 05.03.06 – Экология и
природопользование, 35.03.01 – Лесное дело, 35.03.10 – Ландшафтная
архитектура / И. В. Сапронов, А. И. Фурменко ; М-во образования и науки
РФ, ФГБОУ ВО «ВГЛТУ». – Воронеж, 2016. – 36 с.
Печатается по решению учебно-методического совета
ФГБОУ ВО «ВГЛТУ» (протокол № 5 от 22 апреля 2016 г.)
Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф. Воронежского государственного
педагогического университета
В.В. Обуховский
ОГЛАВЛЕНИЕ
Элементы линейной алгебры………………………………………………4
Координаты на плоскости. Уравнения прямых линий и кривых
второго порядка……………………………………………………………..7
Решение типовых задач на уравнения прямых на плоскости…………..11
Комплексные числа………………………………………………………..13
Производная. Основные понятия…………………………………………14
Решение типовых задач на нахождение производной………………..…23
Интеграл……………………………………………………………………24
Решение типовых задач на нахождение неопределенных интегралов…28
Решение типовой задачи на нахождение площади фигуры
с помощью определенных интегралов…………………………………...30
Дифференциальные уравнения…………………………………………...31
Решение типовых задач на нахождение решений дифференциальных
уравнений…………………………………………………………………...33
Библиографический список ……………………………………………… 35
4
Элементы линейной алгебры
Укажите номера правильных ответов:
1. Элементы главной диагонали матрицы:







2 3 7 

A  4 1 2
5 2 2



1) 2, 1, 2;
3) 4, 1, 2;
2) 5, 1, 7;
4) 3, 1, 2.
2. Элементы побочной диагонали матрицы:







2 3 7 

A  4 1 2

5 2 2 
1) 2, 1, 2;
3) 4, 1, 2;
2) 5, 1, 7;
4) 3, 1, 2.
3 3 6
3. Определитель
1 1 4
1 1 1
1) 6;
3) 0;
2) -3;
4) 3.
равен:
5
3 1 3
4. Определитель 3
равен:
1 3
5 2 6
1) 15;
3) 12;
2) 0;
4) 3.
2
5. Сумма матриц A  
5

6
7 
6

1 
1) 
,

7
4 
5

4 
2) 

4
3 
10

1 
4
6 
5

1 
2) 
,


1 
4
и B  
1

5
8 
0

1 
3) 
,

6. Произведение матрицы
1) 
3 
,



0 
3 
6 
10

0 
,

8
12 
5

0 

на число 2 это матрица вида

1 
4
это матрица:
4) 
,

2
A  
5

3) 
4 
4)
4


5
3 

0 
7. Формулы для решения системы n линейных уравнений с n неизвестными
если определитель системы отличен от нуля имеют вид:
x1 


1
;
x2 


2
; ……… ,
xn 


n
.
Это формулы называются формулами:
1) Гаусса;
2) Крамера;
3) Лейбница;
4) Ньютона - Лейбница.
8. Квадратная матрица имеет вид:
 2 4
5 6,


3 1


2) 0 2 ,


 4 4


1 0
1 1 0
,
4)
0 0 1



0 1
3) 
6
9. Укажите матрицы, которые не являются единичными:
0 0 1


1) 0 1 0 ,


1 0 1


 1 1 1
1 0 0

 , 3)  0 1 0  ,
2) 1 1 1




 1 1 1
0 0 1




1 0 1


4) 0 1 0


0 0 1


10. Квадратная матрица третьего порядка имеет вид:
 2 4
 3 1 2
1 0
1 1 0




1) 3 1 , 2) 0 2 3 , 3) 
,
4)
0 0 1







0 1
8 2
4 4 0




11.
a
A   11
 a21
Определитель матрицы
aa
3) a a
1)
11
22
11
22
aa
-a a
-
21
12
12
;
21
;
11
22
+
a a
22
11
+
aa
aa
4) a a
2)
a12 
вычисляется по формуле:
a22 
21
21
22 ;
12
12. Найдите определители равные нулю.
1)
3 2 3
3 2 2
1 4 1 , 2)
0 3 2 ,
1 5 1
0 0 3
3 2 3
3) 3
1 0 0
2 3 , 4)
1 4 5
0 1 0
0 0 1
13. Диагональные матрицы имеют вид:
1 0
1) 0
2
0
3 0 0
0 , 2) 0 3 0 ,
0 0 3
0 0 3
0 0 1
3) 0
2 0 ,
3 0 0
1 0 0
4)
0 1 0
0 0 2
14. Определители, которые равны произведению элементов главной
диагонали:
7
3 0 0
1) 2
3 2 2
3 0 , 2)
0 3 2
2 2 3
3 2 2
, 3)
0 0 3
3 2 2
2 3 2 , 4) 0 3 0
2 2 3
2 2 3
Координаты на плоскости. Уравнения прямых линий и кривых второго
порядка
Укажите номера правильных ответов.
15. Точки имеют координаты А(x1;y1), B(x2;y2). Координаты вектора AB :
1.
(x1-x2; y1-y2);
2. (x2-x1; y2-y1);
3. (x1+x2; y1+y2);
4. (x1; y2).
16. Точки имеют координаты А(x1;y1), B(x2;y2). Координаты середины
отрезка АВ находятся по формулам:
1. x =
x2  x1
y y
; y= 2 1;
2
2
2. x = x2-x1; y= y2-y1;
3 x=
x2  x1
y y
; y= 2 1;
2
2
4. x = x1+x2; y = y1+y2.
17. Формула расстояния между двумя точками:
1. d= ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2 ;
8
2. d= ( x  x )2  ( y  y )2 ;
1 2
1 2
3. d=
( x1  x2 )2  ( y1  y2 )2
.
18. На плоскости уравнение прямой с угловым коэффициентом k имеет вид:
1. А(x-x0)+B(y-y0)=0;
2.
x  x0 y  y0
;

m
n
3. y= kx + b;
4. Ax + By + C=0.
19. Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид:
1.
x  x0 y  y0
;

m
n
2. y = kx + b;
3. y-y0=k(x-x0);
4. Ax + By + C=0.
20. Уравнение прямой, проходящей через данную точку М0(x0;y0)
перпендикулярно данному вектору (A, B) имеет вид:
1. y= kx + b;
2. Ax + By + C=0;
3. А(x-x0)+B(y-y0)=0;
4.
x  x1
y  y1
.

x2  x1 y2  y1
21. Уравнение прямой , проходящей через данную точку с данным углом
коэффициента k имеет вид:
1. y-y0=k(x-x0);
2.
x  x0 y  y0
;

m
n
3. Ax + By + C=0;
4. А(x-x0)+B(y-y0)=0.
9
22. Уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид:
1.
x  x0 y  y0
;

m
n
2. y-y0=k(x-x0);
23.
3.
x  x1
y  y1
;

x2  x1 y2  y1
4.
Ax + By + C=0.
Это уравнение
(x-a)2+(y-b)2=r2.:
1. окружности;
2. эллипса;
3. гиперболы;
4. параболы.
24. Это уравнение
x2 y 2

 1.
a 2 b2
1. окружности;
2. эллипса;
3. гиперболы;
4. параболы.
25. Это уравнение
x2 y 2

 1 .:
a 2 b2
1. окружности;
2. эллипса;
3. гиперболы;
4. параболы.
26. Это уравнение y 2 =2px. :
1. окружности;
2. эллипса;
3. гиперболы;
4. параболы.
10
27. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно 0, если угол
между векторами равен:
1. 00;
2. 450;
3. 900;
4.

.
2
28. Укажите уравнения прямых линий:
1. (x-a)2+(y-b)2=r2;
2. Ax + By + C=0;
3. y= kx + b;
4.
y-y0=k(x-x0).
29. Укажите уравнения кривых второго порядка:
1.
x2 y 2

 1;
a 2 b2
2. Ax + By + C=0;
3.
x2 y 2

 1;
a 2 b2
4. y= kx + b.
30. Укажите уравнения параллельных прямых:
1
2
1. y=-2x+7; y= x  2 ;
2. y=3x+5; y=3x-37;
3. 2x+2y+5=0; 4x+4y+1=0;
4
y=4x-5; y=2x+1.
31. Укажите уравнения пересекающихся прямых
1. y=4x+5; y=2x-3;
2. 2x+3y-7=0; 3x+2y+1=0;
3. y=2x+1; y=2x-15;
11
1
3
4. y=3x-4; y=-  2 .
1
3
32. Прямые, заданные уравнениями:y=3x+5 и y=- x  4 :
1. совпадают;
2. пересекаются;
3. параллельны;
4. перпендикулярны.
33. Укажите уравнения кривых второго порядка:
1. (х-3)2+(у+2)2=25;
2
x2 y2

 1;
25 16
3. 3х-4у+5=0;
4 х2=-16;
34. Укажите уравнения прямых линий:
1. х2-у2-6х+4у-12=0;
2. 2х-3у+5=0;
3. у=2х+4;
4. х+у+1=0;
35. Укажите уравнения параболы (p> 0)
1. у2=-2px;
2. x2+y2= 1;
3. x=2py;
4. у2=2рх;
Решение типовых задач на уравнения прямых на плоскости
Задача 1. Написать уравнение прямой, проходящей через две известные
точки А(2;3) и В(6;-2) и вычислить длину отрезка АВ.
Решение. Уравнение прямой, проходящей через две известные точки
М1(x1,y1) М2(x2,y2) имеет вид:
12
x  x1
y  y1

x 2  x1 y 2  y1
поэтому уравнение прямой (АВ) примет вид:
x2 y3

или 5x + 4y - 22 = 0
6  2 2  3
Расстояние между точками М1 и М2 определяется по формуле:
1 2 
x 2  x1  2  y 2  y1  2
поэтому длина отрезка АВ:
АВ 
6  2 2  2  3 2
 41 .
Задача 2. Написать уравнение высоты (BN) и вычислить ее длину в
треугольнике А(6;0), В(2;-3), С(-4;9).
Решение: Уравнение пучка прямых, проходящих через точку М(x0,y0)
имеет вид : y-y0=k(x-x0).
Угловой коэффициент прямой (BN) найдем из того условия, что
(ВN)(АС). Условие перпендикулярности двух прямых, имеющих угловые
коэффициенты k1, k2:
k1  
1
(п ри k2  0) .
k2
Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки М1(x1;y1) и
М2(x2;y2) - k  M M  
1
т.о., k  AC 
k  BN  
2
y 2  y1
(п ри x1  x 2 ) ;
x 2  x1
9
9

10
10
10
и уравнение (BN), следовательно, имеет вид :
9
10
y  3   x  2 или 10x - 9y - 47 = 0
9
Для вычисления высоты BN воспользуемся формулой, определяющей
расстояние d точки М0(x0;y0) до прямой, заданной уравнением Ax+By+C=0:
d
Ax 0  By 0  C
A 2  B2
Нам нужно определить расстояние точки В(2;-3) до прямой, идущей
через точки А(6;0) и С(-4;9).
Уравнение: (АС)
13
y9 x4

0 9 6 4
9x  10y  54  0
9  2  10   3  54
66
.
BN 

181
9 2  10 2
Задача 3. Вычислить в радианах величину внутреннего угла В в
треугольнике А(4;-1), В(-4;-5), С(1;10).
Решение: Для определения угла В воспользуемся формулой тангенса
y
угла между двумя прямыми,
имеющими угловые коэффициенты k1
C
x
A
и k2: tg 
k1  k 2
, где k1 – угловой
1 k1k 2
коэффициент той прямой, которая
поворачивается до совмещения со
второй против часовой стрелки.
B
Рис. 1
В нашем случае такой прямой является (ВА) (см. рис. 1)
k BA 
yB  yA
5  1 1


x B  x A 4  4 2
k BC 
y B  y C 5  10

3
xB  xC
4  1
tgB 
k BC  k BA
1  k BC k BA
 

.
4
1
2 1

1
1 3
2
3
14
Комплексные числа
Укажите номера правильных ответов
36. Если z =3-2i, то действительная часть комплексного числа равна:
1) 2; 2) -2;
3) 3;
4) 1
37. Если z = 4-5i, то мнимая часть комплексного числа равна:
1) 4;
2) 5i;
3) -5;
4) 5;
38. Сумма комплексных чисел: (2+3i)+(4+7i):
1) 5+11i;
2) 6+3i;
3) 2+10i;
4) 6+10i;
39. z = 3+4i, сопряжѐнное число z :
1) -3-4i;
2) -3+4i;
3) 3-4i;
4) 3+4i;
40. Комплексное число представленное в тригонометрической форме:


6
6
1) z = 5i+2; 2)z = cos  i sin ;

i


4
4
3) z  2e 3 ; 4) z  2(cos  i sin ) ;
41. Комплексное число, представленное в алгебраической форме:

1) z  2e i ;
3
3) z = 6-2i;
2)z = 3i+5 ;
4) z = 2+3i;
42. Комплексное число, представленное в показательной форме:

i



3
3
2) z  2(cos  i sin ) ;
1) z  2e 3 ;
i
3) z  2e 4 ;

4) z  3e
 i
6
;
Производная. Основные понятия
Укажите номера правильных ответов
43. Функция: у = -2sin(3х)+5 задана
15
1) аналитически;
3) таблично;
2)графически;
44. Функция задана
y
0
x
1) аналитически;
3) таблично;
2) графически;
45.Сложная функция:
1) у =х2;
3) у = 5
2) у =(х+3)5
4) y = sin(3х)
45. Убывающие функции:
1) y= log 2 x
1
2
3) y= 2 x
2) y= ( ) x
4) y= log 1 x
2
47. Возрастающие функции:
1) y= log 1 x
3
2) y= 3 x
16
3) y= log 3 x

x
4) y= 13
48. Степенные функции:
1) y= x 5
2) y= x 2
3) y= 2 x
4) y= x
1
2
49. Производная функции f /(xo) равна:
1) угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в
точке (хо;f(xo)).
2) углу наклона касательной, проведенной к графику функции в точке
(хо;f(xo)).
3) касательной, проведенной к графику функции в точке (хо;f(xo)).
50.Уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке (хо;f(xo))
:
1) у =f/(хо)+ f(хо)(х-хо);
2) у =f(хо)+ f/(хо)(х-хо);
3) у = f(хо)- f/(хо)(х-хо);
4) у = f(хо)+ f/(хо)(х+хо);
51. Если точка хо – точка экстремума функции f(x) и в этой точке существует
конечная производная f/(хо), то
1) f/(хо)>0:
2) f/(хо)<0:
3) f/(хо)=0
4) f/(хо)≠0
52. Назовите все точки экстремума:
y
0
у =f(x)
а
х1
х2
х3
х4
x
17
1) х1, х3;
2) а, х1, х2, х3 ;
3) х1, х2, х3, х4; 4) х2, х4;
53. График производной для функции у =f(x) имеет вид. Тогда точка
максимума функции: у =f(x) есть
y
y = f/ (x)
-4
1) x = -2;
3) x = 2;
-2
0
2
x
4
2) x = 0;
4) x = 4;
54. График производной для функции у =f(x) имеет вид. Тогда точка
минимума функции: у =f(x) есть
y
y = f/ (x)
-4
-2
0
2
4
6
x
18
1) x = 2;
3) x =6;
2) x = -2;
4) x = 0;
55. График производной для функции у =f(x) имеет вид. Тогда точка
минимума функции: у =f(x) есть
y
y = f/ (x)
-5
1) x =-5;
3) x =-1;
-3
2) x =6;
4) x =-3;
-1 0
2
6
x
19
56. График производной для функции у =f(x) имеет вид. Тогда точка
максимум функции: у =f(x) есть
y
y = f/ (x)
-4
1) x =-4;
3) x =-2;
-2
0
3
5
x
2) x =3;
4) x =5;
57. Линейная относительно Δх величина f/(хо) Δх, составляющая главную
часть приращения функции f(x) в т. хо, называется:
1)производной функции;
3)параболой;
2)дифференциалом функции;
4)угловым коэффициентом;
58. Производная произведения двух функций (U V)/ равна:
1) U /V  V /U ; 2) U /V / ;
3) U /V  V /U ; 4) UV /  VU / ;
59. Производная частного двух функций (U/V)/ равна:
U /V  V /U
;
V2
UV /  VU /
3)
;
V2
1)
U /V  V /U
;
V
U /V  V /U
4)
;
V
2)
60. Укажите функцию двух переменных:
20
2) z  2 x ;
4) y  x 2  x;
1) z  2 x  y ;
3) y  2x;
61. Частные производные первого порядка функции: Z  x  y равны .
+2) Z x  1
1) Z x  1  y
/
/
Z / y  1
Z / y  x 1
3) Z x   y
/
Z/y  x
x2
4) Z x 
2
y2
Z/y  
2
/
62. Если функция у =f(x) имеет непрерывные производные до второго
порядка включительно на (а ; b) и точка (хо ;f(хо)), где хо € (а ; b), является
точкой перегиба, то:
1) f " ( x )  0;
2) f " ( x )  0;
3) f " ( x )  0;
4) f " ( x )  0;
63. Точка движется прямолинейно по закону: S(t) = -t2 + 9t + 8;
Найдите скорость точки в момент времени t = 4.
1) v = 9;
2) v = 25;
3) v = 1;
4) v= -25;
64. Назовите верные утверждения:
y
y =f(x)
b
c
а
1)
2)
3)
4)
0
x
а,с – критические точки
а,с – точки экстремума
[a;c] – промежуток убывания функции
b – точка экстремума
65. Назовите верные утверждения:
21
y
y =f(x)
a
0
c
x
1) [a;c] – промежуток убывания функции
2) а,с – критические точки
3) а,с – точки экстремума
4) xmin =а
66. Дана функция y= x 2  x 3 Найти y  :
1) y  = 2x+3 x 2
2) y  = x+ x 2
3) y  = x(2+3x)
4) y  = 2 x 3  3x 4
67. Дана функция y= x 2 e x Найти y  :
1) y  = 2x e x
2) y  = 2x e x  x 2 e x
3) y  = x e x (2  x)
4) y  = 2x e x  x 2 e x
22
68. Точки, в которых функция не имеет производных:
y
3
2
y =f(x)
-3
-1
1
x
-3
1) x = -1
2) x = 1
3) x = -3
4) x = 0
Дополните утверждения:
69. Если область определения функции D(f) симметрична относительно
начала координат и для всех х из D(f) имеет место равенство f(-x)=f(x) ,то
функция называется _______________.
70. Если область определения функции D(f) симметрична относительно
начала координат и для всех х из D(f) имеет место равенство f(-x)=-f(x),
то функция называется _______________ .
71. Если для любых х из интервала (а;b) большему значению аргумента
соответствует большее значение функции(x1<x2 →f(x1)<f(x2)), то функция
f(x) называется ___________на этом интервале.
72. Если для любых х из интервала (а;b) большему значению аргумента
соответствует меньшее значение функции (x1<x2 → f(x1)>f(x2)),то функция
называется ___________на этом интервале.
73.Пусть задано число a>0,a≠1. Тогда функция y=ax, называется
____________функцией.
74. Пусть задано число a>0,a≠1. Тогда функция y=logax называется
____________функцией.
23
75.Для любого действительного числа n функция y=x n называется
________функцией с показателем n.
76.Предел отношения приращения функции Δf(x0) к приращению
аргумента Δx при Δx→0 , если этот предел существует, называется
___________функции в точке x 0 и обозначается f '(x 0).
Решение типовых задач на нахождение производной
Задача 1. Найти производную функции y=cos(x2)
Решение: При вычислении производных пользуются таблицей
производных основных элементарных функций и теоремой
дифференцирования сложной функции:
пусть y=f(u) дифференцируема в точке u0, u=f(x) дифференцируема в
точке х0, причем (х0)=u0, тогда сложная функция y=f((х))
дифференцируема в точке х0 и
y (x0 )  f (u 0 )   (x 0 ) или y x  y u  u x .
В нашем случае u=x2, y=cos(u),


y   cos( u ) u   x 2    sin( u )  2 x    sin( x 2 )   2 x

x


1

 cos( a x )  a x  ln a  a x ln a  ctg( a x )
x
sin( a )
y  ln( sin( a x )
y  3 tg 2( 3x )
y  e2 x  arctg( x3 )

 e2 x  arctg( x3 ) 






  e2 x   arctg( x3 )  e2 x   arctg( x3 )  


 e2 x  2  arctg( x3 )  e2 x 



1
3x2 
 3x2  e2 x  2  arctg( x3 ) 

1  ( x3 )2
1  x6 



 
2 2
1
1 3
2
   tg( 3x ) 3    tg( 3x )  3 



3
cos 2( 3x ) 3 tg( 3x ) cos 2( 3x )


3 2

 tg ( 3x ) 




y   cos( u ) u   x2    sin( u )  2x    sin( x2 )   2x

x


Задача 2. Найти производную функции y  ln( sin( a x )
Решение: y=ln(u),
u=sin(v), v=ax,



тогда y   ln u  u  sin v  v  a x  x  cos v  a x ln a 

1
u
1
 cos( a x ) a x  lna  a x lna  ctg( a x )
x
sin( a )
24
Как видно из приведенных примеров, следует начинать
дифференцирование с “внешней” элементарной функции, последовательно
приближаясь к “внутренней”.
Задача 3. Найти производные функций:
а). y  3 tg 2( 3x )
б). y  ln 1  e x  e4x
в). y  e2x  arctg( x3 )
Решение:
а).


2 2
1
3 2
 
1 3
2

 tg ( 3x )    tg( 3x ) 3   tg( 3x ) 3 
2
3

 
cos ( 3x ) 3 tg( 3x ) cos 2( 3x )


б). ln 1  e  e
x
4x



1
x
4x 
  ln 1  e  e  
2



1
1
e x  4e 4 x
x
4x

e

e

4

2 1  e x  e4x
2(1  e x  e 4 x )



в).  e2 x  arctg( x3 )   e2 x   arctg( x3 )  e2 x   arctg( x3 )  










1
3x2 
e2 x  2  arctg( x3 )  e2 x 
 3x2  e2 x  2  arctg( x3 ) 

1  ( x3 )2
1  x6 

Интеграл
Укажите номера правильных ответов.
78. На некотором промежутке функция может иметь:
1) Единственную первообразную;
2) Бесконечно много первообразных;
3) Несколько первообразных
.
79. Функция, для которой F(x)=4sinх-x является первообразной:
1) y=4sin(x)-1;
2) y=4cos(x)-1;
3) y=4sin(x)-x2/2;
4) y=4cos(x)-x2/2.
80. F(x)-первообразная для f(x).Функция, которая не будет первообразной для
f(x):
1) y=F(x)+C;
2) y=3F(x);
3) y=F(x)+5;
4) y=3+F(x).
25
81. Первообразная для функции y=-sin(x)+1:
1) y=cos(x)+1;
2) y=xcos(x);
3) y=cos(x)+x;
4) y=-cos(x)+x.
82. Укажите верное соотношение:
1)  dx  x  c;
2)  sin xdx  cos x  c;
3)  cos xdx   sin x  c;
4)  xdx  x 2  c.
83. Интеграл, не выражающийся через элементарные функции:
1)  e x dx;
2)  e x dx;
2
3)  sin xdx;
4)  x 2 dx.
84. Формула Ньютона-Лейбница:
b
1)
 f ( x)dx  F (a)  F (b);
a
b
2)
 f ( x)dx  F (a)  F (b);
a
b
3)
 f ( x)dx  F (a)  F (b);
a
b
4)
 f ( x)dx  f (b)  f (a).
a
85. Если F(x)-первообразная для f(x), то  f (ax  b)dx равен:
1) F(ax+b)+c;
1
F (ax  b)  c;
a
1
3) F ( x)  c;
a
1
4) F (ax  b)  c.
b
2)
86.Назовите верные утверждения:
1
1)  dx  1;
0
26
1
2)  e x dx  e 1  e;
1

b

3)   f ( x)dx   0;
a


4)  f ( x)dx  f ( x).


87. Площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x2; y=0; x=-1; x=1, равна:
1
1)  x 2 dx;
0
1
2)  x 2 dx;
1
1
3)  x 2 dx;
1
1
4) 2 x 2 dx.
0
88.  (1  x) 2 dx равен:
1) x  x 2 
x3
 c;
3
x3
 c;
3
(1  x) 3
3)
 c;
3
x2 x3
4) x    c.
2
3
2) x 
89.Укажите верные соотношения

2
1)  cos xdx  1;
0
1
2)  dx  1;
0
1
3)  e x dx  e 1  e;
1
b
4)
 f ( x)dx  F (b)  F (a).
a
90. Определите знаки указанных определенных интегралов:
1
1)
 ln xdx;
0, 2
27
2
2)  ln xdx;
1
0
3)
 cos xdx;

2
2
4)  xdx.
1
91. Площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x3; y=0; x=-1; x=1, равна:
1
1)  x 3 dx;
0
1
2)  x 3 dx;
1
0
1
3)   x dx   x 3 dx;
3
1
0
1
4) 2 x 3 dx.
0
92.Функции, являющиеся первообразными одной и той же функции:
1) 2x и 2x+4;
2) 2x и 2x-1;
3)sin(x) и sin(x)+2;
4) 2x и 2x+1.
Дополните утверждения
93. Дифференцируемая функция F(x) называется
определенной на том же промежутке, если F'(x) = f(x).
для f(x),
94. Совокупность всех первообразных для функции f(x), определенных на
некотором промежутке, называется
интегралом.
95. Графики любых двух первообразных можно получить друг из друга
параллельным переносом вдоль оси
.
28
96. Если функция F(x) есть первообразная для функции f(x), то функция
F(x)+ C также является
для f(x) на том же промежутке.
97. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен
алгебраической
интегралов от этих функций в
отдельности.
98. Постоянный множитель можно
за знак интеграла.
99. Если интегрируемая на [a;b] функция f(x) неотрицательна, то
определенный интеграл численно равен
криволинейной
трапеции, ограниченной графиком функции f(x), осью Ox и прямыми x=a;
x=b.
Решение типовых задач на нахождение неопределенных интегралов
Задача 1. Вычислить интеграл

2  33 x 2  5 x
x3
dx
Решение: Преобразуем подынтегральную функцию:
2  33 x 2  5 x
x
3
 2x

3
2
 3 x

5
6
 5
1
x
Далее представляем интеграл алгебраической суммы в виде суммы
интегралов слагаемых, вынося постоянные множители за знаки интегралов,
и, пользуясь таблицей интегралов, получим:

2  33 x 2  5 x

x
3
 1
2
x
3
 1
2
3
3
dx  2  x
5
 1
6
x
5
 1
6

3
2 dx
 3 x
 5 ln x  c  

5
6 dx
 5
dx

x
4
 186 x  5 ln x  c
x
Проверка:


1
1


 4
 
6
6
2

 18 x  5 ln x  c    4x  18x  5 ln x  c 


x

 

1
2
2
1
1



1
 
 1
  4    1  x 2  18  1  x 6  5  1   x 3  2  3x 3  5x 2  



6
x 
 2



2  33 x 2  5 x
x3
Задача 2.
29
sin xdx
1  2 cos x
Вычислить интеграл 
Решение:
Первый способ. Полагая
1  2 cos x  t ,  2 sin xdx  dt ,
1

t 2 dt
sin xdx
1 dt
1
 
 
2
2
1  2 cos x
t
Второй способ.  sin xdx
1  2 cos x


1
2
1
 2t 2
получим
 c   t  c   1  2 cos x  c
Умножая и деля на –2 и замечая, что  2 sin xdx  d(1  2 cosx) , получим
1
sin xdx
1 d 1  2 cos x  1


 1  cos x  2 d 1  cos x  

1  2 cos x
2

1  cos x
1
 1
2
1 1  2 cos x 

1
2
 1
2
Проверка:

2

1
 c  1  2 cos x  2  c   1  2 cos x  c


1  2 cos x  c 
2 sin x
sin x

2 1  cos x
1  2 cos x
Задача 3. Вычислить интеграл  2 x  1 dx
x  2x  3
Для вычисления интеграла от функции, содержащей квадратный
трехчлен, надо выделить полный квадрат их квадратного трехчлена, заменить
переменную, в результате чего получим табличные интегралы.
Выделяя полный квадрат в знаменателе, имеем:
x  2x  3  x  1  2 .
2


x  1dx
x 2  2x  3


Далее, заменяя
x  1  t , dx  dt ,
получим:
x  1dx  tdt  1 dt 2  2  1 lnt 2  2  c 


x  12  2 t 2  2 2 t 2  2 2

1
ln x 2  2x  3  c
2
Проверка:

x 1
1
 1 2x  2
2
ln
x

2
x

3

c
 2
  2 x 2  2x  3  x 2  2x  3


Задача 4. Вычислить интеграл  x ln xdx .
Решение: При вычислении этого интеграла надо применить метод
интегрирования по частям. Положив ln x  u , dv  x  dx , найдем:
1
3
2
1
v
x  dx  x 2 dx  x 2
dx ;
x
3
 udv  u  v   vdu , получим
du 


. Подставляя в формулу
30
2
3
2
2
3
2
 x ln xdx  x 3 ln x   x 3
dx
x
1
2 3
2
2 3
4 3
2 3
2
x ln x   x 2 dx 
x ln x 
x c 
x  ln x    c
3
3
3
9
3
3

Проверка:

2 3 
2  2
3
x
ln
x


c

    x
3
3
3


 


   ln x  23  

2 

x 3  ln x    
3 


2 3
2
1
2
2

x  ln x    x 3    x ln x 
x
x  x  ln x

3 2
3
x
3
3

При интегрировании по частям важен выбор функции u и v. В качестве
u выбирается та часть подынтегрального выражения, которая существенно
упрощается при дифференцировании. За dv – та часть подынтегрального
выражения вместе с dx, которая может быть проинтегрирована.
Решение типовой задачи на нахождение площади фигуры
с помощью определенных интегралов
Задача 1. Найти площадь фигуры, ограниченной прямой у = х
и параболой у = 2 – х2 .
Решение: Найдем абсциссы точек пересечения прямой с параболой:
y  x

2
y  2  x
Y
2
X
-2
1
х – 2 + х2 = 0
х1 = –2; х2 = 1
Воспользуемся формулой для вычисления площади фигуры,
ограниченной двумя кривыми:
b
S   f 2 x   f1 x dx
a
При а = –2, b = 1, f2(x) = 2 – x2, f1(x) = x
Получим:
1

x3 x2  1

S   2  x 2  x dx   2x 


3
2   2
2

1 1 
8

 9
  2       4   2    4,5
3 2 
3

 2


31
Ответ:
9
кв.
2
ед.
Дифференциальные уравнения.
Укажите номера всех правильных ответов.
100. Укажите дифференциальное уравнение.
1)
dy dx

0;
y
x2
2) 2x2-3x+4=0;
4) 2х=64.
3) 3x-4=0;
101.Укажите дифференциальное уравнение первого порядка.
1) y"= cos(x);
3) y'=2x+4;
2) y"+3y'+4=0;
4) y"=5x;
102. Разделить переменные в уравнении:
dy dx

0
y
x2
1)
dy dx
;

y x2
3) ydy=-x2dx;
2) ydy=x2dx;
4)
dy dy

y
x2
103. Назовите дифференциальные уравнения:
1)xdy+3ydx=0;
3)3x2+2x-1=0;
2) y'-3y=0;
4) y"=cos(x).
104. Назовите дифференциальные уравнения первого порядка.
1) y'-3y=6x;
3) y'=3x+2;
2) ydx-5xdy=0;
4) y"=x2.
105. Назовите линейные однородные дифференциальные уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами.
32
1) y"=cos(x);
3) y"+2y'+4y=0;
2) y"+3y'-4y=0;
4) y"+3y'-4y=x.
106. Назовите функции, которые являются решением линейных однородных
дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными
коэффициентами:
1) y=c1eλ1x+c2eλ2x;
2) y=
x3
 c1 x  c 2 ;
6
4) y=c1eλx+c2xeλx;
3) y=c1eaxcos(bx)+c2eaxsin(bx);
107. Назовите уравнения с разделяющимися переменными:
1) 3x2dy-4y2dx=0;
3) y"=ex;
2) y'=ex;
4)
dx dy

 0.
y2 x2
108. Назвать общее и частное решение дифференциального уравнения:
2
dy
x
dx
1) y=
x3
;
3
x2
 c;
2
x3
4) y=  c
3
2) y=
3) y=2x+c;
Дополните утверждения.
109. Уравнение, содержащее независимую переменную х, искомую функцию
у и еѐ производные, называется______________ уравнением.
110. Решением дифференциального уравнения называется всякая
______________, которая обращает данное уравнение в тождество .
111. Задача нахождения частного решения, дифференциального уравнения,
удовлетворяющего начальным условиям, называется задачей
______________.
Решение типовых задач на нахождение решений
дифференциальных уравнений
Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения
y' cos x  y  tgx
2
33
Решение: Уравнение вида y'P(x)y  Q(x) называется линейным. Если
Q(x)  0, то уравнение называется линейным неоднородным, а при Q(x) = 0 –
линейным однородным. Общее решение однородного уравнения получается
разделением переменных в уравнении y'P(x)y  0 . Нам надо уравнение
y' cos2 x  y  tgx ,
разделить на
cos2 x ,
тогда получим, что
соответствующее однородное уравнение y  +
y' 
y
tgx
,

2
cos x cos2 x
а
y
= 0. Разделяем в этом
cos 2 x
уравнении переменные
dy
y

,
dx
cos 2 x
dy
dx
и интегрируем ln y  tgx  ln c , тогда у = c  e tgx . Полагаем

2
y
cos x
теперь, что С – функция от х, т.е. С=С(х) и найдем эту функцию, используя
правую часть уравнения
у=С(х)  e tgx
1 

y   C x   e tgx  C x   e tgx  

2
 cos x 
Подставляем теперь в уравнение, тогда получаем
C x e tgx  C x 
tgx
e tgx
C x e tgx


2
2
cos x
cos x
cos 2 x
после приведения подобных членов получаем:
С x e tgx 
tgx
cos 2 x
разделяя переменные получаем:
dC x  e tgx tgx

;
dx
cos 2 x
dC x   e tgx  tgx  dtgx ;
e tgx tgxdx
cos 2 x
C x   tgx  e tgx  e tgx  C1
dC x  
( C 1 - произвольная постоянная)
подставляем теперь полученное значение для С(х) в выражение для общего решения и получаем:
у = tgx  e tgx  e tgx  C1 e tgx это и есть общее решение данного
дифференциального уравнения.
Линейные уравнения 1-го порядка можно интегрировать также
методом Бернулли, который заключается в следующем. Полагая у=UV, где
U=U(х) и V=V(х), преобразуем исходное уравнение у' +Р(х)у = Q(х) к виду:
U V  UV   P x   U V  Q(x ) или
U[V' + Р(х)V] + VU ' = Q(х) выберем теперь V таким образом, чтобы
 P ( x ) dx
V'+Р(х) V =0, т.е. V= e 
,
34
тогда V  U   Q(x )
U   Q( x )  e 
P ( x ) dx
или
U
Q( x )
V
или U  c   Q ( x )  e 
P ( x ) dx
dx .
Теперь найдем общее решение
 P ( x ) dx 
 P ( x ) dx dx  c
y  U ( x ) V ( x )  e 
Q ( x )e

Для нашего примера будем иметь:
y 
y
tgx

2
cos x cos 2 x
y   U V  V U
tgx
1
U V 
U V  V U 
2
cos x
cos 2 x
y  U V ;
tgx
1


U V  
V   V U  
2
cos x 
cos 2 x

V 
1
V  0 тогда V  e tgx
cos 2 x
подставляем это значение в уравнение и получаем:
tgx
tgx
тогда U   e tgx
2
cos x
cos 2 x
 e tgx  c
e tgx  U  
U  tgx  e tgx
и y  U V  (tgxe tgx  e tgx  c)e tgx  tgx  1  c  e tgx , т.е. общее решение
уравнения y  tgx  1  c  e tgx .
Библиографический список
Основная литература
1. Шипачев, В.С. Высшая математика. Полный курс [Электронный
ресурс]: учебник для бакалавров / В.С. Шипачев; под ред. А.Н. Тихонова. – 4е изд., испр. и доп. – М.: Издательство Юрайт, 2014. – Серия: Бакалавр.
Академический курс. – ЭБС «Юрайт».
2. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика
[Электронный ресурс] : учеб. пособие для бакалавров / В.Е. Гмурман. – 12-е
изд. – М.: Издательство Юрайт, 2014. – Серия: Бакалавр. Прикладной курс. –
ЭБС «Юрайт».
35
Дополнительная литература
1. Сборник задач по высшей математике. В 2 ч. Ч. 1 [Электронный ресурс]
: учеб. пособие для бакалавров / под ред. А.С. Поспелова. – М.: Издательство
Юрайт; ИД Юрайт, 2014. – Серия: Бакалавр. – ЭБС «Юрайт».
2. Сборник задач по высшей математике. В 2 ч. Ч. 2 [Электронный ресурс]
: учеб. пособие для бакалавров / под ред. А.С. Поспелова. – М.: Издательство
Юрайт; ИД Юрайт, 2014. – Серия: Бакалавр. – ЭБС «Юрайт».
3. Уточкина, Е.О. Математика. Теория вероятностей [Электронный
ресурс]: учеб. пособие / Е.О. Уточкина, Е.В. Смирнова, В.В. Зенина; ВГЛТА.
– Воронеж, 2014. – ЭБС ВГЛТУ.
4. Сапронов, И. В. Математическая статистика [Электронный ресурс]:
лабораторный практикум / И.В. Сапронов, Е.О. Уточкина, А.И. Фурменко;
ВГЛТА. – Воронеж, 2014. – ЭБС ВГЛТУ.
5. Математика. Аналитическая геометрия. Линейная алгебра [Текст]: учеб.
пособие: для студентов, обучающихся по направлениям подгот. 151000,
190600, 190700,250400, 230400, 220700, 080200, 022000 / И.В. Сапронов, В.В.
Зенина, Е.О. Уточкина, С.С. Веневитина; М-во образования и науки РФ,
ФГБОУ ВПО «ВГЛТА». – Воронеж, 2014. – 196 с. – Электронная версия в
ЭБС ВГЛТУ.
36
Иван Васильевич Сапронов
Александр Иванович Фурменко
Подписано в печать
Усл. печ. л.
Уч.-изд. л. .
. Формат 60  90/16
ФГБОУ ВО «Воронежский государственный лесотехнический университет
имени Г.Ф.Морозова»
ФГБОУ ВО «ВГЛТУ», 394087, г. Воронеж, ул. Тимирязева, 8
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
665 Кб
Теги
практ, геометрия, математика, высшая
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа