close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

СРТУ лаба 5

код для вставкиСкачать
Министерство образования и науки Российской Федерации
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ,
МЕХАНИКИ И ОПТИКИ
КафедраСистем Управления и ИнформатикиГруппа4145
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5
По курсу: "Специальные разделы теории управления"
Синтез дискретных алгоритмов управления Вариант №60
Авторы работыБрезинский А. А. (фамилия, и.о.)РуководительКалицкий Г. С.(фамилия, и.о.)
""20г.Санкт-Петербург,20г.
Работа выполнена с оценкойДата защиты ""20г.
Цель работы
Ознакомление с принципами синтезирования дискретных регуляторов в случае системы слежения.
Получение модели "Вход-состояние-выход" для непрерывного объекта управления
Модель "Вход-состояние-выход" непрерывного объекта управления описывается уравнениями
{█(x ̇(t)=Ax(t)+Bu(t)+B_f f@y(t)=Cx(t) )┤ (1)
В соответствии с вариантом задания, задан непрерывный объект управления, структурная схема которого представлена на рисунке 1
Рисунок 1 - Структурная схема объекта управления
Передаточная функция ОУ имеет вид
W(s)=(k_1 k_2)/(〖〖(T〗_2 s)〗^2+2T_1ξ s+a_0^1 a_0^2 ) (2)
С учётом данного по условию набора параметров
■(k_1=6,94&k_2=1@T_1=6,2&T_2=0@a_0^1=1&a_0^2=1) (3)
передаточная функция принимает вид
W(s)=6,94/(38,44s^2+7,812s+1) (4)
Перейдём к канонической управляемой форме.
Приведём (4) к виду с единичным старшим коэффициентом полинома знаменателя
W(s)=0,1805/(s^2+0,2032s+0,02601) (5)
перейдём к канонической управляемой форме, используя известные виды матриц
A=[■(■(0 &1 &0@0 &0 &1)&■(⋯@)&■(0@0)@■(⋮ &⋮ &⋮)&⋱&⋮@■(0&0&0@-a_0&-a_1&-a_2 )&■(@⋯)&■(1@-a_(n-1) ))];B=[■(■(0@0)@0@■(⋮@1))];C=[■(■(b_0&b_1 )&⋯&b_n=0)] (6)
C учётом (5)
A=[■(0&1@-0,02601&-0,2032)];B=[■(0@1)];C=[■(0,1805&0)] (7)
Из рисунка 1 можно судить, что
B_f=[■(0@-1)] (8)
Переход к дискретному описанию ОУ
Дискретная система описывается разностными уравнениями
{█(x(k+1)=A_d x(k)+B_d u(k)+B_fd f(k)@y(k)=Cx(k) )┤ (9)
Для перехода к дискретной системе воспользуемся формулами
A_d=∑_(i=0)^∞▒(A^i T^i)/i! (10)
B_d=∑_(i=0)^∞▒〖(A^(i-1) T^(i-1))/i! B〗 (11)
B_fd=∑_(i=0)^∞▒〖(A^(i-1) T^(i-1))/i! B_f 〗 (12)
Заданный в соответствии с вариантом интервал дискретности равен
T=0.75 c (13)
Получим матрицы A_(d, ) 〖 B〗_d, B_fd при помощи пакета прикладных программ MATLAB
Листинг 1 - Вычисление матриц A_d, B_d, B_fd
T=0.5;
Ad=expm (A*T);
Bd=0;
Bf=[0; -1]
Bfd=0;
k=10;
for i=1:k
Bd=Bd+((A^(i-1)*T^(i))/(prod(1:i)))*B;
Bfd=Bfd+((A^(i-1)*T^(i))/(prod(1:i)))*Bf;
end
Bd
Bfd
Результатом выполнения листинга 1 являются матрицы
A_d=[■(0,9931&0,694@-0,018&0,852)](14)
B_d=[■(0,2672@0,694)] (15)
B_fd=[■(-0,0482@-0,1253)] (16)
Матрица выходов системы не изменяется
C_d=C=[■(0,1805&0)] (17)
Окончательно, дискретный объект будет описываться уравнениями
{█([■(x_1 (k+1)@x_2 (k+1))]=[■(0,9931&0,694@-0,018&0,852)]∙[■(x_1 (k)@x_2 (k) )]+[■(0,2672@0,694)]∙u(k)+[■(-0,0482@-0,1253)]∙f(k)@y(k)=[■(0,1805&0)]∙[■(x_1 (k)@x_2 (k) )] )┤ (18)
Получение для дискретного входного воздействия модели ВСВ
Рассмотрим входное воздействие, представленное линейно-нарастающей функцией
g(k)=g_0+g_1 kT (19)
Требуется представить его в виде модели в пространстве состояний (ВСВ) вида
{█(ξ_g (k+1)=Г_g ξ_g (k)@g(k)=H_g ξ_g (k) )┤ (20)
В соответствии с вариантом
■(g_0=5.94@g_1=3.68@T=0.75) (21)
С учётом значений (21), (19) принимает вид
g(k)=5.94+2.76k (22)
ξ_g (k)=g(k) (23)
ξ_g (k+1)=5.94+2.76k+2.76=ξ_g (k)+2.76 (24)
Таким образом, с учётом (24), матрицы принимают значение
■(Г_g=[1]@H_g=[1] ) (25)
И модель принимает вид
{█(ξ_g (k+1)=ξ_g (k)+2.76@g(k)=ξ_g (k) )┤ (26)
Начальные условия, определённые при k = 0, равны
ξ_1 (0)=4 (27)
Уравнение (24) описывает состояние воздействия (22) с начальными условиями (27). На их основе можно построить модель этого воздействия.
Моделирование входного воздействия
Реализованная в соответствии с (22)-(27) модель представлена ниже
Рисунок 2 - Схема моделирования входного воздействия
В верхней части схемы моделируется дискретная модель входного воздействия, а в нижней - непрерывного аналога. Результаты моделирования представлены на рисунке 3
Рисунок 3 - Результаты моделирования входного воздействия
Непрерывный аналог получен методом последовательного дифференцирования
■(g(t)=5.94+2.76k@g ̇(t)=2.76 @g(0)=5.94 ) (28)
Анализ состоятельности полученной модели
Как видно из рисунка 3, полученная дискретная модель точно соответствует модели, генерирующей непрерывный аналог сигнала (19) вида (28). Следовательно, можно сделать вывод о состоятельности модели.
Синтез следящих алгоритмов управления
В ходе данной работы поставлена задача синтеза алгоритма слежения за задающим воздействием g(k) для объекта управления с полной информацией вида
{█([■(x_1 (k+1)@x_2 (k+1))]=[■(0,9931&0,694@-0,018&0,852)]∙[■(x_1 (k)@x_2 (k) )]+[■(0,2672@0,694)]∙u(k)+[■(-0,0482@-0,1253)]∙f(k)@y(k)=[■(0,1805&0)]∙[■(x_1 (k)@x_2 (k) )] )┤(29)
С учётом того, что задающее воздействие (22) - линейно-нарастающее, для достижения постоянного значения необходимо повысить порядок астатизма регулятора. С этой задачей помогает справиться интегральный регулятор.
Интегральные регуляторы предназначены для повышения точностных свойств, повышая порядок астатизма системы на единицу. Описывается интегральный регулятор разностными уравнениями вида
{█(v(k+1)=v(k)+e(k)=v(k)+g(k)-x_1 (k); v(0)=0 @u(k)=k_1 e(k)+k_u v(k)-k_2 x_2 (k)=k_1 g(k)+k_u v_m-k_1 x_1 (k)-k_2 x_2 (k))┤ (30)
где v(k) - состояние описываемой выходной переменной сумматора, k_u - коэффициент передачи интегральной составляющей, k_1 〖,k〗_2 - коэффициенты обратной связи по соответствующим переменным состояния.
Синтез интегрального регулятора производится в следующем порядке:
Проверка пары A_d 〖,B〗_d на полную управляемость
Известно, что система вида (9) будет полностью управляемой, если матрица управляемости вида
〖U_d=〗⁡[■(B_d A_d B_d 〖 A〗_d^2 B_d &⋯&A_d^(n-1) B_d )] (31)
окажется невырожденной, т.е.
detU_d≠0 (32)
или ранг матрицы управляемости равняется размерности системы и вектора состояния
rank(U_d )=dim⁡(x(k))=n (33)
Вычислим матрицу управляемости при помощи команды MATLAB U_d=ctrb(A_d,B_d). Получим
U_d=[■(0.2672&0.747@0.694&0.5865)] (34)
Определитель матрицы управляемости (34)
detU_d=-0,362≠0 (35)
а её ранг
rank(U_d )=2=n (36)
Следовательно, пара матриц A_d 〖,B〗_d является полностью управляемой.
Проверка пары C_d,A_d на полную наблюдаемость
Известно, что пара матриц C_d,A_d будет полностью наблюдаемой, если матрица наблюдаемости вида
〖Q_d=〗⁡[■(C_d@〖C_d A〗_d@■(〖C_d A〗_d^2@⋮@〖C_d A〗_d^(n-1) ))] (37)
окажется невырожденной, то есть
detQ_d≠0 (38)
и её ранг размерности системы
rank(Q_d )=dim⁡(x(k))=n (39)
Получим матрицу наблюдаемости при помощи команды MATLAB Q_d=obsv(A_d,C_d).
Q_d=[■(1&0@0.9931&0.694)] (40)
Определитель матрицы наблюдаемости (40) равен
detQ_d=0,694≠0 (41)
Определитель матрицы наблюдаемости (40) равен
rank(Q_d )=2=n (42)
Следовательно, система полностью наблюдаема.
Назначение n+1 желаемых корней замкнутой системы по требуемым показателям качества
Исходя из оптимальности системы по быстродействию, выберем желаемые корни замкнутой системы
z_1^*=z_2^*=z_3^*=0 (43)
Составление эталонной дискретной модели по желаемым корням
Для задания эталонной дискретной модели необходимо задать пару матриц
〖¯Г=〗⁡[■(z_1^*&1&0@0&z_2^*&1@0&0&z_3^* )]=[■(0&1&0@0&0&1@0&0&0)];¯H=[■(1&0&0)] (44)
где матрица ¯Г - (n+1)×(n+1) - матрица состояний эталонной системы, обладающей желаемым спектром собственных значений матрицы состояния, а матрица выходов ¯H - 1×(n+1), выбираемая из условия полной наблюдаемости пары.
Формирования матриц расширенного описания объекта
Введём уравнение движения расширенного объекта, присоединив к уравнениям движения объекта уравнение сумматора регулятора
{█(v(k+1)=v(k)+g(k)-x_1 (k)@x(k+1)=A_d x(k)+B_d u(k) )┤ (45)
В блочном виде система (45) будет иметь вид
[■(v(k+1)@x(k+1))]=[■(1&-C_d@0&A_d )]∙[■(v(k)@x(k) )]+[■(0@B_d )]∙u(k)+[■(1@0)]∙g(k) (46)
Пусть вектор
¯x=[■(v@x)] (47)
есть расширенный вектор, составленный из выходного сумматора и x, где
〖¯(A_d )=[■(1&-C_d@0&A_d )]=〗⁡[■(1&-1&0@0&0.9931&0.694@0&-0.18&0.852)] (48)
〖¯(B_d )=[■(0@B_d )]=〗⁡[■(0@0.2672@0.694)] (49)
С учётом (47)-(49), расширенную систему можно представить в виде
{█(¯x (k+1)=¯(A_d ) ¯x (k)+¯(B_d ) u(k)+B_1g g(k)@u(k)=k_1 g-¯k ¯x (k) )┤ (50)
¯x (k+1)=(¯(A_d )-¯(B_d ) ¯k) ¯x (k)+(k_1 ¯(B_d )+B_(1g)g(k)) (51)
Решение задачи модального управления: вычисление матрицы линейных стационарных обратных связей (МЛСОС) на основе матричного уравнения типа Сильвестра
Уравнение типа Сильвестра имеет вид
〖¯MГ-¯(A_d ) ¯M〗⁡〖=¯(-B_d H)〗 (52)
¯k=¯H∙¯(M^(-1) ) (53)
которое решается относительно неизвестной матрицы ¯M - (n+1)×(n+1) и неизвестной МЛСОС ¯k. Остальные матрицы нам известны из (44), (48), (49).
Найти матрицу ¯M можно при помощи команды MATLAB ¯M=sylv(-¯(A_d ), ¯Г, -¯(B_d )∙¯H)
¯M=[■(-0.2958&-1.2427&-2.9329@-0.2958&-0.9469&-1.6902@0.8083&0.9287&1.0543)] (54)
Имея (54), не составит труда вычислить МЛСОС при помощи выражения (53)
k=[■(-k_u&k_1&k_2 )]=[■(-1.9187&4.7466&2.272)] (55)
Моделирование замкнутой системы
Общий вид схемы моделирования представлен на рисунке 4
Рисунок 4 - Общий вид схемы моделирования
где input - генератор задающего воздействия g(k) (см. (26) и Рисунок 5), regulator - интегральный регулятор вида (30) (Рисунок 6), control object - объект управления, заданный в виде (29) (Рисунок 7).
Рисунок 5 - Структурная схема генератора задающего воздействия
Рисунок 6 - Структурная схема интегрального регулятора
Рисунок 7 - Структурная схема объекта управления
Результаты моделирования представлены на рисунке 8
Рисунок 8 - Временные характеристики задающего воздействия g(k), выходного сигнала y(k) и ошибки регулирования e(k)
Выводы по модели
Как наглядно иллюстрирует Рисунок 8, синтезированный регулятор прекрасно справляется с задачей слежения за задающим воздействием g(k) вида (26), обеспечивая нулевую ошибку наблюдения e(k) уже после 3-х шагов дискретности.
Модель возмущающего воздействия
Рассмотрим непрерывное возмущающее воздействие вида
f(t)=A_f sin⁡(ω_f t) (56)
где, в соответствии с вариантом
■(A_f=1.12@ω_f=6 ) (57)
f(t)=1.12sin⁡(6t) (58)
Необходимо построить его дискретную модель. Известно, что дискретный генератор синусоиды можно представить в виде разностных уравнений
{█([■(ψ_1 (k+1)@ψ_2 (k+1))]=[■(0&1@-1&2cos⁡(ωt))]∙[■(ψ_1 (k)@ψ_2 (k) )]=[■(0&1@-1&1.9938)]∙[■(ψ_1 (k)@ψ_2 (k) )]@g(k)=[■(1&0)]∙[■(ψ_1 (k)@ψ_2 (k) )] )┤(59)
с начальными условиями
■(ψ_1 (0)=0 @ψ_2 (0)=A sin⁡(ωt)=1.12 sin⁡(6*0.75)=0.0879) (60)
Моделирование дискретного генератора возмущающего воздействия
Схема моделирования представлена на рисунке ниже
Рисунок 9 - Схема моделирования возмущающего воздействия
В нижней части схемы реализовано требуемое дискретное возмущающее воздействие вида (59), в верхней - непрерывный аналог. Результаты моделирования представлены на рисунке 10
Рисунок 10 - Временные характеристики возмущающего воздействия
Анализ полученной модели
Как видно из рисунка 10, полученная модель дискретного возмущающего воздействия весьма близка к непрерывному аналогу. Следовательно, можно сделать вывод о состоятельности подобной модели.
Синтез алгоритмов управления, обеспечивающих нулевую установившуюся ошибку замкнутой системы при наличии возмущений
В случае наличия возмущающих воздействий, в регуляторе появляется соответствующая прямая связь и управляющее воздействие определяется уравнением
u(k)=k_1 g(k)-¯kx (k)-k_f x_f (k) (61)
где k_f - матрица линейных прямых связей от возмущающего воздействия, x_f (k) - вектор состояния возмущающего воздействия.
B_d∙k_f=B_fd∙H_f (62)
[■(0,2672∙k_f1@0,694∙k_f1 )]=[■(0,0482@0,1253)] (63)
откуда
k_f=[-■(0,18&0)] (64)
Моделирование замкнутой системы при наличии возмущающего воздействия
Моделирование было проведено по следующей схеме
Рисунок 11 - Схема моделирования возмущённой системы
Блок perturbation генерирует внешнее воздействие (59), поступающее через (64) на вход u(k) (Рисунок (12)), а также через (16) на вход x_2 (k+1) (Рисунок 13)
Рисунок 12 - Структурная схема возмущённого интегрального регулятора
Рисунок 13 - Структурная схема возмущённого ОУ
Рисунок 14 - Результаты моделирования возмущённой системы
Анализ результатов моделирования
Рисунок 14 показывает, что, несмотря на возмущения, регулятор справляется со своей задачей и сводит ошибку наблюдения к нулю.
Вывод
В ходе работы были освоены принципы синтезирования дискретных регуляторов для систем слежения. С задачей слежения за линейно-возрастающим сигналом справляется интегральный регулятор, сводящий ошибку слежения в ноль даже в случае присутствия незначительных возмущающих воздействий.
Документ
Категория
Рефераты
Просмотров
128
Размер файла
256 Кб
Теги
срту, лаба
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа