close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Математические методы в системном анализе проблем обеспечения безопасности дорожного движения автотранспорта (самостоятельная работа)

код для вставкиСкачать
37
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Воронежская государственная лесотехническая академия»
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В СИСТЕМНОМ АНАЛИЗЕ
ПРОБЛЕМ ОБЕСПЕЧЕНИЯ
БЕЗОПАСНОСТИ ДОРОЖНОГО ДВИЖЕНИЯ
АВТОТРАНСПОРТА
Методические указания для самостоятельной работы
студентов по направлению подготовки магистров
190700.68 – Технология транспортных процессов
Воронеж 2014
2
УДК 656
Белокуров, В.П. Математические методы в системном анализе проблем
обеспечения безопасности дорожного движения автотранспорта [Электронный
ресурс] : методические указания для самостоятельной работы студентов по
направлению подготовки магистров 190700.68 – Технология транспортных
процессов / В. П. Белокуров, О. Н. Черкасов, С.В. Белокуров, С. Ю. Кащенко;
М-во образования и науки РФ, ФГБОУ ВПО «ВГЛТА». – Воронеж, 2014. – 56 с.
Печатается по решению учебно-методического совета
ФГБОУ ВПО «ВГЛТА» (протокол № 4 от 27 ноября г.)
3
Оглавление
Введение ………………………………………..………………………..……4
1.Элементы теории игр ……………………………….………………………5
1.1. Основные определения и понятия……………………………………5
1.2. Матричные игры…………...……………………………..……………6
1.3. Приведение матричной игры к задаче линейного
программирования………………………………………………………….9
1.4 Статистические игры. Критерии для принятия решений…….……..13
2. Элементы теории массового обслуживания……………………...……...18
2.1. Основные понятия………………………………………………..…..18
2.2. Модели решения задач массового обслуживания.
Системы массового обслуживания с отказами……………………..…...21
2.3. Системы массового обслуживания с ожиданием и ограниченным
ожиданием……………………………………………………………....…24
3. Модели управление запасами……………………………..……………...29
3.1. Основные понятия………………………………………………...….29
3.2. Основная модель управления запасами……………….………...…..30
Варианты заданий…………………………………………………..………..35
Библиографический список…………………………….……………..…….44
4
ВВЕДЕНИЕ
Переход к рыночной экономике в России привел к тому, что работа
автомобильного транспорта слабо контролируется и зачастую плохо
управляется. Вопросам использования современных методов прикладных
исследований и системного анализа, оптимизации работы транспорта,
снижения затрат времени и средств, связанных с перевозкой, неблагоприятного
воздействия подвижного состава на окружающую среду, повышения
безопасности движения и другим не уделяется должного внимания.
Так, например, отсутствие точных методов прогнозирования объемов
грузовых автомобильных перевозок приводит к значительным потерям,
связанным, с одной стороны, с несвоевременной перевозкой производимой
товарной продукции до места ее потребления, а с другой стороны - с
недоиспользованием провозных возможностей подвижного состава.
Необходимы дальнейшие исследования, направленные на определение
оптимальных схем перевозок, а также на обеспечение безопасности
транспортного процеса.
В области теории автомобильных перевозок в настоящее время широко
используются современные методы исследования, в частности методы
системного анализа. Однако до сих пор практика автомобильных перевозок
носит эмпирический характер.
Экономический рост России связан с увеличением транспортной
подвижности населения и дальнейшим ростом числа транспортных средств, что
вызывает усиление внимания к вопросам безопасности движения. России
необходимо повышение сбалансированности и безопасности транспортной
системы, ее интеграция в европейскую и мировую транспортную систему с
учетом национальных особенностей и интересов.
5
Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР
1.1. Основные определения и понятия
1.1.1. В теории игр изучаются модели конфликтных ситуаций, которые могут
возникнуть в экономике, в управлении запасами и других областях человеческой
деятельности. Задачи теории игр состоят из разработки и определенных
рекомендаций по принятию решений в условиях конфликтных ситуаций.
Определение 1.1. Ситуация называется конфликтной, если в ней
участвуют стороны, интересы которых полностью или частично
противоположны.
Под термином «игра» понимается совокупность предварительно
оговоренных правил и условий, согласно которым действуют, по крайней мере,
два участника (игрока), каждый из которых стремится к достижению
собственных целей. Допустимые действия каждого из игроков, направленные
на достижение некоторой цели, называются правилами игры.
1.1.2. Количественная оценка результатов игры vj (j=1, ), где n - число
игроков, называется платежом или выигрышем.
Если vj >0 - выигрыш;
vj < 0 - проигрыш;
vj = 0 — ничейный исход (j=1, ).
В большинстве случаев имеют место игры с нулевой суммой, то есть когда
для платежей всех участников игры выполняется условие: v1+v2+…+vn = 0.
В играх с нулевой суммой выигрыш переходит от одного участника игры к
другому, не поступая из внешних источников.
1.1.3. Игры, в которых участвуют два игрока, называются парными.
Принятие игроком решения — это ход игры.
Ходы могут быть личные (выбран лично игроком) и случайные (выбран с
помощью механизма случайного выбора).
Однозначное описание выбора игрока в каждой из возможных ситуаций,
при которой он должен сделать личный ход, называется стратегией игрока.
Определение 1.2. Стратегия игрока называется оптимальной, если при
многократном повторении игры она обеспечивает игроку максимально
6
возможный средний выигрыш (или минимально возможный средний
проигрыш).
В зависимости от количества стратегий игры бывают конечные и
бесконечные.
В зависимости от вида функции выигрышей игры разделяются на
матричные, непрерывные, выпуклые, сепарабельные и т.д.
Ограничимся рассмотрением конечных парных игр с нулевой суммой.
1.2. Матричные игры
1.2.1. Матричная игра задается матрицей размерности mxn, которая
называется платежной матрицей. В игре участвуют два игрока.
Номер строки i (i =1, ) соответствует номеру стратегии Ai, которую
может выбрать первый игрок P1 из m своих возможных стратегий. Второй игрок
Р2, не зная выбора первого, выбирает стратегию Bj (j=1, ) из n своих возможных
стратегий. В результате первый игрок выигрывает величину aij, а второй
проигрывает эту величину. Описанная игра однозначно определяется платежной
матрицей. Такую игру называют конечной игрой размерности тхп.
B1
B2
…
Bn
A1
a11
a12
…
a1n
A2
a21
a22
…
a2n
…
…
…
…
…
Am
am1
am2
…
amn
A = (aij) =
…
…
…
…
…
…
…
, где
1,
1,
.
1.2.2. Определение 1.3. Число α = max min aij называется нижней чистой
ценой игры или максимином, а соответствующая ему стратегия (строка) —
максиминной.
7
Число β = min max aij называется верхней чистой ценой игры или
минимаксом , а соответствующая ему стратегия игрока (столбец) —
минимаксной.
Стратегии различаются на чистые и смешанные. Чистая стратегия Ai
(i=1,
) первого игрока — это возможный ход первого игрока, выбранный им с
вероятностью, равной единице. Аналогично, чистая стратегия Bj (j=1, ) второго
игрока — его возможный ход, выбранный им с вероятностью, равной единице.
Для пары стратегий Аi и Bj их чистые стратегии можно записать в виде:
1
1
Pi = (0; …; 0; ; 0; …; 0) и qi = (0; …; 0; ; 0; …; 0).
Теорема 1.1. В матричной игре нижняя цена игры всегда не превосходит
верхней цены игры, то есть α ≤ β.
Если для чистых стратегий выполняется условие: α = β = ν, то игра
называется игрой с седловой точкой. Число ν называется ценой игры.
Для игры с седловой точкой нахождение решения состоит в выборе
максиминной и минимаксной стратегий, которые являются оптимальными.
Пример 1.1. Найти решение матричной игры, заданной платежной
матрицей
8
4
6
5
A= 2
3
4
7 .
5
2
1
1
Решение. Найдем максимин и минимакс игры, для чего запишем задачу в
табл.1.
Таблица 1.1
A1
A2
A3
βi
B1
8
2
5
8
B2
4
3
2
4
B3
6
4
1
6
B4
5
7
-1
7
αi
4
3
-1
8
α = max min aij
max
α = max (4; 3; -1) = 4.
β = min max aij min
,
,
β = min (8; 4; 6; 7) = 4,
следовательно, цена игры ν = α = β = 4. Для пары стратегий (A1; B2) чистыми
стратегиями будут P1 = (0; 1; 0; 0) и q2 = (1; 0; 0; 0), которые являются
оптимальными стратегиями игроков.
1.2.3. Вектор р = (p1; …; pm), где рi ≥ 0 i
1,
и
1
называется смешанной стратегией первого игрока. Каждая из компонент
вектора p показывает относительную частоту использования игроком
соответствующей чистой стратегии. Смешанная стратегия второго игрока —
это вектор q = (q1; …; qn), где qj ≥ 0
1,
и
1.
Когда игра не имеет седловой точки, то для нахождения ее решения
используются смешанные стратегии. При смешанных стратегиях игра носит
случайный характер и величина проигрыша или выигрыша также становится
случайной.
Для смешанных стратегий цена игры является функцией смешанных
стратегий ν = f(p, q) и определяется по формуле:
(1.1)
) и q* = ( ; … ; ) называются
Определение 1.4. Стратегии p* = ( ; … ;
оптимальными, если для произвольных стратегий p и q выполняется условие:
f(p, q*) ≤ f(p*, q*) ≤ f(p*, q).
Совокупность оптимальных стратегий и цены игры составляет решение задачи.
Теорема 1.2. Всякая матричная игра с нулевой суммой имеет решение в
смешанных стратегиях.
) и q* =
Теорема 1.3. Для того чтобы смешанные стратегии p* = ( ; … ;
( ; … ; ) были оптимальными для игроков А и В в игре с матрицей [aij]mxn и
выигрышем ν, необходимо и достаточно выполнение неравенств:
9
j
1,
i
1,
,
(1.2)
.
(1.3)
Таким образом, чтобы проверить то, что (p·, q·, ν) являются решением
матричной игры, достаточно проверить условие, удовлетворяют ли p· и q·
неравенствам теоремы и уравнениям:
1,
1.
(1.4)
Теорема 1.4. Если один из игроков придерживается своей оптимальной
смешанной стратегии, то его выигрыш остается неизменным и равным цене
игры независимо от того, какую стратегию применит другой игрок.
Теорема 1.5. Оптимальные смешанные стратегии p* и q* соответственно
игроков A и B в матричной игре [aij]mxn с ценой игры ν будут оптимальными и в
матричной игре [baij + c]mxn с ценой ν / = bν + c, где b > 0.
1.3. Приведение матричной игры
к задаче линейного программирования
1.3.1.Рассмотрим матричную игру размерности mxn с матрицей
…
A=
…
…
…
…
…
.
…
Обозначим через р* = (p1; ...; рm) и q* = (q1; …; qn) — оптимальные
смешанные стратегии игроков А и В. Стратегия игрока А гарантирует ему
выигрыш не меньше ν, независимо от выбора стратегии βj игроком В. Согласно
вышеизложенным теоремам запишем:
10
…
,
…
,
… … … … … … … … … …
…
,
где p1 + p2 + … + pm = 1; pi ≥ 0 (i = 1,
(1.5)
)
(1.6)
Аналогично стратегия q* игрока В гарантирует ему проигрыш не больше ν
независимо от выбора стратегии Ai игроком А, то есть
...
,
...
,
(1.7)
… … … … … … … … … …
...
,
где q1 + q2 + … + qn = 1; qj ≥ 0 (j = 1, )
(1.8)
Цена игры ν ≥ 0 всегда.
Разделим обе части каждого из неравенств на положительное число ν,
введя обозначения pi /ν = xi; qi /ν = yj (i = 1,
двойственных задач.
Найти минимальное значение функции
f (x) = x1 + x2 + … + xm
; j = 1, ), получим пару
(если игрок А максимизирует цену игры ν, то обратная величина
(1.9)
будет
минимизироваться) при ограничениях
...
1,
...
1,
… … … … … … … … … …
...
1,
(1.10)
где x1 + x2 + … + xm = 1/ν; xi ≥ 0 (i = 1, )
и найти максимальное значение функции
G (y) = y1 + y2 + … + yn – max,
...
1,
...
1,
… … … … … … … … … …
...
1,
(1.11)
где y1 + y2 + … + yn = 1/ν; yj ≥ 0 (j = 1, )
(1.14)
(1.12)
(1.13)
11
Решение одной из пары двойственных задач можно найти симплексным
методом (графически для 2-х переменных). Цену игры и оптимальные стратегии
находим по формулам:
1
,
,
,
1, ;
1, , (1.15)
∑
1.3.2. Если в матричной игре (aij)mxn строки (столбцы) с одними и теми же
элементами, то эти строки (столбцы), соответственно и стратегии игроков
называются дублирующими.
Если для двух стратегий Ak и At с элементами akj и atj (j = 1, )
выполняются условия: akj > atj, то стратегия Ak называется доминирующей, а
стратегия At, — доминируемой.
В матричной игре доминируемые и дублирующие строки (столбцы) можно
опускать, что не влияет на решение задачи (игры).
Пример 1.2. Найти решение игры, определяемой матрицей
2
5
1
A= 3
4
6.
4
3
4
Решение. Сведем данную матричную игру к паре симметричных
двойственных задач линейного программирования.
Прямая задача: Найти минимум функции F = x1 + х2 + x3 — min, при
ограничениях
2
3
4
1,
4
3
1,
5
6
4
1,
xi ≥ 0 (i = 1, 3).
Двойственная задача: Найти максимум функции Z = y1 + у2 + y3 — max при
ограничениях
5
1,
2
3
4
6
1,
4
3
4
1,
yj ≥ 0 (j = 1, 3).
Находим оптимальные планы пары двойственных задач (табл.1.2).
12
Таблица 1.2
1
1
1
0
0
0
А1
А2
А3
А4
А5
А6
1
2
5
1
1
0
0
0
1
3
4
6
0
1
0
0
1
4
3
4
0
0
1
Δj = Zj - cj
0
-1
-1
-1
0
0
0
№
Б
СБ
А0
1
A4
0
2
A5
3
A6
m+1
1
A4
0
1
2
0
7
2
-1
1
0
1
2
2
A5
0
1
4
0
7
4
3
0
1
3
4
3
A1
1
1
4
1
3
4
1
0
0
1
4
Δj = Zj - cj
1
4
0
0
0
0
1
4
2
7
0
1
7
m+1
1
4
2
7
1
A2
1
1
7
0
1
2
A5
0
0
0
0
7
2
1
2
1
1
2
3
A1
1
1
7
1
0
17
14
3
14
0
5
14
Δj = Zj - cj
2
7
0
0
1
14
1
14
0
3
14
1
7
2
7
1
7
3
49
1
49
10
49
m+1
1
A2
1
1
7
0
1
0
2
A3
1
0
0
0
1
3
A1
1
1
7
1
0
0
Δj = Zj - cj
2
7
0
0
0
m+1
13
Из таблицы 1.2 видно, что двойственная задача имеет оптимальный план
Y*= ( ; 0;
), а прямая задача — оптимальный план X* = (
;
;
).
Следовательно, цена игры
1
1
49 7
, а оптимальные стратегии игроков
3
1 10 14 2
49 49 49
*
p = (p1, p2, p3), где pi = ν · xi (i = 1, 3) и q* = (q1, q2, q3), где
qj = ν · yj (j = 1, 3).
p1 =
q1 =
; p2 =
; q2 =
Таким образом, p* = ( ;
; p3 =
0
0; q3 =
.
.
; ) и q* = ( ; 0; ).
1.4. Статистические игры.
Критерии для принятия решений
1.4.1. Во многих задачах, приводящихся к игровым, например, в
управленческих задачах для принятия решения необходима информация о
состоянии объекта управления в условиях его работы. В большинстве случаев
полная информация о состоянии объекта отсутствует и возникает
необходимость принятия решения в зависимости от объективной
действительности, которую принято называть природой. Такие игры называют
играми с природой. Человек статистик в играх с природой — действует
осмотрительно, второй игрок (природа) действует совершенно случайно. В
некоторых задачах для состояния природы может быть задано состояние природы распределением вероятностей ее состояний, в других задачах оно неизвестно.
…
Условия игры также задаются матрицей A =
…
…
…
= (aij)mxn
…
1.4.2. Условимся множество состояний природы обозначать через П или
Пj, где Пj
П (j = 1, ). Множество стратегий статистика обозначим через А, его
отдельные стратегии (решения) — Ai, где Ai A (i=1, ).
Иногда при решении игры рассматривается матрица рисков R.
14
Элементы матрицы rij представляют собой разность между выигрышем,
который получил бы игрок А, если бы знал состояние
природы Пj, и выигрышем, который он получит в тех же условиях, применяя
стратегию Ai, то есть
(1.16)
rij = βj - αij, где βj = max αij.
1.4.3. При решении игр с природой применяется ряд критериев
1. Если известно распределение вероятностей
1,
,
1
различных состояний природы Пj, то применяется критерий Байеса: критерием
принятия решения является максимум математического ожидания выигрыша
(минимум математического ожидания риска).
Запишем платежную матрицу (aij) и матрицу рисков rij в виде таблицы 1.3 и
таблицы 1.4.
Таблица 1.3
Стратегии Ai
A1
A2
…
Am
qi
Состояния природы
П1
П2
…
Пn
a11
a12
…
a1n
a21
a22
…
a2n
…
…
…
…
am1
am2
…
amn
q1
q2
…
qn
Средний выигрыш ai
a1
a2
…
am
Таблица 1.4
Стратегии Ai
A1
A2
…
Am
qi
Состояния природы
П1
П2
…
Пn
r11
r12
…
r1n
r21
r22
…
r2n
…
…
…
…
rm1
rm2
…
rmn
q1
q2
…
qn
Средний риск rij
r1
r2
…
rm
15
По критерию Байеса за оптимальную принимается та стратегия Ai, при
которой максимизируется средний выигрыш, то есть обеспечивается
α
max
, где
i
1,
(1.17)
и минимизируется средний риск, то есть обеспечивается r = min ri, где
.
ri =
(1.18)
2. Если все состояния природы равновероятны, то есть q1=q2=…qn=1/n, то
используется принцип недостаточного основания Лапласа. Оптимальной
считается стратегия, обеспечивающая максимум среднего выигрыша.
3. Максимальный критерий Вальда совпадает с критерием выбора
максимальной стратегии, позволяющей получить нижнюю цену α игры для двух
лиц с нулевой суммой, то есть
(1.19
max min
4. Критерий минимального риска Сэвиджа рекомендует выбирать
стратегию, при которой величина риска принимает наименьшее значение в
наихудших условиях, то есть обеспечивается
(1.20)
max min
Критерии Вальда и Сэвиджа выражают пессимистическую оценку ситуации.
5. Критерий Гурвица рекомендует принимать решение о выборе
стратегии, при которой имеет место
max
min
1
max
, где 0 ≤ λ ≤ 1.
Значения
λ выбираются исходя из опыта или по субъективным
соображениям. При λ = 0 имеет место критерий крайнего оптимизма, при λ = 1 –
критерий пессимизма Вальда.
Пример 1.3. Руководство фирмы рассматривает возможность
строительства одной из трех автозаправочных станций (АЗС): А1, А2, А3.
Эффективность работы каждой из них в основном зависит от трех основных
автомагистралей, стоимости топлива и его доставки, удаленности от населенных
пунктов. Предположим, что вероятности трех указанных факторов, влияющих
на эффективность работы АЗС, известны и составляют соответственно 0,3; 0,5;
16
0,2. Экономическая эффективность строительства каждой АЗС зависит от
сочетания всех факторов и задана матрицей
3
4
12
A= 5
3
10 .
5
4
8
Дать рекомендации руководству фирмы по выбору строительства АЗС.
Решение. В качестве «статистика» выступает руководство фирмы,
обладающее тремя стратегиями: А1, А2 и А3. Второй игрок «природы» П –
комплекс всех факторов и условий, в которых будет функционировать АЗС.
«Выигрышами» статистика будут затраты, связанные с реализацией стратегий
А1, А2 и А3 и составляющие платежную матрицу (табл. 1.5).
Проведем исследование по различным критериям.
Таблица 1.5.
А1
А2
А3
qi
βj
П1
-3
-5
-5
0,3
-3
П2
-4
-3
-4
0,5
-3
Согласно критерию по Байесу
П3
-12
-10
-8
0,2
-8
max
аi
-5,3
-5
-5,1
αi
-12
-10
-8
,
a1 = -3 · 0,3 – 4 · 0,5 – 12 · 0,2 = -0,9 – 2 – 2,4 = 5,3;
a2 = -5 · 0,3 – 3 · 0,5 – 10 · 0,2 = -5;
a3 = -5 · 0,3 – 4 · 0,5 – 8 · 0,2 = -5,1;
a = max (-5,3; -5; -5,1) = -5 = a2, то есть оптимальная стратегия А2.
По Вальду оптимальной чистой стратегией будет А3, т. к. для нее
достигается максимин
max (-12; -10; -8) = -8.
α = max min aij
17
Составим матрицу рисков с элементами
max
β –α
(табл. 1.6).
Таблица 1.6
P1
0
2
2
A1
A2
A3
P2
1
0
1
P3
4
2
0
ri
4
2
2
Оптимальными по Сэвиджу будут чистые стратегии А2 и А3, т.к. при них
выполняется условие min max
min
min 4; 2; 2
2
r
r .
Воспользуемся критерием Гурвица.
Пусть λ = 0,7, тогда max 0,7 min
0,3 max
max .
Составим табл. 1.7.
Таблица 1.7
А1
А2
А3
Р1
Р2
Р3
-3
-5
-5
-4
-3
-4
-12
-10
-8
min
-12
-10
-8
0,7 min
-8,4
-7
-5,6
max
-3
-3
-4
0,3 max
-0,9
-0,9
-1,2
ti
-9,3
-7,9
-6,8
max
9,3; -7,9; -6,8 = -6,8, что соответствует чистой стратегии А3.
Проведенное исследование показало, что чаще других оптимальной
называлась чистая стратегия А3, следовательно, ее и следует рекомендовать
руководству фирмы.
max
18
Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
2.1. Основные понятия
2.1.1. Теория массового обслуживания – область в прикладной
математике, занимающаяся анализом процессов в системах производства,
обслуживания, управления, в которых однородные события повторяются
многократно. Примером систем массового обслуживания (СМО) являются
ремонтные мастерские, парикмахерские, билетные кассы, телефонные системы,
автозаправочные станции, магазины и т. д.
Каждая СМО состоит из определенного числа обслуживающих единиц
(станций, приборов, касс, устройств), которые называют каналами
обслуживания. Каналами могут быть линии связи, точки обслуживания,
продавцы и т. д. По числу каналов СМО подразделяют на одноканальные и
многоканальные. Заявки поступают с СМО, как правило, нерегулярно, случайно,
образуя случайный поток заявок. В связи с этим СМО оказывается загружена
неравномерно: 1) скапливается очень большое число заявок (они становятся в
очередь или покидают СМО необслуженными) 2) СМО работает с недогрузкой
или простаивает.
Задачи теории массового обслуживания носят оптимизационный характер.
Экономически выгодным является тот вариант системы, при котором
обеспечивается минимум суммарных затрат от ожидания обслуживания, потерь
времени и ресурсов на обслуживание и от простоя каналов обслуживания.
2.1.2. Системы массового обслуживания делятся на два основных класса:
СМО с отказами и СМО с ожиданием (очередью). В СМО с отказами заявка,
поступившая в систему, когда все каналы заняты, покидает ее необслуженной. В
СМО с ожиданием заявка встает в очередь на обслуживание, если все каналы
заняты, при этом СМО с ожиданием подразделяются на разные виды, в
зависимости от того, как организована очередь: с ограниченной или
неограниченной длиной очереди, с ограниченным временем ожидания и т. д. В
СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди заявка, попавшая в очередь,
обслуживается обязательно.
19
Основными элементами СМО являются источники заявок, их входящий
поток канала обслуживания и выходящий поток.
2.1.3. Процесс называется процессом с дискретными состояниями, если
его возможные состояния S1, S2, S3, … можно заранее перечислить, а переход
системы из состояния в состояние происходит мгновенно (скачком). Процесс
работы СМО представляет собой случайный процесс с дискретными
состояниями и непрерывным временем.
Случайный процесс называется марковским или случайным процессом без
последствий, если для любого момента времени т0 вероятностные
характерстики процесса в будущем зависят только от того, когда и как система
перешла в это состояние.
Многие процессы можно приближенно считать марковскими. Для анализа
случайных процессов с дискретными состояниями используют геометрическую
схему – граф состояний. Состояние системы изображают кружками
(прямоугольниками), а возможные переходы из состояния в состояние
стрелками (ориентированными дугами), соединяющими состояния.
Модель последовательности перехода состояний в виде графа
представлена на рисунке 1.1.
λ01
S0
λ12
S1
λ10
λ23
…
λk-1, k
S2
λ21
λk, k+1
Sk
λ32
…
λk, k-1
λn-1, n
…
λk+1, k
…
Sn
λn, n-1
S0, S1, S2, …, Sn – упорядоченное множество состояний системы;
λij (ij = 0, 1, 2, …, n) - интенсивности потоков событий
Рисунок 2.1 – Модель последовательности перехода состояний
2.1.4. Под потоком событий понимается последовательность
однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные
моменты времени.
Частота появления событий или среднее число событий, поступающих в
СМО в единицу времени, называется интенсивностью
20
потока λ. Интенсивность обслуживания заявок одним каналом при
непрерывной его работе обозначается µ.
Поток событий называется стационарным, если его вероятностные
характеристики не зависят от времени, λ (t) = λ.
Поток событий называется потоком без последствий, если появление в
потоке очередного события не зависит от того, когда появились в нем
предшествующие события.
Поток событий называется ординарным, если вероятность появления
более одного события за бесконечно малый промежуток времени ∆t является
бесконечно малой величиной более высокого порядка (то есть события в потоке
появляются поодиночке).
Поток событий называется простейшим (или стационарным
пуассоновским), если он одновременно стационарен, ординарен не имеет
последствий.
2.1.5. Для простейшего потока случайных событий (заявок) перечислим
наиболее общие показатели для СМО.
Время между двумя соседними событиями (заявками) распределено экспоненциально с плотностью вероятности:
(2.1)
где λ – параметр распределения (интенсивность потока).
Среднее значение интервала времени τ между соседними заявками
(событиями) (α = σ = τ — математическое ожидание случайной величины λ):
1
(2.2)
или
чел.
мин
;
руб.
ч
;
чеков
ч
;
автом.
день
;
кг
ч
;
т
год
.
Вероятность того, что число заявок, поступающих на обслуживание за
промежуток времени продолжительностью t1, равно k, определяется по закону
Пуассона:
(2.3)
!
Считается, что случайное время ожидания в очереди начала обслуживания
распределено экспоненциально:
(2.4)
f(t0t) = ν · e – ν t,
21
где ν - интенсивность движения очереди, то есть среднее число заявок,
поступающих на обслуживание в единицу времени:
1
,
(2.5)
- среднее значение времени ожидания в очереди.
Длительность обслуживания tобсл заявки является случайной величиной,
часто подчиняется показательному закону распределения с плотностью
µ
µ
(2.6)
обсл
где µ - интенсивность потока обслуживания, то есть среднее число заявок,
обслуживаемых в единицу времени.
чел. руб. кг т. докум. чеков
1
;
; ;
;
;
(2.7)
µ
мин день ч день день
ч
обсл
Интенсивность нагрузки:
где
(2.8)
µ
2.2. Модели решения задач массового обслуживания
Системы массового обслуживания с отказами
2.2.1. В целом динамика перехода состояний систем массового
обслуживания описывается системами дифференциальных уравнений, решение
которых позволяет найти модели определении вероятности Рk нахождения
системы в одном из дискретных состояний S , причем
∞
1 (например, уравнения Колмагорова).
Рассмотрим СМО с отказами.
Пусть СМО имеет конечное множество состояний системы (S1, S2,…, Si, …,
Sn) и исходные данные по некоторым параметрам, таким, как λ, µ, n, тогда расчет
характеристик СМО можно провести на основе расчета вероятностей состояний
СМО (используя формулы Эрланга).
1) Вероятность P того, что все каналы свободны и система находится в
состоянии S0 (i = 0).
22
(2.9)
!
2) Вероятность отказа СМО Ротк - предельная вероятность того, что все n
каналов заняты, то есть система будет находиться в состоянии Sn (так как i=n):
(2.10)
!
В системах с отказами события отказа и обслуживания образуют полную
группу событий, поэтому вероятность обслуживания Робсл (относительная
пропускная способность):
отк
1
1
(2.11)
!
Относительная пропускная способность СМО q также может быть
определена по формуле:
обсл
отк
(2.12)
обсл
где
- среднее число занятых обслуживанием каналов
(2.13)
Доля каналов k3, занятых обслуживанием, определяется по формуле:
обсл
(2.14)
обсл
Абсолютная пропускная способность СМО:
A = λ · обсл
или
1
!
Среднее число занятых каналов можно найти по формуле:
µ
или
1
(2.15)
(2.16)
!
.
µ
Пример 2.1. Определить оптимальное число кассовых аппаратов в
супермаркете при условии, что поток покупателей поступает в магазин с
интенсивностью λ = 90 человек в час, среднее время обслуживания покупателя
на кассе tобсл = 2 мин.
Решение: Рассмотрим вначале одноканальную СМО (n=1).
µ находится из формулы µ
,
23
Интенсивность потока обслуживания:
1
µ
; µ 30 (покупат./час).
обсл
Интенсивность нагрузки:
90
;
3.
30
µ
Доля времени простоя каналов:
!
;
1
3
0!
3
1
0,25.
Кассовый аппарат не будет занят: 0,25 · 100% = 25%.
Доля покупателей, получивших отказ в обслуживании:
3
;
0,25 0,75.
отк
отк
!
1!
Это означает, что 75% покупателей не принимаются к обслуживанию.
Вероятность обслуживания поступивших заявок составит:
Pобсл = 1 – Pотк; Pобсл = 1 – 0,75 = 0,25,
то есть только 25% покупателей будут обслужены.
Среднее число занятых обслуживанием аппаратов:
0,75
;
0,75.
1
Кассовый аппарат на 75% занят обслуживанием.
Абсолютная пропускная способность системы:
A = Pобсл · λ; A = 0,25 · 90 = 22,5 (чел./час).
СМО с одним каналом плохо справятся с обслуживанием заявок.
Необходимо увеличить число каналов. Проведем аналогичные вычисления для n
= 2, 3, 4, 5, 6 каналов обслуживания (кассовых аппаратов). Результаты
вычисления приведены в таблице 2.1.
24
Таблица 2.1
n
P0
Pотк
Pобсл
n3
k3
A
1
0,25
0,75
0,25
0,75
0,75
22,5
2
0,12
0,54
0,46
1,38
0,69
41,4
3
0,077
0,35
0,65
1,95
0,65
58,5
4
0,06
0,21
0,79
2,37
0,59
71,1
5
0,05
0,1
0,9
2,7
0,54
8,1
6
0,05
0,05
0,95
2,85
0,47
85,5
Оптимальное число кассовых аппаратов для супермаркета n = 5, так как в
этом случае 90% покупателей будут обслужены, 10% - получат отказ.
Абсолютная пропускная способность СМО составит 81 чел./час.
2.3. Системы массового обслуживания с ожиданием и ограниченным
ожиданием
2.3.1. Рассмотрим СМО с неограниченным ожиданием (очередью). Для
таких СМО Ротк = 0, то есть все заявки будут обслужены и Робсл = 1, а значит q = 1.
Абсолютная пропускная способность
A
λ
обсл
, интенсивность нагрузки
.
µ
Основные характеристики таких СМО:
1. Вероятность того, что СМО находится в состоянии S0,то есть все
обслуживающие каналы свободны:
!
!
0
(2.17)
2. Вероятность занятости обслуживанием K заявок:
,
1
.
!
3. Вероятность занятости обслуживанием всех каналов системы:
(2.18)
25
,
.
!
4. Вероятность состояния системы, когда все каналы заняты
обслуживанием:
(2.19)
;
,
.
!
5. Вероятность того, что все обслуживающие каналы заняты:
(2.20)
,
1 !
6. Средняя длина очереди:
(2.21)
.
.
1 !
7. Среднее время ожидания заявки в очереди:
1
.
1
(2.22)
(2.23)
8. Среднее время пребывания заявки в СМО:
СМО
обсл
(2.24)
9. Среднее число занятых обслуживанием каналов:
.
µ
10. Среднее число свободных каналов:
.
св
(2.25)
(2.26)
11. Коэффициент занятости каналов обслуживанием:
.
(2.27)
12. Среднее число заявок в СМО:
.
(2.28)
2.3.2. Пример 2.2. В мастерской по обслуживанию автомобилей четыре
автослесаря (n = 4). В среднем в течение рабочей недели от населения поступает
в ремонт 9 автомобилей (λ = 9). Общее число автомобилей у населения велико,
выходят они из строя в случайные моменты времени независимо друг от друга.
Считается, что поток требований на обслуживание пуассоновский. Автослесари
26
имеют одинаковую квалификацию. В среднем один мастер обслуживает 3
машины в неделю (µ = 3). Определить показатель качества работы мастерской.
9
3.
Решение: Интенсивность нагрузки:
µ 3
Вероятность того, что все мастера свободны от ремонта автомобилей
(система в состоянии S0):
3
0!
!
!
3
1!
3
2!
;
3
3!
3
4!
3
4! 4
3
0,032.
Вероятность того, что все мастера заняты ремонтом:
3
;
0,032 0,108.
!
4!
Среднее время обслуживания одного автомобиля при 6-дневной рабочей
неделе:
ед.времени
6
или
за
6
дней
2 дня.
обсл
обсл
µ
3
Вероятность того, что все мастера заняты:
3
;
0,032 0,432.
1 !
4 1 ! 4 3
Средняя длина очереди:
4
;
0,432
1,866 (машин).
4 3
Среднее время ожидания:
1,866
0,2 (дня).
9
Среднее число занятых обслуживанием мастеров:
3.
Среднее число машин, находящихся в мастерской:
;
;
1,866 3 4,866 (машин).
Среднее число свободных мастеров:
; св 4 3 1 (мастер).
св
27
2.3.4. Рассмотрим СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди. Для
такой СМО отказы в обслуживании поступают в том случае, если число заявок k
превышает сумму числа каналов обслуживания и максимально возможную
длину очереди m.
Основной характеристикой качества СМО является отказ заявке в
обслуживании.
Для анализа таких СМО используются формулы:
1. Вероятность простоя каналов, когда нет заявок:
1
!
1
!
,
0
(2.29)
2. Вероятность отказа в обслуживании, при условии полностью
загруженной системы:
,
.
(2.30)
!
3. Относительная пропускная способность или вероятность обслуживания:
(2.31)
Pобсл = 1 - Pотк.
4. Абсолютная пропускная способность:
(2.32)
А = Pобсл · λ
5. Среднее число занятых обслуживанием каналов:
отк
обсл .
μ
6. Среднее число заявок в очереди:
1
1
(2.33)
.
(2.34)
7. Среднее число заявок в системе:
.
8. Вероятность наличия очереди в системе:
!
1
.
(2.35)
(2.36)
9. Вероятность того, что все каналы заняты и заявке придется встать в
очередь:
28
зап.
.
!
(2.37)
10. Среднее время ожидания обслуживания:
зап.
.
μ
11. Среднее время пребывания заявки в системе:
(2.38)
.
(2.39)
2.3.5. Пример 2.3. На туристическую базу отдыха приезжают отдыхающие
из близлежащего города. Машины с туристами прибывают в разное время с
интенсивностью λ = 6 машин в день. Имеющиеся на базе помещения и стоянки
позволяют принимать и размещать туристов, привезенных двумя автобусами (m
= 2). На туристической базе имеется 4 инструктора, каждый из которых в
СМО
обсл
среднем, может обслужить туристов с одного автобуса в течение обсл = 4 часа.
Продолжительность рабочего дня при сменной работе составляет 12 часов.
Необходимо определить, какова должна быть емкость помещений
туристической базы, чтобы вероятность полного обслуживания туристов была
0,97.
обсл
Решение: Задача решается путем последовательного определения
показателей СМО для различных значений емкости корпусов базы (m = 2, 3, 4 и
т.д.) и сравнения на каждом этапе вероятности обслуживания с заданной
0,97.
величиной обсл
Интенсивность загрузки инструкторов в течение 12-часового рабочего
дня:
12
12
6
;
µ
3;
2 автобуса в день).
4
3
µ
обсл
Вероятность простоя инструктора для m = 2.
1
1
2
0!
!
!
2
1!
2
2!
2
3!
1
;
2
3! 3
1
2
2
3
0,128.
29
Глава 3. МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ
3.1. Основные понятия
3.1.1. Временно не используемые экономические ресурсы называют
запасами предприятия. Важнейшим этапом планирования работы любой
производительной единицы – фирмы, цеха, предприятия и т. д. – является
определение
оптимального
уровня
запасов
сырья,
инструментов,
комплектующих изделий и т.д.
Необходимость
обеспечения
бесперебойного
снабжения
производственного процесса, несовпадение режима производства с ритмом
потребления, осуществление транспортировки большинства видов продукции от
поставщиков к потребителям партиями являются основной причиной создания
производственных запасов.
Задачи управления запасами определяют такую организацию поставок или
нормативного уровня запасов, при которых суммарные затраты на
функционирование экономической системы были бы минимальны.
Рассмотрим основные термины, используемые в моделях управления
запасами.
Спрос на запасаемую продукцию может быть постоянным во времени
(вполне определенным), то есть детерминированным, или случайным
(случайный момент времени или объем спроса).
Организации поставок – определение объемов поставок и периодичность
заказов, а также определение размера партии и периодичность запуска
продукции в производство.
Размер партии – количество товара, поставляемого на склад.
Объем заказа зависит от состояния, которое наблюдается в момент подачи
заказа. При этом, достижение запасом заданного уровня называется точкой
заказа.
3.1.2. При построении математических моделей управления запасами
необходимо учитывать факторы, связанные с затратами (издержками). К
основным видам затрат (издержек) относятся:
30
1. Издержки на приобретение запасов – это разовые затраты не зависящие
от объемов заказываемой партии, и затраты, зависящие от объемов партии;
2. Издержки на организацию заказа, к которым относят постоянные
расходы по размещению заказов, расходы на разъезды и командировки,
транспортные расходы, не зависящие от размера партии, и т. д.;
3. Издержки хранения запасов. В большинстве моделей управления
запасами считают, что объем склада практически неограничен, в качестве
контролирующей величины выступает объем хранимых запасов. При этом, за
хранение каждой единицы запаса в единицу времени взимается определенная
плата;
4. Потери от дефицита. Отсутствие запаса в нужный момент времени
приводит к убыткам, связанные с простоем оборудования, неритмичностью
производства и т. п. Это все потери от дефицита.
3.2. Основная модель управления запасами
3.2.1. Рассмотрим экономико-математическую постановку задачи
управления товарными запасами на складе для одной группы продукции,
отвечающие следующим условиям:
1. Количество продукции на складе в момент времени t равно q(t);
2. Дефицит не допускается;
3. Спрос в единицу времени λ постоянен (детерминирован) и непрерывен,
то есть в единицу времени осуществляются равномерно с известной
интенсивностью. Пусть общее потребление запасаемого продукта за
рассматриваемое время T равно N, тогда
(3.1)
4. Заказанная партия доставляется одновременно, мгновенно, как только
уровень запаса станет равен 0. Размер партии постоянен. Пусть q – объем одной
партии, тогда интервал поставок – время, когда вся партия будет использована,
определяется по формуле:
(3.2)
31
5. Число поставок за любой период t или плановой Т находится по
формуле:
(3.3)
q
q0
q
0
t
2t
t
продолжительность цикла
Рис. 3.1. График поставки продукции
6. Общий объем поставок за периоды t и T определяются по формуле:
;
(3.4)
7. Уровень запасов продукции на любой момент времени определяется
уравнением:
.
(3.5)
3.2.2. Сформулируем задачу выбора оптимальной величины поставок
продукции , интервала между поставками , числа поставок за период Т и
среднего запаса при линейном (по времени) расходе всего запаса.
В качестве критерия оптимальности в данной задаче управления запасами
выступают суммарные издержки по управлению запасами.
Представим целевую функцию (функцию затрат) в виде уравнения связи
издержек обращения:
,
(3.6)
где
– затраты на создание запаса;
- затраты на хранение;
32
– стоимость продукции;
Пусть с1 – затраты (издержки) на организацию одной партии, они
постоянны и не зависят от величины партии q;
с2 – издержки содержания (хранения) единицы продукции в течение
единицы времени;
n – число поставок за анализируемый период времени T:
(3.7)
– величина среднего запаса;
2
tn – интервал поставок;
s – стоимость продукции.
Тогда
;
2
(3.8)
;
(3.9)
.
Целевая функция С имеет вид:
(3.10)
min
2
(3.11)
.
Без учета стоимости продукции
Необходимым условием существования минимума функции C = C(q)
является С (q)=0
0.
2
3.2.3. Оптимальные параметры системы управления запасами
Оптимальный объем одной партии (формула Уилсона).
2
или
2
.
(3.12)
(3.13)
Средний запас текущего хранения:
2
Оптимальное число поставок за период T:
(3.14)
33
или
(3.15)
2
Интервал между поставками:
(3.16)
Время расхода оптимальной партии равно:
2
или
(3.17)
Величина оптимальных (минимальных) средних издержек (без учета
стоимости продукции):
(3.18)
2
График функции затрат и графики C1 и C2 приведены на рисунке 3.2.
С
C=CX+CT
C0
0
q0
q
Рис. 3.2. Зависимость затрат от объема поставок
Оптимальные средние издержки хранения запасов в единицу времени.
34
Пример 3.1. На склад доставляются горючесмазочные материалы по 2000
т. В сутки со склада потребители забирают 60 т материалов. Накладные расходы
по доставке партии материалов равны 3 тыс. руб. Издержки хранения 1 т
материалов в течение суток равны 30 коп. Требуется определить: 1)
длительность цикла, среднесуточные накладные расходы и среднесуточные
издержки хранения; 2) оптимальный размер заказываемой партии и расчетные
характеристики работы склада в оптимальном режиме.
Решение: Параметры работы склада: λ = 60 т/сут; С1 = 3 тыс. руб.; С2 = 0,3
руб./т · сут.; q = 2000 т.
1) Длительность цикла:
2000
33,3 сут.
60
2) Среднесуточные накладные расходы:
3000
90 руб./сут.
33,3
3) Среднесуточные издержки хранения:
0,3 2000
300 руб./сут.
2
2
4) Оптимальный размер партии находим по формуле Уилсона:
2
2
;
3000
0,3
60
1095,45 т;
оптимальный средний уровень запаса:
1095,45
;
547,725 т.
2
2
оптимальная периодичность пополнения запасов:
1095,45
;
18,26 т.
60
Оптимальные средние издержки хранения запасов в единицу времени:
547,725 0,3
164,32 руб./сут.
35
Варианты заданий
Элементы теории матричных игр
ЗАДАНИЕ 1
Найти оптимальные стратегии и цену игры, заданной платежной
матрицей.
1
2
7
1.1. A = 2
3
5
1
2
1.2. A =
3 4 9
3 2 7
2 3
2
1
3
5
3
2
3 2 1
2
7
4
2
1.5. A = 2
3
1
1.6. A = 5
4 5 11
2 3 4
4
5
3
1
1.7. A = 1
2
1
2
3
6
1.8. A = 5
7
3
1.9. A = 10
1
10
3
6
9 4
17
12
2
3
1
16
1
3
10
5
3
1
3
6
1.14. A = 3
2
0
1.22. A = 8
5
2
1
2
5
4
3
4
5
7
1
1 5
2
1
1.18. A =
1
1
8
2
1.21. A = 4
10 2 3
9 10 11
8
1
7
1.23. A = 1
1
1
2
3
4
2
1
0
0
1 .20. A =
4
2
1
2
1
3
5
4 9
15
4
2
7
4
1.15. A = 1
3 12
12 6
3
4
7
2
2 4
4
1
1.17. A = 8
3
1.12. A =
2 12
5 7
7
4
1
1
4
4
1.19. A = 6
7
1 13
1.11. A =
1 10
1
5
3
2
12
1
3
2
1
7
1.10. A = 1
3
2
2
5
2
2
5 11
3 4
5
3
1.13. A = 1
2
4
2
2
2
7
2 3
1.3. A =
2
1.4. A =
1.16. A =
3
1.24. A =
5
3
1
2
4
3
5
4
7
8
7
10
5
4
3
2
10
5
17
6
14
36
2
1.25. A = 5
1
1
3
2
2
2
4
4
5 2
2
4
1
1.26. A = 5
7 3
1.27. A = 8
10
3
6
9 4
15
17
4
1.28. A = 3
2
1
4
5
7
1.29. A =
1
3 4
1
2 1
1
0 1
1.30. A =
6
2
3
1
2
5
6
7
8
9
20 5
ЗАДАНИЕ 2
Автотранспортное предприятие может оказывать три вида услуг – А1, А2,
А3, получая прибыль, зависящую от спроса на эти услуги. Спрос, в свою очередь,
может принимать одно из четырех состояний В1, В2, В3, В4. Задана платежная
матрица (аij)mxn, элементы аij которой характеризуют прибыль, получаемую
предприятием при оказании услуги Аi и состояния спроса Вj. Найти
оптимальные пропорции оказываемых услуг , считая состояние спроса
полностью неопределенным, гарантируя при этом для каждого состояния спроса
среднюю величину прибыли.
Указания:
1. Представить задачу в виде матричной игры с нулевой суммой, где первый
игрок – предприятие, а второй – «природа» (спрос);
2. Исключить в платежной матрице заведомо невыгодные стратегии;
Свести задачу к паре симметричных двойственных задач линейного
программирования, найти оптимальные стратегии игроков и цену игры.
37
2.1
В1 В2 В3
В4
А1
0
5
3
6
А1
3
4
4
2
А2
4
1
3
2
А2
0
2
0
4
А3
5
2
4
3
А3
1
2
2
3
В1 В2 В3
В4
А1
4
3
4
4
А1
0
2
1
3
А2
4
2
4
3
А2
4
1
2
2
А3
5
4
6
0
А3
0
3
2
4
В1 В2 В3
В4
А1
0
3
2
0
А1
5
3
3
2
А2
3
4
2
1
А2
2
0
1
5
А3
5
1
3
4
А3
4
4
5
1
В1 В2 В3
В4
А1
3
4
5
1
А2
2
4
4
1
А1
3
5
0
5
А3
4
2
3
5
А2
3
0
2
4
А3
4
2
1
3
2.2
2.3
2.4
2.5
2.7
В1 В2 В3 В4
2.8
В1 В2 В3 В4
2.9
В1 В2 В3 В4
2.10
В1 В2 В3 В4
В1 В2 В3
В4
А1
2
6
8
1
А2
5
4
2
4
А1
3
1
4
5
А3
6
4
2
5
А2
4
6
0
2
А3
3
5
0
1
2.6
2.11
В1 В2 В3 В4
В1 В2 В3
В4
А1
3
4
2
6
А2
2
3
6
4
А1
7
3
1
5
А3
5
5
7
4
А2
0
4
3
2
А3
5
1
0
4
2.12
В1 В2 В3 В4
38
2.13
В1 В2 В3 В4
2.19
В1 В2 В3 В4
А1
1
6
5
4
А1
3
0
1
4
А2
3
1
0
4
А2
2
6
4
5
А3
4
3
2
5
А3
3
0
0
3
2.14
В1 В2 В3 В4
2.20
В1 В2 В3 В4
А1
1
3
1
0
А1
7
5
0
5
А2
1
4
3
2
А2
3
4
5
7
А3
3
4
0
1
А3
4
5
6
7
2.15
В1 В2 В3 В4
2.21
В1 В2 В3 В4
А1
2
6
6
8
А2
6
5
4
3
А1
1
3
3
2
А3
7
3
4
2
А2
4
2
0
2
А3
3
1
0
1
2.16
В1 В2 В3 В4
2.22
В1 В2 В3 В4
А1
4
3
2
0
А2
2
1
2
2
А1
2
0
1
0
А3
0
0
4
3
А2
2
1
3
6
А3
4
2
3
5
2.17
В1 В2 В3 В4
2.23
В1 В2 В3 В4
А1
4
5
2
0
А2
3
1
3
4
А1
1
2
4
3
А3
4
2
3
5
А2
2
3
1
2
А3
0
3
6
1
2.18
В1 В2 В3 В4
А1
3
1
4
2
А2
5
0
3
1
А3
2
6
6
7
37
ЗАДАНИЕ 3
Задача о замене оборудования (модели принятия решения)
После нескольких лет эксплуатации автопарк АТП оказывается в одном из
следующих состояний:
1) транспортное средство может использоваться в следующем году после
профилактического ремонта;
2) для бесперебойной работы транспортное средство нуждается в текущем
ремонте, в результате которого происходит замена отдельных его деталей и
узлов;
3) транспортное средство требует капитального ремонта или замены.
В зависимости от сложившейся ситуации руководство предприятия в
состоянии принять следующие решения:
1) отремонтировать транспортное средство силами своих специалистов, что
потребует в зависимости от состояния машины затрат, равных а1, а2, а3 ден. ед.;
2) привлечь для ремонта специальную бригаду механиков, расходы в этом
случае составят b1, b2, b3 ден. ед.;
3) заменить машину новой, продав старую по остаточной стоимости,
совокупные затраты в результате этого мероприятия будут равны,
соответственно, с1, с2, с3 ден. ед.
Требуется:
1) придать описанной ситуации игровую схему, установить характер игры
и выявить ее участников, указать возможные чистые стратегии сторон;
2) составить платежную матрицу;
3) выяснить, какое решение о работе транспортного средства в
предстоящем году целесообразно рекомендовать руководству предприятия,
чтобы минимизировать потери при следующих предположениях:
а) вероятности указанных выше состояний транспортного средства равны,
соответственно q1, q2, q3;
б) все три возможных состояния транспортного средства равновероятны;
в) о вероятностях состояния транспортного средства ничего
определенного сказать нельзя.
В задаче использовать критерии Байеса, Лапласа, Вальда, Сэвиджа, Гурвица.
40
Замечание: указанные выше затраты включают, кроме затрат на ремонт, и
убытки, вызванные ухудшением качества обслуживания.
Исходные данные приведены в таблице 3.1
Таблица 3.1
№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
a1
a2
a3
b1
b2
b3
c1
c2
c3
q1
q2
q3
γ
15
24
12
16
70
14
10
10
16
10
10
14
21
16
19
20
18
17
20
23
5
5
8
7
10
10
21
29
16
20
13
12
13
15
23
6
16
19
19
20
22
18
22
22
27
20
11
10
12
11
14
8
19
25
14
25
11
17
9
25
19
12
14
15
16
25
20
23
17
30
23
25
9
6
10
16
11
13
17
25
11
25
8
22
17
20
18
17
12
15
18
30
17
28
25
25
22
31
7
6
7
16
8
18
22
23
13
19
15
18
12
16
21
9
17
13
26
20
24
24
20
21
25
22
12
4
9
10
15
14
16
27
21
28
10
14
16
23
15
8
11
17
31
32
19
20
26
27
19
21
6
8
17
19
10
10
25
30
26
23
16
29
14
28
27
15
20
30
20
24
25
35
22
32
31
28
15
21
22
14
18
25
20
25
15
34
13
16
11
14
14
7
15
25
22
34
21
22
19
19
18
20
10
16
11
25
12
12
26
16
17
22
19
13
20
18
20
11
21
16
35
22
28
19
28
30
24
24
16
7
13
14
19
9
0.3
0.4
0.15
0.15
0.2
0.35
0.35
0.15
0.35
0.3
0.2
0.3
0.6
0.15
0.15
0.35
0.35
0.2
0.35
0.3
0.3
0.4
0.15
0.25
0.2
0.35
0.5
0.45
0.6
0.55
0.65
0.45
0.5
0.65
0.55
0.45
0.5
0.45
0.15
0.55
0.65
0.45
0.5
0.65
0.55
0.45
0.5
0.45
0.6
0.45
0.55
0.45
0.2
0.15
0.25
0.3
0.15
0.2
0.15
0.2
0.1
0.25
0.3
0.25
0.25
0.3
0.2
0.2
0.15
0.15
0.1
0.25
0.2
0.15
0.25
0.3
0.25
0.2
0.7
0.9
0.6
0.8
0.6
0.8
0.7
0.9
0.6
0.7
0.6
0.8
0.5
0.8
0.6
0.8
0.7
0.9
0.6
0.7
0.7
0.9
0.5
0.8
0.6
0.8
41
ЗАДАНИЕ 4
Элементы теории массового обслуживания
4.1 – 4.10. Индивидуальный владелец проектирует станцию технического
обслуживания у автомагистрали, на которой будет n моечных постов. В среднем
за каждый час по магистрали проходит k автомобилей, нуждающихся в мойке,
которые воспользуются услугами автомойки, при условии, что имеется
свободный моечный пост. Среднее время мойки одного автомобиля равно t
минут. Определить вероятность того, что машина проедет станцию
необслуженной, степень загруженности моечных постов и их количество, при
условии, что Робсл = 0,9.
n
k
t
1
3
12
10
2
4
15
12
3
2
14
8
4
2
10
11
Варианты заданий
5
6
3
4
16
13
9
12
7
5
17
15
8
4
14
11
9
5
16
9
10
3
13
10
4.11 – 4.20. Филиал сбербанка имеет n контролеров-кассиров для
обслуживания вкладчиков. Поток вкладчиков поступает в сберкассу с
интенсивностью λ чел./час. Средняя продолжительность обслуживания
контролером-кассиром одного вкладчика
филиала сбербанка как объекта СМО.
n
λ
обсл.
1
3
30
2
2
28
3
4
40
4
3
27
4
8
4
5
обсл.
Определить характеристики
Варианты заданий
5
6
2
3
18
33
6
6
7
2
16
8
4
36
5
4
9
3
28
3
10
2
20
3
4.21 – 4.30. Для своей продукции предприятие получает тару от
поставщика. Автомобили с тарой прибывают в разное время с интенсивностью λ
машин в день. Подсобные помещения и оборудования для фасовки продукции,
42
подготовки ее к продаже позволяют обрабатывать и хранить продукцию,
упакованную в тару, привезенную m автомашинами. В фасовочном цеху
работают n фасовщиков, каждый из которых в среднем может использовать тару
с одной машины в течение обсл. часов. Продолжительность рабочего дня при
сменной работе составляет 12 часов.
Определить емкость подсобных помещений, при условии, что вероятность
полной фасовки продукции и подготовке ее к продаже Pобсл ≥ 0,95.
λ
m
n
1
4
1
2
2
5
2
2
3
6
3
3
4
3
1
2
обсл.
3
4
4
3
Варианты заданий
5
6
5
6
2
2
3
3
3
5
7
4
2
2
8
5
3
2
9
5
2
4
10
7
3
4
3
4
4
5
4.31 – 4.40. Контроль готовой продукции фирмы осуществляют A
контроллеров. Если изделие поступает на контроль, когда все контроллеры
заняты проверкой готовых изделий, то оно остается непроверенным. Среднее
число изделий, выпускаемых фирмой, составляет B изд./час. Среднее время на
проверку одного изделия C минут.
Определить:
1) вероятность того, что изделие пройдет проверку;
2) степень загруженности контролеров;
3) число контролеров, необходимое для того, чтобы обсл > D.
A
B
C
D
1
11
220
2
0,6
2
10
220
2
0,8
3
10
300
3
0,7
Варианты заданий
4
5
6
7
9
8
9
8
280
300
270
240
3
4
4
3
0,75
0,9
0,8
0,85
8
11
300
3
0,82
9
7
200
2
0,79
10
7
240
4
0,8
4.41 – 4.50. На автозаправочной станции установлено A колонок для
выдачи бензина. Около станции находится площадка на B автомашин для
43
ожидания заправки. На станцию прибывает в среднем C машин в час. Среднее
время заправки одной машины – D минут.
Определить вероятность отказа и среднюю длину очереди.
1
3
2
15
2
A
B
C
D
2
2
3
10
3
3
3
1
20
4
4
3
3
30
3
Варианты заданий
5
6
2
4
3
2
25
20
2,5
3,5
7
3
4
35
3
8
2
2
15
2
9
3
2
20
2,5
10
3
2
30
3
ЗАДАНИЕ 5
Модели управления запасами
Спрос на товар составляет g ед./год. Издержки на организацию поставки
составляют B тыс. руб. Цена единицы товара – S руб. Издержки на хранение – H
руб./год.
Найти оптимальный размер партии, число поставок, продолжительность
цикла.
g
B
S
H
1
15000
10
30
7,5
2
16000
11
32
8
3
14000
9
28
7
Варианты заданий
4
5
6
7
15100 17000 18000 15300
10
12
13
11
31
33
34
32
7,6
7,8
8
7,6
8
17000
14
33
8
9
18000
16
35
8,9
10
16000
9
29
7,7
44
Библиографический список
Основная литература
1. Партыка Т. Л. Математические методы [Текст] : рек. УМО вузов Рос.
Федерации по образованию в обл. прикладной информатики в качестве учеб. для
студентов высш. учеб. заведений / Т. Л. Партыка, И. И. Попов. - Изд. 2-е, испр. и
доп. - М. : ФОРУМ : ИНФРА-М, 2009. - 464 с.
2. Принятие оптимальных решений в технологии транспортных процессов
[Текст] : учебное пособие / В. П. Белокуров, С. В. Белокуров, Г. А. Денисов, Н. И.
Злобина, Э. Н. Бусарин; М-во образования и науки РФ, ФГБОУ ВПО «ВГЛТА». Воронеж, 2013. – 187 с.
Дополнительная литература
3. Дорогов В. Г. Введение в методы и алгоритмы принятия решений:
Учебное пособие / В.Г. Дорогов, Я.О. Теплова. - М.: ИД ФОРУМ: ИНФРА-М,
2012. - 240 с. - ЭБС "Знаниум"
4. Коваленко Н.А. Научные исследования и решение инженерных задач в
сфере автомобильного траспорта: Учебное пособие / Н.А.Коваленко - М.: НИЦ
ИНФРА-М; Мн.: Нов. знан., 2013-271с.- ЭБС "Заниум"
5. Бюллетень транспортной информации [Текст]: журнал.- М.: ИТАРТАСС,1995.6. Мир транспорта и технологических машин [Текст]: науч.- техн. Журнал/
Госуниверситет- УНПК.- Орел: Госуниверситет-УНПК, 2003.-
45
Владимир Петрович Белокуров
Олег Николаевич Черкасов
Сергей Владимирович Белокуров
Кащенко Светлана Юрьевна
Методические указания для самостоятельной работы
студентов по направлению подготовки магистров
190700.68 – Технология транспортных процессов
Редактор А.С. Люлина
Подписано в печать ______2014. Формат 60×90 /16. Объем ___ п. л.
Усл. печ. л. ____. Уч.-изд. л. ___. Тираж ____ экз. Заказ
ФГБОУ ВПО «Воронежская государственная лесотехническая академия»
РИО ФГБОУ ВПО «ВГЛТА». 394087, г. Воронеж, ул. Тимирязева, 8
Отпечатано в УОП ФГБОУ ВПО «ВГЛТА»
394087, г. Воронеж, ул. Докучаева, 10
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа