close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

metodichka po kr(1)

код для вставкиСкачать
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования "Брянский государственный университет имени академика И.Г.Петровского"
(БГУ)
Финансово-экономический факультет Кафедра автоматизированных информационных систем и технологий МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
"Математика. Математический анализ"
для направлений
Экономика,
Менеджмент,
Таможенное дело
(очно-заочное отделение)
Серая Г.В.
Климова Е.М.
Брянск 2013
Методические рекомендации по выполнению контрольных работ по дисциплине "Математика. Математический анализ" составлен в соответствии с требованиями государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования.
Предназначен для студентов и преподавателей экономических направлений институтов, академий, университетов.
Методические рекомендации по выполнению контрольных работ разработали:
Серая Г.В. -старший преподаватель кафедры АИСиТ, кандидат педагогический наук;
Климова Е.М. - ассистент кафедры АИСиТ.
ВВЕДЕНИЕ
Цель преподавания математики в вузе, где ведется подготовка специалистов экономических специальностей, - ознакомить студентов с основами математического аппарата, необходимого для решения теоретических и практических задач; привить студентам умение самостоятельно изучать учебную литературу по математике и ее приложениям; развить логическое и алгоритмическое мышление и повысить общий уровень математической культуры; развить навыки математического исследования прикладных вопросов и умения сформулировать задачу на математическом языке.
Настоящая работа, предназначенная для студентов заочной формы обучения, содержит контрольные задания из разделов "Элементы математического анализа", "Числовые и функциональные ряды", "Дифференциальные уравнения".
1 РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ И ОФОРМЛЕНИЮ
КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
При подготовке к выполнению контрольных работ студент должен изучить соответствующие разделы по пособиям и учебникам (список литературы прилагается).
При выполнении работы и ее оформлении необходимо придерживаться следующих правил (работы, выполненные без соблюдения этих правил, не зачитываются и возвращаются студентам для переработки):
1) работа должна быть выполнена в тетради, имеющей поля для замечаний рецензента. Чернила можно использовать любого цвета, кроме красного;
2) на обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, номер контрольной работы, название дисциплины; а также дата отсылки работы и адрес студента;
3) перед решением каждой задачи нужно привести полностью ее условие. В том случае, если несколько задач, из которых студент выбирает задачу своего варианта, имеют общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными из соответствующего номера;
4) следует придерживаться той последовательности при решении задач, в какой они даны в задании, строго сохраняя при этом нумерацию примеров (задач);
5) в работу должны быть включены все задачи, указанные в задании по своему варианту. Не допускается замена задач контрольного задания другими.
Контрольные работы, содержащие не все задания, а также содержащие задачи
не своего варианта, не зачитываются;
6) решения задач должны сопровождаться развернутыми пояснениями; нужно привести в общем виде все используемые формулы с объяснением употребляемых обозначений; объяснить и мотивировать все действия по ходу решения; сделать необходимые чертежи. Чертежи должны быть выполнены в прямоугольной системе координат в полном соответствии с данными условиями задач и теми результатами, которые получены;
7) если вычисления, выполняемые при решении задач, приближенные, то следует придерживаться правил приближенных вычислений;
8) после получения прорецензированной работы (как не зачтенной, так и зачтенной) студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты выполнить все рекомендации рецензента. Если работа получила в целом положительную оценку, но в ней есть отдельные недочеты (указанные в рецензии в тетради), то нужно сделать соответствующие исправления и дополнения в той же тетради (после имеющихся решений и записи "Работа над ошибками") и предъявить на экзамене или собеседовании. Если работа не зачтена, то ее необходимо в соответствии с требованиями рецензента частично или полностью переделать. Повторную работу надо выполнять в той же тетради (если есть место) или в новой тетради с надписью на обложке "Повторная", с указанием фамилии рецензента, которым работа была ранее не зачтена, и вместе с не зачтенной работой направить ее на новую проверку.
Вносить исправления в сам текст работы после ее рецензирования
запрещается.
Прорецензированную работу вместе со всеми исправлениями и дополнениями, сделанными по требованию рецензента, студент представляет к защите.
Распределение контрольных работ по семестрам устанавливается вузом для студентов в соответствии с распределением по семестрам материала и сообщается студентам каждой специальности дополнительно.
Если студент испытывает затруднения в освоении теоретического или практического материала, то он может получить консультацию на кафедре.
При решении заданий контрольной работы можно использовать
различные методы решений.
2 ПРОГРАММА КУРСА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
Тема 1. Функция действительного аргумента Предел числовой последовательности. Предел функции в бесконечности и в точке. Понятие односторонних пределов.
Бесконечно малые величины и их свойства. Бесконечно большие величины и их свойства. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами.
Основные теоремы о пределах. Вычисление пределов. Основные неопределенности. Примеры. 1 и 2 замечательные пределы.
Непрерывность функции в точке и на промежутке. Примеры. Точка разрыва функции. Классификация точек разрыва. Свойства функций, непрерывных в точке и на отрезке.
Тема 2. Дифференциальное исчисление
Производная функции одной независимой переменной. Дифференцируемость функции в точке и на промежутке. Примеры. Таблица производных элементарных функций. Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Примеры. Производные высших порядков.
Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило Лопиталя. Достаточное условие возрастания и убывания функции. Экстремумы функции, Необходимое и достаточные условия экстремума функции. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. Решение задач. Выпуклость функции. Точки перегиба. Асимптоты графика функции: вертикальные, наклонные, горизонтальные. Общая схема исследования функции и построения графика. Примеры.
Тема 3. Интегральное исчисление
Первообразная функция и неопределенный интеграл.
Свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов. Непосредственное интегрирование. Примеры.
Интегрирование методом замены переменной. Примеры.
Интегрирование по частям в неопределенном интеграле. Примеры.
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование тригонометрических выражений.
Интегрирование некоторых видов иррациональностей.
Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.
Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площадей плоских фигур; вычисление объемов тел вращения.
Несобственные интегралы. Признаки сравнения.
Тема 4. Дифференциальные уравнения
Дифференциальное уравнение. Общее и частное решение дифференциального уравнения. Интегральная кривая.
Дифференциальные уравнения 1 порядка. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Однородные дифференциальные уравнения 1 порядка.
Дифференциальные уравнения второго и высших порядков. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
Тема 5. Функции нескольких переменных
Функция нескольких переменных. Функция двух переменных: область определения, график, линии уровня. Частные производные функции нескольких переменных.
Понятие дифференциала функции двух переменных, градиент. Частные производные высших порядков. Экстремум функции двух переменных.
Тема 6. Ряды
Числовые ряды. Сходимость ряда. Свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости. Числовые ряды с положительными членами. Признаки сравнения. Признаки Даламбера и Коши. Интегральный признак сходимости.
Числовые ряды с членами произвольного знака. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды, признак сходимости Лейбница. Знакопеременные ряды.
Функциональные ряды. Область сходимости функционального ряда. Степенные ряды. Радиус сходимости степенного ряда.
2.7 Рекомендуемая литература
а) Базовый учебник
1. Общий курс высшей математики для экономистов / под ред. В.И. Ермакова. - М.: ИНФРА-М - 2008.
2. Сборник задач по высшей математике для экономистов / под ред. В.И. Ермакова. - М.: ИНФРА-М - 2011. б) Основная литература
3. Баврин И.И., Матросов В.Л. Общий курс высшей математики М. Просвещение, 2010.
4. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. СПб.: Профессия, 2011. 5. Высшая математика для экономистов / под ред. Н.Ш. Кремера. М.: ЮНИТИ, 2009. 6. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука, 2008.
в) Дополнительная литература 7. Бохан А. и др. Курс математического анализа, ч.1,2. М. Просвещение, 2010.
8. Сборник задач по математике для ВТУЗов. Линейная алгебра и основы математического анализа (под редакцией А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича) - М.: Наука, 2009.
9. Ильин В., Поздняк Э. Основы математического анализа, ч.1,2. М.Наука, 2010г.
10. Рудаков И.А. Лекции по высшей математике. Ч. 1, 2. Брянск, 2010.
3 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НУЛЕВОГО ВАРИАНТА
Найти предел последовательности, общий член которой .
Решение.
Разделим числитель и знаменатель дроби на , получим: .
Замечание. и предел постоянной равен самой постоянной.
Найти .
Решение. Поскольку и , то Найти производную функции .
Решение. Применяя формулы дифференцирования, получим
.
Найти производную функции .
Решение. На основе формул дифференцирования находим Найти производную функции .
Решение. Применяя формулы дифференцирования, получим
Найти производную функции .
Решение. Аргументом данной функции является не , а . Это сложная тригонометрическая функция, которую можно представить так:
.
Поскольку , то получаем .
Найти вторую производную функции .
Решение. Находим сначала первую производную данной функции: .
Дифференцируя ее еще раз, получаем .
Найти промежутки возрастания и убывания функции .
Решение. Данная функция определена при всех , областью ее определения является бесконечный промежуток . Производная этой функции обращается в нуль в трех точках: , которые делят область определения на четыре интервала: .
Поскольку при , то функция возрастает в промежутке .
Так как при , то функция убывает в промежутке .
Аналогично устанавливаем, что в промежутке функция возрастает (ибо при ), в промежутке она также возрастает ( при ).
Найти экстремумы функции .
Решение. Производная данной функции определена для всех и обращается в нуль при . Исследуем эти критические точки с помощью второй производной .
Поскольку , то - точка максимума; так как , то - точка минимума.
Вычисляем значения экстремумов:
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .
Решение. Находим экстремумы функции:
- точки минимума, - точка максимума, .
Находим значения функции на концах отрезка:
.
Следовательно, наименьшее значение функции на данном отрезке равно 2, а наибольшее равно 11.
Найти промежутки выпуклости и точки перегиба графика функции .
Решение. Найти производные данной функции:
Вторая производная равна нулю при . Если , то , поэтому график функции является выпуклым вверх в промежутке . Поскольку при , то график функции является выпуклым вниз в промежутке . Так как при вторая производная меняет знак, то - точка перегиба графика функции .
Найти асимптоты графика функции .
Решение. Поскольку то уравнение определяет вертикальную асимптоту графика данной функции.
Так как , где при , то уравнение определяет невертикальную асимптоту графика данной функции.
Исследовать функцию и построить ее график.
Решение. 1) Областью определения данной функции является бесконечный промежуток .
2) Функция неограниченно возрастает при , т.е. , далее .
3) Производная данной функции обращается в нуль при . Так как при , то функция возрастает в промежутках . Поскольку при , то функция убывает в промежутке . Отсюда уже можно заключить, что при - точка максимума, - точка минимума.
4) Подставляя значения в выражение для функции, вычисляем ее экстремальные значения: Получаем две точки графика .
5) Вторая производная обращается в нуль при . Так как при , то график функции является выпуклым вверх в промежутке ; поскольку при , то график функции является выпуклым вниз в промежутке - точка перегиба графика.
6) Решая уравнение , т.е. , находим нули функции:
,
поэтому - точки пересечения графика функции с осью . Положив в выражении , получим - точка пересечения с осью , она совпадает с точкой .
7) Поскольку , т.е. не существует конечных пределов, то график данной функции асимптот не имеет. Отметив полученные точки и приняв во внимание указанные результаты исследования функции, строим график.
Найти неопределенный интеграл Решение. Разделив почленно числитель на знаменатель, используя свойства неопределенного интеграла, находим Найти .
Решение. Раскрывая скобки и применяя формулы, получаем
Найти .
Решение. Поскольку , то .
Найти .
Решение. Введем новую переменную по формуле , откуда или . Подставляя полученные выражения в подынтегральное выражение, находим .
Снова переходя к переменной , получаем .
Найти .
Решение. Чтобы избавиться от иррациональности, положим , откуда .
.
Переходя к переменной , получаем .
Вычислить определенный интеграл .
Решение. Принимая во внимание свойства определенного интеграла, находим Вычислить значения частных производных функции в точке .
Решение.
Найдем сначала выражения для частных производных. Считая постоянным и дифференцируя по частное, получаем:
.
Считая постоянным и дифференцируя по , находим:
.
В полученные выражения подставим значения :
,
.
Решить дифференциальное уравнение .
Решение.
Характеристическое уравнение имеет кратный корень , поэтому частное решение данного уравнения ищем в виде .
Поскольку ,
то ,
,
то есть .
Так как , то общее решение данного уравнения определяется формулой
.
Записать первые пять членов ряда, общий член которого задан формулой .
Решение.
Полагая в данной формуле , получаем:
Следовательно, 4..ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 1. Предел последовательности
Доказать равенства, используя определение предела последовательности.
1. 2 3. 4. 5. 6. Вычислить предел последовательности.
7. 8. 9 10. 11. 12. 13. 14. Предел функции
Используя определение предела функции по Коши доказать равенства:
15. 16. 17. 18. 19. 20 2. Непрерывность
Исследовать на непрерывность и схематично построить графики указанных функций:
1. .2 3. 4. 5. 6. 7 8. 9. Найти по правилам производные указанных функций:
10. 11 12. 13 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20 3. Производная функции
Найти интервалы возрастания, убывания и экстремумы следующих функций:
1. 2. 3 4 5 6 7. 8. 910. Определить, существуют ли наибольшее и наименьшее значения указанных функций на промежутке X. Если они существуют, то найти их значения.
11. 12. 13. 14. 15. 16 17. 18. 19. 20 4. Провести полное исследование и построить графики следующих функций:
1. 2. 3.. 4. 5. 6. 7. 8. 9.. 10. 11. 12 13. 14. 15 16. 17 18. 19. 20. 5. Числовые ряды
Найти сумму ряда.
1 2. 3. 4 5. 6. 7. 8. 9. Исследовать сходимость указанных рядов:
10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 6. Вычислить неопределенные интегралы:
1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. . 8. . 9. . 10. . 11. . 12 13 . 14. . 15.. 16. . 17. . 18. . 19. . 20. . 7. найти частные производные первого и второго порядков указанных функций:
1. 2. 3. 4. 5. 27. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. найти градиент функций в указанных точках:
13. 14. 15. 16. 17. 18 19. 20. 8. Найти все решения дифференциальных уравнений. В тех задачах, где указаны начальные условия, найти также решения, удовлетворяющие начальным условиям.
.Дифференциальные уравнения первого порядка
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. Дифференциальные уравнения второго порядка
14. 15. 16. 17. 18. 19. 20 
Документ
Категория
Рефераты
Просмотров
228
Размер файла
431 Кб
Теги
metodichka
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа