close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

kursovaya rabota ONI

код для вставкиСкачать
 Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования "Омский государственный технический университет"
Методы и средства исследований
Методические указания
для выполнения курсовой работы
Омск
Издательство ОмГТУ
2013
Составитель: Н.А. Райковский, к.т.н., старший преподаватель каф. "ХиКТиТ"
Для студентов дневной и заочной форм обучения по специальностям 150801.65 "Вакуумная и компрессорная техника физических установок" и 151701.65 "Проектирование технологических машин и комплексов", а также по направлениям подготовки бакалавров и магистров 151000 "Технологические машины и оборудование", 141200 "Холодильная и криогенная техника и системы жизнеобеспечения" и 131000 "Нефтегазовое дело" по профилю "Эксплуатация и обслуживание технологических объектов нефтегазового производства".
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Омского государственного технического университета
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение..................................................................................41.Цель и задачи выполнения курсовой работы.....................................52.Тема, содержание и объем курсовой работы.....................................53.Требование к оформлению курсовой работы....................................64.Методические рекомендации по выполнению основных разделов курсовой работы................................................................................
104.1.Основные понятия и термины.................................................104.2.Факторы............................................................................134.3.Выбор модели.....................................................................144.3.1.Предпланирование эксперимента....................................144.4.Планирование первого порядка...............................................164.4.1.Кодирование факторов. Выбор основных факторов и их уравнений.................................................................
174.4.2.Метод полного факторного эксперимента........................194.4.3.Метод дробных реплик................................................234.5.Статистическое оценивание регрессионной модели.....................254.5.1.Ошибки параллельных опытов.......................................254.5.2.Рандомизация............................................................264.5.3.Принятие решений после построения модели....................274.5.4.Статистический анализ коэффициента регрессии...............314.6.Статистический анализ уравнения регрессии..............................324.6.1Оценка адекватности регрессии.....................................334.6.2.Анализ регрессионных остатков....................................335.Пример обработки результатов экспериментального исследования.........366.Задания на выполнение курсовой работы..........................................40Библиографический список...........................................................41Приложения..............................................................................42ВВЕДЕНИЕ
Методы и средства исследования - название курса, предназначенного для получения студентами навыков работы с экспериментальными данными на основе современных методов статистической обработки информации. Правильный подход при обработке экспериментальных данных необходим для последующего осмысления и использования полученных выводов в дальнейшей работе.
Измерения являются основой любого научного эксперимента. Считается, что проведение эксперимента является "искусством, которому можно научится, но которому нельзя научить".
Каждый исследователь должен уметь исключать или принимать во внимание воздействие внешней среды, планировать проведение экспериментов, обнаруживать и оценивать ошибки измерений, многократно проверять полученные данные, представлять результаты эксперимента в наглядном и упорядоченном виде.
Вначале 1950-х гг. появилось новое направление в проведении эксперимента, связанное с оптимизацией процессов и получившее название "планирование эксперимента". Планирование эксперимента придает действиям экспериментатора целенаправленность и организованность, что способствует повышению производительности его труда и надежности полученных результатов. Важным достоинством метода является его универсальность и пригодность к применению в подавляющем большинстве областей исследования, интересующих современного человека. Интерес вполне понятен: перспектива сократить число опытов, найти оптимум, получить количественные оценки влияния факторов и определить ошибки, крайне привлекательна.
Данная работа направлена на закрепление знаний по основам планирования и организации эксперимента, а также на получение необходимых навыков и умений работы с исходным и полученным в ходе исследования массивом данных. 1. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ВЫПОЛНЕНИЯ КУРСОВОЙ РАБОТЫ
Целью курсовой работы является расширение, углубление и закрепление знаний в области планирования и обработки результатов экспериментальных исследований. При её выполнении студент приобретает навыки самостоятельной работы со специальной и научной литературой, осваивает подходы к решению инженерных задач, методы планирования и организации экспериментальных исследований, порядок проведения, обработки и анализа результатов многофакторных регрессионных моделей объектов исследований. Перед выполнением курсовой работы необходимо хорошо изучить материал по дисциплине "Основы научных исследований", прежде всего, методы планирования и обработки многофакторных экспериментов и используемые при этом методы вычисления статистических характеристик, проверки статистических гипотез, интерполирования табличных данных при нахождении критических значений статистических распределений.
2. ТЕМА, СОДЕРЖАНИЕ И ОБЪЁМ КУРСОВОЙ РАБОТЫ
Тема курсовой работы: Планирование и обработка многофакторных экспериментов.
Курсовая работа состоит из пояснительной записки (ПЗ), в которую входят:
* Титульный лист (образец оформления титульного листа дан в приложении 1).
* Оглавление (включает заголовки разделов и подразделов курсовой работы с указанием страниц).
* Задание на выполнение курсовой работы. Планирование эксперимента (разработка матрицы планирования, кодирование факторов).
* Вычисление коэффициентов регрессионной модели. * Статистическое оценивание регрессионной модели.
* Построение и анализ уравнения регрессии.
* Заключение (дать общую оценку пригодности составленной модели для прогнозирования значений функции отклика).
* Список использованных источников.
Объём ПЗ составляет 15...20 страниц формата А4.
3. ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ КУРСОВОЙ РАБОТЫ
По ГОСТ 7.32-2001 текст печатается на одной стороне листа белой бумаги формата А4 через полтора интервала. Цвет шрифта - черный. Размер шрифта (кегль) - 14. Тип шрифта - Times New Roman. Размер междустрочный 1,5.Размеры полей: правое - не менее 10 мм, верхнее и нижнее - не менее 20 мм, левое - не менее 30 мм.
Страницы работы нумеруются арабскими цифрами (нумерация сквозная по всему тексту). Номер страницы ставится в центре нижней части листа без точки. Титульный лист включается в общую нумерацию, номер на нем не ставится.
ГОСТом определяется: фамилии, названия организаций, фирм, названия изделий и другие имена собственные должны приводиться на языке оригинала. Оформление заголовка
По ГОСТ 7.32-2001 главы основной части работы не являются структурными элементами - таким элементом (наряду с рефератом (т.е. аннотацией), содержанием, введением, заключением, списком использованных источников, приложением и др.) является только вся основная часть в целом. По ГОСТ 7.32-2001 заголовки структурных элементов работы располагают в середине строки без точки в конце и печатают заглавными буквами без подчеркивания. Каждый структурный элемент следует начинать с новой страницы.
Главы могут делиться на параграфы, которые в свою очередь могут делиться на пункты и подпункты (и более мелкие разделы). Номер параграфа состоит из номеров главы и параграфа в главе, разделенных точкой. В конце номера точка не ставится. Аналогичным образом нумеруются и пункты в параграфе (например: 2.4.2 Анализ результатов). Заголовки параграфов, пунктов и подпунктов следует печатать с абзацного отступа, с прописной буквы без точки в конце, не подчеркивая. Если заголовок состоит из двух предложений, их разделяют точкой. Переносы слов в заголовках не допускаются.
Расстояния между заголовками ГОСТ 7.32-2001 никак не регулирует, но можно ориентироваться на ГОСТ 2.105-95 "Общие требования к текстовым документам", по которому абзацный отступ равен пяти ударам пишущей машинки (или 15-17 мм).
Расстояние между заголовком и текстом должно быть равно 3 или 4 интервалам (15 мм). Если реферат, курсовая или диплом напечатаны интервалом 1,5, то это значит, что расстояние между заголовком и текстом равно одной пустой строке. Расстояние между заголовками главы и параграфа - 2 интервала (8 мм).
Оформление содержания
Заголовок СОДЕРЖАНИЕ пишется заглавными буквами посередине строки.
Содержание включает введение, наименование всех глав, параграфов, пунктов, заключение, список использованных источников и наименование приложений с указанием номеров страниц, с которых начинаются эти элементы работы.
Наименования, включенные в содержание, записывают строчными буквами, начиная с прописной буквы.
Оформление рисунков
На все рисунки в тексте должны быть даны ссылки. Рисунки должны располагаться непосредственно после текста, в котором они упоминаются впервые, или на следующей странице. Рисунки нумеруются арабскими цифрами, при этом нумерация сквозная, но допускается нумеровать и в пределах раздела (главы). В последнем случае номер рисунка состоит из номера раздела и порядкового номера иллюстрации, разделенных точкой (например: Рисунок 1.1). Подпись к рисунку располагается под ним посередине строки. Слово "Рисунок" пишется полностью. В этом случае подпись должна выглядеть так: Рисунок 2 - Структура фирмы. Точка в конце названия не ставится.
Если в работе есть приложения, то рисунки каждого приложения обозначают отдельной нумерацией арабскими цифрами с добавлением впереди обозначения приложения (например: Рисунок А.3).
Оформление таблиц
На все таблицы в тексте должны быть ссылки. Таблица должна располагаться непосредственно после текста, в котором она упоминается впервые, или на следующей странице. Все таблицы нумеруются (нумерация сквозная, либо в пределах раздела - в последнем случае номер таблицы состоит из номера раздела и порядкового номера внутри раздела, разделенных точкой (например: Таблица 1.2). Таблицы каждого приложения обозначают отдельной нумерацией арабскими цифрами с добавлением впереди обозначения приложения (например: Таблица В.2). Слово "Таблица" пишется полностью. Название таблицы следует помещать над таблицей слева, без абзацного отступа, в одну строку с ее номером через тире (например: Таблица 3 - Доходы фирмы). Точка в конце названия не ставится.
При переносе таблицы на следующую страницу название помещают только над первой частью. Над другими частями также слева пишут слово "Продолжение" и указывают номер таблицы (например: Продолжение таблицы 1).
Таблицу с большим количеством столбцов допускается делить на части и помещать одну часть под другой в пределах одной страницы. Если строки и столбцы таблицы выходят за формат страницы, то в первом случае в каждой части таблицы повторяется головка, во втором случае - боковик. При делении таблицы на части допускается ее головку или боковик заменять соответственно номером столбцов и строк. При этом нумеруют арабскими цифрами столбцы и (или) строки первой части таблицы.
Заголовки столбцов и строк таблицы следует писать с прописной буквы в единственном числе, а подзаголовки столбцов - со строчной буквы, если они составляют одно предложение с заголовком, или с прописной буквы, если они имеют самостоятельное значение. В конце заголовков и подзаголовков столбцов и строк точки не ставят. Разделять заголовки и подзаголовки боковых столбцов диагональными линиями не допускается.
Заголовки столбцов, как правило, записывают параллельно строкам таблицы, но при необходимости допускается их перпендикулярное расположение. Горизонтальные и вертикальные линии, разграничивающие строки таблицы, допускается не проводить, если их отсутствие не затрудняет пользование таблицей. Но головка таблицы должна быть отделена линией от остальной части таблицы.
Оформление примечаний
Примечания размещают сразу после текста, рисунка или в таблице, к которым они относятся. Если примечание одно, то после слова "Примечание" ставится тире и идет текст примечания. Одно примечание не нумеруют. Несколько примечаний нумеруют по порядку арабскими цифрами без точки.
Примечания можно оформить в виде сноски. Знак сноски ставят непосредственно после того слова, числа, символа, предложения, к которому дается пояснение. Знак сноски выполняют надстрочно арабскими цифрами со скобкой. Допускается вместо цифр выполнять сноски звездочками "*". Применять более трех звездочек на странице не допускается. Сноску располагают в конце страницы с абзацного отступа, отделяя от текста короткой горизонтальной линией слева.
Оформление формул и уравнений
Формулы и уравнения следует выделять из текста в отдельную строку. Над и под каждой формулой или уравнением нужно оставить по пустой строке. Если уравнение не умещается в одну строку, то оно должно быть перенесено после знака равенства (=) или после знаков плюс (+), минус (-), умножения (∙), деления (:), или других математических знаков, причем этот знак в начале следующей строки повторяют. При переносе формулы на знаке, символизирующем операцию умножения, применяют знак "х".
Если нужны пояснения к символам и коэффициентам, то они приводятся сразу под формулой в той же последовательности, в которой они идут в формуле.
Все формулы нумеруются. Обычно нумерация сквозная. Номер проставляется арабскими цифрами в круглых скобках в крайнем правом положении на строке.
А = а:b
Допускается нумерация формул в пределах раздела. В этом случае номер формулы состоит из номера раздела и порядкового номера внутри раздела, разделенных точкой, например:(1.4).
Формулы в приложениях имеют отдельную нумерацию в пределах каждого приложения с добавлением впереди обозначения приложения, например: (В.2).
Оформление списка литературы
Список литературы должен называться "Библиографический список".
Принято источники в списке литературы располагать в алфавитном порядке (относительно заголовка соответствующей источнику библиографической записи). При этом независимо от алфавитного порядка впереди обычно идут нормативные акты. Исходя из этого, можно считать устоявшимся правилом следующий порядок расположения источников:
• нормативные акты;
• книги;
• печатная периодика;
• источники на электронных носителях локального доступа;• источники на электронных носителях удаленного доступа (т.е. интернет-источники).
В каждом разделе сначала идут источники на русском языке, а потом - на иностранных языках (так же в алфавитном порядке).
4. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ОСНОВНЫХ РАЗДЕЛОВ КУРСОВОЙ РАБОТЫ
4.1. Основные понятия и термины
Большинство научных исследований связано с экспериментом. Он проводится в лабораториях, на производстве, на опытных полях, в клиниках и т.д. Эксперимент может быть физическим, психологическим или модельным. Он может проводиться непосредственно на объекте или на его модели. Модель обычно отличается от объекта масштабом, а иногда природой. Если модель достаточно точно описывает объект, то эксперимент на объекте может быть заменен экспериментом на модели. В последнее время наряду с физическими моделями все большее распространение получают компьютерные математические модели, на которых можно проводить имитационные эксперименты и получать новые сведения об объекте.
Планирование эксперимента состоит в процедуре выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью. При этом обеспечивается следующее:
• одновременное варьирование всеми переменными по специальным правилам;
• использование математического аппарата, формализующего многие действия экспериментатора;
• выбор четкой стратегии, позволяющей принимать обоснованные решения после каждой серии экспериментов;
•минимизация общего числа опытов.
Задачи, для решения которых может использоваться планирование эксперимента, чрезвычайно разнообразны - это и поиск оптимальных условий, и построение интерполяционных формул, выбор существенных факторов, оценка и уточнение констант теоретических моделей, выбор гипотез о механизме явлений.
Основы знаний, получаемых при изучении данного курса, помогут разобраться в том, какая информация нужна для построения факторного эксперимента, как составить нужный план опытов, как построить математическое описание процесса в области экспериментирования и провести статистический анализ, как выбрать наикратчайший путь к оптимуму, как осуществить движение по этому пути, как создать математическую модель изучаемого явления.
Если требуется установить количественную связь между значением выходного параметра и факторами, от которых он зависит, такой эксперимент называется интерполяционным.
Важным понятием является понятие объекта исследования. Для его описания удобно пользоваться схематизацией (рис. 4.1). Такая система называется "черным ящиком". Рис 4.1. Схема представления объекта исследования, факторов и параметров оптимизации, называемого "черным ящиком". Xi - контролируемые и управляемые факторы; Zi - контролируемые и неуправляемые факторы; Wi - неконтролируемые и неуправляемые факторы; Yi - отклик.
Стрелки справа, обозначенные уi изображают численные характеристики целей исследования. Встречаются и другие названия: критерий оптимизации, целевая функция, выход "черного ящика" и т.д. Для проведения эксперимента необходимо иметь возможность воздействовать па поведение "черного ящика". Все способы такого воздействия обозначены хi и называются факторами, их называют также входами "черного ящика". Для решения задачи необходимо создать математические модели объекта исследования. Под математической моделью понимается уравнение, связывающее отклик с факторами. Это уравнение в общем виде записывается так:
(4.1.)
Такая функция называется функцией отклика.
Каждый фактор может принимать в опыте одно из нескольких значений. Эти значения называют уровнями. Всякий фактор имеет определенное число дискретных уровней. Фиксированный набор уровней факторов (т.е. установление каждого фактора на некоторый уровень) определяет одно из возможных состояний "черного ящика". Одновременно это есть условия проведения одного из возможных опытов. Перебор всех возможных наборов состояний даст полное множество различных состояний данного "ящика", т.е. число возможных различных опытов. Число различных состояний получается путем возведения числа уровней факторов в степень числа факторов.
При планировании эксперимента рассматриваются только такие объекты, для которых выполняются требование воспроизводимости и требование управляемости. Первое требование означает, что при повторении эксперимента при одних и тех же значениях входных параметров результаты эксперимента имеют разброс, не превышающий некоторой заранее заданной величины (т.е. требований к точности эксперимента). Второе требование означает, что объект исследования должен быть управляемым, т.е. экспериментатор может осуществлять активное вмешательство в процесс исследования, выбирать в каждом опыте те уровни факторов, которые он считает нужными. Такой эксперимент называется активным.
4.2. Факторы
После того как выбраны объект исследования и параметр оптимизации, нужно включить в рассмотрение все существенные факторы, которые могут влиять па процесс. Иначе, если какой-либо существенный фактор окажется не включенным в совокупность управляемых исследователем условий проведения экспериментов, и при этом его уровень не будет контролироваться, то это может привести к значительным погрешностям результатов. Так, если неучтенный фактор произвольно принимал случайные значения, а информация об этом не была зафиксирована, это значительно увеличит ошибку опыта. При планировании эксперимента факторы должны быть управляемыми. Это значит, что экспериментатор, выбрав нужное значение фактора, может его поддерживать постоянным в течение всего опыта, т. е. может управлять фактором. Планировать эксперимент можно только в том случае, если уровни факторов подчиняются воле экспериментатора. В этом состоит особенность активного эксперимента. Предположим, проводится исследование колебаний шпинделя станка на аэростатических подшипниках. Воздух через фильтр забирается с улицы и поступает в компрессор для закачки в зазор между втулкой и шпинделем. Температура уличного воздуха непостоянна, и при малых зазорах(порядка 50мкм) тепловые колебания зазора из-за охлаждения втулки будут соизмеримы со средней величиной зазора. Это вызовет огромный разброс экспериментальных данных. Чтобы точно определить фактор, нужно указать последовательность действий (операций), с помощью которых устанавливаются его конкретные значения (уровни). Такое определение фактора называют операциональным. Так, если фактором является давление в некотором аппарате, то совершенно необходимо указать, в какой точке и с помощью какого прибора оно измеряется и как оно устанавливается. Введение операционального определения обеспечивает однозначное понимание фактора.
4.3. Выбор модели
4.3.1. Предпланирование эксперимента
Выбор модели является одной из самых трудных задач планирования эксперимента. Выбрать модель - это значит выбрать вид функции отклика, т.е. записать ее уравнение:
, (4.2.) где xi - независимые факторы.
Трудность выбора модели заключается в том, что этот выбор следует сделать до начала проведения экспериментов, а у исследователя обычно нет априорной (т.е. до опыта) достаточной информации, чтобы уверенно выбрать вид функции. В ряде случаев удается использовать опубликованные результаты подобных экспериментов или теоретические разработки, которые могут дать ориентировочное представление об ожидаемом виде функции отклика. Однако для более аргументированного выбора модели следует провести процедуру интерпретации модели (так иногда называют предпланирование эксперимента).
Чаще всего процедура планирования эксперимента проводится в два этапа. Первый этап иногда называют поисковым. На этом этапе выбирают очень узкие пределы варьирования факторов. Это позволяет приблизить поверхность отклика к плоской поверхности и тем самым адекватно отразить ее линейной моделью, благодаря чему при расчете коэффициентов модели достаточное число данных получается при малом числе экспериментов.
Шаговая процедура предпланирования.
Реализацию шагового метода выполняют путем проведения серии однофакторных экспериментов по следующей методике. Например, необходимо разработать математическую модель для исследования амплитуды колебаний при резании:
, (4.3)
где s0 - подача (0,05...(),8 мм/об); t - глубина резания (1 ...4 мм); v -скорость резания (60... 180 м/мин), α - задний угол (3... 12°).
Ясно, что это будет четырехфакторный эксперимент, но какого вида функция будет описывать параметр оптимизации, т.е. амплитуду колебаний, предположить очень сложно. Поэтому с целью получения предварительного представления о поверхности уровня проводят несколько однофакторных экспериментов. Например, вначале реализуют однофакторный эксперимент А = f(s0) при средних значениях остальных факторов (t = 2,5 мм, v = 120 м/мин, α = 7,5°), затем - однофакторный эксперимент вида А = f(t) при условиях резания (s0 = 0,425 мм, v = 120 м/мин, α = 7,5°). Третий и четвертый этапы проводят аналогично, т.е. их целью являются однофакторные эксперименты А = f(v) и А = f(α) при установленных средних значениях остальных факторов. Затем строят однофакторные зависимости, по которым можно ориентировочно выбрать вид функции (на рис. 4.2 показаны две из них). Приведенные зависимости явно нелинейным образом зависят от факторов. О нелинейности свидетельствует и характер сечений поверхности отклика плоскостями, параллельными координатной плоскости (soα).
Рис. 4.2. Однофакторные зависимости амплитуды колебаний при резании от заднего угла А = f (α) (а) и от подачи А = f (so) (б)
4.4. Планирование первого порядка
На первой стадии исследования обычно принимают полином первой степени. Так, для трехфакторной задачи теоретическое уравнение регрессии имеет вид:
(4.4)
Уравнение регрессии, получаемое на основании результатов эксперимента, в отличие от приведенного теоретического уравнения, имеет вид:
(4.5)
где коэффициенты регрессии b0, b1,...,b3,..., b123 являются оценками для теоретических коэффициентов регрессии, т.е.:
(4.6)
Члены, содержащие произведения х1*х2; х2*х3 и т.д., называют членами, отражающими попарное взаимодействие факторов, члены вида х1*х2*х3 - членами тройного взаимодействия.
4.4.1. Кодирование факторов. Выбор основных факторов и их уровней
В качестве факторов можно выбирать только контролируемые и управляемые переменные, т.е. такие, которые исследователь может поддерживать постоянными в течение каждого опыта на заданном уровне. В число факторов должны быть включены параметры процесса, оказывающие наиболее сильное влияние на функцию отклика. Необходимо заметить, что, несмотря на всю заманчивость и очевидное преимущество активного спланированного эксперимента перед пассивным, в его применении имеется целый ряд трудностей, связанных с определенными ограничениями на его реализацию. Важнейшим условием применимости этого подхода является управляемость процессов по каждому из выбранных факторов, т.е. возможность независимого изменения каждого из этих факторов и поддержания его на заданном уровне в период проведения опытов.
Для каждого фактора необходимо указать интервал изменения параметров, в пределах которого ставится исследование. Для этого на основе априорной информации устанавливаются ориентировочные значения факторов х10, х20,..., хi0,..., хk0. Этой комбинации значений факторов соответствует точка в многомерном факторном пространстве, которая принимается за исходную точку. Координаты этой точки принимаются за основной (нулевой) уровень.
Интервалом варьирования факторов называется некоторое число (каждое для соответствующего фактора), прибавление которого к основному уровню дает верхний, а вычитание - нижний пределы. Для упрощения записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных масштабы по осям выбираются так чтобы верхний уровень составлял +1, нижний -1, а основной - 0.
Для факторов с непрерывной областью определения это достигается с помощью преобразования (кодирования) факторов. В теории планирования экспериментов показано, что минимально необходимое число уровней факторов на единицу больше порядка уравнения.
Для простоты изложения примем, что y=f(x1,x2).
Пусть каждому фактору соответствует координатная ось (это можно сделать, так как факторы независимы). Образованное таким образом пространство называется факторным (рис.4.3).
Рис. 4.3. Переход от реальных факторов к кодированным
Отметим диапазоны изменения факторов: xi min - нижний уровень; xi max - верхний уровень; i=1,2. Найдем середины этих диапазонов - основные уровни:
(4.7)
и шаг варьирования фактора:
(4.8)
Перенесем начало координат в точку 0 (х10,х20) и перейдем к новым координатам по формуле:
(4.9)
Назовем Xi - кодированными координатами. В кодированном виде верхний уровень любого фактора имеет значение "+1", нижний - "-1", основной - "0". Кодирование уровней факторов проводится для удобства записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных.
4.4.2. Метод полного факторного эксперимента Рассмотрим случай, когда функция отклика линейно зависит от трех независимых факторов. План эксперимента представлен в табл. 4.1.
Таблица 4.1
План эксперимента для трех факторов
Номер опытапланРезультат yiX0X1X2X3X1⋅X2X1⋅X3X2⋅X3X1⋅ X2 ⋅X31+1-1-1-1+1+1+1-1y12+1+1-1-1-1-1+1+1y23+1-1+1-1-1+1-1+1y34+1+1+1-1+1-1-1-1y45+1-1-1+1+1-1-1+1y56+1+1-1+1-1+1-1-1y67+1-1+1+1-1-1+1-1y78+1+1+1+1+1+1+1+1y8 Здесь добавлен столбец фиктивной переменной X0, нужный для оценки свободного члена b0. После реализации получают 8 уравнений с 8 неизвестными, их решение и даст оценку всех восьми коэффициентов регрессии b0,b1,..., b3,b12,..., b123.
План, в котором число опытов равно числу определяемых коэффициентов, называется насыщенным.
В данном плане были использованы все точки с "крайними" координатами, т.е. (все возможные комбинации выбранных уровней: 2k=8 (k - число факторов)). Если эксперименты проводятся только на двух уровнях (при двух значениях факторов) и при этом в процессе эксперимента осуществляются все возможные неповторяющиеся комбинации из k факторов, то постановка опытов по такому плану носит название полного факторного эксперимента (ПФЭ) или 2k Таким образом, полный факторный эксперимент (ПФЭ) - это эксперимент, реализующий все возможные неповторяющиеся комбинации уровней независимых факторов.
Кодированный план геометрически может быть интерпретирован в виде куба, восемь вершин которого представляют собой восемь экспериментальных данных (рис. 4.4).
При числе факторов k=2 построение матрицы ПФЭ не вызывает затруднений, при увеличении же числа факторов возникает необходимость в некоторых специальных приемах построения матрицы.
Например, прием, основанный на чередовании знаков: в первом столбце (для X1) знаки чередуются поочередно. Во втором (для X2) - через 2 знака, в третьем (для X3) - через 4 знака и т.д. по степеням 2k. Рис. 4.4. Геометрическое изображение ПФЭ
Матрица ПФЭ обладает следующими свойствами:
1) Свойство симметричности: алгебраическая сумма элементов вектор - столбца каждого фактора равна нулю (за исключением столбца, соответствующего свободному члену):
, (4.10)
где i- номер фактора; j-номер опыта.
2) Свойство нормирования: сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов:
(4.11)
3) Свойство ортогональности: скалярное произведение всех вектор-столбцов (сумма почленных произведений элементов любых двух вектор - столбцов матрицы) равно нулю:
(4.12)
Планы, для которых выполняется свойство 3, называется ортогональными. Благодаря этому свойству резко уменьшаются трудности, связанные с расчетом коэффициентов уравнения регрессии.
Поскольку результаты наблюдений отклика носят случайный характер, приходится в каждой точке плана проводить не один, а m параллельных опытов (обычно m =24).
В каждой серии экспериментов их последовательность рандомизируется, т.е. с помощью таблиц случайных чисел определяется случайная последовательность реализации экспериментов. Рандомизация дает возможность свести эффект некоторого случайного фактора к случайной погрешности. Это позволяет в определенной степени исключить предвзятость и субъективизм исследователя. Пусть, например, требуется рандомизировать 8 опытов, обозначенных цифрами I,II,...,VIII. Поставим им в соответствие любые 8 последовательных чисел, взятых в любой строке или в любом столбце таблицы случайных чисел. Если при этом встретятся повторяющиеся числа, то их следует отбросить. Определение коэффициентов уравнения регрессии
Рассмотрим определение коэффициентов уравнения регрессии для трехфакторной модели:
(4.13)
Следовательно, любые коэффициенты уравнения определяются скалярным произведением столбца y на соответствующий столбец Хi.
Можно показать, что аналогичным образом определяются коэффициенты, если в уравнении регрессии учитываются линейные взаимодействия (двойные, тройные и т.д.):
(4.14)
Следует обратить особое внимание на то, что все линейные коэффициенты независимы, так как в формулы для их расчета входят свои одноименные переменные. Поэтому каждый коэффициент характеризует роль соответствующей переменной в процессе или силу влияния фактора. Чем больше численная величина коэффициента, тем большее влияние оказывает этот фактор. Если коэффициент имеет знак плюс, то с увеличением значения фактора отклик увеличивается, а если минус - уменьшается.
В результате определения уравнения регрессии может получиться так, что один (или несколько) коэффициентов не очень большие и окажутся незначимыми. Факторы, имеющие коэффициенты, незначимо отличающиеся от нуля, могут быть выведены из состава уравнения, так как влияние на параметры отклика будет отнесено к ошибке эксперимента. Учитывая ортогональность плана, оставшиеся коэффициенты уравнения регрессии можно не пересчитывать. При отсутствии ортогональности плана эксперимента все коэффициенты необходимо пересчитывать заново. 4.4.3. Метод дробных реплик Во многих практических задачах взаимодействия второго и высших порядков отсутствуют или пренебрежимо малы. Кроме того, на первых этапах исследования часто необходимо получать в первом приближении лишь линейную аппроксимацию изучаемого уравнения при минимальном числе экспериментов. Так, для трех факторов достаточно рассмотреть уравнение вида:
(4.15)
и определить только четыре коэффициента. Поэтому использование ПФЭ для определения коэффициентов только при линейных членах неэффективно из-за реализации большого числа опытов, особенно при большом числе факторов k. Если при решении задачи можно ограничиться линейным приближением, то в ПФЭ оказывается много "лишних" опытов. Так, для трех факторов достаточно 4 опыта, а в ПФЭ их 8. Так, для определения коэффициентов уравнения (4.15) достаточно ограничится четырьмя опытами, если в ПФЭ 23 использовать х1х2 в качестве плана для х3, тогда матрица планирования эксперимента примет вид, представленный в таблице 4.2.
Таблица 4.2 Дробный факторный эксперимент
Номер опытаФакторыФункция
откликах0х1х2x3= x1 x21+1-1-1+1y12+1+1-1-1y23+1-1+1-1y34+1+1+1+1y4 Заметим, что использованы не все возможные комбинации выбранных уровней. Такой сокращенный план носит название дробного факторного эксперимента (ДФЭ). После реализации плана получают 4 уравнения с 4 неизвестными, их решение и даст оценку всех четырех коэффициентов регрессии bi. Если коэффициенты регрессии при парных произведениях не равны нулю, то найденные коэффициенты bi будут смешанными оценками их теоретических коэффициентов βi. На практике обычно не удается априорно постулировать равенство нулю эффектов взаимодействия, однако часто имеются основания полагать, что некоторые из них малы по сравнению с линейными эффектами. Операцию смешивания оценок принять условно записывать в виде выражений:
, (4.16)
где β - математическое ожидание для соответствующего коэффициента.
Эти генерирующие коэффициенты не могут быть раздельно оценены по плану, включающему всего четыре опыта, так как в этом случае неразличимы столбцы для линейных членов и парных произведений. Таким образом, сокращение числа опытов приводит к получению смешанных оценок для коэффициентов. Для того чтобы определить, какие коэффициенты смешаны, удобно пользоваться следующим приемом: подставив х3 на место х1⋅х2, получим соотношение х3 = х1⋅х2, называемое генерирующим соотношением.
Умножив обе части генерирующего соотношения на х3, получим: Х32= Х1Х2Х3=1 (4.17)
Это произведение носит название определяющего контраста. Умножив поочередно определяющий контраст на х1, х2, х3, находим: Х1=Х12Х2Х3= Х2Х3 (4.18)
Х2= Х1Х3 (4.19)
Х3= Х1 Х2 (4.20)
Полученным соотношениям соответствует система смешанных оценок, т.е.β1 смешана с β23, β2 - с β13, а β3 - с β12.
4.5. Статистический анализ коэффициентов регрессии
4.5.1. Ошибки параллельных опытов
Параллельными опытами называют опыты, в которых уровни факторов повторяются (иногда это называют дублированием опытов). Повторение опытов является обычным правилом экспериментов. Рекомендуется повторять эксперименты четыре раза, во всяком случае, не менее трех раз. Необходимо по возможности не менять условия дублирующих экспериментов, чтобы не вносить неоправданные дополнительные ошибки эксперимента. Вместе с тем недопустимо создавать искусственные условия, не соответствующие типичным реальным условиям, иначе результаты проведенных экспериментов при внедрении не дадут ожидаемого эффекта. Так, например, при проведении стойкостных или динамических исследований режущего инструмента некоторые исследователи с целью уменьшения разброса получаемых данных производят отбор режущих пластин. Они отбраковывают" часть пластин, в частности по результатам внешнего осмотра под инструментальным микроскопом. Иногда отбирают заготовки с малым разбросом твердости. В производственных условиях такие процедуры не проводят, поэтому результаты подобных экспериментов, выполненных в искусственно созданных условиях, могут резко отличаться от результатов, полученных при резании режущими пластинами, используемыми в состоянии поставки.
Проведение параллельных опытов дает возможность сделать более надежные оценки влияния факторов па параметр оптимизации путем усреднения, а также выполнить процедуры расчета статистических характеристик.
4.5.2. Рандомизация
Исключение систематических ошибок. Чтобы исключить влияние систематических ошибок, вызванных внешними условиями (переменой температуры, сырья, приемами работы лаборанта и т.д.), рекомендуется случайная последовательность при постановке опытов, запланированных матрицей эксперимента. Опыты необходимо рандомизировать во времени. Термин "рандомизация" происходит от английского слова random - случайный. Важность рандомизации опытов можно иллюстрировать следующим примером.
Таблица 4.3
Нерандомизированная матрица планирования 23
Номер опытаФакторыОткликX1X2X3Y1+1+1+1Y12-1-1+1Y23+1-1+1Y34-1+1+1Y45+1+1-1Y56-1-1-1Y67+1-1-1Y78-1+1-1Y89000Y9-Y12 Положим, проводится эксперимент по плану 23 (табл. 4.3). Экспериментатор решил провести 12 экспериментов: по одному опыту в каждой из восьми точек различных комбинаций уровней факторов и четыре дублирующих опыта в центре плана, т.е. на основном уровне факторов. Допустим, что объем выполняемых действий таков, что экспериментатор может поставить в день четыре опыта. Поэтому было принято решение завершить работу за три дня, причем в первый день провести четыре эксперимента по 1 - 4 строкам матрицы планирования, во второй день - также четыре опыта по 5 - 8 строкам, а в третий день - четыре дублирующих опыта по 9-й строке матрицы планирования. Таким образом, матрица планирования разбивается на три части (или натри блока). Не исключено, что внешние условия трех дней эксперимента каким-то образом отличались друг от друга, например температурой, партией заготовок, исполнителями эксперимента и т.п., т.е. некоторыми неконтролируемыми факторами, о влиянии которых на результаты опыта экспериментатор часто даже не подозревает. Это могло способствовать возникновению некоторой систематической ошибки. Обозначим эту ошибку ε. Тогда четыре значения параметра оптимизации оказываются сдвинутыми на величину ε по сравнению с истинными значениями. Пусть это будут параметры, входящие в первый блок: Y1+ ε, Y2 + ε, Y3 + ε, Y4 + ε. Однако в первом блоке значения Х3 находятся на верхнем уровне, а во втором - на нижнем уровне. Тогда при подсчете коэффициента при третьем факторе b3 получится следующая картина:
b3 = 1/8 [(Y1+ ε) + (Y2 + ε) + (Y3 + ε) + (Y4 + ε - Y5 - Y6 - Y7 - Y8)] Таким образом, расчетное значение коэффициента b3 будет отличаться от истинного на величину ε /2, т.е. возможное различие во внешних условиях смешалось с величиной линейного коэффициента b3 и исказило это значение. Поэтому в такой последовательности опыты ставить нельзя. Опыты нужно рандомизировать во времени, придав последовательности опытов случайный характер. Для этого необходимо воспользоваться таблицей случайных чисел, которая обычно приводится в руководствах по математической статистике.
4.5.3. Принятие решений после построения модели
Предположим, что адекватная линейная модель, полученная в эксперименте, имеет вид полинома первой степени. Коэффициенты полинома являются частными производными функции отклика по соответствующим переменным. Их геометрический смысл - тангенсы углов наклона гиперплоскости к соответствующей оси. Больший по абсолютной величине коэффициент соответствует большему углу наклона и, следовательно, более существенному изменению параметра оптимизации при изменении данного фактора.
Анализ полученной модели принято называть интерпретацией модели. Задачу интерпретации решают в несколько этапов.
Первый этап. Вначале устанавливается, в какой мере каждый из факторов влияет на параметр оптимизации. Величина коэффициента регрессии - количественная мера этого влияния: чем больше коэффициент, тем сильнее влияет фактор. Интерпретация знаков зависит от цели исследования. Знаки коэффициентов указывают на характер влияния факторов. Знак плюс свидетельствует о том, что с увеличением значения фактора растет величина параметра оптимизации, а знак минус указывает на убывание параметра оптимизации при увеличении фактора. Интерпретация знаков при оптимизации зависит от того, ищем ли мы максимум или минимум функции отклика.
Второй этап. На этом этапе располагают совокупность факторов в соответствии с силой их влияния па параметр оптимизации. Факторы, коэффициенты которых незначимы, из интерпретации исключаются, так как при данных интервалах варьирования и ошибке воспроизводимости они не оказывают существенного влияния на параметр оптимизации.
Изменение интервалов варьирования приводит к изменению коэффициентов регрессии. Абсолютные величины коэффициентов регрессии увеличиваются с увеличением интервалов. Инвариантными к изменению интервалов остаются знаки линейных коэффициентов регрессии. Однако и они изменятся на обратные, если при движении по градиенту будет пройден экстремум. Для практического использования полученных зависимостей, описывающих поверхность отклика, желательно сделать декодирование факторов, т.е. выразить уравнения регрессии в натуральных значениях факторов. При этом коэффициенты регрессии изменятся, пропадет возможность интерпретации влияния факторов по величинам и знакам коэффициентов регрессии. Вектор-столбцы натуральных значений переменных в матрице планирования уже не будут ортогональными, коэффициенты определяются зависимо друг от друга. Потому интерпретацию модели проводят обязательно до декодирования факторов, а получение интерполяционной формулы для натуральных переменных выполняется в заключительной части исследования. Третий этап. На этом этапе интерпретации модели следует обратиться к априорным сведениям, которые дают некоторые представления о характере действия факторов. Их можно почерпнуть из теории изучаемого процесса, опубликованных работ в изучаемой области, из предварительных опытов и т.д. Если обнаружено противоречие, то следует рассмотреть две причины возникновения такой ситуации. Первая причина - в эксперименте допущена ошибка, и он должен быть подвергнут ревизии, вторая - неверны априорные представления. При этом нужно иметь в виду, что эксперимент проводится в локальной области факторного пространства, и коэффициенты отражают влияние факторов только в этой области. Заранее неизвестно, в какой мере можно распространить полученные результаты на другие области.
С другой стороны, теоретические представления имеют обычно общий характер, а априорная информация часто основывается на однофакторных зависимостях. При переходе к многофакторному пространству ситуация может изменяться. Поэтому в данной ситуации для полной уверенности, что эксперимент проведен корректно, необходимо еще раз тщательно провести ревизию проведения всех этапов работы.
После анализа выполненной работы, контрольных проверок аппаратуры и выборочного дублирования опытов в некоторых, наиболее противоречивых областях полученных результатов, т.е. когда становится ясным, что можно быть уверенным в объективности исследования, переходят к следующему этапу интерпретации результатов.
Принятие решений после построения модели процесса. Принимаемые решения зависят от числа факторов, дробности плана, цели исследования (достижение оптимума, построение интерполяционной формулы) и т.д. Основные варианты ситуаций, возникающих после построения модели, заключаются в различных комбинациях следующих полученных результатов: адекватность или неадекватность модели, значимость или незначимость коэффициентов регрессии в модели, место расположения оптимума факторном пространстве.
Предположим, что полученная модель линейна и адекватна. Здесь возможны три варианта ситуации: все коэффициенты регрессии значимы; часть коэффициентов регрессии значима, а часть их незначима; все коэффициенты регрессии незначимы.
В каждом варианте оптимум может быть близко, далеко или о его положении нет информации (неопределенная ситуация). Если область оптимума близка, возможны три решения: окончание исследования, переход к планам второго порядка и движение по градиенту.
Первый вариант - все коэффициенты регрессии значимы. Переход к планированию второго порядка дает возможность получить математическое описание области оптимума и найти экстремум. Движение по градиенту используется при малой ошибке опыта, поскольку на фоне большой ошибки трудно установить приращение параметра оптимизации. Решение при неопределенной ситуации или удаленной области оптимума одно и то же: движение по градиенту.
Второй вариант - часть коэффициентов регрессии значима, часть незначима. Движение по градиенту наиболее эффективно в случае значимости коэффициентов. Поэтому выбираются решения, реализация которых приводит к получению значимых коэффициентов. Важно выдвинуть гипотезы, объясняющие незначимость эффектов. Это может быть и неудачный выбор интервалов варьирования, и включение факторов, действительно не оказывающих влияния на параметр оптимизации, и большая ошибка опыта, и т.д. Если, например, выдвинута первая гипотеза, то возможно такое решение: расширение интервалов варьирования по незначимым факторам и постановка новой серии опытов. Изменение интервалов варьирования иногда сочетают с переносом центра эксперимента в точку, соответствующую условиям наилучшего опыта. Невлияющие факторы стабилизируются и исключаются из дальнейшего рассмотрения.
Другие возможные решения для получения значимых коэффициентов: увеличение числа параллельных опытов и достройка плана. Увеличение числа параллельных опытов приводит к уменьшению дисперсии воспроизводимости и соответственно дисперсии коэффициентов регрессии. Опыты могут быть повторены либо во всех точках плана, либо в некоторых.
Достройка плана осуществляется несколькими способами: у исходной реплики можно изменить знаки на обратные (в этом случае основные эффекты оказываются не смешанными с парными эффектами взаимодействия); перейти к полному факторному эксперименту; перейти к реплике меньшей дробности; перейти к плану второго порядка (если область оптимума близка). Реализация любого из этих решений требует значительных экспериментальных усилий. Поэтому нужно начинать с движения только по значимым факторам.
Наконец, если область оптимума близка, то возможно принятие таких же решений, как и в случае значимости всех коэффициентов регрессии.
Третий вариант - линейная модель адекватна, вес коэффициенты регрессии незначимы (кроме b0). Чаще всего это происходит вследствие большой ошибки эксперимента или узких интервалов варьирования. Возможные решения состоят прежде всего в направлении увеличения точности эксперимента и расширения интервалов варьирования. Увеличение точности может достигаться двумя путями: улучшением методики проведения опытов или постановкой параллельных опытов.
В задаче построения интерполяционной формулы считают цель исследования достигнутой, если получена адекватная модель. Если линейная модель неадекватна, значит, не удается аппроксимировать поверхность отклика плоскостью. Формальные признаки неадекватности линейной модели следующие:
• расчетная величина F-критерия превышает табличное значение;
• значимость хотя бы одного из эффектов взаимодействия;
• значимость суммы коэффициентов регрессии при квадратичных членах. Оценкой значимости этой суммы служит разность между b0 и полученным в эксперименте значением отклика в центре плана yo. Если разность превосходит ошибку опыта, то гипотеза о незначимости коэффициентов при квадратичных членах не может быть принята.
4.5.4. Статистический анализ коэффициента регрессии
Для оценки значимости коэффициента β регрессии y=α+βx можно воспользоваться следующими выражениями:
(4.21)
(4.22)
(4.23)
(4.24)
С помощью квантилей распределения Стьюдента можно проверить гипотезу о значимости коэффициента регрессии (существенности его отклонения от нуля), построить доверительный интервал для коэффициента β. Значение коэффициента β регрессии является значимым с достоверностью α, если: (4.25)
Двусторонний доверительный интервал для β имеет вид:
(4.26)
Проверка гипотезы о значимости коэффициента α и построение доверительного интервала для него выполняется по аналогии с коэффициентом β, при условии:
(4.27)
4.6. Статистический анализ уравнения регрессии
Целью статистического анализа уравнения регрессии является установление его адекватности наблюдаемым экспериментальным данным. Под адекватностью уравнения регрессии понимается статистическая неразличимость результатов вычислений по уравнению регрессии и наблюдаемых случайных величин.
4.6.1. Оценка адекватности регрессии
Количественной мерой адекватности является отношение дисперсии S2, определяемой рассеянием значений yi вокруг линии регрессии, к дисперсии Sy2, определяемой рассеянием значений yi вокруг своих средних . Если:
(4.28)
где - α - квантиль распределения Фишера с f1=n-2 и f2=m-1 степенями свободы.
Тогда ошибка в определении регрессии с доверительной вероятностью α признается статистически значимой (m - объем выборки, по которой выполнена оценка дисперсии Sy2, т.е. число дублируемых наблюдений для каждой серии yi).
Если дисперсия Sy2 определяется по дублируемым значениям yi, то оценкой является средневзвешенная дисперсия:
(4.29)
где (4.30)
(4.31)
4.6.2. Анализ регрессионных остатков Определенную информацию об адекватности уравнения регрессии дает исследование остатков вида . Если выборочная регрессия удовлетворительно описывает истинную зависимость между у и х, то остатки должны быть независимыми нормально распределенными случайными величинами, с нулевым средним и в значениях ei должен отсутствовать тренд. Независимость в последовательности значений еi (i=1,...,n) может быть проверена с помощью сериального коэффициента корреляции Дарбина-Ватсона . Статистика сериального коэффициента корреляции Дарбина-Ватсона имеет вид:
(4.32)
где е - разница между наблюдаемым и предсказанным в модели значением зависимой переменной.
Автокорреляция остатков обычно свидетельствует об ошибках в спецификации модели, например, о неправильно выбранной форме связи между переменными, о не включении в модель существенного фактора. Модель с автокорреляцией в остатках нельзя использовать для дальнейшего анализа, так как полученные результаты будут недостоверными. Выводы о наличии, либо отсутствии автокорреляции делаются на основе специальных статистических таблиц, в которых для заданного числа наблюдений n, уровня  (доверительная вероятность) и k (число независимых переменных) указаны критические значения d1 и d2 (Рис. 4.5). Положительной автокорреляция.Зона неопределенностиОтсутствие автокорреляции.Зона неопределенностиОтрицательной автокорреляция.0 d1 d2 4 - d2 4 - d1 d
Рис. 4.5 Шкала статистики Дарбина - Уотсона
В результате сравнения рассчитанной статистики d с табличными значениями возможны следующие ситуации:
1. d<d1. Данная ситуация свидетельствует о положительной автокорреляции остатков. Полученную модель использовать нельзя. 2. D1≤d≤d2. Рассчитанная статистика попала в зону неопределенности. Нельзя ни подтвердить, ни отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорреляции остатков. Дальнейшие выводы по такой модели должны быть очень осторожными.
3. D2<d<4-d2. Гипотеза об отсутствии автокорреляции подтверждается. Модель можно использовать для анализа.
4. 4-d2≤d≤4-d1. Рассчитанная статистика попала в зону неопределенности. Нельзя ни подтвердить, ни отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорреляции остатков. Дальнейшие выводы по такой модели должны быть очень осторожными.
5. d>4-d1. Данная ситуация свидетельствует об отрицательной автокорреляции остатков. Полученную модель использовать нельзя.
Таблица 4.4 Критические значения статистики Дарбина-Ватсона nαk12345D1D2D1D2D1D2D1D2D1D215
20
25
0,95
0,99
0,95
0,99
0,95
0,991,08
0,81
1,20
0,95
1,29
1,051,36
1,07
1,41
1,15
1,45
1,210,95
0,70
1,10
0,86
1,21
0,981,54
1,25
1,54
1,27
1,55
1,300,82
0,59
1,00
0,77
1,12
0,901,75
1,46
1,68
1,41
1,66
1,410,69
0,49
0,90
0,68
1,04
0,831,97
1,70
1,83
1,57
1,77
1,520,56
0,39
0,79
0,60
0,95
0,752,21
1,96
1,99
1,74
1,89
1,6530
40
50
60
80
100
0,95
0,99
0,95
0,99
0,95
0,99
0,95
0,99
0,95
0,99
0,95
0,991,35
1,13
1,44
1,25
1,50
1,32
1,55
1,38
1,61
1,47
1,65
1,521,49
1,26
1,54
1,34
1,59
1,40
1,62
1,45
1,66
1,52
1,69
1,561,28
1,07
1,39
1,20
1,46
1,28
1,51
1,35
1,59
1,44
1,63
1,501,57
1,34
1,60
1,40
163
1,45
1,65
1,48
1,69
1,54
1,72
1,581,21
1,01
1,34
1,15
1,42
1,24
1,48
1,32
1,56
1,42
1,61
1,481,65
1,42
1,66
1,46
1,67
1,49
1,69
1,52
1,72
1,57
1,74
1,601,14
0,94
1,29
1,10
1,38
1,20
1,44
1,28
1,53
1,39
1,59
1,461,74
1,51
1,72
1,54
1,73
1,56
1,74
1,60
1,76
1,63
1,76
1,631,07
0,88
1,23
1,05
1,34
1,16
1,41
1,25
1,51
1,36
1,57
1,441,83
1,61
1,79
1,58
1,77
1,59
1,77
1,60
1,77
1,62
1,78
1,65
5. ПРИМЕР ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
Необходимое количество опытов ПФЭ (полного факторного эксперимента) определяют по уравнению:
N= nk N=8
Где k- число факторов (в нашем случае k=3); n- количество уравнений(в ПФЭ два уровня ±).
План проведения эксперимента (матрица планирования) записывают в виде таблицы.
Полный факторный эксперимент 23
№Факторы в натуральном
маштабеФакторы в безмерной системе координатP= Z1V= Z2T= Z3X1X2X3Y11,10,47173-1-1-10,622,90,471731-1-10,331,11,13173-11-10,242,91,131731110,1751,10,47273-1-110,3462,90,472731-110,1671,11,13273-11-10,1282,91,1327311-10,13 Уравнение регрессии для k- факторов имеет вид:
= b0+ b1 x1 + b2 x2 +...+ bk xk + b12 x1 x2 + bk-1 xk-1 xk
Расширенная матрица планирования полного факторного эксперимента
№Х0X1X2X3X1X2X1X3X2X3X1X2X3Y1+---+++-0.62++----++0.33+-+--+-+0.24+++-+---0.175+--++--+0.346++-+-+--0.167+-++--+-0.128++++++++0.13
Любой коэффициент линейной части уравнения bj в ПФЭ определяют по уравнению:
bj = ,
j = 1,2,3... к - номер фактора, I - номер опыта.
X1 Yi X1 Yi
= = - 0,5
B1= = = - 0,0625
b0= 0,2525; b1=-0,0625; b2= -0,0975; b3= -0,085; b12= 0,0575; b13= 0,06; b23= 0,015; b123= -0,03.
Для проверки значимости коэффициентов регрессии и адекватности уравнения необходимо поставить дополнительные параллельные опыты в центре плана. В нашей задаче по изучению влияния режимов эксплуатация подшипника на коэффициент трения поставлено три дополнительных опыта при значении факторов: Z10 = 2МПа, Z20= 0,8м/с, Z30= 223 К, что соответствует центру плана, и получены следующие значения yn0 коэффициентов трения:
y10= 0,09, y20= 0,08, y30= 0,07.
Среднее значение : Дисперсия воспроизводимости :
S2восп=
;
Sвосп=
Все коэффициенты уравнения определяют с одинаковой точностью:
Sbj = = Оценим значимость коэффициентов по критерию Стьюдента :
t0 = t1 = 2,34; t2 = 3,66; t3 = 3,18; t12 = 2,15; t13 = 2,24; t23 = 0,56; t123 = 1,12.
Табличные значения критерия Стьюдента для уровня значимости р=0,1 и числа опытов в центре плана n=3,равен 2,92. Значимыми коэффициентами являются те, у которых tрасч > tтабл , таким образом, сопоставляя полученные значения, имеем, что все коэффициенты b1 ,b12 ,b13 ,b23, b123 незначимы. Запишем получившееся уравнение регрессии:
Проверим адекватность полученного уравнения по критерию Фишера. Для этого необходимо рассчитать остаточную дисперсию:
S2ост= .
L - число значимых коэффициентов в уравнении регрессии, равное 3.
yi (yi - )2
- = = 0,1002
Рассчитаем значение критерия Фишера :
F= Число степеней свободы для остаточной дисперсии f1 = N -l =5, а число степеней свободы дисперсии воспроизводимости f2 = n-1= 2. по таблице для уровня значимости р=0,1 находим табулированное значение критерия Фишера: F1-p = (f1, f2) = 4,3. F < F1-p(f1, f2), следовательно, полученное уравнение адекватно описывает эксперимент.
6. ЗАДАНИЯ НА ВЫПОЛНЕНИЕ КУРСОВОЙ РАБОТЫ
Проведены исследования влияния режимов эксплуатации полимерного подшипника на величину его коэффициента трения. Коэффициент трения подшипника Y зависит от контактного давления X1 ,изменяемого в диапазоне 1,1-2,9 МПа, скорости относительного скольжения X2 , изменяемой в диапазоне 0,47-1,13 м/с и температуры X3 , изменяемой в диапазоне 173-273 К. Результаты проведенных исследований приведены в таблице. Необходимо построить матрицу планирования эксперимента, определить коэффициенты в уравнении регрессии по результатам проведенных исследований, сделать статистическую оценку регрессионной модели при доверительной вероятностью 0,95, а также провести анализ полученного уравнения.
Варианты заданий
Таблица 5.1
№
опытаФакторы в натуральном масштабеЗначение коэффициент трения (Y)№ вариантаPk,
МПаʋ,
м/сT,
К1234567891011,10,471730,530,60,480,540,520,50,610,450,30,3522,90,471730,210,30,180,220,20,180,310,180,20,2231,11,131730,150,20,140,160,140,120,230,130,150,1742,91,131730,120,170,110,130,110,090,180,10,120,1351,10,472730,370,340,30,380,360,340,330,320,280,362,90,472730,180,160,160,190,170,150,170,170,170,1871,11,132730,090,120,080,10,080,060,140,090,080,182,91,132730,110,130,090,120,090,070,150,110,10,12 Дополнительные опыты в центре плана92,00,82230,330,090,290,330,320,290,380,280,20,24102,00,82230,330,090,290,330,320,290,380,280,20,24112,00,82230,350,070,270,350,280,30,330,330,170,26БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Горяинов В.Б. Математическая статистика: учеб. для втузов / В.Б. Горяинов, И.В. Павлов, Г.М. Цветкова и др.; Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. - М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. - 423 с.
2. Гришин А.С. Математическое моделирование в экологии: Учеб. пособие для вузов / А.С. Гришин, Н.А. Орехов, В.Н. Новиков. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. - 269 с.
3. Зажигаев Л.С. Методы планирования и обработки результатов физического эксперимента / Л.С. Зажигаев, А.А. Кишьян, Ю.И. Романиков. - М.: Атомиздат, 1978. - 232 с.
4. Кобзарь А.И. Прикладная математическая статистика. Для инженеров и научных работников. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 816 с.
5. Крутов В.И. Основы научных исследований: Учеб. для техн. вузов / В.И. Крутов, И.М. Грушко, В.В. Попов и д.р.; Под ред. В.И. Крутова, В.В. Попова. - М.: Высш. шк., 1989. - 400 с.
6. Львовский Е.Н. Статистические методы построения эмпирических формул: Учеб. пособие для втузов. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 1988. - 239 с.
7. Рогов В.А. Методика и практика технических экспериментов: Учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений / В.А. Рогов, Г.Г. Позняк. - М.: Издательский центр "Академия", 2005. - 288 с.
8. Спирин Н.А. Методы планирования и обработки результатов инженерного эксперимента: Уч. пос. для вузов / Н.А. Спирин, В.В. Лавров, В.И. Лобанов и др.; Под ред. Н.А. Спирина. - Екатеренбург, 2006. - 306 с.
9. Юша В.Л. Методы и средства исследований: конспект лекций / В.Л. Юша, Н.А. Райковский. - Омск: ОмГТУ, 2011. - 96 с.
П Р И Л О Ж Е Н И Я
Приложение 1
Министерство образования и науки Российской Федерации
Омский государственный технический университет
Кафедра Холодильная и Компрессорная Техника и Технология
Пояснительная записка
К КУРСОВОМУ ПРОЕКТУ
на тему "Планирование и обработка результатов исследования полного факторного эксперимента".
Руководитель проекта
___________________
(ФИО)
___________________
(подпись, дата)
Разработал студент группы
___________________
(ФИО)
___________________
(подпись, дата)
Омск 2013
Приложение 2
Министерство образования и науки Российской Федерации
Омский государственный технический университет
Кафедра Холодильная и Компрессорная Техника и Технология
__________________________________________________________________
ЗАДАНИЕ№_
Курсовой проект по дисциплине Основы научных исследований
__________________________________________________________________
Студенту группы___________тов._____________________________________
/ учебный год
Тема курсового проекта:_____________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Исходные данные __________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Разделы пояснительной записки:
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Основная рекомендуемая литература
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Руководитель проектирования __________________________
(ФИО)
Зав. кафедрой __________________________ (ФИО)
Студент __________________________
(ФИО)
Дата выдачи __________________
П.3. Двусторонние пределы tα,n распределения Стьюдента
nα0,10,20,30,40,50,60,70,80,90,950,980,990,9992
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
120
∞0,16
0,14
0,14
0,13
0,13
0,13
0,13
0,13
0,13
0,13
0,13
0,13
0,13
0,13
0,13
0,13
0,13
0,13
0,13
0,13
0,13
0,13
0,13
0,13
0,13
0,13
0,13
0,13
0,13
0,13
0,13
0,13
0,130,33
0,29
0,28
0,27
0,27
0,27
0,26
0,26
0,26
0,26
0,26
0,26
0,26
0,26
0,26
0,26
0,26
0,26
0,26
0,26
0,26
0,26
0,26
0,26
0,26
0,26
0,26
0,26
0,26
0,26
0,25
0,25
0,250,51
0,45
0,42
0,41
0,41
0,40
0,40
0,40
0,40
0,40
0,40
0,40
0,39
0,39
0,39
0,39
0,39
0,39
0,39
0,39
0,39
0,39
0,39
0,39
0,39
0,39
0,39
0,39
0,39
0,39
0,39
0,39
0,390,73
0,62
0,58
0,57
0,56
0,55
0,55
0,54
0,54
0,54
0,54
0,54
0,54
0,54
0,54
0,54
0,53
0,53
0,53
0,53
0,53
0,53
0,53
0,53
0,53
0,53
0,53
0,53
0,53
0,53
0,53
0,53
0,521,00
0,82
0,77
0,74
0,73
0,72
0,71
0,71
0,70
0,70
0,70
0,70
0,69
0,69
0,69
0,69
0,69
0,69
0,69
0,69
0,69
0,69
0,69
0,69
0,68
0,68
0,68
0,68
0,68
0,68
0,68
0,68
0,671,38
1,06
0,98
0,94
0,92
0,90
0,90
0,90
0,88
0,88
0,87
0,87
0,87
0,87
0,87
0,86
0,86
0,86
0,86
0,86
0,86
0,86
0,86
0,86
0,86
0,86
0,86
0,86
0,85
0,85
0,85
0,85
0,842,0
1,3
1,3
1,2
1,2
1,1
1,1
1,1
1,1
1,1
1,1
1,1
1,1
1,1
1,1
1,1
1,1
1,1
1,1
1,1
1,1
1,1
1,1
1,1
1,1
1,1
1,1
1,1
1,1
1,1
1,0
1,0
1,03,1
1,9
1,6
1,5
1,5
1,4
1,4
1,4
1,4
1,4
1,4
1,4
1,4
1,3
1,3
1,3
1,3
1,3
1,3
1,3
1,3
1,3
1,3
1,3
1,3
1,3
1,3
1,3
1,3
1,3
1,3
1,3
1,36,3
2,9
2,4
2,1
2,0
1,9
1,9
1,9
1,8
1,8
1,8
1,8
1,8
1,8
1,8
1,7
1,7
1,7
1,7
1,7
1,7
1,7
1,7
1,7
1,7
1,7
1,7
1,7
1,7
1,7
1,7
1,7
1,612,7
4,3
3,2
2,8
2,6
2,4
2,4
2,3
2,3
2,2
2,2
2,2
2,2
2,1
2,1
2,1
2,1
2,1
2,1
2,1
2,1
2,1
2,1
2,1
2,1
2,1
2,1
2,1
2,0
2,0
2,0
2,0
2,031,8
7,0
4,5
3,7
3,4
3,1
3,0
2,9
2,8
2,8
2,7
2,7
2,7
2,6
2,6
2,6
2,6
2,6
2,5
2,5
2,5
2,5
2,5
2,5
2,5
2,5
2,5
2,5
2,5
2,4
2,4
2,4
2,363,7
9,9
5,8
4,6
4,0
3,7
3,5
3,4
3,3
3,2
3,1
3,0
3,0
2,9
2,9
2,9
2,9
2,9
2,9
2,8
2,8
2,8
2,8
2,8
2,8
2,8
2,8
2,8
2,8
2,7
2,7
2,6
2,6
636,6
31,6
12,9
8,6
6,9
6,0
5,4
5,0
4,8
4,6
4,5
4,3
4,2
4,1
4,0
4,0
4,0
3,9
3,9
3,8
3,8
3,8
3,8
3,7
3,7
3,7
3,7
3,7
3,7
3,6
3,5
3,4
3,3
П.4. Значения квантилей распределения Фишера (P=0,95)
m2m112345678910121530401161.4199,5215,7224,6230,2234,0236,8238,9240,5241,9243,9245,9250,1251,1218,519,019,119,219,319,319,319,319,319,419,419,419,419,4310,19,559,289,129,018,948,898,858,818,798,748,708,628,5947,716,946,596,396,266,166,096,046,005,965,915,865,755,7256,615,795,415,195,054,954,884,824,774,744,684,624,504,4665,995,144,764,534,394,284,214,154,104,064,003,943,813,7775,594,744,354,123,973,873,793,733,683,643,573,513,383,3485,324,464,073,843,693,583,503,443,393,353,283,223,083,0495,124,263,863,633,483,373,293,233,183,143,073,012,862,83104,964,103,713,483,333,223,143,073,022,982,912,852,702,66114,843,983,593,363,203,093,012,952,902,852,792,722,572,53124,753,893,493,263,113,002,912,852,802,752,692,622,472,43134,673,813,413,183,032,922,832,772,712,672,602,532,382,34144,603,743,343,112,962,852,762,702,652,602,532,462,312,27154,543,683,293,062,902,792,712,642,592,542,482,402,252,20164,493,633,243,012,852,742,662,592,542,492,482,352,192,15174,453,593,202,962,812,702,612,552,492,452,382,312,152,10184,413,553,162,932,772,662,582,512,462,412,342,272,112,06194,383,523,132,902,742,632,542,482,422,382,312,232,072,03204,353,493,102,872,712,602,512,452,392,352,282,202,041,99214,323,473,072,842,682,572,492,422,372,322,252,182,011,96224,303,443,052,822,662,552,462,402,342,302,232,151,981,94234,283,423,032,802,642,532,442,372,322,272,202,131,961,91244,263,403,012,782,622,512,422,362,302,252,182,111,941,89254,243,392,992,762,602,492,402,342,282,242,162,091,921,87264,233,372,982,742,592,472,392,322,272,222,152,071,901,85274,213,352,962,732,572,462,372,312,252,202,132,061,881,84284,203,342,952,712,562,452,362,292,242,192,122,041,871,82294,183,332,932,702,552,432,352,282,222,182,102,031,851,81304,173,322,922,692,532,422,332,272,212,162,092,011,841,79404,083,232,842,612,452,342,252,182,122,082,001,921,741,69604,003,152,762,532,372,252,142,102,041,991,921,841,651,591203,923,072,682,452,292,182,092,021,961,911,831,751,551,50 Примечание: m1=N-(n+1), где n - число факторов, N-число опытов; m2=N(k-1), где k - число параллельных опытов
П.5. Квантили распределения Пирсона χ2α,m (χ2 распределения)
mα0,9950,990,9750,950,90,50,10,050,0250,010,00510,00000,00010,00090,00390,0160,4552,7063,8415,0246,6357,87920,0100,0200,0510,1030,2111,3864,6055,9917,3789,21010,6030,0720,1150,2160,3520,5842,3666,2517,8159,34811,3412,8440,2070,2970,4840,7111,0643,3577,7799,48811,1413,2814,8650,4120,5540,8311,1451,6104,3519,23611,0712,8315,0916,7560,6760,8721,2371,6352,2045,34810,6412,5914,4516,8118,5570,9891,2391,6902,1672,8336,34612,0214,0716,0118,4820,2881,3441,6472,1802,7333,4907,34413,3615,5117,5320,0921,9591,7352,0882,7003,3254,1688,34314,6816,9219,0221,6723,59102,1562,5583,2473,9404,8659,34215,9918,3120,4823,2125,19112,6033,0533,8164,5755,57810,3417,2819,6821,9824,7326,76123,0743,5714,4045,2266,30411,3418,5521,0323,3426,2228,30133,5654,1075,0095,8927,04112,3419,8122,3624,7427,6929,82144,0754,6605,6296,5717,79013,3421,0623,6826,1229,1431,32154,6015,2296,2627,2618,54714,3422,3125,0027,4930,5832,80165,1425,8126,9087,9629,31215,3423,5426,3028,8532,0034,27175,6976,4087,5648,67210,0916,3424,7727,5930,1933,4135,72186,2657,0158,2319,39010,8617,3425,9928,8731,5334,8137,16196,8447,6338,90710,1211,6518,3427,2030,1432,8536,1938,58207,4348,2609,59110,8512,4419,3428,4131,4134,1737,5740,00218,0348,89710,2811,5913,2420,3429,6232,6735,4838,9341,40228,6439,54210,9812,3414,0421,3430,8133,9236,7840,2942,80239,26010,19611,6913,0914,8522,3432,0135,1738,0841,6444,18249,88610,85612,4013,8515,6623,3433,2036,4239,3642,9845,562510,52011,52413,1214,6116,4724,3434,3837,6540,6544,3146,932611,16012,19813,8415,3817,2925,3435,5638,8941,9245,6448,292711,80812,87814,5716,1518,1126,3436,7440,1143,1946,9649,652812,46113,56515,3116,9318,9427,3437,9241,3444,4648,2850,992913,12114,25616,0517,7119,7728,3439,0942,5645,7249,5952,343013,78714,95316,0518,4920,6029,3440,2643,7746,9850,8953,674020,70722,16416,7926,5129,0539,3451,8155,7659,3463,6966,775027,99129,70724,2334,7637,6949,3363,1767,5071,4276,1579,496035,53437,48532,3643,1946,4659,3374,4079,0883,3088,3891,957043,27545,44240,4851,7455,3369,3385,5390,5395,02100,4104,28051,17253,54048,7660,3964,2879,3396,58101,9106,6112,3116,39059,19661,75457,1569,1373,2989,33107,6113,1118,1124,1128,310067,32870,06565,6577,9382,3699,33118,5124,3129,6135,8140,2 1
2
Документ
Категория
Рефераты
Просмотров
158
Размер файла
1 047 Кб
Теги
kursovaya, rabota, oni
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа