close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

вопрос 15

код для вставкиСкачать
15 Производная сложной функции.
Рассмотрим сложную функцию: y = f(t), где t = (x), то есть y = f((x))  F(x).
Теорема 4.4. Пусть функция t = (x) дифференцируема в точке х0, а функция y = f(t) дифференцируема в точке t0, где t0 = (х0). Тогда сложная функция F(x) = f((x)) дифференцируема в точке х0, и имеет место формула F'(х0) = f'(t0)'(х0) = f'((х0))'(х0).
Доказательство:
Нужно доказать, что приращение функции y = F(x) = f((x)) в точке х0 можно представить в виде: y = f'(t0)'(х0)x + (x)x, (1), где (x)  0 при x  0. (0) = 0. Зададим в точке х0 приращение аргумента х, равное x. Тогда функция t = (x) получит приращение t = ( х0 + х) - (х0). Так как t = (x) дифференцируема в точке х0 +, то t можно представить в виде : t = '(х0)x + (x)x. (2), где (x)  0 при x  0. (0) = 0. Приращению t соответствует приращение y = f(t0+t) + f'(t0), функции y = f(t). Так как y = f(t) дифференцируема в точке t0, то y можно представить в виде:
y = f'(t0) t + (t)t. (2), где (t)  0 при t  0. (0) = 0. (3)
Подставляя (2) в (3), получим:
y = f'( t0 )('(х0)x + [f'(t0)(x) + '(х0) + (x)]x, где [f'(t0)(x) + '(х0) + (x)]  (x).
Очевидно, что (x)  0 при х  0, х  0. Тем самым доказано равенство (1), и, значит, 4.4 доказана.
Примеры:
1) y = x ( - любое вещественное число, x > 0). x = eln x = e , где t =  ln x ( ln x  (x))
По теореме 4.4 получаем:
(x)' =(e)'( ln x)'= (e) = x-1. (e=х), = х). (x)' = x-1.
В частности, если  =,()'=x-1/2=.Если  = -1, то = -1x-2 = -.
Из правил и формул дифференцирования следует, что производная любой элементарной функции снова есть элементарная функция. Иными словами, класс элементарных функций замкнут относительно операции дифференцирования.
2) y = arccos (arctg ex )
y' = (-sin (arctg ex)) ex = -tg(arctg ex)=-.
3) y =[u(x)]v(x). y =evlnu. y = u(xv)' = evlnu.(v ln u)' = uv(v'ln u + vu') = uvln u v' + vuv-1u'
(uv)' = (uv)'+ (uv)'
Инвариантность формы первого дифференциала.
Пусть y = f(x), где х - независимая переменная. Тогда оп определению dy = f'(x)dx (1) Где dx = x. dy называется также первым дифференциалом функции. Покажем, что формула (1) сохраняется и в том случае, когда х является не независимой переменной, а дифференцируемой функцией x = (x), t - независимая переменная. y = f((t))  F(t), dy = F'(t)dt. Воспользуемся формулой дифференцирования сложной функции:
F'(t) = f'((t))'(t).
dy = f'((t))'(t)dt.
Но, так как x = (t), то dx = '(t)dt, dy = f'(x)dx, то есть формула 1 остается в силе и в этом случае. Это свойство называется инвариантностью формы первого дифференциала. Отметим, что не меняется только форма (вид) первого дифференциала, а содержание меняется. Именно, если х - независимая переменная, то dx = x, если же x = (t), то dy = '(t)dt x.
Из формулы (1) получаем, что f'(x) = , (2) то есть производная функции f(x) равна отношению дифференциалов функции и аргумента также и в том случае, когда аргумент является не независимой переменной, а дифференцируемой функцией какой-то независимой переменной. В качестве следствия из формулы (2) выведем формулу производной функции, заданной параметрически. Пусть x и y заданы как функции независимой переменной t, которую мы назовём параметром.
x = (t), y = (t) (3)
пусть параметр t также изменяется на некотором промежутке и пусть t = -1(x). Таким образом, уравнения (3) задают функцию f(x). Такое задание функции называется параметрическим. Выведем формулу f'(x). По формуле (2): f'(x)=, но dy='(t)dt, dx='(t)dt ==> f'(x) =.
f'(x) =(4)
Уравнение (3) и формула (4) допускают простую физическую интерпретацию. Пусть t -время, (x, y)- координаты точки. Тогда уравнения (3) задают движение точки на плоскости, при это график y = (x) является траекторией точки.
(рисунок)
= (t)(t)вектор скорости. Докажем, что этот вектор направлен по касательной к траектории. В самом деле, tg  =. = f'(x) ==> tg = f'(x). А это и означает, что вектор скорости направлен по касательной.
Пример: x = cos t (cos t есть (t)), y = sin t (sin t есть (t)), 0 < t < .. Функция x = cos t имеет обратную: t = arccos x, и эти уравнения задают параметричскую функцию y = f(x). По формуле (4): f'(x) = =(0 < t < ).
1) f'(x) = =.
2) В данном случае f(x) можно найти в явном виде:
y = sin(arccos x) = (есть f(x))
f'(x) =(-2x) = .
Документ
Категория
Разное
Просмотров
6
Размер файла
80 Кб
Теги
вопрос
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа