close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

вопрос 3

код для вставкиСкачать
3 Понятие функции. Определение предела функции.
Пусть Х - числовое множество. Если каждому х  Х поставлено в соответствие некоторое (единственное) число y, то говорят что на множестве Х определена (задана) функция и пишут
y = f(x), x  X.
Множество X называется областью определения функции, х - аргументом функции или независимой переменной.
Число у, соответствующее данному х, называется частным значением функции в точке х, а множество {y} = Y, называется множеством значений функции.
Пусть X - числовое множество.
Число a (a  X, либо a  X) называется предельной точкой множества X, если в  окрестности точки a содержатся точки (хотя бы одна) из множества X, отличные от а: x  X, x  a.
Пример 1:
X = (a < x < b)
 точка из (a, b) а также точки a и b - предельные точки X.
Все остальные точки не являются предельными точками X.
Пример2:
{n}=1,2,3... . Это множество не имеет предельных точек.
Определение предела функции по Коши. Пусть f(x) определена на Х и пусть a-предельная точка X.
Число b называется пределом f(x) в точке a, если   > 0    0 такое, что  ч  Чб 0 Б / ч - ф / Б  Ж / а(ч) - и / Б  ю
Число b называется пределом функции f(x) в точке a(при x  a) если   > 0   > 0, такое, что  x  X, 0 < | x - a | < : | f(x) - b | < .
Обозначение: f(x) = b.
Множесво {0 < | x - a | < } называется проколотой -окрестностью точки a.
Геометрическая интерпретация определения предела функции.
(вставить рисунок)
заметим, что 0 < | x - a | <  
| f(x) - b | <   b -  < f(x) < b + .
С геометрической точки зрения тот факт, что f(x) = b, означает, что для значений аргумента из проколотой -окрестности точки a график функции y = f(x) лежит в полосе между прямыми y = b -  и y = b + . При этом в самой точке a f(x) может быть не определена, либо её значение в данной точке может выходить за пределы данной полосы.
Замечание 1.
Функция может иметь в данной точке только один предел. В самом деле, допустим, что f(x) имеет в точке a два предельных значения: b и c.
Возьмём  столь малым, чтобы -окрестности точек b и c не пересекались.
Тогда для значений аргумента из проколотой окрестности точки a значения функции должны лежать одновременно в -окрестности b и в -окрестности точки c, чего не может быть так как эти -окрестности не пересекаются.
Функция y = f(x) называется ограниченной сверху (снизу) на множестве X, если  число
M(m),  x  X: f(x)  M (f(x)  m). При этом число M(m) называют верхней (нижней) гранью функции f(x) на множестве X.
f(x) называется ограниченной на множестве X, если она ограничена на этом множестве и сверху и снизу, то есть  M и m,  x  X: m  f(x)  M.
Эквивалентное определение ограниченной функции:
f(x) называется ограниченной на X,если  A >0,  x  X: | f(x) |  A.
Замечание 2.
Если функция f(x) имеет предел в точке a, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки. Утверждение следует непосредственно из определения предела.
Примеры:
1) f(x) = b = const ( x).
f(x) = b ( a).
В самом деле,   > 0 возьмем   > 0. Тогда  x, | x - a | < : | f(x) - b | = | b - b | = 0 < .
2) f(x) =
(рисунок)
f(x) = b.
3) f(x) = рисунок
f(x) = b.
4) f(x) = x ( x).
f(x) = а.
В самом деле,  > 0 возьмём  = . Тогда x , | x - a | <  = : | - a | = | x - a | < .
Это и означает, по определению предела, что f(x) = a.
7) f(x) = sin (x  0). Докажем, что не существует.
(Pисунок)
Предположим, что  = b. Возьмём  = 1. Согласно определению предела функции,   > 0:  x, 0 < | x | < : | sin- b | < 1.
Возьмём =, = . Тогда для достаточно большого натурального n будут выполнены неравенства:
0 < < , 0 < < . И, следовательно, | sin- b | < 1, т.е. | 1 - b | < 1, и также | sin- b | < 1, т.е. | 1 + b | < 1.
При любом b подчёркнутые неравенства противоречат друг другу, и это доказывает, что не существует.
6) Докажем, что sin x =0.
Предварительно докажем неравенствa sin x < x < tg x при 0 < x <.
(рисунок)
, то есть
sin x <x < tg x. Итак, sin x < x < tg x при 0 < x <==> | sin x | < | x | < | tg x | при 0 < | x | < . Воспользуемся подчеркнутым неравенством. Зададим произвольное  > 0 и возьмём  = . Тогда. Если 0 < | x - 0 | <  = , то | sin x - 0 | = | sin x | < | x | < .
Это и означает по определению, что sin x = 0.
Документ
Категория
Разное
Просмотров
11
Размер файла
82 Кб
Теги
вопрос
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа