close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Нелокальные задачи со смещением и интегральными условиями первого рода для гиперболических уравнений

код для вставкиСкачать
ФИО соискателя: Дюжева Александра Владимировна Шифр научной специальности: 01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление Шифр диссертационного совета: Д 212.015.08 Название организации: Белгородский государстве
?а правах рукописи
?южева ?лександра ?ладимировна
???????Ь?Ы? ????Ч?
С? С??Щ????? ? ??Т??Р??Ь?Ы?? УС????Я??
П?Р???? Р???
??Я ??П?Р????Ч?С??Х УР???????
???????? ? дифференциальные уравнения?
динамические системы и оптимальное управление
?втореферат
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико?математических наук
?елгород ? ????
Работа выполнена в Самарском государственном университете
на кафедре уравнений математической физики
?аучный руководитель?
доктор физико?математических наук?
профессор
Пулькина ?юдмила Степановна
?фициальные оппоненты?
доктор физико?математических наук?
профессор
?арубин ?лександр ?иколаевич
доктор физико?математических наук?
профессор
Сербина ?юдмила ?вановна
?едущая организация?
?ладимирский государственный
гуманитарный университет
?ащита состоится на заседании диссертационного совета
? ??????????
при ?елгородском государственном национальном
исследовательском университете по адресу? ??????? г? ?елгород?
ул? Студенческая? ??? корп? ? ??У ??ел?У?? ауд? ????
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ?елгородского
государственного национального исследовательского университе?
та?
?втореферат разослан
Ученый секретарь
диссертационного совета
Прядиев ????
?бщая характеристика работы
?ктуальность темы? Современные проблемы естествозна?
ния приводят к необходимости обобщения классических краевых
задач для уравнений с частными производными? а также к поста?
новке качественно новых задач и разработке методов их исследо?
вания? ?дин из классов качественно новых задач? сформировав?
шийся на этом пути? образуют задачи с нелокальными условиями?
? задачам с нелокальными условиями различного вида приводит
математическое моделирование некоторых физических процессов
в том случае? когда граница протекания процесса недоступна для
непосредственных измерений? но могут быть получены некоторые
соотношения между значениями искомого решения и его произ?
водных в различных граничных и? возможно? внутренних точках
области?
?дним из источников задач с нелокальными условиями? свя?
зывающими значения искомого решения и его производных в раз?
?
личных точках границы? явилась статья ???? Стеклова ? в кото?
рой изучается процесс остывания неоднородного стержня? ?ате?
матическое моделирование этого процесса привело к поиску ре?
шения уравнения теплопроводности? удовлетворяющего на гра?
нице
x = 0, x = l
условиям
a1ux(0, t) + a2ux(l, t) + a3u(0, t) + a4u(l, t) = 0,
?????
b1ux(0, t) + b2ux(l, t) + b3u(0, t) + b4u(l, t) = 0,
которые впоследствии стали называть условиями смещения?
?адачи со смещением для уравнений различных типов? в том
числе для уравнений смешанного типа и уравнений высокого по?
рядка? изучались в работах Ф??? Франкля? ???? ?ахушева? ????
?егалова? ???? ?льина? ???? ?оисеева? ???? ?арубина? ????
?онкина? ??П? Солдатова? ???? Репина?
? Стеклов
???? ?адача об охлаждении неоднородного твердого тела? ?? Сообщения Харьковского матем?
общества? ????? Т??? ????? с? ???????
?
Среди первых работ? посвященных исследованию задач с нело?
кальными интегральными условиями для уравнений с частны?
?
ми производными? отметим статьи ?ж??эннона ????? ???????
?
и ???? ?амынина ? опубликованные в ???? и ???? годах соответ?
ственно? ? этих работах изучен вопрос о разрешимости уравнения
теплопроводности с нелокальными по пространственной перемен?
ной интегральными условиями?
?сследования нелокальных задач для параболических урав?
нений были продолжены в работах ???? ?онкина? ???? ?ура?
вья и ???? Филиновского? С??? ?лексеевой и ???? Юрчука? ??
????????? ???? ?ожанова? ???? ?ахушевой?
?ачало систематического исследования нелокальных задач
для эллиптических уравнений положено в статье ???? ?ицадзе
?
и ???? Самарского ? опубликованной в ???? г? ?альнейшие глу?
бокие результаты исследования разрешимости и качественных
свойств решений нелокальных задач для эллиптических уравне?
ний были получены в работах ???? ?ущина? ???? ?ущина и ??П?
?ихайлова? ???? Скубачевского? ???? ?алахова и ???? Скубачев?
ского?
?елокальные задачи для гиперболических уравнений стали
объектом исследований позже? в ???х годах ?? века? и в настоящее
время активно изучаются? ?тметим работы ???? ?ордезиани? ????
?валишвили? ?? ????????? ???? ?ожанова? ??С? Пулькиной?
? настоящей диссертационной работе исследуются нелокаль?
ные задачи для гиперболических уравнений? задача с динамиче?
ским смещением и задачи с интегральными по пространственной
переменной условиями?
?тметим некоторые работы? которые явились толчком для
? ????
??????? ??? s???t??? ?? ???t ?q??t??? s?????t t? t?? s???????t??? ?? ???r??? ?????rt? ????? ??t??
????? ????? ??? P??????????
? ?амынин ???? ?б одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими условия?
ми????урнал вычислительной математики и математической физики? ????? Т??? ??? С? ??????????
? ?ицадзе ????? Самарский ???? ? некоторых простейших обобщениях эллиптических задач? ?? ???
СССР? ????? Т????? ??? С?????????
?
исследований? представленных в диссертации?
? статьях ???? ?ажетича ?????? ???? гг?? изучена задача со
смещением ????? для гиперболического уравнения
utt ? uxx + q(x)u = 0.
?м была установлена ее однозначная разрешимость методом раз?
деления переменных? Решающую роль при обосновании разреши?
мости играло условие самосопряженности оператора
?v (x) + q(x)v(x) = 0
с областью определения? порождаемой условиями смещения
a1vx(0) + a2vx(l) + a3v(0) + a4v(l) = 0,
?????
b1vx(0) + b2vx(l) + b3v(0) + b4v(l) = 0,
в которых
ai, bi ? заданные постоянные? Существенным обобще?
нием условия ????? являются динамические условия смещения?
a1(t)ux(0, t) + a2(t)ux(l, t) + a3(t)u(0, t) + a4(t)u(l, t) = 0,
?????
b1(t)ux(0, t) + b2(t)ux(l, t) + b3(t)u(0, t) + b4(t)u(l, t) = 0.
?адачи с такими условиями для параболического уравнения изу?
чались ???? ?ожановым? ?ля гиперболического уравнения ????
?ожанов и ??С? Пулькина рассмотрели задачу с комбинацией
динамических смещений и интегральных условий?
? предложенной диссертационной работе исследована зада?
ча с динамическими условиями смещения в ином? нежели в упо?
мянутых работах? функциональном пространстве? и полученные
результаты использованы для доказательства разрешимости за?
дачи с нелокальными интегральными условиями ? рода для ги?
перболического уравнения?
Целью настоящей работы является исследование разре?
шимости задачи с динамическими условиями смещения ???? Стек?
?
лова и задач с нелокальными условиями ? рода для гиперболиче?
ского уравнения? ?аметим? что оба класса задач? рассмотренных
в работе? тесно связаны между собой?
?бщая методика исследования? ? работе используются
методы теории дифференциальных уравнений с частными про?
изводными? интегральных уравнений? аппарат функциональных
пространств С??? Соболева?
?аучная новизна? ? диссертации получены следующие но?
вые результаты?
?? ?оказана однозначная разрешимость задачи с динамиче?
скими условиями смещения для гиперболического уравнения?
?? Разработан метод сведения интегральных условий первого
рода к интегральным условиям второго рода специального вида
и доказана их эквивалентность?
?? ?оказана однозначная разрешимость двух задач с инте?
гральными условиями первого рода для гиперболического урав?
нения?
?се результаты диссертации являются новыми?
Теоретическая и практическая значимость? Работа но?
сит теоретический характер? Полученные результаты могут быть
использованы для дальнейшего развития теории нелокальных за?
дач? для применения в исследовании прикладных задач? матема?
тическими моделями которых являются задачи с нелокальными
интегральными условиями?
?пробация работы? ?сновные результаты доложены на сле?
дующих семинарах?
? научном семинаре кафедры уравнений математической фи?
зики механико?математического факультета Самарского государ?
ственного университета в ????? ???? гг? ?руководитель ? д?ф?м?н??
профессор ??П? Филатов??
? научном семинаре кафедры уравнений математической фи?
зики механико?математического факультета Самарского государ?
?
ственного университета ??еклассические задачи математической
физики?? ????????? г? ?руководитель ? д?ф?м?н?? профессор Пуль?
кина ??С???
? научном семинаре кафедры математического анализа физико?
математического факультета Поволжской государственной социально?
гуманитарной академии в ????г? ?руководитель ? д?ф?м?н?? про?
фессор ???? Сабитов?? а так же на конференциях?
? ?оронежской весенней математической школе ?Понтрягин?
ские чтения ? ??? ?Современные методы теории краевых задач??
?оронеж? ?????
? ??? школе молодых ученых ??елокальные краевые задачи
и проблемы современного анализа и информатики?? ?альчик ?
Хабез? ?юнь? ?????
? международной конференции ??ифференциальные уравне?
ния и динамические системы?? Суздаль? ?юль ?????
? девятой молодежной научной школе?конференции ??обачев?
ские чтения ? ?????? ?азань? октябрь ?????
? ?оронежской весенней математической школе ?Понтрягин?
ские чтения ? ?????? ?оронеж? май ?????
? ?? школе молодых ученых ??елокальные краевые задачи
и проблемы современного анализа и информатики?? ?абардино?
?алкария? ?альчик? май? ?????
? конференции ??ифференциальные уравнения и их прило?
жения?? Сам?иф ? ????? Самара? июнь ?????
? международной конференции ??омплексный анализ и его
приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел??
?елгород? октябрь? ?????
? международной конференции молодых ученых ??атемати?
ческое моделирование фрактальных процессов? родственные про?
блемы анализа и информатики?? ?абардино??алкария? ?альчик?
?????
Публикации? По теме диссертации опубликовано ?? работ?
?
которые отражают ее основные результаты? Список публикаций
приведен в конце автореферата? Работы ????? ???? опубликованы
в соавторстве с научным руководителем? которому принадлежит
постановка задачи? ? работы? ????? ????? ???? опубликованы в изда?
ниях? рекомендованных ????
Структура и объем работы? ?иссертация состоит из вве?
дения и двух глав? разбитых на параграфы? списка литературы
из ?? наименований? включая работы автора? ?бъем диссертации
составляет ?? страниц машинописного текста?
?
?сновное содержание работы
?о введении приведен обзор литературы? связанной с те?
мой диссертации? обоснована актуальность? излагается краткое
содержание работы? сформулированы основные результаты? вы?
носимые на защиту?
Первая глава посвящена исследованию задачи с динамиче?
скими условиями смещения для гиперболического уравнения?
?адача ?? ?айти в области
Q = (0, l) Ч (0, T )
решение урав?
нения
utt ? uxx + c(x, t)u = f (x, t),
?????
удовлетворяющее начальным данным
u(x, 0) = ?(x),
ut(x, 0) = ?(x)
?????
и условиям смещения
a1(t)ux(0, t) + a2(t)ux(l, t) + a3(t)u(0, t) + a4(t)u(l, t) = 0,
?????
b1(t)ux(0, t) + b2(t)ux(l, t) + b3(t)u(0, t) + b4(t)u(l, t) = 0.
?собенностью этой задачи является зависимость коэффициентов
в условии ????? от переменой
t?
что весьма существенно?
?
? настоящей работе доказано существование единственного
решения
задачи ? с динамическими условиями смещения ????? в
W21(Q) ?
? ? a1(t)b2(t) ? a2(t)b1(t) = 0 ? ?t ? [0, T ] ?
пространстве
Пусть
Тогда усло?
вия ????? можно записать в виде
ux(0, t) = ?1(t)u(0, t) + ?1(t)u(l, t),
?????
ux(0, t) = ?2(t)u(0, t) + ?2(t)u(l, t),
где обозначено?
?1(t) =
a3(t)b1(t) ? a2(t)b3(t)
a3(t)b2(t) ? a2(t)b3(t)
, ?2(t) =
,
?
?
?1(t) =
a3(t)b1(t) ? a2(t)b3(t)
a4(t)b1(t) ? a2(t)b4(t)
, ?2(t) =
.
?
?
Теорема ?
Пусть выполняются следующие условия?
Ї T ), f (x, t) ? L2(QT ),
H1. c(x, t) ? C(Q
?(x) ? W21(0, l), ?(x) ? L2(0, l);
H2. ?i(t), ?i(t) ? C 1[0, T ];
H3. ?1(t)?12 + (?1(t) ? ?2(t))?1?2 ? ?2(t)?22 ? 0;
H4. ?2(t) + ?1(t) = 0 ?t ? [0, T ].
Тогда существует единственное обобщенное решение задачи ??????
?????? ??????
?бобщенное решение понимается как функция
удовлетворяющая условию
T
u(x, 0) = ?(x)
l
0
и тождеству
T
(?utvt+uxvx+cuv)dxdt+
0
u(x, t) ? W21(QT ) ?
v(0, t)[?1(t)u(0, t)+?1(t)u(l, t)]dt?
0
?
T
?
v(l, t)[?2(t)u(0, t) + ?2(t)u(l, t)]dt =
0
l
=
для любой
v?
T
l
?(x)v(x, 0)dx +
0
W21(QT ) ?
f vdxdt,
0
0
v(x, T ) = 0 ?
?о второй главе рассматривается нелокальная задача с ин?
тегральными условиями ? рода?
?адача ?? ?айти в области
Q = (0, l) Ч (0, T )
решение урав?
нения
utt ? uxx + c(x, t)u = f (x, t),
?????
удовлетворяющее начальным данным
u(x, 0) = ?(x),
ut(x, 0) = ?(x)
?????
и нелокальным условиям
t
l
l
Ki(x, t)u(x, t)dx +
0
Hi(x, ? )u(x, t)dxd? = 0, i = 1, 2,
0
0
?????
где
Hi(x, t) ? Ki(x, t)
заданы в
Q?
Специальный вид условий ?????? не ограничивающий общно?
сти? позволяет выявить особенности исследования разрешимости
поставленной задачи как в случае ядра? зависящего только от
пространственной переменной? так и в случае зависимости его и
от переменной
t?
? обоих случаях задача с нелокальными усло?
виями ? рода сводится эквивалентным образом к задаче с нело?
кальными интегральными условиями ?? рода специального вида?
содержащими интегральный оператор и оператор смещения? ?
изучению разрешимости полученной задачи удалось применить
метод компактности? Реализация этого метода в данном случае
существенно опирается на результаты? полученные в первой гла?
ве?
?сли
2Kit + Hi = 0 ?
то справедлива
??
?емма ?
?сли для всех
t ? [0, T ]
? ? K1(l, t)K2(0, t) ? K1(0, t)K2(l, t) = 0,
Ki(x, t) ? C 2(Q) ? Hi(x, t) ? C(Q)
гласования
?????
и выполняются условия со?
l
Ki(x, 0)?(x)dx = 0,
0
l
l
Kit(x, 0)?(x)dx +
0
l
Ki(x, 0)?(x)dx +
0
Hi(x, 0)?(x)dx = 0,
0
то условия ????? эквивалентны нелокальным интегральным усло?
виям второго рода
ux(0, t) = ?1(t)u(l, t) + ?1(t)u(0, t)+
l
l
M1(x, t)u(x, t)dx +
+
0
R1(x, t)f (x, t)dx,
0
ux(l, t) = ?2(t)u(l, t) + ?2(t)u(0, t)+
l
l
M2(x, t)u(x, t)dx +
+
0
где
R2(x, t)f (x, t)dx,
0
?K1x(l, t)K2(l, t) + K2x(l, t)K1(l, t)
;
?
?K1x(0, t)K2(l, t) ? K2x(0, t)K1(l, t)
?1(t) =
;
?
?1(t) =
2
M1(x, t) =
(?1)i?1(Kixx ? Kitt ? cKi)Ki?(?1)i (l, t)
i=1
?
K2(x, t)K1(l, t) ? K1(x, t)K2(l, t)
R1(x, t) =
;
?
?K1x(l, t)K2(0, t) + K2x(l, t)K1(0, t)
?2(t) =
;
?
??
;
?2(t) =
?K1x(0, t)K2(0, t) ? K2x(0, t)K1(0, t)
;
?
2
M2(x, t) =
(?1)i?1(Kixx ? Kitt ? cKi)Ki?(?1)i (0, t)
i=1
?
K2(x, t)K1(0, t) ? K1(x, t)K2(0, t)
;
R2(x, t) =
?
;
?оказанная лемма позволила воспользоваться методами? разра?
ботанными для исследования разрешимости задач с нелокаль?
ными интегральными условиями второго рода? и результатами?
полученными в первой главе представленной диссертации?
Полученный результат сформулирован в виде теоремы?
Теорема ?
Пусть выполняются условия леммы? а также?
Ї T ), f (x, t) ? L2(QT ),
H1.c(x, t) ? C(Q
?(x) ? W21(0, l), ?(x) ? L2(0, l);
Ki(x, t) ? C 2(Q) ? C(Q), Hi(x, t) ? C 2(Q) ? C(Q), Kixxt ? C(Q);
H2. ?i(t), ?i(t) ? C 1[0, T ];
H3. ?1(t)?12 + 2?1(t)?1?2 ? ?2(t)?22 ? 0, ?t ? [0, T ];
H4. ?2(t) + ?1(t) = 0 ?t ? [0, T ].
Тогда существует единственное обобщенное решение задачи ??
Под обобщенным решением понимается функция
удовлетворяющая условию
u(x, 0) = ?(x)
u(x, t) ? W21(QT ) ?
и интегральному тож?
деству
T
l
T
(?utvt + uxvx + cuv)dxdt ?
0
0
[?2(t)v(l, t) ? ?1(t)v(0, t)]dt =
0
??
l
=
T
?(x)v(x, 0)dx+
T
[g2(t)v(l, t)?g1(t)v(0, t)]dt+
0
0
для любой
l
f vdxdt,
0
0
v ? W21(QT ) ? v(x, T ) = 0 ?
?десь обозначено
l
?i(t) =
Mi(x, t)u(x, t)dx + ?i(t)u(0, t) + ?i(t)u(l, t),
0
l
gi(t) =
Ri(x, t)f (x, t)dx,
i = 1, 2.
0
?сли
2Kit(x, t) + Hi(x, t) = 0 ?
то в нелокальных условиях
второго рода? к которым сводятся условия ?????? содержится про?
изводная
ut(x, t) ?
Получение априорной оценки в этом случае
может привести к дополнительным условиям на входные данные?
?днако удалось так модифицировать процесс сведения нелокаль?
ных условий ? рода к условиям ?? рода? что эти трудности пре?
одолены? ?ля того? чтобы избежать слишком громоздких преоб?
разований? рассмотрена задача с одним нелокальным условием?
?адача ?? ?айти в области
Q = (0, l) Ч (0, T ) ? l, T < ? ?
решение уравнения
utt ? uxx + c(x)u = f (x, t),
?????
удовлетворяющее начальным данным
u(x, 0) = 0,
ut(x, 0) = 0
??????
и условиям
ux(0, t) = 0,
l
t
l
K(x, t)u(x, t)dx +
0
H(x, ? )u(x, t)dxd? = 0.
0
??????
0
Справедлива следующая лемма?
??
??????
?емма ?
?сли для всех
t ? [0, T ] ? K(l, t) = 0 ? Kx(0, t) = 0 ?
K(x, t) ? C 2(Q) ? Kxxt ? C(Q) ? H(x, t) ? C 1(Q) ? Hxx ? C(Q) ?
то условия ?????? эквивалентны условиям?
t
t
? a(?)d?
G(? )e?
ux(l, t) = G(t) ? a(t)
d?,
??????
0
где
l
G(t) = b(t)u(l, t) ?
t
0
0
t
l
t
u(0, ? )d? ?
??2(t)
u(x, ? )d? dx + g(t),
B(x, t)
0
0
0
u(l, ? )d? ?
S(x, t)u(x, t)dx + ?1(t)
2Kt(x, t) + H(x, t)
Kx(l, t)
, b(t) =
,
K(l, t)
K(l, t)
Kxx(x, t) ? K(x, t)c(x) + Ktt(x, t) + Ht(x, t)
S(x, t) =
,
K(l, t)
2Kxt(l, t) + Hx(l, t)
Nxx(0, t) ? c(x)N (0, t)
?1(t) =
, ?2(t) =
,
K(l, t)
K(l, t)
2Ktxx(x, t) + Hxx(x, t) ? c(x)(2Kt(x, t) + H(x, t))
B(x, t) =
,
K(l, t)
a(t) =
1
g(t) =
K(l, t)
l
t
[K(x, t)f (x, t) + N (x, t)
0
f (x, t)d? )]dx,
0
N (x, t) = 2Kt(x, t) + H(x, t).
?оказанная лемма позволяет перейти от
задачи ? к
задаче ??
найти решение уравнение ?????? удовлетворяющее условиям ???????
?????? и нелокальному условию ??????? ?ля
теорема?
??
задачи ? справедлива
Теорема ?
Пусть выполняются следующие условия?
K(x, t) ? C 2(QT ), Kxxt ? C(QT );
K(l, t) = 0 ?t ? [0, T ], Kx(0, t) = 0;
H(x, t) ? C(QT ), Hxx ? C(QT ), f (x, t) ? L2(QT ).
Тогда существует единственное обобщенное решение задачи ??
Под обобщенным решением задачи ? мы понимаем функцию
u(x, t) ? W21(QT ) ?
удовлетворяющую условию
u(x, 0) = 0
и тож?
деству?
T
T
l
v(l, t)G(t)dt =
(?utvt + uxvx + cuv)dxdt +
0
0
0
??????
t
T
G(? )e?
v(l, t)a(t)
=
0
для любой
t
? a(?)d?
?
l
d? +
0
f vdxdt.
0
0
v ? W21(QT ) ? v(x, T ) = 0 ? Теорема ? и лемма ? гаран?
тируют однозначную разрешимость
задачи ??
? заключение автор выражает искреннюю благодарность на?
учному руководителю? доктору физико?математических наук? про?
фессору ?юдмиле Степановне Пулькиной за постановку задач?ценные
советы и постоянное внимание к работе?
??
Список литературы
?елокальная задача для уравнения гиперболи?
??? ?южева ????
ческого типа??? ?атериалы ?оронежской весенней матема?
тической школы ?Понтрягинские чтения ? ??? ?? ?оронеж?
??У? ????? С???????
??? ?южева ????
? некоторых задачах с нелокальными условия?
ми ? рода? ?? ?атериалы ???? школы ?олодых ученых ??ело?
кальные краевые задачи и проблемы современного анализа
и информатики?? ?альчик?Хабез? ???Ц Р??? ?????
??? ?южева ????
?б одной нелокальной задаче с переменными по
времени краевыми условиями для гиперболического уравне?
ния??? Тезисы докладов международной конференции ??иф?
ференциальные уравнения и динамические системы?? Суз?
даль? ????? с? ???
??? ?южева ????
? некоторых нелокальных задачах с инте?
гральными условиями первого рода? ?? Труды ?атематиче?
ского центра им? ?обачевского? ?азань? ????? с? ????????
??? ?южева ????
?б одной краевой задаче для уравнения высо?
кого порядка? ?? ?атериалы ?оронежской весенней матема?
тической школы ?Понтрягинские чтения ? ?????? ?оронеж?
??У? ????? С???????
??? ?южева
????
Теорема единственности решения краевой
задачи для уравнения четвертого порядка? ???атериалы
?? Школы молодых ученых ??елокальные краевые зада?
чи
и
проблемы
современного
анализа
и
информатики??
?абардино??алкария? ?альчик? ???Ц Р??? ????? с? ??????
??? ?южева ????
?б одной смешанной задаче с нелокальными
условиями ? рода? ?? Тезисы докладов конференции ??иффе?
ренциальные уравнения и их приложения? ?Сам?иф?????? ??
Самара? Сам?У? ????? с???????
??
?елокальные задачи с ин?
??? ?южева ????? Пулькина ??С?
тегральными условиями первого рода для гиперболического
уравнения? ??Тезисы докладов международной конференции
??омплексный анализ и его приложения в дифференциаль?
ных уравнениях и теории чисел?? ?елгород? ?ел?У? ????? С?
???
??? ?южева ????
?б одной нелокальной задаче для гиперболи?
ческого уравнения с нелокальными интегральными услови?
ями первого рода? ???атериалы международной конферен?
ции молодых ученых ??атематическое моделирование фрак?
тальных процессов? родственные проблемы анализа и инфор?
матики ?альчик? ???Ц Р??? ????? с? ????????
???? ?южева ????
?елокальная задача с интегральными услови?
ями ? рода для гиперболического уравнения? ???естник Сам?
?У? ?стественнонаучная серия? ????? ??????? с???????
???? Пулькина ??С?? ?южева ????
?елокальная задача с перемен?
ными по времени краевыми условиями Стеклова для гипер?
болического уравнения? ???естник Сам?У? ?стественнонауч?
ная серия? ????? ??????? с???????
???? ?южева ????? Пулькина ??С?
?елокальная задача для ги?
перболического уравнения с интегральным условием ? рода?
???аучные ведомости ?елгородского государственного уни?
верситета? Серия ?атематика? Физика? ?? ????? ?ып???
??
Документ
Категория
Физико-математические науки
Просмотров
82
Размер файла
246 Кб
Теги
кандидатская
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа