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978-3-658-17866-6

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Marcus Wagner
Lineare und
nichtlineare FEM
Eine Einführung mit Anwendungen
in der Umformsimulation mit LS-DYNA®
Lineare und nichtlineare FEM
Marcus Wagner
Lineare und nichtlineare FEM
Eine Einführung mit Anwendungen in der
Umformsimulation mit LS-DYNA®
Marcus Wagner
Fakultät Maschinenbau
OTH Regensburg
Regensburg, Deutschland
ISBN 978-3-658-17865-9
DOI 10.1007/978-3-658-17866-6
ISBN 978-3-658-17866-6 (eBook)
Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.
Springer Vieweg
© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2017
Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich
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Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt
auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichenund Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften.
Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem
Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder
die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler
oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in
veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral.
Lektorat: Thomas Zipsner
Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.
Springer Vieweg ist Teil von Springer Nature
Die eingetragene Gesellschaft ist Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH
Die Anschrift der Gesellschaft ist: Abraham-Lincoln-Strasse 46, 65189 Wiesbaden, Germany
Vorwort
For every complex problem there is an answer
that is clear, simple – and wrong
Paraphrase nach H. L. Mencken, 1917
Die Inhalte des Buches bauen auf den Vorlesungen über lineare und nichtlineare FiniteElemente-Methoden (FEM) im Bachelor- und Masterstudium an der Ostbayerischen Technischen Hochschule Regensburg auf, die ich seit einigen Jahren halte, sowie auf meiner
langjährigen Tätigkeit als Berechnungsingenieur in der Blechumformsimulation.
Sowohl in der Lehre als auch in der Praxis besteht die Schwierigkeit zu vermitteln, dass
vorgeblich einfach zu bedienende Berechnungsprogramme nur zu sinnvollen und verlässlichen Lösungen führen, wenn der Anwender versteht, was hinter der Benutzerschnittstelle
abläuft und man sich deswegen auch als Anwender mit den theoretischen Hintergründen
beschäftigen muss. Dies trifft umso mehr zu, da kommerzielle FE-Programme einen stetig
wachsenden Funktionsumfang haben, mit immer komplexeren Inhalten.
Das Buch zielt darauf ab, einen möglichst abgeschlossenen Überblick über die lineare
und nichtlineare dynamische Berechnung von Strukturen mit Finite-Elemente-Methoden
zu bieten. Der Fokus liegt auf einer Erklärung der Zusammenhänge, die für Anwender
kommerzieller Software notwendig sind. Dabei ist es unumgänglich vieles verkürzt darzustellen oder auch Themenfelder komplett auszusparen. Auf die Darstellung theoretischer
Inhalte kann nicht verzichtet werden, die FEM ist ein numerisches Verfahren. Sie werden
aber nur so weit dargestellt, wie für den Anwender erforderlich. Der Einsatz der theoretischen Inhalte in der Blechumformsimulation mit LS-DYNA zeigt für einen praxisnahen
Fall, dass dieses Wissen notwendig ist, auch für den reinen Benutzer eines FE-Programms.
Die Literatur in diesem Gebiet ist unüberschaubar umfangreich. Um den Lehrbuchcharakter zu erhalten, wird nur ein kleiner Ausschnitt von möglichen Literaturstellen
angegeben. Es wird immer die konkrete Stelle in einer Referenz genannt, sodass der Leser
von dort aus auch die weitere Literatur erschließen kann.
Die Kapitel 1 bis 8 umfassen eine generelle Einführung in die lineare FEM. Darauf bauen die Kapitel 9 bis 13 auf, die die wesentlichen nichtlinearen Aspekte der FEM enthalten,
mit einem Fokus auf dynamische Effekte. Im letzten Kapitel 14 werden die theoretischen Inhalte der nichtlinearen FEM am Beispiel einer Blechumformsimulation in Ihrer
Anwendung erläutert. Weiterhin wird eine kurze Einführung in das FE-Programmpaket
LS-DYNA im Anhang angegeben.
Das Buch richtet sich an Studierende aus Bachelor- und Masterstudiengängen der Ingenieurwissenschaften sowie an Ingenieure in der Industrie, die in ihrer beruflichen Praxis
mit Finite-Element-Berechnungen zu tun haben und an einem tieferen Einblick interessiert
v
vi
Vorwort
sind, als er üblicherweise in Grundlagenkursen oder Schulungen vermittelt wird. Anwender des Programms LS-DYNA sind angesprochen, da dieses Programm genutzt wird, um
an praktischen Beispielen die zuvor eingeführten theoretischen Inhalte zu verdeutlichen.
Dasselbe gilt für Berechner im Bereich der Blechumformsimulation, da die nichtlinearen
Inhalte des Buches an diesem Beispiel demonstriert werden.
Als Voraussetzung sollte man Grundkenntnisse der Technischen Mechanik mitbringen,
wie sie in jedem Ingenieurstudium vermittelt werden. Vorkenntnisse über Finite-ElementeMethoden sind nicht notwendig.
Zusatzunterlagen (Beispielprogramme, Kommandodateien etc.) können auf der Verlagsseite www.springer.com direkt beim Buch (im Download-Bereich unterhalb des Inhaltsverzeichnisses) heruntergeladen werden.
Am Gelingen eines solchen Buchprojektes sind viele Personen beteiligt, ohne die dies
so nicht möglich wäre. Mein herzlicher Dank gilt Herrn Dr.-Ing. Ingo Heinle, Herrn Dr.Ing. Bernd Hochholdinger, Frau Magda Martins-Wagner, M. Sc. und Herrn Prof. Dr.-Ing.
habil. Kai Willner für das Korrekturlesen und die vielen Hinweise. Der Ostbayerischen
Technischen Hochschule Regensburg sei gedankt für die großzügige Unterstützung während der Erstellung des Buches. Dem Springer Vieweg Verlag, vor allem Frau Imke Zander
und Herrn Thomas Zipsner aus dem Lektorat Maschinenbau, danke ich für die angenehme
Zusammenarbeit und die wertvollen Anregungen.
Regensburg, Juli 2017
Marcus Wagner
Inhaltsverzeichnis
1
Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 Grundlegende Problemstellung und Lösungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Vorgehensweise bei Berechnungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Einsatzgebiete der Finite-Elemente-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4
4
6
2
Einführung in die lineare FEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 Grundgedanke der FEM am Beispiel des Stabs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Mathematische Beschreibung des physikalischen Systems . . . . . . .
2.1.2 Diskretisierung in finite Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Berechnung der Elementmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Diskretisierung eines Fachwerks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Diskretisierung in finite Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Transformation von natürlichen auf globale Koordinaten . . . . . . . .
2.2.3 Zusammenbau des Gleichungssystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Einbringen von Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Lösen des Gleichungssystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Beispiel: Stab mit veränderlichem Querschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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8
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15
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22
24
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3
Mechanische Größen der Strukturmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Formulierung des Randwertproblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Der Spannungszustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Der Spannungsdeviator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Zugeordneter Verzerrungszustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Gleichgewichtsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Voigt-Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Verallgemeinertes linear-elastisches Materialgesetz nach Hooke . . . . . . . . .
3.7 Ebener Spannungs- und Verzerrungszustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
29
31
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35
37
37
38
39
40
vii
viii
Inhaltsverzeichnis
4
Mathematische Modellierung über Energieprinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Das Prinzip vom Minimum des Gesamtpotenzials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Einführungsbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Gesamtpotenzial eines Stabs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Allgemeines Prinzip vom Minimum des Gesamtpotenzials . . . . . . .
4.2 Das Prinzip der virtuellen Verschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Methode der gewichteten Residuen am Beispiel des Stabs . . . . . . . . . . . . . .
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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52
54
5
Diskretisierung mit finiten Elementen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1 Definition des Näherungsansatzes für ein Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Die Formfunktionsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Näherungsansatz für Dehnungen und Spannungen . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Diskretisierung des Prinzips vom Minimum des Gesamtpotenzials . . . . . .
5.3 Diskretisierung des Prinzips der virtuellen Verschiebung . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Aufbau des Gesamtgleichungssystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Eigenschaften der Gesamtsteifigkeitsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Einbringen von Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Lösung linearer Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.1 Direkte Gleichungslöser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.2 Iterative Gleichungslöser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.3 Modellreduktionstechniken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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74
6
Finite-Elemente-Klassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.1 Klassifizierung von Elementen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.2 Das isoparametrische Konzept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.3 Eindimensionale Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.3.1 Zweiknotiges, lineares Stabelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.3.2 Dreiknotiges, quadratisches Stabelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.3.3 Balkenelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.4 Zweidimensionale Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.4.1 Scheibenelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.4.2 Schalenelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.5 Dreidimensionale Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.5.1 Hexaederelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.5.2 Pentaederelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.5.3 Tetraederelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7
Mathematische und numerische Aspekte der FEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.1 Mathematische Anforderungen an finite Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.1.1 Bedingungen für die Konvergenz der Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.1.2 Verfahren zur Reduktion des Diskretisierungsfehlers . . . . . . . . . . . . 107
Inhaltsverzeichnis
ix
7.2
Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.2.1 Newton-Cotes-Quadratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.2.2 Gauß-Quadratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.2.3 Mehrdimensionale Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.2.4 Anwendungshinweise zum Integrationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.3 Elementversteifung (Locking) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.3.1 Beschreibung des Locking-Effekts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.3.2 Maßnahmen zur Vermeidung von Elementversteifung . . . . . . . . . . . 121
7.3.3 Null-Energie-Moden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.4 Praxis-Hinweise zur Modellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.4.1 Vernetzungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.4.2 Anforderungen an die Elementauswahl und Vernetzung . . . . . . . . . 127
7.4.3 Ausnutzung von Symmetrien bei der Vernetzung . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
8
Lineare zeitabhängige FEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.1 Herleitung der dynamischen FEM über virtuelle Verschiebungen . . . . . . . . 132
8.2 Numerische Modalanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.2.1 Modale Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8.2.2 Modale Reduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
8.2.3 Näherungsweise Berechnung des Eigenwertproblems . . . . . . . . . . . 139
8.2.4 Anwendungsgebiete der Modalanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
8.3 Berücksichtigung von Dissipationseffekten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
8.3.1 Proportionale und modale Dämpfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
8.4 Frequenzganganalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
9
Geometrische Nichtlinearität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
9.1 Einführung zur geometrischen Nichtlinearität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
9.2 Kinematische Beschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
9.2.1 Konfigurationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
9.2.2 Deformations- und Verschiebungsgradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
9.3 Beispiele eindimensionaler Verzerrungs- und Spannungsmaße . . . . . . . . . . 155
9.4 Allgemeine nichtlineare Verzerrungsmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
9.5 Zeitliche Ableitungen der Deformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
9.6 Transformation von Volumen- und Flächenelementen . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
9.7 Spannungsmaße bei nichtlinearer Betrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
9.8 Energieprinzipien in nichtlinearer Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
9.8.1 Upgedatete-Lagrange-Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
9.8.2 Totale-Lagrange-Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
9.8.3 Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
x
Inhaltsverzeichnis
10
Materielle Nichtlinearität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
10.1 Übersicht über konstitutive Beziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
10.2 Eindimensionales, zeitunabhängiges, elastoplastisches Verhalten . . . . . . . . 176
10.2.1 Mathematische Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
10.3 Mehrachsige dehnratenunabhängige Elastoplastizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
10.3.1 Die Fließbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
10.3.2 Die Fließregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
10.3.3 Das Verfestigungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
10.3.4 Die Konsistenzbedingung und die Materialtangente . . . . . . . . . . . . . 191
10.3.5 Berücksichtigung der Dehnratenabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
10.4 Numerische Umsetzung der J2 -Plastizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
11
Kontaktmodellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
11.1 Grundlegende Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
11.1.1 Bedingung für Normalkontakt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
11.1.2 Behandlung von tangentialem Gleiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
11.2 Verfahren zur Kontaktdetektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
11.3 Kontaktformulierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
11.3.1 Kinematische Zwangsbedingungen (Multi-Point-Constraint) . . . . . 206
11.3.2 Penalty-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
11.3.3 Lagrange-Multiplikator-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
11.3.4 Augmented-Lagrange-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
12
Gleichungslösung bei nichtlinearen statischen Problemen . . . . . . . . . . . . . . . . 211
12.1 Newton-Raphson-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
12.2 Anwendung des Verfahrens auf die FEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
12.2.1 Linearisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
12.2.2 Inkrementell-iteratives Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
12.2.3 Konvergenz des Newton-Raphson-Verfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
12.2.4 Hinweis zur Zeitabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
12.3 Weitere Verfahren für nichtlineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
13
Zeitintegration von nichtlinearen dynamischen Problemen . . . . . . . . . . . . . . . 223
13.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
13.2 Implizite Zeitintegration nach dem Newmark- β-Verfahren . . . . . . . . . . . . . 227
13.3 Explizite Zeitintegration nach dem zentralen Differenzenverfahren . . . . . . 231
13.3.1 Praktische Umsetzung des Verfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
13.3.2 Punktmassenmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
13.3.3 Nutzung quadratischer Ansatzfunktionen in expliziten Verfahren . 237
13.3.4 Stabilitätskriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
13.3.5 Maßnahmen zur Reduktion der Rechenzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
13.3.6 Dynamische Relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
13.4 Gegenüberstellung der beiden Zeitintegrationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . 244
Inhaltsverzeichnis
xi
13.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
14
Blechumformsimulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
14.1 Grundlagen der Blechumformung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
14.1.1 Ablauf einer Blechumformung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
14.1.2 Mechanische Größen in der Blechumformung . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
14.1.3 Materialmodellierung bei Blechwerkstoffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
14.1.4 Herstellbarkeitsbewertung und Versagensarten . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
14.2 Explizite Simulation des Tiefziehens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
14.2.1 Beispielmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
14.2.2 Zeitsteuerung und allgemeine numerische Parameter . . . . . . . . . . . . 261
14.2.3 Ausgabesteuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
14.2.4 Definition von Bauteilen, Elementtypen und Materialien . . . . . . . . 265
14.2.5 Definition der Umformkontakte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
14.2.6 Erstellen der Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
14.2.7 Durchführung einer Berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
14.2.8 Einführung in die Ergebnisauswertung einer Umformsimulation . . 275
14.3 Statisch-implizite Aufsprung-Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
14.3.1 Genereller Modellaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
14.3.2 Implizite Steuerkarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
14.3.3 Auswertung der Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
A
Mathematische Hilfsmittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
A.1 Matrizenrechnung und Matrixschreibweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
A.2 Tensor- und Indexnotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
A.3 Einheitensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
B
Einführung in die Simulation mit LS-DYNA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
Kurzlösungen zu den Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
Kapitel 1
Einleitung
Mit dem Schlagwort Industrie 4.0 wird eine Zukunftstechnologie bezeichnet, die die
Produktion und Entwicklung in vielen Wirtschaftsbereichen durch Digitalisierung und
Vernetzung verändern wird, um Effizienzpotenziale zu heben. Einen wesentlichen Beitrag
zur Erfüllung dieser Anforderungen im Entwicklungsprozess leisten Methoden, die basierend auf Computersimulation (häufig vereinfachend als Berechnung bezeichnet), eine
Prognose der realen technischen Vorgänge liefern. Diese Methoden werden unter dem
Begriff Computer-Aided-Engineering (CAE) zusammengefasst. Eine Übersicht über den
Einsatz in der Industrie findet sich bei Meywerk [6].
Ein Unternehmen erhofft sich dadurch in der Entwicklungsphase eine Senkung der
Entwicklungszeit und der Kosten durch frühzeitiges Erkennen von Schwachstellen sowie
eine Qualitätssteigerung und Optimierung der Konstruktion (z. B. Gewicht). Weiterhin
lassen sich dadurch kostenintensive Versuchsreihen reduzieren. Für die Produktion ist
das Ziel die Senkung der Produktionskosten durch Einsparung von Material oder der
Vorhersage der Machbarkeit eines Herstellungsverfahrens.
Durch die zunehmende Akzeptanz dieser Art der Berechnung in der Entwicklung und
der Produktion ist es als Ingenieur heutzutage notwendig diese Verfahren zu kennen und
Entscheidungskompetenz über deren Einsatz und Leistungsfähigkeit mitzubringen, da
jedes Verfahren seine Grenzen der Aussagegenauigkeit aufweist.
1.1 Grundlegende Problemstellung und Lösungsmethoden
Für die Auslegung durch Simulation sind die technischen Vorgänge bzw. das reale System
durch eine physikalisches Beschreibung abzubilden, die bereits Annahmen und Vereinfachungen enthält. Die physikalische Beschreibung wird üblicherweise durch ein mathematisches Modell erfolgen. Für technische Vorgänge sind dies häufig Systeme von Differenzialund Integralgleichungen, die im Allgemeinen partielle Ableitungen nach Ort und Zeit enthalten und die mit gegebenen Anfangs- und Randbedingungen gelöst werden müssen. Im
Studium werden hier häufig analytische Verfahren gelehrt.
Für praxisrelevante Probleme ist es in der Regel allerdings nicht möglich, diese Gleichungssysteme analytisch exakt zu lösen. Deshalb wurden und werden eine Vielzahl
© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2017
M. Wagner, Lineare und nichtlineare FEM, DOI 10.1007/978-3-658-17866-6_1
1
2
1 Einleitung
von numerischen Verfahren entwickelt, die Näherungslösungen zu gegebenen Randbedingungen liefern. Diesen Zusammenhang zeigt Abb. 1.1. Für die Näherungslösung sind
Abb. 1.1 Vorgehensweise
bei der Modellierung
Reales System
Physikalisches Modell
Mathematische Modellierung
Analytische Lösung
Näherungslösung
Geometrisches Modell
Prozess-Modell
immer ein geometrisches Modell des betrachteten Systems sowie zusätzliche Angaben
zum numerischen Verfahren, zum Materialverhalten und zu weiteren Systemparametern
des physikalischen Modells wie Reibung, Temperatur usw. notwendig, die in Abb. 1.1 als
Prozess-Modell bezeichnet werden.
Allen Verfahren ist gemeinsam, dass aus den Differenzial- oder Integralgleichungen ein
lineares oder nichtlineares Gleichungssystem entsteht. Im nichtlinearen Fall sind spezielle
Lösungsmethoden anzuwenden, sodass am Ende auch hier ein lineares Gleichungssystem
entsteht, das vorteilhaft auf einem Computer gelöst werden kann. Dieser Schritt gelingt,
indem die Lösung nicht mehr an jedem Punkt gesucht wird, sondern nur noch an einzelnen,
diskreten Stellen. Deswegen spricht man von Diskretisierungsverfahren. Die folgende
Aufzählung gibt die wichtigsten Verfahren wieder:
Finite-Differenzen Das Differenzialgleichungssystem wird gelöst, indem das betrachtete Gebiet oder die Zeit an diskreten Punkten betrachtet wird (dem „Gitter“). An den
Punkten werden die Differenzialquotienten der partiellen Ableitungen durch Differenzenquotienten ersetzt, s. Gross et al. [3, Kap. 7.4, S. 395]. Dies drückt die Ableitungen
der gesuchten Feldvariablen an einem Gitterpunkt durch Differenzen der Feldvariablen
an den (räumlich oder zeitlich) benachbarten Gitterpunkten aus. Die Anwendung auf
jeden Gitterpunkt liefert ein lineares Gleichungssystem für die Unbekannten. In den
Zwischenräumen liefert dieses Verfahren keine Informationen über den Funktionsverlauf. Weiterhin ist die Vorgabe von Randbedingungen auf gekrümmten Berandungen
für eine räumliche Diskretisierung schwierig. Differenzenverfahren spielen in diesem
Buch eine wesentliche Rolle in der Zeitintegration, s. Kap. 13.
Finite-Elemente Für eine räumliche Diskretisierung von partiellen Differenzialgleichungen hat sich die Finite-Elemente-Methode (FEM) etabliert. Es gibt zahlreiche Formulierungen der Methodik, wobei in diesem Buch nur die sogenannte Verschiebungsmethode für die Strukturmechanik vorgestellt wird, in der die Verschiebung eines Punkts
im Raum die primäre Unbekannte ist. Ausgehend von einer Integralgleichung wird
das betrachtete Gebiet in Teilstücke zerlegt und die Lösung mit lokal begrenzten Ansatzfunktionen approximiert. Das Verfahren ist umfassend für alle Problemstellungen
anwendbar, die durch partielle Differenzialgleichungen beschrieben werden können.
Netzfreie Methoden Dies sind relativ neue Entwicklungen, bei denen die Interaktion der
Knoten der Diskretisierung nicht über Elemente wie in der FEM realisiert wird. Die
Verfahren sind besonders geeignet für die Beschreibung freier, sich zeitlich ändernder
1.1 Grundlegende Problemstellung und Lösungsmethoden
3
Oberflächen und sich ablösender Teilchen, z. B. in der Bruchmechanik, der Schneidsimulation und bei der Massivumformung. Bekannte, kommerziell verfügbare Methoden
sind die Elementfreie Galerkin-Methode (EFG) und Smooth Particle Hydrodynamics
(SPH), s. Seifferth [7]. Die eXtended Finite-Element-Method (XFEM) ist eine weitere Variante, die FEM mit netzfreien Aspekten kombiniert. Sie ist in der Lage durch
spezielle unstetige Ansatzfunktionen Diskontinuitäten, z. B. bei einem Rissfortschritt,
abzubilden.
Randelemente Die Integralgleichung, die als Ausgangspunkt der FEM dient, wird bei
diesem Verfahren weiter umgeformt, sodass eine Integralgleichung entsteht, die nur
noch Integrale über den Rand des Gebiets umfasst. Für ein Näherungsverfahren muss
entsprechend nur noch der Rand diskretisiert werden. Das entstehende Gleichungssystem ist deshalb deutlich kleiner als in der FEM. Allerdings sind spezielle Ansatzfunktionen notwendig, die nicht für jede Differenzialgleichung existieren und über
das gesamte betrachtete Gebiet reichen. Dies limitiert den Einsatz im Wesentlichen
auf lineare Anwendungen. Sehr vorteilhaft ist das Verfahren auf unendliche Gebiete
anwendbar, z. B. Außenraumakustik oder elektromagnetische Wellenausbreitung. Für
eine Übersicht s. Gaul et al. [2].
Das Verfahren, das sich in den letzten Jahrzehnten im Ingenieurbereich als das am meisten eingesetzte herausstellt, ist die Finite-Elemente-Methode. Die Grundidee der FEM ist
eine Zerlegung des komplizierten Gesamtproblems in eine große Anzahl von einfacheren Einzelproblemen (Divide-and-conquer-Prinzip). Dazu unterteilt man eine Struktur in
sogenannte finite Elemente, die an Punkten der Geometrie, den Knoten, miteinander gekoppelt sind. Dieser Schritt der Unterteilung in Knoten und Elemente wird als Diskretisierung
bezeichnet, da eine kontinuierliche Struktur in viele einzelne, endlich große (diskrete)
Stücke zerlegt wird, s. Abb. 1.2. Für die näherungsweise Angabe der mathematischen LöAbb. 1.2 Beispiel für eine
Diskretisierung mit finiten
Elementen
Knoten
finites
Element
Diskretisierung
CAD
sungsfunktion des Feldproblems werden in jedem Element (Polynom-)Ansätze gewählt,
die nur in diesem Element gelten. An den Knoten liegen die Feldgrößen als unbekannte
Stützstellen der Polynome vor, die es zu berechnen gilt. Als Resultat entsteht ein (nicht-)
lineares Gleichungssystem für die zu berechnenden Polynomstützstellen der Feldgrößen
(z. B. Temperatur, Verschiebungen, elektrische Feldgrößen) an den Knoten. Ist dieses gelöst, kann in den Elementen über die Polynomansätze für jeden gewünschten Punkt die
Lösung näherungsweise berechnet werden.
Umfassende historische Überblicke über die Entwicklung der FEM finden sich z. B. in
Klein [4, Kap. 1.1, S. 1] oder Knothe und Wessels [5, Kap. 1.5].
4
1 Einleitung
1.2 Vorgehensweise bei Berechnungsaufgaben
In Abb. 1.3 ist die generelle Vorgehensweise aus Anwendersicht bei der Berechnung dargestellt. Eingangsgröße ist i. d. R. die Konstruktion aus einem Computer-Aided-Design
(CAD) Programm. Es können aber auch Daten einer optischen Digitalisierung genutzt
werden, z. B. wie im Designprozess eines Fahrzeugs in sehr frühen Stadien. Diese werden
in der Modellaufbereitung (Pre-processing) in einen Präprozessor geladen und zunächst
so bearbeitet, dass sie für eine Berechnung geeignet sind. Unter anderem werden Geometriedetails gelöscht, die für das strukturmechanische Ergebnis unerheblich sind, aber
zusätzlichen Rechenaufwand bedeuten, da die Vernetzung der Details eine Erhöhung der
Anzahl der Freiheitsgrade bedeutet. Dies wird als Idealisierung bezeichnet. Das idealiAbb. 1.3 Schritte beim Aufbau einer FEM-Berechnung
CAD
Idealisierung
Modellaufbereitung im Präprozessor
Netzgenerierung
Lasten
Lagerungen Materialdaten
Gleichungsaufstellung und -lösung
Analyse, Postprozessor
sierte Geometriemodell wird dann durch ein Netz aus finiten Elementen ersetzt. Diese
Aufgabe wird von Vernetzungsalgorithmen übernommen, die heutzutage weit automatisiert sind. Trotz allem muss der Benutzer hier ggf. noch eingreifen. Neben dem Netz ist
das Randwertproblem durch Lasten und Lagerungen im Falle der Strukturmechanik zu
definieren. Daneben müssen der Geometrie auch Materialien zugewiesen werden. Dies
erfolgt i. d. R. aus einer Materialdatenbank. Die gesamten Informationen werden dann automatisch vom FE-Programm zu einem Gleichungssystem zusammengesetzt und gelöst.
Der letzte Schritt ist die Analyse der erzeugten Ergebnisse in einem Postprozessor.
1.3 Einsatzgebiete der Finite-Elemente-Methode
Die FEM ist heute in praktisch allen ingenieurtechnischen Bereichen im Einsatz. In
Abb. 1.4 ist eine kleine Auswahl von Anwendungen dargestellt. Darüber hinaus findet die
FEM Anwendung in der Berechnung der Stabilität und dem Beulverhalten von Strukturen,
der (in-)stationären, (nicht-)linearen Wärmeübertragung, der Betriebsfestigkeit und Lebensdauervorhersage, für die Berechnung elektromagnetischer Felder und der Wärmeentwicklung durch Wirbelströme etc. Mit steigender Rechenleistung werden auch zunehmend
Fragestellungen behandelt, bei denen mehrere physikalische Domänen wie Strukturmechanik, Wärmeleitung und Elektromagnetismus gekoppelt sind. Diese Methoden werden
als Multiphysik-Anwendung bezeichnet. Ein weiteres Beispiel aus diesem Gebiet ist die
Fluid-Struktur-Interaktion (z. B. Schwappen von Kraftstoff im Tank). Ein weiteres Feld
1.3 Einsatzgebiete der Finite-Elemente-Methode
5
Statik: Verformung von Strukturen unter statischer Last.
Lineare Dynamik, Akustik: Schwingungsberechnung im Frequenzbereich.
Simulation von Produktionsprozessen, hier
eine Blechumformsimulation, mit freundlicher
Genehmigung der BMW Group.
Nichtlineare Dynamik: Crashsimulation, mit
freundlicher Genehmigung der Daimler AG.
Stoßartige Belastung des Beckens des THUMSModells, mit freundlicher Genehmigung des
Labors für Biomechanik, OTH Regensburg.
Nichtlineares Materialverhalten: Aufblasvorgang einer Plastikflasche, mit freundlicher
Genehmigung der Krones AG.
Abb. 1.4 Beispiele für Einsatzgebiete der Finite-Elemente-Methode
ist die Strukturoptimierung, bei der über Optimierungsverfahren Eigenschaften, wie die
Massenverteilung, Steifigkeitsverteilung etc. verbessert werden sollen. Als Berechnungswerkzeug wird hierfür häufig die FEM eingesetzt.
Von der Vielzahl der Fragestellungen wird in diesem Buch ausschließlich die Strukturmechanik behandelt. Die Zielgröße der Berechnung sind die Verschiebungen, Verzerrungen und Spannungen an jedem Punkt eines Körpers.
Die Anzahl kommerzieller FE-Programme ist hoch. Als Beispiele seien genannt:
ABAQUS von Dassault Systemes, ADINA von ADINA R& D Inc, ANSYS von ANSYS Inc., LS-DYNA von LSTC Inc., MARC von MSC Software, NASTRAN, das von
verschiedenen Herstellern weiter entwickelt wird, RADIOSS von Altair Engineering, Inc.
6
1 Einleitung
und speziell im Bereich der Umformung PAM-STAMP von ESI Group und AutoForm
von der AutoForm Engineering GmbH. Von Belytschko et al. [1, Kap. 1.2, S. 4] wird
umfassend dargestellt, wie die dort genannten Programme sich entwickelt haben.
Neben den Rechenkernen1 der FE-Programme sind viele unabhängige Prä- und Postprozessoren am Markt verfügbar, z. B. ANSA, HyperMesh, Medina, PATRAN, Animator.
Es gibt keine klare Trennung der Programmfunktionen, in manchen Präprozessoren
sind Berechnungsprogramme integriert (z. B. RADIOSS in HyperMesh), bei anderen
Produkten sind Präprozessor und Berechnungsprogramm stark miteinander gekoppelt und
gekapselt (z. B. ANSYS Workbench mit ANSYS). Bei anderen, wie z. B. LS-DYNA gibt
es keinen dezidierten Präprozessor (man kann gleichermaßen mit dem firmeneigenen, kostenlosen Präprozessor LS-PrePost, als auch mit ANSA, HyperMESH und vielen weiteren
arbeiten). Zunehmend werden FE-Programme auch in CAD-Software integriert.
Die Potenziale des Funktionsumfangs eines kommerziellen FE-Programms sind durch
den Anwender nur vollständig zu heben, wenn neben einer reinen Nutzerschulung, auch
gute Kenntnisse in den zu Grunde liegenden physikalischen Grundlagen und den mathematischen sowie numerischen Methoden vorliegen. Das vorliegende Buch soll hierzu
einen Beitrag leisten, die wichtigsten mathematischen und numerischen Merkmale eines
FE-Programms zu erklären. Aus dem großen Anwendungsfeld muss hierbei eine Auswahl
getroffen werden. Deswegen fokussiert sich dieses Buch, nach einer allgemeinen Einführung, auf strukturmechanische, lineare und nichtlineare, dynamische Berechnungen.
Literaturverzeichnis
[1] T. Belytschko, W. K. Liu, und B. Moran. Nonlinear finite elements for continua and
structures. Wiley, Chichester, 2000.
[2] L. Gaul, M. Kögl, und M. Wagner. Boundary element methods for engineers and
scientists. Springer, Berlin, 2003.
[3] D. Gross, W. Hauger, und P. Wriggers. Technische Mechanik 4. Springer, Berlin, 9.
Aufl., 2014.
[4] B. Klein. FEM. Springer Vieweg, Wiesbaden, 10. Aufl., 2015.
[5] K. Knothe und H. Wessels. Finite Elemente. Springer Vieweg, Berlin, 5. Aufl., 2017.
[6] M. Meywerk. CAE-Methoden in der Fahrzeugtechnik. Springer, Berlin, 2007.
[7] F. Seifferth. Analyse netzfreier Methoden. VDM-Verl. Müller, Saarbrücken, 2011.
1 Häufig als Solver oder Löser bezeichnet.
Kapitel 2
Einführung in die lineare FEM
Abb. 2.1 Diskretisierung eines Stabkontinuums in finite
Elemente. Darüber die Verschiebungslösung, analytisch
u(x) (—) und näherungsweise ũ e (x) (Geradenstücke)
Verschiebung über
Stablänge
In diesem Kapitel werden die einzelnen Schritte einer Finite-Elemente-Berechnung detailliert am einfachst möglichen Beispiel eines mechanischen Fachwerks aus Stäben erklärt. Es
wird sich zeigen, dass bereits alle für die FEM wichtigen Begriffe und Konzepte auftreten.
Wie in Kap. 1 erläutert, werden ingenieurtechnische Fragestellungen häufig durch Systeme von Differenzialgleichungen beschrieben, deren Lösung aber nur als Näherungslösung zu gewinnen sind. Bei einer Lösung mit der FEM werden zur Konstruktion der
Näherungslösung Polynome stückweise nebeneinander gesetzt. In Abb. 2.1 ist dies für ein
u(x)
stückweise Näherung
über Polynome
ũ e (x)
Stützstelle
(Knotenverschiebung)
Stab
Element e
x
Knoten
eindimensionales (1-D) Gebiet eines Stabs dargestellt. Die zu berechnende Größe ist die
Verschiebung u(x) jedes Punkts x des Stabs. Ein fiktiver Verlauf einer exakten Lösung
u(x) ist in Abb. 2.1 als schwarze Linie in einem Koordinatensystem über dem Stab eingezeichnet. Für die Näherungslösung ũ(x) werden auf dem Stab Knoten an geometrischen
Punkten x in beliebigen Abständen definiert, die als Stützstellen von Polynomen dienen.
Zwischen den Stützstellen sind in dieser Darstellung Polynome 1. Ordnung, d. h. Geradenstücke, eingefügt, die durch den Funktionswert der Verschiebung an den Knotenpunkten
festgelegt werden. Man sieht bereits an dieser einfachen Darstellung zwei wichtige Eigenschaften der FEM: An den Knotenpunkten gehen die Polynomstücke stetig ineinander
über. Ableitungen der Funktion sind an den Knoten allerdings i. d. R. unstetig. Weiterhin
hängt die Güte der Approximation, d. h. der Fehler der Näherungslösung von der Wahl
der Polynome und von der Form der exakten Lösung ab. Diese Eigenschaften werden in
späteren Kapiteln noch detailliert.
© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2017
M. Wagner, Lineare und nichtlineare FEM, DOI 10.1007/978-3-658-17866-6_2
7
8
2 Einführung in die lineare FEM
Folgende Schritte sind für eine FEM-Berechnung notwendig:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Aufstellen der mathematischen Beschreibung des physikalischen Systems,
Diskretisierung in finite Elemente,
Berechnung der Elementmatrizen,
Transformation der Elementmatrizen in ein gemeinsames Koordinatensystem,
Zusammenbau des Gleichungssystems,
Einbringen von Randbedingungen,
Lösen des Gleichungssystems.
Anhand dieser nicht weiter kommentierten Abfolge wird die Vorgehensweise entwickelt.
2.1 Grundgedanke der FEM am Beispiel des Stabs
In Abb. 2.2 ist ein Stab mit der Ausgangslänge L 0 mit konstantem Querschnitt A darAbb. 2.2 Links fest eingespannter und rechts mit einer
Kraft sowie einer Linienlast
beaufschlagter Stab
L0
s(x)
A
f
x u(x)
E
gestellt, der durch eine Einzellast f und eine Linienlast s(x) gedehnt werden soll. Das
Materialverhalten wird als linear-elastisch mit einem Elastizitätsmodul E angenommen.
Der Stab soll nur Kräfte in Längsrichtung aufnehmen können.
Für den Stab sollen die Knotenverschiebungen u(x) und die in jedem Querschnitt
geltende Schnittkraft S(x) berechnet werden. Alle Größen werden in der Koordinate x
entlang des Stabs angegeben.
2.1.1 Mathematische Beschreibung des physikalischen Systems
Um die Unbekannten zu berechnen, ist eine mathematische Beziehung zwischen Kräften
und Verschiebungen zu bestimmen. Der Anwender eines kommerziellen FE-Programms
muss diese Beziehungen nicht selbst herleiten, er sollte aber ein gutes Verständnis der zu
Grunde liegenden Gleichungen haben, da dieses für die korrekte Definition der Berechnung
und die Ergebnisanalyse unabdingbar ist. Für strukturmechanische Aufgaben besteht das
Gleichungssystem aus drei Teilen:
• Den kinematischen Verschiebungs-Verzerrungs-Beziehungen: u ⇒ ε,
• dem Materialgesetz für die Beziehung zwischen Dehnung und Spannung: ε ⇒ σ,
• den Bilanzgleichungen für die Masse, den Impuls und den Drehimpuls sowie die Energie
und die Entropie. Sie stellen die Verbindung zwischen den Feldgrößen her.
Dabei gehen wir von Massen-, Energie- und Entropieerhaltung aus, sodass diese Bilanzgleichungen nicht berücksichtigt werden.
2.1 Grundgedanke der FEM am Beispiel des Stabs
9
Zur Einführung wird in diesem Kapitel der Sonderfall betrachtet, dass das betrachtete
System unbeschleunigt ist. Dann gehen die Impuls- und Drehimpulsbilanz in die Gleichgewichtsaussagen der Statik in Form der Kraft- und Momentenbilanz über, indem die
Trägheitswirkungen zu null gesetzt werden.
Diese Gleichungen dienen als Basis der FE-Modellierung. Damit die Fragestellung in
diesem Kapitel als linear behandelt werden kann, sind folgende Annahmen zu treffen:
• kleine Verschiebungen und daraus resultierend, kleine Dehnungen. Der Dehnungsbegriff wird in Kap. 3.3 noch genauer eingeführt. An dieser Stelle reicht die Definition,
dass eine Dehnung etwas über die lokale Formänderung aufgrund einer äußeren Last
aussagt,
• linear-elastisches Materialverhalten,
• die Gleichgewichtsbedingungen werden im unverformten Ausgangszustand angegeben.
Im Ausgangszustand ist die äußere Belastung noch nicht vorhanden und Gleichgewicht
gilt nur in der deformierten Endlage. Diese Annahme ist nur dann zulässig, wenn
Anfangs- und Endzustand nur wenig voneinander abweichen und hängt damit direkt
mit der ersten Bedingung zusammen.
Diese Bedingungen werden im nichtlinearen Fall schrittweise aufgegeben, s. ab Kap. 9.
2.1.1.1 Verschiebungs-Verzerrungs-Beziehung
Die kinematische Beziehung zwischen der Dehnung und der Verschiebung wird über die
Ingenieurdehnung definiert
L − L 0 ∆L
ε=
=
,
L0
L0
wobei L die Länge des Stabs bei Belastung ist.
Diese Formel gibt die Gesamtdehnung des Stabs wieder. Für die weitere Ableitung ist
aber der lokale Dehnungszustand in jedem beliebigen Punkt x anzugeben. Die Herleitung
gelingt, indem man ein infinitesimal kleines Stückchen aus dem Stab herausschneidet und
analog zur Ingenieurdehnung die Verschiebungen betrachtet, s. Abb. 2.3. Die AusgangsAbb. 2.3 Herleitung der
Verschiebungs-VerzerrungsBeziehung für den Stab
dx
0
L
x, u(x)
dx
u(x + dx) ≈ u + du
x
u(x)
dx
du
länge des infinitesimal kleinen Stücks sei dx und es werde um ein kleines du verlängert.
Dann gilt für die Dehnung (s. Abb. 2.3)
10
2 Einführung in die lineare FEM
ε=
(dx + du) − dx
du
=
= u0 .
dx
dx
(2.1)
Es ist wesentlich, zwischen der Ortskoordinate x eines Punkts im Raum und der Verschiebung des Punkts u(x) durch eine äußere Last als Funktion des Orts zu unterscheiden.
Die Verschiebung u(x) ist die gesuchte Feldvariable unserer Aufgabe.
2.1.1.2 Werkstoffgesetz
Der Zusammenhang zwischen der Spannung σ und der Dehnung ε erfolgt hier durch das
lineare Hooke’sche Materialgesetz
σ = Eε,
(2.2)
mit dem Elastizitätsmodul E. Die Schnittkraft S in einem Querschnitt ist definiert als
S = σA ,
(2.3)
mit der Querschnittfläche A des Stabs und wird als Stabkraft bezeichnet. Dies ineinander
eingesetzt liefert mit Gl. (2.1) das Elastizitätsgesetz des Stabs
S = E A u0 .
(2.4)
2.1.1.3 Gleichgewichtsbedingung
Der statische Gleichgewichtszustand unter einer Belastung wird durch Aufstellen der
Gleichgewichtsbedingungen an einem infinitesimal kleinen, unverformten Element nach
Abb. 2.4 hergeleitet: Am linken und rechten Schnittufer werden die Reaktionskräfte einAbb. 2.4 Gleichgewicht am
unverformten Stabausschnitt
dx
EA
s
S
S + dS
x, u(x)
0
getragen. Am rechten Schnittufer ist ein Zuwachs dS = dS
dx dx = S dx angetragen, da eine
Linienlast s(x) angenommen wird. Bildung des Kräftegleichgewichts liefert:
− S + S + S 0dx + sdx = 0
Gl. (2.4)
⇒
E Au 00 = −s .
(2.5)
Die rechte Gleichung gibt die Gleichgewichtsbedingung des Stabs wieder. Es handelt sich
um eine gewöhnliche Differenzialgleichung zweiter Ordnung. Diese kann durch zweimaliges Integrieren analytisch gelöst werden. Zur Vereinfachung nehmen wir eine konstante
Linienlast s(x) = s0 an. Zur Integration wird die zweite Ableitung von u umgeschrieben
in u 00 = d(u 0 )/dx. Unbestimmte Integration liefert zunächst die Stammfunktion:
2.1 Grundgedanke der FEM am Beispiel des Stabs
Z
E A d(u 0 ) =
11
Z
−s0 dx
⇒
E Au 0 = C1 − s0 x ,
(2.6)
mit der Integrationskonstanten C1 . Nochmaliges Integrieren, unter Beachtung von u 0 =
du/dx ergibt die Stammfunktion:
"
#
1
x2
u(x) =
C2 + C1 x − s0
,
(2.7)
EA
2
mit den Integrationskonstanten C1 und C2 . Zur Anpassung dieser Konstanten sind die
Randbedingungen u(0) = 0 in Gl. (2.7) und S(L) = E Au 0 (L) = f in Gl. (2.6) einzusetzen.
Dies liefert:
"
#
x2
1
( f + s0 L)x − s0
und S(x) = f + (L − x)s0 .
(2.8)
u(x) =
EA
2
Im Prinzip ist damit die Fragestellung beantwortet. Im Allgemeinen ist es aber nur in
sehr wenigen Ausnahmefällen möglich, die zu Grunde liegenden Differenzialgleichungssysteme analytisch zu lösen. Deswegen wird das Beispiel nun mit der FEM gelöst und
abschließend mit der analytischen Lösung verglichen.
2.1.2 Diskretisierung in finite Elemente
Wünschenswert wäre eine geschlossene numerische Lösung über das gesamte Gebiet. Allerdings kann auch eine Näherungslösung für die gesamte Stablänge nur selten angegeben
werden. Deshalb wird im Folgenden mit der Methode der finiten Elemente eine stückweise
Näherungslösung gesucht, die geeignet zusammengesetzt wird.
Dazu ist nach der oben formulierten Grundidee der FEM das Gebiet in mehrere Elemente zu zerlegen (zu „diskretisieren“). Zur Darstellung der grundlegenden Eigenschaften
wählen wir hier eine Diskretisierung mit drei Elementen und daraus folgend vier Knoten,
s. Abb. 2.5. Im Bild wird deutlich, dass das Stabelement nur eine Ausdehnung in LängsAbb. 2.5 Diskretisierung
eines Stabs in finite Elemente
Kontinuierliche Struktur
Knoten
Element
richtung hat, d. h. eine Linie darstellt. Die „Dicke“ des Stabs wird geometrisch nicht
abgebildet. Man kann dies näherungsweise tun, da abgesehen von der Einspannstelle in
jedem Querschnitt bei konstanter Fläche A in jedem Punkt der Fläche derselbe Spannungszustand vorliegt. Integriert man die Spannungen über die Querschnittfläche, erhält man
die Stabnormalkraft S(x). Man spricht dann von einem eindimensionalen Strukturelement,
s. Kap. 6.3 für weiterführende Details.
12
2 Einführung in die lineare FEM
Für ein einzelnes Stabelement wird nun ein näherungsweiser Verlauf der Feldgröße
u(x) angenommen. Das Element sowie die notwendigen Bezeichnungen sind in Abb. 2.6
gegeben. Die Knoten eines Elements e werden mit Großbuchstaben I, J etc. indiziert. Die
Abb. 2.6 Größen an einem
Stabelement
I
J
e
uJe, SJe
uIe, SIe
x, u(x)
`e
Verschiebung an einem Knoten wird durch einen hochgestellten Index e der Elementnummer und dem Knotenindex eindeutig für die gesamte Diskretisierung bezeichnet. Da
nur ein Element betrachtet wird, wird auf die Kennzeichnung mit dem Index e in diesem
Kapitel zunächst verzichtet, um die Formeln übersichtlicher zu halten. Zu berechnende Unbekannte an den Knoten sind die Verschiebungen uI, uJ und die Stabkräfte in Stabrichtung
SI, SJ . Für den Verlauf der Feldgrößen zwischen den Knoten werden Ansätze definiert, um
eine vollständige Beschreibung zu erhalten.
Der einfachst mögliche Ansatz als Näherungsfunktion ist ein lineares Polynom. Die
Näherungslösung für die Verschiebung des Stabs wird zur Unterscheidung von der exakten
Lösung u(x) mit ũ(x) bezeichnet.
Ein lineares Polynom ist gegeben durch
ũ(x) = ax + b , x ∈ [0, `] ,
(2.9)
mit den Koeffizienten a und b, die noch zu bestimmen sind. Die Näherungsfunktion ist in
Abb. 2.7 dargestellt.
u
Abb. 2.7 Darstellung einer
linearen Ansatzfunktion über
einem Stabelement
ũ(x) = ax + b
I
uI
xI = 0
`
uJ
J x
xJ = `
Der erste Punkt x I wird zur Vereinfachung in den Koordinatenursprung gelegt: x I = 0.
Die Verschiebungen uI, uJ an den Knoten x I, x J werden zunächst als bekannt vorausgesetzt.
Dies führt auf die Bedingungen für die Polynomkoeffizienten
ũ(0) = uI = ax I + b = a · 0 + b
ũ(`) = uJ = ax J + b = a · ` + b .
Auflösen nach a und b liefert unter Beachtung von x I = 0 und x J = `:
b = uI
und
a = (uJ − uI )/` .
2.1 Grundgedanke der FEM am Beispiel des Stabs
13
Eingesetzt in Gl. (2.9) folgt für den Näherungsansatz nach Umsortieren nach den Knotenkoordinaten:
x
x
ũ(x) = (1 − ) uI + uJ .
(2.10)
`
`
Man hat durch diese Vorgehensweise erreicht, dass die Feldvariablen an den Knoten des
Elements als Größen im Ansatz auftauchen und mit Polynomen multipliziert werden, die
vollständig bekannt sind und den Verlauf innerhalb des Elements definieren, s. Abb. 2.8.
Um den Verlauf vollständig angeben zu können, sind ausschließlich die KnotenverschieAbb. 2.8 Formfunktionen
beim Stab
uJ
u
ũ
uI
NJ uJ
NI uI
x
bungen zu bestimmen. Diese sind damit die primären Unbekannten, die es zu ermitteln
gilt.
Die entstandenen Polynome in Gl. (2.10) werden als Ansatz- oder Formfunktionen
eines Elements bezeichnet und im Folgenden mit dem Buchstaben Ni bezeichnet, wobei
der Index i der Knotenindex I, J des Elementknotens ist, an dem die Funktion den Wert 1
annimmt:
x
x
NI = 1 −
NJ = .
(2.11)
`
`
Nun geht man auf eine Matrizenschreibweise über für Gl. (2.10)
f
g " uI #
ũ(x) = NI NJ
= N (x) u .
(2.12)
uJ
Die Formfunktionen werden in einem Zeilenvektor N (x) einsortiert, die Knotenverschiebungen in einem Spaltenvektor u (ohne (x), da es sich um diskrete Werte handelt). Für
die Berechnung von Dehnungen und Stabkräften wird auch die Ableitung des Ansatzes
benötigt:
" # f
g " uI #
dũ d(N (x)u) f dNI (x) dNJ (x) g uI
1 1
=
=
= Bu .
(2.13)
ũ 0 (x) =
=
−
` `
dx
dx
uJ
uJ
dx
dx
Die Ableitungen der Formfunktionen sind in der Zeilenmatrix B enthalten, die später
noch eine wichtige Rolle spielen wird. Da die Knotenverschiebungen an festen Punkten
im Raum liegen, sind sie als Konstanten bezüglich der Ableitung zu sehen, es sind also
nur die Formfunktionen abzuleiten. Auch die Ableitung lässt sich also über eine gegebene
Matrix und die Knotenverschiebungen berechnen.
14
2 Einführung in die lineare FEM
2.1.3 Berechnung der Elementmatrizen
Mit den gerade definierten Ansätzen lässt sich über das Kräftegleichgewicht an den Knoten
ein lineares Gleichungssystem ableiten, das dann die Berechnung von Verschiebungen und
Stabkräften erlaubt. Zur Berechnung der Stabkräfte steht zunächst Gl. (2.4) zur Verfügung:
S̃(x) = E Aũ
0
Gl. (2.13)
=
E ABu =
EA
(uJ − uI ) .
`
(2.14)
Man sieht, dass es sich aufgrund der Ansätze um eine konstante Kraft im Element handelt,
während die exakte Lösung in Gl. (2.8) einen linearen Verlauf vorschreibt. Die Knotenkräfte ergeben sich durch Freischneiden und Bilden des Gleichgewichts, s. Abb. 2.9:
SI = − S̃(x)
SJ = + S̃(x) .
(2.15)
Am linken Schnittufer wird die Kraft in positive Koordinatenrichtung eingetragen, da in
`
Abb. 2.9 Schnitt durch ein
Stabelement
SI
S̃
SJ
x, u(x)
der FEM eine von der technischen Mechanik abweichende Vorzeichenkonvention benutzt
wird, s. dazu Abb. 2.15 und die Erläuterungen dort.
Einsetzen von Gl. (2.14) in das obige Kräftegleichgewicht ergibt schließlich ein Gleichungssystem, das die unbekannten Verschiebungen und Stabkräfte in Beziehung setzt:
EA
uI −
`
EA
SJ = −
uI +
`
SI = +
EA
uJ
`
EA
uJ .
`
Dieses Gleichungssystem kann in Matrizenschreibweise angegeben werden
"
# " #
" #
E A 1 −1 uI
SI
=
,
uJ
SJ
` −1 1
| {z } |{z} |{z}
Ke
ue
Se
(2.16)
mit der Elementsteifigkeitsmatrix K e und den Knoten-Vektoren der Verschiebungen und
Normalkräfte u e und S e . Diese Form des Gleichungssystems wird bei jeder FiniteElemente-Formulierung so auftreten.
Jeder Eintrag Kiej von K e kann als Steifigkeit im System verstanden werden und verknüpft den Einfluss einer Verschiebung am Knoten des Spaltenindex j mit der Reaktionskraft am Knoten des Zeilenindex i. Beispiel: Der Eintrag K21 beschreibt den Einfluss der
Verschiebung am Knoten uI auf die Reaktionskraft am Knoten SJ .
2.2 Diskretisierung eines Fachwerks
15
2.2 Diskretisierung eines Fachwerks
Die bisherige Betrachtung geht davon aus, dass alle Elemente auf einer Linie liegen und diese entlang einer Koordinatenachse ausgerichtet sind. Sobald ein Element nicht parallel zum
Koordinatensystem liegt, müssen die Verschiebungs- und Kraftvektoren in Komponenten
des globalen Systems dargestellt werden. Dieser Schritt muss vor dem Zusammenbau des
Gleichungssystems erfolgen, da hierfür alle Matrizen in Koordinaten eines gemeinsamen,
üblicherweise des globalen Koordinatensystems angegeben werden müssen. Um dies zu
illustrieren, wird nun das etwas komplexere Beispiel in Abb. 2.10 eines statisch bestimmt
gelagerten Fachwerks betrachtet, das aus drei Stäben besteht. Allerdings liegen nicht mehr
y
1
Abb. 2.10 Statisch bestimmt
gelagertes Fachwerk
E A, `
2
x
E A, `
√
E A, ` 2
f¯
3
alle Stäbe in eine Richtung, deshalb muss das System nun zweidimensional betrachtet
werden. Am Punkt 2 wirkt eine Kraft f¯ = 2500 N. Das Fachwerk ist im Punkt 1 gelenkig
gelagert und im Punkt 3 als Loslager ausgebildet. Der E-Modul ist E = 200 000 MPa, die
Querschnittfläche A = 25 mm2 und die Länge ` = 1000 mm.
Bei dem Fachwerk sollen die Knotenverschiebungen ui an den Knoten i = 1, . . . , 3
und die konstanten Stabkräfte S e in den e = 1, . . . , 3 Elementen berechnet werden. Da es
sich um ein zweidimensionales Problem handelt, sind nun pro Knoten Verschiebungs- und
Kraftvektoren zu berücksichtigen. Nach wie vor kann ein Stab nur Kräfte und Verschiebungen in Längsrichtung des Elements übertragen, mehrdimensional wird die Darstellung
durch die Zerlegung der Verschiebungen und Kräfte im globalen Koordinatensystem:
" #
" #e
u
S
ui = x
Se = x .
uy i
Sy
2.2.1 Diskretisierung in finite Elemente
Das Fachwerk wird im Schritt der Diskretisierung in einzelne Stäbe zerlegt, indem an den
Knoten freigeschnitten wird, s. Abb. 2.11. Da im Allgemeinen ein Stabelement nicht parallel zum globalen Koordinatensystem (x, y) liegt, wird in Abb. 2.12 ein weiteres lokales
Koordinatensystem eingeführt mit den Koordinaten (ξ, η). Im lokalen Koordinatensystem
treten nur Verschiebungen in ξ auf, in globalen Koordinaten in x- und y-Richtung. Im
vorigen Kapitel wurde die Steifigkeitsgleichung und -matrix in Gl. (2.16) damit in lokalen
16
2 Einführung in die lineare FEM
e=2
E A, `
1 I
ξ
J
2
J
ξ
I
f¯
e
E
e=1
E A, `
A,
` √
2
=
3
Abb. 2.11 Diskretisierung
des betrachteten Fachwerks
ξ
I
J
3
Koordinaten aufgestellt, da das Koordinatensystem entlang der Elementachse angeordnet
war.
Es ist wesentlich zwischen globalen Systemknoten und lokalen Elementknoten der Diskretisierung zu unterscheiden. Insgesamt entstehen durch die hier benutzte Diskretisierung
drei globale Knoten. Alle Größen, die sich auf einen globalen Knoten beziehen, werden
mit einer unten stehenden arabischen Ziffer beschriftet. Jedes Element wird im freigeschnittenen Zustand von zwei lokalen Knoten berandet, es liegen also sechs lokale Knoten
in dem Fachwerk vor. Für die lokale Nummerierung wird die Elementnummer oben und
der lokale Knotenindex mit Buchstaben unten angegeben, z. B. für Knoten 2 in Abb. 2.11:
u2 = u2J = u3I .
Elementfreiheitsgrade von Nachbarelementen fallen an gemeinsamen Knoten zu Systemfreiheitsgraden zusammen.
2.2.2 Transformation von natürlichen auf globale Koordinaten
Im betrachteten Beispiel ist Stab 3 nicht entlang der globalen Koordinaten ausgerichtet. Für
ein Gesamtgleichungssystem müssen aber alle Größen in das gleiche Koordinatensystem
gedreht werden, damit koordinatenweise gerechnet werden kann. Da die Elementsteifigkeitsmatrix Gl. (2.16) im lokalen Koordinatensystem aufgestellt wird, ist eine Transformation auf globale Koordinaten notwendig.
Für die Kennzeichnung der Koordinatensysteme, in denen die Vektoren angegeben werden, wird die Notation erweitert: Links oben wird nun noch das Bezugskoordinatensystem
uJy
Abb. 2.12 Stabelement mit
Knoten an den Enden
uJη
η
uIη
uIy
uI ξ
y
x
I
uI x
ξ
J
uJ ξ
uJ x
2.2 Diskretisierung eines Fachwerks
17
angegeben, in dem die Koordinaten der Matrizen und Vektoren gegeben sind. Mit (ξ)K e
ist also die Elementsteifigkeitsmatrix in lokalen Koordinaten gemeint.
Aus Abb. 2.13 lässt sich zunächst eine allgemeine Transformation eines Vektors von
η
Abb. 2.13 Allgemeine Koordinatentransformation
y
uη
u
uy
uξ
ux
lokalen auf globale Koordinaten angeben über die Matrix RT :
" # "
#" #
u
cos φ − sin φ uξ
(x)
u= x =
= RT (ξ)u .
uy
sin φ cos φ uη
ξ
φ
x
(2.17)
Zur Herleitung stellt man die Komponenten im globalen Koordinatensystem in Anteilen
des lokalen Koordinatensystems dar. Die Matrix R wird als Rotationsmatrix bezeichnet.
Für die beiden Knoten-Verschiebungen eines Stabs gilt dann:
 u  cos φ − sin φ 0
0 
 I x  
u
sin φ cos φ 0
0 
(x) e

u =  Iy  = 
0 cos φ − sin φ
uJ x   0
uJy   0
0 sin φ cos φ 
 ue 
 Ieξ 
 uIη  = R eT (ξ)u e .
ue 
 Jeξ 
u 
(2.18)
Jη
Genau der gleiche Zusammenhang gilt auch für die Normalkraftvektoren:
S = Re
(x) e
T
S .
(ξ) e
(2.19)
Eine Rotationsmatrix wird als orthogonal bezeichnet, da sie die wesentliche Eigenschaft
RT = R−1
aufweist, d. h., die Transponierte der Matrix ist gleichzeitig die Inverse. Damit gilt
R RT = R R−1 = I ,
(2.20)
wobei I die Einheitsmatrix bezeichnet. Daraus folgt, dass mit der Rotationsmatrix R
Koordinaten aus dem globalen in das lokale System umgerechnet werden können:
R (x)u = R RT (ξ)u =
u.
(ξ)
Um eine Transformation der Steifigkeitsgleichung Gl. (2.16) von lokalen auf globale
Koordinaten formulieren zu können, ist zuvor auch im lokalen Koordinatensystem von
einer zur Stablängsachse senkrechten Verschiebungsmöglichkeit uηe auszugehen und die
Steifigkeitsgleichung in Gl. (2.16) auf zwei Dimensionen zu erweitern:
18
2 Einführung in die lineare FEM
e
e
 1 0 −1 0  uI ξ   SI ξ 
e
e
E A  0 0 0 0  uIη   SIη 

  e  =  e  .
` −1 0 1 0 uJ ξ   SJ ξ 
 0 0 0 0  e   e 
|
{z
} uJη   SJη 
|{z} |{z}
(ξ) e
K
(ξ)u e
(2.21)
(ξ) e
S
Man sieht, dass Gl. (2.16) um Gleichungen, erweitert wurde, die aber nur Nullen enthalten.
Dies dient nur dazu die Dimensionen korrekt angeben zu können.
Aus Gl. (2.18) und Gl. (2.19) folgt mit Gl. (2.20)
u = R e (x)u e
(ξ) e
und
S = R e (x)S e .
(ξ) e
Eingesetzt in die Steifigkeitsgleichung in lokalen Koordinaten folgt:
u =
(ξ) e (ξ) e
K
(ξ) e
S
⇒
K R e (x)u e = R e (x)S e .
(ξ) e
T
Multiplikation mit R e von links liefert
Re
T
T
K R e (x)u e = R e R e (x)S e
(ξ) e
⇒
u =
(x) e (x) e
K
S ,
(x) e
wobei die Eigenschaft Gl. (2.20) ausgenutzt wurde. Die Steifigkeitsmatrix wird also von
lokalen auf globale Koordinaten transformiert durch die Beziehung
Re
T
K Re =
(ξ) e
K .
(x) e
Für den Stab 3 aus Abb. 2.11 ergibt sich ein Winkel zur globalen x-Achse von 225◦ , wenn
man die Orientierung des lokalen Koordinatensystems des Elements 2 beachtet, die durch
die Lage von I und J definiert wird, s. Abb. 2.11. Die Transformationsmatrix lautet damit:
− √1 − √1 0
0 
 cos 225◦ sin 225◦
0
0   2
2

1
 1
− sin 225◦ cos 225◦
0 
0
0  + √2 − √2 0
3

=
R = 
0
0
cos 225◦ sin 225◦   0
0 − √1 − √1 

2
2

0
0
− sin 225◦ cos 225◦   0

0 + √1 − √1 
2
2

(2.22)
und damit die Elementsteifigkeitsmatrix in globalen Koordinaten
K =R
(x) 3
3T
EA
(ξ) 3 3
K R = √
2 2`
 1 1
 1 1

−1 −1
−1 −1
−1 −1
−1 −1
 .
1 1 
1 1 
√
Es ist zu beachten, dass das Element 3 nicht die Länge `, sondern die Länge 2` besitzt.
Die Transformation kann man auch für einen allgemeinen Winkel α gemessen gegen
die Horizontale angeben:
2.2 Diskretisierung eines Fachwerks
19
 cos2 α
cos α sin α
− cos2 α − cos α sin α 


2
E A  cos α sin α
sin α
− cos α sin α − sin2 α 
(x) e
K =
.

2
2
cos α
cos α sin α 
`  − cos α − cos α sin α


2
2
cos α sin α
sin α 
− cos α sin α − sin α
(2.23)
Analog folgen damit die beiden anderen Elementsteifigkeitsmatrizen in globalen Koordinaten für einen Winkel von 90° bzw. 0° zu
K =R
(x) 1
EA
K R1 =
`
1 T (ξ) 1
0 0
0 1

0 0
0 −1
0 0 
0 −1
 ,
0 0 
0 1 
K =R
(x) 2
EA
K R2 =
`
2 T (ξ) 2
 1 0 −1
 0 0 0

−1 0 1
0 0 0
0
0
 .
0
0
2.2.3 Zusammenbau des Gleichungssystems
Bisher wurde nur ein einzelnes Element im Raum betrachtet. Um eine Gesamtlösung
zu erhalten, ist aber das Freischneiden der Elemente wieder zurückzunehmen und die
Interaktion an den Knoten geeignet zu berücksichtigen. Dabei sind zwei Bedingungen an
einem Knoten zu erfüllen (alle folgenden Vektoren sind im globalen Koordinatensystem
angegeben, deshalb wird auf die Angabe des Bezugssystems verzichtet):
• das statische Gleichgewicht an dem Knoten muss gelten,
• die Verschiebungen der Elemente, die an einem globalen Knoten anliegen, müssen dort
mit der Verschiebung des globalen Knotens übereinstimmen, dies wird als Verschiebungskompatibilität bezeichnet.
Für den Knoten 2 im betrachteten Fachwerk sind die entsprechenden Stabkräfte in
Abb. 2.14 eingezeichnet.
SJ2y
Abb. 2.14 Gleichgewicht am
globalen Knoten
f2y
e=2
1
I
SJ2x
J
f2 x
SI3
x
SI3
y
SI3
J
e
=
3
e=1
I
I
y
J
SJ3
x
3
2
20
2 Einführung in die lineare FEM
Die Gleichgewichtsbedingungen am Knoten 2 lauten:
X
X
f 2 x : −SJ2x − SI3x + f 2 x = 0
und
f 2y : −SJ2y − SI3y + f 2y = 0 .
Fasst man die einzelnen Komponenten zu Vektoren zusammen, ergibt sich folgende Vektorgleichung als Gleichgewichtsbedingung mit der geg. Randbedingung aus Abb. 2.11:
" #
0
2
3
,
(2.24)
SJ + SI = f 2 =
− f¯
wobei der Vektor der äußeren Lasten über die globale Knotennummer identifiziert wird.
Um das Gleichungssystem standardisiert aufbauen zu können, wird eine von der üblichen Vorgehensweise in der technischen Mechanik abweichende Vorzeichenkonvention
in der FEM eingeführt, s. Abb. 2.15. An beiden Schnittufern der Elemente werden die
Technische Mechanik
SJy
MJ
MI
Abb. 2.15 Vorzeichenkonvention in der Mechanik und
der FEM
SI x
SJ x
Finite-Elemente-Methode
SIy
SJy
MJ
MI
SI x
SJ x
SIy
Größen immer in positive Richtung des Koordinatensystems angetragen. Damit muss man
beim Aufstellen der Gleichungen nicht auf Vorzeichen achten, sondern kann die Gleichgewichtsbedingung immer wie oben anschreiben. Dies erleichtert die programmiertechnische Umsetzung.
Für das weitere Rechnen mit den Stabkraftvektoren ist Gl. (2.21) in Matrixsubblöcken
darzustellen:
" e e # " e# " e#
KII KIJ uI
S
= Ie .
e
uJe
SJ
KJIe KJJ
Mit diesen kann unter Beachtung der Rechenregeln für Matrizen ganz normal gerechnet
werden. Für Element 2 und 3 lassen sich die Stabkräfte am Knoten 2 damit durch die
Steifigkeiten und Verschiebungen ausdrücken:
2 2
uJ
SJ2 = KJI2 uI2 + KJJ
und
SI3 = KII3 uI3 + KIJ3 uJ3 .
Dies in Gl. (2.24) eingesetzt ergibt
2 2
SJ2 + SI3 = KJI2 uI2 + KJJ
uJ + KII3 uI3 + KIJ3 uJ3 = f2 .
Mit dieser Gleichung wird das Gleichgewicht am globalen Knoten 2 wiedergegeben.
Analog kann man für die anderen Knoten eine solche Gleichung aufstellen:
1 1
SJ1 + SI2 = KJI1 uI1 + KJJ
uJ + KII2 uI2 + KIJ2 uJ2 = f1
3 3
uJ + KII1 uI1 + KIJ1 uJ1 = f3 .
SJ3 + SI1 = KJI3 uI3 + KJJ
2.2 Diskretisierung eines Fachwerks
21
Die weitere Bedingung ist die Verschiebungskompatibilität, d. h. die Verschiebungen
an den lokalen Knoten der Elemente und dem sie verbindenden globalen Knoten sind
nur durch das Freischneiden entstanden und sind deshalb gleich, da sonst Öffnungen oder
Überschneidungen auftreten könnten. In Gleichungen ausgedrückt gilt für unser Beispiel
deshalb:
(2.25)
u3 = uJ3 = uI1 .
u1 = uJ1 = uI2 ,
u2 = uJ2 = uI3 ,
Über die Verschiebungskompatibilität ist jede Kombination aus Elementnummer und lokalem Knotenindex eindeutig einer globalen Knotennummer zugeordnet. Für die Gleichgewichtsbedingung am Knoten 2 gilt damit, indem man die lokale durch die globale
Nummerierung ersetzt und Gl. (2.25) berücksichtigt:
2
2
3
3
K21
u1 + (K22
+ K22
)u2 + K23
u3 = f2 .
(2.26)
Die hochgestellten Elementindizes sind redundant und nur zur Verdeutlichung angeführt.
Man erkennt, dass aufgrund der Kompatibilitätsbedingung Terme der Steifigkeitsmatrix
addiert werden und zwar immer dort, wo Elemente an Knoten miteinander verbunden
sind.
Alle drei Gleichungen in einer Gesamtsteifigkeitsmatrix zusammengefasst, ergibt:
K=
1
 2
1
1  K11 + K11

...

2

2  K21

...

1

3  K31
..
.
..
.
..
.
2
2
K12
...
2 + K3
K22
22
...
3
K32
..
.
..
.
..
.
3
1
K13
...




3
K23  .

...

1 + K 3 
K33
33 
Die globalen Knotennummern entsprechen den Indizes der Subblöcke in der Gesamtsteifigkeitsmatrix und werden zur Verdeutlichung um die Matrix angeordnet. Damit ist ein
Einsortieren der Einzelmatrizen einfach möglich. Ausgeschrieben ergibt sich als Gesamtgleichungssystem:
..
.

   
0 ..
0
0  u1 x   f 1 x 
1 + 0 0 + 0 . −1
    
..
.

0
0 ..
0
−1  u1y   f 1y 
 0 + 0 0 + 1 .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . .  . . .

   
.
.
− √1  u2   f 2 
0 .. 1 + √1 0 + √1 .. − √1
E A  −1
8
8
8
8  x
x

   =   .
..
.
1
1 .
1
1  
`  0
√
√
√
√
u2   f 2y 
0 . 0+
0+
. −
−

8
8
8
8  y
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  · · ·  . . .

   
.
.
0 .. − √1
− √1 .. 0 + √1 0 + √1  u3   f 3 
 0
8
8
8
8  x

    x 
..
..
1
1
1
1
 0
−1 . − √
− √ . 0 + √ 1 + √  u3y   f 3y 
8
8
8
8
(2.27)
22
2 Einführung in die lineare FEM
Das Gleichungssystem in Matrizenformulierung lautet damit:
Ku = f ,
(2.28)
mit der Gesamtsteifigkeitsmatrix K und den Gesamtvektoren der Knotenverschiebungen u
und Knotenkräfte f .
Eine der wesentlichsten Eigenschaften der Steifigkeitsmatrix ist hier nun sichtbar: Die
Steifigkeitsmatrix K ist symmetrisch.
2.2.4 Einbringen von Randbedingungen
Das lineare Gleichungssystem Gl. (2.27) gilt ganz allgemein für das gezeigte Fachwerk.
Um eine spezifische Lösung zu erhalten, sind noch die Randbedingungen einzusetzen,
bevor das Gleichungssystem gelöst werden kann.
Generell ist an einem Knoten immer entweder die Verschiebung bekannt oder eine
äußere Last. Sehr häufig treten sogenannte homogene Randbedingungen auf, d. h. der
Wert ist an dieser Stelle null, bei Verschiebungen bedeutet dies z. B., dass eine Lagerung
vorliegt.
¯ gekennGrößen, die als Randbedingung gegeben sind, werden mit einem Überstrich ()
zeichnet. In unserem Beispiel sind die Randbedingungen gegeben durch:
ū1 x = ū1y = 0
f¯2 x = 0, f¯2y = − f¯
f¯3y = 0, ū3 x = 0 .
Setzt man dies in Gl. (2.27) ein, folgt für die Verschiebungs- und Kraftvektoren:
f
gT
u = 0 0 u2 x u2 y 0 u3 y
und
f
f = f 1x
f 1y 0 − f¯ f 3 x 0
gT
.
2.2.5 Lösen des Gleichungssystems
Durch die oben eingeführte Vorgehensweise ist die Differenzialgleichung des Stabs aus
Gl. (2.5) (rechts) in ein lineares Gleichungssystem Gl. (2.28) überführt worden, das nun
noch gelöst werden muss, um die unbekannten Verschiebungen zu erhalten.
Zur Lösung des Gleichungssystems ist es so umzusortieren, dass links ein Vektor mit
Unbekannten steht und rechts ein Vektor, der nur bekannte Größen enthält. Besonders
einfach geht dies, wenn homogene Randbedingungen vorliegen. In diesem Beispiel sind
drei Verschiebungen null. Man kann nun die zu diesen gegebenen homogenen Verschiebungsrandbedingungen gehörigen Zeilen und Spalten löschen (hier Zeilen und Spalten 1,
2, 5) und erhält das folgende lineare Gleichungssystem:
2.2 Diskretisierung eines Fachwerks
23

 
1 + √1 √1 − √1 
K33 K34 K36  u2 x 

8
8
8 

E
A
K43 K44 K46  u2  =
 √1
√1
√1 
−
y
8
8 
`  8

 
 1

K63 K64 K66  u3y 
√
√1 1 + √1 
−
−

8
8
8
   
u2 x   0 
u2  = − f¯ .
 y   
u3y   0 
(2.29)
Dies ist zulässig, da eine homogene Verschiebungsrandbedingung bedeutet, dass die in
der Steifigkeitsmatrix korrespondierende Spalte mit Null multipliziert wird. Aus diesem
Grund kann man eine solche Spalte aus dem Gleichungssystem entfernen. Die korrespondierenden Zeilen werden gestrichen, da hier die rechte Seite, d. h. die Kräfte, die
Unbekannten sind und somit nicht sofort gelöst werden können, da zuvor die Verschiebungen berechnet werden müssen. Diese Zeilen werden nach der Lösung des reduzierten
Gleichungssystems Gl. (2.29) für die Verschiebungen genutzt, um über eine Nachschaltrechnung die Knotenreaktionskräfte f 1 x , f 1y , f 3 x und damit die unbekannten Stabkräfte
zu berechnen.
Der Gesamtvektor der Verschiebungen lautet nach Auflösen von Gl. (2.29)
f
gT f
gT
u = u1 x u1y u2 x u2y u3 x u3y = 0 0 0,5000 −2,4142 0 −0,5000 mm .
Die unbekannten Lagerreaktionen f 1 x , f 1y , f 3 x werden aus den bisher unbenutzten Zeilen
1, 2 und 5 bestimmt
EA
u2 x = f 1 x
`
EA
u3 y = f 1 y
−
`
−
EA
√ (u3y − u2 x − u2y ) = f 3 x
` 8
⇒
f 1 x = −2500 N
⇒
f 1y = +2500 N
⇒
f 3 x = +2500 N .
Zuletzt sind noch die Stabkräfte als Reaktionskräfte mit Gl. (2.16) aus den Elementgleichungen zu berechnen. Bei der Interpretation ist die Orientierung des globalen Koordinatensystems und die Vorzeichenkonvention der FEM in Abb. 2.15 zu beachten. Eine
positive Kraft bedeutet, dass diese in positive Achsenrichtung zeigt, eine negative Zahl,
dass sie in negative Richtung zeigt.
" 1# " 1# f
gT
S
1
1 1
1 uI
= I1 = 0.0 − 2500 0.0 2500 N
S =K u =K
1
uJ
SJ
f
gT
S 2 = K 2 u 2 = −2500 0.0 2500 0.0 N
f
gT
S 3 = K 3 u 3 = −2500 − 2500 2500 2500 N .
Die Stabkräfte sind in globalen Koordinaten angegeben. Der Stab 1 steht senkrecht, deshalb
sind nur die y-Komponenten von null verschieden. Der lokale Knoten I ist global der
Knoten 3. Dort wirkt nach Konvention eine Kraft in negative y-Richtung, am anderen
Knoten (global Knoten 1) eine positive Kraft. Der Stab wird also gedehnt, wie man dies
aus der Verschiebung des Knotens 3 auch erwartet. Die gleiche Argumentation gilt für
den Stab 2, der horizontal liegt. In beiden Stäben wirkt die Stabkraft 2500 N.
24
2 Einführung in die lineare FEM
Zur Interpretation der Stabkraft im Element 3 sind die globalen Koordinaten mit
Gl. (2.22) ins lokale Koordinatensystem zu transformieren. Es ergibt sich
f
S = R3 (x)S 3 = +3535
(ξ) 3
0
− 3535
0
gT
N.
Die ersten beiden Einträge des Vektors korrespondieren zum lokalen Knoten I, der global Knoten 2 entspricht. Aufgrund der Orientierung des lokalen Koordinatensystems des
Stabs 3, s. Abb. 2.11, wirkt die Kraft von 3535 N auf den Stab. Dasselbe gilt mit umgekehrtem Vorzeichen am Knoten J. Damit wird dieser Stab insgesamt gestaucht.
2.3 Beispiel: Stab mit veränderlichem Querschnitt
Im Folgenden wird der gesamte Ablauf einer FE-Berechnung an einem weiteren Beispiel
in Abb. 2.16 vorgeführt und es werden einige allgemeine Eigenschaften der FEM erläutert.
x, u(x)
Abb. 2.16 Stab mit linear
veränderlichem Querschnitt
A0
AL
E
f¯
L
Der Querschnitt des Stabs ist rechteckig. An der Einspannung ist die Fläche A0 =
1000 mm2 , die bis zum Endquerschnitt AL = 100 mm2 linear abnimmt. Die Länge ist
L = 1000 mm, der Elastizitätsmodul E = 30 000 N/mm2 . Der Körper wird durch die
Kraft f = 2000 N belastet.
Dieses Problem lässt sich zum Vergleich analytisch lösen. Die Spannung in Gl. (2.3) kann über die
konstante Schnittkraft S(x) = f und den Verlauf der Querschnittfläche
A(x) = A0 + ( A L − A0 )
zu
σ(x) =
x
L
S(x)
f¯
=
A(x)
A0 + ( A L − A0 ) Lx
berechnet werden. Mit dem Materialgesetz in Gl. (2.2) und der Randbedingung u(0) = 0 können durch
Integration aus ε = u0 = du/dx die Verschiebungen berechnet werden:
Z
u (x)
du = u(x) =
u (0)
x
Z
0
"
#x
Z
σ
f¯ L
f¯ x
1
x̂ d x̂ =
d
x̂
=
ln
A
+
(
A
−
A
)
0
L
0
E
E 0 A0 + ( A L − A0 ) Lx̂
E ( A L − A0 )
L 0
und damit
f¯ L
AL
x
ln 1 + (
− 1)
.
E ( A L − A0 )
A0
L
In Abb. 2.17a und Abb. 2.17b sind die analytischen Lösungen für den Verschiebungs- und Spannungsverlauf dargestellt.
u(x) =
2.3 Beispiel: Stab mit veränderlichem Querschnitt
25
20
σ / N/mm2
u / mm
0.15
0.1
5 · 10−2
15
10
5
0
0
0.5
x/L
1
0
Abb. 2.17a Analytische Lösung eines Stabs mit
veränderlichem Querschnitt – Verschiebung
1
0.5
x/L
Abb. 2.17b Analytische Lösung eines Stabs mit
veränderlichem Querschnitt – Spannung
Als Näherungslösung wird mit einer Diskretisierung durch zwei Stabelemente mit
unterschiedlichem Querschnitt A1, A2 und Länge ` 1, ` 2 eine numerische Lösung berechnet,
s. Abb. 2.18. Die Grundgleichungen für ein Stabelement wurden in Kap. 2.1 hergeleitet.
Die lokalen Koordinaten sind
" 2#
" 1#
u
uI
1
2
u = 1
und u = I2 .
uJ
uJ
In globalen Koordinaten gibt es drei Verschiebungen, wobei hier nun die willkürliche
Nummerierung zu beachten ist, da die globalen Knotennummern beliebig vergeben werden
können:
f
gT
u = u5 u7 u9 .
Die Kompatibilitätsbedingung lautet:
uJ1 = uI2 = u7
und führt unter Beachtung der unterschiedlichen Längen und Querschnitte auf das Gesamtgleichungssystem K u = f :
 A1
 `1 1
E − A` 1

 0
Abb. 2.18 Diskretisierung
eines Stabs mit linear veränderlichem Querschnitt durch
zwei finite Elemente
1

− A` 1
0 
2
2

+ A` 2 − A` 2 
`1
2
2
A 
− A` 2
`2 
A1
u5   f 5 
u  =  f  .
 7   7 
u9   f 9 
x, u(x)
5
(2.30)
e=1
A1
e=2
A2
7
`1
`2
L
9 f¯
26
2 Einführung in die lineare FEM
Zur Lösung sind noch die Randbedingungen einzusetzen: u5 = 0, f 7 = 0 und f 9 = f¯. Am
Knoten 7 ist eine homogene Kraftrandbedingung anzusetzen, da sonst nichts vorgegeben
ist und es sich damit um eine spannungsfreie Oberfläche handelt.
Die Randbedingung u5 = 0 erlaubt das Streichen der mit dem Index des Knotens
verbundenen Spalte und Zeile und liefert schließlich:
 A1 A2 A2  " # " #
+
−
0
u
E  ` 1 A2 ` 2 A`22  7 = ¯ .
u
f
 − ` 2
 9
`2 
Dieses Gleichungssystem kann nun direkt aufgelöst werden, um die unbekannten Verschiebungen zu erhalten. Mit den Zahlenwerten A1 = 775 mm2 , A2 = 325 mm2 , ` 1 = 400 mm,
` 2 = 600 mm, E = 30 000 N/mm2 , f¯ = 2000 N ergibt sich
u5  0,0000
u  = 0,0344 mm .
 7  

u9  0,1575
Die Reaktionskraft kann in der Nachschaltrechnung aus der gestrichenen ersten Zeile
von Gl. (2.30) bestimmt werden:
R = −E
A1
u7 = −2000 N = − f¯ .
`1
Die Dehnungen errechnen sich allgemein mit Gl. (2.1) und Gl. (2.13). Da für ũe ein linearer
Ansatz gewählt wurde, ist die Ableitung konstant. Dies bedeutet, dass die Dehnung in
jedem Element konstant verläuft:
ε̃ 1 =
1
u7 = 8,6022 · 10−5
`1
und
ε̃ 2 = −
1
1
u7 + 2 u9 = 20,0513 · 10−5 .
2
`
`
Die Schnittkräfte in beiden Elementen müssen aus statischen Gründen gleich sein und
errechnen sich nach Gl. (2.4) zu
S 1 = S 2 = E A1 (ũ1 ) 0 = E A2 (ũ2 ) 0 = 2000 N = f¯ .
Die Spannungen ergeben sich aus Gl. (2.3) zu
σ e = S e /Ae
=⇒
σ̃ 1 = 2,5806 N/mm2
und
σ̃ 2 = 6,1538 N/mm2 .
Die Spannungen sind in jedem Element konstant. Die Ergebnisse für die Verschiebung
sind in Abb. 2.19a und für die Spannungen in Abb. 2.19b der analytischen Lösung gegenübergestellt. Die Verschiebungslösung wird durch Geradenstücke approximiert und ist im
Bereich, in dem die exakte Lösung wenig gekrümmt ist bereits relativ gut. Anders ist die
Situation bei der Spannung. Hier kann ein Stabelement nur einen konstanten Wert über
das gesamte Element darstellen. Bei einem nicht-konstanten Verlauf der exakten Lösung
wird diese durch eine stückweise konstante Funktion approximiert. Dies führt in diesem
Beispiel zu einem erheblichen Fehler.
2.4 Aufgaben
27
20
u / mm
σ / N/mm2
0.15
0
0
0.5
x/L
1
Abb. 2.19a Vergleich des Verschiebungsverlaufs einer analytischen (
) mit einer numerischen Lösungen für ein Stabelement ( zwei Eleund acht Elemente
)
mente
0
1
0.5
x/L
Abb. 2.19b Vergleich des Spannungsverlaufs einer analytischen (
) mit einer numerischen
Lösungen für ein Stabelement ( zwei Elemente
und acht Elemente
)
Neben der Lösung für zwei Elemente ist auch noch eine verbesserte Lösung mit acht
Elementen gleicher Länge eingezeichnet. Man sieht, dass die Verschiebungen bereits mit
acht Elementen sehr gut mit der analytischen Lösung übereinstimmen. Bei den Spannungen ist dies nicht so, da diese durch lineare Elemente nur als Konstanten genähert werden
können. Da am Ende des Stabs die Spannungen stark ansteigen, ist hier die Spannungslösung nicht ausreichend. An diesen Ergebnissen kann man bereits drei wichtige allgemeine
Eigenschaften der FEM sehen:
• Eine Verbesserung der Lösung kann erreicht werden, indem die Anzahl der Freiheitsgrade erhöht wird, in diesem Fall durch mehr Elemente bzw. Knoten.
• Die primäre Feldvariable (Verschiebung) wird besser genähert als die sekundäre (Spannungen), da diese über eine Ableitung aus der primären Feldvariablen definiert ist und
dies hat immer niedrigere Ansatzgrade in den Näherungspolynomen zur Folge.
• Die primäre Feldvariable ist über Elementgrenzen stetig, die sekundäre nicht. Dies
folgt aus der Forderung nach Verschiebungskompatibilität.
In den Zusatzunterlagen zum Buch ist ein MATLAB-Skript angegeben, mit dem das
o. g. Beispiel für eine beliebige Anzahl Elemente berechnet werden kann.
2.4 Aufgaben
2.1. Bestimmen Sie für das gezeichnete Stabelement mit
EA
`
• die Elementsteifigkeitsmatrix im lokalen
Koordinatensystem (ξ)K e ,
• die Rotationsmatrix R e und die
• die Elementsteifigkeitsmatrix im globalen
Koordinatensystem (x)K e .
y
= 1 N/m:
η
ξ
φ = 30◦
x
28
2 Einführung in die lineare FEM
2.2. Ein Vektor von Stabkräften (x)S in globalen Koordinaten ist gegeben:
f
S = −920,51 −390,73
(x)
920,51
390,73
gT
N.
• Berechnen Sie für einen Rotationswinkel des Elements von 23° den Vektor (ξ)S.
• Erläutern Sie den Aufbau des Vektors (ξ)S mit den Eigenschaften eines Stabelements
und beantworten Sie, ob der Stab gedehnt oder gestaucht wird.
2.3. Der gezeichnete Stab soll auf Normaldehnungen untersucht werden. In der Entfernung
` 1 vom Ursprung wirkt eine Kraft f¯.
x
f¯
Gegeben:
f¯ = 1000 N, A = 20 mm2, ` 1 = 1 m, ` 2 = 1,2 m,
E = 210 000 N/mm2
A
`1
`2
Legen Sie die minimal notwendige Diskretisierung fest und geben Sie die folgenden
Größen in den Einheiten N und mm an:
1. die Elementsteifigkeitsmatrizen K e (Beachten Sie: Eine Darstellung in zwei Dimensionen ist nicht notwendig, da der Stab entlang einer globalen Richtung orientiert ist),
2. die Gesamtsteifigkeitsmatrix K vor dem Einsetzen der Randbedingungen,
3. die Vektoren der Knotenverschiebungen u und Knotenlasten f mit Randbedingungen,
4. das zu lösende Gleichungssystem nach dem Einsetzen der Randbedingungen.
5. Berechnen Sie damit den Vektor der Knotenverschiebungen u.
6. Geben Sie die Reaktionskraft an der Einspannstelle an.
2.4. Im Bild ist ein wiederkehrendes Element bei Fachwerkhäusern und Brücken dargestellt, das idealisiert als der dargestellte Aufbau aus drei Stäben modelliert werden kann.
Berechnen Sie die Verschiebung des Knotens an dem die Kraft f¯ angreift mit der FEM.
Bearbeiten Sie dazu die folgenden Teilpunkte:
f¯y
f¯x
y
E
√ 2
`
,
A
E
E A, `
1. Legen Sie eine minimal notwendige Diskretisierung fest und vergeben Sie Knoten- und Elementnummern.
2. Bestimmen Sie die Element-Steifigkeitsmatrizen
für die Stäbe für ein ebenes Problem.
3. Bauen Sie die Gesamtsteifigkeitsmatrix auf und geben Sie das Gleichungssystem vor dem Einsetzen
von Randbedingungen an.
4. Setzen Sie Randbedingungen ein und ermitteln Sie
das zu lösende Gleichungssystem.
5. Berechnen Sie die Verschiebungen am Kraftangriffspunkt in Abhängigkeit der gegebenen Größen.
6. Geben Sie zusätzlich die Lagerreaktionen am linken Lager an.
A, √
`
2
x
`
`
Kapitel 3
Mechanische Größen der Strukturmechanik
In diesem Kapitel werden die wichtigsten Begriffe der Elastizitätslehre bei infinitesimal
kleinen Verzerrungen eingeführt. Für umfassende Darstellungen sei auf die Standardliteratur der technischen Mechanik verwiesen, z. B. Gross et al. [3, Kap. 2]. Zur Vereinfachung
wird in diesem Kapitel angenommen, dass alle Vorgänge linear sind, d. h. Verschiebungen
von Punkten lassen sich durch lineare Funktionen beschreiben und vor allem das Materialverhalten wird als linear angenommen. Die nichtlineare Erweiterung folgt in Kap. 9.
Die auftretenden Größen sind Tensoren. Hierfür gibt es sowohl eine symbolische Tensorschreibweise als auch eine Indexnotation. Beide Schreibweisen werden in diesem Kapitel
soweit möglich redundant nebeneinander gestellt. In der symbolischen Schreibweise werden für Tensoren aufrechte, serifenlose Buchstaben benutzt, wobei ein Tensor 1. Stufe, wo
möglich, mit einem Kleinbuchstaben a bezeichnet wird und ein Tensor 2. Stufe mit einem
Großbuchstaben, z. B. A. Leser, die mit diesen Schreibweisen nicht vertraut sind, sollten
vorab Anh. A.2 durcharbeiten.
3.1 Formulierung des Randwertproblems
Abbildung 3.1 zeigt einen allgemeinen Körper in einem kartesischen Koordinatensystem
(x, y, z) unter äußeren Belastungen. Das Volumen, das der Körper einnimmt, wird mit V
bezeichnet und der Rand mit A.
Abb. 3.1 Allgemeine Belastung eines Körpers
f̄p
A
t̄
z
V
y
x
x
ū = 0
b̄
u (x )
Die Ortsvektoren zu jedem Punkt werden im Vektor (Tensor 1. Stufe) x angegeben:
© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2017
M. Wagner, Lineare und nichtlineare FEM, DOI 10.1007/978-3-658-17866-6_3
29
30
3 Mechanische Größen der Strukturmechanik
f
x= x y z
gT
= xi .
Äußere Belastungen verursachen Verschiebungen jedes Körperpunkts, die im Verschiebungsvektor
f
u (x) = u x (x, y, z)
uy (x, y, z)
uz (x, y, z)
gT
= ui (x j )
zusammengefasst werden. Wie bereits erwähnt wird die symbolische und die Indexnotation
nebeneinander gestellt, für Details s. Anh. A.2. Zu erwähnen ist an dieser Stelle, dass in
der Indexnotation die Koordinaten mit einem numerischen Index von 1 bis 3 bezeichnet
werden, dies entspricht dann den Koordinaten (x, y, z) = (x 1, x 2, x 3 ).
Diese Veränderung der Form und Lage des Körpers wird als Deformation bezeichnet. Eine allgemeine Deformation weist dabei zwei Anteile auf: Zunächst kann sich ein
Körper als Ganzes, ohne relative Änderung der Abstände der einzelnen Körperpunkte
bewegen. Dies wird als Starrkörperbewegung bezeichnet. Im Dreidimensionalen gibt es
sechs Starrkörperfreiheitsgrade (drei Translationen und drei Rotationen).Treten relative
Abstandsänderungen auf, spricht man von Verzerrung oder Verformung des Körpers. Dies
kann eine Volumenänderung sein oder eine reine Gestalt- oder Formänderung, s. Abb. 3.2.
Abb. 3.2 Einteilung der
Deformation eines Körpers
Deformation
Starrkörperbewegung
Verzerrung
Volumenänderung
Formänderung
(Normal-)Dehnung
Scherung, Gleitung
Es ist an dieser Stelle wichtig, sich nochmals den Unterschied zwischen den Koordinaten
zu einem Punkt im Vektor x und der an diesem Punkt stattfindenden Verschiebung u (x)
zu verdeutlichen, die an jedem Ort unterschiedlich sein kann und damit eine Funktion des
Ortsvektors ist. In der hier dargestellten Formulierung stellt der Verschiebungsvektor die
unbekannte zu ermittelnde primäre Feldgröße dar.
Die Situation in Abb. 3.1 stellt ein Randwertproblem dar: Der Zustand des Körpers
wird durch partielle Differenzialgleichungen für das Volumen V und Randbedingungen
auf A beschrieben.
In der Strukturmechanik sind generell drei Beziehungen zu definieren für
• die Kinematik: Beziehung zwischen den Verschiebungen und den daraus resultierenden
Verzerrungen im betrachteten System,
• das Materialgesetz: Beziehung zwischen den Verzerrungen und den Spannungen,
• die Gleichgewichtsbedingung: Bilanzierung der äußeren und inneren Spannungen.
Für ein vollständig definiertes Randwertproblem sind auf dem gesamten Rand A Bedingungen für die Verschiebung u und den Vektor der Oberflächenlasten t vorzugeben:
u = ū = ūi
auf
Au
und
t = t̄ = t¯i
auf
At .
(3.1)
3.2 Der Spannungszustand
31
¯ kennzeichnet eine vorgegebene, bekannte Größe. Der Teilrand Au umEin Überstrich ()
fasst alle Segmente, auf denen Verschiebungen bzw. Lagerungen vorgegeben sind und At
alle Teilbereiche, auf denen Lasten wirken. Auf jedem Punkt von A muss für jeden Freiheitsgrad i genau eine der beiden Größen ui oder t i vorgegeben sein. Die Teilbereiche Au
und At überlappen sich also nicht und es gibt auch keine Lücken. Ist explizit keine Randbedingung angegeben, wird immer eine homogene Lastbedingung einer freien Oberfläche
angenommen, d. h. t̄ = 0. Die in Abb. 3.1 dargestellten äußeren Belastungen können sein:
• Volumenlasten b̄, z. B. die Erdbeschleunigung g,
• Flächenlasten t̄, z. B. eine Druckrandbedingung. In 2-D-Modellen entspricht dem eine
Linienlast,
• Punktlasten f̄P . Punktlasten sind eine Idealisierung, da sie auf einem unendlich klein
gedachten Punkt aufgebracht werden, physikalisch aber immer eine endliche Fläche
belastet wird. Dadurch wäre die Flächenpressung unendlich und jedes Material würde
durch Versagen darauf reagieren.
Andere Begriffe für diesen Randbedingungstyp sind kinetische, Neumann’sche oder natürliche Randbedingungen. Verschiebungsrandbedingungen ū werden allgemeiner als kinematische, Dirichlet’sche oder wesentliche Randbedingungen bezeichnet. Diese Begriffe
gelten auch für andere physikalische Feldprobleme, wie die Wärmeleitung etc.
3.2 Der Spannungszustand
Eine äußere Belastung ruft im Inneren eines Körpers Kräfte hervor, die der Wirkung
der äußeren Kräfte entgegengesetzt sind. Schneidet man einen Körper mit einer belien
Abb. 3.3 Äußere Belastung
eines Kontinuums
tn
∆A
f1
t̄
∆f
f1
t
ū = 0
ū = 0
tt
Schnittebene A
bigen Schnittebene A, die über die Flächennormale n definiert wird, s. Abb. 3.3, dann
wirken verteilt über diese Schnittfläche veränderliche Lasten t. Um den Belastungszustand
in einem Punkt der Fläche zu definieren, betrachtet man eine Teilschnittfläche ∆A mit
der dort wirkenden mittleren Kraft ∆f und definiert den Spannungsvektor t mit einem
Grenzübergang
∆f
df
t = lim
=
.
(3.2)
∆A→0 ∆A
dA
Der Anteil des Spannungsvektors senkrecht zur Schnittebene wird als Normalspannung tn
bezeichnet, die Tangentialkomponente als Schubspannung tt , s. Abb. 3.3. Der Spannungsvektor hängt allerdings von der Orientierung der Schnittrichtung ab und ist damit nicht
32
3 Mechanische Größen der Strukturmechanik
als allgemeine Größe für den Belastungszustand in einem Punkt geeignet, da es beliebig viele Schnittebenen und damit auch Spannungsvektoren gibt. Um eine einfache und
von der Schnittrichtung unabhängige Möglichkeit zu bekommen, den Spannungszustand
zu charakterisieren, definiert man ein kartesisches Koordinatensystem und nutzt die drei
Spannungsvektoren auf den zugehörigen Koordinatenebenen. Zerlegt man diese Basisspannungsvektoren in die Koordinatenrichtungen, erhält man die Darstellung in Abb. 3.4
mit den zugehörigen Bezeichnungen der Komponenten. Der erste Index gibt dabei die
Richtung der Normale der Ebene an, auf der der Basisspannungsvektor steht und die
zweite Komponente die Richtung in die die Komponente des Vektors zeigt. Ordnet man
σz z
Abb. 3.4 Komponenten des
Spannungstensors an einem
infinitesimal kleinen Körperausschnitt
z
σz x
σx z
σx x
σz y
σy z
σ x y σy x
σy y
y
x
die Komponenten aller Basisspannungsvektoren als Zeilen in einer Matrix an, folgt der
Spannungstensor
σ xx σ xy σ xz 
σ = σyx σyy σyz  = σi j ,
 σzx σzy σzz 
wobei die Terme auf der Hauptdiagonale als Normalspannungen interpretiert werden
können und die Nebendiagonalterme als Schubspannungen.
Bei Altenbach [1, Kap. 4.2, S. 144] wird über Gleichgewichtsbetrachtungen gezeigt,
dass dann das Cauchy’sche Fundamentaltheorem gilt:
t = σT · n
bzw.
t i = σ ji n j .
(3.3)
Durch Wahl eines Normalenvektors n einer beliebigen Ebene und Multiplikation mit dem
transponierten Spannungstensor kann man jeden beliebigen Spannungsvektor erzeugen.
Damit beschreibt der Spannungstensor richtungsunabhängig den allgemeinen Spannungszustand in einem beliebigen Punkt eines Körpers. Der Spannungstensor σ ist ein Tensor 2.
Stufe, wobei die wichtigste Eigenschaft eines Tensors ist, dass seine physikalische Aussage
unabhängig von der Wahl eines Bezugskoordinatensystems für die Komponentendarstellung ist. Mathematisch sind Tensoren Abbildungsvorschriften für Vektoren auf Vektoren
(In Gl. (3.3) wird n auf t abgebildet). Dabei werden die Vektoren gedreht und gestaucht
oder gestreckt.
Für den Spannungstensor existiert ein ausgezeichnetes Koordinatensystem, das Hauptachsensystem. Dieses wird als das Koordinatensystem definiert in dem der Spannungsvektor dieselbe Richtung wie der Normalenvektor hat: t = λ n, wobei λ ein zunächst beliebiger
Parameter ist, da beide Vektoren nicht denselben Betrag haben müssen. Diese Fragestel-
3.2 Der Spannungszustand
33
lung entspricht der Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren (s. Kap. 8.2), wo die
Lösungsvektoren von linearen Gleichungssystemen gesucht werden, die in dieselbe Richtung wie der Vektor der rechten Seite zeigen. Aus Sicht einer tensoriellen Abbildung findet
nur eine Streckung, aber keine Drehung des Vektors statt. Durch Einsetzen in Gl. (3.3)
und Umformen ergibt sich:
σT − λI · n = 0 ,
bzw.
σ ji − λδi j n j = 0 ,
wobei I = δi j der Einheitstensor ist. Dieses Gleichungssystem hat nur dann nichttriviale
Lösungen für den Normalenvektor, wenn die Koeffizientendeterminante Nullstellen aufweist:
σ xx − λ σ xy
σ xz 

det σ ji − λδi j = det  σyx σyy − λ σyz  = 0 .
 σzx
σzy σzz − λ 
Mit der Sarrusschen Regel bzw. dem Laplaceschen Entwicklungssatz folgt die kubische
Gleichung:
λ 3 − I1 λ 2 − I2 λ − I3 = 0
(3.4)
mit den Hauptinvarianten des Spannungstensors:
I1 = Sp σ = σ xx + σyy + σzz = σii ,
1
1
I2 =
σ : σ − Sp σ 2 = (σi j σi j − σii σ j j ) ,
2
2
2
= σ 2xy + σ 2xz + σyz
− (σ xx σyy + σ xx σzz + σyy σzz )
(3.5)
(3.6)
I3 = det σ = det σi j .
Die Invariante I1 wird über die Summe der Hauptdiagonalelemente berechnet. Diese wird
als die Spur einer Matrix bezeichnet, mit dem Symbol Sp(). Der Wert dieser Invariante
lässt sich mit der Volumenänderung einer äußeren Belastung in Verbindung bringen (Volumendehnung, s. Selke [4, Kap. 4.4, S. 89]). Die zweite Invariante I2 lässt sich als Summe
von Determinanten von 2 × 2 Submatrizen des Spannungstensors verstehen (man streiche
die erste Zeile und bilde die Determinanten der drei möglichen Submatrizen) und I3 wird
als Determinante des Spannungstensors berechnet. Eine Invariante bezeichnet generell
eine Größe, die, unabhängig von der gewählten Koordinatendarstellung, immer denselben
Wert liefert.
Bei der Lösung der kubischen Gleichung Gl. (3.4) folgen drei Nullstellen σ1 , σ2 und
σ3 als Eigenwerte des Hauptspannungstensors. Die zugehörigen Eigenvektoren stehen
senkrecht aufeinander und bilden das Hauptachsensystem. Der Spannungstensor nimmt in
diesem Koordinatensystem die folgende Form an:
σ1 0 0 
σ =  0 σ2 0  .
 0 0 σ3 
Die Eigenwerte lassen sich als Hauptnormalspannungen interpretieren. Wie oben vorausgesetzt, gibt es in dieser Darstellung keine Schubspannungen, da es nur Streckungen geben
34
3 Mechanische Größen der Strukturmechanik
soll, deswegen sind alle Nebendiagonalelemente null. Die Hauptnormalspannungen sind
eine in jedem kommerziellen FE-Programm vorkommende Ausgabegröße. Zu beachten
ist, dass das Hauptachsensystem in jedem Körperpunkt anders liegen kann und damit eine
graphische Auswertung schwierig ist, da die Hauptnormalspannungen in jedem Punkt in
eine andere Richtung zeigen.
Eine wesentliche Eigenschaft des Spannungstensors ist seine Symmetrie, die man aus
der Drallbilanz des Kontinuums ableiten kann (s. Altenbach [1, Kap. 4.3, S. 147]:
σ = σT
bzw.
σi j = σ ji .
(3.7)
3.2.1 Der Spannungsdeviator
Der Spannungstensor lässt sich in einen hydrostatischen und einen deviatorischen Anteil
zerlegen. Der hydrostatische Spannungszustand ist durch drei gleich große Normalspannungen und durch nicht vorhandene Schubspannungen definiert. In jedem Körperpunkt
herrscht in jede Richtung dieselbe Spannung, das bedeutet auch, dass jedes beliebige
Koordinatensystem ein Hauptachsensystem ist. Zunächst definiert man die mittlere Normalspannung:
σm =
1
1
1
1
Sp σ = I1 = (σ xx + σyy + σzz ) = σii
3
3
3
3
und damit den Kugeltensor σ K des mittleren hydrostatischen Spannungszustands:
σK
σm 0 0 
1
=  0 σm 0  = σkk δi j = σm δi j .
 0 0 σm  3
Kugeltensoren haben die Abbildungseigenschaft, dass keine Drehung erfolgt und die
Längenänderung in jede Richtung dieselbe ist. Damit beschreibt der Kugeltensor eine
reine Volumenänderung.
Der Spannungsdeviator s ergibt sich dann durch Abziehen des hydrostatischen Zustands
vom Gesamtspannungszustand und beschreibt eine reine Formänderung:
1
s = σ − Sp σ I =
3
σ xx σ xy σ xz  σm 0 0 
σ σ σ  −  0 σ 0  = σ − 1 σ δ .
m
kk i j
ij
 yx yy yz  

3
 σzx σzy σzz   0 0 σm 
Der Deviator s ist wie der Spannungstensor ein symmetrischer Tensor 2. Stufe, mit dem
gleichen Hauptachsensystem des Spannungstensors, da der hydrostatische Spannungszustand kein ausgezeichnetes Hauptachsensystem hat. Die Invarianten des Spannungsdeviators werden üblicherweise als
3.3 Zugeordneter Verzerrungszustand
35
J1 = sii = (σ xx − σm ) + (σyy − σm ) + (σzz − σm ) = σ xx + σ xx + σ xx − 3p = 0 ,
g
1
1
1f
J2 = (s : s) = si j si j =
(σ1 − σ2 ) 2 + (σ1 − σ3 ) 2 + (σ2 − σ3 ) 2 ,
(3.8)
2
2
6
J3 = det s = det si j
bezeichnet. Die Invariante J1 ist immer null, mit der Interpretation, dass der Spannungsdeviator keine Volumenänderung erzeugt, sondern eine reine Formänderung verursacht.
Die Invariante J2 wird in der Formulierung eines elastoplastischen Materialgesetzes eine
große Rolle spielen, s. Kap. 10.2, da dort in der Regel vom Erhalt des Volumens ausgegangen wird. Die Darstellung von J2 in Hauptspannungen des Spannungstensors in Gl. (3.8)
wird dort erläutert.
3.3 Zugeordneter Verzerrungszustand
Spannungen rufen einen spezifischen Verschiebungs- und Verzerrungszustand hervor, der
punktuell durch den Verschiebungsvektor und den Verzerrungstensor beschrieben wird.
Die Verschiebung als Maß für die Formänderung eines Körpers ist ungeeignet, da die
Starrkörperbewegungen mit eingehen, die aber keine Verzerrung und damit auch keine
Spannungen erzeugen. Wie bereits in der Einleitung erwähnt, gehen wir in diesem Teil
zunächst von „kleinen“ Verzerrungen aus, die Erweiterung auf den nichtlinearen Fall
folgt in Kap. 9. Eine Verzerrung setzt sich nach Abb. 3.2 aus einer Volumen- und einer
Formänderung zusammen.
Die Volumenänderung soll durch die relative Längenänderungen eines infinitesimal
kleinen Ausschnitts bezogen auf die Ausgangslänge beschreiben werden, s. Abb. 3.5 für
ein 2-D-Beispiel. In Gl. (3.9) wird die Differenz der Verschiebung u x (x, y, z) am Ort x
uy (x, y + dy, z)
Abb. 3.5 Zur Herleitung der
Normaldehnung
dy
dx
y
u
~ (~
x)
x
u x (x + dx, y, z)
uy (x, y, z)
u x (x, y, z)
in x-Richtung und u x (x + dx, y, z) an einem infinitesimal daneben liegenden Ort x + dx
gebildet und auf die Länge des infinitesimal kleinen Elements bezogen:
ε xx =
u x (x + dx, y, z) − u x (x, y, z)
.
dx
(3.9)
Der erste Term wird in eine Taylorreihe bis zum ersten Glied entwickelt, da wir von kleinen
Bewegungen ausgehen:
36
3 Mechanische Größen der Strukturmechanik
u x (x + dx, y, z) = u x (x, y, z) +
∂u x (x, y, z)
dx .
∂x
Einsetzen in Gl. (3.9) und Umformung liefert (analog erweitert für jede Raumrichtung)
die Gleichungen für die (Normal-) Dehnungen, die sich als partielle Ableitung der Verschiebungen ergeben:
ε xx =
∂u x
,
∂x
ε yy =
∂uy
,
∂y
ε zz =
∂uz
.
∂z
(3.10)
Durch die Normaldehnung wird die Fläche, bzw. das Volumen verändert, wie man an
Abb. 3.5 sieht.
Neben den Normaldehnungen treten noch Gleitungen bzw. Scherungen auf, s. Abb. 3.6,
die die Änderung eines vor der Verformung rechten Winkels beschreiben. Die Vorgeu x (x, y + dy, z)
Abb. 3.6 Zur Herleitung der
Scherung
β
uy (x + dx, y, z)
dy
α
y
dx
uy (x, y, z)
u
~ (~
x)
x
u x (x, y, z)
hensweise ist analog zu oben, allerdings wird nun ein Winkel berechnet, wie man an den
farbigen Dreiecken erkennt:
γxy = β + α =
u x (x, y + dy, z) − u x (x, y, z) uy (x + dx, y, z) − uy (x, y, z)
+
.
dy
dx
Dies gibt damit eine Aussage über die Formänderung des Elements aufgrund der wirkenden
Schubspannungen, wobei das Volumen erhalten bleibt. Entwickelt man wieder nach einer
Taylorreihe, ergeben sich die drei Beziehungen für alle Richtungen:
γxy = γyx =
∂u x ∂uy
+
,
∂y
∂x
γxz = γzx =
∂u x ∂uz
+
,
∂z
∂x
γyz = γzy =
∂uy ∂uz
+
.
∂z
∂y
(3.11)
Der Mittelwert der Scherung wird als Schubdehnung bezeichnet, z. B. ε xz = 1/2 γxz .
Es handelt sich um Beziehungen zwischen Größen, die die Kinematik beschreiben.
Diese werden deshalb als Verschiebungs-Verzerrungs-Beziehung bezeichnet.
Analog zu den Spannungen werden die Verzerrungen im ebenfalls symmetrischen
Verzerrungstensor zusammengefasst:
ε xx ε xy ε xz   ε xx 1 γxy 1 γxz 
2
2
ε = ε yx ε yy ε yz  =  12 γyx ε yy 21 γyz 
 ε zx ε zy ε zz   1 γzx 1 γzy ε zz 
2
2
bzw.
εi j =
1
(ui, j + u j,i ) .
2
(3.12)
3.5 Voigt-Notation
37
3.4 Gleichgewichtsbedingungen
Zuletzt muss noch die Gleichgewichtsbedingung bzw. im Falle der Dynamik die Impulsund Drallbilanz angegeben werden. Ein mechanisches System ist im Gleichgewicht, wenn
die äußeren Belastungen mit den inneren Spannungen im Gleichgewicht stehen. Die Bilanzgleichungen, die diesen Zusammenhang beschreiben, werden an einem infinitesimalen
Ausschnitt hergeleitet. Für die Details wird auf Gross et al. [3, Kap. 2.1.5, S. 88] verwiesen.
Hier wird nur das Ergebnis angegeben. Es folgt ein System von Differenzialgleichungen
der Form:
div σ + ρb = ρü = σ ji, j
T
∂σy x
∂σx x



∂x + ∂y +

 ∂σx y ∂σy y
+ b̄i = ρüi = 
∂x + ∂y +



 ∂σx z + ∂σy z +
 ∂x
∂y
∂σz x
∂z
∂σz y
∂z
∂σz z
∂z
+ b̄x = ρü x
+ b̄y = ρüy .
(3.13)
+ b̄z = ρüz
Mit div(·) = (·) ji, j wird die Divergenz eines Tensors 2. Stufe bezeichnet, s. Tab. A.1.
Zur Verdeutlichung wird oben noch die komponentenweise Darstellung angegeben. Die
partiellen Ableitungen entsprechen der räumlichen Änderung des Spannungstensors. Diese
steht mit den äußeren Lasten im Gleichgewicht. Eine Überprüfung der Einheiten ergibt für
die Spannungsableitungen [σi j, j ] = N/m3 . Es ist also eine auf das Volumen bezogene (d. h.
spezifische) Kraft, man spricht auch von einer Kraftdichte. Die äußeren Lasten sind die
spezifischen Massenkraftdichten b̄ = ρb. Überprüfung der Einheit ergibt für [b] = m/s2 ,
dass es sich um eine Beschleunigung handelt. Üblich sind die Erdbeschleunigung oder die
Zentrifugalbeschleunigung bei rotierenden Vorgängen.
Einzelkräfte und Oberflächenlasten gehen über die Randbedingungen aus Gl. (3.1) in
das Gleichungssystem ein. Erweitert man die Fragestellung auf dynamische Probleme,
dann kommt noch die Wirkung der Massenträgheit über die negative Trägheitskraftdichte
ρü hinzu, die einer Veränderung der Lage entgegenwirkt.
Dieses zeitabhängige, partielle Differenzialgleichungssystem ist für ein strukturmechanisches Problem mit gegebenen Anfangs- und Randbedingungen zu lösen. Es wird
als starke Form des Feldproblems bezeichnet, da die Erfüllung simultan in jedem Punkt
des Kontinuums gefordert ist. Dies macht sowohl eine analytische als auch numerische
Lösung schwer, da keine geschlossenen (Näherungs-)Lösungen gefunden werden können,
die im gesamten Gebiet gültig sind. Deswegen wird für die FEM auch nicht Gl. (3.13)
herangezogen, sondern in Kap. 4 ein anderer Zugang vorgestellt.
Die Drallbilanz entfällt für die Systeme, die hier betrachtet werden, da aus ihr nur die
Symmetrie des Spannungstensors abgeleitet wird, s. Gl. (3.7).
3.5 Voigt-Notation
Nun wird zunächst die tensorielle Darstellung aufgegeben und auf eine Matrixschreibweise
übergegangen, die die Darstellung für die FEM vereinfacht. Dazu wird die Symmetrie von
Spannungs- und Verzerrungstensor ausgenutzt, um sie in Spaltenvektoren anzuordnen. Bei
einem symmetrischen Tensor 2. Stufe sind nur sechs Größen unabhängig voneinander, die
38
3 Mechanische Größen der Strukturmechanik
in einem Vektor angeordnet werden. Prinzipiell ist die Reihenfolge der einzelnen Größen
im Vektor beliebig, muss aber bei einmaliger Festlegung konsistent für alle Gleichungen
eingehalten werden. Dies wird als Voigt-Notation bezeichnet:
f
gT
ε(x) = ε xx ε yy ε zz γxy γxz γyz
und
f
gT
σ(x) = σ xx σyy σzz σ xy σ xz σyz ,
wobei für diese Darstellung die Gleitungen γi j genutzt werden, da dies bei der Darstellung des Materialgesetzes eine einfachere Schreibweise erlaubt. Um Verwechslungen mit
Knotenvektoren der FEM zu vermeiden, wird bei kontinuierlichen Größen immer die
Ortskoordinate x mit angegeben.
Zur Bestimmung der Verzerrungen aus den Verschiebungen in Voigt-Notation werden die Ableitungen in eine Matrix geschrieben, sodass bei formaler Ausführung der
Matrixmultiplikation alle Gleichungen der kinematischen Beziehungen in Gl. (3.10) und
Gl. (3.11) folgen:
  ∂
 ∂u x
∂x
ε xx   ∂u
  ∂x 0 0 
y
∂
  0 ∂y
 ε  
0
∂y
 yy   ∂uz
  0 0 ∂  u x 
ε
ε(x) =  zz  =  ∂u x ∂z ∂uy  =  ∂ ∂ ∂z  uy  = Dε u(x) .
γ
 xy   ∂y + ∂x   ∂y ∂x 0  u 
 γxz   ∂u x ∂uz   ∂ 0 ∂   z 
∂z + ∂x 
 γyz   ∂u
 ∂z ∂ ∂x
∂ 
0 ∂z ∂y
z 



 ∂zy + ∂u
∂y 
(3.14)
Die (Pseudo-)Matrix Dε wird als Differenzialoperatormatrix bezeichnet. Es handelt sich
nicht um eine Matrix im klassischen Sinn, da den Komponenten keine Zahlenwerte zugewiesen werden können. Sie enthält Rechenvorschriften (hier Ableitungen) und kann
deshalb ohne eine zugeordnete Matrix nicht auftreten.
3.6 Verallgemeinertes linear-elastisches Materialgesetz nach Hooke
Für kleine Verzerrungen zeigen viele Materialien linear-elastisches Verhalten. Bei elastischem Materialverhalten hängt der Spannungszustand nur von der aktuellen Verzerrung
ab, ist also unabhängig von der Vorverformung oder dem Weg, wie der Spannungszustand
erreicht wurde. Elastizität ist dadurch definiert, dass die Verformung reversibel geschieht.
Das heißt, bei Entlastung wird der Ursprungszustand wieder angenommen. Dieses Verhalten wird als konservativ bezeichnet und bedeutet, dass gespeicherte Formänderungsenergie
wieder vollständig zurückgewonnen werden kann (s. Kap. 4). Weiterhin soll angenommen
werden, dass das Verhalten in jeder Belastungsrichtung gleich ist, dies wird als isotropes
Materialverhalten bezeichnet.
Der Zusammenhang zwischen den Spannungen und den Verzerrungen im isotropen
Fall lässt sich dann in Voigt-Notation durch eine lineare Beziehung mit einer konstanten
Elastizitätsmatrix C im verallgemeinerten Hooke’schen Materialgesetz angeben:
3.7 Ebener Spannungs- und Verzerrungszustand
σ =
σ xx 
 σ 
 yy 
E
 σzz  =
σ
 xy  (1 + ν)(1 − 2ν)
 σ xz 
 σyz 
39
C
1 − ν ν
ν
 ν 1 − ν ν

ν 1−ν
 ν
 0
0
0
 0
0
0

0
0
 0
0
0
0
(1−2ν)
2
0
0
0
0
0
0
(1−2ν)
2
0
0
0
0
0
0






(1−2ν) 
2 
ε
ε xx 
 ε 
 yy 
 ε zz  ,
γxy 
 γxz 
 γyz 
(3.15)
die von den Materialkonstanten Elastizitätsmodul E und Querkontraktionszahl ν abhängt.
Die Querkontraktionszahl beschreibt die Veränderung der Form eines Körpers senkrecht
zu einer Deformation (beim Stab z. B. eine Verringerung des Querschnitts bei Längung
des Stabs) und muss im Wertebereich −1 ≤ ν ≤ 1/2 liegen, s. Gross et al. [3, Kap. 2.3.3, S.
115]. Bei vielen metallischen Werkstoffen entspricht ν ≈ 0.3 im elastischen Bereich. Eine
Querkontraktionszahl von ν = 0.5 bedeutet inkompressibles, d. h. volumenerhaltendes
Verhalten. Näherungsweise ist dies bei Elastomeren und Gummi der Fall. Für Beton wird
üblicherweise eine Querkontraktion von ν ≈ 0 (Dankert und Dankert [2, Kap. 12.4, S. 172])
angenommen. Für ν < 0 würde sich bei einer Längung eine Vergrößerung des Querschnitts
ergeben, dies sind sogenannte auxetische Materialien, z. B. verschiedene Schaumstoffe.
In Gl. (3.15) ist zu erkennen, dass die Schubspannungen in den drei letzten Zeilen nur
von den Scherungen abhängen, also mit den Normaldehnungen nicht verbunden sind.
Insgesamt umfasst das linear-elastische Problem 15 Unbekannte in u(x), ε(x) und
σ(x). Diese können aus den insgesamt 15 Gleichungen in Gl. (3.13), Gl. (3.14) und
Gl. (3.15) berechnet werden.
3.7 Ebener Spannungs- und Verzerrungszustand
Als für die Praxis wichtige Sonderfälle werden noch zwei ebene Zustände beschrieben.
Die Verschiebungs-Verzerrungsbeziehung lautet für die (x, y)-Ebene generell:
∂u x
  ∂

ε xx  
∂x
  ∂x 0∂  "u #
∂uy



 =  0 ∂y  x = Dε u(x) .
ε(x) =  ε yy  = 
∂y
γxy   ∂u x ∂uy   ∂ ∂  uy
 ∂y + ∂x   ∂y ∂x 
(3.16)
Ebener Verzerrungszustand: Hier geht man davon aus, dass nur Verzerrungskomponenten
in der Ebene vorkommen (ε zz = γxz = γyz = 0). Das Materialgesetz lässt sich dann direkt
aus Gl. (3.15) ableiten, in dem alle z-Komponenten zu null gesetzt werden.
σ xx 
E
 σ  =
 yy  (1 + ν)(1 − 2ν)
σ xy 
1 − ν ν

0
 ν 1 − ν

0


0 12 (1 − 2ν) 
 0
ε xx 
 ε  .
 yy 
γxy 
(3.17)
Es ist zu beachten, dass alle Verzerrungskomponenten aus der Ebene heraus gleich null
sind, aber sehr wohl eine Spannungskomponente in z-Richtung wirken muss, da ansonsten
die Bedingung ε zz = 0 aufgrund der Querkontraktion nicht einzuhalten wäre:
40
3 Mechanische Größen der Strukturmechanik
σzz = ν(σ xx + σyy ) .
(3.18)
Ein ebener Verzerrungszustand erzeugt also einen dreidimensionalen Spannungszustand.
Die Spannung σzz hängt aber nur von Größen der Ebene ab, wie Gl. (3.18) zeigt.
Ein Anwendungsfall ist ein Strangprofil, das über seine Länge in jedem Querschnitt
gleich belastet wird und so eingespannt ist, dass keine Längenänderung in Längsrichtung
möglich ist. Dann müssen die Verzerrungen normal zu jedem Querschnitt null sein. Mit
dieser Annahme kann man also Schnitte von ausgedehnten Körpern berechnen. Dies wird
in der FEM zur Einsparung von Rechenzeit genutzt.
Ebener Spannungszustand: Beim ebenen Spannungszustand geht man davon aus, dass nur
Spannungskomponenten in der Ebene vorkommen (σzz = σ xz = σyz = 0). Das Materialgesetz lässt sich dann aus Gl. (3.15) ableiten, indem alle Spannungs-Komponenten, die
z-Komponenten tragen, zu null gesetzt werden und das Gleichungssystem nach den verbleibenden Komponenten umsortiert wird. Dabei ergibt sich zunächst, dass die Dehnung
ε zz nicht null ist, sondern aus den beiden anderen Dehnungen berechnet werden kann:
ε zz =
ν
(ε xx + ε yy ) .
ν−1
(3.19)
Die Spannungen ergeben sich damit zu:
σ xx 
 σ  = E
 yy  1 − ν 2
σ xy 
1 ν
0 
ν 1
0 


1
0 0 2 (1 − ν) 
ε xx 
 ε  .
 yy 
γxy 
Mechanisch bedeutet die Annahme σzz = 0 eine spannungsfreie Oberfläche. Dieser
Fall tritt z. B. bei dünnen Strukturen wie Blech auf, das eben belastet wird.
Literaturverzeichnis
[1] H. Altenbach. Kontinuumsmechanik. Springer Vieweg, Berlin, 3. Aufl., 2015.
[2] J. Dankert und H. Dankert. Technische Mechanik. Springer Vieweg, Wiesbaden, 7.
Aufl., 2013.
[3] D. Gross, W. Hauger, und P. Wriggers. Technische Mechanik 4. Springer, Berlin, 9.
Aufl., 2014.
[4] P. Selke. Höhere Festigkeitslehre. Oldenbourg, München, 2013.
Kapitel 4
Mathematische Modellierung über
Energieprinzipien
Die in Kap. 3 hergeleiteten Gleichungen, v. a. die Gleichgewichtsbedingung in Gl. (3.13),
gelten punktuell für ein Kontinuum und sind als partielle Differenzialgleichungen formuliert. Eine solche Beschreibung wird als synthetische Mechanik bezeichnet, in der
vektorielle Größen wie Kraft, Impuls und Drall zur Beschreibung des Zustands eines
mechanischen Systems in Verbindung mit dem Schnittprinzip genutzt werden. Es ist allerdings im Allgemeinen schwierig, Lösungen über das räumliche Volumen eines Körpers
zu finden, die diese Gleichungen punktuell exakt erfüllen.
Neben der Vorgehensweise, die Impuls- und Drallsätze für jeden Punkt eines betrachteten Systems zu erfüllen, existiert noch eine weitere vollständig äquivalente Methode,
die als analytische Mechanik bezeichnet wird. Hier stehen die skalaren Größen Arbeit
und Energie und deren Zeitintegrale am Anfang (s. Riemer et al. [2]). Ausgehend von
diesen Größen werden Energiebilanzen in Form von Integralgleichungen formuliert, die
als Energieprinzipien bezeichnet werden. Mit Hilfe der Variationsrechnung können aus
den Integralgleichungen wieder die vektoriellen Zustandsgleichungen gewonnen werden,
da beide Formulierungen völlig gleichwertig sind (hierauf wird nicht weiter eingegangen,
s. Riemer et al. [2]).
Die Energieprinzipien eignen sich sehr gut als Ausgangspunkt für Näherungsverfahren
wie die FEM, da durch die Integralformulierung direkt Funktionen, die über den Raum
definiert sind eingesetzt werden können, anders als in Differenzialgleichungen. Im Folgenden werden die für die FEM wichtigsten Energieprinzipien eingeführt und am Stabbeispiel
exemplarisch erläutert sowie auf den 3-D-Fall erweitert. Eine weitere allgemeine Herangehensweise, die Methode der gewichteten Residuen, wird ebenfalls an einem Beispiel
vorgestellt.
4.1 Das Prinzip vom Minimum des Gesamtpotenzials
Um eine Energiebilanz herzuleiten, ist zunächst der Arbeitsbegriff einzuführen: Eine
Kraft f verrichtet entlang eines geradlinigen Wegs x, den der Angriffspunkt der Kraft
zurücklegt, eine Arbeit W = f · x. Das Skalarprodukt der beiden Vektoren kann als
Projektion interpretiert werden, die den in Richtung der Kraft zeigenden Anteil der Wegs
© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2017
M. Wagner, Lineare und nichtlineare FEM, DOI 10.1007/978-3-658-17866-6_4
41
42
4 Mathematische Modellierung über Energieprinzipien
liefert: W = | f || x | cos α, wobei α der eingeschlossene Winkel zwischen Kraftvektor und
Verschiebungsvektor ist.
Bei einer gekrümmten Bahn muss die Bahn in jedem Punkt linearisiert werden und man
betrachtet das tangentiale differenzielle Wegstück dx an die Bahn. Es folgt damit auch nur
ein Zuwachs der Arbeit: dW = f · dx. Die Gesamtarbeit ergibt sich dann als Wegintegral
vom Start- zum Endpunkt:
Z
W=
x2
f · dx .
x1
4.1.1 Einführungsbeispiel
Zur Einführung betrachten wir die Arbeit W an einer Feder der Federsteifigkeit c, die mit
einer Masse m im Schwerefeld belastet wird, bis das System die neue Gleichgewichtslage
einnimmt, s. Abb. 4.1. Gesucht ist die Gleichgewichtslage u∗ . Es wirkt eine äußere Kraft
Abb. 4.1 Feder-MasseSystem mit äußeren und
inneren Kräften
c
g
=⇒
fF = cu
x, u
m
Feder ohne Gleichgewicht
Masse
mit Masse
Freischnittbild
m
G = mg
in Form der konstant wirkenden Gewichtskraft G = mg. Die verrichtete Arbeit über eine
Gesamtverschiebung u = x 2 − x 1 lautet:
Z x2
WG =
mg d x̂ = mg (x 2 − x 1 ) = mg u .
(4.1)
x1
Die Kraft G ist konstant und wirkt die gesamte Zeit in voller Höher, dies wird als Endwertoder Totlast bezeichnet. Da G in Richtung der positiven Koordinate nach unten zeigt und
damit in Richtung der Verschiebung wird die Arbeit positiv. Wie Gl. (4.1) zeigt, hängt die
Arbeit nur von der Verschiebung u = x 2 − x 1 des Kraftangriffspunkts ab, nicht vom Startoder Endpunkt x 1 oder x 2 .
Im Inneren der Feder wird durch die Verlängerung die Reaktionskraft
f F = c(x − x 1 )
erzeugt, die von null auf einen Endwert linear ansteigt, da über die Federsteifigkeit c ein
linearer Zusammenhang definiert ist. Sie ist der Verschiebung entgegengerichtet, setzt ihr
also einen Widerstand entgegen. Trägt man diesen Kraft-Weg-Verlauf in Abb. 4.2 auf, kann
man über die Fläche unter der Kurve die innere Arbeit berechnen:
4.1 Das Prinzip vom Minimum des Gesamtpotenzials
43
| fF |
Abb. 4.2 Kraft-WegDiagramm einer linearen
Feder und verrichtete Arbeit
|WF | =
WF =
Z
x2
f F d x̂ = −
x1
Z
x2
x1
1
2 fF
·u
u
1
1
1
c( x̂ − x 1 ) d x̂ = − c(x 2 − x 1 ) 2 = − cu2 = − f F u . (4.2)
2
2
2
Das Minuszeichen resultiert, da die Federkraft entgegen der Bewegungsrichtung wirkt
(cos(180◦ ) = −1) und deutet an, dass die Arbeit dem System zugeführt wurde. Es wurde
damit Arbeitsfähigkeit oder innere Energie in dem System gespeichert, die reversibel
zurückgewonnen werden kann. Auch WF hängt nur von der Verschiebung u ab.
Mit der Arbeit ist der Begriff des Potenzials verbunden. Die Gewichtskraft sowie die
Federkraft liefern immer den gleichen Arbeitsbetrag, unabhängig davon, wie der Weg
zurückgelegt wurde, d. h. der Arbeitsbetrag hängt nur von der Differenz u = x 2 − x 1
zwischen Anfangs- und Endpunkt ab. Solche Kräfte werden als konservativ bezeichnet.
Zur Vereinfachung werden alle Größen ab sofort in der Verschiebung u ausgedrückt
und x 1 = 0 gesetzt. Wesentlich ist nun, dass sich konservative Kräfte immer aus einer
Potenzialfunktion Π(u) über Ableiten gewinnen lassen, d. h. es gilt
f (u) = −
dΠ
.
du
(4.3)
Zur Erläuterung berechnet man das Arbeitsintegral (vereinfacht als skalare Gleichung):
W=
u
Z
f (û) dû = −
0
u
Z
0
dΠ
dû = −
dû
Z
Π2
1 dΠ = Π1 − Π2 .
Π1
Die Differenziale dû der Ableitung und Integration darf man kürzen und damit wird
eine Änderung der Integrationsgrenzen erwirkt. Die verrichtete Arbeit hängt nur von der
Potenzialdifferenz an zwei Zuständen ab. Dieser Sachverhalt ist in der Mechanik z. B. bei
der Lageenergie bekannt und ebenso in der Elektrotechnik bei der Spannung. In der Regel
wird das Bezugspotenzial Π1 = 0 gesetzt, das sog. Nullniveau. Dann ergibt sich:
W = −Π ,
mit der Aussage, dass sich die Arbeit als negatives Potenzial ergibt. Der Index „2“ wurde
hier weggelassen, da der Bezugspunkt das Nullniveau x 1 = 0 sein soll. Das Potenzial der
Gewichtskraft ist in diesem Beispiel negativ, da die Masse abgesenkt wird:
ΠG = −mg u
=⇒
G=−
dΠG
= +mg .
du
Für eine Feder lässt sich eine Potenzialfunktion ebenfalls relativ einfach angeben, wie man
durch Nachrechnen erkennt
44
4 Mathematische Modellierung über Energieprinzipien
ΠF =
1 2
cu
2
=⇒
fF = −
dΠF
= −cu .
du
(4.4)
Hier lässt sich nun die Wahl des Minuszeichen für die Potenzialfunktion in Gl. (4.3)
verstehen. Das Potenzial kann man als „Arbeitsfähigkeit“ eines Systems verstehen, d. h.
wenn Energie im System gespeichert wird, wie z. B. in einer gespannten Feder, dann ist das
Potenzial positiv, wenn vom System Arbeit verrichtet wird, dann ist das Potenzial negativ.
Aus den beiden Anteilen wird das Gesamtpotenzial des Systems definiert zu
Π = ΠF + ΠG =
1 2
cu − mg u .
2
Das Potenzial des Feder-Masse-Systems ist in Abb. 4.3 dargestellt.
Abb. 4.3 Potenziale beim
Feder-Masse-System: Gesamtpotenzial Π = 21 cu 2 −
mgu (
), Federpotenzial
ΠF = 21 cu 2 (
), Gewichtskraftpotenzial ΠG = −mgu
(
)
Π
0
∂Π
∂u
=0
u
u∗
Mit dieser Definition kann man nun ein Axiom, d. h, eine nicht beweisbare aber durch
Beobachtung fundierte Feststellung, postulieren: Das Prinzip vom Minimum des Gesamtpotenzials besagt, dass sich ein Körper im Gleichgewicht befindet, wenn das Gesamtpotenzial Π ein Minimum annimmt:
Π → min .
Ein Extremum dieses Potenzials1 kann durch Ableiten nach der Verschiebung und Nullsetzen gefunden werden
∂Π
=0.
∂u
Für das obige Beispiel folgt
∂Π
mg
= cu − mg = 0 ⇒ u∗ =
.
∂u
c
Dieses Ergebnis erhält man auch, wenn man die Gleichgewichtsbedingung nach Freischneiden in der ausgelenkten Ruhelage auswertet. Wie zu Beginn erwähnt, liefert die
Vorgehensweise über Energieprinzipien das identische Ergebnis der klassischen (synthetischen) Mechanik.
1 Mit Hilfe der zweiten Ableitung lässt sich zeigen, dass es ein Minimum ist.
4.1 Das Prinzip vom Minimum des Gesamtpotenzials
45
4.1.2 Gesamtpotenzial eines Stabs
Dieses Ergebnis wird nun auf die Elastostatik eines Stabelements in Abb. 4.4 übertragen.
Abb. 4.4 Stabelement mit
äußeren Lasten zur Herleitung
der Formänderungsenergie
und Potenziale
L
S̄0
S̄ L
EA
s
u0
uL
Dazu ist zunächst die innere Energie bzw. das Potenzial eines Stabs abzuleiten, der durch
äußere Belastungen elastisch deformiert wird. Die innere Energie wird in der Elastizitätslehre als Formänderungsenergie Πi bezeichnet. Der Index i zeigt an, dass es sich um ein
reversibel im Körper gespeichertes Potenzial handelt. Es wird ein kontinuierlicher Körper betrachtet, sodass die Änderungen der Zustandsgrößen an jedem Punkt des Körpers
berücksichtigt werden müssen und über alle Punkte zu integrieren ist, anders als beim
Massenpunkt oder der Feder im vorigen Kapitel. Dies wird auf Integralgleichungen für
die Energieprinzipien führen.
Zunächst wird ein Punkt x des Kontinuums betrachtet. Ein infinitesimal kleiner Ausschnitt dx an der Stelle x in Abb. 4.5 verlängert sich unter der Last S = E Aε um du = εdx.
Abb. 4.5 Zur Herleitung der
Formänderungsenergie beim
Stab: Verlängerung eines
Stabausschnitts durch die
Schnittkraft S
dx
du = εdx
EA
S
S
dεdx
Zu Beginn ist der Ausschnitt noch undeformiert und wird durch S bis dx + du deformiert.
Analog dazu steigt auch die Reaktionskraft S während der Deformation linear an, da die
Dehnung zunimmt. Um diesen Sachverhalt darzustellen, führt man eine differenziell kleine Dehnungsänderung dε ein, die multipliziert mit der Schnittkraft zu einer Änderung des
Arbeits- bzw. Potenzialinkrements −dŴ = dΠ̂i führt:
dΠ̂i = Sdε ,
wobei das Potenzialinkrement von 0 auf dΠi und die Dehnung von 0 auf ε erhöht wird, wenn
du erreicht ist. Dies ergibt für die inkrementelle Änderung der Formänderungsenergie an
der Stelle x des Stabs
"
#ε
!2
Z dΠi
Z ε
Z ε
1
1 2
du
dΠi =
dΠ̂i =
S dε̂ =
E Aε̂ dε̂ = E A ε̂
= EA
.
2
2
dx
0
0
0
0
Diese Beziehung gilt bisher nur für einen infinitesimalen Ausschnitt. Für die gesamte
Formänderungsenergie muss noch über die Stablänge L integriert werden
Πi =
L
Z
0
1
dΠi =
2
L
Z
0
du
EA
dx
!2
dx =
1
2
L
Z
S
0
du
1
dx = S
dx
2
u(L)
Z
0
du =
1
S u(L) .
2
46
4 Mathematische Modellierung über Energieprinzipien
Analog zur Feder kann man die Formänderungsenergie aus dem Produkt der konstanten
Schnittkraft S mit der Endverschiebung u(L) des Stabs berechnen.
Der Faktor 1/2 ergibt sich analog zu Gl. (4.2) aus einer Integration über das infinitesimale Stück dx, da sich die Verschiebung du und die zugehörige Kraft wie bei einer diskreten
Feder linear aufbauen. Dies ist eine charakteristische Eigenschaft von Potenzialproblemen.
Eine alternative Formulierung erlaubt weiter unten die anschauliche Erweiterung auf
den dreidimensionalen Fall:
!2
Z L
Z L
Z
1
du
Gl. (2.1) 1
Gl. (2.2) 1
Πi =
EA
dx =
ε Eε Adx =
ε σ dV .
(4.5)
2 0
dx
2 0
2 V
Der Stab wurde bisher als 1-D-Element betrachtet mit konstantem Querschnitt A. Zur
Bestimmung der Formänderungsenergie musste über die Länge L integriert werden. Dies
wird in Gl. (4.5) zurückgenommen, indem das Integral mit dV = Adx wieder in ein Volumenintegral transformiert wird. Man erkennt dann, dass sich die Formänderungsenergie
auch als Produkt aus Spannungen und Dehnungen integriert über das Volumen des Stabs
darstellen lässt.
Die Arbeit der äußeren Kräfte setzt sich aus einem Anteil einer Linienlast s und von
Randkräften S̄0, S̄L zusammen, die nur punktuell wirken. Für eine Skizze der einzelnen
Größen s. Abb. 4.4. Die Arbeit punktueller Lasten ist das Produkt von Kraft mal Verschiebung am Kraftangriffspunkt. Für die Linienlast ist wieder eine inkrementelle Betrachtung
und Integration über das Gebiet notwendig, die hier dem Leser überlassen wird:
− Πa = W =
L
Z
s(x) u(x) dx + S̄0 u0 + S̄L u L .
(4.6)
0
Das Gesamtpotenzial für den Stab lautet damit:
Π = Πi + Πa =
1
2
L
Z
EA
0
du
dx
!2
L
Z
s(x) u(x) dx − S̄0 u0 − S̄L u L .
dx −
0
Ein Minimum dieser Funktion liefert den Gleichgewichtszustand unter einer äußeren Last
s(x), S̄0, S̄L . Das Minimum kann aber durch Ableiten nicht direkt bestimmt werden, da die
Funktion u unbekannt ist. Deswegen werden Näherungsansätze für die Verschiebungen
eingesetzt, die eine Ableitung und Auswertung der Integrale erlauben. Dies wird in Kap. 5
detailliert für die FEM behandelt.
4.1.3 Allgemeines Prinzip vom Minimum des Gesamtpotenzials
Die Formänderungsenergie eines allgemeinen 3-D-Körpers kann man wie beim Stab herleiten, indem man ein differenziell kleines Volumenelement mit den sechs unabhängigen
Spannungskomponenten belastet und analog zu Gl. (4.5) über das Produkt mit den Verzerrungen integriert, Details s. Selke [3, Kap. 8.2.3, S. 175]. Neben den Normaldehnungen
treten noch die Scherungen γi j auf, die mit den Schubspannungen zu multiplizieren sind:
4.2 Das Prinzip der virtuellen Verschiebung
Πi =
1
2
Z
47
(ε xx σ xx + ε yy σyy + ε zz σzz + γxy σ xy + γxz σ xz + γyz σyz ) dV =
V
1
2
Z
ε T σ dV .
V
Für den letzten Term wurde die Voigt-Notation nach Kap. 3.5 genutzt. Die Formänderungsenergie ergibt sich als Integral über das Skalarprodukt von Verzerrungen und
Spannungen.
Die Arbeit äußerer Kräfte setzt sich aus Volumenkräften, Flächenlasten und Punktkräften zusammen, nun in vektorieller Form, s. Abb. 3.1:
−Πa =
Z
V
u T b̄ dV +
Z
u T t̄ dA + +
At
K
X
T
δu (k) f¯P(k) .
k=1
Neben der Volumenlast b, die der Streckenlast in Gl. (4.6) entspricht und den K Einzelkräften f¯P(k) , kommt noch die Arbeit von Oberflächenlasten t̄ hinzu. Sie müssen mit
dem Anteil der Verschiebungen auf dem Oberflächenanteil At multipliziert und über das
Oberflächensegment integriert werden, auf dem sie angreifen. Das Gesamtpotenzial lautet
damit:
Z
Z
Z
K
X
T
1
T
T
Π=
ε σ dV −
u b̄ dV −
u T t̄ dA −
δu (k) f¯P(k) .
(4.7)
2 V
V
At
k=1
Das Prinzip vom Minimum des Gesamtpotenzials im 3-D-Fall lautet schließlich
"
#
∂Π ∂Π ∂Π ∂Π ∂Π ∂Π
∂Π
=
Π → min ⇒
... = 0 .
∂u
∂u1 x ∂u1y ∂u1z ∂u2 x ∂u2y ∂u2z
Die Beziehung für das Minimum ist eine mögliche Ausgangsgleichung der FEM. Es ist zu
beachten, dass es sich hier nicht mehr nur um eine Gleichung handelt, da u ein Vektor ist.
4.2 Das Prinzip der virtuellen Verschiebung
Die bisher vorgestellte Vorgehensweise lässt sich nur auf konservative Systeme anwenden,
für die die Energieerhaltung gilt und ein Gesamtpotenzial angegeben werden kann. In
vielen technischen Anwendungen ist aber eine Energiedissipation zu betrachten (z. B.
bei plastischem Materialverhalten) und es kann kein Gesamtpotenzial formuliert werden.
Eine viel allgemeinere Möglichkeit die Gleichgewichtsbedingung zu formulieren basiert
deshalb auf virtuellen Energieprinzipien, da hier die Notwendigkeit eine Potenzialfunktion
angeben zu müssen entfällt.
In Kap. 4.1 sind wir von einem nicht im Gleichgewicht befindlichen System ausgegangen und haben Arbeiten und Potenziale berechnet, aus denen der Gleichgewichtszustand
ermittelt werden konnte. Betrachtet man direkt ein System in einem (zunächst unbekannten) Gleichgewichtszustand, kann man diese Herangehensweise nicht nutzen, da im
Gleichgewichtszustand keine Verschiebungen auftreten und damit auch keine Arbeit. Um
Energiebetrachtungen nutzen zu können, wird das System deshalb „künstlich“ aus der
Gleichgewichtslage ausgelenkt durch eine virtuelle Verschiebung δu: Es handelt sich um
eine gedachte, differenziell kleine Verschiebung eines Punkts, die mit den kinematischen
48
4 Mathematische Modellierung über Energieprinzipien
ū, δu = 0
Abb. 4.6 Darstellung der
virtuellen Verschiebung an
einem Balken im unbelasteten Zustand (– · –) und in
deformierter Lage (—)
δuz = 0
δu
x
u
z
Randbedingungen des Systems verträglich sein muss, s. Abb. 4.6. Man sieht, dass die virtuelle Verschiebung δu an jedem Punkt von der tatsächlichen Verschiebung u abweicht,
außer bei kinematischen Randbedingungen (Lagerungen), bei denen die virtuelle Verschiebung null sein muss. Da es sich nur um gedachte Bewegungen handelt, wird ein
eigenes Symbol „δ“ eingeführt, um es von einem echten Verschiebungsinkrement du zu
unterscheiden. Mit diesem Symbol kann trotzdem wie mit dem Differenzialsymbol „d“
gerechnet werden. Vor allem gilt eine Vertauschungsregel zwischen virtueller Größe und
Differenzial: δ(d(·)) = d(δ(·)), s. Riemer et al. [2, Kap. 4.1, S. 213].
Die virtuellen Verschiebungen verursachen nun entlang den tatsächlich wirkenden
Kräften und Momenten eine virtuelle Arbeit Wδ die als die Arbeit einer in voller Höhe
wirkenden Kraft f entlang einer virtuellen Verschiebung δu definiert ist:
Wδ = f T δx = f T δu .
Bei Riemer et al. [2, Kap. 4.2.1, S. 226] wird erläutert, dass δu = δx gilt, deswegen wird
hier von Anfang an mit der Verschiebung gearbeitet. Ein Beispiel ist in Abb. 4.7 gezeigt.
Das Fachwerk aus drei Stäben wird zunächst am Knoten 2 mit einer Kraft f belastet.
Abb. 4.7 Beispiel zur virtuellen Verschiebung
y
1
2
x
u2
δu 1 = 0
δu 2
f
f
3
δu3 x = 0, δu3y
Dadurch verschieben sich Knoten 2 und 3 entsprechend der Lagerungsbedingungen. Nun
wird an allen Knoten eine virtuelle Verschiebung aufgebracht, die kinematisch zulässig ist
(deswegen sind δu1 und δu3 x = 0). Dies führt an Knoten 2 und 3 zu weiteren virtuellen
Verschiebungen, für die die virtuelle Arbeit bestimmt werden kann.
Als weiteres Beispiel wird nochmals das Feder-Masse-System in Abb. 4.8 betrachtet:
Die Feder soll sich bereits in der (zunächst unbekannten) Gleichgewichtslage befinden und
Abb. 4.8 Virtuelle Arbeit
einer Feder
fF = cu
u
δu
m
G = mg
4.2 Das Prinzip der virtuellen Verschiebung
49
wird nun um die virtuelle Verschiebung δu aus dieser Lage gedanklich verschoben. Die
dabei entstehende äußere virtuelle Arbeit der Endlast (hier die Gewichtskraft) lautet dann:
Wδa = G δu = mg δu .
Durch die virtuelle Verschiebung wird die Feder weiter gedehnt und damit im Inneren eine
Formänderung aufgebracht, die innere virtuelle Formänderungsarbeit erzeugt:
Wδi = − f F δu = −cu δu .
Da die Kraft f F hier nun die ganze Zeit in voller Höhe als Totlast wirkt, anders als
im Kapitel zuvor, ergibt sich die Arbeit in einem Kraft-Weg-Diagramm wie in Abb. 4.9
dargestellt. Die zugehörige virtuelle Arbeit wird als Endwertarbeit bezeichnet.
|WF | =
1
2 fF
u
|Wδi | = fF δu
| fF |
Abb. 4.9 Darstellung von
Endwertarbeit
u
Nachdem diese Terme ermittelt sind, wird nun ein weiteres Axiom formuliert, mit dem
man auf Basis von virtuellen Verschiebungen das Gleichgewicht ermitteln kann:
Das Prinzip der virtuellen Verschiebung oder auch Prinzip der virtuellen Arbeit besagt,
dass sich ein Körper im Gleichgewicht befindet, wenn sich die virtuelle äußere Arbeit
der virtuellen Verschiebungen mit den tatsächlichen Kräften und die virtuelle Formänderungsarbeit aus virtuellen Verzerrungen und tatsächlichen Spannungen zu null addieren.
Wδi + Wδa = 0 .
Dieses Prinzip lässt sich aus den Gleichgewichtsbedingungen in Gl. (3.13) herleiten
(z. B. in Riemer et al. [2, Kap. 4.2.2, S. 232 ff.]) und ist diesen völlig gleichwertig.
Bringt man die Terme auf eine Seite und klammert die virtuelle Verschiebung aus, folgt
δu · (mg − cu) = 0 .
Um das Produkt aus virtueller Verschiebung und Differenz der real wirkenden Kräfte zu
null zu machen, muss einer der Faktoren null sein. Da δu = 0 den Gleichgewichtszustand
bedeuten würde und die virtuellen Verschiebungen als beliebig betrachtet werden, kann
man folgern, dass gelten muss
mg − cu = 0
⇒
u∗ =
mg
.
c
Auch über das Prinzip der virtuellen Arbeit kann der Gleichgewichtszustand u∗ ermittelt
werden. Man geht dazu vom zunächst unbekannten, gesuchten Gleichgewichtszustand aus
und überlagert dem einen virtuellen Verschiebungszustand.
50
4 Mathematische Modellierung über Energieprinzipien
Nun wird auf kontinuierliche Systeme übergegangen, zunächst am Beispiel des Stabs.
Die inkrementelle Erhöhung der virtuellen Formänderungsarbeit dWδi an einem kleinen
Ausschnitt dx des Stabs in Abb. 4.10 bei virtueller Verschiebung δ(du) lässt sich analog
dx
Abb. 4.10 Virtuelle Verschiebung an einem Stabausschnitt
du = εdx
EA
S
S
δ(du)
zu oben formulieren als
−dWδi = Sδ(du) = Sδ(εdx) = Sδ(u 0 )dx .
Die virtuelle Verschiebung wird auf das vollständig um du deformierte Teilstück angewendet. Weiterhin ist zu beachten, dass bei der Auswertung die Produktregel anzuwenden
ist, aber δ(dx) = 0 gilt, da die Ortskoordinaten bez. der virtuellen Größen unverändert
bleiben. Die Kraft S wirkt bereits in voller Höhe, deshalb ist hier keine weitere Integration
nötig, im Gegensatz zu oben. Dies ergibt für die gesamte virtuelle Formänderungsarbeit
des Stabs
Z L
Z L
Z L
Z
0
i
0
0
0
0
Eu Adx ≡
−Wδ =
S δu dx =
E Au δu dx =
δu |{z}
δε σ dV .
|{z}
0
0
0
δε
V
σ
Die virtuelle Formänderungsarbeit ist das Produkt aus virtuellen Dehnungen und echten
Spannungen. Der Faktor 1/2 tritt hier nicht mehr auf, da die Kraft während der virtuellen
Verschiebung als Totlast in konstanter Höhe wirkt.
Die virtuelle Arbeit äußerer Kräfte beim Stab leitet sich analog zur realen Arbeit her
und wird hier direkt angegeben
Wδa
=
L
Z
δu s(x) dx + δu0 S̄0 + δu L S̄L .
0
Die einzelnen Terme sind in Abb. 4.11 abzulesen. Es sind v. a. die Arbeiten an den
Abb. 4.11 Virtuelle Arbeit
beim Stab
L
S̄0
EA
δu0
s
S̄ L
δu L
Randpunkten x = 0 und x = L zu beachten, über die nicht integriert wird.
Das Prinzip der virtuellen Verschiebung lautet damit beim Stab:
Wδi (u)+Wδa (u) = 0
=⇒
L
Z
0
δu 0 E Au 0 dx =
L
Z
δu s(x) dx+δu0 S̄0 +δu L S̄L . (4.8)
0
Zuletzt verbleibt die Erweiterung auf den dreidimensionalen Fall. Im allgemeinen Fall
sind alle Größen beim Stab entsprechend zu erweitern: In der Elastostatik setzt sich die
4.2 Das Prinzip der virtuellen Verschiebung
51
virtuelle Arbeit äußerer Kräfte Wδa (u) damit aus drei Teilen zusammen, entsprechend den
drei Typen von Belastungen (s. Abb. 3.1):
Wδa (u) =
Z
δu T b̄ dV +
V
Z
δu T t̄ dA +
At
K
X
T
(k)
δu (k) f¯P .
k=1
Da die kinematischen Randbedingungen u = ū auf Au erfüllt sein müssen, folgt, dass die
virtuelle Verschiebung auf dem Teilrand null sein muss, da eine virtuelle Veränderung der
Randbedingungen das mechanische Problem verändern würde:
δu Au = 0 .
Die äußere virtuelle Arbeit Wδa wird im Inneren in Form von Deformationen und
Spannungen gespeichert, die damit eine virtuelle innere Arbeit verrichten. Dieser Term
der inneren Arbeit wird als virtuelle Formänderungsarbeit bezeichnet:
Z
def.
− Wδi =
δε T σ dV .
(4.9)
V
Das Prinzip der virtuellen Verschiebung im dreidimensionalen Fall lautet damit:
Z
δε σ dV =
Z
T
V
δu b̄ dV +
Z
δu T t̄ dA +
T
V
At
K
X
T
(k)
δu (k) f¯P .
(4.10)
k=1
Als Nebenbedingungen sind
δu Au = 0 und
δε V = Dε δu
(4.11)
einzuhalten, wobei das Verschwinden der virtuellen Verschiebung δu auf Au die Einhaltung der kinematischen Randbedingung u|x ∈ Au = ū erzwingt. Gl. (4.10) stellt eine
notwendige und hinreichende Bedingung für das Gleichgewicht eines elastischen Körpers
dar. Bemerkenswert ist, dass die natürlichen Randbedingungen nicht gesondert gefordert
werden, sie sind Teil des Energieprinzips und werden dadurch automatisch erfüllt, allerdings nur im integralen Sinn, s. bei Gl. (4.14).
Diese Integralgleichung stellt einen allgemeinen Ausgangspunkt für ein Näherungsverfahren der Elastostatik mit der Finite-Elemente-Methode dar.
Für die Variablen in Gl. (4.10) ist nicht jeder beliebige funktionale Verlauf zulässig. Die
Integrale über die Funktionen müssen auswertbar sein. In den hier behandelten Problemstellungen treten Funktionen in den Integranden auf, die die erste Ableitung (Verzerrungen
und Spannungen) der unabhängigen Variablen (Verschiebungen) enthalten. Damit die Integrale über die ersten Ableitungen regulär, d. h. beschränkt bleiben, darf die Ableitung
höchstens Sprünge im Funktionsverlauf enthalten, s. Abb. 4.12, aber keine unbeschränkten
Funktionswerte (Singularitäten, s. Gaul et al. [1, Kap. 6, S. 175ff.]). Daraus folgt, dass der
Ansatz für die Verschiebungen über das gesamte Gebiet stetig sein muss, d. h. es dürfen
zwar Knicke auftreten, aber keine Sprünge. Mechanisch kann man dies so verstehen, dass
ansonsten Klaffungen in einem Körper auftreten könnten, bzw. unendlich hohe Spannungen oder Dehnungen. In der Mathematik werden Funktionen, die in einem beschränkten
52
4 Mathematische Modellierung über Energieprinzipien
u(x)
Knick
Abb. 4.12 Zur Stetigkeit von
Funktionen und Ableitungen
x
du (x)
dx
Sprung
Singularität
x
Gebiet n-mal stetig differenzierbar sind, als C n -stetig bezeichnet. Für unseren Fall benötigen wir also C 0 -stetige Verschiebungsverläufe über das gesamte Gebiet. Treten höhere
Ableitungen in den Energieprinzipien auf, sind entsprechend auch die Differenzierbarkeitsanforderungen an die zulässigen Verschiebungsverläufe höher, s. Kap. 6.3.3.1. Die
Konsequenzen für die Auswahl von Ansatzfunktionen für eine FE-Diskretisierung werden
in Kap. 7.1.1 besprochen.
Beispiel: Als Anwendung des 3-D-Prinzips soll für das Stabelement (s. Abb. 4.11) der Länge ` mit
konstantem Querschnitt A das entlang der x-Achse ausgerichtet ist, aus der allgemeinen Gl. (4.10) das
Prinzip der virtuellen Verschiebungen für den Stab abgeleitet werden. Dazu sind der Spannungs- und
Verzerrungsvektor für diesen Fall entsprechend aufzustellen:
f
gT
σ = Eu0 0 0 0 0 0
f
gT
ε = u0 0 0 0 0 0 .
Die virtuelle Formänderungsarbeit ergibt sich zu (mit dV = Adx)
Z
Z
Wδi = δε T σ dV =
V
`
δu0 Eu0 Adx .
0
Die virtuelle Arbeit äußerer Lasten setzt sich aus der Streckenlast s und den Randkräften zusammen. Der
Verschiebungs- und Volumenlastvektor lauten
f
gT
u= u 0 0
b̄ =
f
s
A
0 0
gT
,
wobei die Einheit der Linienlast zu beachten ist. Mit den beiden Randkräften nach Abb. 4.11 lautet der
Term der äußeren virtuellen Arbeit
Wδa =
Z
δu T b̄ dV +
V
2
X
k=1
T
δu (k ) f P(k ) =
`
Z
0
δu
 
 
f
g S̄0  f
g S̄` 
s
Adx + δu0 0 0  0  + δu` 0 0  0  .
A
 0 
 0 
Das Prinzip der virtuellen Verschiebung in 3-D, Gl. (4.10), führt damit auf die in Gl. (4.8) direkt hergeleitete
Beziehung für den Stab.
4.3 Methode der gewichteten Residuen am Beispiel des Stabs
Es soll hier noch eine weitere Möglichkeit am Beispiel des Stabs angegeben werden,
die Ausgangsgleichung für eine FE-Methode herzuleiten. Die Methode der gewichteten
Residuen geht dabei direkt von der betrachteten Differenzialgleichung Gl. (2.5) aus, indem
man wie folgt umstellt:
4.3 Methode der gewichteten Residuen am Beispiel des Stabs
53
E Au 00 = −s ⇐⇒ E Au 00 + s = 0 .
(4.12)
Der rechte Ausdruck wird als Residuum bezeichnet. Ist das Residuum null, ist die Differenzialgleichung punktweise identisch erfüllt. Davon ausgehend kann man Folgendes
formulieren: die Gleichgewichtsbedingung wird mit einer Testfunktion v(x) multipliziert
und über das räumliche Gebiet V mit dem Rand A integriert. Beim Stab bedeutet dies
(V ∈ [0, L]):
Z
L
(E Au 00 + s) v dx = 0 .
(4.13)
0
Da die Gleichgewichtsbedingung an jedem Punkt identisch null sein soll, muss auch
jedes Integral aus einem Produkt mit dieser Funktion verschwinden. Der Vorteil dieser
Integraldarstellung liegt darin, dass die Gl. (4.12) durch einen integralen Wert ersetzt
wird. Dadurch wird die Differenzialgleichung im Gebiet V nur noch im Mittel erfüllt. Dies
stellt geringere Anforderungen an eine Lösung u, als eine punktweise Bestimmung. Die
Testfunktion v wird eingeführt, um mehr Flexibilität zu erhalten, die Gleichung im Mittel
zu null zu machen. Sie muss die Bedingung erfüllen, dass sie auf dem Gebietsrand (hier
x = 0 und x = L) gleich 0 ist. Dies wird als Einbettungsansatz (Gaul et al. [1]) bezeichnet.
In Gl. (4.13) treten noch Ableitungen zweiter Ordnung auf. Für das spätere Einsetzen
von Näherungslösungen bedeutet dies, dass diese 1-mal stetig ableitbar sein müssen, d. h.
die 1. Ableitung einer solchen Funktion darf maximal einen Knick aufweisen und die
2. Ableitung damit einen Sprung, damit die Integrale beschränkt bleiben. Mathematisch
spricht man von C 1 -Stetigkeit, s. Kap. 7.1.1. Allgemeine Ansatzfunktionen zu definieren,
die diese Forderung erfüllen, ist aufwendig. Deshalb wird das gewichtete Residuum noch
weiter umgeformt mit Hilfe der partiellen Integration (s. Gaul et al. [1, Kap. 1.5, S. 17]):
Im 1-D gilt für zwei Funktionen w(x) und v(x)
L
Z
w 0 vdx =
0
L
Z
L
Z
(wv) 0dx −
0
0
wv 0dx = wv `0 −
L
Z
wv 0dx .
0
Für den ersten Term in Gl. (4.13) kann man damit ableiten (indem man w = u 0 setzt):
Z L
Z L
Z L
Z L
0 0
0 0
0 0
0 `
E A(u ) vdx =
(E Au v) dx −
E Au v dx = E Au v 0 −
E Au 0 v 0dx .
0
0
0
0
Der erste Term der rechten Seite ergibt sich zu
E Au 0 v `0 = E Au 0 (`) v(`) − E Au 0 (0) v(0) = v(`)S(`) − v(0)S(0) .
| {z }
| {z }
S(`)
S(0)
Es folgt für Gl. (4.13):
L
Z
v E Au dx =
0
0
L
Z
0
vs dx − v(0)S(0) + v(`)S(`) .
(4.14)
0
Vergleicht man die Terme der Einzelkräfte mit Gl. (4.8) fällt auf, dass das Vorzeichen
bei S(0) negativ ist. Dies erklärt sich damit, dass in Gl. (4.14) die Reaktionskräfte aus
der Herleitung folgen, während in Gl. (4.8) die gegebenen Randbedingungen eingesetzt
54
4 Mathematische Modellierung über Energieprinzipien
werden. In Gl. (2.15) wurde über das Schnittprinzip der Zusammenhang zwischen äußeren
Lasten nach der Vorzeichenkonvention der FEM und Reaktionskräften hergeleitet. Dort
findet sich der Zusammenhang −S0 = S̄0 .
Bei Gl. (4.14) spricht man von der schwachen Form der Differenzialgleichung, im
Vergleich zur starken Form in Kap. 3.4. Wie man sieht, treten nur noch Ableitungen 1.
Ordnung auf. Für Näherungslösungen bedeutet dies, dass C 0 -Stetigkeit der Ansatzfunktionen ausreicht, d. h. nur die Funktion selbst muss stetig sein, die 1. Ableitung kann bereits
einen Sprung aufweisen.
Vergleicht man Gl. (4.14) mit Gl. (4.8) und setzt die virtuelle Verschiebung δu gleich
der Testfunktion v, dann ergibt sich die identische Gleichung. Man erkennt also, dass
es sich um völlig äquivalente Vorgehensweisen handelt. Die eine ist mehr mechanisch
motiviert, die andere mathematisch.
Die Methode der gewichteten Residuen ist eine sehr allgemeine Vorgehensweise mit
der für beliebige Differenzialgleichungssysteme eine Integralgleichung hergeleitet werden
kann, die Ausgangspunkt der FEM ist und zwar unabhängig davon, ob sich Energieprinzipien wie im Falle der Elastomechanik überhaupt ableiten lassen. Auch für den nichtlinearen
Fall ist diese Herangehensweise sinnvoll, s. Kap. 9.8.
Literaturverzeichnis
[1] L. Gaul, M. Kögl, und M. Wagner. Boundary element methods for engineers and
scientists. Springer, Berlin, 2003.
[2] M. Riemer, J. Wauer, und W. Wedig. Mathematische Methoden der Technischen
Mechanik. Springer Vieweg, Wiesbaden, 2. Aufl., 2015.
[3] P. Selke. Höhere Festigkeitslehre. Oldenbourg, München, 2013.
Kapitel 5
Diskretisierung mit finiten Elementen
Die prinzipielle Vorgehensweise bei der Diskretisierung wurde in Kap. 2 eingeführt. In
diesem Kapitel werden die Lösungsansätze nun auf den allgemeinen dreidimensionalen
Fall erweitert, s. Abb. 5.1. Weiterhin wird die Steifigkeitsgleichung der FEM nicht mehr
Abb. 5.1 Diskretisierung
eines Kontinuums in finite
Elemente
Knoten
finites
Element
Diskretisierung
CAD
aus der Betrachtung vektorieller Gleichgewichtsbedingungen hergeleitet, sondern aus dem
allgemeineren Ansatz der Energieprinzipien aus Kap. 4. Diese können nur in seltenen Fällen analytisch für die Verschiebungen u(x) gelöst werden, eignen sich aber sehr gut als
Ausgangspunkt für die FEM, die darauf basiert Lösungsansätze für das Gebiet anzunehmen. Da in den Energieprinzipien Integrale über das Gebiet ausgewertet werden, können
diese Lösungsansätze hier direkt eingesetzt werden.
Zentraler Gedanke ist dabei, nicht einen Lösungsansatz für das gesamte Gebiet zu suchen, sondern das Gebiet in Teilbereiche, die finiten Elemente, zu zerlegen. Dieser Schritt
wird als Diskretisierung bezeichnet und man spricht bei der FEM auch von einem Diskretisierungsverfahren. In einem finiten Element kann man relativ einfache Ansatzfunktionen
wählen. Die allgemeine Vorgehensweise wird in Kap. 5.1 erläutert.
Die Ansatzfunktionen sind dabei nur im Bereich des jeweiligen Elements von null
verschieden. Im gesamten Rest des betrachteten Körpers werden die Funktionen zu null
gesetzt, d. h. ein Element hat nur lokalen Einfluss. Für einen Stab, der mit drei Elementen
mit linearen Polynomen diskretisiert wurde, ist dies in Abb. 5.2 skizziert. Dadurch ist
es möglich, zunächst jedes finite Element für sich allein zu berechnen. Darauf wird in
Kap. 5.3 eingegangen. Die Lösung für den vollständigen Körper erhält man anschließend
durch Beachtung von Kompatibilitätsbedingungen an den verbindenden globalen Knoten,
die das Aufstellen eines Gesamtgleichungssystems erlauben, s. Kap. 5.4. Auf die Lösung
dieses linearen Gleichungssystems wird in Kap. 5.5 und Kap. 5.6 eingegangen.
© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2017
M. Wagner, Lineare und nichtlineare FEM, DOI 10.1007/978-3-658-17866-6_5
55
56
5 Diskretisierung mit finiten Elementen
Abb. 5.2 Definitionsbereich
von linearen Formfunktionen über mehrere 1-DStabelemente
u(x)
ũ e (x)
x
0
e=1
e=2
e=3
5.1 Definition des Näherungsansatzes für ein Element
Wie Abb. 5.1 zeigt, wird das Berechnungsgebiet V , d. h. das Bauteil, in E finite Elemente,
Ωe, e = 1, . . . , E mit N globalen Systemknoten diskretisiert. Die Elemente dürfen sich
nicht überschneiden und es darf keine Lücken geben. Jedes Element e hat eine Anzahl ne
lokale Elementknoten. Abb. 5.3 zeigt als Beispiel ein vierknotiges Element im 3-D. Man
sieht, dass die Elemente im Allgemeinen mehrdimensional, nicht mehr rechtwinklig und
beliebig im Raum angeordnet sind.
5.1.1 Die Formfunktionsmatrix
Für die finiten Elemente werden polynomiale Näherungsansätze für die Verschiebungen
ũ e (x) bis zu einer Ordnung p definiert, entsprechend der Vorgehensweise in Kap. 2. Der
Übersichtlichkeit halber wird dies hier nur für den 2-D-Fall bis p = 2 angedeutet :
" # "
#
ũ x
a0 + a1 x + a2 y + a3 xy + a4 x 2 + a5 y 2 + a6 x 2 y + a7 xy 2 + a7 x 2 y 2
e
ũ =
=
.
ũy
b0 + b1 x + b2 y + b3 x y + b4 x 2 + b5 y 2 + b6 x 2 y + b7 x y 2 + b7 x 2 y 2
Es sind nun gemischte Polynomterme zu berücksichtigen. Wie in Kap. 2.1.2 werden die
Koeffizienten ai, bi durch Stützstellen an den Knoten der Elemente festgelegt und durch
Umsortieren in Ansatz- oder Formfunktionen und Knotenvektoren getrennt. Dies ist essenziell in der FEM, da sich dadurch der stetige Verlauf der Feldgrößen beim Übergang von
einem Element zum nächsten gewährleisten lässt. In Kap. 7.1.1 wird erläutert, dass nur
dann eine Lösung mit der FEM garantiert werden kann. Neben den Eckpunkten können
zusätzlich Knoten auf den Kanten und im Inneren der Elemente liegen, s. Abb. 6.20.
Durch die mehrdimensionale Betrachtung sind die Formfunktionen für jeden Knoten
nun in Matrizen Ni, i = I, J, . . . anzuordnen:
ũ e (x) = NI (x)uIe + NJ (x)uJe + NK (x)uKe + . . . = N (x)u e .
Abb. 5.3 Schematische Darstellung des FEM-Ansatzes
mit Knotenvariablen und polynomialen Formfunktionen
für ein zweidimensionales
Element mit vier Knoten
(5.1)
K
e=1
J
NI
z
L
y
x
x I1
I
u I1
5.1 Definition des Näherungsansatzes für ein Element
57
Die einzelnen Knotenmatrizen können in der Formfunktionsmatrix N zusammengefasst
werden. Die Dimension dieser Matrix ergibt sich allgemein zu
Dim(N ) = nFHG × nFHG · ne ,
wobei nFHG die Anzahl der Elementfreiheitsgrade am jedem Elementknoten bezeichnet.
Die Anzahl Freiheitsgrade kann für übliche Elemente zwischen 1 (Stabelement) und 6
(Schalenelement, s. Kap. 6.4.2) liegen. Der Gesamtvektor der Elementknotenfreiheitsgrade u e hat entsprechend die Dimension Dim(u e ) = nFHG ·ne ×1. Die zunächst unbekannten
Stützstellen der Polynome, in unserem Fall die Verschiebungen u e an den Knoten, sind
die Unbekannten, die es zu berechnen gilt, um eine Näherungslösung ũ e (x) zu erhalten.
Die Formfunktionen sind über die Indizierung i, j = I, J, K, . . . einem der Knoten
zugeordnet:

 I für i = j
Ni (x j ) = 
.
(5.2)
 0 für i , j

In Worten bedeutet dies, dass an der Stelle der zugeordneten Knotenverschiebung (i = j)
die Formfunktion immer eins ist, sonst null. Diese Eigenschaft gilt für jedes beliebige
finite Element.
Zur Verdeutlichung wird der FEM-Ansatz komponentenweise für das Beispiel eines
Viereckelements in 2-D angegeben, s. Abb. 5.4, das im Detail in Kap. 6.4.1.1 diskutiert
wird. Das Element besteht aus vier Knoten I, J, K und L und zugeordneten Formfunktionen
Abb. 5.4 Ebenes lineares
Viereckelement mit vier
Knoten
y
u Je
xK
xL
uJey
xI
x
xJ
uJex
NI, NJ , NK und NL , s. Gl. (6.23) für die tatsächlichen Funktionen. Der polynomiale Ansatz
muss nun für zwei Raumdimensionen x und y angegeben werden:
ũex = NI uI x + NJ uK x + NK uK x + NL uL x
ũye = NI uIy + NJ uKy + NK uKy + NL uLy .
Hierbei wird für jede Raumrichtung derselbe Ansatz benutzt. Dies ist nicht vorgeschrieben,
wird aber in allen üblichen finiten Elementen so angewendet. Für eine Matrixdarstellung
nach Gl. (5.1) sind dann zu definieren:
• der Elementknotenvektor:
f
gT f e e
g
e
e
e
e T
u e = uIe T | uJe T | uKe T | uLe T = uI x uIy | uJex uJey | uK x uKy | uL x uLy
mit Dim(u e ) = [nFHG · ne × 1] = [2 · 4 × 1],
• die Matrix der Formfunktionen (die Funktionen selbst sind in Kap. 6.4.1.1 gegeben):
58
5 Diskretisierung mit finiten Elementen
"
f
N = NI | NJ | NK | NL
g
#
NI 0 NJ 0 NK 0 NL 0
=
0 NI 0 NJ 0 NK 0 NL
(5.3)
mit Dim(N ) = [nFHG × nFHG · ne ] = [2 × 2 · 4].
Zu beachten ist der Aufbau der Submatrizen Ni, i = I, J, . . ., die auf der Hauptdiagonale
die Formfunktion am zugeordneten Knoten enthalten. Alle anderen Koeffizienten sind
null. Dies ist auch in einem dreidimensionalen Element der Fall.
5.1.2 Näherungsansatz für Dehnungen und Spannungen
Zum Einsetzen in eines der Energieprinzipien aus Kap. 4 ist noch eine Beziehung für
die Dehnungen anzugeben. Hierzu wird nun die Differenzialoperatormatrix aus Gl. (3.14)
herangezogen:
ε̃ e = Dε ũ e = Dε N (x) u e .
(5.4)
| {z }
B(x)
Es entsteht dabei die Matrix B(x), die die Ableitungen der Formfunktionen nach den globalen Koordinaten enthält. Die Zeilendimension dieser Matrix hängt vom Verzerrungsvektor
ab. Für den Stab ist die Matrix B(x) in Gl. (2.13) angegeben.
Weiterhin sind noch Ansätze für die Spannungen zu definieren, wobei dies hier zunächst
über das Hooke’sche Materialgesetz aus Gl. (3.15) geschehen soll:
σ̃ e = C ε̃ e = C B(x)u e .
(5.5)
5.2 Diskretisierung des Prinzips vom Minimum des Gesamtpotenzials
Durch die Näherungsansätze Gl. (5.1), Gl. (5.4) und Gl. (5.5) werden die kontinuierlichen
Feldgrößen für Verschiebung, Verzerrung und Spannung durch Funktionen ersetzt, die
durch die Verschiebungen an diskreten Knoten festgelegt werden. Diese Knotenverschiebungen sind die verbleibenden Unbekannten, die berechnet werden müssen. Dazu werden
die Ansätze in das Prinzip vom Minimum des Gesamtpotenzials in Gl. (4.7) eingesetzt.
Dies führt auf eine Matrixgleichung für das einzelne Element. Das genäherte Potenzial
Π̃ e für ein Element e lautet:
Z
Z
Z
1
Π̃ e =
(Bu e ) T (C Bu e ) dV −
(N u e ) T b̄ e dV −
(N A u eA ) T t̄ e dA .
2 Ve
Ve
Ae
Im Integral über den Gebietsrand ist zu beachten, dass dort nur die Teilvektoren der
Verschiebungen der Randknoten eine Rolle spielen, die zur Kennzeichnung hier mit u eA
bezeichnet werden. Entsprechend werden nur die betroffenen Formfunktionen in der Formfunktionsmatrix N A angeordnet.
Die folgende Umformung ist von wesentlicher Bedeutung. Der Näherungsansatz ist
als Produkt der Formfunktionen N bzw. B sowie der Knotenvektoren aufgebaut. Nur
5.2 Diskretisierung des Prinzips vom Minimum des Gesamtpotenzials
59
die Formfunktionen hängen vom Ort ab und sind damit im Integral zu beachten. Die
Knotenvektoren sind konstant bezüglich des Orts, d. h. eine Verschiebung ist einem räumlichen Ort zugeordnet, und diese Zuordnung kann sich nicht ändern. Damit können die
Knotenvektoren unter Beachtung der Regeln der Matrixmultiplikation (Gl. (A.2)) aus dem
Integral nach links und rechts herausgezogen werden:
Z
Z
Z
T
T
1 T
N AT t̄ e dA .
Π̃ e = u e
BT C B dV u e − u e
N T b̄ e dV −u eA
2
Ve
Ve
Ae
| {z }
|
{z
}
|
{z
}
Ke
fVe
f Ae
Das Integral über die Ableitungen der Ansatzfunktionen wird als Elementsteifigkeitsmatrix
K e bezeichnet. Die Terme über die ein Integral zu bilden ist sind nun alle bekannt, da
die unbekannten Knotenvektoren aus dem Integral herausgezogen wurden. Dies ist der
entscheidende Schritt bei der Umformung der Differenzialgleichung des ursprünglichen
Problems in ein diskretes lineares Gleichungssystem.
Der Lastvektor f e eines Elements setzt sich aus Volumenkräften fVe und Randlasten
e
f A sowie Punktlasten zusammen, die hier mit eingeführt werden (s. Kap. 3.1):
f e = fVe + f Ae + fPe .
(5.6)
Um diese Vektoren addieren zu können, müssen sie dieselbe Dimension haben. Dazu müssen die Vektoren der Randknotenkräfte f Ae und Punktlasten fPe formal auf die Dimension
des Volumenkraftvektors erweitert werden, indem bei allen nicht enthaltenen Knoten der
Wert null der Kraft eingetragen wird. Wenn eine Punktlast modelliert werden soll, dann
muss an dieser Stelle ein Knoten in der Diskretisierung vorgesehen werden.
Das Minimum des Energieprinzips
Π̃ e → min
⇐⇒


∂ Π̃ e  ∂ Π̃ ∂ Π̃ ∂ Π̃ ∂ Π̃ ∂ Π̃ ∂ Π̃
 = 0
=
.
.
.
 ∂ue ∂ue ∂ue ∂ue ∂ue ∂ue
∂ ue

Iy
Iz
Jx
Jy
Jz
 Ix
ergibt die Bestimmungsgleichungen für einen Gleichgewichtszustand. Die Unbekannten
sind die Knotenverschiebungen u e im Näherungsansatz. Nach diesen muss nun abgeleitet
werden:
"
#
∂ 1 eT e e
eT e
u K u −u f =0.
∂ ue 2
Dies ergibt die Element-Steifigkeitsgleichung der Finite-Elemente-Methode für ein beliebiges Element
K e ue = f e .
(5.7)
Die Gleichung gibt in diskretisierter Form das Kräftegleichgewicht wieder und verknüpft
die Verschiebungen und Kräfte an den Knoten des Elements. Lösungen dazwischen werden
durch Einsetzen in die Formfunktionen näherungsweise ermittelt. Jeder Eintrag von K e
kann als Steifigkeit im System verstanden werden, die den Einfluss einer Verschiebung
am zugehörigen Knoten mit der Reaktionskraft an einem anderen Knoten verknüpft.
Zentraler Teil der Steifigkeitsgleichung ist die Elementsteifigkeitsmatrix:
60
5 Diskretisierung mit finiten Elementen
Ke =
Z
Ve
BT C B dV =
Z Z Z
x
y
BT C B dx dy dz ,
(5.8)
z
die allgemein aus dem Produkt der Matrix der Ableitungen der Formfunktionen B mit der
Materialmatrix C entsteht.
Die Dimension der Elementsteifigkeitsmatrix berechnet sich über die Matrizenprodukte
in Gl. (5.8) allgemein zu
Dim(K e ) = [nFHG · ne × nFHG · ne ] .
Für das Scheibenelement in Abb. 5.4 folgt: Dim(K ) = [2 · 4 × 2 · 4]. Der Beitrag zur
Steifigkeit an einem Knoten ist in Fragestellungen mit mehr Freiheitsgraden pro Knoten
kein Skalar mehr, wie beim Stab, sondern eine Submatrix Kiej mit Dim(Kiej ) = [nFHG ×
nFHG ]. Für das o. g. Scheibenelement lautet die Elementsteifigkeitsmatrix mit diesen
Submatrizen:
 KII KIJ KIK KIL 
"
#
K K K K 
Ki j x x Ki j x y
K e =  JI JJ JK JL  mit
.
(5.9)
Ki j y x Ki j y y
KKI KKJ KKK KKL 
K K K K 
LI
LJ
LK
LL
Kiej
enthält Koeffizienten in jede Raumrichtung, insgesamt handelt
Jede der Submatrizen
es sich also um eine [8 × 8]-Matrix.
5.3 Diskretisierung des Prinzips der virtuellen Verschiebung
Die für allgemeinere Fälle gültige Herleitung gelingt über das Prinzip der virtuellen
Verschiebung in Gl. (4.10). Dazu werden die Ansätze nun für jedes finite Element dort
eingesetzt. Dazu sind Ansätze für die virtuellen Größen zu wählen, die in Gl. (4.10)
auftreten. Üblicherweise werden die gleichen Ansätze gewählt wie für die nicht-virtuellen
Größen:
δ ũ e (x) = N (x)δu e .
(5.10)
Dies ist ein entscheidender Punkt, da es prinzipiell auch möglich ist, die virtuellen Größen
anders darzustellen. Der Vorteil dieser Vorgehensweise ist, dass die entstehenden Systemmatrizen symmetrisch und positiv-definit sind. Dies hat Vorteile bei der Gleichungslösung
und garantiert, dass nur positive, reelle Eigenwerte auftreten.
Da die Dehnungen von den Verschiebungen abhängen ergibt sich als virtuelle Dehnung:
δ ε̃ e (x) = B(x)δu e .
Diese Ansätze werden in Gl. (4.10) eingesetzt. Dies liefert analog zu Kap. 5.2:
Z
Z
Z
e T
e
e T e
(Bδu ) C Bu dV =
(N δu ) b̄ dV +
(N A δu eA ) T t̄ e dA .
Ve
Ve
Ae
Die gleiche Umformung wie in Kap. 5.2 für die virtuellen Verschiebungen liefert
5.3 Diskretisierung des Prinzips der virtuellen Verschiebung
δu e
T
Z
Ve
BT C BdV u e = δu e
T
Z
Ve
61
T
N T b̄ e dV + δu eA
Z
Ae
N AT t̄ e dA .
(5.11)
Wie man sieht, entsteht über virtuelle Energieprinzipien dasselbe Ergebnis, allerdings kann
es auch für Problemstellungen angewendet werden, bei denen keine Potenzialfunktion
angegeben werden kann und ist damit sehr viel allgemeiner.
Kontinuierliche Volumen- und Oberflächenlasten (einschließlich Linienlasten) werden
durch das Arbeitsintegral in energetisch äquivalente Knotenlasten umgerechnet. Dies bedeutet, dass die virtuelle Arbeit aus einer Flächenlast und einem verteilten virtuellen
Verschiebungsfeld gleich groß ist wie die virtuelle Arbeit der äquivalente Knotenlasten
mit den virtuellen Knotenverschiebungen der Diskretisierung. Ein ausführliches Beispiel
dazu ist in Kap. 6.4.1.1 angegeben, da hierzu die Formfunktionen notwendig sind, die erst
dort verfügbar sind.
Als Matrizengleichung folgt, wenn man alles auf die andere Seite bringt und die
virtuellen Verschiebungen ausklammert mit Gl. (5.6):
T
δu e [K e u e − f e ] = 0 .
(5.12)
Um die Gl. (5.12) zu erfüllen, müssen entweder die virtuellen Verschiebungen oder der
Klammerausdruck null sein. Die virtuellen Verschiebungen wurden als beliebige Funktionen definiert, ein Nullsetzen wäre zwar erlaubt, bringt aber kein weiteres Ergebnis.
Damit kann die Gleichung nur erfüllt werden, wenn der Klammerausdruck verschwindet.
Durch diese Argumentation entsteht eine Gleichung, die keine virtuellen Größen mehr
enthält, diese werden für die Ableitung aus einem Energieprinzip benötigt, fallen dann
aber an dieser Stelle wieder heraus. Es folgt damit in allgemeiner Form ebenfalls die
Element-Steifigkeitsgleichung der Finite-Elemente-Methode Gl. (5.7) für ein Element.
Beispiel Stabelement: Als Beispiel soll mit dem Prinzip der virtuellen Verschiebung des Stabs aus Gl. (4.8)
die Steifigkeitsgleichung hergeleitet werden. Der lineare Ansatz des Stabelements aus Gl. (2.12) und
Gl. (2.13) wird in das Prinzip der virtuellen Verschiebung für den Stab, Gl. (4.8), eingesetzt. Für die
virtuelle Formänderungsenergie folgt damit
`
Z
0
0
0
δ ũ e E Aũ e dx =
`
Z
0
T
δu e B T E ABu e dx = δu e
T
`
Z
B T E AB dx u e .
0
Das Integral über die Ableitungen der Ansatzfunktionen ist die Steifigkeitsmatrix K e eines Elements e:
#
"
#
Z `" #f
Z `" 1
g
E A +1 −1
− `12
BI
`2
BI BJ dx = E A
.
dx
=
Ke = EA
BJ
− `12 `12
` −1 +1
0
0
Hierfür ist das Produkt der zwei Vektoren mit dem dyadischen Produkt, s. Gl. (A.3) zu berechnen.
Als Beispiel für die Belastung des Stabs soll Abb. 2.2 dienen. Bei konstanter Linienlast s0 (Einheit
N/m) gilt für den Term der Volumenkräfte
#
" #
Z `
Z `
Z `"
T
T
T
1 − x`
e T s0 ` 1
δ ũ e s dx = δu e
N T s0 dx = δu e s0
dx
=
δu
= δu e fVe . (5.13)
x
2 1
0
0
0
`
Die verteilte Linienlast s wird durch diese Vorgehensweise als äquivalente Punktlast (Einheit N) auf die
Randknoten verteilt, s. Abb. 5.5. Die Einzelkräfte am Rand sind bereits mit den Knotengrößen verbunden,
es ergibt sich deshalb in Matrixnotation
62
Abb. 5.5 Äquivalente Knotenkräfte einer konstanten
Streckenlast beim Stab
5 Diskretisierung mit finiten Elementen
s0 `
f Ie =
2
=⇒
L
s0
x, u(x)
"
δ ũ0e S0 + δ ũ`e S` = δu e
T
f Je =
s0 `
2
#
T
S0
= δu e f Pe .
S`
Als Matrixgleichung folgt für Gl. (4.8) für ein Element mit dem Vektor der äußeren Lasten f e = fVe + f Pe
T
wie im 3-D-Fall: δu e [K e u e − f e ] = 0 . Da die Variation der Verschiebung δu e beliebig ist, hat diese
Gleichung nur dann eine allgemeine Lösung, wenn gilt:
K eue = f e .
Dies ist die Elementsteifigkeitsgleichung eines Stabelements analog zu Gl. (2.16).
5.4 Aufbau des Gesamtgleichungssystems
In Kap. 2.2.3 wurde die Gesamtgleichung des Systems über das Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen an jedem Knoten ermittelt. Dies ist algorithmisch schwer umzusetzen und auch nicht notwendig. Im Folgenden wird die in FE-Programmen umgesetzte
Vorgehensweise vorgestellt: Wie bereits ausgeführt, wird das gesamte Gebiet V durch
e = 1, . . . , E finite Elemente und xk , k = 1, . . . , N globale Knoten diskretisiert. Neben der globalen Nummerierung aller Knoten der Diskretisierung existiert auf jedem
Element eine lokale Nummerierung i = I, J, . . . , ne aller an diesem Element anliegenden Knoten. Da die Knoten aneinanderstoßender Elemente identisch sind, ist die Anzahl
globaler Knoten geringer als die Summe lokaler Knoten aller Elemente. Entsprechend
fallen Elementfreiheitsgrade von Nachbarelementen an gemeinsamen globalen Knoten zu
Systemfreiheitsgraden zusammen.
Auf einem Element e wird zwischen den Knoten mit polynomialen Ansatzfunktionen
Nie interpoliert. Der Index i des lokalen Knotens und des Elements e definiert eindeutig
eine Formfunktion des Elements.
Für eine Gesamtlösung sind die einzelnen Elemente zu einem Gesamtsystem zusammen
zu setzen, wie bereits in Kap. 2.2.3 erläutert. Dies wird erreicht, indem die Interaktion an
den globalen Knoten geeignet berücksichtigt wird. Dabei sind zwei Bedingungen an einem
Knoten zu erfüllen:
• Das statische Gleichgewicht an dem Knoten muss gelten.
• An einem globalen Knoten liegen mehrere Elemente. Alle Elementknotenverschiebungen, die mit einem globalen Knoten zusammenfallen, müssen dort mit der Verschiebung
des globalen Knotens übereinstimmen. Dies wird als Verschiebungskompatibilität bezeichnet.
Durch die Forderung nach Verschiebungskompatibilität existiert ein eindeutiger Zusammenhang zwischen der lokalen und der globalen Knotennummerierung. Diesen Zusammenhang kann man in eine jedem Element zugeordnete Inzidenztabelle eintragen. Illustriert wird dies am Beispiel von zwei Scheibenelementen in Abb. 5.6. In der Inzidenztabelle
5.4 Aufbau des Gesamtgleichungssystems
63
4
Abb. 5.6 Einführungsbeispiel
für die Inzidenztabelle
5
6
K L
L
e=1
I
1
K
e=2
J I
2
J
3
wird elementweise jedem lokalen Knotenindex i = I, J, . . . , ne die entsprechende globale
Knotennummer zugeordnet, die während der Vernetzung vergeben wird. Für das Beispiel
aus Abb. 5.6 ist sie in Tab. 5.1 angegeben. Die Nummerierung muss weder aufsteigend
Tabelle 5.1 Inzidenztabelle für das Beispiel aus Abb. 5.6
Element
I
J
K
L
1
1
2
5
4
2
2
3
6
5
noch zusammenhängend sein. Dies wäre in einem 3-D-Netz auch nicht zu realisieren.
Die Nummern sind vielmehr als beliebige aber eindeutige Identifikatoren zu verstehen.
Die Reihenfolge der Nummern für jedes Element ist allerdings nicht willkürlich, sondern definiert den Orientierungssinn des Elements, um z. B. eine Normalenrichtung zu
definieren. Das Nummerierungsschema ist programmabhängig, d. h. bei der Nutzung von
Inzidenztabellen ist jeweils zu klären, wie die Nummerierung zu interpretieren ist. Die
globalen Nummern an denen Elemente zusammenfallen wiederholen sich in der Tabelle,
dies gibt den Elementzusammenhang (Konnektivität) im diskreten Gesamtmodell wieder.
In Tab. 5.1 sind die zwei Knoten des Beispiels eingerahmt.
Damit lässt sich jeder Eintrag der Elementsteifigkeitsmatrix mit den globalen Knoten
assoziieren, z. B. für Element 2
 K 2
 II2
K
K 2 =  JI
2
KKI
 K 2
LI
KIJ2
2
KJJ
2
KKJ
2
KLJ
2
KIK
2
KJK
2
KKK
2
KLK
2 
KIL
 K22
2
KJL  K32
2  =  K
KKL
  62

2 
KLL
 K52
K23
K33
K63
K53
K26
K36
K66
K56
K25 
K35 
 .
K65 
K55 
Bei jedem Eintrag handelt es sich um eine [2 × 2]-Submatrix, s. Gl. (5.9).
In Kap. 2.2.3 wird die Gesamtsteifigkeitsmatrix über das Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen aller Knoten der Diskretisierung hergeleitet. Wesentlich war in Gl. (2.26),
dass Koeffizienten der Elementmatrizen an zusammenfallenden Systemfreiheitsgraden in
der Gesamtmatrix addiert werden. Genauso erfolgt der Zusammenbau der Gesamtsteifigkeitsmatrix mit der Inzidenztabelle: Die Submatrizen aller Elementsteifigkeitsmatrizen
werden an den Stellen der globalen Matrix einsortiert, die zu den globalen Knotennummern gehören. An zusammenfallenden Knoten werden Elementsteifigkeitsterme addiert.
Diese einfache Vorgehensweise entspricht der Aufstellung und Umsortierung der Gleichgewichtsbedingungen in Kap. 2.2.3. Für das aktuelle Beispiel ergibt dies:
64
5 Diskretisierung mit finiten Elementen
1
2
3
K =
4
5
6
1
 K11
 K
 21
 0
 K41
 K51
 0
2
K12
K22 + K22
K32
K42
K52 + K52
K62
3
0
K23
K33
0
K53
K63
4
K14
K24
0
K44
K54
0
5
K15
K25 + K25
K35
K45
K55 + K55
K65
6
0 
K26 

K36 
,
0 

K56 
K66 
(5.14)
mit der Gesamtdimension
Dim(K ) = [nFHG · N × nFHG · N] = [Nges × Nges ] ,
(5.15)
die sich in diesem Beispiel zu [12 × 12] ergibt. In Gl. (5.14) sind die Terme mit den Farben
der Elemente aus Abb. 5.6 angegeben, um die Zuordnung der Terme zu verdeutlichen.
Mit dem Gesamtvektor der Knotenverschiebungen sowie Knotenkräfte ergibt dies die
Gesamt-Steifigkeitsgleichung der Finite-Elemente-Methode:
Ku = f .
(5.16)
Es handelt sich um ein lineares Gleichungssystem (LGS). Auf die Lösung wird in Kap. 5.6
eingegangen.
5.4.1 Eigenschaften der Gesamtsteifigkeitsmatrix
Zentraler Bestandteil von Gl. (5.16) ist die Steifigkeitsmatrix K, die einige besondere
Eigenschaften aufweist, die hier näher erläutert werden;
symmetrisch: Die Steifigkeitsmatrix ist symmetrisch, s. Abb. 5.7. Damit ist eine Speicherung der oberen Dreiecksmatrix ausreichend. Die Wahl der Ansätze der virtuellen
Verschiebungen identisch zu denen des tatsächlichen Verschiebungsfeldes führt zu
dieser Eigenschaft, s. Gl. (5.10).
dünn-besetzt und diagonal-dominant: Eine weitere wichtige Eigenschaft ist, dass die
Steifigkeitsmatrix nur schwach besetzt (sparse) ist, d. h. dass nur wenige Koeffizienten von null verschieden sind, s. Abb. 5.7. Dies rührt vom lokalen Charakter der
Ansatzfunktionen her, die nur innerhalb eines Elements von null verschieden sind, s.
Gl. (5.2) und Abb. 5.2. Die Einträge sind bei entsprechender Knotennummerierung
in einem unregelmäßigen Band um die Hauptdiagonale angesiedelt (im Abb. 5.7
grau angedeutet). Diese Struktur wird bei der Lösung durch moderne Algorithmen
ausgenutzt, s. Kap. 5.6.1. Mit etwas Phantasie kann man anhand der Skizze auch den
Namen im Englischen verstehen: Dort wird dies als Skyline-Struktur bezeichnet.
positiv-semidefinit: Dies ist mathematisch über die Beziehung
uT K u ≥ 0
(5.17)
definiert. Mechanisch lässt sich dies so interpretieren: Der Vergleich mit Gl. (5.11)
zeigt, dass dieser Term die im Körper gespeicherte Formänderungsenergie dar-
5.5 Einbringen von Randbedingungen
Abb. 5.7 Eigenschaften der
Gesamtsteifigkeitsmatrix:
Symmetrie, Anordnung der
Nichtnulleinträge in einer
dünn-besetzten, diagonaldominanten Matrix, Definition von Skyline und Bandbreite
65
Bandbreite p
Kji
Skyline
Ki j = K j i
stellt. Eine Energie kann aber nur größer oder gleich null sein kann. Damit stellt
diese Beziehung eine notwendige Bedingung für K dar, um physikalisch sinnvolle
Zustände zu erzeugen.
Der Fall u T K u = 0 tritt auf, wenn es einen Verschiebungszustand u gibt, der keine
Formänderungsenergie erzeugt. Dies ist der Fall bei Starrkörperbewegungen, die in
der Statik nur bei einer kinematisch unbestimmten Lagerung auftreten können.
Die Definitheit einer Matrix lässt sich auch über deren Eigenwerte λ (s. a. Kap. 8.2) feststellen und interpretieren: Gilt die Beziehung in Gl. (5.17), sind die Eigenwerte immer
reell und größer oder gleich Null: λ ∈ R+0 . Ist ein Eigenwert null, spricht man von Semidefinitheit. Dies bedeutet die Matrix ist singulär und damit nicht invertierbar. Damit hat
das mechanische Problem keine Lösung. Dies macht Sinn, da an dieser Stelle noch keine
Randbedingungen berücksichtigt wurden und damit auch keine eindeutige Lösung existieren kann. Eine reguläre, positiv-definite Matrix, die invertierbar ist, erhält man durch
Einsetzen der Verschiebungsrandbedingungen in das Gleichungssystem, s. Kap. 5.5. Mit
der Überprüfung der Eigenwerte auf Nullwerte kann man also prüfen, ob eine kinematisch
bestimmte Lagerung vorliegt.
5.5 Einbringen von Randbedingungen
Das LGS Gl. (5.16) ist so noch nicht lösbar, da noch die problemspezifischen Randbedingungen
u = ū auf Au
und
f = f¯ auf At
an jedem Knoten der Diskretisierung einzusetzen sind. Der Spannungsvektor t̄ wurde hier
durch den diskreten Knotenkraftvektor f¯ ersetzt. In der Statik ist sicherzustellen, dass das
System kinematisch bestimmt gelagert ist.
Ist an einem Knoten keine Randbedingung vom Benutzer vorgegeben, wird eine homogene Kraft-Randbedingung angenommen: f¯ = 0, s. Kap. 3.1. Dies entspricht dem Fall
einer kraft- bzw. spannungsfreien Oberfläche.
Zur Lösung wird die Gesamtsteifigkeitsmatrix gedanklich so umsortiert, dass im Knotenvektor der Verschiebungen zunächst die unbekannten und danach die bekannten Größen
stehen:
66
5 Diskretisierung mit finiten Elementen
"
Kuu
Kūu
#" # " #
Kuū u
f¯
=
.
Kūū ū
f
(5.18)
Entsprechend umgekehrt ist der Lastvektor aufgeteilt, da immer Verschiebung oder Last
an einem Knoten vorgegeben sein darf. In den Vektoren u und f sind die Unbekannten
enthalten. Die Matrizen Kuu und Kūū sind quadratische Matrizen, während die Submatrizen auf der Nebendiagonale i. d. R. Rechteckmatrizen sind, da die Dimensionen von u
und f üblicherweise nicht gleich sein werden. Die erste Gleichung lautet:
Kuu u = f¯ − Kuū ū .
(5.19)
Die Matrix Kuu ist nun eine symmetrische und positiv-definite Matrix ist. Das heißt, dass
alle Eigenwerte reell und positiv sind und eine Inverse existiert und damit eine eindeutige
Lösung möglich ist. Dieses Gleichungssystem wird für die unbekannten Knotenvariablen
gelöst. Besonders einfach wird Gl. (5.19), wenn es sich bei ū um homogene Randbedingungen ū = 0 handelt, wie dies bei Lagerungen der Fall ist. Es bietet sich dadurch der
Vorteil, nur Kuu aufstellen zu müssen und die restlichen Teilmatrizen nicht zu berechnen.
Die Reaktionskräfte werden dann in einer sogenannten Nachschaltrechnung durch
f = Kūu u + Kūū ū
Abb. 5.8 Flussdiagramm
einer FE-Berechnung
Schleife über alle Elemente
ermittelt.
Das Vorgehen bei homogenen Verschiebungsrandbedingungen (Lagerungen) kann numerisch sehr effizient gestaltet werden, da das Umsortieren von Gl. (5.16) auf Gl. (5.18)
nicht explizit durchgeführt werden muss. Wie bereits in Kap. 2.2.5 erläutert wurde, kann
man alle Zeilen und Spalten, die mit einer homogenen Randbedingung verbunden sind,
streichen. Es wird also nie die vollständige Matrix K aufgestellt, sondern nur die Submatrix
Kuu (und nur wenn die Reaktionskräfte benötigt werden zusätzlich Kūu und Kūū ).
Schließlich verbleibt noch die Berechnung der Elementspannungen und -dehnungen
mit Gl. (5.5) und Gl. (5.4).
Damit sind alle Größen vollständig berechnet und können analysiert werden. Zusammenfassend ist in Abb. 5.8 der Ablauf einer linearen statischen FE-Berechnung dargestellt.
ε̃ e
Diskretisierung
Analyse
Elementsteifigkeitsmatrix
(ξ) e
K
Elementdehnung/-spannung
ε̃ e = Bu e σ̃ e = C Bu e
Transformation
T
T e (ξ)K e T e =
Knotenreaktionskräfte e
f e = K eue
(x)
Ke
Gesamtsteifigkeitsmatrix
Ku = f
Lagerreaktionen R
f = K ū u u + K ū ū ū
Randbedingungen
K ⇒ Ku u
Gleichungslösung
K u u u = f¯ − K u ū ū
ū F̄
5.6 Lösung linearer Gleichungssysteme
67
5.6 Lösung linearer Gleichungssysteme
In diesem Abschnitt soll auf die Lösungsverfahren für Gl. (5.19) eingegangen werden.
Dies ist heutzutage eine Standardaufgabe für die viele Programmbibliotheken existieren1.
Im Folgenden wird ein kurzer Überblick über die prinzipielle Funktion von linearen
Gleichungslösern für statische Probleme gegeben. Das Themengebiet ist sehr umfangreich und übersteigt den Rahmen dieses Buchs. Deshalb werden nur einige Begriffe und
grundlegende Verfahren eingeführt.
5.6.1 Direkte Gleichungslöser
Bei den direkten Lösern wird die Systemmatrix in eine andere Form gebracht, um die
Berechnung der Unbekannten zu erleichtern, s. Abb. 5.9. Dies gelingt mit einer DreiecksAbb. 5.9 Faktorisierung einer
Matrix auf Dreiecksform
K
u=f
=⇒
Dreiecksform
=
form der Matrix, da damit die letzte Gleichung nach der verbleibenden Unbekannten durch
einfaches Dividieren durch den Koeffizienten vor der Unbekannten gelöst werden kann.
Die vorletzte Gleichung enthält damit im nächsten Schritt auch nur noch eine Unbekannte
und so arbeitet man sich bis oben durch.
Das klassische Verfahren ist der Gauß’sche Eliminationsalgorithmus, bei dem durch
Multiplizieren von Zeilen mit Faktoren und Addition von Zeilen eine Dreiecksform des
Gleichungssystems aufgebaut wird, die dann durch einfaches Rückwärtssubstituieren gelöst wird. Es wird in der Praxis nicht eingesetzt, weil es zu ineffizient ist, da die spezielle
Struktur der Steifigkeitsmatrix nicht ausgenutzt wird. Nichtsdestotrotz ist die Vorgehensweise der Dreieckszerlegung (Triangulierung) und Rückwärtssubstitution die Basis der
direkten Löser.
Ein weit verbreitetes Verfahren ist die LU-Zerlegung: Jede positiv-definite (unsymmetrische) Matrix A kann in eine untere Dreiecksmatrix L und eine obere Dreiecksmatrix U
zerlegt werden. Man spricht auch von der Faktorisierung einer Matrix:
A = LU .
Im Fall der reduzierten Steifigkeitsmatrix Kuu , die symmetrisch und positiv-definit ist,
lässt sich zeigen, dass U = L T gilt. Das Verfahren wird dann als Cholesky-Zerlegung
bezeichnet und lautet
Kuu = LL T .
Die Lösung des Gleichungssystems erfolgt dann in folgenden Schritten, s. Abb. 5.10
1 z. B. LAPACK, s. http://www.netlib.org.
5 Diskretisierung mit finiten Elementen
Abb. 5.10 CholeskyFaktorisierung einer Matrix
L
α = LTu
68
= f
=⇒
LT
u =α
• Berechnung der Cholesky Zerlegung L
• reine Vorwärtssubstitution L |{z}
L T u = f zur Berechnung von α
α
• reine Rücksubstitution L T u = α zur Bestimmung der gesuchten Verschiebungen u.
Der Lösungsschritt ist also relativ simpel, allerdings muss dafür zunächst L berechnet
werden. Dies ist der aufwendigste Teil des Algorithmus. Die Formeln dafür finden sich in
Meister [7, Kap. 3.2, S. 48]. Für große Gleichungssysteme wird dort auch gezeigt, dass die
Cholesky-Zerlegung nur ca. 50 % der Rechenoperationen des Gauß-Algorithmus benötigt.
Der Vorteil der direkten Löser liegt darin, dass immer eine Lösung berechnet werden
kann und es ist vorab durch den gewählten Algorithmus bekannt, wie viele Rechenoperationen für die Lösung notwendig sind. Allerdings ist der numerische Aufwand im Gegensatz
zu den iterativen Lösern (s. Kap. 5.6.2) höher. Vor allem der Speicherplatzbedarf kann
sehr groß sein.
5.6.1.1 Bandbreitenoptimierung dünn-besetzter Matrizen
Für die Behandlung großer Probleme werden hochentwickelte Gleichungslöser in kommerziellen FE-Programmen eingesetzt. Die hiermit verbundenen Begrifflichkeiten sollen im
Folgenden erläutert werden. Im Vordergrund steht immer die Optimierung des Speicherbedarfs und die Begrenzung der Anzahl notwendiger Rechenoperationen zur Lösung.
Die heute in kommerziellen Programmen eingesetzten direkten Löser nutzen die spezielle Struktur der Steifigkeitsmatrix aus, um besonders effizient zu einer Lösung zu
kommen. Dazu ist der Begriff der Bandbreite einer dünn-besetzten symmetrischen Matrix
wichtig: Die halbe Bandbreite p ist der maximale Abstand eines von null verschiedenen Koeffizienten, von der Hauptdiagonale, s. Abb. 5.7. Dazwischen können Nulleinträge
liegen. Eine möglichst kleine Bandbreite ist entscheidend für die Effizienz der Faktorisierungsalgorithmen die auf die Cholesky-Zerlegung führen. Die Bandbreite ergibt sich
durch den maximalen Abstand der Knotennummern eines Elements, da durch die Nummerierung die Einsortierung in die Gesamtmatrix erfolgt. Um die Bandbreite zu minimieren,
gibt es deswegen verschiedenste Bandbreitenoptimierungsverfahren, die die Anordnung
der Knotennummerierung verbessern. Das klassische Verfahren ist ein Algorithmus von
Cuthill-McKee (CM), heutzutage wird üblicherweise der Reverse Cuthill-McKee (RCM)Algorithmus eingesetzt. Auf eine Erläuterung der Verfahren soll hier verzichtet werden,
s. hierzu Jung und Langer [4, Kap. 5.3]. In Knothe und Wessels [6, Kap. 5.5, S. 185] wird
durch Ermitteln der notwendigen Rechenoperationen eine Formel zur Abschätzung der
Rechenzeit für die Cholesky-Faktorisierung angegeben:
TCholesky ≈
1
2 p
Nges p2 (1 −
),
2
3 Nges
5.6 Lösung linearer Gleichungssysteme
69
mit der Anzahl an Gesamtfreiheitsgraden Nges , die damit die Dimension des linearen
Gleichungssystems angibt. Eine Halbierung der Bandweite der Matrix reduziert für Nges p die Berechnungszeit ungefähr auf ein Viertel. Dieses Beispiel zeigt die große Bedeutung
der Bandbreitenoptimierung.
5.6.1.2 Speicherung dünn-besetzter Matrizen
Als Speichertechniken werden verschiedene Methoden benutzt, die zunehmend die Struktur ausnutzen. Bei einer Bandspeichertechnik wird für jede Spalte die zuvor ermittelte
Bandbreite an Werten gespeichert. Dies ist relativ ineffizient, da in Abb. 5.7 zu sehen ist,
dass man damit sehr viele Einträge speichert, die null sind. Sogenannte Profilspeichertechniken (Skyline-Speicherung (SKS) entsprechend der Silhouette der besetzten Werte in
Abb. 5.7) speichern für jede Spalte nur die für diese Spalte gültige Bandbreite an Werten,
entsprechend dem schattierten Bereich in Abb. 5.7. Aber auch hier werden Nulleinträge,
die zwischen dem äußersten Wert liegen, mitgespeichert und damit auch verarbeitet. Durch
eine Cholesky-Faktorisierung können solche Nulleinträge innerhalb der Bandbreite belegt
werden, dies wird als Fill-in bezeichnet und reduziert die Dünn-Besetztheit der Matrix.
Wichtig ist, dass eine Cholesky-Zerlegung die Skyline erhält, d. h. es wird kein Fill-in
außerhalb der ursprünglichen Skyline erzeugt.
Die Speichertechnik, die am wenigsten Speicherplatz benötigt, ist die Sparse-Speicherung, z. B. das Compressed-Row-Storage (CRS): Aus jeder Spalte werden nur Nichtnulleinträge in einem Vektor gespeichert und Indexvektoren für Spalte und Zeile. Diese Speichertechnik lässt sich besonders effizient für die Ausführung von Matrix-Vektor-Produkten
nutzen, die in Kap. 5.6.2 eine große Rolle spielen. Allerdings sind die Indizierungen aufwendig zu berechnen, sodass nicht für jede Problemstellung eine solche hoch komprimierte
Speichertechnik sinnvoll sein muss. Als spezielle, die Dünn-Besetztheit erhaltende Umordnungsalgorithmen werden die Verfahren Metis(Karypis und Kumar [5]) und Multiple
Minimum Degree (MMD)(Jung und Langer [4, Kap. 5.2, S. 467 ff.]), eingesetzt. Diese
Verfahren haben nicht die Bandbreitenoptimierung zum Ziel, sondern die Reduktion des
Fill-in bei der Cholesky-Zerlegung, da dies die Dünn-Besetztheit stört.
5.6.1.3 Frontlöser
Die in kommerziellen FE-Programmen heutzutage eingesetzten direkten Gleichungslöser für die Cholesky-Faktorisierung sind nicht die Standardverfahren wie die GaußElimination, sondern üblicherweise Frontlöser (s. Bathe [1, Kap. 8.2, S. 725], Irons [3]).
Um den notwendigen Speicheraufwand weiter zu reduzieren, laden diese Algorithmen nur
einen Teil des Gesamtgleichungssystems in den Speicher und lösen das System sukzessive. In Abb. 5.11 ist dies an einem einfachen Beispiel gezeigt. Das Element 1 wird zuerst
berechnet. Der Knoten 1 ist nur mit diesem Element verbunden und damit nicht abhängig
von der Lösung anderer Elemente. Deswegen kann, ähnlich der statischen Kondensation
in Kap. 5.6.3.1, dieser Knoten durch die Lösung der anderen Knoten ausgedrückt werden
und damit eliminiert werden. Durch die vorgegebene Randbedingung reduziert sich diese
Gleichung auf die Bestimmung der Reaktionskraft. Die tatsächliche Berechnung kann erst
70
Abb. 5.11 Verlauf der Front
bei einem Frontlöser
5 Diskretisierung mit finiten Elementen
3
7
6
Front 2
2
2
4
5
Front 1
1
1
Front 3
8
3
4
9
zum Schluss erfolgen, da die anderen Knoten noch nicht berechnet wurden. Deswegen
wird diese Bestimmungsgleichung zwischengespeichert. Die verbleibende Steifigkeitsmatrix für die Knoten 4, 5, 2 wird nun in eine temporäre Gesamtmatrix gespeichert. Die
restlichen Knoten bilden in diesem Schritt die Front 1. Nun wird die Elementsteifigkeitsmatrix 2 hinzugenommen. Ein nicht mit anderen, außer dem bereits berechneten Element
1, verbundener Knoten ist im Beispiel Knoten 2. Dieser wird nun wieder eliminiert und
es verbleiben restliche unbekannte Knoten an der Front 2 zwischen bearbeiteten und noch
offenen Elementen. Als nächstes wird Element 3 geladen und es bildet sich Front 3. In
Abb. 5.11 sieht man, wie sich durch diese Vorgehensweise eine Front durch das Modell
bewegt, was den Namen des Verfahrens begründet. Ist die Front durchgelaufen, kann man
den letzten Knoten lösen und dann durch eine Rückwärtssubstitution alle vorher eliminierten Knotenlösungen bestimmen. Zu jedem Zeitpunkt ist nur eine Teilmatrix im Speicher
zu halten, die durch die Bandbreite der Front bestimmt wird. Je geringer die Abstände der
Knotennummern in der Front sind, umso weniger Speicherplatz wird benötigt. Hierzu werden die Bandbreitenoptimierer weiter oben eingesetzt, um eine optimale Nummerierung
zu erhalten.
Für sehr große Problemstellungen ist der Stand der Technik der Einsatz von SparseMulti-Front-Lösern: Es wird eine Sparse-Speicherung der Matrix genutzt mit den o. g.
Speicheroptimierungsalgorithmen. Die Berechnung der Faktorisierung erfolgt nicht mehr
nur mit einer durch die Struktur laufenden Front, sondern mit mehreren. Damit sind diese
Algorithmen optimal geeignet für massiv-parallele Rechnerarchitekturen (s. Kap. 14.2.7),
wo auf jeder CPU ein einzelne Front gelöst wird. Auf die Details dieser Algorithmen kann
hier nicht eingegangen werden, s. Duff et al. [2]. Die Algorithmen sind programmiertechnisch aufwendig, aber den klassischen Verfahren bezüglich Rechenzeit überlegen.
5.6.2 Iterative Gleichungslöser
Iterative Verfahren sind so konstruiert, dass keine Triangulierung der Matrix notwendig ist. Es werden Iterationsvorschriften entwickelt, die zur Lösung führen, indem nur
Matrix-Vektor-Produkte ausgewertet werden müssen. Auf der einen Seite sind dafür sehr
viele Iterationen notwendig, andererseits ist bei kompakter Speicherung v. a. der Speicherplatzbedarf deutlich geringer. Es sind keine rechenzeit- und speicherplatzintensiven
Matrixfaktorisierungen wie bei direkten Verfahren notwendig.
5.6 Lösung linearer Gleichungssysteme
71
Beispielhaft soll das einfachste iterative Verfahren, die Jacobi-Iteration vorgestellt
werden. Ausgangspunkt von iterativen Lösern ist das Aufstellen einer Fixpunktgleichung
der Form f (x) = x. Daraus erkennt man direkt die Iterationsvorschrift x k+1 = f (x k )
mit k als Iterationsindex. Für die FE-Gleichung wird über ein Splitting-Verfahren eine
Fixpunktgleichung erzeugt:
K = D + (K − D) ,
wobei D nur die Hauptdiagonalelemente enthält, s. Abb. 5.12. Es gilt dann:
Abb. 5.12 Aufsplitten der
Steifigkeitsmatrix beim
Jacobi-Verfahren
K
=
+
D
K u = Du + (K − D)u = f
=⇒
K−D
u = D−1 Du + D−1 ( f − K u) .
Daraus ergibt sich die Iterationsvorschrift:
u k+1 = u k + D−1 ( f − K u k ) .
Da D nur die Hauptdiagonalelemente von K enthält, ist die Invertierung trivial berechenbar, indem der Kehrwert jedes Diagonalelements gebildet wird. An dieser Gleichung ist
zu erkennen, dass zur Berechnung einer Lösung nur Matrix-Vektor-Produkte auszuwerten
sind und keine Faktorisierungen, wie bei direkten Lösern. Dies ist numerisch sehr effizient,
allerdings sind die Iterationen sehr oft zu wiederholen. Dies relativiert den Vorteil.
Das Verfahren wird so lange durchgeführt bis eine vorgegebene Anzahl Iterationen
durchgeführt wurde oder eine Konvergenzschranke ε erreicht ist:
u k+1 − u k < ε .
Der Begriff der Konvergenz wird in Kap. 7.1.1 genauer erläutert. Hier bedeutet dies, dass
zwei aufeinander folgende Lösungen nur noch um einen Faktor ε voneinander abweichen.
Dies stellt den größten Nachteil iterativer Verfahren dar: Eine Lösung ist nicht garantiert,
bzw. die Anzahl Iterationen ist nicht vorab bekannt, anders als bei direkten Lösern, die eine
fixe Anzahl Operationen durchlaufen und dann eine Lösung liefern. Weitere Verfahren,
die hier nur erwähnt werden sollen, sind das Gauß-Seidel-Verfahren sowie ein durch
einen zusätzlichen Relaxationsparameter schneller konvergierende Variante davon, das
SOR-Verfahren (Successive-Over-Relaxation), s. Jung und Langer [4, Kap. 5.3, S. 478 ff.].
Wesentlich für die Einsetzbarkeit von iterativen Lösern ist die Vorkonditionierung der
Matrizen, um bessere Konvergenz zu erreichen. Dazu werden die Matrizen mit einer Konditionierungsmatrix multipliziert. Beispiele für Vorkonditionierer bei symmetrischen Matrizen sind das vorkonditionierte konjugierte Gradientenverfahren, das (Block-)LanczosVerfahren, das Mehrgitterverfahren, s. Jung und Langer [4, Kap. 5.3.3, S.493 ff.].
Vergleichend bietet eine direkte Gleichungslösung Vorteile, soweit die verfügbare
Hardware (CPU-Leistung und Hauptspeicher) dies zulassen. Sobald allerdings während
der Berechnung Daten auf die Festplatte ausgelagert werden müssen (häufige Angabe: out-
72
5 Diskretisierung mit finiten Elementen
of-core solution) sollte man auf iterative Löser umstellen. Vom Anwender sollte immer
überprüft werden, welche Art von Löser in einer Software voreingestellt ist. Häufig sind
dies iterative Verfahren, damit auch bei geringer Hardwareleistung eine Lösung garantiert
ist.
5.6.3 Modellreduktionstechniken
Die entstehenden Gleichungssysteme können sehr groß sein, z. B. 10 Mio. Gleichungen.
Entsprechend sind die Hardwarevoraussetzungen zur Lösung sehr groß und die Rechenzeiten sehr lang. Deswegen sollen hier zwei Methoden vorgestellt werden, wie die Modellgröße für statische Problemstellungen verringert werden kann.
5.6.3.1 Submodellierung
Die Submodellierung beinhaltet eine hierarchische Analyse des Modells ähnlich der adaptiven Vernetzung, s. Kap. 7.1.2. In einem ersten Schritt wird das Modell mit grober
Diskretisierung berechnet, um das Gesamtverhalten abzubilden. Dann wird ein Teil des
Modells isoliert betrachtet und deutlich feiner vernetzt. Als Randbedingungen sind auf äußeren Rändern die gegebenen Randbedingungen aufzubringen und auf den Schnitträndern
zum Rest des Modells werden die zuvor im groben Schritt berechneten Größen genutzt,
und als äußere Randbedingungen betrachtet. Dazu sind die Daten in der Regel auf das
neue Netz zu interpolieren. Diese Technik ist sehr flexibel:
• Es kann zwischen Elementklassen gewechselt werden: z. B. kann das grobe Modell mit
Schalen und das feine Modell mit Volumenelementen berechnet werden.
• Man kann zwischen statischer und dynamischer Analyseart umschalten.
• Es sind lineare und nichtlineare Betrachtung kombinierbar.
Vor allem bei Fragestellungen der Spannungsauswertung kann diese Methode vorteilhaft
eingesetzt werden, da damit interessierende Bereiche sehr fein aufgelöst werden können.
Eine Anwendung ist z. B. die Lebensdauerbewertung. In Abb. 5.13 ist eine Kerbe dargestellt, deren Kerbgrund mit einem Submodell sehr fein aufgelöst ist.
Abb. 5.13 Beispiel für ein
Submodell (blau) für die
Spannungsberechnung in
einer Kerbe
5.6 Lösung linearer Gleichungssysteme
73
5.6.3.2 Substrukturtechniken
Eine weitere Reduktionstechnik kann genutzt werden, wenn wiederkehrende Teilstrukturen in einem Modell auftreten oder Modellteile in verschiedenen Modellen immer wieder
benutzt werden. Dazu wird die Struktur in Teilstrukturen zerlegt. Die Idee ist, Freiheitsgrade, die nicht für die Kompatibilität mit anderen Elementen oder Modellteilen notwendig
sind, vorab aus den Gleichungen zu eliminieren. Man spricht von statischer Kondensation2 (Bathe [1, Kap. 8.2.4, S. 717]), s. Abb. 5.14. Dazu wird für jede der Teilstrukturen die
Abb. 5.14 Beispiel für eine
Substrukturtechnik. Es sind
zwei identische Substrukturen
im Modell enthalten
nach Kondensation
kondensierte Knoten
Substruktur
Steifigkeitsgleichung partitioniert:
"
#" # " #
Kee Kek ue
f
= e .
Kke Kkk uk
fk
Der Verschiebungsvektor wird in einen Teilvektor ue der zu erhaltenden Freiheitsgrade
und einen Teilvektor von Freiheitsgraden uk , die eliminiert werden können, zerlegt. Löst
man die untere Zeile formal nach dem Teilvektor uk auf, folgt:
−1
uk = Kkk
( fk − Kke ue ) .
(5.20)
Setzt man dies in die obere Zeile ein, kann man den Teilvektor uk aus der Gesamtgleichung
eliminieren:
−1
−1
Kee − Kek Kkk
Kke ue = fe − Kek Kkk
fk .
(5.21)
|
{z
}
Kstat
Die Steifigkeitsmatrix Kstat muss bei wiederkehrenden Teilen nur einmal berechnet werden.
Die kondensierten Substrukturen können immer wieder verwendet werden. Man spricht
dann auch von Superelementen. Die Invertierung der Submatrix Kkk in Gl. (5.21) wird nicht
wirklich berechnet, sondern man wendet auch hier wieder eine Cholesky-Faktorisierung
an, s. Kap. 5.6.1. Die äußeren Lastfälle müssen bei Erstellung eines Superelements vorher
definiert werden, da der Lastvektor fk in die Berechnung der kondensierten Freiheitsgrade
in Gl. (5.20) eingeht.
2 Der Name ergibt sich aus der Anwendung dieser Methode bei linearen dynamischen Verfahren zur
näherungsweisen Berechnung von Eigenwerten, s. Kap. 8.2.3.1.
74
5 Diskretisierung mit finiten Elementen
5.7 Aufgaben
5.1. Das Bild zeigt die Diskretisierung eines L-förmigen Gebiets mit bilinearen Scheibenelementen. Beantworten Sie die folgenden Fragen:
1.
2.
3.
4.
5.
Wie viele globale Knoten und Elemente hat das FE-Modell?
Welche Freiheitsgrade gibt es an den Knoten?
Welche Dimension hat die Gesamtsteifigkeitsmatrix?
Wie viele Randbedingungen sind insgesamt anzugeben?
Welche Dimension hat die resultierende Steifigkeitsmatrix nach
dem Einsetzen der Randbedingungen?
6. Geben Sie eine Inzidenztabelle für das Modell an. Wählen Sie
dazu entsprechende Knoten- und Elementnummerierungen.
y
x
f
f
5.2. An einem linearen Stabelement der Länge ` = 2 mm wirkt eine Streckenlast in
Form einer konstanten Last s0 = 0,22 N/mm. Berechnen Sie den daraus resultierenden
Knotenkraftvektor fVe , der in das FE-Gleichungssystem eingesetzt wird.
Literaturverzeichnis
[1] K.-J. Bathe. Finite element procedures. Prentice-Hall of India, New Delhi, 2007.
[2] I. S. Duff, A. M. Erisman, und J. K. Reid. Direct methods for sparse matrices.
Clarendon Press, Oxford, 1986.
[3] B. M. Irons. A frontal solution program for finite element analysis. International
Journal for Numerical Methods in Engineering, 2(1):5–32, 1970.
[4] M. Jung und U. Langer. Methode der finiten Elemente für Ingenieure. Springer
Vieweg, Wiesbaden, 2. Aufl., 2013.
[5] G. Karypis und V. Kumar. A Fast and High Quality Multilevel Scheme for Partitioning
Irregular Graphs. SIAM Journal on Scientific Computing, 20(1):359–392, 1998.
[6] K. Knothe und H. Wessels. Finite Elemente. Springer Vieweg, Berlin, 5. Aufl., 2017.
[7] A. Meister. Numerik linearer Gleichungssysteme. Springer Vieweg, Wiesbaden, 5.
Aufl., 2015.
Kapitel 6
Finite-Elemente-Klassen
Dieses Kapitel beinhaltet eine Übersicht der in der FEM für die Strukturmechanik eingesetzten Elemente. Ziel des Kapitels ist, dem Anwender die häufigsten Elementtypen
vorzustellen, mit den dafür notwendigen Eigenschaften und Parametern. Es wird nicht angestrebt eine vertiefte Einführung in Elementtechnologie darzustellen. Hierzu sei auf die
vielfältige Literatur verwiesen, z. B. Klein [8, Kap. 7], Merkel und Öchsner [10], Hughes
[7], Belytschko et al. [2]. Details werden nur dort eingeführt, wo es für das Verständnis
der Eigenschaften der Elemente, die hier im Vordergrund stehen sollen, notwendig ist.
6.1 Klassifizierung von Elementen
In kommerziellen Programmen ist eine Vielzahl von Elementen implementiert, die man
nach verschiedenen Kriterien klassifizieren kann:
1. Räumliche Dimension: Die Anzahl der räumlichen Koordinaten D ist eines der wesentlichsten Unterscheidungsmerkmale. In Abb. 6.1 sind hierzu jeweils die Standardelemente gezeichnet. Die räumliche Dimension wird in der Regel durch die Benennung
Abb. 6.1 Klassifizierung
von Elementtypen nach der
räumlichen Dimension in
natürlichen Koordinaten
-1
ξ
1
3-D
2-D
η
1
1-D
-1
ζ
1
ξ
ξ
η
-1
des Elements ausgedrückt: Stab, Scheibe, Hexaeder etc.
2. Anzahl der Knoten Die Anzahl der Knoten eines Elements ne legt den möglichen
Ansatzgrad der Polynome fest. Als Beispiel ist in Abb. 6.2 ein lineares und ein quadratisches Tetraederelement mit vier bzw. zehn Knoten gezeichnet.
3. Anzahl Freiheitsgrade am Knoten Die mechanischen oder allgemeiner physikalischen Eigenschaften eines Elements drücken sich in der Anzahl nFHG der Element© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2017
M. Wagner, Lineare und nichtlineare FEM, DOI 10.1007/978-3-658-17866-6_6
75
76
6 Finite-Elemente-Klassen
4 Knoten,
linear
Abb. 6.2 Klassifizierung
von Elementtypen nach der
Anzahl von Knoten bzw. dem
Grad der Ansatzpolynome
10 Knoten,
quadratisch
freiheitsgrade am Knoten aus. In der Strukturmechanik können dies drei bis sechs
Freiheitsgrade sein, s. Abb. 6.3. Die Anzahl der Freiheitsgrade allein reicht für die
Abb. 6.3 Klassifizierung von
Elementtypen nach der Anzahl
der Elementfreiheitsgrade
Scheibe
Platte
Schale
Festlegung der physikalischen Eigenschaften nicht aus, da ein Element für akustische
Berechnungen z. B. auch nur einen Freiheitsgrad hat, aber hier handelt es sich um den
Schalldruck. Ebenso hat ein Element in der Wärmeleitung nur einen Freiheitsgrad, hier
die Temperatur.
4. Geometrische Form Zuletzt unterscheiden sich mehrdimensionale Elemente noch
darin, welche geometrische Form sie haben, s. Abb. 6.4. Üblich sind in der FEM in 2-D:
Dreieck und Viereck und in 3-D: Tetraeder, Prisma und Pyramide (Pentaeder) sowie
Hexaeder. Höherwertige Polyeder sind in kommerziellen Programmen nicht üblich, da
Abb. 6.4 Klassifizierung
von Elementtypen nach der
geometrischen Form
Tetraeder
Pentaeder
Hexaeder
mit den genannten Formen die Diskretisierung beliebiger Körper bereits durchgeführt
werden kann und die Behandlung von Kontakt deutlich komplizierter werden würde.
6.2 Das isoparametrische Konzept
Finite Elemente sind im Allgemeinen mehrdimensional und beliebig verzerrt, d. h. nicht
mehr rechtwinklig und entlang der Koordinatenachsen angeordnet, s. Abb. 5.3. Dadurch
ergibt sich das Problem, dass die Formfunktionen für jede beliebige Lage und Form eines
Elements neu berechnet werden müssten, was natürlich in der Praxis nicht möglich ist.
Dieses Problem trat bisher nicht auf, da nur einfache eindimensionale oder quadratische
zweidimensionale Elemente betrachtet wurden, die durch Rotation immer in das globale
Koordinatensystem orientiert werden konnten.
6.2 Das isoparametrische Konzept
77
Für eine möglichst allgemeine Definition von finiten Elementen und um eine Programmimplementierung überhaupt möglich zu machen, werden finite Elemente immer in einem
Standardkoordinatenraum definiert, dem natürlichen Koordinatensystem. Die Achsen werden mit den griechischen Buchstaben (ξ ) = (ξ, η, ζ ) bezeichnet, um sie deutlich von den
üblichen globalen Achsen (x) = (x, y, z) zu unterscheiden. Das natürliche Koordinatensystem für ein zweidimensionales Element ist in Abb. 6.5 rechts dargestellt. Es handelt
Abb. 6.5 Schematische Definition eines 2-D-Elements
in globalen und natürlichen
Koordinaten
η
J
ξ
1
-1
z
1
ξ
η
-1
y
x
sich immer um einen quadratischen oder im 3-D würfelförmigen Bereich, dessen Intervallgrenzen für jede Achse von -1 bis +1 gehen. Um jedes beliebige Element in globalen
Koordinaten darstellen zu können, ist eine noch zu bestimmende Transformationsfunktion
J : (x) → (ξ ) anzugeben, die im Folgenden hergeleitet wird.
Durch diese Darstellung hängen die Formfunktionen nicht mehr von den globalen
Koordinaten (x) ab, sondern durch die Transformation implizit von den natürlichen
Koordinaten(ξ ). Formal lautet der FEM-Ansatz nun
ũ e (x(ξ )) = N (x(ξ ))u e = N (ξ )u e .
(6.1)
Dies ist bei der Differenziation und Integration zu beachten, z. B. für die Steifigkeitsmatrix:
Z
Z Z Z
Ke =
B(x(ξ )) T C B(x(ξ )) dx dy dz .
BT C BdV =
Ve
x
y
z
Da die Integrationsgrenzen in globalen Koordinaten (x) definiert sind, der Integrand
aber in (ξ ), ist eine Transformation des Integrals notwendig. Weiterhin ist es notwendig die
Matrix B(ξ ) angeben zu können. Die Matrix enthält die Ableitungen der Formfunktionen,
die in ξ definiert sind, nach globalen Koordinaten x, z. B. für das viereckige Scheibenelement aus Kap. 5.1.1 mit ebenem Spannungszustand:
 ∂ 0  "
#
 ∂x ∂  NI (ξ ) 0 NJ (ξ ) 0 NK (ξ ) 0 NL (ξ ) 0
B = Dε N (ξ ) =  0 ∂y 
. (6.2)
0 NI (ξ ) 0 NJ (ξ ) 0 NK (ξ ) 0 NL (ξ )
 ∂ ∂ 
 ∂y ∂x 
Diese Ableitungen sind nun nicht mehr direkt zu berechnen, z. B. lautet der erste Term für
die Ableitung der Ansatzfunktion nach der globalen Koordinate x unter Beachtung der
Kettenregel
∂ NI (ξ, η) ∂ NI ∂ξ ∂ NI ∂η
B11 =
=
+
.
∂x
∂ξ ∂ x
∂η ∂ x
78
6 Finite-Elemente-Klassen
Analog sind die anderen Terme zu berechnen. Die Ableitungen der Formfunktionen nach
∂η
den natürlichen Koordinaten können direkt berechnet werden. Die Ableitungen ∂ξ
∂x , ∂x der
Koordinaten (ξ, η) nach den globalen Koordinaten (x, y) sind aber zunächst nicht definiert.
Für diese Ableitungen muss eine mathematische Beziehung der Art x = x(ξ ) (bzw.
die Umkehrfunktion ξ = ξ (x)) zwischen den beiden Koordinatensystemen hergestellt
werden. Dies war bisher nicht notwendig, da die Elemente immer so angeordnet waren,
dass das natürliche und globale Koordinatensystem gerade zusammenfallen, wie z. B. in
Kap. 2.1, oder nur verschoben bzw. durch eine reine Rotation abgebildet werden konnten,
wie in Kap. 2.2.2. Damit ergab sich kein direkter Einfluss auf die Ableitungen. Dies ist im
allgemeinen Fall verzerrter Elemente anders.
Prinzipiell gibt es zur Herstellung der Beziehung beliebige Möglichkeiten, aber es wird
wieder eine ähnliche Vorgehensweise wie bei der Diskretisierung des Energieprinzips
gewählt: Die Geometrie wird punktuell durch i Ortsvektoren x (i) beschrieben. Dazwischen
werden geometrische Formfunktionen definiert, die die räumliche Form beschreiben. Dies
wird auch in der graphischen Datenverarbeitung und vor allem auch im Bereich des CAD
so gemacht, allerdings mit sehr aufwendigen Funktionen, in der Regel B-Splines oder
NURBS. Für weiterführende Informationen s. Vogel [13, S. 145 ff.].
In der FEM werden üblicherweise wieder polynomiale Ansatzfunktionen gewählt. An
dieser Stelle sind drei Möglichkeiten gegeben, s. Abb. 6.6:
Abb. 6.6 Mögliche Anordnung der Ortsvektoren für
das Verschiebungsfeld und
die Geometriebeschreibung.
Punkte der Geometriediskretisierung , Punkte der
Felddiskretisierung , s. auch
Steinke [12, Kap. 7.5]
◦
superparametrisch isoparametrisch subparametrisch
•
Die superparametrische Darstellung nutzt mehr Knoten als im Ansatz der Verschiebungen in Gl. (6.1) benutzt werden für die Geometriebeschreibung. Diese Vorgehensweise
wird aber nicht eingesetzt, da bei Knothe und Wessels [9, Kap. 7.4.3] gezeigt wird, dass
Vollständigkeitsbedingungen verletzt werden und damit die Konvergenz des Elements
nicht sicher gestellt ist, s. zur Erklärung Kap. 7.1.1.
Das subparametrische Konzept besitzt weniger Knoten als der Ansatz für die Feldlösung, und hat damit einen kleinen Vorteil bei der Rechenzeit, ist aber für nichtlineare
Berechnungen schlecht geeignet, da dort die Geometrie aufgrund großer Deformationen
aus den Verschiebungsvektoren durch Addition auf die aktuelle Geometrie ermittelt werden muss. Wenn aber die Ortsvektoren der Geometrie und des Verschiebungsfelds nicht
zusammenfallen, erschwert dies die Aktualisierung, s. auch Bathe [1, Kap. 5.3, S. 363].
Die genannten Nachteile fallen beim isoparametrischen Konzept weg, weswegen es
sich durchgesetzt hat: Die Punkte auf der Geometrie, werden mit denselben Ortsvektoren
beschrieben, die auch für das Verschiebungsfeld genutzt werden. Ebenso werden die Funktionen zur Abbildung der Geometrie zwischen den Stützstellen identisch zu N (ξ ) gewählt,
die auch für das Verschiebungsfeld ũ e (x) eines Elements genutzt werden, s. Abb. 6.7. Es
gilt also, dass die Approximation x̃ e der tatsächlichen Geometrie x in einem finiten
6.2 Das isoparametrische Konzept
79
Abb. 6.7 Beispiel zur Geometrieapproximation beim
isoparametrischen Konzept
x̃
z
xI
x
y
xJ
x
uJ
Element gegeben ist durch:
 x̃  e  NI (ξ ) 0
0 NJ (ξ ) 0
0 . . . 



e
0 NJ (ξ ) 0 . . . 
x̃ (ξ ) =  ỹ  =  0 NI (ξ ) 0
 z̃ 
 0
0 NI (ξ ) 0
0 NJ (ξ ) . . . 
 x I 
 y 
 I 
 zI 
 x J  = N (ξ ) x e . (6.3)
 yJ 
 z 
 .J 
 .. 
Im Knotenvektor der Ortsvektoren x e sind nacheinander die Ortsvektoren zu den Knoten
des Elements xIe, xJe, xKe , . . . einsortiert. Wie man Abb. 6.7 entnehmen kann wird eine im
Allgemeinen beliebig gekrümmte Oberfläche durch Polynomfunktionen niedrigen Grads
approximiert. Dies führt z. B. bei Einsatz von linearen Dreieck- oder Tetraederelementen dazu, dass die gekrümmte Oberfläche durch Ebenen nur facettiert dargestellt wird,
s. als Beispiel eine Kugel in Abb. 6.8. Dadurch wird ein weiterer Fehler in das DiskreAbb. 6.8 Vernetzung gekrümmte Oberfläche mit
ebenen Elementen
tisierungsverfahren eingeführt. Aus diesem Grund sind isoparametrische Elemente mit
höheren Ansatzgraden prinzipiell zu bevorzugen, da neben der genaueren Abbildung des
Verschiebungsfelds auch die Geometrie genauer abgebildet werden kann.
Die Ableitungen in Gl. (6.2) sind damit immer noch nicht angebbar, da man das inverse
Verhältnis benötigt: ξ = ξ (x). Dazu ist ein weiterer Schritt notwendig. Mit Gl. (6.3) kann
man z. B. für die Formfunktion am Knoten I berechnen
∂ NI ( x̃(ξ )) ∂ NI ( x̃(ξ, η, ζ ), ỹ(ξ, η, ζ ), z̃(ξ, η, ζ ) ∂ NI ∂ x̃ ∂ NI ∂ ỹ ∂ NI ∂ z̃
=
=
+
+
.
∂ξ
∂ξ
∂ x̃ ∂ξ
∂ ỹ ∂ξ
∂ z̃ ∂ξ
80
6 Finite-Elemente-Klassen
Ausführen für jede Koordinate und Anordnung in Matrixform ergibt:
 ∂ NI   ∂ x̃ ∂ ỹ

 
 ∂ξ   ∂ξ ∂ξ
 ∂ NI  =  ∂ x̃ ∂ ỹ
 ∂η   ∂η ∂η

 
 ∂ NI   ∂ x̃ ∂ ỹ
 ∂ζ   ∂ζ ∂ζ
|
{z
∂ z̃   ∂ NI 


∂ξ   ∂ x̃ 


∂ z̃   ∂ NI 
 .

∂η   ∂ ỹ 

 
∂ z̃   ∂ NI 


∂ζ   ∂ z̃ 
}
(6.4)
J
Die entstandene Matrix J aus Ableitungen der globalen Koordinaten nach den natürlichen
Koordinaten wird als Jacobi-Matrix oder Funktionalmatrix bezeichnet. Die Berechnung
der Jacobi-Matrix gelingt nun durch Nutzung des isoparametrischen Konzepts in Gl. (6.3),
z. B. für J11 :
∂ Nne
∂ x̃
∂ NI
∂ NJ
J11 =
=
xI +
xJ + · · · +
x ne .
(6.5)
∂ξ
∂ξ
∂ξ
∂ξ
Durch Invertierung von Gl. (6.4) kann man nun die gesuchten Ableitungen der Formfunktionen nach den globalen Koordinaten finden, z. B. für den Knoten I:
 ∂ N 
 I 
 ∂ x 
 ∂ NI  = J −1
 ∂ y 


 ∂ NI 
 ∂z 
 ∂ N 
 I 
 ∂ξ 
 ∂ NI 
 ,

 ∂η 
 ∂ NI 
 ∂ζ 
(6.6)
damit ist die B−Matrix aus Gl. (6.2) berechenbar:
Neben der Berechnung von B sind auch noch die Integrale über die Elemente generell
im globalen Koordinatensystem zu bestimmen. Die Ausführung der Integrale kann in
globalen Koordinaten schwierig sein, da bei verzerrten Elementen die Integrationsgrenzen
nicht einfach definierbar sind, da sie nicht mehr orthogonal zueinander stehen und damit
nicht mehr unabhängig voneinander sind. Aus diesem Grund werden die Volumenintegrale
auf das natürliche Koordinatensystem transformiert, da hier das Integrationsgebiet immer
rechtwinklig berandet ist.
Für die Transformation muss das Differenzial dV in natürlichen Koordinaten angegeben
werden1:
dV = dxdydz = det Jdξdηdζ .
(6.7)
Die Determinante det J gibt das Flächen- oder Volumenverhältnis des Elements im globalen zum lokalen Koordinatensystem wieder. Damit diese Transformation mathematisch
eindeutig ist, müssen die Elemente und damit die Vernetzung einige Anforderungen erfüllen, die in Kap. 7.4.2 erläutert werden.
Damit lassen sich die Matrizen der FEM, vor allem die Steifigkeitsmatrix, nun komplett
in natürlichen Koordinaten darstellen:
1 Die Herleitung erfolgt über die Betrachtung des Vektorprodukts der natürlichen Koordinaten, s. Gl. (9.21).
6.3 Eindimensionale Elemente
Ke =
Z
Ve
BT C BdV =
81
Z
1Z
−1
1Z
−1
1
BT (ξ )C B(ξ ) det J (ξ )dξ dηdζ .
(6.8)
−1
Wie man sieht, tritt die Determinante der Jacobi-Matrix im Integrand auf. Zusätzlich ist
in der Matrix B die Inverse der Jacobi-Matrix enthalten. Dies führt dazu, dass der Integrand selbst bei einfachen Ansatzfunktionen zu gebrochen-rationalen Funktionen führt,
die schwer oder gar nicht analytisch zu integrieren sind, s. Kap. 7.2.
Ein aktuelles Forschungsgebiet der FEM ist das isogeometrische Konzept, das auf
den bereits oben erwähnten B-Splines bzw. NURBS, anstatt von einfachen Polynomen,
aufbaut. Der Vorteil ist, dass man direkt die Darstellung der Geometrie aus den CADProgrammen übernehmen kann. Eine Einführung führt aber hier zu weit, ein Einstieg
findet sich bei Hughes et al. [6].
In den Online-Unterlagen zum Buch findet sich ein symbolisches MATLAB-Skript, anhand dessen man die Transformationseigenschaften der Jacobi-Matrix untersuchen kann.
6.3 Eindimensionale Elemente
Ist die Abmessung eines Volumenkörpers in eine Richtung deutlich größer als in die
zwei anderen, kann man dies in der FEM ausnutzen, um besonders effiziente Elemente
zu erhalten, die wenig Rechenaufwand benötigen. Dazu wird nur die große Abmessung
diskretisiert, s. Abb. 6.9. Die Spannungs- und Dehnungszustände für die kleinen DimenAbb. 6.9 Räumliche Dimensionsreduktion eines Volumens auf ein 1-D-Element
z
y
x
sionen werden über Modellannahmen analytisch behandelt. In diesem Fall spricht man
von Strukturelementen, da die Variablen des Elements als Schnittgrößen, die über den
Querschnitt integriert werden, eingeführt werden, z. B. die Normalkraft beim Stab. Neben dem Stab ist auch der Balken ein Strukturelement. Daneben sind als 2-D-Elemente
Scheiben, Platten und Schalen solche Elemente, s. Kap. 6.4.2. Im Gegensatz dazu kommen
Kontinuumselemente ohne weitere Annahmen aus. Die Variablen sind die Verschiebungen
an den Knoten und die Verzerrungs- und Spannungstensoren und keine daraus ermittelten
Größen.
6.3.1 Zweiknotiges, lineares Stabelement
Stabelemente haben nur einen Freiheitsgrad in der Strukturmechanik und nehmen Verschiebungen und Normalkräfte nur in Längsrichtung auf.
82
6 Finite-Elemente-Klassen
Das Stabelement mit linearen Ansatzfunktionen aus Abb. 2.6 wurde bereits in Kap. 2.1.2
hergeleitet. Hier sollen nur die Formfunktionen und deren Ableitungen in natürlichen
Koordinaten angegeben werden. Das Stabelement hat in natürlichen Koordinaten einen
Freiheitsgrad, nFHG = 1, da nur Längsverschiebungen in Richtung ξ möglich sind. In
globalen Koordinaten wird dieser Verschiebungsvektor in Komponenten zerlegt und die
Anzahl Freiheitsgrade wird dann oft über die globalen Komponenten definiert. Damit
hängt diese aber von der räumlichen Dimension ab, deswegen werden im Folgenden die
Freiheitsgrade immer bezüglich des natürlichen Koordinatensystems angegeben.
Für einen Ansatz mit einem linearen Polynom gilt im natürlichen Koordinatensystem
ξ ∈ [−1, 1]:
ũe (ξ) = a0 + a1 ξ .
(6.9)
Die Koeffizienten a0 , a1 werden über die Verschiebungen uIe, uJe an den Knoten ξ = −1
und ξ = +1 festgelegt. Dies führt auf die Bedingungen
uIe = −a1 + a0
und uJe = +a1 + a0 .
Auflösen nach a0 und a1 und Einsetzen in Gl. (6.9) liefert:
f
g "u e #
1
1
e
e
I = N ue .
ũ = (1 − ξ) uI + (1 + ξ) uJ = NI NJ
uJe
2
2
e
(6.10)
Die Formfunktionen sind in natürlichen Koordinaten in Abb. 6.10 abgebildet. Zum Vergleich sind in Abb. 2.8 die Formfunktionen im globalen Koordinatensystem zu sehen.
ũ
Abb. 6.10 Formfunktionen
für ein lineares Stabelement
in natürlichen Koordinaten
1
NI
NJ
ξ
ξ = −1
ξ
ξ = +1
Für die Berechnung der Steifigkeitsmatrix ist noch die Matrix B der Ableitungen der
Formfunktionen anzugeben. Dazu sind mit dem Differenzialoperator Dε des jeweiligen
d
, s. Gl. (2.1). In
Feldproblems die Polynome in N abzuleiten. Beim Stab ist Dε = dx
Gl. (2.13) war diese Ableitung einfach möglich, da die Formfunktionen in globalen Koordinaten angegeben waren. Hier wird nun das natürliche Koordinatensystem in ξ genutzt
und damit ist die Ableitung nach dem isoparametrischen Konzept durchzuführen:
B=
dN (ξ) f dNI (ξ )
=
d x̃
d x̃
dNJ (ξ )
d x̃
g
=
f dN (ξ ) dξ
I
dξ
d x̃
dNJ (ξ ) dξ
dξ d x̃
g
.
(6.11)
Durch die Anwendung der Kettenregel entsteht die Ableitung der natürlichen Koordinate
nach der globalen, dξ
d x̃ . Für die Auswertung ist zunächst die isoparametrische Transformation der Koordinaten aus Gl. (6.3) zu formulieren:
6.3 Eindimensionale Elemente
x̃ = NI x I + NJ x J =
83
1
1
1
1
(1 − ξ)x I + (1 + ξ)x J = (x I + x J ) + ξ (x J − x I ) ,
| {z }
2
2
2
2
| {z }
`
(6.12)
xm
mit der Mittelpunktkoordinate x m und der Länge ` des Elements. Damit folgt durch Berechnung der Ableitung d x̃/dξ (dies entspricht Gl. (6.5)) und Bilden der Umkehrfunktion
die Ableitung
2
dξ
= .
(6.13)
d x̃
`
Mit dieser Beziehung kann die B-Matrix in Gl. (6.11) berechnet werden, s. Tab. 6.1.
Die hier gezeigten Schritte zur Bestimmung von B gelten nur, wenn das globale Koordinatensystem entlang der Stabachse orientiert ist. Ist der Stab aber gedreht, dann sind
zusätzlich Rotationen entsprechend Kap. 2.2.2 anzuwenden.
Die Eigenschaften des linearen Stabelements sind in Tab. 6.1 zusammengefasst. Die
Tabelle 6.1 Eigenschaften lineares Stabelement
ne
nat. FHG pro Knoten
Dε
2
uξ
d
dx
Matrix B
1
2
` [− 2
1
2]
Dim(K e )
2×2
B-Matrix enthält nur konstante Terme. Da damit der Verzerrungs- und Spannungszustand
im Element berechnet wird (s. Gl. (2.13)) können in einem linearen Stabelement nur konstante Verzerrungen und Spannungen berechnet werden. Bei nicht konstantem Verlauf der
exakten Lösung sind für hohe Genauigkeit sehr viele Elemente zu wählen.
6.3.2 Dreiknotiges, quadratisches Stabelement
Nun wird eine Elementklasse am Stab eingeführt, die keine linearen Ansatzpolynome
nutzt, sondern quadratische. Ein Polynom 2. Ordnung
ũe (ξ) = a0 + a1 ξ + a2 ξ 2
(6.14)
hat drei Koeffizienten. Damit wird eine weitere Bestimmungsgleichung benötigt und dies
bedeutet, dass ein quadratisches Stabelement einen Knoten mehr haben muss als das
lineare Element. Dieser soll in der Mitte des Elements bei ξ = 0 liegen. Die Knotenverschiebungen an den Randknoten und in der Mitte des Elements liefern durch Einsetzen
drei Gleichungen für die Koeffizienten des Polynoms, die dann analog zum Stab nach den
Knotenverschiebungen sortiert werden und die Ansatzfunktionen liefern, s. Abb. 6.11:
NI =
1 2
(ξ − ξ)
2
NJ =
1 2
(ξ + ξ)
2
NK = 1 − ξ 2 ,
(6.15)
84
6 Finite-Elemente-Klassen
ũ
Abb. 6.11 Formfunktionen
eines quadratischen Stabelements.
1
NK
NJ
NI
ξ
K
I
ξ = −1
J
ξ
ξ =1
Der wesentliche Unterschied zu linearen Elementen liegt darin, dass beim quadratischen
Ansatz die Matrix B linear von den Koordinaten abhängt und nicht mehr konstant ist
(s. Tab. 6.2 und Aufgabe 6.6). Damit sind auch Dehnungen und Spannungen, die nach
Gl. (5.5) daraus berechnet werden im Gegensatz zu linearen Elementen nicht konstant,
sondern lineare Funktionen. Damit lassen sich mit deutlich weniger Elementen sehr gut
die Spannungsverläufe berechnen.
Bei isoparametrischen Elementen wird auch die Geometrie mit den gleichen Ansatzfunktionen approximiert. Das führt bei quadratischen Elementen im Vergleich zu linearen
ebenfalls zu einer deutlich besseren Abbildung der Geometrie bei gekrümmten Objekten
mit weniger Elementen.
Aus diesen Gründen sind quadratische Elemente in (statischen) FEM-Berechnungen
zu bevorzugen. Bei dynamischen Berechnungen gilt dies nur eingeschränkt, s. Kap. 13.3.3
Die Eigenschaften des quadratischen Stabelements sind in Tab. 6.2 angegeben.
Tabelle 6.2 Eigenschaften quadratisches Stabelement
ne
3
nat. FHG pro Knoten
Dε
d
dx
uξ
Dim(K e )
Matrix B
2
l
f
− 12 + ξ
1
2
+ξ
− 2ξ
g
3×3
6.3.3 Balkenelemente
An dieser Stelle wird nur eine kurze Einführung in Balkenelemente und die zu Grunde
liegende Mechanik gegeben, für eine detaillierte Beschreibung sei auf Merkel und Öchsner
[10] verwiesen.
Ein Balkenelement nimmt Belastungen senkrecht zur Längsachse auf, s. Abb. 6.12. Der
Balken wird als ebenes Modell betrachtet und Normalspannungen σzz in senkrechter
Richtung werden ausgeschlossen. Als Spannungskomponenten verbleiben dann σ xx und
σzx mit dem Koordinatensystem nach Abb. 6.12. Als Schnittgrößen treten Querkräfte Q
und Biegemomente M auf (für Details s. Gross et al. [4, Kap. 4.1, S. 90]):
Z
Z
Q=
σzx dA und M =
z σ xx dA .
(6.16)
A
A
6.3 Eindimensionale Elemente
85
Abb. 6.12 Knotengrößen am
Balkenelement
y, θ (x)
z, w(x)
M̄I
x, u(x)
wI
wJ
Q̄I
θI
M̄J
Q̄J
σx x
σz x
θJ
Zur weiteren Behandlung sind Annahmen über den Spannungs- und Verzerrungszustand
zu treffen.
6.3.3.1 Schubstarres Balkenelement
Die Bernoulli-Theorie geht von folgenden kinematischen Annahmen für die Verschiebung
eines Punkts P durch Biegung aus, s. Abb. 6.13:
y
h
x
keine Verzerrung
P
z w(x)
u
dx
−w 0
P
θ=
dw < 0
Abb. 6.13 Bernoullische
Annahmen am Balken
dz
−w 0
du
Annahme 1: Ein Querschnitt (in Abb. 6.13 als blaue Linie dargestellt) bleibt eben. Dann
kann man die horizontale Verschiebung u x (x, y, z) = u des Punkts P über den Verdrehwinkel θ und die Höhenkoordinate z ∈ [−h/2, h/2] bestimmen:
u(x, z) = z θ(x) .
Dies ist eine vereinfachende Annahme und stimmt i. d. R. mit der Realität nicht überein.
Es ist eine Bezugslinie zu definieren. Hier wird üblicherweise die neutrale Faser gewählt. Dies ist die Linie, die sich bei Biegung nicht verlängert und damit spannungsfrei
ist. Bei dem hier angenommenen symmetrischen Querschnitt liegt sie in der Mitte.
Annahme 2: Die Verschiebungen im Querschnitt in z-Richtung sind konstant.
uz (x, y, z) = w(x, z) = w(x, z = 0) .
Dies bedeutet, dass die Dicke des Balkens konstant bleibt. Die Funktion w(x) wird als
Biegelinie bezeichnet.
Annahme 3: Die Querschnittsform bleibt erhalten. Daraus folgt, dass die Querkontraktion ν = 0 ist.
86
6 Finite-Elemente-Klassen
Annahme 4: Die Querschnitte bleiben senkrecht auf der Mittellinie. Aus Abb. 6.13
(links) kann man damit die Ableitung dw/dx = w 0 (x), die die Tangente an die Biegelinie dargestellt, mit dem Verdrehwinkel θ in Beziehung setzen:
θ = −w 0 (x) .
(6.17)
Das Vorzeichen resultiert, da θ über die Drehrichtung der y-Achse im Gegenuhrzeigersinn positiv ist, das Inkrement dw aber in negative z-Richtung zeigt, s. Abb. 6.13
(rechts).
Unter Voraussetzung von linear-elastischem Materialverhalten lassen sich mit diesen Annahmen die Ausdrücke für Q und M weiter umformen. Da die Querkontraktion zu null angenommen wird (Annahme 3), folgt aus dem Hooke’schen Gesetz in Gl. (3.15) für die Nor0
0
malspannung σ xx = Eε xx und mit Gl. (3.10) und Annahme 1: σ xx = E ∂u
∂x = Eu = Ez θ .
∂u
∂w
0
Für die Schubspannung σzx gilt mit Gl. (3.11): σzx = Gγzx = G( ∂z + ∂x ) = G(θ + w ),
s. Abb. 3.6. Diese Gleichung besagt, dass die Schubspannung über den Querschnitt konstant ist. Dies entspricht nicht dem physikalischen Verhalten, vielmehr hat die Schubspannung über den Querschnitt einen nichtlinearen Verlauf und ist an den Rändern null,
aufgrund der zugeordneten Schubspannung σ xz . Für die Schnittgrößen folgt aus Gl. (6.16):
Z
Z
0
0
Q = G(θ + w ) dA = G A(θ + w ) und M = E z 2 θ 0 dA = EIyy θ 0 ,
(6.18)
A
A
mit dem axialen Flächenträgheitsmoment Iyy . Die Annahme konstanter Schubspannung
verursacht einen Fehler, der durch Einführung des Schubkorrekturfaktors κ gemildert wird.
Für einen rechteckigen Querschnitt lässt sich dieser Faktor zu κ = 5/6 und für einen runden Querschnitt zu κ = 9/10 bestimmen (s. Bathe [1, Kap. 5.4.1, S. 399]). Die Querkraft
Q ergibt sich damit zu Q = κG A(θ + w 0 ). Mit dieser Gleichung lässt sich die Annahme 4
interpretieren: Setzt man voraus, dass die Schubsteifigkeit κG A gegen unendlich geht,
dann verursacht eine endliche Schubspannung bzw. Querkraft keine Winkeländerung:
θ + w 0 = 0. Dies bedeutet ein Querschnitt bleibt senkrecht auf der Biegelinie. Dadurch
vereinfachen sich die Gleichungen, da die ursprünglich unabhängige Größe θ durch die
Ableitung der Biegelinie ausgedrückt wird und das Balkenbiegungsproblem allein durch
die Feldvariable w beschrieben werden kann. Da die Schubsteifigkeit dafür als unendlich
groß angenommen werden muss, werden Elemente dieses Typs als schubstarr bezeichnet.
Gleichgewichtsbetrachtungen an einem infinitesimal kleinen Ausschnitt führen auf die
zwei Beziehungen
M 0 = Q und Q 0 = −q ,
(6.19)
s. Gross et al. [4, Kap. 4.5.1, S. 117]. Die Gl. (6.18) und Gl. (6.19) sind vier Differenzialgleichungen für die vier Unbekannten w, θ, Q, M. Elimination von θ, Q, M liefert für den
schubstarren Fall mit θ = −w 0 eine Differenzialgleichung 4. Ordnung:
EI w 0000 = q .
Dies ist ein wesentlicher Unterschied, da bisher Differenzialgleichungen 2. Ordnung auftraten. Trotz der Rückführung auf eine Feldvariable sind an jedem Elementknoten Rand-
6.3 Eindimensionale Elemente
87
bedingungen für Verschiebung und Verdrehung vorzugeben, da die zu Grunde liegende
Differenzialgleichung vier Integrationskonstanten zu erfüllen hat.
Einsetzen des spezifischen Verzerrungs- und Spannungszustands, der aus den Bernoullischen Annahmen resultiert, liefert mit dem Prinzip der virtuellen Verschiebung die
folgende Integralgleichung (s. Merkel und Öchsner [10, Kap: 5.3.3, S. 91]):
`
Z
δw EIw dx =
00
0
`
Z
00
0
δwqdx + δwI Q̄I +δwJ Q̄J −δwI0 M̄I −δwJ0 M̄J ,
(6.20)
die wiederum Ausgangspunkt einer Diskretisierung ist. Entsprechend Abb. 6.12 werden
nach der Vorzeichenkonvention der FEM an beiden Knoten alle Randbedingungen in positive Richtung angenommen, entsprechend ergeben sich die Vorzeichen unter Beachtung
von Gl. (6.17).
In Gl. (6.20) treten Ableitungen zweiter Ordnung auf, im Ggs. zu Gl. (4.10). Für die
Ansatzfunktionen bedeutet dies, dass diese einmal stetig ableitbar sein müssen, um noch
ein definiertes Integral berechnen zu können in Gl. (6.20). Die erste Ableitung einer
solchen Funktion darf also maximal einen Knick aufweisen. Mathematisch spricht man
von C 1 -Stetigkeit. Praktisch bedeutet dies, dass sowohl die Durchbiegung als auch die
Verdrehung des Querschnitts stetig verlaufen müssen und zwar im Element und auch
über den gesamten Elementrand. Solche Ansätze sind schwieriger zu erhalten, da die
Differenzierbarkeitsanforderungen höher sind und lineare Ansätze nicht mehr ausreichen.
Details finden sich bei Knothe und Wessels [9, Kap. 3.4].
Da das Feldproblem vier Randwerte zu erfüllen hat (s. Abb. 6.12), ist ein kubischer
Lösungsansatz mit vier Koeffizienten notwendig:
w̃(ξ) = a0 + a1 ξ + a2 ξ 2 + a3 ξ 3 .
Einsetzen der Knotengrößen wI , wJ in w̃(ξ) und (dw/dξ) I , (dw/dξ) J in dw̃/dξ ergibt
als Formfunktionen des schubstarren Balkens in natürlichen Koordinaten die kubischen
Hermite-Polynome, s. Abb. 6.14:
HI = 41 (2 − 3ξ + ξ 3 ) , HI0 = 41 (1 − ξ − ξ 2 + ξ 3 ) ,
HJ = 41 (2 + 3ξ − ξ 3 ) , HJ0 = 41 (−1 − ξ + ξ 2 + ξ 3 ) .
(6.21)
Der Ansatz für die Biegelinie lautet damit
"
w̃(ξ) = H (ξ)w e = HI
`
H0
2 I
HJ
`
H0
2 J
 
#  wI0 
 wI 
w  .
 J0 
 wJ 
Dabei ist zu beachten, dass die Ableitung in globalen Koordinaten durchgeführt werden
muss, d. h. (dw/dξ) I = (dw/dx) I dx/dξ = wI0 `/2, s. Gross et al. [5, Kap. 7.6.4]. Für
die Herleitung des Faktors `/2 s. Aufgabe 6.4. Die Steifigkeitsmatrix eines schubstarren
Balkenelements für konstante Biegesteifigkeit EI kann analytisch berechnet werden zu:
88
6 Finite-Elemente-Klassen
Abb. 6.14 HermitePolynome HI (
), HI0
(
), HJ (
), HJ0
(
), als Ansatzfunktionen
des schubstarren Balkens
1
0.5
0
0
ξ
−1
Ke =
Z
1
−1
EI
BT EI B dξ = 3
`
1
 12 6` −12 6` 

4` 2 −6` 2` 2 

 .
12 −6` 

4` 2 
sym
(6.22)
Die Eigenschaften eines schubstarren Balkenelements sind in Tab. 6.3 angegeben:
Tabelle 6.3 Eigenschaften eines linearen schubstarren Balkenelements, s. Gross et al. [5, Kap. 7.6.4]
ne
nat. FHG pro Knoten
Dε
2
w, θ = −w 0
4 d2
` 2 dξ 2
Dim(K e )
Matrix B
1 6ξ
`2
`(3ξ − 1)
− 6ξ
`(3ξ + 1)
4×4
6.3.3.2 Schubweiches lineares Balkenelement
Die Forderung nach C 1 -Stetigkeit der Ansatzfunktionen stellt eine Schwierigkeit bei
schubstarren Elementen dar. Darüber hinaus ist die Annahme, dass Querschnitte senkrecht bleiben, nur bis zu einer gewissen Dicke und Biegung des Balkens zulässig. Deshalb
wurden die Annahmen von Timoshenko (s. Merkel und Öchsner [10, Kap. 8.2, S. 165 ff.])
verändert:
1.
2.
3.
4.
Die Querschnitte bleiben auch in dieser Theorie eben.
Die Verschiebungen im Querschnitt in z-Richtung sind konstant.
Die Querschnittsform bleibt erhalten.
Aber: die Querschnitte stehen nach der Biegung nicht mehr senkrecht auf der Mittellinie,
es gilt damit die Beziehung θ +w 0 , 0 und θ ist eine unabhängige Variable, s. Abb. 6.15.
Im Bild rechts ist auch eine Interpretation der Verzerrungsanteile an einem infinitesimal kleinen Ausschnitt angegeben. Die blau gestrichelte Linie würde einer schubstarren
Verformung entsprechen. Durch die Möglichkeit der Timoshenko-Theorie kann der Ausschnitt aber noch weiter deformiert werden, d. h. der ebene Querschnitt wird noch weiter
verdreht, bleibt aber eben. Im Bild kann man dann auch den Gesamtwinkel γ eintragen, der der Schubverzerrung entspricht. Dabei ist immer das Vorzeichen des Beitrags
w 0 = dw/dx zu beachten. Im Wesentlichen wird also die Forderung aufgehoben, dass
6.4 Zweidimensionale Elemente
89
y
Schubverzerrung
x
dw < 0
Abb. 6.15 TimoshenkoTheorie am Balken
dx
P
z w(x)
dz
−w 0
u
P
θ , w0
du
w0
γ
θ
keine Schubverzerrungen möglich sind, deshalb werden diese Elemente als schubweich
bezeichnet.
Der Verschiebungsvektor enthält nun zwei Unbekannte (die lokale Koordinate ξ ist
trotzdem eindimensional):
" #
w
w=
.
θ
Das Gleichungssystem des schubweichen Timoshenko-Balkens folgt direkt aus Gl. (6.18)
mit Gl. (6.19) unter Annahme konstanter Biege- und Schubsteifigkeit:
Q0 + q = 0
M0 − Q = 0
⇒
⇒
κG A(θ 0 + w 00 ) + q = 0 ,
EIθ 00 − κG A(θ + w 0 ) = 0 .
Von Bedeutung für die FEM ist, dass anstatt einer Differenzialgleichung 4. Ordnung nun
ein Differenzialgleichungssystem 2. Ordnung entsteht. Einsetzen des Spannungs- und Dehnungszustands des Balkens in das 3-D-Prinzip der virtuellen Verschiebung in Gl. (4.10)
führt auf ein Prinzip der virtuellen Verschiebungen für den Timoshenko-Balken, das nur
noch Ableitungen 1. Ordnung enthält:
`
Z
0
|
δθ 0 |{z}
EIθ 0 dx +
M (x)
{z
i
Wδ,Bieg
`
Z
} |
0
δ (θ + w 0 ) κG A(θ + w 0 ) dx =
| {z } | {z }
γz x
Q(x)
{z
i
Wδ,Schub
}
 δwI  T
δw 
δwq dx +  J 
 δθ I 
 δθ J 
`
Z
0
 Q̄I 
 Q̄ 
 J  .
 M̄I 
 M̄J 
Damit sind für ein Timoshenko-Balkenelement C 0 -stetige Ansatzfunktionen möglich, wie
beim Stabelement. Weiterhin sieht man, dass sich die Formänderungsarbeit nun aus zwei
i
i
Teilen zusammensetzt. Der Teil Wδ,Bieg
resultiert aus der Biegung und der Teil Wδ,Schub
aus der Schubbelastung. Die Elementsteifigkeitsmatrix setzt sich aus Termen dieser zwei
Integrale zusammen.
6.4 Zweidimensionale Elemente
Ist bei einem 3-D-Körper eine Dimension deutlich kleiner als die beiden anderen, kann
man dies wie bei 1-D-Elementen ausnutzen, indem man nur eine 2-D-Fläche betrachtet,
90
6 Finite-Elemente-Klassen
um eine volle 3-D-Diskretisierung zu vermeiden, s. Abb. 6.16. Die prinzipielle Annahme
ist, dass sich der Spannungs-Verzerrungszustand auf einen ebenen Zustand zurückführen
lässt. Hierzu zählen (s. Kap. 3.7):
• ebener Spannungszustand,
• ebener Verzerrungszustand,
• axialsymmetrischer Zustand.
Abb. 6.16 Dimensionsreduktion eines 3-D-Volumens auf
ein 2-D-Element
Referenzfläche
z
y
t
x
Die Komponenten der Verzerrungen und Spannungen der dritten Raumrichtung werden
über mechanische Annahmen näherungsweise bestimmt, analog zu den 1-D-Elementen
im vorigen Abschnitt.
6.4.1 Scheibenelement
Die Scheibe entspricht dem Verhalten des Stabs in 2-D und nimmt nur Belastungen und
Verschiebungen in der Scheibenebene auf, s. Abb. 6.17.
6.4.1.1 Lineares, viereckiges Scheibenelement
Ein viereckiges Scheibenelement für lineare Ansatzfunktionen ist in Abb. 6.17 dargestellt.
An jedem Knoten sind zwei Verschiebungen uξ , uη in die Richtungen der natürlichen
Abb. 6.17 Viereckiges Scheibenelement mit linearer Ansatzfunktion und vier Knoten
in natürlichen Koordinaten
η
1
L
-1
K
1
ξ
uη
I
-1
J
uξ
Koordinaten möglich. Entsprechend sind auch Normalkräfte in der Ebene möglich, aber
keine Querkräfte und Biegemomente.
Die Ansatzfunktionen eines linearen, viereckigen Scheibenelements kann man durch
Multiplikation der eindimensionalen Formfunktionen aus Gl. (6.10) für die beiden Koordinatenrichtungen ξ und η definieren:
6.4 Zweidimensionale Elemente
"
ũ e (ξ, η) =
91
ũeξ (ξ, η)
= (a0 ξ + a1 ξ ξ)(a0η + a1η η) = a0 + a1 ξ + a2 η + a3 ξη .
ũηe (ξ, η)
#
Es ist zu beachten, dass die Koeffizienten nun Vektoren sind, da auch das Verschiebungsfeld
nun vektoriell ist. Neben den linearen Termen entsteht auch noch das Produkt der linearen
Anteile. Solche Funktionen werden als bilinear bezeichnet. Anpassen der Koeffizienten an
die Verschiebungen der vier Knoten liefert die Formfunktionen
NI = 41 (1 − ξ)(1 − η)
NJ =
NK = 41 (1 + ξ)(1 + η)
NL =
1
4 (1 + ξ)(1 − η)
1
4 (1 − ξ)(1 + η) ,
(6.23)
des Näherungsansatzes ũ e = N u e . Der Knotenverschiebungsvektor hat die Dimension
Dim(u e ) = [4 · 2 × 1] .
Man erkennt, dass die Formfunktionen durch Produkte der eindimensionalen Formfunktionen aus Gl. (6.10) für jede Kombinationsmöglichkeit der Koordinaten ξ, η gebildet
werden. Elemente, deren Formfunktionen durch Produktbildung der eindimensionalen
Ansätze entstehen, werden als Lagrange-Elemente bezeichnet, da die Polynomfunktionen,
die benutzt werden die sogenannten Lagrange-Polynome sind, s. Hughes [7, Kap. 3.6, S.
127]. Die Formfunktionen hängen nun von zwei Variablen ab, erfüllen aber nach wie vor
die Anforderung, dass sie an einer Stelle eins sind und an den anderen Knoten zu null werden, s. Abb. 6.18. Da jede der Formfunktionen an drei Stellen null und an einer eins sein
Abb. 6.18 Bilineare Formfunktion NK eines lineares
Scheibenelement
NK
1
0.5
0
1
0
η
−1−1
1
0
ξ
muss, sind die Funktionen keine Ebenen, sondern gekrümmte Flächen, die nur am Rand
von Geradenstücken begrenzt sind. Dies ist besonders wichtig, da am Rand der Elemente
Verschiebungskompatibilität zum anderen Element herrschen muss und zwar nicht nur an
den Knoten, sondern entlang des ganzen Randes. Da es sich um Geradenstücke handelt,
ist dies gewährleistet.
Die Formfunktionen von Lagrange-Elementen bilden weiterhin an jedem Punkt im
Elementintervall eine Zerlegung der Eins (partition of unity). Dies bedeutet, dass für
jeden Punkt (ξ, η) gilt
...
X
Ni (ξ, η) = 1 ,
i=I
das heißt an jedem Punkt im Intervall addieren sich alle Formfunktionen zum Zahlenwert
Eins.
92
6 Finite-Elemente-Klassen
Die Eigenschaften des linearen Viereckelements und die Matrix der Ableitungen der
Formfunktionen sind in Tab. 6.4 angegeben.
Tabelle 6.4 Eigenschaften von bilinearen Scheibenelementen
Anz. Knot. nat. FHG/Knot.
4
u ξ , uη
Matrix B = D ε N
Dε
 ∂ 0 
 ∂ x ∂ 
 0 ∂y 
∂
∂ 
 ∂y
∂x 
 ∂ NI
 ∂ x
 0
 ∂ NI
 ∂y
0
∂ NI
∂y
∂ NI
∂x
∂ NJ
∂x
0
∂ NJ
∂y
0
∂ NJ
∂y
∂ NJ
∂x
∂ NK
∂x
0
∂ NK
∂y
0
∂ NK
∂y
∂ NK
∂x
Dim(K e )
∂ NL
∂x

0 
∂ NL 
∂y 
∂ NL 
∂ x 
0
∂ NL
∂y
8×8
Berechnung des Elementlastvektors
An dieser Stelle soll am Beispiel des linearen Viereckelements gezeigt werden, wie aus
verteilten Randbedingungen wie Drücken oder Linienlasten in der FEM die äquivalenten
Knotenkräfte berechnet werden, da nur an den Knoten eine Randbedingung aufgebracht
werden kann.
Dies geschieht so, dass die Arbeit, die die Knotenkräfte mit den virtuellen Knotenverschiebungen erzeugen, genauso groß ist, wie die der Flächenlast mit einem kontinuierlichen
virtuellen Verschiebungsfeld.
Als Beispiel soll eine verteilte Linienlast an der rechten Kante eines viereckigen Elements angenommen werden: t̄ e (ξ = 1, η) = [t(η) 0]T , s. Abb. 6.19. Die belastete Seite
η
Abb. 6.19 Äquivalente Knotenkräfte einer Linienlast
L
1
-1
I
K
1
-1
J
fK
ξ
t
fJ
entspricht dem Teilrand Ae im diskretisierten Energieprinzip in Gl. (5.11). Der Knotenkraftvektor des Elements ist allgemein definiert als (s. Gl. (5.11))
Z
e
fA =
N AT t̄ e dA .
Ae
Die Formfunktionsmatrix N A umfasst die Formfunktionen der Knoten, die im Teilrand
der Randbedingung liegen, in unserem Fall J und K. Die Formfunktionen, die zu Knoten
gehören, die nicht auf diesem Teilrand liegen, spielen keine Rolle, da sie nach Gl. (5.2)
dort null sind, wie man auch durch Einsetzen von ξ = 1 in Gl. (6.23) für I und L feststellt.
Es verbleibt damit von der gesamten Formfunktionsmatrix:
6.4 Zweidimensionale Elemente
"
NA =
93
1 (1 − η)
NJ (1, η)
0
NK (1, η)
0
0
(1 + η)
0
=
.
0
NJ (1, η)
0
NK (1, η)
0
(1 − η)
0
(1 + η)
2
#
"
#
Man sieht, dass durch die Festlegung der Koordinate ξ = 1 die bilinearen Formfunktionen
auf die linearen zurückgeführt werden. Nimmt man weiterhin den praxisrelevanten Fall
einer konstanten Linienlast t(η) = t 0 in ξ-Richtung an, folgt:
f Ae =
1
2
Z
1
−1
 (1 − η)
0  " #
Z 1
 0
t0`
(1 − η)  t 0 `


dη =
0  0 2
4 −1
 (1 + η)
(1 + η) 
 0
 (1 − η) 
1
 0 
t 0 ` 0

  .
 dη =
2 1
 (1 + η) 
0
 0 
Für die Berechnung ist das Differenzial dA = det J dη auf die natürlichen Koordinaten zu
transformieren, s. Gl. (6.7). Die Beziehung für diesen Fall lautet dA = `/2 dη, s. Gl. (6.13),
wobei ` die Elementkantenlänge ist.
6.4.1.2 Viereckige Scheiben-Elemente mit quadratischem Ansatz
Das biquadratische Lagrange-Element entsteht ebenso durch Multiplikation der 1-DAnsatzfunktion aus Gl. (6.14) für die zwei Koordinatenrichtungen ξ und η:
ũ e (ξ, η) = a0 + a1 ξ + a2 η + a3 ξη + a4 ξ 2 + a5 η 2 + a6 ξ 2 η + a7 ξη 2 + a8 ξ 2 η 2 . (6.24)
Insgesamt ergeben sich neun Koeffizienten für jede Raumrichtung und damit auch neun
notwendige Knoten des quadratischen Elements, s. Abb. 6.20. Die Formfunktionen ergeben sich zu
NI,J,K,L = 41 (ξ 2 + ξi ξ)(η 2 + η i η)
NM,O =
1
2 (1
− ξ 2 )(η 2 + η i η)
NQ =
(1 − ξ 2 )(1 − η 2 )
NN,P = 12 (1 − η 2 )(ξ 2 + ξi ξ)
.
(6.25)
Zur verkürzten Schreibweise werden die Koeffizienten ξi, η i eingeführt, die die jeweiligen
Koordinaten des gerade betrachteten lokalen Knotens i = I, . . . , Q sind. Die Formfunktionen mit Index I, J, K, L korrespondieren zu Eckknoten, die mit M, N, O, P zu Knoten auf
den Kanten und Q zum Knoten im Zentrum.
Das biquadratische Lagrange-Element entsteht durch Multiplikation der quadratischen
Formfunktionen für jede Richtung und enthält damit im 2-D-Fall einen Knoten in der
Mitte. Die zugehörige Formfunktion NQ ist allerdings für ein kompatibles Element nicht
Abb. 6.20 Viereckiges Scheibenelement mit quadratischer
Ansatzfunktion und neun
Knoten in natürlichen Koordinaten
L
η
1O
P
Q
-1
K
1
N ξ
uη
I
-1 M
uξ
J
94
6 Finite-Elemente-Klassen
Abb. 6.21 Quadratisches
Serendipity-ScheibenElement
η
1O
L
K
1
N ξ
-1
P
uη
I
-1 M
J
uξ
notwendig. Lässt man den mittleren Knoten weg, fällt der biquadratische Term ξ 2 η 2 aus
Gl. (6.24) heraus. Berechnet man für ein solches Element aus acht Knoten in Abb. 6.21
die Ansatzfunktionen folgt:
1
(1 + ξi ξ)(1 + η i η)(ξi ξ + η i η − 1) ,
4
1
1
= (1 − ξ 2 )(1 + η i η) , NN,P = (1 + ξi ξ)(1 − η 2 ) ,
2
2
NI,J,K,L =
NM,O
wobei die Koeffizienten ξi, η i wieder jeweils die Koordinaten des gerade betrachteten
lokalen Knotens sind. Auf den Rändern des Elements sind die Funktionsverläufe quadratisch, damit ist die Verschiebungskompatibilität gewährleistet, s. Hughes [7, Kap. 3.7,
S. 133 ff.], allerdings spart man sich dadurch den Knoten in der Mitte. Die Ansatzfunktionen der Seitenmittelknoten M und O in die η-Richtung sind nun lineare Funktionen,
anders als beim Lagrange-Element in Gl. (6.25) (das Umgekehrte gilt bei N und P). Diese Ansatzfunktionen wurden durch Erweiterung der bilinearen Elemente um zusätzliche
Knoten entwickelt, s. Zienkiewicz et al. [15, Kap. 6.2.2.4, S. 158 ff.]. Die Zulässigkeit
der Elemente (s. Kap. 7.1.1) basiert auf Erfahrung und nicht auf einem mathematischen
Beweis. Aus diesem Grund werden solche Elemente als Serendipity-Elemente (serendipity
= glücklicher Zufall) bezeichnet. Sie sind aufgrund der höheren Recheneffizienz, v. a. im
3-D die Standardtypen in kommerziellen Programmen.
6.4.1.3 Dreieckiges Scheibenelement
Neben viereckigen Elementen spielen auch Dreiecke eine große Rolle, da bei der Vernetzung Bereiche entstehen, die nicht mit Viereckelementen gefüllt werden können. Eine
Methode, die vor allem programmiertechnische Vorteile bietet, ein dreieckiges Scheibenelement herzuleiten, geht von einem Viereckelement aus. Es werden die Knoten K und
L auf denselben geometrischen Ort gelegt, s. Abb. 6.22 (Hughes [7, Kap. 3.4, S. 120]),
womit ein Dreieck entsteht.
Abb. 6.22 Degeneriertes
dreieckiges Scheibenelement mit linearer (schwarze
Knoten) und quadratischer
(zusätzlich blaue Knoten)
Ansatzfunktion in natürlichen
Koordinaten
Kη
1
L
I
-1
1ξ
-1
J
6.4 Zweidimensionale Elemente
95
Man spricht dann von kollabierten Elementen oder degenerierten Elementen. Diese
Vorgehensweise ist sehr einfach umzusetzen, da in der Inzidenztabelle eines existierenden
vierknotigen Elements der letzte Knoten auf den vorletzten gesetzt wird und damit ein
degeneriertes Dreieckselement definiert werden kann. Diese Vorgehensweise ist häufig in
kommerziellen Programmen umgesetzt.
Die Formfunktion des kollabierten Knotens K 4 erhält man, indem man im Verschiebungsansatz des Viereckelements in Gl. (5.3) die Knotenverschiebungen uK und uL
gleichsetzt:
ũ e = N u e = NI uI + NJ uJ + NK uK + NL uK .
Als Formfunktionen folgen dann:
NI =
1
(1 − ξ)(1 − η)
4
NJ =
1
(1 + ξ)(1 − η)
4
NK4 = NK + NL =
1
(1 + η) .
2
Die Formfunktionen des linearen Dreieckselements werden über drei Knoten aufgespannt
und bilden damit immer eine Ebene. Damit ist auch das Gesamtverschiebungsfeld des
Dreieckselements immer eine Ebene, anders als beim Viereckelement in Abb. 6.18. Da
die Dehnungen und Spannungen über Ableitung aus dem Verschiebungsfeld berechnet
werden, kann das lineare Dreieckselement nur einen konstanten Verzerrungs- und Spannungszustand in jedem Punkt abbilden. Deswegen wird es in englischsprachiger Literatur
und Handbüchern oft als Constant-Strain/Stress-Triangle (CST)-Element bezeichnet. Das
numerische Verhalten dieser Elemente ist entsprechend schlechter, deswegen sollten sie
so weit es geht vermieden werden.
6.4.2 Schalenelemente
Das Schalenelement ist das allgemeinste 2-D-Element. Es nimmt Belastungen in Ebenenund in Querrichtung auf, d. h. es treten Membran-, Schub- und Biegeeffekte auf. Von einem
Schalenelement spricht man insbesondere dann, wenn es gekrümmt im Raum liegt. Anwendungen sind überall, wo man dünnwandige Strukturen betrachtet (z. B. Fahrzeugbau,
Luft- und Raumfahrttechnik, Bauingenieurwesen, Apparatebau etc.). Schalenelemente
haben wegen ihrer Effizienz im Vergleich zu Volumenelementen (s. Kap. 6.5) hohe Bedeutung in der Berechnungspraxis.
Wie in Kap. 6.3 erläutert, sind Schalen Strukturelemente. Bei Strukturelementen sind
neben Verschiebungen noch Rotationsfreiheitsgrade zu berücksichtigen. Dies liegt an der
Dimensionsreduktion, die über kinematische Annahmen vorgenommen wird. Dadurch
kann der Spannungszustand über integrale Spannungsresultierende (Normal-, Querkräfte
und Momente) sowie Dehn- und Biegesteifigkeiten beschrieben werden. An dieser Stelle ist
besonders wichtig hervorzuheben, dass bei Strukturelementen die Anzahl Freiheitsgrade
am Knoten nFHG von der räumlichen Dimension D zu unterscheiden ist. Bei Kontinuumselementen fallen die beiden Größen zusammen, d. h. die räumliche Dimension des
Elements ist gleich der Anzahl Verschiebungsfreiheitsgrade am Knoten.
Handelt es sich um eine nicht-gekrümmte Struktur und die Belastung erfolgt ausschließlich durch Querkräfte und Biegemomente, spricht man von Plattenelementen. Dieser Ele-
96
6 Finite-Elemente-Klassen
menttyp entspricht dem Verhalten des Balkens im 2-D. Schalenelemente stellen insofern
eine Kombination von Scheiben- und Plattenelement dar. Plattenelemente werden deswegen hier nicht gesondert betrachtet.
Die Literatur speziell im Bereich der Schalenelemente ist sehr umfangreich, es wird
deswegen nur auf einige Quellen als Startpunkt verwiesen, ohne Anspruch auf Vollständigkeit: Belytschko et al. [2] , Bischoff [3], Hughes [7], Wriggers [14].
Eine Darstellung von Schalenformulierungen übersteigt den Umfang dieses Buchs. Es
werden nur die wichtigsten Begrifflichkeiten erläutert. In Abb. 6.23 ist die Beschreibung
ζ
Abb. 6.23 Kinematische
Beschreibung einer Schale
η
d
z
x y
xR
ξ
der Kinematik einer Schale in allgemeiner Form dargestellt. Der zunächst dreidimensionale
Schalenkörper wird über eine Referenzfläche modelliert, üblicherweise wird dafür die
Mittelebene zwischen den Deckflächen genutzt. Der Ortsvektor zum einem Punkt der
Referenzfläche wird mit xR bezeichnet. Um einen beliebigen Punkt im (nicht geometrisch
abgebildeten) Volumen der Schale angeben zu können, wird ausgehend vom Punkt auf der
Referenzfläche ein Direktorvektor d eingeführt, sodass für einen beliebigen Punkt gilt:
x(ξ, η, ζ ) = xR (ξ, η) + d(ξ, η, ζ ) .
Der Ortsvektor xR hängt nur von den Flächenkoordinaten der Referenzfläche ab, wogegen der Direktor zunächst von allen lokalen Koordinaten abhängt. Die verschiedenen
Schalenformulierungen unterscheiden sich im Wesentlichen durch die Definition des Direktorvektors. Im Folgenden werden die drei in kommerziellen Programmen am häufigsten
umgesetzten Formulierungen erläutert. An dieser Stelle wird auf die beim Balkenelement
in Kap. 6.3.3 hergeleiteten Sachverhalte zurückgegriffen. Wie dort gibt es zunächst schubstarre und schubweiche Formulierungen.
Schubstarre Schalenformulierung: Bei dieser Formulierung werden die Annahmen der
Bernoulli-Theorie in Kap. 6.3.3.1 auf 2-D erweitert: die Querschnitte bleiben eben und
senkrecht. Weiterhin gilt Annahme 3 aus Kap. 6.3.3.1, dass sich die Dicke nicht verändert.
Die zu Grunde liegende Theorie wurde von Kirchhoff und Love angegeben, sodass man
analog auch von einer Kirchhoff-Love-Formulierung spricht. Damit kann man die Bewegungsmöglichkeiten des Direktorvektors festlegen. Er steht an jedem Punkt senkrecht auf
der Schalenebene und hat unveränderliche Länge: | d| = const., d. h. er ist undehnbar. Damit hat er keine Freiheitsgrade mehr und das Verschiebungsfeld der schubstarren Schale
ist eindeutig definiert durch die Verschiebung der Referenzfläche:
u = uR + ζ n ,
mit der Normalen n auf der Referenzfläche (d = ζ n). In globalen Koordinaten hat der
Verschiebungsvektor der Mittelfläche drei Komponenten. Da damit die gesamte Deformation des Schalenvolumens festgelegt ist, wird diese Formulierung im Zusammenhang mit
höherwertigen Modellen als 3-Parameter-Formulierung bezeichnet.
6.4 Zweidimensionale Elemente
97
Da eine Dickenabnahme ausgeschlossen wird, gilt zunächst ε zz = 0. Gleichzeitig
gilt bei unbelasteten Deckflächen, dass die Normalspannung σzz sowie die Schubspannungen σ xz , σyz null sein müssen. Dies definiert einen ebenen Spannungszustand. Die
Verzerrungs- und Spannungsvektoren enthalten damit die Komponenten:
f
gT
ε = ε xx ε yy 0 γxy 0 0
f
gT
σ = σ xx σyy 0 σ xy 0 0 .
Die Annahme von ε zz = 0 und σzz = 0 stellt einen Widerspruch dar, da für verschwindende Dehnung eine Spannung aufgebaut werden muss, die dies ermöglicht. Trotzdem lässt
sich zeigen, dass dies zulässig ist, s. Wriggers [14, Kap. 9.4.4, S. 358]. Die Normaldehnung kann allerdings aus den Dehnungen in der Ebene beim ebenen Spannungszustand
mit Gl. (3.19) berechnet werden.
Das Energieprinzip dieser Schalenformulierung soll hier nicht angegeben werden. Es
treten aber wie beim Bernoulli-Balken Ableitungen 2. Ordnung auf, sodass die Ansätze
C 1 -stetig sein müssen. Elemente, die diese Bedingung für beliebige Anordnungen und
Randbedingungen erfüllen, sind im zweidimensionalen Fall nicht konstruierbar, s. Knothe
und Wessels [9, Kap. 9.3.6, S. 330], weswegen schubstarre Schalenelemente in kommerziellen Programmen wenig Verbreitung haben.
Schubweiche Schalenformulierung: Aufgrund der Schwierigkeit C 1 -stetige schubstarre
Elemente zu konstruieren (s. auch Kap. 6.3.3.1), werden in kommerziellen Programmen
überwiegend schubweiche Elemente eingesetzt. Schubstarre Formulierungen sind analytisch einfacher zu behandeln, da nur die Deformation der Referenzfläche berücksichtigt
werden muss, für die numerische Behandlung ist aber die geringere Differenzierbarkeitsanforderung der schubweichen Formulierung deutlich wichtiger.
Analog zum Balken wird auch bei Schalen die Annahme von senkrecht stehenden Direktorvektoren aufgegeben. Dann spricht man von einer schubweichen Schalenformulierung.
Die Theorie wurde von Reissner und Mindlin für Platten angegeben, weswegen diese
Elemente auch als Reissner-Mindlin-Schalen bezeichnet werden. Auch bei dieser Formulierung hat der Direktorvektor unveränderliche Länge: | d| = const., d. h. er ist undehnbar.
Da er aber nicht mehr senkrecht steht, kommen nun weitere zwei Freiheitsgrade hinzu in
Form von Rotationswinkeln des Direktors, s. Abb. 6.24, wo nun d nicht mehr in Richtung
von n zeigt. Auf die verschiedenen Möglichkeiten diese Rotationen zu beschreiben soll
hier nicht eingegangen werden, s. dazu Wriggers [14, Kap. 9.4.3, S. 354].
n
Abb. 6.24 Schalenelementtypen mit linearen (schwarze
Knoten) und quadratischen
(zusätzlich blaue Knoten)
Ansatzfunktionen
d
uR ζ
θη
uRη
ζ
θξ
uR ξ
η
ξ
z
y
x
98
6 Finite-Elemente-Klassen
Die Freiheitsgrade an jedem Knoten sind ebenfalls Abb. 6.24 zu entnehmen:
u = [uR ξ uRη uR ζ θ ξ θ η ]T .
Da es nun fünf Freiheitsgrade gibt, wird dieser Typ auch als 5-Parameter-Formulierung
bezeichnet.
Der Verzerrungs- und Spannungszustand wird entsprechend um die Schubanteile in
Dickenrichtung erweitert:
f
gT
ε = ε xx ε yy 0 γxy γxz γyz
f
gT
σ = σ xx σyy 0 σ xy σ xz σyz .
Nach wie vor gilt aber σzz = 0 und ε zz = 0, da der Direktor undehnbar ist und damit keine
Dickenänderung vorkommen kann. Man kann auch mit diesen Elementen deswegen nur
mit einem 2-D-Materialgesetz arbeiten. Man kann zwar eine Dickenabnahme berechnen,
aber nur aufgrund der Dehnungen in der Ebene mit der letzten Zeile in Gl. (3.17). Eine
Dickenabnahme durch Verzerrungen in Dickenrichtung kann nicht abgebildet werden.
Da die Verdrehungen entkoppelt werden, entsteht wie beim Timoshenko-Balken in
Kap. 6.3.3.2, ein Energieprinzip, das nur Ableitungen 1. Ordnung enthält und damit C 0 stetige Ansätze erfordert. Damit können schubweiche Schalen mit denselben Ansätzen wie
das Scheibenelement berechnet werden. Sie lassen sich so einfach in FE-Programme integrieren. Deswegen ist dieser Elementtyp der Standardtyp in kommerziellen Programmen.
In Abb. 6.24 sind ein lineares sowie ein quadratisches Serendipity-Element angedeutet.
Schalenformulierungen höherer Ordnung: In beiden bisher beschriebenen Schalenkinematiken ist der Direktor undehnbar. Damit können keine Dickenverzerrungen auftreten und
die Referenzfläche kann sich nicht in Dickenrichtung verschieben. Bei Biegung werden
aber die Fasern auf einer Seite verlängert und auf der anderen gestaucht, sodass sich die Referenzfläche verschieben müsste, s. Abb. 6.25. Wird diese Bewegung, wie in den Formuliegeometrische Mitte
`
Abb. 6.25 Verschiebung der
Mittelfaser (– · –) einer Schale
bei Biegung
t
<`
x
z
>`
rungen zuvor, verhindert, spricht man von einer dünnen Schale. Eine dicke Schale erlaubt
die Berücksichtigung der Dickendehnung und den Einsatz eines 3-D-Materialmodells.
Diese Bezeichnung wird aber nicht einheitlich verwendet, an verschiedenen Stellen werden Kirchhoff-Love-Schalen als dünn und Reissner-Mindlin-Schalen als dick bezeichnet,
z. B.Nasdala [11, Kap. 5.4, S. 161].
Ist eine Änderung in Dickenrichtung aufgrund von Normaldehnungen notwendig, um
z. B. ein Fließpressen darstellen zu können, reichen die bisherigen Beschreibungen nicht
mehr aus. Deswegen werden 6- bzw. 7-Parameter-Formulierungen entwickelt bei denen
der Direktor nicht mehr undehnbar ist, s. Bischoff [3], sondern in Dickenrichtung linear
(6-Parameter) oder quadratisch (7-Parameter) veränderlich ist. Mechanisch bedeutet dies,
dass sich die Dicke der Schale auf Grund von Normaldehnungen verändern kann. Der
Verzerrungs- und Spannungszustand ist dann dreidimensional:
6.4 Zweidimensionale Elemente
99
f
gT
ε = ε xx ε yy ε zz γxy γxz γyz
f
gT
σ = σ xx σyy σzz σ xy σ xz σyz .
Damit kann dann auch ein 3-D-Materialmodell genutzt werden, was für die Implementierung in einem FE-Programm von Vorteil sein kann, aber auch Probleme mit sich bringen
kann, wenn z. B. anisotropes Materialverhalten abgebildet werden soll, für das die meisten
Materialmodelle für den ebenen Zustand modelliert sind, s. Kap. 14.1.3.1.
In Tab. 6.5 sind die wesentlichen Begriffe der vorgestellten Schalenformulierungen
Tabelle 6.5 Zusammenfassung der Begriffe bei Schalenelementen
Direktor d
nFHG
|d | = 1 und ⊥
3
schubstarr / Kirchhoff-Love / 3Parameter
2-D
–
|d | = 1
5
schubweich / Reissner-Mindlin
/ 5-Parameter
2-D
SHELL1, SHELL2,
SHELL16
|d | variabel
6 o. 7
6- o. 7-Parameter
3-D
SHELL25, SHELL26
äquivalente Bezeichnungen
Mat.-Gesetz
Element in LS-DYNA
zusammengefasst. Darüber hinaus sind in der Tabelle beispielhaft einige ausgewählte
Schalenelemente aus dem FE-Programm LS-DYNA zugeordnet.
Neben der Beschreibung der Schalenkinematik gibt es noch eine Unterscheidung bei
der Herangehensweise die Gleichungen eines Schalenelements abzuleiten, s. Abb. 6.26:
Abb. 6.26 Modellierungsmöglichkeiten von Schalen:
klassische Schalentheorie, degenerierte Volumenelemente,
volumenartige Schalen
Schalentheorie
degeneriertes Volumen Volumenschale
1. Die Deformation und alle Grundgleichungen (Verschiebungs-Verzerrungsbeziehung,
Materialgesetz und Bilanzgleichung) werden in Größen einer kontinuierlichen Schalenfläche formuliert. Die gekrümmte Schalenfläche muss dazu über differenzialgeometrische Beziehungen beschrieben werden. Die Annahmen für die Dickenrichtung
werden im mathematischen Modell vor der Diskretisierung verarbeitet. Die Formulierung der Schalentheorie ist anspruchsvoll. Ein Beispiel ist das Schalenelement SHELL2
in LS-DYNA, s. Belytschko et al. [2, Kap. 9.9, S. 563].
2. Das Schalenelement wird als degeneriertes Volumenelement erzeugt, bei dem die Schalenannahmen nach der Diskretisierung in den Formfunktionen verarbeitet werden. Die
Knoten des Volumens werden über die kinematischen Annahmen miteinander gekoppelt. Diese Herangehensweise ist mathematisch einfacher und wird häufig in der
Literatur genutzt. Das Schalenelement SHELL1 in LS-DYNA basiert auf dieser Herangehensweise. In einem FE-Programm bieten diese Elemente den Vorteil, dass Sie einfach
100
6 Finite-Elemente-Klassen
eingebaut werden können und auch mit anderen Elementtypen wie Volumenelementen
einfach gekoppelt werden können.
3. Zuletzt gibt es Schalenelemente, bei denen keine Referenzfläche definiert wird, es
werden in der Vernetzung die Deckflächen diskretisiert. Solche Elemente werden häufig
als Thick-Shell oder Solid-Shell bezeichnet. Sie haben den Vorteil, dass man 3-DMaterialgesetze problemlos nutzen kann. In LS-DYNA werden diese Elemente als
TSHELL bezeichnet.
6.5 Dreidimensionale Elemente
Im Allgemeinen sind ingenieurtechnische Anwendungen mit 3-D-Elementen zu modellieren. Man spricht dann nicht mehr von Strukturelementen, sondern von Kontinuumselementen, da keine Schnittgrößen in Form von Querkräften und Biegemomenten mehr
benötigt werden. Alle drei Raumdimensionen werden durch die Diskretisierung erfasst. Es
wird damit auch immer ein vollständiger dreidimensionaler Spannungszustand abgebildet.
Kinematischen Annahmen für die Formulierung der Elemente entfallen.
6.5.1 Hexaederelemente
Ein häufig eingesetztes Volumenelement ist das lineare Hexaederelement mit 8 Knoten,
s. Abb. 6.27. Das Volumenelement kann an jedem Knoten Verschiebungen und Belastungen in alle drei Raumrichtungen abbilden. Der Verschiebungsansatz besteht aus einem
trilinearen Polynom:
ũe (ξ, η, ζ ) 
 ξ

ũ (ξ, η, ζ ) = ũηe (ξ, η, ζ )  = a0 + a1 ξ + a2 η + a3 ζ + a4 ξη + a5 ξζ + a6 ηζ + a7 ξηζ .
ũe (ξ, η, ζ ) 
 ζ

e
Die Ansatzfunktionen ergeben sich als Produkte der eindimensionalen Funktionen für alle
möglichen Kombinationen (zwei Formfunktionen in drei Richtungen → insgesamt acht):
Ni =
Abb. 6.27 Lineares
Hexaeder-Element
1
(1 + ξi ξ)(1 + η i η)(1 + ζi ζ ) , i = I, . . . , P ,
8
M
N
uζ
ξ
J
η
I
uξ
P
ζO
uη
L
K
6.5 Dreidimensionale Elemente
101
mit den Koordinaten des jeweiligen Knotens ξi, η i, ζi, i = I, . . . , P. Die Formfunktionsmatrix eines 8-Knoten-Hexaeders lautet
 NI 0 0 NJ 0 0 · · · NP 0 0 
N =  0 NI 0 0 NJ 0 · · · 0 NP 0 
 0 0 NI 0 0 NJ · · · 0 0 NP 
Dim(N ) = [3 × (3 · 8)] .
Die B-Matrix ergibt sich entsprechend durch Anwendung des Differenzialoperators aus
Gl. (3.14) auf die Formfunktionsmatrix N .
6.5.1.1 Das quadratische Serendipity-Hexaeder-Element
Ein quadratisches Lagrange-Hexaeder-Element entsteht durch Produktbildung der eindimensionalen quadratischen Ansatzfunktionen für alle Raumrichtungen. Für ein Volumenelement entstehen damit 33 = 27 Knoten, d. h. die Dimension der Formfunktionsmatrix
ist Dim(N ) = [3 × (3 · 27) = 81]. Dies bedeutet einen sehr großen Rechenaufwand.
Wie bei den quadratischen 2-D-Elementen in Kap. 6.4.1.2 gibt es auch in 3-D die
Möglichkeit die tri- und biquadratischen Terme aus dem vollständigen Polynomansatz
zu streichen. Das dadurch entstehende quadratische Hexaeder-Serendipity-Element in
Abb. 6.28 hat auf jeder Kante noch einen Knoten, aber nicht auf den Flächen und
Abb. 6.28 Quadratisches
Serendipity-HexaederElement
ζ
ξ
η
im Zentrum, d. h. insgesamt 20 Knoten. Die Formfunktionsmatrix hat die Dimension
Dim(N ) = [3 × (3 · 20) = 60]. Dadurch wird der Speicherbedarf und die Rechenzeit für
Volumenelemente stark reduziert. Deswegen sind die Serendipity-Elemente die Standardelemente in kommerziellen Programmen bei quadratischen Elementen.
6.5.2 Pentaederelemente
Elemente mit fünf Flächen sind i. d. R. Ergänzungselemente, die bei der Vernetzung genutzt werden, um Räume, die nicht mit Hexaedern gefüllt werden können, zu belegen. Prismatische Elementtypen (wedge), s. Abb. 6.29, entstehen beim Vernetzen von Oberflächen,
da eine krummlinig berandete Oberfläche nicht optimal mit Vierecken vernetzt werden
kann, entsprechend den Kriterien in Kap. 7.4.2. Die entstehenden Oberflächen-Dreiecke
werden durch Extrudieren des Oberflächennetzes in das 3-D-Volumen des betrachteten
Körpers zu Prismenelementen. Diese Vernetzungsmethode wird häufig in kommerziellen
102
6 Finite-Elemente-Klassen
Abb. 6.29 Lineare und quadratische Pentaeder: Prisma
und Pyramide
Programmen als Sweep-Vernetzung („überstreichen“) bezeichnet. Auch dieses Element
kann durch Degeneration aus einem Hexaeder erzeugt werden.
Pyramidenförmige Elemente werden benötigt, wenn auf der Oberfläche Vierecke vorliegen, im Inneren des Körpers aber ein Hexaeder nicht eingefügt werden kann. Auf
Formulierungsdetails soll hier verzichtet werden.
6.5.3 Tetraederelemente
Nicht jede geometrische Form kann mit einem strukturierten Netz aus Hexaedern vernetzt
werden, s. Kap. 7.4.1. Dann ist ein unstrukturiertes Netz aus Tetraeder-Elementen eine
mögliche Lösung. In Abb. 6.30 ist das lineare Tetraeder-Element durch die schwarzen
Knoten an den Ecken dargestellt. Es weist vier Knoten mit drei Freiheitsgraden uξ , uη , uζ
Abb. 6.30 Lineares und
quadratisches SerendipityTetraederelement
auf. Neben dem linearen Typ ist in Abb. 6.30 noch das quadratische Serendipity-Tetraeder
mit 10 Knoten durch die zusätzlichen blauen Knoten eingezeichnet.
Sehr häufig werden Tetraeder-Elemente in einem Programm durch Degeneration aus
Hexaeder-Elementen aufgebaut, indem man in der Inzidenztabelle mehrere Knoten zusammenfallen lässt. Damit sind sie ohne großen Programmieraufwand darstellbar.
Lineare Tetraeder-Elemente haben, wie das 2-D-Dreieckelement, den Nachteil, dass nur
ein konstanter Spannungszustand im gesamten Element darstellbar ist. Generell reagieren
Tetraeder-Elemente deswegen steifer als Hexaeder. Eine Konvergenzstudie dazu findet sich
in Klein [8, Kap. 7.5, S. 172]. Es sind deshalb sehr viele Elemente notwendig, um mit
Hexaedern vergleichbare Ergebnisse zu erhalten. Nichtsdestotrotz ist es ein sehr häufig
eingesetzter Elementtyp aufgrund des Vernetzungsvorteils.
Benutzt man hingegen ein quadratisches (Serendipity-) Tetraederelement, dann sind die
Unterschiede zu anderen quadratischen Elementen gering, allerdings ist auch ein lineares
Hexaederelement mit nur acht Knoten nicht schlechter.
Generell sollte man also immer Hexaederelemente benutzen, geht dies nicht aufgrund
der Vernetzung, dann sollte man quadratische Tetraeder nutzen. Benötigt man lineare
Literaturverzeichnis
103
Tetraeder (z. B. in transient-dynamischen Fragestellungen, s. Kap. 13.3.3), dann muss man
sehr fein diskretisieren.
6.6 Aufgaben
6.1. Leiten Sie die Formfunktionen eines quadratischen Stabelements sowie eines schubstarren Balkenelements her.
6.2. Geben Sie an, wie viele Freiheitsgrade ein im 3-D definiertes gemischtes Stab/Balkenelement pro Knoten einerseits in natürlichen Koordinaten und andererseits in globalen
Koordinaten hat.
6.3. Gegeben ist ein Biegebalken mit Einzellast, der links fest eingespannt und rechts
gelenkig gelagert ist. Mittig greift eine Kraft F an.
a) Diskretisieren Sie das System mit zwei Elementen und geben Sie den Gesamtvektor w aller Verschiebungen und Verdrehungen an, der
berechnet werden soll.
f
EI, `
x
b) Stellen Sie mit einem schubstarren Balkenelement ohne Schubkorrektur die Gesamtsteifigkeitsmatrix symbolisch auf (d. h. ohne Einsetzen der geg. Zahlenwerte).
c) Berechnen Sie mit den geg. Zahlenwerten die Verschiebung an der Stelle der Krafteinleitung.
Geg.: F = 1000 N, EI = 1,215 · 1011 N mm2 , ` = 800 mm.
6.4. Wiederholen Sie Aufgabe 5.2 für ein quadratisches Stabelement. Benutzen Sie das
natürliche Koordinatensystem des Elements und die quadratischen Ansatzfunktionen nach
Gl. (6.15). Auch für das quadratische Element ist die Determinante der Jacobi-Matrix
dx = det Jdξ = `2 dξ (Verifizieren Sie dies mit Gl. (6.5)).
6.5. Zeigen Sie, dass für das Dreieckselement aus Kap. 6.4.1.3 die Zerlegung der Eins gilt.
6.6. Leiten Sie die B-Matrix aus Tab. 6.2 her unter der Annahme, dass das quadratische
Element entlang der globalen x-Achse orientiert ist.
6.7. Berechnen Sie für ein lineares Scheibenelement mit x e = [5 5 3 4 4 2 6 3]T die
Jacobi-Matrix und deren Determinante. Geben Sie eine geometrische Interpretation an.
Literaturverzeichnis
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[2] T. Belytschko, W. K. Liu, und B. Moran. Nonlinear finite elements for continua and
structures. Wiley, Chichester, 2000.
104
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[3] M. Bischoff. Theorie und Numerik einer dreidimensionalen Schalenformulierung.
Bericht Nr. 30, Institut für Baustatik, Universität Stuttgart, 1999.
[4] D. Gross, W. Hauger, J. Schröder, und W. A. Wall. Technische Mechanik 2. Springer
Vieweg, Berlin, 12. Aufl., 2014.
[5] D. Gross, W. Hauger, und P. Wriggers. Technische Mechanik 4. Springer, Berlin, 9.
Aufl., 2014.
[6] T. Hughes, J. A. Cottrell, und Y. Bazilevs. Isogeometric analysis. Computer Methods
in Applied Mechanics and Engineering, 194(39-41):4135–4195, 2005.
[7] T. J. R. Hughes. The Finite Element Method. Dover, Mineola, 2000.
[8] B. Klein. FEM. Springer Vieweg, Wiesbaden, 10. Aufl., 2015.
[9] K. Knothe und H. Wessels. Finite Elemente. Springer Vieweg, Berlin, 5. Aufl., 2017.
[10] M. Merkel und A. Öchsner. Eindimensionale Finite Elemente. Springer Vieweg,
Berlin, 2. Aufl., 2014.
[11] L. Nasdala. FEM-Formelsammlung Statik und Dynamik. Springer Vieweg, Wiesbaden, 3. Aufl., 2015.
[12] P. Steinke. Finite-Elemente-Methode. Springer Vieweg, Wiesbaden, 5. Aufl., 2015.
[13] H. Vogel. Einstieg in CAD. Hanser, München, 2. Aufl., 2004.
[14] P. Wriggers. Nichtlineare Finite-Element-Methoden. Springer, Berlin, 2001.
[15] O. C. Zienkiewicz, R. L. Taylor, und J. Z. Zhu. The finite element method.
Butterworth-Heinemann, Oxford, 7. Aufl., 2013.
Kapitel 7
Mathematische und numerische Aspekte der FEM
In diesem Kapitel werden Eigenschaften der FEM mathematischer und numerischer Art
eingeführt sowie einige Benutzungshinweise für die praktische Arbeit mit FE-Programmen
gegeben.
7.1 Mathematische Anforderungen an finite Elemente
7.1.1 Bedingungen für die Konvergenz der Lösung
Ein wichtiger Begriff im Zusammenhang mit numerischen Methoden ist die Forderung
nach Konvergenz: Dies bedeutet, dass bei einer Erhöhung der Freiheitsgrade der Diskretisierung, z. B. durch Einsatz von mehr Elementen oder eines höherwertigen Polynomansatzes, die Lösung immer näher an die exakte Lösung des mathematischen Modells
herankommt und im Grenzfall der unendlich feinen Diskretisierung mit ihr zusammen
fällt und damit der Fehler zu null wird.
In diesem Zusammenhang soll zunächst auf die möglichen Fehlerquellen in dem in
Abb. 1.1 und Abb. 1.3 beschriebenen Ablauf eingegangen werden:
• Modellierungs-/Idealisierungsfehler: Das reale System wird im CAD vereinfacht dargestellt und durch Idealisierung noch weiter reduziert, sodass hier eine Abweichung
zwischen realem System und dem Modell existiert. Dies kann sowohl geometrischer
als auch physikalischer Art sein (z. B. Materialverhalten).
• Unschärfe in den Eingangsdaten: Für eine Simulation sind neben der Geometrie eine
Vielzahl an Parametern notwendig, z. B. Materialdaten und Randbedingungen. Diese
sind nur bis zu einer gewissen Genauigkeit erfassbar und schwanken auch in der Realität.
Dies wird sehr häufig vernachlässigt, da eine akkurate Modellierung sehr aufwendig
ist.
• Rundungsfehler: Die endliche Zahlengenauigkeit auf Computern führt zu Zahlenrundung. Da bei der Lösung von Gleichungssystemen im Wesentlichen Additionen und
Subtraktionen auftreten, baut sich dieser Fehler auf und kann zum bestimmenden Faktor
für die Genauigkeit einer Berechnung werden.
© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2017
M. Wagner, Lineare und nichtlineare FEM, DOI 10.1007/978-3-658-17866-6_7
105
106
7 Mathematische und numerische Aspekte der FEM
• Diskretisierungsfehler: Dieser Fehler tritt durch die näherungsweise Lösung des in den
Grenzen der oben genannten Fehlermöglichkeiten exakten mathematischen Modells
auf. Der Diskretisierungsfehler e ist die Abweichung der FE-Lösung von der exakten
Lösung des verwendeten mathematischen Modells, falls bekannt, oder die Abweichung
von einer möglichst präzisen numerischen Referenzlösung. Der Fehler kann in verschiedenen Ergebnisgrößen ausgedrückt werden. Für die Spannung ergibt sich z. B.:
eσ = σ(x) − σ̃ .
(7.1)
Dies ist die hier einzig relevante Fehlerart, da sie als einzige direkt vom Benutzer einer
Software beeinflusst werden kann. Die anderen Fehler werden nicht weiter betrachtet.
In diesem Sinne bedeutet Konvergenz die Reduktion des Diskretisierungsfehlers. Dies
kann allgemein durch Verkleinerung der Elementgröße oder Erhöhung des Polynomgrads der Ansatzfunktionen erreicht werden, s. Kap. 7.1.2.
Um Konvergenz in der FEM sicher zu stellen, müssen die Ansatzfunktionen der Elemente
die folgenden Bedingungen erfüllen:
• Kompatibilität der unabhängigen Feldgrößen: Die unabhängigen Feldvariablen (z. B.
in der Strukturmechanik die Verschiebungen, aber beim Balken auch die Rotationen)
müssen im Inneren eines Elements glatt verlaufen und über den Elementrand stetig sein.
Glattheit bedeutet an dieser Stelle, dass bei Energieprinzipien, die erste Ableitungen
enthalten, die Ansatzfunktion im Gebiet einmal stetig differenzierbar sein muss. Am
Elementrand muss man zwischen den Knoten und den Kanten unterscheiden: An den
Knoten wird Stetigkeit durch den Aufbau des Gleichungssystems in Kap. 5.4 über die
Verschiebungskompatibilität garantiert. Die Forderung gilt aber für den gesamten Elementrand. Verbindet man also z. B. Elemente mit linearen und quadratischen Ansätzen,
wird diese Bedingung entlang der Kanten verletzt.
Die Bedingung stellt sicher, dass die auszuwertenden Integrale in den Energieprinzipien regulär sind, d. h. einen endlichen Zahlenwert liefern, da der Integrand maximal
Ableitungen erster Ordnung und damit maximal einen Sprung am Rand aufweist. Ansatzfunktionen, die diese Bedingungen erfüllen, sind aus dem Raum der C 0 -stetigen
Funktionen, s. Kap. 4.2. Ein 1-D-Beispiel ist in Abb. 4.12 gezeigt. Die Funktion selbst
ist stetig über mehrere Elemente, aber die Ableitung weist Sprünge auf. Anschaulich
bedeutet dies, dass mindestens stückweise lineare Polynome benutzt werden müssen.
Erfüllt ein Element diese Bedingungen, wird es als kompatibles, konformes oder
C 0 -Element bezeichnet.
Beim schubstarren Balken- oder Schalenelement enthält das Energieprinzip Ableitungen zweiter Ordnung, sodass die Ansätze zweimal stetig differenzierbar im Element
und C 1 -stetig am Rand sein müssen.
• Darstellung von Starrkörperverschiebungen: Ein Verzerrungszustand wird bei einer
reinen Verschiebung oder Drehung eines Elements nicht verändert. Dies müssen die
eingesetzten Ansatzfunktionen abbilden können. Dazu ist es notwendig, dass konstante
und lineare Glieder in einem Ansatz vorhanden sind, um eine Starrkörperbewegung
darzustellen.
• Darstellung von konstanten Spannungszuständen: Verkleinert man ein Element immer
weiter, geht die exakte Lösung innerhalb des Elements im Grenzfall eines unendlich
7.1 Mathematische Anforderungen an finite Elemente
107
kleinen Elements einem konstanten Spannungszustand entgegen. Deswegen muss ein
endliches Element mindestens den konstanten Zustand abbilden können. Da die Spannungen durch Ableitung aus den Ansatzfunktionen hervorgehen, ergibt sich ebenfalls
die Forderung, dass es sich mindestens um lineare Funktionen handeln muss.
Details zu diesen Ausführungen finden sich bei Hughes [6, Kap. 3.1, S. 109ff.] und Knothe
und Wessels [7, Kap. 4.2, S. 132]. Die letzten beiden Bedingungen werden zusammengefasst oft auch als Vollständigkeitsbedingung bezeichnet.
Alle isoparametrischen Elemente erfüllen diese Bedingungen durch ihren Aufbau,
s. Belytschko et al. [2, Kap. 8.3.6, S. 464] und sind damit kompatible Elemente.
Die Erfüllung der o. g. Bedingungen muss für jeden Elementtyp bei der Programmierung überprüft werden. Dafür wird der Patch-Test in verschiedenen Varianten genutzt.
Details dazu finden sich bei s. Belytschko et al. [2, Kap. 8.3, S. 461].
Wenn die eingesetzten Elemente diese Bedingungen erfüllen, konvergiert die FEM
monoton, d. h. die Lösung nähert sich bei einer Erhöhung der Freiheitsgrade mit kontinuierlich verkleinertem Diskretisierungsfehler von unten an die exakte Lösung an, s. Abb. 7.1.
Generell werden die Verschiebungen mit der Verschiebungsmethode der FEM also unterExakte Lösung
Lösung
Abb. 7.1 Monotone Konvergenz der Verschiebungsmethode der FEM
Anzahl Freiheitsgrade
schätzt.
Dass die Annäherung von unten geschieht, hängt mit den gewählten Freiheitsgraden
zusammen, d. h. im Fall der Strukturmechanik den Verschiebungen. Es ist auch möglich
ein Energieprinzip analog zu Gl. (4.10) mit den Spannungen als Feldgrößen zu formulieren
(Prinzip der virtuellen Kräfte). Dann nähert sich die FEM Lösung von oben an die exakte
Lösung an.
Ein weiterer Begriff ist die Konvergenzrate, d. h. der Grad mit dem der Fehler bei Erhöhung der Freiheitsgrade abnimmt. Diese kann man ermitteln, wenn man die Polynominterpolation als Taylorreihe betrachtet, die mit dem Glied p + 1 abgebrochen wird. Der
Fehler, ist von der Ordnung des Abbruchglieds e = O(u p+1 ). Dies entspricht damit der
Konvergenzrate, d. h. lineare Ansatzfunktionen konvergieren quadratisch und quadratische Ansätze kubisch. Dies ist ein weiteres Argument für den Einsatz von quadratischen
Ansatzfunktionen in linearen FE-Berechnungen. Weiterhin konvergieren die abgeleiteten
Feldgrößen wie Spannungen und Dehnungen langsamer, da ihr Polynomgrad durch die
Ableitung p − 1 beträgt.
7.1.2 Verfahren zur Reduktion des Diskretisierungsfehlers
Mit einer Erhöhung der Freiheitsgrade geht eine Verbesserung der Genauigkeit einer
FE-Berechnung einher, wie oben dargestellt. Das Ziel einer Berechnung muss sein, den
108
7 Mathematische und numerische Aspekte der FEM
Fehler so klein wie möglich zu machen. Dazu werden im Wesentlichen drei Methoden
unterschieden:
• Verkleinerung der Elemente – h-Verfahren: Die räumliche Diskretisierung wird durch
Elementunterteilung oder Neuvernetzung verändert. Dadurch werden die Elementkantenlängen h verkleinert. Es können sogenannte hängende Knoten entstehen (s. Abb. 7.2
in Rot), d. h. Knoten, die nicht mit einem weiteren Knoten verbunden sind und somit
die Kompatibilitätsbedingung nicht erfüllen. Solche Knoten werden über kinematische
Zwangsbedingungen analog zur Vorgehensweise bei Kontakten ins Modell eingebunden, s. Kap. 11.3.1.
• Erhöhung der Polynomordnung – p-Verfahren: Dies bezeichnet eine Methode bei der
das Netz unverändert belassen wird, aber die Ansatzgrade p der Formfunktionen und
damit die Knotenzahl des Elements erhöht werden.
• Veränderung des Netzes – r-Verfahren: Die Knoten des Netzes werden verschoben, um
lokal eine bessere Lösung mit einer fixen Anzahl an Unbekannten zu erhalten. Dies
kann z. B. bei Rissausbreitung eingesetzt werden oder bei transienten Problemen, wo
die Knotenverdichtung einem sich ausbreitenden Effekt folgt.
Häufig werden die Verfahren kombiniert und dann z. B. als hp-Verfahren bezeichnet. In
Abb. 7.2 sind Beispiele für die Verfeinerungsstrategien dargestellt.
hängende
Knoten
Abb. 7.2 Beispiele für Verfahren zur Reduktion des
Diskretisierungsfehlers
Ausgangsnetz
h
p
r
7.1.2.1 Adaptive Ergebnisverbesserung
Gewöhnlich wird die Güte einer Berechnung durch den Benutzer aufgrund von Erfahrung
bewertet. Eine objektive Bewertung des Fehlers ist in der Regel nicht möglich, da die exakte
Lösung unbekannt ist. Reicht dies nicht aus oder soll eine definierte Reduktion des Fehlers
während einer Berechnung erreicht werden, können Fehlerschätzer eingesetzt werden, die
automatisch das Berechnungsmodell nach den in Kap. 7.1.2 genannten Verfahren anpassen,
um eine Lösung in vorgegebener Genauigkeit möglichst effizient zu erhalten.
Beim Diskretisierungsfehler in Gl. (7.1) handelt sich um einen punktweise definierten
Fehler, der nur schwer anzugeben ist. Deswegen werden üblicherweise integrale Fehler
benutzt, in der FEM am häufigsten der Fehler in der Energienorm kekE , der sich aus der
T C −T ):
Darstellung der Formänderungsenergie ableitet (Man beachte eTε = eσ
k ekE =
Z
V
T −T
eσ
C eσ dV
! 21
=
Z
(σ(x) − σ̃) T C −T (σ(x) − σ̃) dV
! 12
.
V
Da zur Berechnung des Fehlers die exakte Lösung notwendig wäre, behilft man sich
mit Fehlerschätzern und -indikatoren. Mit diesen wird näherungsweise ein Fehler der
7.1 Mathematische Anforderungen an finite Elemente
109
aktuellen Lösung berechnet, dies wird als A-posteriori-Fehlerschätzung bezeichnet. Sobald die Änderung des Fehlers eine gesetzte Schranke unterschreitet, wird der Vorgang
abgebrochen.
Als Fehlerschätzer können verschiedene Vorgehensweisen genutzt werden. Die Erläuterung dieses Gebiets übersteigt den Umfang dieses Buchs. Details findet man z. B. bei
Zienkiewicz et al. [10, Kap. 15, S. 493]. Beispielhaft soll die Funktionsweise des am
weitesten in kommerziellen Programmen verbreiteten Fehlerindikators von Zienkiewicz
und Zhu (s. Zienkiewicz et al. [10, Kap. 15.3, S. 502 und Lit. dort]) skizziert werden: Die
unbekannte exakte Lösung soll durch eine bessere Abschätzung als die aktuell berechnete
σ̃ ersetzt werden. Für den Verschiebungsansatz wird C 0 -Stetigkeit gefordert, s. Kap. 7.1.1.
Dies führt auf konstante und damit unstetige Verläufe für Dehnungen und Spannungen,
s. Abb. 2.19b in Beispiel Kap. 2.3. Für eine verbesserte Lösung wird eine Eigenschaft der
FEM ausgenutzt, die als Superkonvergenz bezeichnet wird. Es lässt sich zeigen (Zienkiewicz et al. [10, Kap. 15.2, S. 497 ff.]), dass die Verschiebungen an den Knoten der
Elemente und die Dehnungen und Spannungen an den Integrationspunkten (s. Kap. 7.2)
genauer berechnet werden, als an anderen Punkten im Element. Die Verringerung des
Fehlers, d. h. die Konvergenz, erfolgt an diesen Punkten schneller. Die Lösungen an diesen Punkten werden benutzt, um eine über mehrere Elemente (sog. „Patches“) stetige
Ersatzlösung σ ∗ (x) mit Polynomansatzfunktionen wie für den Verschiebungsansatz zu
erzeugen:
σ ∗ (x) = N σ ∗ .
Da die Stützstellen der Approximation σ ∗ superkonvergente Punkte sind und durch die
Formfunktionen ein stetiger Verlauf möglich ist, wird davon ausgegangen, dass diese Ersatzlösung genauer als die aktuell berechnete ist. Es wird nun σ(x) ≈ σ ∗ (x) gesetzt und
damit der Fehler eσ = σ ∗ − σ̃ abgeschätzt. Dafür ist eine Bestimmung der Stützstellen
σ ∗ notwendig. Hierfür gibt es verschiedene Verfahren, das am häufigsten eingesetzte ist
die Superconvergent Patch Recovery (SPR), (s. Zienkiewicz et al. [10, Kap. 15.3, S. 502]).
Basis für die Berechnung der Stützstellen sind die tatsächlich berechneten Knotenspannungswerte σ. Praktisch bedeutet dies, dass die Spannungen an den Integrationspunkten
berechnet werden und daraus die SPR-Lösung gewonnen wird. Mit dieser wird eine verbesserte Approximation der Spannungen ermittelt und daraus eine Fehlerabschätzung zur
tatsächlichen Lösung gewonnen. Dort wo der Fehler groß ist, muss die Diskretisierung
verfeinert werden. Man kann dies auch nutzen, um Bereiche, in denen der Fehler schon
gegen null geht, zu entfeinern und damit die Berechnung effizienter zu machen.
Als Beispiel soll eine Scheibe (x = 200 mm × y = 100 mm) mit einem Loch mit
Radius r 0 = 10 mm dienen, s. Abb. 7.3. Sie wird auf beiden Seiten mit der Zugspannung
σ0 = 100 N/mm2 belastet. Da das Problem achsensymmetrisch ist, wird nur ein Viertel
im FE-Modell dargestellt. Für dieses Problem lässt sich näherungsweise eine analytische
Abb. 7.3 Beispiel für adaptive Netzverfeinerung
σ0
Ausschnitt
A
σ
r0 A
σ0
110
7 Mathematische und numerische Aspekte der FEM
Lösung angeben, s. Gross et al. [5, Kap. 2.5.3.4, S. 130]: Bei unendlich ausgedehnter
Scheibe und r 0 → 0 ist die Lösung am Lochrand im Punkt A:
σ A = 3σ0 .
(7.2)
Ein unendlich kleines Loch und eine unendlich ausgedehnte Scheibe kann nicht modelliert
werden, aber man kann zeigen, dass sich die Lösung von größeren Werten an die Lösung
in Gl. (7.2) annähert, wenn man endliche Werte für r 0 und die Ausdehnung der Scheibe
annimmt. Es ist also zu erwarten, dass man bei einer Berechnung Werte etwas größer
als 3σ0 erhält. In Abb. 7.4 ist das Ergebnis einer h-adaptiven Berechnung dargestellt.
Abb. 7.4 Ausschnitt aus Abb. 7.3 zur Veranschaulichung der Netzanpassung durch ein h-Verfahren
Man erkennt, dass die Lösung von unten (wie es die monotone Konvergenz fordert)
gegen einen Wert > 3σ0 = 300 N/mm2 wandert. Nach vier Verfeinerungsstufen liegt die
Fehleränderung nur noch bei ca. 1 %. Auf der anderen Seite steigt die Anzahl an Knoten
und Elementen stark an. Das feinste Modell hat ca. 6-mal so viele Freiheitsgrade. Hier wird
deutlich, dass immer eine Abwägung zwischen Genauigkeit und Effizienz vorzunehmen
ist.
7.2 Numerische Integration
Wie in Gl. (6.8) abgeleitet sind in der FEM Integrale der Form
I=
Z 1Z 1Z
−1
−1
1
f (ξ, η, ζ ) dξ dη dζ
−1
zu berechnen. Das heißt, es sind reguläre Integrale über einem definierten Integrationsgebiet zu bestimmen. Nur in wenigen Fällen ist dies analytisch möglich, z. B. bei Stabund Balkenelementen. Allgemein können diese Integrale nur näherungsweise numerisch
berechnet werden, da die Elemente und damit das Integrationsgebiet im globalen Koordinatensystem verzerrt sind und mit dem isoparametrischen Konzept auf das natürliche
Koordinatensystem transformiert werden. Der Integrand besteht z. B. aus dem Produkt von
BT (ξ )C B(ξ ) mit det J (ξ ). Führt man dies aus, erhält man gebrochen-rationale Funktionen, da die Jacobi-Determinante Kehrwerte von Polynomen enthält, z. B. in 2-D:
f (ξ, η) =
a0 + a1 ξ + a2 η + a3 ξη + a4 ξ 2 + a5 η 2 + +a6 ξ 2 η + a7 ξη 2 + . . .
.
b0 + b1 ξ + b2 η + b3 ξη + b4 ξ 2 + b5 η 2 + +b6 ξ 2 η + b7 ξη 2 + . . .
7.2 Numerische Integration
111
In nichtlinearen Berechnungen kommt noch hinzu, dass sich die Integranden während
der Berechnung verändern, aufgrund großer geometrischer Deformation oder nichtlinearem Materialverhalten. Damit sind die Integrale prinzipiell erst während der Laufzeit
auszuwerten und dies kann nur numerisch erfolgen.
Die generelle Vorgehensweise bei der numerischen Integration oder Quadratur ist ähnlich zur Diskretisierung: die zu integrierende Funktion f (ξ) in Abb. 7.5 wird im Integratianalytisch integrierbare Funktion
f (ξ )
R1
I = f (ξ )dξ
Abb. 7.5 Numerische Integration über natürliche
Koordinaten in 1-D
−1
f (ξi )
-1
ξi
ξ
1
onsgebiet durch analytisch einfach integrierbare Polynome ersetzt. Die Stammfunktion ist
dann wieder ein Polynom. Die verbleibenden Polynomkoeffizienten der Stammfunktion
werden durch Funktionswerte f (ξi ), d. h. durch Auswertungen des Integranden an einzelnen Punkten ξi im Integrationsintervall, bestimmt. Die Integration wird damit durch eine
Summe über gewichtete Funktionswerte ersetzt:
I=
Z
1
f (ξ)dξ ≈
−1
n
X
f (ξi ) wi .
i=1
Die Auswertestellen ξi werden als Integrationspunkte oder Stützstellen bezeichnet. Die
Gewichte wi werden eingeführt, um die Näherung des Flächeninhalts zu verbessern. Die
Anzahl der Integrationspunkte erhöht proportional die Rechenzeit, da die Quadratursumme in jedem Element berechnet werden muss. Erhöht man die Anzahl von zwei auf drei
Punkte, bedeutet dies eine Rechenzeiterhöhung von ca. 50 % in der Routine für die Elementberechnung. Gerade in statischen Berechnungen macht dies neben der eigentlichen
Gleichungslösung den Hauptanteil der Berechnungszeit aus. Ziel ist deshalb, in der Quadratur mit möglichst wenig Integrationspunkten möglichst hohe Genauigkeit zu erreichen.
Im Folgenden werden die bekanntesten Quadraturverfahren am eindimensionalen Beispiel im natürlichen Koordinatensystem (ξ) mit Intervallgrenzen [−1, 1] eingeführt.
7.2.1 Newton-Cotes-Quadratur
Bei diesen Quadraturformeln wird das Integrationsintervall in n äquidistante Integrationspunkte unterteilt. Liegen an den Intervallrändern Stützstellen, spricht man von geschlossenen, sonst von offenen Quadraturformeln. Die hier besprochenen Newton-Cotes-Formeln
sind vom geschlossenen Typ, d. h. es liegen immer Stützstellen an den Rändern.
112
7 Mathematische und numerische Aspekte der FEM
7.2.1.1 Trapezregel
Am Beispiel der Trapezregel soll die numerische Quadratur schrittweise eingeführt werden.
Der Flächeninhalt unter einer Funktion soll im Intervall [−1, 1] näherungsweise berechnet
werden. Dazu wird angenommen, dass der Flächeninhalt durch ein Trapez genähert werden
kann, s. Abb. 7.6. Die Fläche kann durch Zerlegung in Rechtecke und Dreiecke bestimmt
f (ξ )
Abb. 7.6 Einführungsbeispiel zur Quadratur
f (1)
f (−1)
ξ
−1
1
werden:
#
"
Z 1
n
X
f (1) − f (−1)
= f (−1) ·1+ f (1) ·1 =
f (ξi ) wi .
f (ξ) dξ ≈ (1 − (−1)) f (−1)+
2
−1
i=1
Die Umformung zeigt, dass der Flächeninhalt näherungsweise durch eine gewichtete
Summe von Funktionswerten des Integranden berechnet werden kann.
Dieses Ergebnis kann auch allgemeiner ermittelt werden, indem man den Integranden
durch eine Gerade (Polynom 1. Ordnung) r ξ + s approximiert:
Z
1
f (ξ) dξ ≈
−1
Z
" 2
#1
ξ
= 2s .
r ξ + s dξ = r + sξ
2
−1
−1
1
Der Flächeninhalt des Trapezes wird also rein durch den Koeffizienten s des Näherungspolynoms bestimmt. Zur Festlegung von s können die beiden Funktionswerte f (−1) und
f (1) genutzt werden:
f (−1) + f (1) = (r · (−1) + s) + (r · 1 + s) = 2s .
Die Integration wird damit durch eine Summation über n = 2 Funktionswerte ersetzt. Die
Integrationspunkte und Gewichte der Trapezregel sind in Tab. 7.1 zusammengefasst.
Ein Begriff im Zusammenhang mit der Quadratur ist der Genauigkeitsgrad p, s. Bathe
[1, Kap. 5.5.2, S. 457]. Er gibt an, welcher Polynomgrad p durch die jeweilige Quadraturformel exakt integriert werden kann. Allgemein gilt für die Newton-Cotes-Formeln:
Mit n Punkten kann ein Polynom p = n − 1. Ordnung exakt integriert werden. Bei der
Trapezregel ist p = 2 − 1 = 1, d. h. durch zwei Punkte kann eine Gerade (Polynom 1.
Ordnung) exakt integriert werden.
7.2.1.2 Simpson-Regel
Die Simpson-Regel ist die Erweiterung auf n = 3 Integrationspunkte. Dadurch kann ein
Polynom 2. Ordnung,
7.2 Numerische Integration
113
f (ξ) = qξ 2 + r ξ + s ,
anstatt einer Geraden exakt integriert werden, s. Abb. 7.7. Der dritte Punkt neben den
f (ξ )
Abb. 7.7 Darstellung der
Simpson-Regel
f (1)
f (−1)
f (0)
ξ1 = −1
ξ2 = 0
ξ
ξ3 = 1
Intervallgrenzen muss durch die Forderung, dass alle Punkte gleichen Abstand haben,
genau in der Mitte des Intervalls liegen:
Z
1
Z
1
f (ξ)dξ ≈
−1
−1
1
2
qξ 2 + r ξ + s dξ = q + 2s ≡ ( f (−1) + 4 f (0) + f (1)) .
3
3
Der Flächeninhalt wird durch die Koeffizienten 23 q +2s bestimmt. Eine Möglichkeit diesen
Term durch Funktionswerte und Gewichte auszudrücken ist oben gegeben. Diese stellen
die Simpson-Regel dar (s. Tab. 7.1).
Tabelle 7.1 Integrationspunkte ξi und Gewichte wi für verschiedene Newton-Cotes-Quadraturformeln
Stützstellen i
ξi
ξi
wi
wi
Trapezregel
Simpson-Regel
1
-1
1
-1
1/3
2
1
1
0
4/3
1
1/3
3
Einige Gewichte der Newton-Cotes-Formeln werden ab einer Integrationspunktzahl n =
8 negativ. Dies kann bei der Summation zur Auslöschung von Termen führen, weswegen
diese Quadraturformeln für höhere Stützstellenzahlen nicht eingesetzt werden.
Als Beispiel soll die Simpson-Regel auf die Funktion
f (ξ ) = cos
π
ξ
2
(7.3)
im Intervall [−1, 1] angewendet werden. Analytisch ergibt sich zum Vergleich
I=
Z
1
cos(
−1
π
2 π 1
4
ξ )dξ =
sin( ξ )
=
≈ 1.27323954 .
2
π
2
π
−1
Wendet man die Simpson-Regel an, dann wird der Integrand an den Rändern und in der Mitte ausgewertet
und es ergibt sich
I≈
1
1
4
f (−1) + 4 f (0) + f (1) = (0 + 4 · 1 + 0) = = 1.33333333 .
3
3
3
Dies ist eine sehr grobe Approximation des Integrals mit einem Fehler von 4.72 %.
114
7 Mathematische und numerische Aspekte der FEM
7.2.2 Gauß-Quadratur
Die für die FEM wichtigste Quadraturformel ist die Gauß-Quadratur. Es handelt sich in
diesem Fall um offene Quadraturformeln. Zur Verdeutlichung soll ein Polynom 2. Ordnung
betrachtet werden, wie in Kap. 7.2.1.2. Für die Integration eines Polynoms 2. Ordnung
sind nicht unbedingt drei Punkte am Rand und in der Mitte, wie bei der Simpson-Regel,
notwendig. Man kann dasselbe Integral durch zwei Punkte, die an anderer Stelle die
Funktion auswerten, berechnen:
Z 1
1
2
1
1
qξ 2 + r ξ + s dξ = q + 2s = ( f (−1) + 4 f (0) + f (1))≡ f (− √ ) + f ( √ ) .
3
3
3
3
−1
Für die Herleitung der Gauß-Quadraturformeln wird die Lage der Stützstellen als variabel
angenommen. Damit hat man neben den Gewichten n weitere Freiheitsgrade (insgesamt
also 2n), um Polynome möglichst optimal an den Flächeninhalt anzupassen. Der Genauigkeitsgrad der Gauß-Quadratur beträgt damit p = 2n − 1, z. B. kann durch drei Punkte
ein Polynom 5. Ordnung exakt integriert werden. Deswegen sind bei diesen Verfahren die
Integrationspunkte unregelmäßig im Intervall verteilt. Für die gleiche Genauigkeit wie in
Kap. 7.2.1.2 sind weniger Funktionsauswertungen notwendig.
Deswegen ist die Gauß-Quadratur das Standardintegrationsverfahren in der FEM.
Jede gesparte Funktionsauswertung hat einen großen Einfluss auf die Rechenzeit, wie zu
Beginn erläutert.
In Abb. 7.8 ist die Lage der Gauß-Punkte für n = 2 auf einem Stabelement dargestellt.
Für weitere Stützstellenzahlen sind die Integrationspunkte und Gewichte in Tab. 7.2 auf− √1
Abb. 7.8 Gauß-Quadratur in
1-D mit zwei Punkten
√1
3
3
ξ
−1
+1
gelistet. Man erkennt, dass die Abstände zwar nicht gleich sind, aber immer symmetrisch
Tabelle 7.2 Integrationspunkte ξi und Gewichte wi der Gauß-Quadratur bis n = 3
Stützstellen i
ξi
wi
1
0
2
2
3
ξi
√
−1/ 3
√
1/ 3
1
ξi
√
− 3/5
5/9
1
0
8/9
wi
√
3/5
wi
5/9
zum Mittelpunkt des Intervalls. Die Summe der Gewichte entspricht immer 2, der Breite
des Intervalls. Für eine Erläuterung, wie die Integrationspunkte und Gewichte ermittelt
werden, sei auf die Literatur verwiesen, z. B. Gaul et al. [4, Kap. 6.1.2, S. 179ff.].
Es können beliebige Anzahlen von Integrationspunkten verwendet werden. In kommerziellen Programmen sind aber selten mehr als neun Integrationspunkte tabelliert, da der
Genauigkeitsgewinn nicht im Verhältnis zum Rechenaufwand steht.
7.2 Numerische Integration
115
Zum Vergleich mit der Simpson-Regel wird dieselbe Funktion aus Gl. (7.3) mit einer Gauß-Quadratur
n = 2 integriert:
r
r
π 1+
π 1+
I ≈ cos *−
· 1 + cos *
· 1 = 1.23238102 .
, 2 3, 2 3Dies ergibt eine verbesserte Berechnung mit einem Fehler von 3.21 %, wobei ein Punkt weniger benutzt
wurde. Anwendung einer Gauß-Quadratur mit n = 3 liefert
r
r
π 3+ 5
π 3+ 5
8
· + cos (0) · + cos *
· ) = 1.274123755
I ≈ (cos *−
9
, 2 5- 9
, 2 5- 9
und damit einen Fehler von nur 0.0694 %. Das Integral wird bei dieser Quadratur durch ein Polynom 5.
Ordnung angenähert im Vergleich zur Simpson-Regel bei dem ein Polynom 2. Grades benutzt wird.
7.2.2.1 Gauß-Lobatto-Quadratur
Eine Mischung aus den beiden obigen Verfahren stellt die Gauß-Lobatto-Quadratur dar.
Da die Gauß-Quadratur keinen Punkt auf der Intervallgrenze hat, wird der Integrand
dort nicht ausgewertet. Dies kann z. B. nachteilig sein, wenn Spannungswerte auf der
Oberfläche gewünscht sind. Diese müssen dann durch Interpolation vom Integrationspunkt
berechnet werden, s. Kap. 7.2.3.1. Hierfür kann die Gauß-Lobatto-Quadratur eingesetzt
werden, da bei dieser Quadratur-Regel immer Punkte auf der Intervallgrenze liegen und
die restlichen Punkte nicht-äquidistant im Intervall verteilt sind. Eine weitere Anwendung
wird in Kap. 7.2.3.2 erläutert.
Der Genauigkeitsgrad des Verfahrens ist p = 2n − 3, d. h. es sind mehr Integrationspunkte als bei reiner Gauß-Integration notwendig. Bis n = 3 entspricht die
Gauß-Lobatto-Quadratur der Trapez- bzw. der Simpson-Regel. Ein Beispiel für ein
Stabelement mit vier Integrationspunkten zeigt Abb. 7.9. Die Gewichte sind in diesem
Fall wi = {1/6, 5/6, 5/6, 1/6}.
Abb. 7.9 Gauß-LobattoQuadratur in 1-D mit vier
Punkten
− √1
5
−1
√1
5
ξ
+1
In Tab. 7.3 ist eine zusammenfassende Übersicht der wichtigsten Eigenschaften der
vorgestellten Verfahren gegeben
7.2.3 Mehrdimensionale Integrale
Bisher wurde nur der 1-D-Fall behandelt. Die FEM hat ihre Anwendung aber hauptsächlich
in mehrdimensionalen Problemen. Die Quadratur von Mehrfachintegralen ergibt sich
durch Produkterweiterung der 1-D-Formeln. Für eine Integration in 3-D gilt dann:
116
7 Mathematische und numerische Aspekte der FEM
Tabelle 7.3 Übersicht der wichtigsten Eigenschaften von Quadraturverfahren
Quadratur-Verf. Genauigkeitsgrad Eigenschaften
Newton-Cotes
n−1
Unterteilung des Integrationsintervall in n äquidistante Bereiche
Immer Integrationspunkte auf dem Rand
Gauß
2n − 1
Integrationspunkte nicht-äquidistant
kein Integrationspunkt am Intervallrand
Gauß-Lobatto
2n − 3
Mischung aus beiden obigen Verfahren. Es liegen Punkte auf der
Intervallgrenze.
Z
1Z 1Z 1
−1
−1
f (ξ, η, ζ ) dξ dη dζ ≈
−1
n3
n1 X
n2 X
X
f (ξi, η j , ζ k ) wi w j wk .
i=1 j=1 k=1
In 2-D ist die letzte Summe über k wegzulassen. Für Scheiben- oder Schalenelemente in
2-D und für ein Hexaeder in 3-D sind die Integrationspunkte in Abb. 7.10 skizziert.
√ +1 √
−1/ 3 1/ 3
Abb. 7.10 Gauß-Quadratur
in 2-D und 3-D mit zwei
Integrationspunkten in jede
Richtung
ζ
η
−1
ξ
+1
ξ
η
−1
Entsprechend der räumlichen Dimension kommen Integrationspunkte und Gewichte
hinzu. Diese sind aber in jede Richtung identisch zum 1-D-Fall.
Als Beispiel für eine 2-D Gauß-Quadratur soll das Integral von f (ξ, η) = (1 + ξ 2 + η 2 ) −3/2 auf dem
Einheitsquadrat berechnet werden, s. Gaul et al. [4, Kap. 6.2.1, S. 183]. Gauß-Quadratur mit drei Stützstellen ergibt einen Wert von 2.1444.
Die
einzelnen Rechenschritte sind in Tab. 7.4 aufgelistet. Die analytische
Lösung ergibt sich zu: 4 arctan
√1
3
= 2.094395. Trotz der geringen Anzahl an Integrationspunkten weist
das Ergebnis nur einen Fehler von 2.39 % auf.
7.2.3.1 Berechnung und Auswertung von Dehnungen und Spannungen im Element
Der Integrand der Steifigkeitsmatrix setzt sich aus dem Produkt der (virtuellen) Dehnungen
und den (tatsächlichen) Spannungen zusammen, s. Gl. (4.9). Da die Integration über diese
Größen durch die Quadratur in die Bestimmung von Funktionswerten des Integranden
überführt wird, bedeutet dies, dass in der FEM die Dehnungen und Spannungen an den
Integrationspunkten eines Elements ausgewertet werden und nicht an den Knoten. An den
Knoten werden nur die Verschiebungen berechnet.
Für eine Auswertung von Dehnungen und Spannungen in der Ergebnisanalyse gibt es
nun prinzipiell zwei Möglichkeiten in kommerziellen FE-Programmen. Zunächst kann
7.2 Numerische Integration
117
Tabelle 7.4 Beispiel für eine 2-D-Gauß-Quadratur
i
ξi
wi
1
√
− 3/5
5/9
wj
f (ξi , η j )
wi w j
f (ξi , η j )wi w j
1
ηj
√
− 3/5
5/9
0.30645
25/81
0.09458
2
0
8/9
0.49411
40/81
0.24400
25/81
0.09458
j
5/9
0.30645
1
√
3/5
√
− 3/5
5/9
0.49411
40/81
0.24400
2
0
8/9
1.0
64/81
0.79012
5/9
0.49411
40/81
0.24400
0.09458
3
2
0
8/9
1
√
3/5
√
− 3/5
5/9
0.30645
25/81
2
0
8/9
0. 49411
40/81
0.24400
5/9
0.30645
25/81
0.09458
P
= 2.1444
3
3
√
3/5
5/9
3
√
3/5
man die Rohdaten an den Integrationspunkten als Basis nehmen und über die Ansatzfunktionen für jedes Element einzeln darstellen. Da nur für die Verschiebungen Kompatibilität zwischen den Elementen sichergestellt ist, sind die Dehnungen und Spannungen
i. d. R. unstetig über die Elementränder. Diesen unstetigen Verlauf sieht man dann auch
in den Ergebnissen, s. Abb. 7.11 (links). Diese Ergebnisdarstellung wird als ungemittelt
Abb. 7.11 Ausschnitt aus
einer Farbdarstellung eines
Berechnungsergebnisses. Unterschied zwischen ungemittelten (links) und gemittelten
(rechts) Ergebnissen. Die Lage von Integrationspunkten
◦ und Knoten • ist hervorgehoben. Es wird nur ein
Integrationspunkt genutzt
ungemittelt
gemittelt
(non-averaged) bezeichnet und gibt einen guten Eindruck der tatsächlich berechneten
Feldverläufe der abgeleiteten Größen wieder.
Eine weitere Möglichkeit besteht darin, die Ergebnisse mit den Ansatzfunktionen von
den Integrationspunkten auf die Knoten zu interpolieren. An den Knoten werden dann die
Ergebnisse aller anliegenden Elemente gemittelt (häufig als averaged oder nodal bezeichnet). Zwischen den Knotenwerten werden die Feldgrößen interpoliert. So entsteht ein über
die Elementränder hinweg glatter Ergebnisverlauf, auch wenn dies den realen Ergebnissen
nicht entspricht, s. Abb. 7.11 (rechts). Da physikalisch aber auch keine Unstetigkeiten an
den Elementrändern auftreten, so lange keine Diskontinuitäten auftreten, s. Abb. 7.22, ist
auch diese Darstellung gerechtfertigt. Es kann durch die Interpolation allerdings zum Verschmieren von Spitzen in den Ergebnissen kommen. Außerdem wird eine Ergebnisqualität
118
7 Mathematische und numerische Aspekte der FEM
vermittelt, die nicht vorhanden ist. Deswegen muss der Anwender immer abwägen, welche
Darstellung er wählt. Ein Beispiel ist in Kap. 14.2.8 in Abb. 14.14 angegeben.
7.2.3.2 Dickenintegration bei Schalenelementen
Es soll noch auf einen Sonderfall bei der numerischen Quadratur von Schalenelementen
eingegangen werden. Wenn ein nichtlineares Materialgesetz eingesetzt werden muss, z. B.
bei elastoplastischem Materialverhalten (s. Kap. 10.3), sind für die korrekte Behandlung
von Biegespannungen im Querschnitt Integrationspunkte durch die Dicke anzusetzen, da
der Verlauf der Spannungen nicht mehr der linearen Annahme der Biegetheorie entspricht.
Zum Beispiel kann die Randfaser bereits plastisch reagieren, während im Inneren noch
elastisches Verhalten vorliegt, s. Abb. 7.12.
Abb. 7.12 Beispiel für den
Verlauf der Spannung über
die Dicke eines Schalenelements bei elastoplastischer
Deformation
σx x nichtlinear
y
x
σx x linear
diskretisierte Schalenebene
Auch durch die Dicke werden die vorgestellten Quadraturregeln eingesetzt. Um den
nichtlinearen Verlauf abzubilden, werden normalerweise fünf bis neun Integrationspunkte
bei elastoplastischem Materialverhalten angenommen, s. Abb. 7.13. Hierfür kann auch
Abb. 7.13 Lage der Integrationspunkte bei vollintegriertem Element in der Ebene und
fünf Gaußpunkten durch die
Dicke
vorteilhaft die Gauß-Lobatto-Quadratur angewendet werden, da hier nun der Vorteil zum
Tragen kommt, dass immer ein Spannungswert auf der Schalenoberfläche berechnet wird.
7.2.4 Anwendungshinweise zum Integrationsverfahren
Es stehen für die Berechnung der Elementmatrizen verschiedene Quadraturverfahren mit
beliebiger Anzahl Integrationspunkten zur Verfügung. Es sollen im Folgenden einige
Hinweise gegeben werden, wann welches Verfahren vorteilhaft eingesetzt werden kann
und auch wie viele Integrationspunkte notwendig sind.
Die Newton-Cotes-Formeln sind sehr praktisch und einfach zu programmieren, da die
Punkte äquidistant im Integrationsintervall liegen. Neben Anwendungen in der Messtechnik, wo z. B. die Trapezregel häufig für die Integration von Messsignalen eingesetzt wird,
die mit fester Frequenz abgetastet werden, gilt dies in Berechnungsverfahren vor allem,
7.2 Numerische Integration
119
wenn die Integrationsordnung adaptiv während einer Berechnung erhöht werden soll. Allerdings sind prinzipiell mehr Integrationspunkte als bei Gauß-Quadratur notwendig, mit
der angesprochenen Rechenzeiterhöhung. Das Verfahren kann auch dort eingesetzt werden, wo ein Integrationspunkt am Rand des Elements (an der Intervallgrenze) liegen soll,
weil Spannungen ausgewertet werden müssen.
Das in der FEM als Standard eingesetzte Integrationsverfahren ist die Gauß-Quadratur,
aufgrund des hohen Genauigkeitsgrads verbunden mit geringen Rechenzeiten. Die Integrationspunkte sind zwar nicht äquidistant verteilt, dies stellt aber in der FEM keine
Einschränkung dar. Ein Nachteil ist, dass kein Integrationspunkt auf der Intervallgrenze liegt. Für die FEM bedeutet dies, dass an den Elementgrenzen der Integrand nicht
berechnet wird. Dies kann bei der Auswertung von Spannungen an der Oberfläche von
Nachteil sein. In solchen Fällen kann die Gauß-Lobatto-Quadratur vorteilhaft eingesetzt
werden. Einerseits liegt immer ein Integrationspunkt an den Intervallgrenzen, d. h. an den
Elementrändern, es sind aber weniger Integrationspunkte notwendig als bei den NewtonCotes-Formeln. Wobei man sagen muss, dass dies erst bei höheren Integrationsordnungen
gilt, da für n = 2, 3 Gauß-Lobatto- und Newton-Cotes-Formeln zusammenfallen.
Für die notwendige Anzahl der Integrationspunkte gibt es keine eindeutige Regel. Für
einen einfachen Fall lässt sich aber die Anzahl angeben: Wir betrachten ein rechtwinkliges
Scheibenelement nach Kap. 6.4.1 und Abb. 7.10. Da das Element rechtwinklig ist, entspricht es dem Element in natürlichen Koordinaten und damit ist die Jacobi-Matrix eine
Konstante. Des Weiteren gehen wir von den bilinearen Ansatzfunktionen in Gl. (6.23)
aus. In der Steifigkeitsmatrix treten Produkte der Ableitungen der Formfunktionen in der
e proportional zu (die
Matrix B nach Tab. 6.4 auf. Zum Beispiel ist der Integrand von K13
konstante Jacobi-Determinante und die elastischen Konstanten werden weggelassen):
BT B
e
13
=
∂ NI ∂ NJ ∂ NI ∂ NJ
1
+
=
(2η − ξ 2 − η 2 ) .
∂ξ ∂ξ
∂η ∂η
16
Da die Formfunktionen bilineare Funktionen sind, treten nach der Ableitung trotzdem
quadratische Terme in den Koordinaten ξ und η auf. Mit dem Genauigkeitsgrad der GaußQuadratur aus Tab. 7.3 sind für eine exakte Integration dieses Terms in jede Richtung zwei
Integrationspunkte notwendig, wie in Abb. 7.10 angedeutet. In Knothe und Wessels [7,
Kap. 8.1.2] wird dies als zuverlässige Integrationsordnung bezeichnet.
Analog kann man diese Überlegung für biquadratische Elemente durchführen. Hier
entstehen Polynome 4. Ordnung, die mit einer Gauß-Quadratur mit drei Stützstellen exakt
integriert werden können. Mit einer Newton-Cotes-Formel wären hier n = p + 1 = 5
Punkte notwendig. Bei einem Hexaederelement wären dies 53 = 125 Integrationspunkte
pro Element, mit Gauß-Quadratur 3. Ordnung 33 = 27, d. h. nur ca. 21 % der Rechenzeit
für ein dreidimensionales Element. Details s. Knothe und Wessels [7, Kap. 8.1.2, S. 262].
Bei verzerrten Elementen kann nie exakt integriert werden, da die Jacobi-Matrix nicht
mehr konstant ist und über die Jacobi-Determinante gebrochen-rationale Integranden entstehen, die ggf. einen sehr hohen Genauigkeitsgrad erfordern. In der Praxis wird aber
i. d. R. eine Gauß-Quadratur mit zwei Stützstellen bei linearen Elementen und eine mit
drei Stützstellen bei quadratischen Ansatzfunktionen eingesetzt. Allgemein werden Elemente, die so integriert werden, als vollintegriert bezeichnet.
120
7 Mathematische und numerische Aspekte der FEM
7.3 Elementversteifung (Locking)
In diesem Abschnitt soll eine besondere Problematik von Elementen mit Ansatzfunktionen
niedriger Ordnung (lineare Ansätze) beleuchtet werden. Die Verwendung von C 0 -stetigen
Ansatzfunktionen hat neben der Sicherstellung von Konvergenz den Vorteil, dass der
niedrige Polynomgrad einfach und effizient berechenbare Elemente ergibt. Ein Nachteil
entsteht bei diesen Elementen dadurch, dass es zu Versteifungseffekten kommen kann. Dies
äußert sich so, dass der berechnete Deformationszustand nicht dem exakten entspricht,
sondern viel zu gering berechnet wird. Dies wird als Elementversteifung oder auch im
Deutschen häufig als Locking (to lock = blockieren, verschließen) bezeichnet.
Locking kann bei allen in Kap. 6.1 vorgestellten Elementklassen auftreten, bei Schalenelementen betrifft das Locking nur die schubweichen Elemente aufgrund der niedrigen
Grade der Ansatzpolynome. Schubstarre Schalen sind lockingfrei, s. Bischoff [3, S. 99].
Sie sind aber auf Grund der in Kap. 6.4.2 genannten Schwierigkeiten nur eingeschränkt
geeignet. Das Locking wurde und wird intensiv untersucht, weswegen auch an dieser Stelle
kein Überblick über die Literatur gegeben werden kann, sondern nur einige ausgewählte
Literaturstellen genannt werden: Belytschko et al. [2] , Bischoff [3], Hughes [6], Wriggers
[9].
7.3.1 Beschreibung des Locking-Effekts
Es gibt verschiedene Locking-Effekte abhängig vom Elementtyp, von denen hier die
wichtigsten genannt werden:
• Volumen-Locking (auch Poisson-Locking) tritt auf, wenn das zugehörige Materialgesetz (nahezu) inkompressibel ist, d. h. wenn gilt ν = 0.5. Der Effekt hängt mit der
Querkontraktion zusammen und ist bei hyperelastischen und plastischen Materialien
relevant.
• Membran-Locking tritt bei gekrümmten Elementen auf, wenn reine Biegung vorliegt,
z. B. bei bilinearen Elementen, die nicht eben sind.
• Schub-Locking tritt in ebenen Modellen auf, wenn der Belastungszustand eine Deformation in der Ebene auslöst, die einer Biegung entsprechen würde.
• Querschub-Locking tritt auf, wenn bei reiner Biegung Querkräfte erzeugt werden, die
mechanisch nicht auftreten.
Bei 7-Parameterschalen kommt zu den bisher genannten Locking-Effekten noch ein weiterer hinzu, s. Bischoff [3, S. 82].
Der Effekt soll am Schub-Locking (shear locking) eines ebenen Scheibenelements aus
Kap. 6.4.1.1 erläutert werden (s. auch Bischoff [3, Kap. 6.4.6, S. 90]): Eine reine Biegebeanspruchung eines Streifens in der (x, y)-Ebene erzeugt den in Abb. 7.14 dargestellten
Biegeverlauf in einem kontinuierlichen Körper, der nur linear verlaufende Normalspannungen σ xx erzeugt. Diese sind auf der neutralen Faser null und auf den Deckflächen
maximal, s. Abb. 7.14. Da dies bei reiner Biegung in jedem Querschnitt identisch ist,
resultiert daraus ein konstantes Biegemoment M (x) = const. und verschwindende Querkraft Q(x) = 0. Die Querschnitte stehen im Kontinuum in diesem Fall auch nach der
7.3 Elementversteifung (Locking)
Abb. 7.14 Reine Biegebeanspruchung eines Streifens
in der Ebene mit Detailausschnitt
121
Ausschnitt
M
y
σx x
M
x
σx y
Deformation senkrecht. Da Q = 0 gilt, wird keine Scherung γxy und damit keine Schubspannung berechnet: σ xy = 0.
In Abb. 7.15 ist dem gegenüber die einem bilinearen Element mögliche Verformung darAbb. 7.15 Prinzipskizze zum
Schublocking: Deformation
der Lage der Integrationspunkte (vollintegriert ,
unterintegriert ) eines
schubweichen Elements bei
konstanter Biegung
e
α
y
x
σx x
e
σx y
gestellt. Das Biegemoment wird durch das äquivalente Kräftepaar ersetzt. Die Krümmung
der Biegelinie kann durch die lineare Ober- und Unterkante eines finiten Elements nicht
abgebildet werden. Um die neutrale Faser werden die Kanten zu einem Trapez verdreht.
Durch das Kräftepaar wird eine Scherung γxy der Koordinatenlinien erzeugt (α ,⊥).
Neben den Normalspannungen treten damit Schubspannungen σ xy , 0 auf, die in der
exakten Lösung (s. Hughes [6, Kap. 4.7, bei Abb. 4.7.1]) nicht vorkommen. Die eigentliche Biege-Deformation kann nicht abgebildet werden, das Element reagiert von außen
betrachtet zu steif. Dies wird als Locking bezeichnet. Diese Schubspannungen erzeugen
eine Formänderungsarbeit, die dem Anteil der Formänderungsarbeit aus reiner Biegung
entzogen wird. Deswegen werden diese Spannungsanteile als parasitär bezeichnet. Je
dünner der Streifen wird, desto größer ist der Schubspannungseinfluss, im Grenzfall einer
sehr dünnen Struktur würde gar keine Deformation mehr berechnet.
7.3.2 Maßnahmen zur Vermeidung von Elementversteifung
Um die Elementversteifung zu beheben oder zumindest zu verringern, sind folgende
Möglichkeiten gegeben:
7.3.2.1 Erhöhung des Grads der Ansatzpolynome
Elemente mit quadratischen Ansatzfunktionen beheben das Locking teilweise, da dadurch
mehr Flexibilität in das Element gebracht wird, allerdings verbleiben gewisse LockingEffekte. Zur vollständigen Behebung des Locking sind höhere Ansatzgrade notwendig,
122
7 Mathematische und numerische Aspekte der FEM
die aber in der Regel in kommerziellen Programmen nicht verfügbar sind. Weiterhin ist
der Einsatz von Elementen mit hohem Polynomgrad nicht in allen Anwendungen sinnvoll,
z. B. der expliziten Dynamik, s. Kap. 13.3.3.
7.3.2.2 Elemente auf Basis von gemischten Energieprinzipien
Das Energieprinzip in Gl. (4.2) enthält als einzige Unbekannte (neben den virtuellen Größen) das Verschiebungsfeld u(x). Es wird deswegen als Einfeldprinzip bezeichnet. Es sind
weitere Nebenbedingungen zu erfüllen, s. Gl. (4.11), um das gesamte strukturmechanische
Problem zu beschreiben. Dies erschwert die Behandlung in einem Näherungsverfahren,
weswegen zur Diskretisierung auch sog. Mehrfeldprinzipien oder gemischte Energieprinzipien eingesetzt werden, in denen die Nebenbedingungen über zusätzliche Variablen in
die Integralgleichung eingeführt werden. Damit hängt das Energieprinzip z. B. von den
Verschiebungen u(x) und den Spannungen σ(x) ab. Eine Übersicht findet sich bei Gaul
et al. [4, Kap. 11].
In der FEM werden die Mehrfeldprinzipien genutzt, da sich damit das Locking beheben
lässt. Locking kann auch so verstanden werden, dass es Zusatzbedingungen gibt, die
einzuhalten sind, wie z. B. beim Volumenlocking bei inkompressiblem Materialverhalten
die Bedingung ν = 0.5. Diese kann über ein Mehrfeldprinzip als Teil der diskretisierten
Gleichungen direkt erfüllt werden. Solche Elementtypen benötigt man bei hyperelastischen
und elastoplastischen Materialien.
Neben dem Volumenlocking kann man durch Erweiterung der Freiheitsgrade im Verzerrungsfeld auch andere Locking-Effekte behandeln. Es werden auf Elementebene zusätzliche Freiheitsgrade der Verzerrungen eingeführt, die über die Elementgrenzen nicht
kompatibel sein müssen (sog. inkompatible Moden), aber auf Elementebene die notwendige Flexibilität einführen, das Locking zu vermeiden. Da sie keine Verbindung nach
außen haben, können sie bei Berechnung der Elementsteifigkeitsmatrix statisch kondensiert werden (s. Kap. 5.6.3.2). Allerdings ist dieser Berechnungsschritt relativ aufwendig.
Weiterhin sind zusätzliche Informationen zu speichern, sodass dieser Elementtyp einen
relativ hohen numerischen Aufwand erzeugt.
Die bekanntesten Elemente aus dieser Klasse werden als Enhanced-Assumed-Strain
(EAS)-Elemente bezeichnet, die sich in jeder kommerziellen Elementbibliothek finden.
Auf eine detaillierte Beschreibung muss hier verzichtet werden. Ein Überblick findet sich
bei Bischoff [3, Kap. 7.4].
7.3.2.3 Elemente mit verbesserten Ansätzen
Das Locking betrifft immer bestimmte Anteile der Elementsteifigkeitsmatrix. Im Beispiel
oben werden parasitäre Schubspannungen erzeugt. Daneben werden aber auch Membranund Biegespannungen erzeugt, die nicht zu Locking führen. Die für das Locking verantwortlichen Verzerrungen werden nun nicht aus den Verschiebungsableitungen mit der
B-Matrix berechnet, wie bei einem Standardelement, da daraus die parasitären Spannungen resultieren würden, sondern es werden Verzerrungen an einzelnen Punkten des
Elements (nicht den Knoten) aus den dortigen Verschiebungen ausgewertet, an denen die
7.3 Elementversteifung (Locking)
123
parasitären Anteile der Gesamtverzerrung null sind. Mit diesen Stützstellen kann nun
ein Verzerrungsfeld über das gesamte Element interpoliert werden, das keine parasitären Verzerrungen erzeugt. Anschaulich bedeutet dies, dass die B-Matrix in einen Anteil
lockingfreier Anteile BRest und einen Teil BParasitär zerlegt wird. Der letztere wird nicht
wie üblich interpoliert, sondern durch die oben angegebene Vorgehensweise. Für eine
detaillierte Darstellung wird auf Bischoff [3, Kap. 7.2] verwiesen.
Elemente dieses Typs werden als Assumend-Natural-Strain (ANS)-Elemente1 bezeichnet.
7.3.2.4 Reduzierte Integration
Für die Integration der Ansatzpolynome ist nach Kap. 7.2.4 eine gewisse Anzahl Integrationsstellen im Element notwendig. Für ein ebenes Scheibenelement sind dies 2 × 2
Gauß-Integrationspunkte, die in Abb. 7.15 eingezeichnet sind. In Kap. 7.2.3.1 wurde ausgeführt, dass dort die Dehnungen und Spannungen berechnet werden, d. h. die Verzerrung
an den Stellen der Integrationspunkte führt zur Berechnung der parasitären Spannungen.
Benutzt man eine reduzierte Integration (oft auch Unterintegration), mit einer Stützstelle
weniger als notwendig, d. h. hier 1 × 1 Gauß-Integrationspunkte, liegt der verbleibende
Punkt im Zentrum des Elements ( in Abb. 7.15). An dieser Stelle tritt keine Verzerrung
auf, somit werden dort auch keine parasitären Spannungen berechnet. Mit der reduzierten
Integration kann man Locking vermeiden, allerdings erhält man eine singuläre Steifigkeitsmatrix. Darauf wird im nächsten Abschnitt eingegangen.
Man unterscheidet zwei Varianten der reduzierten Integration, abhängig davon, welche
Terme so behandelt werden:
• selektiv-reduziert integrierte Elemente: Wie bei den ANS-Elementen, werden bei der
selektiv-reduzierten Integration nur die Anteile der Steifigkeitsmatrix reduziert integriert, die betroffen sind. Beim Timoshenko-Balken in Kap. 6.3.3.2, bei dem derselbe
i
Effekt auftritt, würde der Anteil Wδ,Schub
der Formänderungsarbeit reduziert integriert,
i
während Wδ,Bieg vollintegriert wäre. In kommerziellen Programmen werden solche
Elemente häufig mit der Abkürzung „SR“ versehen.
• vollständig unterintegrierte Elemente: Jede Komponente der Steifigkeitsmatrix wird
unterintegriert unabhängig davon, ob die Anteile zum Locking beitragen oder nicht. Es
entstehen so relativ einfache und effiziente Elemente. Bei linearen Elementen ist die
zuverlässige Integrationsordnung 2 × 2. Das vollständig unterintegrierte Elemente hat
dagegen nur noch einen Integrationspunkt im Ursprung des natürlichen Koordinatensystems, damit werden viele Berechnungen extrem vereinfacht.
Die Unterintegration hat allgemein den positiven Nebeneffekt, dass die Berechnung an
weniger Integrationspunkten durchgeführt wird (z. B. beim vollständig unterintegrierten
linearen Hexaeder nur 1-mal anstatt 8-mal) und damit recheneffiziente Elemente entstehen.
Es folgen aber auch negative Effekte, die im nächsten Abschnitt erläutert werden.
1 Eine andere Bezeichnung dieser Elementklasse lautet MITC-Elemente (mixed interpolation of tensorial
components), s. Bathe [1, Kap. 5.4, S. 445].
124
7 Mathematische und numerische Aspekte der FEM
7.3.3 Null-Energie-Moden
Durch Unterintegration kann die Elementversteifung vermieden werden. Dafür erkauft
man sich aber einen neuen Effekt, der an Abb. 7.15 erläutert werden soll: Da nur ein
Integrationspunkt in der Mitte vorliegt, werden die Koordinatenachsen (- - -) bei der gezeichneten Belastungsart nicht gedehnt. Obwohl also das Element Scherungen erfährt,
werden diese im verbleibenden Integrationspunkt (◦) im Zentrum nicht registriert, d. h. zu
dieser speziellen Verzerrung werden keine äquivalenten Spannungen berechnet. Diese Deformationszustände sind damit physikalisch nicht sinnvoll und führen zu einer singulären
Steifigkeitsmatrix. Die Singulärität von Steifigkeitsmatrizen wurde in Kap. 5.4.1 bereits erläutert und bedeutet, dass Eigenwerte der Matrix null sind (s. a. Kap. 8.2). Dort wurde dies
mit möglichen Starrkörperbewegungen erläutert. Hier kommt nun eine weitere Möglichkeit
hinzu, wie diese Singularität entstehen kann, da durch die Unterintegration spannungsfreie
Deformationen eines Elements möglich sind, die keine Starrkörperverschiebungen sind,
die sich aber auch in Null-Eigenwerten äußern. Die zugehörigen Eigenmoden lassen sich
wie in Kap. 8.2 berechnen. Ein Beispiel sind die Verschiebungen der Knoten in Abb. 7.16,
die einer solchen Eigenmode entsprechen, z. B.
f
gT f
gT
u = uIT uJT uKT uLT = −1 0 + 1 0 − 1 0 + 1 0 .
Da die zugehörigen Spannungen null sind, wird aus diesem Deformationszustand keine Formänderungsenergie berechnet. Man spricht deswegen von Null-Energie-Moden
(zero-energy modes). In einem kompletten FE-Netz stellt sich eine Deformation ein, die
schematisch in Abb. 7.16 dargestellt ist. Eine solche Lösung ist ein rein numerischer Effekt
Abb. 7.16 Darstellung des
Hourglassing
uI
uJ
η
ξ
uL
uK
und tritt nur wegen der Unterintegration auf. Entsprechend der Form wird dieser Effekt
als Hourglassing (Hourglass = Sanduhr, Stundenglas) bezeichnet.
Ausgelöst wird Hourglassing durch Einzellasten oder spezielle Lagerungsbedingungen, die Verschiebungslösungen erzeugen die der Form der Null-Energie-Moden ähnlich
sind. Es tritt häufig auch bei Kontakt auf, da auch hier Punktlasten an den Elementen
eingeleitet werden, s. Kap. 11.3.2. In Abb. 7.17 und Abb. 7.18 sind zwei mögliche Erscheinungsformen bei Schalen aus Rechnungen mit LS-DYNA gezeigt. Die Anregung in
beiden Modellen erfolgt als Einzellast. Ebenso ist die Lagerung nur punktuell, s. Abb. 7.17.
Abb. 7.17 Hourglassing in
der Schalenebene
Knotenkraft
7.4 Praxis-Hinweise zur Modellierung
125
Abb. 7.18 Hourglassing
transversal zur Schalenebene.
Links ein unterintegriertes
Element, rechts ein EASElement ohne Hourglassing
Dies ist besonders kritisch für das Hourglassing. Die Berechnungsmodelle für LS-DYNA
finden sich in den Zusatzunterlagen zum Buch.
7.3.3.1 Stabilisierung von Null-Energie-Moden
Unterintegration wird in kommerziellen Elementbibliotheken sehr häufig eingesetzt, um
Locking zu vermeiden. Um die dabei unvermeidlichen Null-Energie-Moden zu unterbinden, werden spezielle Stabilisierungsmethoden eingesetzt. Eine umfassende Erläuterung
der Stabilisierungskonzepte findet sich bei Belytschko et al. [2, Kap. 8.7.4, S. 495] und
Hughes [6, Kap. 4.8, S. 251]. Prinzipiell werden aus den Null-Energie-Moden künstliche Steifigkeitsterme konstruiert, die auf die singuläre unterintegrierte Steifigkeitsmatrix
addiert werden, die damit regulär wird. Erfolgt eine Anregung eines Elements in einer
Null-Energie-Mode wird über die künstliche Steifigkeit eine Kraft berechnet, die dieser
Verschiebung entgegenwirkt. Anschaulich gesprochen werden künstliche Kräfte zur Unterdrückung der Hourglass-Verschiebungszustände eingeführt. Nach der Art der Erzeugung
der stabilisierenden Kräfte unterscheidet man:
• viskose Stabilisierung: die Steifigkeitsterme werden aus einem geschwindigkeitsproportionalen Ansatz berechnet.
• steifigkeitsbasierte Stabilisierung: die Steifigkeitsterme werden deformationsabhängig
berechnet.
Es wird ein Skalierungsparameter eingeführt, mit dem der Anwender die Kräfte einstellen
kann, wobei man dies nur mit Vorsicht tun sollte. Durch diese künstlichen Kräfte wird bei
Auftreten von Null-Energie-Moden eine Hourglass-Energie erzeugt, die der Gesamtbilanz
Energie entzieht und damit das Ergebnis verfälscht. Deshalb muss dieser Energieanteil
vom Anwender kontrolliert werden. Üblicherweise werden Anteile von wenigen Prozent
bezogen auf die innere oder totale Energie als akzeptabel betrachtet. Bei Werten darüber
muss das Modell kritisch geprüft werden.
7.4 Praxis-Hinweise zur Modellierung
Vor jeder Berechnung ist auf die Verwendung eines geeigneten und sinnvollen Einheitensystems durch den Benutzer zu achten, d. h. die verschiedenen physikalischen Größen
müssen konsistent sein. Eine Überprüfung kann durch die Bedingung
1 (Einheit der Kraft) = 1 (Einheit der Masse) × 1 Einheit der Beschleunigung
(7.4)
126
7 Mathematische und numerische Aspekte der FEM
erfolgen. Tabelle A.2 gibt einen Überblick über in der FEM gebräuchliche Einheitensysteme. Je nach Anwendungsfall haben sich verschiedene Einheitensysteme etabliert, so wird
speziell für die Umformsimulation das Einheitensystem t, mm, s, N (Variante 2) eingesetzt, während im Bereich der Crashberechnung die Einheiten kg, mm, ms, kN (Variante
3) gemäß Tab. A.2 Anwendung finden.
7.4.1 Vernetzungsmethoden
Für die Vernetzung stehen heutzutage leistungsfähige Programme zur Verfügung, die,
teilweise vollautomatisch, Diskretisierungen beliebiger Strukturen erzeugen. Zwei wesentliche Begriffe bei der Netzerzeugung sind zu unterscheiden (s. Liseı̆kin [8, Kap. 1.3]):
• strukturierte Vernetzung: Hier ist das Netz völlig regelmäßig aus Viereck- bzw. Hexaederelementen aufgebaut. Jeder innere Knoten hat gleich viele Elemente mit denen
er verbunden ist, die Netze sind also topologisch identisch an den inneren Knoten.
Solche Netze kann man erzeugen, indem man eine Standardzelle aus Quadraten oder
Würfeln auf das zu vernetzende Gebiet transformiert. Daher rührt im Englischen der
Name mapped meshing (transformierte Vernetzung), s. Abb. 7.19 (rechts). Der Vorteil
ist, dass numerisch gut geeignete Diskretisierungen entstehen, v. a. erzeugt man damit
Hexaedernetze.
Die Idealisierung in Kap. 1.2 hat im Wesentlichen das Ziel, das geometrische (CAD-)
Modell so anzupassen, dass eine strukturierte Vernetzung mit Hexaedern für einzelne
Bauteile möglich ist. Der Nachteil ist, dass die Transformation nur begrenzt einsetzbar
Abb. 7.19 Ebenes Beispiel
für ein unstrukturiertes und
ein strukturiertes Netz
ist. Im 2-D darf das Gebiet nur von drei oder vier Linien begrenzt sein. Je unregelmäßiger das Vernetzungsgebiet ist, desto stärker verzerrt wären die Elemente, sodass
diese Methode nur eingeschränkt genutzt werden kann. Eine Variante ist die SweepVernetzung, die in Kap. 6.5.2 bereits erläutert wurde.
• unstrukturierte Vernetzung: Diese Vernetzungsmethode wird als freie Vernetzung (free
meshing) bezeichnet. Die Knoten sind unregelmäßig im Netz verteilt, die Anzahl Elemente an einem Knoten und die Elementart können variieren, z. B. eine Mischung von
Dreiecken und Vierecken, s. Abb. 7.19 (links). Dadurch sind solche Netze sehr flexibel an beliebige Geometrien anpassbar. Der Nachteil ist, dass Elemente entstehen, die
verzerrt und numerisch nicht optimal sind (Dreiecke, lineare Tetraeder). Trotz dieses
Nachteils ist die freie Vernetzung eine häufig genutzte Methode, gerade bei Volumen-
7.4 Praxis-Hinweise zur Modellierung
127
körpern, z. B. einer Gussstruktur mit Verrundungen, da auf andere Weise gar keine
Vernetzung erzeugt werden kann.
7.4.2 Anforderungen an die Elementauswahl und Vernetzung
Durch die Auswahl eines Elementtyps wird vorgegeben, welches Lösungsverhalten möglich ist. Wichtig ist dabei, dass die Elementauswahl an das Problem angepasst ist:
•
•
•
•
Fachwerkstrukturen oder Wellen: 1-D-Elemente (Balken, Stäbe)
dünnwandige Strukturen: 2-D-Elemente (Schalen, Platte, Scheibe)
volumetrische Körper: 3-D-Elemente (Hexaeder, Tetraeder)
An Übergängen zwischen dünnen und dickeren Strukturteilen ist die Modellierung
generell schwierig. In der Praxis werden Elementtypen verschiedener Dimension mit
speziellen Zwangsbedingungen verbunden (häufig als Kopplungselemente oder constraint elements bezeichnet), sodass die jeweiligen Freiheitsgrade korrekt behandelt
werden. Die Kopplung der Drehfreiheitsgrade eines Schalenelements wird z. B. über
die Verschiebungen von angekoppelten Lagen von Volumenelementen realisiert.
An die Qualität der Vernetzung sind gewisse Anforderungen zu stellen. Dahinter steht
generell, dass Elemente in natürlichen Koordinaten definiert sind und mit einer Transformation in den realen Raum umgerechnet werden, s. Abb. 6.5. Diese Transformation geht
in die Berechnung der Integrale ein, wie in Kap. 7.2 erläutert. Durch verzerrte Elemente
sinkt die Integrationsgenauigkeit, da die Jacobi-Matrix der Transformation komplizierter
wird. Ist das Element in natürlichen Koordinaten und im aktuellen Koordinatensystem
identisch, dann ist det J = 1 und die zu integrierenden Funktionen sind einfacher. Je mehr
die aktuelle Elementform abweicht, desto komplizierter ist die Determinante, v. a. ist sie
nicht mehr konstant. Optimal sind deshalb im 2-D quadratische bzw. im 3-D würfelförmige
Elemente. Allgemein ist es aber unmöglich, jeden Körper so zu vernetzen, es sind immer
Dreiecke bzw. Tetraeder oder verzerrte Vierecke und Hexaeder notwendig.
Automatische Vernetzer versuchen Netze bestmöglich nach diesem Kriterium zu erzeugen. Zur Überprüfung sind in kommerziellen Programmen Qualitätskriterien für die
Form der Elemente definiert, die vor und während der Berechnung geprüft werden und
ggf. zu einer Warnung oder einem Abbruch der Rechnung führen können. Die wichtigsten
Kriterien sind im Folgenden aufgelistet:
• Die wesentlichste Anforderung ist, dass die Innenwinkel φ eines Elements kleiner
sein müssen als 180◦ , s. Abb. 7.20, da die Transformation durch die Jacobi-Matrix J
sonst nicht mehr eindeutig ist. Dies äußert sich in der Berechnung durch ein negatives
Volumen bzw. det J < 0.
Abb. 7.20 Innenwinkel für
die Existenz der Jacobi-Matrix
φ > 180◦
128
7 Mathematische und numerische Aspekte der FEM
• Die Seitenlängen eines Elements sollen gleich lang sein. Deswegen ist das Seitenlängenverhältnis (aspect ratio) ein häufiges Qualitätsmerkmal, wobei Verhältnisse von 0.5
bis 2 noch zulässig sind.
• Da eine quadratische Form optimal ist, sollen die Seiten parallel sein. Spitze Winkel
(„Nadelelemente“) sind zu vermeiden. Diese können so klein werden, dass sie nicht
mehr zu erkennen sind, aber Konvergenzprobleme verursachen können.
• Bei vierknotigen Elementen kann eine Verwindung auftreten, da eine Ebene durch drei
Knoten festgelegt ist. Der vierte Knoten kann außerhalb der Ebene liegen und führt zu
einer Verwindung (warping) des Elements, die ebenfalls zu vermeiden ist.
• Bei quadratischen Ansatzfunktionen dürfen die Mittenknoten nicht zu weit von der
optimalen (mittigen) Lage entfernt sein, s. Abb. 7.21, da ansonsten ebenfalls det J nicht
mehr eindeutig ist.
Abb. 7.21 Außermittige Lage
der Mittenknoten
η
ξ
Kommerzielle Programme bieten üblicherweise eine Funktionalität an, mit der man sich
diese Kriterien auf dem Netz anzeigen lassen kann, um ggf. eingreifen zu können. Neben
der Verbesserung der Netztopologie, d. h. der Lage der Knoten zueinander, bieten diese
Werkzeuge auch an, das Netz auf doppelte oder unverbundene Knoten zu durchsuchen
und diese zu löschen
Ein weiteres Kriterium für die Vernetzung bzw. die Netzfeinheit stellt die Berechnung
von Spannungen und Dehnungen dar. An Stellen, an denen die Spannung genau bekannt
sein muss, sollte das Netz besonders fein sein. Dies gilt z. B. für Auswertungen in Kerben
für eine Lebensdaueranalyse. Generell gilt, dass in einer exakten Kerbe (einspringende
Ecke) ohne Radius die exakte Spannungslösung gegen Unendlich geht. Um an einer solchen
Stelle Spannungen überhaupt auswerten zu können, ist dort ein Radius vorzusehen, um
eine beschränkte Lösung zu erhalten.
Sind im Modell Diskontinuitäten enthalten, dann darf über diese nicht hinweg vernetzt werden, d. h. es müssen dort Elementgrenzen vorgesehen werden. Dazu zählen die
in Abb. 7.22 gezeigten Fälle ohne Anspruch auf Vollständigkeit.
p1
Stahl
Geometriesprung
p2
f
Kunststoff
Materialwechsel
unstetige Flächenlast Einzellast oder Lagerung
Abb. 7.22 Zu beachtende Diskontinuitäten bei der Vernetzung an einem 1-D-Beispiel
7.4 Praxis-Hinweise zur Modellierung
129
7.4.3 Ausnutzung von Symmetrien bei der Vernetzung
Symmetrien in Bauteilen sollten bei der Modellierung immer beachtet werden, da es dann
ausreicht, nur einen symmetrischen Anteil des Modells zu berechnen. Dadurch lassen
sich Modellgrößen und Rechenzeiten stark reduzieren. Folgende Arten von Symmetrien
können in der FEM genutzt werden:
Der üblichste Fall ist die Achsensymmetrie eines Körpers. Liegt mehrfache Symmetrie vor, dann kann das Bauteil auch mit mehreren Symmetrieebenen berechnet werden.
Zum Beispiel reicht es aus, von einer rechteckigen Platte ein Viertelmodell zu betrachten,
s. Abb. 7.3 und Abb. 7.4. Um das symmetrische Verhalten mechanisch korrekt abzubilden, muss eine Symmetriebedingung aufgebracht werden, sodass ein Knoten auf einer
Symmetrieebene während der Verformung auf dieser Ebene verbleibt. Ansonsten wäre
die Lösung unsymmetrisch, da der Knoten nur auf einer der beiden Seiten liegen kann.
Dies wird erreicht durch Sperren von Verschiebungs- und Rotationsfreiheitsgraden für die
Knoten einer Symmetrieebene. Bei Nutzung von Volumenelementen reicht die Sperrung
der Verschiebungsfreiheitsgrade, bei Schalenelementen sind zusätzlich die Rotationen zu
sperren. Ansonsten wäre es möglich, dass die nicht geometrisch abgebildete Dicke der
Schale aus der Symmetrieebene herausgedreht wird. In Abb. 7.23 ist als Beispiel eine
Abb. 7.23 Symmetrierandbedingungen an einem Schalenelement. Symmetrieebene,
Blockierung Verschiebung
(I), Blockierung Rotation
(II)
z y
x
Symmetrieebene an einem Schalenelement in der (y, z)-Ebene vorgegeben. Es sind deswegen die Verschiebungen u x sowie die Rotationen φy und φz zu sperren.
Bei Rotationssymmetrie kann der Volumenkörper durch einen Halbschnitt durch den
Körper ersetzt werden, s. Abb. 7.24. Dazu ist die Einführung eines ZylinderkoordinatenAbb. 7.24 Ebenes Element
zur Ausnutzung von Rotationssymmetrie an einem
Zylinder
y
x
z
systems notwendig. Der zugehörige Elementtyp wird in verschiedenen kommerziellen
Programmen entweder unter Volumenelementen oder Schalenelementen aufgeführt. Aus
Vereinfachungsgründen ist es u. U. notwendig, die Längsachse y aus Abb. 7.24 in Richtung
der globalen y-Achse des jeweiligen Programms auszurichten. Weiterhin sollte beachtet
werden, ob die zu diskretisierende Fläche im positiven Quadranten liegen muss.
Zyklische Symmetrie kann genutzt werden, wenn sich 3-D-Bauteilkomponenten wiederholen, z. B. bei einem Turbinenrad.
130
7 Mathematische und numerische Aspekte der FEM
Für die Ausnutzung von Symmetrie ist maßgeblich, dass die zu erwartende physikalische Lösung symmetrisch ist. Aus diesem Grund ist neben der geometrischen Symmetrie
sicherzustellen, dass auch die Randbedingungen symmetrisch sind. Ähnliche Bedingungen lassen sich auch für den antimetrischen Fall konstruieren, bei dem Randbedingungen
symmetrisch angeordnet sind, aber in entgegengesetzte Richtung wirken.
7.5 Aufgaben
7.1. Gegeben ist die Funktion f (ξ) = (ξ + 1) 2 . Berechnen Sie im Einheitsintervall [−1, 1]
R1
mit der Simpson-Regel das Integral I = −1 f (ξ)dx. Geben Sie zunächst die Formel an und
berechnen Sie dann den Zahlenwert. Vergleichen Sie das Ergebnis mit der analytischen
Lösung und erläutern Sie.
7.2. Berechnen Sie mit einem MATLAB® -Skript die Integrale für die folgenden gebrochenrationalen Funktionen mit !einer Gauß-Quadratur mit zwei Integrationspunkten:
Z 1Z 1
Z 1
3 + ξ + η + ξη + ξ 2 + η 2
ξ + ξ2
+
1
dξ
und
dξdη
3
5 + ξ + η2
−1 −1
−1 6 + 2ξ + 3ξ
7.3. Zeigen Sie, dass durch die Simpson-Regel in Kap. 7.2.1.2 ein Polynom dritter Ordnung
exakt integriert wird (und nicht p = 3 − 1 = 2, wie es der Genauigkeitsgrad vorgibt).
Begründen Sie, warum dies hier möglich ist und für welchen Fall dies nicht so ist.
Literaturverzeichnis
[1] K.-J. Bathe. Finite element procedures. Prentice-Hall of India, New Delhi, 2007.
[2] T. Belytschko, W. K. Liu, und B. Moran. Nonlinear finite elements for continua and
structures. Wiley, Chichester, 2000.
[3] M. Bischoff. Theorie und Numerik einer dreidimensionalen Schalenformulierung.
Bericht Nr. 30, Institut für Baustatik, Universität Stuttgart, 1999.
[4] L. Gaul, M. Kögl, und M. Wagner. Boundary element methods for engineers and
scientists. Springer, Berlin, 2003.
[5] D. Gross, W. Hauger, und P. Wriggers. Technische Mechanik 4. Springer, Berlin, 9.
Aufl., 2014.
[6] T. J. R. Hughes. The Finite Element Method. Dover, Mineola, 2000.
[7] K. Knothe und H. Wessels. Finite Elemente. Springer Vieweg, Berlin, 5. Aufl., 2017.
[8] V. D. Liseı̆kin. Grid generation methods. Springer, Dordrecht, 2. Aufl., 2010.
[9] P. Wriggers. Nichtlineare Finite-Element-Methoden. Springer, Berlin, 2001.
[10] O. C. Zienkiewicz, R. L. Taylor, und J. Z. Zhu. The finite element method.
Butterworth-Heinemann, Oxford, 7. Aufl., 2013.
Kapitel 8
Lineare zeitabhängige FEM
Ist der Einfluss von Trägheits- oder Dämpfungseffekten in der Analyse zu berücksichtigen
bzw. sind zeitlich veränderliche Belastungen vorzugeben, muss das zeitabhängige Verhalten des Systems berechnet werden. Dazu sind analog zu den Impuls- und Drallbilanzen
dynamische Energieprinzipien zu formulieren. Im Rahmen diese Kapitels wird nur eine
kurze Einführung in die lineare Strukturdynamik gegeben. Eine weiterführende Behandlung bez. der FEM findet sich z. B. bei Bathe [1, Kap. 9], Hughes [4, Kap. 10] und Mathiak
[5].
Generell unterscheiden sich dynamische Verfahren darin, wie die Zeitabhängigkeit
behandelt wird:
• Modalanalyse: Sie dient zur Charakterisierung der dynamischen Eigenschaften einer
schwingungsfähigen Struktur, die aus ihrem Gleichgewichtszustand ausgelenkt wird
und dann sich selbst überlassen freie harmonische Schwingungen ausführt. Die Zeitabhängigkeit wird hier explizit über den harmonischen Ansatz vorgegeben. Zu beachten
ist, dass die Modalanalyse nur auf lineare Systeme angewendet werden kann. Diesem
Verfahren zu Grunde liegt immer die Lösung eines Eigenwertproblems.
• Harmonische Analyse: In diesem Fall wird die Struktur von außen harmonisch angeregt
und damit in erzwungene harmonische Schwingungen versetzt. Diese Anwendung tritt
in praktisch allen ingenieurtechnischen Anwendungen auf, die dynamisch betrachtet
werden, z. B. in der Fahrzeugtechnik, im Flugzeugbau und bei rotierenden Maschinen.
Man spricht in diesem Fall auch von Betriebsschwingungen.
• Transiente Analyse: Eine transiente Analyse liefert die Antwort einer Struktur auf zeitlich beliebig veränderliche Lasten unter Berücksichtigung beliebiger geometrischer
und materialbedingter Nichtlinearitäten. Es kommen direkte Zeitintegrationsalgorithmen zum Einsatz. Generell ist der numerische Aufwand bei einer transienten Analyse
sehr hoch, da vereinfacht gesagt, die Gleichungen sehr oft hintereinander gelöst werden müssen, um das System in der Zeit zu integrieren. Zusätzlich treten numerische
Instabilitäten und Konvergenzprobleme auf. Die transiente Analyse ist Gegenstand der
nachfolgenden Kapitel und wird hier nicht weiter verfolgt.
Zunächst werden im folgenden Abschnitt die FE-Gleichungen für lineare ungedämpfte
dynamische Probleme eingeführt. Danach werden die ersten beiden genannten Methoden
besprochen und zuletzt auf die Frage der Dämpfungsmodellierung eingegangen.
© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2017
M. Wagner, Lineare und nichtlineare FEM, DOI 10.1007/978-3-658-17866-6_8
131
132
8 Lineare zeitabhängige FEM
8.1 Herleitung der dynamischen FEM über virtuelle Verschiebungen
Bisher galten alle Aussagen nur für die Statik deformierbarer Körper. Im Folgenden wird
das Prinzip der virtuellen Verschiebung aus Gl. (4.10) auf dynamische Vorgänge erweitert. Dazu muss die Trägheitswirkung der Masse über die Trägheitskraft fρ = −ρ(x) ü (x, t)
mit der lokalen (Massen-)Dichte ρ(x) und den Beschleunigungen ü (x, t) berücksichtigt
werden. Die Trägheitskraft ist den äußeren Kräften entgegengerichtet, was durch das Minuszeichen eingebracht wird und verrichtet ebenfalls virtuelle Arbeit. Das für die Dynamik gültige Energieprinzip wird dann als Lagrange-d’Alembert’sches Prinzip bezeichnet,
s. Riemer et al. [6, Kap. 4.2.2]. Als zusätzlicher Term muss in Gl. (4.10) die virtuelle
Arbeit der Trägheitskräfte
Z
ρ
Wδ = −
ρ δuT · ü dV
V
berücksichtigt werden. Die Bilanz der virtuellen Arbeiten lautet dann für die Dynamik
ρ
Wδ (u) + Wδi (u) + Wδa (u) = 0 und ausgeschrieben
Z
Z
Z
Z
ρδuT · ü dV +
δε T · σ dV −
δuT · b̄ dV −
δuT · t̄ dA = 0 .
(8.1)
V
V
V
A
Man kann zeigen, dass das Lagrange-d’Alembertsche Prinzip der Impulsbilanz äquivalent
ist (s. Wagner [8, Kap. 3.3, S. 41]) und damit eine vollständige Beschreibung der Bewegung
eines Kontinuums darstellt. Zusätzlich sind die geometrischen Randbedingungen und
die Anfangsbedingungen zu erfüllen. Dieses Prinzip ist der Ausgangspunkt einer FEDiskretisierung der Dynamik.
In Gl. (8.1) werden wieder die Ansatzfunktionen eingeführt. Hier ist der wesentliche
Unterschied zu beachten, dass Gl. (8.1) nun ein zeitabhängiges Anfangs-Randwertproblem
darstellt. Dies bedeutet, dass auch die Ansätze zeit- und ortsabhängig sein müssen. In der
FEM wird dies durch einen Separationsansatz gelöst, indem die Matrix der Ansatzfunktionen rein vom Ort abhängt und die Knotenverschiebungen nun keine Konstanten mehr
darstellen, sondern von der Zeit abhängen. Zusätzlich wird angenommen, dass man die
Beschleunigungen mit den gleichen Formfunktionen annähern kann. Der Ansatz in der
Dynamik lautet damit:
ũ e (x, t) = N (x)u e (t) ,
e
ũ¨ (x, t) = N (x) a e (t) ,
wobei hier zur besseren Unterscheidung von kontinuierlichen und diskreten Größen der
Elementknotenvektor der Beschleunigungen a e (t) eingeführt wird.
Einsetzen dieses zeitabhängigen Ansatzes in Gl. (8.1) für ein Element e unter Annahme
von linear-elastischem Materialverhalten liefert analog zur Statik in Kap. 5.3:
Z
Z
Z
Z
T
T
T
T
δu e
N Tρ N dV a e + δu e
BT C B dV u e = δu e
N T b̄ e dV + δu eA
N AT t̄ e dA .
Ve
Ve
Ve
Neben den bereits bekannten Termen, kommt die Massenmatrix neu hinzu:
Z
Me =
N T ρ N dV = const. ,
Ve
Ae
(8.2)
8.2 Numerische Modalanalyse
133
mit sehr ähnlichen Eigenschaften wie die Steifigkeitsmatrix: Sie ist symmetrisch und
dünn-besetzt. Da hier nur Systeme ohne Massenänderung betrachtet werden, weist sie nur
konstante Koeffizienten auf.
Für ein lineares Stabelement der Länge ` wird die Massenmatrix beispielhaft unter Annahme von
konstantem Querschnitt (dV = Adx) und konstanter Dichte ausgewertet:
g
#
Z `" 2
Z `" #f
Z `
NI NI NJ
NI NI NJ
dx = ρ A
dx .
N T N dx = ρ A
Me = ρA
2
NJ
sym NJ
0
0
0
Einsetzen der linearen Ansätze aus Gl. (2.11) liefert die konsistente Massenmatrix des linearen Stabelements
#
" #
Z `"
ρ A` 2 1
(1 − x` ) 2 (1 − x` ) x`
dx
=
.
(8.3)
Me = ρA
sym
( x` ) 2
6 12
0
Ausklammern der virtuellen Knotenverschiebungen wie in der Statik liefert
T
δu e [M e a e + K e u e − f e ] = 0 ,
wobei die Lastvektoren des Gebiets und des Randes in den Vektor f e zusammengefasst
wurden. Da die Variationen beliebig sind, kann die Gleichung nur erfüllt werden, wenn
der Klammerausdruck verschwindet und es folgt:
M e a e (t) + K e u e (t) = f e (t) .
(8.4)
Dies ist die allgemeine lineare dynamische Finite-Element-Gleichung für ein Element.
Die weitere Vorgehensweise unterscheidet sich nicht grundsätzlich von der Statik, deshalb wird dies hier nicht wiederholt. Die Gesamtmassenmatrix M wird genau wie die
Steifigkeitsmatrix über die Inzidenztabelle zusammengesetzt. Werden die Elementmassenmatrizen wie in Gl. (8.2) dargestellt berechnet, wird sie als konsistente Massenmatrix
bezeichnet, da die virtuelle Arbeit der Knotenträgheitskräfte multipliziert mit den virtuellen Knotenverschiebungen gleich der Wirkung der kontinuierlich verteilten Masse ist.
Es ist allerdings zu beachten, dass es sich in der Dynamik nicht um ein lineares
Gleichungssystem handelt, das direkt gelöst werden kann, sondern um ein System aus
zeitabhängigen Differenzialgleichungen, das geeignet zu lösen ist. Die Lösungsansätze
unterscheiden sich stark und werden im Folgenden und in Kap. 13 vorgestellt.
8.2 Numerische Modalanalyse
Zunächst sollen freie, ungedämpfte, harmonische Schwingungen untersucht werden, indem
die rechte Seite des Gleichungssystems zu null gesetzt wird. Dies wird als Modalanalyse
bezeichnet. Eine FE-Diskretisierung entsprechend Kap. 8.1 führt auf das Gesamtsystem:
M a(t) + K u(t) = 0 ,
(8.5)
mit dem Gesamtvektor der Knotenbeschleunigungen a(t) und den konstanten Systemmatrizen M, K, die jeweils die Dimension Nges × Nges aufweisen, s. Gl. (5.15).
134
8 Lineare zeitabhängige FEM
Die Modalanalyse liefert für eine Struktur die Eigenfrequenzen und Eigenformen sowie
modale Massen und bei Dämpfung im System Dämpfungskennwerte.
Die Eigenfrequenzen sind die Frequenzen, mit der eine Struktur sich selbst überlassen
schwingt, nach einer Auslenkung aus dem Gleichgewichtszustand. Eigenformen sind charakteristische Verformungen einer Struktur, die jeweils zu einer Eigenfrequenz gehören.
Diese beiden Größen sind Systemeigenschaften wie die Dichte oder der Elastizitätsmodul
und erlauben die Beschreibung der dynamischen Eigenschaften des betrachteten Systems.
Diese Größen werden über eine Eigenwertberechnung des linearen Gleichungssystems
gewonnen. Es sollen harmonische Schwingungen betrachtet werden, deshalb wird ein
entsprechender Lösungsansatz für das Differenzialgleichungssystem Gl. (8.5) mit Sinusoder Kosinusfunktionen gewählt:
u(t) = A φ̂ sin(ωt + ϕ0 ) ,
(8.6)
mit dem Amplituden-Knotenvektor A φ̂, der jedem Knoten der Diskretisierung einen
konstanten Amplitudenwert zuweist, sowie dem Anfangsauslenkungswinkel ϕ0 . Für einen
1-D-Fall ist eine harmonische Schwingung in Abb. 8.1 dargestellt. Die Zeit, die eine
u
Abb. 8.1 Physikalische Größen einer Schwingung
û = Aφ̂ Amplitude
ωt
φ0 Anfangsauslenkungswinkel
ωT = 2π
vollständige Schwingung benötigt, wird als Schwingungsdauer T bezeichnet, der Kehrwert
als die Frequenz f = 1/T (mit Einheit Hz). In die harmonischen Funktionen müssen
Winkel im Bogenmaß eingesetzt werden, deswegen muss die Schwingungsdauer auf die
Periodenlänge der harmonischen Funktionen 2π skaliert werden. Dies definiert mit der
Beziehung ωT = 2π die Kreisfrequenz
ω=
2π
= 2π f ,
T
mit der Einheit 1/s.
Leitet man diesen Ansatz zweimal ab, folgt:
a(t) = −ω2 A φ̂ sin(ωt + ϕ0 ) = −ω2 u(t) .
Hier wird ersichtlich, warum es vorteilhaft ist, von harmonischen Schwingungen auszugehen, da sich der Sinus bei der zweiten Ableitung wiederholt.
Eingesetzt in Gl. (8.5) folgt das verallgemeinerte Eigenwertproblem
K − ω2 M φ̂ = 0 ,
(8.7)
8.2 Numerische Modalanalyse
135
mit dem Eigenwert ω2 und der Eigenform φ̂. Der Lösungsanteil A sin(ωt + ϕ0 ) tritt in
jedem Term auf und wurde aus der Gleichung eliminiert. Die Unbekannten A und ϕ0
werden später aus den Anfangsbedingungen bestimmt.
Die einzige eindeutige Lösung dieses linearen Gleichungssystems ist φ̂ = 0, die als
triviale Lösung bezeichnet wird. Sie entspricht dem statischen Gleichgewichtszustand, da
alle Knotenamplituden null sind.
Weitere Lösungen des linearen Gleichungssystems in Gl. (8.7), neben der eindeutigen,
können nur existieren, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix gleich null wird,
s. Bathe [1, Kap. 10.2.2, S. 846]:
det K − ω2 M = 0 .
Allerdings sind dies dann unterbestimmte Lösungen, d. h. es stehen nicht genug Gleichungen für die Berechnung der unbekannten Knotenamplituden in φ̂ zur Verfügung, da die
Gleichungen des durch Gl. (8.7) gegebenen linearen Gleichungssystems linear abhängig
sind.
Die Berechnung der Determinante führt auf ein Polynom Nges -ter Ordnung, da dies
der Dimension der quadratischen Koeffizientenmatrix K − ω2 M entspricht. Dieses Polynom wird als charakteristische Gleichung des zugehörigen Differenzialgleichungssystems
Gl. (8.5) bezeichnet. Die Lösungen, d. h. die Nullstellen dieses Polynoms, sind im ungedämpften Falle i = 1, . . . , Nges reelle, positive Eigenwerte (i)ω2 ∈ R+0 , wobei der Index des
Eigenwerts links oben angegeben wird. Daraus bestimmt man die Eigenkreisfrequenzen
der Struktur
(i)
ω , i = 1 . . . Nges
und aus dem Gleichungssystem Gl. (8.7) die zugehörigen Eigenformen
(i)
φ̂ ,
i = 1 . . . Nges .
Neben diesem Begriff wird völlig analog von Eigenmoden oder Eigenvektor gesprochen.
Dies bedeutet, dass ein System immer eine der Anzahl der Freiheitsgrade entsprechende Anzahl an Eigenfrequenzen und Eigenvektoren aufweist. Für einen kontinuierlichen
Körper bedeutet dies im Grenzübergang, dass er theoretisch unendlich viele Eigenfrequenzen besitzt. Als Beispiel ist in Abb. 8.2 die Eigenform einer schwingenden Platte aus
Abb. 8.2 Eigenform einer
frei schwingenden Platte bei
1705 Hz
Stahl bei 1705 Hz dargestellt. Die Komponenten des Eigenvektors φ̂ sind die Amplituden jedes Freiheitsgrades der Diskretisierung. Es sind keine zeitveränderlichen Größen,
sondern Konstanten, die aber räumlich verteilt unterschiedliche Werte annehmen. Die
Zeitabhängigkeit geht über den Sinus im Lösungsansatz ein, s. Gl. (8.6).
136
8 Lineare zeitabhängige FEM
(i)
Jedes Paar (i)ω, φ̂ erfüllt Gl. (8.7)
(i)
(i)
K φ̂ = (i)ω2 M φ̂ .
(8.8)
An dieser Gleichung kann man eine der wesentlichsten Eigenschaften von Eigenvektoren
plausibilisieren: Da die Eigenvektoren über ein unterbestimmtes Gleichungssystem gewonnen werden, sind sie nur bis auf einen Faktor bestimmt. Setzt man in Gl. (8.8) einen
(i)
mit einem Faktor α multiplizierten Eigenvektor α φ̂ ein, ist die Gleichung erfüllt. Der
Informationsgehalt des Eigenvektors ist also nicht in den Absolutwerten der Koeffizienten des Vektors zu sehen, sondern im relativen Verhältnis der Koeffizienten zueinander.
(i)
(i)
Beträgt der Wert der Komponente φ̂1 = 1 und von Komponente φ̂2 = 4, ist die physikalische Aussage, dass der Freiheitsgrad 2 eine 4-mal größere Auslenkung erfährt als
Freiheitsgrad 1. Wie groß die Auslenkung tatsächlich ist, ergibt sich erst, wenn man Randund Anfangsbedingungen angibt.
Die zweite wichtige Eigenschaft ist, dass Eigenvektoren orthogonal zueinander stehen.
Für einen Beweis s. Bathe [1, Kap. 2.5, S. 54]. Da es immer Nges Eigenvektoren gibt, bilden
diese eine Basis des linearen Vektorraumes, den das lineare Gleichungssystem Gl. (8.7)
aufspannt.
Eine Eigenschaft linearer Systeme ist das Superpositionsprinzip, das besagt, dass die
Summe bekannter Lösungen einer linearen Differenzialgleichung wieder eine Lösung
darstellt. Daraus lässt sich schlussfolgern, dass sich die homogene Lösung uh von Gl. (8.5)
durch lineare Superposition aller Nges Eigenvektoren ergibt:
uh (t) =
Nges
X
(i) (i)
A φ̂ sin( (i)ω t + (i)ϕ0 ) .
(8.9)
i=1
Die 2(Nges ) Konstanten (i)A und (i)ϕ0 sind dazu notwendig die allgemeine Lösung an die
Anfangsbedingungen (z. B. u(t = 0) = u0 und v(t = 0) = 0) anzupassen. Dieser Aussage
entspricht, dass die Eigenvektoren eine Basis des Lösungsraums sind. Es lässt sich jede
beliebige, kinematisch zulässige Schwingung des linearen Systems durch die Eigenvektoren
darstellen. Dies erklärt die große Bedeutung der Eigenvektoren in der Untersuchung der
Dynamik linearer Systeme, da das gesamte Systemverhalten darin abgebildet ist.
Wie bereits in Kap. 5.4.1 erwähnt, ist die Steifigkeitsmatrix singulär, d. h. nicht invertierbar, da linear-abhängige Zeilen enthalten sind, so lange keine Randbedingungen
betrachtet werden. Die Singularität äußert sich bei einer Eigenwertberechnung darin, dass
Eigenwerte berechnet werden, die null (bzw. nahe null) sind. Physikalisch rührt dies daher,
dass ein Körper im 3-D drei Möglichkeiten der Translation und drei der Rotation hat, diese
Freiheitsgrade werden als Starrkörpermoden bezeichnet. Für die praktische Anwendung
bedeutet dies, dass eine Modalanalyse neben einer dynamischen Berechnung auch für eine
statische Analyse sinnvoll sein kann. Sie eröffnet die Möglichkeit verbleibende Starrkörperfreiheitsgrade zu lokalisieren und damit die kinematische Bestimmtheit der Lagerung
zu überprüfen.
8.2 Numerische Modalanalyse
137
8.2.1 Modale Transformation
Aus Gl. (8.8) lassen sich durch Vormultiplikation mit einem weiteren Eigenvektor
die Eigenschaften

 (i)m
(i)
φ̂ M φ̂ = 
0

( j) T
für i = j
für i , j

 (i)k
(i)
φ̂ K φ̂ = 
0

( j) T
und
für i = j
für i , j
( j) T
φ̂
(8.10)
ableiten, s. Zienkiewicz et al. [9, Kap. 3.8.2, S. 79]. Dies liefert die Möglichkeit die i
(i)
Eigenvektoren φ̂ mit dem Faktor (i)m zu normieren, da sie ja nur bis auf einen Faktor
festgelegt sind. Dies geschieht so, dass gilt:

 1 für i = j
(i)
φ̂ M φ̂ = 
 0 für i , j

( j) T
=⇒
( j) T
(i)
φ̂ K φ̂
Gl. (8.8)
=
(i) 2


 ω
0

für i = j
.
für i , j
(8.11)
Dies bedeutet,√dass die j-te Komponente des i-ten Eigenvektors berechnet wird durch:
(i)
(i)
φ̂ j = φ̂ j / (i)m . Es wird an dieser Stelle der Übersichtlichkeit wegen keine neue
Variable für die normierten Eigenvektoren eingeführt. Für die weitere Behandlung ist es
sinnvoll die Eigenvektoren in die Modalmatrix Φ zusammenzufassen:
(1)
Φ = [ φ̂ . . .
(Nges )
φ̂] ,
Dim(Φ) = [Nges × Nges ] .
Die Reihenfolge ergibt sich über eine Sortierung der Eigenwerte von kleinen zu hohen
Werten. Durch die Bedingung in Gl. (8.10) lässt sich mit der Modalmatrix für die symmetrischen Matrizen M und K die folgende Beziehung angeben:
m1 0 · · ·


Φ MΦ = m = diag{ m} =  0 m2

 ..
. . 
.
.


T
(i)
und
ΦT KΦ = k = diag{ (i)k} .
Durch die Modalmatrix werden die Systemmatrizen der FEM in Diagonalmatrizen transformiert, d. h. die transformierten Matrizen weisen nur noch Einträge auf der Hauptdiagonale auf. Die (i)m werden als modale Massen und die (i)k als modale Steifigkeiten
bezeichnet. Durch die Normierung in Gl. (8.11) kann man dies noch weiter vereinfachen:
ΦT MΦ = I
und
ΦT K Φ = Λ = diag{ωi2 } ,
(8.12)
mit der Einheitsmatrix I und der Spektralmatrix Λ, die die Eigenwerte auf der Hauptdiagonale trägt.
Diese Eigenschaft kann man weiter ausnutzen. Die Basis ist dabei, dass jede Bewegungsform eines Körpers im linearen Fall durch Überlagerung der Eigenmoden des
Körpers entsteht wie bei Gl. (8.9) erläutert:
Nges
Nges
X
X
(i) (i)
(i)
(i)
(i)
φ̂ qi (t) = Φ q(t) ,
u(t) =
φ̂ A sin( ω t + ϕ0 ) =
i=1
i=1
(8.13)
138
8 Lineare zeitabhängige FEM
mit der Modalmatrix und den neu eingeführten verallgemeinerten Koordinaten q(t). Da
die Eigenvektoren eine linear unabhängige Basis bilden, kann jeder Vektor u(t) als Linearkombination mit den neuen Koordinaten qi (t) dargestellt werden.
Damit kann eine Koordinatentransformation der Bewegungsgleichung in Gl. (8.5)
durchgeführt werden. Einsetzen von Gl. (8.13) und Linksmultiplikation mit der transponierten Modalmatrix liefert zunächst:
ΦT MΦ q̈ + ΦT KΦq = ΦT f
m q̈ + k q = ΦT f .
⇐⇒
Normierung entsprechend Gl. (8.12) liefert das Gleichungssystem:
T
q̈ + Λ q = Φ̄ f
⇐⇒
(i)
q̈i + (i)ω2 qi = φ̂ T f , i = 1 . . . Nges .
(8.14)
Aus dem gekoppelten Matrixsystem Gl. (8.5) wird damit ein Satz an vollständig entkoppelten Differenzialgleichungen, die unabhängig voneinander gelöst werden können. Jede
Zeile in Gl. (8.14) entspricht im Prinzip einem Feder-Masse-Schwinger. Diese Vorgehensweise wird als modale Transformation bezeichnet. Man darf aber nicht vergessen, dass für
die Nutzung dieser Gleichung zuvor die gesamte Modalmatrix berechnet werden müsste,
was bei großen Systemen einen immensen Rechenaufwand darstellen würde.
8.2.2 Modale Reduktion
Die modale Transformation kann in einem weiteren Schritt genutzt werden, um die Anzahl
der Freiheitsgrade auf eine kleine Anzahl n von Moden zu reduzieren, wobei n << Nges .
Damit bietet diese Vorgehensweise die Möglichkeit für eine Modellreduktion.
Das Bewegungsverhalten einer Struktur wird durch alle Eigenformen eindeutig definiert. Technisch relevant sind aber nur die Eigenformen, die in dem Frequenzbereich
liegen, in dem eine Struktur beobachtet oder betrieben wird, da das Schwingungsverhalten einer Maschine hauptsächlich aus Eigenformen zusammengesetzt ist, die in diesem
Bereich liegen. Da die Eigenfrequenzen sehr schnell steigen, ist es für technische Belange deswegen häufig ausreichend die n niedrigsten Eigenfrequenzen und Eigenformen
zu betrachten. Dabei kommt einem noch entgegen, dass niedrige Eigenfrequenzen hohe
Wellenlängen der zugehörigen Schwingung bedeuten. Diese werden durch eine gegebene
Diskretisierung damit genauer abgebildet als die hohen Eigenkreisfrequenzen.
Bei der modalen Reduktion wird dies genutzt, indem mit Hilfe einer Eigenwertanalyse
nur die n niedrigsten Eigenwerte und -formen berechnet werden – häufig die ersten n = 10
– und näherungsweise nur noch die dazu gehörenden Schwingungsgleichungen benutzt
werden. Bei einem System mit z. B. Nges = 1 Mio. Freiheitsgraden und entsprechend
theoretisch 1 Mio. Eigenwerten bedeutet dies eine drastische Reduktion der Anzahl der
zu lösenden Schwingungsdifferenzialgleichungen. Einführung der modalen Koordinaten
z(t), die eine Untermenge des Vektors q(t) sind, und einer rechteckigen Modalmatrix Ψ
die nur noch n Eigenvektoren enthält
u(t) ≈ Ψz(t),
Dim(Ψ) = Nges × n
mit n << Nges
(8.15)
8.2 Numerische Modalanalyse
139
ergibt analog zu oben
ΨT MΨ z̈ + ΨT K Ψz = ΨT f .
Mit den Orthogonalitätsbeziehungen in Gl. (8.12), die analog auch für die reduzierte
Modalmatrix Ψ gelten,
ΨT MΨ = m = diag{ (i)m}
ΨT K Ψ = k = diag{ (i)k}
Dim(m) = Dim(k) = n × n ,
folgt:
m z̈ + k z = ΨT f .
Dies ist ein System aus nur noch n entkoppelten Differenzialgleichungen, die nun weiter mit
Zeitintegrationsverfahren oder einem harmonischen Ansatz wie oben ausgewertet werden
können. Die physikalische Lösung entsteht durch die Rücktransformation mit dem Ansatz
in Gl. (8.15).
Modale Reduktion kann z. B. in Mehrkörperdynamikprogrammen genutzt werden, um
mit FEM diskretisierte elastische Körper einzubinden und gleichzeitig die Berechnungszeiten in annehmbaren Größen zu halten (s. z. B. Swidergal et al. [7]).
8.2.3 Näherungsweise Berechnung des Eigenwertproblems
Die exakte Berechnung aller Eigenwerte und -vektoren ist nur für kleine Probleme (< 1000
Freiheitsgrade) in sinnvollen Rechenzeiten möglich. Für praxisrelevante Fragestellungen
mit Millionen von Freiheitsgraden ist eine Berechnung aller Eigenwerte und -vektoren
nicht effizient. Wie oben ausgeführt ist dies auch häufig nicht notwendig, da das dynamische Verhalten näherungsweise durch wenige Eigenvektoren bestimmt werden kann.
Deswegen sind die meisten Algorithmen in FEM-Programmen darauf ausgelegt, näherungsweise wenige Eigenwerte und -vektoren zu extrahieren, dies aber numerisch effizient. Zusätzlich kann die Berechnung numerisch erschwert sein, da Eigenwerte mehrfach
auftreten und nah beieinander liegen können.
Es gibt eine Vielzahl an Verfahren. Die am häufigsten in kommerziellen Programmen
auftretenden sind: die Vektoriteration, die Householder-Iteration sowie die Block-LanczosIterationsverfahren, s. Bathe [1, Kap. 11], Hughes [4, Kap. 10]. Häufig kann man zwischen
diesen Verfahren wählen, allerdings ist hierzu vertieftes Wissen über Vor- und Nachteile
der einzelnen Verfahren notwendig und es wird empfohlen, die Voreinstellungen der
Programme beizubehalten.
Ein Begriff, der bei vielen Verfahren eine wesentliche Rolle spielt, soll an dieser Stelle
eingeführt werden. Multipliziert man Gl. (8.8) von links mit demselben Eigenvektor folgt:
(i) T
(i)
(i)
(i)
φ̂ K φ̂ = (i)ω2 φ̂ T M φ̂ .
Diese Matrix-Vektorprodukte sind Skalare und damit kann nach (i)ω2 aufgelöst werden:
ω =
(i) 2
(i) T (i)
φ̂ K φ̂
(i) T
(i)
φ̂ M φ̂
.
(8.16)
140
8 Lineare zeitabhängige FEM
Der Quotient in Gl. (8.16) wird als Rayleigh-Quotient bezeichnet. Er erlaubt bei Kenntnis
des Eigenvektors die Berechnung des zugehörigen Eigenwerts. Er kann zur Abschätzung
der Eigenfrequenzen linearer Systeme genutzt werden, v.a. der niedrigsten, da sich hier
Eigenvektoren oft näherungsweise angeben lassen. Wichtiger ist aber, dass er die Basis
vieler Verfahren für die näherungsweise Berechnung von Eigenwerten und -vektoren
bildet, z. B. der Vektoriteration, s. Bathe [1, Kap. 10.3.2, S. 868].
8.2.3.1 Guyan-Reduktion
Ein weiteres Verfahren soll hier noch angegeben werden, das auf derselben Idee wie die
statische Kondensation in Kap. 5.6.3.2 beruht: Ein Teil der Freiheitsgrade φ̂e in einem
Eigenvektor wird als relevant für die Berechnung der Eigenfrequenzen betrachtet und ein
Teil φ̂k soll vernachlässigbar sein. Dieser Anteil soll aus dem Gleichungssystem eliminiert
werden, um die Anzahl Freiheitsgrade zu reduzieren für die Berechnung der Eigenwerte
und -vektoren. Dazu wird das Eigenwertproblem in partitionierter Weise angegeben:
"
#
"
#! " # " #
Kee Kek
Mee Mek
φ̂e
0
− ω2
=
.
(8.17)
Kke Kkk
Mke Mkk
0
φ̂k
Für die Auswahl der Freiheitsgrade, die kondensiert werden sollen, wird nun angenommen,
dass der Massenanteil einiger Knoten im Verhältnis zu anderen sehr klein ist. Damit
ist der dynamische Effekt klein. Näherungsweise werden diese Massen in Mkk zu null
gesetzt. Weiterhin ist aus der konsistenten Massenmatrix eine Punktmassenmatrix zu
machen, s. Kap. 13.3.2 und es gilt für die Nebendiagonalelemente: Mek = Mek = 0. Damit
verbleibt in der zweiten Gleichung von Gl. (8.17) dieselbe Beziehung wie in Gl. (5.21).
Die zu eliminierenden Freiheitsgrade ergeben sich aus der zweiten Gleichung durch
−1
φ̂k = −Kkk
Kke φ̂e .
Es gehen hier keine dynamischen Anteile, sondern ausschließlich Steifigkeitsausdrücke
ein, die auch in der Statik gelten. Die eliminierten Anteile der Eigenvektoren werden „statisch“ kondensiert. Daher rührt der Name des Verfahrens. Häufig werden die Freiheitsgrade, die erhalten bleiben als „Master“ bezeichnet und die kondensierten als „Slave“. Der
gesamte Eigenvektor ergibt sich dann durch
"
#
I
φ̂ =
φ̂e .
(8.18)
−1 K
−Kkk
ke
Bei der Guyan-Reduktion (Hughes [4, Kap. 10.4, S. 576]) wird die Annahme der verschwindenden Massen wieder aufgehoben, aber die Annahme der statischen Kondensation
in Gl. (8.18) wird erhalten. Setzt man dies in Gl. (8.17) ein, ergibt sich nach Auswertung
ein reduziertes Gleichungssystem:
"
#
"
#!
" #
−1
−1 K
0
Kee − Kek Kkk
ke
2 Mee − Mek Kkk Kke
−ω
φ̂e =
.
−1 K
0
0
Mke − Mkk Kkk
ke
8.3 Berücksichtigung von Dissipationseffekten
141
−1 M
−1
Die zweite Gleichung liefert nur die Beziehung Mkk
ke = Kkk Kke . Damit lassen sich
zwei reduzierte Matrizen angeben:
−1
K ∗ = Kee − Kek Kkk
Kke
und
−1
M ∗ = Mee − Mek Mkk
Mke .
Die Bestimmungsgleichung für die signifikanten Teile des Eigenvektors der GuyanReduktion lautet damit:
K ∗ − ω2 M ∗ φ̂e = 0 .
Der gesamte Eigenvektor wird aus Gl. (8.18) ermittelt. Durch das reduziere System können
nicht alle Eigenwerte berechnet werden, sondern nur der Anzahl der erhaltenen Freiheitsgrade entsprechend. Die Guyan-Reduktion findet in Kap. 8.4 Anwendung.
8.2.4 Anwendungsgebiete der Modalanalyse
Die numerische Modalanalyse ist ein sehr wichtiges Instrument in der Praxis, das zur
Beurteilung von Bauteilen aufgrund dynamischer Beanspruchung dient und das viele
Informationen bei der Auslegung einer Struktur liefert, z. B. :
• Vermittlung eines Eindrucks, wie sich die Struktur bei dynamischen Lasten verhält,
• Vermeidung von Resonanzfrequenzen bei schwingungsfähigen Systemen (z. B. Antriebsstrang),
• Erzeugung eines gewünschten Schwingungsverhaltens, z. B. eines Motors oder einer
sich schließenden Fahrzeugtür,
• Systemzustandsüberwachung zur frühzeitigen Erkennung von Verschleiß und Schäden,
• Berechnung von Informationen, die für andere dynamische (transiente) Lösungen wichtig sind, z. B. notwendige Zeitschritte,
• Systemreduktion durch modale Transformation, die in anderen dynamischen Lösungsverfahren als Basis genutzt werden kann, z. B. bei der Frequenzganganalyse, s. Kap. 8.4.
Dabei ist aber Folgendes zu beachten:
• Die Modalanalyse ist eine rein lineare dynamische Analyse. Sobald nichtlineare Effekte
auftreten kann sie nur eingeschränkt genutzt werden, indem um einen Betriebspunkt
linearisiert wird.
• Die Anzahl der notwendigen Eigenformen für eine modale Reduktion ist eine ingenieurmäßige Entscheidung, die Effizienz und Genauigkeit abwägen muss.
• Der interessierende Frequenzbereich muss durch Moden abgedeckt sein. Dies limitiert den Einsatz der Methode, da z. B. bei Stoßvorgängen praktisch alle Eigenmoden
angeregt werden und dann auch berechnet werden müssten.
8.3 Berücksichtigung von Dissipationseffekten
Bisher sind wir von konservativen mechanischen Systemen ausgegangen, in denen die
mechanische Energie erhalten bleibt. Es gibt allerdings keine technischen Systeme ohne
142
8 Lineare zeitabhängige FEM
Dissipationsverhalten, wodurch mechanische Energie in thermische umgewandelt wird.
Dissipation kann sowohl mikroskopisch im Material (z. B. als innere Reibung oder Plastizität) auftreten als auch makroskopisch zwischen Grenzflächen von Körpern. Übliche
Dissipationseffekte sind Reibung und Dämpfung. In diesem Abschnitt soll auf die bekanntesten Modellierungstechniken in der FEM eingegangen werden. Dämpfung ist generell
ein schwer zu beschreibender und v. a. nichtlinearer physikalischer Effekt.
Folgende Arten von Dissipationseffekten sind, ohne Anspruch auf Vollständigkeit, in
FE-Programmen wichtig:
• Gleitreibung zwischen Oberflächen durch Coulomb’sche Reibung mit dem Reibkoeffizienten µd , s. Kap. 11.1.2,
• viskose Dämpfung, die eine Geschwindigkeitsabhängigkeit der Dämpfungskraft annimmt. Diese kann entweder global oder auf Bauteile bezogen vorgegeben werden.
• Materialdämpfung, d. h. Dissipation von Energie in viskosen oder plastischen Materialmodellen. Es handelt sich dabei aber um nichtlineare Effekte, die in der linearen
Dynamik nicht direkt genutzt werden können, s. Kap. 10.
• Diskrete Dämpferelemente, die eine, ggf. nichtlineare, Dämpferkennlinie vorgeben,
• Kontaktdämpfung, die das Kontaktrauschen unterdrücken soll, s. Kap. 11.3.2,
• numerische Dämpfung bei der Lösung der transienten zeitabhängigen Differenzialgleichungen, s. Kap. 13.2.
Wie man sieht, haben nicht alle Punkte einen physikalischen Ursprung. Auf diese Themen
wird in den genannten Kapiteln noch gesondert eingegangen. Viele der genannten Effekte
führen auf nichtlineare Gleichungen. Um Dämpfung in der linearen Dynamik beschreiben
zu können, wird deswegen häufig ein linear-viskoses Gesetz angenommen:
bD = −d v .
Um die viskose Dämpfung formal in ein Energieprinzip einführen zu können, wird sie als
Volumenkraft bD angenommen, die proportional zur Geschwindigkeit v mit der Dämpfungskonstante d ist, s. Bathe [1, Kap. 4.2.1, S. 165]. Die Einheit von d ist entsprechend
[d] = kg/ sec /m3 . Führt man diese Volumenkraft über einen Arbeitsterm in das Lagranged’Alembertsche Prinzip in Gl. (8.1) ein:
Z
d
Wδ = −
δu T d v dV ,
V
entsteht nach der Diskretisierung eine zusätzliche Systemmatrix D, die die geschwindigkeitsproportionale Dämpfung in die Bewegungsgleichung einbringt:
M a(t) + D v(t) + K u(t) = f .
Die Dämpfungsmatrix D kann unsymmetrisch sein. Weiterhin lässt sich das Differenzialgleichungssystem nicht mehr über einen harmonischen Ansatz wie in Gl. (8.6) lösen.
Vielmehr ist nun ein Ansatz der Form u(t) = φ̂ e(λt) notwendig, da diese Funktion sich
in jeder Ableitung wiederholt und damit ein Abspalten der Zeitabhängigkeit erlaubt. Die
Lösungen des Eigenwertproblems
λ 2 M + λD + K φ̂ = 0
(8.19)
8.3 Berücksichtigung von Dissipationseffekten
143
für die Eigenwerte sind entweder reell oder paarweise konjugiert-komplexe Werte. Die Eigenvektoren sind im Allgemeinen komplexwertig, s. Gasch et al. [3, Kap. 4, S. 188]. Wenn
es sich um paarweise konjugiert-komplexe Lösungen handelt, ergibt sich die physikalische
Lösung trotzdem als reelle, exponentiell abklingende harmonische Schwingung.
8.3.1 Proportionale und modale Dämpfung
Die Lösung des komplexen Eigenwertproblems in Gl. (8.19) ist deutlich aufwendiger und
benötigt eigene Lösungsalgorithmen, s. Zienkiewicz et al. [9, Kap. 12.6, S. 394]. Deswegen wird üblicherweise versucht mit den aus dem ungedämpften Problem gewonnenen
Eigenvektoren zu arbeiten und Dämpfung in dieses System einzuführen. Ein technisches
Argument dafür ist auch, dass Dämpfungseffekte oft klein sind und die Unterschiede in
Eigenfrequenzen und Eigenvektoren des gedämpften zum ungedämpften System daher
gering sind, siehe die Werte für Dämpfungsgrade in Kap. 8.3.1.1.
Die Bestimmung der Einträge der Dämpfungsmatrix ist im Allgemeinen nicht auf
Elementebene durchführbar, wie bei der Steifigkeits- und Massenmatrix, da die Effekte
z. B. zwischen Oberflächen sich berührender Körper ablaufen, s. Bathe [1, Kap. 4.2.1, S.
166 und Kap. 9.3.3, S. 796]. Eine experimentelle Ermittlung ist zumindest sehr aufwendig.
Führt man deswegen eine Dämpfungsmatrix D auf Systemebene ein, besteht das Problem, dass sie im Allgemeinen durch die Eigenvektoren aus einer ungedämpften Berechnung nicht auf Diagonalform transformiert wird, ΦT D Φ , diag( (i)d). Damit sind die
modale Transformation in Kap. 8.2.1 und ein Arbeiten mit den entkoppelten Bewegungsgleichungen in Kap. 8.4 für gedämpfte Systeme zunächst nicht möglich.
Aus diesen Gründen wird häufig ein pragmatischer Ansatz („Bequemlichkeitshypothese“) gemacht, der als Rayleigh-Dämpfung oder proportionale Dämpfung bezeichnet wird:
Es wird angenommen, dass sich die Dämpfungsmatrix als Linearkombination der Massenund Steifigkeitsmatrix darstellen lässt:
DR = αM + βK ,
(8.20)
mit den beiden Konstanten α und β. Verwendet man die Beziehungen aus Gl. (8.11) für
die massennormierten Eigenvektoren, gilt für diese Dämpfungsmatrix die Transformation:
(i) T
(i)
(i)
(i)
φ̂ DR φ̂ = φ̂ T (αM + βK ) φ̂ = α + β (i)ω2 ≡
d,
(i)
(8.21)
mit einer modalen Dämpfungskonstante (i)d, die die Dämpfung des Freiheitsgrades i
wiedergibt. Führt man dies mit der Modalmatrix Φ für jeden Freiheitsgrad durch, handelt
es sich bei d = ΦT DR Φ wieder um eine Diagonalmatrix und es ist auch für Systeme mit
Rayleigh-Dämpfung eine modale Entkopplung der Bewegungsgleichungen möglich. Es ist
zu beachten, dass dieses gedämpfte System dieselben Eigenvektoren wie das ungedämpfte
System aufweist.
Mit der Einführung des Dämpfungsgrades (i)D kann dies noch weiter interpretiert
werden. Aus der Schwingungslehre ist die Beziehung
144
8 Lineare zeitabhängige FEM
D=
(i)
(i)
(i)
d
d
=
(i)
(i)
2 m ω d krit
(8.22)
bekannt, mit der kritischen Dämpfungskonstante d krit = 2(i)m (i)ω, die den aperiodischen
Grenzfall charakterisiert, bei dem der Freiheitsgrad nach einer Auslenkung in seine Ruhelage ohne Überschwingen in kürzestmöglicher Zeit zurückkehrt (s. Mathiak [5, Kap. 8.2]).
Häufig wird die Angabe der Dämpfung in Prozent der kritischen Dämpfungskonstante als
Eingabegröße in FE-Programmen verlangt. Dies ist nach Gl. (8.22) nichts anderes als der
dimensionslose Dämpfungsgrad (i)D. Einsetzen von Gl. (8.22) in Gl. (8.21), ergibt unter
Beachtung von (i)m = 1, da massennormierte Vektoren benutzt wurden:
1 α
(i)
(i)
+
β
ω
.
(8.23)
D( (i)ω) =
2 (i)ω
An Gl. (8.23) sieht man deutlich, dass die Dämpfung jeder Eigenmode von den zwei Parametern α und β abhängt. Allerdings ist dies kein konstanter oder linearer Zusammenhang,
wie Abb. 8.3 zeigt, d. h. die Rayleigh-Dämpfung ist frequenzabhängig.
Eine Erweiterung dieses Konzepts geht davon aus, dass es nicht nur zwei Parameter
gibt, die die modalen Dämpfungsgrade für jede Eigenfrequenz nach Gl. (8.23) festlegen,
sondern, dass jede Mode ihren eigenen modalen Dämpfungsgrad hat. Dieser Ansatz wird
als modale Dämpfung bezeichnet, da die Form der Gleichungen für eine modale Reduktion
erhalten bleibt. Eine Darstellung der Dämpfungsmatrix in der Form von Gl. (8.20) ist dann
nicht mehr möglich, vielmehr ist ΦT D Φ eine Diagonalmatrix, die für jede Mode auf der
Hauptdiagonale den modalen Dämpfungsgrad (i)D als unabhängige Größe enthält. Die
Bestimmung dieser Daten ist jedoch sehr aufwendig, s. Bathe [1, Kap. 9.3.3].
8.3.1.1 Bestimmung der Dämpfungsparameter
(i)
Abb. 8.3 Verlauf des Dämpfungsgrades über der Eigenfrequenz bei RayleighDämpfung für:
α = 16,5 1/s, β =
5,95 · 10−4 s (
) sowie
2α, β (
) und α, 2β
(
)
D/-
Die Parameter α, β werden entweder über Erfahrung vorgegeben oder aus gemessenen Datensätzen berechnet. Kennt man z. B. für zwei Eigenfrequenzen (i) f die Dämpfungsgrade (i)D, können die Parameter aus Gl. (8.23) bestimmt werden. In Abb. 8.3 ist
0.2
0.15
0
10
100
(i)
f / Hz
ein Beispiel (
) für zwei modale Dämpfungsgrade (1)D( (1) f = 10Hz) = 0.15 und
(2)
(2)
D( f = 100Hz) = 0.2 dargestellt mit den resultierenden Parametern α = 16,5/s und
β = 5,95 · 10−4 s. Für alle anderen Punkte stellt sich ein Dämpfungsgrad nach Gl. (8.23)
8.4 Frequenzganganalyse
145
ein. Dabei ist die Dämpfung zwischen den Stützstellen geringer und im kleinen und hohen
Frequenzbereich sehr hoch.
In Abb. 8.3 sind noch zwei Varianten gezeigt. In Kurve (
) ist α verdoppelt und in
Kurve (
) β. Man entnimmt den Graphen, dass der Dämpfungsparameter α vor allem
niedrige Eigenfrequenzen dämpft. Dies wird als massenproportionale Dämpfung bezeichnet. Gleichzeitig werden dadurch auch Starrkörperbewegungen (ω = 0) gedämpft. Da
dies unerwünscht sein kann, bieten FE-Programme häufig die Möglichkeit die Dämpfung
nicht global sondern bauteilbezogen aufzubringen. Durch β werden hohe Frequenzen unterdrückt, dies wird als steifigkeitsproportionale Dämpfung bezeichnet. Möchte man also
z. B. in dynamischen Berechnung hohe Frequenzanteile aus dem Modell eliminieren, dann
kann man dies über eine Rayleigh-Dämpfung mit hohem β erreichen.
Dem Bild entnimmt man, dass für wachsende Eigenfrequenzen der Dämpfungsgrad
stark steigt. Für (i)D > 1 bildet sich keine Schwingung mehr aus, diese Eigenformen treten
dann gar nicht mehr in Erscheinung. Dies ist ggf. in einer Ergebnisanalyse zu beachten.
Liegen keine Messwerte vor, kann man nur Schätzwerte eingeben. Übliche Dämpfungsgrade selbst innerhalb einer Materialgruppe variieren stark, Baustahl hat einen
Dämpfungsgrad von D = 0.0025, Grauguss von D = 0.01 . . . 0.05 und Gummi von
D = 0.08 . . . 0.12 (Zahlenwerte aus Dresig und Holzweissig [2, Kap. 1.4, S. 53]).
Stehen keine andere Daten zur Verfügung, kann β so bestimmt werden, dass sich
gerade der aperiodische Grenzfall mit (i)D = 1 einstellt, zur Unterdrückung hochfrequenter
Schwingungsanteile. Für diese rein steifigkeitsproportionale Dämpfung gilt dann β =
2/(max)ω.
8.4 Frequenzganganalyse
Bisher wurde bei der Modalanalyse das Eigenschwingungsverhalten untersucht, indem die
homogene Differenzialgleichung gelöst wurde, bei der die rechte Seite zu null gesetzt ist.
Bei der Frequenzganganalyse bzw. harmonischen Analyse wird eine erzwungene Schwingung untersucht. Es wird eine Anregung angenommen, für die allerdings keine beliebige
zeitliche Abhängigkeit möglich ist, sondern eine harmonische Anregung f = fˆ eiΩt mit
einer Anregungskreisfrequenz Ω anliegt. Mit i wird die komplexe Zahl bezeichnet. Die Zeitabhängigkeit wird als komplexe Funktion eiΩt vorgegeben, da dies dem Lösungsverhalten
der Differenzialgleichung entspricht. Es sind dann auch die Ergebnisse komplexwertig.
Die zuvor eingeführten Konzepte der modalen Reduktion und modalen bzw. proportionalen Dämpfung werden an dieser Stelle benötigt, um das Verhalten bei erzwungenen
Schwingungen zu untersuchen.
Das zu lösende Gleichungssystem lautet unter Berücksichtigung von Dämpfung:
M a(t) + D v(t) + K u(t) = fˆ eiΩt .
(8.24)
Durch die Anregung wird das System in Schwingung versetzt. Die Eigenschwingung des
Systems in der homogenen Lösung uh in Gl. (8.9) klingt durch die Dämpfung sehr schnell
nach dem Beginn der Anregung ab. Die harmonische Anregung bleibt erhalten und das gesamte System wird im eingeschwungenen Zustand in der Anregungsfrequenz harmonische
146
8 Lineare zeitabhängige FEM
Schwingungen ausführen. Unbekannt sind die Amplitude mit der jeder Knoten der Diskretisierung schwingt und die Phasenverschiebung zum Anregungssignal. Für die Lösung
des Differenzialgleichungssystems wird ein Ansatz nach der rechten Seite gemacht:
u = ûeiΩt .
Die verbleibende Unbekannte ist hier nun der komplexwertige Vektor û, der sowohl die
Amplitude als auch die Phasenverschiebung enthält.
Einsetzen in Gl. (8.24) ergibt:
(−Ω2 M + iΩD + K ) û = fˆ ,
(8.25)
wobei die Zeitfunktion eiΩt bereits wie bei der Modalanalyse eliminiert wurde. Die entstehende Matrix wird als dynamische Steifigkeitsmatrix bezeichnet. Die Inverse H (Ω)
der dynamischen Steifigkeit wird als Frequenzgangmatrix (Frequency Response Function
(FRF)), Übertragungsfunktion oder Nachgiebigkeit bezeichnet und stellt eine Beziehung
zwischen den anregenden Knotenlasten und den resultierenden Verschiebungen her:
û = H (Ω) fˆ = (−Ω2 M + iΩD + K ) −1 fˆ
⇔
ûi = Hi j (Ω) fˆj .
Jede Komponente Hi j stellt den Zusammenhang zwischen einer Anregung am Knoten j
und der Verschiebungsantwort am Knoten i dar. Die Frequenzgangmatrix hängt nur von
der Anregungsfrequenz Ω ab.
Für die Bestimmung von Hi j gibt es verschiedene Möglichkeiten. Die naheliegende
direkte Invertierung der vollständigen dynamischen Steifigkeitsmatrix ist zu rechenintensiv
für große FE-Modelle und wird nicht weiter verfolgt. Eine weitere in kommerziellen
Programmen verfügbare Methode ist der Einsatz der Guyan-Reduktion aus Kap. 8.2.3.1.
Hier müssen relevante Freiheitsgrade definiert werden. Die unerwünschten Freiheitsgrade
werden dann dynamisch kondensiert und die Frequenzgangmatrix nur für die reduzierten
Freiheitsgrade gelöst. Dadurch lässt sich Rechenzeit sparen, allerdings ist der Aufwand
für die Guyan-Reduktion zu erbringen, außerdem kann ein weiterer Rechenlauf notwendig
sein, wenn Informationen an vorher eliminierten Freiheitsgraden notwendig sind.
Als letzte Möglichkeit soll der Stand der Technik in kommerziellen Programmen angegeben werden: Mit Hilfe der modalen Reduktion aus Kap. 8.2.2 wird ein entkoppeltes,
verkleinertes Gleichungssystem erzeugt, für das die Invertierung einfach zu berechnen ist,
da nur noch Diagonalmatrizen vorkommen. Dazu wird mit dem Ansatz für die Verschiebungen aus Gl. (8.15) ein reduziertes System berechnet, wobei nun von massennormierten
Eigenvektoren ausgegangen wird. Die Amplituden der Verschiebungen lauten damit:
û = Ψ ẑ =
n
X
( j)
φ̂ ẑ j =
(1)
φ̂ ẑ1 +
(2)
φ̂ ẑ2 + . . . +
(n)
φ̂ ẑ n .
(8.26)
j=1
Es ist wesentlich zu erkennen, dass nur n Nges Eigenvektoren benutzt werden.
Die Dimensionsreduktion und Entkopplung gelingt nur, wenn die Dämpfungsmatrix
auf Diagonalform zu bringen ist. Deswegen wird üblicherweise von proportionaler oder
modaler Dämpfung ausgegangen, s. Kap. 8.3.1. Dann gilt mit massennormierten Eigenvektoren:
8.4 Frequenzganganalyse
147
ΨT D Ψ = diag(2( j)ω ( j)D) ,
mit der jeweiligen Eigenkreisfrequenz und dem modalen Dämpfungsgrad aus Gl. (8.22).
Die modale Reduktion für Gl. (8.25) lautet damit
(−Ω2 |
ΨT{z
MΨ
} +iΩ
I
ΨT{z
DΨ
|
}
diag(2 ( j )ω ( j )D)
T ˆ
+|
ΨT{z
KΨ
}) ẑ = Ψ f .
Λ
Für die j-te Gleichung kann man damit die generalisierte Koordinate berechnen:
(−Ω2 + 2iΩ( j)ω ( j)D + ( j)ω2 ) ẑ j =
( j) T
φ̂ fˆ
⇒
ẑ j =
( j) T
φ̂ fˆ
−Ω2 + 2iΩ( j)ω ( j)D + ( j)ω2
.
Eingesetzt in Gl. (8.26) folgt
û =
n
X
j=1
( j)
( j)
φ̂ φ̂ T
fˆ = H (Ω) fˆ .
−Ω2 + 2iΩ( j)ω ( j)D + ( j)ω2
(8.27)
3
Phasenwinkel ϕ
Amplitude |Hi j |
In der Gleichung ist zu beachten, dass das dyadische Produkt der Eigenvektoren gebildet
( j) ( j)
wird: φ̂ φ̂ T . Die komplexwertige Frequenzgangmatrix H (Ω) ergibt sich als Summe der
dyadischen Produkte der benutzten Eigenvektoren, geteilt durch einen Faktor. Der physikalisch relevante Teil einer komplexen Zahl (i. d. R. der Realteil) lässt sich in Polarform
als Betrag und Phasenverschiebung darstellen <(Hi j (Ω)) = |Hi j (Ω)| cos(ϕ(Ω)). Dies
erlaubt die Darstellung eines Eintrags aus der Frequenzgangmatrix, den Frequenzgang,
der eine Anregung bei Knoten j mit der Antwort bei Knoten i verbindet. Die Darstellung erfolgt über einen Frequenzbereich, da eine einzelne Anregungsfrequenz keine Information über das System liefert. Die Gl. (8.27) wird deshalb für mehrere Frequenzen
gelöst. Der Aufwand ist gering, da die Eigenvektoren nicht von der Frequenz abhängen.
Solche Diagramme werden als Frequenzspektrum bezeichnet. Für den komplexen Frequenzgang wird das Bode-Diagramm genutzt, das sich aus Amplitudenspektrum/-gang
und Phasenspektrum/-gang zusammensetzt.
Als Beispiel ist in Abb. 8.4 der Frequenzgang ohne Dämpfung der bereits in Kap. 8.2
2
1
0
0 200 400 600 8001,000
f /Hz
180
0
0 200 400 600 8001,000
f /Hz
Abb. 8.4 Amplituden- und Phasengang einer schwingenden Platte im Frequenzbereich 0 . . . 1000 Hz
benutzten Platte dargestellt. Die Stellen im Amplitudengang, die gegen unendlich gehen,
zeigen Resonanzstellen an. Dort wird eine Eigenfrequenz angeregt. An solchen Stellen
148
8 Lineare zeitabhängige FEM
springt der Phasenwinkel im ungedämpften Fall jeweils um ±180°. Aus solchen Diagrammen kann man Schlussfolgerungen über die Lagerung und den Betrieb von Maschinen
ziehen, wobei häufig im Vordergrund steht, dass keine Resonanzen auftreten sollen. Es gibt
aber auch Anwendungen, bei denen die Resonanz erwünscht ist, z. B. Schwingförderer.
Bei der Berechnung eines Frequenzgangs mit einem kommerziellen Programm ist vorab
immer eine Modalanalyse durchzuführen, damit die Eigenvektoren zur Verfügung stehen.
Dabei muss der Bereich der Eigenmoden, die zu Grunde gelegt werden sollen angegeben
werden, um den Rechenaufwand gering zu halten. Für die Wahl des Bereichs gilt das in
Kap. 8.2.4 gesagte. Die Dämpfung und deren Parameter sind zu spezifizieren (modale oder
Rayleigh-Dämpfung). Weiterhin ist der Frequenzbereich der Auswertung anzugeben, der
im Bode-Diagramm dargestellt werden soll. Hier gibt es häufig eine Option, die Anzahl an
Auswertungen des Frequenzgangs in der Nähe von Eigenfrequenzen zu bündeln, da hier
die Kurvenverläufe hohe Gradienten aufweisen. Zuletzt stellt der Frequenzgang immer
eine Beziehung eines Anregungspunkts zu einem Auswertepunkt her. Auch diese sind für
die Berechnung zu spezifizieren.
Literaturverzeichnis
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[2] H. Dresig und F. Holzweissig. Maschinendynamik. Springer, Heidelberg, 10. Aufl.,
2011.
[3] R. Gasch, K. Knothe, und R. Liebich. Strukturdynamik. Springer, Berlin, 2. Aufl.,
2012.
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[5] F. U. Mathiak. Strukturdynamik diskreter Systeme. Oldenbourg, München, 2010.
[6] M. Riemer, J. Wauer, und W. Wedig. Mathematische Methoden der Technischen
Mechanik. Springer Vieweg, Wiesbaden, 2. Aufl., 2015.
[7] K. Swidergal, C. Lubeseder, I. von Wurmb, A. Lipp, J. Meinhardt, M. Wagner, und
S. Marburg. Experimental and numerical investigation of blankholder’s vibration in
a forming tool: a coupled MBS - FEM approach. Production Engineering, 9(5-6):
623–634, 2015.
[8] M. Wagner. Die hybride Randelementmethode in der Akustik und zur Struktur-FluidInteraktion. Bericht aus dem Institut A für Mechanik, Universität Stuttgart, 2000.
[9] O. C. Zienkiewicz, R. L. Taylor, und J. Z. Zhu. The finite element method. ButterworthHeinemann, Oxford, 7. Aufl., 2013.
Kapitel 9
Geometrische Nichtlinearität
In Kap. 3.1 sind die grundlegenden Bestandteile zur Beschreibung eines strukturmechanischen Problems aufgelistet: die kinematischen Beziehungen, das Materialgesetz, die
Gleichgewichtsbedingung sowie Randbedingungen. Bisher wurde für alle Beziehungen
davon ausgegangen, dass sie linear sind. Nichtlineares Verhalten erhält man, wenn die
Annahme der Linearität für eine der Beziehungen nicht mehr ausreichend ist, um das physikalische Problem vollständig zu beschreiben, s. Abb. 9.1. Die genannten Themenfelder
werden in diesem und den zwei folgenden Kapiteln angesprochen. Die genannten Arten
Nichtlinearitäten
geometrische
große Verschiebungen
und Rotationen
materielle bzw.
physikalische, s. Kap. 10
durch Randbedingungen, s. Kap. 11
große
Verzerrungen
Abb. 9.1 Einteilung der Nichtlinearitäten eines Problems
von Nichtlinearitäten können in einer Problemstellung einzeln oder gemeinsam auftreten,
entsprechend steigt die Komplexität zur numerischen Behandlung an.
Der numerischen Modellierung technischer Fragestellungen liegt üblicherweise eine
phänomenologische Kontinuumsmechanik zu Grunde. Ein Kontinuum oder Körper ist definiert als ein Volumen, das stetig mit Materie gefüllt ist (Altenbach [1, Kap. 1.4.3, S. 13]).
Jedem räumlichen Punkt des Körpers können umkehrbar eindeutig Materieeigenschaften
(z. B. Dichte, Verschiebung, Spannung) zugeordnet werden1. Die Eigenschaften der Materiepunkte können damit auch durch die Raumpunkte beschrieben werden, es handelt sich
deswegen um eine Feldtheorie. Für das Kontinuum werden mathematische Modelle zur
Beschreibung des Materieverhaltens aufgestellt, die auf Beobachtung und experimenteller
1 Dies bedeutet, ein Materiepunkt kann nicht an zwei Raumpunkten gleichzeitig sein und an einem
Raumpunkt können keine zwei materiellen Punkten vorkommen.
© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2017
M. Wagner, Lineare und nichtlineare FEM, DOI 10.1007/978-3-658-17866-6_9
149
150
9 Geometrische Nichtlinearität
Charakterisierung des makroskopischen Systems beruhen. Der tatsächliche atomare Materieaufbau wird nicht betrachtet. Der wesentliche Vorteil einer Kontinuumstheorie ist, dass
die Feldgrößen an jedem Punkt des Kontinuums glatte, d. h. stetig differenzierbare Funktionen sind und damit alle mathematischen Methoden wie Differenziation und Integration
angewendet werden können.
In diesem und dem folgenden Kapitel werden die für die FEM wesentlichen Größen
der nichtlinearen Kontinuumsmechanik eingeführt. Die Unterteilung folgt dem Schema,
zunächst die materialunabhängigen kinematischen und kinetischen Größen zu beschreiben und dann die materialabhängigen (konstitutiven) Beziehungen. Umfangreichere und
detailliertere Einführungen in die Kontinuumsmechanik finden sich u. a. bei Altenbach
[1], Bonet und Wood [4], Haupt [5], Parisch [7] und Willner [10].
9.1 Einführung zur geometrischen Nichtlinearität
Bei einer geometrisch linearen Betrachtung, wie in den ersten Kapiteln des Buchs, werden
folgende Annahmen getroffen:
• alle kinematischen Größen (Verschiebungen, Rotationen, Verzerrungen) sind klein,
• die Lasten wirken in der unverformten Ausgangsgeometrie,
• daraus folgt: alle Gleichungen können für den unverformten Körper aufgestellt werden.
Dies ist eigentlich nicht korrekt, da der Gleichgewichtszustand nur für den verformten
Körper gilt. In der linearen Beschreibung ist die Annahme, dass der Fehler durch die
Betrachtung der unverformten Ausgangslage vernachlässigbar klein ist.
Der Vorteil bei der linearen Betrachtung ist, dass die Geometrie des Ausgangszustands
bekannt ist und deswegen das Randwertproblem der Strukturmechanik (s. Kap. 3.1) direkt
formuliert werden kann.
Sind die Deformationen auf Grund der äußeren Lasten groß, dann sind diese vereinfachenden Annahmen nicht mehr zulässig. Die Bilanzierung muss in der aktuellen,
verformten Lage des Körpers erfolgen, die zunächst unbekannt ist. In diesem Fall ist eine
geometrisch nichtlineare Beschreibung notwendig, deren Grundlagen in diesem Kapitel
dargestellt werden. Geometrische Nichtlinearitäten lassen sich in verschiedene Kategorien unterteilen. In Tab. 9.1 sind drei häufige Fälle geometrisch nichtlinearer Effekte zusammengefasst. Bereits in Abb. 3.2 wurde die Deformation in Starrkörperbewegung und
Tabelle 9.1 Unterscheidung geometrisch nichtlinearer Effekte
Große Verschiebungen und Rotationen, kleine Verzerrungen
cos ϕ 0 1
sin ϕ 0 ϕ
ϕ
Große Verzerrungen
nicht richtungstreue Lasten (Folgelasten)
9.2 Kinematische Beschreibung
151
Verzerrung unterteilt. Entsprechend muss man bei einer nichtlinearen Betrachtung großräumige Starrkörperbewegungen durch große Verschiebungen und Drehungen von großen
Verzerrungen unterscheiden. Eine nichtlineare Deformation kann entweder aus großen
Starrkörperbewegungen bei kleinen Verzerrungen (linkes Bild in Tab. 9.1), ausschließlich aus großen Verzerrungen in Tab. 9.1 (Mitte) oder im allgemeinsten Fall aus einer
Kombination von beidem bestehen.
Auch nicht richtungstreue Lasten (Folgelasten) sind geometrisch nichtlineare Effekte
(rechtes Bild in Tab. 9.1). Ein Beispiel ist ein Druck auf einer Oberfläche. Die Druckspannung steht immer senkrecht auf der Oberfläche. Bei großräumiger Deformation der
Oberfläche verändert der Spannungsvektor seine Richtung, die äußere Last wird damit
abhängig vom Verschiebungszustand. Dieser Effekt wird hier aber nicht weiter behandelt
(Details s. Wriggers [11, Kap. 3.5.3, S. 98]).
Eine schwierige Frage ist, was „groß“ bedeutet. Am Beispiel einer Rotation kann man
die Problematik verdeutlichen: Die Koordinaten des Mittelpunkts des Elements in Tab. 9.1
(links) sind exakt durch die nichtlinearen trigonometrischen Funktionen beschrieben. Bei
einer linearen Beschreibung wird angenommen, dass für ϕ 1 gilt: sin ϕ ≈ ϕ und
cos ϕ ≈ 1 (Taylorreihe bis zum 1. Glied). Ab welchem Winkel ϕ ist die Bewegung nun
groß, d. h. nichtlinear zu behandeln, sodass dann sin ϕ 0 ϕ und cos ϕ 0 1 gilt? Prinzipiell
macht man bei einem beliebig kleinen Winkel bereits einen Fehler, da die Taylorreihe
abgebrochen wurde. Es hängt also davon ab, eine Schranke für den zulässigen Fehler
anzugeben, dafür gibt es aber keine klaren Vorgaben. Für das hier angegebene Beispiel
findet man in der Literatur Angaben von ϕ = 2° bis 5°. Letztendlich ist es die Entscheidung
eines Anwenders, welcher Fehler akzeptabel ist.
9.2 Kinematische Beschreibung
9.2.1 Konfigurationen
Für die kinematische Beschreibung ist die Lage des Körpers zu verschiedenen Zeitpunkten
der Bewegung darzustellen. Zu jedem Zeitpunkt t kann durch Ortsvektoren eines Bezugssystems die Lage jedes Körperpunkts eindeutig angegeben werden2. Diese Anordnung
wird als Konfiguration bezeichnet. Zur Beschreibung der Bewegung ist eine Ausgangskonfiguration zu wählen, s. Abb. 9.2, die den Ausgangszustand des Körpers zur Zeit t 0
festlegt. Die Momentankonfiguration bezeichnet den Zustand des Körpers zum aktuellen
Zeitpunkt t. Zuletzt ist in Abb. 9.2 noch die Referenzkonfiguration eingezeichnet: Sie gibt
die Konfiguration an, bezüglich der Verzerrungen und Spannungen gemessen werden.
Häufig wird hierzu die Ausgangs- oder die Momentankonfiguration genutzt, entsprechend
ergeben sich unterschiedliche kinematische Beschreibungen. Darauf wird in Kap. 9.8 eingegangen.
Jeder materielle Punkt im betrachteten Körper wird in der Referenzkonfiguration über
einen Ortsvektor X = [X, Y, Z]T identifiziert, der die materiellen Koordinaten enthält. Zur
2 Auf eine Verwendung von krummlinigen Koordinaten wird aus Gründen der Verständlichkeit verzichtet,
sodass ausschließlich kartesische Koordinaten genutzt werden.
152
9 Geometrische Nichtlinearität
Ausgangskonfiguration t0
Abb. 9.2 Allgemeine inkrementelle Betrachtung der
Bewegung eines Kontinuums
Referenzkonfiguration tRK
ϕ (X, t)
Q0
P0
dX
X
Z, z
Y, y
Q
v
dx
u
V
Momentankonfiguration t
P
x
vP
X, x
Unterscheidung werden Größen der Referenzkonfiguration mit Großbuchstaben oder dem
Index (·)0 gekennzeichnet. In der Momentankonfiguration wird derselbe Körperpunkt mit
der räumlichen Koordinate x = [x, y, z]T in Kleinbuchstaben beschrieben.
Für die weitere Behandlung sind zwei Betrachtungsweisen zu unterscheiden:
Lagrange’sche Beschreibung: Die Bewegung eines Körperpunkts X wird verfolgt, indem zu jedem Zeitpunkt der Ortsvektor x (t) zu dem Körperpunkt angegeben wird. Der
Körperpunkt wird durch den Ortsvektor X in der Referenzkonfiguration „markiert“, sodass die Beschreibung der Bewegung, die mit ϕ benannt wird, mathematisch formuliert
werden kann:
ϕ x (X, Y, Z, t) 


x = ϕ(X, t) =  ϕy (X, Y, Z, t) 


 ϕz (X, Y, Z, t) 
bzw.
x i = ϕi (X j , t) ,
(9.1)
mit i = x, y, z und j = X, Y, Z. Die Funktion ϕ(X, t) gibt die Bahnkurve eines materiellen Punkts wieder, s. Abb. 9.2. Es wird vorausgesetzt, dass die Funktion umkehrbar
eindeutig ist, d. h. dass zu jedem Zeitpunkt eine eindeutige Zuordnung von X auf x und
umgekehrt möglich ist. Anschaulich bewegt sich ein Beobachter in der Lagrange’schen
Beschreibung mit dem Materiepunkt durch den Raum. Diese Beschreibung wird i. d. R.
für die Festkörpermechanik angewandt und auch im Folgenden benutzt, da sich damit
die Historie eines Teilchens verfolgen lässt, was für viele Materialmodelle von Festkörpern notwendig ist. Ein Nachteil dieser Beschreibung in der Behandlung mit der
FEM ist, dass die Vernetzung des Körpers bei großen Verzerrungen sehr ungünstige
Elementgeometrien annehmen kann und daher unbrauchbare Ergebnisse liefern kann.
Euler’sche Beschreibung: Hier wird ein fixer Punkt x im Raum gewählt3, an dem die
Feldgrößen beobachtet werden. An der fixen Stelle x im Raum können zu unterschiedlichen Zeitpunkten unterschiedliche Materiepunkte, beschrieben durch die materielle
Koordinate X, liegen, sodass sich hier die Abbildung
X = ϕ −1 (x, t)
bzw.
Xi = ϕ−1
i (x j , t)
(9.2)
ergibt. Da die Bewegung umkehrbar eindeutig ist, ergibt sich die Zuordnung durch
die Umkehrfunktion von ϕ. Dadurch wird beschrieben, welcher Materiepunkt zu einem Zeitpunkt t gerade am Ort x liegt. Diese Betrachtungsweise entspricht einem
3 Daher der Name räumliche Koordinate.
9.2 Kinematische Beschreibung
153
feststehenden Beobachter, der keinen einzelnen Körperpunkt mehr verfolgt, sondern
die Veränderung einer Feldgröße an einem Ort im Raum. Sie wird üblicherweise in
der Strömungsmechanik eingesetzt, da hier nicht die Bewegung eines einzelnen Partikels interessiert, bzw. die Abläufe so komplex wären, dass keine sinnvolle Auswertung
möglich ist, s. Willner [10, Kap. 3.1, S. 58]. Für die numerische Behandlung kann mit
feststehenden strukturierten Diskretisierungen gearbeitet werden, s. Kap. 7.4.1.
Prinzipiell kann für die Referenz- und Momentankonfiguration ein unterschiedliches Koordinatensystem zur Angabe von Komponenten gewählt werden. Auch dies soll zur Vereinfachung hier vermieden werden. Vielmehr wird davon ausgegangen, dass die Koordinaten
immer bezüglich derselben kartesischen Basisvektoren angegeben werden. Dies ist in
Abb. 9.2 dadurch angedeutet, dass die materiellen und räumlichen Koordinaten an den
Achsen stehen, z. B. X, x. Aus Abb. 9.2 kann man direkt die Beziehung für die Verschiebung eines Punkts in Lagrange’scher Beschreibung ablesen:
u (X, t) = ϕ(X, t) − X
bzw. ui (X j , t) = ϕi (X j , t) − Xi ,
(9.3)
die aber in der nichtlinearen Kinematik nicht primär genutzt wird, da die Beschreibung in
räumlichen Koordinaten einfacher ist. Die Verschiebung u tritt im nichtlinearen Kontext
dann auf, wenn es um Linearisierungen des nichtlinearen Problems geht, s. Kap. 12.2.1.
9.2.2 Deformations- und Verschiebungsgradient
In Abb. 9.2 ist neben dem Punkt P noch ein zweiter direkt benachbarter Körperpunkt Q
sowie das verbindende, infinitesimal kleine Linienelement dX eingezeichnet. Der Abstand
ist aus darstellerischen Gründen im Bild vergrößert. Die Lage- und Formänderung dieses
Linienelements aus der Referenzkonfiguration in die Momentankonfiguration dx wird für
die Beschreibung der Deformation des Körpers herangezogen. Dazu wird der Differenzvektor in der Momentankonfiguration durch die Abbildung ϕ ausgedrückt (s. Bonet und
Wood [4, Kap. 4.4]) und in eine Taylorreihe bis zum ersten Glied entwickelt4:
dx = xQ − xP = ϕ(XP0 + dX, t) − ϕ(XP0 , t)
!
∂ϕ(XP0 , t)
∂ϕ(XP0 , t)
≈ ϕ(XP0 , t) +
· dX − ϕ(XP0 , t) =
· dX = F · dX .
∂X
∂X
(9.4)
Die Transformationsbeziehung ∂ϕ(XP0 , t)/∂ X, die Linienelemente dX aus der Referenzin die Momentankonfiguration dx abbildet, wird als Deformationsgradient F bezeichnet5:
 ∂x
∂ϕ(X, t)
∂ x  ∂X
F=
=
= ∂y
∂X
∂ X  ∂X
∂z
 ∂X
∂x
∂Y
∂y
∂Y
∂z
∂Y
∂x 
∂Z 
∂y 
∂Z 
∂z 
∂Z 
bzw.
Fi j =
∂ xi
= x i, j .
∂Xj
(9.5)
4 Für die Kontinuumstheorie wurde in Kap. 9.1 stetige Differenzierbarkeit aller Feldgrößen angenommen.
Dies wird an dieser Stelle benötigt, da damit sicher gestellt ist, dass die Ableitung definiert ist.
5 Vergleiche die Jacobi-Matrix in Kap. 6.2.
154
9 Geometrische Nichtlinearität
Häufig wird anstatt der Transformationsbeziehung ϕ einfach x geschrieben, da dies den
Sachverhalt einfacher wiedergibt. Der Deformationsgradient ist der Ausgangspunkt für
die Formulierung aller hier vorgestellten Verzerrungsmaße. Wie Gl. (9.4) zeigt, transformiert F Vektoren der Referenz- in die Momentankonfiguration. Er ist deswegen keiner der
beiden Konfigurationen eindeutig zugeordnet und wird als Zweipunkt-Tensor bezeichnet.
Durch Einsetzen von Gl. (9.3) in Gl. (9.5) kann man weiter definieren:
F=
∂
∂X ∂u
(X + u) =
+
= I + H bzw.
∂X
∂X ∂X
Fi j = δi j + ui, j ,
(9.6)
mit dem Einheitstensor I = δi j . Der Tensor H = ui, j wird als Verschiebungsgradient
bezeichnet. Findet keine Deformation statt (dX = dx), ist F = I.
Zur Erfassung der Formänderung für die Formulierung von Materialgesetzen wird der
Deformationsgradient nicht benutzt. Zunächst ist er nicht symmetrisch, was für Materialgesetze, die auf Potenzialen beruhen, ungünstig wäre (Bonet und Wood [4]). Weiterhin besteht eine Deformation aus einem Starrkörperanteil und einer Verzerrung, wie in
Kap. 3.1 in Abb. 3.2 erläutert. Beide Anteile sind im Deformationsgradienten enthalten,
s. Kap. 9.2.2.1. Da der Spannungszustand nur von den Verzerrungen abhängt, der Deformationsgradient aber bei einer reinen Starrkörperbewegung nicht null ist, s. Kap. 9.2.2.1,
ist er wenig geeignet als Ausgangspunkt für die Formulierung von Materialgesetzen.
9.2.2.1 Polardekomposition
Ein Tensor kann immer in ein Produkt aus zwei Tensoren zerlegt werden, s. Bonet und
Wood [4, Kap. 4.6]:
F = RU = VR .
Dabei ist der Tensor R orthogonal, d. h. es gilt
RT R = RRT = I
und RT = R−1 ,
s. Kap. 2.2.2. Tensoren mit dieser Eigenschaft erzeugen als Transformation immer eine
reine Drehung. Da eine Rotation keine relativen Verschiebungen von Körperpunkten
bewirkt, erzeugt R eine reine Starrkörperrotation. Demgegenüber erzeugt der Tensor
U eine reine Formänderung und wird als rechter Strecktensor bezeichnet. Analog kann
man auch den linken Strecktensor V einführen. Wichtig ist, dass diese Tensoren keinerlei
Anteile einer Starrkörperbewegung enthalten, sondern nur die Verzerrung beschreiben.
Diese Darstellung des Deformationsgradienten wird als Polardekomposition bezeichnet
und zerlegt die Gesamtdeformation in eine Hintereinanderschaltung einer reiner Starrkörperdrehung R und einer reinen Verzerrung U bzw. eine reine Verzerrung V und eine
Rotation R, s. Abb. 9.3. Findet keine Verzerrung statt (U = V = I), entspricht der DeforAbb. 9.3 Aufspaltung der Deformation in eine Starrkörperrotation und eine Streckung
R
U
R
V
9.3 Beispiele eindimensionaler Verzerrungs- und Spannungsmaße
155
mationsgradient dem Rotationstensor F = R.
9.3 Beispiele eindimensionaler Verzerrungs- und Spannungsmaße
Für die Lösung eines strukturmechanischen Problems sind zunächst Verzerrungs- und
Spannungsmaße zu definieren, bevor sie in den Bilanzgleichungen in Form von Energieprinzipien angewendet werden. Diese Größen werden in den folgenden Kapiteln eingeführt. Ab Kap. 9.8 wird dann ersichtlich, wie sie eingesetzt werden.
Die Beschreibung der reinen Formänderung, d. h. der Verzerrung, ist nicht über physikalische Gesetzmäßigkeiten vorgegeben und kann deswegen prinzipiell frei definiert
werden. Entsprechend gibt es eine Vielzahl von Verzerrungsmaßen. Die für die FEM
wichtigsten werden in diesem Kapitel am eindimensionalen Fall vorgestellt, um die physikalische Bedeutung hervorzuheben und nicht durch mathematische Formulierungen zu
überdecken. Die Erweiterung auf 3-D erfolgt dann im nächsten Kapitel.
Abbildung 9.4 stellt die Dehnung eines Stabs dar. Der Stab hat in der AusgangsX, x
Abb. 9.4 Dehnung eines
Stabs als Beispiel für Verzerrungsmaße (aus Darstellungsgründen untereinander
gezeichnet)
X
L
u
dX
x
`
P0
dx
P
konfiguration die Länge L mit Querschnittfläche A. Im Folgenden sollen verschiedene
Dehnungsmaße für das Stabende P0 bei einer Verschiebung in die Momentankonfiguration angegeben werden. In der Referenzkonfiguration hat P0 die materiellen Koordinaten
X = L. Er soll um u = x − X = ` − L in die Momentankonfiguration x = ` mit Querschnitt
a gedehnt werden.
Um die Deformation angeben zu können, ist die Bewegung x = ϕ(X, t) des Kontinuums zu definieren. Wählen wir hier eine lineare Deformation x = ϕ(X, t) = c0 + c1 X mit
Konstanten c0, c1 , dann kann man die Koeffizienten durch die aus der Abbildung ableitbaren Bedingungen berechnen: ϕ(X = 0, t) = 0 und ϕ(X = L, t) = `. Daraus folgt c0 = 0,
c1 = `/L und die Deformation zu
ϕ(X, t) =
`
X.
L
Der Deformationsgradient hat in diesem Fall nur eine von null verschiedene Komponente:
Fxx = ∂ x/∂ X. Damit ergeben sich der Deformations- und Verschiebungsgradient zu:
Fxx =
∂x
∂ϕ(X, t)
`
=
=
∂X
∂X
L
und
Hxx =
∂x
`
`−L
−1= −1=
.
∂X
L
L
Mit diesen Angaben werden die folgenden Dehnungsmaße anschaulich begründet:
156
9 Geometrische Nichtlinearität
Streckung λ: Das Verhältnis zwischen den inkrementellen Linienelementen in der Referenz- und Momentankonfiguration wird als Streckung bezeichnet:
λ xx (X ) =
dx
.
dX
Die Streckung ist im obigen Stabbeispiel in jedem Punkt gleich (dx/dX = c1 ) und folgt
direkt aus der Definition der Transformation ϕ zu
λ xx (X ) =
`
.
L
Findet keine Längenänderung statt, ist die Streckung λ xx = 1, was nicht dem Verständnis eines Verzerrungsmaßes entspricht, das in diesem Fall null sein sollte.
Ingenieurdehnung ε: Dieses Verzerrungsmaß wurde in Kap. 3.3 als der infinitesimale
Verzerrungstensor ε eingeführt. Die Normaldehnungen aus ε werden auch als Ingenieurdehnung bezeichnet, da sie z. B. im Zugversuch aus einer Kraft-Weg-Kurve ermittelt werden. In Gl. (3.10) wird die Längenänderung du auf die infinitesimale Länge dX
in der Referenzkonfiguration bezogen:
ε xx (X ) =
du
dx − dX
dx
`−L
=
=
− 1 = λ xx − 1 =
= Hxx .
dX
dX
dX
L
Man spricht von einem linearen Verzerrungsmaß, da die Liniensegmente nur bis zur
ersten Potenz auftreten. Wie man sieht, entspricht die Ingenieurdehnung im 1-D-Fall
gerade dem Verschiebungsgradienten. Findet keine Längenänderung statt, gilt ε xx =
λ xx − 1 = 0 ist. Dies entspricht der Erwartung, dass das Dehnungsmaß null ist, wenn
keine Dehnung auftritt, im Gegensatz zur Streckung. Der Deformationsgradient (und
zur späteren Verwendung die Determinante J) lässt sich mit Gl. (9.6) ausdrücken als
Fxx =
`
L+u
=
= 1 + ε xx
L
L
und
J = det Fxx = 1 + ε xx .
(9.7)
Green-Lagrange-Dehnung E: Eine Möglichkeit ein nichtlineares Verzerrungsmaß zu
definieren ist, die Längenänderungen der Linienelementen dX und dx im Quadrat zu
nehmen und auf die (quadrierte) Länge in der Referenzkonfiguration zu beziehen. Den
Sinn dieser Definition erkennt man bei einer vektoriellen Betrachtung in Kap. 9.4. Für
jetzt wird die Green-Lagrange-Dehnung Exx definiert als
1 dx 2 − dX 2 1 dx
Exx (X ) =
=
2
2 dX
dX 2
!2
−1=
1 `2 − L2
.
2 L2
(9.8)
Dieses Ergebnis kann man noch umformen, wenn man für die Länge ` = L +u einführt:
Exx (X ) =
1
u 1 u 2
+
= ε xx + ε 2xx .
L 2 L
2
Es gibt also einen linearen und einen quadratischen Anteil in dieser Dehnung, es handelt
sich somit um ein nichtlineares Dehnungsmaß. Man erkennt, dass durch Streichen des
9.3 Beispiele eindimensionaler Verzerrungs- und Spannungsmaße
157
quadratischen Terms aus der Green-Lagrange-Dehnung die Ingenieurdehnung entsteht,
die damit die Linearisierung dieser nichtlinearen Dehnung darstellt.
Almansi-Dehnung e: Bei diesem Dehnungsmaß wird die Differenz der Längenquadrate
auf die aktuelle Länge bezogen:
!
1 dx 2 − dX 2 1 ` 2 − L 2 1
1
e xx (X ) =
1
−
=
=
.
2
2 `2
2
dx 2
(1 + ε xx ) 2
Die Almansi-Dehnung kann in die Green-Lagrange-Dehnung umgerechnet werden,
indem man mit dem Quadrat der Streckung multipliziert:
`
e xx (X )
L
!2
1 `2 − L2 `
=
2 `2
L
!2
= Exx (X ) .
Formal entspricht dies der Multiplikation von links und rechts mit dem Deformationsgradienten: Fxx e xx Fxx = Exx . Diese Beziehung wird sich auch im 3-D-Fall ergeben.
Logarithmische oder Hencky-Dehnung ε H : Dieses Dehnungsmaß wird nicht aus dem
Vergleich von Linienelementen in der Referenz- und Momentankonfiguration gewonnen. Vielmehr werden nun ausschließlich Größen aus der Momentankonfiguration
genutzt. Die Hencky-Dehnung wird berechnet, indem man die Dehnungsänderung dε H
als die momentane Längenänderung dx, bezogen auf die momentane Gesamtlänge x,
d. h. die gesamte bisherige Deformation am betrachteten Punkt, bezieht:
dε Hxx =
dx
.
x
Dies kann man durch Integration zur Gesamtdehnung am Punkt P berechnen:
ε Hxx (L)
=
ε xHx
Z
0
dε̂ Hxx
=
`
Z
L
1
`
L+u
dx = ln = ln λ xx = ln
= ln(1 + ε xx ) .
x
L
L
(9.9)
In Gl. (9.9) wird auch die Beziehung zur Streckung λ xx hergestellt. Dieser Zusammenhang gilt auch allgemein. Der Übergang auf die makroskopischen Längen L und ` ist
in diesem einfachen 1-D-Beispiel möglich, da die Transformation ϕ(X, t) linear ist. In
mehrdimensionalen Fällen geht dies nur, wenn die Streckung immer in dieselbe Richtung verläuft, d. h. keine Rotation erfährt. Man spricht dann von einem proportionalen
Dehnpfad. In der Umformtechnik (s. Kap. 14) wird diese Größe Umformgrad genannt
und häufig mit ϕ bezeichnet.
Die Ingenieurdehnung ist nur für kleine Dehnungen und Rotationen sinnvoll. Als Beispiel betrachte man die vollständige Komprimierung des Stabs auf ` = 0. Eine Dehnung
von −∞ wäre sinnvoll. Die Ingenieurdehnung liefert -100 %. Man vergleiche dazu die
Werte der Almansi- oder Hencky-Dehnungen. Auch die Green-Lagrange-Dehnung ergibt
-100 % und ist für diesen Fall ungeeignet. Diese Dehnung ist allerdings für große Rotationen einsetzbar, wie ein Beispiel in Kap. 9.4 zeigt. Die logarithmische Dehnung hat die
besondere Eigenschaft, dass sie für beliebig große Dehnungen additiv ist. Auch dies gilt
für die Ingenieurdehnung nicht, wie das Beispiel in Tab. 9.2 zeigt. Der Stab aus Abb. 9.4
wird in zwei Schritten verformt, zuerst auf die Länge ` 1 , dann auf die Endlänge ` 2 . In der
158
9 Geometrische Nichtlinearität
Tabelle 9.2 Dehnungsmaße bei zweistufiger Umformung eines Stabs, s. auch Altenbach [1, S. 102]
Referenzkonfiguration
Ingenieurdehnung
1. Dehnung, Ausgangskonfiguration L
2. Dehnung, Zwischenkonfiguration `1
`1 −L
L
Summe
Nur ein Schritt, Ausgangskonfiguration L
+
`1 −L
L
`2 −`1
`1
`2 −`1
`1
`2 −L
L
Logarithmische Dehnung
ln
ln
,
`2 −L
L
ln
`1
L
+ ln
`2
`1
`1
L
`2
`1
= ln
ln
`2 `1
`1 L
= ln
`2
L
`2
L
Abb. 9.5
Ingenieurdehnung ε (
),
Streckung λ (
Green-Lagr.-Dehn. E (
Hencky-Dehnung ε H (
Almansi-Dehnung e (
),
),
),
)
Dehnungsmaße
Tabelle ist die Ingenieurdehnung der Hencky-Dehnung gegenübergestellt. Einmal wird
die Dehnung auf die Referenzkonfiguration bezogen und einmal auf den letzten Zustand.
Darauf wird in Kap. 9.8 noch näher eingegangen. Daraus folgt: Ingenieurdehnungen kann
man für große Dehnungen nicht addieren, bei denen die Referenzkonfiguration wechselt
(sog. upgedatete-Lagrange-Formulierung, s. Kap. 9.8). Der Unterschied verschwindet erst,
wenn man infinitesimal kleine Dehnungen annimmt, für die gilt ` ≈ L. Logarithmische
Dehnungen sind dagegen immer additiv.
Für die bisher definierten Verzerrungsmaße wurde immer der Zusammenhang mit
der Ingenieurdehnung ε dargestellt. In Abb. 9.5 ist der nichtlineare Verlauf der verschiedenen Verzerrungsmaße über der Ingenieurdehnung aufgetragen. Am Bild erkennt man
1
0
−1
−100 %
0%
ε
100 %
gut, dass im Grenzfall kleiner Dehnungen, ` ≈ L bzw. ε → 0, alle Dehnungsmaße mit
der Ingenieurdehnung zusammenfallen, außer der Streckung. An diesem einfachen Beispiel wurden alle relevanten Dehnungsmaße eingeführt. Im folgenden Kapitel werden
die 3-D-Verallgemeinerungen angegeben. Es wird sich zeigen, dass alle hervorgehobenen
Eigenschaften und Beziehungen der Dehnungsmaße auch in diesem Fall gelten.
9.4 Allgemeine nichtlineare Verzerrungsmaße
Im Folgenden werden die für den 1-D-Fall eingeführten Verzerrungsmaße auf den allgemeinen Fall erweitert. Als Maß für die Formänderung wird nach wie vor in der Referenzund Momentankonfiguration ein infinitesimales Liniensegment dX und dx betrachtet,
s. Abb. 9.2. Die Länge der Liniensegmente wird über das Skalarprodukt der Vektoren bestimmt, das die Länge im Quadrat liefert. Für die Länge müsste man die Wurzel ziehen, was
sehr ungünstige Gleichungen liefern würde. Deswegen arbeitet man mit den quadratischen
9.4 Allgemeine nichtlineare Verzerrungsmaße
159
Termen. Die Längenänderung lautet dann:
dxT · dx − dXT · dX
bzw. dx i dx i − dX j dX j .
(9.10)
Ersetzt man die Liniensegmente in der Momentankonfiguration mit dem Deformationsgradienten aus Gl. (9.4) (und schreibt formal dXT ·dX = dXT · IdX mit dem Einheitstensor I),
ergibt sich:
dxT · dx − dXT · dX = dXT · FT FdX − dXT · IdX = dXT · (2E)dX .
Das Produkt auf der rechten Seite wird als quadratische Form bezeichnet. Es ergibt einen
skalaren Wert, der der Differenz der quadrierten Längen der Linienelemente, ausgedrückt
durch Vektoren in der Momentan- und Referenzkonfiguration auf der linken Seite der Gleichung, entspricht. Die neu definierte Größe ist der Green-Lagrange-Verzerrungstensor E:
1 T
1
F F−I
bzw. Ei j =
Fki Fk j − δi j .
(9.11)
2
2
Der Tensor erlaubt die Berechnung der Längenänderung rein durch das Linienelement
aus der Referenzkonfiguration. Die gesuchte Formänderung wird auf diese Weise auf die
Referenzkonfiguration bezogen. Dies lässt sich am 1-D-Fall in Gl. (9.8) gut erkennen.
Deswegen wird E als materieller Tensor bezeichnet. Wie unten gezeigt wird, ist dieses
Verzerrungsmaß für große Rotationen geeignet.
Mit Gl. (9.6) lässt sich der Verzerrungstensor E vollständig durch den Verschiebungsgradienten H ausdrücken:
E=
2E = (I + H) T (I + H) − I
= IT I + IT H + HT I + HT H − I
2Ei j = (δki + uk,i )(δk j + uk, j ) − δi j
bzw.
=H+H +H H
T
T
= δki δk j + δki uk, j + uk,i δk j + uk,i uk, j − δi j
= ui, j + u j,i + uk,i uk, j .
(9.12)
Durch Transponieren von Gl. (9.11) erkennt man, dass E ein symmetrischer Tensor ist. Vom
Green-Lagrange-Verzerrungstensor lässt sich ein linearer Anteil abspalten, s. Gl. (9.12):
ε=
1
1 T
H +H =
FT + F − I
2
2
bzw.
εi j =
1
ui, j + u j,i .
2
(9.13)
Dies ist der in Kap. 3.3 eingeführte Verzerrungstensor für kleine Verzerrungen. Im nichtlinearen Kontext wird er als infinitesimaler Verzerrungstensor bezeichnet. Diese Beziehung
allein gilt nur, wenn die Deformationen klein sind, da sich in diesem Fall die Referenzdann kaum von der Momentankonfiguration unterscheidet, sodass X ≈ x angenommen
werden kann. Das heißt, bei der Ableitung wird nicht mehr zwischen materiellen und
räumlichen Koordinaten unterschieden: ∂ u/∂ X ≈ ∂ u/∂ x.
Der Green-Lagrange-Verzerrungstensor ist ein für große Rotationen geeignetes Verzerrungsmaß, im Gegensatz zum infinitesimalen Tensor, wie folgendes Beispiel zeigt.
Bei einer Starrkörperrotation entstehen keine Verzerrungen, entsprechend muss ein Verzerrungstensor
null liefern. Betrachtet man die ebene Rotation eines Körperpunktes um einen Winkel φ analog Abb. 2.13,
ergeben sich die räumlichen Koordinaten x = [x, y]T aus den materiellen Koordinaten X = [X, Y]T über
die Rotationsbeziehung in Gl. (2.17) zu
160
9 Geometrische Nichtlinearität
x = ϕ x (X ) = X cos φ − Y sin φ
und
y = ϕ y (X ) = X sin φ + Y cos φ .
und
uy = X sin φ + Y (cos φ − 1) .
Die Verschiebung folgt aus Gl. (9.3)
u x = X (cos φ − 1) − Y sin φ
Der Deformationsgradient berechnet sich über Gl. (9.5) zu
" ∂x ∂x # "
#
∂x
∂Y = cos φ − sin φ
F=
= ∂X
∂y ∂y
sin φ cos φ
∂X
∂X ∂Y
und entspricht genau der Rotationsmatrix. Mit Gl. (9.11) folgt für den Green-Lagrange-Verzerrungstensor
E=
1
1 T
F F − I = (I − I) = 0 .
2
2
Damit wird dieser Verzerrungstensor für beliebige Rotationswinkel φ zu null. Der infinitesimale Verzerrungstensor bestimmt sich mit Gl. (9.13) zu

∂u y 
∂u x
"
#
1 ∂u x

∂X
2
∂Y + ∂X 
0
 = cos φ − 1
ε= , 0 für φ , 0
∂u y
0
cos φ − 1
 1 ∂u x + ∂u y

2
∂Y
∂X
∂Y


und liefert damit nicht das gewünschte Ergebnis. Bei einer Rotation um 90° wäre die Normaldehnung
ε x x = −100 %, d. h. die Länge wurde auf null komprimiert. Nur wenn φ ≈ 0 liefert der infinitesimale
Verzerrungstensor sinnvolle Werte, da dann cos φ ≈ 1 gilt.
Ein weiterer Verzerrungstensor kann definiert werden, wenn man nicht die Längenänderung der Liniensegmente in Gl. (9.10), sondern nur die Länge dxT · dx in der Momentankonfiguration auf die Linienelemente in der Referenzkonfiguration bezieht. Mit
Gl. (9.4) folgt
dxT · dx = dXT · FT FdX
und daraus der rechte Cauchy-Green-Verzerrungstensor C:
C = FT F
⇒
E=
1
(C − I) .
2
In obiger Gleichung ist auch noch der Zusammenhang zwischen Green-LagrangeVerzerrungstensor und dem rechten Cauchy-Green-Verzerrungstensor angegeben, der direkt aus der Definition in Gl. (9.11) folgt.
Weiterhin kann man analog den linken Cauchy-Green-Verzerrungstensor b angeben,
wenn man umgekehrt die Liniensegmente in der Referenzkonfiguration durch die Momentankonfiguration ausdrückt:
−1
dXT · dX = dxT · F−T F−1 dx = dxT · FFT
dx
⇒
b = FFT , C .
Der Tensor C entspricht nicht dem rechten Cauchy-Green-Verzerrungstensor, da der Deformationsgradient unsymmetrisch ist6. C ist ein materieller Tensor, wogegen b ein räumlicher Tensor ist, da er nur auf Vektoren der Momentankonfiguration wirkt.
6 Die Bezeichnung „links“ und „rechts“ ergibt sich aus dem Auftreten von F in den Definitionen.
9.5 Zeitliche Ableitungen der Deformation
161
Mit dem linken Cauchy-Green-Verzerrungstensor wird schließlich der räumliche
Almansi-Verzerrungstensor definiert, der die Längendifferenz auf die Momentankonfiguration bezieht:
dxT · dx − dXT · dX = dxT · Idx − dxT · F−T F−1 dx
⇒
e=
1
1
(I − b−1 ) = (I − F−T F−1 ) .
2
2
Mit dieser Definition lässt sich folgender Zusammenhang herstellen, indem man von links
und rechts mit dem Deformationsgradienten multipliziert:
FT eF =
1 T
T −T −1
(F F − F
F) = E .
| F {zF }
2
(9.14)
I
Der Almansi-Verzerrungstensor ist der auf die Momentankonfiguration transformierte
Green-Lagrange-Verzerrungstensor und in diesem Sinne ein räumlicher Tensor.
Die Operation FT (∗) F wird als Pull-back bezeichnet, da eine Größe in der Momentankonfiguration auf die Referenzkonfiguration zurückgezogen wird. Entsprechend wird
der Push-forward definiert als F−T (∗) F−1 , der eine Größe auf die Momentankonfiguration
überträgt7: F−T EF−1 = 1/2(F−T FT FF−1 − F−T IF−1 ) = 1/2(I − F−T F−1 ) = e.
Zuletzt wird der Hencky-Verzerrungstensor über die Hauptstreckungen des Deformationsgradienten definiert. Wie jeder Tensor, kann der Deformationsgradient auf ein Hauptachsensystem transformiert werden. In diesem Koordinatensystem treten nur noch Terme
auf der Hauptdiagonale von F auf, die Hauptstreckungen λ 1, λ 2, λ 3 . Der Henckysche oder
logarithmische Verzerrungstensor ist dann analog zum 1-D-Fall in Gl. (9.9) definiert als
λ 2 0 0 
1  1 2  1
ε H = ln  0 λ 2 0  = ln(FT F) .
2 
2
2
 0 0 λ 3 
Eine detaillierte Herleitung findet sich in Bonet und Wood [4, Kap. 4.6, S. 110] oder
Parisch [7, Kap. 3.2, S. 84].
9.5 Zeitliche Ableitungen der Deformation
Für verschiedene konstitutive Beziehungen (s. Kap. 10) ist es sinnvoll nicht mit Verschiebungen, sondern mit Geschwindigkeiten zu arbeiten. Dafür werden in diesem Abschnitt
die relevanten Größen angegeben.
Zunächst wird der Geschwindigkeitszustand eines Körperpunkts X am Raumpunkt x
betrachtet. Er ergibt sich als Differentiation der Bewegung nach der Zeit am Raumpunkt x
und wird als materielle oder substanzielle Zeitableitung bezeichnet, da der Körperpunkt
X festgehalten wird. Geometrisch beschreibt er die zeitliche Änderung des Ortsvektors zu
einem Raumpunkt, s. Abb. 9.2. Mit der Kettenregel folgt:
7 Der Aufbau der beiden Operationen unterscheidet sich, je nachdem, ob ko- oder kontravariante Basisvektoren genutzt werden. Eine Zusammenfassung findet man bei Wriggers [11, Kap. A.2.6, S. 464]. Die
obige Darstellung gilt für kovariante Basen.
162
9 Geometrische Nichtlinearität
d
∂ϕ(X, t) ∂ϕ(X, t) ∂ X ∂ϕ(X, t)
ϕ(X, t) =
+
=
+ 0 = ϕ̇(X, t) = v (X, t) .
dt
∂t
∂ X ∂t
∂t
(9.15)
Wesentlich ist, dass die materielle Koordinate X nicht von der Zeit abhängt, weswegen der
˙ benutzt.
zweite Term zu null wird. Für die materielle Zeitableitung wird die Abkürzung (∗)
In der Lagrange’schen Beschreibung entspricht die materielle Zeitableitung der partiellen
Ableitung. In Gl. (9.15) ist die Geschwindigkeit noch in Abhängigkeit der materiellen
Koordinate gegeben. Sie ist aber ein räumlicher Vektor in der Momentankonfiguration,
der tangential an der Bahnkurve im betrachteten Zeitpunkt t liegt, s. Abb. 9.2. Deswegen
wird sie über Gl. (9.2) in räumlichen Koordinaten ausgedrückt:
v (ϕ −1 (x, t), t) = v (x, t) .
Zuletzt wird noch die Beschleunigung des Punkts P berechnet. In materiellen Koordinaten folgt mit derselben Argumentation wie in Gl. (9.15):
a (X, t) =
d
∂ v (X, t) ∂ 2 ϕ(X, t)
v (X, t) =
=
dt
∂t
∂t 2
bzw.
ai (X j , t) = ϕi,tt (X j , t) .
Wählt man eine Euler’sche Beschreibung mit räumlichen Koordinaten ist die zeitliche
Ableitung mit der Kettenregel durchzuführen, da x nicht konstant ist:
a (x, t) =
d
∂ v (x, t) ∂ v (x, t) ∂ x
v (x, t) =
+
dt
∂t
∂ x ∂t
bzw.
ai (x j , t) = vi,t + vi, j v j .
(9.16)
Der Term ∂ x/∂t = ∂ϕ/∂t entspricht der Geschwindigkeit des Körperpunkts und ist
nicht null, anders als die Zeitableitung der materiellen Koordinate in Gl. (9.15). Der erste
Term in Gl. (9.16) wird als lokale Zeitableitung bezeichnet und beschreibt die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit an einem Raumpunkt. Diesen Anteil entspricht der
Lagrange-Beschreibung und würde auch von einem mitbewegten Beobachter registriert.
Der zweite Term wird als konvektive Zeitableitung bezeichnet. Er besteht aus dem Produkt
der Geschwindigkeit und dem räumlichen Geschwindigkeitsgradienten
`=
∂ v (x, t)
.
∂x
(9.17)
Dieser Term tritt auf, da in der Euler’schen Beschreibung ein fixer Raumpunkt betrachtet
wird. An diesem Punkt können verschiedene Körperpunkte X vorbeiziehen, die unterschiedliche Geschwindigkeiten aufweisen. Die daraus resultierende Änderung der Gesamtgeschwindigkeit am Punkt x wird durch den konvektiven Anteil beschrieben. Der
räumliche Geschwindigkeitsgradient kann durch den Deformationsgradienten ausgedrückt
werden, indem die materielle Zeitableitung des Deformationsgradienten berechnet wird:
Ḟ (X, t) =
∂ F (X, t)
∂ ∂x
∂ ∂x
∂
∂v ∂x
=
=
=
v (x, t) =
= `F .
∂t
∂t ∂ X ∂ X ∂t
∂X
∂x ∂X
Zur Erklärung der Umformungen ist zu beachten, dass die materielle Zeitableitung gleich
der lokalen ist, da der Deformationsgradient in materiellen Koordinaten betrachtet wurde.
Weiterhin darf die Zeitableitung mit der räumlichen Ableitung vertauscht werden, da X und
9.6 Transformation von Volumen- und Flächenelementen
163
t unabhängige Variablen sind. Dadurch entsteht der materielle Geschwindigkeitsgradient
dv/dX. Zuletzt wird die Konfiguration gewechselt, in dem mit dx/dx erweitert wird,
sodass der räumliche Geschwindigkeitsgradient entsteht. Dadurch lässt sich der räumliche
Geschwindigkeitsgradient durch den Deformationsgradienten ausdrücken:
` = ḞF−1 .
Jeder Tensor lässt sich additiv in einen symmetrischen und einen antimetrischen bzw.
schiefsymmetrischen Tensor zerlegen. Für den Geschwindigkeitsgradienten soll gelten
` =d+w .
(9.18)
Der symmetrische Anteil des Geschwindigkeitsgradienten wird als Verzerrungsgeschwindigkeitstensor oder Deformationsrate bezeichnet:
d=
1
(` + ` T ) .
2
(9.19)
Er drückt die zeitliche Änderung der Verzerrung eines Linienelements aus und ist ein
räumlicher Tensor. Er wird in Kap. 9.8 bei der Definition der Energieprinzipien genutzt.
Für eine reine Starrkörperbewegung ist d = 0, s. Bonet und Wood [4, Kap. 4.12].
Der schiefsymmetrische Teil
 0 −ω3 ω2 
1


T
w = (` − ` ) =  ω3 0 −ω1 


2
−ω2 ω1 0 
ist der Spin-Tensor. Seine Komponenten können als Winkelgeschwindigkeitsvektor ω =
[ω1, ω2, ω3 ]T einer infinitesimalen Rotation interpretiert werden, s. Bonet und Wood [4,
Kap. 4.13, S. 127]. Für diesen Tensor gilt die Beziehung: wT +w = 12 (` T −`)+ 12 (`−` T ) = 0.
Die Deformationsrate kann auch mit dem Green-Lagrange-Verzerrungstensor in Verbindung gebracht werden, indem man diesen ableitet:
Ė =
1
1 T
1 T
Ḟ F + FT Ḟ =
FT ` T F + FT ` F = FT
` + ` F = FT dF .
2
2
2
(9.20)
Diese Gleichung stellt die Pull-back-Operation der Deformationsrate auf die Referenzkonfiguration dar. Die entsprechende Größe in der Referenzkonfiguration ist die Zeitableitung
des Green-Lagrange-Verzerrungstensors. Diese Beziehung wird bei der Definition der
Energieprinzipien benutzt.
9.6 Transformation von Volumen- und Flächenelementen
Für die Definition von Spannungen sowie Energieprinzipien sind neben Linienelementen
noch Flächen- und Volumenelemente zwischen der Referenz- und der Momentankonfiguration zu transformieren. Diese Zusammenhänge werden im Folgenden abgeleitet. In der
164
9 Geometrische Nichtlinearität
Referenzkonfiguration wird ein Volumenelement dV durch drei Vektoren dX1, dX2, dX3
aufgespannt. Mit dem Spatprodukt berechnet man daraus das Volumen (s. Parisch [7, Kap.
1.4, S. 15]): dV = (dX1 × dX2 ) T · dX3 = det ([dX1, dX2, dX3 ]). Die letzte Gleichung folgt
aus der Definition des Spatprodukts und erlaubt die Berechnung über die Bildung der
Determinante der Spaltenvektoren, die den Spat aufspannen. Dasselbe gilt in der Momentankonfiguration dv = (dx1 × dx2 ) T · dx3 = det ([dx1, dx2, dx3 ]). Mit dxi = FdXi, i = 1, 2, 3
folgt8: det ([dx1, dx2, dx3 ]) = det F det ([dX1, dX2, dX3 ]) und damit
dv = det F dV = J dV ,
(9.21)
wobei J die Determinante des Deformationsgradienten bezeichnet,
J = det F
und analog zu Gl. (6.7) das Volumenverhältnis der Momentan- zur Referenzkonfiguration
darstellt. Die Determinante des Deformationsgradienten spielt eine wichtige Rolle, deswegen wird noch auf folgende Eigenschaften hingewiesen: Da der Deformationsgradient
eine Abbildung darstellt und diese nach den Voraussetzungen der Kontinuumsmechanik
eindeutig sein muss, muss das lineare Gleichungssystem in Gl. (9.4) eindeutig lösbar sein.
Die mathematische Bedingung dafür ist J , 0. Weiterhin stellt die Determinante das
Verhältnis von Volumenelementen dar, deswegen muss J > 0 sein. Ein Grenzfall ist ein
inkompressibles Material, für das dv = dV und damit J = 1 gelten muss.
Eine analoge Beziehung für die Umrechnung von Flächenelementen ist für die Definition von Spannungen in Kap. 9.7 notwendig. Dazu betrachtet man orientierte Flächenstücke
in der Referenz- und Momentankonfiguration, wie in Abb. 9.6 mit den Normalenvektoren N und n:
dA = dA N und da = da n .
(9.22)
Zugehörige Volumenelemente in der Referenz- und Momentankonfiguration lassen sich
N
Abb. 9.6 Orientierte Flächenstücke in der Referenz- und
Momentankonfiguration
n
dA
dX 3
da
dx3
dX2
dx2
dx1
dX1
mit beliebigen, aus der Fläche heraus zeigenden Kantenvektoren dL bzw. dl definieren als:
dV = dLT · dA und dv = dlT · da. Mit dl = FdL folgt daraus:
Gl. (9.21)
dv = dlT · da = (FdL) T · da = dLT · FT da ≡
J dV = J dLT · dA .
Umformung ergibt dLT · FT da − J dA = 0. Dies liefert unter Beachtung von Gl. (9.22)
die Nanson’sche Formel
da = nda = J F−T NdA = J F−T dA
8 Unter Benutzung der Regel det(AB) = det(A) det(B).
(9.23)
9.7 Spannungsmaße bei nichtlinearer Betrachtung
165
für die Umrechnung eines orientierten Flächenelements (d. h. Flächenelement und Normalenvektor) von der Referenzkonfiguration in die Momentankonfiguration.
9.7 Spannungsmaße bei nichtlinearer Betrachtung
Neben den kinematischen Größen sind für die Formulierung der Bilanzgleichungen noch
Spannungsmaße für nichtlineares Verhalten zu definieren. In Kap. 3.2 wurde der Spannungsvektor t als Grenzwert einer Schnittkraft df, die auf ein infinitesimales Flächenelement da wirkt, definiert. Im Rahmen der nichtlinearen Betrachtung gilt dieser Zustand
nun in der Momentankonfiguration, da hier das Gleichgewicht aller Kräfte gilt. Die Definition des Spannungstensors über Gl. (3.3) bleibt gültig, nur muss man die Begrifflichkeit
erweitern. Der so definierte Spannungstensor σ wird als wahrer oder Cauchy’scher Spannungstensor bezeichnet, da er aus dem Kraftvektor df hervorgeht, der auf das aktuelle
Flächenelement bezogen wird:
df
Gl. (3.2)
=
t da = σ T n da
bzw. d f i = t i da = σ ji n j da .
(9.24)
Da in Gl. (9.24) Vektoren der Momentankonfiguration durch σ aufeinander abgebildet
werden, handelt es sich um einen räumlichen Tensor, der symmetrisch ist.
Für die Formulierung von Bilanzgleichungen bezogen auf die Referenzkonfiguration
ist ein Spannungsmaß bezogen auf ein Flächenelement dA in der Referenzkonfiguration
notwendig. Der erste Piola-Kirchhoff-Spannungstensor P wird mit Gl. (9.23) definiert als
def.
df = Jσ T F−T N dA = PT dA
⇒
P = J F−1 σ .
(9.25)
Da ein Vektor der Referenz- auf die Momentankonfiguration abgebildet wird, ist P ein
Zweipunkt-Tensor wie der Deformationsgradient. Dieser Tensor hat den Nachteil, dass er
unsymmetrisch ist. Der transponierte Tensor PT wird als Nominal- oder Nennspannungstensor bezeichnet. Dies sind z. B. die Spannungen, die im Zugversuch angegeben werden,
wenn die Kraft auf den Ausgangsquerschnitt bezogen wird.
Für die Formulierung von Materialgesetzen ist es wünschenswert mit symmetrischen
Tensoren zu arbeiten, da so symmetrische Systemmatrizen in der Diskretisierung folgen,
s. Belytschko et al. [3, Kap. 5.4.1, S. 226]. Dazu wird der Kraftvektor df in Gl. (9.25)
durch einen fiktiven Kraftvektor df0 in der Referenzkonfiguration dargestellt: df = Fdf0
und damit der zweite Piola-Kirchhoff-Spannungstensor S definiert:
def.
df0 = F−1 df = J F−1 σ T F−T N dA = ST dA
⇒
S = J F−1 σ F−T .
Dies ist ein symmetrischer Tensor, wie man durch Transponieren erkennt, der rein auf die
Referenzkonfiguration bezogen ist. Allerdings sind die Spannungen nicht ohne Weiteres
als physikalische Größen in der Referenz- oder Momentankonfiguration zu interpretieren.
Als Beispiel für die Spannungsmaße soll der Stab aus Abb. 9.4 genutzt werden, der
am rechten Querschnitt durch eine positive Kraft f belastet wird. Dann lassen sich die
allgemein definierten Spannungsmaße wie folgt angeben:
166
9 Geometrische Nichtlinearität
• Die auf die Momentankonfiguration bezogene Cauchy-Spannung ist
σ xx =
f
.
a
• Die erste Piola-Kirchhoff-Spannung oder Nominalspannung bezieht die Kraft auf ein
Flächenelement in der Referenzkonfiguration:
Pxx =
f
.
A
Diese Größe enthält keine Information mehr über die lokale Formänderung, sondern
hängt nur von den Abmessungen vor der Deformation ab. Über Gl. (9.25) und unter
Beachtung des Deformationsgradienten und der Determinante aus Gl. (9.7) ergibt sich
der Zusammenhang zwischen Cauchy- und erster Piola-Kirchhoff-Spannung in diesem
Beispiel zu:
1
−1
Pxx = JFxx
σ xx = (1 + ε xx )
σ xx = σ xx .
1 + ε xx
Da die Querkontraktion in diesem 1-D-Beispiel zu null angenommen wird, gilt A = a,
was dieses Ergebnis erklärt.
• Die zweite Piola-Kirchhoff-Spannung ergibt sich zu:
−T
Sxx = Pxx Fxx
=
1
f L
σ xx =
.
1 + ε xx
A`
Diese Spannung lässt sich physikalisch nicht interpretieren, da der Faktor L/` multipliziert wird. Die zweite Piola-Kirchhoff-Spannung ist daher eine reine Rechengröße.
9.8 Energieprinzipien in nichtlinearer Form
Ein wesentlicher Unterschied zwischen linearer und nichtlinearer Betrachtung ist, dass im
nichtlinearen Fall die Bezugskonfiguration nicht von vornherein vorgegeben ist. Man kann
materielle oder räumliche Verzerrungs- und Spannungsgrößen einsetzen. Alle Vorgehensweisen führen aber bei entsprechender Umstellung schlussendlich zum gleichen Ergebnis.
Im Folgenden werden die zwei wichtigsten kinematischen Beschreibungsmöglichkeiten
zur Formulierung der Energieprinzipien beschrieben:
• die Upgedatete-Lagrange-Formulierung (ULF),
• die Totale-Lagrange-Formulierung (TLF).
Die zwei Formulierungen sind in Abb. 9.7 dargestellt und werden nachfolgend erläutert.
Zu den genannten kinematischen Beschreibungsmöglichkeiten sind passende Spannungs- und Verzerrungsmaße zu nutzen. Dies rührt daher, dass aus dem Produkt von Verzerrungen und Spannungen die Formänderungsenergie bzw. die virtuelle Arbeit berechnet
wird, s. Kap. 4.1 und Kap. 4.2. Beide sind physikalisch invariante Größen und ändern
sich bei einer Veränderung der Bezugskonfiguration eines Verzerrungsmaßes nicht. Da
die unterschiedlichen Verzerrungstensoren aber unterschiedliche Werte liefern, muss die
9.8 Energieprinzipien in nichtlinearer Form
Abb. 9.7 Konfigurationen der
verschiedenen kinematischen
Beschreibungsmöglichkeiten,
Ausgangs- t0 , Referenz- tn ,
Momentankonfiguration tn+1
167
upgedatet-Lagrange (ULF)
total-Lagrange (TLF),
v
t0
V
tn
tn+1
V
t0
v
tn+1
Spannungsdefinition entsprechend dem gewählten Verzerrungsmaß angepasst werden. Der
Zusammenhang wird über die Arbeit hergestellt, weswegen man von arbeitskonjugierten
Spannungsmaßen spricht. Darauf wird in den folgenden Kapiteln eingegangen.
9.8.1 Upgedatete-Lagrange-Formulierung
Die upgedatete-Lagrange-Formulierung (ULF) nutzt als Referenzkonfiguration eine der
Momentankonfiguration benachbarte Lage, s. Abb. 9.7. Da sich diese während des Berechnungslaufs ändert, wird die Referenzkonfiguration angepasst, woher sich der Name erklärt
(to update: aktualisieren, aufdatieren, nachführen). Die Feldgrößen werden in materiellen Koordinaten X formuliert. Allerdings sind die Ableitungen bezüglich der räumlichen
Koordinaten auszuführen, da die Referenzkonfiguration veränderlich ist. Die Integrale
sind in der deformierten Konfiguration über das Volumen v mit Rand a auszuwerten.
Diese Formulierung bietet Vorteile bei der numerischen Behandlung, da die Lösung der
diskretisierten Gleichungen inkrementell erfolgt, s. Kap. 12.2. Der zuletzt berechnete Zwischenschritt wird als Referenzkonfiguration t n gesetzt, von dem aus der neue Zustand t n+1
in der Momentankonfiguration ermittelt wird.
An dieser Stelle soll davon ausgegangen werden, dass ein geschichtsabhängiges Materialgesetz, wie die Elastoplastizität und Hypoelastizität, s. Kap. 10.2, eingesetzt werden soll.
Diese sind als Ratenformulierungen σ̇ = C (ẋ) anzugeben. Entsprechend werden keine
Ortsvektoren, sondern Geschwindigkeiten als primäre Feldvariable genutzt. Das zu Grunde liegende Energieprinzip basiert deswegen vorteilhaft auf der virtuellen Leistung mit
virtuellen Geschwindigkeiten und nicht den virtuellen Verschiebungen wie bisher, auch
wenn diese Möglichkeit genauso besteht. Im Folgenden wird dafür eine kurze Herleitung
gezeigt: In Kap. 4.2 wurde das Prinzip der virtuellen Arbeit – mechanisch motiviert – für
den linearen Fall infinitesimaler Deformationen hergeleitet, s. Gl. (4.10). Für ein Prinzip
basierend auf der Leistung ist zunächst eine analoge Größe zur virtuellen Verschiebung
δx einzuführen. Dies ist die virtuelle Geschwindigkeit δv (X, t):
d
dx
δx = δ
= δv (X, t) = δvi (X j , t) .
dt
dt
Multipliziert man eine Kraft mit einer virtuellen Geschwindigkeit, wird eine virtuelle
Leistung berechnet, d. h. eine virtuelle Arbeit pro Zeiteinheit. Entsprechend wird damit
ein Prinzip der virtuellen Leistung definiert.
Die Herleitung eines Energieprinzips in Ratenform lässt sich am übersichtlichsten in Indexnotation darstellen und über die Methode der gewichteten Residuen angeben. Dazu wird die Gleichgewichtsbedingung
aus Gl. (3.13) als Residuum geschrieben und mit einer beliebigen virtuellen Geschwindigkeit multipliziert.
168
9 Geometrische Nichtlinearität
Es ist wichtig zu erkennen, dass hier nun die Cauchy-Spannung eingeht, die in der Momentankonfiguration
definiert ist9.
Z
(σ j i, j + b̄i − ρ ẍi )δvi dv = 0 .
v
Wie im eindimensionalen Fall in Kap. 4.3 wird nun zunächst nur der Term σ j i, j δvi betrachtet, da er sich
durch Anwendung der partiellen Integration umformen lässt:
Z
Z
Z
σ j i, j δvi dv =
(σ j i δvi ), j dv −
σ j i δvi, j dv .
v
v
v
Der erste Term auf der rechten Seite kann mit dem Gauß’schen Integralsatz (Willner [10, Kap. 2.5, S. 42])
umgeformt werden zu:
Z
Z
σ j i n j δvi da .
(σ j i δvi ), j dv =
a
v
Der Gauß’sche Integralsatz stellt einen Zusammenhang zwischen der Änderung des Vektorfeldes σ j i δvi
in einem Gebiet (der Divergenz) mit dem Transport über den Rand der Gebiets her. Setzt man alles in die
erste Gleichung ein folgt nach Umsortierung:
Z
Z
Z
Z
δvi ρ ẍi dv +
δvi, j σ j i dv =
δvi b̄i dv +
δvi σ j i n j da .
v
v
v
a
Zu beachten ist, dass der Term δvi, j im Produkt mit der Cauchy-Spannung den virtuellen Geschwindigkeitsgradienten darstellt: δvi, j = δli j , s. Gl. (9.17). Es wurde weder ein spezielles Materialverhalten
noch eine Einschränkung bezüglich der Größe der Deformation vorgenommen, sodass diese Gleichung
für alle Fälle gültig ist. Mit der Aufspaltung des Geschwindigkeitsgradienten in einen symmetrischen und
schiefsymmetrischen Teil kann die Gleichung noch weiter umgeformt werden. Dazu wird Gl. (9.18) für
li j eingesetzt:
δvi, j σ j i = δli j σ j i = δdi j σ j i + δwi j σ j i = δdi j σ j i
da δwi j σ j i = 1/2(δli j σ j i − δl j i σ j i ) = 1/2(δli j σ j i − δl j i σi j ) = 0. Dabei wird die Symmetrie des
Spannungstensors im zweiten Term ausgenutzt, σ j i = σi j und die Vertauschbarkeit der stummen Indizes
δl j i σi j = δli j σ j i (s. Anh. A.2) beachtet. Schließlich ergibt sich das Prinzip der virtuellen Leistung
bezogen auf die Momentankonfiguration in Indexnotation zu
Z
Z
Z
Z
δvi ρ ẍi dv +
δdi j σi j dv =
δvi b̄i dv +
δvi σ j i n j da .
(9.26)
v
v
v
a
Um auf die bisher benutzte symbolische Schreibweise zurück zu kommen, ist für die
doppelte Verjüngung (s. Anh. A.2) zu schreiben: δd i j σi j = δd : σ. Damit ergibt sich das
Prinzip der virtuellen Leistung bezogen auf die Momentankonfiguration zu
Z
Z
Z
Z
ρδvT · ẍ dv +
δd : σ dv =
δvT · b̄ dv +
δvT · t̄ da .
(9.27)
v
v
v
a
In Gl. (9.27) ist zu beachten, dass die Integration über die Momentankonfiguration ausgeführt wird, da das Gleichgewicht in der verformten Geometrie zu formulieren ist. Es zeigt
sich, dass die Cauchy-Spannungen σ arbeitskonjugiert zur Deformationsrate d sind.
Es sei angemerkt, dass dieselbe Betrachtung auch mit virtuellen Verschiebungen
und dem Prinzip der virtuellen Arbeit durchgeführt werden kann. Es ergibt sich dann,
dass die zu den Cauchy-Spannungen arbeitskonjugierte Größe der Almansi-Tensor e ist,
s. Holzapfel [6, Kap. 8.2, S. 382].
9 Man beachte, dass im Trägheitsterm die Verschiebung ui durch die räumliche Koordinate xi zu ersetzen
ist im nichtlinearen Fall, s. Riemer et al. [8, Kap. 4.2.2, S. 233].
9.8 Energieprinzipien in nichtlinearer Form
169
9.8.2 Totale-Lagrange-Formulierung
Mit der totalen-Lagrange-Formulierung (TLF) wird eine Lagrange’sche Betrachtungsweise gewählt: Die Referenzkonfiguration ist die Ausgangskonfiguration, s. Abb. 9.7. Sie
bleibt während des gesamten Lösungsprozesses unverändert. Alle Größen aus der Momentankonfiguration (z. B. Cauchy-Spannung) werden auf die Ausgangskonfiguration zurückgerechnet. Der Vorteil ist, dass alle Ableitungen in materiellen Koordinaten X ausgeführt
werden und Integrationen über das unveränderliche Ausgangsvolumen V berechnet werden können. Nachteilig ist der hohe Rechenaufwand für die Pull-back- und Push-forwardOperationen.
Die TLF wird häufig für hyperelastische Materialgesetze eingesetzt, s. Kap. 10.1, da
hier keine bleibende Formänderung wie bei Plastizität eintritt, sondern immer der Ausgangszustand wiedergewonnen wird. Deswegen bietet sich ein Bezug auf die Ausgangskonfiguration an. Das Energieprinzip basiert entweder auf der virtuellen Arbeit oder der
virtuellen Leistung.
Zunächst wird das Prinzip der virtuellen Leistung als TLF angegeben. Für ein zu
Gl. (9.26) äquivalentes Energieprinzip, bei dem die Größen in der Referenzkonfiguration
dargestellt sind, müssen alle Größen, über die zuvor definierten Pull-back-Operationen,
von der Momentan- auf die Referenzkonfiguration zurückgezogen werden. Mit Gl. (9.21)
werden die Volumenelemente transformiert. Für die Dichte gilt damit ρ0 = J ρ unter
Annahme von Massenerhaltung. Damit entsteht zunächst
Z
Z
Z
Z
T
T
ρ0 δv · ẍ dV +
δd : J σ dV =
δv · b̄0 dV +
δvT · t̄0 dA ,
V
V
V
A
mit b̄0 = J b̄ und t̄0 = J t̄ · F−T . Der Term J σ wird als Kirchhoff-Spannungstensor
bezeichnet, soll hier aber nicht weiter benutzt werden. Die virtuelle Deformationsrate
wird mit Hilfe von Gl. (9.20) transformiert: δd = F−T δĖF−1 . In Indexnotation lässt sich
dann die doppelte Verjüngung schreiben als
−1
−1
−1
−1
−T
F−T δ ĖF−1 : Jσ = Fki
δ Ėkl Fl−1
= δĖ : S .
j Jσi j = δ Ėkl JFki σi j Fl j = δ Ė : J F σ F
Die Umformung zeigt, dass die zweiten Piola-Kirchhoff-Spannungen S arbeitskonjugiert
zur materiellen Zeitableitung des Green-Lagrange-Verzerrungstensors Ė sind. Das Prinzip
der virtuellen Leistung bezogen auf die Referenzkonfiguration lautet damit
Z
Z
Z
Z
T
T
δĖ : S dV =
δv · b̄0 dV +
δvT · t̄0 dA .
ρ0 δv · ẍ dV +
V
V
V
A
Wie im vorigen Kapitel, kann auch das Prinzip der virtuellen Arbeit mit virtuellen
Verschiebungen als Basis einer Ableitung dienen. In einer totalen Lagrange-Formulierung
ergibt sich dann der Green-Lagrange-Verzerrungstensor E als die arbeitskonjugierte Größe
zum zweiten Piola-Kirchhoff-Spannungstensor S, s. Holzapfel [6, Kap. 8.2, S. 386].
Für detaillierte Gegenüberstellungen der TLF und ULF wird auf Bathe [2, Kap. 6.2.3]
und Holzapfel [6, 8.2] verwiesen. Zusammenfassend sind in Tab. 9.3 in Anlehnung an
Bathe [2, Tab. 6.1, S. 486] die Verzerrungs- und arbeitskonjugierten Spannungsmaße
angegeben, gemeinsam mit der üblichen kinematischen Formulierung.
170
9 Geometrische Nichtlinearität
Tabelle 9.3 Geometrisch nichtlineare Effekte und Zuordnung von Verzerrungs- und Spannungsmaßen
Deformation
Kinematik Energiepr. Verzerrung Spannung
Kleine Verschiebungen, Drehungen und Verzerrungen
Große Verschiebungen und Drehungen
—
PdvA
ε
PT
TLF
PdvA
E
S
PdvL
Ė
S
PdvA
e
σ
PdvL
d
σ
PdvA
E
S
PdvL
Ė
S
PdvA
εH
σ
PdvL
d
σ
und kleine Verzerrungen
ULF
Große Verschiebungen, Drehungen
TLF
und große Verzerrungen
ULF
9.8.3 Diskretisierung
Die Diskretisierung der Energieprinzipien folgt im Wesentlichen dem Kap. 5 und soll
deswegen hier nur um die zusätzlichen Anteile ergänzt werden. Die Herleitung wird nur
für das Prinzip der virtuellen Leistung als ULF vorgestellt. Zunächst wird wieder auf die
Voigt-Notation übergegangen. Dazu ist die Definition der Deformationsrate d(X, t) als
Vektor notwendig. Da es sich um einen symmetrischen Tensor handelt, gilt
f
gT
d(X, t) = d xx d yy d zz 2d xy 2d xz 2d yz .
(9.28)
Damit lautet das Prinzip der virtuellen Leistung als ULF für ein einzelnes Element:
Z
Z
Z
Z
ρδv T ẍ dv +
δd T σ dv =
δv T b̄ dv +
δv T t̄ da .
(9.29)
ve
ve
ve
ae
Weiterhin sind Ansätze für die Beschleunigung und die virtuellen Geschwindigkeiten
notwendig. Es wird wieder vom isoparametrischen Konzept ausgegangen, s. Kap. 6.2. Die
materiellen und natürlichen Koordinaten lassen sich entsprechend Gl. (6.1) ausdrücken als
X̃ e (ξ ) = N (ξ )X e
und
x̃ e ( X̃ e (ξ ), t) = x̃ e (ξ, t) = N (ξ ) x e (t) .
Wie im linearen Fall werden die Formfunktionen im natürlichen Koordinatensystem, das
keiner der bisher besprochenen Konfigurationen entspricht, definiert, s. Kap. 6.2. Dementsprechend kommt neben der Deformation, ausgedrückt durch den Deformationsgradienten
F, bei der Diskretisierung noch die Transformation nach Gl. (6.4) hinzu. Die Verhältnisse
zeigt Abb. 9.8. Diese Transformation ist wie bisher bei der Berechnung von Integralen und
Ableitungen zu berücksichtigen, wobei die zur kinematischen Beschreibung (TLF, ULF)
passende Jacobi-Matrix zu wählen ist. Für Details s. Wriggers [11, Kap. 4.1, S. 104].
Man beachte, dass die materiellen Koordinaten nicht von der Zeit abhängen. Die Variablen X e und x e sind die Knotenvektoren des geometrischen Modells und nicht mit den
Tensorgrößen zu verwechseln. Die Geschwindigkeit und Beschleunigung folgt aus der
9.8 Energieprinzipien in nichtlinearer Form
171
Abb. 9.8 Transformation
vom natürlichen Koordinatensystem in die Referenz- und
Momentankonfiguration
JV
V
η
ξ
F
Jv
v
Zeitableitung des Separationsansatzes zu:
ṽ e (ξ, t) = N (ξ ) ẋ e (t) = N (ξ )v e (t)
und
e
x̃¨ (ξ, t) = N (ξ ) a e (t) ,
mit den bereits in Kap. 8 eingeführten Knotenvektoren der Geschwindigkeit v e und Beschleunigung a e . Die virtuelle Geschwindigkeit ergibt sich als:
δ ṽ e (ξ, t) = N (ξ )δv e (t) ,
(9.30)
mit dem Vektor der virtuellen Knotengeschwindigkeiten δv e (t). Im Term der Formänderungsleistung tritt die virtuelle Deformationsrate δd auf, analog zum virtuellen infinitesimalen Verzerrungstensor in Gl. (4.10). Ein Näherungsansatz lässt sich aus dem Gradient
der Geschwindigkeit in Gl. (9.17) und mit Gl. (9.19) angeben:
 ∂ṽx 
 ∂∂x

ṽy


∂y
 ∂ṽz

∂z
e

d̃ (ξ, t) =  ∂ṽx ∂ṽy 
 ∂y + ∂x 
 ∂ṽx ∂ṽz 
+ ∂x 
 ∂∂z
ṽy
ṽz 
 ∂z + ∂∂y

Gl. (3.14)
=
Dε N (ξ )v e (t) = B(ξ )v e (t) .
(9.31)
Wie in Kap. 3.5 entsteht der Differenzialoperator Dε , nun allerdings angewendet auf die
Geschwindigkeit. An dieser Stelle erkennt man, warum die letzten drei Größen in Gl. (9.28)
mit dem Faktor 2 multipliziert waren. Nur dann ergibt sich die korrekte Formänderungsleistung bei Multiplikation mit den Spannungen. Die virtuelle Deformationsrate folgt dann
wieder entsprechend:
δ d̃ e (ξ, t) = B(ξ )δv e (t) .
(9.32)
Setzt man die Ansätze analog Kap. 5.3 in Gl. (9.29) ein, zieht den Vektor der virtuellen Geschwindigkeiten heraus und baut das Gesamtsystem über die Inzidenztabelle zusammen,
folgt das zeitabhängige Matrixgleichungssystem:
M a(X, t) + t (X, t) = f (X, t) .
(9.33)
Die drei wesentlichen Unterschiede zum linearen Fall in Gl. (5.16) bzw. Gl. (8.4) sind:
• Eine Steifigkeitsmatrix tritt nicht mehr auf. Stattdessen entsteht der Vektor der inneren
Knotenkräfte t (X, t):
Z
t (X, t) =
BT (ξ ) σ(X, v, t)dv .
v
(9.34)
172
9 Geometrische Nichtlinearität
Dieser Term repräsentiert die geometrische und physikalische Nichtlinearität, da einerseits die B-Matrix nichtlinear ist, wenn nichtlineare Verzerrungsmaße genutzt werden
(s. Rust [9, Kap. 2.3.4]), andererseits auch der Cauchy-Spannungstensor nicht mehr
linear von den Dehnungen abhängt, je nach Materialgesetz, s. Kap. 10.
• Die Integrale in den Matrizen und Vektoren sind über das aktuelle, zeitveränderliche
Volumen v auszuführen.
• Im Allgemeinen hängen auch die äußeren Lasten vom Verschiebungszustand ab,
d. h. f = f (x, t). Solche Randbedingungen werden als Folgelasten bezeichnet. Es
handelt sich um Lasten, die während der Deformation ihre Richtung wechseln, z. B. ein
Druck auf einer Oberfläche, s. Tab. 9.1. Ein Gegenbeispiel ist die Erdbeschleunigung,
die immer in dieselbe Richtung zeigt.
Die Massenmatrix hingegen unterscheidet sich nicht vom linearen Fall. Bei anderen Energieprinzipien verläuft die Diskretisierung analog. Für Details s. Wriggers [11, Kap. 4.2].
Literaturverzeichnis
[1] H. Altenbach. Kontinuumsmechanik. Springer Vieweg, Berlin, 3. Aufl., 2015.
[2] K.-J. Bathe. Finite element procedures. Prentice-Hall of India, New Delhi, 2007.
[3] T. Belytschko, W. K. Liu, und B. Moran. Nonlinear finite elements for continua and
structures. Wiley, Chichester, 2000.
[4] J. Bonet und R. D. Wood. Nonlinear continuum mechanics for finite element analysis.
Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2. Aufl., 2008.
[5] P. Haupt. Continuum mechanics and theory of materials. Springer-Verlag, Berlin
and New York, 2. Aufl., 2002.
[6] G. A. Holzapfel. Nonlinear solid mechanics. Wiley, Chichester, 2000.
[7] H. Parisch. Festkörper-Kontinuumsmechanik. B. G. Teubner, Stuttgart/Leipzig/Wiesbaden, 2003.
[8] M. Riemer, J. Wauer, und W. Wedig. Mathematische Methoden der Technischen
Mechanik. Springer Vieweg, Wiesbaden, 2. Aufl., 2015.
[9] W. Rust. Nichtlineare Finite-Elemente-Berechnungen. Springer Vieweg, Wiesbaden,
3. Aufl., 2016.
[10] K. Willner. Kontinuums- und Kontaktmechanik. Springer, Berlin, 2003.
[11] P. Wriggers. Nichtlineare Finite-Element-Methoden. Springer, Berlin, 2001.
Kapitel 10
Materielle Nichtlinearität
Neben den kinematischen Beziehungen und den Bilanzgleichungen ist die Beschreibung
des Zusammenhangs zwischen Verzerrungen und Spannungen zur numerischen Modellierung eines strukturmechanischen Problems notwendig. Dies wird als Materialmodellierung bezeichnet. Für technisch relevante Problemstellungen wird üblicherweise das
makroskopische Verhalten von Werkstoffen über Experimente beschrieben, man nennt
dies phänomenologische Materialbeschreibung. Die resultierenden Beziehungen werden
konstitutive Gleichungen, Stoff- oder Materialgesetze genannt. Dem gegenüber könnte man
auch auf atomarer Ebene das Verhalten beschreiben, diese Vorgehensweise entzieht sich
aber (bisher) einer praxisrelevanten Berechnung auf makroskopischer Ebene.
Bisher wurde von einer rein linearen Beziehung zwischen Spannungen und Dehnungen
in Form des Hooke’schen Gesetzes ausgegangen, s. Gl. (3.15). Viele Werkstoffe (wie Metalle, Kunststoffe etc.) zeigen dieses Verhalten allerdings nur für kleine Verzerrungen. Bei
größeren Verzerrungen wird das Verhalten materiell bzw. physikalisch nichtlinear. Dann
gilt ganz allgemein der nichtlineare Zusammenhang
σ = σ(ε(u), ε̇, T, t, . . .) .
Die Spannungen ergeben sich in diesem Fall als nichtlineare Funktion der Verzerrungen,
die wiederum nichtlinear von den Verschiebungen abhängen können, wenn geometrische
Nichtlinearität berücksichtigt werden muss. Außerdem kann das Materialverhalten von
vielen weiteren Parametern, wie der Deformationsrate bzw. Dehnrate ε̇, der Temperatur
T oder der Zeit t direkt abhängen.
Durch die Komplexität realen Materialverhaltens haben Materialmodelle für die numerische Behandlung i. d. R. ein eingeschränktes Anwendungsspektrum und sind auf spezielle Problemfelder zugeschnitten. Nach einer kurzen Übersicht wird deswegen in diesem
Kapitel exemplarisch eines der wichtigsten Materialmodelle für die Elastoplastizität näher
beschrieben, da sich damit große Bereiche technisch relevanter Werkstoffe charakterisieren lassen. Das Ziel ist, die wesentlichen physikalischen Effekte dieses Materialverhaltens
aufzuzeigen und wie diese in einem FE-Programm umgesetzt werden.
© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2017
M. Wagner, Lineare und nichtlineare FEM, DOI 10.1007/978-3-658-17866-6_10
173
174
10 Materielle Nichtlinearität
10.1 Übersicht über konstitutive Beziehungen
Das Werkstoffverhalten lässt sich grob in folgende Gruppen einteilen:
• elastisch: Dieses Verhalten ist dadurch charakterisiert, dass Be- und Entlastungspfad
identisch sind und die Anfangsform nach der Entlastung wieder eingenommen wird.
Man spricht von reversiblem bzw. konservativem Verhalten. Dies bedeutet, dass die
Formänderungsenergie vollständig zurückgewonnen werden kann, es wird keine Energie dissipiert. Bei Entlastung wird die Ausgangsform instantan, d. h. ohne Zeitverzögerung, wieder eingenommen. Das Werkstoffverhalten ist deswegen zeit- und geschichtsunabhängig: der Spannungszustand hängt nur von der aktuellen Verzerrung,
aber nicht vom Deformationspfad ab, auf dem diese erreicht wurde. Elastizität lässt
sich weiter unterteilen in:
– lineare Elastizität: Spannungen und Verzerrungen sind proportional über das Hooke’sche Gesetz mit der Elastizitätsmatrix Ce verbunden, s. Gl. (3.15), die nur konstante Koeffizienten enthält. Für kleine Verzerrungen zeigen viele Materialien linearelastisches Verhalten, wie Metalle und Kunststoffe.
– Hyperelastizität: Hier ist der Zusammenhang zwischen Spannungen und Verzerrungen eine nichtlineare Funktion, wobei sich der Spannungszustand über ein Potenzial
Ψ aus den Verzerrungen ermitteln lässt:
S=
∂Ψ
,
∂E
mit dem zweiten Piola-Kirchhoff-Spannungstensor S und den Green-LagrangeVerzerrungen E, s. Kap. 9. Da nach einer vollständigen Entlastung die Ausgangskonfiguration wieder eingenommen wird, werden die Materialgesetze häufig in materiellen Tensoren im Rahmen einer Totale-Lagrange-Formulierung nach Kap. 9.8.2
formuliert. Üblicherweise werden solche konstitutiven Gleichungen bei großen Verzerrungen notwendig. Beispiele sind Gummi, Schäume, Elastomere, Biomaterialien
(z. B. Arterienwände). Die anderen Eigenschaften der Elastizität (reversibel, pfadunabhängig und dissipationsfrei) bleiben erhalten. Bekannte Materialmodelle dieses
Typs sind nach Mooney-Rivlin oder Ogden benannt. Für Details s. de Souza Neto
et al. [3, 13.2] oder Wu und Gu [8, Kap. 9.3].
– Hypoelastizität: Existiert keine Potenzialfunktion, werden nichtlinear-elastische
Werkstoffe als hypoelastisch bezeichnet. Dann ist das Materialgesetz in differenzieller Form anzugeben:
dσ = C (σ, dε)
oder
σ̇ = C (σ, ε̇) .
(10.1)
Wegen der inkrementellen Definition werden räumliche Tensoren, hier die CauchySpannung σ und die Dehnrate ε̇ genutzt. Man spricht auch von einer Ratenform
(eng. rate = Geschwindigkeit, zeitliche Veränderung).
Da es sich um nichtlineare konstitutive Beziehungen handelt, hängt die zeitliche
Änderung der Spannungen vom aktuellen Spannungszustand ab. Um auf den Spannungszustand zu kommen, ist eine Zeitintegration entlang der Deformation notwendig. Man spricht deswegen von pfad- bzw. geschichtsabhängigen Materialgesetzen.
10.1 Übersicht über konstitutive Beziehungen
175
Hypoelastische Materialmodelle werden häufig für elastoplastische Modelle in FEProgrammen eingesetzt, da sich die Ratenform in Gl. (10.1) günstig mit plastischen
Modellen kombinieren lässt, die ebenfalls über Ratengleichungen formuliert werden.
Voraussetzung ist, dass die elastischen Verzerrungen klein gegenüber den plastischen
sind, s. Belytschko et al. [1, Kap. 5.3, S. 225].
• viskos: Hier zeigt sich ein zeit- und damit geschwindigkeitsabhängiges Verhalten der
Spannungen und Verzerrungen. Generell treten zwei zeitabhängige Effekte auf:
– Kriechen: Steht ein Bauteil unter einer über der Zeit konstanten Last, wachsen die
Dehnungen ständig weiter.
– Relaxation: Wird ein Werkstoff einer konstanten Verzerrung unterworfen, baut sich
die Spannung über die Zeit ab.
Viskoses Verhalten tritt u. a. bei Polymeren und generell bei Werkstoffen bei hohen
Temperaturen auf. Dieses Materialverhalten wird im Folgenden nicht weiter betrachtet,
hierzu sei auf Ottosen und Ristinmaa [5, Kap. 14] verwiesen. Von viskoelastischem
Verhalten spricht man, wenn der Werkstoff zunächst elastisch, d. h. ohne Zeitverzögerung, eine Dehnung und bei andauernder Belastung eine zeitabhängige Veränderung
der Dehnung beobachtet wird. Die Verformungen werden nach Entlastung wieder vollständig abgebaut, aber über einen längeren Zeitraum und nicht instantan, wie bei rein
elastischem Material.
• plastisch: Verbleiben nach einer Deformation und vollständiger Entlastung irreversible Verformungen, spricht man von plastischem Verhalten. Nach dem oben erwähnten
elastischen Bereich zeigen u. a. Metalle und Kunststoffe dieses Verhalten. In der Kombination spricht man von Elastoplastizität.
Hängen die Spannungen von der Verformungsgeschwindigkeit ab, ist das plastische
Verhalten zeit- bzw. dehnratenabhängig. Die Materialbeschreibung wird als Viskoplastizität oder dehnratenabhängige Plastizität bezeichnet. Beispiele sind Glas und
Werkstoffe bei hohen Temperaturen.
Im Folgenden wird von dem Sonderfall des dehnratenunabhängigen Verhaltens ausgegangen. Dann ist das Verhalten zeitunabhängig, allerdings ist es durch die Deformationsgeschichte bestimmt und deswegen pfadabhängig. Die Arbeit, die zur plastischem
Verformung notwendig ist, wird in Wärme umgewandelt, sodass sie dem System als
mechanische Energie verloren geht. Dies wird als dissipatives Verhalten bezeichnet.
Auf dieses Verhalten wird detailliert ab Kap. 10.2 eingegangen.
Darüber hinaus können Materialien richtungsabhängiges Verhalten aufweisen, das als
Anisotropie bezeichnet wird, s. auch Kap. 14.1.3.1. Diese Eigenschaft bezeichnet, dass
Werkstoffe unter verschiedenen Belastungsrichtungen unterschiedliche Reaktionskräfte
zeigen, s. Ottosen und Ristinmaa [5, Kap. 4.6]. Demgegenüber zeigt ein isotroper Werkstoff
in jede Richtung gleiches Verhalten. Ein Sonderfall ist die Quasi-Isotropie, bei der ein
Körper aus anisotropen Bestandteilen (i. d. R. Kristalle) aufgebaut ist, die regellos verteilt
sind, sodass sich makroskopisch ein richtungsunabhängiges Verhalten einstellt, z. B. ein
erstarrtes Metallgefüge. Beispiele für anisotropes Material sind Holz, gewalztes Blech, bei
dem durch den Walzprozess die zunächst regellos angeordneten Kristallite des erstarrten
Metallgefüges in eine Richtung orientiert werden und Faserverbundmaterialien, bei denen
das richtungsabhängige Verhalten gerade das Entwicklungsziel darstellt.
176
10 Materielle Nichtlinearität
Im Folgenden wird das elastoplastische Verhalten näher vorgestellt, da es sich um
einen sehr häufigen Anwendungsfall handelt. Dabei steht die Anwendung in der FEM im
Vordergrund. Als wesentliche Annahme sollen nur kleine Verzerrungen betrachtet werden.
10.2 Eindimensionales, zeitunabhängiges, elastoplastisches Verhalten
Im Zugversuch zeigt ein elastoplastisches Material schematisch ein Verhalten nach
Abb. 10.1. Im Bild ist die Nominalspannung über der Ingenieurdehnung (s. Kap. 9.7)
Abb. 10.1 Schematische
Darstellung des SpannungsDehnungs-Diagramms eines
Zugversuchs
σ
Einschnürung
Gleichmaßdehnung
Rm
2
σF0
σb∗
1
Verfestigung
E
5
Bruch
3 σF
Entlastungspfad
σa∗
ε∗
4
εp
εe
ε
Ag
Ab
aufgetragen, d. h. auf die Ausgangskonfiguration bezogene Größen. Durch die Annahme
kleiner Verzerrungen fällt die Nominalspannung mit der Cauchy-Spannung zusammen.
Deswegen wird, analog zu Kap. 3.2, hier das Symbol σ benutzt. Verfolgt man einen Belastungspfad, in Abb. 10.1 angedeutet durch die Pfeile, dann verformt sich die Probe zunächst
linear-elastisch (Pfad 1) mit dem Elastizitätsmodul E bis die initiale Fließspannung σF0
erreicht ist. Danach verformt sich der Werkstoff plastisch unter weiterer Zunahme der
Spannung. In diesem Bereich spricht man von Verfestigung des Werkstoffs (Pfad 2).
Entlastet man im plastischen Bereich, folgt die Spannung nicht demselben Pfad rückwärts, sondern einer Geraden, die den E-Modul als Steigung hat (Pfad 3). Der Werkstoff
reagiert wieder elastisch. Entsprechend geht die Dehnung um den Anteil ε e zurück, es
verbleibt aber eine irreversible, plastische Dehnung ε p bei vollständiger Entlastung.
Belastet man die Probe wieder, folgt die Spannung dem vorherigen Entlastungspfad 3 in
umgekehrte Richtung (Pfad 4), bis die aktuelle Fließspannung σF erreicht wird. Von hier
folgt die Kurve dann wieder der gleichen Funktion, die auch ohne Entlastung gemessen
worden wäre (Pfad 5). Durch die Verfestigung im Material hat sich der Fließbeginn zu
größeren Werten σF > σF0 verschoben. Plastisches Verhalten ergibt sich erst wieder bei
der aktuellen (zuletzt erreichten) Fließspannung σF .
Bei der Zugfestigkeit Rm endet der Bereich der Gleichmaßdehnung. Der zugehörige
verbleibende Dehnungswert wird mit Ag bezeichnet. Bis hierhin hat sich die gesamte Probe
in jedem Querschnitt gleich verformt. Bei weiterer Dehnung fällt die Nominalspannung
ab. Dies geht einher mit einer Einschnürung, also einer starken Flächenabnahme eines
einzelnen Querschnitts. Die gesamte Deformation findet nur noch in diesem Querschnitt
statt. Der Bruch tritt schließlich bei der Bruchdehnung Ab ein.
10.2 Eindimensionales, zeitunabhängiges, elastoplastisches Verhalten
177
Beim bisher Dargestellten handelt es sich um eine idealisierte Beschreibung, die dem
entspricht, was in der FEM für die Definition eines elastoplastischen Materialmodells
notwendig ist. Für Details zum Werkstoffverhalten s. Gobrecht [4, 13.1.2].
10.2.1 Mathematische Formulierung
Für den eindimensionalen Fall ist das elastoplastische Verhalten durch das SpannungsDehnungs-Diagramm im Prinzip beschrieben. Im Folgenden soll dies aber noch mathematisch formuliert werden, zur Vorbereitung des allgemeinen Falls, bei dem dieselben
Begriffe auftauchen werden.
Zur mathematischen Behandlung von Plastizität sind drei Bedingungen anzugeben:
• Die Fließbedingung legt in Abhängigkeit des Spannungszustandes fest, ob der Materialzustand elastisch oder plastisch ist.
• Die Fließregel gibt eine Evolutionsgleichung der plastischen Verzerrungen an.
• Das Verfestigungsgesetz ist ebenfalls eine Evolutionsgleichung, die die Veränderung
der Fließbedingung durch die Verfestigung des Materials beschreibt.
Bei Abb. 10.1 wurde bereits eine wesentliche Annahme getroffen, die bei kleinen
Verzerrungen zulässig ist: die additive Zerlegung der Gesamtdehnung ε. Sie lässt sich in
diesem Fall durch Summation der elastischen und plastischen Dehnungsanteile berechnen:
ε = εe + εp .
(10.2)
Elastoplastisches Verhalten ist pfadabhängig, da keine eindeutige Beziehung zwischen
den Spannungen und den Verzerrungen gegeben ist, s. Ottosen und Ristinmaa [5, Kap.
9.2, S. 221]. In Abb. 10.1 ist dazu die Dehnung ε ∗ eingezeichnet. Zu ihr existieren auf
dem eingezeichneten Pfad (1-2-3-4) zwei mögliche Spannungen σ a∗ oder σb∗ . Um auf den
aktuellen Spannungswert zu kommen, ist vielmehr der Deformationspfad, auf dem eine
Spannung erreicht wird, zu verfolgen. Dies gelingt, indem man die zeitliche Veränderung
der Größen betrachtet1. Für die Dehnrate gilt damit:
ε̇ = ε̇ e + ε̇ p .
(10.3)
Man spricht dann von einer inkrementellen oder Ratenform der Gleichungen. Sind große
Verzerrungen zu betrachten, ist eine multiplikative Zerlegung in den elastischen und plastischen Deformationsgradienten zu nutzen. Die Betrachtung wird dadurch wesentlich
schwieriger, s. Simo und Hughes [7, Kap. 9] und wird hier nicht weiter verfolgt.
In Abb. 10.1 erkennt man, dass man die Spannung im plastischen Bereich rein aus dem
elastischen Dehnungsanteil berechnen kann: σ = Eε e . Mit der additiven Aufteilung der
Dehnungen in Gl. (10.2) folgt als konstitutive Gleichung
σ = E(ε − ε p )
und nach Zeitableitung
σ̇ = E(ε̇ − ε̇ p ) .
(10.4)
1 Bei statischen Anwendungen ist dies ebenfalls notwendig. Hier hat die Zeit keine physikalische Bedeutung, sondern ist als Fortschrittsparameter zu verstehen, s. Kap. 10.4.
178
10 Materielle Nichtlinearität
Abb. 10.2 Beziehungen zum
bilinearen plastischen Materialmodell. Links wahre
Spannungen und Gesamtdehnungen ε, rechts die Fließkurve über den plastischen
Dehnungen
σ
σ
σ
E tm
σF0
H
εp
σ − σF0
Als Beispiel soll das allgemeine Verfestigungsverhalten in Abb. 10.1 durch ein häufig in
FE-Programmen genutztes, einfaches bilineares Modell ersetzt werden, s. Abb. 10.2. Dies
bedeutet, dass sich dem linear-elastischen Bereich ein plastischer Bereich anschließt, bei
dem ebenfalls eine Gerade die Spannungs-Dehnungs-Beziehung beschreibt. In Abb. 10.2
E
σF0
E
εp
ε
εp
εe =
σ
E
sind zwei Bezugssysteme dargestellt. Das linke Bild enthält auf der Abszisse die Gesamtdehnung, d. h. mit elastischem und plastischem Anteil. Die Steigung des ersten Teilasts
entspricht dem Elastizitätsmodul, die Steigung des zweiten Teils im plastischen Bereich
wird als Tangentenmodul E tm bezeichnet und beschreibt das Verfestigungsverhalten.
Die rechte Kurve in Abb. 10.2 wird als Fließkurve bezeichnet. Die Abszisse enthält
nur die plastische Dehnung ε p = ε − σ/E, der elastische Anteil wird über ε e = σ/E
herausgerechnet. Es ist zu beachten, dass dadurch auch die Steigung des zweiten Teilasts
eine andere ist als im linken Bild. Diese Steigung wird als plastischer Modul H bezeichnet.
Die Fließkurve beginnt direkt mit der initialen Fließspannung σF0 .
Die Steigungen in Abb. 10.2 sind nicht ihrer wahren Größe entsprechend gezeichnet.
Um einen Eindruck zu vermitteln, sind hier die Daten für einen Stahl mit E = 200 GPa,
σF0 = 500 MPa und einem weiteren Datenpunkt σF (ε = 1) = 1000 MPa gegeben: Der
elastische Anteil ergibt sich bei ε = 1 zu ε e = σF (ε = 1)/E = 0,005 und damit der
plastische Anteil zu ε p = ε − ε e = 0,995. Der plastische Modul folgt zu H = 502,51 MPa
und der Tangentenmodul zu E tm = 501,25 MPa. Da der elastische Anteil im Verhältnis
zum plastischen sehr klein ist, wird i. d. R. die Fließkurve genutzt.
Eine Erweiterung des bilinearen Modells für komplexeres Verfestigungsverhalten ist
möglich, indem man für den Verfestigungsbereich abschnittsweise lineare Stücke mit
unterschiedlichem plastischem Modul definiert. Das Materialmodell in Anh. B in Keyword B.10 ist so definiert.
10.2.1.1 Das isotrope Verfestigungsgesetz
Das Verfestigungsgesetz gibt an, wie sich die aktuelle Fließspannung σF entwickelt, wenn
plastische Deformation vorliegt. In diesem Beispiel wird angenommen, dass eine Veränderung der Fließspannung im Zugbereich den gleichen Effekt wie im Druckbereich hat.
Dies bedeutet, dass eine Probe, die zuerst in Zugrichtung plastisch deformiert und dann
entlastet wird, bei einer folgenden Belastung auf Druck nicht bei der initialen Fließspannung σF0 plastisch reagiert, sondern bei der zuletzt im Zugbereich erreichten aktuellen
Fließspannung, s. Abb. 10.3. Dies wird als isotrope Verfestigung bezeichnet. Die Fließ-
10.2 Eindimensionales, zeitunabhängiges, elastoplastisches Verhalten
179
σ
Abb. 10.3 Isotrope Verfestigung beim bilinearen elastoplastischen Materialmodell.
Grau markiert: Bereich zulässiger Spannungen
σF0
H
εp
−σF0
H
kurve kann am Nullpunkt in den Druckbereich negativer Spannungen gespiegelt werden.
Der Ursprung der Kurve verbleibt im Nullpunkt.
10.2.1.2 Die Fließbedingung
Aus den Erläuterungen zur Fließkurve in Abb. 10.2 kann man schlussfolgern, dass eine
mögliche Spannung entweder unterhalb der Fließkurve im elastischen Bereich oder direkt
darauf liegt, dann reagiert das Material plastisch. Dieser Sachverhalt ist wesentlich für
elastoplastisches Materialverhalten und wird für allgemeine Spannungszustände ebenfalls
gelten. Eine Spannung oberhalb der Fließkurve ist nicht möglich, da beim Erreichen
der Kurve das Material durch Verfestigung entlang der Fließkurve reagieren würde, wie
bei Abb. 10.1 erläutert. Um auch den negativen Wertebereich zu erfassen, da isotrope
Verfestigung nach Kap. 10.2.1.1 vorliegen soll, muss diese Bedingung für eine zulässige
Spannung unterschieden werden in:
σ ≤ +σF0 + Hε p
für
εp > 0
und
σ ≥ −σF0 + Hε p
für
ε p < 0 . (10.5)
An dieser Stelle wird für den Betrag der plastischen Dehnung eine allgemeine Variable
α = |ε p |
(10.6)
eingeführt, die als interner Verfestigungsparameter oder Geschichtsvariable bezeichnet
wird und größer oder gleich null sein soll. Der Betrag ist notwendig, um auch den negativen
Dehnungsbereich zu erfassen. Die aktuelle Fließspannung ergibt sich damit zu
σF (α) = σF0 + Hα .
Insgesamt lässt sich Gl. (10.5) zusammenfassen zu
|σ| ≤ σF (α) = σF0 + Hα .
Für den Verfestigungsparameter gilt per Definition α ≥ 0. Es wird auch angenommen,
dass H > 0 gilt. Dies legt fest, dass der Werkstoff nur verfestigen kann. Eine Entfestigung
kann mit diesem Modell so nicht betrachtet werden. Sortiert man noch um, folgt die
Fließbedingung f (σ, α):
f (σ, α) = |σ| − (σF0 + Hα) ≤ 0 .
(10.7)
180
10 Materielle Nichtlinearität
Ist f < 0 liegt ein elastischer Zustand vor, ist f = 0 reagiert das Material plastisch. Wie
bereits erwähnt ist f > 0 nicht möglich, da der Werkstoff durch Verfestigung entlang der
Fließkurve reagiert.
Die Fließbedingung legt somit einen Bereich zulässiger Spannungszustände fest (in
Abb. 10.3 grau) und liefert eine Aussage, ob ein Zustand elastisch oder plastisch ist.
10.2.1.3 Die Fließregel
Als Maß für das plastische Verhalten wurde die plastische Dehnung ε p eingeführt. Ist
f < 0, verändert sich die plastische Dehnung nicht, es gilt ε̇ p = 0. Eine Veränderung der
plastischen Dehnung ε̇ p , 0 kann nur bei plastischem Fließen mit der Bedingung f = 0
eintreten. Das plastische Dehnungsinkrement ist zunächst vorzeichenbehaftet, je nachdem
ob es sich um Zug- oder Druckspannungen handelt. Plastizität ist aber ein irreversibler
Vorgang, d. h. es wäre eine interne Variable wünschenswert, analog zum Verfestigungsparameter α in Gl. (10.6), die positiv ist und nur wachsen kann, um abzubilden wie viel
plastische Deformation eingeleitet wurde. Dazu wird im hier betrachteten Fall der Betrag
des plastischen Dehnungsinkrements eingeführt:
√
(10.8)
λ̇ = | ε̇ p | = ε̇ p ε̇ p ≥ 0 .
Diese Variable wird als plastischer Multiplikator bezeichnet. Damit lässt sich die Fließregel angeben, die die Veränderung der plastischen Dehnung beschreibt:
ε̇ p = λ̇ sgn(σ) .
(10.9)
Da λ̇ der Betrag des Inkrements ist, ist nur noch die Angabe des Vorzeichens notwendig
und dieses folgt mit der Signum-Funktion sgn(∗) aus dem Vorzeichen der Spannung. Die
Gleichung wurde ebenfalls über Zeitableitungen angegeben. Damit soll klar werden, dass
es sich dabei um eine Evolutionsgleichung in Form einer Differenzialgleichung 1. Ordnung
handelt, die die Entwicklung der plastischen Dehnung beschreibt.
10.2.1.4 Karush-Kuhn-Tucker-Bedingung
Zusammenfassend wird das elastoplastische Problem beschrieben durch die Fließbedingung, die Fließregel und die Verfestigungsregel. Der Fortschritt des plastischen Fließens
geht einher mit λ̇ > 0, wobei dies nur möglich ist, wenn f = 0 gilt. Tritt ein elastischer
Zustand auf, muss f < 0 gelten, dann folgt aber λ̇ = 0. Diese beiden Aussagen lassen sich
durch λ̇ f (σ, α) = 0 ausdrücken. Ist eine der Variablen ungleich null, muss die andere
null sein, sodass das Produkt immer null ist. Insgesamt lassen sich die Bedingungen für
dieses Materialmodell zusammenfassen zu:
f (σ, α) ≤ 0 ,
λ̇ ≥ 0 ,
λ̇ f (σ, α) = 0 .
(10.10)
Bedingungen in dieser Form treten in der Optimierung mit Randbedingungen auf und
werden als Karush-Kuhn-Tucker (KKT)-Bedingungen bezeichnet. Das elastoplastische
10.2 Eindimensionales, zeitunabhängiges, elastoplastisches Verhalten
181
Materialmodell entspricht damit einem Optimierungsproblem, s. Simo und Hughes [7,
Kap. 1.4.3]. Bei Parisch [6, Kap. 6.2.1] wird erläutert, dass sich das Optimierungsproblem
als das Prinzip vom Maximum der plastischen Dissipationsleistung darstellt, das postuliert,
dass sich bei gegebener Dehnrate derjenige Spannungs- und Verfestigungszustand einstellt,
der maximale plastische Leistung erzeugt. Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen ergeben
sich auch bei der Kontaktmodellierung, s. Kap. 11.1.1.
10.2.1.5 Belastungszustand und Konsistenzbedingung
Mit Gl. (10.10) lässt sich für f (σ, α) = 0 noch nicht entscheiden, ob λ̇ > 0 oder = 0 ist, da
in diesem Fall Gl. (10.10)3 immer erfüllt ist. Um den plastischen Multiplikator festzulegen,
ist zu ermitteln, ob eine weitere plastische Belastung oder elastische Entlastung vorliegt:
Bei einer Änderung der Dehnung und damit der Spannung, kann ein aktuell plastischer
Zustand mit f = 0 entweder plastisch bleiben (Belastung) oder in den elastischen Bereich
zurückfallen (Entlastung). Für die Unterscheidung dieser beiden Folgezustände ist noch
eine Bedingung zu formulieren, die als Konsistenzbedingung (consistency oder persistency
condition) bezeichnet wird. Die Konsistenzbedingung ist besonders wichtig, da damit die
Berechnung des plastischen Multiplikators λ̇ gelingt.
Eine Veränderung der Fließbedingung lässt sich formal durch die Ableitung f˙(σ, α)
angeben. Tritt weiterhin plastisches Fließen ein, muss f˙(σ, α) = 0 gelten, da nur dann die
Fließbedingung anhaltend erfüllt wird ( f (σ, α) = 0). In diesem Fall gilt dann auch λ̇ > 0.
Dies entspricht dem Belastungsfall. Im Entlastungsfall von einem plastischen Zustand
ist f˙(σ, α) < 0. Da der Folgezustand dann elastisch ist, gilt gleichzeitig λ̇ = 0. Auch
die Änderung f˙(σ, α) kann nur kleiner oder gleich null sein. Wäre f˙(σ, α) > 0 möglich,
könnte ein Folgezustand der Fließbedingung f (σ, α) > 0 resultieren, da das Inkrement die
Tangente an die Fließbedingung darstellt und damit in positive Richtung weisen würde,
s. Simo und Hughes [7, Abb. 2.2]. Fasst man wie oben die beiden Einzelbedingungen
zusammen, folgt als Konsistenzbedingung:
λ̇ f˙(σ, α) = 0 wenn
f (σ, α) = 0 .
(10.11)
Diese Bedingung drückt aus, dass für einen anhaltenden plastischen Zustand mit λ̇ >
0, der Spannungszustand permanent die Fließbedingung erfüllen muss: f˙(σ, α) = 02.
Zusammenfassend gilt für den Belastungszustand:
f <0
f =0
f =0
und
und
f˙ < 0
f˙ = 0
⇒
⇒
⇒
λ̇ = 0
λ̇ = 0
λ̇ > 0
→
→
→
elastisch
elastische Entlastung
plastisches Fließen .
(10.12)
Bisher unbekannt sind noch der plastische Multiplikator λ̇ und der Verfestigungsparameter
α. Zur Ermittlung wird die Konsistenzbedingung für den Fall λ̇ > 0 genutzt, da dann
f˙(σ, α) = 0 gelten muss. Dies stellt die fehlende Gleichung zur Bestimmung von λ̇ dar.
Bildet man das totale Differenzial der Fließbedingung aus Gl. (10.7), folgt
2 Der Sonderfall f (σ, α) = 0, f˙ (σ, α) = 0 und λ̇ = 0 ist in Gl. (10.11) ebenfalls enthalten und wird als
neutrale Belastung bezeichnet. Der Zustand bleibt plastisch, es tritt aber kein Fließen ein.
182
10 Materielle Nichtlinearität
∂f
∂f
f˙(σ, α) =
σ̇ +
α̇ = sgn(σ) σ̇ − H α̇ = 0 ,
∂σ
∂α
(10.13)
unter Beachtung der Ableitung der Betragsfunktion d(|∗|)/d(∗) = sgn(∗).
Aus der Definition von α = |ε p | in Gl. (10.6) und der Annahme, dass die Verfestigung in diesem Modell nur monoton wächst, kann man eine Evolutionsgleichung für die
Verfestigung definieren:
α̇ = sgn(ε p ) ε̇ p = | ε̇ p |
Gl. (10.8)
≡
λ̇ .
(10.14)
Setzt man dies, die Fließregel Gl. (10.9) und die differenzielle Form der SpannungsDehnungs-Beziehung aus Gl. (10.4) in Gl. (10.13) ein, folgt
f˙(σ, α) = sgn(σ)E(ε̇ − λ̇ sgn(σ)) − H λ̇ = sgn(σ)E ε̇ − E λ̇ − H λ̇ = 0 .
Zu beachten ist (sgn(∗)) 2 = 1. Auflösen nach dem plastischen Multiplikator liefert
λ̇ =
sgn(σ)E
ε̇
E+H
für
f = 0.
Diese Gleichung liefert den plastischen Multiplikator für den Fall, dass ein plastischer
Zustand vorliegt.
Einsetzen in die Fließregel Gl. (10.9),
ε̇ p =
E
sgn(σ)E
ε̇ sgn(σ) =
ε̇ ,
E+H
E+H
erlaubt es, die plastischen Dehnungen aus den totalen Dehnungen zu bestimmen. Dies
wiederum in die differenzielle Form der Spannungs-Dehnungs-Beziehung Gl. (10.4) eingesetzt, liefert
!
E2
EH
p
σ̇ = E(ε̇ − ε̇ ) = E −
ε̇ =
ε̇ = E tm ε̇ .
(10.15)
E+H
E+H
Mit dieser Gleichung kann die Entwicklung der Spannungen aus den totalen Dehnungen
ermittelt werden. Die Variable E tm ist der bei Abb. 10.2 eingeführte Tangentenmodul.
Der dritte Term zeigt, dass sich der Tangentenmodul aus dem elastischen Modul ergibt,
von dem ein plastischer Anteil abgezogen wird. Diese Form wird sich auch im allgemeinen Fall ergeben und stellt die Basis für eine numerische Berechnung des plastischen
Materialmodells dar.
Die Größen H und E tm lassen sich in diesem Beispiel noch anschaulich als Steigungen
der Geradenstücke im plastischen Bereich interpretieren. Aus Abb. 10.2 (rechts) kann
direkt eine Beziehung für den plastischen Modul abgelesen werden:
H=
σ − σF0
σ − σF0
=
.
p
ε
ε− σ
E
Der Tangentenmodul kann damit bestimmt werden zu (beachte Abb. 10.2 (links))
10.3 Mehrachsige dehnratenunabhängige Elastoplastizität
E tm =
σ − σ F0
εp + εe −
σF0
E
=
183
σ − σF0
σ−σF0
H
+
σ−σF0
E
=
EH
,
E+H
(10.16)
s. Simo und Hughes [7, Kap. 1.2.2.2, S. 12ff.]. Es folgt dasselbe Ergebnis wie in Gl. (10.15).
Für die spätere Verwendung soll noch auf einen weiteren Zusammenhang hingewiesen
werden. In der Fließregel Gl. (10.9) tritt die Signumfunktion sgn(σ) der aktuellen Spannung auf. Diese ist auch das Ergebnis der Ableitung der Fließbedingung in Gl. (10.7) nach
der Spannung, ∂ f /∂σ = sgn(σ), wie bereits in Gl. (10.13) genutzt. Damit lässt sich die
Fließregel formulieren als
∂f
ε̇ p = λ̇
.
∂σ
Dies entspricht formal der Herleitung des plastischen Dehnungsinkrements aus einer
Potenzialfunktion, s. Gl. (4.3) in Kap. 4.1.1, wobei das plastische Potenzial in diesem Fall
die Fließbedingung ist. Gilt eine Fließregel dieser Form, spricht man von assoziativer
Plastizität.
10.3 Mehrachsige dehnratenunabhängige Elastoplastizität
Im Folgenden wird die dehnratenunabhängige Elastoplastizität mit isotroper Verfestigung bei kleinen Verzerrungen auf den mehrachsigen Spannungszustand erweitert. Für
weiterführende Betrachtungen sei auf Simo und Hughes [7] oder de Souza Neto et al.
[3] verwiesen. Eine Darstellung für große Verzerrungen mit hypoelastisch-plastischem
Verhalten findet sich in Belytschko et al. [1, Kap. 5.6]. Eine solche Formulierung wird in
verschiedenen FE-Programmen bei Problemstellungen mit kleinen elastischen aber großen
plastischen Verzerrungen erfolgreich eingesetzt. Eine Anwendung ist die Metallplastizität,
s. Kap. 14.2.
Die beschreibenden Variablen sind die totalen Verzerrungen im Tensor ε, die plastischen Verzerrungen ε p und die Verfestigungsparameter α. Es wird wieder angenommen,
dass sich der Verzerrungstensor additiv in einen elastischen und einen plastischen Teil
aufspalten lässt
ε = ε e + ε p bzw. ε̇ = ε̇ e + ε̇ p .
(10.17)
Die Spannungen σ sind keine unabhängigen Variablen, sondern über ε und ε p bestimmt. Sie werden über die elastischen Verzerrungen definiert. Zur Vereinfachung wird
hier von linear-elastischem Verhalten ausgegangen, sodass gilt
σ = Ce : ε e = Ce : (ε − ε p )
bzw.
σ̇ = Ce : (ε̇ − ε̇ p ) .
(10.18)
Die rechte Gleichung gibt eine Ratenform an. Dies entspricht einem hypoelastischen
Materialgesetz, s. Gl. (10.1).
Zur Beschreibung des plastischen Fließens sind für beliebige Spannungszustände eine
Fließbedingung, eine Fließregel und ein Verfestigungsgesetz anzugeben.
184
10 Materielle Nichtlinearität
10.3.1 Die Fließbedingung
Im einachsigen Spannungszustand war plastisches Fließen durch Erreichen der initialen
Fließspannung σF0 und die Fließkurve charakterisiert. Bei mehrachsigen Spannungszuständen stellt sich nun die Frage, wie ermittelt wird, ob eine bestimmte Spannungskombination einen elastischen oder plastischen Zustand zur Folge hat. Dazu wird die Fließbedingung als skalare Funktion f (σ, α) definiert, die mathematisch beschreibt, ob ein Zustand
elastisch oder plastisch ist, s. Gl. (10.12). In der Variable α sind noch zu bestimmende
Parameter anzugeben, die das Verfestigungsverhalten beschreiben.
Bei der Definition einer Fließfunktion ist zu berücksichtigen, dass diese mit einem
realen Werkstoffverhalten kalibriert werden muss, das über Experimente zu bestimmen ist.
Der am weitesten verbreitete Versuch ist sicherlich der Zugversuch, weswegen die meisten
in kommerziellen FE-Programmen eingesetzten Materialmodelle über die Fließspannung
bzw. die Fließkurve aus dem Zugversuch kalibriert werden.
Zum Vergleich mit dem skalaren Wert aus dem Zugversuch werden über kontinuumsmechanische Annahmen zum Werkstoffverhalten Fließfunktionen definiert, die in der
Festigkeitslehre als Vergleichsspannungen σV bezeichnet werden. Die Annahme ist dann,
dass plastisches Fließen eintritt, wenn der Wert der Vergleichsspannung gleich der aktuellen Fließspannung σF (α) aus der Fließkurve ist. Die Fließbedingung lässt sich damit
angeben als
f (σ, α k, α) = σV (σ, α k ) − σF (α) ≤ 0 .
Hierbei ist bereits eine Spezialisierung erfolgt, da ein (tensorieller) Teil α k der Verfestigungsparameter in der Vergleichsspannung auftritt. Dieser Tensor beschreibt die kinematische Verfestigung, s. Abb. 10.10 und wird als Rückspannung (back-stress) bezeichnet.
Der skalare Parameter α in der aktuellen Fließspannung σF gibt die bereits bei Abb. 10.3
eingeführte isotrope Verfestigung wieder, s. auch Abb. 10.9.
Es gibt viele verschiedene Vergleichsspannungshypothesen, die plastisches Fließen bei
einem dreidimensionalen Spannungszustand modellieren. Im Folgenden wird die vonMises-Vergleichsspannung für das hier betrachtete isotrope, elastoplastische Verhalten
angegeben. Davor wird auf die prinzipielle Darstellung einer solchen Funktion eingegangen.
10.3.1.1 Haigh-Westergaard-Koordinaten
Die Fließbedingung ist geometrisch betrachtet eine Fläche im Spannungsraum, der durch
die Variablen, in diesem Fall dem Spannungstensor, aufgespannt wird. Deswegen wird sie
auch als Fließortfläche bezeichnet.
Eine grafische Darstellung ist nur möglich, wenn man den Spannungstensor in das
Hauptachsensystem transformiert, s. Abb. 10.4, da der Spannungstensor allgemein sechs
unabhängige Komponenten enthält. Die Koordinaten (σ1, σ2, σ3 ) dieses sog. Hauptspannungsraums werden auch als Haigh-Westergaard-Koordinaten bezeichnet, s. Ottosen und
Ristinmaa [5, Kap. 8.1, S. 150]. Neben den kartesischen Koordinaten ist für die Darstellung
ein Zylinderkoordinatensystem (z, r, θ) vorteilhaft, dessen z-Achse entlang der Raumdiagonale ausgerichtet ist, s. Abb. 10.4. Die Zylinderkoordinaten lassen sich mechanisch in-
10.3 Mehrachsige dehnratenunabhängige Elastoplastizität
Abb. 10.4 Darstellung
von Spannungszuständen
in Haigh-WestergaardKoordinaten, rechts normal
auf die deviatorische Ebene
185
hydrostatische z
Achse
deviatorische
Ebene
s σ
σ1
σ2
σ1
√
r = 2J2
θ
σm I
σ3
σ2
σ
s
σ3
terpretieren. Dazu wird die Definition des hydrostatischen Drucks p bzw. des mittleren
Drucks σm von Kap. 3.2.1 wiederholt: p = −σm = −1/3 I1 = −1/3 (σ1 + σ2 + σ3 ). Damit
folgt der Zusammenhang zwischen dem Cauchy-Spannungstensor σ und seinem Deviator
s (s. Kap. 3.2.1) zu
s = σ − σm I = σ + p I .
Die z-Koordinate der Zylinderkoordinaten zeigt entlang der Raumdiagonale, damit stellt
ein Punkt auf der Raumdiagonale
√ den hydrostatischen Spannungszustand dar. Der Abstand
vom Ursprung ergibt sich zu 3σm . Führt man eine auf der Raumdiagonale senkrecht
stehende Ebene ein und betrachtet die Spannungstensoren im Hauptachsensystem als
Vektoren, wird der in Abb. 10.4 (links) gezeigte Zusammenhang klar:
σ1   s1 
σ  =  s  + σ
m
 2   2 
 σ3   s 3 
1
1 .
 
1
Der Verbindungsvektor s in der Ebene entspricht den deviatorischen Spannungen. Deswegen wird sie als deviatorische Ebene bezeichnet, für den Spezialfall σm = 0 als π-Ebene.
Es zeigt sich daran auch, dass Deviator und hydrostatischer Druck senkrecht aufeinander
stehen, d. h. unabhängig voneinander sind. Der Abstand des Spannungspunkts von der
hydrostatischen Achse als zweiter Zylinderkoordinate r entspricht dem Betrag des Deviators√ | s| (als Vektor betrachtet). Dieser lässt sich mit der Invariante J2 ausdrücken als
| s| = 2J2 . Der Lode-Winkel θ ist die dritte Zylinderkoordinate und gibt die Winkellage
des Vektors s in der deviatorischen Ebene an, bezogen auf eine Projektion von σ1 auf die
deviatorische Ebene, s. Ottosen und Ristinmaa [5, Kap. 8.1, S. 152]. Diese Größe spielt
nur bei anisotropem Verhalten eine Rolle und wird hier nicht weiter betrachtet.
Betrachtet man den Spannungsraum in Richtung der Raumdiagonale, entsteht die Darstellung rechts in Abb. 10.4, die in Kap. 10.3.1.2 genutzt wird. Die kartesischen Hauptspannungsachsen haben in dieser Ansicht einen Winkel von 120° zueinander.
10.3.1.2 Die Gestaltänderungsenergiehypothese nach von Mises
Die am weitesten verbreitete Vergleichsspannungshypothese ist die Gestaltänderungsenergiehypothese nach von Mises, Huber und Hencky, die häufig als von-Mises-Vergleichsspannung bezeichnet wird. Sie zählt zu den wichtigsten Ausgabegrößen von FEProgrammen. Danach tritt plastisches Fließen ein, wenn die Gestaltänderungsenergie
einen kritischen Wert erreicht. Der Hypothese liegen die folgenden Annahmen zu Grunde.
186
10 Materielle Nichtlinearität
Für duktile Werkstoffe, wie Metalle, zeigen Experimente, dass der hydrostatische Zustand keinen Einfluss auf das Einsetzen des plastischen Fließens hat, d. h. ein beliebig hoher
Umgebungsdruck verändert das Fließverhalten nicht. Deswegen wird davon ausgegangen,
dass man eine Vergleichsspannung für solche Werkstoffe rein aus den deviatorischen
Spannungen s definieren kann
σV = σV ( s ) ,
da nur diese, wie bereits in Kap. 3.2.1 erläutert, Form- bzw. Gestaltänderungen verursachen. Dadurch erklärt sich der Name dieser Hypothese.
Weiterhin zeigen Experimente, dass eine Volumenänderung nur im elastischen Verzerrungsanteil erfolgt. Bei der plastischen Deformation wird von Volumenkonstanz ausgegangen (J p = 1 und ν = 0.5). Da eine Volumenänderung durch die erste Invariante, d. h. die
Spur des Verzerrungstensors, bestimmt ist, s. Gl. (3.5), muss gelten:
p
p
p
ε xx + ε yy + ε zz = 0 bzw.
p
p
p
ε̇ xx + ε̇ yy + ε̇ zz = 0 .
(10.19)
Bei der Fließregel in Kap. 10.3.2 wird gezeigt, dass diese Bedingung für die Gestaltänderungsenergiehypothese aus der Annahme folgt, dass der hydrostatische Zustand keinen
Einfluss auf den Fließbeginn hat.
Nimmt man weiterhin isotropes Verhalten an, ist der Fließbeginn richtungsunabhängig
und kann mit den Invarianten des Deviators dargestellt werden, s. Gl. (3.8). Die erste Invariante des Spannungsdeviators ist J1 = 0. Weiterhin ist in Abb. 10.4 die zweite Invariante
mit dem Abstand eines Spannungspunkts von der deviatorischen Achse assoziiert. Die
Invariante J3 hängt mit dem oben erwähnten Lode-Winkel zusammen und spielt wegen
der Annahme der Isotropie hier keine Rolle, sodass man für die Vergleichsspannung unter
diesen Annahmen weiter spezialisieren kann zu
σV = σV (J2 ) .
Die zweite Invariante ist im Hauptachsensystem definiert als
J2 =
1
1
s : s = (s21 + s22 + s23 ) .
2
2
Die Vergleichsspannung soll mit der Fließspannung im einachsigen Spannungszustand σF = σ1 kalibriert werden. Der Wert von J2 für den einachsigen Spannungszustand
berechnet sich zunächst mit
1
2
s 1 = σ1 − σ1 = σ1
3
3
zu
und
1
s 2 = s 3 = − σ1
3
p
1 2
σ1 ⇒ σ1 = 3J2 (σ1 ) .
3
Die Vergleichsspannung soll im einachsigen Spannungszustand σV = σ1 liefern, sodass
für die von-Mises-Vergleichsspannung in Abhängigkeit der zweiten Invariante folgt
r
r
p
3
1
σV = 3J2 =
s:s=
((σ1 − σ2 ) 2 + (σ2 − σ3 ) 2 + (σ3 − σ1 ) 2 ) .
2
2
J2 (σ1 ) =
10.3 Mehrachsige dehnratenunabhängige Elastoplastizität
187
Der letzte Ausdruck gibt die deviatorischen Spannungen in den Hauptspannungen wieder.
Da nur Differenzen auftreten zeigt sich auch hier, dass die Vergleichsspannung unabhängig
von einem herrschenden hydrostatischen Druck ist.
Die Fließbedingung nach der Gestaltänderungsenergiehypothese lautet damit
p
f (σ, α) = 3J2 − σF (α) ≤ 0 .
Wegen der Abhängigkeit von der zweiten Invariante spricht man auch von J2 -Plastizität.
Die Fließbedingung ist ein Zylinder um die hydrostatische Achse, s. Abb. 10.5.
Abb. 10.5 Fließbedingung
für von-Mises-Plastizität
hydrostatische
Achse
σ3
Fließortfläche
σ2
Fließortkurve
für σ3 = 0
σ1
Beim ebenen Spannungszustand (σ3 = 0), der bei Schalenelementen relevant ist, wird
ein Schnitt der Fließortfläche mit der Spannungsebene (σ1, σ2 ) betrachtet. Die dabei entstehende Kurve ist eine Ellipse und wird als Fließortkurve bezeichnet, s. Abb. 10.6. Neben
Abb. 10.6 Gestaltänderungsenergiehypothese (—) für den
ebenen Spannungszustand
σ2
σ2
σF0
ε2
σ1
der Fließortkurve im Hauptspannungsraum ist noch das Spannungs-Dehnungs-Diagramm
einer einachsigen Belastung eingezeichnet. Dies soll die in Abb. 10.6 farblich hervorgehobene Aussage der Fließbedingung nochmals verdeutlichen: Ein Spannungszustand
• innerhalb der Fließortkurve bedeutet elastisches Verhalten,
• auf der Fließortkurve erzeugt plastisches Verhalten,
• außerhalb ist nicht möglich, da das Material durch Veränderung der Fließortkurve
(Verfestigung, s. Kap. 10.3.3) reagiert.
Plastische Vergleichsdehnung
Um das mehrachsige Plastizitätsmodell mit der Fließkurve des einachsigen Zugversuchs
kalibrieren zu können, ist neben der oben definierten Vergleichsspannung, die die Ordinate der Fließkurve darstellt, auch eine einachsige plastische Vergleichsdehnung für die
Abszisse notwendig. Diese wird als plastische Vergleichsdehnung ε̄ p bezeichnet. Im eindimensionalen Beispiel in Kap. 10.2.1 entspricht die plastische Vergleichsdehnung ε̄ p = |ε p |
188
10 Materielle Nichtlinearität
in Gl. (10.6). Weiterhin sollen auch die Veränderungen der plastischen Dehnungen, d. h.
die Dehnraten, über eine skalare Größe beschrieben werden, analog Gl. (10.8). Dort wurde die Ableitung der plastischen Dehnung | ε̇ p | genutzt. Die einfachste Darstellung einer
solchen plastischen Vergleichsdehnungsrate ε̄˙p ergibt sich über
√
ε̄˙p = c ε̇ p : ε̇ p ,
da die doppelte Verjüngung aus allen Verzerrungskomponenten einen skalaren Wert berechnet. Der beliebige Faktor c wird über die Forderung ermittelt, dass ε̄˙p der Dehnrate im
Zugversuch entsprechen soll. Unter der Annahme von Volumenkonstanz und
q homogener
p
p
p
p
p
p
˙
Umformung (ε̇ = ε̇ = −1/2ε̇ ) gilt für den einachsigen Zustand ε̇ ≡ ε̄ = c 3/2 (ε̇ ) 2 .
2
3
1
1
1
Daraus folgt für den Faktor c = 2/3.
Die zeitliche Integration definiert dann die plastische Vergleichsdehnung als Verallgemeinerung von Gl. (10.6)
Z t
Z tr
2 p p
ε̄ p =
ε̄˙p dt =
ε̇ : ε̇ dt .
3
0
0
Diese Größe beschreibt die Deformationsgeschichte und ist immer größer oder gleich null.
Sie wächst immer, unabhängig davon, welche Richtung die tensoriellen Größen annehmen.
Sie gibt dabei keine Auskunft über den momentanen Verzerrungszustand, sondern über
die irreversible plastische Deformation und wird deshalb als Verfestigungsparameter in
Kap. 10.3.3 genutzt.
10.3.2 Die Fließregel
Mit der Fließregel wird festgelegt, wie sich die plastischen Verzerrungen entwickeln, sobald plastisches Fließen einsetzt. Dies geschieht allgemein über einen Tensor R. Ist die
Definition eines plastischen Potenzials Q möglich, können die plastischen Dehnungsinkremente daraus, durch Ableiten nach den Spannungen, berechnet werden:
ε̇ p = λ̇ R (σ, α) = λ̇
∂Q
.
∂σ
(10.20)
Der Gradient des plastischen Potenzials gibt im Spannungsraum eine Richtung der plastischen Dehnungen vor und wird als Fließvektor bezeichnet. Der Betrag wird durch die
Einführung des plastischen Multiplikators λ̇ festgelegt. Bei Gl. (10.20) handelt es sich
um eine Evolutionsgleichung, d. h. eine Differenzialgleichung, die die Entwicklung einer
Größe über der Zeit beschreibt. Im 1-D-Beispiel in Kap. 10.2 entspricht dies Gl. (10.9).
Ein besonders wichtiger Sonderfall ist die assoziative Plastizität. Dort setzt man für das
plastische Potenzial die Fließbedingung ein: Q = f (σ, α). Damit lässt sich das plastische
Inkrement als der Gradient der Fließortfläche interpretieren, s. Abb. 10.7. Für den Fall
der hier genutzten J2 - bzw. von-Mises-Fließbedingung als plastischem Potenzial spricht
man von Prandtl-Reuss-Plastizität, s. de Souza Neto et al. [3, Kap. 6.5.3]. Auswerten des
10.3 Mehrachsige dehnratenunabhängige Elastoplastizität
ε̇ p
Abb. 10.7 Darstellung der
assoziativen Fließregel bei J2 Plastizität. Links allgemeiner
Spannungszustand, rechts
ebener Spannungszustand
σ3 = 0
=
189
∂f
λ̇ ∂σ
σ1
σ2
σ
∂f
ε̇ p = λ̇ ∂σ
σ
f (σ, α)
σ2
σ3
allgemeiner Spannungszustand
σ1
σ3 = 0
Gradienten liefert3
ε̇ p = λ̇
∂f
= λ̇
∂σ
∂
q
3
2s
:s
∂σ
1
3 ∂s : s
3 s
= λ̇ q
= λ̇
.
2 ∂σ
2 σV
3
2 2s : s
In Abb. 10.7 ist links ein allgemeiner Spannungszustand in der deviatorischen π-Ebene
dargestellt. Die von-Mises-Fließbedingung stellt in dieser Ansicht einen Kreis dar, sodass
der Gradient radial nach außen zeigt. Rechts in der Abbildung ist der für die Berechnung
mit Schalenelementen wichtige Sonderfall des ebenen Spannungszustandes dargestellt.
Hier ist die Fließortkurve eine Ellipse. Der Gradient steht auch hier senkrecht auf der
Fließortkurve.
Aus dem Gradient der Fließbedingung kann man ablesen, dass für die Gültigkeit der
von-Mises-Plastizität
von
√ plastischer Volumenkonstanz ausgegangen werden muss, da
√
p
ε̇ ii = λ̇ 3 sii /σV = λ̇ 3 J1 /σV = 0 gelten muss, s. Gl. (3.8).
Wie bereits in Kap. 10.2.1.3 erläutert, gilt für den plastischen Multiplikator λ̇ ≥ 0, da
es sich bei Plastizität um einen irreversiblen Prozess handelt. Der Fall λ̇ = 0 tritt ein, wenn
keine plastische Deformation auftritt. In diesem Fall gilt für die Fließbedingung f < 0.
Umgekehrt ist bei plastischem Fließen f = 0 und λ̇ > 0. Diese Aussagen lassen sich in
den KKT-Bedingungen in Gl. (10.10) zusammenfassen, die allgemein analog gelten.
10.3.3 Das Verfestigungsgesetz
Verfestigung beschreibt, wie sich bei Belastung die Fließortfläche, d. h. die Fließbedingung, verändert. Allgemein lässt sich dies für den ebenen Spannungszustand wie in
Abb. 10.8 darstellen. Wie bereits erwähnt, wird für die FEM ein Kontinuumsmodell zur
Beschreibung des Verfestigungsverhaltens genutzt. Die atomaren Vorgänge, wie Gitterabgleitungen oder Fehlstellen bei Metallen, werden nicht direkt berücksichtigt. Vielmehr
werden diese Effekte über interne thermodynamische Größen, die als Geschichtsvariablen
bezeichnet werden, abgebildet. Im 1-D-Beispiel in Kap. 10.2.1.1 wurde lineare, isotrope
Verfestigung angenommen mit der Geschichtsvariable α, die in Gl. (10.6) als plastische
3 Die Ableitung der doppelten Verjüngung des Deviators nach den Cauchy-Spannungen ergibt
∂(sk l sk l )/∂σi j = 2si j . Die Nebendiagonalterme des Deviators entsprechen den Cauchy-Spannungen,
somit gilt z. B. ∂σx2 y /∂σx y = 2σx y = 2s x y . Für ein Hauptdiagonalelement erhält man nach längerer
Umformung das Gleiche.
190
10 Materielle Nichtlinearität
σ2
Abb. 10.8 Allgemeine anisotrope Verfestigung für den
ebenen Spannungszustand
nach Belastung
σ1
vor Belastung
Vergleichsdehnung ε̄ p identifiziert wurde. Um die Entwicklung der Verfestigung bei anhaltender plastischer Deformation zu beschreiben, wurde mit Gl. (10.14) eine Evolutionsgleichung für diese Geschichtsvariable eingeführt. In Gl. (10.14) ergab sich, dass die
zeitliche Entwicklung proportional zum plastischen Multiplikator ist.
Für den mehrachsigen Fall werden diese Zusammenhänge nun erweitert. Es können
beliebige Geschichtsvariablen definiert werden, die im Tensor α angeordnet werden. Die
Evolutionsgleichung kann völlig allgemein mit einem Tensor H definiert werden, oder
wenn davon ausgegangen wird, dass es ein plastisches Potenzial Q gibt, zu
α̇ = − λ̇ H (σ, α) = − λ̇
∂Q
.
∂α
(10.21)
Der Tensor H beschreibt die Entwicklung der Verfestigung in Abhängigkeit des Spannungszustandes und der Geschichtsvariablen. Der Proportionalitätsfaktor ist der plastische Multiplikator λ̇, wie im 1-D-Fall, s. Gl. (10.14).
Zwei einfache und häufig genutzte Verfestigungsmodelle sind die
• isotrope Verfestigung: Dieses Modell wurde in Kap. 10.2.1.1 bereits erläutert. Die
Fließortkurve bleibt fest im Raum, mit dem Zentrum im Nullpunkt, vergrößert sich
aber homogen in jede Richtung, s. Abb. 10.9 (links) für den ebenen Spannungszustand.
In Abb. 10.9 (rechts) ist noch eine einachsige zyklische Belastung zur Verdeutlichung
Abb. 10.9 Veränderung der
Fließortkurve und Auswirkung bei einachsiger zyklischer Belastung für isotrope
Verfestigung
σ2
σ̄
2
1
σF0
3
4
σ2
2
1
σ1
−σF0
3
4
ε
2σ̄
−σ̄
gezeigt. Belastet man eine Probe einachsig, folgt sie zunächst elastisch dem Pfad 1 bis
zur initialen Fließspannung σF0 . Bei weiterer Erhöhung der Belastung verfestigt der
Werkstoff entlang Pfad 2. Bei Entlastung bei σ̄ gehen die Spannungen entlang Pfad 3
zurück auf Null. Entscheidend ist nun die Wiederbelastung in den Druckbereich entlang
Pfad 4: Plastisches Fließen setzt erst bei Erreichen von −σ̄ ein und nicht bei −σF0 , da
sich die Fließortkurve isotrop aufgeweitet hat.
• kinematische Verfestigung: Hier bleibt die Fläche der Fließortkurve gleich, verändert
aber ihr Zentrum, s. Abb. 10.10. Für dieselbe zyklische Belastung wie in Abb. 10.9
verläuft der Pfad (1 → 2 → 3 ) zunächst identisch. Bei Wiederbelastung in den Druck-
10.3 Mehrachsige dehnratenunabhängige Elastoplastizität
Abb. 10.10 Veränderung der
Fließortkurve und Auswirkung bei einachsiger zyklischer Belastung für kinematische Verfestigung
191
σ2
σ̄
2
1
αk
σF0
3
4
σ2
σ1
2
1
4
2σF0
3
ε
−σF0
bereich entlang Pfad 4 kommt es im Falle der kinematischen Verfestigung bereits früher
zum plastischen Fließen und zwar bereits bei Spannungen die betragsmäßig kleiner als
die initiale Fließspannung σF0 sind. In der Abbildung ist auch der Rückspannungstensor
(back-stress-tensor, s. Kap. 10.3.1) α k für diesen einfachen Fall angedeutet.
Die kinematische Verfestigung beschreibt den Bauschinger-Effekt: Im Experiment beobachtet man, dass nach einer plastischen Deformation in eine Richtung (z. B. Zug an
einem Blechstreifen) und einer Richtungsumkehr (d. h. Druck auf den Blechstreifen),
die aktuelle Fließspannung bei einem niedrigeren Spannungsniveau erreicht wird, als
es die isotrope Verfestigung vorgeben würde. Er spielt u. a. in der Blechumformung in
Kap. 14 eine große Rolle, da hier u. U. mehrfach Richtungswechsel der Spannung beim
Umformvorgang auftreten.
10.3.4 Die Konsistenzbedingung und die Materialtangente
Zur Berechnung des plastischen Multiplikators ist für den allgemeinen Fall die Konsistenzbedingung aus Kap. 10.2.1.5 anzugeben. Wie dort erläutert, muss im Fall andauernder
Belastung, für den λ̇ > 0 gilt, die Änderung der Fließbedingung ebenfalls null sein, damit
plastisches Fließen anhält:
∂f
∂f
: σ̇ +
: α̇ = 0 .
f˙(σ, α) =
∂σ
∂α
Zunächst setzt man die Fließregel Gl. (10.20) in das elastische Materialgesetz Gl. (10.18)
ein
σ̇ = Ce : (ε̇ − ε̇ p ) = Ce : (ε̇ − λ̇ R) .
(10.22)
Damit kann das Spannungsinkrement zusammen mit der Verfestigungsregel Gl. (10.21) in
die Konsistenzbedingung eingesetzt werden:
∂f
∂f e
∂f
∂f
∂f
: C : ( ε̇ − λ̇ R) +
: α̇ =
: Ce : ε̇ − λ̇
: (Ce : R) − λ̇
:H=0.
∂σ
∂α
∂σ
∂σ
∂α
Man beachte, dass die Terme bei λ̇ skalare Werte ergeben, sodass umgeformt werden kann
zu
∂f
e
∂σ : C : ε̇
λ̇ = ∂ f
.
(10.23)
∂f
e
∂σ : (C : R) + ∂α : H
192
10 Materielle Nichtlinearität
Einsetzen in die konstitutive Gleichung in Gl. (10.22) ergibt einen Zusammenhang zwischen der Spannungsrate und der totalen Dehnungsrate:
∂f
(Ce : R) ⊗ Ce : ∂σ
*
+/ : ε̇ def.
e
e
σ̇ = C : (ε̇ − λ̇ R) = .C − ∂ f
= Cep : ε̇ für λ̇ > 0 , (10.24)
∂f
e
∂σ : (C : R) + ∂α : H ,
mit dem dyadischen Produkt ⊗, s. Tab. A.1. Die Größe Cep wird als elastoplastische
ep
Materialtangente bezeichnet und ist wie Ce ein Tensor 4. Stufe: Cep = Ci jkl . Der dritte
Term zeigt, wie Gl. (10.15), dass die Materialtangente aus der Elastizitätsmatrix besteht,
die um einen plastischen Anteil korrigiert wird. Die o. g. Gleichung gilt nur bei Belastung
( λ̇ > 0), für den elastischen Fall ( λ̇ = 0) fällt der zweite Term in der Klammer weg und es
gilt σ̇ = Ce : ε̇.
Die elastoplastische Materialtangente ist symmetrisch, wenn assoziative Plastizität zu
Grund gelegt werden kann, da dann R = ∂ f /∂σ gilt.
Eine Spezialisierung auf die J2 -Plastizität findet man bei Wu und Gu [8, Kap. 7.2.2]
oder de Souza Neto et al. [3, Kap. 7.3].
10.3.5 Berücksichtigung der Dehnratenabhängigkeit
Bisher wurde von zeitunabhängigem Materialverhalten ausgegangen. Dies bedeutet, dass
die Geschwindigkeit bzw. Rate der Änderung der Verzerrungen in der Fließbedingung,
der Fließ- und Verfestigungsregel keine Rolle spielt. In der Realität hängt das Materialverhalten im Allgemeinen auch von der Deformationsgeschwindigkeit ab. Man spricht
von Dehnratenabhängigkeit. Im Zugversuch führt eine Erhöhung der Dehnrate zu einer
Veränderung, z. B. einer Erhöhung, der gemessenen Fließkurve. In Abb. 10.11 ist dies
schematisch dargestellt.
Abb. 10.11 Schematische
Darstellung des Einflusses der
Dehnrate auf die Fließkurve
σ
ε̄˙ p ↑
σF ( ε̄ p, 0)
ε
Die Notwendigkeit einer Berücksichtigung in der Berechnung hängt von der Anwendung ab. In der Blechumformsimulation liegen die Dehnraten im Bereich 1 − 10 s−1 . Hier
wird der Einfluss i. d. R. vernachlässigt. In der Crashsimulation sind die Dehnraten einige
Größenordnungen höher, sodass der Effekt dort berücksichtigt werden muss.
Der Einfluss wird für die Nutzung in FE-Programmen experimentell mit geschwindigkeitsgeregelten Zugversuchen ermittelt. Die dehnratenabhängigen Fließkurven werden
entweder direkt eingelesen und fehlende Werte interpoliert oder es werden aus den Messdaten Parameter empirischer Formeln gewonnen, die den Dehnrateneffekt durch einen
Faktor in der quasistatischen Fließkurve σF (ε̄ p, ε̄˙p = 0) berücksichtigen. Siehe Wu und
10.4 Numerische Umsetzung der J2 -Plastizität
193
Gu [8, Kap. 7.1.5] für eine Übersicht. Als Beispiel wird ein häufig genutztes Modell nach
Cowper und Symonds [2] angegeben:
! 1/p 


ε̄˙p
p
p ˙p

˙
σF (ε̄ , ε̄ ) = σF (ε̄ , ε̄ = 0) 1 +
 ,
C


p
wobei die werkstoffabhängigen Parameter C und p aus Experimenten gewonnen werden müssen. Der von der Dehnrate abhängige Term in Klammern skaliert die aktuelle
Fließspannung σF (ε̄ p, ε̄˙p = 0), die bei einer Dehnrate ε̄˙p ≈ 0 ermittelt wurde.
10.4 Numerische Umsetzung der J2 -Plastizität
Eine analytische Lösung selbst einfacher elastoplastischer Problemstellungen ist nur für
wenige Fälle möglich. Deswegen müssen die eingeführten Gleichungen numerisch gelöst werden. Für die Anwendung eines Materialgesetzes in der FEM ist es deswegen
zunächst notwendig, sich mit den Verfahren zur Lösung für das diskrete Gleichungssystem in Gl. (9.33) zu beschäftigen. Diese werden in Kap. 12 und Kap. 13 ausführlich
diskutiert, vorab muss hier darauf zugegriffen werden. Prinzipiell ist eine Lösung zeitabhängiger expliziter Gleichungssysteme von der iterativen Lösung impliziter Gleichungen
zu unterscheiden. Beiden Verfahren ist gemeinsam, dass eine inkrementelle Lösung der
Gleichungen durchgeführt wird: Der Gleichgewichtszustand am Ende der Bewegung kann
nicht direkt ermittelt werden, sondern wird schrittweise bestimmt, indem mit Zeitschritten
∆t die Deformation an diskreten Zwischenzuständen berechnet wird. Dies gilt auch für
den statischen Fall. Da hier die Zeit keine Rolle spielt, ist sie als Zählindex zu verstehen,
der den Fortschritt einer Lösung widerspiegelt. Sie wird dann auch als Pseudo-Zeit bezeichnet. Die Aufgabe einer Materialroutine ist daraus abgeleitet, dass sie ausgehend von
einem bekannten Anfangspunkt t n den Materialzustand zu einem Zeitpunkt t n+1 liefern
muss. Für die beiden Lösungsverfahren gilt dabei:
• Bei der Nutzung eines expliziten Integrationsschemas ist nur die Berechnung des Vektors
innerer Reaktionskräfte in Gl. (9.34) notwendig, s. Kap. 13.3. Dies wird als Spannungsupdate bezeichnet. Schematisch lautet die Aufgabe den Spannungszustand σ n+1 für die
Berechnung von
t (x n+1 ) =
Z
BT σ n+1 (x)dv ≈
v
n3
n1 X
n2 X
X
B(ξi, η j , ζ k ) T σ n+1 (ξi, η j , ζ k ) wi w j wk
i=1 j=1 k=1
zu liefern. Weiterhin ist zu beachten, dass die Integrale numerisch über Quadraturverfahren aus Kap. 7.2 berechnet werden. Man erkennt daran, dass das Spannungsupdate
an einzelnen Integrationspunkten eines Elements aufgerufen wird. Prinzipiell besteht
ein FE-Programm damit aus einer globalen Schleife über die Elemente und einer lokalen
Schleife über die Integrationspunkte, in der jedes Mal die Materialroutine aufgerufen
wird. Deswegen ist eine möglichst effiziente numerische Umsetzung hier besonders
194
10 Materielle Nichtlinearität
wichtig. Die verfügbaren Verfahren sind sehr zahlreich, einen Überblick findet man in
Simo und Hughes [7] oder de Souza Neto et al. [3].
• Sind implizite Gleichungen zu lösen, erfolgt dies mit einem iterativen Verfahren, wie
dem Newton-Raphson-Verfahren (s. Kap. 12.1). Dazu ist die Anfangsverschiebungsmatrix in Gl. (12.5) zu bestimmen. Dafür ist die algorithmisch konsistente Materialtangente
anzugeben
∂σ n+1
ep
C̃ =
.
(10.25)
∂ε n+1
Sie ist die auf einen spezifischen Algorithmus angepasste Version der kontinuierlichen
Materialtangente in Gl. (10.24). Beim dynamisch-expliziten Zeitintegrationsverfahren
ist die Berechnung der Materialtangente nicht notwendig.
Im Folgenden soll das bekannteste Lösungsverfahren für das Spannungsupdate in der
isotropen Elastoplastizität vorgestellt werden, um einen Eindruck der Vorgehensweise zu
vermitteln.
Die Gleichungen des elastoplastischen Materialmodells werden hier nochmals zusammengefasst. Die Variablen sind die Spannung σ, die plastische Dehnung ε p sowie die
Geschichtsvariable α :
σ̇ = Ce : ( ε̇ − ε̇ p ) ,
ε̇ p = λ̇ R (σ, α) ,
α̇ = − λ̇ H (σ, α) ,
(10.26)
wobei die elastische Dehnung mit Gl. (10.17) eliminiert wurde. Weiterhin sind die KKTBedingungen einzuhalten:
f (σ, α) ≤ 0 ,
λ̇ ≥ 0 ,
λ̇ f (σ, α) = 0 .
Aus der globalen Schleife des FE-Programms wird der bekannte aktuelle Zustand zur Zeit
p
t n geliefert: σ n , ε n , α n . Weiterhin wird, z. B. im Newton-Raphson-Verfahren, aus dem
Verschiebungsinkrement des aktuellen Zeitschritts ∆t, das mit der Steifigkeitsmatrix des
bekannten Zustands berechnet wird, ein Verzerrungsinkrement ∆ε = ε n+1 − ε n an die
Materialroutine übergeben. Durch die Vorgabe des totalen Verzerrungsinkrements wird
der Deformationsprozess im aktuellen Inkrement ausgelöst. Mit diesen Größen ist der
p
neue Zustand σ n+1 , ε n+1 , α n+1 zu bestimmen.
Für die Integration der Differenzialgleichungen in Gl. (10.26) soll hier das üblichste
Verfahren in Form des impliziten Euler-Rückwärtsverfahrens genutzt werden4. Die Zeitableitung einer Größe wird dabei durch den Differenzenquotienten (s. Kap. 13.2) ersetzt.
Da Ableitungen auf jeder Seite stehen, kürzt sich der Zeitschritt heraus und die Ableitungen
sind nur durch die Differenz zu ersetzen:
∆σ = Ce : (∆ε − ∆ε p ) , ∆ε p = ∆λ R (σ n+1, α n+1 ) , ∆α = −∆λ H (σ n+1, α n+1 ) . (10.27)
An dieser Stelle leuchtet auch die Definition des plastischen Multiplikators λ̇ als Zeitableitung ein, was zunächst willkürlich war, da hier nun auch eine inkrementelle Größe
entsteht, die die diskrete Entwicklung des plastischen Fließens charakterisiert. Die diskre4 Für eine allgemeine Differenzialgleichung 1. Ordnung ẋ = g(x, t) gilt für das Euler-Rückwärtsverfahren
die Iterationsvorschrift x n+1 = x n + ∆tg(x n+1, t). Da auf der rechten Seite der Zustand in der Zukunft
eingesetzt werden muss, ist die Gleichung implizit, da nicht direkt auflösbar.
10.4 Numerische Umsetzung der J2 -Plastizität
195
ten KKT-Bedingungen sind
f (σ n+1, α n+1 ) ≤ 0 ,
∆λ ≥ 0 ,
∆λ f (σ n+1, α n+1 ) = 0 .
Der implizite Charakter der Gleichungen zeigt sich darin, dass alle Größen zum Zustand
t n+1 ausgewertet werden müssen.
Zur weiteren Lösung ist zu beachten, dass bei elastoplastischem Verhalten zwei prinzipiell unterschiedliche Zustände vorliegen können, nämlich elastisch oder plastisch, die durch
unterschiedliche Sätze von Gleichungen bestimmt werden, ausgedrückt durch die KKTUngleichungen. Für die Berücksichtigung dieser Unterscheidung hat sich ein PrädiktorKorrektor-Verfahren als Algorithmus zur Berechnung der plastischen Zustandsgrößen in
der Materialroutine eines FE-Programm etabliert, die radiale Rückprojektion (radialreturn-mapping oder auch closest-point-projection):
• Im ersten sog. Prädiktor-Schritt wird angenommen, dass der neue Zustand rein elastisch
ist, d. h. die plastischen Parameter werden als konstant angenommen, da ∆λ tr = 0 gilt
im elastischen Fall. Der Index (∗) tr steht für den Prädiktor-Schritt (trial = Versuch).
Aus Gl. (10.27) folgt damit
σ trn+1 = σ n + Ce : ∆ε ,
∆ε p = 0 ,
∆α = 0 .
Die Spannungen werden als Prädiktorspannungen (trial-stresses) σ trn+1 bezeichnet.
• Damit wird die Fließbedingung überprüft. Sie wird hier als Prädiktor-Fließbedingung
tr
tr , α ). Man beachte, dass von konstanten Geschichtsvariabezeichnet: f n+1
= f (σ n+1
n
blen ausgegangen wird.
tr ≤ 0 tritt entweder Entlastung ein oder der Zustand war und bleibt elastisch.
– Ist f n+1
In diesem Fall ist der Prädiktorzustand das gültige Ergebnis und die Berechnung
endet damit, dass die Prädiktorspannung als aktuelle Spannung übergeben wird:
σ n+1 = σ trn+1 . Die plastischen Variablen ändern in diesem Fall ihren Wert nicht:
p
p
ε n+1 = ε n , α n+1 = α n .
tr
– Für den unzulässigen Fall f n+1
> 0 reagiert das Material plastisch durch Verfestigung mit ∆λ > 0. Dann wird ein Korrektorschritt durchgeführt. Da die Prädiktorspannungen nicht zulässig sind, müssen sie durch Korrektorspannungen auf einen
gültigen Zustand f (σ n+1, α n+1 ) = 0 transformiert werden. Da sich durch die isotrope Verfestigung gleichzeitig die Fließbedingung, die plastischen Verzerrungen ε p
und die Geschichtsvariablen α ändern, ist dieses Gleichungssystem im Allgemeinen
iterativ zu lösen. Gleichung (10.23) kann zur Berechnung von ∆λ nicht genutzt
werden, da die Voraussetzung die Erfüllung der Fließbedingung ist, die ja gerade
verletzt wird durch die Prädiktorspannungen. Auch hier kommt häufig das NewtonRaphson-Verfahren zum Einsatz. Nach der Lösung wird der neue Zustand σ n+1 ,
p
ε n+1 , α n+1 an die aufrufende Routine übergeben.
Der Korrektorschritt der radialen Rückprojektion kann mit Gl. (10.23) geometrisch interpretiert werden, s. Abb. 10.12. Ausgehend vom gegebenen Zustand σ n , wird über den
elastischen Materialtensor der elastische Zuwachs Ce : ∆ε berechnet. Dies entspricht den
tr . Die Rückprojektion erfolgt formal über −∆λ Ce : ∂ fn+1 . Der
Prädiktorspannungen σ n+1
∂σ n+1
Index n +1 an der Fließbedingung f n+1 deutet auch hier an, dass dies nicht in einem Schritt
196
Abb. 10.12 Radial-returnmapping bei J2 -Plastizität mit
isotroper Verfestigung und
assoziativer Plastizität, dargestellt in der Deviatorebene
10 Materielle Nichtlinearität
σ1
σ trn+1
−∆λCe :
e
f (σ n+1, αn+1 )
C : ∆ε
∆σ σ n
∂ fn+1
∂σ n+1
σ n+1
σ2
f (σ n, αn )
σ3
erfolgen kann, da dazu die Kenntnis des Ergebnisses notwendig ist. An Abb. 10.12 erkennt
man, wie sich der Name des Verfahrens ableitet. Da bei assoziativer Plastizität der Fließvektor R dem Gradienten der Fließbedingung entspricht, steht dieser senkrecht auf der
Fließbedingung und damit in der Deviatorebene radial zum Ursprung. Die Rückprojektion
erfolgt also immer radial.
Es ist wesentlich zu erkennen, dass für die iterative Bestimmung der plastischen Variablen die Berechnung von Gradienten der Fließbedingung notwendig ist. Dies kann,
abhängig von der Fließbedingung, sehr aufwändig sein. Deswegen gibt es neben dem
radial-return-mapping noch eine Vielzahl weiterer Methoden, z. B. den Cutting-planeAlgorithmus bei dem die Berechnung der Gradienten der Fließbedingung vermieden wird.
Für Details s. de Souza Neto et al. [3, Kap. 7.2.7, S. 205].
Literaturverzeichnis
[1] T. Belytschko, W. K. Liu, und B. Moran. Nonlinear finite elements for continua and
structures. Wiley, Chichester, 2000.
[2] G. R. Cowper und P. S. Symonds. Strain-hardening and strain-rate effects in the impact
loading of cantilever beams. Tech. rep. 28, Div. of Appl. Mech., Brown Univ., 1957.
[3] E. A. de Souza Neto, D. Perić, und D. R. J. Owen. Computational methods for
plasticity. Wiley, Chichester, 2008.
[4] J. Gobrecht. Werkstofftechnik - Metalle. De Gruyter, München, 3. Aufl., 2009.
[5] N. S. Ottosen und M. Ristinmaa. The mechanics of constitutive modeling. Elsevier,
Amsterdam and London, 2005.
[6] H. Parisch. Festkörper-Kontinuumsmechanik. B. G. Teubner, Stuttgart/Leipzig/Wiesbaden, 2003.
[7] J. Simo und T. J. R. Hughes. Computational inelasticity. Springer, New York, 1998.
[8] S. R. Wu und L. Gu. Introduction to the explicit finite element method for nonlinear
transient dynamics. Wiley, Hoboken, N.J., 2012.
Kapitel 11
Kontaktmodellierung
Bisher wurde immer von einem zu berechnenden Körper ausgegangen. In den meisten
technisch relevanten Fragestellungen sind aber mehrere Bauteile enthalten, die miteinander
in Kontakt kommen. Für Festkörper gilt die Undurchdringlichkeitsbedingung, die das
wechselseitige Durchdringen der Körper verbietet. Diese Bedingung ist in einem FEModell zunächst nicht vorhanden, sodass sich zwei Körper einfach durchdringen würden.
Da dies nicht dem physikalischen Verhalten entspricht, müssen Kontaktmodelle in die
FEM eingefügt werden. Dabei können die Kontaktsituationen sehr unterschiedlich sein:
• Bauteile können durch Fügeverfahren (Schweißen, Kleben, Nieten, Schrauben etc.) fest
miteinander verbunden sein. Eine Trennung oder Relativbewegung ist ausgeschlossen.
Solche Kontakte werden häufig als Verbund-, Klebe-, Tied- oder Bonded-Kontakte
bezeichnet. Ein Verbundkontakt kann eingesetzt werden, wenn verschiedene Bauteile
einzeln vernetzt wurden, sodass die Knoten der Kontaktflächen nicht direkt übereinander liegen, s. Abb. 11.9. Eine wichtige Voraussetzung für den Einsatz besteht darin,
dass das lokale Verhalten im Kontaktbereich nicht von Interesse ist, da der Zustand dort
nicht genau abgebildet wird. Diese Kontaktsituation ist sehr häufig, weil die meisten
Vernetzer nur einzelne Volumina vernetzen können.
• Ebenso kann ein gleitender Kontakt auftreten, bei dem eine Relativbewegung von Bauteilen in Kontakt möglich ist. Eine Trennung ist aber ausgeschlossen. Das Abgleiten
kann mit oder ohne Reibung modelliert werden. Dieser Kontakttyp wird als „KeineTrennung“- oder Sliding-only-Kontakt bezeichnet. Er kann bei gekrümmten Kontaktflächen schnell zu unrealistischen Ergebnissen führen, da ein Ablösen senkrecht zur
Oberfläche nicht möglich ist und z. B. ein Abrollen damit nicht dargestellt werden kann.
• Der schwierigste Fall dürfte in dynamischen Problemen sich bewegender Körper auftreten. Hier können Körper, die zunächst getrennt sind, im Verlauf der Bewegung in
Kontakt kommen. Eine Durchdringung muss dann verhindert werden. Die Kontakte
können sich auch wieder öffnen. Neben der Berechnung von kinematischen und kinetischen Größen ist hier deshalb auch zu ermitteln, welche Bauteile an welchen Stellen
miteinander in Kontakt treten.
Einige Beispiele für das Anwendungsspektrum der Kontaktberechnung sind:
• Simulation von Herstellungsprozessen wie Blechumformung oder Schmieden,
• Kollisionsberechnung (Crash) von Fahrzeugen, Zügen, Flugzeugen, s. Abb. 11.1,
© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2017
M. Wagner, Lineare und nichtlineare FEM, DOI 10.1007/978-3-658-17866-6_11
197
198
11 Kontaktmodellierung
Abb. 11.1 Crashsimulation eines Fahrzeugs gegen eine starre Barriere. Benchmarkmodell von
http://www.topcrunch.org/
(abgerufen am 22.06.2017)
• Falltests von Gebrauchsgegenständen, z. B. Mobiltelefone,
• Verhalten von Gummidichtungen im Einbauzustand,
• medizintechnische Anwendungen, wie die Berechnung der Bewegung von Gelenken
und Prothesen oder des Auffaltvorgangs eines Stents.
Es soll hier keine theoretische Behandlung des mechanischen Kontaktproblems vorgestellt
werden. Hierzu sei auf die Literatur (Belytschko et al. [1, Kap. 10], Willner [3, Kap. 17,
S. 295 – 300 für einen Literaturüberblick], Wriggers [4], Wu und Gu [5]) verwiesen. Die
Behandlung von Kontaktproblemen gehört zu den schwierigsten Aufgaben in der FEM
und die Literatur ist sehr umfangreich. Gerade in diesem Bereich unterscheiden sich die
kommerziellen Programme – ihren Hauptanwendungen entsprechend – stark. Im Folgenden werden deshalb die wesentlichen Grundbegriffe eingeführt und Benutzungshinweise
für den Anwender eines kommerziellen Programms gegeben.
11.1 Grundlegende Begriffe
Mit Ausnahme weniger Fälle ist Kontakt eine stark nichtlineare Randbedingung, da sich der
Zustand von Feldgrößen, wie Normalgeschwindigkeiten und Kontaktspannungen t n , sehr
schnell ändern kann in Abhängigkeit des Abstands gn der Kontaktpartner. In Abb. 11.2 ist
schematisch der Verlauf der Kontaktspannung über dem Abstand gezeigt. So lange gn > 0
gilt, ist die Kontaktspannung null. Die Durchdringung der Körper wird durch Aufbau von
(negativen) Kontaktspannungen an den Oberflächen verhindert, sobald der Abstand null
ist. Diese Nichtlinearität verursacht die Schwierigkeiten bei der Kontaktmodellierung.
Abb. 11.2 Schematischer
Verlauf der Kontaktnormalspannung tn über dem Abstand
gn der Kontaktpartner. Durchdringung ist nicht möglich
tn
gn
0
Negative gn sind nicht möglich, da dies eine Durchdringung bedeuten würde.
Weiterhin ist die tatsächliche Kontaktfläche nicht von vornherein bekannt, sondern muss
während der Berechnung ständig neu bestimmt werden. Es handelt sich folglich nicht um
eine klassische Randbedingung wie bisher, da neben einer Feldgröße (Verschiebung oder
Kraft) auch noch die Kontaktflächen unbekannt sind und sich im Verlaufe einer Berechnung
11.1 Grundlegende Begriffe
199
verändern können. Deshalb sind immer inkrementelle Verfahren zur Lösung notwendig
(s. Kap. 12 und Kap. 13).
Neben der oben beschriebenen Kontaktsituation ist Kontakt nach der Modellierung der
Kontaktpartner zu unterscheiden in:
• Kontakt zwischen deformierbaren Körpern,
• Kontakt zwischen starren und deformierbaren Körpern ( z. B. in der Blechumformsimulation, s. Kap. 14). Der Starrkörper dient im Wesentlichen dazu, die Kontaktbedingung
prüfen zu können. Es werden aber keine Deformationen oder Spannungen berechnet,
• Kontakt zwischen reinen Starrkörpern. Dies ist für die FEM eigentlich nicht relevant,
kann aber bei Einsatz mehrerer Starrkörper in einem Modell vorkommen,
• Selbstkontakt eines Körpers bei sehr großen Deformationen, z. B. bei der Crashsimulation oder durch Faltenbildung in der Umformsimulation.
Als Beispiel für den dynamischen Kontakt ist in Abb. 11.3 die Deformation eines Profils
dargestellt, das durch einen Block komprimiert wird. Dieser Versuch wird in der CrashAbb. 11.3 Crashbox mit
starrem Block (blau) und deformierbarem Profil (gelb).
Links Ausgangszustand,
rechts deformiertes Profil.
Mit freundlicher Genehmigung der DYNAmore GmbH
simulation zum Simulationsabgleich eingesetzt. Der Block ist als Starrkörper modelliert
und tritt in Kontakt mit dem deformierbaren Profil. Dieses wird so stark deformiert, dass
neben dem starr-deformierbaren Kontakt auch Selbstkontakt durch Faltenbildung auftritt.
11.1.1 Bedingung für Normalkontakt
Im Folgenden werden immer zwei Körper betrachtet, es lassen sich aber alle Angaben auf
beliebig viele Körper erweitern. Die hier verwendeten Bedingungen für die mechanische
Beschreibung von Kontakt sind:
• die Undurchdringlichkeitsbedingung,
• keine Adhäsion, d. h. es werden nur Druckkräfte in Normalenrichtung übertragen,
• tangentiale Kräfte werden mit dem Coulomb’schen Reibgesetz bestimmt.
Die genannten Bedingungen sind zunächst mathematisch zu formulieren und in das Energieprinzip einzubringen, das dann mit der FEM diskretisiert wird. Die kinematischen
Zusammenhänge sind in Abb. 11.4 schematisch dargestellt. Zwei Körper V1 und V2 sind
in der Referenzkonfiguration zunächst nicht in Kontakt. Durch die Deformation kommen
sie in der dargestellten Momentankonfiguration entlang der Kontaktzone Ac in Berührung.
Üblicherweise werden die Oberflächen der Kontaktpartner als Master-Seite und SlaveSeite bezeichnet. Die Zuordnung ist zunächst willkürlich, erleichtert aber im Folgenden
200
11 Kontaktmodellierung
Abb. 11.4 Kinematik zweier
Körper im Kontakt in der
Momentankonfiguration
V1
gn
Ac
x (1)
=
x (2)
x (1)
n (1)
V2
y
x
x (2)
n (1)
χ
x (2) − x (1)
n (2)
die Darstellung. Für beide Körper werden die nach außen weisenden Normalen eingeführt,
wobei auf Ac gilt: n (1) = −n (2) . Wählt man die Normale des Körpers V1 als maßgebend,
lässt sich die Undurchdringlichkeitsbedingung mit dem Abstand gn formulieren als
gn = (x (2) − x (1) ) T n (1) .
Die Verhältnisse sind in Abb. 11.4 in einem Detail kurz vor dem Kontakt gezeichnet, mit
den Punkten x (1) und x (2) , die in Kontakt kommen sollen. Die Funktion gn stellt eine
orthogonale Projektion des Differenzvektors x (2) − x (1) auf den Normalenvektor n (1) dar.
Der Wert dieser Funktion gibt den minimalen Abstand in der Momentankonfiguration in
Normalenrichtung der zwei Körper an. Damit kann gn drei Zustände annehmen:
gn = (x
(2)
−x
(1) T (1)
) n


> 0 =⇒ kein Kontakt, es besteht ein Abstand,



 = 0 =⇒ idealer Kontakt,



 < 0 =⇒ unzulässige Durchdringung/Eindringung.

(11.1)
In Gl. (11.1) wurde auch der physikalisch nicht mögliche Fall der Durchdringung mit
aufgenommen, da diese numerisch durchaus auftreten, s. Kap. 11.3. Gleichung (11.1) kann
am besten interpretiert werden, wenn man das Skalarprodukt über die Beträge und den
eingeschlossenen Winkel χ ausdrückt: gn = |n (1) || x (2) − x (1) | cos( χ). Da |n (1) | = 1 und
| x (2) − x (1) | ≥ 0, hängt das Vorzeichen vom eingeschlossenen Winkel ab. Für −90° < χ <
90° ist cos χ > 0 und der rote Rand liegt rechts vom blauen in Abb. 11.4, da die auf n (1)
projizierten Komponenten von x (2) − x (1) in die gleiche Richtung zeigen wie n (1) . Bei
einem Winkel 90° < χ < 180° liegt er links davon, da cos χ < 0. Letzterer Fall entspricht
einer Durchdringung. Die Kontaktbedingung in Normalenrichtung in Gl. (11.1) ist eine
Kontaktungleichung. Diese ist bei der Diskretisierung geeignet zu berücksichtigen.
Auf dem Kontaktrand wirken Kontaktspannungen t (α) auf die beiden Körper Vα mit
α = 1, 2. Es muss gelten: t (1) (x) + t (2) (x) = 0 für x ∈ Ac . Die Kontaktspannung lässt sich
in einen normalen und einen tangentialen Anteil aufspalten, s. auch Abb. 3.3:
t (α) = t n(α) + t t(α) = t n(α) n (α) + t t(α) .
Nach den Voraussetzungen können in Normalenrichtung nur Druckspannungen übertragen
werden, die nach Konvention negativ sind. Ist kein Kontakt vorhanden, wirkt auch keine
Kontaktspannung. Für die Normalenrichtung bedeutet dies:
t n(α) = 0 wenn gn > 0 und t n(α) ≤ 0 wenn gn = 0 .
11.1 Grundlegende Begriffe
201
Die Bedingungen für den Kontaktabstand und die Kontaktnormalspannung lassen sich
noch zusammenfassen:
gn ≥ 0 und t n(α) ≤ 0 und
gn t n(α) = 0 .
(11.2)
Dies entspricht den Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen, s. Wriggers [4, Kap. 5.1, S. 71],
analog der Definition der Elastoplastizität in Kap. 10.2. Die Kontaktbedingung in Gl. (11.2)
führt eine Nebenbedingung als Ungleichung ein, wodurch das bisherige Finden eines
Minimums in der FEM in eine Optimierung mit Nebenbedingungen überführt wird, die
deutlich schwieriger zu behandeln ist. Durch die Kontaktformulierungen in Kap. 11.3 wird
die Nebenbedingung in das Gesamtpotenzial des Systems mit aufgenommen und damit
in eine Optimierung ohne Nebenbedingungen überführt. Man spricht in diesem Fall auch
von einer Regularisierung.
11.1.2 Behandlung von tangentialem Gleiten
Bisher wurde nur die Normalbewegung betrachtet. Treten tangentiale Bewegungen auf,
werden im Kontakt Reibkräfte bzw. tangentiale Schubspannungen t t erzeugt, die der eingeprägten tangentialen Bewegung immer entgegengerichtet sind. Zunächst ist zu entscheiden,
ob Reibungseinflüsse berücksichtigt werden sollen. Physikalisch tritt immer Reibung auf,
aber man kann diesen Effekt zur Vereinfachung in der FEM vernachlässigen. Wird Reibung
berücksichtigt, stellt sich die Frage nach der Modellierung in der FEM. Die tribologischen
Verhältnisse und die Oberflächenbeschaffenheit sind lokal veränderliche Effekte, die sehr
schwer zu erfassen sind. Neben der Menge und Beschaffenheit eines Schmiermittels, hängt
die Reibkraft von der herrschenden Normalspannung t n , der Temperatur T und v. a. der
relativen Geschwindigkeit vrel ab. Prinzipiell kann unterschieden werden zwischen:
Festkörperreibung: Die Kontaktpartner berühren sich direkt, dies führt zu Verschleiß.
Mischreibung: Ein Zwischenzustand, bei dem sich die Kontaktpartner partiell berühren, aber auch bereits ein Schmiermittelfilm vorliegt. In der in Kap. 14 behandelten
Blechumformung liegen z. B. meist Mischreibungszustände vor.
Flüssigkeitsreibung: Zwischen den Kontaktpartnern befindet sich ein Film Schmiermittel, sodass diese vollständig getrennt sind.
In FE-Programmen ist i. d. R. das Coulomb’sche Reibgesetz umgesetzt, das aus zwei Teilen
besteht: Solange die tangentialen äußeren Kräfte bzw. Schubspannungen unter einer Grenze t tmax bleiben, findet keine Relativbewegung der Kontaktpartner statt: vrel = v1t − v2t = 0.
Die Körper haften. Die maximal mögliche Schubspannung für Haften ist proportional zur
Normalspannung, mit dem Haftreibungskoeffizienten µs . Insgesamt ergibt sich die Haftbedingung (stick-condition) zu:
|t t | ≤ µs |t n |
⇒
vrel = 0 .
(11.3)
Die Richtung der Schubspannung ergibt sich aus Gleichgewichtsbetrachtungen und ist
immer so gerichtet, dass eine Bewegung verhindert wird. Bei Überschreitung der maximalen Schubspannung für Haften setzt Gleiten ein. Die Schubspannung ist nun direkt
202
11 Kontaktmodellierung
proportional zur Normalspannung über den Gleitreibungskoeffizienten µd und immer der
Bewegung, d. h. der Richtung der Relativgeschwindigkeit, entgegengerichtet:
t t = −µd |t n |
vrel
.
|vrel |
(11.4)
Wesentlich ist, dass der Haftreibungskoeffizient µs größer als der Gleitreibungskoeffizient µd ist, s. Abb. 11.5. Dies bedeutet, dass die Kraft zum Einleiten des Gleitens größer
µ
µs
Abb. 11.5 Verlauf des Reibungskoeffizienten über der
tangentialen Relativgeschwindigkeit: Coulomb’sches Reibgesetz (—) und exponentiell
geglätteter Verlauf (—)
µd
0
|v rel |
ist als die Kraft, die notwendig ist, um das Gleiten aufrecht zu erhalten. Dadurch kommt
es zu einem abrupten Abfall der Schubspannung beim Übergang von Haften zu Gleiten. Um diesen unstetigen Verlauf zu regularisieren, werden in FE-Programmen häufig
Übergangsfunktionen eingeführt, z. B. als exponentielle Glättung (s. Abb. 11.5):
µ = µd + (µs − µd ) exp−dc |vrel | ,
wobei d c eine Abklingkonstante ist, die festlegt, wie schnell die Funktion abfällt.
Generell sind im Coulomb’schen Modell weder die Normal- noch die Tangentialspannungen begrenzt. In Realität sind aber nur Spannungen bis zur Fließschubspannung
übertragbar. Dies kann üblicherweise in den Reibmodellen ebenfalls durch Vorgabe dieser
Grenzwerte berücksichtigt werden.
Das Coulomb’sche Reibgesetz bringt über Gl. (11.3) eine Unstetigkeit der tangentialen
Geschwindigkeit in die Beschreibung ein. Wechselt ein Punkt von Gleiten auf Haften wird
dadurch die Geschwindigkeit vrel schlagartig auf null abgesenkt. Dies erzeugt in der numerischen Lösung des Kontaktproblems große Schwierigkeiten. In expliziten Berechnungen
führt dies zu Kontaktrauschen und in impliziten Berechnungen können Konvergenzprobleme auftreten.
Tritt Gleiten auf, leisten die Tangentialspannungen irreversible Dissipationsarbeit, die
dem System entzogen wird (häufig sliding energy oder surface energy in FE-Programmen).
Es sollte am Ende einer Rechnung immer kontrolliert werden, ob dies in sinnvollen Grenzen
geschehen ist.
11.2 Verfahren zur Kontaktdetektion
In diesem Kapitel werden die gängigen Verfahren vorgestellt, um festzustellen, ob und wo
es einen Kontakt gibt. Da die Kontaktbehandlung auf dem Abprüfen einer geometrischen
Bedingung zwischen der Master- und Slave-Seite (s. Beschreibung zu Abb. 11.4) beruht,
11.2 Verfahren zur Kontaktdetektion
203
ist es von besonderer Bedeutung, wie die Geometrie des FE-Modells für die Durchdringungsprüfung abgebildet wird. Folgende Möglichkeiten stehen zur Verfügung:
Geometrische Regelflächen: Regelkörper wie Zylinder, Würfel etc. sind über analytische Funktionen einfach zu beschreiben. Allerdings ist die Anwendung auf wenige
Spezialfälle eingeschränkt.
Nutzung des Geometriemodells aus dem CAD: Die Geometrie in einem CAD-System
wird über Splines o. Ä. beschrieben. Bisher werden diese Geometriebeschreibungen
nicht genutzt, da die Durchdringungsprüfung sehr rechenintensiv und kompliziert ist.
Eine aktuelle Entwicklung sind isogeometrische Kontakte (s. isogeometrisches Konzept
in Kap. 6.2), bei denen die Flächenbeschreibung des CAD-Modells genutzt wird.
Diskretisiertes Geometriemodell: Die Standardvorgehensweise ist die Nutzung des isoparametrischen Konzepts aus Kap. 6.2. Mit den Knoten der Diskretisierung und den gewählten Ansatzfunktionen wird für die Kontaktfläche eine segmentweise geometrische
Beschreibung gewonnen, s. Abb. 11.6, die als Kontaktsegmente oder Kontaktelemente
Abb. 11.6 Geometrische
Abbildung der Kontaktfläche (—, hier B-Spline) über
isoparametrische lineare Kontaktsegmente
B-Spline Geometrie
OberflächenSegment eines
FE-Knoten finiten Elements
bezeichnet werden. Bei einem linearen Ansatz handelt es sich um Liniensegmente im
2-D oder um bilineare Oberflächensegmente im 3-D, wobei auch höherwertige Ansätze
eingesetzt werden.
Allgemein spricht man bei diskretisierten Kontaktflächen von Master- bzw. Slave-Knoten
und -Segmenten, die die Kontaktzone Ac beschreiben, entsprechend der Unterscheidung
in Kap. 11.1.1. Für die Kontaktdetektion werden verschiedene Verfahren unterschieden:
Knoten-zu-Knoten-Kontakt: Der Kontakt wird hergestellt, indem jeweils Knoten von
Master- und Slave-Seite über Kontaktelemente verbunden werden. Diese Elemente sind
aktiv und übertragen Kontaktkräfte, wenn der Kontakt geschlossen ist oder inaktiv, wenn
die Kontaktbedingung nicht erfüllt ist. Es sind auch kleine tangentiale Bewegungen
zulässig. Diese Vorgehensweise ist nur einsetzbar, wenn die Netze konform aufgebaut
sind. Weiterhin sind nur kleine tangentiale Bewegungen mit einem solchen Kontakt
möglich. Der wesentliche Vorteil ist die einfache Programmierbarkeit. Diese Methode
wird allerdings in modernen Kontaktalgorithmen nicht mehr eingesetzt.
Knoten-zu-Segment-Kontakt: Die verbreitetste Methode ist das Prüfen der Knoten einer
Seite auf den Kontakt mit einem Segment der anderen Seite. Durch diese Vorgehensweise sind die Begriffe Slave- und Master-Seite einfach zu verstehen, da die zu prüfenden
Knoten zur Slave-Seite gehören und die Kontaktsegmente als Master-Seite bezeichnet
werden. Die Kontaktbedingung Gl. (11.1) wird überprüft, indem geometrisch berechnet wird, auf welcher Seite eines Segments die Knoten der Slave-Seite liegen. Diese
Methode kann für große Deformationen und alle Kontaktsituationen eingesetzt werden.
Nachteilig ist, dass bei dieser Vorgehensweise Einzelkräfte auf der Master-Seite aufgebracht werden, die als äquivalenten Knotenkräfte auf die Knoten verteilt werden.
204
11 Kontaktmodellierung
Dadurch wird die reale Verteilung von Kontaktspannungen nicht gut abgebildet (besonders bei Segmenten mit höheren Ansatzfunktionen, s. Rust [2, Kap. 10.1 – 2]).
Segment-zu-Segment-Kontakt: Bei dieser Methode werden nicht Knoten, sondern die
Segmente der Slave-Seite genutzt, um eine Durchdringung mit der Master-Seite zu bestimmen. Der Berechnungsaufwand ist deutlich höher, aber die Abbildung der Kontaktbedingung wird stark verbessert. Dies gilt vor allem für Sonderfälle, wie den Kontakt
von Körpern mit stark unterschiedlicher Dichte (z. B. Stahl und geschäumte Bauteile
bei Crashsimulationen). Ein Kontakt muss auch nicht flächig erfolgen, sondern kann
z. B. auch zwischen Kanten von Elementen auftreten. Durch einen knotenbasierten
Ansatz wären solche Fälle nicht zu erkennen.
Mortar-Kontakt: Dieser Kontakttyp ist ein spezieller Segment-zu-Segment-Kontakt, der
bei unterschiedlicher Diskretisierung der Kontaktpartner (s. Abb. 11.7) genutzt werden
Abb. 11.7 Nicht-konforme
Vernetzung von Kontaktpartnern und Segmentierung eines
Mortar-Kontakts
Slave-Seite
Mortar-Segmente
Master-Seite
kann, um glattere Verläufe der Kontaktgrößen zu erzeugen. Mortar (Mörtel) -Kontakte
sind deswegen besonders für implizite Berechnungen geeignet. Die Theorie zu diesem Verfahren ist wenig anschaulich und soll hier nur angedeutet werden, für Details
s. Wriggers [4, Kap. 8.4.2 und 9.5]. In Abb. 11.7 sind zwei nicht-konform diskretisierte
Kontaktpartner dargestellt, deren Oberflächen gekrümmt sind. Beim Gleiten von Segmenten aufeinander kommt es bei einem Knoten-zu-Segment-Kontakt zu unstetigen
Veränderungen der Kontaktgrößen (Normalen, Kontaktkräfte, Geschwindigkeiten), da
die Normalenrichtungen wechseln. Dies kann v. a. in impliziten Berechnungen zu Konvergenzschwierigkeiten führen. Der Mortar-Kontakt verringert dieses Problem, indem
durch Mittelung der Normalen von Master- und Slave-Seite aus den nicht-konformen
Kontaktsegmenten eine Zwischenschicht aus Mortar-Kontaktelementen erzeugt wird.
Anders als beim Knoten-zu-Segment-Kontakt werden auf diesen Mortar-Elementen
die Diskretisierung und Berechnung der virtuellen Arbeitsintegrale der Kontaktzone
ausgeführt, sodass energetisch konsistente Kontaktspannungen berechnet werden. Der
Berechnungsaufwand für den Mortar-Kontakt ist im Vergleich zu den vorgenannten
Methoden aber hoch.
Eine der rechenintensiven Tätigkeiten bei der Behandlung von Kontaktproblemen ist
die Kontaktsuche zur Feststellung, welche Knoten und Segmente miteinander in Kontakt
kommen können. Dies gilt insbesondere in dynamischen Problemen, da sich hier die
Verhältnisse von einem Betrachtungszeitpunkt zum nächsten ändern können. Dazu werden
die Abstände der NS -Knoten der Slave-Seite und NM -Knoten der Master-Seite berechnet.
Daraus ergibt sich eine enorme Zahl an Berechnungen: NS · NM . Als Beispiel soll ein
kleines Modell mit NS = NM = 1 · 103 betrachtet werden. Daraus ergeben sich 1 · 106
Abstandsberechnungen. Da die Kontaktüberprüfung sehr häufig wiederholt werden muss,
ist diese einfache Vorgehensweise nicht möglich.
Um die Effizienz zu steigern, wird der Bucket-sort-Algorithmus eingesetzt, s. Wriggers
[4, Kap. 10.1, S. 313]. Dabei werden die räumlich verteilten Knoten in Abschnitte ein-
11.3 Kontaktformulierungen
205
geteilt, die sog. Buckets (Eimer). In Abb. 11.8 ist dies für einen 1-D-Fall dargestellt. Die
Abb. 11.8 Unterteilung eines 1-D-Gebiets im Bucketsort-Algorithmus mit grau
hinterlegtem Suchbereich
Bucket Slave-Knoten Master-Knoten
Buckets werden als äquidistantes Raster über das Ausdehnungsgebiet der Knoten gelegt.
Damit ist es möglich, rein über die Koordinate eines Knotens zu bestimmen, in welchem
Bucket er liegt. Nun reicht es aus, den Bucket in dem der Slave-Knoten selbst liegt und
angrenzende Buckets zu prüfen, im gezeigten Beispiel sind dies Nb = 3. Die Anzahl Auswertungen beschränkt sich dann (unter der Annahme, dass in jedem Bucket gleich viele
Knoten liegen) auf NS · NM · (Nb /nb ), wobei nb die Gesamtzahl Buckets angibt, hier nb = 5.
Sobald nb > Nb gilt, ist dieses Verfahren effizienter als die direkte Suche. In der Dokumentation von LS-DYNA findet man die Angabe, dass durch den Bucket-sort-Algorithmus die
Kontaktsuche 100- bis 1000-fach schneller ist als bei direkter Suche.
Nachdem der am nächsten liegende Master-Knoten gefunden wurde, sind alle an diesem
Knoten anliegenden Master-Segmente auf Kontakt mit dem Slave-Knoten zu prüfen. Dies
erfolgt über eine orthogonale Projektion (closest-point-projection) des Slave-Knotens auf
ein Master-Segment, die die Koordinaten der nächstliegenden Punkts auf dem MasterSegment liefert, s. Kap. 11.1.1. Die orthogonale Projektion führt auf ein nichtlineares
Gleichungssystem, das häufig iterativ gelöst wird. Mit diesem Punkt und der Normalen
des Master-Segments wird die Kontaktbedingung Gl. (11.1) abgeprüft.
Die bisherige Darstellung ist stark vereinfacht und soll nur das prinzipielle Vorgehen
andeuten, um zu verdeutlichen, dass in der Kontaktberechnung ein sehr hoher numerischer
Aufwand steckt. Vor allem die Vielzahl an möglichen geometrischen Konstellationen in
3-D-Anwendungen macht die Vorgehensweise aufwendig. In einer expliziten Berechnung,
s. Kap. 13.3, wird diese Sortierung zur Effizienzsteigerung deswegen nicht in jedem Zeitschritt durchgeführt, sondern alle 10 – 200 Schritte.
11.3 Kontaktformulierungen
Nachdem ein Kontakt festgestellt wurde, sind die Kontaktbedingung in Gl. (11.2) sowie die
tangentialen Effekte zusammen mit dem, der FEM zu Grunde liegenden Energieprinzip,
hier Gl. (4.10), zu erfüllen. Hierfür werden im Wesentlichen die folgenden Kontaktformulierungen unterschieden:
•
•
•
•
kinematische Zwangsbedingungen (Multi-Point-Constraint-Verfahren (MPC)),
Penalty-Verfahren,
Lagrange-Verfahren,
Augmented-Lagrange-Verfahren,
die im Folgenden vorgestellt werden. Bis auf den ersten Ansatz wird die Kontaktbedingung erfüllt, indem sie auf verschiedene Weise in das zu Grunde liegende Energieprinzip
206
11 Kontaktmodellierung
als Nebenbedingung aufgenommen wird. Auf eine detaillierte Darstellung soll hier verzichtet werden1. Zur Vereinfachung werden alle Formulierungen im Folgenden für den
reibungsfreien Normalkontakt mit einem Knoten-zu-Segment-Verfahren eingeführt.
11.3.1 Kinematische Zwangsbedingungen (Multi-Point-Constraint)
In einem Verbundkontakt zweier Bauteile in Abb. 11.9 fallen die Knoten nicht zusammen,
da die Bauteile getrennt vernetzt werden. Eine untrennbare Verbindung kann deswegen
nicht über die Verschiebungskompatibilität (s. Kap. 5.4) erzeugt werden, wie innerhalb
eines Bauteils. Um den Verbund-Kontakt zu realisieren, werden deswegen häufig kinemaAbb. 11.9 Multi-PointConstraint-Verfahren bei
einem Verbundkontakt
Slave-Seite
S
M1
M2
Master-Seite
tische Zwangsbedingungen (Multi-Point-Constraint (MPC)) eingesetzt: Ein Knoten der
Slave-Seite liegt auf einer Elementoberfläche der Master-Seite. Dies würde bei Anbringen von Lasten zu Durchdringungen führen, da die Verschiebungskompatibilität nur dort
wo Knoten aufeinandertreffen eingehalten wird. Deshalb wird eine kinematische Zusatzbedingung eingeführt, die dem Slave-Knoten die Bewegung des Berührpunkts auf der
Master-Oberfläche vorschreibt. Die Verschiebungen des Slave-Knotens sind dann keine
unabhängigen Variablen mehr. Durch das isoparametrische Konzept ist die Beschreibung
der Master-Oberfläche durch dessen Knoten gegeben, d. h. die Bewegung eines SlaveKnoten wird durch die Bewegung mehrerer Master-Knoten vorgegeben, daher der Name
Multi-Point-Constraint (Mehrpunktbedingung). Eine Bedingung lautet z. B.: „Knoten S
muss in der Mitte der Linie liegen, die von Knoten M1 und M2 berandet wird“, s. Abb. 11.9.
Das Verfahren kann auch für gleitenden und lösbaren Kontakt genutzt werden. Weiterhin kann man das Öffnen des Kontakts, d. h. das Aufheben des MPC, an Bedingungen
knüpfen und damit z. B. Delaminationseffekte in Faserverbundstrukturen modellieren. Zuletzt gibt es auch Varianten, bei denen ein Abstand zwischen den Oberflächen bestehen
darf (oft mit gap oder offset bezeichnet).
11.3.2 Penalty-Verfahren
Beim Penalty-Verfahren werden bei Verletzung der Kontaktbedingung gn < 0 Reaktionskräfte auf den Slave-Knoten aufgebracht, die proportional zur Eindringtiefe gn und
senkrecht zum Master-Segment sind:
1 Anschauliche Einführungen am Beispiel des Feder-Masse-Systems aus Kap. 4.1.1 finden sich bei Wriggers [4, Kap. 2] und Rust [2, Kap. 9.4].
11.3 Kontaktformulierungen
207
fp = cp gn n .
(11.5)
Dies entspricht der Vorstellung, dass ein Federelement eingefügt wird, das den Knoten
wieder aus dem Master-Segment drücken soll, s. Abb. 11.10. Die Bezeichnung PenaltyAbb. 11.10 PenaltyVerfahren für Normalkontakt
mit Knoten-zu-SegmentMethode
Slave-Knoten
1
Bewegungsrichtung
n
2
Master-Segmente
f1
cp
gn < 0
f2 > f1
Verfahren (penalty = Bestrafung) kommt daher, dass die Reaktionskräfte als Strafterme
auf der rechten Seite eingehen und nur null sind, wenn keine Durchdringungen auftreten.
Die Feder- oder Kontaktsteifigkeit cp wird aus Materialparametern und der Dimension
der Slave- und Master-Segmente bestimmt, wobei der kleinere der beiden Werte eingesetzt wird. Diese Größen sind vom Anwender nicht einstellbar, da sie für jedes Element
variieren. Um eine Eingriffsmöglichkeit zu bieten, kann man die auf ein Segment bezogene Kontaktsteifigkeit über einen globalen oder bauteilbezogenen Skalierungsfaktor
f scale verändern. Die Berechnung der Kontaktsteifigkeit cp eines Schalenelements benötigt z. B. in LS-DYNA die Fläche A des Kontaktsegments, die kleinste Diagonale, den
Kompressionsmodul K und den Skalierungsfaktor:
cp = f scale
A·K
.
min Diagonale
Für die numerische Behandlung mit der FEM wird der Penalty-Term in das Energieprinzip
als Potenzial einer Feder eingeführt, s. Gl. (4.4), wenn man das Prinzip vom Minimum des
Gesamtpotenzials aus Gl. (4.7) nutzt:
Z
1
cp gn2 dA → min .
Πi (x) + Πa (x) +
2
Ac
Der zusätzliche Term ist dann entsprechend zu diskretisieren. Analog kann man dies auch
über die virtuelle Arbeit mit dem Prinzip der virtuellen Verschiebungen durchführen.
Da die Kontaktsteifigkeit aus bekannten Größen berechnet wird, entstehen durch diese
Vorgehensweise keine neuen Unbekannten, die entstehenden Kräfte werden in die rechte
Seite der FE-Gleichung integriert. Die Struktur des Gleichungssystems wird dadurch nicht
verändert.
Das Verfahren weist zwei wesentliche Nachteile auf. Zunächst verbleiben grundsätzlich
leichte Durchdringungen, da mit kleiner werdender Durchdringung die Kraft sehr klein
wird, s. Abb. 11.10 am Beispiel der Kräfte f 2 > f 1 . Um dies zu vermeiden, müsste der
Skalierungsfaktor erhöht werden. Dies führt wiederum zu Oszillationen von Feldgrößen im
Kontakt, die auch als Kontaktrauschen (im Englischen als chattering = rattern) bezeichnet
werden: Ein hoher Skalierungsfaktor erzeugt eine große Kraft, die dazu führen kann, dass
der beaufschlagte Slave-Knoten über die Oberfläche des Master-Segments hinausschießt.
208
11 Kontaktmodellierung
Sobald die Kontaktbedingung nicht mehr verletzt ist, wird die Penalty-Kraft abgeschaltet,
die erzeugten Reaktionskräfte beim anderen Kontaktpartner wirken aber noch, sodass er
wieder in das Master-Segment gedrückt wird, worauf wieder eine Penalty-Kraft erzeugt
wird usw. Dies führt zum Schwingen des Knotens und aller dazugehörigen Größen. Ein
Beispiel bei einer expliziten Blechumformsimulation ist in Abb. 14.12a abgebildet. Die
rote Kurve zeigt den Geschwindigkeitsverlauf, der aufgrund von Kontaktrauschen stark
oszilliert.
In impliziten Berechnungen kann dies zu Konvergenz-Problemen führen, s. Kap. 13.2.
Deshalb muss eine Wahl zwischen Durchdringung und Stabilität getroffen werden:
• kleine Kontaktsteifigkeit: große Durchdringung aber gute Konvergenz/wenig Kontaktrauschen,
• große Kontaktsteifigkeit: kleine Durchdringung aber schlechte Konvergenz/starkes
Kontaktrauschen.
Weiterhin ist die Kontaktsteifigkeit keine physikalische Größe, die die tatsächliche
Elastizität der Oberfläche wiedergibt, sondern im Wesentlichen ein numerischer Parameter
des Modells. Entsprechend ist auch der Skalierungsfaktor zunächst unbekannt. Dieser muss
ggf. über mehrere Berechnungsschritte vom Anwender sinnvoll eingestellt werden, was
einen erhöhten Zeitaufwand darstellt.
Zur Verringerung des Kontaktrauschens bieten kommerzielle Programme die Möglichkeit eine Kontaktdämpfung einzuschalten, indem zusätzlich eine viskose Dämpfung neben
der Kontaktsteifigkeit für den Slave-Knoten eingeführt wird. Dafür ist üblicherweise der
Dämpfungsgrad D anzugeben, s. Gl. (8.22). In LS-DYNA wird D = 20 % empfohlen.
Beim Penalty-Verfahren ist noch zwischen symmetrischem und asymmetrischem Kontakt zu unterscheiden: Bei einem asymmetrischem Knoten-zu-Segment-Kontakt werden
nur die Knoten der Slave-Seite auf eine Durchdringung der Master-Segmente geprüft. Dabei kann es durch die facettierte Abbildung der Geometrie zu den in Abb. 11.11 dargestellten Durchdringungen kommen, die nicht erkannt werden. Führt man die Kontaktprüfung
Abb. 11.11 Nicht detektierbare Durchdringungen bei
asymmetrischem Kontakt
unerkannte Durchdringung
Slave-Knoten
Master-Segmente
beim symmetrischen Kontakt zweimal durch, indem man Master- und Slave-Seite vertauscht, wird die Situation in Abb. 11.11 vermieden. Allerdings verdoppelt sich dadurch
auch der Rechenaufwand für den Kontaktalgorithmus. Aufgrund des großen Rechenzeitvorteils, wird häufig der asymmetrische Kontakt eingesetzt. Deswegen werden einige
Hinweise für die Definition der Kontaktpartner bei asymmetrischem Kontakt angegeben:
• Um unerkannte Durchdringungen zumindest zu minimieren, sollte die feiner vernetzte
Seite als Slave-Seite gewählt werden, da hier dann mehr Knoten vorliegen.
• Die weniger gekrümmte Oberfläche sollte die Master-Seite sein, s. als Gegenbeispiel Abb. 11.11.
11.3 Kontaktformulierungen
209
• Bei Einsatz von Starrkörpern sollten diese immer die Master-Seite sein.
Zusammenfassend ist das Penalty-Verfahren die am weitesten verbreitete Methode
sowohl in statischen, als auch dynamischen Problemstellungen, da es gut geeignet ist für
alle eingesetzten numerischen Gleichungslösungsverfahren in Kap. 12 und Kap. 13.
11.3.3 Lagrange-Multiplikator-Verfahren
Beim Lagrange-Multiplikator-Verfahren wird die Erfüllung der Kontaktbedingung erzwungen, indem gn = 0 über einen Lagrange’schen Multiplikator λ in das Energieprinzip
als Nebenbedingung eingeführt wird. Somit wird die Erfüllung der Bedingung nur noch
im schwachen Sinne gefordert, s. Kap. 4.3. Diese Vorgehensweise stammt aus der Optimierung mit Nebenbedingungen, worauf bereits in Kap. 10.2 eingegangen wurde. Wenn
man das Prinzip vom Minimum des Gesamtpotenzials aus Gl. (4.7) nutzt, lautet es bei
reinem Normalkontakt:
Z
a
Πi (x) + Π (x) +
λ gn (x) dA → min .
Ac
Der Multiplikator λ ist eine zusätzliche Unbekannte, die diskretisiert und im Gleichungssystem gelöst werden muss. Er kann als Kontaktnormalspannung λ = t n interpretiert
werden.
Durch dieses Verfahren wird das Gleichungssystem größer und hat eine andere Struktur,
v. a. treten Nullen auf der Hauptdiagonale der Systemmatrix auf, s. Belytschko et al. [1,
Kap. 10.5.4]. Demzufolge benötigt das Verfahren spezielle Gleichungslöser und hat hohe
Hardwareanforderungen. In kurzzeitdynamischen Berechnungen wird ein explizites Zeitintegrationsschema genutzt, bei dem kein Gleichungssystem zu lösen ist, s. Kap. 13.3. Dies
ist bei der Struktur der Gleichungen des Lagrange-Multiplikator-Verfahrens nicht möglich.
Deswegen wird das Verfahren in kurzzeitdynamischen Anwendungen (z. B. Crashsimulation) nicht eingesetzt, sondern hauptsächlich bei statischen Problemstellungen.
Der Vorteil des Verfahrens liegt darin, dass die Kontaktbedingung nahezu exakt eingehalten wird. Es treten praktisch keine Durchdringungen auf. Vor allem entfällt die
Bestimmung des Skalierungsfaktors einer Kontaktsteifigkeit, wie beim Penalty-Verfahren
in Kap. 11.3.2.
Die hohe Genauigkeit erkauft man sich ggf. durch verschlechterte Konvergenz, d. h. es
ist möglich, dass viele Iterationen zu berechnen sind, bis eine Lösung gefunden wird. Es
kann auch gar keine Lösung erzielt werden, wenn die Anforderung, die Durchdringung
komplett auf null zu bekommen, nicht erreicht werden kann. Deshalb wird im folgenden
Kapitel noch eine Variante des Verfahrens kurz erläutert.
210
11 Kontaktmodellierung
11.3.4 Augmented-Lagrange-Verfahren
Das Augmented-Lagrange-Verfahren (to augment = anreichern) stellt eine Mischung aus
Lagrange- und Penalty-Verfahren dar. Es wird sowohl ein Lagrange-Multiplikator als auch
ein Penalty-Parameter in das Energieprinzip eingeführt:
Z
1
Πi (x) + Πa (x) +
( λ̄ gn + cp gn2 ) dA → min .
2
Ac
Eine häufig eingesetzte Variante dieses Verfahrens ist der Uzawa-Algorithmus, bei dem der
Lagrange-Multiplikator nicht als unabhängige Variable benutzt wird, sondern iterativ ermittelt wird. Die Kontaktberechnung startet zunächst wie ein reines Penalty-Verfahren mit
einer kleinen Kontaktsteifigkeit. Dadurch verbleibt eine Durchdringung, die eine Kontaktkraft nach Gl. (11.5) zur Folge hat. Wie in Kap. 11.3.3 erläutert, entspricht der LagrangeMultiplikator der Kontaktkraft. Er wird in diesem Verfahren durch einen Update aus der
Penalty-Kraft errechnet: λ̄ i+1 = λ̄ i + cp gn . Das entstehende Gleichungssystem ist das gleiche wie beim Penalty-Verfahren, allerdings kommt auf der rechten Seite eine zusätzliche
Kraft hinzu. Sind noch Durchdringungen vorhanden, wird der Vorgang iterativ wiederholt,
bis die Durchdringungen ausreichend klein sind. Für Details s. Willner [3, Kap. 21.7].
Der Vorteil des Verfahrens im Vergleich zu einem reinen Penalty-Verfahren besteht darin, dass der Skalierungsfaktor sehr viel kleiner gewählt werden kann, da die Durchdringung
iterativ beseitigt wird. Im Vergleich zum Lagrange-Verfahren sind kleine Durchdringungen erlaubt, sodass die Konvergenz verbessert wird. Außerdem tritt keine zusätzliche
Unbekannte auf, da der Lagrange-Multiplikator iterativ aus dem Penalty-Verfahren bestimmt wird. Insgesamt stabilisiert dieses Verfahren Kontaktprobleme, bei denen Konvergenzschwierigkeiten auftreten, weswegen das Verfahren häufig in nichtlinearen statischen
Anwendungen eingesetzt wird.
Nachteilig ist der hohe Rechenaufwand für die iterative Kontaktberechnung. Das
Augmented-Lagrange-Verfahren ist nur sinnvoll einsetzbar, wenn die Lösung iterativ bestimmt wird, da ansonsten der Rechenaufwand für die Bestimmung von λ̄ zu groß ist. Dies
beschränkt die Einsetzbarkeit auf implizite Berechnungen, s. Kap. 13.
Literaturverzeichnis
[1] T. Belytschko, W. K. Liu, und B. Moran. Nonlinear finite elements for continua and
structures. Wiley, Chichester, 2000.
[2] W. Rust. Nichtlineare Finite-Elemente-Berechnungen. Springer Vieweg, Wiesbaden,
3. Aufl., 2016.
[3] K. Willner. Kontinuums- und Kontaktmechanik. Springer, Berlin, 2003.
[4] P. Wriggers. Computational contact mechanics. Springer, Berlin, 2. Aufl., 2006.
[5] S. R. Wu und L. Gu. Introduction to the explicit finite element method for nonlinear
transient dynamics. Wiley, Hoboken, N.J., 2012.
Kapitel 12
Gleichungslösung bei nichtlinearen statischen
Problemen
Nach der Aufstellung der FE-Gleichungen sind die Unbekannten zu berechnen. In diesem
Kapitel wird das statische, zeitunabhängige Problem betrachtet. Ist die Berechnungsaufgabe geometrisch oder materiell nichtlinear, resultieren auch nichtlineare Gleichungssysteme, die zu lösen sind. Bei diesen nichtlinearen Systemen wird die Steifigkeitsmatrix K
aus den vorangegangenen Kapiteln durch den Vektor der inneren Kräfte t (x) ersetzt,
s.Gl. (9.34), der eine nichtlineare Funktion der Deformation ist. Es sollen auch Folgelasten
berücksichtigt werden, sodass auch die äußeren Kräfte von den Knotenverschiebungen
abhängen, s. Kap. 9.1. Die statische, nichtlineare FE-Gleichung lautet damit
t (x) = f (x) .
(12.1)
Dies drückt aus, dass die inneren Reaktionskräfte t mit den äußeren Lasten f im Gleichgewicht stehen müssen.
In Abb. 12.1 ist links der lineare Fall dargestellt. Das wesentliche Merkmal eines linearen Systems ist, dass eine Erhöhung der Last eine proportionale Erhöhung der Verschiebung zur Folge hat, wobei der Proportionalitätsfaktor, d. h. die Steifigkeit, konstant
ist. Mechanisch bedeutet dies, dass die Steifigkeit nicht von der bisherigen Deformation
oder der Beanspruchung des Materials abhängt. Das System wird über einen der linearen
Gleichungslöser gelöst, die in Kap. 5.6 angesprochen wurden. Kennt man die Steifigkeit,
kann man die Lösung für jede beliebige Last in einem Schritt berechnen. Weiterhin gilt das
Superpositionsprinzip, d. h. eine Summe bekannter Lösungen stellt wieder eine gültige
Lösung dar, s. Kap. 8.2.
Abb. 12.1 Lineare (links) und
nichtlineare (rechts) statische
Gleichung
f
f
K
t (x)
x
x
x∗
x∗
Im nichtlinearen Fall von Gl. (12.1) – in Abb. 12.1 rechts – gelten die beiden Bedingungen linearer Systeme nicht mehr: Kraft und Verschiebung sind nicht über einen konstanten
© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2017
M. Wagner, Lineare und nichtlineare FEM, DOI 10.1007/978-3-658-17866-6_12
211
212
12 Gleichungslösung bei nichtlinearen statischen Problemen
Faktor verknüpft und die Steifigkeit des Systems ändert sich abhängig vom Verschiebungszustand. Auch das Superpositionsprinzip gilt deswegen nicht mehr. Gleichung (12.1) ist
die mathematische Formulierung der Aufgabe, das Gleichgewicht der inneren und äußeren
Lasten zu finden. Die Schwierigkeit bei der Lösung besteht darin, dass die nichtlineare Beziehung nicht explizit nach den Unbekannten in einem Schritt aufgelöst werden kann wie
im linearen Fall. Eine übliche Lösungsmöglichkeit ist, den Lastpfad in kleinen Schritten
abzulaufen. Das bekannteste Verfahren ist das Newton-Raphson-Verfahren, das zunächst
für den eindimensionalen Fall vorgestellt und dann auf die FEM angewendet wird.
12.1 Newton-Raphson-Verfahren
Das Newton-Raphson-Verfahren sucht eine Nullstelle x ∗ einer Funktion g(x):
g(x ∗ ) = 0 ,
wobei die Nullstelle nicht direkt berechenbar ist, da g eine nichtlineare Beziehung in x
sein soll. Die Basis des Verfahrens ist die Taylorreihenentwicklung einer Funktion um den
Bezugspunkt x (0) in einer Umgebung u = x − x (0) bis zum ersten Glied:
g(x) = g(x (0) + u) g(x (0) ) +
∂g (x − x (0) ) + . . . .
∂ x x (0)
Diese Gleichung lässt sich geometrisch als Geradengleichung interpretieren, deren Steigung die Tangente im Punkt x (0) ist, s. Abb. 12.2:
g(x) − g(x (0) )
∂g =
.
(0)
∂ x x (0)
(x − x )
Als Ersatz für die echte Nullstelle, wird nun näherungsweise die Nullstelle der Gerade
berechnet, in der Hoffnung, dass diese in der Nähe der echten Lösung liegt:
g(x (0) + ∆x) g(x (0) ) +
Abb. 12.2 Allgemeine Vorgehensweise zur Nullstellensuche mit dem NewtonRaphson-Verfahren
∂g (x − x (0) )≡ 0 .
∂ x x (0)
g
x (k )
x (k+1)
x∗
x
g (k+1)
∂g ∂x x (k )
g (k )
g(x)
12.2 Anwendung des Verfahrens auf die FEM
213
Auflösen nach x liefert einen Näherungswert für die Nullstelle der Funktion g(x). Diesen Schritt kann man nun mehrfach wiederholen. Die gerade berechnete Nullstelle dient
als neuer Bezugspunkt der Taylorreihenentwicklung. Es wird dort nun der Funktionswert
und die Ableitung der eigentlichen Funktion g(x) berechnet und wieder ein neuer Näherungswert erhalten. Durch die Indizierung x (0) → x (k) und x → x (k+1) folgt daraus die
Iterationsvorschrift
! −1
∂g x (k+1) = x (k) −
g(x (k) ) ,
k = 0, 1, . . . , K − 1
∂ x x (k )
für die Berechnung der Nullstelle x ∗ . K gibt die maximale Anzahl Iterationen an.
Das Newton-Raphson-Verfahren kann auf beliebige Dimensionen erweitert werden.
Es soll von n nichtlinearen Funktionen, die in einem Vektor g(x) zusammengefasst sind,
jeweils die Nullstelle berechnet werden. Die Funktionen hängen nichtlinear von Parametern
ab, die im Vektor x angeordnet sind. Die Funktionen sollen gekoppelt sein, sodass nur
eine simultane Lösung möglich ist. Die Taylorreihenentwicklung des Vektorfeldes g um
die Stelle x (k) liefert dann
g(x (k+1) ) = g(x (k) ) +
∂ g x (k+1) − x (k) = 0 .
∂ x x (k )
(12.2)
Formal entsteht dieselbe Iterationsgleichung, allerdings sind alle Größen nun Vektoren.
Der Term ∂ g/∂ x = ∂gi /∂ x j muss noch betrachtet werden. Wie in Gl. (6.4) beim isoparametrischen Konzept handelt es sich um eine Jacobi- bzw. Funktionalmatrix mit konstanten
Koeffizienten.
Durch die abgebrochene Taylorreihenentwicklung wird eine Linearisierung der nichtlinearen Gleichung erreicht, da die Unbekannte x (k+1) nur zur Potenz eins vorkommt. Alle
anderen Terme werden an der bekannten Stelle x (k) ausgewertet. Üblicherweise löst man
das lineare Gleichungssystem in Gl. (12.2) nicht durch Invertierung der Funktionalmatrix,
sondern durch die in Kap. 5.6 vorgestellten linearen Gleichungslöser.
12.2 Anwendung des Verfahrens auf die FEM
Das Newton-Raphson-Verfahren wird nun auf die nichtlineare FEM-Gl. (12.1) angewendet. Da mit dem Verfahren eine Nullstelle gesucht wird, ist zunächst die Definition des
Residuums r notwendig:
r (x) = t (x) − f (x) ≡ 0 .
Dieser Vektor gibt die nicht im Gleichgewicht befindlichen Kräfte wieder. Ziel ist nun das
Residuum zu null zu machen, um einen neuen Gleichgewichtszustand zu finden.
Einsetzen des Residuums in Gl. (12.2) liefert
∂ r (k+1)
r (x (k+1) ) t (x (k) ) − f (x (k) ) +
x
− x (k) = 0 .
|
{z
} ∂ x x (k )
(k )
r (x
)
(12.3)
214
12 Gleichungslösung bei nichtlinearen statischen Problemen
Mit dem Verschiebungsinkrement u (k) = x (k+1) − x (k) der k-ten Iteration, lässt sich dies
in ein lineares Gleichungssystem umstellen:
∂ r u (k) = f (x (k) ) − t (x (k) ) .
∂ x x (k )
Die nichtlineare FEM-Gleichung wird durch die abgebrochene Taylorreihenentwicklung
linearisiert. Durchführung der Iterationen ergibt den gesuchten neuen Gleichgewichtszustand x ∗ . Für die Lösung eines nichtlinearen FEM-Problems sind also mehrere Iterationen
zu berechnen, in jeder Iteration ist bei diesem Verfahren die Funktionalmatrix ∂ r/∂ x| x (k )
neu zu berechnen und zu faktorisieren, um das entstehende lineare Gleichungssystem zu
lösen. Dadurch steigt der Rechenaufwand gegenüber einem linearen Problem stark an, da
dort nur eine Faktorisierung notwendig ist. Der Ablauf des Newton-Raphson-Verfahrens ist
in Abb. 12.3 skizziert. Die Ableitung des Residuums wird als Tangentensteifigkeitsmatrix
KT(k) =
∂(t − f ) ∂ r =
∂ x x (k )
∂ x x (k )
bezeichnet. Diese ersetzt die aus der linearen Statik bekannte Steifigkeitsmatrix. Die
Tangentensteifigkeitsmatrix ergibt sich als Ableitung der Differenz aus dem Vektor der
inneren und äußeren Kräfte und setzt sich aus mehreren Teilen zusammen, die im folgenden
Kapitel erläutert werden.
12.2.1 Linearisierung
Durch die Taylorreihenentwicklung bis zum ersten Glied im Newton-Raphson-Verfahren
wird die nichtlineare FEM-Gleichung durch eine lineare Beziehung im Inkrement u (k)
der Unbekannten ersetzt. Dieser Vorgang wird als Linearisierung bezeichnet. Dazu ist die
Berechnung der Tangentensteifigkeitsmatrix KT notwendig1.
Abb. 12.3 Schematische
Darstellung des NewtonRaphson-Verfahrens in der
FEM für ein eindimensionales
Modell
x (2) − x (1) = u (1)
f
r (2)
r (1)
t (1)
t (0)
k=1
k=0
u (0)
k=3
k=2
KT(1)
KT(0)
x
x∗
1 Zur Erhöhung der Übersichtlichkeit wird auf die Angabe des Iterationsindex k und der Auswertestellen x (k ) in Kap. 12.2.1 verzichtet.
12.2 Anwendung des Verfahrens auf die FEM
215
In allgemeiner Form ist dieser Schritt mathematisch aufwendig, weswegen hier nur
eine vereinfachte Darstellung angegeben wird, um die wesentlichen Merkmale aufzuzeigen. Die Herleitung hängt vom gewählten Energieprinzip ab und wird nur für das Prinzip
der virtuellen Leistung aus Gl. (9.26) gezeigt. Dazu wird die Bestimmungsgleichung des
Newton-Raphson-Verfahrens in Gl. (12.3) weiter interpretiert. Der zweite Term der Taylorreihe beschreibt die differenziell kleine lineare Änderung einer Funktion in der Umgebung
des Bezugspunkts, hier der Referenzkonfiguration. Man kann formal auch schreiben
r (x + dx) = r (x) + dr (x) .
Für die folgende Darstellung wird auf die Indexnotation übergegangen, da sich die tensoriellen Größen so übersichtlich angeben lassen. Zur Berechnung der Tangentensteifigkeitsmatrix ist das Differenzial des (statischen) Energieprinzips in Gl. (9.26) zu bilden:
!
Z
Z
Z
d
δd i j σi j dv −
δvi b̄i dv −
δvi t¯i da .
ve
ve
ae
Generell gilt die Rechenregel dr i (x j ) = ∂r i /∂ x j dx j 2. Im Folgenden sind Differenziale
und virtuelle Größen strikt zu unterscheiden. Wendet man die Produktregel an, ergibt sich
Z Z
Z
Z
d δd i j σi j dv + δd i j dσi j dv − δvi d b̄i (x k ) dv −
δvi d (t¯i (x k )) da . (12.4)
ve
ve
ve
ae
Bei den beiden letzten Termen der äußeren Lasten ist zu beachten, dass die virtuellen
Geschwindigkeiten unter einer differenziellen Änderung konstant sind, s. Bonet und Wood
[2, Kap. 8.2, S. 217]: d(δvi ) = 0, da sie nicht von der Deformation abhängen. Dies ist
bei der virtuellen Deformationsrate δd i j anders, die nach den Verschiebungen abgeleitet
wird. Deswegen ist nur eine Änderung der äußeren Lasten auf Grund der Abhängigkeit
von der Deformation zu berücksichtigen. Tritt eine solche Folgelast auf, dann muss die
differenzielle Änderung bestimmt und diskretisiert werden. Daraus entsteht dann ein Beitrag KFe zur Tangentensteifigkeitsmatrix, für Details s. Bonet und Wood [2, Kap. 8.5.2, S.
222] oder Wriggers [4, Kap. 3.5.3, S. 98]. Sind die äußeren Lasten konservativ, kann man
sie von einem Potenzial ableiten. Die Matrix KFe ist dann eine Hesse-Matrix, da sie die
zweite Ableitung dieses Potenzials darstellt. Damit ist sichergestellt, dass sie symmetrisch
ist. Handelt es sich um nicht-konservative Lasten, ist KFe unsymmetrisch.
Für die ersten beiden Terme in Gl. (12.4) ist das Differenzial der virtuellen Deformationsrate d(δd i j ) und der Spannung dσi j zu bestimmen.
Die Änderung der virtuellen Deformationsrate wird ohne Herleitung angegeben. Sie
ergibt sich durch den Push-forward der Änderung der virtuellen Zeitableitung des GreenLagrange-Verzerrungstensors in Gl. (9.20), s. Bonet und Wood [2, Kap. 8.3, S. 218]:
!
1 ∂δvk ∂duk ∂duk ∂δvk
+
.
d(δd i j ) =
2 ∂ xi ∂ x j
∂ xi ∂ x j
2 Allgemein ist für die Linearisierung die Richtungsableitung zu bilden, s. Bonet und Wood [2, Kap. 1.4
und 2.3], die auch berechnet werden kann, wenn das Residuum nicht stetig differenzierbar ist, wie z. B. bei
elastoplastischem Material.
216
12 Gleichungslösung bei nichtlinearen statischen Problemen
An dieser Stelle geht durch die Linearisierung die Verschiebung dui wieder in die Gleichungen ein, die in diskretisierter Form dem Inkrement im Newton-Raphson-Verfahren
entspricht. Einsetzen in das erste Integral in Gl. (12.4) und Ausnutzen der Symmetrie des
Cauchy-Spannungstensors ergibt
!
Z
Z
Z
1 ∂δvk ∂duk
∂duk ∂δvk
∂δvk
∂duk
d(δd i j )σi j dv =
σi j +
σ ji dv =
σi j
dv .
∂ xi ∂ x j
∂ xi ∂ x j
∂xj
ve
ve 2
ve ∂ xi
Diskretisierung der virtuellen Geschwindigkeit nach Gl. (9.30) und der Verschiebungen
mit Gl. (5.1) liefert als diskretisierte linearisierte Gleichung
T
δv e KGe du e = δv e
T
Z
ve
∂N T ∂N
σ
dv du e .
∂x
∂x
Diese Gleichung ist nur schematisch zu verstehen, da der Gradient der Formfunktionsmatrix in Voigt-Notation nicht ohne Schwierigkeiten dargestellt werden kann. Es handelt sich
um einen Term, der von drei Indizes abhängt: ∂ N/∂ x = ∂ Niα /∂ x β mit i = 1, . . . , nFHG
und α, β = 1, . . . , nFHG · ne . Eine stringente Darstellung findet sich in Bonet und Wood [2,
Kap. 9.4.3, S. 251]. Die Matrix KG wird als Anfangsspannungsmatrix oder geometrische
Matrix bezeichnet. Sie beschreibt den Einfluss der Änderung der Geometrie bei konstant
gehaltenem Spannungszustand und tritt nur auf, wenn geometrische Nichtlinearitäten berücksichtigt werden.
Für den zweiten Term in Gl. (12.4) ist das Differenzial der Spannung dσi j anzugeben. Es soll hier von einem allgemeinen Materialgesetz in Ratenform analog Gl. (10.18)
ausgegangen werden: dσi j = Ci jkl dε kl . Eingesetzt folgt
Z
Z
δd i j dσi j dv =
δd i j Ci jkl dε kl dv .
(12.5)
ve
ve
Der vierstufige Tensor Ci jkl entspricht der Materialtangente für das jeweilige Materialmodell. Für das Beispiel der Elastoplastizität wurde sie in Gl. (10.24) angegeben.
Diskretisiert man die Deformationsrate nach Gl. (9.32) und den infinitesimalen Verzerrungstensor ε i j mit Gl. (5.4) folgt in Voigt-Notation
Z
T
T
e
δv e KM
du e = δv e
BT C B dv du e ,
ve
wobei B die Matrix der Ableitungen der Formfunktionen für den nichtlinearen Fall in allgemeiner Form darstellt, s. Gl. (9.31). Sie ist in der upgedateten-Lagrange-Formulierung
identisch für die Deformationsrate und die Verzerrungen. Die Materialmatrix C ist eine
nFHG × nFHG -Matrix in Voigt-Notation, die in einer Materialroutine eines FE-Programms
berechnet wird, wie z. B. die algorithmisch konsistente elastoplastische Materialtangente
ep
C̃ in Gl. (10.25). Für den isotropen, linear-elastischen Fall ergibt sich die Elastizitätse ist die Anfangsverschiebungsmatrix und beschreibt die
matrix Gl. (3.15). Die Matrix KM
Auswirkung eines nichtlinearen Materialgesetzes auf den Spannungszustand bei konstant
gehaltenem Deformationszustand.
Insgesamt setzt sich die Tangensteifigkeitsmatrix aus drei Teilen zusammen:
12.2 Anwendung des Verfahrens auf die FEM
217
KT = KG + KM − KF .
Die Teilmatrix KG tritt nur bei geometrisch nichtlinearer Betrachtung auf. Die Anfangsverschiebungsmatrix KM entspricht bei geometrisch und materiell linearem Verhalten
der Steifigkeitsmatrix aus Gl. (5.16) und die Matrix KF entsteht nur dann, wenn von der
Deformation abhängige Folgelasten auftreten, z. B. Oberflächendrücke.
12.2.2 Inkrementell-iteratives Verfahren
Problemabhängig konvergiert das Newton-Raphson-Verfahren sehr langsam, vor allem
wenn die äußere Last zu groß ist. Zur Stabilisierung kann nun die äußere Last nicht
auf einmal, sondern stückweise aufgebracht werden (Zur Vereinfachung wird hier von
verschiebungsunabhängigen Lasten ausgegangen). Man spricht in diesem Fall von einer
Inkrementierung der Last. In einem Inkrement n = 0, 1, . . . , Nink − 1 wird zur vorherigen
Last f n ein Anteil addiert: f n+1 = f n + ∆ f n bis die gesamte Last beim letzten Inkrement
Nink erreicht ist: f = f Nink . Die Lasterhöhung muss nicht in gleich großen Schritten erfolgen, sondern kann problemabhängig in unterschiedlich große Schritte unterteilt werden.
Auch für die Anzahl der Inkremente gibt es keine klare Regel, üblicherweise sind in vielen
Programmen zehn Inkremente voreingestellt.
Innerhalb jedes Inkrements n werden dann die k Iterationen des Newton-RaphsonVerfahrens durchgeführt. Die zwei Größen n und k sind genau zu unterscheiden, da sie
in den Lösungseinstellungen der kommerziellen Programme getrennt eingegeben werden
müssen. Das inkrementell-iterative Verfahren ist in Abb. 12.4 dargestellt.
Abb. 12.4 Inkrementelliterativer Lösungsprozess bei
einer nichtlinearen, statischen
Gleichung
f
fNink = f
Nichtlinearer Lastpfad
fn+1
rn(1)
rn(0)
KT(1)
n
∆ fn
Inkrement n
KT(0)
=
n
fn
tn(0)
∂r ∂ x x n(0)
tn(1)
tn+1
Inkrement n − 1
x
xn =
(0)
xtemp
(1)
xtemp
x n+1
x∗
In jedem Inkrement n wird iterativ das Gleichgewicht hergestellt. In jeder Iteration
k des Newton-Raphson-Verfahrens ist ein lineares Gleichungssystem zu lösen. Durch
diesen iterativen Prozess steigt der Berechnungsaufwand im Vergleich zum linearen Fall
stark an. Durch die Einführung der Inkremente wird aber die Konvergenz eines einzelnen
Inkrements verbessert, sodass durch diese Vorgehensweise weniger Gesamtiterationen
notwendig sind, als bei Aufbringung der gesamten Last in einem Schritt.
218
12 Gleichungslösung bei nichtlinearen statischen Problemen
12.2.3 Konvergenz des Newton-Raphson-Verfahrens
Der Begriff der Konvergenz wurde in Kap. 7.1.1 eingeführt. Auch bei iterativen Lösungsverfahren spricht man von konvergentem Verhalten, wenn bei einer Erhöhung der Iterationszahl die Lösung gegen die mathematisch exakte Lösung läuft.
Beim Newton-Raphson-Verfahren ist nicht garantiert, dass die Nullstelle von t (x ∗ ) −
f (x ∗ ) = 0 trotz Erhöhung der Iterationszahl erreicht wird. Vielmehr sind auch Situationen
denkbar, in denen das Verfahren nicht in Richtung der Nullstelle läuft, sondern davon weg,
in dem Fall spricht man von Divergenz. In Abb. 12.5 ist ein solcher Fall in Blau skizziert.
Abb. 12.5 Konvergenzverhalten beim Newton-RaphsonVerfahren: konvergent mit
(0)
Startpunkt xkonv
(—), diver(0)
gent mit Startpunkt xdiverg
(—)
f
t (x)
x
xkrit
(0)
xdiverg
(0)
xkonv
x∗
Divergenz kann immer dann auftreten, wenn die Lastkurve ein Extremum aufweist und der
(0)
Startpunkt, hier xdiverg
, ungünstig gewählt ist. Zum Vergleich ist das konvergente Verhalten
(0)
mit günstigem Startwert xkonv
in Rot gegenübergestellt. Für die FEM gibt es allerdings
wenig Wahlmöglichkeiten, da der Startpunkt durch die Randbedingungen vorgegeben
wird. Eine weitere Besonderheit ist in Abb. 12.5 angedeutet: Trifft das Iterationsverfahren
bei xkrit genau ein Extremum, versagt das Verfahren völlig, da die Tangente die Horizontale
ist. Um solche Situationen zu umgehen, müssen spezielle Verfahren eingesetzt werden,
die als Bogenlängenverfahren bezeichnet werden, s. Kap. 12.3 ganz am Ende.
Um bei divergentem Verhalten nicht in einer Endlosschleife zu landen, wird eine maximale Iterationszahl pro Inkrement vorgegeben. Wird diese überschritten, kann der Schritt
als konvergiert übernommen werden oder die Berechnung stoppt mit einer Fehlermeldung.
Das Übernehmen der Lösung ohne Erreichen der Konvergenzkriterien sollte vermieden
werden, da man ggf. mit einer falschen Lösung weiter rechnet.
Zur Verbesserung des Konvergenzverhaltens kann man eine automatische Schrittweitensteuerung einsetzen, die über verschiedene Kriterien, wie Anzahl der notwendigen
Iterationen im letzten Inkrement, das aktuelle Lastinkrement anpasst. Bei schlechter Konvergenz würde so das Inkrement verkleinert, bei guter Konvergenz kann das Inkrement
aber auch vergrößert werden, um Rechenzeit zu sparen, s. Keyword 14.26 in Kap. 14.3.2.
Weiterhin sind bei konvergentem Verhalten Abbruchkriterien (Konvergenzkriterien)
einzuführen, da bei Annäherung an die Nullstelle die Verschiebungsinkremente sehr klein
werden und somit die Ergebnisverbesserung pro Iteration nur noch gering ist und in einem
numerischen Verfahren die Nullstelle nie exakt erreicht wird. Dazu gibt es verschiedene
Ansätze, hier werden zwei übliche eingeführt:
u (k) ≤ ε
u kumax k
n T
T
|u n(k) r n(k) | ≤ ε E |u n(0) r n(0) | .
(12.6)
Links ist die Verschiebungsnorm dargestellt. Es handelt sich um den Betrag des Vektors
des aktuellen Verschiebungszuwachses u n(k) = x n(k+1) − x n(k) in der Iteration k des Inkre-
12.2 Anwendung des Verfahrens auf die FEM
219
ments n, d. h. den Zuwachs der Verschiebung geteilt durch eine bisher im Modell maximal
aufgetretene Verschiebung umax . Diese maximale Verschiebung kann sich auf die gesamte
Simulation oder das aktuelle Inkrement beziehen. Rechts in Gl. (12.6) ist ein Energiekriterium angegeben, das die Formänderungsenergie des Residuums berechnet. Es gibt damit
die Energie wieder, die mit dem Fehler in der Gleichgewichtsbeziehung verbunden ist,
da sie aus dem Verschiebungszuwachs und dem Residuum der unbalancierten Reaktionskräfte gebildet wird. Diese Bedingungen werden nach jeder Iteration geprüft. Sobald sie
beide erfüllt sind, wird die Iteration abgebrochen und das Ergebnis als hinreichend genau
betrachtet und mit dem nächsten Inkrement fortgefahren.
Die Newton-Raphson-Iterationsvorschrift der FEM ist in Algorithmus 12.1 dargestellt.
Algorithmus 12.1 Inkrementell-iterativer Newton-Raphson-Algorithmus
Eingabe: x 0 , f 0 , Anzahl Inkremente Nink , max. Anzahl Iterationen pro Inkrement K, Fehlertoleranz εu
for n = 0 to Nink − 1 do
(0)
Setze Startkonfiguration auf letzte iterierte Konfiguration x temp
= xn
Bestimme äußere Last des Inkrements f n+1 = f n + ∆ f n
k=0
repeat
Berechne innere Reaktionskräfte t (x n(k ) )
Berechne Tangentensteifigkeitsmatrix KT(k ) , s. Kap. 12.2
Löse KT(k ) u (k ) = f (x n(k ) ) − t (x n(k ) )
(k+1)
(k )
Speichere Zwischenkonfiguration x temp
= x temp
+ u (k )
Zähler erhöhen k ← k + 1
until k = K or u n(k ) ≤ εu ku max k
if k = K and u n(k ) > εu ku max k then
Konvergenzfehler → Stop
end if
(k )
x n+1 = x temp
Zuweisen Gesamtverschiebung nach Ende Iterationen
Zähler erhöhen n ← n + 1
end for
12.2.4 Hinweis zur Zeitabhängigkeit
Der Parameter n bezeichnet im Newton-Raphson-Verfahren die Abfolge der Inkremente
zu denen der Gleichgewichtszustand berechnet wird. Dieser Parameter ist in einem statischen Problem ein reiner Zählindex für den Lösungsfortschritt, da der zeitliche Verlauf der
Deformation nicht von Interesse ist. Häufig wird in kommerziellen Programmen aber den
Inkrementen eine „Zeit“ zugeordnet, da sie prinzipiell zeitabhängige Probleme behandeln
können und somit der statische Grenzfall am einfachsten integriert werden kann, indem
die Zeit als Zählindex benutzt wird. Dabei ist zu beachten, dass die Zeit keine physikalische Bedeutung hat. Deshalb wird in statischen Rechnungen häufig eine „Zeitdauer“
220
12 Gleichungslösung bei nichtlinearen statischen Problemen
der Simulation von t = 1s benutzt. In dynamischen Berechnungen (Kap. 13) hat die Zeit
die normale physikalische Bedeutung und gibt an, in welchem Zeitraum die Bewegung
abläuft3. Das Inkrement wird dort durch den Zeitschritt ersetzt.
12.3 Weitere Verfahren für nichtlineare Gleichungssysteme
Neben dem vollständigen Newton-Raphson-Verfahren, bei dem in jeder Iteration die Steifigkeitsmatrix neu aufgebaut wird, s. Abb. 12.3, existieren viele Varianten und weitere
Verfahren. Der Vorteil des vollständigen Verfahrens ist, dass es in der Nähe der Lösung
quadratisch konvergiert, s. Kap. 7.1.1 und Wriggers [4, Kap. 5.1.1, S. 149]. Dies bedeutet,
dass der Fehler eines Iterationsschritts k um einen konstanten Faktor c kleiner als das
Quadrat des Fehlers der Iteration k − 1 davor ist (x ist die exakte Lösung):
k x − x n(k) k < ck x − x n(k−1) k 2 .
Demzufolge verdoppelt sich die Anzahl der genauen Dezimalstellen mit jeder Iteration4.
Es ist aber in jeder Iteration die Berechnung der Tangentensteifigkeitsmatrix notwendig,
was sehr aufwendig ist. Deswegen wurden Verfahren entwickelt, die diesen Nachteil zu
verbessern oder zu umgehen versuchen:
• das Anfangssteifigkeitsverfahren: Die Steifigkeitsmatrix wird nur einmal am Anfang
aufgestellt, wie in Abb. 12.6 angedeutet und dann für jede Iteration benutzt:
KT(0) (x (k+1) − x (k) ) = r (k) .
Die Konvergenz ist sehr langsam, aber es sind dafür keine Neuberechnung und Lösung
der Tangentensteifigkeitsmatrix nötig.
• das modifizierte Newton-Raphson-Verfahren: Um Rechenzeit zu sparen, wird die Steifigkeitsmatrix nicht in jedem Iterationsschritt neu berechnet, sondern nur alle q-mal,
s. Abb. 12.7:
(q)
KT (x (k+1) − x (k) ) = r n(k) .
Abb. 12.6 Beispiel für das
Anfangssteifigkeitsverfahren
f
t (1)
t (0) k = 0
k=1
KT(0)
x
3 Ausnahme sind künstlich beschleunigte Berechnungen, z. B. eine Umformsimulation, s. Kap. 14.2.
4 Beispiel: Für c = 1 soll gelten k x − x n(1) k = 10−1 . Dann folgt daraus k x − x n(2) k = k x − x n(1) k 2 = 10−2
und damit k x − x n(3) k = 10−4, k x − x n(4) k = 10−8 etc.
12.3 Weitere Verfahren für nichtlineare Gleichungssysteme
221
Abb. 12.7 Beispiel für
das modifizierte NewtonRaphson-Verfahren mit q = 2
f
KT(2)
KT(1)
t (1)
KT(0)
x
Die Konvergenzordnung des Verfahrens ist nur linear, aber besser als beim Anfangssteifigkeitsverfahren. Das Verfahren lohnt sich nur bei schwach nichtlinearen Problemen,
da ansonsten die Aktualisierung der Tangensteifigkeitsmatrix sehr häufig geschehen
muss und damit kein Vorteil zum vollständigen Verfahren mehr besteht.
• Quasi-Newton-Verfahren oder Sekantenverfahren: Die Ableitung bei diesen Verfahren
wird mittels der Steigung der Sekante durch zwei Funktionspunkte approximiert:
K̃T(k) (x (k+1) − x (k) ) = r (k+1) − r (k) .
Die Tangentensteifigkeitsmatrix wird nicht mehr exakt berechnet, sondern durch eine
Matrix K̃T(k) approximiert. Im 1-D entspricht dies der Sekantensteigung in Abb. 12.8.
Der Vorteil dieser Verfahren liegt darin, dass die Approximationen K̃T(k+1) aus einAbb. 12.8 Beispiel für das
Sekantenverfahren
f
r (2)
r (1)
K̃T(3)
K̃T(2)
K̃T(1)
x (1)
x
x (2)
fachen Transformationen der vorhergehenden Approximation berechnet werden kann:
K̃T(k+1) = ( A(k) ) T K̃T(k) A(k) , wobei es vom Verfahren abhängt, wie die Matrix A(k)
aufgebaut ist. Sie lässt sich aber numerisch effizient berechnen. Dies ergibt eine rekursive Formel und es muss die eigentliche Tangensteifigkeitsmatrix nur einmal zu
Beginn berechnet werden. Dazu kommt, dass man diese Rekursionsformel für die Inverse der Matrix angeben kann, sodass auch keine Faktorisierung mehr notwendig ist.
Sie sind deswegen sehr effizient und häufig die Standardeinstellung in kommerziellen
Programmen. Häufig wird, analog zu den modifizierten Newton-Verfahren, nach einer
vorgegebenen Anzahl Iterationen, die tatsächliche Steifigkeitsmatrix neu aufgebaut und
danach wieder mit den approximierten Matrizen weiter gerechnet.
Es gibt hier eine ganze Reihe an Verfahren, die sich durch die Genauigkeit der Approximation der Inverse der Tangentensteifigkeitsmatrix unterscheiden. Das BroydenVerfahren führt auf eine unsymmetrische Matrix. Das am weitesten verbreitete Ver-
222
12 Gleichungslösung bei nichtlinearen statischen Problemen
fahren ist das Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS)-Verfahren, das wiederum
auf eine symmetrische Matrix führt. Weitere Verfahren sind nach Davidon- sowie
Davidon-Fletcher-Powell (DFP) benannt. Einen detaillierten Überblick über diese Verfahren liefern Jung und Langer [3, Kap. 6.4] und Bathe [1, Kap. 8.4].
Das Newton-Raphson-Verfahren konvergiert nur, wenn der initiale Startwert in der Nähe
der gesuchten Lösung liegt. Um dies zu erreichen, wird z. B. das inkrementell-iterative
Verfahren aus Kap. 12.2.2 angewendet, um die Last in mehreren Schritten aufzubringen.
Eine weitere Möglichkeit, die in kommerziellen Programmen zur Verfügung steht, ist
eine Schrittweitensteuerung über das gedämpfte Newton-Raphson-Verfahren (Line-searchVerfahren): Die neue Zwischenkonfiguration in Algorithmus 12.1 wird nicht durch volles
Aufaddieren des Inkrements u (k) berechnet sondern durch
(k )
(k+1)
+ αu (k) ,
xtemp
= xtemp
mit dem Line-search-Parameter α, der geeignet zu bestimmen ist. Er liegt zwischen
0 < α < 1 und führt dazu, dass keine zu großen Schritte vorgenommen werden, die
ggf. zur Divergenz des Verfahrens führen könnten. Zur Bestimmung des Parameters wird
angenommen, dass sich eine Größe, z. B. eine Norm des Residuums oder der Energie,
mit steigender Iterationszahl verkleinern muss. Hierzu kann man üblicherweise in kommerziellen Programmen Schranken vorgeben (line-search tolerance). Auch hier wird für
weiterführende Details auf die Literatur (z. B. Wriggers [4, Kap. 5.1.4]) verwiesen.
Die bisher vorgestellten Verfahren gehen davon aus, dass eine eindeutige Nullstelle gefunden werden kann. In vielen praktischen Problemen, bei denen das Knick-, Durchschlagoder Beulverhalten von Interesse ist, ist dies nicht mehr der Fall. Vielmehr gibt es mehrere
mögliche Verschiebungszustände, die denselben Vektor innerer Reaktionskräfte hervorrufen, s. Abb. 12.5. Für solche Problemstellungen versagen die o. g. Verfahren häufig. Abhilfe
schaffen hier die Bogenlängenverfahren. Die Grundidee der Verfahren ist, eine Zusatzgleichung einzuführen, die das Lastinkrement beschränkt und so dem Lastpfad folgt und nicht
zu einer anderen Lösung springt. Für eine weitere Darstellung wird auf die umfassende
Beschreibung dieser Methoden bei Wriggers [4, Kap. 5.1.5, Kap. 7] verwiesen.
Literaturverzeichnis
[1] K.-J. Bathe. Finite element procedures. Prentice-Hall of India, New Delhi, 2007.
[2] J. Bonet und R. D. Wood. Nonlinear continuum mechanics for finite element analysis.
Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2. Aufl., 2008.
[3] M. Jung und U. Langer. Methode der finiten Elemente für Ingenieure. Springer
Vieweg, Wiesbaden, 2. Aufl., 2013.
[4] P. Wriggers. Nichtlineare Finite-Element-Methoden. Springer, Berlin, 2001.
Kapitel 13
Zeitintegration von nichtlinearen dynamischen
Problemen
Generell werden zeitabhängige technische Fragestellungen durch partielle Differenzialgleichungen beschrieben, wobei die Ableitungen der Unbekannten u(x, t) sowohl nach
der Zeit t, als auch nach den räumlichen Koordinaten x erfolgen. Ein Beispiel ist die
Impulsbilanz in Gl. (3.4). Die FEM ist ein Verfahren, um die räumliche Abhängigkeit in
ein diskretes lineares Gleichungssystem zu überführen. Die Form der Gleichungen wurde
in den vorigen Kapiteln ausführlich hergeleitet und lautet bei dynamischen nichtlinearen
Problemen:
M a(t) + t (u(t)) = f (t) .
(13.1)
Zusätzlich sind Anfangsbedingungen für die Verschiebungen und die Geschwindigkeiten
zu einem Zeitpunkt (gewöhnlich t = 0) zu definieren
u(t = 0) = u0
v(t = 0) = v0 .
Der Trägheitsterm ist dabei immer linear und die Massenmatrix mit konstanten Koeffizienten belegt. Für die folgende Darstellung wird von einem dämpfungsfreien System
ausgegangen, um die Gleichungen möglichst einfach zu halten. Durch die räumliche Diskretisierung mit finiten Elementen ist aus dem partiellen Differenzialgleichungssystem
ein System von gewöhnlichen, rein zeitabhängigen Differenzialgleichungen geworden.
Solche Systeme treten in vielen Bereichen auf, v. a. auch in der Mehrkörperdynamik [9].
In diesem Kapitel wird ein kurzer Überblick über die zwei in Verbindung mit der FEM
am häufigsten eingesetzten Verfahren gegeben. Im Gegensatz zur Mehrkörperdynamik, in
der üblicherweise die mechanischen Bewegungsgleichungen zweiter Ordnung in eine Zustandsraumdarstellung [s. 9, Kap. 2.4.3] überführt werden, die dann nur noch Ableitungen
1. Ordnung nach der Zeit enthält, wird das zeitabhängige Differenzialgleichungssystem
2. Ordnung der FEM direkt gelöst.
Bei rein linearen Systemen kann man durch einen harmonischen Ansatz auf den Frequenzbereich übergehen, wie in Kap. 8 gezeigt und damit die Zeitabhängigkeit durch eine
Transformation auflösen. Prinzipiell kann man mit Hilfe der Fouriertransformation auch
jede beliebige zeitliche Antwort beschreiben. Dies ist allerdings sehr aufwendig und wenn
Nichtlinearitäten eine Rolle spielen, müsste um jeden Betriebszustand eine Linearisierung
durchgeführt werden, um die Methoden der linearen Dynamik anzuwenden. Dann ist eine
Lösung im Zeitbereich zu bevorzugen.
© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2017
M. Wagner, Lineare und nichtlineare FEM, DOI 10.1007/978-3-658-17866-6_13
223
224
13 Zeitintegration von nichtlinearen dynamischen Problemen
In Falle der Lösung im Zeitbereich spricht man von direkter Zeitintegration. Der Begriff
rührt daher, dass die zu lösende Gl. (13.1) an diskreten Zeitpunkten t n ausgewertet wird
und dann zu einem nächsten Zeitpunkt t n+1 = t n + ∆t mit dem Zeitinkrement bzw. -schritt
∆t übergegangen wird, indem für den Verlauf der Feldgrößen und deren Zeitableitungen
über das Zeitinkrement Annahmen getroffen werden. Je nach Annahme unterscheidet man
verschiedene Verfahren. Anders betrachtet entspricht dies dem Ersetzen der Differenziale
durch Differenzen, d. h. z. B. dt → ∆t.
Es sind zwei prinzipielle Vorgehensweisen zu unterscheiden:
• Explizite Zeitintegration: Die Bewegungsgleichung wird zum aktuell bekannten Zeitpunkt t n ausgewertet
M a n + t (u n ) = f n ,
(13.2)
und die Größen zum nächsten Zeitpunkt t n+1 werden durch Extrapolation gewonnen.
Die Angabe des Index ()n an einer Größe dient zur Schreibvereinfachung und bedeutet
hier, dass diese Größe zum Zeitpunkt t n ausgewertet wird, z. B. u(t n ) → u n .
• Implizite Zeitintegration: Die Bewegungsgleichung wird am in der Zukunft liegenden
Zeitpunkt t n+1 ausgewertet, dessen Zustandsgrößen aktuell noch unbekannt sind
M a n+1 + t (u n+1 ) = f n+1 .
(13.3)
Es wird sich zeigen, dass aus diesem Grund die entstehenden Gleichungen nicht direkt
auflösbar sind, sondern die Unbekannten in impliziten Gleichungen enthalten sind.
Eine implizite Gleichung lässt sich nicht direkt nach einer Unbekannten auflösen, ein
Beispiel ist die Lösung von x = cos x. Daher rührt der Name dieser Verfahrensklasse.
Der wesentliche Unterschied zu expliziten Verfahren ist, dass eine implizite Gleichung
nur durch ein iteratives Verfahren gelöst werden kann.
13.1 Einführung
Zur Einführung wird der Fall in Abb. 13.1 betrachtet. Dargestellt ist der zeitliche Verlauf
Abb. 13.1 Approximation der
Beschleunigung durch eine
lineare Funktion
a
exakte Lösung
a n+1
a(t)
an
∆t
tn
t
t
tn+1
der Beschleunigung eines Systems als gestrichelte Linie. Dieser Beschleunigungsverlauf
ist zunächst unbekannt und soll aus der Lösung von Gl. (13.1) ermittelt werden. Dies ist
allerdings nicht direkt möglich. Deshalb wird angenommen, dass der Verlauf zwischen
einem Zeitpunkt t n und t n+1 linear verlaufen soll, im Bild als durchgezogene Linie dargestellt. Damit lässt sich für die Beschleunigung zu einem beliebigen Zeitpunkt t im Intervall
13.1 Einführung
225
über eine Geradengleichung Folgendes angeben:
a(t) a n+1 − a n
(t − t n ) + a n .
∆t
(13.4)
Die Definition der Beschleunigung lautet dv/dt = a. Damit lässt sich die Geschwindigkeit
durch Integration der Beschleunigung bis zum aktuellen Zeitpunkt gewinnen
Z v
Z t
Z t
a n+1 − a n
dv̂ = v − vn ≡
a dtˆ =
(tˆ − t n ) + a n dtˆ .
∆t
vn
tn
tn
Daraus folgt für einen beliebigen Zeitpunkt t ∈ [t n, t n+1 ] im Intervall:
"
v(t) = vn +
#t
a n+1 − a n tˆ2
( − t n tˆ) + a n tˆ
∆t
2
tn
t2
a n+1 − a n t 2
( − t n t − ( n − t 2n ))
∆t
2
2
a n+1 − a n 1
= vn + a n (t − t n ) +
(t − t n ) 2 .
∆t
2
= vn + a n (t − t n ) +
(13.5)
Betrachtet man nun das Ende des Intervalls (t → t n+1 ), erhält man die Geschwindigkeit
am rechten Intervallrand v(t) → v(t n+1 ) = vn+1 mit ∆t = t n+1 − t n :
a n+1 − a n
∆t
vn+1 = vn + a n ∆t +
2
"
#
1
1
= vn + (1 − ) a n + a n+1 ∆t
2
2
1
= vn + (a n + a n+1 )∆t .
2
(13.6)
(13.7)
Die Formel in der letzten Zeile enthält den Mittelwert der Beschleunigungen der beiden
Randbeschleunigungen. Diese Integrationsregel wurde bereits in Kap. 7.2.1.1 als Trapezregel bei der Berechnung räumlicher Integrale eingeführt. Der Faktor 1/2 ist für den
Vergleich mit Verfahrensvarianten in Gl. (13.11) und Gl. (13.15) farblich herausgehoben.
In Gl. (13.7) ist bereits eine wesentliche Eigenschaft erkennbar: Die Geschwindigkeit
zum Zeitpunkt t n+1 kann nur ermittelt werden, wenn der Beschleunigungszustand an
diesem Punkt bekannt ist. Dies ist generell nicht der Fall, deswegen ist diese Gleichung
nicht direkt lösbar und wird deshalb als implizit bezeichnet.
Zur Bestimmung der Verschiebung an einem zukünftigen Zeitpunkt wird nun identisch
vorgegangen. Aus du/dt = v folgt mit Gl. (13.5)
Z u
Z t
Z t
a n+1 − a n
d û = u − u n ≡
v dtˆ =
vn + a n (tˆ − t n ) +
(tˆ − t n ) 2 dtˆ .
2∆t
un
tn
tn
226
13 Zeitintegration von nichtlinearen dynamischen Problemen
Integration führt auf die Stammfunktion
#t
tˆ2
a n+1 − a n 1
3
u(t) = u n + vn tˆ + a n ( − t n tˆ) +
(tˆ − t n )
2
2∆t
3
tn
1
a
−
a
n+1
n
= u n + vn (t − t n ) + a n (t − t n ) 2 +
(t − t n ) 3 .
2
6∆t
"
Betrachtet man nun wieder das Ende des Intervalls (t → t n+1 ), erhält man die Verschiebung
am rechten Intervallrand u(t) → u(t n+1 ) = u n+1 mit ∆t = t n+1 − t n :
a n+1 − a n 3
1
∆t
u n+1 = u n + vn ∆t + a n ∆t 2 +
2
6∆t
"
!
#
1 1
1
= u n + vn ∆t +
−
a n + a n+1 ∆t 2 .
2 6
6
(13.8)
Auch in dieser Gleichung ist neben den Zustandsgrößen des aktuellen Zeitpunkts noch die
unbekannte Beschleunigung am zukünftigen Zeitpunkt notwendig. Der Faktor 1/6 ist für
den Vergleich mit Verfahrensvarianten in Gl. (13.12) und Gl. (13.14) farblich herausgehoben.
Um zu einer Gesamtlösung zu kommen, kann Gl. (13.8) nach a n+1 aufgelöst
a n+1 =
6
∆t 2
(u n+1 − u n ) −
6
vn − 2a n
∆t
und in Gl. (13.3) eingesetzt werden:
"
#
6
6
M
(u n+1 − u n ) − vn − 2a n + t (u n+1 ) = f n+1 .
∆t
∆t 2
Es verbleibt damit noch eine Unbekannte, nämlich die Verschiebung am Zeitpunkt t n+1 .
Sortiert man die Gleichung nach Unbekannten und Bekannten um, folgt:
"
#
6
6
6
(13.9)
M u n+1 + t (u n+1 ) = f n+1 + M
u n + vn + 2a n .
∆t
∆t 2
∆t 2
Aus dem zeitabhängigen gewöhnlichen Differenzialgleichungssystem in Gl. (13.3) ist ein
zeitunabhängiges nichtlineares Gleichungssystem geworden, das nur noch von Zustandsgrößen u n , vn und a n des aktuell bekannten Zeitpunkts abhängt und als Ergebnis die
Verschiebung u n+1 am zukünftigen Zeitpunkt liefert. Für die Lösung kann nun z. B. der
in Kap. 12.1 eingeführte Newton-Raphson-Algorithmus benutzt werden.
Da nur Größen des aktuell bekannten Zeitpunkts eingehen, spricht man bei diesem
Verfahren von einem Einschrittverfahren.
Es soll nochmals hervorgehoben werden, dass die wesentliche Annahme für die Herleitung der vorgenannten Gleichungen war, dass ein linearer Beschleunigungsverlauf zwischen zwei betrachteten Zeitpunkten angenommen wird. Weicht das tatsächliche Systemverhalten davon stark ab, ist das Ergebnis der Zeitintegration fehlerbehaftet.
13.2 Implizite Zeitintegration nach dem Newmark-β-Verfahren
227
13.2 Implizite Zeitintegration nach dem Newmark-β-Verfahren
Ein weitere Möglichkeit besteht darin, die Beschleunigung nicht als linearen Verlauf anzunehmen, sondern als konstant über das Betrachtungsintervall vorauszusetzen, s. Abb. 13.2.
Wählt man den konstanten Wert als Mittelwert der beiden Randbeschleunigungen, folgt
a
Abb. 13.2 Zeitintegration bei
Annahme einer konstanten
Beschleunigung
exakte Lösung
a(t)
a n+1
an
t
tn
a(t) =
t
∆t
1
(a n+1 + a n ) .
2
tn+1
(13.10)
Für die Geschwindigkeit folgt dann
Z t
Z t
1
1
(a n+1 + a n ) dtˆ = vn + (a n+1 + a n )(t − t n ) .
v = vn +
a dtˆ =
2
tn
tn 2
Beim Übergang auf die rechte Intervallgrenze folgt damit:
"
#
1
1
1
1
vn+1 = vn + a n ∆t + a n+1 ∆t = vn + (1 − )a n + a n+1 ∆t .
2
2
2
2
(13.11)
Weitere Integration, um auf die Verschiebung zu kommen, liefert:
!
Z t
1
u(t) = u n +
vn + (a n+1 + a n )(tˆ − t n ) dtˆ
2
tn
"
#t
1
2
ˆ
= u n + vn (t − t n ) + (a n+1 + a n )(t − t n )
.
4
tn
Für den rechten Intervallrand folgt damit die Verschiebung
"
!
#
1
1 1
a n+1 + a n 2
u n+1 = u n + vn ∆t +
∆t = u n + vn ∆t +
−
a n + a n+1 ∆t 2 . (13.12)
4
2 4
4
In Gl. (13.12) sind die Koeffizienten so aufgeteilt, dass man die Ähnlichkeit mit Gl. (13.8)
sieht. Die Faktoren sind einmal 1/6 und einmal 1/4, ansonsten ist die Struktur der Gleichung identisch. Die unterschiedlichen Faktoren entstehen durch die verschiedene Annahme des Beschleunigungsverlaufs in Gl. (13.4) bzw. Gl. (13.10). Dieses Verfahren mit
konstanten Beschleunigungen hat Newmark [7] vorgestellt.
228
13 Zeitintegration von nichtlinearen dynamischen Problemen
Eine Verallgemeinerung gelingt über die Taylorreihenentwicklung der Verschiebung
und Geschwindigkeit um den aktuellen Zeitpunkt t n bis zur dritten Zeitableitung (s. Wilson
[11]):
∆t 2
∆t 3
+ ȧ n
+...
2
6
∆t 2
= vn + a n ∆t + ȧ n
+... .
2
u n+1 = u n + vn ∆t + a n
vn+1
Der Term der dritten Ableitung, d. h. der Ableitung der Beschleunigung, wird in der
Mechanik als Ruck bezeichnet. Die zunächst unendliche Taylorreihe wird nun bei diesem
Glied abgebrochen, und um eine Kontrolle des entstehenden Fehlers zu erhalten, werden
die Konstanten γ und β eingeführt:
∆t 2
+ β ȧ n ∆t 3
2
= vn + a n ∆t + γ ȧ n ∆t 2 .
u n+1 = u n + vn ∆t + a n
vn+1
(13.13)
Nimmt man weiterhin an, dass sich die Beschleunigung in einem Zeitintervall linear
verändert, dann ist der Ruck eine Konstante und kann berechnet werden als:
ȧ n =
a n+1 − a n
.
∆t
Setzt man dies in Gl. (13.13) ein, folgen daraus die Differenzenquotienten des allgemeinen
Newmark- β-Verfahrens:
!
#
"
1
− β a n + β a n+1 ∆t 2
(13.14)
u n+1 = u n + vn ∆t +
2
vn+1 = vn + (1 − γ) a n + γ a n+1 ∆t .
(13.15)
Vergleicht man Gln. (13.8, 13.12) mit Gl. (13.14) und Gln. (13.6, 13.11) mit Gl. (13.15),
erkennt man den Zusammenhang der Variablen β und γ, die oben zur Fehlersteuerung
eingeführt wurden, mit den bisher hergeleiteten Sonderfällen des allgemeinen Verfahrens.
Sortiert man die Glieder nach den Indizes der Zeitschritte,
u n+1 = u n + vn ∆t + (1/2 − β) a n ∆t 2 + β a n+1 ∆t 2
|
{z
} | {z }
Prädiktor
Korrektor
vn+1 = vn + (1 − γ) a n ∆t + γ a n+1 ∆t ,
|
{z
} | {z }
Prädiktor
Korrektor
wird ersichtlich, dass man das Verfahren auch als Prädiktor-Korrektor-Verfahren interpretieren kann, da der erste Block in die Zukunft extrapoliert und durch den zweiten Block
korrigiert wird, s. Hughes [4, Kap. 9.1.1, S. 490].
Umformung von Gl. (13.14) liefert für die Beschleunigung am zukünftigen Zeitpunkt:
!
1
1
1
a n+1 =
(u n+1 − u n ) −
vn −
− 1 an .
(13.16)
β∆t
2β
β∆t 2
13.2 Implizite Zeitintegration nach dem Newmark-β-Verfahren
229
Das zu lösende Gleichungssystem lautet dann nach Einsetzen in Gl. (13.3)
"
! #
1
1
1
1
+
t
(u
)
=
f
+
M
M
u
u
+
v
+
−
1
an .
n+1
n+1
n+1
n
n
β∆t
2β
β∆t 2
β∆t 2
Man erkennt, wie auch in Gl. (13.9), dass ein nichtlineares Gleichungssystem gelöst werden
muss, um die Verschiebungen zu berechnen, woher der Name implizites Zeitintegrationsverfahren rührt. Dies ergibt sich daraus, dass der rot hervorgehobene Term der inneren
Reaktionskräfte t (u n+1 ) eine nichtlineare Funktion der Verschiebungen ist. Die iterative
Lösung dieses Gleichungssystems in jedem Zeitschritt bedeutet einerseits einen sehr hohen
Rechenaufwand. Andererseits ist das Verfahren bei entsprechender Wahl der Parameter
unbedingt stabil, d. h. man kann mit großen Zeitschritten rechnen. Besonders wichtig ist,
dass die Bewegungsgleichungen am zukünftigen Zeitpunkt gelöst werden, da Gl. (13.3)
als Ausgangsgleichung genutzt wird. Damit werden die Gleichgewichtsbedingungen konsistent erfüllt, was die hohe Genauigkeit auch bei großen Zeitschritten erklärt.
Der Ablauf des Newmark- β-Verfahren zur Ermittlung eines neuen Zustands am Zeitpunkt t n+1 ist in Algorithmus 13.1 detailliert beschrieben, inklusive der Iterationen für
die Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems, s. Kap. 12.1. Für das Verständnis der
Algorithmus 13.1 Newmark- β-Verfahren
Eingabe: Anfangsbedingungen u 0, v 0 , Zeitschritt und Endzeit ∆t, tE , max. Anzahl Iterationen pro Inkrement K, Fehlertoleranz εu , Newmark-Parameter γ und β
1: n = 0, t = 0, k = 0
2: Berechne M
3: Cholesky-Zerlegung Massenmatrix: M → L L T , s. Kap. 5.6.1
4: a 0 = M −1 [ f 0 − t (u 0 )]
5: repeat
(0)
6:
Setze Startkonfiguration auf letzte iterierte Konfiguration u temp
= un
1
1
1
ˆ
7:
Bestimme äußere Gesamtlast f n+1 = f n+1 + M β∆t 2 u n + β∆t v n + 2β
− 1 an
8:
9:
repeat
Berechne aktuelle Reaktionskraft t n(k ) =
(k )
1
M u temp
+
β∆t 2
(k )
∂r KT ← ∂u (k )
u temp
(k )
t (u temp
)
10:
Berechne Tangentensteifigkeitsmatrix
11:
12:
13:
Löse KT(k ) ∆u (k ) = fˆn+1 − t n(k )
(k+1)
(k )
Speichere Zwischenkonfiguration u temp
= u temp
+ ∆u (k )
Zähler erhöhen
k ← k + 1
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
∆u n(k−1) until k > K or ku max k ≤ εu
if k > K then
Konvergenzfehler → Stop
end if
(k )
Zuweisen Gesamtverschiebung nach Ende Iterationen
u n+1 = u temp
1
1
1
a n+1 = β∆t
2 (u n+1 − u n ) − β∆t v n − 2β − 1 a n aus Gl. (13.16)
v n+1 = v n + (1 − γ) a n + γ a n+1 ∆t aus Gl. (13.15)
Erhöhe Zähler n ← n + 1, t ← t + ∆t, k = 0
until t = tE
230
13 Zeitintegration von nichtlinearen dynamischen Problemen
inneren Schleife des Newton-Raphson-Verfahrens in den Schritten 8 – 17 wird speziell
auf Abb. 12.4 verwiesen. Voraussetzung ist, dass der Zeitpunkt t n vollständig bekannt ist.
Im Rahmen numerischer Zeitintegration spielt die Stabilität eines Verfahrens eine
wichtige Rolle. Bei einem unbedingt stabilen Verfahren kann der Zeitschritt beliebig
groß gewählt werden, ohne dass die numerische Lösung von der analytischen abweichen
würde. Ein bedingt stabiles Verfahren hat eine Obergrenze für den Zeitschritt, die nicht
überschritten werden darf, da ansonsten der Algorithmus instabil wird, d. h., dass sich die
Lösungen aufschaukeln, ohne dass Energie zugeführt würde, s. das Beispiel in Kap. 13.3.
Damit das Newmark- β-Verfahren unbedingt stabil ist, müssen die Parameter in gewissen
Grenzen gewählt werden (Goudreau und Taylor [3]):
1 1
β≥
+γ
4 2
1
γ≥
2
!2
.
(13.17)
Ein weiterer Effekt bei numerischer Zeitintegration ist, dass trotz einer mechanisch
dämpfungsfreien Modellierung die Amplitude einer Schwingung mit der Zeit absinkt. Die
analytische Lösung gibt aber vor, dass die Amplitude für alle Zeiten konstant bleibt, da
keine Dämpfung existieren soll. Dieser Effekt wird als numerische Dämpfung bezeichnet. Dies ist in geringem Umfang häufig erwünscht, da dem System dadurch Energie
entzogen wird und so hochfrequente Schwingungsanteile unterdrückt werden, die das Lösungsverhalten negativ beeinflussen können. Die numerische Dämpfung kann über die
Newmark-Parameter gesteuert werden. Üblicherweise werden verschiedene Sonderfälle
des allgemeinen Newmark- β-Verfahrens nach Tab. 13.1 klassifiziert.
Tabelle 13.1 Varianten des Newmark-β-Verfahrens
Variante
Parameter
Eigenschaften
Konstante Beschleunigungsmethode
1
1
γ= ,β=
2
4
implizit, unbedingt stabil und ungedämpft, Lösung neigt zu Schwingungen.
Lineare Beschleunigungsmethode
γ=
1
1
,β=
2
6
implizit, bedingt stabil, numerische
Dämpfung ist enthalten.
Fox-Goodwin-Verfahren
γ=
1
1
,β=
2
12
implizit, bedingt stabil, numerische
Dämpfung ist enthalten.
zentrales Differenzenverfahren
γ=
1
,β=0
2
explizit, bedingt stabil, s. Kap. 13.3.
In Abb. 13.3 ist für das ungedämpfte Stabbeispiel aus Kap. 8.1 die analytische Lösung
der Bewegungsgleichung für die Anfangsbedingungen u0 = 5 mm und v0 = 0 mm/s
mit der ungedämpften konstanten Beschleunigungsmethode für γ = 0.5 und β = 0.25
gegenübergestellt bei einem Zeitschritt ∆t = 1,73 · 10−5 s. Man sieht, dass die Amplituden
der numerischen Lösung nicht abnehmen, also keine numerische Dämpfung eingebracht
wird, wie in Tab. 13.1 für diese Parameterkombination angegeben.
Um den Effekt der numerischen Dämpfung zu zeigen, ist in Abb. 13.3 noch die numerische Lösung für die Werte γ = 0.6, β = 0.38, die für LS-DYNA empfohlen werden [5],
13.3 Explizite Zeitintegration nach dem zentralen Differenzenverfahren
5
Verschiebung u / mm
Abb. 13.3 Frequenzverschiebung und numerische
Dämpfung beim Newmarkβ-Verfahren für ∆t = 1.73 ·
10−5 s, γ = 0.5, β = 0.25
(
) sowie γ = 0.6, β =
0.38 (
), im Vergleich zur
)
analytischen Lösung (
231
0
−5
0
0.2
0.4
0.8
0.6
Zeit t / s
1
1.2
1.4
·10−3
eingezeichnet. Man sieht nun, dass dadurch eine sehr starke numerische Dämpfung verursacht wird, weswegen diese Parameterkombination nur für sehr kurze Simulationszeiten
eingesetzt werden sollte.
In Abb. 13.3 wird ein weiterer Effekt numerischer Zeitintegrationsverfahren sichtbar,
in Form einer numerischen Frequenzänderung der berechneten Lösung. Von Wood [12,
Kap. 4.2 ff.] wird gezeigt, dass beim Newmark-Verfahren die Frequenz einer Schwingung
mit Erhöhung der Parameter γ und β im Vergleich zur analytischen Lösung abfällt und
die Schwingungsdauer zunimmt. Den geringsten Effekt hat man beim Fox-GoodwinVerfahren nach Tab. 13.1. Der Effekt ist nicht an die numerische Dämpfung gekoppelt, da
er auch bei der ungedämpften Variante auftritt.
Ein ausführliche Beschreibung dieses Verfahrens findet sich bei Hughes [4, Kap. 9.1].
13.3 Explizite Zeitintegration nach dem zentralen
Differenzenverfahren
Das zentrale Differenzenverfahren lässt sich formal aus dem Newmark- β-Verfahren durch
die Parameterkombination γ = 21 und β = 0 darstellen. Die Herleitung gelingt aber über
eine andere Herangehensweise anschaulicher. Beim zentralen Differenzenverfahren wird
davon ausgegangen, dass die Verschiebung und die Geschwindigkeit von einem Zeitschritt
zum nächsten linear verläuft. Daraus wird die Beschleunigung zum Zeitpunkt t n berechnet.
Ausgehend von einem aktuellen Zeitpunkt t n wird der Vorwärts- sowie der Rückwärtsdifferenzenquotient für die Geschwindigkeit als Steigungen der Geraden zwischen den
Zeitpunkten t n−1 , t n und t n+1 definiert, s. Abb. 13.4:
u n+1 − u n
∆t
u n − u n−1
=
.
∆t
vnvorw = vn+1/2 =
vnrückw = vn−1/2
(13.18)
(13.19)
232
13 Zeitintegration von nichtlinearen dynamischen Problemen
Abb. 13.4 Definition von
Differenzenquotienten:
Vorwärts-, Rückwärts- , zentraler Differenzenquotient bei
konstantem Zeitschritt
u
un+1
un
exakte Lösung
vn+1/2 = vnvorw
vn−1/2 = vnrückw
un−1
t
tn−1
tn−1/2
tn
∆t
tn+1/2
tn+1
∆t
∆t
Die Geschwindigkeit ist damit zwischen zwei Zeitpunkten konstant, wird aber aus später
ersichtlichen Gründen einem Zwischenzeitschritt t n−1/2 und t n+1/2 zugeordnet. Bezogen
auf den aktuellen Zeitpunkt t n wird mit Gl. (13.18) eine Geschwindigkeit in der Zukunft
berechnet, deswegen wird dies als Vorwärtsdifferenzenquotient bezeichnet, umgekehrt
Gl. (13.19) als Rückwärtsdifferenzenquotient.
Der zentrale Differenzenquotient lässt sich dann als Mittelwert von Vorwärts- und
Rückwärtsdifferenzenquotient definieren
vn =
1 vorw
u n+1 − u n−1
(vn + vnrückw ) =
.
2
2∆t
(13.20)
Die Beschleunigung wird ebenfalls aus Vorwärts- und Rückwärtsdifferenzenquotient berechnet, indem wieder angenommen wird, dass ein linearer Geschwindigkeitsverlauf
herrscht und damit die Beschleunigung als konstante Steigung angenommen werden kann:
an =
vn+1/2 − vn−1/2
vnvorw − vnrückw
=
.
∆t
∆t
(13.21)
Es ist zu beachten, dass dies physikalisch nicht stimmig ist, da Geschwindigkeiten und
Beschleunigungen durch Ableitung aus den Verschiebungen folgen, man aber für beide
Ableitungen einen linearen Verlauf zu Grunde legt. Hier unterscheidet sich das Verfahren
vom Newmark-Verfahren, da hier die Größen Geschwindigkeit und Verschiebung durch
Integration eines angenommenen linearen Beschleunigungsverlaufs gewonnen werden.
Die Zusammenhänge zwischen Verschiebung, Geschwindigkeit und Beschleunigung sind
in Abb. 13.5 gezeigt. Ganz unten ist derselbe Sachverhalt wie in Abb. 13.4 für die Verschiebung nochmals abgebildet. Einsetzen von Gl. (13.18) und Gl. (13.19) liefert
an =
u n−1 − 2u n + u n+1
.
∆t 2
(13.22)
13.3 Explizite Zeitintegration nach dem zentralen Differenzenverfahren
Abb. 13.5 Verlauf Bewegungsgrößen beim zentralen
Differenzenverfahren mit konstantem Zeitschritt
233
a
an
t
v
vn+ 1
2
vn− 1
2
u
un+1
un
un−1
tn−1
t
tn− 1
2
tn
∆t
tn+ 1
2
tn+1
t
∆t
∆t
Dieser Term wird als zentraler Differenzenquotient der Beschleunigung bezeichnet, da
ein Zeitpunkt vor und nach dem Betrachtungszeitpunkt mit in die Gleichungen eingeht.
Durch Gl. (13.22) ist es möglich, die Beschleunigung rein durch Verschiebungsgrößen
auszudrücken. Weiterhin ist zu beachten, dass anders als beim Newmark- β-Verfahren, die
Beschleunigung am aktuellen Zeitpunkt und nicht am Zeitpunkt in der Zukunft berechnet
wird. Mit Gl. (13.20) und Gl. (13.22) sind zwei Gleichungen für die drei Unbekannten
u n+1 , vn und a n gegeben. Die fehlende Gleichung stellt die Bewegungsgleichung des
Kontinuums dar. An dieser Stelle entsteht der wesentliche Unterschied zu Kap. 13.2. Da
die gewonnenen Differenzenquotienten zum aktuellen Zeitpunkt bekannt sind, wird für das
explizite Zeitintegrationsverfahren die Ausgangsgleichung Gl. (13.2) im aktuellen Schritt
benutzt. Einsetzen von Gl. (13.22) in diese Bewegungsgleichung liefert
1
M (u n−1 − 2u n + u n+1 ) = f n − t (u n ) .
∆t 2
Umformen nach unbekannten und bekannten Größen ergibt schließlich eine Bestimmungsgleichung für die Verschiebungen am Zeitpunkt in der Zukunft:
1
1
M u n+1 = f n − t (u n ) − 2 M (u n−1 − 2u n ) .
∆t 2
∆t
(13.23)
In Gl. (13.23) ist der Hauptunterschied zu einem impliziten Verfahren wie dem Newmarkβ-Verfahren ersichtlich. Auf der linken Seite steht die Unbekannte als lineares Glied und
rechts nur bekannte Größen. Deswegen kann direkt bzw. explizit nach der Unbekannten aufgelöst werden, weswegen dieses Verfahren als explizites Zeitintegrationsverfahren
bezeichnet wird.
Trotzdem ist noch die Massenmatrix zu faktorisieren, um das lineare Gleichungssystem
zu lösen. Da die Massenmatrix aber konstant ist, muss dies nur einmal vor dem Beginn
des Zeitschrittverfahrens, z. B. als Cholesky-Zerlegung gemacht werden. Eine Vorwärts/Rückwärtssubstitution (s. Kap. 5.6.1) ist allerdings in jedem Zeitschritt durchzuführen,
was beim expliziten Verfahren zu extremen Rechenzeiten führen kann. Es gibt aber Möglichkeiten diese Gleichungslösung zu umgehen. Auf diesen Sachverhalt wird in Kap. 13.3.2
234
13 Zeitintegration von nichtlinearen dynamischen Problemen
noch eingegangen. Der Vorteil des Verfahrens liegt dann darin, dass bei geeigneter Aufstellung der Massenmatrix gar kein Gleichungssystem zu lösen ist. Das Verfahren ist im
einzelnen Zeitschritt sehr effizient. Nachteilig ist aber, dass die Information am Zeitpunkt
t n+1 extrapoliert wird aus Daten von t n mit Gl. (13.2). Es wird also die Gleichgewichtsbedingung am zukünftigen Zeitpunkt nicht exakt erfüllt. Deswegen sind im Vergleich zum
impliziten Verfahren sehr kleine Zeitschritte nötig.
Anders als beim Newmark-Verfahren ist hier noch ein weiterer Punkt aus der Vergangenheit notwendig, u n−1 . Da neben dem aktuellen Zeitpunkt noch weiter zurückliegende
Daten genutzt werden, spricht man hier von einem Mehrschrittverfahren. Zur Steigerung der Genauigkeit existieren viele weitere Verfahren, die mehr Zeitpunkte aus der
Vergangenheit benutzen1. Als Nachteil ergibt sich, dass deutlich mehr Auswertungen
der FEM-Matrizen für einen Zeitpunkt notwendig sind, weswegen sich diese Verfahren
in kommerziellen Anwendungen aufgrund der stark steigenden Berechnungszeiten nicht
durchgesetzt haben. Diese Verfahren sollen deshalb hier nicht weiter besprochen werden.
Einen Überblick liefern Hughes [4], Wood [12] sowie Wriggers [13].
Um das allgemeine zentrale Differenzenverfahren zu starten, ist neben den Anfangsbedingungen u0 und v0 2 noch eine Verschiebung u0−1 vor dem Startzeitpunkt notwendig.
Diese kann über eine Taylorreihenentwicklung bis zum zweiten Glied abgeschätzt werden
(bzw. wenn man Gl. (13.20) nach u n+1 auflöst und in Gl. (13.22) einsetzt, nach u n−1 auflöst
und n = 0 setzt):
u0−1 = u(t 0 − ∆t) = u0 + v0 (−∆t) + a0
(−∆t) 2
.
2
Die benötigte Beschleunigung a0 zum Startzeitpunkt kann aus Gl. (13.2) bestimmt werden. Die Verschiebung u n+1 wird aus u n und u n−1 berechnet und daraus dann der aktuelle
Geschwindigkeits- und Beschleunigungszustand vn und a n , s. Algorithmus 13.2. Es werden also nur Verschiebungen benutzt, der Geschwindigkeits- und Beschleunigungszustand
bleibt für die Berechnung zukünftiger Punkte ungenutzt.
Bemerkung: In Tab. 13.1 wurde das zentrale Differenzenverfahren als Variante des Newmark-β Verfahrens für γ = 0.5 und β = 0 bezeichnet. Setzt man dies in Gl. (13.14) ein folgen die Differenzenquotienten:
∆t
2
∆t 2
= u n + v n ∆t + a n
.
2
v n+1 = v n + [a n + a n+1 ]
(13.24)
u n+1
(13.25)
Da diese Herangehensweise über ein implizites Verfahren begründet wird, werden diese Differenzenquotienten in Gl. (13.3) eingesetzt, obwohl es sich um ein explizites Verfahren handelt. Es folgt für die
Beschleunigung
1 Zu diesen Verfahren zählen z. B. die implizite Wilson-Θ-Methode, die eine Erweiterung der linearen
Beschleunigungsmethode ist, indem der Zeitschritt mit einem Parameter versehen wird, tn+1 = tn + Θ∆t.
Das Houboult-Verfahren ist ein implizites Mehrschrittverfahren, das zwei in der Vergangenheit liegende
Zeitpunkte mit berücksichtigt und damit insgesamt einen zeitlichen Verlauf annimmt, der einem kubischen
Polynom (also nicht mehr einem linearen Verlauf) entspricht.
2 Die Geschwindigkeiten gehen nur ein, wenn Dämpfung in den Gleichungen mit berücksichtigt wird.
Dies wurde hier aus Darstellungsgründen ausgelassen, kann aber z. B. bei Wriggers [13, Kap. 6.1.1]
nachgelesen werden.
13.3 Explizite Zeitintegration nach dem zentralen Differenzenverfahren
235
Algorithmus 13.2 Allgemeines Zentrales Differenzenverfahren
Eingabe: Anfangsbedingungen u 0, v 0 , Zeitschritt und Endzeit ∆t, tE
1: n = 0, t = 0
2: Berechne M
3: Cholesky-Zerlegung Massenmatrix: M → L L T , s. Kap. 5.6.1
4: a 0 = M −1 [ f 0 − t (u 0 )]
2
5: u 0−1 = u 0 − v 0 ∆t + a 0 (∆t2 )
6: repeat
7:
u n+1 = M −1 [ f n − t (u n )]∆t 2 − (u n−1 − 2u n ) aus Gl. (13.23)
8:
a n = (u n−1 − 2u n + u n+1 )/∆t 2 aus Gl. (13.22)
9:
v n = (u n+1 − u n−1 )/(2∆t) aus Gl. (13.20)
10:
Erhöhe Zähler n ← n + 1, t ← t + ∆t
11: until t = tE
∆t 2
).
2
Auch hierbei handelt es sich um eine explizite Gleichung, wobei hier nun keine Punkte aus der Vergangenheit mehr eingehen, da die Gleichung des zukünftigen Punkts genutzt wurde.
Den Zusammenhang zwischen den Differenzenquotienten des zentralen Differenzenverfahrens in
Gl. (13.20), Gl. (13.21) und Gl. (13.24), Gl. (13.25) kann man darstellen, indem man die zentralen Differenzen nochmals für den aktuellen Zeitpunkt anschreibt:
M a n+1 = f n+1 − t (u n + v n ∆t + a n
v n = v n−1 + [a n−1 + a n ]
∆t
2
u n = u n−1 + v n−1 ∆t + a n−1
(13.26)
∆t 2
2
.
(13.27)
Löst man Gl. (13.26) nach v n−1 auf und setzt dies in Gl. (13.27) ein und dieses Ergebnis in Gl. (13.25), sieht
man direkt, dass der zentrale Differenzenquotient Gl. (13.20) entsteht. Analog kann man Gl. (13.27) nach
a n−1 auflösen und in Gl. (13.26) einsetzen. Mit der Definition des zentralen Geschwindigkeitsquotienten
erhält man damit Gl. (13.21).
Der Unterschied in den beiden Varianten besteht im Prinzip darin, dass das Gleichungssystem in dieser
Variante am zukünftigen Zeitpunkt ausgewertet wird. Anders als in Algorithmus 13.2 gehen hier auch
Geschwindigkeiten und Beschleunigungen am aktuellen Zustand ein.
13.3.1 Praktische Umsetzung des Verfahrens
Der oben vorgestellte Algorithmus des zentralen Differenzenverfahrens hat einen entscheidenden Nachteil, da zum Betrachtungszeitpunkt t n nicht alle Größen des zukünftigen
Zeitpunkts t n+1 berechnet werden können, sondern nur die Verschiebungen. Erst im nächsten Zeitschritt werden die zusätzlichen Größen der Beschleunigung und Geschwindigkeit
berechnet. Benötigt man für die Berechnung aber diese Größen, z. B. in dehnratenabhängigen Materialmodellen, die wiederum zur Berechnung des Spannungszustands wichtig
sind, dann ist das bisher vorgestellte Verfahren nicht besonders gut geeignet, da man immer
nur mit „veralteten“ Werten rechnen könnte.
Aus diesem Grund wird in kommerziellen Programmen eine Variante benutzt, die
als Leapfrog-Verfahren (Leapfrog=Bocksprung) bezeichnet wird (Dunne [2, Kap. 4.5]),
236
13 Zeitintegration von nichtlinearen dynamischen Problemen
die dieses Problem zumindest teilweise beseitigt: Zur Berechnung der Geschwindigkeit
wird nicht der zentrale Differenzenquotient in Gl. (13.20) benutzt, sondern der Vorwärtsdifferenzenquotient in Gl. (13.18). Aus diesem Grund wurde die Bezeichnung mit dem
Zwischenzeitschritt t n+1/2 eingeführt. Man wertet die Geschwindigkeit nicht exakt am
zukünftigen Zeitpunkt t n+1 aus, sondern dazwischen. Damit hinkt die Geschwindigkeitsberechnung zwar immer noch um einen halben Zeitschritt hinterher, aber da in einem
expliziten Verfahren die Zeitschritte aufgrund des Stabilitätskriteriums (s. Kap. 13.3.4)
sowieso sehr klein sind, wird dieser Fehler in Kauf genommen für den Vorteil eine genauere Geschwindigkeit zu haben, als die am Zeitpunkt t n . In diesem Sinne ist dieses
Verfahren eine Mischung aus allgemeinem zentralen Differenzenverfahren und EulerVorwärtsverfahren3.
Die Darstellung wird hier vereinfacht, da angenommen wird, dass der Zeitschritt konstant ist, d. h. ∆t = t n+1 −t n = t n+1/2 −t n−1/2 . Dies ist im Allgemeinen nicht der Fall, da sich
der Zeitschritt permanent verändern kann. Der Ablauf ist in Algorithmus 13.3 dargestellt.
Während eines Zeitschritts wird aus der aktuellen Beschleunigung der VerschiebungsAlgorithmus 13.3 Explizites Leapfrog-Verfahren
Eingabe: Anfangsbedingungen u 0, v 0 = v 0−1/2 , Zeitschritt und Endzeit ∆t, tE
1: n = 0, t = 0
2: Berechne Punktmassenmatrix M, s. Kap. 13.3.2
3: repeat
4:
a n = M −1 [ f n − t (u n )]
5:
v n+1/2 = v n−1/2 + a n ∆t, s. Gl. (13.21)
6:
u n+1 = u n + v n+1/2 ∆t, s. Gl. (13.18)
7:
Berechne innere Kräfte t (u n+1 ) (Spannungsauswertung) und äußere Kräfte f n+1
8:
Erhöhe Zähler n ← n + 1, t ← t + ∆t
9: until t = tE
und Geschwindigkeitszustand am nächsten Zeitschritt bzw. in der Mitte berechnet. Die
Beschleunigung am nächsten Zeitschritt wird dann wieder mit Gl. (13.2) mit den gerade
berechneten Verschiebungsgrößen ausgewertet.
13.3.2 Punktmassenmatrix
Das zentrale Differenzenverfahren ist dann besonders effizient, wenn die Invertierung der
Massenmatrix in Gl. (13.23) ohne großen Aufwand möglich ist. Eine besonders einfache
Invertierung ergibt sich, wenn die Matrix nur Elemente auf der Hauptdiagonale trägt, da
die Inverse dann einfach durch Kehrwertbildung der einzelnen Einträge entsteht.
Die in Gl. (8.2) hergeleitete Massenmatrix wird als konsistente Massenmatrix bezeichnet, da sie die Wechselwirkung der auf die Knoten verteilten Massen untereinander enthält.
3 Für eine allgemeine Differenzialgleichung 1. Ordnung ẋ = g(x, t) gilt für das explizite EulerVorwärtsverfahren die Iterationsvorschrift x n+1 = x n + ∆tg(x n, t). Es folgt durch Einsetzen des Vorwärtsdifferenzenquotienten analog Gl. (13.18), s. a. Kap. 10.4.
13.3 Explizite Zeitintegration nach dem zentralen Differenzenverfahren
237
Eine Massenmatrix mit Diagonalform entkoppelt alle Variablen, womit dieser Effekt dann
vernachlässigt wird. Für das Stabbeispiel wurde die konsistente Massenmatrix in Gl. (8.3)
berechnet. Die konsistente Massenmatrix ist symmetrisch, vor allem aber voll besetzt.
Darin spiegelt sich die Interaktion der Masse im physikalischen Körper wieder.
Um nun aus den genannten numerischen Gründen eine Matrix in Diagonalform für das
Stabelement zu erhalten, kann durch Anwendung der Lobatto-Quadratur aus Kap. 7.2.2.1
eine Punktmassenmatrix (lumped-mass matrix) ermittelt werden, da bei dieser Integrationsregel die Integrationspunkte auf den Knoten liegen. Numerisch integriert mit zwei
Stützstellen ergibt sich damit4:
e
e
M11
= M22
= ρA
Z
`
x
(1 − ) 2 dx = ρA
`
0
Z
+1
−1
2
ρA`
1
`
ρA` X
(1 − ξi ) 2 wi =
(1 − ξ) 2 dξ =
4
2
8 i=1
2
und
e
e
M12
= M21
= ρA
`
Z
2
(1 −
0
`X1
x x
) dx = ρA
(1 − ξi )(1 + ξi )wi = 0 .
` `
2 i=1 4
Die Punktmassenmatrix des Stabelements lautet damit:
" #
ρA` 1 0
e
M =
.
2 01
Auf dieses Ergebnis kommt man auch, wenn man in Gl. (8.3) die Summe über eine Spalte
oder Zeile bildet und diesen Wert auf die Hauptdiagonale schreibt und auf alle Nebendiagonalelemente null. Diese Darstellung betrachtet das physikalische System als aus
Punktmassen aufgebaut, daher die Bezeichnung Punktmassenmatrix. Die Gesamtmasse
bleibt erhalten, aber die lokalen Trägheitseffekte der Masse sind anders, man verändert
damit also das betrachtete Modell.
Die Vorgehensweise, eine Punktmassenmatrix durch Summation der Einträge einer
Zeile der konsistenten Massenmatrix zu erzeugen, ist insbesondere für Elemente mit linearer und auch quadratischer Ansatzfunktion nutzbar. Üblicherweise werden bei expliziter Zeitintegration lineare Elemente benutzt. Bei Serendipity-Elementen mit quadratischen
Ansätzen (s. Kap. 6.5.1.1) folgen allerdings negative Punktmasseneinträge, die numerische
Probleme erzeugen können, s. Hughes [4, Kap. 7.3.2, S. 443ff.].
13.3.3 Nutzung quadratischer Ansatzfunktionen in expliziten Verfahren
Neben der oben erwähnten Schwierigkeit mit quadratischen Serendipity-Elementen bei der
Bestimmung der Punktmassenmatrix, gibt es noch weitere Einschränkungen bei der Nutzung von quadratischen Ansatzfunktionen in expliziten Zeitintegrationsverfahren, sodass
i. d. R. lineare Elemente genutzt werden:
4 Man beachte die Koordinatentransformation x/` = 1/2(ξ + 1).
238
13 Zeitintegration von nichtlinearen dynamischen Problemen
• Elemente mit quadratischem Ansatz haben bei gleicher Kantenlänge einen um mehr
als die Hälfte kleineren kritischen Zeitschritt als lineare Elemente (s. Wu und Gu [14,
Kap. 3.5]), da die Eigenfrequenz aufgrund der höherwertigen Interpolation höher ist.
• Die in Kap. 7.1.1 eingeführte kubische Konvergenzrate quadratischer Ansätze kommt
in nichtlinearen Berechnungen nicht zum Tragen, da diese Aussagen nur für glatte
Lösungen gelten. Hat man es z. B. mit elastoplastischem Materialverhalten zu tun, geht
diese Eigenschaft verloren, s. Belytschko et al. [1, Kap. 8.2.4, S. 460].
• Dort wird auch erläutert, dass sich Elementverzerrungen bei höherwertigen Ansätzen in
nichtlinearen Berechnungen stärker auswirken und den Vorteil quadratischer Ansätze
weiter reduzieren.
• Außerdem ist die Kontaktberechnung bei gekrümmten Elementen mit höheren Ansatzordnungen sehr aufwendig.
Da der einzelne Zeitschritt in einem expliziten Verfahren effizient berechenbar sein muss,
damit das Verfahren überhaupt anwendbar ist (s. Kap. 13.4), sind Elemente mit quadratischer Ansatzfunktion aus den vorgenannten Gründen wenig geeignet für transiente Dynamik mit expliziter Zeitintegration.
13.3.4 Stabilitätskriterium
Das zentrale Differenzenverfahren ist nur bedingt stabil und damit darf der Zeitschritt eine problemabhängige Grenze nicht überschreiten. Das Courant-Friedrichs-LevyStabilitätskriterium erlaubt die Berechnung einer Obergrenze für den zulässigen Zeitschritt. Diese Grenze ergibt sich für lineare ungedämpfte Systeme über die maximale
Eigenfrequenz des diskretisierten Systems zu
∆t n ≤ ∆t krit =
2
.
ωmax
Die maximale Eigenfrequenz ist bei großen Systemen zunächst unbekannt und sehr hoch.
Das heißt, es sind extrem kleine Zeitschritte notwendig. Die Berechnung der größten
Eigenfrequenz wird allerdings aus Effizienzgründen nicht durchgeführt. In Wu und Gu
[14, Kap. 2.4.1] wird gezeigt, dass die maximale Systemeigenfrequenz ωmax kleiner als
die maximale Eigenfrequenz aller Elemente maxe (ω e ) ist und damit der globale kritische
Zeitschritt ∆t krit immer größer als der kleinste Zeitschritt aller Elemente mine ∆t krit,e .
Damit kann man den kritischen Zeitschritt abschätzen, indem man den minimalen
Zeitschritt aller Elemente bestimmt:
∆t krit = min ∆t krit,e = min
e
e
` chare
.
ce
(13.28)
In den kritischen Zeitschritt eines Elementes geht eine charakteristische Länge (Kantenlänge, Diagonale etc.) des Elements e und die Schallgeschwindigkeit ce im betrachteten
Material ein (s. eine detaillierte Herleitung in Hughes [4, Kap. 9.1–2]) mit den Beziehungen nach Tab. 13.2. Die Gl. (13.28) kann physikalisch interpretiert werden: Stellt man
Gl. (13.28) um, folgt ` chare = ce ∆t krit,e . Diese Gleichung sagt aus, dass eine Longitu-
13.3 Explizite Zeitintegration nach dem zentralen Differenzenverfahren
239
Tabelle 13.2 Wellenausbreitungsgeschwindigkeit ce einer Longitudinalwelle in linear-elastischem Material in Abhängigkeit der Dimension mit Zahlenbeispiel der Materialdaten aus Tab. A.2 und ν = 0,3
1-D
q
E
ρe
5179 m/s
2-D
q
3-D
q
E
ρ e (1−ν 2 )
5429 m/s
E (1−ν)
ρ e (1+ν)(1−2ν)
6009 m/s
dinalwelle in einem 1-D-Kontinuum die Zeit ∆t krit,e benötigt, um die charakteristische
Länge eines Elements zu durchlaufen. Wird der kritische Zeitschritt überschritten, kann
eine Welle ein Element durchlaufen, ohne dass das Element in diesem Zustand berechnet
wurde. Eine Änderung der Spannungen und Dehnungen würde damit verloren gehen. Für
2-D und 3-D Elemente stellt diese Beziehung ebenfalls eine konservative Abschätzung
des kritischen Zeitschrittes dar. Wesentlich ist die Wahl der charakteristischen Länge, die
vom Elementtyp abhängt.
Als Beispiel soll wieder das ungedämpfte Stabbeispiel aus Kap. 8.1 dienen. In Abb. 13.6
ist das Verhalten des zentralen Differenzenverfahrens für einen stabilen Zeitschritt gezeigt.
In Abb. 13.6 ist ebenfalls der Effekt einer numerischen Frequenzänderung der berechne6
Verschiebung u / mm
Abb. 13.6 Zentrales Differenzenverfahren für ein
Stabelement mit stabilem
Zeitschritt (∆t/∆tkrit = 0.4)
(
), im Vergleich zur ana)
lytischen Lösung (
4
2
0
−2
−4
−6
0
0.2
0.4
0.6 0.8
Zeit t / s
1
1.2
1.4
·10−3
ten Lösung zu sehen. Von Wood [12, Kap. 4.2 ff.] wird gezeigt, dass beim zentralen
Differenzen-Verfahren die Frequenz einer Schwingung im Vergleich zur analytischen
Lösung ansteigt. Das heißt, die Schwingungsdauer nimmt ab. Dieser Effekt zeigt sich
in Abb. 13.6 deutlich durch eine Verschiebung der Amplituden nach links.
In Abb. 13.7 ist das Verhalten genau mit dem kritischen Zeitschritt gezeigt. Man sieht,
dass noch keine Amplitudenerhöhung eintritt, aber die Frequenzabweichung und auch
die allgemeine Abbildung schon sehr schlecht sind. Ein stabiler Zeitschritt ist also keine
hinreichende Bedingung für eine noch akzeptable Lösung. Es wird nur garantiert, dass die
Lösung beschränkt bleibt.
Das Verhalten für einen instabilen Zeitschritt ist schließlich in Abb. 13.8 dargestellt.
Wie zu erwarten schwingt sich die Lösung auf, was physikalisch keinen Sinn macht.
Abb. 13.7 Zentrales Differenzenverfahren für ein
Stabelement bei kritischem
Zeitschritt (∆t/∆tkrit = 1)
(
), im Vergleich zur analytischen Lösung (
)
13 Zeitintegration von nichtlinearen dynamischen Problemen
5
Verschiebung u / mm
240
0
−5
0
0.2
0.4
0.6 0.8
Zeit t / s
1
1.2
1.4
·10−3
Die Begrenzung des Zeitschritts ist der größte Nachteil des expliziten Verfahrens, da
extrem kleine Zeitschritte zu wählen sind. Zum Beispiel ergibt sich der kritische Zeitschritt für Stahl (Daten s. Tab. A.2) und einer kritischen Länge eines Elements von 1 mm
zu ∆t krit = 1,93 · 10−7 s. Für eine Crashsimulation von 100 ms Dauer wären damit 1,93
Millionen Zeitschritte notwendig. Damit wäre die Berechnungszeit selbst mit Parallelisierung unakzeptabel lang. In Kap. 13.3.5 werden Methoden besprochen, wie trotzdem
sinnvolle Berechnungszeiten mit diesem Verfahren erreicht werden können.
Die hier vorgestellte Stabilitätsgrenze ∆t krit gilt nur für lineare Systeme. Die Anwendbarkeit für nichtlineare Differenzialgleichungssysteme wird bei Belytschko et al. [1, Kap.
6.6.9, S. 383] diskutiert. Üblicherweise führt man aus diesem Grund einen zusätzlichen
Skalierungsfaktor für den Zeitschritt ein, die Courant-Zahl, der häufig mit 0.9 angegeben
wird, sodass der tatsächliche Zeitschritt mit ∆t = 0.9 ∆t krit berechnet wird in nichtlinearen
Anwendungen, s. auch Keyword 14.1 in Kap. 14.3.2. Um den Einfluss zu illustrieren, ist in
Abb. 13.9 für das in Algorithmus 13.3 angegebene Differenzenverfahren für diese CourantZahl das Ergebnis für das gleiche lineare Beispiel gezeigt. Einerseits bleibt das Verfahren
stabil, man sieht aber auch, dass die Amplituden generell überschätzt werden. Dies liegt
an der Variante des Differenzenverfahrens, da keine Punkte aus der Vergangenheit genutzt
werden.
10
Verschiebung u / mm
Abb. 13.8 Zentrales Differenzenverfahren für ein
Stabelement mit instabilem
Zeitschritt (∆t/∆tkrit = 1.155)
), im Vergleich zur ana(
lytischen Lösung (
)
0
−10
−20
0
0.2
0.4
0.6 0.8
Zeit t / s
1
1.2
1.4
·10−3
13.3 Explizite Zeitintegration nach dem zentralen Differenzenverfahren
Abb. 13.9 Zentrales Differenzenverfahren nach Algorithmus 13.3. Zeitschritt bei
üblichem Sicherheitsfaktor
∆t/∆tkrit = 0.9 (
), im
Vergleich zur analytischen
Lösung (
)
241
Verschiebung u / mm
10
5
0
−5
−10
0
0.2
0.4
0.6 0.8
Zeit t / s
1
1.2
1.4
·10−3
Der kritische Zeitschritt hängt auch von der Dämpfung ab. Mit proportionaler Dämpfung aus Kap. 8.3.1 und dem Dämpfungsgrad D gilt:
2 p
∆t krit =
1 + D2 − D .
ωmax
Dämpfung verringert den stabilen Zeitschritt, da der Term in Klammern für D < 1 immer
positiv aber kleiner eins ist.
Ein weiterer Einflussfaktor sind Penalty-Kontakte, s. Kap. 11.3.2. Dort werden Kontaktdurchdringungen durch den Einbau von Kontaktsteifigkeiten behoben. Diese Steifigkeiten
kann man sich wie diskrete Feder-Masse-Schwinger vorstellen, die eine Eigenfrequenz
aufweisen und damit entsprechend auch einen kritischen Zeitschritt haben, s. Belytschko
et al. [1, Kap. 10.6.3, S. 642]. Ob diese Zeitschritte in einer Berechnung berücksichtigt
werden, hängt vom Programm und den Optionseinstellungen ab und soll hier nicht weiter
vertieft werden.
Die Herleitung des Stabilitätskriteriums kann man sich für den linearen Einmassenschwinger relativ
einfach überlegen. Stabilität bedeutet in diesem Sinne, dass die Ergebnisse für alle Zeiten beschränkt
bleiben. Setzt man in die lineare homogene ungedämpfte Bewegungsgleichung des Einmassenschwingers
a n + ω 2 un = 0
mit
ω=
c
m
den zentralen Differenzenquotienten der Beschleunigung a n aus Gl. (13.22) ein, folgt als Differenzengleichung
un+1 = (2 − (ω∆t) 2 )un − un−1 .
Diese Gleichung kann in eine Iterationsgleichung in Matrixdarstellung umgeformt werden. Dies entspricht
einer Fixpunktgleichung, die schon bei der Lösung linearer Gleichungssysteme genutzt wurde, s. Kap. 5.6.2
"
z n+1 =
A
zn
#
"
# "
#
2
un+1
un .
2 − (ω∆t) −1
=
un
un−1
1
0
Nun kann man Ergebnisse der linearen Algebra heranziehen, die hier nicht weiter erläutert werden können
(s. Stoer et al. [10, Kap. 8.2], Meister [6]), um eine Bedingung für Stabilität zu erlangen. In diesem
einfachen Fall lautet die Aussage, dass das System stabil ist, wenn die Beträge der Eigenwerte λ der
242
13 Zeitintegration von nichtlinearen dynamischen Problemen
Matrix A, kleiner oder gleich eins bleiben (man spricht hier vom Spektralradius der Matrix A)
|λ | ≤ 1 .
Die Eigenwerte folgen aus dem speziellen Eigenwertproblem
det ( A − λI ) = 0
durch Bestimmen der Nullstellen des charakteristischen Polynoms
λ2 − (2 − (ω∆t) 2 )λ + 1 = 0 .
Mit der Abkürzung α = (2 − (ω∆t) 2 )/2 folgt unter Beachtung der Lösung der quadratischen Gleichung
für die Stabilitätsbedingung:
p
|λ | = |α ± α2 − 1 | =≤ 1 .
Für den Grenzfall λ = +1 kommt nach Auflösen der triviale Fall ω = 0 heraus. Für den Grenzfall λ = −1
folgt
p
2
.
α ± α2 − 1 = −1 ⇒ (α + 1) 2 = α2 − 1 ⇒ 2 − (ω∆t) 2 = −2 =⇒ ∆t =
ω
Man sieht, dass das oben postulierte Kriterium folgt.
13.3.5 Maßnahmen zur Reduktion der Rechenzeit
Um die Rechenzeiten bei expliziter Zeitintegration zu verringern, muss der kritische Zeitschritt ∆t krit vergrößert werden. Dies kann durch folgende Maßnahmen erreicht werden,
wenn man Gl. (13.28) betrachtet:
Netzvergröberung: Eine Diskretisierung mit größeren Elementen führt auf größere charakteristische Längen ` chare und damit auf einen größeren minimal zulässigen Zeitschritt. Allerdings wird dadurch natürlich die Genauigkeit der Lösung negativ beeinflusst, deswegen kann eine Netzvergröberung nur in Maßen erfolgen.
Verringerung der Schallgeschwindigkeit: Für die Schallgeschwindigkeit gelten die Formeln nach Tab. 13.2. Daraus kann man folgern, dass man entweder den E-Modul
verringern oder die Dichte erhöhen muss, um den kritischen Zeitschritt zu erhöhen.
Eine Veränderung des E-Moduls wird üblicherweise nicht vorgenommen, da diese Größe z. B. auch in die Berechnung von Steifigkeiten und Kontaktparametern eingeht und
damit im Modell unerwünschte Effekte an anderer Stelle erzeugen würde. Als letzte
Möglichkeit verbleibt die Veränderung der Dichte eines Elements.
Die Veränderung der Dichte wird als Massenskalierung bezeichnet. In kommerziellen
Programmen wird aber nicht die Dichte vorgegeben, sondern es wird ein gewünschter
minimaler Zeitschritt eingestellt. Im Programm wird geprüft, ob das Element einen kleineren Zeitschritt erzeugen würde und falls ja über Gl. (13.28) eine notwendige Dichte ρe
berechnet, die den gewünschten Zeitschritt erzeugt. Dadurch wird das Ergebnis verfälscht,
da dies auch in die Massenmatrix eingeht. Deswegen ist eine Kontrolle der zusätzlich
„erzeugten“ Masse am Ende einer Berechnung notwendig. Dies erfolgt durch Betrachtung
der Massenerhöhung, die als Ausgabegröße bei eingeschalteter Massenskalierung angefordert werden kann. Die Massenerhöhung sollte nur wenige Prozent betragen und nicht
13.3 Explizite Zeitintegration nach dem zentralen Differenzenverfahren
243
in für die Analyse relevanten Bereichen erfolgen. Durch die Massenerhöhung wird auch
die kinetische Energie verändert. Diese sollte man zusätzlich auf Plausibilität prüfen, am
besten im Vergleich zur totalen oder inneren Energie.
Eine weitere Möglichkeit Rechenzeit zu sparen, ergibt sich bei quasi-statischen Simulationen, wie der Blechumformsimulation (s. Kap. 14.2), indem man in der physikalischen Welt langsam ablaufende Prozesse mit höherer Geschwindigkeit simuliert. Bei
der Blechumformung bewegt sich eine Presse z. B. mit durchschnittlich 100 mm/s im
Umformbereich. Beträgt der Ziehweg 100 mm wäre die Simulationszeit t = 1,0 s. Bei
einem Zeitschritt von ∆t krit = 1,93 · 10−7 s aus dem Beispiel bei Tab. A.2, ergäben sich
t/t krit = 5.18 Mio. Zeitschritte. Die Berechnungszeit wäre sehr hoch, bzw. es müsste
sehr viel Hardware zur massiv-parallelen Berechnung eingesetzt werden (s. Kap. 14.2.7).
Aus diesem Grund kann mit einer 50-fach erhöhten Geschwindigkeit der Bewegung des
Systems gerechnet werden. Die Anzahl Zeitschritte reduziert sich proportional und damit
ebenfalls die Rechenzeit im gleichen Umfang. Dies ist also ein sehr effektiver Weg, um
Rechenzeit zu sparen. Aber auch dadurch wird die Dynamik im System verändert und
die kinetischen Energien werden beeinflusst. Deswegen gilt wie oben, diese am Ende der
Rechnung zu kontrollieren. Durch die höhere Geschwindigkeit werden die Kontaktkräfte
erhöht, da die Durchdringungen pro Zeitschritt erhöht werden, was das Kontaktrauschen
(s. Kap. 11.3.2) negativ beeinflusst. Zuletzt muss diese Vorgehensweise noch abgewägt
werden, wenn mit einem dehnraten-sensitiven Werkstoff gearbeitet wird, s. Kap. 10.3.5,
da eine erhöhte Geschwindigkeit hier ein Materialverhalten vorgaukelt, das bei einer Simulation ohne diese Methode nicht auftreten würde. Dies kann z. B. dadurch behoben
werden, dass im Materialmodell ein Faktor vorgegeben wird, der reale und simulierte Geschwindigkeit ins Verhältnis setzt und der in der Berechnung der Dehnratenabhängigkeit
berücksichtigt wird.
13.3.6 Dynamische Relaxation
Eine Besonderheit bei der Nutzung von expliziten Zeitintegrationsverfahren ist das Aufbringen von (quasi-)statischen Anfangslasten, wie z. B. Deformationen aufgrund von
Gewichts- oder Fliehkräften sowie das Vorspannen einer Schraube. Eine Lösung ist, vor
dem Beginn der dynamischen expliziten Berechnung einen impliziten statischen Schritt zu
rechnen, der das Gleichgewicht für diese Randbedingungen herstellt, sodass der korrekte
Anfangszustand der Dehnungen und Spannungen schon zu Beginn in der dynamischen
Berechnung wirken. Allerdings muss dann die Berechnung gestoppt und neu initialisiert
werden, was z. B. bei Kontaktkräften zu Ungenauigkeiten führt. Eine weitere Möglichkeit
ist die dynamische Relaxation, die ohne impliziten Löser auskommt.
Die dynamische Relaxation ist eine explizite Berechnung in der Dämpfung eingesetzt
wird, um die kinetische Energie zu eliminieren und so den quasi-statischen Zustand zu
erreichen. Dazu wird eine Dämpfungsmatrix eingeführt, die eine viskose Dämpfungskraft modelliert. Der notwendige Dämpfungsfaktor wird so gewählt, dass möglichst der
aperiodische Grenzfall eingestellt wird, sodass möglichst schnell der statische Gleichgewichtszustand erreicht wird. Dieser Dämpfungsfaktor hängt von der niedrigsten und
244
13 Zeitintegration von nichtlinearen dynamischen Problemen
höchsten Eigenfrequenz des betrachteten Systems ab. Details zum Algorithmus finden
sich bei Papadrakakis [8].
Mit der dynamischen Relaxation sind einige Einschränkungen verbunden. Der aperiodische Grenzfall gilt nur für lineare Systeme. In nichtlinearen Berechnungen ist dies also
nur eine Näherung. Weiterhin kann die Abschätzung des optimalen Dämpfungsfaktors
über die extremalen Eigenfrequenzen zu sehr langsamer Konvergenz führen, dies wird
z. B. für Schalenmodelle in der Literatur beschrieben.
13.4 Gegenüberstellung der beiden Zeitintegrationsverfahren
Abschließend sollen an dieser Stelle die wichtigsten Eigenschaften der expliziten und
impliziten Zeitintegrationsverfahren in Tab. 13.3 gegenübergestellt werden.
Tabelle 13.3 Eigenschaften expliziter und impliziter Zeitintegrationsverfahren
explizit
implizit
Die Gleichgewichtsbedingung bei tn +∆t ist nicht
exakt erfüllt.
Die Bewegungsgleichung zum Zeitpunkt tn + ∆t
wird erfüllt.
Das Verfahren ist nur bedingt stabil. Es gilt das
Courant-Kriterium für den maximal zulässigen
Zeitschritt.
Unbedingt stabiles Zeitschrittverfahren. Die Zeitschrittgröße ist nicht beschränkt, d. h. es werden
große Zeitschritte gewählt.
Es ist kein Gleichungssystem zu lösen (falls M
als Punktmassenmatrix angegeben werden kann).
Der Vektor der inneren Reaktionskräfte t enthält
die Unbekannte ⇒ in jedem Zeitschritt ist ein
(nichtlineares) Gleichungssystem zu lösen.
i. d. R. Elemente mit linearer Ansatzfunktion
i. d. R. Elemente mit quadratischer Ansatzfunktion
Keine Konvergenzprobleme in nichtlinearen Anwendungen
Handelt es sich um eine unstetige nichtlineare Anwendung, z. B. im Falle sich öffnender oder schließender Kontakte, dann sind kleine Zeitschritte zu
Rechnen um Konvergenz zu erhalten.
Rechenzeit je Schritt sehr klein
Sehr rechenintensives Verfahren pro Zeitschritt
Hohe Anzahl an Zeitschritten notwendig
Problemabhängig reichen wenige Zeitschritte aus
Aus diesen Eigenschaften ergeben sich Anwendungsgebiete, für die die beiden Verfahrenstypen besonders gut geeignet sind. Dies bedeutet nicht, dass das andere Verfahren
dort nicht angewendet werden könnte, es bedeutet in der Regel aber erhöhte Rechenzeiten
oder Konvergenzschwierigkeiten bei der Lösung des Problems.
Eine Auswahl an Berechnungsfragestellungen expliziter Zeitintegrationsverfahren ist
im Folgenden ohne Anspruch auf Vollständigkeit angegeben:
• Crashsimulation von Fahrzeugen, Zügen, Flugzeugen, aktive und passive Sicherheit,
Airbag- und Rückhaltesysteme,
• Falltests, z. B. elektronische oder Haushaltsgeräte,
• Explosion, Druckwellenausbreitung,
• Materialversagen, Bruchmechanik ,
13.5 Aufgaben
245
• Fluid-Struktur-Interaktion für die Simulation von spanenden Fertigungsverfahren sowie
auch Vogelschlag bei Flugzeugen.
Aus der Auflistung sieht man, dass die explizite Zeitintegration überall dort vorteilhaft
eingesetzt werden kann, wo kleine Zeitschritte problembedingt notwendig sind. Dies ist
in der Kurzzeitdynamik der Fall, wo die betrachteten Zeiträume klein sind und wo zur
Erfassung stark nichtlinearen Verhaltens mit feiner Zeitauflösung gerechnet werden muss.
Aus theoretischer Sicht hat das explizite Verfahren den Nachteil, dass die Erfüllung der
Gleichgewichtsbedingung nicht gefordert ist. Aus praktischer Sicht vermeidet man aber
damit die bei impliziten Verfahren auftretenden Konvergenzprobleme bei der iterativen
Lösung des nichtlinearen Gleichungssystem. Mit diesem Verfahren sind so auch sehr
schwierige physikalische oder numerische Problemstellungen berechenbar, wobei es in
der Verantwortung des Anwenders liegt, die Sinnhaftigkeit der Ergebnisse zu bewerten.
Dies gilt insbesondere bei stoßartigem Kontakt (contact-impact), da durch die hohe
Dynamik die Zeitschritte klein gewählt werden müssen, um die unstetigen Verläufe der
Kontaktgrößen gut abbilden zu können. Hier geht der Vorteil des unbedingt stabilen impliziten Verfahrens verloren, beliebige Zeitschritte zu erlauben. Unstetige Randbedingungen,
die aus dem Kontaktrauschen resultieren, verschlechtern die Konvergenz, was entweder
zu erhöhten Rechenzeiten führt oder ganz zum Abbruch führen kann.
Das implizite Zeitintegrationsverfahren hat eine weite Verbreitung, unter anderem
im Bereich linearer bzw. schwach nichtlinearer („glatter“), lang dauernder transienter
Dynamik. Dies umfasst neben der Strukturmechanik ebenso die Bereiche der transienten
Wärmeleitung oder des Elektromagnetismus.
Ein Überschneidungsbereich existiert bei
• quasi-statischen, stark nichtlinearen Problemen der Simulation von Herstellungsverfahren, z. B. der Blech- oder der Massivumformung,
• Betriebsfestigkeits- bzw. Lebensdauerberechnung bei stoßartiger Belastung, da hier
hochfrequente Anregungsanteile eine Rolle spielen, die bei modaler Dynamik einen
großen Aufwand verursachen.
In diesen Bereichen können beide Verfahren vorteilhaft eingesetzt werden. Einerseits sind
die Zeitschritte aufgrund der Nichtlinearitäten im Materialmodell und der Kontaktbehandlung klein zu wählen. Andererseits sind die Zeitbereiche, in denen das System zu Betrachten ist, relativ groß. Zum Beispiel läuft ein Umformvorgang eines Blechs (s. Kap. 14.1) in
der Realität im Sekundenbereich ab. Deswegen würde man zunächst ein implizites Verfahren einsetzen. Allerdings sind nichtlineare Materialmodelle zu berechnen bzw. stark
nichtlineare Kontaktbedingungen einzuhalten, die den Zeitschritt begrenzen. Für den effizienten Einsatz der expliziten Zeitintegration müssen diese Vorgänge deswegen künstlich
beschleunigt werden, um auf annehmbare Berechnungszeiten zu kommen, s. Kap. 13.3.5.
13.5 Aufgaben
13.1. Für einen ungedämpften Einmassenschwinger (Masse m = 10 kg, Federsteifigkeit
c = 1000 N/m) sind das Newmark- β-Verfahren sowie die explizite Zeitintegration nach
den Algorithmen 13.1 und 13.3 zu programmieren. Das System wird um 0,1 m aus der
246
13 Zeitintegration von nichtlinearen dynamischen Problemen
Gleichgewichtslage ausgelenkt und aus der Ruhe heraus losgelassen. Die Betrachtungszeit
beträgt 10 s.
Literaturverzeichnis
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structures. Wiley, Chichester, 2000.
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elastodynamics. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2(1):
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[6] A. Meister. Numerik linearer Gleichungssysteme. Springer Vieweg, Wiesbaden, 5.
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[8] M. Papadrakakis. A method for the automatic evaluation of the dynamic relaxation
parameters. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 25(1):35–
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[9] G. Rill und T. Schaeffer. Grundlagen und Methodik der Mehrkörpersimulation.
Springer Vieweg, Wiesbaden, 3. Aufl., 2017.
[10] J. Stoer, F. Bauer, und R. Bulirsch. Numerische Mathematik. Springer, Berlin, 2005.
[11] E. L. Wilson. Three dimensional static and dynamic analysis of structures:. URL
http://www.edwilson.org/book/book.htm.
[12] W. L. Wood. Practical time-stepping schemes. Clarendon Press, Oxford, 1990.
[13] P. Wriggers. Nichtlineare Finite-Element-Methoden. Springer, Berlin, 2001.
[14] S. R. Wu und L. Gu. Introduction to the explicit finite element method for nonlinear
transient dynamics. Wiley, Hoboken, N.J., 2012.
Kapitel 14
Blechumformsimulation
Die bisher vorgestellten Inhalte sollen in diesem Kapitel mit dem Programmsystem LSDYNA1 auf die Blechumformsimulation und eine Aufsprungsimulation angewendet werden, sodass der Leser den Zusammenhang zwischen bisher vorgestellter Theorie und praktischer Anwendung erkennt. Dazu wird, wo möglich, auf die Gleichungen der vorherigen
Kapitel verwiesen. Die Blechumformung als Beispiel bietet sich an, da sie alle nichtlinearen Effekte, die bisher vorgestellt wurden, enthält. Daneben müssen sowohl dynamischexplizite Zeitintegrations-, als auch statisch-nichtlineare Verfahren genutzt werden. Die
vorgestellten Vorgehensweisen sind prinzipiell auf andere, ähnliche Simulationsfragestellungen und auch Programmsysteme übertragbar.
Von der sehr großen Zahl an Kommandos und Einstellungsmöglichkeiten von LSDYNA können im Rahmen dieses Buchs nur die wichtigsten erläutert werden. Falls der
Leser noch keine Kenntnisse von LS-DYNA hat, ist in Anh. B ein kurzer Einstieg angegeben. Es wird empfohlen, diesen zuvor durchzuarbeiten. Im folgenden Abschnitt werden
die wichtigsten Grundbegriffe der Blechumformung eingeführt, die für eine Simulation
notwendig sind. Für eine umfassende Darstellung zum Thema der Blechumformung sei
z. B. auf Birkert et al. [5] verwiesen.
14.1 Grundlagen der Blechumformung
Die Herstellung von Bauteilen aus Blech durch Umformen findet vielfältige Anwendung
in der Automobil- und Verpackungsindustrie sowie in kleineren Serien z. B. auch in der
Flugzeugindustrie. Ein Beispiel ist in Abb. 14.1 gezeigt.
Die Hauptgründe für die große Verbreitung des Verfahrens liegen in der sehr wirtschaftlichen Herstellung von Großserien und einer gleichzeitig möglichen hohen Bandbreite an
Funktionalitäten der Bauteile, z. B. gute Crasheigenschaften bei relativ geringem Gewicht
und geringen Kosten.
1 LS-DYNA® und LS-PrePost® sind eingetragene Warenzeichen der Firma Livermore Software Technology Corporation (LSTC), http://www.lstc.com.
© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2017
M. Wagner, Lineare und nichtlineare FEM, DOI 10.1007/978-3-658-17866-6_14
247
248
14 Blechumformsimulation
Abb. 14.1 Türinnenblech als
Beispiel für ein Blechteil. Mit
freundlicher Genehmigung
der BMW Group
Den geringen Bauteilkosten stehen hohe Investitionskosten in die Fertigungsanlagen
und Presswerkzeuge gegenüber. Auch die Zeitaufwände für die Neuentwicklung von Werkzeugen sind erheblich. Um betriebswirtschaftlich konkurrenzfähig zu sein, sind deswegen
stabile Fertigungsprozesse von höchster Wichtigkeit, um die geforderten Ziele bezüglich
Qualität, Kosten und Zeit einhalten zu können. Ein Stellhebel mit zunehmender Bedeutung ist hierbei die Auslegung des Fertigungsprozesses durch Simulation der gesamten
Prozesskette. Zudem werden aufgrund steigender Modellvielfalt, komplexer Geometrien
und geringerer Produktlaufzeiten immer höhere Anforderungen an die Simulation gestellt.
14.1.1 Ablauf einer Blechumformung
Die Herstellung durch Umformen erfolgt in einem mehrstufigen Prozess auf vier bis sechs
hintereinander angeordneten Pressenstufen. Die Form des Bauteils wird im Wesentlichen
in der ersten Presse durch eine Kombination aus Streckziehen und Tiefziehen in Formwerkzeugen erzeugt. Beim Streckziehen wird das Blech in Aufnahmen fest eingespannt
und dann durch einen Stempel umgeformt. Zunächst wird kein Blech von außen in die
Form gezogen, da die Kraft der Aufnahmen die Stempelkraft übersteigt. Die Oberflächenvergrößerung der Platine bedingt deswegen eine Verringerung der Blechdicke. Die
damit erreichbaren Ziehtiefen sind vergleichsweise gering. Fährt der Stempel weiter, übersteigt die eingebrachte Kraft die Rückhaltewirkung der Aufnahmen und Blech fließt im
Tiefziehvorgang von außen nach. Das Tiefziehen ist durch eine bleibende Formänderung
des Werkstücks bei gleichbleibender Dicke der umzuformenden Platine definiert. In den
nachfolgenden Pressenstufen werden die Bauteile beschnitten und nachgeformt.
Allgemein besteht ein einfaches Werkzeug für die Blechumformung aus drei wesentlichen Bauteilen: Blechhalter, Matrize und Stempel, die in Abb. 14.2 dargestellt sind.
Um während der Umformung einen idealen Materialfluss zu erreichen, werden im
Flanschbereich der Matrize und des Blechhalters Ziehsicken oder Ziehwulste eingebracht.
Diese haben die Aufgabe, die Widerstandskraft gegen das Nachfließen der Platine zu variieren. Die Platine muss während des Ziehvorgangs durch die Sicke gleiten, wodurch die
notwendige Ziehkraft erhöht wird. Dadurch kann der Materialfluss im gesamten Flanschbereich an die jeweilige Umformung angepasst und Falten im Produkt vermieden werden
oder auch mehr Dehnung in das Blech eingeleitet werden.
Der schematische Ablauf eines kompletten Umformvorgangs umfasst:
14.1 Grundlagen der Blechumformung
2. Einlegen
Stempel
Abb. 14.2 Schnitt durch
ein schematisches Tiefziehwerkzeug mit wesentlichen
Komponenten in verschiedenen Prozessschritten
249
Blechhalter
3. Schließen
4. Tiefziehen
Ziehsicke
Zarge
Platine
Matrize
Flansch
Matrizenradius
1. Zuschneiden der Platine vom Coil: Das Halbzeug wird auf Coils angeliefert und wird
auf Schneideanlagen vereinzelt zu Platinen.
2. Einlegen der Platine unter Schwerkrafteinfluss: Die Platine wird durch die Mechanisierung in das Werkzeug auf den Blechhalter eingelegt und dabei durch Führungen geleitet.
Ist der Blechhalter gekrümmt, biegt sich die Platine infolge ihres Eigengewichts durch,
was die Materialvorlage im Werkzeug beeinflusst.
3. Blechhalterschließen: Als nächstes schließen sich Matrize und Blechhalter, die Platine
wird so fixiert und die Ziehsicken werden ausgeformt.
4. Tiefziehen: Dies ist der formgebende Prozessschritt. Die Krafteinleitung erfolgt durch
den Kontakt der Werkzeuge mit der Platine und die Rückhaltung durch den Blechhalterdruck und die Ziehsicken.
5. Beschneiden: In den folgenden Pressenstufen wird das Ziehteil beschnitten und gelocht.
6. Nachformoperationen: Neben dem Beschneiden wird ein Bauteil noch nachgeformt und
kalibriert, d. h., die Maßhaltigkeit durch eine weitere Formoperation verbessert. Die
Nachformoperationen sind notwendig, da beim Tiefziehen kein Hinterschnitt entstehen
darf, da sonst das Bauteil nicht entnehmbar ist. Durch Drehen der Lage oder spezielle
Werkzeugelemente können diese Geometriedetails in Folgeschritten gefertigt werden.
Zu den Nachformoperationen zählt auch das Bördeln bzw. Falzen eines Bauteils.
7. Aufsprung: Nach jedem Umformschritt werden die Werkzeuge geöffnet und die gespeicherte elastische Formänderungsenergie wird frei und führt zu einer Formänderung des
Bauteils. Dies wird als Aufsprung oder Rücksprung bezeichnet.
Diese Schritte sind in einer Blechumformsimulation für die Herstellbarkeitsbewertung
nachzubilden, wobei für einfache Teile nur die Schritte 2. bis 4. abgesichert werden.
Der Aufwand für die Simulation von Folgeoperationen wächst stark an und wird nur bei
komplexen Bauteilen durchgeführt, s. Fleischer [6].
In Tab. 14.1 sind beispielhaft technologische Größen von Großpressen genannt, die für
die Simulation relevant sind.
14.1.2 Mechanische Größen in der Blechumformung
Für die Beschreibung der plastischen Formänderung wird in der Blechumformung die in
Kap. 9.4 eingeführte logarithmische Verzerrung genutzt, da die Verzerrungen sehr groß
250
14 Blechumformsimulation
Tabelle 14.1 Technologische Größen von Großpressen
Kriterium
Wert
Hubzahl
6 bis 24 Hub/min
max. Geschwindigkeit
während der Umformung 100 bis 200 mm/s
Gesamtumformkraft
bis zu 25 MN
Blechhalterkraft
bis zu 7 MN
Ziehtiefe
bis zu 400 mm
Werkzeuggewicht
bis zu 50 t Gesamtgewicht des Ober- und Unterteils eines Ziehwerkzeuges
werden können. In der Blechumformung wird üblicherweise der Begriff des Umformgrades ϕ genutzt (s. Kap. 9.3).
Es wird weiterhin davon ausgegangen, dass eine Volumenänderung nur im linearelastischen Verzerrungsanteil auftritt, die plastische Deformation findet ohne Änderung
des Volumens durch Abgleiten von Gitterebenen statt. Für einen Quader mit Kantenlängen
B, H und T in der Referenzkonfiguration folgt damit für zwei Zustände vor und nach einer
Abb. 14.3 Deformation eines
Quaders zur Herleitung der
Volumenkonstanz
B
⇒
T
H
t
b
h
plastischen Umformung für das Volumen V = B · H · T = b · h · t = v, s. Abb. 14.3.
Umformen und Logarithmieren liefert die Gleichung für die plastische Volumenkonstanz,
s. auch Gl. (10.19):
!
!
t
b
h
ln
+ ln
= ϕ1 + ϕ2 + ϕ3 = 0 ,
+ ln
T
B
H
die weite Anwendung findet. Diese Umformgrade entsprechen den Hauptumformgraden,
da keine Schubverzerrungen auftreten. Der Umformgrad ϕ3 wird immer für die Dickenrichtung des Blechs benutzt.
In Abb. 14.4 sind charakteristische Verzerrungszustände eines Umformvorgangs dargestellt, aufgetragen über den Hauptumformgraden ϕ1 und ϕ2 in der Blechebene. Wie
bisher auch sollen die Hauptumformgrade nach der Größe sortiert sein, sodass immer gilt
ϕ1 ≥ ϕ2 . Im Streckzug sind beide Formänderungen gleich groß (ϕ1 = ϕ2 ), das Material
fließt aus der Dicke. Dies tritt häufig in flachen Bereichen von Bauteilen auf, z. B. in
Dächern und Türen. Der reine Tiefzug ist dadurch definiert, dass kein Material aus der
Dicke fließt (ϕ3 = 0). In der Ebene wird ein Volumenelement in eine Richtung gedehnt
und in die Querrichtung gestaucht. Dazu sind entsprechende Zug- und Druckspannungen
notwendig. Überschreitet die Druckspannung einen Grenzwert, kann es zu Faltenbildung
kommen. Dieser Zustand tritt im Flansch bei einem Ziehvorgang auf. Aus diesem Grund
wird der Blechhalter eingesetzt, der Druckspannungen in vertikaler Richtung aufbringt.
14.1 Grundlagen der Blechumformung
Abb. 14.4 Dehnungszustände
im ebenen Spannungszustand
eines Blechs bei Volumenkonstanz
251
Tiefzug
ϕ2 = −ϕ1
→ ϕ3 = 0
ebener Verzerrungszustand
ϕ2 = 0 → ϕ3 = −ϕ1
einachsiger Zug
Streckzug
ϕ2 = − 12 ϕ1
ϕ2 = ϕ1 → ϕ3 = −2ϕ1
→ ϕ3 = − 12 ϕ1
ϕ1
GFK
einachsiger Druck
ϕ2 = −2ϕ1 → ϕ3 = +ϕ1
-1
1
1
d
-2
ick
g
un
n
ün
2
-1
s
Au
ng
u
undefiniert da
ϕ1 > ϕ2
ϕ2
fd
Au
Einachsiger Zug ist durch gleichmäßiges Nachfließen des Materials aus Breiten- und Dickenrichtung charakterisiert (ϕ2 = ϕ3 ) und kann sich an freien gekrümmten Rändern einer
Platine ergeben. Der ebene Verzerrungszustand ist versagenstechnisch besonders kritisch,
da er durch Absperren der Breitenrichtung gekennzeichnet ist (ϕ2 = 0), Material kann
nur aus der Dicke fließen. Dies tritt im Zargenbereich eines Bauteils auf. Aus der Volumenkonstanz folgt, dass Verzerrungszustände auf Linien parallel zum Tiefzug ϕ1 = −ϕ2 ,
d. h. ϕ3 = 0 eine konstante Blechdicke anzeigen. Zur Verdeutlichung der unterschiedlichen Verzerrungszustände sind in Abb. 14.4 für jeden Zustand ein Kreis im Dehnungsraum
(ϕ1, ϕ2 ) im Ausgangszustand dargestellt, der durch die jeweilige Belastung in die gezeigten
Ellipsen deformiert wird.
14.1.3 Materialmodellierung bei Blechwerkstoffen
Das wesentlichste Element für eine Blechumformsimulation ist die Beschreibung des Materialverhaltens, s. Kap. 10 für die im Folgenden genutzten Begrifflichkeiten. Auf die Fließbedingung wird in Kap. 14.1.3.1 eingegangen, die Fließregel entspricht dem in Kap. 10.3.2
Gesagten. Das Verfestigungsverhalten wird, wie in Kap. 10.2 beschrieben, über den Zugversuch ermittelt. Die Beziehung zwischen wahren Spannungen und dem Umformgrad
wird in der Fließkurve angegeben, s. Abb. 14.5 und Abb. 10.2. Häufig werden die SpanAbb. 14.5 Schematische
Darstellung der Fließkurve
in wahren Spannungen und
logarithmischen Dehnungen
(Umformgrad). Gestrichelt
die Kurve in Ingenieurgrößen
aus Abb. 10.1
Rm
σF
Fließkurve
σF0
H
ϕ = εpl
ϕg
nungen der Fließkurve mit kf angegeben und als Fließspannungen bezeichnet. Um eine
konsistente Notation zum Kap. 9 zu erhalten, wird hier weiter σF benutzt. Zu beachten ist,
252
14 Blechumformsimulation
dass keine elastischen Verzerrungsanteile im Umformgrad enthalten sind, s. Siegert [11,
Kap. 1.3.3].
Für den Einsatz in der Simulation sind Fließkurven für höhere Umformgrade notwendig
als experimentell ermittelbar, da die plastische Vergleichsdehnung auch bei wechselnder
Belastung immer weiter steigt, s. Kap. 10.2. Um diesen Bereich abzudecken, sind verschiedene Extrapolationsformeln in Verwendung, die in Tab. 14.2 aufgelistet sind, s. Birkert
et al. [5, Kap. 3.3]. Im Wesentlichen werden Potenz- oder Exponentialfunktionen genutzt.
Der n-Wert in den Potenzansätzen erlaubt eine Aussage über die Verfestigung und BeulTabelle 14.2 Extrapolationsfunktionen für Fließkurven
Benennung
Funktion
Bemerkung
Hollomon
σF = cϕ n
Potenzansatz, Verfestigungsexponent n als konstant angenommen
Ludwik
σF = σF0 + cϕ n
Potenzansatz erweitert um initiale Fließspannung
Swift
σF = c(ϕ̄ + ϕ) n
Hockett-Sherby
σF = σF∞ − (σF∞ − σF0 )e−mϕ
ϕ̄ verschiebt die Fließkurve auf der Abszisse
p
Exponentialansatz, Kurve geht für ϕ → ∞ gegen σF∞
festigkeit eines Werkstoffs. Es ist zu beachten, dass sich der Wert während der Verformung
ändert. Die Koeffizienten n und c der Hollomon-Approximation können durch Kennwerte
aus dem Zugversuch ausgedrückt werden. Dazu ist unter Annahme von Volumenkonstanz
und Gl. (9.9) zunächst der Zusammenhang zwischen infinitesimaler und logarithmischer
Dehnung anzugeben:
t
HB
A
eϕ = ε + 1 = =
= .
T
hb
a
Damit kann man die Nominalspannung in Abhängigkeit von n und c auszudrücken:
P=
a
F
= σF = cϕn e−ϕ .
A
A
Bei der Gleichmaßdehnung ϕg durchläuft P ein Maximum, s. Abb. 10.1 und damit ist die
Ableitung dort null. Dies führt auf
dP = cnϕgn−1 e−ϕg − cϕgn e−ϕg ≡ 0
dϕ ϕg
⇒
n = ϕg = ln( Ag + 1) .
Der Verfestigungsexponent entspricht der Gleichmaßdehnung, wenn man exponentielle
Verfestigung annimmt. Der Wertebereich des n-Wertes liegt bei 0,15 < n < 0,3.
Die Hollomon-Approximation sollte erst ab Werten ϕ > 0,01 genutzt werden, da für
ϕ = 0 die Spannung zu null folgen würde. Um dies zu beheben, wird bei der SwiftExtrapolation die Kurve verschoben, sodass bei ϕ = 0 für die Spannung σF = σF0 gilt.
Auch der Faktor c kann anders ausgedrückt werden. Bei der Gleichmaßdehnung ϕg tritt
die maximale Kraft f max auf. Für die Fließspannung gilt deswegen
14.1 Grundlagen der Blechumformung
σF (ϕg ) =
253
f max
f max A
=
= Rm eϕg ≡ cϕgn
A(ϕg )
A A(ϕg )
⇒
c = Rm
e n
n
.
14.1.3.1 Beschreibung der Anisotrope und der Fließbedingung
Metall ist ein polykristallines Material. Jeder Kristall hat unterschiedliche Eigenschaften
in verschiedene Richtungen. In einem Realkristall sind die Kristallite regellos orientiert,
weshalb Metall makroskopisch als quasi-isotrop erscheint. Bearbeitungsschritte wie Gießen, Wärmebehandlung oder der Walzprozess bei der Blechherstellung verursachen eine
Vorzugslage, die sogenannte (Walz-)Textur und es entsteht anisotropes Verhalten.
Diese wird bei Blech über den r-Wert charakterisiert. Die senkrechte bzw. transversale
Anisotropie ist definiert als
ϕ2
ln(b/B)
r=
=
ϕ3 ln(h/H)
und beschreibt das unterschiedliche Dehnungsverhalten in Breiten- und Dickenrichtung,
s. Abb. 14.6.
Abb. 14.6 Erfassung der
Walzanisotropie über den
r-Wert an einem Querschnitt
eines Blechstreifens
ϕ2
r<1
ϕ3
r =1
r>1
Für:
• r < 1 erfolgt der Materialfluss vorwiegend aus der Dicke. Dies tritt bei hochfesten Stählen, Edelstählen und Aluminium auf. Deswegen sind die Werkstoffe umformtechnisch
schwierig.
• r = 1 ist der Werkstoff Quasi-Isotrop. Dies tritt bei hochfesten Stählen auf.
• r > 1 haben Materialien ein hohes Umformvermögen. Der Materialfluss erfolgt vorwiegend aus der Breite und nicht der Dicke. Ein hoher r-Wert reduziert auch die
Faltenbildung.
Wegen der Walztextur ist der r-Wert in der Blechebene nicht konstant. Deswegen werden
zur Werkstoffcharakterisierung Zugproben in Walzrichtung (0°), unter 45° und 90° untersucht und jeweils der r-Wert bestimmt. Experimente zeigen, dass unter diesen Winkeln oft
die extremalen Werte auftreten. Dies ist allerdings nicht für jeden Werkstoff identisch, s.
Siegert [11, Kap. 1.5, S. 33]. Zur Beschreibung der senkrechten Anisotropie mit diesen
Werten wird die mittlere senkrechte Anisotropie
rm =
r 0 + 2r 45 + r 90
4
definiert. Der r 45 Wert tritt zweimal auf, da die 135°-Probe nicht gesondert untersucht
wird.
Eine weitere Kenngröße, die die ebene bzw. planare Anisotropie beschreibt, ist
∆r =
r 0 − 2r 45 + r 90
.
2
254
14 Blechumformsimulation
Durch die unterschiedlichen r-Werte in der Ebene fließt das Blech nicht aus jeder Richtung gleich nach. Dies führt z. B. beim Ziehen eines runden Napfs dazu, dass alle 90°Überstände („Zipfel“) stehen bleiben, wenn r 0 ≈ r 90 , aber r 45 z. B. viel kleiner ist.
Wenn ∆r > 0, bilden sich Zipfel in 0°- und 90°-Richtung, da dann einfacher Material aus
der 45°-Richtung fließt, da hier der Widerstand gegen Dickenabnahme kleiner ist. Wenn
∆r < 0 dann formen sich Zipfel unter 45°. Das Ziel ist ein planar-isotroper Werkstoff mit
∆r = 0.
Der r-Wert wird mit dem Zugversuch ermittelt. Er ist über der plastischen Dehnung
veränderlich. Deswegen wird der Wert für eine eindeutige Angabe bei einer Dehnung von
20 % ermittelt, analog zur Streckgrenze in Kap. 10.2, s. Klocke und König [7, Kap. 2.7,
S. 86]. Da die Dickenrichtung schwer zu messen ist, wird aus der plastischen Längs- und
Querdehnung die plastische Querdehnungszahl q = ϕ2 /ϕ1 berechnet. Unter Annahme von
Volumenkonstanz folgt:
r=
ϕ2
q
ϕ2
=−
=−
.
ϕ3
ϕ1 + ϕ2
1+q
Die Anisotropie hat einen erheblichen Einfluss auf die Fließortfläche eines Blechwerkstoffs. Als Beispiel soll die am weitesten verbreitete Fließbedingung für Tiefziehbleche
vorgestellt werden, die von Hill 1948 veröffentlicht wurde (s. Siegert [11, Kap. 9.1.2, S.
313]) und häufig als Hill 48-Kriterium bezeichnet wird. Im Hauptspannungssystem lautet
es:
r0
r0
1
(σ1 − σ2 ) 2 +
(σ2 − σ3 ) 2 +
(σ3 − σ1 ) 2 = σF0 2 .
1 + r0
r 90 (1 + r 0 )
1 + r0
In der Blechumformung wird üblicherweise ein ebener Spannungszustand mit σ3 = 0
angenommen. Gilt zusätzlich planare Isotropie (r = r 0 = r 90 ), folgt
1
(r (σ1 − σ2 ) 2 + σ12 + σ22 ) = σF0 2 .
1+r
Dieses Kriterium ist in Abb. 14.7 für verschiedene r-Werte dargestellt. Man sieht, dass
Abb. 14.7 Einfluss der Anisotropie auf den Fließort
Hill 48 am Beispiel des rWerts bei Blech. In Grün
die zugehörigen Richtungen der Dehnungsinkremente
bei assoziativer Plastizität
(s. Abb. 14.4 und Kap. 10.3.2)
σ2
σF0
r>1
r<1
σF0
σ1
für r > 1 im Streckzugbereich (beide Hauptspannungen > 0) höhere Spannungswerte für
plastisches Fließen notwendig sind als bei isotropem Verhalten und für r < 1 geringere.
14.1 Grundlagen der Blechumformung
255
Umgekehrt liegen die Verhältnisse im Tiefzugbereich. Für r = 1 entspricht das Hill48Kriterium der Gestaltänderungsenergiehypothese aus Kap. 10.3.1.2. In Abb. 14.7 sind
ebenfalls die zugehörigen Richtungen der Dehnungsinkremente bei assoziativer Plastizität
und die Dehnungszustände aus Abb. 14.4 dargestellt.
Ein solches Kriterium wird in einem FE-Programm genutzt, um den aktuellen Zustand
jedes Materialpunkts zu bestimmen. Neben dem genannten Kriterium gibt es eine Vielzahl
weiterer Kriterien, die teilweise für spezielle Anwendungen oder Werkstoffe zugeschnitten
sind. Einen Überblick gibt Banabic [1].
14.1.4 Herstellbarkeitsbewertung und Versagensarten
Ein wichtiger Aspekt bei der Simulation der Blechumformung ist die Bewertung der
Herstellbarkeit bzw. des Versagens. Hierzu zählen:
• Einschnürungbeginn: starke lokale Blechdickenveränderung.
• Riss: durch Trenn- oder Scherbruch.
• Faltenbildung: durch tangentiale Druckspannungen im Flanschbereich (Falten 1. Ordnung) oder in Bereichen freier Umformung (Falten 2. Ordnung). Zur Vermeidung von
Falten können Rückhaltekräfte zur Beeinflussung des Materialflusses erhöht werden.
• Rückfederung: ist abhängig vom Anteil der elastischen Verformung und damit von
Elastizitätsmodul und Streckgrenze des verwendeten Werkstoffs, s. Kap. 14.3.
• Oberflächendefekte: z. B. Dellen, Beulen durch äußere Einwirkung sowie Einfallstellen
aufgrund ungleichmäßiger Rückfederung infolge inhomogener Spannungsverteilung.
14.1.4.1 Bewertung der Einschnürung mittels Grenzformänderungsdiagramm
Der grundlegende Versagensmechanismus ist die Einschnürung bzw. der Riss. Für eine Bewertung wird in der Praxis und der Simulation eine Formänderungsanalyse durchgeführt.
Dazu wird ein Messraster auf das Blech aufgebracht und die Umformung durchgeführt.
Das deformierte Raster wird mit dem Ausgangszustand verglichen und unter Annahme
eines Membranzustands können daraus die Hauptdehnungen ϕ1 und ϕ2 in der Blechebene
berechnet werden. Die dritte Hauptdehnung ergibt sich aus der Volumenkonstanz. Die
Messpunkte werden in das Grenzformänderungsdiagramm (GFD), (Forming Limit Diagram (FLD)) eingetragen und mit einer Grenzformänderungskurve (GFK) (Forming Limit
Curve (FLC)) verglichen, die den Beginn der Einschnürung für den gegebenen Dehnungszustand darstellt. Schematisch ist eine GFK in Abb. 14.4 eingezeichnet. Ein Beispiel für
eine Bewertung einer Simulation mit einer gemessenen GFK zeigt Abb. 14.15.
Die Lage der GFK wird wesentlich durch den n-Wert (siehe Kap. 10.3.3) und die
Blechdicke bestimmt. Das GFD gilt nur für proportionale, d. h. lineare, Dehnwege, für die
sich das Verhältnis ϕ1 /ϕ2 während der gesamten Umformung nicht verändert. Dies tritt in
einer realen Umformung selten auf, deswegen ist die Bewertung mittels GFD immer mit
Unsicherheiten behaftet. Weiterhin wird ein reiner Membranzustand angenommen, sobald
Biegeeffekte dazukommen, weicht das Ergebnis ebenfalls ab.
256
14 Blechumformsimulation
Man erkennt an der GFK in Abb. 14.4, dass der ebene Verzerrungszustand für ϕ2 = 0
(Plain-strain) den kritischsten Punkt markiert. Hier fließt Material ausschließlich aus der
Dicke. Einschnürungen und Risse stellen sich häufig in diesem Dehnungszustand ein.
Grenzformänderungskurven lassen sich sowohl numerisch-empirisch z. B. mit Hilfe
der Marciniak-Kuczynski-Versagenstheorie auf Basis von Kennwerten aus dem Zugversuch angeben, als auch experimentell gewinnen. Hierfür gibt es eine Reihe von Versuchen
nach Erichsen, Nakajima, Hasek sowie Marciniak. In der Praxis findet der Nakajima-Test
nach DIN EN ISO 12004 wohl die breiteste Anwendung, s. Siegert [11, Kap. 1.9]. Bei
der Durchführung eines Nakajima-Versuchs wird eine Blechplatine des zu überprüfenden
Werkstoffs durch einen halbkugelförmigen Stempel bis zum Versagen umgeformt. Zur
Ermittlung der GFK müssen bestimmte Belastungszustände erzeugt werden. Dies wird
durch spezielle Probengeometrien der Blechplatine erreicht. In Messungen ist das Minimum der Kurve oft nicht exakt bei ϕ2 = 0, wie Abb. 14.15 zeigt, obwohl dies theoretisch
so sein müsste. Eine Erklärung findet sich bei Birkert et al. [5, Kap 3.7.3.2, S. 176] und
liegt darin begründet, dass im Experiment anfänglich ein nichtproportionaler Dehnpfad
vorliegt, der das Minimum verschiebt.
Die Erfassung der Dehnungszustände der Blechmatrize wird optisch durchgeführt. Dazu wird auf die Probe ein (stochastisches) Muster aufgebracht, welches durch ein optisches
Messgerät während des Umformvorgangs erfasst wird. Zu Beginn der Einschnürung werden aus der Deformation des Musters die Hauptdehnungen berechnet, die dann einen Punkt
der GFK wiedergeben. Gegenstand der Forschung ist, wie im Experiment der Beginn der
Einschnürung bestimmt wird (Volk und Hora [12]).
14.2 Explizite Simulation des Tiefziehens
In diesem Kapitel wird der Aufbau eines Simulationsmodells einer Blechumformung als
Beispiel einer komplexen nichtlinearen FE-Berechnung beschrieben. Die Vorgehensweise
zur Modellierung einer Umformsimulation sowie die zum Lösen der Problemstellung
notwendigen Keywords werden dabei schrittweise erläutert und in Auszügen aufgezeigt.
Die lauffähige Kommandodatei findet sich mit Varianten in den Zusatzunterlagen zum
Buch. Es wird empfohlen, diese Unterlagen beim Durcharbeiten dieses Kapitels parallel
anzuschauen, da so der Zusammenhang klarer wird.
Prinzipiell muss eine Blechumformsimulation jeden Prozessschritt aus Kap. 14.1.1 der
realen Fertigung nachbilden. Die wesentlichsten Formänderungen erfolgen dabei in der
ersten Stufe der Presse beim Tiefziehen:
1. Zuschneiden der Platine vom Coil: Die lokalen Veränderungen durch die Materialtrennung können großen Einfluss auf die Herstellbarkeit und Funktionalität eines Bauteils
haben, werden aber in der Simulation i. d. R. nicht berücksichtigt. Eine der Besonderheiten von LS-DYNA ist es, dass man mit Hilfe einer vorzugebenden Beschnittlinie
Elemente trennen kann, es wird also der weggeschnittene Teil gelöscht und zwar ohne
Eigenschaftsänderungen der umliegenden Elemente. Dies spiegelt die Realität nur bedingt wieder, allerdings sind die lokalen Änderungen mit den aktuellen Elementgrößen
nicht erfassbar.
14.2 Explizite Simulation des Tiefziehens
257
2. Einlegen der Platine unter Schwerkrafteinfluss: Simulativ wird dieser Schritt durch
eine statische oder dynamisch-implizite Berechnung abgebildet mit der Schwerkraft
als Volumenlast. Durch große Zeitschritte kann viel Rechenzeit eingespart werden im
Vergleich zu einer expliziten Berechnung.
3. Blechhalterschließen: Dieser Schritt wird üblicherweise mit expliziter Zeitintegration
berechnet. Um unrealistische Faltenbildung im Blech durch die stark überhöhte Verfahrgeschwindigkeit der Werkzeuge und damit in die Platine eingebrachte Schwingungen
zu reduzieren, wird mit einer Geschwindigkeit von 1000 − 2000 mm/s gefahren.
4. Tiefziehen: Dieser Berechnungsschritt wird explizit gerechnet mit einer Verfahrgeschwindigkeit die deutlich höher als beim Blechhalterschließen ist. Die Platine hat in
weiten Bereichen flächigen Kontakt mit den Werkzeugflächen, sodass erhöhte Dynamik
wenig Einfluss auf das Umformergebnis hat. Dies gilt nicht, wenn im weiteren Verlauf
der Aufsprung berechnet werden soll, da es hier auf den Spannungszustand ankommt.
Eine Besonderheit beim Tiefziehen ist die Berücksichtigung von Ziehsicken, die entweder über Linienkräfte in einer speziellen Kontaktformulierung eingebracht werden
oder tatsächlich geometrisch abgebildet werden, s. unten.
5. Beschneiden: hier gilt dasselbe wie beim Zuschneiden.
6. Nachformoperationen: Die Umformungen der bereits deformierten Platine sind hier
teils erheblich, sodass auch hier die Herstellbarkeit simulativ bewertet werden muss
(s. Fleischer [6]). Methodisch unterscheidet sich die Herangehensweise nicht prinzipiell
vom Schritt des Tiefziehens. Der Modellaufbau kann erschwert sein, da komplizierte
räumliche Bewegungen vorzugeben sind. Auch Elementgrößen und numerische Parameter müssen ggf. an die erhöhten Anforderungen angepasst werden.
7. Aufsprung: Da nur der Endzustand von Interesse ist, wird hier wieder eine statischimplizite Berechnung durchgeführt. Details werden in Kap. 14.3 erläutert.
Zwischen den einzelnen Pressenstufen wird das Bauteil durch Greifer entnommen und
transportiert. Dieser Vorgang wird üblicherweise simulativ nicht betrachtet.
In einer Umformsimulation wird oftmals das Einheitensystem t, mm, s → N, MPa gewählt. Alle folgenden Größen beziehen sich auf dieses Einheitensystem.
14.2.1 Beispielmodell
Als Beispiel wird ein bekanntes Benchmark-Werkzeug genutzt, s. Abb. 14.8, das erstmalig
auf der Numisheet Konferenz 1996 ([8]) vorgestellt wurde und aufgrund seiner Form den
Namen S-Rail trägt. Diese Form ist einerseits einfach aufgebaut, enthält aber alle charakteristischen Eigenschaften von Tiefziehteilen. Als Erweiterung soll hier auch noch eine
Ziehsicke in das Modell aufgenommen werden, die ursprünglich nicht enthalten war, um
alle Inhalte, die für eine grundlegende Umformsimulation notwendig sind, demonstrieren
zu können.
Das S-Rail besteht aus einer oben angeordneten Matrize, die nach unten gegen den feststehenden Stempel verfahren wird mit einer gegenüber der Realität erhöhten Geschwindigkeit von v = 5000 mm/s. Dies dient der Reduktion der Rechenzeit, s. Kap. 13.3.5.
Gleichzeitig wird der ebene Blechhalter mit einer Kraft von F = 0,2 MN nach oben be-
258
14 Blechumformsimulation
Abb. 14.8 Explosionszeichnung des S-Rail als Beispielmodell einer Umformsimulation. Bauteile: Platine,
Stempel, Matrize, Blechhalter. Ziehsickenlinien sind
nicht dargestellt
aufschlagt, die dazu dient, Faltenbildung im Blech zu minimieren. Das Modell weist eine
der Geometrie angepasste Platine auf.
Da der Blechhalter eben ist, wird auf die Berechnung des Einlegens der Platine unter
Schwerkrafteinfluss sowie das Blechhalterschließen verzichtet.
Entsprechend dem Aufbau in Anh. B werden zuerst Kontrollkarten, dann die Ausgabesteuerung, die Bauteile mit Kontakten und zuletzt die Randbedingungen definiert.
14.2.1.1 Netzerzeugung
In Abb. 14.8 ist das bereits fertig diskretisierte FE-Netz dargestellt. Wie in Abb. 1.3 dargestellt, beginnt man mit CAD-Flächen, die geeignet zu vernetzen sind. In der Blechumformung wird üblicherweise für die Werkzeuge nicht mit 3-D-Körpern gearbeitet, da
angenommen wird, dass sie als starre Körper modelliert werden können. Damit kann man
vereinfachend nur die 2-D-Wirkflächen der Werkzeuge betrachten, die mit dem umzuformenden Blech in Berührung kommen. Diese Wirkflächen werden in der Methodenkonstruktion entwickelt (Birkert et al. [5, Kap. 8.1.4]) und sind die Ausgangsgrößen einer
Blechumformsimulation. Es wird nur eine Seite der Werkzeuge konstruiert und die in der
Realität auf der anderen Seite liegenden Werkzeugteile werden durch einen geometrischen
Absatz (offset) daraus erzeugt, der aber üblicherweise in der Vernetzung und nicht in den
CAD-Flächen vorgenommen wird.
Die Platine wird unter Optimierung des Materialeinsatzes als Linienzug in der Methodenentwicklung ermittelt. Der Präprozessor LS-PrePost stellt Funktionen für die Vernetzung solcher ebener Linienzüge in Schalennetze bereit. Dabei ist es besonders wichtig,
dass in den umgeformten Bereichen der Platine möglichst quadratische Elemente liegen,
wohingegen der Rand im Abfallbereich liegt und die Ergebnisqualität dort weniger wichtig
ist. Deswegen wird das Platinennetz erzeugt, indem eine quadratische Ebene vernetzt wird
und der Rand dann mit den bereits oben erwähnten Beschnittalgorithmen an die Platinenberandung angepasst wird. Dort entstehen dann u. U. kleine und dreieckige Elemente, die
aber i. d. R. keine Rolle spielen. Es ist zu beachten, dass diese den Zeitschritt beeinflussen,
da er über das kleinste deformierbare Element bestimmt wird, s. Kap. 13.3.5.
14.2 Explizite Simulation des Tiefziehens
259
Die Vernetzung der Werkzeuge unterliegt anderen Anforderungen. Die Werkzeuge sind
starr und dienen nur als Kontaktflächen. Deshalb spielt eine möglichst regelmäßige Vernetzung, die für eine FE-Berechnung essenziell ist, hier keine Rolle und es können in
flachen Bereichen sehr große Elemente benutzt werden. Um allerdings eine gleichmäßige
Verteilung der Kontaktkräfte beim Ziehen des Blechs über Radien und gekrümmte Oberflächen an den Werkzeugen zu erhalten, sind diese Geometrieteile mit vielen Elementen
zu versehen. Die Netze sehen also völlig anders aus, als man es von gewöhnlichen FEMNetzen kennt, s. z. B. die Matrize in Abb. 14.8. Deswegen ist die Nutzung eines weiteren
speziellen Vernetzers erforderlich, der in der Lage ist eine krümmungsabhängige Vernetzung vorzunehmen. Üblicherweise muss man bei diesen Vernetzern die maximal und
minimal zulässigen Elementgrößen angeben sowie einen maximal zulässigen Knickwinkel
zwischen benachbarten Elementen.
Um eine übersichtlichere Darstellung der Bauteile zu erhalten, sollte eine standardisierte Nummerierung aller Objekte in einer Kommandodatei eingeführt werden, zumindest
aber der Bauteile, Knoten und Elemente in der Inzidenztabelle. Da durch übliche Vernetzer
die Knoten- und Element-IDs eine fortlaufende Nummerierung erhalten und daher eine
genaue Zuordnung der Knoten zu den entsprechenden Bauteilen bei sehr großen Modellen
nicht mehr einfach erkennbar ist, ist die (Fehler-)Analyse eines Modells ohne ein solches
Schema erschwert. Ein mögliches Nummerierungsschema für die Komponenten mit ihren
zugehörigen Bauteil-, Element- und Knoten-IDs ist in Tabelle 14.3 dargestellt. EntspreTabelle 14.3 Standardisierte Nummerierung der Modellkomponenten
Bauteil
Teilenummer PID
Element-/Knoten Section-ID SID
-startnummer NID
Material-ID MID
Platine
100
1.000.000
100
100
Matrize
200
2.000.000
200
200
Stempel
300
3.000.000
300
300
Blechhalter
400
4.000.000
400
400
Ziehsicken
900
9.000.000
chend werden weiter dazukommende Bauteile in 100er Schritten nach oben gezählt und
analog die Element-/Knotennummern angepasst. Die großen Abstände werden gewählt,
damit bei Veränderung des Modells auf jeden Fall genug Platz im Indexbereich ist, um
alles unterzubringen, ohne das Nummerierungsschema zu verletzen.
14.2.1.2 Erzeugung eines Offset
Zunächst liegt nach der Werkzeugvernetzung nur das Netz für eine Seite vor, in unserem
Fall die Matrize. Die Gegenseite ist noch zu erzeugen. Die Werkzeuge Stempel und
Blechhalter werden nun durch Kopieren bei gleichzeitiger Radienveränderung daraus
erzeugt (Offsetieren). Diese Netze sind vom Aufbau identisch mit dem Ausgangsnetz. Der
Offset ist notwendig, damit das Blech zwischen die Werkzeuge passt, s. Abb. 14.2. Der
260
14 Blechumformsimulation
Offsetabstand ist die Blechdicke plus ein Sicherheitsabstand, der z. B. 0,1 mm sein kann,
um Kontaktdurchdringungen durch das facettierte Netz zu vermeiden.
Aufwendig kann bei der Offsetbildung die Auswahl der Teilbereiche des Ausgangsnetzes sein, die offsetiert werden sollen, da z. B. der Stempel nur ein Teilbereich ist.
Gegebenenfalls ist es einfacher den Offset in den CAD-Flächen vorzunehmen; dann sind
aber alle Flächen unabhängig zu vernetzen und sind topologisch nicht identisch, mit der
Gefahr, dass Kontaktdurchdringungen auftreten können.
Weiterhin ist die Richtung in die der Offset gemacht wird zu beachten. Dafür ist es
notwendig zu wissen, welche Fläche das CAD-Modell darstellt, die Stempel- oder die
Matrizenseite, die sich durch die Blechdicke unterscheiden, s. Abb. 14.9. Dies spielt in
Radien eine große Rolle. Soll z. B. eine Charakterlinie eines Fahrzeugaußenteils einen
sichtbaren Radius von 5 mm aufweisen und die Blechdicke beträgt 1 mm, dann ist der
Radius innen am Blech nur noch 4 mm. Üblicherweise werden Außenhautteile mit der
Matrizenseite konstruiert, da dies die sichtbare Oberfläche ergibt. Strukturteile sind oft
stempelseitig konstruiert, um die kleinsten Radien in der Konstruktion zu haben.
Abb. 14.9 Geometrische
Größen bei der Offsetierung
rMatrize
~
nMatrize
rStempel
Offsetabstand
Blechdicke + Spalt
Sind die Werkzeugnetze nicht zusammenhängend, sollte unbedingt geprüft werden,
dass alle Normalen der Ausgangssegmente auf eine Seite zeigen, damit der Offset richtig
berechnet werden kann.
14.2.1.3 Positionierung der Werkzeuge
Nach dem Offset befinden sich alle Werkzeuge in der Position, in der die Werkzeuge
in Realität geschlossen sind, dies wird als unterer Totpunkt (UT) bezeichnet. Um die
Umformsimulation zu starten, müssen die Werkzeugflächen zur Platine nun noch so auseinander gefahren werden, dass der Pressenhub virtuell durchgeführt werden kann. Um
möglichst wenig Rechenzeit zu benutzen, werden die Werkzeuge zu Beginn der Simulation möglichst nahe zum Blech positioniert, aber ohne dass Durchdringungen auftreten.
Dies ist im hier gewählten Beispiel kein Problem, kann aber durch die facettierte Geometrieabbildung mit linearen Segmenten bei Nachformoperationen, wo mit einer bereits
deformierten Platine gearbeitet werden muss, schwierig sein. Das Blech liegt nach der
Lagebestimmung in der Spaltmitte zwischen Blechhalter und Matrize und hat zu jedem
der Werkzeuge jeweils einen kleinen weiteren Sicherheitsabstand von z. B. 0,01 mm, um
jegliche Durchdringungen zu vermeiden.
Für die Positionierung gibt es auch wieder verschiedene Möglichkeiten. Im hier vorliegenden Fall kann man den zu verfahrenden Weg an der Matrize messen, indem man den
14.2 Explizite Simulation des Tiefziehens
261
tiefsten und höchsten Punkt nimmt. Dies geht hier besonders gut, da es horizontale, d. h.
senkrecht zur Bewegungsrichtung stehende, Flächen gibt. In stark gekrümmten Flächen
kann das Messen schwieriger sein. Präprozessoren für Blechumformung bieten deshalb
auch Algorithmen, die solche schwierigeren Fälle automatisch positionieren. Zuletzt gibt
es in LS-DYNA noch die Möglichkeit, über ein spezielles Keyword eine automatische
Positionierung vorzunehmen, dies soll hier aber nicht weiter erklärt werden.
Wesentlich bei allen drei Herangehensweisen ist, dass als Ergebnis der minimale Verfahrweg uHub herauskommt. Die Werkzeuge sind dann um diesen Weg auseinander zu
fahren, entweder im Präprozessor oder durch spezielle Keywords. Die Platine ist ebenfalls
durch Verschieben genau in die Mitte zwischen die oben und unten liegenden Werkzeuge
zu positionieren. Der Verfahrweg wird in Kap. 14.2.6.2 noch dafür benutzt, die Verfahrkurven als Randbedingungen zu bestimmen.
14.2.2 Zeitsteuerung und allgemeine numerische Parameter
In diesem Abschnitt werden die für die Modellierung einer Umformsimulation relevanten
Keywords und Einstellungen der jeweiligen Parameter dargestellt, die noch nicht in Anh. B
besprochen wurden.
14.2.2.1 Simulationszeit und Zeitschrittsteuerung
Die Einstellung der Simulationszeit erfolgt mit dem Keyword *CONTROL_TERMINATION
durch ENDTIM (s. Keyword B.2). Die Simulationszeit ergibt sich aus der Verfahrkurve des
bewegten Werkzeugs. Dies wird in Kap. 14.2.6.2 erläutert.
Die Zeitschritte in einer expliziten Simulation sind sehr klein, s. Kap. 13.3.4. Um akzeptable Rechenzeiten zu erreichen, wird im Keyword 14.1
LS-DYNA-Keyword 14.1 Zeitschrittsteuerung
*CONTROL_TIMESTEP
$# DTINIT
TSSFAC
0.90
ISDO
TSLIMT
DT2MS
-1.0E-07
LCTM
ERODE
MSIST
eine Massenskalierung (s. Kap. 13.3.5) über die Vorgabe eines minimal einzuhaltenden
Zeitschritts DT2MS vorgenommen. Das negative Vorzeichen legt fest, dass nur Elemente
mit einem kleineren Zeitschritt skaliert werden. Dies ist wesentlich, um nur notwendige
Teile des Modells zu beeinflussen. Der endgültige Zeitschritt berechnet sich durch Multiplikation des Sicherheitsfaktors TSSFAC für nichtlineares Verhalten zu: tss f ac × |dt2ms|.
Eine übliche Zeitschrittskalierung in der Umformsimulation ist DT2MS = −1 · 10−7 s.
Es ist jedoch darauf zu achten, den Parameter in geeigneten Grenzen zu halten, da dadurch
die Masse des Systems verändert wird. Dies führt bei zu großem Zeitschritt dazu, dass
die Modellmasse unrealistisch hohe Werte annimmt, was zu unbrauchbaren Ergebnissen
führen kann, gerade wenn Spannungen ausgewertet werden, s. auch Keyword 14.4.
262
14 Blechumformsimulation
14.2.2.2 Globale Parameter für adaptive Verfeinerung und Kontakte
In die Berechnungszeit geht über den Zeitschritt sowie die Anzahl der Elemente die
Elementkantenlänge ein. Um möglichst viel Rechenzeit zu sparen, soll mit möglichst
großen Kantenlängen gerechnet werden, wobei dies zu Lasten der Ergebnisgenauigkeit
geht, s. Kap. 7.1.1. Andererseits sind in den Bauteilgeometrien in der Regel sehr kleine
Radien von Geometriedetails enthalten, die über große Elemente nur ungenügend abgebildet werden, s. Abb. 14.10. Um diese Details abbilden zu können, sind bei Verwendung von
Abb. 14.10 Abbildung kleiner Radien durch lineare
Elemente. Links: Ohne Verfeinerung, Elementkantenlänge h = 8 mm; Mitte: MAXLVL
= 3, h = 2 mm; Rechts:
MAXLVL = 5, h = 0,5 mm
linearen Ansatzfunktionen sehr kleine Elemente notwendig. Würde man die ganze Platine
mit Elementen dieser Größe vernetzen, wäre der Rechenaufwand sehr hoch. Aus diesem
Grund wird in der Blechumformung ein spezielles h-adaptives Verfahren (s. Kap. 7.1.2)
angewendet, das nicht auf einer Fehlerberechnung basiert, sondern auf der Analyse der
Oberflächenkrümmung. Dabei werden die Krümmungen der Kontaktoberflächen analysiert und bei einer Überschreitung eines Grenzwerts der Krümmungsradien werden die
Elemente in vier bzw. drei (bei Dreieckselementen) Elemente verfeinert, s. Abb. 7.2. Es
entstehen dabei hängende Knoten, wie in Kap. 7.1.2 beschrieben, die über kinematische
Zwangsbedingungen geführt werden, damit keine unphysikalischen Trennungen im Bauteil entstehen. Die Zustandsgrößen des Ausgangselements werden auf die neuen Elemente
interpoliert.
Mit dem Keyword 14.2 wird die adaptive Verfeinerung des Netzes bei Kontakt mit
scharfen Radien im Werkzeug gesteuert.
LS-DYNA-Keyword 14.2 Steuerung adaptive Verfeinerung
*CONTROL_ADAPTIVE
$# ADPFREQ
ADPTOL
5.0E-4
10.0
$# ADPSIZE
ADPASS
0
ADPOPT
2
IREFLG
MAXLVL
3
ADPENE
2.0
TBIRTH
TDEATH
LCADP
IOFLAG
ADPTH
MEMORY
ORIENT
MAXEL
Die relevanten Parameter sind:
ADPFREQ
Zeitintervall zwischen zwei adaptiven Verfeinerungsschritten. Zu diesen Zeitpunkten wird überprüft, ob ein Element adaptiv zu verfeinern ist. Die Einstellung ist hier recht fein gewählt. Die adaptive Verfeinerung ist zeitaufwendig,
da die gesamte Rechnung gestoppt wird und nach der Netzverfeinerung intern
neu gestartet wird.
14.2 Explizite Simulation des Tiefziehens
263
Gibt bei der Umformsimulation den Winkel an, um den ein Element relativ zu
den umgebenden Elementen gedreht werden muss, damit es verfeinert wird.
10° ist kein besonders feiner Wert, für dieses einfache Modell aber ausreichend.
Bedeutung des o. g. Winkels. Bei ADPOPT = 2 bedeutet ADPTOL = 10.0, dass
ein Element verfeinert wird, wenn der totale Winkel größer als dieser wird.
Hier existiert eine Namensgleichheit der Parameter. Bei der *PART Karte gibt
es den Parameter ebenfalls, allerdings hat er hier die Bedeutung, Adaptivität
für dieses Part zu aktivieren.
Gibt die Anzahl an Verfeinerungsstufen an. Es ist zu beachten, dass das Ausgangslevel des Netzes dazu zählt, d. h. wenn hier 3 steht, dann wird das Netz
maximal 2-mal verfeinert.
Mit ADPASS = 0 wird der letzte Zeitschritt wiederholt, um vor der Verfeinerung
aufgetretene Durchdringungen zu beheben. Dies ist aber rechenintensiv. Wenn
ADPTOL klein gewählt wird, kann man dies mit ADPASS = 1 ausschalten.
Mit diesem Parameter wird vorausschauend anhand der Radien in den Werkzeugen im Abstand ADPENE überprüft, ob ADPTOL überschritten wird und eine
Verfeinerung notwendig ist. Damit werden Durchdringungen vermieden.
ADPTOL
ADPOPT
MAXLVL
ADPASS
ADPENE
Das Keyword 14.3 gibt globale Parameter für alle weiter unten definierten Kontakte an.
Teilweise können diese Parameter durch lokale Parameter in der Kontaktkarte überschrieben werden, teilweise wirken sie als multiplikative Faktoren.
LS-DYNA-Keyword 14.3 Globale Kontakteinstellungen
*CONTROL_CONTACT
$# SLSFAC
RWPNAL
0.05000
$# USRSTR
USRFRC
ISLCHK
2
NSBCS
SHLTHK
1
INTERM
PENOPT
4
XPENE
$#
SFRIC
DFRIC
EDC
VFC
TH
THKCHG
1
SSTHK
1
TH_SF
$#
IGNORE
2
FRCENG
1
SKIPRWG
OUTSEG
SPOTSTP
SPOTDEL
ORIEN
2
ECDT
PEN_SF
SPOTHIN
ENMASS
TIEDPRJ
Die relevanten Parameter sind:
SLSFAC
ISLCHK
SHLTHK
PENOPT
THKCHG
Dies ist der Penalty-Skalierungsfaktor, s. Kap. 11.3.2. Dieser Faktor wird auf
alle Penalty-Kontakte zusätzlich aufmultipliziert. Er wird also nicht durch den
Faktor SFS in Keyword 14.9 überschrieben, sondern multiplikativ behandelt.
Der Gesamtwert ergibt sich zu SLSFAC*SFS*Penalty-Faktor.
Steuerung, ob am Anfang der Berechnung eine Überprüfung auf Durchdringungen durchgeführt werden soll. Mit der Einstellung = 2 ist dies der Fall.
Bei Schalenelementen wird die Mittelfläche diskretisiert. Die eigentliche Schalendicke wird intern im Kontakt berücksichtigt. Die Einstellung SHLTHK = 1 bedeutet, dass die Dicke nur für die deformierbare Platine beachtet wird. Die Werkzeuge sind Starrkörper und hier wird keine Dicke beachtet, d. h. die tatsächlich
vernetzten Geometrien werden als Kontaktsegmente benutzt. Damit werden die
gewünschten Radien aus der Konstruktion abgebildet, s. Kap. 14.2.1.1.
= 4 ist eine für Umformsimulationen empfohlene Einstellung, die die Berechnung der Penalty-Faktoren festlegt.
= 1: In der Kontaktberechnung wird die sich ändernde Blechdicke mit berücksichtigt, ansonsten wird mit Nominalblechdicke gearbeitet und dies wäre
speziell für die Blechumformung eine grobe Vereinfachung.
264
14 Blechumformsimulation
ORIEN
SSTHK
IGNORE
FRCENG
= 2 legt fest, dass in der Kontaktberechnung die Normalen der Kontaktsegmente
für alle Fälle automatisch orientiert werden.
= 1: Berücksichtigung der aktuellen Blechdicke auch für Kontakttypen, die
Selbstkontakt des Blechs (z. B. bei Faltenwurf) berechnen. Empfohlen für die
Blechumformsimulation.
Mit diesem Parameter kann eingestellt werden, wie das Verhalten bei initialen
Durchdringungen ist (z. B. können leichte Durchdringungen aufgrund unsauberer Konstruktion vorliegen). IGNORE = 0 verschiebt die Knoten, sodass keine
Durchdringung mehr vorliegt. IGNORE = 2 ignoriert die Durchdringungen und
gibt eine Warnung aus. Eine leichte Durchdringung wird im Laufe der Simulation behoben. Dies ist die Standardeinstellung für Blechumformung.
= 1: Berechnung der Reibenergie im Kontakt und Ablage des Ergebnisses in
der Datei <jobid.intfor> als Größe „Surface Energy Density“.
14.2.3 Ausgabesteuerung
Die Text- und Plotdateien werden im Anh. B erläutert. Zur Bewertung der Simulationsergebnisse für eine Umformsimulation sind in die D3PLOT-Dateien einer Umformsimulation
weitere Ergebnisse aufzunehmen. Dies erfolgt über das Keyword 14.4, wobei nur Werte
genannt werden, die von den Voreinstellungen abweichen.
LS-DYNA-Keyword 14.4 Erweiterte Ausgabesteuerung in die graphische D3PLOT-Datei
*DATABASE_EXTENT_BINARY
$#
NEIPH
NEIPS
MAXINT
CMPFLG
IEVERP
BEAMIP
STRFLG
1
DCOMP
$# NINTSLD
PKP SEN
SCLP
UNUSED
$#
SIGFLG
EPSFLG
RLTFLG
ENGFLG
SHGE
2
MSSCL
2
STSSZ
3
THERM
N3THDT
IALEMAT
INTOUT
NODOUT
Die gewählten Werte in Keyword 14.4 liefern folgende Informationen:
STRFLG
SHGE
STSSZ
MSSCL
=1: Ausgabe des Dehnungstensors von Schalenelementen in der Grafikausgabedatei <jobid.d3plot> und für ausgewählte Elemente in <jobid.elout>.
=2: Ausgabe der Hourglass-Energie in das D3PLOT. Man kann dann im LSPrePost unter Post→FriComp→Misc→Hourglass energy die Verteilung der
Energie über die Platine auswerten.
=3: Anzeige der absoluten Massenerhöhung auf jedem einzelnen Element (Post
→ FriComp →Misc→ time step size).
=2: Variante der Anzeige der Massenskalierung: Es wird die prozentuale Massenerhöhung (an den Knoten) angezeigt. Im LS-PrePost mit Post → FriComp
→ Misc →mass scaling. Dies ist die am einfachsten zu interpretierende Größe.
Bei der Darstellung dieser Größen in LS-PrePost ist Folgendes zu beachten: die Ausgabegröße Post → FriComp → Misc → Hourglass Energy wird für verschiedene Ausgaben
genutzt. Es wird aber nicht angezeigt welche dargestellt ist. Dies muss man aus den gesetzten Parametern erschließen. Wenn SHGE = 2 gilt, wird die Hourglass-Energie ausgegeben,
ansonsten wird die plastische Vergleichsdehnung angezeigt.
14.2 Explizite Simulation des Tiefziehens
265
14.2.4 Definition von Bauteilen, Elementtypen und Materialien
Der strukturelle Aufbau des Modells wird, wie in Abb. B.2 dargestellt, wieder über Parts
realisiert. Daher ist eine entsprechende Zuweisung der MID und SECID für die jeweiligen
Parts erforderlich. Dies geschieht über die Definition des Keywords *PART für jedes
Bauteil. Um hohe Übersichtlichkeit und Flexibilität zu erreichen, wird für jedes Part eine
eigene Material- und Section-Karte erstellt, auch wenn diese redundant sind. Die Part-,
Material- und Section-Karten aller Bauteile sind vom Aufbau identisch mit Anh. B. Im
Folgenden werden nur neue Keywords eingeführt.
Die Definition der Elementtypen über Section-Karten wird in Keyword B.9 gezeigt.
Die wichtigsten in LS-DYNA zur Verfügung stehenden Elementtypen sind:
Shell2:
Shell16:
Solid1:
Solid-1:
unterintegriertes lineares Schalenelement (Belytschko-Tsay-Schale). Dies ist
das effizienteste und stabilste Schalenelement in LS-DYNA und das Standardelement in der Blechumformsimulation.
vollintegriertes lineares Schalenelement. Für implizite Berechnungen oder
genaue Spannnungsberechnung empfohlen. Die Berechnungsdauer erhöht sich
durch die Vollintegration im Verhältnis zu Shell2 um ca. 20 %.
unterintegriertes lineares Hexaederelement.
Variante des selektiv-reduziert integrierten Solid2, das für unterschiedliche
Seitenlängenverhältnisse optimiert ist.
In Keyword 14.5 wird der Typ der Hourglass-Stabilisierung (s. Kap. 7.3.3.1) gewählt.
LS-DYNA-Keyword 14.5 Hourglass-Kontrolle
*CONTROL_HOURGLASS
$#
IHQ
QH
4
Es gibt mehrere Typen, die von der Elementformulierung abhängen. Für Element 2 wird
z. B. IHQ = 4 empfohlen, für Element 16 sollte IHQ = 8 gesetzt werden. Die Stabilisierung kompensiert einen Teil der Systemenergie und beeinflusst somit das Ergebnis.
Dieser Anteil darf nicht zu groß werden, weswegen eine Kontrolle der Hourglass-Energie
unerlässlich ist. Vergleicht man diese mit der inneren Energie des Systems, sollte ein Gesamtanteil von etwa 5 % (Erfahrungswert) nicht überschritten werden. Eine Ausgabe der
Hourglass-Energie erfolgt nur wenn HGEN = 2 gesetzt ist in Keyword 14.6.
LS-DYNA-Keyword 14.6 Berechnung und Ausgabe der Hourglass-Energie
*CONTROL_ENERGY
$#
HGEN
RWEN
2
SLNTEN
RYLEN
Das Keyword 14.7 stellt globale Parameter für Schalenelemente ein, sollten diese nicht
lokal definiert sein. Der an dieser Stelle wichtigste Parameter ist ISTUPD = 1. Damit
wird eingestellt, dass aus den Annahmen des ebenen Spannungszustands und der Volumenkonstanz die Schalendicke in einer Nachschaltrechnung ermittelt wird, s. Kap. 3.7.
LS-DYNA-Keyword 14.7 Globale Parameter für Schalenelemente
*CONTROL_SHELL
$# WRPANG
ESORT
IRNXX
ISTUPD
1
THEORY
BWC
MITER
PROJ
266
14 Blechumformsimulation
Die Platine erhält ein für die Blechumformsimulation geeignetes Materialmodell
*MAT_3-PARAMETER_BARLAT bzw. MAT_036, s. Keyword 14.8:
LS-DYNA-Keyword 14.8 Definition für anisotropes elastoplastisches Material Mat_036
*MAT_3-PARAMETER_BARLAT_TITLE
MAT_36 : planar anisotrop-plastisch
$#
MID
RO
E
PR
100
7.8E-9
2.1E+5
0.33
$#
M
R00
R45
R90
6.0
1.85
1.48
2.1
$#
AOPT
C
P
VLCID
2.0
45.3
4.9
$#
XP
YP
ZP
A1
1.0
$#
V1
V2
V3
D1
0.0
HR
1.0
LCID
A2
0.0
D2
1.0
P1
540.0
E0
P2
210.0
SPI
ITER
PB
NLP/HTA
HTB
A3
0.0
D3
0.0
HTC
HTD
BETA
HTFLAG
P3
Es handelt sich um ein anisotropes, elastoplastisches Materialmodell für den ebenen
Spannungszustand (s. Kap. 3.7). Die Materialdaten sind: Dichte = 7,83 · 10−9 t/mm3 , EModul = 2,1 · 105 MPa, Querkontraktionszahl = 0.3, initiale Streckgrenze = 210 MPa,
Tangentenmodul = 540 MPa, r-Werte für Anisotropie = r 0° = 1.85, r 45° = 1.48, r 90° = 2.1
und der Fließortexponent M = 6.
Das Materialmodell *MAT_036 ist entwickelt worden, um planar-anisotrope Bleche
im ebenen Spannungszustand mit der Fließfunktion nach Barlat und Lian [2] zu berechnen. Durch die Möglichkeit r-Werte (s. Kap. 14.1.3.1) in unterschiedlichen Orientierungen
zur Walzrichtung vorzugeben, kann der teilweise starken Anisotropie in der Blechebene
Rechnung getragen werden, s. Siegert [11, Kap. 1.5, S. 33ff.]. Im Folgenden werden die
Eingabemöglichkeiten des *MAT_036 kurz erläutert, wobei für detaillierte Informationen
auf die Handbücher verwiesen wird.
Der Parameter HR steht für die Verfestigungsregel (hardening rule), s. Kap. 10.3.3. In
diesem Fall ist HR = 1 gesetzt, womit über die Anfangsstreckgrenze und einer linearen
Zunahme die Verfestigung des Materials berechnet wird. Dazu muss der Tangentenmodul
über den Parameter P1 sowie die Streckgrenze über P2 übergeben werden, s. Kap. 10.2.1.
Die Vorgabe der Verfestigung durch eine lineare Kurve ist eine grobe Vereinfachung,
wie in Kap. 10.2.1 erläutert. In der Praxis werden für den Werkstoff gemessene Fließkurven
verwendet. Dann ist durch HR = 3 isotrope Verfestigung gemäß der Fließkurve vorgebbar,
s. Kap. 10.2. Die Kurve wird durch LCID dem Materialmodell zugewiesen. Über die in
der Kurve hinterlegten Werte wird der plastischen Vergleichsdehnung eine Spannung
zugewiesen, die im plastischen Algorithmus verwendet wird, um über die Fließortkurve
auf den 2-D-Spannungszustand zu kommen, s. Kap. 10.4.
Die anisotrope Fließbedingung nach Barlat verlangt nach Eingabe eines Fließortexponenten M, der der kristallinen Struktur des Werkstoffs Rechnung tragen soll. In diesem
Fall ist durch den Wert M = 6 eine kubisch-raumzentrierte Struktur ausgewählt. Die rWerte, welche die Anisotropie quantifizieren, müssen in Walzrichtung (R00), senkrecht
dazu (R90) und im Winkel von 45° (R45) angegeben werden. Zur Definition der Materialachsen, die diese Winkel erst definieren, ist bei AOPT die Option 2 ausgewählt, welche
die Vorgabe der Achsrichtung durch die Vektoren A und D verlangt. Die Komponenten
dieser Vektoren können bei A1-A3 und D1-D3 angegeben werden. In diesem Fall liegt die
A-Achse in x- und die D-Achse in y-Richtung. Durch diese Option kann die Orientierung
der Anisotropie für einen Blechabschnitt explizit definiert werden und bedeutet hier, dass
die x-Achse der Walzrichtung des Blechs entspricht. Diese Angabe kann deutlich kom-
14.2 Explizite Simulation des Tiefziehens
267
plizierter sein, wenn beispielsweise zur Materialeinsparung die Platinen in willkürlicher
Orientierung aus den Blechcoils geschnitten werden und somit die Walzrichtung nicht
mehr mit den Blechkanten übereinstimmt.
Eine Verfestigung aufgrund unterschiedlicher Dehnraten ist im *MAT_036 durch das
Modell von Cowper-Symonds (s. Kap. 10.3.5) mit den Parametern C und P integriert. C
legt fest, wie stark das Material von der Dehnrate abhängt. Je größer dieser Wert ist, desto
geringer ist die Verfestigung bei steigender Dehnrate.
14.2.5 Definition der Umformkontakte
In der Umformsimulation werden die deformierenden Kräfte über die Kontaktpartner
eingeleitet. Es wird der Kontakt *CONTACT_FORMING_ONE_WAY_SURFACE_TO_SURFACE
verwendet, der einige speziell für die Umformung entwickelte Eigenschaften hat, vor allem
hinsichtlich der Berechnungszeit. Es handelt sich um einen Penalty Kontakt, s. Kap. 11.3.2.
Generell kann aber auch jeder andere Kontakt genutzt werden. Für jeden zu definierenden
Kontakt sind das Slave- und Master-Part festzulegen. Bei Nutzung eines FORMING-Kontakts
muss die Platine immer die Slave-Seite sein. Setzt man einen anderen Kontakt ein, ist
gemäß der Funktionsweise des Penalty-Verfahrens eine Definition der feiner vernetzten
Kontaktseite als Slave zu bevorzugen. Grund hierfür ist, dass beim Penalty-Verfahren
stets eine Überprüfung des Eindringens der Slave-Knoten in die Master-Segmente erfolgt,
s. Kap. 11.3.2. In Keyword 14.9 ist die Kontaktkarte für den Kontakt zwischen Matrize
und Blech dargestellt:
LS-DYNA-Keyword 14.9 Kontaktkarte für Matrize und Blech
*CONTACT_FORMING_ONE_WAY_SURFACE_TO_SURFACE_ID
$#
CID
200Cont_Platine_Matrize
$#
SSID
MSID
SSTYP
MSTYP
SBOXID
100
200
3
3
FS
FD
DC
VC
VDC
$#
0.14
20
$#
SFS
SFM
SST
MST
SFST
$#
SOFT
4
SOFSCL
LCIDAB
MAXPAR
SBOPT
TITLE
MBOXID
SPR
MPR
PENCHK
BT
DT
SFMT
FSF
VSF
DEPTH
BSORT
FRCFRQ
Darin sind die ausgewählten Einstellungen:
SSID
MSID
SSTYP
MSTYP
FS
VDC
SOFT
= 100: Slave Set ID (Auswahl des Blechs)
= 200: Master Set ID (Auswahl der Matrize)
= 3: Angabe des Typs der Slave Set ID, hier eine Part-ID
= 3: Angabe des Typs der Master Set ID, hier eine Part-ID
= 0,14: Haftreibungskoeffizient µs , s. Gl. (11.3)
= 20: viskoser Dämpfungsfaktor in Prozent bezogen auf den kritischen Dämpfungswert d krit = 2 m ω0 , der Kontaktrauschen unterdrückt, s. Kap. 11.3.2. Ein
empfohlener Erfahrungswert ist 20 % .
mit SOFT = 0 wird ein Standard-Penalty-Verfahren eingeschaltet. Für die Blechumformung gibt es die Option SOFT = 4. Damit wird ein auf kinematischen
Zwangsbedingungen basierender Kontakt aktiviert, s. Kap. 11.3.1. Dieser verhindert Durchdringungen besser als der Penalty-Kontakt. Es ist zu beachten,
268
14 Blechumformsimulation
dass SOFT = 4 mit einem kraftgesteuerten Starrkörper nicht funktioniert, d. h.
diese Option darf beim Blechhalter deswegen nicht eingeschaltet sein.
Analog muss eine Karte für die Paarung Platine – Stempel und Platine – Blechhalter
erzeugt werden. Diese Karten unterscheiden sich nur in der Angabe der Kontakt-ID CID
und dem beschreibenden TITLE sowie dem Index des Kontaktpartners in MSID.
14.2.6 Erstellen der Randbedingungen
14.2.6.1 Kraftrandbedingung auf den Blechhalter
In diesem Beispiel ist die Kinematik so gewählt, dass der Stempel feststeht und die Matrize von oben nach unten verfahren wird. Um den Blechfluss zu steuern, wird der unten
liegende Blechhalter mit einer Gegenkraft beaufschlagt, zusätzlich werden Ziehsicken modelliert. Die Modellierung der Werkzeuge mit kinematisch geführten Starrkörpern erlaubt
eine einfache Vorgabe dieser Kraft, da es ausreicht sie auf das *PART des Starrkörpers
vorzugeben; es sind also keine Segmente der Werkzeugoberfläche zu selektieren.
Um eine ausreichende Druckkraft auf die Platine zu gewährleisten und damit Faltenbildung zu minimieren, wird der Blechhalter mit einem entsprechenden Lastprofil
beaufschlagt. Dieses Profil wird mithilfe des Keywords 14.10 vorgegeben.
LS-DYNA-Keyword 14.10 Lastkurve
*DEFINE_CURVE_TITLE
Cur_ForcBC
$#
LCID
SIDR
2
$#
a1
0
1.0e-5
0.1
SFA
SFO
OFFA
OFFO
DATTYP
o1
0
2.0e+ 5
2.0e+ 5
Die Lastbeaufschlagung erfolgt mit einer Rampenfunktion, um einen Kraftsprung auf
f Blh = 200 kN zu vermeiden, da unstetige Verläufe zu sehr hohen Schwingungen in den
Ergebnisgrößen führen können, die durch die Kontaktkräfte verursacht werden. Dabei
wird die Kraft innerhalb eines Zeitintervalls von z. B. t Framp = 1,0 · 10−5 s aufgebracht.
Das zugehörige Lastprofil enthält die Abb. 14.11a.
fBlh
f
vmax v
uHub
tFramp
t
tE tdef
Abb. 14.11a Verlauf der Blechhalterkraft
t
trampe
tE,a tE
Abb. 14.11b Geschwindigkeit des Werkzeugs
Normalerweise wird der letzte Zeitwert t def hinter das Ende der Simulationszeit gelegt,
da der letzte Zeitschritt nie die exakte Endzeit trifft und auch nicht angepasst wird, sodass
die Simulation minimal länger laufen kann. Um ein Abfallen der Kraft am Ende zu
14.2 Explizite Simulation des Tiefziehens
269
verhindern und dadurch ggf. einen Einfluss auf Ergebnisse, die in einer Folgesimulation
genutzt werden sollen, auszuschließen, werden die Kurven willkürlich bis 0,1 s aufgebaut.
Zur Aufbringung der Kraft auf den Blechhalter wird das Keyword 14.11 verwendet.
LS-DYNA-Keyword 14.11 Aufbringen der Lastkurve
*LOAD_RIGID_BODY
$#
PID
DOF
400
3
LCID
2
SF
1.0
CID
M1
M2
M3
Die gewählten Einstellungen bedeuten:
PID
DOF
LCID
SF
=400: Auswahl des PART Blechhalter
=3: Translatorischer Bewegungsfreiheitsgrad in z-Richtung
=2: Zuweisung der Last(kraft-)kurve
=+1: Aufbringung der Last in positiver z-Richtung
Es stellt sich eine Druckverteilung unter dem Blechhalter ein, die nicht der Realität entspricht, da die realen Werkzeuge eingearbeitet werden, um ein homogenes Druckverteilungsbild (sog. Blechhaltertuschieren) zu erhalten. Eine Verbesserung kann nur durch eine
deutlich aufwendigere Modellierung mit flexiblen Werkzeugen erreicht werden.
14.2.6.2 Kinematische Randbedingungen der Werkzeuge
Zuletzt ist der Verfahrweg der Matrize festzulegen. Prinzipiell kann man den Weg oder
die Geschwindigkeit über der Zeit vorgeben. Nutzt man den Weg, dann führt dies in der
expliziten Zeitintegration zu stärkerem Rauschen in Kontaktkräften, da Geschwindigkeit
und Beschleunigung über Differenziation aus dieser Kurve hervorgehen. Deswegen wird
häufig mit einer Geschwindigkeitskurve gearbeitet, s. Abb. 14.11b. Für die Definition der
Kurve ist zunächst eine maximale Verfahrgeschwindigkeit vmax zu wählen. Diese wird
häufig mit vmax = 5000 mm/s angenommen. Eine reale Presse verfährt nach einer prinzipbedingten Geschwindigkeitskurve, die aber in der Blechumformsimulation i. d. R. nicht
benutzt wird. Häufig wird eine abschnittsweise lineare Kurve mit sinusförmigen Übergängen gewählt. Diese Funktion verhindert zu hohe Beschleunigungen im System, welche
aus einem nicht glatten Übergang resultieren würden. Wie in Abb. 14.11b angedeutet,
kann man die Werkzeuge am Ende der Simulation bei t E wieder auf Geschwindigkeit null
fahren, was dem realen Prozess entspricht, oder man fährt mit voller Geschwindigkeit bis
zum Ende (t E,a , gestrichelt dargestellt). Dies spart Rechenzeit und hat bei Benutzung von
Materialmodellen ohne Dehnratenabhängigkeit kaum Einfluss auf das Ergebnis.
Die Fläche unter der Kurve in Abb. 14.11b ist der Gesamtweg uHub , der in der Positionierung bestimmt wird, s. Kap. 14.2.1.3. Aus der Verfahrkurve kann die Simulationszeit
t E abgelesen werden. Benutzt man das hier angegebene Schema, folgt für t E
uHub
1
+ t rampe .
uHub = 2( vmax t rampe ) + vmax (t E − 2t rampe ) ⇒ t E =
2
vmax
Fährt man mit voller Geschwindigkeit durch, ergibt sich analog t E,a = uHub /vmax +
1/2 t rampe . Vorzugeben ist dabei noch die Zeit für das Anfahren des Werkzeugs t rampe ,
z. B. 5 % der Endzeit. Um den Tiefziehvorgang erst nach Erreichen der vollständigen
270
14 Blechumformsimulation
Kraftwirkung des Blechhalters zu starten, sollte die Rampenfunktion der Blechhalterkraft
deutlich kürzer sein als die Rampe der Geschwindigkeit, s. Abb. 14.11a.
Die Verfahrgeschwindigkeit von 5000 mm/s ist viel höher als in der Realität (ca. 50mal). Dies ist neben der Massenskalierung eine weitere Maßnahme in der Umformsimulation, um Simulationszeit zu sparen, s. Kap. 13.3.5. Natürlich verfälscht dies das Ergebnis
und darf nur in Grenzen eingesetzt werden. Generell gilt, dass die Verschiebungsgrößen
und Dehnungen trotzdem recht genau berechnet werden, kritischer sind Spannungen. Sind
die Spannungsergebnisse wichtig, muss die Geschwindigkeit gesenkt werden. Ein Indikator, ob man noch in einem sinnvollen Bereich liegt, ist die Betrachtung der kinetischen
Energie im Vergleich zur inneren Energie in der Datei <jobid.glstat>. Ebenso gilt die
Regel, dass die Hourglass-Energie nicht mehr als 5 % der inneren Energie betragen sollte.
Die Geschwindigkeitskurve mit LCID = 1 (nicht dargestellt) wird über Keyword 14.12
auf die Matrize aufgebracht.
LS-DYNA-Keyword 14.12 Aufbringung der Geschwindigkeitskurve
*BOUNDARY_PRESCRIBED_MOTION_RIGID_ID
$#
ID
1BC_VelMatrize
$#
PID
DOF
VAD
LCID
200
3
0
1
HEADING
SF
-1.0
VID
DEATH
BIRTH
Da es sich um einen Starrkörper handelt, reicht die Angabe der Bauteilnummer in PID
aus. Über DOF = 3 wird eine translatorische Bewegung in z-Richtung vorgegeben. Da
im Gegensatz zum Lastprofil die Geschwindigkeit in negativer z-Richtung erfolgen soll,
die Kurve jedoch mit positiven Werte definiert sein soll, ist der Skalierungsfaktor SF entsprechend auf -1 zu setzen. Es sind hierbei die gleichen vier Parameter (SF, LCID, PID,
DOF) einzustellen wie bei der Lastkurvenaufbringung. Zusätzlich ist noch beim Parameter
VAD (Abk., velocity, acceleration, displacement) anzugeben, um welche Art von Bewegungskurve es sich handelt; hier heißt = 0, dass eine Geschwindigkeitskurve vorgegeben
wird.
Rigid-Body-Stoppers
Es soll noch die Nutzung von sog. RIGID_BODY_STOPPERS erläutert werden: Der Blechhalter ist mit einer Kraftrandbedingung versehen. Die gegenüberliegende Matrize fährt
mit hoher Geschwindigkeit über die Platine gegen diese Randbedingung. Dies kann
u. a. aufgrund der Penalty-Kontakte zu starken Schwingungen des Blechhalters führen,
wodurch die Kraft und somit die Rückhaltung der Platine nicht vollständig wirkt. Dies
wird mit Keyword 14.13 minimiert:
LS-DYNA-Keyword 14.13 Rigid-Body-Stoppers für Bewegung nach oben
*CONSTRAINED_RIGID_BODY_STOPPERS
$#
PID
LCMAX
LCMIN
400
-16
TB
TD
$#
*DEFINE_CURVE
$#
LCID
16
SIDR
0.0
1.0
SFA
PSIDMX
PSIDMN
LCVMNX
18
DIR
3
SFO
OFFA
OFFO
DATTYP
VID
0.01
0.01
Diese spezielle Randbedingung hat zwei Aufgaben. Zunächst wird die maximal zulässige Geschwindigkeit des Blechhalters eingeschränkt. Damit ist ein starkes Schwingen
14.2 Explizite Simulation des Tiefziehens
271
ausgeschlossen. Die Geschwindigkeit wird in den Keywords 14.13 und 14.15 mit dem Parameter LCVMNX vorgegeben. Dies ist die ID einer neuen Geschwindigkeitskurve, in diesem
Beispiel Kurve 18 in Keyword 14.14. In der Kurve wird der Absolutbetrag der maximal erlaubten Geschwindigkeit vorgegeben, i. d. R. mit Werkzeuggeschwindigkeit +10 %. Genau
die Geschwindigkeit der Matrize einzustellen, ist nicht ratsam, da es dann zu Zwängungen
kommen kann, da die Bewegung des Blechhalters dann nicht mehr flexibel ist.
LS-DYNA-Keyword 14.14 Kurve für Geschwindigkeitsbeschränkung durch Rigid-Body-Stopper
$#Annahme Werkzeuggeschwindigkeit ist 5000mm/s
*DEFINE_CURVE
$#
LCID
SIDR
SFA
SFO
OFFA
18
$#
a1
o1
0.0
5500.0
1.0
5500.0
OFFO
DATTYP
Neben der Beschränkung der Geschwindigkeit kann man noch ein weiteres Modellierungsproblem lösen. Wie oben beschrieben wird die Blechhalterkraft sehr schnell eingeschaltet,
damit die volle Kraft möglichst von Anfang an voll wirkt. Dies kann dazu führen, dass sich
der Blechhalter vor dem Auftreffen der Matrize nach oben (in diesem Beispiel) bewegen
würde, was in Realität nicht passiert. Deshalb kann man neben der Geschwindigkeit auch
die Verschiebung des Blechhalters mit dieser Randbedingung einschränken:
Wirkt die Kraft des Blechhalters, der beschränkt werden soll, nach oben, dann ist
eine Verschiebung nach oben einzuschränken. Dazu kann unter LCMAX die Kurven-ID
16 (mit einem Minus) angegeben werden. Die zugehörige Kurve 16 erlaubt eine maximale Verschiebung von 0,01 mm. Dies bedeutet, es kann die volle Kraft wirken, der
Blechhalter wird aber maximal 0,01 mm nach oben verschoben und bleibt dann in dieser
Position. Die Bewegung nach unten ist hingegen frei. Die Randbedingung wirkt also so,
dass der Blechhalter zunächst gegen eine „virtuelle Wand“ gedrückt wird. Sobald ein
verschiebungsgesteuertes Werkzeug in die andere Richtung (Matrize) auftrifft, wird der
Blechhalter in diese Richtung verdrängt, da eine Verschiebungsrandbedingung immer eine
Kraftrandbedingung überwiegt. Dies entspricht dem realen Verhalten. Das Minus vor der
Kurve bedeutet, dass die Kurve eine Verschiebung und keine absolute Koordinate angibt.
Es kann auch der umgekehrte Fall eintreten, dass ein Werkzeug in negative z-Richtung
beschränkt werden soll, s. Keyword 14.15. Dann ist die Bewegung nach unten einzuschränken. Dazu ist unter LCMIN (Beachten: Nicht mehr LCMAX!) die Kurven-ID 17 mit einem
Minus anzugeben. Dies Kurve enthält nun eine negative Verschiebung. Eine Verdrängung
des Werkzeugs gegen die wirkende Kraft nach oben ist möglich.
LS-DYNA-Keyword 14.15 Rigid-Body-Stoppers Beispiel für Bewegung nach unten
*CONSTRAINED_RIGID_BODY_STOPPERS
$#
PID
LCMAX
LCMIN
400
-17
$#
TB
TD
*DEFINE_CURVE
$#
lcid
17
sidr
0.0
1.0
sfa
PSIDMX
PSIDMN
LCVMNX
DIR
18
sfo
offa
offo
dattyp
VID
3
-0.01
-0.01
Der Effekt ist deutlich sichtbar in den Geschwindigkeiten und Beschleunigungen des
Blechhalters in Abb. 14.12a und Abb. 14.12b.
14 Blechumformsimulation
Beschleunigung / m/s2
Geschwindigkeit / m/s
272
5,000
0
0
0.001
Zeit / s
0.002
Abb. 14.12a Geschwindigkeitsverlauf ohne
und mit Rigid-Body-Stopper
·109
0
−1
0
0.001
Zeit / s
0.002
Abb. 14.12b Beschleunigungsverlauf ohne und
mit Rigid-Body-Stopper
14.2.6.3 Modellierung von Ziehsicken
Ein weiterer Sonderfall in der Blechumformsimulation ist die Behandlung der Ziehsicken, s. Kap. 14.1.1. Mit steigender Rechenleistung werden diese zunehmend auch in der
Simulation als geometrische Objekte abgebildet. Da die auftretenden Radien allerdings
sehr klein sind, enthält die Platine durch die adaptive Verfeinerung sehr viele Elemente.
Um dies zu vermeiden, ist in LS-DYNA eine spezielle Vorgehensweise implementiert, die
Rückhaltekräfte näherungsweise, aber recheneffizient zu erzeugen. Ein Nachteil dieser Methode ist, dass die Verformungen, die die Platine in der Sicke erfährt, nicht berücksichtigt
werden. Dies hat vor allem negative Auswirkungen auf die Berechnung des Aufsprungs in
Kap. 14.3. Die folgende Darstellung ist verkürzt und zeigt nur die wichtigsten Parameter.
Die Ziehsicke als Ersatzmodell wird nicht als geometrisches Objekt angelegt, sondern
als Linie aus Knoten und Balkenelementen, die über eine Kontaktformulierung die Kräfte
der Sicke auf die Platine und Werkzeuge aufbringt. Das Keyword 14.16
LS-DYNA-Keyword 14.16 Spezialkontakt für Sickenbehandlung
*CONTACT_DRAWBEAD_ID
$#
CID HEADING
900 Ziehsicke 1
$#
SSID
MSID
900
100
$#
FS
FD
SSTYP
4
DC
MSTYP
3
VC
SBOXID
SPR
MPR
VDC
MBOXID
900
PENCHK
BT
DT
VSF
$#
SFS
SFM
SST
MST
SFST
SFMT
FSF
$#
LCIDRF
910
LCIDNF
911
DBDTH
8.000
DFSCL
536
NUMINT
DBPID
ELOFF
zeigt die zugehörige Kontaktkarte. Slave ist hier immer die Sickenlinie, deren Knoten im
Knotenset SSID abgelegt sein müssen. Einem Knotenset entspricht SSTYP = 4, s. Anh. B.
Der Master MSID muss hier immer die Platine sein. In MBOXID wird die Nummer einer zum
Kontakt gehörigen Box definiert, s. Keyword 14.18. In der letzten Zeile sind spezifische
Sickeneinstellungen möglich: Mit LCIDRF und LCIDNF werden Kurven definiert, die in
Abhängigkeit der Sickenhöhe DBDTH die Reaktionskraft und die vertikale Normalkraft aus
Präge- und Zuhaltekraft vorgeben (s. Kap. 14.1.1 für die Begriffe). Eine mögliche, sehr
einfache Einstellung ist in Keyword 14.17 gegeben:
LS-DYNA-Keyword 14.17 Kurven für Sickenrückhaltekraft und Vertikalkraft
*DEFINE_CURVE
14.2 Explizite Simulation des Tiefziehens
$#
LCID
910
$#
*DEFINE_CURVE
$#
LCID
911
$#
SDIR
SFA
DEPTH
0.0
8.0
SDIR
273
SFO
OFFA
OFFO
DATTYP
OFFA
OFFO
DATTYP
FORC/LEN
1.0
1.0
SFA
DEPTH
0.0
8.0
SFO
FORC/LEN
0.00001
0.00001
Die LCID = 910 gibt die Rückhaltekraft zu 1 N/mm konstant über die gesamte Höhe der
Sicke wieder. Es macht hier also keinen Unterschied, ob das Blech die Sicke gerade berührt
oder die Sicke voll ausgeformt ist und das Blech um die Höhe von 8 mm herumlaufen muss.
Dies wird häufig angewendet, da solche Kurven nur über Messungen zu gewinnen sind,
die unter anderem von Material, Blechdicke, Schmierzustand und Temperatur abhängen
und entsprechend aufwendig zu ermitteln sind. Die Kurve LCID = 911 wird genutzt, um
die Berechnung der Normalkraft auszuschalten. Man kann dies für eine Abschätzung der
notwendigen Blechhalterkraft nutzen, dies soll hier aber vernachlässigt werden.
Die tatsächliche Sickenrückhaltekraft wird über DFSCL als Skalierungsfaktor der Kurve
910 eingestellt. Der Vorteil dieser Vorgehensweise ist, dass man bei mehreren Sicken im
Modell, die Kurve LCID = 910 nur einmal definieren muss. Die tatsächliche Höhe der
Rückhaltekraft für jede Sicke kann dann über DFSCL im jeweiligen Sickenkontakt erfolgen.
Das Keyword 14.18 definiert einen quaderförmigen Bereich in deren Zentrum die
Sickenlinie liegt:
LS-DYNA-Keyword 14.18 Wirkungsbereich einer Sickenlinie
*DEFINE_BOX_DRAWBEAD
$#
BOXID
PID
900
100
NSID
900
IDIR
3
Zur Identifikation muss BOXID = MBOXID in Keyword 14.16 gesetzt werden. Mit dieser
Box wird festgelegt, dass alle Knoten der Platine PID = 100, die in dieser Box liegen
im Verlauf der Simulation mit den Kräften aus Keyword 14.16 beaufschlagt werden. Der
Parameter IDIR gibt die Bewegungsrichtung der Werkzeuge wieder.
Zuletzt ist noch das Keyword 14.19 notwendig:
LS-DYNA-Keyword 14.19 Kopplung der Sickenlinie an ein Starrkörperwerkzeug
*CONSTRAINED_EXTRA_NODES_SET
$#
PID
NSID
400
100
Damit wird das Knotenset NSID, das die Sickenlinie beschreibt, an die Kinematik des
*PART = 400, in diesem Fall den Blechhalter, gebunden.
14.2.6.4 Strukturierung des Modells in Dateien
Zuletzt noch ein Keyword, das die Lesbarkeit der Dateien erhöht. Mit Keyword 14.20
können beliebige Keyworddateien an der Stelle des Aufrufs eingebunden werden.
LS-DYNA-Keyword 14.20 Einbinden externer Dateien
*INCLUDE
srail_geom.k
274
14 Blechumformsimulation
Dies sollte genutzt werden, um die sehr lange Keyword-Datei in Teile zu zerlegen,
z. B. Knotenkoordinaten und Inzidenztabelle der Elemente und das Modell in eine Hauptdatei mit Unterdateien zu strukturieren.
14.2.7 Durchführung einer Berechnung
Zum Start einer Berechnung kann die ausführbare Programmversion von LS-DYNA direkt in einem Eingabefenster (Windows cmd-Fenster oder Linux-shell) mit verschiedenen
Optionen aufgerufen werden, von denen hier nur die wichtigsten genannt werden sollen:
<LS-DYNA exe> I=<inf> d=nodump MEMORY=<nwds>
NCPU=<ncpu>
JOBID=<jobid>
MCHECK=y
Die einzelnen Einträge sind in Tab. 14.4 kurz erläutert. Die meisten können alternativ
Tabelle 14.4 Optionen beim Aufruf von LS-DYNA
Option
Erläuterung
<LS-DYNA exe>
Name und ggf. Verzeichnispfad zum ausführbaren Programm
I=
Einzige notwendige Option: Name der Keyworddatei, die das Modell enthält.
d=nodump
LS-DYNA schreibt üblicherweise eine sehr große Datei am Ende der Berechnung, das die gesamten Berechnungsdaten enthält und für ein Neustarten oder
Weiterrechnen geeignet ist. Sollte dies nicht beabsichtigt sein, dann verhindert
diese Option das Anlegen der Datei und spart damit sehr viel Speicherplatz.
MEMORY=
Vorgabe des gewünschten Speichers in WORD’s
NCPU=
Angabe der gewünschten Anzahl CPU’s für eine parallele Berechnung
JOBID=
Angabe einer Zeichenkette <jobid>, die jeder Ausgabedatei, die LS-DYNA
erzeugt, vorangestellt wird, wie in Keyword B.1.
MCHECK=y
Modellüberprüfung: Das Modell wird gestartet, aber nur 10 Zeitschritte berechnet. Damit wird die syntaktische Korrektheit der Keyworddatei geprüft.
auch in Keywords in der Keyworddatei definiert werden und müssen dann hier nicht mehr
angegeben werden.
Nach dem Aufruf wird der Lizenzmanager abgefragt und danach wird die Rechnung
initialisiert und läuft dann unter Angabe der aktuell erreichten Zeit und des aktuellen
Zeitschritts durch. Wird die Berechnung erfolgreich abgeschlossen, wird „Normal Termination“ ausgegeben. Der Verlauf der Berechnung kann in den Ausgabedateien <jobid
.messag> sowie <jobid.d3hsp> nachgelesen werden. Dort sind auch alle Fehlermeldungen
und Warnungen verzeichnet. Die Datei <jobid.d3hsp> enthält darüber hinaus eine Liste
aller Keywords mit den gewählten Werten sowie die zur Laufzeit aktuellen Werte von
Variablen.
Das ausführbare Programm von LS-DYNA gibt es prinzipiell immer als Versionen mit
einfacher oder doppelter Gleitkommazahlengenauigkeit (single/double-precision, im Namen des Programms mit „_s_“ oder „_d_“ bezeichnet). Bei single-precision umfasst eine
einfache Dezimalzahl 4 Byte und hat damit im Dezimalsystem 7 bis 8 Ziffern. Einfache
14.2 Explizite Simulation des Tiefziehens
275
Genauigkeit ist für explizite Berechnungen ausreichend. Speziell für implizite Berechnungen muss allerdings mit doppelter Genauigkeit gerechnet werden, hier hat dieselbe Zahl
dann 8 Byte Länge bzw. 16 Dezimalziffern. Neben dem Genauigkeitsgewinn hat doppelte Genauigkeit den Nachteil entsprechend doppelt so viel Speicherplatz und vor allem
auch mehr Rechenzeit zu benötigen, in der Größenordnung von +50 %. Deshalb sollte wo
möglich mit einfacher Genauigkeit gerechnet werden und nur wo nötig mit doppelter.
Umfangreiche Modelle, wie bei der Blechumformsimulation großer Einzelteile oder
von Crash-Gesamtfahrzeugmodellen, können in annehmbaren Rechenzeiten nur durch
parallele Berechnung auf Multiprozessorsystemen durchgeführt werden. Hierzu gibt es
bei LS-DYNA zwei unterschiedliche Programmvarianten.
Tritt im Namen der LS-DYNA-Variante _smp_ auf, handelt sich um eine SharedMemory-Parallelisierung (SMP). Bei diesem Programmiermodell sind Teile des Programmcodes, wie Schleifen, parallelisiert, es gibt aber auch noch sequenzielle Anteile.
Der Nachteil dieser Variante ist, dass sie nur bis ca. vier bis acht Prozessoren effizient
einsetzbar ist, da eine weitere Erhöhung keinen Rechenzeitgewinn mehr bringt.
Bei der Angabe _mpp_ handelt es sich um eine Distributed-Memory-Parallelisierung
(DMP), wobei die Abkürzung MPP eher historisch ist. Bei dieser Vorgehensweise treten
die Nachteile der SMP-Variante nicht auf. Theoretisch ist die Anzahl der Prozessoren
unbegrenzt, allerdings wird auch dieses Verfahren ab einer gewissen Menge Prozessoren
in Relation zur Modellgröße ineffizient, wenn der Kommunikationsaufwand zwischen
den Prozessoren zu groß wird. Für die MPP-Varianten ist weiterhin zusätzliche Software
notwendig, die die Kommunikation der Algorithmen auf Betriebssystemebene steuert. Für
eine Einführung in dieses Feld, s. Bengel et al. [4].
14.2.8 Einführung in die Ergebnisauswertung einer Umformsimulation
Die Ergebnisauswertung wird nach erfolgreicher Beendigung einer Berechnung durch Laden der Datei <jobid>.d3plot unter File→ Open → Binary Plot im LS-PrePost begonnen.
Die einzelnen Ausgabeplots lassen sich graphisch animiert darstellen. Die Auswertung
von Feldgrößen findet sich unter Post. Hier werden tabellarisch die für eine Umformung
wichtigsten Ausgaben aufgelistet:
Post→Fricomp: Hierunter liegen die gesamten Ausgabegrößen, wie Spannungen, Dehnungen, Verschiebungen, die für jeden graphischen Ausgabeplot farblich auf dem Bauteil dargestellt werden können. Für die Umformtechnik ist am wichtigsten die Ausdünnung (Forming → Thinning) des Blechs, s. Abb. 14.13. Die Größe ist definiert als
Blechdicke am Anfang - Blechdicke am Ende
× 100 ,
Blechdicke am Anfang
das heißt eine ähnliche Definition wie die Ingenieurdehnung, allerdings ist eine Dickenabnahme positiv definiert.
Post→FriRange: Einstellung der Farbskala und des Zahlenbereichs der Plots. Durch
Anklicken von User kann man eine fixe Grenze für jeden Plotstate eingeben. Dies
erlaubt die Vergleichbarkeit von Bildern. Dies sollte in Simulationsberichten immer
276
14 Blechumformsimulation
Abb. 14.13 Anzeige der
Ausdünnung
eingehalten werden, insbesondere beim Vergleich von Simulationen. Für eine besser
bewertbare Anzeige sollte man in diesem Fenster noch die Mittelung von Berechnungsergebnissen unter Menü Avg von Nodal auf None umstellen. Damit wird die in
Kap. 7.2.3.1 erläuterte Mittelung der Daten an den Knoten der Elemente unterdrückt.
Man erhält dadurch zwar einen unstetigen Farbplot, allerdings vermittelt dieser einen
realistischeren Eindruck, wie die Rechenergebnisse wirklich aussehen, s. Abb. 14.14.
Bei Größen, die an den Knoten berechnet werden, wie den Verschiebungen, hat die
Abb. 14.14 Unterschied zwischen interpolierten (links,
Einstellung Nodal) und nichtinterpolierten (rechts, Einstellung None) Daten
Einstellung None natürlich keine Auswirkung.
Post → Ascii bzw. Binout: Hier erhält man XY-Plots der Ausgabedateien GLSTAT,
MATSUM etc. Das XY-Plottool, das sich öffnet, enthält sehr viele Funktionen, die hier
nicht beschrieben werden können.
Post→FLD: Darstellung der Umformbarkeit mit Hilfe einer Grenzformänderungskurve
in der Datei *.fld, s. Kap. 14.1.4. Für die Ausgabe ist zu beachten, dass das Keyword
*DATABASE_EXTENT_BINARY mit STRFLG = 1 definiert wurde, da sonst die notwendigen Dehnungen nicht in die Datei geschrieben werden.
Die Ausgabe wird erzeugt, indem eine Grenzformänderungskurve *.fld geladen wird.
Neben der eigentlichen GFK (in Rot in Abb. 14.15) wird auch noch eine Kurve darunter eingezeichnet, häufig im Abstand von 10 % für jeden Punkt. Diese Kurve stellt den
Sicherheitsbereich dar, da die Erstellung der GFK, wie oben beschrieben, mit vielen Unsicherheiten behaftet ist. Dann das Part im Grafikfenster anwählen und im FLD-Fenster
auf Plot gehen. Dies erzeugt zunächst das eigentliche Grenzformänderungsdiagramm
in Abb. 14.15. In der graphischen Oberfläche werden die Verhältnisse auch auf dem
Bauteil mit einem Farbschema angezeigt, wenn man Formability anwählt.
14.3 Statisch-implizite Aufsprung-Simulation
277
Abb. 14.15 Anzeige des Grenzformänderungsdiagramms
14.3 Statisch-implizite Aufsprung-Simulation
In diesem Abschnitt wird die grundlegende Vorgehensweise bei einer nichtlinearen
statisch-impliziten Berechnung am Beispiel der Aufsprungsimulation des vorher berechneten Ziehteils illustriert. Die Nichtlinearität entsteht, da es sehr große Bewegungen geben
kann, darüber hinaus wird der Aufsprung mit demselben nichtlinearen Materialmodell wie
beim Tiefziehen berechnet.
Unter Aufsprung oder Rücksprung wird die (teilweise) Entspannung von elastisch gespeicherter Formänderungsenergie nach der Umformung und dem Öffnen der Werkzeuge
verstanden, s. Abb. 14.16.
Abb. 14.16 Aufsprung an
einem U-Profil: Zielgeometrie
(—), weicher Tiefziehstahl
(—), Höherfester Stahl (—),
Aluminium (—)
Der Aufsprung und die Aufsprungsimulation eines Bauteils hängen von vielen Faktoren
ab, von denen die wichtigsten in Tab. 14.5 genannt sind.
Tabelle 14.5 Einflussgrößen auf den Aufsprung
Einflussgröße
Ausprägung
Technologisch
Blechhalterkraft, tribologische Verhältnisse
Geometrisch
Biegeradien, Blechdicke, Ziehspalt
Werkstoff
E-Modul, Streckgrenze, Verfestigungsmodell, Anisotropie, Fliesskurvenapproximation
Numerisch
Elementtyp, - kantenlänge, Integrationspunkte durch die Dicke
In Abb. 14.17 sind die Spannungs-Dehnungs-Diagramme von einem höherfesten Werkstoff und einem gut umformbaren Tiefziehstahl mit E-Modul = 210 GPa und einer Aluminiumlegierung mit E-Modul = 70 GPa gezeigt. Der höherfeste Werkstoff zeigt wegen
278
600
σ/N/mm2
Abb. 14.17 Einfluss von
E-Modul und Festigkeit auf
den Aufsprung: Höherfester
Stahl (
), Aluminium
(
), weicher Tiefziehstahl
(
). Bei 4 % Dehnung
ist der Anteil der elastischen
Dehnung dargestellt
14 Blechumformsimulation
400
200
0
εel = 0, 297
εel = 0, 337
εel = 0, 126
4
ε/%
seiner höheren Festigkeit bei gleichem E-Modul ein deutlich stärkeres Aufsprungverhalten als der Tiefziehstahl. Die Aluminiumlegierung ist besonders aufsprungkritisch, da der
E-Modul von Aluminium mit 70 GPa ca. dreimal kleiner als der von Stahl ist. Im Bild ist
bei der Dehnung 4 % der Anteil der elastischen Dehnung dargestellt als Indikator für das
Aufsprungverhalten. Im Vergleich zur elastischen Dehnung eines weichen Tiefziehstahls
von 0,126 % ergibt sich bei einem höherfesten Werkstoff eine elastische Dehnung von
0,297 % und bei Aluminium von 0,337 %.
Für eine genaue Aufsprungsimulation ist entscheidend, dass der Spannungszustand am
Ende des Umformprozesses möglichst exakt berechnet wurde. Dafür ist eine Reduktion
des Diskretisierungsfehlers entscheidend. Dies kann erreicht werden durch
• kleine Elementkantenlänge, z. B. 1 mm am Ende der Simulation in Radienbereichen,
• Ansatzfunktionen mit höherer Polynomordnung, s. Muthler et al. [10],
• dem Werkstoff angepasste Materialmodelle, die z. B. die kinematische Verfestigung
berücksichtigen,
• vollintegrierte Schalenelemente.
14.3.1 Genereller Modellaufbau
Um die Ergebnisse aus einer Simulation in eine Nachfolgesimulation zu übertragen, gibt
es in LS-DYNA die Möglichkeit eine <jobid.dynain>–Datei über das Keyword 14.21
anlegen zu lassen.
LS-DYNA-Keyword 14.21 Ausgabe von Spannungen, Dehnungen und Geschichtsvariablen
*INTERFACE_SPRINGBACK_LSDYNA
$
PSID
NSHV
1
100
Dadurch wird der Spannungs- und Verzerrungstensor sowie die Geschichtsvariablen des
Materialmodells in die Datei geschrieben. Dazu ist die Angabe eines Part-Set (Keyword B.8) notwendig, auch wenn nur ein Bauteil exportiert werden soll. Die Werkzeugbauteile werden in diesem Schritt nicht mehr benötigt und entsprechend nicht angegeben.
Zu beachten ist, dass im Gegensatz zu einer expliziten Simulation, bei impliziter Berechnung der Löser eine Double-precision-Variante sein muss, s. Kap. 14.2.7. Dazu ist
unter den vorhandenen Solvern einer mit der Abkürzung \_d\_ im Namen auszuwählen.
Für das Bauteil in der <jobid.dynain>–Datei werden die Karten aus der Umformsimulation, wie *PART und *MAT_XXX, in eine neue Kommandodatei übernommen.
14.3 Statisch-implizite Aufsprung-Simulation
279
Die *SECTION_SHELL-Karte muss an dieser Stelle auf jeden Fall das vollintegrierte
Schalenelement 16 aufrufen durch ELFORM = 16 mit der speziellen Einstellung IHQ = 8 in
Keyword *CONTROL_HOURGLASS, die eine genauere Berechnung bei verdrillten Elementen
ermöglicht. Dieses Element sollte bei impliziten Rechnungen immer eingestellt werden, da
die Konvergenz deutlich verbessert wird.
Darüber hinaus sind die bereits beschriebenen Einstellungen für *DATABASE_XXX und
CONTROL_XXX
Keywords möglich.
*
Die über Keyword 14.21 in der Umformsimulation erzeugte <jobid.dynain>–Datei
wird über einen *INCLUDE Befehl (s. Keyword 14.20) in die Aufsprungsimulation eingelesen.
14.3.2 Implizite Steuerkarten
Für die Verwendung des impliziten Solvers werden in der Ablaufsteuerung der Keyworddatei zusätzliche Keywords verwendet, die alle mit *CONTROL_IMPLICIT_<XXX> beginnen.
Die wichtigsten Keywords und deren Parameter werden in diesem Abschnitt genauer
betrachtet.
Anwählen einer impliziten Lösung und der Inkremente
Die Karte *CONTROL_IMPLICIT_GENERAL (s. Keyword 14.22) wird benötigt um eine implizite Analyse einzuschalten. Dafür ist der Parameter IMFLAG = 1 zu setzen. Die Voreinstellung IMFLAG = 0 hingegen steht für eine explizite Berechnung der Simulation. Mit
IMFLAG>1 gibt es verschiedenste Varianten zwischen impliziten und expliziten Berechnungen umzuschalten.
LS-DYNA-Keyword 14.22 Umschalten zwischen expliziter und impliziter Analyse
*CONTROL_IMPLICIT_GENERAL
$$ IMFLAG
DT0
1
0.1
Der zweite wichtige Parameter auf dieser Karte ist DT0, welcher über den Parameter Zeit
die Anzahl Inkremente einstellt. Die Festlegung der Simulationszeit bei statisch-impliziten
Simulationen hat keinen physikalischen Hintergrund, wie in Kap. 12.2.4 erläutert, da die
Zeit keine Rolle spielt, und wird willkürlich auf ENDTIM = 1s gesetzt in Keyword 14.23.
LS-DYNA-Keyword 14.23 Simulationszeit bei statischer Berechnung
*CONTROL_TERMINATION
$
ENDTIM
1.0
In diesem Beispiel werden mit DT0 = 0.1s dadurch 10 Inkremente angefordert.
Einstellungen für den nichtlinearen Gleichungslöser
Die Auswahl und zahlreiche Einstellungen zum nichtlinearen Lösungsverfahren finden
sich in der Karte *CONTROL_IMPLICIT_SOLUTION (s. Keyword 14.24) :
280
14 Blechumformsimulation
LS-DYNA-Keyword 14.24 Auswahl und Anpassung des nichtlinearen Gleichungslösers
*CONTROL_IMPLICIT_SOLUTION
$$ NSOLVR
ILIMIT
MAXREF
12
1
100
$$
DNORM
DIVERG
ISTIF
DCTOL
ECTOL
RCTOL
NLPRINT
1
NLNORM
D3ITCTL
LSTOL
ABSTOL
Dabei wird mit NSOLVR der nichtlineare Lösungsalgorithmus eingestellt. Mit dem Default
NSOLVR = 12 wird ein BFGS-Algorithmus mit optionalem Bogenlängenverfahren eingeschaltet, d. h. ein Quasi-Newton-Verfahren, s. Kap. 12.3. Der Vorteil dieses Algorithmus
ist, dass nicht in jedem Schritt die Tangentensteifigkeitsmatrix neu berechnet wird. Dieser
und die weiteren Quasi-Newton-Methoden nach Broyden, Davidon und Davidon-FletcherPowell können zusätzlich mit einem Bogenlängenverfahren nach Crisfield oder Ramm
kombiniert werden, wobei eine Zusatzgleichung das Lastinkrement beschränkt. Diese
Methode wird häufig dazu verwendet, Durchschlagprobleme zu lösen, da die Newtonähnlichen Verfahren bei solchen Instabilitäten häufig nicht konvergieren. Für eine Beschreibung dieser Methoden wird auf Bathe [3, s. Kap. 8.4, S. 754 ff.] verwiesen.
Der Parameter ILIMIT legt fest, nach wie vielen Iterationen die Tangentensteifigkeitsmatrix KT neu aufgebaut wird. Hier beträgt die Einstellung 1, dies ergibt ein vollständiges
Newton-Raphson-Verfahren nach Kap. 12.1, da die Steifigkeitsmatrix in jedem Schritt neu
berechnet wird (im Gegensatz zum Quasi-Newton-Verfahren mit ILIMIT > 1).
Die maximal mögliche Iterationszahl innerhalb eines Inkrements wird durch MAXREF
angegeben. Wird innerhalb dieser Iterationen keine Konvergenz erreicht, wird entweder
die Berechnung abgebrochen oder bei eingeschalteter automatischer Zeitschrittsteuerung
(s. Keyword 14.26) der Zeitschritt verkleinert und das Inkrement wiederholt. Für die
Aufsprungsimulation hat sich ein deutlich höherer Wert als der Default von MAXREF =
100 als sinnvoll erwiesen.
Die folgenden Parameter DCTOL und ECTOL sind Werte für Konvergenzkriterien in der
Verschiebungs- und Energienorm, s. Kap. 12.2.3. Kleinere Werte stellen dabei immer eine
höhere Anforderung an ein zu erfüllendes Gleichgewicht und erhöhen somit gleichzeitig
Genauigkeit und Rechenaufwand. Diese Werte sollten vom Anwender nur in Ausnahmefällen und mit viel Vorsicht verändert werden.
Der Parameter NLPRINT = 1 sorgt für die Ausgabe von zusätzlichen Informationen
über den Konvergenzverlauf.
Einstellungen für den linearen Gleichungslöser
Bei der Lösung der nichtlinearen Gleichung wird durch Linearisierung immer ein lineares Gleichungssystem gewonnen, mit dem das Verschiebungsinkrement u n(k) (s. Algorithmus 12.1) berechnet wird. Das Keyword 14.25 erlaubt es, die Einstellungen des linearen
Gleichungslösers anzupassen:
LS-DYNA-Keyword 14.25 Anpassen des linearen Gleichungslösers für die Matrixinversion
$$..>....1....>....2....>....3....>....4....>....5....>....6....>....7....>....8
*CONTROL_IMPLICIT_SOLVER
$$ LSOLVR
LPRINT
NEGEV
ORDER
DRCM
DRCPRM
AUTOSPC
AUTOTOL
4
2
1
Dabei bezeichnet LSOLVR den Lösungsalgorithmus: Die Solver 4, 5 und 6 nutzen einen
Sparse-Multi-Front-Löser, dessen Grundzüge in Kap. 5.6.1 erläutert wurden. Mit ORDER
kann zwischen Metis- und MMD-Sortierung der Steifigkeitsmatrix gewählt werden,
14.3 Statisch-implizite Aufsprung-Simulation
281
s. Kap. 5.6.1. Daneben sind noch verschiedenste iterative Gleichungslöser und Vorkonditionierungstechniken anwählbar, sollte das Gleichungssystem bei direkter Lösung nicht
im Hauptspeicher gelöst werden können, s. Kap. 5.6.2.
Der Parameter LPRINT sollte auf 2 stehen, da damit weitere Informationen über den
Lösungsverlauf ausgegeben werden.
Mit AUTOSPC = 1 wird untersucht, ob für eine positiv-definite Tangentensteifigkeitsmatrix nach dem Einsetzen der Randbedingungen genügend Bedingungen definiert wurden.
Ist diese Option eingeschaltet, dann werden eventuell noch vorhandene kinematisch unbestimmte Freiheitsgrade über bereits aus Keyword B.15 bekannte kinematische Zwangsbedingungen festgelegt. Dadurch ist die Matrix regulär und es ist garantiert, dass der
Gleichungslöser eine eindeutige Lösung berechnen kann. Trotz dieser Methode sollte der
Anwender immer selbst für eine korrekte Lagerung sorgen, s. in Kap. 14.3.2.1.
Automatische Schrittweitensteuerung
Über die Karte *CONTROL_IMPLICIT_AUTO (s. Keyword 14.26) ist eine automatische Zeitschrittweitensteuerung (s. Kap. 12.2.3) möglich. Ist diese Option nicht aktiviert, wird der
unter DT0 in *CONTROL_IMPLICIT_GENERAL eingestellte Wert eingehalten, egal ob dieser
zur Konvergenz führt oder nicht. Die Zeitschrittweitensteuerung wird durch Setzen des
Schalters IAUTO = 1 aktiviert.
LS-DYNA-Keyword 14.26 Automatische Zeitschrittweitensteuerung
$$..>....1....>....2....>....3....>....4....>....5....>....6....>....7....>....8
*CONTROL_IMPLICIT_AUTO
$$
IAUTO
ITEOPT
ITEWIN
DTMIN
DTMAX
DTEXP
1
Die Steuerung der Zeitschrittweite erfolgt über eine gewünschte Anzahl von Iterationen
für jeden Zeitschritt (Option ITEOPT), die als optimal angesehen wird und einer zulässigen
Abweichung von diesem Optimum in negativer und positiver Richtung (ITEWIN). Dabei
wird der Zeitschritt angepasst, wenn die im letzten Schritt benötigte Anzahl von Iterationen
zur Gleichgewichtsbestimmung außerhalb des durch ITEOPT und ITEWIN definierten Fensters liegt. Eine optimale Einstellung ist schwierig vorab anzugeben und problemabhängig.
Deshalb wird empfohlen mit den Defaultwerten zu beginnen.
Dynamisch-implizite Zeitintegration
Zuletzt soll kurz auf das Keyword 14.27 *CONTROL_IMPLICIT_DYNAMICS
LS-DYNA-Keyword 14.27 Dynamisch-implizite Simulation mit Newmark-Verfahren
*CONTROL_IMPLICIT_DYNAMICS
$
IMASS
GAMMA
BETA
1
0.5
0.25
eingegangen werden, auch wenn es in diesem Beispiel nicht benutzt wird. Mit dieser Karte
kann eine dynamisch-implizite Zeitintegration mit einem Newmark-Zeitintegrationsverfahren nach Kap. 13.2 durchgeführt werden. Mit IMASS wird das Verfahren aktiviert. Die
beiden Parameter γ und β werden über GAMMA und BETA vorgegeben. Die hier gezeigten
Werte stellen die ungedämpfte konstante Beschleunigungsmethode ein, s. Tab. 13.1.
282
14 Blechumformsimulation
Abb. 14.18 Kinematisch
bestimmte Lagerung einer
Aufsprungsimulation durch
Lagerung der Verschiebungsfreiheitsgrade an drei Knoten
14.3.2.1 Definition der Randbedingungen
Für eine statische Berechnung ist das Bauteil kinematisch bestimmt zu lagern, damit die
Tangentensteifigkeitsmatrix positiv-definit ist und eine Lösung berechnet werden kann.
Eine überbestimmte Lagerung erhöht die Konvergenzrate. Prinzipiell sind bei einem 3D-Bauteil also mindestens sechs Freiheitsgrade zu sperren. Dies könnte man erreichen,
indem man alle sechs Schalenfreiheitsgrade an einem Knoten sperrt. Da es sich aber
um Freiheitsgrade unterschiedlicher Größe (Verschiebung, Rotation) handelt, kann dies
numerisch ungünstig sein, sodass die Tangentensteifigkeitsmatrix nahezu singulär bleibt.
Aus diesem Grund wird üblicherweise eine Drei-Knoten-Lagerung gewählt, s. Abb. 14.18.
Am Beispiel des S-Rail ist dies in Keyword 14.28 dargestellt.
LS-DYNA-Keyword 14.28 Spezielle Drei-Knoten-Lagerung bei einer Aufsprungsimulation
*BOUNDARY_SPC_NODE
$
NID
CID
1001528
1000531
1001502
DOFX
1
0
0
DOFY
1
1
0
DOFZ
1
1
1
DOFRX
DOFRY
DOFRZ
Am Knoten 1001528 sind alle translatorischen Freiheitsgrade blockiert. Damit ist das
Bauteil fix im Raum, kann aber noch rotieren. Diese Möglichkeiten werden durch die
Sperrung der Verschiebungen am Knoten 1000531 in y und z und am Knoten 1001502
in z ausgeschlossen. Damit ist garantiert, dass das Bauteil kinematisch bestimmt gelagert
ist, sich aber gleichzeitig in alle Richtungen ausdehnen kann. Dieser Punkt ist kritisch,
da selten an einem Bauteil drei Knoten gefunden werden können, die exakt auf rechtwinkligen Achsen zueinander liegen. Deswegen wird es in der Praxis immer zu einer
geringen Unterdrückung von Restspannungen kommen, die im Bauteil verbleiben. Wird
ein symmetrisches Bauteil simuliert, reicht es aus, zwei Punkte auf der Symmetrieebene
einzuspannen. Details zur Lagerung finden sich bei Maker und Zhu [9].
Eine alternative Möglichkeit besteht durch Nutzung des Keyword 14.29 mit dem eine
Trägheitsentlastung oder -ausgleich (inertia relief ) berechnet werden kann.
LS-DYNA-Keyword 14.29 Trägheitsentlastung als spezielle Lagerungsbedingung für den Aufsprung
*CONTROL_IMPLICIT_INERTIA_RELIEF
$
IRFLAG
THRESH
IRCNT
1
0.001
In diesem Fall werden keinerlei Randbedingungen vorgegeben. Da eine statische Analyse durchgeführt wird, ist die Steifigkeitsmatrix zunächst singulär, da sechs Starrkörperfreiheitsgrade existieren. Es werden nun die Eigenmoden der Starrkörperfreiheitsgrade
berechnet (s. Kap. 8.2). Weiterhin wird das statische Problem dynamisch betrachtet. Mit
den Starrkörpermoden wird eine modale Transformation (s. Kap. 8.2.2) durchgeführt. Das
14.3 Statisch-implizite Aufsprung-Simulation
283
Modell wird nun künstlich in die Richtungen der Starrkörpermoden gelagert, womit die
Singularität behoben wird. Die Trägheitskräfte, die mit der Massenmatrix berechnet werden, entsprechen den Reaktionskräften an den künstlichen Lagerungen und gehen in die
rechte Seite des Gleichungssystems ein. Mechanisch wird dadurch das Bezugskoordinatensystem von einem feststehenden auf ein mitbewegtes Koordinatensystem verschoben,
sodass die Ergebnisse nur noch relativ zu dem mitbewegten Koordinatensystem berechnet
werden. Die Methode wurde für andere nicht gelagerte Problemstellungen entwickelt, wie
z. B. ein Flugzeug oder eine Rakete die konstant beschleunigt wird und findet sich in
vielen FE-Programmen. Der Parameter IRFLAG=1 in Keyword 14.29 schaltet die Funktion
ein. Der Parametern THRESH gibt eine Grenze vor, für die ein Eigenwert der Steifigkeitsmatrix als Starrkörpereigenwert (d. h. ≈ 0) interpretiert wird. Mit IRCNT kann alternativ
die Anzahl an Starrkörpereigenwerten vorgegeben werden, sollte diese vorab bekannt sein.
Dieser Fall trifft auf die Aufsprungsimulation zu, weswegen hier IRCNT=6 gesetzt werden
kann.
Der Vorteil der Methode besteht darin, dass keine künstlichen Zwängungen die Entspannung der Struktur einschränken. Die Ergebnisauswertung ist allerdings erschwert, da
es keinen Bezugspunkt gibt.
14.3.3 Auswertung der Ergebnisse
Die Art der Lagerung entscheidet bei der Aufsprungsimulation darüber, wie die Ergebnisse interpretiert werden können. Ein Beispiel mit der Lagerung aus Kap. 14.3.2.1 ist in
Abb. 14.19 dargestellt. Um einen besseren Eindruck zu vermitteln, ist die Geometrie bei
Abb. 14.19 Aufsprung des
S-Rail mit der Lagerung aus
Kap. 14.3.2.1. Der Ausgangszustand ist hellgrau hinterlegt.
Verschiebungen 2fach vergrößert
geschlossenen Werkzeugen in Hellgrau unterlegt. Ausgewertet werden üblicherweise die
Knotenverschiebungsbeträge, die in Abb. 14.19 zweifach überhöht dargestellt sind.
Die Schwierigkeit der Bewertung von Aufsprungergebnissen beruht darauf, dass in
Abb. 14.19 vermittelt wird, dass am linken Flansch der höchste Aufsprung von 1,9 mm
auftritt. Legt man die Lagerung an eine andere Stelle, wird das Ergebnis völlig anders
aussehen. Deswegen werden in der Praxis zwei weitere Betrachtungsweisen eingesetzt:
Minimierung der Abstandsquadrate: Der Abstand einer Anzahl von Knoten des Bauteils
zwischen Sollgeometrie und aufgesprungener Geometrie wird über die Minimierung
284
14 Blechumformsimulation
der Summe der Abstandsquadrate optimiert, sodass möglichst alle betrachteten Knoten
einen gleich kleinen Abstand zur Sollgeometrie erhalten. Die Aufsprungsimulation wird
mit einer beliebigen, kinematisch bestimmten Lagerung wie oben durchgeführt. Diese Vorgehensweise ist auch dann vorteilhaft, wenn Sollgeometrie und aufgesprungene
Geometrie nicht gleich orientiert liegen, da sie z. B. in unterschiedlichen Koordinatensystemen bei der Bauteilkonstruktion und der Methodenentwicklung des Ziehteils
erzeugt wurden. Man spricht auch von einem Einschwimmen der Bauteile. Diese Methode ist auch bei Nutzung der Trägheitsentlastung aus Kap. 14.3.2.1 anzuwenden.
Lagerung nach Spannsituation: Hier wird die Spannsituation beim Verschweißen der
Teile im Karosserierohbau betrachtet. Die Teile werden mit Punktspannern vor dem
Fügen fixiert. Ausgehend von dieser Lage werden Abweichtoleranzen festgelegt. Deswegen ist diese Lagerungsart in der Simulation gut geeignet für den Vergleich mit
der Realität und die Plausibilisierung der Ergebnisse. Außerdem sind üblicherweise
viele Lagerstellen vorgegeben, sodass man eine stark überbestimmte Lagerung erhält,
was für die Konvergenz der Berechnung vorteilhaft ist. Nachteilig ist die aufwendige
Modellierung der Einspannstellen, da diese möglichst realitätsnah abgebildet werden
müssen und prinzipiell auch das Schließen der Spanner simuliert werden sollte.
Literaturverzeichnis
[1] D. Banabic, Herausgeber. Sheet metal forming processes. Springer, Berlin, 2010.
[2] F. Barlat und K. Lian. Plastic behavior and stretchability of sheet metals. Part I.
International Journal of Plasticity, 5(1):51–66, 1989.
[3] K.-J. Bathe. Finite element procedures. Prentice-Hall of India, New Delhi, 2007.
[4] G. Bengel, C. Baun, M. Kunze, und K.-U. Stucky. Masterkurs Parallele und Verteilte
Systeme. Springer Vieweg, Wiesbaden, 2. Aufl., 2015.
[5] A. Birkert, S. Haage, und M. Straub. Umformtechnische Herstellung komplexer
Karosserieteile. Springer Vieweg, Berlin, 2013.
[6] M. Fleischer. Absicherung der virtuellen Prozesskette für Folgeoperationen in der
Umformtechnik. Shaker, Aachen, 2009.
[7] F. Klocke und W. König. Fertigungsverfahren 4. Springer, Berlin, 5. Aufl., 2006.
[8] J. K. Lee. Proceedings of the 3rd international conference : NUMISHEET ’96. 1996.
[9] B. Maker und X. Zhu. Input Parameters for Springback Simulation using LS-DYNA.
In 3rd European LS-DYNA Conference, Paris, 2001. URL http://www.dynalook.c
om/european-conf-2001/58.pdf.
[10] A. Muthler, A. Düster, W. Volk, M. Wagner, und E. Rank. High order thin-walled
solid finite elements applied to elastic spring-back computations. Computer Methods
in Applied Mechanics and Engineering, 195(41-43):5377–5389, 2006.
[11] K. Siegert, Herausgeber. Blechumformung. Springer, Berlin, 2015.
[12] W. Volk und P. Hora. New algorithm for a robust user-independent evaluation of
beginning instability for the experimental FLC determination. International Journal
of Material Forming, 4(3):339–346, 2011.
Anhang A
Mathematische Hilfsmittel
Im Folgenden werden einige grundlegende mathematische Hilfsmittel und Schreibweisen
erläutert, die für das Verständnis der Inhalte der vorangegangenen Kapitel notwendig
sind. Zunächst wird das Rechnen mit Matrizen vorgestellt und danach die verschiedenen
Notationsformen für Tensoren.
A.1 Matrizenrechnung und Matrixschreibweise
Die FEM führt auf lineare Gleichungssysteme, die vorteilhaft in Matrixschreibweise dargestellt werden können. Deshalb werden die wesentlichen Zusammenhänge kurz angegeben:
Ein lineares, eindeutig lösbares Gleichungssystem hat n Zeilen und ebenso n Unbekannte x i, i = 1, .., n:
a11 x 1 + a12 x 2 + · · · + a1n x n = b1
a21 x 1 + a22 x 2 + · · · + a2n x n = b2
..
.
an1 x 1 + an2 x 2 + · · · + ann x n = bn .
(A.1)
Die Koeffizienten ai j lassen sich in der Matrix A zusammenfassen
 a11 a12 · · · a1n 


a21 a22 · · · a2n 

A =  .
 ..

an1 an2 · · · ann 
Dim( A) = n × n .
Soweit möglich werden Matrizen in diesem Skript mit fettgedruckten Großbuchstaben
dargestellt. Da die Matrix A gleiche Zeilen und Spaltenzahl hat wird sie als quadratisch
bezeichnet.
Einspaltige Matrizen werden als Vektoren bezeichnet, hier z. B. der Vektor der Unbekannten:
© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2017
M. Wagner, Lineare und nichtlineare FEM, DOI 10.1007/978-3-658-17866-6
285
286
A Mathematische Hilfsmittel
 x 1 
 
x2
x =  . 
 .. 
 x n 
Dim(x) = n × 1 .
Soweit möglich, werden Vektoren durch fettgedruckte Kleinbuchstaben bezeichnet. Das
Gleichungssystem lässt sich dann in Matrixform schreiben als:
Ax = b .
Zur Auswertung dieses Ausdrucks wird pro Zeile jeder Koeffizient ai j mit dem korrespondierenden Eintrag des Vektors x j multipliziert und am Ende die Summe über alle
Produkte gebildet. Dies entspricht dann für alle Zeilen ausgeführt genau dem Gleichungssystem in Gl. (A.1). Dies wird als Matrix-Vektor-Produkt bezeichnet.
Die Transposition einer Matrix wird durch ein hochgestelltes () T symbolisiert und
bedeutet, dass für einen Koeffizienten der Spalten- und Zeilenindex vertauscht werden.
Zum Beispiel wird der Koeffizient a23 an die Stelle a32 der Matrix eingetragen und
umgekehrt. Für die Transposition eines Matrixprodukts gilt:
( AB) T = BT AT .
(A.2)
Mit der Transposition lässt sich eine symmetrische Matrix definieren, für die A = AT gilt,
d. h. die Koeffizienten ai j und a ji sind gleich.
Weiterhin gelten die folgenden Rechenregeln:
• Addition und Subtraktion:
A+B = C
Dim(C) = n × n .
Ausgeführt wird dies, indem jeder Koeffizient ai j mit bi j addiert wird, d. h. die Operation erfolgt komponentenweise.
• Skalarprodukt: Zwei Vektoren werden skalar multipliziert, indem jeder Koeffizient i
der Vektoren miteinander multipliziert wird und daraus die Summe gebildet wird.
aT b = c
Dim(c) = 1 × 1 .
Es entsteht ein skalarer Wert. In Matrizenschreibweise ist dazu der vordere Vektor
zu transponieren, d. h. von einem Spalten- in einen Zeilenvektor umzuwandeln. Dies
ergibt z. B. das Quadrat des Betrags eines Vektors, wenn man das Skalarprodukt mit
dem gleichen Vektor ausführt.
• Dyadisches Produkt: Umgekehrt zum Skalarprodukt wird nun der hintere Vektor transponiert:
g 
 a1  f
 a1 b1 a1 b2 · · · a1 bn 
b
b
·
·
·
b
1
2
n
 
 a2 b1 a2 b2 · · · a2 bn 
a2
 = C .
ab T =  . 
=  .
(A.3)
 .. 
 ..

an 
an b1 an b2 · · · an bn 
A.1 Matrizenrechnung und Matrixschreibweise
287
Ein Spaltenvektor wird mit einem Zeilenvektor multipliziert. Es entsteht daraus eine
Matrix.
• Matrixmultiplikation:
AB = C .
Der Eintrag ci j entsteht, indem die Zeile i der Matrix A mit der Spalte j der Matrix
B skalar multipliziert wird. Damit dies möglich ist, muss die Anzahl Spalten von
A gleich der Anzahl Zeilen von B sein, sonst ist eine Matrizenmultiplikation nicht
definiert: (n × m)(m × p) = n × p . Es ist zu beachten, dass dies keine kommutative
Operation ist:
AB , BA .
Es ist zu unterscheiden, ob eine Matrix von links oder von rechts multipliziert wird.
• Die Division ist mit dem Begriff der Inverse verbunden. Formal ergibt sich
Ax = b ⇒ x = A−1 b .
Mit der Inversen A−1 kann das Ergebnis eines linearen Gleichungssystems berechnet
werden. Da die Berechnung einer Inversen numerisch sehr aufwendig ist, wird dies
explizit sehr selten getan, sondern über Faktorisierung gelöst, s. hierzu Kap. 5.6.
Die Determinante det A weist einer Matrix einen skalaren Wert zu. Für eine 2 × 2 Matrix
gilt z. B.:
"
#
a a
det 11 12 = a11 a22 − a12 a21 .
a21 a22
Bei einer 3 × 3 Matrix lässt sich die Determinante nach der Regel von Sarrus berechnen.
Für höhere Determinanten ist der Entwicklungssatz anzuwenden, s. Selke [3, S. 32].
Die Einheitsmatrix ist das neutrale Element in der Matrizenrechnung
1 0 · · · 0


0 1 · · · 0

 ⇒ AI = I A = A .
I =  .
 ..

0 0 · · · 1
Für die Herleitung der FEM ist es notwendig, auch die Differenziation und Integration
auf Matrizen anzuwenden, dies wird generell einfach komponentenweise ausgeführt. Ein
wichtiger Fall ist die Differenziation eines Vektors nach einem anderen Vektor
 ∂a1
∂b1
 ∂a
2
∂ a  ∂b1
=
∂ b  ...

 ∂an
∂b1
∂a1
∂b2
∂a2
∂b2
∂a n
∂b2
···
···
∂a1 
∂b n 
∂a2 
∂b n 
 .

n
· · · ∂a
∂b n 
Dies entspricht einem dyadischen Produkt, s. Tab. A.1. Die entstehende Matrix wird als
Jacobi- oder Funktionalmatrix bezeichnet.
Für die Darstellung der FEM ist sehr häufig eine Partitionierung einer Matrix in Submatrizen sinnvoll. Generell kann eine beliebige Matrix A, M × N, mit M Zeilen und N
288
A Mathematische Hilfsmittel
Spalten in Submatrizen partitioniert werden, z. B.

 

.
.
 A11 .. A12   M1 × N1 .. M1 × N2 
A = M × N = . . . . . . . . . =  . . . . . . . . . . . . . . . . .  .

 

.
.
 A21 .. A22   M2 × N1 .. M2 × N2 
f
g
Die Submatrizen müssen keine quadratischen Matrizen sein, d. h. es können beliebige
rechteckige Submatrizen entstehen. Aber es muss gelten M = M1 + M2 und N = N1 + N2 .
Mit den Submatrizen kann gerechnet werden wie mit skalaren Einträgen, wobei natürlich die Rechenregeln der Matrizenrechnung einzuhalten sind. Unter anderem muss bei
einer Matrizenmultiplikation die Anzahl Spalten des linken Terms mit der Anzahl Zeilen
des rechten Terms übereinstimmen:


..


A
.
A
11
12
f
gf
g 
Ax = M × N N × 1 = . . . . . . . . .


.
 A21 .. A22 


.
 x1   M1 × N1 .. M1 × N2 
. . . =  . . . . . . . . . . . . . . . . . 

  
 x2   M × N ... M × N 
1
2
2
 2
 N1 × 1
 . . .  .


 N2 × 1
Als Matrizengleichung ergibt sich damit

 A11 x1 + A12 x2
Ax = 
 A21 x1 + A22 x2

.
A.2 Tensor- und Indexnotation
In dieser Arbeit wird neben der Matrixschreibweise (z. B. a) aus Kap. A.1 für die Darstellung von Tensoren von der symbolischen Tensorschreibweise sowie der Indexnotation
Gebrauch gemacht. Das Folgende kann nur eine kurze und vereinfachte Darstellung bieten.
Für eine umfassende und exakte Darstellung s. Willner [4]. In der symbolischen Schreibweise werden für Tensoren aufrechte, serifenlose Buchstaben benutzt, wobei ein Tensor
1. Stufe, wo möglich, mit einem Kleinbuchstaben a bezeichnet wird und ein Tensor 2. Stufe
mit einem Großbuchstaben, z. B. A.
Die Indexnotation ist eine Komponentenschreibweise. Mehrdimensionale Größen werden durch Angabe von Indizes gekennzeichnet. Üblicherweise werden Kleinbuchstaben
beginnend bei i genutzt, wenn es sich um 3-D-Probleme handelt. Entsprechend gehen
die Indizes von eins bis drei. Bei 2-D-Problemen werden griechische Buchstaben ab α
genutzt. Die Indexnotation erlaubt oft eine sehr kompakte Darstellung von Formeln und ist
v. a. sehr übersichtlich zu programmieren, da jedem Index im Prinzip eine Schleife eines
Programms entspricht. Für einen Vektor gilt z. B. a = a = [a1 a2 a3 ]T = ai .
Die Einsteinsche Summationskonvention findet Anwendung, d. h. über gleichlautende
Indizes wird summiert:
A.2 Tensor- und Indexnotation
ai bi =
289
3
X
ai bi = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = c .
i=1
Diese Operation entspricht dem Skalarprodukt zweier Vektoren. Da der Index i bei der
Summation verschwindet (c trägt keinen Index mehr), ist es beliebig, welcher Buchstabe genutzt wird, man spricht auch von einem stummen Index, da gilt ai ai = ak ak .
Ein stummer Index kommt immer genau zweimal in einer Formel vor. Beispiele für die
Summationskonvention finden sich in Gl. (3.5) und Gl. (3.6).
Kommt ein Index nur einmal vor, handelt es sich um einen freien Index. Die Anzahl
freie Indizes an einer Größe gibt die Stufe des Tensors an.
Eine weitere Konvention bei der Indexnotation betrifft die Darstellung von Ableitungen:
∂ui
= ui, j ,
∂xj
indem die Ableitung nach einer Koordinate über ein Komma (·), j = ∂(·)/∂ x j beschrieben
wird. Ein Beispiel findet sich in Gl. (3.12).
Für die Darstellung vieler Formeln in Indexnotation ist ein Einheitstensor notwendig,
der als Kronecker-Delta bezeichnet wird:

 1,
δi j = 
 0,

falls i = j
falls i , j ,
(A.4)
Die Spur dieses Tensors ist δii = 3. Man kann damit auch Indizes vertauschen: δi j a j = ai .
Die weiteren Rechenoperationen und die Darstellung in den verschiedenen Notationen
finden sich in Tab. A.1. Formal wird auch die Matrizenschreibweise der Operationen
daneben gestellt. Für Details und weitere Beispiele sei auf Gaul et al. [1, Kap. 2.1.1, S.
23] und Gross et al. [2, Kap. 2.1.1, S. 72] verwiesen. Für die Ableitung von Tensoren
Tabelle A.1 Rechenoperationen in verschiedenen Notationen
Operation
symbolische Notation
·b=c
Indexnotation
Matrixschreibweise
ai bi = c
aT b = c
Skalarprodukt
aT
Verjüngung/Kontraktion
A·b=c
A i j b j = ci
Ab = c
AB =C
A·B=C
A i k B k j = Ci j
doppelte Verjüngung/Kontraktion
A:B=c
Ai j Bi j = c
–
dyadisches Produkt Tensor 1. Stufe
a⊗b=C
a i b j = Ci j
ab T = C
–
A⊗B=C
A i j B k l = Ci j k l
Gradient Tensor 0. Stufe
grad a = ∇a
a, i = bi
–
Gradient Tensor 1. Stufe
grad a = a ⊗ ∇
ai, j = bi j
–
dyadisches Produkt Tensor 2. Stufe
Divergenz Tensor 1. Stufe
div a = a · ∇
ai, i = c
–
Divergenz Tensor 2. Stufe
div A = A · ∇
Ai j, i = c j
–
∂
in symbolischer Schreibweise ist die Einführung des Nabla-Operators ∇ = [ ∂x
∂ ∂ T
∂y ∂z ]
290
A Mathematische Hilfsmittel
sinnvoll. Die Divergenz lässt sich damit dann als div A = A · ∇ schreiben. Die Angabe
des Transpositionszeichens in der symbolischen Notation beim Skalarprodukt ist nicht
notwendig, wird aber der Klarheit halber mit angegeben. Zu Vereinfachung wird bei der
Verjüngung von rechts der Punkt weggelassen, sodass gilt A · b = Ab.
A.3 Einheitensysteme
Tabelle A.2 Gebräuchliche Einheitensysteme und Zahlenwerte charakteristischer Größen
1
Masse
Länge
Zeit
Kraft
Energie
Spannung
E-Modul Stahl
Dichte Stahl
Erdbeschl.
kg
m
s
N
J
Pa
2,10 · 1011
7,83 · 103
9,81
105
10−9
9,81 · 103
2
t
mm
s
N
mJ
MPa
2,10 ·
7,83 ·
3
kg
mm
ms
kN
J
GPa
2,10 · 102
7,83 · 10−6
9,81 · 10−3
4
g
mm
ms
N
mJ
MPa
2,10 · 105
7,83 · 10−3
9,81 · 10−3
Literaturverzeichnis
[1] L. Gaul, M. Kögl, und M. Wagner. Boundary element methods for engineers and
scientists. Springer, Berlin, 2003.
[2] D. Gross, W. Hauger, und P. Wriggers. Technische Mechanik 4. Springer, Berlin, 9.
Aufl., 2014.
[3] P. Selke. Höhere Festigkeitslehre. Oldenbourg, München, 2013.
[4] K. Willner. Kontinuums- und Kontaktmechanik. Springer, Berlin, 2003.
Anhang B
Einführung in die Simulation mit LS-DYNA
Dieser Anhang soll als Kurzeinstieg in LS-DYNA1 dienen und bietet einen Überblick zu
den wichtigsten Bestandteilen eines nichtlinearen, dynamischen Berechnungsmodells2.
In diesem Abschnitt wird zunächst auf die generelle Struktur einer Kommandodatei für
LS-DYNA, das als Keyword-Datei oder Inputdeck bezeichnet wird, eingegangen.
Jede Angabe, die für eine FE-Berechnung notwendig ist (z. B. Randbedingungen etc.),
wird über Keywords definiert. Das Keyword selbst beginnt immer mit einem „*“. In den
folgenden Zeilen werden für das Keyword spezifische Parameter vorgegeben. Dabei ist für
diese Zeilen ein fixes Raster einzuhalten. Eine Zeile umfasst maximal 80 Zeichen. Jeder
Parameter auf einer Zeile hat, bis auf einige Ausnahmen, 10 Zeichen, sodass immer 8
Parameter auf eine Zeile passen. Ein Keyword wird zusammen mit seiner Parameterliste
auch als Karte bezeichnet.
Die Formatierung eines Kommandofiles muss genauen Regeln folgen. Eine häufige
Fehlerquelle ist, dass anstatt Leerzeichen Tabulatoren von einem Editor eingesetzt werden.
Diese sind i. d. R. nicht sichtbar, werden aber vom ASCII-Code anders dargestellt. Ein
solches Zeichen in einem Keyword führt zu einem Fehler.
Beispiel: Aufprall einer Kugel auf eine deformierbare Platte
In diesem Abschnitt soll anhand des Aufpralls einer starren Kugel auf eine deformierbare
Platte der Aufbau einer LS-DYNA Keyword-Datei für eine explizite FE-Simulation Schritt
für Schritt dargestellt werden, s. Abb. B.1. Eingangsdaten sind vernetzte Geometrien der
Platte und der Kugel. Die Platte besitzt die Abmaße 300 mm x 300 mm x 1 mm und soll mit
insgesamt 400 viereckigen Schalenelementen der Kantenlänge 15 mm modelliert werden
sowie elastoplastisches Materialverhalten aufweisen, s. Keyword B.10.
1 LS-DYNA® und LS-PrePost® sind eingetragene Warenzeichen der Firma Livermore Software Technology Corporation (LSTC), http://www.lstc.com.
2 Weitere Informationen zu LS-DYNA und zur Modellierung finden sich auf folgenden Internetseiten
•
•
•
http://www.dynasupport.com: Hilfen und Erklärungen zu LS-DYNA.
http://www.dynaexamples.com: Beispiele zu verschiedensten Anwendungen.
http://www.dynalook.com: Veröffentlichungen aller LS-DYNA Konferenzen.
291
292
B Einführung in die Simulation mit LS-DYNA
Abb. B.1 Einführungsbeispiel: Aufprall einer starren
Kugel auf eine deformierbare
Platte
Der Mittelpunkt der Kugel (Radius r = 40 mm) wird in einem Abstand von 50 mm von
der Platte erstellt. Die Kugel wird mit einer vordefinierten Anfangsgeschwindigkeit von
vz0 = −10 m/s in z-Richtung beaufschlagt. Um ein Durchdringen der beiden Bauteile zu
vermeiden, wird ein Kontakt zwischen diesen beiden Körpern definiert. Die Simulationszeit soll insgesamt t E = 10 ms betragen.
Die Platte soll am gesamten Rand so eingespannt sein, dass sie sich in keine Richtung
verschieben kann. Eine Rotation der Kante soll aber möglich sein.
Die Kommandodatei findet sich in den Zusatzunterlagen zum Buch. Es wird empfohlen,
dieses beim Durcharbeiten dieses Kapitels anzuschauen, da so der Zusammenhang klarer
wird.
Zeitsteuerung und allgemeine Parameter
Jedes Inputdeck beginnt in der ersten Kommandozeile mit *KEYWORD, s. Keyword B.1.
LS-DYNA-Keyword B.1 Beginn einer Kommandodatei
*KEYWORD_JOBID
<jobid>
*TITLE
<Kugel auf Platte, Einheiten: mm, ms, kg, kN, GPa>
Als Option kann _JOBID angegeben werden. Dann muss in der Zeile darunter eine Zeichenkette <jobid> stehen, die jeder Ausgabedatei, die LS-DYNA erzeugt, vorangestellt
wird. So können einzelne Berechnungsergebnisse einfach verwaltet werden.
Eine Beschreibung des Rechenmodells ist optional unter *TITLE möglich. Eine Angabe
des gewählten Einheitensystems ist hier sinnvoll.
Im Keyword B.2 wird als nächstes die Simulationsdauer unter ENDTIM vorgegeben.
LS-DYNA-Keyword B.2 Endzeit und Zeitschritt
*CONTROL_TERMINATION
$# ENDTIM
10.0
Steht in einer Zeile ganz vorne ein „$“, zeigt dies einen Kommentar an, der von LS-DYNA
ignoriert wird. Üblicherweise stehen in diesen Zeilen Abkürzungen der einzugebenden
Parameter, hier ENDTIM. Diese finden sich auch im Handbuch wieder. Erst darunter kommt
die eigentlich signifikante Zeile mit Zahlen.
Ausgabesteuerung
Während einer Berechnung erzeugt ein FE-Programm sehr große Datenmengen, die nicht
alle gespeichert werden können. Deshalb gibt es vielfältige Möglichkeiten, die Erzeugung
der gewünschten Ausgabedaten zu beeinflussen. In LS-DYNA ist prinzipiell zwischen
der Ausgabe von knoten- und elementspezifischen Berechnungsergebnissen in verschie-
B Einführung in die Simulation mit LS-DYNA
293
dene Textdateien und der Ausgabe von graphischen Darstellungen des Gesamtmodells zu
unterscheiden. Die folgende Liste zeigt die wichtigsten möglichen textbasierten Ausgabedateien:
GLSTAT
MATSUM
RCFORC
RBDOUT
NODOUT
ELOUT
Gesamtmodelldaten, wie Energien (totale, kinetische, Hourglass), Zeitschrittverlauf, Verlauf der Massenskalierung etc.
Energien und kinematische Daten für jedes *PART
Resultierende Kontaktkräfte für jede Master-/Slavekombination
Kinematische Daten von Starrkörpern
Kinematische Daten ausgewählter Knoten
Spannungs- und Verzerrungsgrößen ausgewählter Elemente.
Diese Dateien werden durch *DATABASE_<NAME>, z. B. in Keyword B.3 für GLSTAT, angelegt und tragen jeweils die Endung der angeforderten Datei, z. B. <jobid.glstat>.
LS-DYNA-Keyword B.3 Text-Ausgaben
*DATABASE_GLSTAT
$#
DT
BINARY
0.1
2
Mit DT = 0,1 ms wird ein Zeitintervall festgelegt, wann die Daten in die Datei geschrieben
werden. Der zweite Parameter BINARY = 2 erzeugt eine einzige Datei mit der Endung
<jobid.binout>, die alle angeforderten Textdateien in einem binären Format enthält. Dies
hat den Vorteil, dass die Datenmenge erheblich verringert ist und die Anzahl Dateien, die
LS-DYNA erzeugt, kleiner wird. Zur Darstellung der Dateien ist dann im LSTC eigenen
Prä- und Postprozessor LS-PrePost Post→Binout aufzurufen. Die Textdateien enthalten
i. d. R. geringe Datenmengen und eignen sich daher für eine häufige Ausgabe, z. B. 100bis 1000-mal in einer Simulation. Eine Ausnahme sind NODOUT und ELOUT, da es hier
davon abhängt, wie viele Knoten oder Elemente man anfordert.
Ist die Ausgabe von Verschiebungen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen an
einzelnen Knoten mit NODOUT gewünscht, werden diese in Keyword B.4 angegeben:
LS-DYNA-Keyword B.4 Text-Ausgaben - DATABASE_HISTORY_NODE
*DATABASE_HISTORY_NODE
$#
NID1
NID2
10
35
NID3
103
NID4
NID5
NID6
NID7
NID8
Analog gibt es die Keywords *DATABASE_HISTORY_SHELL/SOLID, die Spannungen und
Verzerrungen einzelner Elemente in <jobid.elout> ausgeben.
Die Steuerung graphischer Ergebnisse des Gesamtmodells erfolgt durch Keyword B.5:
LS-DYNA-Keyword B.5 Graphische Ausgabe Gesamtmodell
*DATABASE_BINARY_D3PLOT
$#
DT
LCDT
BEAM
NPLTC
10
PSETID
Dadurch werden graphische Gesamtmodelldaten (Plots) in Dateien mit Endung <jobid.d3plot(xx)>ausgegeben, die den kompletten Status zu verschiedenen Zeitpunkten beinhalten. Je nach Einstellung werden mehrere Files geschrieben, dann enthält (xx) einen
Zählindex. Die Datenmenge eines einzelnen Plots ist modellabhängig sehr groß, sodass
nur wenige Plots geschrieben werden sollten, z. B. 10 bis 50. Die Anzahl Plots kann durch
Definition von NPLTC angefordert werden, die dann in gleichen Zeitabständen geschrieben
werden. Ein Eintrag bei DT gibt alternativ ein Zeitintervall zur Ausgabe vor.
294
B Einführung in die Simulation mit LS-DYNA
Definition von Bauteilen und -gruppen, Elementtypen und der Materialbeschreibung
Zur Definition von Bauteilen dient in LS-DYNA das *PART. Dies ist eines der wichtigsten Kommandos, da viele Randbedingungen, Kontakte und weitere Einstellungen darüber
zugewiesen werden. Zur eindeutigen Identifikation eines Bauteils erhält es eine Nummer
PID im Keyword B.6. Unter dem Keyword wird eine aussagefähige Beschreibung angegeben. Als wesentliche Eigenschaften, erfolgt in diesem Keyword die Zuweisung des
verwendeten Elementtyps sowie des Materials über eindeutige Indizes SECID und MID. Da
beide Bauteile im Beispiel mit unterschiedlichen Materialien und Elementarten modelliert
werden, erhalten diese Parts verschiedene SECIDs und MIDs.
LS-DYNA-Keyword B.6 Bauteildefinition
*PART
Platte
$#
PID
1
*PART
Kugel
$#
PID
2
SECID
1
MID
1
SECID
2
MID
2
Ein Set (Menge) ist eine Gruppierung von Objekten (Knoten, Elemente, Parts etc.),
um diese gesammelt adressieren zu können. Im Keyword B.7 wird eine Knotengruppe
gebildet, um sie z. B. in einer Randbedingung gesamthaft ansprechen zu können.
LS-DYNA-Keyword B.7 Knoten-Set
*SET_NODE_LIST_TITLE
Set Anfangsgeschwindigkeit
$#
SID
DA1
DA2
2
$#
NID1
NID2
NID3
290
291
292
<...>
DA3
DA4
SOLVER
NID4
293
NID5
294
NID6
295
NID7
296
NID8
297
Dazu werden die Knotennummern bei NIDxxx eingetragen. Das Set kann dann über die SID
angesprochen werden. Es können prinzipiell beliebig viele Zeilen mit Knotennummern
angegeben werden.
Analog dazu stellt das Keyword B.8 eine Gruppierung der Identifikationsnummern der
beiden Bauteile (Platte: PID1 und Kugel: PID2) dar.
LS-DYNA-Keyword B.8 Part-Set. Gruppierung von Bauteilen zu Baugruppen
*SET_PART_LIST_TITLE
Set Bauteile
$#
SID
DA1
1
$#
PID1
PID2
1
2
DA2
DA3
DA4
SOLVER
PID3
PID4
PID5
PID6
PID7
PID8
Mit diesem Set können Bauteile zu Baugruppen zusammengefasst werden und dann in
der Modellierung weiterer Bedingungen, z. B. einer Anfangsgeschwindigkeit oder eines
Kontakts, über eine einzige ID angesprochen werden.
Der Elementtyp wird mithilfe des Keywords *SECTION_<xxx> definiert, s. Keyword B.9. Hierbei bezeichnet <xxx> die jeweilige Elementart. Die Platte wird mit Schalenelementen (shell → *SECTION_SHELL) vernetzt, die Kugel wird mit Hexaederelementen
als 3-D-Körper (solid → *SECTION_SOLID) modelliert:
LS-DYNA-Keyword B.9 Elementeigenschaften
*SECTION_SHELL_TITLE
Sec_Platte
B Einführung in die Simulation mit LS-DYNA
$#
SECID
ELFORM
1
2
$#
T1
T2
1.0
1.0
*SECTION_SOLID_TITLE
Sec_Kugel_Rigid
$#
SECID
ELFORM
2
1
SHRF
T3
1.0
NIP
5
T4
1.0
295
PROPT
QR/IRID
ICOMP
SETYP
NLOC
MAREA
IDOF
EDGSET
AET
Der erste Parameter SECID ist eine eindeutige Zahl, die die Section kennzeichnet und
im zugehörigen *PART eingetragen werden muss. Der Elementtyp wird bei ELFORM vorgegben. Speziell bei Schalen erfolgt die Angabe der Anzahl an Integrationspunkten über
die Dicke bei NIP. In Keyword B.9 sind bei *SECTION_SHELL insgesamt fünf GaußIntegrationspunkte ausgewählt. Die Plattendicke von 1,0 mm wird über die Schalendicke
an den lokalen Knoten eines Elements (T1 bis T4) eingestellt.
LS-DYNA stellt eine Vielzahl von Materialmodellen bereit. In Keyword B.10 ist für
die Platte ein isotropes, elastoplastisches Materialverhalten modelliert, bei dem die Vergleichsspannung der Fließbedingung nach von Mises berechnet wird (s. Kap. 10.2). Zur
Verwendung dieser Materialkarte für die Platte muss die MID im Keyword *PART eingetragen werden.
LS-DYNA-Keyword B.10 Definition für isotropes elastoplastisches Material
*MAT_PIECEWISE_LINEAR_PLASTICITY_TITLE
Mat Platte
$#
MID
RO
E
PR
1 7.8300E-6 210.00000 0.300000
LCSR
$#
C
P
LCSS
99
<Zwei Leerzeilen sind anzugegeben>
SIGY
0.368000
VP
ETAN
0.36030
FAIL
TDEL
Die grundlegenden Materialparameter werden in der ersten Parameterzeile definiert. Der
Parameter RO steht hierbei für die Dichte ρ = 7,83 · 10−6 kg/m3 , E für den E-Modul
E = 210 GPa und PR für die Querkontraktionszahl ν = 0.3. In Keyword B.10 sind zwei
möglich Definitionsarten der Fließkurve enthalten:
• Ein bilineares Modell über die beiden Parameter SIGY= 0,368 GPa (initiale Streckgrenze
σy ) und ETAN= 0,3603 GPa, dem Tangentenmodul aus Gl. (10.16) in Kap. 10.2. Sowohl
der elastische als auch plastische Bereich werden über lineare Segmente abgebildet.
Dies ist nur eine grobe Näherung des realen Verhaltens.
• Die Verwendung einer gemessenen Fließkurve ergibt ein (genaueres) stückweise lineares Modell. Deshalb kann über den Parameter LCSS der Materialkarte eine gemessene
Fließkurve (s. Abb. 14.5) zugeordnet werden. SIGY und ETAN sind dann unbenutzt.
Das Keyword *DEFINE_CURVE enthält dabei die Wertepaare der gemessenen Fließkurve. Die Werte sind jeweils in logarithmischen Dehnungen und wahren Spannungen vorzugeben, s. Kap. 9.4. Die Zuordnung der Kurve erfolgt wieder über die Vergabe einer
eindeutigen Nummer der Kurve unter Parameter LCID=99.
LS-DYNA-Keyword B.11 Definition einer Kurve
*DEFINE_CURVE_TITLE
Fliesskurve Platte
$#
LCID
SIDR
99
$#EFF. PLAST. STRAIN
0.000000
<...>
1.000000
SFA
SFO
EFF. STRESS
0.29010000
1.02140000
OFFA
OFFO
DATTYP
296
B Einführung in die Simulation mit LS-DYNA
Entsprechend ist der Parameterwert LCSS auf 99 zu setzen in der Materialkarte. Es ist zu
beachten, dass in diesem Keyword eine Ausnahme von der Feldbreite 10 vorkommt. Die
(x,y)-Werte haben jeweils die Breite 20.
Die Vorgabe von (x,y) Wertepaaren tritt an vielen Stellen in LS-DYNA auf und
erfolgt genau mit demselben Keyword, unabhängig davon, ob es sich um SpannungsDehnungsdaten oder einen Zeitverlauf einer Größe handelt.
Die Kugel soll als Starrkörper mit dem Materialtyp *MAT_RIGID modelliert werden,
s. Keyword B.12.
LS-DYNA-Keyword B.12 Materialdefinition Kugel
*MAT_RIGID_TITLE
Kugel Material
$#
MID
RO
E
PR
2
7.83E-6
210.0
0.3
$#
CMO
CON1
CON2
1.0
4.0
7.0
<weitere Leerzeile muss angegeben werden>
Diesem Material ist über *PART=2 die MID = 2 zugeordnet. Auch für diesen Materialtyp ist
die Angabe von Materialkenngrößen erforderlich. Diese sind für die Kontaktberechnung
notwendig und sollten in der Größenordnung der Eigenschaften der deformierbaren Bauteile liegen, da ansonsten Schwierigkeiten bei der Kontaktbehandlung auftreten können,
da daraus die Penalty-Faktoren berechnet werden, s. Kap. 11.3.2. Zu beachten sind die
Parameter CMO, CON1, CON2. Das Starrkörpermaterial hat die Besonderheit, dass die Bewegungsmöglichkeiten des Starrkörpers auf dieser Karte definiert werden. Da ein Starrkörper
durch seinen Schwerpunkt definiert ist, wird nur die Bewegung dieses Punkts betrachtet.
CON1 bezeichnet hierbei die Verschiebungsfreiheitsgrade und CON2 die Rotationsfreiheitsgrade des Starrkörperschwerpunkts. Es gibt folgende Einstellungen:
Parameterwert CON1/CON2 1
2
3
4
Eingeschränkter FHG
y
z
x/y y/z
x
5
6
7
x/z
x/y/z
Die Wahl des Bezugskoordinatensystems erfolgt durch die Angabe von CMO:
Parameterwert CMO
+1
0
-1
Koordinatensystem global keine Randbedingungen lokal
Für eine Einschränkung von Bewegungsrichtungen muss CMO , 0 sein. Voreingestellt
ist CMO = 0, dann wirkt eine Einstellung von CON1 bzw. CON2 nicht. Die Einstellung in
Keyword B.12 gibt an, dass sich der zugeordnete Starrkörper nicht rotatorisch (CON2 = 7)
und translatorisch nur in globaler (CMO = +1) z-Richtung (CON1 = 4) bewegen kann. Mit
welchem Zeitverlauf die Bewegung abläuft wird bei den Randbedingungen vorgegeben.
Kontaktdefinition
Um eine Durchdringung der beiden Bauteile zu vermeiden, ist zwischen Platte und Kugel
ein entsprechender Kontakt zu definieren. Der in Keyword B.13 dargestellte Kontakt
LS-DYNA-Keyword B.13 Definition des Kontakttyps
*CONTACT_AUTOMATIC_SINGLE_SURFACE_ID
B Einführung in die Simulation mit LS-DYNA
297
$#
CID
1Kontakt zwischen Platte und Kugel
$#
SSID
MSID
SSTYP
MSTYP
SBOXID
1
0
2
0
$#
FS
FD
DC
VC
VDC
0.100
<weitere Leerzeile muss angegeben werden>
TITLE
MBOXID
SPR
MPR
PENCHK
BT
DT
verwendet ein Penalty-Verfahren (s. Kap. 11.3.2). Ein Kontakt bietet sehr viele Einstellungsmöglichkeiten, für eine Standardanwendung sind aber nur fünf Parameter relevant.
Mit SSID und MSID werden die Kontaktpartner festgelegt und mit SSTYP und MSTYP, um
welche Objektart es sich bei SSID/MSID handelt. Die relevantesten sind:
Parameterwert
Objektart
1
2
3
4
Shell Element Part Set Part Node Set
Wird für SSTYP = 2 gesetzt, muss das entsprechende *SET_PART (s. Keyword B.8) mit
seiner SID = 1 dem Parameter SSID im Keyword B.13 zugeordnet werden. Zuletzt ist noch
die Einstellung des Coulomb’schen Reibkoeffizienten FS nötig, s. Kap. 11.1.2.
Eine Besonderheit in dieser Kontaktdefinition ist, dass MSID = 0 eingetragen wird.
Dies liegt daran, dass die sog. SINGLE_SURFACE-Kontakte sowohl Kontakt zwischen allen
*PARTs prüfen, die im *SET_PART unter SSID genannt sind, als auch den Selbstkontakt
eines *PARTs mit sich selbst. Dieser Kontaktalgorithmus würde deswegen auch Selbstdurchdringung des Bauteils 1 erkennen.
Definition der Randbedingungen
Um die Platte im Raum zu fixieren, werden an den vier Kanten, über die dort liegenden
Knoten, Lagerungen über Verschiebungsrandbedingungen definiert. Die Knoten werden
über ein Knotenset NSID = 1 in Keyword B.14 zusammengefasst,
LS-DYNA-Keyword B.14 Knoten-Set für Einspannung
*SET_NODE_LIST_TITLE
Set Einspannung
$#
SID
DA1
1
$#
NID1
NID2
1
2
<...>
DA2
DA3
DA4
SOLVER
NID3
3
NID4
4
NID5
5
NID6
6
NID7
7
NID8
8
das dann im Keyword B.15 in einer Lagerungsbedingung referenziert wird:
LS-DYNA-Keyword B.15 Lagerung von Knoten
*BOUNDARY_SPC_SET
$#
NSID
CID
1
0
DOFX
1
DOFY
1
DOFZ
1
DOFRX
0
DOFRY
0
DOFRZ
0
Die Verschiebungen werden in x-, y- und z-Richtung gesperrt: DOFX=DOFY=DOFZ=1, Rotationen um die jeweiligen Koordinatenachsen sollen zugelassen werden: DOFRX=DOFRY
=DOFRZ=0.
Weiterhin wird der Kugel zu Beginn der Simulation zum Zeitpunkt t = 0 s über ein
Knotenset NSID=2 eine definierte Anfangsgeschwindigkeit über Keyword B.16 von VZ =
−10 m/s in globaler z-Richtung vorgegeben.
LS-DYNA-Keyword B.16 Definition der Anfangsgeschwindigkeit über ein Knoten-Set
*INITIAL_VELOCITY
298
$#
$#
B Einführung in die Simulation mit LS-DYNA
NSID
2
VX
0.0
NSIDEX
BOXID
VY
0.0
VZ
-10.0
VXR
VYR
VZR
Knotenkoordinaten und Inzidenztabelle
Die Knotendefinition erfolgt durch Angabe der jeweiligen globalen Koordinaten in x-, yund z-Richtung und der Zuordnung einer NID (globale Knotennummer) in Keyword B.17.
Als Beispiel ist hier ein Eckknoten der Platte gelistet.
LS-DYNA-Keyword B.17 Knotendefinition
*NODE
$#
NID
1
<...>
X
-150.0
Y
-150.0
Z
TC
RC
Auch hier liegt wieder eine Abweichung von der üblichen Feldlänge vor, um eine genauere
Angabe der Koordinaten zu ermöglichen.
Die Inzidenztabelle der Elemente (s. Kap. 5.4) mit den zugehörigen Knotenindizes wird
in dem Keyword *ELEMENT_SHELL bei Schalen abgespeichert. Die Auflistung eines Elements zeigt Keyword B.18. Jedes Element erhält eine eigene Identifikationsnummer und
wird mit insgesamt vier einzelnen Knoten (NID1 bis NID4) dargestellt, welche abschließend
einem bestimmten Part durch Angabe der jeweiligen PID zugeordnet werden.
LS-DYNA-Keyword B.18 Elementdefinition Platte
*ELEMENT_SHELL
$#
EID
PID
1
1
<...>
NID1
18
NID2
19
NID3
2
NID4
1
Die Modellierung der Volumenelemente erfolgt mit acht Knoten, s. Keyword B.19. Für
diese Elemente ist ebenfalls die Angabe des Bauteils (hier Kugel: PID = 2) erforderlich.
LS-DYNA-Keyword B.19 Elementdefinition Kugel
*ELEMENT_SOLID
$#
EID
PID
257
2
<...>
N1
290
N2
339
N3
346
N4
297
N5
291
N6
340
N7
347
N8
298
In Abb. B.2 ist abschließend der Zusammenhang der Indizes in den Keywords zusammengefasst:
KEYWORD
Parameter
*PART
pid
*SECTION_SHELL
secid
*MAT_<NAME>
mid
*ELEMENT_<SHELL/SOLID>
*NODE
eid
nid
secid
ρ
pid
x
Abb. B.2 Zusammenhang der Indizes in einer LS-DYNA-Kommandodatei
mid
E
µ
nid
y
z
Kurzlösungen zu den Aufgaben
Aufgaben aus Kap. 2
2.1 Mit Gl. (2.21), Gl. (2.18) und Gl. (2.23) folgt
√
 3 1 0 0 
 1 0 −1 0
√


 0 0 0 0
1  −1 3 0 0 
(ξ) e
e
√
 , R (30°) = 
K = 
,
2  0 0 3 √1 
−1 0 1 0


 0 0 0 0
 0 0 −1 3
√
√
 3
3 −3
− 3
√
√


1 − 3 √
−1 
(x) e 1  3
√
K = 
.
4  −3
3 
− 3 √3

 √
3 1 
− 3 −1
2.2 Da der Stab nur Kräfte in Längsrichtung aufnehmen kann, dürfen nur Komponenten
in ξ-Richtung auftreten.
f
S = R e (23°) (x)S = −1000
(ξ)
0.0
+ 1000
0.0
gT
N.
Am ersten Knoten wirkt eine Kraft als Zugkraft auf den Stab nach der FEM-Vorzeichenkonvention (eine positive Kraft würde in Richtung des Stabs wirken am ersten Knoten!).
Am zweiten Knoten ist die Kraft positiv, d. h. sie zieht ebenfalls am Element, deshalb
wird der Stab auf Zug beansprucht.
2.3 Das Bauteil muss mit minimal zwei Elementen vernetzt werden, da bei ` 1 eine Kraft
wirkt.
1. Die Elementsteifigkeitsmatrizen K e im lokalen Koordinatensystem:
"
#
"
#
E A 1 −1
E A 1 −1
2
1
= 4200[..] N/mm K =
= 3500[..] N/mm .
K =
` 1 −1 1
` 2 −1 1
2. Die Gesamtsteifigkeitsmatrix K vor dem Einsetzen der Randbedingungen:
 1
 `1
K = E A − `11

 0
− `11
0   4200 −4200 0 

1
+ ` 2 − `12  = −4200 7700 −3500 N/mm .
1 
 0 −3500 3500 
− `12
`2 
1
`1
299
300
Kurzlösungen zu den Aufgaben
3. Die Vektoren der Knotenverschiebungen u und Knotenlasten f mit Randbedingungen:
f
u = 0 u2
u3
gT
mm und
f
f = R
− 1000
0
gT
N.
4. Das zu lösende Gleichungssystem nach dem Einsetzen der Randbedingungen erhält
man durch Streichen der Zeilen und Spalten, die zu einer Lagerung korrespondieren,
hier ist dies die Verschiebung u1 = 0. Deshalb streichen von Zeile und Spalte 1:
"
#
" # "
#
7700 −3500
u
−1000
N/mm 2 =
N.
−3500 3500
u3
0
5. Aus der 2. Zeile folgt u2 = u3 . Aus der ersten folgt damit u2 = u3 = −0,2381 mm. Der
Gesamtvektor der Knotenverschiebungen lautet damit:
f
u= 0
− 0.2381
− 0.2381
gT
mm .
6. Die Reaktionskraft folgt aus der gestrichenen ersten Zeile
R = E A(
1
1
u1 − 1 u2 ) = +1000 N .
`1
`
2.4 Drei Elemente mit vier Knoten
1. Skizze der Diskretisierung
Fy
Fx
4
1
y
1
45◦
`
2
2
3 135◦
`
3
x
2. Für die Elementsteifigkeitsmatrizen im globalen Koordinatensystem (x)K e sind die
Transformationen nach Gl. (2.23) anzuwenden (Die (Ko-)sinusfunktionen werden mit
„c“ bzw. „s“abgekürzt):
 c2 45◦
+1
c45◦ s45◦ −c2 45◦ −c45◦ s45◦ 


◦
◦
2
◦
◦
◦
2
◦
E A +1
E A c45 s45
s 45
−c45 s45 −s 45 
= √ 
K 1 = √ 

2
◦
◦
◦
2
◦
◦
◦
c 45
c45 s45  2 2` −1
2`  −c 45 −c45 s45

−1
−c45◦ s45◦ −s2 45◦ c45◦ s45◦
s2 45◦ 
0 0 0 0 
+1 −1 −1 +1


E A −1 +1 +1 −1
E A 0 1 0 −1



K2 =
K 3 = √ 
` 0 0 0 0 
2 2` −1 +1 +1 −1
0 −1 0 1 
+1 −1 −1 +1
+1 −1 −1
+1 −1 −1

−1 +1 +1
−1 +1 +1
Kurzlösungen zu den Aufgaben
301
3.


.
..
..
−1
−1
 1 1 ...
..
..

. .1. . . 1. . ... . . . . . . . .. . . . . . . . .... . . . . .−1
. . . . . . . . . .−1
. .
.. 0
.
.

0 .
.
0.0
0.0
√ 
..
.. 0 √8 ..
EA 
0.0
−
K u = √ . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . .8.
..
.. 1 −1 ..
8` 
−1
1

..
.. −1 1 ..
1
−1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
..

.
−1 −1 .. 0 √0 .. −1 1 .. 1 + 0+1 1 +√0−1
−1 −1 . 0 − 8 . 1 −1 . 1 + 0−1 1 + 8+1
u1 x 
 f 1 x 
u 
 f 
 1y 
 1y 
u2 x 
 f 2 x 
u
 2y  = f =  f 2y 
u3 x 
 f 3 x 
u3 
 f 3 
 y 
 y 
u4 x 
 f 4 x 
u
 4y 
 f 4y 
4.
EA
Kuu u = √
8`


2 0 
0 2 + √8


 
 
u4 x  = f =  f¯x 
u 
 f¯ 
 4y 
 y
5.
  √
u4 x 
8`
  =
E
A
u 
 4y 
 f¯ 
 2x 


 f¯y√ 
 2+ 8 
6. Für den Knoten 1 ergeben sich die Lagerreaktionen aus den gestrichenen Zeilen, in
diesem Fall der ersten und zweiten Zeile
 
 f 1 x 
EA
  = √
8`
 f 
 1y 
  ¯

−1 · u4 x − 1 · u4y  − f2x −
=

−1 · u − 1 · u  − f¯x −
4y 
4x
 2


f¯y 
√ 
2+ 8 


f¯y 
√ 
2+ 8 
Aufgaben aus Kap. 5
5.1
1.
2.
3.
4.
5.
6.
N = 11 Systemknoten und ne = 5 Elemente
nFHG = 2 Freiheitsgrade, die Verschiebungen u x und uy
Nges = nFHG · N = 2 · 11 = 22 Zeilen und Spalten, d. h. Dim(K)= 22 × 22
Für jeden Freiheitsgrad eine, d. h. Nges = 22
6 Verschiebungsrandbedingungen ⇒ Dim(Kuu ) = 22 − 6 × 22 − 6 = 16 × 16
Element I
1
2
3
4
5
J
K
L
1 4 5
2 5 6
4 7 8
5 8 9
8 10 11
2
3
5
6
9
1
2
1
4
2
5
3
7
3
6
4
8
9
5
10
11
302
Kurzlösungen zu den Aufgaben
5.2
fVe
=
`
Z
N s dx =
`
Z
T
0
0
"
1−
x
`
x
`
#
`
"`# "
#

x 2 
0.22
x − 2`
2


s0 dx = s0  x 2  = s0 ` =
N.
0.22
 2` 
2
0
Die Linienlast wird durch die Integration auf die Knoten verteilt und zwar so, dass die
verrichtete Arbeit entlang einer virtuellen Verschiebung identisch ist zu der der Linienlast.
Aufgaben aus Kap. 6
6.1 Herleitung, indem an den Elementknoten die Verschiebungen als bekannt angenommen werden, d. h. ũ(−1) = uI , ũ(+1) = uJ , ũ(0) = uK . Ergebnis s. Gl. (6.15). Analog wird
das schubstarre Balkenelement hergeleitet mit mit w̃(−1) = wI , w̃ 0 (−1) = wI0, w̃(+1) = wJ ,
w̃ 0 (+1) = wK0 . Ergebnis s. Gl. (6.21).
6.2 lokale Koordinaten: Das Element kann Verschiebungen längs und quer aufnehmen
sowie eine Rotation erfahren, deshalb sind drei lokale Freiheitsgrade notwendig: uξ , uη, φ ζ .
Im globalen dreidimensionalen Koordinatensystem sind drei räumliche Verschiebungen
und drei Rotationen denkbar, da die lokalen Bewegungen in globale Anteile zerfallen.
6.3
a) Das System wird mit zwei Elementen und drei Knoten diskretisiert. Die Knoten werden
von links nach rechts von 1 beginnend durchnummeriert. Da der Balken entlang der
globalen Achsen orientiert ist, sind keine Transformationen notwendig.
Der Verschiebungsvektor allgemein lautet:
f
gT
w = w1 w10 w2 w20 w3 w30 .
b) Eine Elementsteifigkeitsmatrix mit Länge
`
2
lautet (s. Gl. (6.22))
 12 3` −12 3` 
8EI  3` ` 2 −3` ` 2 /2
 .
K e = 3 
` −12 −3` 12 −3` 
 3` ` 2 /2 −3` ` 2 
Die Gesamtsteifigkeitsmatrix lautet:
 12 3` −12 3` 0
0 
 3` ` 2 −3` ` 2 /2 0
0 


8EI −12 3` 24 0 −12 3` 
.
K= 3 
`  3` ` 2 /2 0 2` 2 −3` ` 2 /2
 0
0 −12 −3` 12 −3` 
 0
0 3` ` 2 /2 −3` ` 2 
Kurzlösungen zu den Aufgaben
303
c) Es wird die Verschiebung und Verdrehung am linken Knoten (hier 1) und die Verschiebung am rechten Knoten (hier 3) vorgegeben als Lagerung, deshalb sind die Zeilen und
Spalten 1, 2 und 5 aus der Gesamtmatrix für eine Lösung zu streichen. Das zu lösende
LGS lautet dann
24 0 3`  w2  F 
8EI 
 0 2` 2 ` 2 /2 w 0  =  0  .
` 3 3` ` 2 /2 ` 2  w20   0 

  3  
Die Verschiebung am Mittelknoten (hier Knoten 2) folgt zu w2 =
7 F` 3
768 E I
= 0,0384 mm.
6.4 Da Elemente generell in natürlichen Koordinaten ξ definiert werden, müssen auch die
Integrale in diesem Koordinatensystem berechnet werden. Das Inkrement dx in globalen
Koordinaten kann dabei durch die Determinante der Jacobi-Matrix auf dξ umgerechnet
werden. Für das quadratische Stabelement gilt: dx = det Jdξ = `/2dξ:
fVe =
Z
+1
N T s det Jdξ =
−1
Z
+1
−1

 1 3 1 2  +1
 
 1 2
1
6ξ − 4ξ 

 2 (ξ − ξ)  `
s0 `  1 3 1 2 
s0 `  
 6 ξ + 4 ξ  =
1 .
 21 (ξ 2 + ξ)  s0 dξ =
2
2 
6  

2 
 ξ − 13 ξ 3 
4
 1 − ξ 
−1
Die Berechnung der Determinante der Jacobi-Matrix findet sich in Aufgabe 6.6.
Hinweis: Die eingebrachte Kraft, die eine Randbedingung erzeugt muss unabhängig
von der Diskretisierung immer gleich sein. Bei einem Stabelement mit Linienlast s0 und
Länge ` ist die Kraft f = s0 ` = 0,22 · 2 = 0,44 N. Bildet man hier und bei Aufgabe 5.2 die
Summe über die Ergebnisvektoren kommt genau dieses Ergebnis heraus. Die Gesamtkraft
wird durch diese Vorgehensweise auf die einzelnen Knoten verteilt.
6.5 Die Summer aller Formfunktionen muss an jeder Stelle im Intervall 1 sein:
NI + NJ + NK =
1
1
1
(1 + ξ)(1 + η) + (1 − ξ)(1 + η) + (1 − η) = 1 .
4
4
2
6.6 Die B-Matrix ist über die Kettenregel zu ermitteln:
B=
dN (ξ) dξ f dNI (ξ )
=
dξ
d x̃
d x̃
dNJ (ξ )
dξ
dNK (ξ )
dξ
g
.
Nach dem isoparametrischen Konzept wird die Geometrie analog Gl. (6.12) über
x̃ = NI x I + NJ x J + NK x K =
1 2
1
(ξ − ξ)x I + (ξ 2 + ξ)x J + (1 − ξ 2 )x K
2
2
approximiert. Ableiten nach ξ und Einführen der Länge ` = x J − x I des Elements, erlaubt
die Berechnung der Umkehrfunktion (identisch zum linearen Element): dξ/d x̃ = 2/`. Das
Ergebnis ist in Tab. 6.2 angegeben.
6.7 Siehe Online-Zusatzunterlagen zum Buch. Es handelt sich um eine reine Rotation.
304
Kurzlösungen zu den Aufgaben
Aufgaben aus Kap. 7
7.1
I=
Z
1
(ξ + 1) 2 dξ =
−1
1
4
1
1
4
1
8
· f (−1) + · f (0) + · f (+1) = · 0 + · 1 + · 4 = .
3
3
3
3
3
3
3
Die analytische Lösung ist ebenfalls 38 . Der Genauigkeitsgrad der Simpson-Regel ist
n − 1 = 3 − 1 = 2, damit wird das Polynom 2. Grades in diesem Beispiel exakt integriert.
7.2 siehe Online-Zusatzunterlagen zum Buch.
7.3
I=
Z
1
−1
" 4
#1
ξ
ξ3
ξ2
2
mξ 3 + qξ 2 + r ξ + s dξ = m + q + r + sξ
= q + 2s .
4
3
2
3
−1
Der Term dritter Ordnung erhält durch die Integration eine Potenz 4. Ordnung. Da die
Intervallgrenzen symmetrisch zum Nullpunkt liegen, kürzt sich dieser stets positive Term
heraus. Das heißt die Simpson-Regel integriert in einem zum Nullpunkt symmetrischen
Intervall ein Polynom 3. Ordnung exakt. Liegen die Intervallgrenzen anders, ist dies nicht
der Fall.
Sachwortverzeichnis
Achsensymmetrie, 129
äquivalente Knotenkraft, 61, 92
aktuelle Fließspannung, 176
Almansi-Dehnung, 157
Almansi-Verzerrungstensor, 161
Amplitude, 146
Amplitudengang, 147
analytische Mechanik, 41
Anfangs-Randwertproblem, 132
Anfangsbedingung, 223
Anfangsspannungsmatrix, 216
Anfangssteifigkeitsverfahren, 220
Anfangsverschiebungsmatrix, 194, 216
Anisotropie, 175
planare, 253
Ansatzfunktion, 13, 56
bilineare, 91
Hermite-Polynome, 87
trilineare, 100
aperiodischer Grenzfall, 144, 145
A-posteriori-Fehlerschätzung, 109
Arbeit, 41
Endwert-, 49
virtuelle, 48
äußerer Kräfte, 51
Formänderungs-, 51
arbeitskonjugierte Spannung, 167, 168
assoziative Plastizität, 183, 188
asymmetrischer Kontakt, 208
Aufsprung, 277
Augmented-Lagrange-Verfahren, 210
Ausgangskonfiguration, 151
axialsymmetrischer Zustand, 90
Balkenelement, 84
Bandbreite, 68
Bandbreitenoptimierung, 70
Cuthill-McKee, 68
Metis, 69
Multiple-Minimum-Degree, 69
reverse Cuthill-McKee, 68
Bandspeichertechnik, 69
Bauschinger-Effekt, 191
Bequemlichkeitshypothese, 143
Bernoulli-Theorie, 85
Betrag, 147
Betriebsschwingung, 131
BFGS-Verfahren, 222
Biegelinie, 85
Bilanzgleichung, 8
bilineare Ansatzfunktion, 91
biquadratisches Lagrange-Element, 93
Block-Lanczos-Iteration, 139
Bode-Diagramm, 147
Bogenlängenverfahren, 218, 222
Bucket-sort-Algorithmus, 204
C 0 -stetig, 52, 54, 89, 98, 109, 120
C 1 -stetig, 53, 87, 97
CAD, siehe Computer-Aided-Design
CAE, siehe Computer-Aided-Engineering
Cauchy’sches Fundamentaltheorem, 32
Cauchy-Green-Verzerrungstensor
linker, 160
rechter, 160
Cauchy-Spannungstensor, 165
charakteristische Gleichung, 135
Cholesky-Zerlegung, 67, 233
C n -stetig, 52
Compressed-Row-Speicherung, 69
Computer-Aided-Design, 4
Computer-Aided-Engineering, 1
Coulomb’sche Reibung, 142, 199, 201
Courant-Friedrichs-Levy-Stabilitätskriterium, 238
Courant-Zahl, 240
Cuthill-McKee-Verfahren, 68
305
306
Cutting-plane-Algorithmus, 196
Dämpfung, 131
diskretes Element, 142
Kontakt-, 142, 208
massenproportionale, 145
Material-, 142
modale, 144
numerische, 142
proportionale, 143
Rayleigh, 143
steifigkeitsproportionale, 145
viskose, 142
Dämpfungsgrad, 143
Dämpfungskonstante, 134
kritische, 144
modale, 143
Deformation, 30
Deformationsgradient, 153
Determinante, 164
Deformationsrate, 163
degeneriertes Element, 95, 99
degeneriertes Volumenelement, 99
Dehnratenabhängigkeit, 192
Cowper-Symonds, 193
Dehnung, 36
Normal-, 36
Schub-, 36
Determinante, 135, 287
Determinante des Deformationsgradienten, 164
DFP-Verfahren, 222
Dichte, 132
Dickenintegration, 118
Differenzenquotient, 2, 194
Newmark-β-Verfahren, 228
Rückwärts-, 231
Vorwärts-, 231
zentraler, 233
Differenzialgleichung
schwache Form, 54
starke Form, 37, 54
Differenzialoperatormatrix, 38
direkte Zeitintegration, 131, 224
direkter Löser, 67
Direktorvektor, 96
diskrete Dämpferelemente, 142
Diskretisierung, 3, 55, 56
Diskretisierungsfehler, 106
Diskretisierungsverfahren, 2, 55
Divergenz, 37, 218
Divide-and-conquer-Prinzip, 3
doppelte Verjüngung, 168
3-Parameter-Formulierung, 96
Dreieckszerlegung, 67
Druck
Sachwortverzeichnis
hydrostatischer, 185
Durchdringung, 197
dyadisches Produkt, 286
dynamische Relaxation, 243
dynamische Steifigkeitsmatrix, 146
E-Modul, 39
ebener Spannungszustand, 40, 90
ebener Verzerrungszustand, 39, 90
Eigenform, 134, 135, 135
Eigenfrequenz, 134
Eigenkreisfrequenz, 135
Eigenmode, 124, 134, 135, 135
Eigenvektor, 33, 135, 135
Eigenwert, 33, 65, 135
konjugiert-komplexer, 143
Eigenwertberechnung, 134
Eigenwertproblem, 131
verallgemeinertes, 134
Einbettungsansatz, 53
Einfeldprinzip, 122
Eingangsdatenfehler, 105
eingeschwungener Zustand, 145
Einheitensystem, 125
Einheitsmatrix, 287
Einheitstensor, 289
Einsteinsche Summationskonvention, 288
Elastizitätslehre, 29
Elastizitätsmatrix, 38
Elastizitätsmodul, 39
elastoplastische Materialtangente, 192
Element
ANS, 123
Assumend-natural-strain, 123
Balken
schubstarrer, 86
schubweicher, 89
C 0 , 106
Constant-stress-triangle, 95
CST, 95
degeneriertes, 95, 99
diskretes, 142
EAS, 122
eindimensionales, 11
Enhanced-assumed-strain, 122
Hexaeder
lineares, 100
Serendipity-, 101
kollabiertes, 95
kompatibles, 106
konformes, 106
Lagrange, 91
biquadratisches, 93
Mittenknoten, 128
Platten-, 95
Sachwortverzeichnis
reduziert integriertes, 123
Schale, 95
3-Parameter-, 96
5-Parameter-, 98
6-/7-Parameter-, 98
Dickenintegration, 118
schubstarre, 96
schubweiche, 97
Seitenlängenverhältnis, 128
selektiv-reduziert integriertes, 123
Serendipity-, 94
Stab-, 81
Struktur-, 11
Timoshenko-Balken, 88
unterintegriertes, 123
Verwindung, 128
vollintegriertes, 119
vollständig unterintegriertes, 123
Element-Steifigkeitsgleichung, 61
Elementauswahl, 127
elementfreie Galerkin-Methode, 3
Elementfreiheitsgrad, 16, 57, 62, 76
Elementknotenvektor, 57
Elementmassenmatrix, 133
Elementsteifigkeitsmatrix, 14, 59, 59
Elementversteifung, 120
Elementzusammenhang, 63
Endwertarbeit, 49
Endwertlast, 42, 49
Energie
innere, 43
reversible, 43
Energienorm, 108
Energieprinzip, 41
der virtuellen Arbeit, 49, 51
der virtuellen Kräfte, 107
der virtuellen Leistung, 167, 168, 169
der virtuellen Verschiebung, 49, 51
beim Stab, 50
dynamisches, 131
Einfeld-, 122
gemischtes, 122
Lagrange-d’Alembert’sches, 132
Mehrfeld-, 122
virtuelles, 47
vom Maximum der plastischen Dissipationsleistung, 181
vom Minimum des Gesamtpotenzials, 44
im 3-D, 47
Ergebnisdarstellung
gemittelte, 117, 276
ungemittelte, 117, 276
erster Piola-Kirchhoff-Spannungstensor, 165
Euler’sche Beschreibung, 152
Euler-Rückwärtsverfahren, 194
307
Evolutionsgleichung, 188
explizite Zeitintegration, 224, 233
extended Finite-Element-Method, 3
Faktorisierung, 67
Fehler
Diskretisierungs-, 106
Eingangsdaten-, 105
Idealisierungs-, 105
Rundungs-, 105
Schätzung
a-posteriori, 109
Fehlerschätzer, 108
FEM, siehe Finite-Elemente-Methode
Fill-in, 69
finite Elemente, 3
Finite-Differenzen-Verfahren, 2
Finite-Elemente-Methode, 2, 3
Fixpunktgleichung, 71
Flächenlast, 31
Fließbedingung, 177, 179, 184
Hill 48, 254
Fließkurve, 178, 251
Fließkurvenextrapolation, 252
Hockett-Sherby-, 252
Hollomon-, 252
Ludwik-, 252
Swift-, 252
Fließortfläche, 184
Fließregel, 177, 180, 188
Fließspannung, 179
aktuelle, 176
initiale, 176
Fließvektor, 188
Folgelast, 151, 172, 211, 215
Formänderung, 30
Formänderungsenergie, 38, 45
3-D, 46
Formfunktion, siehe Ansatzfunktion
Formfunktionsmatrix, 57
free meshing, 126
freie Vernetzung, 126
freier Index, 289
Freiheitsgrad
Element-, 16, 57, 62, 76
System-, 16, 62
Frequenz, 134
Frequenzänderung
numerische, 231, 239
Frequenzgang, 147
Frequenzganganalyse, 141, 145
Frequenzgangmatrix, 146, 147
Frequenzspektrum, 147
Frontlöser, 69
5-Parameter-Formulierung, 98
308
Funktion
gebrochen-rationale, 110
glatte, 106
Funktionalmatrix, siehe Jacobi-Matrix
Gauß’scher Integralsatz, 168
Gauß’sches Eliminationsverfahren, 67
Gauß-Lobatto-Quadratur, 115
Gauß-Quadratur, 114
Gauß-Seidel-Verfahren, 71
gebrochen-rationale Funktion, 110
gemischtes Energieprinzip, 122
gemittelte Ergebnisdarstellung, 117, 276
Genauigkeitsgrad, 304
geometrisch lineare Betrachtung, 150
geometrisch nichtlineare Betrachtung, 150
geometrische Matrix, 216
Gesamtmassenmatrix, 133
Gesamtpotenzial, 44
Gesamtsteifigkeitsmatrix, 21, 22, 63
Gesamtverschiebungsvektor, 22
Geschichtsvariable, 179
Geschwindigkeitsgradient
materieller, 163
räumlicher, 162
Gestaltänderungsenergiehypothese, 185
gewichtete Residuen, 52
glatte Funktion, 106
Gleichgewichtsbedingung, 9, 30
Gleichmaßdehnung, 176
Gleichung
charakteristische, 135
implizite, 224
Gleichungslösung
Cholesky-Zerlegung, 67, 233
direkte, 67
Gauß’sches Eliminationsverfahren, 67
iterative, 70
lineare, 67
statische, 67
Gleichungssystem
eindeutig lösbares, 285
Gleitreibung, 142
Gleitreibungskoeffizient, 202
Gleitung, 36
globaler Knoten, 16, 56
Green-Lagrange-Dehnung, 156
Green-Lagrange-Verzerrungstensor, 159
Grenzformänderungsdiagramm, 255
Grenzformänderungskurve, 255
Guyan-Reduktion, 140, 146
h-Verfahren, 108
hängende Knoten, 108, 262
Haftreibungskoeffizient, 201
Sachwortverzeichnis
Haigh-Westergaard-Koordinaten, 184
harmonische Analyse, 131, 145
harmonische Schwingungen, 134
Hauptachsensystem, 32, 184
Hauptinvariante, 33
Hauptnormalspannungen, 33
Hauptspannungsraum, 184
Hauptstreckungen, 161
Hencky-Dehnung, 157
Hencky-Verzerrungstensor, 161
Hermite-Polynome, 87
Hesse-Matrix, 215
Hexaeder-Serendipity-Element, 101
Hexaederelement, 100
Hooke’sches Materialgesetz, 38
Hourglass-Energie, 125
Hourglassing, 124
Householder-Iteration, 139
hydrostatischer Druck, 185
hydrostatischer Spannungszustand, 34
Hyperelastizität, 169, 174
Hypoelastizität, 174
Idealisierung, 4
Idealisierungsfehler, 105
implizite Zeitintegration, 224, 229
Index
freier, 289
stummer, 289
Indexnotation, 29, 288
Inertia relief, 282
infinitesimaler Verzerrungstensor, 156, 159
Ingenieurdehnung, 156
initiale Fließspannung, 176
Inkompressibilität, 39
Inkrement, 217, 279
innere Energie, 43
innere Knotenkraft, 171
Integral
reguläres, 110
Integralgleichung, 2, 45, 51
Integration
durch die Dicke, 118
plastisch
Cutting-plane-Algorithmus, 196
Radial-return-mapping, 195
reduzierte, 123
selektiv-reduzierte, 123
vollständig unterintegrierte, 123
Integrationsordnung
zuverlässige, 119
Invariante, 33
des Spannungsdeviators, 34
Inverse, 287
Inzidenztabelle, 62
Sachwortverzeichnis
isogeometrischer Kontakt, 203
isogeometrisches Konzept, 81, 203
isoparametrisches Konzept, 78
isotrope Verfestigung, 178, 190
Iteration, 280
iterativer Löser, 68, 70
J2 -Plastizität, 187
Jacobi-Iteration, 71
Jacobi-Matrix, 80, 213, 287
Körper, 149
Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen, 180, 189, 201
Kinematik, 30
kinematische Verfestigung, 190
kinematische Zwangsbedingungen, 206
Kirchhoff-Love-Theorie, 96
Kirchhoff-Spannungstensor, 169
Knoten, 3, 7
globaler, 16, 56
hängender, 108
lokaler, 16, 56
System-, 16
Knoten-zu-Knoten-Kontakt, 203
Knoten-zu-Segment-Kontakt, 203
Knotenkraft
äquivalente, 92
Knotenkraftvektor, 65
kollabiertes Element, 95
Kondensation
statische, 73, 140
Konfiguration, 151
konjugierte Gradientenverfahren, 71
Konnektivität, 63
konservative Kraft, 43
konsistente Massenmatrix, 133, 236
Konsistenzbedingung, 181, 181, 191
Kontakt
-segmente, 203
asymmetrischer, 208
Augmented-Lagrange-Verfahren, 210
Bucket-sort, 204
isogeometrischer, 203
kinematische Zwangsbedingungen, 206
Knoten-zu-Knoten-, 203
Knoten-zu-Segment-, 203
kritischer Zeitschritt, 241
Lagrange-Multiplikator-Verfahren, 209
Mortar-, 204
Multi-Point-Constraint, 206
Penalty-Verfahren, 207, 241
Segment-zu-Segment-, 204
Skalierungsfaktor, 207
Suchverfahren, 204
symmetrischer, 208
309
Undurchdringlichkeitsbedingung, 197
Kontaktbedingung, 200
Kontaktdämpfung, 142, 208
Kontaktrauschen, 207
Kontaktsteifigkeit, 207
Kontinuum, 149
Kontinuumselement, 81, 95, 100
Kontinuumsmechanik, 149
konvektive Zeitableitung, 162
Konvergenz, 105, 218
monotone, 107
quadratische, 220
Konvergenzkriterium, 218
Konvergenzrate, 107
Konzept
isogeometrisches, 81, 203
isoparametrisches, 78
subparametrisches, 78
superparametrisches, 78
Koordinatensystem
natürliches, 77
Kopplungselemente, 127
Kraft
konservative, 43
Kraftdichte, 37
Kreisfrequenz, 134
kritische Dämpfungskonstante, 144
Kronecker-Delta, 289
Kugeltensor, 34
Lagrange’sche Beschreibung, 152
Lagrange’scher Multiplikator, 209
Lagrange-d’Alembert’sches Prinzip, 132
Lagrange-Element, 91, 93
Lagrange-Multiplikator-Verfahren, 209
Lagrange-Polynome, 91
Lanczos-Verfahren, 71
Last
äquivalente, 61
Leapfrog-Verfahren, 235
linearer Gleichungslöser, 67
Linearisierung, 213, 214
Linienlast, 31
linker Strecktensor, 154
Locking, siehe Elementversteifung
Arten von, 120
Logarithmische Dehnung, 157
Logarithmischer Verzerrungstensor, 161
lokaler Knoten, 56
LS-DYNA-Keyword
*BOUNDARY_PRESCRIBED_MOTION
_RIGID, 270
*BOUNDARY_SPC_NODE, 282
*BOUNDARY_SPC_SET, 297
310
*CONSTRAINED_EXTRA_NODES_SET,
273
*CONSTRAINED_RIGID_BODY_STOPPERS,
270, 271
*CONTACT_AUTOMATIC_SINGLE_SURFACE, 296
*CONTACT_DRAWBEAD_ID, 272
*CONTACT_FORMING_ONE_WAY_SURFACE_TO_SURFACE, 267
*CONTROL_ADAPTIVE, 262
*CONTROL_CONTACT, 263
*CONTROL_ENERGY, 265
*CONTROL_HOURGLASS, 265
*CONTROL_IMPLICIT_AUTO, 281
*CONTROL_IMPLICIT_DYNAMICS, 281
*CONTROL_IMPLICIT_GENERAL, 279
*CONTROL_IMPLICIT_INERTIA_RELIEF,
282
*CONTROL_IMPLICIT_SOLUTION, 279
*CONTROL_IMPLICIT_SOLVER, 280
*CONTROL_SHELL, 265
*CONTROL_TERMINATION, 279, 292
*CONTROL_TIMESTEP, 261
*DATABASE_BINARY_D3PLOT, 293
*DATABASE_EXTENT_BINARY, 264
*DATABASE_GLSTAT, 293
*DATABASE_HISTORY, 293
*DATABASE_MATSUM, 293
*DATABASE_NODOUT, 293
*DATABASE_RBDOUT, 293
*DATABASE_RCFORC, 293
*DEFINE_BOX_DRAWBEAD, 273
*DEFINE_CURVE, 268, 270–272, 295
*ELEMENT_SHELL, 298
*ELEMENT_SOLID, 298
*INCLUDE, 273
*INITIAL_VELOCITY_NODE_SET, 297
*INTERFACE_SPRINGBACK_LSDYNA, 278
*KEYWORD, 292
*LOAD_RIGID_BODY, 269
*MAT_3-PARAMETER_BARLAT, 266
*MAT_PIECEWISE_LINEAR_PLASTICITY,
295
*MAT_RIGID, 296
*NODE, 298
*PART, 294
*SECTION_SHELL, 294
*SECTION_SOLID, 294
*SET_NODE_LIST, 294, 297
*SET_PART_LIST, 294
*TITLE, 292
LU-Zerlegung, 67
mapped meshing, 126
Masse
Sachwortverzeichnis
modale, 134, 137
Massenmatrix, 132
Element-, 133
Gesamt-, 133
konsistente, 133, 236
Stab-, 133
Punktmassenmatrix, 237
Massenskalierung, 242
Material
hyperelastisches, 169, 174
hypoelastisches, 174
Materialdämpfung, 142
Materialgesetz, 8, 30
Hooke’sches, 38
Materialtangente, 216
Materialverhalten
inkompressibles, 39
isotropes, 38
linear-elastisches, 38
materielle Koordinate, 151
materielle Zeitableitung, 161
materieller Geschwindigkeitsgradient, 163
materieller Tensor, 159
Matrix
B, 58
dünn-besetzte, 64
Determinante, 287
diagonal-dominante, 64
Einheits-, 287
Hesse-, 215
Inverse, 287
positiv-definite, 66
positiv-semidefinite, 64
quadratische, 285
reguläre, 65
singuläre, 65
sparse, 64
Spur einer, 33
symmetrische, 286
Transposition, 286
Matrix-Vektor-Produkt, 70, 286
Matrixmultiplikation, 287
Mehrfeldprinzip, 122
Mehrgitterverfahren, 71
Mehrschrittverfahren, 234
Membran-Locking, 120
Methode der gewichteten Residuen, 41, 52
mittlere senkrechte Anisotropie, 253
Modalanalyse, 131, 133
modale Dämpfung, 144
modale Dämpfungskonstante, 143
modale Masse, 137
modale Reduktion, 138, 146
modale Steifigkeit, 137
modale Transformation, 138
Sachwortverzeichnis
Modalmatrix, 137
Modellaufbereitung, 4
Modellreduktion, 138
Momentankonfiguration, 151
Mortar-Kontakt, 204
Multi-Point-Constraint, 206
Multiphysik-Anwendung, 4
Multiplikator
plastischer, 188
Multiprozessorsystem
Massenparallelrechner (MPP), 70
Näherungslösung, 2, 7
Nabla-Operator, 289
Nachgiebigkeit, 146
Nachschaltrechnung, 23, 66
Nanson’sche Formel, 164
natürliches Koordinatensystem, 77
Nennspannungstensor, 165
netzfreie Methode, 2
Netztopologie, 128
neutrale Faser, 85
Newmark-β-Verfahren, 228, 281
Newton-Cotes-Quadratur, 111
Newton-Raphson-Verfahren, 212
gedämpftes, 222
inkrementell-iteratives, 217
modifiziertes, 220
nicht richtungstreue Last, 151
Nominalspannung, 166
Nominalspannungstensor, 165
Normalspannung, 31, 32
Null-Energie-Moden, 124
Nullniveau, 43
numerische Dämpfung, 142
numerische Frequenzänderung, 231, 239
numerische Integration, siehe Quadraturverfahren
n-Wert, 252
p-Verfahren, 108
Parallelisierung, 275
Distributed-memory (DMP), 275
Shared-memory (SMP), 275
parasitäre Spannung, 121
partielle Integration, 53, 168
Partition of unity, siehe Zerlegung der Eins
Patch-Test, 107
Penalty-Skalierungsfaktor, 207
Penalty-Verfahren, 206, 207, 241
kritischer Zeitschritt, 241
Phasengang, 147
Phasenverschiebung, 146, 147
planare Anisotropie, 253
plastische Vergleichsdehnung, 188
plastische Volumenkonstanz, 186, 250
311
plastischer Multiplikator, 188
Plastizität
Prandtl-Reuss-, 188
Plattenelement, 95
Poisson-Locking, 120
Polardekomposition, 154
positiv-definite Matrix, 66
Postprozessor, 4, 6
Potenzial, 43
Gesamt-, 44
Potenzialfunktion, 43
Prädiktor-Korrektor-Verfahren, 195, 228
Präprozessor, 4, 6
Prandtl-Reuss-Plastizität, 188
Pre-processing, siehe Modellaufbereitung
Prinzip der virtuellen Arbeit, 49, 51
Prinzip der virtuellen Kräfte, 107
Prinzip der virtuellen Leistung, 167, 168, 169
Prinzip der virtuellen Verschiebung, 49, 51
beim Stab, 50
Timoshenko-Balken, 89
Prinzip vom Maximum der plastischen
Dissipationsleistung, 181
Prinzip vom Minimum des Gesamtpotenzials, 44
3-D, 47
Profilspeichertechnik, 69
proportionale Dämpfung, 143
Pull-back, 161
Punktlast, 31
Push-forward, 161
Quadratur
durch die Dicke, 118
Gauß-, 114
Gauß-Lobatto-, 115
Genauigkeitsgrad, 112
geschlossener Typ, 111
Gewichtung, 111
Integrationspunkt, 111
offener Typ, 111, 114
Simpson-, 113, 304
Stützstelle, 111
Quadraturverfahren, 111
Quasi-Newton-Verfahren, 221
Querkontraktionszahl, 39
Querschub-Locking, 120
r-Verfahren, 108
räumliche Koordinate, 152
räumlicher Geschwindigkeitsgradient, 162
räumlicher Tensor, 160
Rücksprung, 277
Rückwärtsdifferenzenquotient, 231
Rückwärtssubstituieren, 67
Radial-return-mapping, 195
312
radiale Rückprojektion, 195
Randbedingung
Dirichlet’sche, 31
homogene, 31
kinematische, 31
kinetische, 31
natürliche, 31
Neumann’sche, 31
symmetrische, 130
wesentliche, 31
Randelemente-Methode, 3
Randwertproblem, 30
Ratenform, 167, 174, 177
Rayleigh-Dämpfung, 143
Rayleigh-Quotient, 140
rechter Strecktensor, 154
Reduktion
Guyan-, 140, 146
modale, 138, 146
reduzierte Integration, 123
Referenzkonfiguration, 151
reguläre Matrix, 65
reguläres Integral, 110
Reibung, 197
Coulomb’sche, 142, 201
Gleit-, 142
Reissner-Mindlin-Formulierung, 97
Relaxation
dynamische, 243
Relaxationsparameter, 71
Residuum, 53, 213
Resonanzstelle, 147
Reverse Cuthill-McKee-Verfahren, 68
Richtungsableitung, 215
Rotationsmatrix, 17
Orthogonalität, 17
Rotationssymmetrie, 129
Rundungsfehler, 105
Schalenelement, 95
Schalenkinematik, 96
Scheibe, 90
Scherung, 36
Schnittgröße, 81
Schub-Locking, 120
Schubdehnung, 36
Schubkorrekturfaktor, 86
Schubspannung, 31, 32
schubstarres Element, 86, 96
Schubsteifigkeit, 86
schubweiches Element, 89, 97
schwache Form einer Differenzialgleichung, 54
Schwingung
harmonische, 134
erzwungene, 131
Sachwortverzeichnis
freie, 131
Schwingungsdauer, 134
6-/7-Parameter-Formulierung, 98
Segment-zu-Segment-Kontakt, 204
Sekantenverfahren, siehe Quasi-Newton-Verfahren
Selbstkontakt, 199, 297
selektiv-reduzierte Integration, 123
Separationsansatz, 132
Serendipity-Element, 94
Simpson-Regel, 113, 304
Singularität, 51
Skalarprodukt, 286
Skyline, 64
Skyline-Speicherung, 69
Smooth-Particle-Hydrodynamics-Verfahren, 3
SOR-Verfahren, 71
Spannung
parasitäre, 121
Spannungsdeviator, 34
Spannungsmaß
arbeitskonjugiertes, 167, 168
Cauchy-, 165
erstes Piola-Kirchhoff-, 165
Kirchhoff-, 169
Nominal-, 165
wahres, 165
zweites Piola-Kirchhoff-, 165, 169
Spannungstensor, 32
Spannungsvektor, 31
Spannungszustand
ebener, 40, 90
hydrostatischer, 34
Sparse-Multi-Front-Löser, 70, 280
Sparse-Speicherung, 69
Spektralmatrix, 137
Spektralradius, 242
Spin-Tensor, 163
Splitting-Verfahren, 71
Spur einer Matrix, 33
Stützstelle, 56
Stabelement, 81
Stabilitätskriterium, 238
starke Form einer Differenzialgleichung, 37, 54
Starrkörperbewegung, 30, 106
Starrkörperfreiheitsgrade, 30
Starrkörpermode, 136
Starrkörperrotation, 154
statische Kondensation, 73, 140
Steifigkeit
modale, 137
Steifigkeitsmatrix
dünn-besetzte, 64
diagonal-dominante, 64
dynamische, 146
positiv-semidefinite, 64
Sachwortverzeichnis
singuläre, 124
Symmetrie der, 64
Stetigkeit
C 0 , 52, 54, 89, 98, 109, 120
C 1 , 53, 87, 97
C n , 52
Stoßvorgang, 141
Streckung, 156
Strukturdynamik, 131
Strukturelement, 11, 81, 95, 100
strukturierte Vernetzung, 102, 126
Strukturoptimierung, 5
stummer Index, 289
Submatrix, 60, 287
Submodellierung, 72
subparametrisches Konzept, 78
substanzielle Zeitableitung, 161
Substrukturtechnik, 73
Summationskonvention, 288
Superelement, 73
Superkonvergenz, 109
superparametrisches Konzept, 78
Superpositionsprinzip, 136, 211
Sweep-Vernetzung, 102, 126
symbolische Tensorschreibweise, 29, 288
Symmetrie
Achsen-, 129
Rotations-, 129
zyklische, 129
Symmetriebedingung, 129, 130
symmetrische Matrix, 286
symmetrischer Kontakt, 208
synthetische Mechanik, 41
Systemfreiheitsgrad, 16, 62
Systemknoten, 16
Tangentenmodul, 178, 295
Tangentensteifigkeitsmatrix, 214
Tensor, 29, 288
2. Stufe, 32
materieller, 159
räumlicher, 160
Schreibweise
Index-, 29, 288
symbolische, 29, 288
Testfunktion, 53
Timoshenko-Balken, 89
Totale-Lagrange-Formulierung, 166, 169
Totlast, 42, 49
Trägheit, 131
Trägheitsentlastung, 282
Trägheitskraft, 132
Transformation
modale, 138
transiente Analyse, 131
313
Transposition, 286
Trapezregel, 112, 225
Triangulierung, 67
trilineare Ansatzfunktion, 100
triviale Lösung, 135
Übertragungsfunktion, 146
Umformgrad, 157, 250
Undurchdringlichkeitsbedingung, 197
ungemittelte Ergebnisdarstellung, 117, 276
unstrukturierte Vernetzung, 102, 126
unterer Totpunkt, 260
Unterintegration, 123
Upgedatete-Lagrange-Formulierung, 166, 167
UT, siehe unterer Totpunkt
Uzawa-Algorithmus, 210
Vektor, 285
Vektoriteration, 139
verallgemeinertes Eigenwertproblem, 134
Verfestigung
isotrope, 178, 190
kinematische, 190
Verfestigungsgesetz, 177
Verfestigungsparameter, 179
Verformung, siehe Verzerrung
Vergleichsspannung, 184
Gestaltänderungsenergie-, 185
von-Mises-, 186
Vernetzer, 4
Vernetzung, 126
Entfeinerung, 109
free meshing, 126
freie, 126
mapped meshing, 126
strukturierte, 102, 126
Sweep, 102, 126
unstrukturierte, 102, 126
Verschiebung
virtuelle, 47
Verschiebungs-Verzerrungs-Beziehung, 8, 36
2-D, 39
Verschiebungsgradient, 154
Verschiebungskompatibilität, 19, 55, 62, 106, 206
Verschiebungsmethode, 2
Verschiebungsrandbedingungen, 31
Verzerrung, 30
Verzerrungsgeschwindigkeitstensor, 163
Verzerrungsmaß
Almansi-, 157, 161
Green-Lagrange-, 156, 159
Hencky-, 157, 161
infinitesimales, 156, 159
Ingenieurdehnung, 156
linker Cauchy-Green-, 160
314
linker Strecktensor, 154
logarithmisches, 157, 161
rechter Cauchy-Green-, 160
rechter Strecktensor, 154
Streckung, 156
Verzerrungstensor, 35, 36
Verzerrungszustand
ebener, 39, 90
virtuelle Arbeit, 48
äußerer Kräfte, 51
Formänderungs-, 51
virtuelle Geschwindigkeit, 167
virtuelle Leistung, 167
virtuelle Verschiebung, 47
virtuelles Energieprinzip, 47
viskose Dämpfung, 142
Voigt-Notation, 38
vollintegriertes Element, 119
vollständige Unterintegration, 123
Vollständigkeitsbedingung, 107
Volumen-Locking, 120
Volumenänderung, 30
Volumenkonstanz
plastische, 186, 250
Volumenlast, 31
von-Mises-Vergleichsspannung, 186
Vorkonditionierung, 71
Vorwärtsdifferenzenquotient, 231
wahrer Spannungstensor, 165
Zahlendarstellung
Genauigkeit
Sachwortverzeichnis
doppelte, 274
einfache, 274
Zeitableitung
konvektive, 162
materielle, 161
substanzielle, 161
Zeitintegration
numerische Dämpfung, 230
direkte, 131, 224
Einschrittverfahren, 226
Euler-Rückwärtsverfahren, 194
explizite, 224, 233
Fox-Goodwin-Verfahren, 230
implizite, 224, 229
Leapfrog-, 235
Mehrschrittverfahren, 234
Houboult, 234
Wilson-Θ, 234
Newmark-β, 228
Stabilität, 230
bedingt stabile, 230
unbedingt stabile, 230
zentrales Differenzenverfahren, 230
Zeitschritt, 220, 224
zentraler Differenzenquotient, 233
Zerlegung der Eins, 91
Zero-energy-modes, siehe Null-Energie-Moden
Zugfestigkeit, 176
Zweipunkt-Tensor, 154
zweiter Piola-Kirchhoff-Spannungstensor, 165,
169
zyklische Symmetrie, 129
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