close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

вопрос 21

код для вставкиСкачать
21 Теорема о стягивающейся системе сегментов.
Пусть дана последовательность сегментов [a1 , b1], [a2 , b2], ... , [an , bn], ... - такая, что каждый следующий сегмент содержится в предыдущем.
(здесь рисунок)
 n: an  an+1<bn+1bn,(1)
и пусть длина n-го сегмента bn - an 0 при n  . Такую последовательность сегментов назовем стягивающейся системой сегментов.
Теорема 6.1. Существует, и притом только одна, точка, принадлежащая всем сегментам стягивающейся системы.
Доказательство: Из неравенств (1) следует: {an} - неубывающая последовательность, {bn} - невозрастающая. Кроме того, обе эти последовательности ограничены, так как все их члены лежат на сегменте [a,b]. Следовательно, эти последовательности сходятся. Так как bn - an 0 при n  , эти последовательности имеют один и тот же предел. lim an = lim bn = c. Так как {an} - неубывающая последовательность, an<c (n). n: an  c  bn , то есть c  [an , bn] n. Существование точки, принадлежащей всем сегментам стягивающейся системы, доказано. Докажем теперь, что такая точка только одна. Предположим, существует другая точка d  [an , bn] n. Пусть для определенности d > c.
(здесь рисунок)
Но в этом случае bn - an  d - c > 0, lim (bn - an) = d - c > 0, что противоречит условию lim (bn - an) = 0. Итак, точка с - единственная, принадлежащая всем сегментам стягивающейся системы.
Теорема доказана.
Эта теорема выражает свойство, которое называется непрерывностью множества вещественных чисел. Множество рациональных чисел этим свойством не обладает.
Предельные точки последовательности.
Определение 1. Число a называется предельной точкой последовательности {xn}, если из последовательности {xn} можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к a.
Определение 2. Число a называется предельной точкой последовательности {xn}, если в любой -окрестности точки a содержится бесконечно много членов последовательности {xn}.
Утверждение. Определения 1 и 2 эквивалентны.
В самом деле, пусть a - предельная точка последовательности {xn} по первому определению, тогда существует подпоследовательность  a, и в любой -окрестности точки a содержится бесконечно много членов последовательности {xn}, а это и означает, что точка a является предельной точкой последовательности по определению 2.
Пусть {xn} - числовая последовательность, и пусть k1 , k2 , ... , kn , ... - возрастающая последовательность, элементами которой являются натуральные числа. Выберем из последовательности {xn} элементы с номерами k1 , k2 , ... , kn , ... , получим вот такую последовательность: , она называется подпоследовательностью последовательности {xn}. Отметим, что kn  n. Примеры подпоследовательностей:
1) {x2n} = x2 , x4 , ... , x2n , ...
2) = x1 , x3 , x7 , x13 , ...
3) {xn} - сама последовательность.
Лемма 1. Если lim xn = a, то и любая подпоследовательность этой последовательности сходится к точке a: lim =a.
Доказательство: Так как lim xn = a, то   > 0 все члены последовательности с номерами kn  N лежат в -окрестности точки a, а это и означает, что lim =a. Может случиться так, что сама последовательность расходится, то есть не имеет предела, но у нее есть сходящаяся подпоследовательность.
Пример.
{xn} = 1, , 1, , 1, , ... , 1, , ...
Очевидно, что эта последовательность расходится, но при этом
{x2n-1} = 1, 1, 1, 1, ...  1. {x2n} = , , , ... ,, ...  0.
Теорема 6.2. (Больцано-Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство: Пусть {xn} - ограниченная последовательность, то есть все ее элементы лежат на некотором сегменте [a , b].
a  xn  b (n).
(здесь рисунок)
Разделим сегмент [a , b] пополам. По крайней мере на одной из половин сегмента [a , b] лежит бесконечно много членов последовательности {xn}, обозначим эту половину через [a1 , b1]. Возьмем какой-нибудь : a1  b1. Далее разделим сегмент [a1 , b1] пополам и обозначим через [a2 , b2] ту половину, на которой находится бесконечно много членов последовательности {xn}. Выберем  [a2 , b2], k2 > k1. a2  b2. Затем разделим сегмент [a2 , b2] пополам, и так далее. Продолжая этот процесс, получим стягивающуюся систему сегментов [a1 , b1], [a2 , b2], ... , [an , bn], ... (так как bn-an =  0 при n  ), и последовательность , которая является подпоследовательностью последовательности {xn}.
 n: an  bn.(1)
По теореме 6.1  точка с: lim an = lim bn = c. Отсюда и из неравенства (1) следует, что  c при n  . Таким образом, мы выделили из последовательности {xn} сходящуюся подпоследовательность.
Теорема доказана.
Определение. Последовательность {xn} называется неограниченной, если  A > 0  n: xn > A.
//Замечание: Для неограниченных последовательностей теорема Больцано-Вейерштрасса неверна.
Примеры.
1) {n} = 1, 2, 3, ..., n, ...
Из {n} нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность.
2) {xn} = 1, 0, 2, 0, 3, 0, ... , n, 0, ...
{xn} - неограниченная подпоследовательность.
{x2n}  0.
Определение: Последовательность {xn} называется бесконечно большой, если  A > 0  N,  n > N: xn > A.
Отметим, что бесконечно большая последовательность является неограниченной, а неограниченная последовательность может не быть бесконечно большой.
Задача 11. (для самостоятельного решения) Доказать 2 => 1. Поставим вопрос: сколько предельных точек может иметь последовательность? Из теоремы 6.2 следует, что ограниченная последовательность имеет хотя бы одну предельную точку.
{xn} = 1, , 1, , 1, , ... , 1, , ...
Эта последовательность имеет две предельные точки: a1=1, a2=0. Оказывается, ограниченная последовательность может иметь сколько угодно много предельных точек, даже счетное множество.
Верхний и нижний пределы последовательности.
Всякая ограниченная последовательность имеет хотя бы одну предельную точку.
Определение. Наибольшая (наименьшая) из предельных точек ограниченной последовательности {xn} наз. ёе верхним (нижним) пределом и обозначается: .
Если последовательность {xn} сходится, то она имеет ровно одну предельную точку (ее предел), и в этом случае ==.
Если ограниченная последовательность имеет конечное число предельных точек, то среди них, очевидно, есть наибольшая и наименьшая, то есть в этом случае последовательность имеет верхний и нижний пределы. Если же число предельных точек бесконечно, то существование верхнего и нижнего пределов не является очевидным.
Теорема 6.3. Любая ограниченная последовательность имеет верхний и нижний пределы.
Доказательство: Пусть {xn} - ограниченная поледовательность. Обозначим через {a} множество всех предельных точек этой последовательности. Так как это множество ограничено и непусто, то оно имеет точные грани. Обозначим = Sup {a}, = inf {a}.
Достаточно доказать, что  {a},  {a}. Проведем доказательство для .
(здесь рисунок)
Рассмотрим произвольную -окрестность точки и, кроме того, рассмотрим -окрестность точки .
(здесь рисунок)
По определению точной верхней грани, существует точка a  {a}: a  {-окрестности точки a}, а по определению 2 предельной точки в -окрестности точки a содержится бесконечно много членов последовательности {xn}. Но {-окрестность точки a}  {-окрестности точки }, тем самым, в -окрестности точки содержится бесконечно много членов последовательности {xn}, а это и означает, что - предельная точка последовательности {xn}, то есть  {a}.
Документ
Категория
Разное
Просмотров
37
Размер файла
92 Кб
Теги
вопрос
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа