close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Математический анализ (СР 38.03.01)

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ Г.Ф. МОРОЗОВА»
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Методические указания
для самостоятельной работы студентов
по направлению подготовки
38.03.01 – Экономика
Воронеж 2016
3
УДК 512.8
Раецкая, Е. В. Математический анализ [Текст] : методические указания для
самостоятельной работы студентов по направлению подготовки 38.03.01 –
Экономика / Е. В. Раецкая, И.В. Сапронов, Н.М. Спирина ; М-во образования и
науки РФ, ФГБОУ ВО «ВГЛТУ». – Воронеж, 2016. – 63 с.
Печатается по решению учебно-методического совета
ФГБОУ ВО «ВГЛТУ»
(протокол № 5
от 22 апреля 2016 г.)
Рецензент д-р физ.-мат. наук, доцента кафедры математического анализа ВГУ
Зубова С.П.
4
Содержание
Введение……………………………………………..……………………………………4
1.Предел функции………… ………………………… …………………………………5
2.Производная …………………….……………………………………………………17
3. Полное исследование функции………………………...…………………………..23
4. Функции двух переменных...……………………………………………………….31
5. Неопределенный интеграл……………………………………….…………….…..36
6. Определенный интеграл…………………………………………………….……..40
6. Дифференциальные уравнения ………………………………………….……….46
6. Ряды……………………...……………………………………………….……….…..57
Вопросы для контроля. ………………………………………………………………..61
Библиографический список……..……………………………………………….…...63
5
ВВЕДЕНИЕ
Целью изучения дисциплины «Математический анализ» является воспитание
достаточно высокой математической культуры, привитие навыков современных
видов математического мышления, обучение основным понятиям и методам
математического анализа, необходимым для анализа и моделирования устройств,
процессов и явлений при поиске оптимальных решений практических задач,
методам обработки и анализа результатов численных экспериментов для
экономических задач.
Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:
- самостоятельное изучение теоретического материала, построенного на основе
четких формулировок и доказательство основных теорем; выработка способности
проиллюстрировать самостоятельно изученный материал примерами и задачами;
- самостоятельное изучение истории появления наиболее важных понятий и
результатов, а также пояснений об их приложениях к другим разделам математики и
к другим наукам;
- закрепление самостоятельно изученного теоретического материала и выработка
умения самостоятельно решать задачи для последующего применения
математических методов в различных приложениях.
Студент по результатам освоения дисциплины «Математический анализ»
должен обладать способностью выбрать инструментальные средства для обработки
экономических данных в соответствии с поставленной задачей, проанализировать
результаты расчетов и обосновать полученные выводы .
В результате самостоятельного освоения дисциплины студент должен:
- знать основные понятия, определения и методы исследования объектов
с помощью теорем и формул различных разделов курса математического анализа;
- уметь: четко формулировать и доказывать основные положения курса
математического анализа, решать задачи и примеры по различным разделам
математического анализа с доведением решения до практического приемлемого
результата (формулы, числа, графика, качественного вывода и т.п.), уметь при
решении задач выбирать необходимые вычислительные методы и средства (ПЭВМ,
таблицы и справочники); самостоятельно изучать научную литературу по линейной
алгебре;
- иметь представление о численных алгоритмах решения
математических и прикладных задач его профессиональной области.
6
1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Понятие функции
Пусть даны два непустых множества X и Y .
f : X Y , которое каждому элементу
x X сопоставляет единственный элемент yY . Область определения функции –
множество X , которое обозначается D( f ) или кратко D . Множество значений
функции – множество Y , которое обозначается E ( f ) или E .
Чтобы задать функцию y  f ( x) необходимо указать правило, позволяющее,
зная x , находить y . Если элементами множеств X и Y являются действительные
числа, то функция называется числовой функцией и записывается y  f ( x) .
Переменная  xD x X называется аргументом, а yY – значением функции,
соответствующим заданному значению аргумента x .
Графиком функции y  f ( x) называется множество всех точек плоскости
Oxy с координатами ( x, y) , для каждой из которых x является аргументом, а y –
Функция
–
это
соответствие
значением функции.
Наиболее часто встречаются три способа задания функции: аналитический (в
виде одной или нескольких формул), графический (в виде графика) и табличный (в
виде ряда отдельных значений аргумента и соответствующим им значений функции).
Далее
вводятся
некоторые
характеристики
для
функции
y  f ( x) ,
определенной на множестве D .
1. Функция называется четной, если  xD выполняются условия  xD
и f ( x)  f (  x) .
2. Функция y  f ( x) , называется нечетной, если  xD выполняются
условия  xD и  f ( x)  f ( x) .
3. Функция называется возрастающей на множестве D , если  x1 , x2 D ,
таких что x1  x2 выполняется условие
f ( x1 )  f ( x2 ) (если выполняется условие
f ( x1 )  f ( x2 ) , то функция называется неубывающей).
4. Функция
называется убывающей на множестве D , если  x1 , x2 D ,
таких что x1  x2 выполняется условие
f ( x1 )  f ( x2 ) (если выполняется условие
f ( x1 )  f ( x2 ) , то функция называется невозрастающей).
7
Возрастающие, неубывающие, убывающие и невозрастающие функции
называются монотонными, а возрастающие и убывающие – строго монотонными
на множестве D функциями.
5. Если существует такое число M  0 , что  xD выполняется неравенство
f ( x)  M , то функция y  f ( x) называется ограниченной на множестве D .
6. Если существует такое число T  0 , что  xD значение ( x  T )D
и
f ( x)  f ( x  T ) , то функция y  f ( x) называется периодической на множестве D .
Пусть задана функция y  f ( x) с областью определения D и множеством
значений E . Если
введено соответствие, которое каждому элементу
yY сопоставляет единственный элемент x X , то определена обратная функция
x  ( y) с областью определения E и множеством значений D . Записывается в виде
x  ( y)  f 1 ( y) . Если ввести переобозначения: аргумент обратной функции
обозначить символом x , а значение – символом y , то обратная функция принимает
вид y  f
1
( x)
Для функции y  f ( x) определена обратная y  f
1
( x) тогда и только тогда,
когда y  f ( x) определяет взаимно-однозначное соответствие между множествами
D и E . То есть любая строго монотонная функция имеет обратную.
Пусть задана функция y  f (u ) с областью определения Du и множеством
значений E , а функция u  ( x) с областью определения Dx и множеством
значений Du , то есть на множестве Dx определена сложная функция y  f ( ( x))
(или функция от функции, или суперпозиция заданных функций).
Числовые последовательности. Предел последовательности.
Под числовой последовательностью x1 , x2 , x3 ,..., x1n ,... понимается функция
xn  f (n) , заданная на множестве натуральных чисел
. Кратко последовательность
обозначается в виде  xn  или xn , n  . Число x1 называется первым членом
последовательности, число xn называется общим или n -м членом
последовательности.
Последовательность называется ограниченной, если существует такое число
M  0 , что  n
выполняется неравенство xn  M .
8
Последовательность называется возрастающей (или неубывающей), если
 n
выполняется условие
xn  xn1 (или
xn  xn1 ). Эти последовательности
называются монотонными.
Число A называется пределом последовательности
сколь угодно малого числа
 xn  , если для любого
  0 найдется такое натуральное число N , что при всех
n  N выполняется неравенство xn  A   .
Говорят также, что последовательность
 xn 
сходится к A (является
сходящейся) и записывают lim xn  A .
n 
Кратко определение предела последовательности записывается так:
(  0  N :  n  N  xn  A   )  lim xn  A .
n 
Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.
Теорема 1.1. Если
lim xn  A ,
lim yn  B и, начиная с некоторого
n 
n 
номера n , выполняется неравенство xn  yn , то A  B .
Теорема 1.2. Если
lim xn  A ,
lim yn  A и, начиная с некоторого
n 
n 
номера n , выполняется неравенство xn  zn  yn , то lim zn  A .
n 
Теорема 1.3. (Вейерштрасса)
Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.
Предел функции
Рассматривается функция y  f ( x) , определенная в некоторой (достаточно
малой) окрестности точки x0 , кроме быть может, самой точки x0 . Сформулируем
два определения предела функции в точке x0 .
Определение 1.1. (по Гейне, на языке последовательностей)
Число A называется пределом функции
y  f ( x) в точке x0 (или при
x x0 ), если для любой последовательности допустимых значений аргумента
xn , n 
( xn  x0 ), сходящейся к x0 (то есть lim xn  x0 ), последовательность
n 
9
соответствующих значений функции
f ( xn ) сходится к числу A (то есть
lim f ( xn )  A ).
n 
В этом случае пишут lim f ( x)  A или f ( x)  A , при x x0 .
n 
Определение 1.2. (по Коши, на языке «    »)
Число A называется пределом функции
y  f ( x) в точке x0 (или при
x x0 ), если для любого сколь угодно малого числа   0 найдется такое число
  0 , что для всех x  x0 ,
удовлетворяющих
неравенству
x  x0   ,
выполняется неравенство f ( x)  A   .
Записывают lim f ( x)  A (см. рис. 6.1). Кратко определение предела
x  x0
функции записывается так:
(  0   0 x : x  x0   , x  x0  f ( x)  A   )  lim f ( x)  A .
x  x0
Рис. 1.1
З а м е ч а н и е 1.1. Подразумевается, что x x0 определении предела
функции
lim f ( x)  A любым способом: оставаясь слева от точки x0 или справа
x  x0
от точки x0 , или колеблясь около
точки x0 . В некоторых случаях возникает
10
необходимость рассматривать односторонние пределы,
то есть предел функции
слева (при x x0  0 ) или справа (при x x0  0 ) от точки x0 .
Число A называется пределом функции y  f ( x) слева в точке x0 , если
для любого сколь угодно малого числа
  0 найдется такое число   0 , что при
всех x( x0   , x0 ) , выполняется неравенство f ( x)  A   .
Записывают
lim
x  x0 0
f ( x)  A .
Число A называется пределом функции y  f ( x) справа в точке x0 , если
для любого сколь угодно малого числа
  0 найдется такое число   0 , что при
всех x( x0 , x0   ) , выполняется неравенство f ( x)  A   .
Записывают
Теорема
lim
x  x0 0
1.4.
 lim f ( x) ,
lim
f ( x) 
Верно
lim
x  x0 0
и
f ( x) 
предела
(существования
то
x  x0
x  x0 0
f ( x)  A .
lim
x  x0 0
 lim
lim
 lim
f ( x) и
в
x  x0 0
точке x0 )Если
f ( x) ,
причем
f ( x)  lim f ( x) .
x  x0
обратное:
x  x0 0
x  x0 0
функции
если
 lim
x  x0 0
f ( x) ,
 lim
x  x0 0
f ( x)
и
f ( x) то  lim f ( x) .
x  x0
Пусть функция определена при x(, )
Определение 1.3. (предела функции при x  )
y  f ( x) при x  , если для
любого сколь угодно малого числа   0 найдется такое число M  M ( )  0 , что
Число A называется пределом функции
для всех x ,
удовлетворяющих
неравенству x  M , выполняется неравенство
f ( x)  A   .
Записывают lim f ( x)  A .
x 
Бесконечно большие и бесконечно малые функции
11
Определение 1.4. Функция y  f ( x) называется бесконечно большой (б.б.ф.)
при x x0 , если для любого числа М  0 существует число
  (M )  0 , такое
что для всех x , удовлетворяющих неравенству 0  x  x0   ,выполняется
неравенство f ( x)  M .
Записывают lim f ( x)  .
x  x0
Всякая б.б. в окрестности точки x0 функция является неограниченной в этой
окрестности.
Определение 1.5. Функция y  f ( x) называется бесконечно малой (б.м.ф.)
при x x0 , если lim f ( x)  0 .
x  x0
Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми величинами
или бесконечно малыми и обозначают греческими буквами  ,  ,  . Далее
приведены основные теоремы о бесконечно малых функциях.
Теорема 1.5. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых
функций есть бесконечно малая функция.
Теорема 1.6. Произведение ограниченной функции на бесконечно малую
функцию есть бесконечно малая функция.
Следствие 1.1. Так как всякая б.м.ф. ограничена, то из теоремы 2 вытекает,
что произведение двух б.м.ф. есть бесконечно малая функция.
Следствие 1.2 . Произведение б.м.ф. на число есть бесконечно малая функция.
Теорема 1.7. Частное от деления б.м.ф. на функцию, имеющую отличный от
нуля предел, есть бесконечно малая функция.
Теорема 1.8. (о связи б.м. и б.б.) Если функция  ( x) – бесконечно малая
(   0 ), то функция
1
есть бесконечно большая функция и наоборот: если
 ( x)
12
функция f ( x) – бесконечно большая, то функция
1
есть бесконечно малая
f ( x)
функция.
Теорема 1.9. (о представлении функции, имеющей конечный предел)
Если функция f ( x) имеет предел, равный A , то ее можно представить как
сумму числа A и бесконечно малой функции  ( x) , то есть если lim f ( x)  A , то
x  x0
f ( x )  A   ( x) .
Теорема 1.10. (обратная)
Если функцию f ( x) можно представить в виде суммы числа A и бесконечно
малой функции  ( x) , то число A является пределом функции, то есть если
f ( x)  A   ( x) , то lim f ( x)  A .
x  x0
Основные теоремы о пределах
Здесь приводятся теоремы, которые облегчают нахождение пределов функции.
Формулировки теорем для случаев, когда x x0 и x  . В приводимых теоремах
будем считать, что lim f ( x) и
x  x0
lim  ( x) существуют.
x  x0
Теорема1.11. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности)
их пределов:
lim ( f ( x)   ( x))  lim f ( x)  lim  ( x) .
x  x0
x  x0
x  x0
З а м е ч а н и е 1.2. Теорема справедлива для любого конечного количества
функций.
Теорема 1.12. Функция может иметь только один предел при x x0 .
13
Теорема 1.13. Предел произведения двух функций равен произведению их
пределов:
lim ( f ( x)   ( x))  lim f ( x)  lim  ( x) .
x  x0
x  x0
x  x0
Теорема 1.14. Постоянный множитель можно выносить за знак предела
lim C  f ( x)  C  lim f ( x) .
x  x0
x  x0
Теорема 1.15. Предел степени с натуральным показателем равен той же
степени предела:
lim ( f ( x))n  ( lim f ( x)) n .
x  x0
x  x0
Теорема 1.16. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел
знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:
lim f ( x)
f ( x)
x  x0
, ( lim  ( x)  0) .
lim

lim  ( x) x  x0
x  x0  ( x)
x  x0
З а м е ч а н и е 1.3. Во многих вопросах анализа достаточно только убедится
в существовании предела функции, поскольку не всякая функция, даже ограниченная,
имеет предел.
Далее приводятся признаки существования пределов.
Теорема 1.17. (О пределе промежуточной функции)
Если функция f ( x) заключена между двумя функциями  ( x) и g ( x) ,
стремящимися к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому
пределу, то есть если
lim  ( x)  A , lim g ( x)  A и  ( x)  f ( x)  g ( x) ,
x  x0
то
x  x0
lim f ( x)  A .
x  x0
Теорема 1.18. (О пределе монотонной функции)
14
Если функция f ( x) монотонна и ограничена при x  x0 или при x  x0 , то
существует соответственно ее левый предел
правый предел
lim
x  x0 0
lim
x  x0 0
f ( x)  f ( x0  0) или ее
f ( x)  f ( x0  0) .
Следствие 1.3. Ограниченная монотонная последовательность xn , n 
имеет предел.
Замечательные пределы
Первый замечательный предел.
При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические
функции, часто возникает предел вида
sin x
1, называемый первым
x 0 x
lim
замечательным пределом. Использование данного предела позволяет раскрывать
неопределенности вида
0
.
0
Приведем далее следствия из первого замечательного предела.
arcsin x
1 ,
x
x 0
lim
tg x
1,
x 0 x
lim
arctg x
1 , а также
x
x 0
lim
x
x
x
x
1 , lim
1, lim
1.
1, lim
x  0 arcsin x
x  0 tg x
x  0 arctg x
x  0 sin x
lim
Второй замечательный предел.
1 x
Равенства lim (1  )  e и
x
x 
lim (1 
x 0
1
x) x
 e называют вторым
замечательным пределом. Использование данного вида пределов позволяет

раскрывать неопределенности вида (1  0) .
Непрерывность функции. Точки разрыва, их классификация.
15
Пусть функция y  f ( x) определена в точке x0 и в некоторой окрестности
этой точки.
Определение 1.6. Функция y  f ( x) называется непрерывной в точке x0 , если
существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке,
то есть lim f ( x)  f ( x0 ) .
x  x0
Определение 1.7. Функция y  f ( x) называется непрерывной на интервале
(a, b) , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Пусть функция y  f ( x) определена на интервале (a, b) . Разность x  x0
называется приращением аргумента и записывается x  x  x0 ,  x0 , x  (a, b) .
Разность соответствующих значений функции называется приращением
функции и записывается y  f ( x)  f ( x0 ) , или y  f ( x0  x)  f ( x) .
Можно ввести еще одно определение непрерывности функции в точке x0 в
других обозначениях.
Определение 1.8. Функция y  f ( x) называется непрерывной в точке x0 , если
бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое
приращение, то есть функции в этой точке и он равен значению функции в этой
точке, то есть lim  y  0 .
x  0
Далее рассматривается функция y  f ( x) , определенная на некотором
интервале (a, b) .
Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками
разрыва. Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и
второго рода.
Если в точке разрыва x0 существуют конечные пределы функции слева
lim
x  x0  0
f ( x)  A и справа
lim
x  x0  0
f ( x)  B , то x0 – то точка разрыва первого
рода. При этом если A  B , то x0 – то точка устранимого разрыва первого рода;
если A  B , то x0 – то точка конечного разрыва первого рода.
Точка x0 – точка разрыва второго рода функции y  f ( x) , если хотя бы
один односторонний предел не существует или равен бесконечности.
Асимптоты графика функции.
16
Прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой , стремится к нулю
при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой, называется
асимптотой кривой.
Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными.
Прямая x  a (см. Рис 1.2) является вертикальной асимптотой графика
функции y  f ( x) , если lim f ( x)  или
xa
lim f ( x)  , или lim f ( x)  .
xa 0
xa 0
Рис. 1.2
Для нахождения вертикальных асимптот нужно найти те точки графика, вблизи
которых функция неограниченно возрастает.
Уравнение наклонной асимптоты имеет вид y  kx  b (см. Рис 6.3) с
коэффициентами k и b , которые определяются по формулам: k  lim
x
b  lim ( f ( x)  kx) . Если хотя бы один из пределов lim
x 
x
f ( x)
и
x
f ( x)
или
x
lim ( f ( x)  kx) не существует или равен бесконечности, то кривая y  f ( x) не
x
имеет наклонной асимптоты.
17
Рис. 1.3
Если k  0 , а b  lim f ( x)  const , то y  b – уравнение горизонтальной
x
асимптоты (см. Рис 1.4).
Рис. 1.4
График функции может иметь различные асимптоты при x  и при
x  , поэтому следует рассматривать отдельно случай x  и случай
x  .
18
2. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ
Определение производной;
механический и геометрический смысл производной
Определение 2.1. Производной функции в точке x0 называется предел
отношения приращения функции y  f ( x0  x)  f ( x) к приращению аргумента
x  x  x0 , когда приращение аргумента стремиться к нулю (если этот предел
существует), то есть
y
x  0 x
y  lim
или
f ( x0 )  lim
x  0
f ( x0  x)  f ( x)
.
x
Значение производной функция y  f ( x) в точке x0 обозначается f ( x0 ) или
y( x0 ) , или y x  x . Операция нахождения производной называется
0
дифференцированием; функция y  f ( x) , имеющая производную в каждой точке
интервале (a, b) , называется дифференцируемой в этом интервале.
Теорема 2.1.(О связи между непрерывностью и дифференцируемостью)
Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой
точке.
З а м е ч а н и е 2.1. Обратное утверждение неверно: непрерывная функция
может не иметь производной.
Производная широко используется при изучении различных процессов.
Рассмотрим задачу о скорости.
Пусть материальная точка движется неравномерно вдоль некоторой прямой.
Закон движения (зависимость пройденного расстояния от времени) известен и имеет
вид S  S (t ) . Ставится задача нахождения мгновенной скорости точки. Моменту
времени t соответствует значение расстояния S (t ) . Моменту времени (t  t )
соответствует значение расстояния S (t  t ) . За промежуток времени t точкой
пройдено расстояние S  S (t  t )  S (t ) .
19
Средняя скорость Vср движения точки определяется формулой Vср 
S
и
t
зависит от значения t : чем меньше t , тем точнее средняя скорость выражает
скорость движения точки в данный момент времени. При очень малом значении t (
t  0 ) получается формула для нахождения мгновенной скорости точки
S
.
x  0 t
V  lim Vср (t )  lim
x  0
В этом и заключается механический смысл производной: V  S (t ) – скорость
прямолинейного движения материальной точки в момент времени t есть производная
от пути S по времени t .
Рис 2.1
Рассмотрим задачу о касательной.
Рассматривается непрерывная кривая – график непрерывной функции
y  f ( x) . Через точки A ( x, f ( x)) и B ( ( x  x, f ( x  x)) этого графика проведена
ˆ с осью OX ).
 BAC
прямая l – секущая AB (рис 7.2.) (она составляет угол 
сек
сек
Угловой коэффициент секущей определяется по формуле
tg  сек 
f ( x  x)  f ( x)
x
или tg  сек 
y
.
x
При уменьшении значения x , точка B приближается вдоль кривой y  f ( x)
к точке A . При очень малом значении x ( x  0 ) секущая lсек
20
приближается к своему предельному положению и переходит в касательную
ˆ – угол, который
l – прямую AK (рис 7.2.) , при этом сек   (   KAC
составляет касательная l с осью OX ).
При очень малом значении x ( x  0 ) получается формула для нахождения
углового коэффициента касательной l к графику функции y  f ( x) в точке x
f ( x  x)  f ( x)
y
.
 lim
x
x  0
x  0
x  0 x
В этом и заключается геометрический смысл производной: f ( x)  tg  –
tg  сек  lim
tg  сек  lim
угловой коэффициента касательной к графику функции y  f ( x) в точке x есть
производная этой функции в точке x .
Рис. 2.2.
З а м е ч а н и е 2.2. Если точка касания имеет координаты ( x0 , y0 ) , то,
используя уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном
направлении, можно записать уравнение касательной y  y0  f ( x0 )( x  x0 ) .
З а м е ч а н и е 2.3. Уравнение нормали к кривой принимает вид
1
1
( x  x0 ) , где 
– угловой коэффициента нормали


f ( x0 )
f ( x0 )
(прямой, перпендикулярной касательной в точке касания x ).
y  y0  
21
Рис. 2.3.
Производная суммы, разности, произведения и частного функций.
(Правила дифференцирования)
Пусть u  u ( x) и v  v( x) – дифференцируемые в некотором интервале (a, b)
функции.
Теорема 2.2. Производная суммы (разности) двух функций u( x)  v( x) равна
сумме (разности) производных этих функций: (u  v)  u  v .
Теорема 2.3. Производная произведения u ( x)  v( x) двух функций равна
произведению производной первой функции на второй сомножитель плюс
произведение второго сомножителя на производной второй функции:
(u  v)  u v  u  v .
Теорема 2.4. Производная частного двух функций
u ( x)
, если v( x)  0 равна
v( x)
дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на
производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель
 u  u  v  u  v
есть квадрат прежнего знаменателя дроби:   
.
2
v
v
 
Следствие 2.1. Если C  const , то (C  u )  C  u .
22
 u  1 
Следствие 2.2. Если C  const , то     u .
C  C
C  v
 C 
1
Следствие 2.3. Если C  const , то    C  (v )   2 .
v
v
Таким образом, при вычислении производных следует применять следующие
правила дифференцирования:
1. (u  v)  u  v ;
2. (u  v)  u  v  u  v ;
 u  u  v  u  v
3.   
;
2
v
v
 
4. (C  u )  C  u , C  const ;
Производная сложной и обратной функции
y  f ( ( x)) – сложная функция с промежуточным аргументом u и
независимым аргументом x , то есть y  f (u ) и u  ( x) .
Пусть
Теорема 2.5. (Производная сложной функции)
Если функция u  ( x) имеет производную u x в точке x , а функция y  f (u )
имеет производную yu в соответствующей точке u  ( x) , то сложная
функция y  f ( ( x)) имеет производную y x в точке x , которая находится по
формуле: yx  yu  u x .
З а м е ч а н и е 2.4. Для нахождения y x – производной сложной функции
надо yu – производную данной функции по промежуточному аргументу умножить
на u x – производную промежуточного аргумента по независимому аргументу.
Пусть y  f ( x) и x  ( y) – взаимно обратные функции.
Теорема 2.6. (Производная обратной функции) Если функция y  f ( x)
строго монотонна на интервале (a, b) и имеет неравную нулю производную
23
yx  f ( x) в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция
x  ( y) в соответствующей точке также имеет производную x y  ( y ) ,
 ( y ) 
определяемую равенством:
1
1
или x y 
.

f ( x)
y x
З а м е ч а н и е 2.5. Производная обратной функции равна обратной величине
производной данной функции.
Производные основных элементарных функций
(таблица производных)
1. ( x n )  n  x n1 ;
2. ( x)  1 ;
( x ) 
1
2 x
;

1
1
   2 ;
x
 x
3. (a x )  a x ln a ;
4. (e x )  e x ;
5. (log a x) 
1
;
x ln a
1
;
x
7. (sin x)  cos x ;
6. (ln x) 
8. (cos x)   sin x ;
9. (sin x)  cos x ;
10. (cos x)   sin x ;
11. (arcsin x) 
1
1  x2
12. (arccosx)  
;
1
1  x2
;
1
;
1  x2
1
14. (arctg x)  
.
1  x2
13. (arctg x) 
Производные высших порядков
24
Производная y  f ( x) функции y  f ( x) есть также функция от x и
называется производной первого порядка.
Если функция y  f ( x) дифференцируема, то ее производная
( y )  ( f ( x)) называется производной второго порядка и обозначается y или
f ( x) .
Производная от производной второго порядка ( y )  ( f ( x)) называется
производной третьего порядка и обозначается y или f ( x) .
Производной n -го порядка (или n -ой поизводной) называется производная
от производной (n  1) -го порядка: y
(n)
 ( y ( n1) ) .
Производные порядка выше первого называются производными высших
порядков. Начиная с производной четвертого , производные обозначают римскими
VII
цифрами или числами в скобках ( y
 y (7) – производная седьмого порядка).
3. ПОЛНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ
Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях
Здесь приводится ряд теорем, имеющих большое теоретическое и прикладное
значение.
Теорема 3.1. (Ролля)
Если функция y  f ( x) непрерывна на отрезке [a, b] , дифференцируема на
интервале (a, b) и на концах отрезка принимает одинаковые значения f (a)  f (b) ,
то найдется хотя бы одна точка c(a, b) , в которой производная обращается в
нуль, то есть f (c)  0 .
З а м е ч а н и е 3.1. Производная функции в точке x – угловой коэффициента
касательной к графику функции y  f ( x) в точке x (геометрический смысл
производной: f ( x)  tg  ).
Геометрический смысл теоремы Ролля заключается в том, что на графике
функции найдется такая точка, в которой касательная параллельна оси OX , а
именно, точка с координатами (c, f (c)) , в которой tg   f (c)  0 (см. Рис 3.1).
25
.
Рис 3.1
Теорема 3.2. (Коши)
Если функции f ( x) и  ( x) непрерывна на отрезке [a, b] , дифференцируемы
на интервале (a, b) , причем  ( x)  0,  x (a, b) , то найдется хотя бы одна точка
c(a, b) такая, что выполняется равенство
f (b)  f (a) f (c)

.

 (b)   (a)  (c)
Теорема 3.3. (Лагранжа)
Если функция y  f ( x) непрерывна на отрезке [a, b] , дифференцируема на
интервале (a, b) и на концах отрезка принимает одинаковые значения f (a)  f (b) ,
то найдется хотя бы одна точка c(a, b) , такая, что выполняется равенство
f (b)  f (a)  f (c)(b  a) .
Полученную в теореме Лагранжа формулу называют формулой конечных
приращений или формулой Лагранжа. Если формулу Лагранжа записать в виде
f (b)  f (a)
 f (c) , то теорема Лагранжа принимает простой геометрический
ba
смысл: на графике функции y  f ( x) найдется точка С , с координатами (с, f (с)) , в
которой касательная параллельна секущей – прямой, проходящей через точки
A(a, f (a)) и B(b, f (b)) (см. Рис 3.2).
26
Рис 3.2
Следствие 3.1. Если производная функции равна нулю на некотором
промежутке, то функция постоянна на этом промежутке.
Следствие 3.2. Если две функции имеют равные производные на некотором
промежутке, то они отличаются на постоянное слагаемое.
Далее приводятся способы раскрытия неопределенностей вида
0 
и , которые
0 
основаны на применении производных.
Теорема 3.4. (Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида
0
)
0
Пусть функции f ( x) и  ( x) непрерывна и дифференцируемы в окрестности
точки x0 и обращаются на отрезке [a, b] , дифференцируемы на интервале (a, b) ,
пусть также f ( x0 )  ( x0 )  0 и  ( x)  0 в окрестности точки x0 .
f ( x)
f ( x)
f ( x)
 l , то lim
 lim
l.
x x0  ( x)
x x0  ( x) x x0  ( x)
Если существует предел lim
Теорема 3.5. (Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида
27

)

Пусть функции f ( x) и  ( x) непрерывна и дифференцируемы в окрестности
точки x0 (кроме, может быть самой точки x0 ), в этой окрестности
lim f ( x)  lim  ( x)  ,  ( x)  0 .
x x0
x x0
f ( x)
f ( x)
f ( x)
 l , то lim
 lim
l.


x x0  ( x)
x x0  ( x) x x0  ( x)
Если существует предел lim
Применение производной к исследованию функций
Возрастание и убывание функции.
Теорема 3.6. (Необходимые условия возрастания (убывания) функции)
Если дифференцируемая на интервале (a, b) функция f ( x) возрастает
(убывает), то f ( x)  0 , x  (a, b) ( f ( x)  0 , x  (a, b) .
Рис 3.3
Геометрически эта теорема означает, что касательные к графику возрастающей
(убывающей) функции образуют острые углы с положительным направлением оси
28
(для убывающей функции эти углы – тупые) или в некоторых точках параллельны
оси OX (см. Рис 3.3).
Теорема 3.7. (Достаточные условия возрастания (убывания) функции)
Если функция f ( x) дифференцируемая на интервале (a, b) и f ( x)  0 ,
x  (a, b) , то эта функция f ( x) возрастает на интервале (a, b) .
Если функция f ( x) дифференцируемая на интервале (a, b) и f ( x)  0 ,
x  (a, b) , то эта функция f ( x) убывает на интервале (a, b) .
Максимум и минимум функций (экстремум функции)
Точка x0 называется точкой максимума функции y  f ( x) , если
f ( x0 )  f ( x) , для любых значений x из  -окрестности (достаточно малой
окрестности) точки x0 . Значение функции в точке максимума называется
максимумом функции (см. Рис 3.4).
Точка x0 называется точкой минимума функции y  f ( x) , если
f ( x0 )  f ( x) , для любых значений x из  -окрестности (достаточно малой
окрестности) точки x0 . Значение функции в точке минимума называют минимумом
функции (см. Рис 3.4).
Рис 3.4
29
Точки максимума и минимума называют точками экстремума. Максимум и
минимум функции называют экстремумом.
Теорема 3.8. (Необходимые условия экстремума функции)
Если дифференцируемая функция f ( x) имеет экстремум в точке x0 , то ее
производная в этой точке равна нулю: f ( x0 )  0 .
Геометрически условие f ( x0 )  0 означает, что в точке x0 существует
касательная к графику функции, параллельная оси OX .
Обратная теорема не верна: существуют точки, в которых производная равна
нулю (касательная параллельна оси OX ), но эти точки не являются точками
экстремума. Существуют функции, которые в точках экстремума не имеют
производных. Непрерывная функция может иметь экстремум лишь в критических
точках, где производная равна нулю или производная не существует. Эти точки еще
называют подозрительными на экстремум.
Теорема 3.9. (Достаточные условия экстремума функции)
Если непрерывная функция f ( x) дифференцируема в некоторой
-
окрестности критической точки x0 и при переходе через нее (слева направо)
производная меняет знак, то x0 – точка экстремума.
Если знак меняется с плюса на минус, то x0 – точка максимума (рис 8.5).
Если знак меняется с минуса на плюс, то x0 – точка минимума (рис 8.6).
Исследовать функцию на экстремум означает найти все ее экстремумы.
Рис 3.5
Рис 3.6
30
Выпуклость графика функции. Точки перегиба.
График дифференцируемой функции y  f ( x) называется выпуклым
(выпуклым вверх) на интервале (a, b) , если он расположен ниже любой ее
касательной на этом интервале (рис 3.7).
График дифференцируемой функции y  f ( x) называется вогнутым
(выпуклым вниз) на интервале (a, b) , если он расположен выше любой ее
касательной на этом интервале (рис 3.7).
Рис 3.7
Точка графика непрерывной функции y  f ( x) , отделяющая область
выпуклости от области вогнутости (и наоборот) называется точкой перегиба (рис
3.7).
Интервалы выпуклости и вогнутости находят с помощью следующей теоремы.
Теорема 3.10. Если функция f ( x) во всех точках интервала (a, b) имеет
отрицательную вторую производную, то есть f ( x)  0, x(a, b) , то ее график
– выпуклый (выпуклый вверх) на интервале (a, b) .
Если функция f ( x) во всех точках интервала (a, b) имеет положительную
вторую производную, то есть f ( x)  0, x(a, b) , то ее график – вогнутый
(выпуклый вниз) на интервале (a, b) .
31
Очевидно, перегиб может возникать лишь в точках, где вторая производная
равна нулю или не существует. Эти точки еще называют подозрительными на
перегиб.
Точки перегиба находят с помощью следующей теоремы.
Теорема 3.11. (Достаточные условия существования точек перегиба)
Пусть
f ( x0 )  0 или не существует f ( x0 ) , то есть x0 – точка
подозрительная на перегиб.
Если вторая производная f ( x) меняет знак, при переходе через точку x0 , то
точка графика с абсциссой x0 – точка перегиба.
Полная схема исследования функции и построения графика
Исследование функции y  f ( x) целесообразно вести в определенной
последовательности.
1. Найти область определения функции.
2. Найти, если это возможно, точки пересечения графика с осями координат.
3. Найти интервалы знакопостоянства функции (интервалы, на которых
f ( x)  0 или f ( x)  0 ).
4. Выяснить, является ли функция четной, нечетной или общего вида.
5. Найти асимптоты графика функции.
6. Найти интервалы монотонности функции (по знаку f ( x) ).
7. Найти экстремумы функции.
8. Найти интервалы выпуклости (вогнутости) функции.
9. Найти точки перегиба.
10. Построить график функции на основании проведенного исследования.
Приведенная схема исследования не является обязательной. Иногда (в более
простых случаях) достаточно выполнить лишь несколько операций, например 1, 2, 7.
В более сложных случаях можно дополнительно исследовать функцию на
периодичность, построить дополнительно некоторые точки графика, выявить другие
особенности функции. Иногда целесообразно сопровождать исследование поэтапным
построением графика или отдельных его частей.
32
4. ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Предел функции двух переменных.
Пусть задано множество D упорядоченных пар чисел ( x; y) .
Функцией двух переменных называется закон (соответствие) z  f ( x; y ) , по
которому каждой паре чисел ( x; y)D сопоставляет единственное число z .
При этом x и y называются независимыми переменными, а z – зависимой
переменной или функцией. Множество D называется областью определения
функции, множество значений, принимаемых z в области определения функции,
называется множеством значений функции (обозначается E ).
Функция двух переменных, как и функция одной переменной может задаваться
аналитически, в виде таблицы или в виде графика. График функции двух переменных
представляет собой некоторую поверхность в трехмерном пространстве. Каждой
точке M 0 с абсциссой x0 и ординатой y0 в плоскости XOY соответствует точка
M ( x0 ; y0 ; z0 ) , где z0 – аппликата.
Определение 4.1. Число A называется пределом функции двух переменных
z  f ( x; y) то есть при x x0 , y  y0 (или, что то же самое, при
M ( x; y)  M 0 ( x0 ; y0 ) ), если для любого сколь угодно малого числа   0 найдется
такое число
неравенству
  0 , всех что для всех x  x0 и y  y0 и удовлетворяющих
( x  x0 )2  ( y  y0 )2   выполняется неравенство
f ( x, y)  A   .
Записывают
lim f ( x, y)  A или
x  x0
y  y0
lim
M  M0
f (M )  A .
Непрерывность функции двух переменных.
Функция z  f ( x; y ) (или f ( M ) ) называется непрерывной в точке
M 0 ( x0 ; y0 ) , если она:
а) определена в этой точке и некоторой ее окрестности,
б) имеет предел
lim
M  M0
f (M ) ,
33
в) этот предел равен значению функции в этой точке, то есть
lim
M  M0
f (M )  f (M 0 ) .
Функция z  f ( x; y ) , непрерывная в каждой точке некоторой области
называется непрерывной в этой области. Точки, в которых нарушается хотя- бы
одно из условий непрерывности функции называются точками разрыва этой
функции.
Частные производные первого порядка.
Частная производная функции двух переменных z  f ( x; y ) определяется как
производная функции одной переменной, при условии постоянства другой
переменной.
Так как x и y являются независимыми переменными, то одна переменная
может меняться, а вторая сохранять постоянное значение. Пусть переменная x
меняется на величину x (эта величина называется приращением), при этом
переменная y не меняет своего значения. Функция z  f ( x; y ) при этом получит
приращение, которое называется частным приращением по переменной x и
обозначается z x , то есть
z x  f ( x  x, y)  f ( x, y) . Аналогично вычисляется
частное приращение по переменной y : z y  f ( x , y  y )  f ( x, y ) .
Частной производной первого порядка функции z  f ( x; y ) по переменной
x называется предел вида
lim
x  0
f ( x  x, y )  f ( x, y )
, если такой предел
x
z
(значение производной в
x
точке M ( x0 ; y0 ) обозначается символами f x( x0 ; y0 ) или f x M ),
существует. Обозначается такая производная z x или
то есть zx  lim
x  0
f ( x  x, y )  f ( x, y )
.
x
Аналогично определяется и обозначается частная производная первого
порядка функции z  f ( x; y ) по переменной y : zy  lim
y  0
f ( x, y  y)  f ( x, y)
.
y
Частные производные высших порядков.
34
Частные производные первого порядка функции z  f ( x; y ) двух переменных
являются функциями от переменных x и y . Эти функции в свою очередь также
могут иметь частные производные, которые называются частными производными
второго порядка. Они определяются и вычисляются следующим образом:
z  2 z

zxx  ( zx )x  ( )  2 ;
x x x
z  2 z

zyy  ( zy )y  ( )  2 .
y y y
Частные производные второго порядка, взятые по разным переменным
называются смешанными производными:
z
2 z

;
zxy  ( zx )y  ( ) 
x y x y
z
2 z

.
zyx  ( zy )x  ( ) 
y x y x
Теорема 4.1. Шварца.
Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные
производные одного порядка, отличающиеся порядком дифференцирования, равны
между собой.
2 z
2 z
В частности, для z  f ( x; y ) верно
(или zxy  zyx ).

x y y x
Полный дифференциал функции двух переменных.
Пусть функция z  f ( x; y ) определена в некоторой окрестности точки
М ( x, y) . Полное приращение функции в точке М (приращение по переменным x
и y ) определяется и обозначается z  f ( x  x , y  y)  f ( x, y) .
Функция z  f ( x; y ) называется дифференцируемой в точке М ( x, y ) , если
ее полное приращение в этой точке можно представить в виде
z  A x  B  y   x    y ,
где
 (x, y)  0 , при x  0 и y  0 .
Выражение A x  B  y представляет собой полный дифференциал
 главную часть приращения функции, его обозначают dz . Выражения A x и
35
B  y называются собой частными дифференциалами. Для независимых
переменных x  dx и y  dy , поэтому выражение для полного дифференциала
dz  A x  B  y принимает вид dz  A  dx  B  dy .
Теорема 4.2.(необходимое условие дифференцируемости функции).
Если функция z  f ( x; y ) дифференцируема в точке М ( x, y ) , то она
непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные
причем
z z
и
,
x y
z
z
 B.
A и
y
x
Следствие 4.1. Формула полного дифференциала имеет вид
dz 
z
z
dx  dy .
x
y
Теорема 4.3. (достаточное условие дифференцируемости функции).
Если функция z  f ( x; y ) имеет частные производные
z z
и
в точке
x y
М ( x, y) , то она дифференцируема в этой точке и ее полный дифференциал
вычисляется по формуле dz 
z
z
dx  dy .
x
y
Экстремум функции двух переменных.
Понятия максимума, минимума, экстремума функции двух переменных
аналогичны соответствующим понятиям функции одной переменной.
Пусть функция z  f ( x; y ) определена в некоторой области D . Точка
М 0 ( x0 , y0 )D называется точкой максимума функции z  f ( x; y) , если для
любых точек M ( x; y ) из  -окрестности (достаточно малой окрестности) точки
М ( x0 , y0 ) выполняется неравенство f ( x0 , y0 )  f ( x, y) (см. Рис 4.1).
Аналогично определяется точка минимума функции z  f ( x; y ) ,: для любых
точек M ( x; y ) из
 -окрестности (достаточно малой окрестности) точки М ( x0 , y0 )
выполняется неравенство f ( x0 , y0 )  f ( x, y) (см. Рис 4.1).
Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом
функции (минимумом функци) (см. Рис 4.1).
36
Необходимые и достаточные условия экстремума функции двух
переменных.
Теорема 4.4. (необходимые условия экстремума).
Если в точке М ( x0 , y0 ) дифференцируемая функция z  f ( x; y ) имеет
экстремум, то ее частные производные равны нулю в этой точке: f x ( x0 , y0 )  0 ,
f y ( x0 , y0 )  0 .
Точка М ( x0 , y0 ) , в которой частные производные равны нулю называется
стационарной точкой функции z  f ( x; y ) .
Рис 4.1
Стационарные точки и точки, в которых не существует хотя бы одна частная
производная, называются критическими точками функции z  f ( x; y ) .
Теорема 4.5. (достаточное условие экстремума).
Пусть в стационарной точке М ( x0 , y0 ) и в некоторой ее окрестности
функция z  f ( x; y ) имеет непрерывные частные производные до второго порядка
37
включительно. Вычислим в точке М ( x0 , y0 ) значения A  f xx ( x0 ; y0 ) ,
B  f xy ( x0 ; y0 ) , C  f yy ( x0 ; y0 ) . Обозначим  
A B
B C
 A C  B2 .
Тогда:
1. если   0 , то функция z  f ( x; y ) в точке М ( x0 , y0 )
имеет экстремум: максимум, если A 0 , минимум, если A  0 ;
2. если  0 , то функция z  f ( x; y ) не имеет экстремума;
3. если   0 , то экстремум может быть, а может не
быть  необходимо дополнительное исследование.
5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Понятие неопределенного интеграла
Одна из основных задач дифференциального исчисления – нахождение
производной заданной функции. Множество вопросов математического анализа и
приложений в разнообразных науках приводит к другой задаче: по данной функции
f ( x ) найти такую функцию F( x ) , производная которой равна функции f ( x ) .
Функция F( x ) называется первообразной функции f ( x ) на интервале
 a;b  , если для любого x   a;b  выполняется равенство
F ( x )  f ( x ) .
Например, первообразной функции f ( x )  x , x 
2
x3
F( x )  , так как
3
Очевидно,
что
, является функция
 x 3 
F ( x )     x 2  f ( x ) .
 3
первообразными
будут
также
любые
функции
x3
F( x )   C , где C – постоянная, поскольку
3
 x3

F ( x )    C   x 2  f ( x ) , x  .
 3

Теорема 5.1. Если функция F( x ) является первообразной функции f ( x ) на
 a;b  ,
то множество всех первообразных для
F( x )  C , где C – постоянное число.
38
f ( x ) задается формулой
Множество всех первообразных функций F( x )  C для f ( x ) называется
неопределенным интегралом от функции
f ( x ) и обозначается символом
 f ( x )dx .
Таким образом, по определению
 f ( x )dx  F( x )  C .
Здесь
f ( x ) называется подынтегральной функцией,
подынтегральным выражением,
f ( x )dx
x – переменной интегрирования,

–
– знаком
неопределенного интеграла (это стилизованная латинская буква S , означающая
суммирование).
Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется
интегрированием этой функции. Интегрирование является операцией, обратной
дифференцированию. Для проверки правильности выполнения интегрирования
нужно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную
функцию.
Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство
«параллельных» кривых y  F( x )  C , где каждому числовому значению C
соответствует определенная кривая семейства. График каждой первообразной
(кривой) называется интегральной кривой.
Свойства неопределенного интеграла
Прежде всего, укажем свойства, которые непосредственно вытекают из
определения неопределенного интеграла.
1. d
2.
  f ( x )dx   f ( x )dx ,   f ( x )dx   f ( x ) .
 dF( x )  F( x )  C .
Следующие
два
свойства
неопределенного интеграла.
3.
4.
называются
линейными
 kf ( x )dx  k  f ( x )dx .
  f ( x )  g( x ) dx   f ( x )dx   g( x )dx .
Отметим свойство инвариантности формулы интегрирования.
39
свойствами
5. Если
 f ( x )dx  F( x )  C , то и  f ( u )dx  F( u )  C , где u  ( x )
– произвольная функция, имеющая непрерывную производную.
Таблица основных неопределенных интегралов
x 1
1.  x dx 
 C ,   1.
 1
dx
 ln x  C , x  0 .
2. 
x
ax
x
3.  a dx 
 C  0  a  1 .
ln a

4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
 e dx  e  C .
 sin xdx   cos x  C .
 cos xdx  sin x  C .
x
x
dx
 cos2 x  tgx  C .
dx
 sin2 x  ctgx  C .
dx
 1  x 2  arctgx  C .
dx
1
x

arctg
C.
 a2  x2 a
a
dx
 1  x 2  arcsin x  C .
dx
x

arcsin
C.
 a2  x2
a
dx
1
xa

ln
 x 2  a 2 2a x  a  C .

dx
x2  a2
 ln x  x 2  a 2  C .
40
Основные методы интегрирования
Метод непосредственного интегрирования
Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных
преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного
интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется
непосредственным интегрированием.
Метод подстановки
Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой
переменной интегрирования. При этом заданный интеграл приводится к новому
интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов
подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку
приобретается практикой.
Пусть требуется вычислить интеграл
 f ( x )dx .
Сделаем подстановку
x   ( t ) , где  ( t ) – функция, имеющая непрерывную производную. Тогда
dx   ( t )dt и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования
получаем формулу
переменных
интегрирования
подстановкой
или
формулой
замены
 f ( x )dx   f ( ( t ))   ( t )dt .
После нахождения интеграла правой части этого равенства следует перейти от
новой переменной интегрирования t назад к переменной x .
Иногда целесообразно подбирать подстановку в виде t   ( x ) , тогда
 f ( ( x ))   ( x )dx   f ( t )dt .
Другими словами, формулу (10.1) можно
применять справа налево.
С помощью метода замены переменной можно вывести следующие основные
правила интегрирования:
1. Если
2.

3.


f ( x )dx  F ( x)  C , то
f ( x )dx
 ln f ( x )  C ;
f ( x)
f ( x )dx
 2 f ( x)  C .
f ( x)
41

f (kx  b)dx 
1
 F (kx  b)  C ;
k
Метод интегрирования по частям
Пусть
u  u( x ) и
v  v( x ) – функции, имеющие непрерывные
производные. Тогда d( uv )  u  dv  v  du . Интегрируя это равенство, получим
 d( uv )   udv   vdu
или
 udv  uv   vdu .
Полученная формула называется формулой интегрирования по частям. Она
дает возможность свести вычисление интеграла
 udv
к вычислению интеграла
 vdu , который может оказаться существенно более простым, чем исходный.
Укажем некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять методом
интегрирования по частям.
1. Интегралы вида
 P( x )e
kx
dx ,
 P( x )sin kxdx ,  P( x )cos kxdx , где
P( x ) – многочлен, k – число. Удобно положить u  P( x ) , а за dv обозначить
все остальные сомножители.
2. Интегралы вида
 P( x )arc sin xdx ,  P( x )arccos xdx ,  P( x )ln xdx ,
 P( x )arctgxdx ,  P( x )arcctgxdx .
Удобно положить dv  P( x )dx , а за u
обозначить остальные сомножители.
3. Интегралы вида
e
ax
 sinbxdx ,
e
ax
 cosbxdx , где a и b – числа. За u
можно принять функцию u  e .
ax
6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Условия существования определенного интеграла
Пусть функция f ( x ) задана на отрезке  a; b . Разобьем отрезок  a; b на n
произвольных частей точками:
a  x0  x1  x2 
 xi  xi 1 
 xn  b .
В каждом частичном отрезке  xi  ,xi  выберем произвольную точку ci :
xi 1  ci  xi ,
42
i  1,2, ,n ,
и вычислим значение функции в ней, т.е. величину f ( ci ) .
xi  xi  xi 1
Умножим найденное значение функции f ( ci ) на длину
соответствующего частичного отрезка: f ( ci )  xi .
Составим сумму всех таких произведений:
Sn  f ( c1 )  x1  f ( c2 )  x2 
n
 f ( cn )  xn   f ( ci )  xi .
i 1
Эта сумма называется интегральной суммой функции f ( x ) на отрезке
a; b . Геометрический смысл величины Sn указан на рис 6.1: это сумма площадей
прямоугольников с основаниями xi и высотами f ( ci ) ( i  1,2,
,n ).
Рис. 6.1
Обозначим через
 длину наибольшего частичного отрезка:
  max xi .
1i  n
Конечный предел I интегральной суммы Sn при
  0 , если он существует,
называется определенным интегралом от функции f ( x ) на отрезке
b
обозначается
 f ( x )dx . Таким образом,
a
43
a; b
и
b
n
 f ( x )dx  lim  f  c   x .
n 
  0 i 1
a
i
i
Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами
интегрирования,
f(x)
–
подынтегральной
подынтегральным выражением,
функцией,
f ( x )dx
–
x – переменной интегрирования, отрезок
a; b – областью (отрезком) интегрирования.
Функция y  f ( x ) , для которой на отрезке  a; b существует определенный
b
интеграл
 f ( x )dx называется интегрируемой на этом отрезке.
a
Ответ на вопрос о том, какие функции являются интегрируемыми, дают
следующие теоремы, которые мы приводим без доказательства.
Теорема 6.1 (Коши). Если функция f ( x ) непрерывна на отрезке  a; b , то
она интегрируема на нем.
Теорема 6.2.
Если определенная и ограниченная на отрезке  a; b функция
f ( x ) имеет конечное число точек разрыва, то она интегрируема на этом
отрезке.
Теорема 6.3.
монотонная на отрезке  a; b функция f ( x ) интегрируема
на этом отрезке.
Основные свойства определенного интеграла
1. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен
a
нулю:
 f ( x )dx  0 .
a
2. По определению полагается:
3.
b
a
a
b
 f ( x )dx    f ( x )dx .
Постоянный множитель можно выносить за знак определенного
интеграла:
b
b
a
a
 c  f ( x )dx  c   f ( x )dx .
4.
Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен
алгебраической сумме их определенных интегралов:
44
b
b
b
a
a
a
  f ( x )  g( x ) dx   f ( x )dx   g( x )dx .
5.
Для любых чисел a,b и c имеет место равенство
b
c
b
a
a
c
 f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx .
6. Если функция f ( x )  0 всюду на отрезке  a; b , то
b
 f ( x )dx  0 .
a
7. Если f ( x )  g( x ) всюду на отрезке  a; b , то
b
b
a
a
 f ( x )dx   g( x )dx .
8. Если функция f ( x ) интегрируема на  a; b , то
b
b
 f ( x )dx  
a
f ( x ) dx .
a
9. Если M и m – соответственно максимум и минимум функции f ( x ) на
отрезке  a; b , то
b
m( b  a )   f ( x )dx  M ( b  a ) .
a
10. «Теорема о среднем». Если функция f ( x ) непрерывна на отрезке  a; b ,
то существует точка c   a;b такая, что
b
 f ( x )dx  f ( c )  ( b  a ) .
a
b
1
Число f ( c ) 
f ( x )dx
b  a a
называется средним значением функции
f ( x ) на отрезке  a; b .
Основная формула интегрального исчисления
45
Простым и удобным методом вычисления определенного интеграла от
непрерывной функции является формула Ньютона-Лейбница:
b

f ( x )dx  F( x ) a  F( b )  F( a ) .
b
a
Основные правила интегрирования
Замена переменной в определенном интеграле
Теорема 6.4. Пусть:
1) f ( x ) – непрерывная функция на отрезке  a; b ;
2) функция  ( t ) – дифференцируема на
 ;   ,
 ( t ) – непрерывна на  ;  
и множеством значений функции  ( t ) является отрезок  a; b ;
3)
 (  )  a, (  )  b .

b
Тогда справедлива формула
 f ( x )dx   f ( t ) ( t )dt , которая
a
называется формулой замены переменной в определенном интеграле.
Отметим, что:
1) при вычислении определенного интеграла с помощью замены переменной
возвращаться к старой переменной не требуется;
2)
часто вместо замены переменной x   ( t ) применяют подстановку
t  g( x ) ;
3)
не следует забывать менять пределы интегрирования при замене
переменных!
Интегрирование по частям в определенном интеграле
Теорема 6.5. Пусть функции u( x ) и  ( x ) имеют непрерывные производные
на отрезке  a; b ; тогда справедлива формула
b
 ud  u
a
b
b
a
   du ,
a
которая называется формулой интегрирования по частям в определенном
интеграле.
46
Геометрические приложения определенного интеграла
Площадь плоской фигуры
Рассмотрим на плоскости Oxy фигуру, ограниченную графиком непрерывной
f ( x ) , осью Ox и вертикальными прямыми x  a и
и положительной функции
x  b (рис 6.2). Такая фигура называется криволинейной трапецией.
Рис. 6.2
Площадь криволинейной трапеции равна определенному интегралу от
функции f ( x ) на отрезке  a; b :
b
S   f  x  dx .
a
Отметим, что если криволинейная трапеция расположена «ниже» оси Ox
( f ( x )  0 ), то ее площадь может находиться по формулам
b
b
S    f  x  dx
или
S
 f  x  dx .
a
a
Если фигура ограничена кривыми f ( x ) и
g( x ) ( где f ( x )  g( x ) ),
прямыми x  a и x  b (см. рис. 5.3), то площадь криволинейной трапеции
находится по формуле
b
b
b
a
a
a
S   f  x  dx   g  x  dx    f  x   g  x   dx .
47
Рис. 6.3
Объем тела вращения
Пусть вокруг оси Ox вращается криволинейная трапеция, ограниченная
непрерывной линией y  f ( x )  0 , осью Ox и прямыми x  a и x  b (см. рис.
5.4). Объем тела вращения определяется формулой
b
VOx    f 2 ( x )dx .
a
Если тело образовано вращением криволинейной трапеции вокруг оси Oy , то
выражая x через y как обратную функцию, получаем аналогичную формулу для
объема тела вращения:
d
VOy    x 2 ( y )dy ,
c
где  c;d  – область изменения функции y  f ( x ) .
7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Уравнения, связывающие независимую переменную, искомую функцию и ее
производные называются дифференциальными уравнениями (ДУ) (термин
принадлежит Г. Лейбницу, 1676 г.).
48
Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при
подстановке в уравнение обращает его в тождество. Так, решением уравнения
y  f ( x ) является функция y  F( x ) – первообразная для функции f ( x ) .
Если искомая (неизвестная) функция зависит от одной переменной, то ДУ
называют обыкновенным; в противном случае – ДУ в частных производных. В
данном учебном пособии будут рассматриваться только обыкновенные ДУ.
Наивысший порядок производной, входящей в ДУ, называется порядком этого
уравнения.
Например, уравнение
y  3 y  2 y  0 – обыкновенное ДУ третьего
порядка, а уравнение x y  5xy  y – первого порядка; yzx  xzy – ДУ в частных
2
2
производных первого порядка.
Процесс отыскания решения ДУ называется его интегрированием, а график
решения ДУ – интегральной кривой.
Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае можно
записать в виде
F( x; y; y  )  0 .
(7.1)
Если уравнение (7.1) можно разрешить относительно y  , то его записывают в
виде
y  f ( x; y )
(7.2)
и называют ДУ первого порядка, разрешенным относительно производной.
ДУ первого порядка, разрешенное относительно производной, можно записать
в дифференциальной форме:
P( x; y )dx  Q( x; y )dy  0 ,
где P( x; y ) и Q( x; y ) – известные функции.
Общим решением ДУ первого порядка называется функция y   ( x;c ) ,
содержащая одну произвольную постоянную и удовлетворяющая условиям:
1) Функция
 ( x;c ) является решением ДУ при каждом фиксированном
значении c .
2) каково бы ни было начальное условие y  y0 при x  x0 (записывается в
виде
y( x0 )  y0 или
y x  x  y0 ), можно найти такое значение постоянной
0
c  c0 , что функция y   ( x;c0 ) удовлетворяет данному начальному условию.
49
Частным решением ДУ первого порядка называется любая функция
y   ( x;c0 ) , полученная из общего решения y   ( x;c ) при конкретном
значении постоянной c  c0 .
Если общее решение ДУ найдено в неявном виде, т.е. в виде уравнения
Ф( x; y;c )  0 , то такое решение называется общим интегралом ДУ. Уравнение
Ф( x; y;c0 )  0 в этом случае называется частным интегралом уравнения.
Задача отыскания решения ДУ первого порядка, удовлетворяющего заданному
начальному условию, называется задачей Коши.
Уравнения с разделяющимися переменными
ДУ с разделяющимися переменными имеют вид
P(
1 x )  Q1( y )  dx  P2 ( x )  Q2( y )  dy  0 .
(7.3)
Особенность уравнения (12.3) в том, что коэффициенты при
dx и
dy
представляют собой произведения функций, одна из которых зависит только от x ,
другая – только от y .
Почленно разделив это уравнение на Q1( y )  P2 ( x ) , получаем уравнение с
разделенными переменными
P(
Q ( y)
1 x)
 dx  2
 dy  0 ,
P2 ( x )
Q1( y )
проинтегрировав
которое,
находим
P(
Q2 ( y )
1 x)

dx

 P2 ( x )
 Q1( y )  dy  c – общий интеграл.
Замечание. Уравнение
y  f1( x )  f 2 ( y ) также сводится к уравнению с
разделенными переменными. Для этого достаточно положить y  
dy
и разделить
dx
переменные.
Однородные дифференциальные уравнения
Функция f ( x; y ) называется однородной функцией n -го порядка (измерения),
если выполняется равенство
f (  x;  y )   n f ( x; y ) .
50
Например, функция f ( x; y )  x  2 xy есть однородная функция второго
2
порядка, поскольку
f (  x;  y )  (  x )2  2(  x )(  y )   2 ( x 2  2 xy )   2 f ( x; y ) .
Дифференциальное уравнение y  f ( x; y ) называется однородным, если
функция f ( x; y ) есть однородная функция нулевого порядка.
Однородное ДУ можно представить в виде
 y
y  f   .
x
(7.4)
Однородное уравнение (7.4) преобразуется в уравнение с разделяющимися
переменными при помощи подстановки
y
u
x
Действительно, подставив
получаем
ux  u  f ( u )
или, что то же самое, y  ux .
y  ux
или
и
x
y  ux  u
du
 f (u)u,
dx
в уравнение (7.4),
т.е. уравнение с
разделяющимися переменными. Найдя его общее решение (или общий интеграл),
следует заменить в нем u на
y
. Получим общее решение (интеграл) исходного
x
уравнения.
Линейные уравнения
Дифференциальное уравнение называется линейным, если его можно
записать в виде
y  p( x )y  g( x ) ,
(7.5)
где p( x ) и g( x ) – заданные функции или постоянные.
Особенность линейного ДУ: искомая функция y и ее производная y  входят в
уравнение в первой степени, не перемножаясь между собой.
Решение уравнения (12.5) ищется в виде произведения двух функций
y  u  , где u  u( x ) и    ( x ) – неизвестные функции от x , причем одна из
них произвольна. Тогда y  u  u  . Подставляя выражения y и y  в уравнение
(12.5), получаем u  u   p( x )u  g( x ) или
u  u    p( x )   g( x ) .
51
(7.6)
Подберем функцию
  ( x ) так, чтобы выражение в скобках было равно
нулю, т.е. решим ДУ с разделяющимися переменными
   p( x )  0 
d
d
  p( x ) 
  p( x )dx .
dx


Интегрируя, получаем ln    p( x )dx  c .
Ввиду свободы выбора функции
 ( x ) , можно принять c  0 . Тогда
 p( x )dx
.
 e 
Подставляя найденную функцию  в уравнение (7.6), получаем ДУ с
разделяющимися переменными
 p( x )dx
p( x )dx
du   p( x )dx
u  e 
 g( x ) 
dx 
e
 g( x )  du  g( x )  e 
dx
 u   g( x )e 
p( x )dx
dx  c .
Возвращаясь к переменной y , получаем решение исходного ДУ (7.5)
p( x )dx
 p( x )dx
.
y  u     g( x )e 
dx  c   e 


Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами
Линейное дифференциальное уравнение
постоянными коэффициентами имеет вид
(ЛДУ)
второго
y  py  qy  f ( x ) ,
где p и q – действительные числа, f ( x ) – некоторая функция.
Если f ( x )  0 , то уравнение
y  py  qy  0
называется однородным; в противном случае при
порядка
с
(7.7)
(7.8)
f ( x )  0 уравнение (7.7)
называется неоднородным.
Структура общего решения ЛДУ второго порядка определяется следующей
теоремой:
Теорема 7.1. Общее решение неоднородного уравнения (7.7) представляется
как сумма какого-нибудь частного решения yчн этого уравнения и общего решения
yоо соответствующего однородного уравнения (12.8):
52
yон  yоо  yчн .
(7.9)
Рассмотрим сначала решение линейного однородного уравнения (7.8) с
постоянными коэффициентами.
Составим для линейного однородного ДУ характеристическое уравнение
(для этого достаточно в уравнении (7.8) заменить y, y и y соответственно на
k 2 , k и 1):
k 2  pk  q  0 .
(7.10)
При решении характеристического уравнения возможны следующие три
случая.
Случай 1.
Корни характеристического уравнения действительные и
различные: D  p  4q  0 ,
2
k1  k2 ,
k1,2 
p  D
. Тогда общее решение
2
уравнения (12.8) имеет вид
yoo  c1ek1x  c2ek2 x .
(7.11)
Случай 2. Корни характеристического уравнения действительные и равные:
p
. Тогда общее решение уравнения (12.8) имеет вид
2
(7.12)
yoo  c1ek1x  c2 xek1x  ek1x  c1  c2 x  .
D  p 2  4q  0 , k1  k2  
Случай
3.
D  p  4q  0 ,
2
Корни
характеристического
уравнения
комплексные:
p
p2
. Тогда общее решение
k1,2     i    i  q 
2
4
уравнения (12.8) имеет вид
yoo  e x  c1 cos  x  c2 sin  x  .
(7.13)
Таким образом, нахождение общего решения ЛОДУ второго порядка с
постоянными коэффициентами (7.8) сводится к нахождению корней
характеристического уравнения (7.10) и использованию формул (7.11) – (12.13)
общего решения уравнения (не прибегая к вычислению интегралов).
Перейдем теперь к решению линейного неоднородного дифференциального
уравнения (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами (7.7).
Суть метода, называемого методом неопределенных коэффициентов, состоит
в следующем: по виду правой части f ( x ) уравнения (7.7) записывают ожидаемую
форму частного решения с неопределенными коэффициентами, затем подставляют
ее в уравнение (7.7) и из полученного тождества находят значения коэффициентов.
53
x
Правая часть уравнения имеет вид f ( x )  Pn ( x )  e , где
Случай 1.
  , Pn ( x ) – многочлен степени n . Уравнение (7.7) запишется в виде
y  py  qy  Pn ( x )  e x .
В этом случае частное решение ЛНДУ yчн ищем в виде
yчн  Qn ( x )  x r  e x ,
где Qn ( x )  A0 x  A1 x
n
n 1

(7.14)
 An – многочлен степени n , записанный с
неопределенными коэффициентами Ai , а r – число совпадений  с корнями k1,2
характеристического уравнения (7.10).
Случай 2. Правая часть уравнения имеет вид
f ( x )  e x   Pn ( x )cos  x  Qm ( x )sin  x  ,
где Pn ( x ) и Qm ( x ) –
многочлены степени n и m соответственно,  и
 –
действительные числа. Уравнение (7.7) запишется в виде
y  py  qy  e x   Pn ( x )cos  x  Qm ( x )sin  x  .
(7.15)
В этом случае частное решение следует искать в виде
yчн  e x  x r   M ( x )cos  x  N ( x )sin  x  ,
где r – число совпадений
(7.10),
M (x)
коэффициентами,
и
(7.16)
   i с корнями k1,2 характеристического уравнения
N ( x ) – многочлены степени
с неопределенными
– наивысшая степень многочленов Pn ( x ) и
Qm ( x ) , т.е.
 max( n,m ) .
Замечание 1.
После подстановки функции (7.16) в уравнение (7.15)
приравнивают многочлены, стоящие перед одноименными тригонометрическими
функциями в левой и правой частях уравнения.
Замечание 2. Форма (7.16) сохраняется и в тех случаях, когда Pn ( x )  0 или
Qm ( x )  0 .
8. РЯДЫ
Числовые ряды
Под числовым рядом понимают всякое выражение вида
u1  u2  u3  ...  un  ...,
54
(8.1)
где u1 , u2 , u3 , ..., un , ... числа, называемые членами ряда ( u1 называют первым
членом ряда, u2 – вторым членом ряда, и т. д.). n -й член ряда называют также

общим членом ряда. Сокращенно ряд (8.1) обозначают следующим образом:
u .
n 1
n
Ряд (8.1) считается заданным, если известен закон, по которому можно
вычислить его член un для любого номера n.
Сумма первых n членов ряда (8.1) называется n -й частичной суммой
данного ряда и обозначается S n , то есть Sn  u1  u2  ...  un .
Пусть задан ряд (13.1). Рассмотрим его частичные суммы
S1  u1 , S2  u1  u2 , S3  u1  u2  u3 , ...
Они образуют числовую последовательность { S n }.
Если существует конечный предел S последовательности частичных сумм
ряда (8.1) ( S  lim Sn ), то говорят, что ряд (13.1) сходится, В этом случае S
n
называют суммой ряда (13.1). Записывают: S 

u .
n 1
n
Если последовательность частичных сумм ряда (8.1) не имеет конечного
предела, то говорят, что ряд (8.1) расходится.
Теорема 8.1. Если сходится ряд, получившийся из данного ряда (8.1)
отбрасыванием нескольких его членов, то сходится и сам данный ряд. Обратно,
если сходится данный ряд, то сходится и ряд, получившийся из данного
отбрасыванием нескольких членов.
Теорема 8.2. Если ряд (8.1) сходится и его сумма равна S , то ряд
cu1  cu2  cu3  ...  cun  ...,
где c – какое-либо фиксированное число, также сходится и его сумма равна cS.
Теорема 8.3. Если ряды
u1  u2  u3  ...  un  ...
и
v1  v2  v3  ...  vn  ...
сходятся и их суммы, соответственно, равны S1 и S 2 , то ряды
( u1  v1 )  ( u2  v2 )  ( u3  v3 )  ...  ( un  vn )  ...
и
( u1  v1 )  ( u2  v2 )  ( u3  v3 )  ...  ( un  vn )  ...
55
также сходятся и их суммы, соответственно, равны S1  S2 , S1  S2 .
Необходимый признак сходимости числового ряда. Если ряд (8.1)
сходится, то его общий член un стремится к нулю при n  .
Отсюда следует достаточное условие расходимости числового ряда: если
limun  0 или этот предел не существует, то ряд расходится.
n
Замечание 8.1. Из того, что n -й член ряда (8.1) стремится к нулю при
n  , еще не следует, что этот ряд сходится, – ряд может и расходиться.
Например, известно, что так называемый гармонический ряд
1
1 1
1
  ...   ...
2 3
n
1
 0.
n n
расходится, хотя limun  lim
n
Признаки сравнения рядов с положительными членами
Теорема 8.4. Пусть заданы ряды
u1  u2  u3  ...  un  ...
(8.2)
v1  v2  v3  ...  vn  ...,
(8.3)
и
все члены которых положительны. Тогда:
1) если члены ряда (8.2) не больше соответствующих членов ряда (8.3), то
есть
un  vn
( n  1, 2, …),
(8.4)
и ряд (8.3) сходится, то сходится и ряд (8.2);
2) если члены ряда (8.2) не меньше соответствующих членов ряда (8.3), то
есть
un  vn
( n  1, 2, …),
(8.5)
и ряд (13.3) расходится, то и ряд (8.2) расходится.
Замечание 8.2. Последняя теорема справедлива и в том случае, когда члены
рядов (8.2), (8.3) являются неотрицательными числами, а также в случаях, когда
неравенства (8.4) или (8.5) выполняются лишь для n  N , а не для всех n ( n  1, 2,
…).
Теорема 8.5. (предельный признак сравнения). Пусть заданы ряды (8.2),
(8.3), все члены которых положительны. Если существует конечный и отличный
56
un
 A ( 0  A   ), то ряды 83.2), 83.3) либо оба сходятся,
n v
n
от нуля предел lim
либо оба расходятся.
Замечание 8.3. При применении двух последних теорем по исследуемому
ряду (8.2) нужно выбрать самим ряд (8.3) с известным поведением (его называют
эталонным рядом). В качестве эталонного ряда чаще всего используют один из двух
рядов:
а) ряд Дирихле (обобщенный гармонический ряд)

1
, 0     ,


n
n1
который при   1 расходится, а при   1 сходится;
б) ряд геометрической прогрессии

 aq
n1
, a  0,
n1
который при q  1 сходится, а при q  1 расходится.
Признак Даламбера
Пусть
все
члены
ряда
u1  u2  u3  ...  un  ... положительны и
существует конечный предел
un1
 .
n u
n
lim
Тогда ряд сходится при  1 и расходится при
Замечания к признаку Даламбера:
 1.
un1
 ;
n u
n
1) ряд будет расходиться и в том случае, если lim
2) если  1, то признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости
ряда (ряд может оказаться как сходящимся, так и расходящимся).
Радикальный признак Коши
Пусть
все
члены
ряда
u1  u2  u3  ...  un  ... положительны и
существует конечный предел
57
lim n un  q.
n
Тогда ряд сходится при q  1 и расходится при q  1.
Замечания к радикальному признаку Коши:
1) ряд будет расходиться и в том случае, если lim n un  ;
n
2) если q  1, то радикальный признак Коши не дает ответа на вопрос о
сходимости ряда.
Интегральный признак Коши
Пусть все члены ряда
u1  u2  u3  ...  un  ...
(8.6)
положительны и не возрастают, то есть
u1  u2  u3  ...  un  ...
Пусть f ( x ) – такая непрерывная невозрастающая на промежутке [1,  )
функция,
что
u1  f ( 1 ), u2  f ( 2 ), u3  f ( 3 ), ...,un  f ( n ), ...
Тогда
справедливы следующие утверждения:


1) если несобственный интеграл
f ( x )dx сходится, то сходится и ряд
1
(8.6);

2) если несобственный интеграл

f ( x )dx расходится, то расходится и ряд
1
(8.6).
Знакопеременные и знакочередующиеся ряды

Ряд
u
n 1
n
называется знакопеременным, если среди его членов имеются как
положительные, так и отрицательные.
58

Знакопеременный ряд
u
n 1
называется абсолютно сходящимся, если ряд
n

u
n 1
n
сходится.
Теорема 8.6. Если знакопеременный ряд абсолютно сходится, то он
сходится.
Замечание 8.4. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

Знакопеременный ряд
u
n 1
n
называется условно сходящимся, если он

сходится, а ряд
u
n 1
n
расходится.
Знакопеременный ряд вида

( 1 )
n1
n1
un ,
(8.7)
где un  0, n  1, 2, ..., называется знакочередующимся.
Признак Лейбница. Если в знакочередующемся ряде (8.7) члены таковы, что
u1  u2  u3  ...  un  ...
(8.8)
и
limun  0,
n
то ряд (13.7) сходится. При этом его сумма S удовлетворяет неравенствам:
0  S  u1 .
Замечание 8.5. Если для ряда (8.7) выполнены условия признака Лейбница, S
– его сумма, S n – его
n -я частичная сумма, то S  Sn  un1 .
Замечание 8.6. Если в признаке Лейбница условие (8.8) заменить условием
u1  u2  u3  ...  un  ...,
то ряд (8.7) будет сходиться. При этом для его суммы S и его
n -й частичной суммы
S n будут выполняться неравенства: 0  S  u1 , S  Sn  un1 .
Понятие функционального ряда.
Степенной ряд, его область сходимости
59
Под функциональным рядом будем понимать всякое выражение вида
u1( x )  u2 ( x )  u3( x )  ...  un ( x )  ...,
(8.9)
где u1( x ),u2 ( x ),u3 ( x ), ...,un ( x ), ... функции, определенные на некотором
подмножестве D множества действительных чисел (члены ряда). Сокращенно ряд

(13.9) обозначают следующим образом:
 u ( x ).
n 1
n
Пусть x0  D, тогда ряд
u1( x0 )  u2 ( x0 )  u3( x0 )  ...  un ( x0 )  ...
(8.10)
является числовым рядом. Если числовой ряд (8.10) сходится, то говорят, что ряд
(8.9) сходится в точке x0 (сходится при x  x0 ), а число x0 называют точкой
сходимости функционального ряда (8.9). Если числовой ряд (8.10) расходится, то
говорят, что ряд (8.9) расходится в точке x0 (расходится при x  x0 ).
Множество всех точек сходимости функционального ряда (8.9) называют его
областью сходимости. Очевидно, что область сходимости функционального ряда
(8.9) является подмножеством множества D. Очевидно также, что в области
сходимости функционального ряда его сумма является некоторой функцией от x.
Степенным рядом называют функциональный ряд вида
a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n  ...,
(8.11)
где a0 , a1 , a2 , ..., an , ... – фиксированные числа (коэффициенты ряда). Сокращенно

ряд (8.11) обозначают следующим образом:
a x
n 0
n
n
. Очевидно, что 0 является
точкой сходимости ряда (8.11).
Теорема Абеля. Если степенной ряд (8.11) сходится при x  x0  0, то он
абсолютно сходится при всех значениях
x, удовлетворяющих неравенству
x  x0 .
Из теоремы Абеля вытекает
Следствие. Если ряд (8.11) расходится при некотором значении x  x1 , то он
расходится при всех значениях x, удовлетворяющих неравенству x  x1 .
Пусть область сходимости степенного ряда (8.11) содержит хотя бы одно
ненулевое число и не совпадает с множеством всех действительных чисел. Тогда,
существует единственное положительное число R такое, что во всех точках
интервала (  R, R ) ряд (8.11) абсолютно сходится, а во всех точках, расположенных
60
вне отрезка [  R, R ], ряд (8.11) расходится. Это число R называют радиусом
сходимости степенного ряда (8.11), а интервал (  R, R ) – интервалом сходимости
степенного ряда (8.11).
Если ряд (8.11) сходится лишь в одной точке x  0 , то считают, что R = 0.
Если же ряд (8.11) сходится при всех действительных значениях x, то считают, что
R  , а интервалом сходимости этого ряда называют интервал ( ,   ).
Радиус сходимости R можно вычислять по одной из формул
R  lim
n
an
1
, R
,
n
an1
lim an
n
если соответствующий предел существует.
Ряд (8.11) может также сходиться в одном или обоих концах x   R, x  R
интервала сходимости. В этом случае объединение интервала сходимости ряда
(8.11) и того его конца (тех его концов), в котором (которых) он сходится, образует
область сходимости данного ряда.
Степенным рядом, расположенным по степеням двучлена
x  x0 ,
называют функциональный ряд вида
a0  a1( x  x0 )  a2 ( x  x0 )2  ...  an ( x  x0 )n  ...,
где
(8.12)
x0 , a0 , a1 , a2 , ..., an , ... – фиксированные числа. Сокращенно ряд (8.12)

обозначают следующим образом:
a ( x  a ) .
n
n 0
n
Ряд (8.12) легко приводится к виду
a0  a1 z  a2 z 2  ...  an z n  ...,
если положить
(8.13)
x  x0  z. Поэтому, если (  R, R ) – интервал сходимости
последнего ряда ( R – положительное число), то во всех точках интервала
( x0  R, x0  R ) ряд (8.12) абсолютно сходится, а во всех точках, расположенных
вне отрезка [ x0  R, x0  R ], ряд (13.12) расходится. При этом число R называют
радиусом сходимости степенного ряда (8.12), а интервал ( x0  R, x0  R ) называют
интервалом сходимости степенного ряда (8.12).
Если ряд (8.13) сходится при всех действительных значениях z, то очевидно,
что и ряд (8.12) сходится при всех действительных значениях x. В этом случае
считают, что R  , а интервалом сходимости ряда (8.12) называют интервал
( ,   ).
61
Ряды Тейлора и Маклорена
Пусть функция f ( x ) определена в некоторой окрестности точки x0 и имеет в
этой точке производные всех порядков. Тогда ряд

f ( n ) ( x0 )
( x  x0 )n .

n!
n 0
называется рядом Тейлора для функции f ( x )
(8.14)
Если x0  0, то ряд (8.14) называется рядом Маклорена для функции f ( x ).
Если заданная функция f ( x ) представлена в виде суммы ряда Тейлора (8.14),
то говорят, что функция
f ( x ) разложена в ряд Тейлора. В этом случае
записывают:

f(x)
n 0
f ( n ) ( x0 )
( x  x0 )n .
n!
При этом указывают числовой промежуток, на котором имеет место данное
разложение.
Известны следующие стандартные разложения элементарных функций в ряды
Маклорена:


x n x  (ln a )n n
( 1 )n x 2 n1
( 1 )n x 2 n
e   ,a  
x , sin x  
, cos x  
,    x  ;
n!
n!
(
2
n

1
)!
(
2
n
)!
n 0
n 0
n 0
n 0

x

( 1 )n1 x n
( 1 )n x 2 n1
ln( 1  x )  
,  1  x  1; arctg x  
,  1  x  1;
n
2n  1
n1
n 0


1
 ( 1 )n x n ,  1  x  1;
1  x n 0
( 1  x )  1   x 
  0,
  0,
(  1)
2!
x2 
 (   1 )(   2 )
3!
x3  ...,  1  x  1 при
1  x  1 при 1    0, 1  x  1 при   1.
Здесь  – любое действительное число, отличное от 0 и от всех натуральных
чисел (при натуральном  получается известное конечное разложение по формуле
62
бинома Ньютона, которое имеет место на промежутке ( ,   )). Последний ряд
называется биномиальным.
Заметим, что предпоследнее разложение получается из последнего при
  1.
С помощью стандартных разложений можно получать разложения в
степенные ряды некоторых сложных функций. Например,
e
 x2
(  x 2 )n  ( 1 )n x 2 n


,    x  ;
n!
n!
n 0
n 0

( 1 )n ( 3x )2 n1  ( 1 )n 32 n1 2 n1
sin 3x  

x ,    x  ;
(
2
n

1
)!
(
2
n

1
)!
n 0
n 0


x
( 1 )n1 x n 
1
ln( 1  )  
(  ) (  n )x n ,  4  x  4.
4
n
4
n4
n1
n1
Ряды Тейлора применяют для вычисления значений функций, для вычисления
определенных интегралов в тех случаях, когда первообразная подынтегральной
функции не выражается в конечном виде через элементарные функции. Ряды
Тейлора применяют также при нахождении решений дифференциальных уравнений.
ВОПРОСЫ ДЛЯ КОНТРОЛЯ
1.Функция.
2. Область ее определения функции.
3. График функции.
4. Сложные и обратные функции.
5. Основные элементарные функции, их свойства и графики.
6.Числовые последовательности.
7. Предел числовой последовательности.
8. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.
9.Арифметические свойства пределов.
10. Переход к пределу в неравенствах.
11. Существование предела монотонной ограниченной последовательности.
12. Предел функции в точке и на бесконечности.
13.Бесконечно малые функции.
14.Бесконечно большие функции.
15. Свойства предела функции.
16. Односторонние пределы.
17. Пределы монотонных функций.
18. Первый замечательный предел.
19. Второй замечательный предел.
63
20. Непрерывность функции в точке.
21.Локальные свойства непрерывных функций.
22. Непрерывность сложной и обратной функции.
23. Непрерывность элементарных функций.
24.Точки разрыва и их классификация.
25. Свойства функций непрерывных на отрезке: ограниченность, существование
наибольшего и наименьшего значений, промежуточные значения.
26.Теорема об обратной функции.
27.Понятие функции дифференцируемой в точке.
28. Производная функции, ее смысл в различных задачах.
29.Правила нахождения производной.
30. Производная сложной и обратной функции.
31. Правила дифференцирования.
32.Точки экстремума функции.
33.Теорема Ферма о необходимом условии экстремума.
34.Теоремы и формула Ролля, Лагранжа, Коши о промежуточных значениях, их
применение.
35. Правило Лопиталя.
36.Производные и дифференциалы высших порядков.
37. Условия монотонности функции. Экстремумы функции.
38.Достаточные условия экстремума.
39.Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой
на отрезке.
40. Выпуклость. Точки перегиба.
41. Асимптоты графика функции.
42. Общая схема исследования функции и построения ее графика.
43. Первообразная.
44. Неопределенный интеграл и его свойства.
45. Табличные интегралы.
46. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле.
47. Разложение рациональных дробей на простейшие.
48. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.
49. Определенный интеграл Римана, его свойства.
50. Интегральная сумма.
51. Формула Ньютона-Лейбница, ее применение для вычисления определенных
интегралов.
52. Геометрические и механические приложения определенного интеграла.
53. Функции нескольких переменных.
54. Область определения функции нескольких переменных.
55. Предел и непрерывность функции нескольких переменных.
56. Частные производные.
57. Дифференциал функции нескольких переменных, его связь с частными
производными.
58. Экстремумы функций нескольких переменных.
59. Необходимое условие экстремума.
64
60. Достаточное условие экстремума функции нескольких переменных.
61. Условный экстремум, метод множителей Лагранжа.
62. Числовые ряды.
63.Сходимость и сумма ряда.
64. Необходимое условие сходимости.
65. Действия с рядами.
66. Ряды с неотрицательными членами.
67. Признаки сходимости (сравнения, Даламбера, Коши).
68. Знакопеременные ряды.
69. Абсолютная и условная сходимости.
70. Признак Лейбница.
71. Свойства абсолютно сходящихся рядов.
72. Функциональные ряды.
73. Интегрирование и дифференцирование функционального ряда.
52. Степенные ряды.
53. Радиус сходимости. Область сходимости степенного ряда.
54. Теорема Абеля.
55. Непрерывность суммы ряда.
56. Почленное дифференцирование и интегрирование.
57. Ряд Тейлора.
58. Ряд Маклорена
59. Разложение функций в степенные ряды.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Основная литература
1. Красс М. С. Математика в экономике: математические методы и модели
[Текст] : учеб. для бакалавров : рек. УМО ВО в качестве учеб. для студентов
высш. учеб. заведений, обучающихся по эконом. направлениям и специальностям
/ М. С. Красс, Б. П. Чупрынов; под ред. М. С. Красса; Финанс. ун-т при
Правительстве РФ. - 2-е изд., испр. и доп. - М. : Юрайт, 2014. - 541 с. Электронная версия в ЭБС "Юрайт".
Дополнительная литература
1. Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрии [Текст] : учеб.справ. пособие : рек. УМО вузов Рос. Федерации по образованию в обл. мат.
методов в экономике в качестве учеб. пособия для студентов высш. учеб.
заведений / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин; под ред. Н. Ш. Кремера;
Финанс. ун-т при Правительстве Рос. Федерации. - 4-е изд., перераб. и доп. - М. :
Юрайт, 2014. - 724 с. - Электронная версия в ЭБС "Юрайт".
65
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
1
Размер файла
1 260 Кб
Теги
анализа, математические
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа