close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

вопрос 30

код для вставкиСкачать
30 Формула Тейлора.
1. Многочлен Тейлора.
Отметим (см. главу 4), что если f(x) дифференцируема в точке x0, то ее приращение в этой точке можно представить в виде:
f(x) - f(x0) = f'(x0)(x - x0) + o(x - x0).
f(x) =+ o(x - x0).
P1(x) обладает следующими свойствами: P1(x0) = f(x0), P'1(x0) = f'(x0). Рассмотрим теперь более общую задачу. Пусть f(x) n раз дифференцируема в точке x0, то есть имеет в точке n все производные до n-го порядка. Поставим задачу найти такой многочлен Pn(x) (степени  n), что:
Pn(x0) = f(x0), P'n(x0) = f'(x0), P''n(x0) = f''(x0), ... , P(n)n(x0) = f(n)(x0).(1)
Будем искать многочлен Pn(x) в виде:
Pn(x) = a0 + a1(x - x0) + a2(x - x0)2 + a3(x - x0)3 + ... + ak(x - x0)k + ... + an(x - x0)n.(2)
Покажем, что можно так выбрать коэффициенты a0, a1, ... , an, что многочлен Pn(x) будет удовлетворять условию (1). Полагая в равенстве (2) x = x0 и учитывая первое из равенств (1), получим Pn(x0) = a0 = f(x0). a0 = f(x0). Продифференцируем равенство (2).
P'n(x) =a1 + 2a2(x - x0) + 3a3(x - x0)2 + ... + nan(x - x0)n-1.(2')
Положим в равенстве (2') x = x0 и учтем второе условие из (1).
P'n(x0) =a1 = f(x0).
a1 =.
Продифференцируем равенство (2'):
P''n(x) = 2a2 + 23a3(x - x0) + ... + n(n - 1)an(x - x0)n-1.(2'')
Полжим в полученном равенстве (2'') x = x0 и учтем третье условие из (1).
P''n(x0) = 2a2 = f''(x0).
a2 =.
И так далее. После k -кратного дифференцирования равенства (2) получим:
P(k)n(x) = k!ak + 2ak+1(x - x0) + ... + n(n - 1)...(n - k + 1)(x - x0)k.(2(k))
Полагая здесь x = x0 и учитывая k+1-е условие из (1), получим:
P(k)n(x0) = k!ak = f(k)(x0).
ak = (k = 0, 1, ... , n), если принять обозначения f(0) = f, 0! = 1. Итак, мы нашли такие коэффициенты ak, что многочлен
Pn(x) = f(x0) + (x - x0) + ... + (x - x0)n = (x - x0)k.(3)
удовлетворяет условиям (1). Многочлен (3) называется многочленом Тейлора для функции f(x). В следующем пункте мы покажем, что f(x) = Pn(x) + o((x - x0)n).
§2. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
Теорема 7.14. Пусть функция f(x) n раз дифференцируема в точке x0, тогда для функции f(x) имеет место равенство:
f(x) = Pn(x) + o((x - x0)n), где Pn(x) - многочлен Тейлора для функции f(x).
Лекция 22.
Пусть имеется f(x), имеющая производные до n-го порядка. Поставлена задача найти многочлен Pn(x):
Pn(x0) = f(x0), P'n(x0) = f'(x0), P''n(x0) = f''(x0), ... , P(n)n(x0) = f(n)(x0).(1)
Этот многочлен был найден в виде:
Pn(x) = f(x0) + (x - x0) + ... + (x - x0)n = (x - x0)k.(3)
Теорема 7.14. Пусть функция f(x) n раз дифференцируема в точке x0, тогда для функции f(x) имеет место равенство:
f(x) = Pn(x) + o((x - x0)n).(4)
Доказательство.
Введем обозначение:
R(x)=f(x)-Pn(x)=f(x)-[f(x0)+(x-x0)+ ... +(x-x0)n-1+(x-x0)n].
Надо доказать, что R(x) = o((x - x0)n). Мы докажем это с помощью правила Лопиталя.
Требуется доказать, что = 0.(5)
Отметим прежде всего, что в силу условия теоремы сама функция f(x) и ее производные f'(x), ... , f(n-1)(x) непрерывны в точке x0. Поэтому, используя условие (1), получаем:
R(x) = [ f(x) - Pn(x)] = f(x0) - Pn(x0)] = 0.(6)
R'(x) = [ f'(x) - P'n(x)] = f'(x0) - P'n(x0)] = 0.(6')
и так далее...
R(n-1)(x) = [ f(n-1)(x) - P(n-1)n(x)] = f(n-1)(x0) - P(n-1)n(x0)] = 0.(6(n-1))
В силу (6) предел (5) является неопределенностью типа . В силу (6') также является неопределенностью типа . и так далее...
В силу (6(n-1)) = снова является неопределенностью типа . Для вычисления последнего предела рассмотрим выражение для R(n-1)(x). R(n-1)(x) = f(n-1)(x) - f(n-1)(x0) - f(n)(x0)(x - x0). Так как f(n-1)(x) дифференцируема в точке x0, то ее приращение в точке x0 тожно представить в виде:
f(n-1)(x) - f(n-1)(x0) = (x - x0) + o(x - x0) = f(n)(x0)(x - x0) + o(x - x0).
Следовательно, R(n-1)(x) = o(x - x0), поэтому == 0.
Таким образом, применяя к пределу (5) правило Лопиталя, получим:
== ... = = 0,
что и требовалось доказать.
Теорема доказана.
Введем обозначение: Rn+1(x) = R(x) = f(x) - Pn(x). Тогда равенство (4) можно записать в виде:
f(x) = Pn(x) + Rn+1(x),(4')
где Rn+1(x) = o((x - x0)n).
Функция Rn+1(x) называется остаточным членом, а формула (4) называется формулой Тейлора для функции f(x) с центром разложения в точке x0 и с остаточным членом в форме Пеано.
Документ
Категория
Разное
Просмотров
6
Размер файла
79 Кб
Теги
вопрос
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа