close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Kursovaya rabota Pustovoy Yulii 4-D

код для вставкиСкачать
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ
ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
Кафедра вищої математики
та методики викладання математики
Спеціальність "Математика"
До захисту допустити
Зав. кафедрою Скафа О.І.
КУРСОВА РОБОТА
на тему:Технологія створення евристичного факультативу з математики у старшій школі
Виконала:
студентка групи4-Д
Пустова Юлія
Перевірила:
Гончарова І.В.
Курсова робота захищена з оцінкою_________________
Донецьк 2013
ЗМІСТ
ВСТУП..............................................................................3
РОЗДІЛ 1 ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГІЧНІ ОСНОВИ ФАКУЛЬТАТИВНОЇ РОБОТИ З МАТЕМАТИКИ У СТАРШІЙ ШКОЛІ...........................6
1.1. Історія розвитку факультативного руху...................................6
1.2. Евристичний факультатив як засіб формування прийомів евристичної діяльності учнів старшої школи..........................................7
1.3. Вікові особливості учнів......................................................8
РОЗДІЛ 2 ТЕХНОЛОГІЯ ПРОЕКТУВАННЯ ЕВРИСТИЧНОГО ФАКУЛЬТАТИВУ У СТАРШІЙ ШКОЛІ........................................ 12
2.1. Особливості побудови евристичного факультативу для учнів 11 класу.............................................................................................12
2.2. Розробка занять факультативу.............................................14
ВИСНОВКИ........................................................................73
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ..............................74
ДОДАТКИ...........................................................................78
ВСТУП
Шлях розвитку при вивченні математики складається з формування у учнів характерних для цього предмету прийомів розумової діяльності. При цьому, з точки зору виховання творчої особистості, особливо важливо, щоб в структуру розумової діяльності учнів крім алгоритмічних умінь і навичок, фіксованих в стандартних правилах, формулах і способах дій, увійшли евристичні прийоми як загального, так и спеціального характеру. Володіння цими прийомами необхідне для самостійного управління процесом розв'язання творчих задач, застосування знань в нових, незвичайних ситуаціях[1].
Ніщо так не розвиває мислення учнів, як розв'язування евристичних задач. Саме вони розвивають інтуїцію, дають учням можливість проявити себе, дають їм "відчуття успіху", що і сприяє їх подальшій зацікавленістю математикою[2]. Формування прийомів евристичної діяльності пов'язане з підвищенням ефективності опанування учнями розумових дій, засвоєння знань. Найбільш продуктивним шляхом активізації розумової діяльності учнів є евристична спрямованість навчання[3].
Проблемі реалізації евристичних ідей, формуванню евристичних прийомів діяльності в навчанні математики приділяли увагу такі науковці, як В.І. Андрєєв[4; 5], А.К. Артемов [6], Г.Д. Балк [7], М.І. Бурда [8], К.В. Власенко [9], І.А. Горчакова [10], Т.М. Міракова [1], О.І. Скафа [11], З.І. Слєпкань [12], Н.А. Тарасенкова [13], та інші. Окремі питання про евристичні вміння можна знайти у працях дослідників О.Ю. Бондиревої [14], К.В. Власенко [15], І.В. Гончарової [16]Т.С. Максимової [17], О.І. Скафи [18].
Шкільні уроки математики націлені на проходження програми, а не на розвиток мислення учнів. Вчитель бачить свою задачу в тому, щоб учні з його допомогою засвоїли ще одну порцію матеріалу. Але головна його задача - всіляко сприяти розвитку пізнавальних можливостей учнів.
Для ціле направленого формування евристичних умінь на факультативних заняттях була введена така структура факультативних занять, як евристичний факультатив. На занятті евристичного факультативу основною ціллю ставиться формувати певний прийом або сукупність прийомів у процесі засвоєння теми.
Дослідженню проблеми факультативного навчання присвятили свої праці В.О. Гусєв [19], В.О. Дедух [20], Д.А. Епштейн [21], В.І. Кизенко [22], Н.М. Крюкова [23], С.М. Новіков [24], В.І. Ревякіна [25],О.М. Топузов [26], К.Р. Тувіке [27] та інші. Змістом факультативного навчання математики займалися В.М. Боровик [28], Л.М. Вивальнюк [29], І.Л. Нікольська [30], 3.І. Слєнкань [31], та інші.
Проте, більшість досліджень присвячена переважно формуванню прийомів евристичної діяльності на уроках математики основної та старшої школи та на факультативних заняттях в основній школі. Наприклад, О.І. Скафа розглянула формування прийомів евристичної діяльності учнів на уроках математики, І.В. Гончарова - на факультативних заняттях з математики в основній школі. Однак дуже мало робіт присвячених формуванню прийомів евристичної діяльності учнів на факультативних заняттях з математики в старшій школі. У зв'язку з цим була обрана тема курсової роботи "Технологія створення евристичного факультативу з математики у старшій школі".
Об'єктом дослідження є процес навчання учнів старшої школи на евристичних факультативах з математики.
Предметом дослідження є методична система формування евристичних умінь учнів на евристичних факультативах з математики.
Мета роботи - розробити науково обґрунтовану методичну систему факультативного навчання математики учнів старшої школи, спрямовану на формування у них евристичних умінь.
У роботі були поставлені наступні завдання:
1) ознайомитися з психолого-педагогічними основами факультативної роботи з математики у старшій школі;
2) створити науково-обґрунтовану систему формування евристичних умінь на основі введення евристичних факультативів;
3) розробити евристичний факультатив для учнів старшої школи;
4) провести апробацію розроблених матеріалів.
У дослідженні застосовані такі методи: теоретичні (аналіз науково-методичної і психолого-педагогічної літератури; синтез наявних теоретичних положень, методик і практичних результатів; системний аналіз; узагальнення досвіду проведення евристичних факультативних занять); емпіричні (педагогічні спостереження, бесіди з викладачами, вчителями, учнями за обраною проблемою,аналіз усних відповідей і письмових робіт учнів); цілеспрямований педагогічний експеримент (констатувальний, пошуковий, формувальний).
Структура роботи. Робота складається зі вступу, двох розділів, висновків, додатків, списку використаних джерел із 34 найменувань. Основний зміст роботи викладений на 77 сторінках, містить 22 рисунки. Повний обсяг роботи становить 87 сторінок.
РОЗДІЛ 1
ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГІЧНІ ОСНОВИ ФАКУЛЬТАТИВНОЇ РОБОТИ З МАТЕМАТИКИ У СТАРШІЙ ШКОЛІ
1.1. Історія розвитку факультативного руху
В історії створення факультативних занять можна виділити кілька етапів.
Перший етап (кінець XIX - початок XX століття - 1966 р.) уперше ідея доповнити обов'язкові заняття по предмету необов'язковими з'явилася наприкінці XIX - початку XX століття. До числа тих, хто почав запроваджувати цю ідею в життя відноситься П.Ф. Каптерев. Він разом з педагогами-ентузіастами почав створювати для учнів предметні факультативні семінари, пізніше названі "гуртками". В цих "гуртках" програму створював сам вчитель, враховуючи свої інтереси та можливості, а також інтереси та можливості учнів. Число учнів на цих "гуртках" не обмежувалось, відвідування їх було добровільним, оцінки учням не ставились, не було заліків, екзаменів.
Другий етап (1966 - 1987). 10 листопада 1966 р. ЦК КПСС і Рада Міністрів СССР видають Постанову "Про міру подальшого покращення роботи середньої загальноосвітньої школи", яка рекомендує проведення факультативних занять в 7-10 класах.
З цього моменту проведення факультативних занять вчителями стало оплачуватися, важливість їх стали осознаввати педагоги в школі. Але все ж таки широке розповсюдження факультативи отримали лише в 1971р.
Але к 1987 р. факультативи в 7-8 класах стали більше нагадувати гуртки, а в 9-10 класах факультативи стали більше за все використовувати для поглиблення основного курсу, розв'язання задач підвищеної складності, підготовки учнів до вступу у вузи. При цьому вчитель у журнал часто записував тему,рекомендовану по програмам, а на насправді проводилась інша робота. А ряд факультативів перетворився навіть у додаткові заняття, з слабовстигаючими учнями. У ряду шкіл факультативи залишилися лише в 10 класі, дуже мало їх було на селі. Кружки к цьому часу почали трактувати як допоміжна форма, менш престижна, предназначена лише для учнів з "зачаточним рівнем інтересу".
Третій етап (1987 - н. ч.). Були розроблені нові програми для факультативів; вчителям було дозволено використовувати свої, авторські програми факультативів; факультативи з математики рекомендувалось проводити з 7 класу.
1.2. Евристичний факультатив як засіб формування прийомів евристичної діяльності учнів старшої школи
У шкільному курсі математики багато уваги приділяється послідовному викладенню доведень і теорем, акуратному і грамотному оформленню розв'язання задач, логічному обґрунтуванню різних етапів розв'язання або доведення. А сам процес пошуку розв'язання задачі або способу доведення теореми, процес відкриття нових математичних фактів розглядається значно рідше. Учню так і залишається незрозуміло, за допомогою яких міркувань вдалося відкрити ту або іншу теорему, як вдалося здогадатися о способі вирішення той або іншої важкої задачі.
У збірниках для вчителів можна знайти відповіді і розв'язання до розташованих у підручнику задач, але у випадку нешаблонної задачі, йому частіше за все залишається незрозумілим, як допомогти учням самостійно отримати відповідь до задачі.
Одним з важливих моментів удосконалення методів навчання повинно стати формування у учнів творчого, евристичного міркування. Учитель повинен не тільки дати учням деякий комплект математичних фактів, який супроводжується дедуктивними міркуваннями, але й розвивати їх математичну інтуїцію, прививати навик самостійного пошуку нових закономірностей, ознайомити з достатньо загальними, єдиними прийомами самостійного ціле направленого пошуку розв'язання задач (або доведення теорем), тобто з прийомами, які не залежать від того, до якого розділу шкільної математики, до якого типу ці задачі відносяться. І хоча методів, які гарантують розв'язання будь-якої задачі не існує, учень повинен отримати у школі уявлення про ті загальні прийоми, які найчастіше полегшують пошук розв'язання задачі.
Хоча робота по вихованню навичок евристичного мислення повинна проводитися вчителем на уроках, в процесі викладання програмного матеріалу, однак особливо великі можливості для цього представляються на гурткових та факультативних заняттях [32].
Для ціле направленого формування евристичних умінь, була введена нова структура факультативних занять, яка отримала назву евристичний факультатив [3].
На евристичних факультативах для формування конкретних евристичних вмінь використовуються відповідні евристичні прийоми. Структура таких факультативів будується відповідно до евристичних прийомів: кожне заняття знайомить учнів з конкретним евристичним прийомом на різному навчальному матеріалі. На таких заняттях, учні не тільки розв'язують нестандартні (евристичні задачі), а й конструюють, складають, відкривають для себе щось нове.
1.3. Вікові особливості учнів
Навчання школярів в старих класах охоплює період ранньої юності (від 15 до 18 років). У цей період мета життя та навчання виходить за межі шкільної дійсності. Вони спрямовані на професійне і родинне (сімейне) майбуття.
Фізичний розвиток старшокласників у порівнянні з періодом підліткового віку гармонізується. Зникають диспропорційність в розвитку опорно-рухового апарату, в функціонуванні серцево-судинної та дихальної систем. Підвищується фізична витривалість та працездатність організму. Рухи стають впевненими та пластичними, тілесна конституція 9особливо обличчя) - специфічно-індивідуальною. Завершується статеве дозрівання, нормалізується діяльність ендокринної системи, врівноважується вдача. Таким чином, рання юність становить собою період відносно спокійного біологічного розвитку організму, більш ритмічної його життєдіяльності, збільшення фізичної сили та витривалості. Внаслідок цього основні показники розвитку організму на час закінчення школи сягають показників дорослої людини.
Психічний розвиток юнаків характеризується якісними змінами всіх показників психічної діяльності, що лежать в основі формування особистості, і закріплюються як її властивості.
Мислення виходить на рівень теоретичного узагальнення, коли наукові поняття стають не лише предметом вивчення, а й інструментом пізнання, аналізу та синтезу реальних і абстрактних (теоретичних) систем. Зростає потреба в науковому обґрунтуванні та доведенні положень, думок, висновків, коли критеріями їх істинності виступають не конкретні факти, а логічні докази. На перший план виступають питання усвідомлення сенсу буття. Провідною ознакою мислення стає його логічність, аргументованість суджень та інтерес до філософсько-етичних і екзистенціальних проблем (життєвого призначення, честі. гідності, любові, дружби тощо). самосвідомість пов'язана з якісною оцінкою своєї особистості в аспекті конкретних і життєвих устремлінь.
Мовлення старшокласників ускладнюється за змістом і структурою, збагачується новими термінами. Удосконалюються мовні засоби передачі думок, використовуються літературні норми вербального спілкування.
Вдосконалюється спостережливість, юнаки помічають значно більше, можуть систематизувати свої спостереження за певними ознаками (головне-другорядне, суттєве-несуттєве, ділове-особисте, внутрішнє-зовнішнє тощо). Розвивається самоспостереження (погляд на себе збоку та зсередини). Вони заглиблюються в свій внутрішній світ, аналізують його, зіставляють наслідки своїх спостережень з думками однолітків та дорослих, з літературними героями та кумирами.
Розвивається репродуктивна та творча уява, мрійливість набуває реалістичних відтінків, співвідноситься з можливостями життя, прогнозує майбутнє. Довільна пам'ять домінує над мимовільною, підсилюється логічне запам'ятовування, відбувається спеціалізація та раціоналізація цього процесу.
Емоційна сфера старшокласників збагачується завдяки новим переживанням, пов'язаним не лише з конкретним предметом, а й завдяки новим станам, відношенням, прагненням, діяльності тощо.
Вольова сфера керується самосвідомістю і здатністю до самостійного більш віддаленого ціле покладання. Зміцнюється сила волі, наполегливість, витримка, здатність до самоконтролю. Збагачується мотиваційна база вольових дій, здатність до критичного їх аналізу, що виявляється в розсудливість та самовладанні. Зменшується навіюваність і імпульсивність.
Соціальний розвиток старшокласників характеризується спрямованістю в майбутнє. Це час професійного самовизначення та прогнозування майбутнього родинного благополуччя. У зв'язку з виникненням життєвих планів формується вміння підпорядковувати свою поведінку конкретним цілям майбутнього самостійного життя, змінюється мотивація діяльності. Приймається рішення щодо подальшої освіти та роботи. Це накладає відбиток на самосвідомість і коло спілкування. Розширюючи сферу потенційних контактів і суб'єктів соціальної оцінки. На перше місце виступає відповідальність перед собою, почуття обов'язку, ідейні переконання та моральні принципи, що стають провідними в повсякденному житті. Багато якостей особистості починають здобувати виразне соціальне звучання.
У стосунках з дорослими на перше місце виходить рівноправність. Проте можливість конфліктів не зникає. Найчастіше вони виникають у наслідок нерозуміння останніми тощо, що в дитині відбулися докорінні зміни. Молодих людей вже не вдовольняє надмірне опікування та обмеження свободи, дратує нав'язування консерватизму та неадекватні виховні впливи. З іншого боку, їх також лякає свобода, до якої вони ще неготові, що може спричинити більше лиха, ніж добра. Тому адекватне спілкування зі старшокласниками повинне будуватися поступово та планомірно, починаючи з попередніх вікових періодів [34].
РОЗДІЛ 2
ТЕХНОЛОГІЯ ПРОЕКТУВАННЯ ЕВРИСТИЧНОГО ФАКУЛЬТАТИВУ У СТАРШІЙ ШКОЛІ
2.1. Особливості побудови евристичного факультативу для учнів 11 класу
Эвристический факультатив по математике предназначен для формирования приёмов эвристической деятельности учащихся 11 классов, связанных с повышением эффективности овладения ими умственных действий, усвоением знаний.
Целями организации факультативных занятий являются:
формирование эвристических умений;
развитие логического мышления;
развитие творчества учащихся;
развитие интереса к математике;
активизация умственной деятельности.
Основными принципами, используемыми при проведении данного факультатива, являются:
систематичность (учащиеся должны работать не только на факультативных занятиях, но и дома, выполняя домашние задания и прорабатывая дополнительную литературу).
закрепление навыков (в качестве домашнего задания учащимся предлагаются задачи, которые они могут решить с помощью эвристического приёма рассмотренного на факультативном занятии).
использование методов эвристического обучения (метод вживания, метод эвристического наблюдения.......);
принцип образовательной рефлексии (образовательный процесс сопровождается его рефлексивным осознанием субъектами образования);
принцип первичности образовательной продукции учащихся (ученику дана возможность проявить себя в изучаемом вопросе прежде, чем он будет ему изложен).
Основной формой организации учебно-познавательной деятельности на эвристическом факультативе является лекционно-практическая.
Отметки на эвристических факультативах, как правило, ставить не рекомендуется.
Программа эвристического факультатива составлена на l полугодие и предусматривает занятия с учащимися 11 классов в период с 10.09.13 по 26.11.13.
Таблица 2.1
Учебно-тематический план
№
темыТемаВсего часовПримерная дата проведения1Аналогия110.09.132Индукция и прогнозирование117.09.133Испытание на правдоподобие124.09.13;4Переформулировка задачи101.10.135Введение вспомогательной переменной108.10.136Выражение одной переменной через другую115.10.137Выделение целой части дроби122.10.138Разбитие целого на части129.10.139Реконструкция целого по части105.11.1310Инверсия. Правило крайнего112.11.1311Использование барицентрических соображений119.11.13;12Использование эвристик при решении задач126.11.13; Основные знания, умения
В результате занятий эвристического факультатива учащиеся:
должны знать:
рассмотренные эвристические приёмы поиска решения задач.
основные типы сюжетных задач и приемы их решения.
должны уметь:
применять изученные эвристические приемы при решении различных задач.
2.2. Розробка занять факультативу
План-конспект занятия №1 эвристического факультатива 11 класс
Тема занятия: "размышления по аналогии".
Эвристическая цель: ознакомить учащихся с таким эвристическим приёмом как "аналогия".
План занятия
1. Организационный момент.
2. Постановка проблемной ситуации.
3. Ознакомления с эвристикой "аналогия".
4. Первичное усвоение нового материала.
5. Примеры использования приёма "аналогия" в жизни.
6. Постановка домашнего задания.
7. Подведение итогов занятия.
8 Рефлексия.
Литература
Балк М.Б. Поиск решения: Научно-популярная лит-ра / М.Б. Балк, Г.Д. Балк. - М. : Дет. лит., 1983. - 143с.
Миракова Т.Н. Развивающие задачи на уроках математики в V-VIII классах / Т.Н. Миракова // Львов: Журнал "Квантор". - 1991.
Балк М.Б. О привитии школьникам навыков эвристического мышления / М.Б. Балк., Г.Д. Балк // Математика в школе, 1985.
Кучеров В. Геометрические аналогии / В. Кучеров // Квант, 1981. - №10. - С.44-46.
Методические рекомендации по проведению занятия
1. Организационный момент
Учитель приветствует учеников.
2. Постановка проблемной ситуации
Учитель предлагает ученикам рассмотреть задачу 1.
Задача 1. "Каждый равносторонний треугольник является также равноугольным". Сформулируйте аналогичное предложение для шестиугольника. Верно ли оно?
Поиск решения задачи 1.
Для поиска решения задачи предлагается использовать метод эвристического наблюдения.
Метод эвристического наблюдения.
Для применения метода эвристического наблюдения предлагается воспользоваться программой DG. Ученики с по помощью учителя строят в программе DG равносторонний треугольник, и смотрят, чему равны его углы (рис.1).
Рис.1
Ученики делают вывод, что данное предположение верно. Решение задачи.
Учитель предлагает сформулировать аналогичное предположение для шестиугольника.
Аналогичное предположение: каждый равносторонний шестиугольник является также равноугольным.
Это предположение ученики также проверяют с помощью программы DG (рис.2).
Рис.2
Ученики делают вывод, что сформулированное ими предположение неверно.
Ответ: Каждый равносторонний шестиугольник является также равноугольным (это предложение неверно).
3. Ознакомления с эвристикой "аналогия"
Эпиграф к занятию:
Вы спрашиваете, встречался ли я с аналогией
при изучении математики.
Конечно, встречался! И много раз!
Каждый раз, когда автору учебника
не хочется рассмотреть какой-либо случай,
он пишет: "Это легко сделать, рассуждая по
аналогии с предыдущим случаем".
Из высказываний школьника
"Аналогия" - греческое слово, в переводе оно означает "сходство".
Аналогия - это сходство между объектами в некотором отношении.
Прием поиска решения задачи при помощи аналогии
1. Подбираем задачу, аналогичную исходной, то есть такую, что у нее и у исходной задачи сходные условия и сходные заключения. Вспомогательная задача должна быть проще, или ее решение должно быть вам известно.
2. Решив вспомогательную задачу, проводим аналогичные рассуждения для решения исходной задачи.
4. Первичное усвоение нового материала
Учитель предлагает рассмотреть задачу 2, теорему 1 и теорему 2.
Задача 2. Зная стороны треугольника a, b, c вычислить радиус r1 вневписанной окружности, касающейся стороны а и продолжений сторон b и c.
Решение задачи
Сформулируем более простую или известную нам аналогичную задачу: зная стороны треугольника a, b, c вычислить радиус r описанной окружности.
Решение данной задачи можно осуществить построив такую таблицу
Таблица 2.2
Решение задачи по аналогии
Вспомогательная задачаИсходная задача
1. Соединим центр О вписанной окружности с вершиной треугольника АВС.1. Соединим центр О1 вневписанной окружности с вершинами треугольника АВС.2. 2. 3. Обозначим площадь треугольника АВС через S, тогда по формуле Герона
,
где .3. То же.4. , ,
.4. , ,
.5. Из 2) и 4) следует:
, откуда
, или .
Задача решена.5. Из 2) и 4) следует:
, откуда , или . Задача решена.
Далее рекомендуется рассмотреть пространственную аналогию.
Изучая геометрию, вы, наверное, заметили, что некоторые свойства треугольника и тетраэдра похожи, а многие геометрические понятия, связанные с треугольником, имеют пространственные аналоги. Например: сторона треугольника - грань тетраэдра, длина стороны - площадь грани, вписанная окружность - вписанная сфера, описанная окружность - описанная сфера, площадь - объем, биссектриса угла - биссектор двугранного угла и т.п.
Эта аналогия - не только внешняя. Многие теоремы о треугольниках, если заменить в их формулировках планиметрические термины соответствующими стереометрическими и соответствующим образом "подправить" формулировки, превращаются в теоремы о тетраэдрах. Рассмотрим несколько таких теорем.
На плоскости.
Теорема 1. Биссектриса CD внутреннего угла треугольника АВС делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные его сторонам AB и ВC.
Доказательство. Примем сначала за основание треугольников ADC и DBC (рис. 3) отрезки АС и ВС соответственно. Точка D равноудалена от сторон угла АСВ, поэтому . Теперь примем за основание этих же треугольников отрезки AD и BD. Ясно, что . Следовательно, .
В пространстве.
Теорема 2. Биссектор двугранного угла тетраэдра делит противолежащее ребро в отношении, равном отношению площадей граней, образующих этот двугранный угол.
Примечание. Напомним, что биссектором двугранного угла называется полуплоскость, делящая его на два равных по величине двугранных угла. Биссектор двугранного угла является множеством точек, равноудаленных от его граней. Докажем свойство биссектора двугранного угла тетраэдра, аналогичное свойству биссектрисы угла треугольника.
Доказательство. Пусть ADM - сечение тетраэдра ABCD биссектором двугранного угла с ребром AD (рис. 4). Объемы тетраэдров ACMD и ABMD обозначим через V1 и V2 соответственно.
Рис.3Рис.4 Так как точка М одинаково отдалена от граней ADC и ADB, . С другой стороны, . Поэтому , что и требовалось доказать. Попутно замечаем, что , что еще раз подчеркивает аналогичность теорем 1 и 2.
5. Примеры использования приёма "аналогия" в жизни
В жизни часто бывает, что мы оказываемся в ситуациях, в которых уже были мы или наши знакомые. Проведя аналогию между нынешней и предыдущей ситуациями, можно найти правильный выход из сложившийся ситуации.
6. Постановка домашнего задания
Дана теорема 3 о точки пересечения медиан треугольника, докажите её. Сформулируйте аналогичную теорему для тетраэдра и докажите её.
Теорема 3. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.
7. Подведение итогов занятия
Учитель задает ученикам следующие вопросы:
1. Что такое аналогия? (Аналогия - это сходство между объектами в некотором отношении).
2. Опишите прием поиска решения задачи при помощи аналогии
(1. Подбираем задачу, аналогичную исходной, то есть такую, что у нее и у исходной задачи сходные условия и сходные заключения. Вспомогательная задача должна быть проще, или ее решение должно быть вам известно.
2. Решив вспомогательную задачу, проводим аналогичные рассуждения для решения исходной задачи.)
8 Рефлексия
Учитель предлагает ученикам ознакомиться с рефлексивным журналом (Додаток А) и воспользоваться рефлексией к занятию№1.
Указания и решения домашнего задания к занятию№1
На плоскости
Теорема 3. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.
Доказательство. Пусть М1 - точка медианы AD треугольника АВС такая, что , а О - произвольная точка пространства (рис. 5). Тогда имеем и .
Поэтому .
Если М2 и М3 - точки, делящие медианы СЕ и BF в отношении 2:1, считая от вершины, то, аналогично, , . Таким образом и, следовательно, точки М1, М2 и М3 совпадают.
Теорема доказана.
В пространстве.
Теорема 4. Четыре медианы тетраэдра пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 3:1, считая от вершины.
Доказательство.
Пусть М1 - точка медианы СС1 тетраэдра ABCD такая, что (рис. 6). Пусть О - произвольная точка пространства. Имеем . Кроме того , так как С1 - центроид треугольника ABD. Поэтому .
Рис.5Рис.6 Точно такие выражения получим для точек М2, М3 и М4, делящих медианы тетраэдра АА1, ВВ1 и DD1 в отношении 3:1 соответственно. Следовательно, .
И поэтому точки М1, М2, М3 и М4 совпадают.
Отметим, что попутно получено известное соотношение: , где М - центроид (точка пересечения медиан) треугольника, а О - произвольная точка пространства.
Назовем медианой тетраэдра отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидром противолежащей грани.
План-конспект занятия №2 эвристического факультатива 11 класс
Тема занятия: "что такое индукция?".
Эвристическая цель: ознакомить учащихся с таким эвристическим приёмом как "индукция".
План занятия
1. Организационный момент.
2. Постановка проблемной ситуации.
3. Ознакомления с эвристикой "индукция".
4. Первичное усвоение нового материала.
5. Примеры использования приёма "индукция" в жизни.
6. Постановка домашнего задания.
7. Подведение итогов занятия.
8 Рефлексия.
Литература
Балк М.Б. Поиск решения: Научно-популярная лит-ра / М.Б. Балк, Г.Д. Балк. - М. : Дет. лит., 1983. - 143с.
Миракова Т.Н. Развивающие задачи на уроках математики в V-VIII классах / Т.Н. Миракова // Львов: Журнал "Квантор". - 1991.
Балк М.Б., Балк Г.Д. Математика после уроков, Пособие для учителей. - М. Просвещение, 1971. - 462с.
Методические рекомендации по проведению занятия
1. Организационный момент
Учитель приветствует учеников. И разбирает возникшие вопросы, по выполнению домашнего задания к занятию №1.
2. Постановка проблемной ситуации
Учитель предлагает ученикам рассмотреть задачу 1.
Задача 1. Найдите все значения m, при которых число делится на 15.
Поиск решения задачи 1.
Для поиска решения задачи предлагается использовать метод эвристического наблюдения.
Метод эвристического наблюдения.
Ученикам предлагается проверить делится ли число на 15 при m=0, m=1 и m=2. Учащийся увидят, что это выполняется. Затем предлагается доказать, что это число делиться на m=k, а затем на m=k+1.
Решение задачи.
Найдем несколько значений m, при которых данное число делится на 15.
При m=0 число делится на 15.
При m=1 число делится на 15.
При m=2 число делится на 15.
Отсюда можно предположить, что число делится на 15 при любом целом неотрицательном m. Докажем это.
Мы уже проверили справедливость этого утверждения при m=0. Докажем теперь, что из справедливости утверждения при m=k всегда следует его справедливость при m=k+1.
Так как по предположению делится на 15, то , р - целое неотрицательное число.
Отсюда , т. е. делится на 15.
Следовательно, число делится на 15 при целом неотрицательном m.
3. Ознакомления с эвристикой "индукция"
Эпиграф к занятию:
Методом индукции пользуются все науки,
в том числе и математика. Математической
же индукцией пользуются только в математи-
ке для доказательства теорем определенного
типа. Довольно неудачно, что их названия
связаны, так как между этими двумя мето-
дами почти нет логической связи.
Д. Пойа
Математической индукции - это метод доказательства уже готовых, заданных утверждений, а не получение этих утверждений.
Само слово "индукция" в переводе с латинского означает "наведение"; им обозначается прием перехода от частного к общему.
Индукция при поиске способа решения задачи.
Встретившись с трудной задачей, начинается поиск ее решения с вопроса: "В каком частном случае, при каких частных предположениях относительно данных умеем решить эту задачу?" После того как удалось нащупать такой частный случай, ставим перед собой уже новый вопрос: "Нельзя ли воспользоваться этим решением (или приобретенным нами опытом), чтобы решить задачу в каком-либо более общем (но, быть может, тоже еще частном) случае?"
4. Первичное усвоение нового материала
Учитель предлагает рассмотреть задачу 2 и задачу 3.
Задача 2. Доказать, что для любого натурального n справедливо следующее неравенство .
Решение задачи.
При справедливость равенства очевидна. Из предположения справедливости его при следует
Учитывая равенство , получаем , т.е. утверждение справедливо и при .
Задача 3. Докажите, что любые прямых, расположенных на одной плоскости, никакие две из которых не параллельны, и никакие три не пересекаются в одной точке, пересекаются ровно в точках.
Решение задачи
Предположим, что оно верно для прямых, то есть что любые прямых, никакие две из которых не параллельны, и никакие три не пересекаются в одной точке, пересекаются ровно в точках.
Попробуем доказать его для прямых. По предположению, 1-я, 2-я,..., -я прямая пересекаются в точках. Рассмотрим -ю прямую и одну из прямых, обозначим её из списка 1-я, 2-я,..., -я прямая. Зная, что любые две прямые, удовлетворяющие условиям задачи, пресекаются ровно в одной точке, а значит и прямые и пересекаются в одной точке. Вспомним, что обозначает любую прямую из списка 1-я, 2-я,..., -я. Отсюда -я прямая пересекается с каждой из этих прямых ровно в одной точке.
Рассмотрим список из прямых и их точек пересечения. Уберём прямую вместе с её точками пересечения. Останется прямых. количество точек пересечения у этих прямых равняется . Как было показано выше, количество точек пересечения, которое мы убрали вместе с прямой , равняется .
Следовательно, количество точек пересечения всех прямых есть . То есть для прямых утверждение доказано.
Ответ: утверждение верно для любого количества прямых.
5. Примеры использования приёма "индукция" в жизни
Если мы вспомним знаменитых сыщиков, описанных в детективной литературе (например, Дюпена, Шерлока Холмса, Пуаро), то обратим внимание на то, что они преуспевали в расследовании преступлений именно благодаря наблюдательности и аналитическим способностям (индукции и дедукции). С удивительной точностью и умением они отыскивали причины, побудившие человека к тому или иному преступлению, и с математической точностью делали соответствующие выводы; из незначительных следов, побочных обстоятельств делали остроумные выводы, восстанавливая картину преступления. Авгуры предсказывали конкретным военачальникам их личные победы или поражения, жрецы прорицали для конкретных правителей.
6. Постановка домашнего задания
1. Докажите, что если число делится на 9, то и число также делится на 9.
2. Доказать, что для любого натурального n справедливо равенство .
7. Подведение итогов занятия
Учитель задает ученикам следующие вопросы:
1. Что такое математическая индукция? (Математической индукции - это метод доказательства уже готовых, заданных утверждений, а не получение этих утверждений.)
2. Опишите метод использования индукции при поиске решения задач. (Встретившись с трудной задачей, начинается поиск ее решения с вопроса: "В каком частном случае, при каких частных предположениях относительно данных умеем решить эту задачу?" После того как удалось нащупать такой частный случай, ставим перед собой уже новый вопрос: "Нельзя ли воспользоваться этим решением (или приобретенным нами опытом), чтобы решить задачу в каком-либо более общем (но, быть может, тоже еще частном) случае?").
8 Рефлексия
Учитель предлагает ученикам воспользоваться рефлексией к занятию№2.
Указания и решения домашнего задания к занятию№2
1. Докажите, что если число делится на 9, то и число также делится на 9.
Решение. Для доказательства этого факта положим, что число , где , и воспользуемся подстановкой . Получим: ,
следовательно, рассматриваемое число делится на 9.
2. Доказать, что для любого натурального n справедливо неравенство .
Решение. При равенство справедливо. Предполагая справедливость равенства при , покажем справедливость его и при . Действительно, что и требовалось доказать.
План-конспект занятия №3 эвристического факультатива 11 класс
Тема занятия: "великая сила контрпримера".
Эвристическая цель: ознакомить учащихся с таким эвристическим приёмом как "котрпример".
План занятия
1. Организационный момент.
2. Рефлексия (часть 1).
3. Постановка проблемной ситуации.
4. Ознакомления с эвристикой "контрпример".
5. Рефлексия (часть 2).
6. Первичное усвоение нового материала.
7. Примеры использования приёма "контрпример" в жизни.
8. Постановка домашнего задания.
9. Подведение итогов занятия.
10 Рефлексия (часть3).
Литература
1. Балк М.Б. Поиск решения: Научно-популярная лит-ра / М.Б. Балк, Г.Д. Балк . - М. : Дет. лит., 1983. - 143с.
2. Купиллари А. Трудности доказательства. Как преодолеть страх перед математикой / А Купиллари //. Пер. с англ. С.А.Кулешов, 2002. - М.: Техносфера. - 303с.
Методические рекомендации по проведению занятия
1. Организационный момент
Учитель приветствует учеников. И разбирает возникшие вопросы, по выполнению домашнего задания к занятию №2.
2. Рефлексия (часть 1)
Учитель предлагает ученикам воспользоваться рефлексивным журналом, и ознакомиться с рефлексией к занятию №3. Далее ученики отмечают свое настроение в начале занятия.
3. Постановка проблемной ситуации
Учитель предлагает ученикам рассмотреть задачу 1.
Задача 1. На плоскости даны два равных многоугольника F и F'. Известно, что все вершины многоугольника F принадлежат F' (могут лежать внутри него или на границе). Верно ли, что все вершины этих многоугольников совпадают?
Поиск решения задачи 1.
Для поиска решения задачи предлагается использовать метод смыслового виденья..
Метод смыслового виденья.
Учитель предлагает учащимся попробовать построить такие многоугольники, у которых вершины совпадают, и такие, у которых вершины одного многоугольника лежат внутри или на границе другого.
Изображая такие многоугольники, учащийся найдут контрпример к условию данной задачи.
Решение задачи.
Контрпример: четырехугольники ABCD и DBKA на рисунке (треугольник ABD - равносторонний, а точки K и C симметричны относительно его высоты BB') (рис.7). Рис.7
4. Ознакомления с эвристикой "переформулировка задачи"
Эпиграф к занятию:
Убедившись, что теорема верна,
Мы начинаем её доказывать.
Из афоризмов Рассеянного Профессора
Контрпример - это пример, отвергающий верность некоторого утверждения.
5. Рефлексия (часть 2)
Ученики отмечают свое настроение в середине занятия.
6. Первичное усвоение нового материала
Учитель предлагает рассмотреть задачу 2, задачу 3 и задачу 4.
Задача 2. Если число является квадратом натурального числа, то сумма его различных делителей нечетна. Сформулируйте обратную теорему. Верна ли она?
Решение задачи.
Обратная теорема: "Если сумма делителей натурального числа нечетна, то это число является точным квадратом".
Это утверждение опровергается следующим примером. Сумма делителей числа 2 равна 1+2=3, т.е. нечетному числу. Число же 2 не является точным квадратом.
Ответ: обратная теорема неверна.
Задача 3. Является ли равенство тождеством, если: 1) - любое число; 2) ?
Ответ: 1).равенство не имеет места, например, при , а поэтому не является тождеством. 2). на заданном множестве равенство является тождеством.
Задача 4. сумма двух возрастающих функций является возрастающей функцией, и доказательство этого утверждения обычно проводят примерно следующим образом: "Если функции у=f(x) и у=g(x) возрастают, т.е. при любых а<b выполняются неравенства f(a)<f(b) и g(a)<g(b), а эти два неравенства можно сложить: f(a)+g(a)<f(b)+g(b), а это и означает, что функция у=f(x)+g(x) - возрастающая".
Все ли в этом доказательстве логически чисто?
Решение задачи.
Один пробел, можно сказать, бросается в глаза - конечно, о числах а и b надо было сказать, что оба они принадлежат областям определения обеих данных функций. А при этом добавлении в связи с этим доказательством вроде бы и не остается никаких проблем.
Но, задумавшись об области определения, следует задать себе вопрос, а что будет, если таких двух чисел а и b не существует, если их области определения не имеют общих точек или только одну общую точку?
Например, функция - возрастающая (рис.8) (напомним, что функцию называют просто возрастающей, если она возрастает на своей области определения), и точно так же возрастающей является функция (рис.9), но сумма этих функций - определена только в точке (рис.10), и считать эту функцию возрастающей нельзя.
Рис.8 Рис.9 Рис.10 7. Примеры использования приёма "контрпример" в жизни
Тем, кто утверждает, что яблоки не могут расти гроздьями можно, поставить в контр пример рябину. А тем, кто утверждает, что все ягоды помещаются на ладони можно поставить в контр пример арбуз.
8. Постановка домашнего задания
1. Можно ли заявить, что для любых вещественных чисел и справедливо равенство ?
2. Для любого положительного вещественного числа выполняется неравенство .
9. Подведение итогов занятия
Учитель задает ученикам следующие вопросы:
1. Что такое контрпример? (Контрпример - это пример, отвергающий верность некоторого утверждения.).
2. Для чего используется контрпример? (Для опровержения истинности некоторого утверждения).
10 Рефлексия (часть3)
Ученики отмечают свое настроение в конце занятия.
Указания и решения домашнего задания к занятию№3
1. Можно ли заявить, что для любых вещественных чисел и справедливо равенство ?
Решение.
В качестве доказательства такого "факта" предъявить конкретную пару чисел, удовлетворяющую этому соотношению. Действительно, если , то , .
Следовательно, равенство верно.
Более того, если одного примера не достаточно, можно предъявить и еще несколько: ; ; и т.д. Легко заметить, что одно из чисел в предъявленных парах всегда равно 0. Однако мы утверждали, что равенство справедливо для любой пары чисел. А что будет, если мы подставим в равенство ? , . В этом случае, очевидно, равенство не выполняется. Несмотря на большое количество примеров, которые, казалось бы, подтверждают равенство, мы нашли один, который ему противоречит, т.е. контрпример.
Ответ: нет.
2. Для любого положительного вещественного числа выполняется неравенство .
Решение. Попытаемся найти контрпример. Если , то и . В этом случае . Поэтому утверждение ложно.
Ответ: неверно.
План-конспект занятия №4 эвристического факультатива 11 класс
Тема занятия: "то же самое - но иначе...".
Эвристическая цель: ознакомить учащихся с таким эвристическим приёмом как "переформулировка задачи".
План занятия
1. Организационный момент.
2. Рефлексия (часть 1).
3. Постановка проблемной ситуации.
4. Ознакомления с эвристикой "переформулировка задачи".
5. Рефлексия (часть 2).
6. Первичное усвоение нового материала.
7. Примеры использования приёма "переформулировка задачи" в жизни.
8. Постановка домашнего задания.
9. Подведение итогов занятия.
10 Рефлексия (часть3).
Литература
1. Балк М.Б. О привитии школьникам навыков эвристического мышления / М.Б. Балк ., Г.Д. Балк О // Математика в школе, 1985. - №2. - С.55-60.
2. Балк М.Б. Поиск решения: Научно-популярная лит-ра / М.Б. Балк, Г.Д. Балк . - М. : Дет. лит., 1983. - 143с.
3. Виноградова Л.В. Методика преподавания математики в средней школе: учеб.пособие. / Л.В. Виноградова // Ростов н/Д.: Феникс. - 2005. - 252с.
4. Дорофеев Г.В. Переформулировка задачи / Г.В. Дорофеев // Квант. - 1974. - №1. - С.53-59.
5. Миракова Т.Н. Развивающие задачи на уроках математики в V-VIII классах / Т.Н. Миракова // Львов: Журнал "Квантор". - 1991.
6. Фридман М. Учитесь учиться математике // М. Фридман. - 1985. - С. 53-58.
Методические рекомендации по проведению занятия
1. Организационный момент
Учитель приветствует учеников. И разбирает возникшие вопросы, по выполнению домашнего задания к занятию №3.
2. Рефлексия (часть 1)
Учитель предлагает ученикам воспользоваться рефлексивным журналом, и ознакомиться с рефлексией к занятию №4. Далее ученики помещают в клетку "начало занятия" ту птицу, которая соответствует их настроению на данном этапе занятия.
3. Постановка проблемной ситуации
Учитель предлагает ученикам рассмотреть задачу 1.
Задача 1. Сколько корней имеет уравнение ?
Поиск решения задачи 1.
Для поиска решения задачи предлагается использовать метод вживания.
Метод вживания.
Нарисуйте числовую прямую. Представьте, что вы точка х=0 на координатной прямой. С одной стороны от вас на расстоянии 10 делений находится точка А, а с другой стороны, тоже на расстоянии 10 делений, находится точка В. Какое расстояние между точками А и В? ().Теперь перейдите на одно деление вправо. В какой точке вы окажетесь? (В точки х=1). И одновременно переместите точки А и В вправо. Какое расстояние теперь между точками А и В? ().Теперь вернитесь в точку х=0.
А если вы перейдёте не в право, а в лево, и не на одно деление, а на два. Какое расстояние будет между точками А и В? ().А теперь скажите, при сохранении расстояния 20 между точками А и В какой точкой вы можете быть? (Любой).
Решение задачи.
Пусть - х точка на числовой прямой. Тогда - расстояние от точки х до 10. - расстояние от точки х до -10. Поэтому данная задача равносильна следующей задаче: "Сколько существует на числовой прямой точек х, обладающих следующим свойством: сумма расстояний каждой такой точки х от концов отрезка равна 20 (т.е. длине этого отрезка)?"
Ответ: каждая точка х отрезка обладает этим свойством, так что таких точек бесконечно много.
4. Ознакомления с эвристикой "переформулировка задачи"
Эпиграф к занятию:
Сначала я совсем ничего не понял и начал
читать задачу во второй раз, потом в третий...
(потом) я переписал задачу по-своему, чтобы
она выглядела попроще, и вот что
получилось...
Н.Носов. Витя Малеев в школе и дома
Переформулировать задачу - значит заменить ее равносильной, но более простой задачей.
5. Рефлексия (часть 2)
Ученики помещают в клетку "середина занятия" ту птицу, которая соответствует их настроению на данном этапе занятия.
6. Первичное усвоение нового материала
Учитель предлагает рассмотреть задачу 2 и задачу 3.
Задача 2. Найти высоту и радиус основания прямого кругового конуса наибольшего объёма вписанного в шар радиуса R.
Решение задачи.
Пусть АВС - осевое сечение конуса, А - вершина, О1 - центр основания, О - центр шара радиуса R (рис.11).
Рис.11
Обозначим высоту конуса АО1 через х, а радиус основания О1В - через у. Если , то ; если же , то . В любом случае можно записать . По теореме Пифагора , т.е. , откуда и . Задача заключается в отыскании наибольшего значения функции на . Находим ; при и . Исследуя характер изменения знаков (рис.12), заключаем, достигает максимума в точке . При этом радиус основания конуса .
Рис.12
Ответ: ; .
Задача 3. Доказать, что уравнение при любых a, b, c имеет действительные корни.
Решение задачи.
Нетрудно представить, что "прямое" решение этой задачи - раскрыть скобки и доказать, что дискриминант полученного трехчлена положителен - связано с большими вычислительными трудностями, и мы воспользуемся тем фактом, что квадратный трехчлен (с положительным старшим коэффициентом) имеет действительные корни в том и только в том случае, когда хотя бы в одной точке он принимает отрицательное или нулевое значение. Естественно посмотреть его значение в точках a, b, c - тогда из трех слагаемых остается только одно.
Имеем ; знак полученного произведения зависит от взаимного расположения точек a, b, c на числовой оси, причем это произведение отрицательно, если с лежит между a и b. Но одно из этих трех чисел лежит между двумя другими, и мы получаем решение: пусть, для определенности, , тогда и следовательно, трехчлен принимает в точке b отрицательное или нулевое значение, а значит, имеет действительные корни.
7. Примеры использования приёма "переформулировка задачи" в жизни
Рассмотрим задачу, с которой сталкивается фактически каждый взрослый человек "Как накопить деньги?" Многочисленные семьи по всему миру, пытаясь решить эту задачу, совершают покупки на оптовых рынках, едят бутерброды и проводят субботние вечера дома.
Предположим, вы переформулировали задачу, и она стала звучать так: "Как мне стать богаче?" Дополнительные решения этой задачи теперь будут включать в себя поиски более высокооплачиваемой работы, переезд на квартиру подешевле, и т. д.
8. Постановка домашнего задания
1. Найдите высоту и радиус основания прямого кругового цилиндра наибольшего объема, вписанного в шар радиуса .
2. Найти все такие значения х, что 9. Подведение итогов занятия
Учитель задает ученикам следующие вопросы:
1. Что значит переформулировать задачу? (Переформулировать задачу - значит заменить ее равносильной, но более простой задачей.).
2. Для чего используется переформулировка задачи? (Для более легкого восприятия задачи).
10 Рефлексия (часть3)
Ученики помещают в клетку "конец занятия" ту птицу, которая соответствует их настроению на данном этапе занятия.
Указания и решения домашнего задания к занятию№4
1. Найдите высоту и радиус основания прямого кругового цилиндра наибольшего объема, вписанного в шар радиуса .
Решение. Пусть - осевое сечение цилиндра, - центр шара, - его диаметр, - радиус основания цилиндра, - его высота (рис.13). Рис.13
Тогда , где . Значит, , . Имеем ; при и . Из характера изменения знаков (рис.14) видно, что достигает максимума . Отсюда находим .
Рис.14
Ответ. .
2. Найти все такие значения х, что Употребленное в формулировке задачи выражение как известно, понимается в следующем смысле: при любом фиксированном означает меньшее из двух чисел и .
"Прямое" решение этой задачи требует рассмотрения двух случаев: и . В каждом из этих случаев нужно будет решить квадратное неравенство и отобрать его решение, удовлетворяющее условию и соответственно.
Между тем нетрудно сообразить, что минимум из двух выражений больше в том случае, когда оба эти выражения больше , и таким образом, условие задачи равносильно системе неравенств Решаем эту систему неравенств и получаем ответ.
Ответ: .
План-конспект занятия №5 эвристического факультатива 11 класс
Тема занятия: "идея вспомогательных неизвестных".
Эвристическая цель: ознакомить учащихся с таким эвристическим приёмом как "введение вспомогательной переменной".
План занятия
1. Организационный момент.
2. Рефлексия (часть 1).
3. Постановка проблемной ситуации.
4. Ознакомления с эвристикой "введение вспомогательной переменной".
5. Рефлексия (часть 2).
6. Первичное усвоение нового материала.
7. Примеры использования приёма "введение вспомогательной переменной" в жизни.
8. Постановка домашнего задания.
9. Подведение итогов занятия.
10 Рефлексия (часть3).
Литература
Балк М.Б. Поиск решения: Научно-популярная лит-ра / М.Б. Балк, Г.Д. Балк. - М. : Дет. лит., 1983. - 143с.
Миракова Т.Н. Развивающие задачи на уроках математики в V-VIII классах / Т.Н. Миракова // Львов: Журнал "Квантор". - 1991.
Мирошин Н.В. Математика: сборник задач с решениями для поступающих в вузы / Н.В. Мирошин, А.В. Баскаков, П.А. Михайлов, В.И. Мусатов, Д.С. Теляковский, В.Н. Цикунов // 2-е изд., испр. - М. : АСТ : Астрель, 2006.-829с.
Методические рекомендации по проведению занятия
1. Организационный момент
Учитель приветствует учеников. И разбирает возникшие вопросы, по выполнению домашнего задания к занятию №4.
2. Рефлексия (часть 1)
Учитель предлагает ученикам воспользоваться рефлексивным журналом, и ознакомиться с рефлексией к занятию №5. Далее ученики на рефлексивной карте отмечают координаты точек А и В.
3. Постановка проблемной ситуации
Учитель предлагает ученикам рассмотреть задачу 1.
Задача 1. Решите уравнение .
Поиск решения задачи 1.
Для поиска решения задачи предлагается использовать метод образного виденья. Метод образного виденья.
Посмотрите на данное уравнение. Чем похожи левая и правая части уравнения? Попробуйте перемножить подкоренные выражения в левой части уравнения (). Как мы видим, получилось выражение очень похоже на выражение в правой части уравнения. А если выражения в левой и правой части похожи, что можно попробовать сделать? (Заменить выражения какой-то переменной).
Решение задачи.
Введем новую переменную
Заметим, что при всех допустимых . Теперь имеем
.
Отсюда при (ОДЗ: ) получаем
Тогда правая часть исходного уравнения примет вид:
а само исходное уравнение примет вид
Раскладываем на множители левую часть последнего равенства, получаем:
Поскольку , единственным решением этого уравнения является значение . Таким образом исходное уравнение равносильно уравнению
решив которое, находим .
Ответ: .
4. Ознакомления с эвристикой "введение вспомогательной переменной"
Эпиграф к занятию:
Идея, примененная однажды, порождает
искусственный прием; примененная дважды,
она становится методом.
Г. Полиа, Г. Сеге.
Задачи и теоремы из анализа
Введение вспомогательных неизвестных - это эвристический прием, используемый для формоизменения текста задачи. Суть его заключается в следующем. Если в выражение, равенство или неравенство входят переменные или выражения с определенной областью значений, то можно заменить одну или несколько переменных (выражений) выражениями, имеющими ту же область значений.
В зависимости от того, как меняется число переменных в исходном выражении при таких подстановках, можно выделить три типа замены переменных: подстановки, ведущие к сокращению числа переменных; подстановки, сохраняющие число переменных; подстановки, увеличивающие число переменных.
5. Рефлексия (часть 2)
Ученики на рефлексивной карте отмечают координаты точки C.
6. Первичное усвоение нового материала
Учитель предлагает рассмотреть задачу 2 и задачу 3.
Задача 2. Решите уравнение .
Решение задачи.
Заменой уравнение сводится к виду
Решив его, получаем .
Отсюда .
Ответ: .
Задача 3. Решите систему уравнений Решение задачи.
Положим . Тогда .
Поэтому система перепишется в виде:
Последняя система не имеет решений, так как должно быть и Получаем или .
Отсюда или .
Ответ: .
7. Примеры использования приёма "введение вспомогательной переменной" в жизни
Вспомогательные вещества - это дополнительные вещества, необходимые для приготовления лекарственного препарата. Эти вещества могут в значительной степени влиять на фармакологическую активность лекарственных веществ: усиливать действие лекарственных веществ или снижать их активность, изменять характер действия под влиянием разных причин, а именно комплексообразования, молекулярных реакций, интерференции и др.
8. Постановка домашнего задания
1. Решите уравнение .
2. Решите систему уравнений .
9. Подведение итогов занятия
Учитель задает ученикам следующие вопросы:
1. Для чего используется такой эвристический приём, как введение вспомогательных неизвестных? (Для формоизменения текста задачи).
2. В чем заключается суть этого метода? (Суть его заключается в следующем: если в выражение, равенство или неравенство входят переменные или выражения с определенной областью значений, то можно заменить одну или несколько переменных (выражений) выражениями, имеющими ту же область значений). 3. Какие три типа замены переменных можно выделить? (Подстановки, ведущие к сокращению числа переменных; подстановки, сохраняющие число переменных; подстановки, увеличивающие число переменных).
10 Рефлексия (часть3)
Ученики на рефлексивной карте отмечают координаты точки D. И строят рефлексивную кривую.
Указания и решения домашнего задания к занятию№5
1. Решите уравнение .
Указание. Введением подстановки данное уравнение обращается в квадратное относительно .
2. Решите систему уравнений .
Решение. Положим . Тогда .
Теперь исходная система примет вид:
.
Решив второе уравнение, получаем ( - постороннее решение), а тогда .
Теперь находим переменные .
Ответ: .
План-конспект занятия №6 эвристического факультатива 11 класс
Тема занятия: "выражение одной переменной через другую".
Эвристическая цель: ознакомить учащихся с таким эвристическим приёмом как "выражение одной переменной через другую".
План занятия
1. Организационный момент.
2. Постановка проблемной ситуации.
3. Ознакомления с эвристикой "выражение одной переменной через другую".
4. Первичное усвоение нового материала.
5. Примеры использования приёма "выражение одной переменной через другую" в жизни.
6. Постановка домашнего задания.
7. Подведение итогов занятия.
8 Рефлексия.
Литература
Балк М.Б. Поиск решения: Научно-популярная лит-ра / М.Б. Балк, Г.Д. Балк. - М. : Дет. лит., 1983. - 143с.
Миракова Т.Н. Развивающие задачи на уроках математики в V-VIII классах / Т.Н. Миракова // Львов: Журнал "Квантор". - 1991.
Методические рекомендации по проведению занятия
1. Организационный момент
Учитель приветствует учеников. И разбирает возникшие вопросы, по выполнению домашнего задания к занятию №5.
2. Постановка проблемной ситуации
Учитель предлагает ученикам рассмотреть задачу 1.
Задача 1. Решите систему уравнений Поиск решения задачи 1.
Для поиска решения задачи предлагается использовать метод "Если бы...".
Метод "Если бы..."
А если бы у нас была ни система уравнений с двумя неизвестными, а одно уравнение с одной переменной, нам было бы легче его решать? (Да)
А как этого можно добиться? (Выразить одну переменную через другую).
Решение задачи.
Из второго уравнения имеем, что . Подставив это выражение в первое равенство, получим , откуда следует:
1) , т.е. , а тогда ;
2) не подходит;
3) , т.е. , а тогда .
Ответ: .
3. Ознакомления с эвристикой "выражение одной переменной через другую"
Эпиграф к занятию:
Предмет математики настолько серьезен,
что полезно не упускать случая делать его
немного занимательным.
Паскаль
Выражение одной переменной через другую - это эвристический прием решения многих алгебраических задач: решение диофантовых уравнений, нахождение наибольших и наименьших значений функции, решение уравнений с параметрами, решение систем уравнений, исследование функций и т. п.
Смысл приема заключается в том, что одно из неизвестных в заданном уравнении принимается в качестве параметра, а все последующие рассуждения проводятся относительно другого (других) неизвестного или параметра.
4. Первичное усвоение нового материала
Учитель предлагает рассмотреть задачу 2 и задачу 3.
Задача 2. Найти значение дроби , если , b>a>0.
Решение задачи.
По условию . Считая в этом уравнении a параметром, решим его как квадратное относительно b. Получим b1=2a, b2=0.5a. Однако, учитывая, что b>a>0, окончательно получаем, что b может быть равно только 2а. Следовательно, А=-10.
Ответ: А=-10.
Задача 3. Найти соотношение между a, b и c, если корни уравнения образуют геометрическую прогрессию.
Решение задачи.
Пусть и - корни данного уравнения. По теореме Виета имеем систему
Из этих уравнений нужно исключить и . Поскольку из первого уравнения следует , то второе имеет вид , т.е. , откуда .
Ответ: .
5. Примеры использования приёма "выражение одной переменной через другую" в жизни
Выражение себя через творческий потенциал и профессию.
6. Постановка домашнего задания
1. Решите систему уравнений 2. Решите уравнение:
7. Подведение итогов занятия
Учитель задает ученикам следующие вопросы:
1. Что такое выражение одной переменной через другую? (Выражение одной переменной через другую - это эвристический прием решения многих алгебраических задач: решение диофантовых уравнений, нахождение наибольших и наименьших значений функции, решение уравнений с параметрами, решение систем уравнений, исследование функций и т. п.).
2. В чем заключается смысл приема выражение одной переменной через другую? (Смысл приема заключается в том, что одно из неизвестных в заданном уравнении принимается в качестве параметра, а все последующие рассуждения проводятся относительно другого (других) неизвестного или параметра).
8 Рефлексия
Учитель предлагает ученикам воспользоваться рефлексией к занятию№6.
Указания и решения домашнего задания к занятию№6
Решите систему уравнений Ответ: 2. Решите уравнение:
Указание. Считая х параметром, решим данное уравнение как квадратное относительно а. Получим или . Это дает возможность заменить условие другим, равносильным данному: "При каких значениях х верно хотя бы одно из равенств: и ?". В такой формулировке задача решается просто.
План-конспект занятия №7 эвристического факультатива 11 класс
Тема занятия: "выделение целой части дроби".
Эвристическая цель: ознакомить учащихся с таким эвристическим приёмом как "выделение целой части дроби".
План занятия
1. Организационный момент.
2. Рефлексия (часть 1).
3. Постановка проблемной ситуации.
4. Ознакомления с эвристикой "выделение целой части дроби".
5. Рефлексия (часть 2).
6. Первичное усвоение нового материала.
7. Постановка домашнего задания.
8. Подведение итогов занятия.
9 Рефлексия (часть3).
Литература
1. Миракова Т.Н. Развивающие задачи на уроках математики в V-VIII классах / Т.Н. Миракова // Львов: Журнал "Квантор". - 1991.
Методические рекомендации по проведению занятия
1. Организационный момент
Учитель приветствует учеников. И разбирает возникшие вопросы, по выполнению домашнего задания к занятию №6.
2. Рефлексия (часть 1)
Учитель предлагает ученикам воспользоваться рефлексивным журналом, и ознакомиться с рефлексией к занятию №7. Далее ученики отмечают свое настроение в начале занятия на шкале настроения.
3. Постановка проблемной ситуации
Учитель предлагает ученикам рассмотреть задачу 1.
Задача 1. Найти остаток от деления многочлена на многочлен .
Решение задачи 1.
Запишем дробь . Степень числителя больше степени знаменателя, то есть, дробь неправильная. Выделим "целую часть" дробно рациональной функции, выполнив деление столбиком (уголком).(рис.15)
Рис.15
Продолжаем деление (рис.16).
Рис.16
Таким образом, остаток от деления многочленов равен, следовательно, Ответ: остаток от деления многочленов равен
4. Ознакомления с эвристикой "выделение целой части дроби"
Эпиграф к занятию:
Умения решать задачи - практическое
искусство, подобное плаванию или катанию
на лыжах, или игре на фортепиано: научиться
этому можно, лишь подражая избранным
образцам и постоянно тренируясь
Д. Пойа
Отысканию конкретных способов решения целого ряда задач, условия которых содержат дробно-рациональные выражения, помогает прием выделения целой части дроби.
5. Рефлексия (часть 2)
Ученики отмечают свое настроение в середине занятия на шкале настроения.
6. Первичное усвоение нового материала
Учитель предлагает ученикам решить задачу 2
Задача 2. Найти остаток от деления многочлена на многочлен .
Решение задачи. Решение данной задачи показано на рис.17
Рис.17
Ответ: 8. Постановка домашнего задания
1. Найти все целые c, при которых дробь принимала бы целые значения.
2. Найти остаток от деления многочлена на многочлен .
9. Подведение итогов занятия
Учитель задает ученикам следующий вопрос:
1. Для чего используется прием выделения целой части дроби? (Для отысканию конкретных способов решения целого ряда задач, условия которых содержат дробно-рациональные выражения).
10 Рефлексия (часть3)
Ученики отмечают свое настроение в конце занятия на шкале настроения.
Указания и решения домашнего задания к занятию№7
1. Найти все целые c, при которых дробь принимала бы целые значения.
Указание. Если выделить целую часть заданной дроби, то получим , и задача сводится к нахождению таких значений c, при которых число является делителем 16.
2. Найти остаток от деления многочлена на многочлен .
Решение. Решение показано на рис.18.
Рис.18
Ответ: -123.
План-конспект занятия №8 эвристического факультатива 11 класс
Тема занятия: "разбитие целого на части".
Эвристическая цель: ознакомить учащихся с таким эвристическим приёмом как "разбитие целого на части".
План занятия
1. Организационный момент.
2. Рефлексия (часть 1).
3. Постановка проблемной ситуации.
4. Ознакомления с эвристикой "разбитие целого на части".
5. Рефлексия (часть 2).
6. Первичное усвоение нового материала.
7. Примеры использования приёма "разбитие целого на части" в жизни.
8. Постановка домашнего задания.
9. Подведение итогов занятия.
10 Рефлексия (часть3).
Литература
1. Миракова Т.Н. Развивающие задачи на уроках математики в V-VIII классах / Т.Н. Миракова // Львов: Журнал "Квантор". - 1991.
Методические рекомендации по проведению занятия
1. Организационный момент
Учитель приветствует учеников. И разбирает возникшие вопросы, по выполнению домашнего задания к занятию №7.
2. Рефлексия (часть 1)
Учитель предлагает ученикам воспользоваться рефлексивным журналом, и ознакомиться с рефлексией к занятию №8. Далее ученики отмечают свое настроение в начале занятия.
3. Постановка проблемной ситуации
Учитель предлагает ученикам рассмотреть задачу 1.
Задача 1. Решите неравенство
Поиск решения задачи 1.
Для поиска решения задачи предлагается использовать метод гиперболизации.
Метод гиперболизации
Учитель предлагает ученикам рассмотреть отдельные слагаемые данного неравенства.
Решение задачи.
Если слагаемые в левой части неравенства записать так:
то задача будет иметь весьма простое решение.
4. Ознакомления с эвристикой "разбитие целого на части"
Эпиграф к занятию:
Доводы, до которых человек додумывается
сам, обычно убеждают его больше, нежели
те, которые пришли в голову другим
Разбиение "целого на части" - это достаточно универсальный эвристический прием, смысл которого заключается в том, чтобы найти такие "сопоставляющие" данного объекта (выражение, фигуры), рассмотрение которых облегчает решение.
5. Рефлексия (часть 2)
Ученики отмечают свое настроение в середине занятия.
6. Первичное усвоение нового материала
Учитель предлагает решить задачу 2.
Задача 2. Упростить выражение
Решение задачи.
Если каждое слагаемое записать так:
;
;
;
.
Тогда данное выражение можно записать следующим образом: Ответ: 7. Примеры использования приёма "разбитие целого на части" в жизни
Содержание в книге, оно упрощает нахождение нужной информации.
8. Постановка домашнего задания
1. Разложить на множители .
2. Доказать тождество
9. Подведение итогов занятия
Учитель задает ученикам следующий вопрос.
В чём заключается смысл приёма "разбитие целого на части"?
(Разбиение "целого на части" - это достаточно универсальный эвристический прием, смысл которого заключается в том, чтобы найти такие "сопоставляющие" данного объекта (выражение, фигуры), рассмотрение которых облегчает решение).
10 Рефлексия (часть3)
Ученики отмечают свое настроение в конце занятия.
Указания и решения домашнего задания к занятию№8
1. Разложить на множители .
Решение. Если в данном многочлене слагаемые и заменить соответственно на их суммы и , то тогда легко усматривается возможность представления его в виде произведения .
План-конспект занятия №9 эвристического факультатива 11 класс
Тема занятия: "реконструкция целого по части".
Эвристическая цель: ознакомить учащихся с таким эвристическим приёмом как "реконструкция целого по части".
План занятия
1. Организационный момент.
2. Постановка проблемной ситуации.
3. Ознакомления с эвристикой "реконструкция целого по части".
4. Первичное усвоение нового материала.
5. Примеры использования приёма "реконструкция целого по части я" в жизни.
6. Постановка домашнего задания.
7. Подведение итогов занятия.
8 Рефлексия.
Литература
Миракова Т.Н. Развивающие задачи на уроках математики в V-VIII классах / Т.Н. Миракова // Львов: Журнал "Квантор". - 1991.
Методические рекомендации по проведению занятия
1. Организационный момент
Учитель приветствует учеников. И разбирает возникшие вопросы, по выполнению домашнего задания к занятию №8.
2. Постановка проблемной ситуации
Учитель предлагает ученикам рассмотреть задачу 1.
Задача 1 Доказать, что произведение меньше 0,01.
Поиск решения задачи 1.
Для поиска решения задачи предлагается использовать метод образной картины.
Метод образной картины
Посмотрите на данное в условии задачи произведение. Как вы думаете чем его можно дополнить, что бы получилось число меньше чем число 0,01?
Решение задачи.
Заметив, что данное произведение может быть дополнено до 0,0001 умножением на , где каждый множитель первого произведения меньше соответствующего ему множителя из второго произведения, мы приходим к выводу, что квадрат данного произведения будет меньше 0,0001. А это значит, что само произведение будет меньше 0,01.
3. Ознакомления с эвристикой "реконструкция целого по части"
Эпиграф к занятию:
Математика представляет собой собрание
выводов, которые могут быть применены
к чему угодно. Бертран Рассел
Реконструкция целого по части - это эвристический приём, который используется для восстановления того или иного выражения по какой-либо его части, если это выражение совпадает с требуемым или ранее изученным. В алгебраических задачах этот прием чаще всего принимает вид "дополнения до полного квадрата (куба)", однако существуют и другие формы его применения.
4. Первичное усвоение нового материала
Учитель предлагает ученикам решить задачу 2.
Задача 2. Доказать, что при любом значении переменной значение выражения - положительное число.
Решение задачи.
Выделим квадрат двучлена из квадратного трехчлена:
. Первое слагаемое, представляющее собой квадрат разности двух выражений, принимает положительные значения при любом действительном значении . Сумма двух положительных чисел есть положительное. Что и требовалось доказать.
5. Примеры использования приёма "реконструкция целого по части я" в жизни
Собирание пазлов.
Пазл - игра-головоломка, в которой требуется составить мозаику из множества фрагментов рисунка различной формы.
6. Постановка домашнего задания
1. Доказать, что при любых х и у, при которых выражение принимает наименьшее значение.
2. Решить уравнение .
3. Доказать неравенство .
7. Подведение итогов занятия
Учитель задает ученикам следующие вопросы.
1. Для чего используется такой эвристический приём как реконструкция целого по части? (Реконструкция целого по части - это эвристический приём, который используется для восстановления того или иного выражения по какой-либо его части, если это выражение совпадает с требуемым или ранее изученным. В алгебраических задачах этот прием чаще всего принимает вид "дополнения до полного квадрата (куба)", однако существуют и другие формы его применения).
8 Рефлексия
Учитель предлагает ученикам воспользоваться рефлексией к занятию№9.
Указания и решения домашнего задания к занятию№9
3. Доказать неравенство .
Указание. Выделив полный квадрат двучлена и приведя подобные, получим неравенство , равносильное исходному. Справедливость этого неравенства легко устанавливается.
План-конспект занятия №10 эвристического факультатива 11 класс
Тема занятия: "Инверсия. Правило "крайнего"".
Эвристическая цель: ознакомить учащихся с таким эвристическим приёмом как "Инверсия. Правило "крайнего".
План занятия
1. Организационный момент.
2. Постановка проблемной ситуации.
3. Ознакомления с эвристикой "Инверсия. Правило "крайнего".
4. Первичное усвоение нового материала.
5. Примеры использования приёма "Инверсия. Правило "крайнего" в жизни.
6. Постановка домашнего задания.
7. Подведение итогов занятия.
8 Рефлексия.
Литература
Миракова Т.Н. Развивающие задачи на уроках математики в V-VIII классах / Т.Н. Миракова // Львов: Журнал "Квантор". - 1991.
Методические рекомендации по проведению занятия
1. Организационный момент
Учитель приветствует учеников. И разбирает возникшие вопросы, по выполнению домашнего задания к занятию №9.
2. Постановка проблемной ситуации
Учитель предлагает ученикам рассмотреть задачу 1.
Задача 1 Вычислить сумму .
Поиск решения задачи 1.
Для поиска решения задачи предлагается использовать метод аглютинации.
Метод аглютинации
Учитель предлагает ученикам перегруппировать члены данного выражения, и посмотреть, какая группировка будет наиболее подходящей для решения данной задачи.
Решение задачи.
Используем группировку членов данного выражения, получим Ответ: 5151.
3. Ознакомления с эвристикой "Инверсия. Правило "крайнего"
Эпиграф к занятию:
Легкость математики основана на
возможности чисто логического ее
построения, трудность, отпугивающая
многих - на невозможности иного изложения
Хуго Штейнгаус Под инверсией понимается перестановка или расположение членов выражения в особом порядке, нарушающем заданный так называемый прямой порядок, с целью получения нового выражения, тождественно равного данному и более удобного для выполнения последующих преобразований. Этот прием лежит в основе различного рода группировок, используемых для разложения многочленов на множители, вычисления значений числовых выражений, доказательства неравенств и т.д
4. Первичное усвоение нового материала
Учитель предлагает ученикам решить задачу 2 и задачу 3.
Задача 2. Докажите, что у многогранника есть две грани с одинаковым количеством сторон.
Решение. Рассмотрим грань с наибольшим количеством сторон. Обозначим её G, число её сторон n. Если в многогранники есть еще одна грань с количеством сторон n, то утверждение доказано. Если же такой грани больше нет, то у граней, которые прилегают к G, количество сторон содержится между 3 и (n-1), всего (n-3) возможности. Так ка число возможностей меньше n, то некоторая возможность повторится, то есть среди граней прилежащих к гране G, найдётся две грани с одинаковым количеством сторон.
Задача 3. Найти значение выражения:
, при х=0,61.
Решение задачи.
Если данный многочлен преобразовать следующим образом
то процесс вычисления его значения при х=0,61 можно провести уже устно.
5. Примеры использования приёма "Инверсия. Правило "крайнего" в жизни
Температурная инверсия - повышение температуры воздуха с высотой в некотором слое атмосферы, вместо обычного её убывания. Встречается в приземном слое воздуха и в этих случаях называется приземная Тепловая инверсия, а также в свободной атмосфере.
6. Постановка домашнего задания
1. На шахматной доске расположены числа, каждое из которых равняется среднему арифметическому своих соседей (по вертикали и горизонтали). Докажите, что все числа равны.
2. Доказать неравенство: .
7. Подведение итогов занятия
Учитель задает ученикам следующий вопрос.
1. Что понимают под инверсией? (Под инверсией понимается перестановка или расположение членов выражения в особом порядке, нарушающем заданный так называемый прямой порядок, с целью получения нового выражения, тождественно равного данному и более удобного для выполнения последующих преобразований. Этот прием лежит в основе различного рода группировок, используемых для разложения многочленов на множители, вычисления значений числовых выражений, доказательства неравенств и т.д).
8 Рефлексия
Учитель предлагает ученикам воспользоваться рефлексией к занятию№10.
Указания и решения домашнего задания к занятию№10
2. Доказать неравенство: .
Решение. В зависимости от значений, которые может принимать переменная х, рассмотрим три случая:
1) если , то очевидно, что данное неравенство справедливо, так как первые четыре слагаемые в его левой части неотрицательные.
2) если , то для удобства рассуждений преобразуем многочлен к виду . Здесь все слагаемые положительны, следовательно, и многочлен больше нуля.
3) если , запишем многочлен в виде . Здесь первые два слагаемые неотрицательны, следовательно, и в этом случае .
План-конспект занятия №11 эвристического факультатива 11 класс
Тема занятия: "использование барицентрических соображений".
Эвристическая цель: ознакомить учащихся с таким эвристическим приёмом как "использование барицентрических соображений".
План занятия
1. Организационный момент.
2. Рефлексия (часть 1).
3. Постановка проблемной ситуации.
4. Ознакомления с эвристикой "использование барицентрических соображений".
5. Первичное усвоение нового материала.
6. Постановка домашнего задания.
7. Подведение итогов занятия.
8 Рефлексия (часть 2).
Литература
Атанасян Л. С., Геометрия, 10 - 11 / Л.С. Анасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. // М.: Просвещение, 2008. - 255 с.
Балк М. Б., Геометрия масс. / М.Б. Балк В.Г. Болтянский // М.: Наука,1987. - 160 с.
Методические рекомендации по проведению занятия
1. Организационный момент
Учитель приветствует учеников. И разбирает возникшие вопросы, по выполнению домашнего задания к занятию №10.
2. Рефлексия (часть 1)
Учитель предлагает ученикам воспользоваться рефлексией к занятию№11
3. Постановка проблемной ситуации
Учитель предлагает ученикам рассмотреть задачу 1.
Задача 1 ABCD - трапеция (рис.19). Найти центр масс.
Рис.19
Решение задачи.
(OM) ⃗ = ( 1(MA) ⃗ + 1(MB) ⃗)/2 ; (ON) ⃗ = ( 1(NC) ⃗ + 1(ND) ⃗)/2
(OZ) ⃗ = (2(OM) ⃗ +2(ON) ⃗ )/2
(OK) ⃗ = ( 1(KB) ⃗ + 1(KC) ⃗)/2 ; (OL) ⃗ = ( 1(LA) ⃗ + 1(LD) ⃗)/2
(OZ) ⃗ = (2(OK) ⃗ +2(OL) ⃗ )/2
4. Ознакомления с эвристикой "использование барицентрических соображений"
Эпиграф к занятию:
Искусство решать геометрические задачи
чем-то напоминает трюки иллюзионистов -
иногда, даже зная решение задачи, трудно
понять, как можно было до него додуматься.
И. Д. Новиков
Чтобы получить физическую картину понятия центра масс, рассмотрим два небольших шарика с массой m1 и m2, соединенных жестким "невесомым стержнем". На этом стрежне имеется такая замечательная точка О, что если подвесить всю систему в этой точке, то она будет в равновесии. Эта точка О и есть центр масс или барицентр двух рассматриваемых материальных точек с массами m1 и m2. Та же картина наблюдается и для большего числа материальных точек. При применении этого понятия к решению задач используются следующие свойства центра масс.
1)Всякая система, состоящая из конечного числа материальных точек, имеет центр масс и притом единственный.
2)Центр масс двух материальных точек расположен на отрезке, соединяющем эти точки; его положение определяется правилом архимедова рычага: произведение массы материальной точки на расстояние от нее до центра масс одинаково для обеих точек, т.е. m1d1=m2d¬2, где m1 и m2 - массы материальных точек, а d1, d¬2 - соответствующие плечи.
3)Если в системе, состоящей из конечного числа материальных точек, отметить несколько материальных точек и массы всех отмеченных точек перенести в их центр масс, то от этого положение центра масс всей системы не изменится.
5. Первичное усвоение нового материала
Учитель предлагает ученикам рассмотреть задачу 2.
Задача 2. На сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС взяты точки С', A', B' соответственно. Докажите, что прямые CC', AA', BB' (рис.20) пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда AC'/C'B*BA'/A'C*CB'/B'A = 1. (Теорема Чевы).
Рис.20
Решение задачи.
Пусть прямые AA' и CC' пересекаются в т. О; AC':C'B=p; BA':A'C=q. Доказать, что прямая BB' проходит через т.О тогда и только тогда, когда CB':B'A=1:pq.
Доказательство.
Поместим в точки А, В и С массы 1, p,pq соответственно.
Т. С' - центр масс точек А и В,
Т. A' - центр масс точек В и С.
Прямая CC' пересекает прямую AA' в т. О ⇒ т. О - центр масс точек А, В, С;
Т. О лежит на отрезке, соединяющем т.В и центр масс точек А и С. Если B' - центр масс точек А и С с массами 1 и pq, то AB':B'C=pq:1. На отрезке АС существует единственная тоска B', делящая его в данном отношении AB':B'C.
6. Постановка домашнего задания
1. Площадь параллелограмма ABCD равна 1 м2. Точка М делит сторону ВС в отношении 3:5 (считая от т. В). Прямые АМ и DB пересекаются в точке P. Вычислите площадь четырехугольника CMPD.
7. Подведение итогов занятия
Учитель задает ученикам следующий вопрос
Опишите физическую картину понятия центра масс.
(Чтобы получить физическую картину понятия центра масс, рассмотрим два небольших шарика с массой m1 и m2, соединенных жестким "невесомым стержнем". На этом стрежне имеется такая замечательная точка О, что если подвесить всю систему в этой точке, то она будет в равновесии. Эта точка О и есть центр масс или барицентр двух рассматриваемых материальных точек с массами m1 и m2. Та же картина наблюдается и для большего числа материальных точек. При применении этого понятия к решению задач используются следующие свойства центра масс.
1)Всякая система, состоящая из конечного числа материальных точек, имеет центр масс и притом единственный.
2)Центр масс двух материальных точек расположен на отрезке, соединяющем эти точки; его положение определяется правилом архимедова рычага: произведение массы материальной точки на расстояние от нее до центра масс одинаково для обеих точек, т.е. m1d1=m2d¬2, где m1 и m2 - массы материальных точек, а d1, d¬2 - соответствующие плечи.
3)Если в системе, состоящей из конечного числа материальных точек, отметить несколько материальных точек и массы всех отмеченных точек перенести в их центр масс, то от этого положение центра масс всей системы не изменится).
8 Рефлексия (часть 2).
Ученики используют рефлексию к занятию №11.
Указания и решения домашнего задания к занятию№10
1. Площадь параллелограмма ABCD равна 1 м2. Точка М делит сторону ВС в отношении 3:5 (считая от т. В). Прямые АМ и DB пересекаются в точке P. Вычислите площадь четырехугольника CMPD.
Решение. Нарисуем к задаче рисунок (рис.21).
Рис.21
△BPM ∼ △DPA ⇒ h1:h2 = AP: PM
AP:PM = 8:3; h2 = 3/11h;
S_(△ABD) = 1/2 м2; S_(△ABD) = 1/2AD*h
S_(△BMP) = 1/2*3/8AD*3/11h = 9/88*1/2AD*h = 9/176 м2;
S_PMCD = 1 - 1/2 - 9/176 = 79/176 м2.
План-конспект занятия №12 эвристического факультатива 11 класс
Тема занятия: "использование эвристик при решении задач".
Эвристическая цель: закрепить умение учащихся использовать эвристики при решении различных задач.
План занятия
1. Организационный момент.
2. Решение задач.
3. Подведение итогов занятия.
4 Рефлексия.
Методические рекомендации по проведению занятия
1. Организационный момент
Учитель приветствует учеников. И разбирает возникшие вопросы, по выполнению домашнего задания к занятию №11.
2. Решение задач
Учитель предлагает ученикам решить следующие задачи
Задача.1 На сторонах LK и LM треугольника KLM взяты такие точки А и В, что LA=3AK, LB=4BM. Пусть точка С - точка пересечения прямых AM и KB, S и s - площади треугольников KLM и KMC. Вычислите S:s.
Решение. Построим в DG рисунок к данной задачи (рис.22).
Рис.22
h1:h2 = KC: KB; h2 = 1/5h
S = 1/2KM*h ; s = 1/2KM*h1 ⇒ S/s = h/h1
B = (4M+1L)/5 ; A = (3K+1L)/4 ; C = (3K+5B)/8
C = (4A+4M)/2 ⇒ C=Z
h1:h2 = KC:KB ; h1:h2 = 5:8
5h2 = 8h1; h1 = 5h2/8 = 1/8h
S:s = 8:1.
Задача 2. Доказать, что сумма расстояний от любой точки М, лежащей внутри или на контуре правильного треугольника АВС, до его сторон есть величина постоянная, не зависящая от положения этой точки .
Решение задачи.
Способ решения этой задачи легко найти, если последовательно рассмотреть такие случаи: а) М - вершина треугольника, тогда ясно, что сумма его расстояний от сторон треугольника равна его высоте; б) точка М - на стороне треугольника (скажем М - на ВС). Этот случай сводится к предыдущему, если через М провести прямую MN||AC положить , тогда М вершина правильного треугольника ;
в) (общий случай) М - произвольная точка из треугольника АВС, этот случай сводится к случаю б), если провести прямую MN||AC, рассмотреть точки , и треугольник.
Стоит обратить внимание на то, что при решении этой задачи мы вначале (в случаях а и б) выбирали точку М на контуре треугольника. Это не случайно.
Задача 3. Если первый автомобиль сделает 4 рейса, а второй 3 рейса, то они перевезут вместе больше 33 т груза. Какой автомобиль имеет большую грузоподъемность? Решение задачи.
Обозначим через х и у грузоподъемности соответственно первого и второго автомобилей. Тогда задачу можно заменить другой, равносильной данной: "Какое из двух положительных чисел х и у больше, если имеет место система неравенств:
Умножая первое неравенство на 11, второе на 7, затем вычитая из первого неравенства второе, получим , откуда .
Ответ: 3. Подведение итогов занятия
Учитель задает ученикам следующие вопросы:
1. Что нового вы узнали на протяжении изучения эвристического факультатива по математики?
2. Что вам пригодится в дальнейшем из того, что вы освоили.
3. Какой из изученных методов вы считаете наиболее полезным.
4. Что вам понравилось или не понравилось на занятиях эвристического факультатива?
4 Рефлексия
Учитель предлагает ученикам воспользоваться рефлексией к занятию№10. ВИСНОВКИ
Основне завдання позаурочних занять з математики полягає в тому, щоб, ураховуючи інтереси й здібності учнів, розширити й поглибити вивчення програмового матеріалу, ознайомити школярів із деякими загальними математичними ідеями, показати застосування математики в практичній діяльності [3].
Нами був розроблений евристичний факультатив з математики для учнів 11 класу. Була створена програма евристичного факультативу, у якій описані основні принципи, які використовуються при проведенні даного факультативу, описаний навчально-тематичний план, який розрахований на 12 годин, та розроблені плани-конспекти занять факультативу. Також розроблена рефлексивна карта для проведення рефлексії на кожному з 12 занять, за допомогою якої учні зможуть оцінити свій стан та настрій протягом факультативних занять, а також усвідомити свою індивідуальність та унікальність.
Таким чином розроблений нами евристичний факультатив буде сприяти розвитку творчості учнів та їх професійному спрямуванню.
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
Миракова Т.Н. Развивающие задачи на уроках математики в V-VIII классах: пособие для учителя / Т.Н. Миракова. - Львов : "Квантор", 1991. - 96с.
Гончарова И. Эвристики в геометрии: факультативный курс для учащихся 7 класса: Учебно - методическое пособие / Гончарова И, Скафа Е. - Донецк : Фирма ТЕАН, 2003. - 132с.
Гончарова І.В. Методика формування евристичних умінь учнів основної школи на факультативних заняттях з математики: дис. ... канд. пед. наук: 13.00.02 / Гончарова Ірина Володимирівна. - Черкаси, 2009. - 274с.
Андреев В.И. Эвристика для творческого саморазвития / В.И. Андреев.- Казань, 1994. - 247с.
Андреев В.И. Эвристическое программирование учебно-исследовательской деятельности / В.И. Андреев.- М. : Высшая шк., 1981. - 240с.
Артемов А.К. Об эвристических приемах при обучении геометрии / А. К. Артемов // Математика в школе. - 1973. - №6. - С.25-29.
Балк Б.М. О привитии школьникам навыков эвристического мышления / Б.М. Балк, Г.Д. Балк // Математика в школе. - 1985. - №2. - С.55-60.
Бурда М.І. Методичні основи диференційованого формування геометричних умінь учнів основної школи: дис. .. д-ра пед. наук: 13.00.02 / Бурда Михайло Іванович. - К., 1994. - 347с.
Власенко К.В. Формування прийомів евристичної діяльності учнів на уроках геометрії в класах з поглибленим вивченням математики: дис. канд. пед. наук: 13.00.02 / Власенко Катерина Володимирівна. - К., 2003. - 285с.
Горчакова І.А. Система математичних задач як засіб формування евристичної діяльності учнів основної школи: дис. ... канд. пед. наук: 13.00.02 / Горчакова Ірина Анатоліївна. - К., 2002. - 226с.
Скафа Е.И. Теоретико-методические основы формирования приемовэвристической деятельности при изучении математики в условиях внедрения современных технологий обучения: дис. ... д-ра.пед. наук: 13.00.02 / Скафа Елена Ивановна. - К., 2004. - 479с.
Слєпкань З.І. Формування творчої особистості учня в процесі навчання математики / З.І. Слєпкань // Математика в школі. - 2003. - №1. - С.6-9.
Тарасенкова Н.А. Використання знаково-символічних засобів у навчанні математики: Монографія / Н.А. Тарасенкова. - Черкаси: Відлуння-Плюс, 2002. - 400с.
Бондырева Е.Ю. Формирование эвристических умений мнемоэйдетическими методами в условиях технического вуза: автореф. дис. На соискание уч. степени канд. пед. наук: спец. 13.00.01 "Теория и историяпедагогики" / Е.Ю. Бондырева. - Казань, 2001. - 18с.
Власенко К.В. Формування прийомів евристичної діяльності учнів на уроках геометрії в класах з поглибленим вивченням математики: дис. ... канд. пед.наук: 13.00.02 / Власенко Катерина Володимирівна. - К., 2003. - 285с.
Гончарова И.В. Индивидуальный поход к развитию творческой личности школьника через систему коррекционных эвристических упражнений / И.В. Гончарова, О.Л. Кокотов // Дидактика математики: проблеми і дослідження: міжнар. зб. наук. робіт. - Донецьк: Фірма ТЕАН. - 2004. - Вип.22. - С. 106-111.
Максимова Т.С. Методика формування професійно-орієнтованої евристичної діяльності студентів вищих технічних навчальних закладів на практичних заняттях з вищої математики: дис. ... канд. пед. наук: 13.00.02 / Максимова Тетяна Сергіївна. - К., 2006. - 285с.
Скафа Е.И. Теоретико-методические основы формирования приемов эвристической деятельности при изучении математики в условиях внедрения современных технологий обучения: дис. ... д-ра.пед. наук: 13.00.02 / Скафа Елена Ивановна. - К., 2004. - 479с.
Гусев В.А. Методические основы дифференцированного обученияматематике в средней школе: автореф. дис. на соискание уч. степени д-ра пед.наук: 13.00.02 "Методика преподавания математики" / В.А. Гусев. - М., 1990. -39с.
Дедух В.О. Політехнічна освіта школярів на факультативних заняттях у8-9 класах: автореф. дис. на здобуття наук. ступеня канд. пед. наук: спец. 13.00.01"Теорія та історія педагогіки" / В.О. Дедух - К., 1994. - 19с.
Эпштейн Д.А. Дифференциация образования в средней школе и подготовка учителей к проведению факультативных занятий / Д.А. Эпштейн // Сов. педагогика. - 1983. - №9. - С.78-82.
Кизенко В.І. Проблема факультативного навчання в 5-6 класах загальноосвітньої школи: автореф. дис. на здобуття наук. ступеня канд. пед. наук:спец. 13.00.01 "Теорія та історія педагогіки" / В.І. Кизенко - К., 1995. - 19с.
Крюкова Н.Н. Возможности факультативных курсов по реализацииразвивающей функции обучения / Н. Н. Крюкова // Новые исследования впедагогических науках. - М., 1991. - №1(57). - С.33-38.
Новиков С.М. Пути совершенствования факультативных занятий / С.М. Новиков, Д.М. Комский // Сов. педагогика. - 1977. - №3. - С.28-34.
Ревякина В.И. Развитие системы факультативных занятий как средство выявления и формирования познавательных склонностей учащихся общеобразовательной школы (1966-1986): автореф. дис. на соискание уч. степени канд. пед. наук: спец. 13.00.02 / В.И. Ревякина. - М., 1989. - 19с.
Топузов О.М. Коригуючі факультативи в основній школі : дис. ... канд. пед. наук: 13.00.02 / О.М. Топузов. - К., 1994. - 182с.
Тувике К.Р. Становление системы факультативных занятий в общеобразовательной школе (на основе опыта ЭССР ): автореф. дис. на соискание уч. степени канд. пед. наук: 13.00.01 "Теория и история педагогики" / К.Р. Тувике. - Тарту, 1984. - 19с.
Боровик В.Н. Из опыта организации факультативных занятий по математике / В.Н. Боровик, Л.Н. Вивальнюк // Воспитание школьников в процессе обучения математике: из опыта работы [сост. Л.Ф. Пичурин]. - М. : Просвещение, 1981. - С.112-120.
Вывальнюк Л.Н. Математика: пособие для факультативных занятий в 9 кл. / Л.Н Вывальнюк, 3.Г Шефтель, Э.В Рафаловский - К. : Рад. шк., 1984. - 136с.
Березин В.Н. Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике: кн. для учителя / В.Н Березин, Л.Б. Березина, И.Л. Никольская - М. : Просвещение, 1985. - 175с.
Слєпкань 3.І. Методика навчання математики: підручник / 3.І. Слєпкань. -2-ге вид., допов. і переробл. - К. : Вища шк., 2006. - 582с.
Балк Б.М. О привитии школьникам навыков эвристического мышления / Б.М. Балк, Г.Д. Балк // Математика в школе. - 1985. - №2. - С.55-60.
Хуторской А.В. Развитие одаренности школьников: Методика продуктивного обучения: пособие для учителя / А.В. Хуторской. - М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2000. - 320с.
Глазиріна В.М. Педагогіка сучасної школи: Навч. посібник для студентів педагогічних ВНЗ / В.М. Глазиріна. - Горлівка-Донецьк, 2006. - 220с.
Додаток А
Рефлексивная карта
Додаток А.1
Рефлексивный журнал
Додаток А.2
Пояснительная записка
"Рефлексивная карта" предназначена для проведения рефлексии для учащихся 11 класса на эвристическом факультативе по математике. Рефлексия проводится в течении двенадцати занятий. Карта состоит из трёх частей. Первая часть включает в себя рефлексию для 1-5 занятий (рис.А.1), вторая - для 6-9 (рис.А.2), а третья - для 10-12(рис. А.3).
Рис.А.1Рис.А.2Рис.А.3 Далее дано подробное описание рефлексии к каждому занятию.
Додаток А.3
Описание проведения рефлексий на занятиях
Занятие №1
Рефлексивная визитка
Заполните визитку.
ФИОКлассО себеМои ожидания от эвристического факультативаЧто понравилось на занятииЧто не понравилось на занятии
Занятие №2
Смайлик настроения
Дорисуйте смайлик изображенный на карте как показано на рис.А.4.
Рис.А.4
Занятие №3
Рефлексивная диаграмма
Горизонтальная ось разбита на "три этапа занятия", а на вертикальной - отмечено настроение от 1 до 10.
Оцените свое настроение в начале занятия, середине и в конце. После чего постройте диаграмму как показано на рис.А.5.
Рис.А.5
Занятие №4
Птицы настроения
Поместите в клетку ту птицу, которая соответствует вашему состоянию на данном этапе занятия. Пример рис.А.6
Всё понятно Не до конца понятно Непонятно
Рис.А.6
Занятие №5
Рефлексивная кривая
Горизонтальная ось разбита на "три этапа занятия", а на вертикальной отмечено настроение от -10 до 10 рис.А.7.
Отметьте свое настроение четырьмя точками с координатами A(0;0), B(начало занятия; настроение), C(середина занятия; настроение), D(конец занятия; настроение). Координаты настроения выберите сами от -10 до 10. Затем постройте рефлексивную кривую, соединив все полученные точки. Пример показан на рис.А.8.
Рис.А.7
Рис.А.8
Занятие №6
Рефлексивная звезда
Оцените проведённое занятие с помощью рефлексивной звезды рис.А.9. Для этого в каждом лучике звезды напишите указанные пункты.
На занятии мне понравилось На занятие мне не понравилось
Что нового я узнал
на занятии
Общая робота в классе
(оценить от 1 до 12)
Моя работа
(оценить от 1 до 12)
Рис.А.9
Занятие №7
Шкала настроения
Оцените своё настроения, используя шкалу рис.А.10.
Настроение оценивается на трёх этапах занятия.
В начале занятия оцените своё настроение от 1 до 5 и пометьте значение на шкале стрелочкой.
В середине занятия оцените свое настроение от 1 до 5 и поднимите на это значение стрелочку.
В конце занятия оцените настроение от 1 до 5 и еще поднимите стрелочку на шкале.
Оцените результаты:
если стрелочка находится в пределах красного цвета, то настроение угнетённое;
если в пределах синего цвета - хорошее;
если в пределах зеленого - отличное.
Рис.А.10
Занятие №8
Рефлексивный светофор
Оцените свое состояние в начале, середине и конце занятия. Для этого приклейте на светофор (рис.А.11) кружки с теми цветами которые соответствуют вашему состоянию в данный момент:
-хорошо;
-не очень хорошо;
-плохо.
Рис.А.11
Занятие №9
Рефлексивная диаграмма
Разбейте круг на три части и заштрихуйте в пропорциях, которые соответствовали вашему состоянию на занятии. Пример рис.А.12.
- принимал участие в обсуждении, всё понимал;
- вёл себя пассивно, но материал понимал;
- чувствовал себя некомфортно, ничего не понимал.
Рис.А.12
Занятие №10
Сочинение настроения
Представьте, что вы стоите на поляне в лесу. Опишите природу которая вас окружает, такую, которая соответствует вашему настроению в данный момент времени. Какая это пора года, какой день (солнечный, дождливый или снежный), что вы видите вокруг себя,...
Занятие №11
Вещи настроения
Выберите одну из предложенных вещей, в начале и в конце занятия, ту которая вам больше подходит в данный момент. И приклейте на карту.
Обозначения:
мяч - скучно, хочу погулять;
книга - готов учиться;
чашка чая - хочу отдохнуть, устал.
Занятие №12
Рефлексивное письмо
Напишите письмо учителю, в котором опишите, свои впечатления от эвристического факультатива что вам понравилось на занятиях, что не понравилось, что бы вы хотели изменить в работе факультатива, что наиболее запомнилось на занятиях, что нового вы узнали, как на вас повлиял эвристический факультатив.
2
Документ
Категория
Рефераты
Просмотров
278
Размер файла
2 539 Кб
Теги
kursovaya, rabota, pustovoy, yulii
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа