close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Потенциалы типа Грина и интегральные представления весовых классов субгармонических функций

код для вставкиСкачать
ФИО соискателя: Охлупина Ольга Валентиновна Шифр научной специальности: 01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ Шифр диссертационного совета: ДМ212.243.15 Название организации: Саратовский государственный университет имени Н.Г.
На правах рукописи
Охлупина Ольга Валентиновна
ПОТЕНЦИАЛЫ ТИПА ГРИНА И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ВЕСОВЫХ КЛАССОВ СУБГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
01.01.01 – вещественный, комплексный и функциональный анализ
Автореферат
диссертации на соискание учёной степени
кандидата физико-математических наук
Саратов 2012
Работа выполнена на кафедре математического анализа Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук, профессор
Шамоян Файзо Агитович
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор
Григорян Сурен Аршакович
кандидат физико-математических наук, доцент
Шевцов Владислав Иванович
Ведущая организация:
Смоленский государственный университет
Защита состоится «21» мая 2012 года в 15 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета ДМ 212.243.15 при Саратовском государственном университете имени Н.Г. Чернышевского по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83, СГУ, механико-математический факультет.
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Саратовского
государственного университета имени Н.Г. Чернышевского.
Автореферат разослан «___» _________ 2012 года.
Ученый секретарь диссертационного совета,
кандидат физико-математических наук,
доцент
В.В. Корнев
2
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Субгармонические функции составляют один из
важнейших классов функций, широко используемых как в комплексном анализе, так и в вещественном. Они тесно связаны с аналитическими гармоническими функциями и играют существенную роль в общей теории потенциала и математической физике.
Впервые субгармонические функции были введены в рассмотрение в начале 20-го столетия в классической работе Ф.Гартогса1.
Дальнейшее развитие теории субгармонических функций связано с основополагающими работами Р.Неванлинны2, Ф.Рисса3, И.И.Привалова4 и других
классиков комплексного и вещественного анализа. Различным аспектам теории
субгармонических функций посвящены работы современных авторов. Среди
них отметим, прежде всего, У.Хеймана, Е.Д.Соломенцева, Н.С.Ландкофа,
А.Ф.Гришина, Б.Я.Левина, В.С.Азарина, Р.С.Юлмухаметова, Б.Н.Хабибуллина,
К.Л.Аветисяна, А.М.Джрбашяна и др.
В последние десятилетия по теории классов субгармонических функций и
теории потенциала опубликовано несколько монографий.
Приведём обзор некоторых результатов, тесно связанных с тематикой
диссертационной работы. Для этого введём необходимые обозначения.
Пусть C - комплексная плоскость, D z C : z 1 - единичный круг на
комплексной плоскости, - единичная окружность с центром в начале коорди-
1
Hartogs F. Zur Theorie der analytischen Functionen mehrer unabhängiger Veränderlichen insbesondere Uber die
Darstellung derselen durch Reihen / F. Hartogs //Velche nach potenzen einer Veranderlichen fortschreiben. Math. Ann.
– 1906. – Bol. 62. - P. 1-88.
2
Неванлинна Р. Однозначные аналитические функции / Р. Неванлинна. – М.: ИМГИТТЛ, 1941. - 388 с.
3
Riesz F. Sur les fonctions subharmoniques et leur rapport à la theorie du potentiel / F. Riesz // Acta Math. – Vol. 48. –
1926. – P. 329-343.
4
Привалов И.И., Кузнецов П.И. Граничные задачи и различные классы гармонических и субгармонических
функций, определённых в произвольных областях / И.И. Привалов, П.И. Кузнецов // Мат. сб. – 6(48):3 (1939). –
С. 345-376.
3
нат, C z C : Im z 0 - верхняя полуплоскость комплексной плоскости,
C z C : Im z 0 .
Если G - некоторая область на комплексной плоскости, то через SH (G )
будем обозначать множество всех субгармонических функций в G .
В теории субгармонических функций важную роль играет следующая
теорема Ф.Рисса3 о представлении. Сформулируем её в случае единичного круга.
Если u SH ( D ) , не равная тождественно , то в D существует
единственная борелевская мера , такая что u z допускает представление:
u z ln
Dr
r z d h z ,
r2 z
(1)
где z Dr , Dr z : z r , h z гармоническая в Dr функция.
Мера является ассоциированной по Риссу. В дальнейшем её назовём
представляющей мерой субгармонической функции u .
Естественно возникает вопрос: при каких ограничениях на субгармоническую функцию u представление вида (1) справедливо во всей области субгармоничности функции u .
Впервые такая задача была решена в работе Р.Неванлинны2 при условии
u z ln f z и И.И.Приваловым4 в общем случае.
Для формулировки этого результата введём понятие характеристики Неванлинны
для
субгармонической
в
D
функции.
Пусть
u SH ( D ) ,
u max u,0 , тогда:
1
T r, u 2
u re d .
i
Следуя И.И.Привалову, обозначим через A класс субгармонических в D
функций u , для которых
4
sup T r , u .
(2)
0 r 1
Тогда справедливо следующее утверждение.
Класс A совпадает с классом субгармонических в D функций, допускающих
представление:
1
z
1
u z ln
d 2 D 1 z
2
1 r2
1 2r cos r 2 d ,
(3)
где - произвольная неотрицательная борелевская мера в единичном круге,
для которой
1 d ,
D
- произвольная функция конечной вариации на ; .
В том случае, когда функция u имеет вид u z ln f z , z D , где f аналитическая в D функция, представление (3) совпадает с формулой Пуассона-Иенсена для функций ограниченного вида5.
Возникает задача о представлении субгармонических функций, для которых условие (2) не выполняется. То есть, вообще говоря, субгармонических
функций u , не имеющих ограниченную характеристику, что равносильно отсутствию гармонической мажоранты.
Вопрос такого рода для случая, когда u имеет вид u z ln f z , f - голоморфная в D функция, впервые был рассмотрен Р.Неванлинной2.
Он рассмотрел классы N голоморфных в D функций f , для которых
характеристика Неванлинны T r , f удовлетворяет условию:
1
1 r T r , f dr .
(4)
0
Им было установлено следующее утверждение.
Пусть f N , 1, f zk 0 , f тождественно не равна нулю, тогда
5
Хейман У. Мероморфные функции / У. Хейман. - М.: Мир, 1966. - 447 с.
5
2
1 z k
.
(5)
k 1
Полное описание корневых множеств и факторизационное представление
этого класса функций были получены в работах М.М.Джрбашяна6 и
Ф.А.Шамояна7. Приведём эти результаты.
М.М.Джрбашяном было установлено, что, если f N , то f допускает
представление
f z K z m z, zk exp g z , z D ,
(6)
где K - комплексная постоянная, m - порядок нуля функции f в начале координат,
z , zk A z, zk , z D ,
(7)
k 1
ei
2 1
ln
1
1 zk
z 2 1
A z, zk 1 exp d d ,
2
zk 0 1 ei z g
2 1 ln f e d d .
1
z 1 e z 1 i
i
0 2
Произведение z , zk равномерно сходится на компактных подмноже
ствах круга D тогда и только тогда, когда последовательность zk k 1 удовлетворяет условию (5).
Отметим, что при 1 условие (5) совпадает с хорошо известным классическим условием Бляшке, а произведение (7) совпадает с произведением
Бляшке.
6
Джрбашян М.М. К проблеме представимости аналитических функций / М.М. Джрбашян // Сообщения института математики и механики АН АрмССР. – 1948. – Вып. 2. – С. 3-35.
7
Шамоян Ф.А. Факторизационная теорема М. М. Джрбашяна и Характеризация нулей аналитических функций
с мажорантой конечного роста / Ф.А. Шамоян // Известия АН Арм. ССР, математика. - Т. 13, №5. - 1978. - С.
405-422.
6
Естественно возникает вопрос: пусть f N , тогда f допускает представление (6). Принадлежат ли сомножители , exp g классу N ?
В 1977 году Ф.А. Шамоян установил, что существуют функции из N ,
такие, что ни один из факторов в представлении (6), в отличие от факторизации
функций ограниченного вида, не принадлежит классу N .
Но, тем не менее, если f N , то для произвольного в представлении (6), написанном в классе N , каждый из факторов z, zk , exp g z принадлежит классу N .
Тем самым установлено, что необходимое условие (5), найденное Р. Неванлинной, для корневых множеств функций класса N , является также достаточным.
В дальнейшем, Ф.А.Шамоян8 рассмотрел классы голоморфных в круге
функций, для которых
1
p
1 r T r, f dr ,
0
где 0 p , при некоторых ограничениях на весовую функцию .
Распространение результатов Ф.А.Шамояна на классы субгармонических
функций рассмотрел К.Л.Аветисян9 при p 1 .
Однако, применяемые им методы, не позволили ему получить аналогичные результаты в классах субгармонических в круге функций, характеристика
которых принадлежит Lp - весовым классам или имеет степенной рост при
приближении к единичной окружности.
8
Шамоян Ф.А. Параметрическое представление и описание корневых множеств весовых классов голоморфных
в круге функций / Ф.А. Шамоян // Сибирский матем. Журнал. – Т.40, №6. - 1999. - С. 1422-1440.
9
Аветисян К.Л. О представлениях некоторых классов субгармонических функций в единичном круге и в верхней полуплоскости / К.Л. Аветисян // Изв. Нац. АН Армении, Математика. - 1994. - Т.29, № 1.
7
Цель работы.
1. Изучение свойств представляющих мер классов субгармонических в круге и в полуплоскости функций, характеристика Неванлинны которых
принадлежит весовым Lp - классам.
2. Построение параметрического представления классов субгармонических
в круге функций, характеристика Неванлинны которых имеет степенной
рост при приближении к границе области.
3. Обобщение классической теоремы Валирона на случай Lp - классов субгармонических функций в комплексной плоскости.
Методика исследования. В работе применяются методы комплексного и
функционального анализа. Существенную роль играют потенциалы типа Грина,
построенные на основе бесконечных произведений, впервые введенные
М.М.Джрбашяном ещё в 1945 году.
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:
- получено полное описание класса субгармонических в круге функций, характеристика Неванлинны которых имеет степенной рост вблизи единичной окружности;
- получена полная характеристика представляющих мер классов субгармонических функций в единичном круге, характеристика Неванлинны которых принадлежит весовым Lp - пространствам 0 p ;
- построено параметрическое представление класса субгармонических в полуплоскости функций с характеристикой Неванлинны из весовых Lp - пространств 0 p ;
- получено обобщение классической теоремы Валирона на случай целых функций и субгармонических в комплексной плоскости функций с характеристикой
из весовых Lp - пространств 0 p ;
8
- получено интегральное представление субгармонических в комплексной
плоскости функций, характеристика которых суммируема с экспоненциальным
весом.
Практическая и теоретическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Результаты исследования могут быть использованы в общей теории субгармонических функций, в комплексном анализе, гармоническом анализе, в теории потенциала и других смежных разделах комплексного анализа; а также могут быть использованы при чтении спецкурсов для
студентов математических специальностей университетов.
Апробация результатов работы. Результаты исследования докладывались на конференции «Системы компьютерной математики и их приложения»
(Смоленск, 2005, 2007, 2009), на Воронежской зимней и весенней математической школе (Воронеж, 2006, 2009), на конференции «Современные проблемы
теории функций и их приложения» (Саратов, 2010, 2012), а также неоднократно
на семинарах по комплексному анализу Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского.
Публикации. По теме диссертации опубликованы работы [1] – [11], список которых приведен в конце автореферата. Работы [4], [10] входят в перечень
ведущих рецензируемых научных журналов и изданий ВАК РФ.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, двух глав,
разбитых в общей сложности на 7 параграфов, и списка использованной литературы. Работа занимает 118 страниц. Библиография содержит 52 наименования.
9
Содержание работы
Во введении излагается история вопроса, обосновывается актуальность
темы и кратко излагается содержание работы.
В первой главе установлено полное описание класса субгармонических
в круге функций, характеристика Неванлинны которых имеет степенной рост
вблизи границы области и описан класс субгармонических функций в единичном круге, характеристика Неванлинны которых принадлежит весовым Lp пространствам 0 p при достаточно общих условиях на весовую функцию.
В §1.1 главы I введены основные обозначения и доказаны утверждения
вспомогательного характера, применяемые в дальнейшем.
В этой главе диссертации существенную роль играют факторы бесконечного произведения М.М. Джрбашяна.
Для изложения результатов этой главы введём некоторые обозначения.
Пусть 0 . Рассмотрим класс SH D функций u , субгармонических в
единичном круге D , для которых справедлива следующая оценка
T r,u Cu
1 r , 0 r 1,
Cu - некоторая положительная константа, зависящая только от u .
При 0 класс SH 0 D совпадает с классом функций u , допускающих в
единичном круге D представление (3)
При 0 метод, применяемый И.И. Приваловым при построении представления класса SH 0 D , не проходит, так как функции класса SH D могут
не иметь граничных значений на единичной окружности. Подход, изложенный
в работе Ф.А. Шамояна и Е.Н. Шубабко10, позволяет получить аналог вышеука10
Shamoyan F.A., Shubabko E.N. Parametrical representations of some classes of holomorphic functions in the disk /
F.A. Shamoyan, E.N. Shubabko // Operator Theory: Advanced and Applications. - Vol. 113. - 2000.
10
занного представления класса SH 0 D на всю шкалу SH D при всех 0 .
Для этого сначала введем хорошо известный класс О. Бесова Bs1, на единичной
окружности Г :
1,
s
B
где t2 ei e i t 2
1 t
L1 ; : ts
0
L1
dt ,
2 e e , ; , t 0;1 , 0 s 2 .
i t
i
Для фиксированных z , D, 0, 1 будем обозначать через
A z, следующее выражение:
t
2
1
t
ln
1
2 1
z
A z , 1 exp dm2 t .
2
D
1 tz
(8)
Назовём его фактором в произведении М.М. Джрбашяна.
Основным результатом этого параграфа является теорема
Теорема 1.1. Класс функций SH D совпадает с классом функций u , допускающих следующее представление в D :
1
u z ln A z , d Re D
2
ei d 1 ei z 1 , z D,
где e i - произвольная вещественнозначная функция из класса B1, 1 , ,
1, - неотрицательная борелевская мера в D , удовлетворяющая условию:
nr C1
1
1 r ,
n r Dr .
Напомним, что Dr z C : z r , 0 r 1.
11
В §1.2 главы I полностью описан класс субгармонических функций в
единичном круге, характеристика Неванлинны которых принадлежит весовым
Lp - пространствам 0 p .
Пусть z re i , z r . - множество измеримых положительных суммируемых функций на 0;1 , для которых существуют числа m , M , q , причём m , q 0;1 удовлетворяют оценке
m r M ,
r r 0;1 , q ;1 .
1
Функция t имеет вид: t exp t
x
, где x ,
x
0 1 , 0 .
Такие функции называют ещё медленно изменяющимися функциями11.
Важным частным случаем функции из является степенная функция
t t , 1.
Введем также в рассмотрение следующий класс субгармонических функций:
1
1
p
p
p
SH D u SH D : 1 r T r , u dr , 0 p .
0
Lp , D - обычное весовое Lp - пространство, т.е.:
L p , D 1
p
: 1 r rei d dr .
0
1
p
p
11
Шамоян Ф.А., Шубабко Е.Н. Введение в теорию весовых L -классов мероморфных функций / Ф.А. Шамоян, Е.Н. Шубабко. – Брянск: Группа компаний «Десяточка», 2009. – 153 с.
12
В данном параграфе получено параметрическое представление класса
функций u , вообще говоря, не имеющих ограниченную характеристику Неванлинны T r , u , но, принадлежащих пространству Lp , D , т.е. класса функций
и для которых:
1
p
T r, u 1 r dr , 0 p , .
0
Теорема 1.2. Для того, чтобы субгармоническая функция u принадлежала классу SH p D , 0 p , , необходимо и достаточно, чтобы в D u
допускала представление
u z ln A z, d h z ,
(9)
D
где - достаточно большое положительное число, зависящее только от :
1
, 0 , - произвольная борелевская неотрицательная
p
мера в D , для которой:
1
1 r 1 r p
n p r dr ,
0
n r Dr , Dr z : z r, 0 r 1 , h z - гармоническая функция в D , удовлетворяющая условию:
p
i
0 1 r h re d dr .
1
Вторая глава диссертационной работы посвящена построению параметрического представления класса субгармонических в полуплоскости функций с
характеристикой Неванлинны из весовых Lp - пространств 0 p ; проведению обобщения классической теоремы Ж.Валирона о целых функциях на
случай целых и субгармонических в комплексной плоскости функций с характеристикой из весовых Lp - пространств 0 p ; описанию представляю13
щих мер субгармонических в комплексной плоскости функций, характеристика
которых суммируема с экспоненциальным весом.
В §2.1 построено параметрическое представление класса субгармонических в полуплоскости функций с характеристикой Неванлинны из весовых Lp пространств 0 p .
Пусть z x iy , 0 , 0 p .
Введем в рассмотрение класс SH p C субгармонических в C функций
u , для которых выполняются следующие условия:
p
1)
y
0
1
u
x
iy
dx
dy ;
2) sup u x iy dx C y0 , y0 0 ;
y y0 3) lim sup yu iy 0 .
y Рассмотрим также следующие факторы, введенные А. М. Джрбашяном и
Г. В. Микаеляном12:
2 Im
r dr
,
a z, exp 1 r
i
iz
0
(10)
где берётся главная ветвь степенной функции, C , 1 . При 0 :
a0 z , z
.
z
Основным результатом этого параграфа является следующая теорема.
Теорема 2.1. Для того, чтобы субгармоническая функция u принадлежала классу SH p C , 0 p , 0 , необходимо и достаточно,
чтобы в C u допускала представление:
12
Джрбашян А.М., Микаелян Г.В. О граничных свойствах произведений типа Бляшке / А.М. Джрбашян, Г.В.
Микаелян // Изв. Нац. АН Армении, Математика. - 1991. - Т.26, № 5. - С. 435-442.
14
u z ln a z, d h z ,
C
где h z - гармоническая функция в C , удовлетворяющая условию:
p
y
1
0
h
x
iy
dx
dy ,
- неотрицательная мера в C , для которой
y
p
y 1n p y dy ,
0
где n y C y , 1
1.
p
В §2.2 проведено обобщение хорошо известной теоремы Ж.Валирона13 о
целых функциях.
Пусть C - комплексная плоскость. H C - множество всех целых функций в C . Обозначим через класс положительных функций, определённых
на R 0; , удовлетворяющих следующим условиям:
1)
2) если 1 x
1 x1 dx .
x
2 , то C1 y x C2 y , где C1 , C2 - положительные конy
станты.
Если
f H C , то обозначим через n r - число нулей функции f в
круге Dr , 0 r . Введем в рассмотрение класс целых функций
p
ln
M
r
,
f
r p
A , C f H C : dr ,
1 r
1
где M r , f max f z , - порядок целой функции, 0 p .
z r
13
Boas R.P. Entire Functions / R.P. Boas //Academic Press, Inc., New York, 1954.
15
(11)
Обозначим класс A1,1 C через A C .
Пусть Aq z , zk - фактор произведения Вейерштрасса
Eq z , zk Aq z , zk , т.е.
k 1
q
z 1 z 2
z
1 z Aq z , zk 1 exp ... ,
q zk zk zk 2 zk (12)
где z , zk C , 0 zk zk 1 , k 1,2,... , q - наибольшее целое число, для которо
го
t
q 1
n t dt .
0
Ж.Валирон13 доказал следующее утверждение.
Пусть целая функция f A C , f тождественно не равна нулю, и zk k 1 - по
следовательность нулей функции f , тогда
z
k
.
k 1
При Z верно и обратное: пусть zk k 1 - последовательность чисел из
C , для которых
z
k
, тогда существует функция f A C , корневое
k 1
множество которой совпадает с последовательностью
zk k 1 .
Теорема 2.2. Пусть 0 p , , f Ap, C , f тождественно
не равна нулю, zk k 1 - последовательность нулей функции f . Тогда
n p 2k 2k 2k k 0
.
(13)
Теорема 2.3. Пусть zk k 1 - последовательность комплексных чисел,
zk zk 1 , k 1,2,... , zk , k , при этом
k 0
n p 2k 2k 16
,
(14)
0 p ,
Z . Тогда можно построить функцию f Ap C , такую, что
p
f zk 0 , k 1,2,... , f тождественно не равна нулю.
В §2.3 вводится следующий класс субгармонических функций
p
i
u
re
d
r
SH p, C u SH C : dr ,
1 r
1
где 0 , 0 p .
В случае r 1 для простоты введём обозначение: SH1,p C SH p C .
Пусть Eq z , Aq z, - произведение Вейерштрасса, где z , C ,
k 1
0 , q - наибольшее целое число, для которого
t
q 1
n t dt , q 0 ,
0
n t Dt , где, как и прежде, Dt z C : z t .
Теорема 2.4. Пусть 0 p , 0 ,
Z , и q Z удовлетворяет
p
неравенству
1 q .
p
p
Тогда класс функций SH p C совпадает с классом функций u , допускающих
представление:
z u z ln A , q d h z ,
C
17
(15)
где z , C , h z - гармоническая функция в C , удовлетворяющая условию:
p
i
h
re
d
dr ,
1 1
r
- неотрицательная борелевская мера, для которой
1
n p r dr ,
r1 n r Dr , 0 r .
Теорема 2.5. Пусть u - произвольная субгармоническая функция из класса
SH p, C ,
0 p ,
- неотрицательная борелевская мера,
Dr n r , 0 r , . Тогда
1
n p r (r )
dr .
r1 В §2.4 изучаются представляющие меры субгармонических функций, характеристика Неванлинны которых суммируема с экспоненциальным весом.
Пусть 0 , 0 . Обозначим через SH , C - класс субгармонических
в C функций u , для которых
r
T r , u e dr .
1
Обозначим фактор Вейерштрасса, как и выше:
p 1 z j z
Ap z, 1 exp ,
j 1 j где z , C , 0 , p определяется из равенства p max ,1 ,
a - целая часть числа a , a R .
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 2.6. Пусть функция u принадлежит классу SH , C . Тогда
представляющая мера функции u удовлетворяет соотношению
18
1
n (t )e t
dt ,
t
(16)
где n(t ) Dt , z t .
Обратно: если - некоторая борелевская неотрицательная мера в C ,
для которой выполняется (16), то можно построить в явном виде субгармоническую функцию из класса SH , C , где , такую, что является представляющей мерой этой функции.
Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Ф.А. Шамояну за постановку задач и постоянное внимание к
работе.
Список работ автора по теме диссертации
[1] Охлупина О.В. Параметрическое представление некоторых классов
субгармонических функций в единичном круге [Текст]
/ О.В. Охлупина //
Вклад ученых и специалистов в нац. экономику: сборник научных трудов /
БГИТА, под общ. ред. Е.Н. Самошкина. - Брянск, 2006. – С. 260-263.
[2] Охлупина О.В. О параметрическом представлении одного класса субгармонических в круге функций [Текст] / О.В. Охлупина // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической
школы / Воронеж: ОАО «Центрально-Чернозёмное книжное изд-во. - 2006. –
С. 126-127.
[3] Охлупина О.В. О параметрическом представлении некоторых весовых классов субгармонических в круге функций [Текст] / О.В. Охлупина //
Системы компьютерной математики и их приложения: материалы междунар.
конф. / Мин-во образования и науки РФ; Смоленский гос. университет.- Смоленск: Изд-во СмолГУ, 2007. – Вып. 8. – С. 170-171.
19
[4] Охлупина О.В. Описание класса субгармонических в единичном круге
функций, характеристика Неванлинны которых
принадлежит весовым Lp -
пространствам [Текст] / О.В. Охлупина // Вестник Самарского ГУ. - Самара:
изд. СамГУ, 2008. - Вып.9/1(59). С. 108-120.
[5] Охлупина О.В. О представлении класса субгармонических функций,
характеристика Неванлинны которых принадлежит весовым Lp -пространствам
[Текст] / О.В. Охлупина // Вклад ученых и специалистов в нац. экономику:
сборник научных трудов / БГИТА, под общ. ред. Е.Н. Самошкина. - Брянск,
2008. – С. 336-339.
[6] Охлупина О.В. Описание класса субгармонических в полуплоскости
функций с неограниченной характеристикой Неванлинны [Текст] / О.В. Охлупина // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы
Воронежской зимней математической школы / Воронеж: ОАО «ЦентральноЧернозёмное книжное изд-во. - 2009. – С. 131-133.
[7] Охлупина О.В. О характеризации субгармонических в круге функций,
имеющих степенной рост вблизи граничной окружности [Текст] / О.В. Охлупина // Системы компьютерной математики и их приложения: материалы 10-й
междунар. конф. / Мин-во образования и науки РФ; Смоленский гос. университет. - Смоленск: Изд-во СмолГУ, 2009. – Вып. 10. – С. 199-201.
[8] Охлупина О.В. Характеризация некоторых классов субгармонических
в круге функций, имеющих степенной рост вблизи единичной окружности
[Текст] / О.В. Охлупина // Вестник Брянского государственного университета /
Брянск: РИО БГУ. - 4(2009). - 2009. – С. 61-73.
[9] Охлупина О.В. Распределение корней в весовых пространствах целых
функций [Текст] / О.В. Охлупина // Современные проблемы теории функций и
их приложения: материалы 15-й Саратовской зимней школы / Саратов: изд-во
Саратовского университета, 2010. – С. 135-136.
[10] Охлупина О.В. Параметрическое представление классов субгармонических в полуплоскости функций с характеристикой из Lp -весовых пространств
20
[Текст] / О.В. Охлупина // Вестник Брянского государственного университета:
точные и естественные науки / Брянск: РИО БГУ. - 4(2010). - 2010.– С. 24-36.
[11] Охлупина О.В. О некоторых оценках в классах субгармонических
функций на комплексной плоскости [Текст] / О.В. Охлупина // Современные
проблемы теории функций и их приложения: материалы 16-й Саратовской зимней школы / Саратов: изд-во Саратовского университета, 2012.– С. 127-129.
21
Документ
Категория
Физико-математические науки
Просмотров
25
Размер файла
379 Кб
Теги
кандидатская
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа