close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Математический анализ (ПЗ 38.03.01)

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ Г.Ф. МОРОЗОВА»
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Методические указания к практическим занятиям
для студентов по направлению подготовки
38.03.01 – Экономика
Воронеж 2016
3
УДК 512.8
Раецкая, Е. В. Математический анализ [Текст] : методические указания к
практическим занятиям для студентов по направлению подготовки 38.03.01 –
Экономика / Е. В. Раецкая, И.В. Сапронов, Н.М. Спирина; М-во образования и науки
РФ, ФГБОУ ВО «ВГЛТУ». – Воронеж, 2016. – 43 с.
Печатается по решению учебно-методического совета
ФГБОУ ВО «ВГЛТУ»
(протокол № 5
от 22 апреля 2016 г.)
Рецензент д-р физ.-мат. наук, доцента кафедры математического анализа ВГУ
Зубова С.П.
4
Содержание
Введение……………………………………………..……………………………………4
1.Предел функции………… ………………………… …………………………………5
1.1 Практическая часть…………………………………………………………………5
1.2 Индивидуальные задания…………………………………………………………..7
2.Производная …………………….…………………………………………………..…7
2.1 Практическая часть…………………………………………………………………7
2.2 Индивидуальные задания…………………………………………………………..9
3. Полное исследование функции………………………...…………………………..10
3.1 Практическая часть…………………………………………………..……………10
3.2 Индивидуальные задания…………………………………………………..……..14
4. Функции двух переменных...……………………………………………………….15
4.1 Практическая часть……………………………………………………………..…15
4.2 Индивидуальные задания……………………………………………………..…..17
5. Неопределенный интеграл…………………………………………………..……..18
5.1 Практическая часть………………………………………………………..………18
5.2 Индивидуальные задания………………………………………………….……..21
6. Определенный интеграл……………………………………………….…….…….23
6.1 Практическая часть…………………………………………………………..……23
6.2 Индивидуальные задания…………………………………………………..……..27
7. Дифференциальные уравнения …………………………………….…………….29
7.1 Практическая часть………………………………………….…………………..…29
7.2 Индивидуальные задания……………………………..…………………………..33
8. Ряды……………………...……………………………………………………...……..35
8.1Практическая часть……………………………………………………………..…35
8.2 Индивидуальные задания…………………………………………….…………..40
Библиографический список……..……………………………………………….…...43
5
ВВЕДЕНИЕ
Целью изучения дисциплины «Математический анализ» является воспитание
достаточно высокой математической культуры, привитие навыков современных
видов математического мышления, обучение основным понятиям и методам
математического анализа, необходимым для анализа и моделирования устройств,
процессов и явлений при поиске оптимальных решений практических задач,
методам обработки и анализа результатов численных экспериментов для
экономических задач.
Основной задачей является выработка умения решать примеры и задачи для
последующего применения математических методов в различных приложениях.
Студент по результатам освоения дисциплины «Математический анализ» должен
обладать способностью выбрать инструментальные средства для обработки
экономических данных в соответствии с поставленной задачей, проанализировать
результаты расчетов и обосновать полученные выводы.
В результате освоения дисциплины студент должен:
- знать основные понятия, определения и методы исследования объектов с
помощью теорем и формул различных разделов математического анализа;
- уметь: решать задачи и примеры по различным разделам высшей математики
с доведением решения до практического приемлемого результата (формулы,
числа, графика, качественного вывода и т.п.),
- уметь при решении задач выбирать необходимые вычислительные методы и
средства (ПЭВМ, таблицы и справочники);
-самостоятельно изучать научную литературу по математике;
- иметь представление о численных алгоритмах решения математических и
прикладных задач его профессиональной области.
6
1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
1.1. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
2 x 2  5x  7
П р и м е р 1. Вычислить предел lim
.
x 1
x2  1
Решение.
2 x 2  5 x  7 2 12  5 1  7  0 
lim

  .
x1
x2 1
12  1
0 
0 
Получили неопределенность   . Для раскрытия этой неопределенности
0 
необходимо, воспользовавшись формулами сокращенного умножения, разложить
числитель и знаменатель дроби на множители, а затем сократить дробь на общий
множитель, дающий в пределе ноль.
Для числителя воспользуемся формулой разложения квадратного трехчлена на
множители a  x 2  b  x  c  a  ( x  x1 )  ( x  x2 ) , где x1 и x2 – корни квадратного
трѐхчлена. Получаем, что
2 x 2  5x  7  0
D  b2  4  a  c  52  4  2  (7)  25  56  81
 b  D  5  81  5  9


2a
22
4
7
x1   ,
2
x2  1 .
Следовательно,
7

2 x 2  5 x  7  2 x  x  1  (2 x  7)( x  1) .
2

Знаменатель
разложим,
используя
формулу
разности
квадратов
2
2
2
2
2
a  b  (a  b)  (a  b) . Тогда x  1  x  1  ( x  1)(x  1) .
Имеем
2 x 2  5x  7
(2 x  7)( x  1)
2 x  7 2 1  7 9
1
lim
 lim
 lim

 4 .
2
x1
x1 ( x  1)( x  1)
x1 x  1
x 1
11
2
2
7 x3  2x 2  4x
П р и м е р 2. Вычислить предел lim
.
x
2x3  1
7 x3  2 x 2  4 x   
  .
Решение. lim
x
2 x3  1
 
 
Получили неопределенность   . Для раскрытия этой неопределенности
 
нужно разделить числитель и знаменатель на x в старшей степени, т.е. на x3 .
x1, 2 
7
7 x3 2 x 2 4 x
2 4
 3  3
7  2
3
2
3
7x  2x  4x
x
x  lim
x x  700  7  31 .
lim
 lim x
3
3
x
x
x
1
2x
1
2x  1
20
2
2
2


3
3
3
x
x
x
sin x 2  tg 4 x
П р и м е р 3. Вычислить предел lim
.
x 0 3 x  arcsin 2 x
sin x 2  tg 4 x
sin 0  tg 0
0 
Решение. lim

  .
x0 3 x  arcsin 2 x
3  0  arcsin 0  0 
0 
Получили неопределенность   .
0 
Выражение под знаком предела содержит тригонометрические функции,
которые позволяют выделять первый замечательный предел, а именно,
tg 4 x
2x
sin x 2
1 , lim
 1.
lim
1 , lim
2
2
4 x 0 4 x
2 x 0 arcsin 2 x
x 0
x
x2
4x
2x
Домножив исходную дробь на дроби
1 ,
 1,
1 , выделим
2
4x
2x
x
выражения для первых замечательных пределов из исходного выражения
sin x 2  tg 4 x
sin x 2 tg 4 x
1
1
lim
 lim




x 0 3 x  arcsin 2 x
x 0
1
1 arcsin 2 x 3 x
sin x 2 x 2 tg 4 x 4 x
1
2x 1
 lim
 2


  
x 0
1
x
1
4 x arcsin 2 x 2 x 3 x
sin x 2 tg 4 x
2x
x2  4x
 lim 2 



x 0
x
4 x arcsin 2 x 2 x  3 x
sin x 2
tg 4 x
2x
2x
 lim
 lim
 lim
 lim 
2
2
4 x 0 4 x
2 x 0 arcsin 2 x x 0 3
x 0
x
1  1  1 
20 0
  0.
3
3
x2
П р и м е р 4. Вычислить предел lim
.
x 0 1  cos 6 x
x2
02
0 

  .
Решение. lim
x0 1  cos 6 x
1  cos(6  0)  0 
0 
Получили неопределенность   .
0 
Сначала применим формулу 1  cos  2 sin 2
sin x
 1.
x 0
x
замечательным пределом lim
8

2
, а затем воспользуемся первым
2
2
x2
x2
x2
1
x  11
3x 
lim
 lim
 lim
  lim
  lim

 
2
x0 1  cos 6 x
x0
x0 2 sin 3 x
x0 sin 3 x
x0 sin 3 x
2
2
3
2 6x




2 sin
2
2
11 
1
  1  .
2  3  18
1.2. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Вычислить пределы
3x 2  7 x  20
1. а) lim
,
x4
x 2  16
x 2  25
2. а) lim 2
,
x5 3 x  11x  20
x2 1
3. а) lim 2
,
x1 x  3 x  4
x 2  25
4. а) lim 2
,
x 5 x  7 x  10
x2  2x  8
5. а) lim 2
,
x4 x  3 x  4
x2  6x  8
6. а) lim
,
x4
x 2  16
x2  2x  1
7. а) lim 2
,
x 1 3 x  4 x  1
2 x 2  72
8. а) lim 2
,
x 6 x  7 x  6
x 2  7 x  12
9. а) lim
,
x 3
x2  9
x2  1
10. а) lim 2
,
x 1 x  3 x  2
 x4  6x2  5
б) lim 4
,
x 4 x  5 x 2  3 x
2 x3  x 2
б) lim 5
,
x 7 x  x 4
2x2  4x  5
б) lim
,
x
10 x 2  x
4 x5  1
б) lim
,
x 5  7 x  x 5
4 x 2  5 x  10
б) lim 3
,
x 2 x  3 x  11x 2
2x2  4x  1
б) lim 2
,
x  3 x  7 x  1
 3x 4  x 2  x
б) lim
,
x
x 4  3x  2
2x3  4x
б) lim 5
,
x 4 x  x  1
x3  4x 2  7 x  1
б) lim
,
x
x4  x  2
7  x  x2
б) lim
,
x  2  x  3 x 2
1  cos 5 x
.
x0
x2
x2
в) lim
.
x0 1  cos 3 x
sin 2 x
в) lim
.
x 0 tg 3 x
tg 2 x
в) lim
.
x 0 sin 3 x
1  cos5 x
в) lim
.
x 0 1  cos 3 x
sin 7 x
в) lim
.
x 0 tg 5 x
x2
в) lim
.
x 0 cos 4 x  1
cos x  1
в) lim
.
x 0
3x 2
2x2
в) lim
.
x0 1  cos 4 x
sin 6 x
в) lim
.
x0 tg 4 x
в) lim
2. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ
2.2 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
 x
П р и м е р 1. Найти производную функции y  cos3 x  ln   .
2
Решение. При нахождении производной используем
– таблицу производных основных элементарных функций;
– основные свойства производных;
9
– правило нахождения производной сложной функции.



x 
1  x
 3
  x 

3
2
y   cos x  ln     (cos x)   ln     3  cos x  (cos x)     
x 2
 2 

  2 
2
2 1
1
 3  cos2 x  ( sin x)    3  cos2 x  sin x  .
x 2
x
1
П р и м е р 2. Найти производную функции y  tg    x 2  4 x .
 x
Решение. При нахождении производной используем
– таблицу производных основных элементарных функций;
– основные свойства производных;
– правило нахождения производной сложной функции.



 1
   1 
1
2
y   tg    x  4 x    tg     x 2  4 x  tg    x 2  4 x 
 x
  x
   x 

1
1
1
1

    x 2  4 x  tg   
 ( x 2  4 x) 
2
1 x
 x  2 x  4x
cos2    
 x
1
1
 1
1

   2   x 2  4 x  tg   
 (2 x  4) 
x 
x  2 x2  4x
2 1  

cos  
 x
x2  4x
1 x2

 tg    2
;
x  x  4x
2
2 1 

x  cos  
 x


542 x
П р и м е р 3. Найти производную функции y 
.
sin 7 x
Решение. При нахождении производной используем
– таблицу производных основных элементарных функций;
– основные свойства производных;
– правило нахождения производной сложной функции.


 542 x  542 x   sin 7 x  542 x  (sin 7 x)
 
y  

2
sin
7
x
(sin
7
x
)


42 x
5
 ln 5  (4  2 x)  54  2 x  cos 7 x  (7 x) 54  2 x  ln 5  (2)  54  2 x  cos 7 x  7



sin 2 7 x
sin 2 7 x
542 x  (2 ln 5  7  cos 7 x)
.

sin 2 7 x
П р и м е р 4. Найти производную функции
10
y  5 log 3 (e x ) .
Решение. При нахождении производной используем
– таблицу производных основных элементарных функций;
– основные свойства производных;
– правило нахождения производной сложной функции.
1 
 
4

1
x
x 5
5
y  log 3 (e )   log 3 (e )     log 3 (e x )  5  log 3 (e x )  

 5
4

 1
4
1
1
1
  log 3 (e x )  5  x
 e x    log 3 (e x )  5  x
 ex 
5
e  ln 3
5
e  ln 3
1
.

5 ln 3  5 log 34 (e x )


2.2 ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Найти производные следующих функций.
x
1. а) y  4  x 2  arcsin ,
2
4
sin x
в) y 
,
5
arctg  
 x
x 
2. а) y  arctg   1  4  e  x ,
2 
2
tg x
в) y 
,
cos 3x
1
3. а) y  (2 x  3) 7  sin   ,
 x
5x
e
в) y 
,
 x
ctg  
3
16 x
4. а) y  e  cos 7 x ,
 x
tg  
4 ,
в) y 
1
arcsin 
 x
5. а) y  4  cos5 x  ln x ,
в) y 
sin 9 x
,
ctg (2 x  1)
6. а) y  ln 4 x  sin 5x ,
б) y  e2 x  ln( 3x  1) ,
г) y  3 ln(cos x) .
б) y  sin x  ln(8  2 x) ,
г) y  ecos(
x)
.
б) y  cos x  ln( x 2  4) ,
г) y  arccos(ln5 x) .
б) y  sin 2 x  ln x ,
4
г) y  81sin( x ) .
2
 x
б) y  e1 x  arccos  ,
2
г) y  tg (3 x 2  3) .
б) y  3  x 2  arcctg 2 x ,
11
 x
cos  
7
в) y  13 x  ,
e
1
7. а) y  arccos   6  4 x ,
 x
cos3 x
в) y 
,
7
tg  
 x
x
9
8. а) y  3  e  arctg ( x 2  1) ,
sin 5 x
в) y 
,
ctg 2 x
9. а) y  cos7 x  3  2 x ,
1
tg  
 x ,
в) y 
ln( x 2  1)
 x
10. а) y  cos    e 2 x ,
2
arccos 5 x
в) y 
,
1
ctg  
 x
г) y  5 ctg (4 x  1) .
 x
б) y  ln    esin x ,
2
3
г) y  2arccos(x ) .
б) y  ln( 3x  2)  cos x ,
3
г) y  2arccos(x ) .
 x
б) y  sin    e5 x ,
4
г) y  arccos x 4  8 .
б) y  ln 4 x  sin x ,
1
x
г) y  sin( 4 ) .
3. ПОЛНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ
3.1 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
П р и м е р 1. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию
5x 2
и на основании полученных результатов построить еѐ график.
y 2
x  25
5x 2
Решение. Проведем исследование функции y  2
по следующей схеме:
x  25
1. Область определения функции.
В область определения исследуемой функции не входят лишь те значения x ,
x 2  25  0 ,
x  5
x  5.
для
которых
то
есть
и
Поэтому
D( y)  (;5)  (5;5)  (5;) .
2. Вид функции.
Выясним, является ли функция четной или нечетной.
12
Если y( x)  y( x) для любого x из области определения функции y  f (x) , то
эта функция называется четной. График четной функции симметричен относительно
оси ординат.
Если y( x)   y( x) для любого x из области определения функции y  f (x) , то
эта функция называется нечетной. График нечетной функции симметричен
относительно начала координат.
Для нашей функции:
5x 2
5( x) 2
5x 2
5x 2
.
y ( x)  2
, y (  x) 

,  y ( x)   2
x  25
( x) 2  25 x 2  25
x  25
Видим, что y( x)  y( x) для любого x из области определения функции.
Поэтому функция четная, еѐ график симметричен относительно оси ординат.
3. Точки пересечения графика функции с осями координат.
Для нахождения точек пересечения графика с осью Ox решим систему
уравнений
 y  0,

5x2

 y  x 2  25 .
Отсюда получаем, что x  0 , y  0 . Следовательно, точка (0;0) является точкой
пересечения графика функции с осью Ox .
Для нахождения точки пересечения графика функции с осью Oy решим
систему уравнений
 x  0,

2
 y  5x .

x 2  25
Отсюда x  0 , y  0 , поэтому точка (0;0) является точкой пересечения графика
функции с осью Oy .
4. Исследование функции по первой производной (интервалы монотонности,
точки экстремума).
Найдем первую производную функции:

 5 x 2  (5 x 2 )  ( x 2  25)  5 x 2  ( x 2  25) 10 x  ( x 2  25)  5 x 2  2 x
 
y   2


2
2
2
2
x

25
(
x

25
)
(
x

25
)


2
10 x  ( x  25  x 2 )
250 x



.
( x 2  25) 2
( x 2  25) 2
y  0 при x  0 , y не существует при x  5 и x  5 . Точки x1  5 , x2  0 ,
x3  5 разбивают область определения функции на четыре интервала (;5) , (5;0) ,
(0;5) , (5;) . Определим знак производной y на каждом из них. Возьмем любое
число
из
интервала
например
Так
как
(;5) ,
6.
250  (6) 1500
y(6)  

 12,4  0 , поэтому на всем интервале (;5)
(36  25) 2 121
13
производная y  0 и, следовательно, функция монотонно возрастает. Аналогично
определяем знак производной y на трех других интервалах:
250  (1) 250
y(1)  

 0,4  0 ,
(1  25) 2 576
250  2
500
y(2)  

 1,1  0 ,
2
(4  25)
441
250  7
1750
y(7)  

 3,1  0 .
2
(49  25)
576
Результаты исследования занесем в таблицу:
x
y
(;5)
(5;0)
0
(0;5)
(5;)
+
+
0
−
−
y
y
0
функция
возрастает
функция
возрастает
max
функция
убывает
функция
убывает
Итак, функция возрастает на каждом из интервалов (;5) , (5;0) и убывает
на интервалах (0;5) , (5;) . В точке x  0 производная меняет знак с «+» на «−»,
следовательно, x  0 − точка максимума функции. Значение функции в этой точке
равно:
ymax(0)  0 .
5. Исследование функции по второй производной (выпуклость, вогнутость,
точки перегиба графика).
Найдем вторую производную функции:

  250 x 
( x)  ( x 2  25) 2  x  (( x 2  25) 2 )
  250 
y  ( y)   2

2 
( x 2  25) 4
 ( x  25) 
1  ( x 2  25) 2  2 x  ( x 2  25)  2 x
( x 2  25)  ( x 2  25  4 x 2 )
 250 
 250 

( x 2  25) 4
( x 2  25) 4
3x 2  25
 250  2
.
( x  25)3
y  0 , если 3x 2  25  0 . Это уравнение не имеет решения.
y не существует при x  5 и x  5 .
Точки x1  5 , x2  5 разбивают область определения функции на три
интервала: (;5) , (5;5) , (5;) . Определим знак производной y на каждом из
3  62  25
133
 250 
 274,8  0 , поэтому на всем интервале
них. Так как y(6)  250  2
2
(6  25)
121
14
(;5) производная y  0 и, следовательно, график функции является вогнутым на
данном интервале. Аналогично определяем, что y  0 на интервале (5;5) , поэтому
график выпуклый на данном интервале. На интервале (5;) y  0 , поэтому график
вогнутый на этом интервале. Результаты исследования занесем в таблицу:
x
y
y
y
(;5)
+

вогнутый
график
(5;5)
−

выпуклый
график
(5;)
+

вогнутый
график
Точек перегиба на графике функции нет.
6. Точки разрыва функции и вертикальные асимптоты её графика.
Точки разрыва функции – это точки x1  5 и x2  5 , в которых функция не
определена. Вычислим пределы функции в этих точках:
5x 2
5x 2
125 
125 
lim 2



,
lim

2
 0   .
x5 x  25
x5 x  25
 0 
Поэтому прямые с уравнениями x  5 и x  5 являются вертикальными
асимптотами графика функции.
7. Невертикальные асимптоты графика функции.
Невертикальной асимптотой будем называть асимптоту, не параллельную оси
Оу. Невертикальная асимптота графика функции y  f (x) при x   существует
тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы
f ( x)
lim
 k , lim [ f ( x)  kx]  b .
x
x
x
Эта асимптота имеет уравнение y  kx  b .
Вычислим пределы
5
f ( x)
5x 2
5x
0
x
lim
 lim

lim

lim

0k,
2
2
x
x x  ( x  25)
x x  25
x 1  25
x
1
2
x
 5x 2

5x 2
5
5
lim [ f ( x)  kx]  lim  2
 0  x   lim 2
 lim

 5  b.
x
x x  25
x x  25
x 1  25
1


x2
Так как оба предела k и b конечны, то график функции имеет невертикальную
асимптоту при x   . Еѐ уравнение y  kx  b , то есть y  5 .
8. Построение графика функции.
На основании результатов проведенного исследования строим график функции.
15
Рис. 1
Четность функции облегчает построение графика: строим часть графика
функции для значений x [0;5)  (5;) , а затем отображаем эту часть графика
симметрично относительно оси ординат и получаем весь график.
Для уточнения графика рассмотрим несколько дополнительных точек:
5  22
20
5  72
245
y (2)  2
   0,9 , y (7)  2

 10,2 .
2  25
21
7  25 24
9. Множество значений функции.
Вид графика (см. рис. 3.1) позволяет сделать вывод, что E ( y)  (;0]  (5;) .
3.2. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Исследовать методами дифференциального исчисления функцию y  f (x)
и на основании полученных результатов построить еѐ график.
1  x3
1
1. y  2
.
2. y  2 .
x  4x  3
x
3
x
x2  2x
3. y 
.
4. y 
.
6  2x2
x 1
x2  x  4
x2
5. y 
.
6. y  3 .
x
2x
3
x 4
1
7. y  2
.
8. y 
.
x  2x
3x 2
16
x2
9. y  2
.
x 1
x3
10. y  2
.
x 1
4. ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
4.1 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Задание 1. Изобразить область определения D( z ) функции двух переменных
z  4  y2  x .
Функция z  4  y 2  x определена во всех точках, координаты x и y которых
удовлетворяют неравенству
4  y 2  x  0 или x  4  y 2 . Уравнение x  4  y 2
задаѐт параболу, а неравенству x  4  y 2 удовлетворяют координаты точек
плоскости, расположенных левее этой параболы:
Рис.2.
Область определения D( z ) функции z  4  y 2  x изображена на рис.4.
Задание 2. Найти частные производные функции двух переменных 2-го порядка.
z
а) При нахождении частной производной
переменная y рассматривается
x
как постоянная:
z
 9 x8 y 2  4 .
x
z
При нахождении частной производной
переменная x рассматривается как
y
постоянная:
17
z
 2 x9 y  2 .
y
Найдѐм частные производные второго порядка:
 2 z   z  
     9 x8 y 2  4   72 x7 y 2 ,
2
x
x  x  x
2 z
  z  
     9 x8 y 2  4   18 x8 y ,
yx y  x  y
 2 z   z  
     2 x9 y  2   2 x9 ,
2
y
y  y  y
2 z
  z  
     2 x9 y  2   18 x8 y .
xy x  y  x
б) найдѐм частные производные первого порядка:
z
z x 2
 2 x ln y ,
 .
y y
x
Найдѐм частные производные второго порядка:
 2 z   z  
     2 x ln y   2ln y ,
x 2 x  x  x
2 z
  z  
2x
,
     2 x ln y  
yx y  x  y
y
2 z
  z    x 2  2 x
,
    
xy x  y  x  y  y
Задание 3.
 2 z   z    x 2 
x2
     2 .
y 2 y  y  y  y 
y
Исследовать на экстремум функцию z  4 x2  4 xy  2 y 2  8x  2 y  1.
Вычислим частные производные первого порядка
z
z
 8 x  4 y  8,
 4 x  4 y  2
x
y
и приравняем их к нулю:
 8 x  4 y  8  0

4 x  4 y  2  0.
3
Решая систему уравнений, находим стационарную точку x   , y  1. Чтобы
2
 3

определить, действительно ли точка   ;  1 является точкой экстремума, найдѐм
 2

частные производные второго порядка:
18
2 z 
  8 x  4 y  8  8,
x 2 x
2 z 
  4 x  4 y  2   4 ,
y 2 y
2 z

  4 x  4 y  2   4 .
xy x
2
2 z 2 z  2 z 
 3

Так как величина   2  2  
 в точке   ;  1 положительна:
x y  x y 
 2

2
  8  4  (4)  16 ,
то эта точка является точкой экстремума.
2 z
 3

 3

Так как
положительна
в
точке
,
то
точка

8

;

1

;

1



  точка
2
2
x 2




минимума.
Найдѐм
значение
функции
в
этой
2
2
 3

 3
 3
 3
точке: zmin  z   ;  1  4      4       1  2   1  8      2   1  1  4
 2

 2
 2
 2
4.2 ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Задание 1.
z  f ( x; y) .
Изобразить область определения D( z ) функции двух переменных
1.1. z  x  y .
x
1.6. z  ln   .
 y
1.2. z  ln( xy) .
1.7.
z  4  x2  y 2  9 .
1.3. z  9  x 2  y 2 .
1.8.
z  x  sin y .
1.4. z  x  3 y 2 .
1
1.5. z 
.
x y
1.9.
z  x 2  y 2  25 .
1.10. z  4  x  y 2  1 .
Задание 2. Найти частные производные функции двух переменных 2-го порядка.
7 xy
 y 4  x5 ;
2.1. а) z  5 x3 y 2 
б) z  ln  x 2  y 3  .
2
2 xy
2.2. а) z  3x 4 y 2 
б) z  arc sin  3x 2 y 4  .
 y 3  x3 ;
5
x
x
2.3. а) z  5 x 2 y  y 3   xy 4 ;
б) z  arctg .
y
3
2.4. а) z  4 xy3  x  y5  2 y  x 4 ;
б) z  sin 2 x  3 y .
19
2.5. а) z  4 x3  3x 2 y  y 3  7 ;
2.6. а) z  3xy5  2 y 4  x5  78 ;
2 xy
2.7. а) z  3x3 y 2 
 y5  x4 ;
3
5 xy
2.8. а) z  2 x 2 y 4 
 y 2  x3 ;
3
3
5
2.9. а) z  3x y  x  y  y 6  x ;
z  4 x 2  2 xy 2  y3  8 ;
2.10. а)
x

б) z  cos   e y  .
y

б) z  e3x
2
 y3
.
б) z  ln  x3  y 2  .
б) z  arccos  4 x3  y 4  .
б) z  sin 3  3x  2 y  .


б) z  arcsin e2 x  5 y .
Исследовать на экстремум функцию z  f ( x; y) .
z   y 2  4 x  4  4 xy  5x 2  2 y .
z  6 x  2 xy  1  x 2  y 2  10 y .
z  5xy  5  3x 2  y  3 y 2  x .
z  x  y 2  2  xy  x 2  y .
z  3xy  4 y  x2  y 2  x  1 .
z  9 y  3xy  6 x  3 y 2  x 2  4 .
z  4 x  3 y 2  5  7 y  3x 2  5xy .
z  6 x  2 xy  5  x2  y 2  10 y .
z  10 y  8  x2  xy  x  2 y 2 .
z  4 x  1  x2  3xy  4 y 2  6 y .
Задание 3.
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
3.10.
5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
5.1 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
x5  x x  2
Пример 1. Вычислить интеграл 
dx .
x
Преобразуем подынтегральную функцию:
1
x5  x x  2
2
4
 x  x2  .
x
x
1
1
 4
2
x5  x x  2
dx
4
2
2
x

x

dx
=
=
==
dx
x
dx

x
dx

2







x
x
x


Тогда
5
3
2
x
x
 3  2ln x  C .
5
2
20
Пример 2.
Вычислить интеграл
2
3
x

5

x
dx .

Делаем замену 5  x  t , тогда 2xdx  dt и xdx 
2
1
dt . Следовательно,
2
5  x2  t
1
4
33
1 3
1 3 3
2 4
5

x
x

5

x
dx
=
=
=
t
dt


t

C

 C.
1


8
2 4
xdx  dt 2
2
3
2
arctg 2 x
Пример 3. Вычислить интеграл 
dx .
1  x2
dx
dt .
Делаем замену arctgx  t , тогда
1  x2
Следовательно,
arctg 2 x
t3
arctg 3 x
2
 1  x 2 dx =  t dt  3  C  3  C .
Пример 4.
Вычислить интеграл
 x sin 5x dx .
Воспользуемся формулой интегрирования по частям:
 udv  uv   vdu .
 x  sin(5x)dx 

ux
dv  sin(5 x )dx
1
  x cos(5 x ) 
1
5
du  dx v   cos(5 x )
5
1
1
1
cos(5
x
)
dx


x
cos(5
x
)

sin(5 x )  C .
5
5
25
Пример 5.
 ln  2x dx =
Вычислить интеграл
u  ln(2 x )
du 
1
dx
x
 ln  2x dx .
dv  dx
1
 xln(2 x )   x  dx 
x
vx
 xln(2 x)  x  C .
Пример 6.
Вычислить интеграл
5x  3
 3x 2  3x  10dx .
21
5
11
2
x

1



5x  3
1
5x  3
1 2
2 dx =
dx
=
dx

 3x 2  3x  10


10
10
3 x2  x 
3
x2  x 
3
3
1 5
2x 1
5
10
1 11
dx
2
  
dx   
ln
x

x



2
10
3 2 x2  x 
3
3 2 
1  37 6
x




3
2  12

1
x

11 1
2  C.
 
arctg
6
37
37
12
12
 ( x )
При решении мы воспользовались правилом 
dx  ln  ( x )  C
 ( x)
Пример 7.
Вычислить интеграл
7 x  15
 x3  2 x 2  3xdx .
а) Знаменатель подынтегральной функции разложим на множители:
x 3  2 x 2  3x  x  x 2  2 x  3  x  x  1 x  3 .
б) подынтегральную функцию представим в виде суммы простейших дробей:
7 x  15
A
B
C



.
x 3  2 x 2  3x x
x  3 x 1
Тогда
A  x  3 x  1  Bx  x  1  Cx  x  3
7 x  15
,

x 3  2 x 2  3x
x  x  3 x  1
Следовательно,
7 x  15  A  x  3 x  1  Bx  x  1  Cx  x  3 .
Определим постоянные A , В и С .
Если x  0 , то 15  3A и A  5 ;
если x  3 , то 36  12B и B  3;
если x  1, то 8  4C и C  2 .
Тогда
22
7 x  15
dx
dx
3
2 
5
dx
5

3


dx
=
=
 x3  2 x 2  3x   x x  3 x  1 
 x  x 3
 2
dx
 5ln x  3ln x  3  2ln x  1  C .
x 1
5.2. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
2
 4 2
1 
1  x


dx ; 2) 
Вариант 0. 1)   5 x 
dx ;
3 2 
x
x
3
x
x 

3)
 sin( 6 x  8 )dx ;
7)
 x cos(2 x)dx ;
Вариант 1.
 x e dx ;
2 x
9)
x
2
cos x
 x dx ;
dx
 9x  3 ;
4)
12 x  7
 e dx ;
8)
e
x
 e  xdx ;
2
5)
 3x
 sin xdx ; 9)
6)
8)
 cos( 2  9 x )dx ;

2
x
x
dx ;
7)
2
 x cos(2 x)dx ;
Вариант 3. 1)
6
 7 x  4
5
x
3  x 4 dx ;
 x  x  dx ;

x
1
x  dx ;
x
2x  1
dx ; 10)
 4x  2
 xe
9)
2)
2
4)
3
2
 ln
6)
4
3 

Вариант 2. 1)   2x  
 dx ; 2)
x
x

3)
x
6)
3x  1
dx
dx ; 10) 
.
 3x  1
3sin x  4cos x
 3

x
1)   2  5  7  9 x dx ;
x

3)
x
8)
35 x
2
 dx ; 5)
4)
 (x
2
 x  arctgxdx ;
7)
x3
dx .
 1)( x  1)
( x 2  x )2
 x x dx ;
dx ;
5)
 cos
2
dx
;
x 1  tgx
dx ;
x 1
 2 x  x  1 dx ;
2
10)
2x  1
 ( x  1)( x2  5)dx .
cos(2 x)
4
x
3 2 
  x  2  x dx ; 2)  cos2 x  sin 2 xdx ;
23
3)
dx
 cos 2 ( 5x  3 ) ; 4)
18x
 e dx ; 5)

x2
5  x 
3 4
sin x
 cos3 xdx ;
dx ; 6)
lg x
3x
 x3 dx ; 8)  x  e dx ;
x3
dx
9)  2
.
dx ; 10) 
3x  x  1
sin x  cos x
7)
3)
 cos 4 xdx ; 4)
6)
e
8)
e
cos x
x
sin xdx ;
8)
x
x
2
2
7
x
2x  1
3x  1
dx ; 10)
2
x2
  x  1  x  2dx .
2
 4 x
2 
7
x

3

dx ; 2)


5 3 
x 

5)
1
dx ;
sin 2 x
cos x
3
sin 2 x
dx ;

6)


 dx ;
x 1
x
3
e
3)
2 x 5
dx ; 4)
tg x
dx ;
x
sin(2 x)dx ;
 e2 x dx ;
Вариант 6.
9)
1)
8)
 sin 3x   cos 5x dx ;
dx
 x2  9 ;
5)
e2 x
 4  e2 x dx ;
9)
2)
6)
 cos x 
1
dx ;
x
6)
24
2
x
dx .
( x  2)3
 x dx ;
xdx
;
4
1
x
2x  1
 4 x2  x  3dx ;
4 

x
8
x

3

dx ; 2)
 
4
x
5)
x 1
  x  2
10)
 3 2

7
x


6

 dx ;

x

4)
Вариант 7. 1)
2x  3
dx ;
2
 x 1
 3x
x
cos
 5 dx ;
4)
 ctg

 dx ;

 x  cos(2 x)dx ;
 4x
9)
1)
x
sin
 2 dx ;
7)
dx
 sin 2 ( 4 x  3 ) ; 5)
 sin xdx ; 7)
Вариант 5.
5 4
2
x



3  4 x3
3x 2  5 x  4
dx ; 2)

x
Вариант 4. 1)
 ctg
10)
2
7)
e
 xln  x
2
2 x 10
dx ;
 1dx ;
dx
 x  x2  x  2 .
xdx ; 3)
x 2 dx
 1  x3 ;
3)
7)
 sin( 3  6 x )dx ;
e
x
cos  2 x  dx ;
8)
 arctgxdx ;
9)
4)
  3x  4 
8)
 arccos xdx ;
4
dx ;

5)
cos xdx
;
2)
4)
 cos( 1  2 x )dx ; 5)
8)
x
 e cos 2 xdx ;
9)
xdx ;
3)
7)
e
2 5x
dx ;
 x sin 3x dx ;
2
x 1
  x2  3  x  5dx .
dx
2) 
;
cos 2 x  sin 2 x
3 5 4
 x  x  1dx ;
2x  1
 3x2  x  3dx ;
2
xdx
;
4
1
10)
5
 2
1)   3x  2 x  dx ;
x

 tg
x
6)
sin 2 x
2 x
9)  2
dx ;
2x  x  1
5
2  sin x
 2  cos xdx .
10)
1

5 4 
4

  x3  6  x dx ;
Вариант 8. 1)
Вариант 9.
x6
 2 x2  7 x  1 dx ;
e
3)
ln x
 x dx ; 7)
dx
10) 
.
4sin x  5cos x
6)
x
3
dx ;
 x ln xdx ;
2
6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
6.1 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Пример 1. Воспользуемся правилом интегрирования

1
f  kx  b  dx  F  kx  b   C ,
k
табличным интегралом 1) и формулой Ньютона-Лейбница, получим:
1  7  3x 
3
7

3
x
dx



=


1  7  3x 3 1
3
2
2

dx
2
1
6 7  3  2
2

1
6  7  3  1

2
2 2
2

1
1
6  7  3x 

2
1
1
1
1
1 5


1


 .
6 6  42 6  16  32
Пример 2.
Воспользуемся методом интегрирования по частям для
вычисления определѐнного интеграла:
25
b

 udv  uv
a
4
 x cos 2 x dx =
0
b
b
a
  vdu

a

4
x
1
dv  cos 2 xdx =  sin 2 x  
2
2
0
1
v  sin 2 x
2
ux
du  dx

4
 sin 2 xdx 
0

4
1


1

1
 
= 4  sin  2    0   cos 2 x   sin   cos   cos0 
2
4
8
2
4
2
4
 4
0


8

1
1
 2
.
 0  1 
4
4
8
Замена переменной :
e
Пример
ln 3 x dx
1 x
3.
=
=
dx
 dt
x
t (1)  0, t (e)  1
ln x  t ,
=
1
1
t4
1 0 1
3
t
dt


  .
0
40 4 4 4
Пример 4.
интегралом 4):
12
e
9
4
x
3
dx = 3  e
Воспользуемся правилом интегрирования (  ) и табличным
4
x 12
3
  3  e44  e43    3  e0  e1   3 1  e   3  e  1 .
9
Пример 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
y  x2  3x  5; y  x  2.
Найдѐм абсциссы точек пересечения графиков, заданных функций. Для этого
 y  x 2  3x  5,
объединим уравнения в систему 
Решая полученную систему
y

x

2.

уравнений, получаем:
x1  3; x2  1.
После построения графиков заданных функций получим фигуру (рис.3),
26
Рис.3
ограниченную прямой y  x  2 и параболой y  x 2  3x  5 .
Рис.4.
Площадь фигуры, изображѐнной на рис.4, вычисляется по формуле:
b
S    f 2 ( x)  f1 ( x)  dx .
a
В нашем случае
f 2 ( x)  x  2,
f1 ( x)  x 2  3x  5 , следовательно,
27
1
 x3

S    x  2  x 2  3x  5 dx     x 2  2 x  3 dx     x 2  3x  
 3
 3
3
3
1
1
3

1
2
 1
  (3)
  1  3   
 (3)2  3  (3)    2  9  9  9 10 (кв. ед.).
3
3
3
 3
 

Пример 6.
Вычислить объѐм тела, полученного при вращении вокруг оси
Ox фигуры, ограниченной линиями:
x2 y 2

 1, x  6.
32 22
Первое уравнение задаѐт гиперболу, а уравнение x  6 задаѐт вертикальную
прямую. После их построения, получаем фигуру, ограниченную гиперболой и
вертикальной прямой.
Пользуясь формулой для вычисления объѐма тела
вращения
b
VOx    f 2 ( x) dx ,
a
находим объѐм тела (рис.5), образованного вращением нашей фигуры вокруг оси
Ox :
6
 4 x3

 4 63

 4 33

4 2

VOx     x  4  dx      4 x       4  6       4  3  
9

9 3
3
9 3

9 3

3
6
 8  8  16 (куб. ед.)
28
Рис.5. Объѐм тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры,
ограниченной линиями y  f ( x),
y  0, x  a, x  b (a  b) , вычисляется
b
по
VOx    f 2 ( x ) dx .
формуле
В
нашем
случае
a
y2 x2
  1, ,
9
4
y2 
9 2
x  9, a  2, b  4, поэтому
4
4
 9 x3

9 2

3

VOx     x  9  dx      9 x      43  9  4  
4

4

4 3
2
2
4
3

   23  9  2   12  12  24 .
4

6.2 ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Задание 1. Вычислить указанные определѐнные интегралы.
Вариант 0.

1
1.

4  5x dx ;
12
1
3
cos x
2. 
dx ;
3
 sin x
1
 x  e dx ;
3.
x

4.
0
0
dx
x 1
2
.
6
Вариант 1.

3
1.

1
dx
;
7  2x
2.
15
2
2
 sin x  cos x dx ;
3
3.

 x  ln x dx ;
4.
1

5
dx
.
2
5 x
6
Вариант 2.

4
1.

e
3
x dx
2. 
;
2
sin
x

3x  7 dx ;
3
3.

1
ln x
dx ;
x
1
dx

4.
4  x2
0
4
Вариант 3.
4
1.

0
dx
;
2x  1
1
2.
3
 e  sin(e ) dx ; 3.
 ln x dx ;
0
1
x
x
Вариант 4.
29
3
4.
dx
0 9  x 2 .
.
3
3
1.

2
dx
x 3x
; 3.   e
2
(arcsin x )3  1  x 2
1

4 x  3 dx ; 2.
1
1

0
2
2
2
4
 sin 4x dx .
dx ; 4.
0
Вариант 5.
2
e
dx
1. 
;
3
x

2
1
 x ln x dx ;
3
2.

3
3.
 x  x  3 dx ;
1
2
3
4.
8

1
0
dx
.
cos2 2 x
Вариант 6.
1
x

1.   3   dx ; 2.
3
3 
2
5
x5
 (5x  5)sin 3x dx ; 3. 2 7  2 x6 dx ; 4.
3


2
dx
9 x
2
2
.
Вариант 7.
2
 1  2 x 
1.
2
dx
2
; 2.
 ( x  5)  ln 5x dx ;
3.  x  e
2
0
0
1
1
1 x3
dx ;
4.
3
dx
 1  9x
2
.
0
0
Вариант 8.
0
1.
  6 x  5

0
dx
3
; 2.
1
 ( x  2)  e
3x
dx ; 3.
2
3
2
 sin
2
e
x  cos x dx ; 4.
x
1
3
dx .
0
0
Вариант 9.
1
1 x
1.     dx ; 2.
3 2
1 

2
 x e
4
4 5 x
5
dx ; 3.
Вариант 0. y  x  2 x  3;
2
Вариант 1. y  x  x  1;
2

0
y  x  1.
y  x  2.
Вариант 3. y  x  3x  1;
y  2 x  3.
Вариант 4. y  x  4 x  9;
y  x  3.
Вариант 5. y  x  4 x  5;
y  3x  1 .
Вариант 6. y  x  2 x  9;
y  4 x  1.
Вариант 7. y  x  7 x  3;
y  x  5.
2
2
2
2
dx
.
cos2 3x
фигуру, ограниченную заданными линиями, и
y  2 x  1.
2
2
0
Вариант 2. y  x  6 x  4;
2

 (9 x  5) cos 2 x dx ; 4.
1
Задание 2.
Построить
вычислить еѐ площадь.
2
30
Вариант 8. y  x  5x  17;
y  2 x  5.
Вариант 9. y  x  11x  9;
y  4 x  3.
2
2
Задание 3. Вычислить объѐм тела, получающегося при вращении вокруг оси
Ox фигуры, ограниченной линиями, уравнения которых заданы.
Вариант 0. y  4 x  x ,
y  0, x  0, x  3.
2
Вариант 1. y  sin x,
Вариант 2. xy  4,
y  0, x  0, x   .
y  0, x  1, x  4.
x2 y2
Вариант 3.

 1.
32 22
1
Вариант 4. y  2  x 2 ,
2
Вариант 5.
y  tgx,
Вариант 6.
y
8
,
x
Вариант 7. y  cos x,
Вариант 8.
y
y  0, x 
y  0,

4
x  2,
y  0,
1 2
x  1,
6
Вариант 9. y  ctgx,
y  0.
x  8.

x ,
2
y  0,
y  0,
.
x
x
x  0,

4
2
.
x  3.
x
,


2
.
7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
7.1 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Пример 1. Найти решение задачи Коши для ДУ первого порядка
y 
Решение.
6y
,
2x 1
y( 1 )  4.
Данное уравнение является дифференциальным уравнением с
разделяющимися переменными, то есть уравнением вида y  f1( x )  f 2 ( y ) (здесь
31
6
dy
6y
. Разделив обе
, f 2 ( x )  y ). Запишем его в виде

2x 1
dx 2 x  1
части уравнения на y ( y  0 ) и умножив на dx , получаем ДУ с разделенными
f1( x ) 
переменными
dy
6dx
,

y 2x 1
в левой части которого отсутствуют члены, содержащие x , и в правой части
которого отсутствуют члены, содержащие y . Интегрируя обе части последнего
уравнения, получаем
dy
6dx

 y  2 x  1  c0 ,
ln y  3 ln 2 x  1  ln c
или
(здесь символ

обозначает какую-либо одну первообразную, произвольная
постоянная c0 взята в логарифмическом виде для удобства). После потенцирования
получаем общее решение исходного ДУ
y  c  2 x  1 .
3
Заметим, что здесь постоянная c может принимать любое действительное
значение, в частности значение c  0 , так как при c  0 получаем функцию y  0 ,
которая также является решением исходного уравнения.
Для того чтобы выделить из общего решения решение, удовлетворяющее
условию y( 1 )  4 , определим значение постоянной c так, чтобы это условие
оказалось выполненным.
Подставив в общее решение x  1 и y  4 , получаем 4  c  2  1  1 , отсюда
3
c  4 . Следовательно,
y  4  2 x  1 – искомое решение задачи Коши.
3
Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения
y 2  xy
.
y 
x2
Решение. Запишем уравнение в виде
2
y
 y
y     .
x x
32
Данное уравнение является однородным ДУ первого порядка, то есть
2
y
 y
 y  y
уравнением вида y   f   (здесь f       ). Для его решения сделаем
x
x x
x
y
подстановку
 u . Отсюда y  ux и y  ux  u . Подставляя выражения для y 
x
y
и
в последнее ДУ, получаем
x
ux  u  u 2  u ,
или
ux  u 2 .
Это уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися
переменными. Решим его.
du u 2
du dx
 ,
 ,
u2
x
dx x
du
dx
  2   c, 
u
x
1
1
   ln x  c ,  u 
.
u
c  ln x
Найденное решение u подставим в формулу y  ux и получим, что общее решение
исходного ДУ есть
y
x
.
c  ln x
Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения
y 
3y
2
  x  1 .
x 1
Решение. Данное уравнение является линейным ДУ первого порядка, то есть
3
2
, g( x )   x  1 ). Его
x 1
решение будем искать в виде произведения двух функций y  u  . Запишем
производную произведения y  u  u  . Подставляя данные выражения в ДУ,
уравнением вида y  p( x )y  g( x ) (здесь p( x ) 
получаем
u  u  
3u
2
  x  1
x 1
33
или
3 
2

u  u   

x

1
.



x 1

()
Приравняем к нулю выражение в скобках в левой части уравнения (  ):
 
3
 0 . Решив это ДУ с разделяющимися переменными, найдем функцию  .
x 1
d
3
d 3dx
, ,
, 


dx x  1

x 1
d
3dx
,  , ln   3 ln x  1 , 
, 


x 1
 ,    x  1 .
3
(Так как ищется любое ненулевое частное решение  , то значение произвольной
постоянной при интегрировании можно выбрать нулевым).
Подставив найденную функцию  в равенство (  ), получаем
u  x  1   x  1 , или u 
3
2
1
.
x 1
Полученное ДУ с разделяющимися переменными запишем в виде
du
1
dx
или du 
.

dx x  1
x 1
Интегрируя обе части последнего уравнения, получаем
u  ln x  1  c .
Перемножив найденные функции u  ln x  1  c и
   x  1 , получим
3
общее решение исходного дифференциального уравнения
y   ln x  1  c    x  1 .
3
Пример 4.
Найти решение задачи Коши для линейного однородного
дифференциального уравнения второго порядка
y  8 y  16 y  0, y( 0 )  , y( 0 ) 
Пример 5. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения
второго порядка
y  2 y  8 y  3e2 x .
34
Решение. Общее решение линейного дифференциального уравнения второго
порядка имеет вид
yон  yоо  yчн , где yоо
– общее решение однородного
уравнения, а yчн – частное решение неоднородного уравнения.
Сначала решим однородное уравнение
y  2 y  8 y  0 .
Составим для этого ДУ характеристическое уравнение
k 2  2k  8  0 .
Решая это квадратное уравнение, находим его корни k1  2, k2  4 . Так как
k1  k2 , то общее решение однородного ДУ имеет вид
yoo  c1ek1x  c2ek2 x  c1e2 x  c2e4 x .
7.2 ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Задача № 1. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения
первого порядка.
2 y2  2 y
1
Вариант 0. y 
, y( 2 )   .
x3
3
ye2 x
Вариант 1. y   2 x
, y( 0 )  1.
e 8
Вариант 2. y  
Вариант 3.
Вариант 4.
Вариант 5.
Вариант 6.
Вариант 7.
x 3  y2
y 2  x2
, y( 2 )  1.
2 ye x
y  x
, y( 0 )  4 .
e 3
xy 2  x
y  
, y( 0 )  0 .
2
4 x
y  y ln y
y  
, y( 2 )  e .
x
x  xy 2
y 
, y( 0 )  3 .
2 y  yx 2
y 
y  cos x

, y( )  4 .
3  2 sin x
6
35
Вариант 8.
y  2 xy  2 y, y( 1 )  3 .
Вариант 9.
y  
y 1
, y( 1 )  3 .
2
x x
Задача № 2. Найти общее решение дифференциального уравнения.
Вариант 0.
а) xy  y  y  ln
y
,
x
б) y  cos x  y  e
2
2y
Вариант 2.

y
а) y   e x ,
x
2
2
а) x y  xy  2 y ,
Вариант 3.
а)
Вариант 4.
x3  y3
а) y  
,
xy 2
Вариант 5.
а) y 
Вариант 1.
Вариант 7.
Вариант 8.
а) y  
Вариант 6.
Вариант 9.
.
б) y  2 y   x  1 e .
2x
б) xy  y  x cos x .
2
x 2  y 2  2 xyy  0 ,
y
y
 ctg ,
x
x
y
y
а) y   sin ,
x
x
2
2
а) xyy  x  2 y  0 ,
 tgx
б) y  2 xy  xe
б)
 x2
.
1  x  y  2 xy  x .
б) y 
2
y
 x  ln x .
x ln x
б) y sin x  y cos x  x sin x .
2
б) y  y cos x  cosx  e
y
1
,

x sin y
x
y
y
а) y   tg ,
x
x
sin x
2
.
б) y sin x  y cos x  e .
2x
б) y  y  x e .
2 x
Задача № 3. Найти решение задачи Коши для линейного однородного
дифференциального уравнения второго порядка.
Вариант 1.
Вариант 2.
Вариант 3.
Вариант 4.
Вариант 5.
Вариант 6.
y  2 y  y  0, y( 0 )  1, y( 0 )  0 .
y  2 y  2 y  0, y( 0 )  1, y( 0 )  1 .
y  y  2 y  0, y( 0 )  5, y( 0 )  4 .
y  4 y  4 y  0, y( 0 )  3, y( 0 )  1 .
y  9 y  0, y( 0 )  0, y( 0 )  3 .
y  3 y  0, y( 0 )  3, y( 0 )  3 .
36
Вариант 7.
Вариант 8.
Вариант 9.
Вариант 10.
4 y  12 y  9 y  0, y( 0 )  2, y( 0 )  4 .
y  4 y  0, y( 0 )  3, y( 0 )  2 .
y  7 y  12 y  0, y( 0 )  1, y( 0 )  2 .
y  3 y  2 y  0, y( 0 )  3, y( 0 )  4 .
Задача № 4.
Найти общее решение линейного дифференциального
уравнения второго порядка
Вариант 1.
y  2 y  8 sin 2 x .
Вариант 2.
y  9 y  6e3 x .
y  25 y  24 sin x .
Вариант 3.
Вариант 4.
Вариант 5.
Вариант 6.
Вариант 7.
Вариант 8.
Вариант 9.
Вариант 10.
y  2 y  5 y  16e x .
y  3 y  12 x  1.
y  6 y  9 y  9 cos 3x .
y  6 y  10 y  4e2 x .
y  2 y  y  50 sin 3x .
y  y  x 2 .
y  4 y  4 y  4  8x .
8. РЯДЫ
8.1 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Пример 8.1. Пользуясь одним из признаков сходимости числовых рядов с
положительными членами, установить, сходится или расходится ряд
1 4 9
n2
   ...  n1  ... .
22 23 24
2
Решение. Применим к данному ряду с положительными членами признак
Даламбера. Выпишем n –й и (n  1) –й члены ряда:
n2
(n  1) 2 (n  1) 2
un  n1 , un1  ( n1)1  n2 .
2
2
2
Тогда
37
un1 (n  1) 2 n 2 (n  1) 2 2n1 (n  1) 2
 n2 : n1  n2  2 
.
un
2
2
2
n
2  n2
un1
(n  1) 2 1
 lim
 .
Вычислим предел lim
n u
n 2  n 2
2
n
Так как
1
 1, то данный ряд сходится.
2
Пример 8.2. Установить, сходится или расходится знакочередующийся ряд
1 1 1
1
1
    ...  ( 1 )n1 
 ... .
2 10 30 68
n  ( n2  1 )
Если ряд сходится, то выяснить, как он сходится: абсолютно или условно.
Решение.
Воспользуемся
признаком
Лейбница
сходимости
знакочередующегося ряда. Для данного в задаче ряда условия признака
Лейбница выполнены:
1 1
1
1
1
1
 




2
2 10 30 68
n  (n  1) (n  1)  ((n  1)2  1)
и
1
lim un  lim
 0.
n
n n  ( n 2  1)
Следовательно, знакочередующийся ряд сходится. В этом случае он
сходится либо абсолютно, либо условно.
Установим
вид
сходимости
(абсолютная
или
условная)
знакочередующегося ряда.
По исследуемому знакочередующемуся ряду
1 1 1
1
1
    ...  ( 1 )n1 
 ...
2 10 30 68
n  ( n2  1 )
составим ряд из абсолютных величин его членов
1 1 1
1
1
    ... 
 ... .
2 10 30 68
n  ( n2  1 )
Последний ряд является числовым рядом с положительными членами.
Применим к нему предельный признак сравнения. В качестве эталонного
ряда выберем ряд
1 1
1
1
1 
  ...  3  ... ,
8 27 64
n
который является обобщенным гармоническим рядом с   3  1 (это
сходящийся ряд).
Так как
1
1
un 
, vn  3 ,
2
n  (n  1)
n
то
38
un
n3
n2
1
lim  lim
 lim 2
 lim
1.
2
n v
n n  ( n  1)
n n  1
n 1  1
n
n2
Получили, что A  1 ( 0  A   ) . Согласно предельному признаку
сравнения оба ряда ведут себя одинаково. Отсюда следует, что ряд,
составленный из абсолютных величин, сходится. Следовательно, исходный
знакочередующийся ряд сходится абсолютно.
Пример 8.3. Найти область сходимости степенного ряда
4x 
42  x 2
3
2

43  x3
3
3
 ... 
4n  x n
3
n
 ... .
Решение. Найдем радиус сходимости степенного
R  lim
n
ряда по формуле
an
. В данной задаче
an1
4n
4n1
,
an  3 , an1  3
n
n 1
поэтому
an
4n  3 n  1
1 3 n 1 1
1 1
3 1
 lim 3

lim


lim
 .
n1
n a
n
n 4
n
n
4
n
4
n

4
n1
R  lim
Следовательно, данный степенной ряд абсолютно сходится при x 
1
(то
4
 1 1
 1 1
1
 ) и расходится при x  4 , а интервал   ; 
 4 4
 4 4
есть при x    ;
является интервалом сходимости этого ряда.
Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.
1
При x   получаем знакочередующийся ряд
4
1
1
(1) n
1  3  3    3
.
2
3
n
Для этого ряда проверим выполнение двух условий признака Лейбница.
1
1
Сравним un  3
и un1  3
. Так как 3 n  3 n  1 при всех
n
n 1
1
1
натуральных значениях n , то 3  3
( n  1, 2, ... ). Следовательно,
n
n 1
первое условие признака Лейбница выполнено.
1
Так как lim un  lim 3  0 , то второе условие признака Лейбница также
n
n
n
выполнено.
По признаку Лейбница знакочередующийся ряд сходится.
39
1
данный степенной ряд превращается в числовой ряд с
4
положительными членами
1
1
1
1  3  3    3  ,
2
3
n
1
который является обобщенным гармоническим рядом с    1 и,
3
следовательно, расходится.
При x 
 1 1
 является областью сходимости
4
4


Таким образом, промежуток   ;
исходного степенного ряда.
Пример 8.4. Пользуясь одним из разложений элементарных функций в ряд
1
Маклорена, вычислить значение
3
с точностью до 0,001.
e
Решение. Воспользуемся разложением
x x 2 x3 x 4
e  1      ... .
1! 2! 3! 4!
1
Полагая x   , получаем:
3
x
2
1
3
e
e

1
3
3
4
1 1 1
1  3   3   3 
1 1
1
1
 1 


 ...  1   

 ... .
3
2!
3!
4!
3 18 162 1944
Так как последний знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы
1
 0,001, то, согласно замечанию 13.5, для приближенного
1944
1
вычисления значения
с точностью до 0,001 можно ограничиться
3
e
Лейбница и
первыми четырьмя членами ряда, отбросив все последующие члены этого
ряда:
1
1 1
1

1



 0,716.
3
3 18 162
e
40
1
Пример 8.5. Вычислить
2
x
 cos x dx с точностью до 0,001, разложив в ряд
0
Маклорена подынтегральную функцию.
Решение. Воспользуемся разложением функции cos x в ряд Маклорена:
x2 x4
x6
cos x  1   
 ... .
2! 4! 6!
Тогда
x 4 x6
x8
x cos x  x   
 ... ,
2! 4! 6!
2
2
1
1
1
1
1
1
x 4 x6
x8
x4
x6
x8
2
0 x cos x dx  0 ( x  2!  4!  6!  ...)dx  0 x dx  0 2!dx  0 4! dx  0 6! dx  ... 
2
2
1
1
1
1
x3
x5
x7
x9
1 1
1
1




 ...   

 ... .
3 0 5  2! 0 7  4! 0 9  6! 0
3 10 168 6480
Так как последний ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница и
1
1
 0,001, то для приближенного вычисления значения  x 2 cos x dx с
6480
0
точностью до 0,001 можно ограничиться первыми тремя членами ряда,
отбросив все последующие члены этого ряда:
1
1 1
1
2
x
cos
x
dx



 0,239.
0
3 10 168
Пример 8.6. Найти три первых, отличных от нуля, члена разложения в
степенной ряд функции, являющейся решением дифференциального
уравнения y  x 2 y 2  1 при условии, что y( 0 )  1.
Решение. Будем искать решение y( x ) в виде ряда Маклорена:
9. y( x )  y( 0 ) 
y( 0 )
y( 0 ) 2
x
x  ... .
1!
2!
Подставляя в данное дифференциальное уравнение первого порядка
y( 0 )  1.
Продифференцируем обе части исходного уравнения по переменной x :
y  2 xy 2  2 x 2 yy. При x  0, y  1 и y  1 получим y( 0 )  0.
начальные
условия
x0
и
y  1,
Дифференцируем предыдущее уравнение:
41
находим,
что
y  2 y 2  4 xyy  4 xyy  2 x 2 (( y )2  yy ).
Используя начальные условия, получаем y( 0 )  2.
Подставляя найденные значения производных в ряд Маклорена, получаем:
x3
y( x )  1  x   ... .
3
8.2. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Задача № 8.1.
а) Пользуясь одним из признаков сходимости числовых рядов с
положительными членами, установить, сходится или расходится данный
ряд;
б) установить, сходится или расходится знакочередующийся ряд; если ряд
сходится, то выяснить, как он сходится: абсолютно или условно;
в) найти область сходимости степенного ряда.
1
2
3
n



...

 ... ,
2  3 3  32 4  33
( n  1 )  3n
1 1 1 1
1
  ...  ( 1 )n1  2
 ...,
б)  
4 7 12 19
n 3
x 2 x3
xn
в) x 
  ...   ....
2 3
n
2
3
2 2 2
2n
Вариант 2. а)  3  3  ...  3  ... ,
1 2 3
n
1 1 1 1
1
n1
 ... ,
б)     ...  ( 1 ) 
5 7 9 11
2n  3
x2
x3
xn

 ... 
 ... .
в) x 
2 2 3 3
n n
2
2
2
2
Вариант 3. а)



...

 ...,
3  5 6  52 9  53
3n  5n
1
1
1
1
1
б)
 

 ...  ( 1 )n1 
 ... ,
3
2 2
10
11
n7
2
3
n
x x
x
x
в) 
  ...  2  ... .
1 4 9
n
3 9 27
3n
Вариант 4. а) 2  2  2  ... 
 ... ,
2 3
4
( n  1 )2
1 1 1 1
1
  ...  ( 1 )n1  2
 ... ,
б)  
2 6 12 20
n n
Вариант 1. а)
42
x
x2
x3
xn


 ... 
 ....
в)
n
1 2
2 4
3 8
n 2
2
2 5 10
n 1
Вариант 5. а)  2  3  ... 
 ... ,
4 4 4
4n
1
1 1
1
б) 1 

  ...  ( 1 )n1 
 ... ,
3
3
5
2n  1
3
n
n
8 x
2 x
2
в) 2 x  x 
 ... 
 ....
9
n2
1
1
1
1



...

 ...,
Вариант 6. а)
3  5 4  52 5  53
( n  2 )  5n
1 1 1 1
1
  ...  ( 1 )n1  3
 ... ,
б)  
2 9 28 65
n 1
x2
x3
xn
 3  ...  3  ... .
в) x 
3
2
3
n
2
3
n
8 8 8
8
Вариант 7. а) 
  ... 
 ... ,
4 5 6
n3
1 1 1 1
1
n1
 ...,
б)     ...  ( 1 ) 
2 5 8 11
3n  1
x
x2
x3
xn
в)


 ...  n 2  ....
3 1 32  22 33  32
3 n
1 2 3
n
Вариант 8. а) 3  4  5  ...  n2  ...,
3 3 3
3
1 1
1
1
1
б) 


 ...  ( 1 )n1 
 ... ,
2
7
10
13
3n  1
2
3
n
x
x
x
в) x  3  3  ...  3  ....
2 3
n
4 5 6
n3
Вариант 9. а)  2  3  ...  n  ... ,
2 2 2
2
1 1 1
1
  ...  ( 1 )n1  2
 ... ,
б) 1  
7 17 31
2n  1
32  x 2 33  x3
3n  x n

 ... 
 ....
в) 3x 
2
3
n
1
1
1
1


...

 ...,
Вариант 10. а) 2 
3
4
n1
5 2 5 35
n5
43
1
1
1
1

 ...  ( 1 )n1 
 ...,
2 2 3 6 4 5
n  n 1
2
2
3
3
n
n
2 x
2 x
2 x
в) 2 x 


...

 ....
23
33
n3
б)
Задача
№

1

8.2.
Пользуясь
одним
из
разложений
функций

e , sin x, cos x, ( 1  x ) и ln( 1  x ) в ряд Маклорена, вычислить указанное
значение с точностью до 0,001.
x
1
Вариант 0.
Вариант 3.
e
Вариант 1. sin 0,75
1,2
Вариант 6. sin1
Вариант 4. ln1,3
Вариант 7. cos1
Вариант 2. cos 0,75
Вариант 5.
1
e
Вариант 8.
1,3
Вариант 9. ln1,2
Задача № 13.4. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001,
разложив в ряд Маклорена подынтегральную функцию.
1
Вариант 0.
Вариант 1.

0 ,25
3

Вариант 5..
x sin x dx
0
0
1
0 ,5

 x cos x dx
Вариант 6..
x cos x dx
0
0 ,5
Вариант 2.
Вариант 3.
0
e
2 x 2
0 ,5
Вариант 7.
dx
2
0
1
0 ,5
Вариант 8.
x sin 3x dx
0
x
 x sin x dx
0
2
Вариант 4.
x
 e dx
0

x cos x dx
0 ,25
2
Вариант 9.
cos 2 xdx
1

x sin x dx
0
Задача № 13.5. Найти три первых, отличных от нуля, члена разложения в
степенной ряд функции, являющейся решением дифференциального уравнения
y  f ( x, y ) при условии, что y( x0 )  y0 .
1  x2
Вариант 1. y 
 1, y( 0 )  1.
y
Вариант 2. y  x 2 y  y 3 , y( 0 )  1.
44
Вариант 3. y  e y  xy, y( 0 )  0.
Вариант 4. y  y  cos x  x, y( 0 )  1.
2  x3
Вариант 5. y 
 1, y( 0 )  1.
y
Вариант 6. y  sin x  y 2 , y( 0 )  1.
Вариант 7. y  y 3  x, y( 0 )  1.
Вариант 8. y  xe y  y 2 , y( 0 )  1.
Вариант 9. y  y 2  sin x  1, y( 0 )  1.
Вариант 10. y  cos x  cos y, y( 0 ) 

2
.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Основная литература
1. Красс М. С. Математика в экономике: математические методы и модели
[Текст] : учеб. для бакалавров : рек. УМО ВО в качестве учеб. для студентов
высш. учеб. заведений, обучающихся по эконом. направлениям и специальностям
/ М. С. Красс, Б. П. Чупрынов; под ред. М. С. Красса; Финанс. ун-т при
Правительстве РФ. - 2-е изд., испр. и доп. - М. : Юрайт, 2014. - 541 с. Электронная версия в ЭБС "Юрайт".
Дополнительная литература
1. Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрии [Текст] : учеб.справ. пособие : рек. УМО вузов Рос. Федерации по образованию в обл. мат.
методов в экономике в качестве учеб. пособия для студентов высш. учеб.
заведений / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин; под ред. Н. Ш. Кремера;
Финанс. ун-т при Правительстве Рос. Федерации. - 4-е изд., перераб. и доп. - М. :
Юрайт, 2014. - 724 с. - Электронная версия в ЭБС "Юрайт".
45
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
10
Размер файла
1 140 Кб
Теги
анализа, математические
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа