close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

вопрос 1

код для вставкиСкачать
1 Числа.
Понятие числа относится к основным (неопределяемым) понятиям математики. Мы будем исходить из того, что нам известны рациональные числа и действия над ними. Рациональное число - число которое можно представить в виде m/n, где m-целое, n-натуральное. Бесконечные десятичные непериодические дроби назовём иррациональными числами. Рациональные и иррациональные числа назовём вещественными (действительными) числами.
Сравнение вещественных чисел.
Рассмотрим два вещественных числа:
0,12 ... n... и 0, 12 ... n... , обозначим эти числа через a и b соответсвенно. При введении правил сравнения для чисел с "0" и "9" в периоде пользуемся одной из двух, но одинаковой для всех таких чисел формой записи. Если все i = 0, то а = 0. Если хотя бы одно i  0, и знак + перед числом, то а > 0. Если -, то а < 0. Будем говорить, что a = b, если их знаки одинаковы и для любых i: i =i. Иначе считаем: а  b. Пусть а  b и a > 0, b > 0.Тогда существует число k, такое, что i =I при i = 0,1, ... , k - 1, а k  k. В этом случае полагаем a > b, если k > k.
Пусть a < 0, b  0, тогда a < b.
Пусть a < 0, b < 0. Тогда a < b, если a> b; a > b, если a< b. Теперь надо доказать что эти правила обладают определёнными свойствами. И то, что в применении к рациональным числам оба правила сравнения, старое и новое, дают одинаковый результат. Это нетрудно сделать.
Для введения правил сложения и умножения вещественных чисел понадобится понятие точных граней ограниченного числового множества.
Точные грани ограниченного числового множества.
Пусть X-числовое множество, содержащее хотя бы одно число (непустое множество).
x  X - x содержится в Х.
x  X - x не принадлежит Х.
Определение: Множество Х называется ограниченным сверху (снизу), если существует число М(m) такое, что для любого x  X выполняется неравенство x  M (x  m), при этом число М называется верхней(нижней) гранью множества Х. Множество Х называется ограниченным сверху, если  M,  x  Х x  M. Определение неограниченного сверху множества. Множество X называется неограниченным сверху, если  M  x  Х x  M. Определение множество X называется огранич., если оно ограничено сверху и снизу, то есть  М, m такие, что  x  Х m  x  M. Эквивалентное определение огр мн-ва: Множество X называется ограниченным, если  A > 0,  x  X: x A. Определение: Наименьшая из верхних граней ограниченного сверху множества Х называется его точной верхней гранью, и обозначается SupХ (супремум). =SupХ.
Аналогично можно определить точную нижнюю грань. Эквивалентное определение точной верхней грани: Числоназывается точной верхней гранью множества Х, если: 1) x  X: х  (это условие показывает, что - одна из верхних граней). 2)<  x  X: х > (это условие показывает, что- наименьшая из верхних граней).
Sup X=:
1.  x X: x .
2. <  x X: x >.
inf X (инфимум)-это точная нижняя грань. Поставим вопрос: всякое ли ограниченное множество имеет точные грани?
Пример: Х = {x: x>0} не имеет наименьшего числа.
Арифметические операции над вещественными числами.
Сложение.
Пусть x и y -любые вещественные числа, и пусть xr и yr- любые рациональные числа, такие, что: xr£ x , yr£ y. Рассмотрим множество {xr+yr}, где сложение производится по правилу для рациональных чисел. Оно ограниченно сверху. В самом деле,
возьмём рациональные числа и: x £, y £. По свойству транзитивности знака £ имеем: xr £, yr £.
xr + yr £ , то есть, {xr + yr ограниченно сверху и, следовательно, имеет точную верхнюю грань.
Положим по определению x + y = {xr + yr}.
Умножение
1)Пусть x > 0 и y > 0 - произвольные вещественные числа и пусть xr и yr- любые рациональные числа, удовлетворяющие неравенствам: 0 < xr £ x, 0 < yr £ y.
Рассмотрим множество {xr yr} , где умножение производится по правилу для рациональных чисел. Оно ограниченно сверху и поэтому имеет точную верхнюю грань. По определению xy ={}
2) " x: x×0 = 0×x = 0.
3) если x ¹ 0, y ¹ 0, то
xy =
Вычитание и деление вещественных чисел вводятся как операции, обратные сложению и умножению. Разность x и y - это вещественное число z, такое, что z + y = x. Можно доказать, что " x и y разность $ и единственна. Частное от деления x на y ¹ 0 - это вещественное число z, такое, что zy = x. Можно доказать, что " x и y ¹ 0 частное существует и единственно. 
Документ
Категория
Разное
Просмотров
3
Размер файла
90 Кб
Теги
вопрос
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа