close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Квантильные многомерные модели регрессий, основанные на нелинейных дифференциальных уравнениях

код для вставкиСкачать
ФИО соискателя: Орлова Ирина Сергеевна Шифр научной специальности: 05.13.17 - теоретические основы информатики Шифр диссертационного совета: Д 212.215.07 Название организации: Самарский государственный аэрокосмический университет им.С.П.Королева Адр
?а правах рукописи
?рлова ?рина Сергеевна
????Т??Ь?Ы? ???????Р?Ы? ??????
Р??Р?СС??? ?С??????Ы? ?? ????????ЫХ
??ФФ?Р??Ц???Ь?ЫХ УР??????ЯХ
???????? ? Теоретические основы информатики
?втореферат
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико?математических наук
Самара ? ????
Работа выполненна на кафедре теории вероятности и математической стати?
стики федерального государственного бюджетного образовательного уч?
реждения высшего профессионального образования ?Самарский государ?
ственный университет??
?аучный руководитель
? доктор физико?математических наук?
профессор
Шатских Сергей Яковлевич
?фициальные оппоненты?
доктор физико?математических на?
ук? профессор? федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего профессионального образования ?Самарский госу?
дарственный аэрокосмический университет имени академика С?П? ?оро?
лева ?национальный исследовательский университет?? ? кафедра техниче?
ской кибернетики? профессор?
Соболев ?ладимир ?ндреевич?
доктор физико?математических на?
ук? доцент? федеральное государственное бюджетное образовательное учре?
ждение науки ?нститут систем обработки изображений Российской акаде?
мии наук? лаборатория математических методов обработки изображений?
ведущий научный сотрудник?
?ясников ?ладислав ?алерьевич?
?едущая организация ? федеральное государственное автономное обра?
зовательное учреждение высшего профессионального образования ?Юж?
ный федеральный университет??
?ащита состоится ?? мая ???? г? в ????? часов на заседании диссертацион?
ного совета ??????????? при федеральном государственном бюджетном об?
разовательном учреждении высшего профессионального образования ?Са?
марский государственный аэрокосмический университет имени академика
С?П? ?оролева ?национальный исследовательский университет???С??У? по
адресу? ??????? г? Самара? ?осковское шоссе? ???
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке С??У?
?втореферат разослан ?? апреля ???? г?
?
?бщая характеристика работы
?иссертация посвящена разработке? исследованию и анализу основных
свойств квантильных многомерных моделей регрессий на основе диффе?
ренциальных уравнений Пфаффа и данных парных наблюдений?
?ктуальность темы
?лавная цель создания регрессионной модели некоторой системы состо?
ит в оптимальном построении функциональной зависимости между наблю?
даемыми переменными? характеризующими работу этой системы?
?озникновение регрессионных моделей относят к концу ?? века в свя?
зи с астрономическими и геодезическими работами П?С? ?апласа? ????
?ежандра и ??Ф? ?аусса? Термины регрессия и корреляция впервые появ?
ляются в конце ?? века в работах Ф? ?альтона? посвященных генетике и
психологии?
? настоящее время регрессионные модели имеют большое многообразие
форм? степеней сложности и возможностей применения для решения теоре?
тических и прикладных задач? Регрессионные модели составляют важную
часть статистической теории распознавания образов и изображений ???
????????? ?? ????? ?? ??? P? ???? ?? ???r???? ?? ??????? ???? Сергеев? ????
Сойфер? ??П? Ярославский?? методов машинного обучения ??? P?r???? ??
??s?????tt? Э??? ?адарайа? ???? ?брагимов? ???? ?апник? ??Я? Червонен?
кис? ???? Цыбаков?? фильтрации и анализа данных? обнаружения законо?
мерностей в данных и их извлечениях ??? ????r??? ?? ?????? ?? ??tt??? ??
?????? ???? ?агоруйко? ???? ?агутин? Ю??? Тюрин??
? основе квантильных статистических регрессионных моделей различ?
ных структур и процессов лежит широкое использование математической
техники условных медиан и квантилей многомерных вероятностных рас?
пределений ??? ?????? P? ???tt????r??? ?? ??????r? P? ???????r?? ??? ?????s?
????? С?Я? Шатских? ???? ?орячкин?? Это связано с появлением новых ста?
тистических моделей? в которых ошибки наблюдений имеют негауссовские
распределения с ?тяжелыми хвостами?? ?ля таких моделей предположе?
ние о существовании моментов функций распределения уже не является
справедливым? Поэтому в регрессионном анализе и теории фильтрации
развивается ?безмоментный? подход? в рамках которого условные меди?
аны и квантили? как функции ?объясняющих факторов? ? используются
вместо условных средних? ?роме того? по сравнению с оценками наимень?
ших квадратов? выборочные условные медианы и квантили менее чувстви?
тельны к появлению резко отклоняющихся наблюдений?
?астоящая работа посвящена разработке новых квантильных много?
мерных моделей регрессий на основе дифференциальных уравнений Пфаф?
фа и данных парных наблюдений? Таким образом? тематика диссертаци?
онной работы является актуальной как с точки зрения развития теории?
так и с точки зрения возможных практических приложений?
?
Цель и задачи исследования
Целью диссертации является разработка и исследование квантильных
многомерных моделей регрессий на основе дифференциальных уравнений
Пфаффа и данных парных наблюдений? разработка алгоритмов линеари?
зации дифференциальных уравнений?
?ля достижения поставленной цели в диссертации решаются следую?
щие задачи?
?? Создание новой квантильной многомерной регрессионной модели? ос?
нованной на данных парных наблюдениий и дифференциальных уравнени?
ях Пфаффа? применение этой модели к решению задач медианной филь?
трации и интерполяции изображений?
?? Разработка алгоритма обнаружения закономерностей в данных пар?
ных наблюдений и их извлечениях?
?? Построение теории квантильной многомерной регрессионной модели
?на основе использования исчисления внешних дифференциальных форм?
теорем Фробениуса и ?арбу??
?? Разработка алгоритма приближенного решения вполне интегрируе?
мых квантильных уравнений Пфаффа и его программная реализация?
?? Разработка алгоритмов линеаризации квантильных уравнений Пфаф?
фа? автономных дифференциальных уравнений n?го порядка? и их прак?
тическая реализация?
?етоды исследований
? диссертационной работе используются методы теории вероятностей
и многомерного статистического анализа? анализа данных? статистической
теории распознования образов и изображений? линейной алгебры? матема?
тического анализа? дифференциальных уравнений и вычислительной ма?
тематики?
?аучная новизна работы
Разработана новая квантильная регрессионная модель ??Р??? осно?
ванная на данных парных наблюдений и дифференциальных уравнениях
Пфаффа? Рассмотрена возможность применения этой модели к решению
задач медианной фильтрации и интерполяции изображений?
Разработан алгоритм обнаружения закономерностей в данных парных
наблюдений и их извлечениях?
Разработана теория ?Р? ?на основе использования исчисления внеш?
них дифференциальных форм? теорем Фробениуса и ?арбу??
Разработан алгоритм приближенного решения вполне интегрируемых
квантильных уравнений Пфаффа для условных квантилей и его программ?
ная реализация?
Разработаны новые алгоритмы линеаризации квантильных уравнений
Пфаффа? автономных дифференциальных уравнений n?го порядка? и их
практическая реализация?
?
Практическая ценность работы
?иссертационная работа носит теоретический характер? ?днако? разра?
ботанные в ней квантильные регрессионные модели могут быть положены в
основу решения многих конкретных прикладных задач связанных с распо?
знаванием образов и изображений? медианной фильтрации? интерполяции
изображений? а также с разработкой алгоритмов анализа данных?
Реализация результатов работы
?атериалы диссертации внедрены в учебный процесс кафедры теории
вероятностей и математической статистики Самарского государственного
университета?
?пробация работы
?сновные результаты диссертационной работы были представлены на
конференциях?
? ???r? ??t? ????? ??????tr? ?? ????????r ??t?? ???s??s ????? ??r?????
????? ???? ?????
? ??t? ???? ????? ?? ??t????t??s? ???? ????????? ?????? ????????? ??t?
?????? ????? ?????rs?t? ?? ?????????? ???s????
? ??? ??t?r??t????? ?????r???? ?????? ????? ????r? ?r??? ?????s?s
??r t?? ??? ??????????? ???? ??????? ?? ???t????r? ?? ??t???r? ?????
? ?сероссийская научная конференция ??ачественная теория диффе?
ренциальных уравнений и е? приложения Рязань? ? ? ?? октября ?????
? ???? ?сероссийская школа ? коллоквиум по стохастическим методам?
г? ?исловодск? ??? мая ???? г?
? Семинар кафедры теории вероятностей и математической статистики
Сам?У ?рук? проф? С?Я? Шатских?? ????? ? ???? гг??
Публикации? По теме диссертации опубликовано ? работ? в том числе
? статей? из них ? ? в изданиях? входящих в Перечень ведущих рецензируе?
мых научных журналов и изданий? в которых должны быть опубликованы
основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени
доктора и кандидата наук?
Структура и объ?м диссертации
Поставленные задачи определили структуру работы и содержание от?
дельных разделов? ?иссертация состоит из введения? четырех разделов?
заключения? списка использованных источников и приложения? ?на изло?
жена на ??? страницах машинописного текста ?без приложения?? содержит
?? рисунка? ? таблицы? список использованных источников из ??? наиме?
нований?
?а защиту выносятся
?? ?овая квантильная многомерная регрессионная модель? основанная
на данных парных наблюдениий и дифференциальных уравнениях Пфаф?
фа?
?? ?лгоритм обнаружения закономерностей в данных парных наблюде?
ний и их извлечениях?
?
?? Теория квантильной многомерной регрессионной модели ?на осно?
ве использования исчисления внешних дифференциальных форм? теорем
Фробениуса и ?арбу??
?? ?лгоритм приближенного решения вполне интегрируемых квантиль?
ных уравнений Пфаффа и его программная реализация?
?? ?лгоритмы линеаризации квантильных уравнений Пфаффа? авто?
номных дифференциальных уравнений n?го порядка? и их практическая
реализация?
?раткое содержание диссертации
?о введении обоснована актуальность темы диссертации? сформули?
рована цель работы? а также задачи? подлежащие решению? приведены
положения? выносимые на защиту? рассмотрена структура диссертации?
Первый раздел диссертации посвящен основным определениям и
свойствам квантильной регрессии?
? основе квантильных регрессионных моделей различных структур и
процессов лежит широкое использование математической техники услов?
ных медиан и квантилей многомерных вероятностных распределений?
?вантиль уровня p ? [0, 1] случайной величины X с функцией рас?
пределения F (x) = P{X ? x} определяется равенством
q (p) = inf {u : F (u) ? p };
для непрерывной строго монотонной функции распределения F (x) :
F (q (p) ) = p,
q (p) = F ?1 (p);
квантили специальных видов?
q (1/2) ? медиана? q (1/4) , q (3/4) ? нижняя и верхняя
q (3/4) ? q (1/4) ? интерквартильный размах?
Условные квантили и медианы?
квартили?
условная квантиль
(p)
xn = qn|1 ... n?1 (x1 , . . . , xn?1 )
уровня p ? [0, 1] случайной величины Xn по случайным величинам
X1 , . . . , Xn?1 определяется равенством
(p)
Fn|1 ... n?1 (qn|1 ... n?1 (x1 , . . . , xn?1 )|x1 , . . . , xn?1 ) ? p,
где Fn|1 ... n?1 (xn |x1 , . . . , xn?1 ) = P {Xn ? xn |X1 = x1 , . . . , Xn?1 = xn?1 } ?
условная функция распределения ?непрерывная и строго монотонная по
xn ).
(1/2)
Условная медиана? xn = qn|1
... n?1 (x1 , . . . , xn?1 ).
?ля симметричных по xn условных функций распределения
fn|1 ... n?1 (xn |x1 , . . . , xn?1 ) = fn|1 ... n?1 (?xn |x1 , . . . , xn?1 ),
?
условное математическое ожидание совпадает с условной медианой
(1/2)
M{Xn |X1 = x1 , . . . , Xn?1 = xn?1 } = qn|1 ... n?1 (x1 , . . . , xn?1 ).
?вантильные модели регрессий
?вантильная ?медианная p = 21 ? регрессия случайной величины Xn
на случайные величины X1 , . . . , Xn?1 задается с помощью регрессионной
функции
(p)
Xn := qn|1...n?1 (X1 , . . . , Xn?1 ), p ? [0, 1].
Примеры использования квантильной регрессии при обработ?
ке изображений
?нтерполяция?
?? ?а этапе восстановления изображения по обработанному ?кодирован?
ному? изображению используется способ интерполяции по известной схеме
?прямой крест?? Сначала вычисляются аппроксимирующие значения от?
счетов на краях ячейки? как условные медианы двух ближайших угловых
отсчетов? ?атем центральный отсчет предсказывается с помощью условной
медианы четырех отсчетов на ребрах?
?? При увеличении изображения ?или при искажении изображения гео?
метрическим преобразованием? используется интерполяция уровня ярко?
сти в ?промежуточном? отсчете ?пикселе? с помощью условной медианы
уровней яркостей в соседних отсчетах
€3
?
(1/2)
= q3|1245 (?1 ,
?2 , ?4 , ?5 )
?спользование условных медиан и квантилей полезно при подавлении
аддитивного импульсного шума ?s??t??????????r ???s??и фильтрации ра?
диолокационных изображений?
Фильтрация?
?налог ранговых адаптивных алго?
ритмов локальной фильтрации? опе?
ратор фильтрации ? использует
условные квантили? построенные по
отсчетам X1 , . . . , X8 в скользящем
окне D центрального отсчета X9
?
?5
?
(k/4)
q (k/4) = q9|1...8 (X1 , . . . , X8 ), k = 0, 4,
€9 = ?
X
q (k/4) , k = 0, 4 , X9 =
= ближайшая к X9 условная квантиль q
?
?6
?4
(k/4)
?
X9
?
?
?7
€9
?
?3
?
D
?
?
?8
?1
?2
?
?птимальность квантильной регрессии
?инимизация байесовского риска
(p)
M{?p (Xn ?qn|1 ... n?1 (X1 , . . . , Xn?1 ))} = min M{?p (Xn ?g(X1 , . . . , Xn?1 ))},
g(·)
с функцией потерь
(p ? 1) u,
p u,
?p (u) =
u ? 0,
u > 0,
p ? [0, 1].
?ногомерные распределения вероятностей? обладающие свой?
ством воспроизводимости условных квантилей?
?рафики условных квантилей ? поверхности или кривые постоянного
уровня? определяемые отмеченной точкой ? ? ?(x?1 , . . . , x?n )?
(? ? )
F1| 2...n q1|2...n (x2 , . . . , xn )| x2 , . . . , xn ? F1| 2...n (x?1 | x?2 , . . . , x?n ),
(? ? )
q1|2...n ( x?2 , . . . , x?n ) = x?1 ,
(x? , x?
j)
Fi| j qi|ji
(x? , x?
j)
(xj )| xj ? Fi| j (x?i | x?j ),
qi|ji
(x?j ) = x?i , i = j.
?удем говорить? что для многомерного распределения ве?
роятностей F1...n (x1 , . . . , xn ) выполняется свойство воспроизводимости услов?
ных квантилей? если система тождеств?
?пределение?
(? ? )
(x? , x?
2)
q1|2...n x2 , q3|23
(x? , x?
2)
(x2 ), . . . , qn|2n
(x? , x?
2)
(x2 ) ? q1|21
(x2 ),
.........................................................
(? ? )
(x? , x?
n)
q1|2...n q2|n2
(x?
, x?
n)
n?1
(xn ), . . . , qn?1|n
(x? , x?
n)
(xn ), xn ? q1|n1
(xn )
имеет место для любой отмеченной точки ? ? ?(x?1 , . . . , x?n ) ? Rn .
Примеры многомерных распределений обладающих воспроизводимо?
стью условных квантилей? распределение ?аусса? распределение Стьюден?
та ??оши?? распределение ?ирихле? распределение Парето? распределение
?лейтона? логистическое распределение и т?д?
?торой раздел диссертации
При изучении многомерных моделей в математической статистике и
анализе данных обычно рассматривают выборки? размерности которых
совпадают с размерностями наблюдаемых случайных векторов
{(X1 , . . . , Xn )} ?
(1)
(m)
x1 , . . . , x(1)
, . . . , x1 , . . . , x(m)
n
n
?аметим? что использование выборок
.
парных наблюдений объ?ма m
?
{(Xi , Xj )} ?
(1)
(1)
xi , xj
(m)
, . . . , xi
(m)
, xj
, i = j, i, j = 1, n.
не позволяет ?в негауссовском случае?? построить удовлетворительные оцен?
ки параметров ?или провести проверку гипотез?? относящихся к распреде?
лениям более высоких размерностей?
?озникает вопрос? что можно извлечь из данных парных наблюдений
для нахождения или статистической оценки объектов характеризующих
распределения более высоких размерностей?
Сравнение объ?ма выборки |Vn | = k mn ? необходимой для построения
статистической оценки ?большой? условной квантили? с суммарным объ?
?мом выборок Sn = k m2 n (n ? 1), необходимых для построения статисти?
ческих оценок всех двумерных условных квантилей и их производных?
n ? 3 и m > 6 : |Vn | > Sn , а для n ? 3,
lim
m??
|Vn |
= ?.
Sn
?чевидно? что ?при объ?мах выборок m > 6? величина |Vn | значительно
больше Sn .
?ифференциальное уравнение Пфаффа для условных кван?
тилей многомерных вероятностных распределений
?спользуя определитель
?1
?2
?3
...
?n?1
?n
(xn?1 ,x2 )
(x ,x )
(x ,x )
(x ,x )
q?1|21 2 (x2 )
1
q?3|23 2 (x2 ) . . . q?n?1|2
(x2 ) q?n|2n 2 (x2 )
,
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
(xn?1 ,xn )
(x ,x )
(x ,x )
(x ,x )
q?1|n1 n (xn ) q?2|n2 n (xn ) q?3|n3 n (xn ) . . . q?n?1|n
(xn )
1
(x ,x )
где ?i ? базисные орты пространства Rn , а q?i|ji j (xj ) ? производная услов?
ной квантили по переменной xj , введем дифференциальное уравнение Пфаф?
фа
n
?=
A1k (x1 , . . . , xn )dxk = 0,
k=1
где A1k ? алгебраическое дополнение орта ?k .
Теорема ?? ?сли распределение вероятностей F1...n (x1 , . . . , xn ), ? по?
ложительной на Rn совместной плотностью? обладает свойством воспро?
изводимости условных квантилей? а коэффициент A11 (x1 , . . . , xn ) = 0, то
дифференциальное уравнение Пфаффа
n
?=
A1i (x1 , . . . , xn )dxi = 0,
i=1
(?)
??
вполне интегрируемо? Решением уравнения (?)? проходящим через точку
(? ? )
?
, является ?большая? условная квантиль x1 = q1|2...n (x2 , . . . , xn ).
? качестве примеров в диссертационной работе рассмотрены решения
вполне интегрируемых квантильных уравнений Пфаффа для следующих
многомерных вероятностных распределений? гауссовское? Стьюдента ??о?
ши?? логистическое? Парето и др?
?амечание? ?ак следует из теоремы ?? воспроизводимость условных
квантилей влечет за собой полную интегрируемость уравнения Пфаффа?
?днако? обратное утверждение неверно ?см? параграф ???? п????
?а основе классического критерия полной интегрируемости дифферен?
циальных уравнений Пфаффа ?теорема Фробениуса? и известной теоремы
?арбу? в диссертации разработан следующий алгоритм построения кван?
тильной регрессионной модели на основе парных наблюдений?
?
Пример? смесь ??мерных гауссовских распределений с одинаковыми ??
мерными маргиналами
f (x1 , . . . , x9 ) =
1
3
g1 (x1 , . . . , x9 ) + g2 (x1 , . . . , x9 ),
4
4
??
где гауссовские плотности
g1 =
(2?)
9
2
1
?
1
1597
e? 2 Q1 (x1 ,...,x9 ) , g2 =
(2?)
9
2
1
?
1
1220
e? 2 Q2 (x1 ,...,x9 ) .
с нулевыми математическими ожиданиями и ковариационными матрица?
ми
?
?
?
?
?
?
?
B1 = ?
?
?
?
?
?
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
2
2
2
2
2
2
2
1
2
4
3
3
3
3
3
3
1
2
3
5
4
4
4
4
4
1
2
3
4
6
5
5
5
5
1
2
3
4
5
7
6
6
6
1
2
3
4
5
6
8
7
7
1
2
3
4
5
6
7
9
1
2
3
4
5
6
7
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? , B2 = ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
2
2
2
2
2
2
2
1
2
4
3
3
3
3
3
3
1
2
3
5
4
4
4
4
4
1
2
3
4
6
5
5
5
5
1
2
3
4
5
7
6
6
6
1
2
3
4
5
6
8
7
7
1
2
3
4
5
6
7
9
?
1
2
3
4
5
6
7
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?.
?
?
?
?
?
Уравнение Пфаффа для смеси гауссовских плотностей
y2 (x8 , x9 )
1
?
181440
20160
?=
+
y2 (x8 , x9 )
1
?
22680
2520
+
где
y2 (x8 , x9 )
1
?
1260
140
dx1 +
dx4 +
y2 (x8 , x9 )
1
?
181440
20160
y2 (x8 , x9 )
1
?
8640
960
dx7 +
dx5 +
dx2 +
y2 (x8 , x9 )
1
?
60480
6720
11y2 (x8 , x9 )
11
?
36288
4032
233y2 (x8 , x9 )
1487
?
181440
181440
dx8 +
dx3 +
dx6 +
61
dx9 = 0,
18144
?
2
2
1
1
117e 468 (8x8 ?9x9 ) + 8 13e 4 (x8 ?x9 )
y2 (x8 , x9 ) :=
.
?
1
1
2
2
13e 468 (8x8 ?9x9 ) + 13e 4 (x8 ?x9 )
Полной интегрируемости уравнения Пфаффа нет? ?ласс ?арбу дифферен?
циальной ??формы ? равен трем?
?анонический вид уравнения Пфаффа
? = dy1 (x1 , . . . , x9 ) + y2 (x8 , x9 )dy3 (x1 , . . . , x8 ) = 0
с линейными первыми интегралами
y1 (x1 , . . . , x9 ) :=
=?
=
x2
x3
x4
x5
11x6
x7
1487x8
61x9
x1
?
?
?
?
?
?
+
+
+ C1 ,
20160 20160 6720 2520 960 4032 140 181440 18144
y3 (x1 , . . . , x8 ) :=
x1
x2
x3
x4
x5
11x6
x7
233x8
+
+
+
+
+
+
?
+ C3 .
181440 181440 60480 22680 8640 36288 1260 181440
?нтегральное многообразие M ? R9 максимальной размерности ? задается
уравнениями
y1 (x1 , . . . , x9 ) = C1 , y3 (x1 , . . . , x9 ) = C3 .
??
?а интегральном многообразии M условное распределение F9|1 ... 8 по?
стоянно? Таким образом? для смеси ??мерных гауссовских распределений
интегральное многообразие M является частью ?большой? условной кван?
тили
(p)
M ? { (x1 , . . . , x8 ) : x9 = q9|1...8 (x1 , . . . , x8 ) }.
?нтегральные кривые дифференциальных уравнений Пфаффа
Теорема ??
?ля дифференциального уравнения Пфаффа
n
A1i (x1 , . . . , xn )dxi = 0,
?=
(?)
i=1
кривые
(x? ,x? )
(x?
(x? ,x? )
,x? )
(x? ,x? )
n?1 2
?2 (? ? , x2 ) = {q1|21 2 (x2 ), x2 , q3|23 2 (x2 ), . . . , qn?1|2
(x2 ), qn|2n 2 (x2 )},
.....................................................................
(x? ,x?
n)
?n (? ? , xn ) = {q1|n1
(x? ,x?
n)
(xn ), q2|n2
(x? ,x?
n)
(xn ), q3|n3
(x?
,x?
n)
n?1
(xn ), . . . , qn?1|n
(xn ), xn },
проходящие через произвольную отмеченную точку ? ? = (x?1 , . . . , x?n ) ? Rn ,
являются интегральными кривыми? они касаются в этой точке одной и той
же плоскости? которая? для не вполне интегрируемых уравнений (?), не
совпадает с касательной плоскостью к ?большой? условной квантили?
Третий раздел диссертации
?удем искать решение u(x1 , . . . , xn?1 ) задачи ?оши для многомерного
дифференциального уравнения ??го порядка
?
n?1
?
A 1i (x1 ,...,xn?1 ,u(x1 ,...,xn?1 ))
du(x1 , . . . , xn?1 ) = ?
dxi ,
A 1n (x1 ,...,xn?1 )
(?)
i=1
? ?
?
?
xn = u(x1 , . . . , xn?1 ).
на пучке полупрямых? выходящих из точки ? ?n?1 = (x?1 , . . . , x?n?1 ) :
?
1
?
1
?
?
? ? 1 (t) = (x1 + a1 t, . . . , xn?1 + an?1 t),
??
?
?
?
?
m
?
m
? m (t) = (x1 + a1 t, . . . , xn?1 + an?1 t), t ? 0.
Последовательно проводя сужения решения u(x1 , . . . , xn?1 ) на полупрямые
? k (t) :
def
uk (t) = u(x?1 + ak1 t, . . . , x?n?1 + akn?1 t), t > 0,
uk (0) = u(x?1 , x?2 , . . . , x?n?1 ) = x?n ,
получим задачу ?оши для системы m обыкновенных дифференциальных
уравнений
?
?
?
duk
dt
n?1
=?
i=1
uk (0) = x?n ,
A 1i (x?1 +ak1 t, ... ,x?n?1 +akn?1 t, uk )
A 1n (x?1 +ak1 t, ... ,x?n?1 +akn?1 t)
k = 1, m.
aki ,
?6
??
??
? качестве модельного примера рассматривалось трехмерное сфериче?
?
ски симметричное распределение ?оши с плотностью
f123 (x1 , x2 , x3 ) =
1
.
? 2 (1 + x21 + x22 + x23 )2
? ?4 ?
?
?
?
Проведено сужение дифференциального уравнения
Пфаффа этого распределения
1 + x21 + x22 dx3 ? x3 x1 dx1 ? x3 x2 dx2 = 0 на
плоское семейство восьми лучей? выходящих из
одной отмеченной точки
x2
?
?3
?
?2
?
??
?
?
?1 ?
s
? ?
?? ?
?
?
?
??
?
??
? x1
?
?
?7
?8 ?
?
?
? ?6
??
? ?5
??
При этом дифференциальное уравнение Пфаффа сводится к системе
восьми обыкновенных дифференциальных уравнений? Решая эти восемь
уравнений? получаем приближенное решение исходного уравнения
на лу?
Проведено
сужение дифф
?
этого распредел
чах? Продолжение радиальных решений на окрестность точки Пфаффа
?
прово?
(1 + x21 + x22 ) dx3 ? x3 x1 dx
дится с помощью радиальных функций? а в случае сферической
симмет?
семейство восьми лучей?
ричности исходного распределения вероятностей с помощью ?вращения?
отмеченной точки
одного радиального решения?
?ыло реализовано численное решение системы восьми дифференци?
альных уравнений методом Рунге ? ?утта четвертого порядка в среде
?????? ?использовалась стандартная подпрограмма ????? на ??х ядер?
ном компьютере??
? результате получено приближенное
решение ?табличное и графическое ?
уравнения Пфаффа?
Это решение было проинтерполиро?
вано с помощью полиномиальной
регрессии
p 6 (s) = 1.00001?0.471667s+0.0568953s2 +
+0.02554s3 + 0.00351072s4 +
5
6
+0.0173781s ? 0.00674438s .
1.0
?ана оценка точности интерполяции
(1,1,1)
|q3|12 (1 ? ?s2 , 1 ? ?s2 ) ? p 6 (s)| ?
? 0.000048
0.00002
0.9
0.00001
0.2
0.8
0.00001
0.00002
0.7
0.00003
0.00004
0.6
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
??
Проведено наглядное графическое сравнение проинтерполированного
приближенного решения уравнения Пфаффа с ?большой? условной кван?
тилью трехмерного сферически симметричного распределения ?оши?
?
(1,1,1)
q3|12 (x1 , x2 ) ? p 6
2 ? x21 + x22
?
(1,1,1)
2
2
2 ? x1 + x2
q3|12 (x1 , x2 ), p 6
(1,1,1)
q3|12
?
?
(x1 , x2 ) ? p 6
?
2?
x21 + x22
< 0.000048,
(x1 , x2 ) ? [?1, 1] Ч [?1, 1].
Продолжение найденных решений на лучах на всю окрестность точки
осуществляется с помощью радиальной функции
s(r, ?) := g0 (r)?
+g?2 (r)?
4
? +g1 (r)?
?
4
? ? 2 +g3 (r)?
?
+g?4 (r)?
4
? + 1 +g?1 (r)?
?
4
? + 3 +g?3 (r)?
?
4
? ? 1 +g2 (r)?
?
4
? ? 3 +g4 (r)?
?
4
?+2 +
?
4
?+4 +
?
4
? ? 4 , r ? [0, R], ? ? [??, ?],
?
где gi (r) ? радиальные решения уравнения Пфаффа на лучах? а ?(x) опре?
деляется следующей треугольной функцией
?
0,
?
?
?
1 + x,
?(x) =
? 1 ? x,
?
?
0,
x ? ?1,
?1 < x ? 0,
0 ? x < 1,
1?x
в результате получаем приближенное решение уравнения Пфаффа?
??
Четвертый раздел диссертации
?инеаризация нелинейных дифференциальных уравнений является од?
ним из наиболее важных методов решения уравнений подобного вида?
? данном разделе рассматривается задача точечного приведения диф?
ференциального уравнения Пфаффа к дифференциальному уравнению Пфаф?
фа с постоянными коэффициентами ?квантильное уравнение Пфаффа для
многомерного гауссовского распределения??
Теорема ?? ?ифференциальное уравнение Пфаффа
?
1
?
a1
n
i=1
n
ai (vi (y1 , . . . , yn ) ? mi )
n
ak
j=1
k=1
?vk (y1 , . . . , yn )
?yj
dyj = 0,
(1)
где
1?
2?
?(·) ? строго положительная плотность на всей оси (??, ?);
дифференцируемые функции
?
? x1 = v1 (y1 , . . . , yn )
... ... ............
имеют ненулевой якобиан?
?
xn = vn (y1 , . . . , yn )
(2)
3? mi , ai = const, i = 1, n, a1 > 0
можно точечным преобразованием? обратным преобразованию (2), при?
вести к виду дифференциального уравнения Пфаффа с постоянными ко?
эффициентами
n
ak dxk = 0.
k=1
Решение ?размерности n ? 1? уравнения ???? проходящее через точку
(y1? , . . . , yn? )? имеет следующий вид
?
?
=
n
i=1
ai (vi (y1 , . . . , yn ) ? vi (y1? , . . . , yn? )) = 0.
? диссертации разработан алгоритм линеаризации автономных диффе?
ренциальных уравнений n?го порядка и дана практическая реализация
этого алгоритма?
?аключение
? диссертационной работе получены следующие основные результаты?
?? Разработана новая квантильная многомерная регрессионная модель?
основанная на данных парных наблюдениий и дифференциальных урав?
нениях Пфаффа? рассмотрено е? применение к решению задач медианной
фильтрации и интерполяции изображений?
?? Разработан алгоритм обнаружения закономерностей в данных пар?
ных наблюдений и их извлечениях?
??
?? Построена теория квантильной многомерной регрессионной модели
?на основе использования исчисления внешних дифференциальных форм?
теорем Фробениуса и ?арбу??
?? Разработан алгоритм приближенного решения вполне интегрируе?
мых квантильных уравнений Пфаффа и осуществлена его программная
реализация?
?? Разработаны алгоритмы линеаризации квантильных уравнений Пфаф?
фа и автономных дифференциальных уравнений n?го порядка? дана прак?
тическая реализация этих алгоритмов?
?сновные положения диссертации отражены в следующих пуб?
ликациях?
Статьи в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях? вхо?
дящих в перечень ???
?? ?еркович ????? ?рлова ??С? Точная линеаризация некоторых клас?
сов автономных ??У? ?естник Сам?У? ????? ???????? с? ?????
?? ?рлова ??С? ?б одном методе точной линеаризации нелинейных
дифференциальных уравнений пятого и шестого порядков? ?естник Сам?
?У? ????? ???????? с? ??????
?? ?рлова ??С?? Шатских С?Я? ?ифференциальные уравнения Пфаф?
фа для условных квантилей многомерных вероятностных распределений?
?естник Сам?У? естественнонаучная серия? ??????? ????? стр? ??????
?? ?рлова ??С?? Шатских С?Я? Уравнения Пфаффа для условных кван?
тилей? ?бозрение прикладной и промышленной математики? т? ??? вып? ??
??? Редакция журнала ??ПиП? ????? стр? ????????
?ругие публикации
?? ?рлова ??С? Факторизация и преобразования нелинейных обыкно?
венных дифференциальных уравнений? ?зв? Российской акад? естественных
наук? ????? ? ??? с? ????????
?? ??r?????? ????? ?r???? ????
?????r???t??? ?? s????? ??? t??r? ?r??rs
????????r ?r????r? ????r??t??? ?q??t???s ? ???? ???????? ????? ?????rs?t?
?? ?????????? ???s???? Pr????????s? ??? ??????
?? ??r?????? ????? ?r???? ???? P???t ??? ???????t tr??s??r??t???s ?? ????????r
?r????r? ????r??t??? ?q??t???s? ??? ??t?r??t????? ?????r???? ?????? ?????
????r? ?r??? ?????s?s ??r t?? ??? ??????????? ???? ??????? ?? ???t????r?
?? ??t???r? ????? ??? ??????
?? ??r?????? ????? ?r???? ???? ??? ????t ?????r???t??? ?? ???? ???ss?s ??
?r????r? ????r??t??? ?q??t???s ??r ?r??r ? ? ?? Pr????????s ?? ??st?t?t? ??
??t????t??s ?? ??? ?? ??r????? ????? ???? ??? P?rt ?? ??????
Подписано в печать ??????????? Тираж ??? экз?
?тпечатано с готового оригинал?макета заказчика?
??????? г? Самара? ?осковское шоссе? ??? С??У?
Документ
Категория
Физико-математические науки
Просмотров
48
Размер файла
823 Кб
Теги
кандидатская
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа