close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Чисто-вещественные биквадратичные алгебраические поля и их приложения

код для вставкиСкачать
ФИО соискателя: Герцог Александр Сергеевич Шифр научной специальности: 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел Шифр диссертационного совета: Д 212.154.32 Название организации: Московский педагогический государственный университет Ад
?а правах рукописи
?ерцог ?лександр Сергеевич
Ч?СТ????Щ?СТ????Ы? ??????Р?Т?Ч?Ы?
?????Р??Ч?С??? П??Я ? ?Х ПР???????Я
??? ??? ??? ? математическая логика? алгебра и теория чисел
??Т?Р?Ф?Р?Т
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико?математических наук
?осква ? ????
Работа выполнена на кафедре алгебры? математического анализа и гео?
метрии факультета математики? физики и информатики Ф???У ?П?
?Тульский государственный педагогический университет имени ????
Толстого?
?аучный руководитель?
?фициальные оппоненты?
доктор физико?математических наук?
профессор
?обровольский ?иколай ?ихайлович
?риценко Сергей ?лександрович
доктор физико?математических наук?
профессор? заведующий кафедрой аглебры?
теории чисел и геометрии ?елгородского
государственного национального
исследовательского университета
Шутов ?нтон ?ладимирович
кандидат физико?математических наук?
доцент? доцент кафедры информатики и
вычислительной техники ?ладимировского
государственного университета
имени ???? и ???? Столетовых
?едущая организация? ?Хабаровское отделение федерального государ?
ственного бюджетного учреждения науки ?нститута прикладной мате?
матики ?альневосточного отделения Российской академии наук?
?ащита состоится ???? мая ???? г? в ?? часов на заседании диссерта?
ционного совета ? ?????????? при ?осковском педагогическом государ?
ственном университете по адресу? ??????? г? ?осква? ул? ?раснопрудная?
д? ??? математический факультет ?П?У? ауд? ????
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ?осковского педаго?
гического государственного университета? ??????? г? ?осква? ул? ?алая
Пироговская? д??
?втореферат разослан ?
Ученый секретарь
диссертационного совета
?
???? г?
?уравьева ????
??Щ?Я Х?Р??Т?Р?СТ??? Р???ТЫ
?ктуальность темы диссертации? ?дной из классических про?
блем вычислительной математики является задача приближенного вы?
числения определенного интеграла? Различные квадратурные формулы
для вычисления определенного интеграла были построены ещ? в ??? ве?
ке? Построение на их основе многомерных квадратурных формул оказа?
лось неэффективным из?за существенной потери точности с ростом раз?
мерности? Поэтому ?? лет тому назад? исходя из нужд вычислительной
практики? в приближенном анализе возник теоретико?числовой метод ??
?? ?оробова ? который позволил построить для канонической области
интегрирования? являющейся единичным s?мерным кубом Gs = [0; 1)s ?
многомерные квадратурные формулы? существенно более точные? чем
классические формулы для классов периодических функций с быстро
сходящимися рядами Фурье?
? ???? г? ?? ?? Фролов в своей работе ?? ? построил для специального
подкласса периодических функций из класса Es? квадратурные форму?
лы с алгебраическими сетками? для которых получил точный порядок
погрешности?
? ???? г? ?? ?? ?обровольский в серии работ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? построил
теорию обобщенных паралелепипедальных сеток и предложил конструк?
цию весовой функции? которая позволила включить в общую теорию и
квадратурные формулы с параллелепипедальными сетками ?оробова? и
аналог квадратурных формул с алгебраическими сетками Фролова?
?ставались нерешенными задачи вычисления констант в оценках по?
грешности для квадратурных формул с алгебраическими сетками точ?
ных по порядку погрешности? ?е рассматривался вопрос? особенно важ?
? Фролов
?? ?? ?ценки сверху погрешности квадратурных формул на классах функций ?? ???
СССР? ???? ????? ??? С? ????????
? ?обровольский ?? ?? ?ценки отклонений обобщенных параллелепипедальных сеток ? ?еп? в
????Т? ????????? ? ????? ? ???
? ?обровольский ?? ?? ?иперболическая дзета функция реш?ток ? ?еп? в ????Т? ?????????
? ????? ? ???
? ?обровольский? ?? ?? ? квадратурных формулах на классах E ? (c) и H ? (c) ? ?еп? в ????Т?
s
s
????????? ? ????? ? ???
? ?обровольский? ?? ?? Теоретико?числовые сетки и их приложения? ?ис? ??? канд? физ??мат?
наук? Тула? ?????
? ?обровольский? ?? ?? Теоретико?числовые сетки и их приложения? ?втореф? дис? ??? канд?
физ??мат? наук? ?осква? ?????
? ?обровольский? ?? ?? Теоретико?числовые сетки и их приложения ?? Теория чисел и ее
приложения? Тез? докл? ?сесоюз? конф? Тбилиси? ????? ?? ??????
?
ный для вычислительной практики? о перечислении точек алгебраиче?
ской сетки?
?анная диссертация посвящена исследованию конкретных алгебраи?
ческих сеток для нахождения явных значений констант в оценках по?
грешности приближенного интегрирования и указанию эффективных
способов перечисления узлов алгебраической сетки без лишней работы
по проверке попадания точек в область интегрирования?
Цель данной работы
дать новое полное изложение метода ???? Фролова? получить явные
оценки гиперболической дзета?функции реш?ток с вычислением кон?
стант и оценки погрешности приближенного интегрирования? предло?
жить для реализации метода ???? Фролова при s = 4 биквадратичные
? ?
поля ?илихле и для поля Q
2, 3 найти такую параметризацию то?
чек алгебраической сетки? которая исключает ?холостую работу? по
проверке принадлежности точек области интегрирования? Поэтому в
диссертационном исследовании были поставлены следующие задачи?
Цель и задачи диссертационной работы?
?? ?ычислить константы в оценке погрешности приближенного инте?
грирования по квадратурным формулам с использованием алгебра?
ических сеток? порожденных чисто?вещественным алгебраическим
полем F степени s над полем рациональных чисел Q?
?? Рассмотреть конкретное вещественное биквадратичное поле ?ири?
? ?
хле Q
2, 3 и решить для него алгоритмическую проблему пе?
речисления точек соответствующей алгебраической сетки? исполь?
зуемой при численном интегрировании по методу Фролова четы?
рехкратных интегралов от периодических функций из класса E4? ?
?? Провести численные эксперименты по вычислению методом Фроло?
ва с алгебраической сеткой? порожденной вещественным биквадра?
? ?
тичным полем ?ирихле Q
2, 3 ? четырехкратных интегралов
от граничной функции ?оробова из класса E4? для параллелепипе?
дальных сеток?
?аучная новизна диссертации заключается в том? что впервые по?
лучены явные выражения для значений констант? входящих в оценки
погрешностей интегрирования по методу Фролова? Построен эффектив?
ный алгоритм численного интегрирования четырехкратных интегралов
с использованием алгебраических сеток? соответствующих конкретному
?
чисто?вещественному биквадратичному алгебраическому полю ?ирих?
ле? Проведен численный эксперимент по вычислению двойных? тройных
и четырехкратных интегралов от граничных функций параллелепипе?
дальных сеток по методу Фролова?
?о?
стоверность полученных результатов подтверждается полными и по?
дробными математическими доказательствами? опирающимися на тео?
ретико?числовые методы в приближенном анализе?
состоит в том? что теоретиче?
ские результаты исследования могут использоваться при создании про?
грамм численного интегрирования интегралов высокой кратности с ис?
пользованием параллелепипедальных сеток с большим количеством уз?
лов порядка нескольких миллионов?
Результаты диссертации докладывались
на научно?исследовательском семинаре ?Теоретико?числовые методы при?
ближенного анализа? под руководством профессора ?? ?? ?оброволь?
ского в Тульском государственном педагогическом университете им ??
?? Толстого? на международной научно?практической конференции ??но?
гомасштабное моделирование структур и нанотехнологии посвященной
????летию со дня рождения академика Пафнутия ?ьвовича Чебыш?ва?
столетию со дня рождения академика Сергея ?асильевича ?онсовского
и ???летию со дня рождения член?корреспондента ?иктора ?натольеви?
ча ?уравихина? Тула? ?????
?сновные результаты по теме диссертации опублико?
ваны в ? работах? в том числе публикации ????? ? в изданиях? включен?
ных в перечень ????
?иссертационная работа со?
стоит из введения? двух глав? разбитых на ? параграфов? заключения и
списка литературы? ?атериал изложен на ??? странице машинописного
текста? включая ?? рисунков? ?иблиография содержит ?? наименование?
?остоверность результатов проведенных исследований?
Практическая значимость работы
?пробация результатов?
Публикации?
Структура и объем диссертации?
С???Р????? Р???ТЫ
?умерация теорем в данной работе соответствует нумерации? приво?
димой в диссертации?
обосновывается актуальность темы диссертационного
исследования? дается краткий исторический обзор результатов? получен?
ных ранее и связанных с тематикой диссертационной работы? формули?
?о введении
?
руются основные результаты диссертации и проводятся схемы доказа?
тельств?
? ??етод ???? Фролова? ? посвящена полному и
подробному изложению метода ?? ?? Фролова ?? ? ? ? с вычислением кон?
стант? входящих в оценки погрешности метода? и уточнением отдельных
деталей метода? Содержание этой главы направлено на достижение пер?
вой задачи диссертации?
? данной главе рассматриваются вопросы приближенного интегри?
рования функции многих переменных по единичному s?мерному кубу
по методу ?? ?? Фролова для непрерывных периодических функций с
периодом? равным единице по каждой из переменных x? (? = 1, ..., s)?
принадлежащих классу Es? (C) при ? = 2? Такое ограничение связано
с тем? что в оригинальном методе Фролова многомерная квадратурная
формула зависит от параметра гладкости ? класса Es? ? наиболее простой
вариант получается при ? = 2?
? общем случае класс Es? ? введенный ?? ?? ?оробовым? состоит из
периодических функций с абсолютно сходящимися рядами Фурье вида
Первая глава
?
C(m)e2?i(m,x) ,
f (x) =
m1 ,...,ms =??
где
|C(m)| ?
C
,
(m1 · ... · ms )?
(? > 1)
и m = max(1, |m|) для любого вещественного ?? ?бластью интегриро?
вания является единичный s?мерный куб
Gs = {x | 0
x?
1,
? = 1, 2, . . . , s}.
?бозначим через ?s (T )? Ks ? E(x, t) и q ? соответственно? параллеле?
пипед
?s (T ) =
x |t?1 x1 + . . . + t?s xs |
1
,
2
? = 1, . . . , s ,
куб
Ks = {x | |x? |
? ?оробов
1,
? = 1, . . . , s},
?? ?? Теоретико?числовые методы в приближенном анализе? ?второе издание? ???
?Ц???? ?????
? Фролов ?? ?? ?ценки сверху погрешности квадратурных формул на классах функций ?? ???
СССР? ???? ????? ??? С? ????????
?
характеристическую функцию отрезка [0, t]?
?
?1 если x ? [0, t],
E(x, t) =
?0 если x ?
/ [0, t].
и целое положительное нечетное число q ?
? параграфе ? даны вспомогательные леммы об оценке некоторых
интегралов и рядов? которые постоянно используются в дальнейшем из?
ложении?
Параграф ? содержит определения решетки и гиперболической дзета?
функции решетки? Центральное понятие геометрии чисел ? реш?тка ?
возникло в связи с теорией приведения положительно определенных
квадратичных форм ?П?Ф?? ?первые понятие реш?тки ввел ?? Ф? ?аусс
в своей рецензии на работу ?еебера в ???? г?
?спользование реш?ток? сдвинутых реш?ток и проекций реш?ток на
координатные подпространства позволяет на единообразном языке об?
суждать разные вопросы теории чисел? а не только теорию квадратич?
ных форм?
Так? например? реш?ткой ? с det ? = N является множество
? = ?(a1 , . . . , as ; N ) решений линейного однородного сравнения
a1 · x 1 + . . . + as · x s ? 0
(mod N ),
а также? если F ? чисто вещественное алгебраическое расширение сте?
пени s поля рациональных чисел Q и ZF ? кольцо целых алгебраи?
ческих чисел поля F ? то s?мерной реш?ткой является множество ?(F )?
образованное с помощью ZF следующим способом?
?(F ) = {(?(1) , . . . , ?(s) ) | ?(1) ? ZF },
где ?(1) , . . . , ?(s) ? система алгебраически сопряженных чисел? и если
?
d ? дискриминант поля F ? то det ?(F ) = d? Эти два примера реш??
ток ? реш?тка ?(a1 , . . . , as ; N ) решений линейного сравнения и алгеб?
раическая реш?тка ?(F ) ? играют важную роль в теоретико?числовом
методе в приближенном анализе?
? аналитической теории чисел наиболее часто фигурирует реш?тка
всех целых точек? то есть фундаментальная реш?тка Zs ? ? классиче?
ская задача о целых точках в различных областях ? это задача о точках
реш?тки Zs в этих областях?
?
?ак известно? достаточно общее определение вещественной теорети?
ко?числовой реш?тки в геометрии чисел следующее?
Пусть ?1 , . . . , ?m , m
s ? линейно независимая система векто?
ров вещественного арифметического пространства Rs ? Совокупность ?
всех векторов вида
a1 ?1 + . . . + am ?m ,
где aj независимо друг от друга пробегают все целые рациональные чис?
ла? называется m?мерной реш?ткой в Rs ? а сами векторы ?1 , . . . , ?m ?
базисом этой реш?тки?
Пусть матрица T = ||t?k ||sЧs не вырождена? тогда линейное пре?
образование с матрицей T переводит фундаментальную реш?тку Zs в
реш?тку ? = T · Zs с базисом ?j = (tj1 , . . . , tjs ) (1 j s)? Ясно? что
? = {x = (t11 m1 + . . . + ts1 ms , . . . , t1s m1 + . . . + tss ms )|m1 , . . . , ms ? Z} .
?удем эту решетку обозначать через ?(T ).
?иперболическая дзета?функциия реш?тки ? для ? > 1 определяется
абсолютно сходящимся рядом
(x1 · . . . · xs )?? .
?H (?|?) =
x??
Прежде всего заметим? что гиперболическая дзета?функция решеток
является рядом ?ирихле?
Таким образом? гиперболическую дзету?функцию реш?тки можно за?
писать как ряд ?ирихле?
??
(x1 · . . . · xs )
?H (?|?) =
x??
=
??Qsp (?)
q(?)
=
??
?
j=1
q(?j )
.
??j
? этом параграфе доказан ряд лемм о числе точек решетки в некото?
рых областях? которые позволяют доказать важную лемму об абсолют?
ной сходимости дзета?ряда? задающего гиперболическую дзету?функцию
решетки? из которой следует корректность определения в виде суммы по
точкам решетки?
? параграфе ? сформулированы некоторые свойства алгебраических
решеток? ?оказана теорема ?? которая играет ключевую роль в оценки
погрешности приближенного интегрирования по методу Фролова? ?се
константы в е? формулировке являются эффективно вычислимыми и
для них даны явные выражения?
?
Пусть все коэффициенты многочлена
s?1
a? x? + xs
Ps (x) =
?=0
целые рациональные? и он неприводим над полем рациональных чисел?
Пусть? кроме того? все корни ?? (? = 1, . . . , s) данного многочлена дей?
ствительные?
?бозначим через T = T (a)? где a = (a0 , a1 , . . . , as?1 ) ? вектор цело?
численных коэффициентов многочлена Ps (x)? матрицу степеней алгеб?
раически сопряженных целых алгебраических чисел ?1 ?? ? ? ??s ? корней
многочлена Ps (x)?
?
?
1 ... 1
?
? ?1 . . . ?s
T =?
??
??
? ???
?
?
?
?s?1
. . . ?s?1
s
1
Теорема ?? ?сли ?
водимого многочлена
?
(? = 1, . . . , s)
?
?
?.
?
?
? действительные корни непри?
s?1
a? x? + xs
Ps (x) =
?=0
с целыми коэффициентами? матрица T = T (a) и ? ? действительное
число больше единицы? то для гиперболической дзета?функции решет?
ки ?H (q?(T )|?) справедлива оценка?
?H (q?(T )|?)
s?(s ? 1) log2 q
6 · (s + 1)
+ s log2 (?2 (T )) + 2
??1
s?1
s
s?2s+??1
+
(? ? 1)?(T )??1
1
1+
?(T )
s
?(?)
1+ ?
q
s?1
?(?)+
1
.
q s?
?де
??
s
?H (q?(T )|?) =
q(t1? m1 + . . . + ts? ms )
m?Zs
?=1
??
s
q · x?
=
x??(T )
?=1
?
=
гиперболическая дзета?функция решетки для алгебраических решеток
q?(T ), q 1?
? такой форме теорема доказана впервые?
Параграф ? посвящен классу функций Es? (C)? в котором дано опреде?
ление периодической функции? принадлежащей классу Es? (C)? и сфор?
мулированы некоторые свойства таких функций? связанные с оценкой
интегралов? возникающих для коэффициентов Фурье при замене пере?
менных?
? параграфе ? для классов функции Es? (C)? (? > 1) получены неулуч?
шаемые по порядку оценки сверху погрешности квадратурных формул
для вычисления кратных интегралов с помощью алгебраических парал?
лелепипедальных сеток?
?
?s (T )
Ks
Теорема ? Пусть параллелепипед
содержит куб ? Пусть
дана сетка из N = qs узлов ?(k1, . . . , ks) = (?1(k), . . . , ?s(k)) с весами
?(k1 , . . . , ks )? определенными равенствами
?(k) =
1 ?1
T k,
q
q?1
,
2
|k? |
? = 1, . . . , s;
,
s
1 ? |?? (k)| E |?? (k)|, 1
?(k) =
.
?=1
Тогда погрешность квадратурной формулы
1
1
...
0
| det T |?1
f (x)dx =
N
0
на классе функций Es?(C),
q?1
2
q?1
2
?(k) f (?(k)) ? RN [f ]
...
k1 =? q?1
2
(1 < ?
ks =? q?1
2
2)
удовлетворяет оценке
RN (Es? (C)) = sup |RN (f )|
f ?Es? (C)
C · (2 (1 + ?(?)) + (1 + 2?(?)) 2? )s ?H (q?(T )|?).
Теорема ?? Пусть функция ?(x) непрерывна на отрезке [ 0, 1 ] вме?
сте с первыми r (r = [?] + 1) производными и удовлетворяет условиям
?(?) (0) = ?(?) (1) = 0,
(? = 0, 1, . . . , r ? 1),
1
|?? (x)| dx
(2?)? ,
0
??
(? = 0, 1, . . . , r).
Пусть сетка ?(k) та же? что и в теореме ?? Тогда погрешнось квад?
ратурной формулы
1
1
s
...
?(x? ) f (x)dx =
0
| det T |
=
qs
?1
?=1
0
q?1
2
q?1
2
s
?(?? (k))E (?? (k), 1) Ч
...
|k1 |=? q?1
2
?=1
|ks |=? q?1
2
Чf ?(k) ? RN (f )
на классе функций Es?(C) удовлетворяет оценке
RN (Es? (C)) = sup |RN (f )|
f ?Es? (C)
C · (2 (1 + ?(?)) + (1 + 2?(?)) 2? )s · ?H (q?(T )|?).
? такой форме с эффективными константами в явном виде теоремы
? и ? доказаны впервые?
? параграфе ? исследуется тригонометрическая сумма сеток с весами
| det T |?1
S(m1 , . . . , ms ) =
qs
?(k)e2?i(m,?(k)) =
k
| det T |?1
=
qs
q?1
2
q?1
2
?(k)e2?i(m,?(k))
...
|k1 |
q?1
2
|ks |
q?1
2
Эти исследования позволяют доказать теорему? обобщающую теорему ??
?
?(k)
?(k)
Теорема ? Пусть сетка
и веса
те же? что и в теореме
?? ? > 2 и r = [?] + 1 ?Тогда погрешность квадратурной формулы
1
1
...
0
[S(0, . . . , 0)]?r
=
?s
| det T |?1
N
f (x)dx =
0
s
r+1
?? ?? (k0 ) E ?? (k0 ), 1
k0
Ч
?=1
?(k1 ) . . . ?(kr ) f (?(k0 ) + . . . + ?(kr )) ? RN1 (f )
k1 ,...,kr
??
Ч
на классе функций Es?(C) удовлетворяет оценке
C
·
?s (S(0, . . . , 0))r
(2 (1 + ?(?)) + (1 + 2?(?)) 2? )s · ?H (q?(T )|?)
·
+
| det T |r
?
((6 + 10?(2))s · ?H (q?(T )|2))
+
|det T |
|RN1 (f )|
и N1 = [1 + (r + 1)(q ? 1)]s = O(N )?
Параграф ? завершает изложение нового варианта метода Фролова?
? нем доказывается основной результат первой главы о погрешности
интегрирования по методу Фролова?
?
?? (? = 1, . . . , s)
Теорема ? Пусть
? действительные корни непри?
водимого многочлена
s?1
a? x? + xs
Pa (x) =
?=0
с целыми коэффициентами?
Пусть матрица T (a) задана соотношением
?
1 ... 1
?
? ?1 . . . ?s
T (a) = ?
?
?
?s?1
. . . ?s?1
s
1
??
??
??
?
?
?
?,
?
?
1
· T (a),
? матрица T1 ? равенством T1 = T1(a) = 2 T (a)
1, при 1 < ? 2,
r(?) =
[?], при ? > 2,
а сетка
1
?(k),
|k? |
(r(?) + 1)
равенствами
q?1
,
2
? = 1, . . . , s ,
? целое? нечетное??
Тогда существуют такие веса ??(k)? что погрешность квадратурной
формулы
?(k) =
1
(q
1
...
0
1 ?1
T k,
q 1
f (x)dx =
0
?? (k) f
|k? | (r(?)+1) q?1
2
??
1 ?1
T k ? RN? (f )
q 1
на классе функций Es?(C) удовлетворяет оценке
C
·
?s (S(0, . . . , 0))r
(2 (1 + ?(?)) + (1 + 2?(?)) 2? )s · ?H (q1 ?(T )|?)
+
·
| det T |r
?
((6 + 10?(2))s · ?H (q1 ?(T )|2))
+
,
|det T |
RN? =
s
?
N? = 1 + (r(?) + 1) q?1
2
?се константы даны в явном виде? Таким образом? и этот основной
результат в методе Фролова в такой форме доказан впервые?
? ??ычисление четырехкратных интегралов с помо?
щью сеток биквадратичных полей? ? посвящена рассмотрению вопро?
са о практическом вычислении кратных интегралов от периодических
функций?
Параграф ? посвящен вещественным биквадратичным полям ?ирих?
ле? ? нем выполнена подготовительная работа для реализации вычисле?
ния четырехкратных интегралов методом Фролова и дается явный вид
матриц T ? T 1 и T 1?1 ? рассчитанных с помощью символьных вычислений
в системе ????????
?бщим случаем биквадратичного поля ?ирихле является поле вида
?торая глава
?
?
? ?
?
?
?
Q( p + q) = Q( p, q) = {a + b p + c q + d pq | a, b, c, d ? Q} ,
где (p, q) = 1? 1 < p < q ? натуральные числа? свободные от квадра?
?
?
тов? ?инимальным многочленом для примитивного элемента p + q
является многочлен
Pa (x) = x4 ? 2(p + q)x2 + (p ? q)2 =
?
?
= (x2 ? (q ? p) ? 2x p)(x2 ? (q ? p) + 2x p) =
?
?
?
?
?
?
?
?
= (x ? p ? q)(x ? p + q)(x + p ? q)(x + p + q)
с целыми рациональными коэффициентами? неприводимый над полем
рациональных чисел? имеющим четыре действительных корня?
?
?
?
?
?
?
?
?
?1 = p + q ? ?2 = p ? q ? ?3 = ? p + q ? ?4 = ? p ? q ?
? параграфе ? для численного эксперимента была выбрана функция
h(x) = 3s (1 ? 2{x1 })2 . . . (1 ? 2{xs })2 ? которая является граничной функ?
цией для параллепипедальных сеток на классе Es2 1, ?62 и используется
??
как основа для количественной меры качества наборов оптимальных ко?
эффициентов?
Этот параграф разбит на ? разделов?
? разделе ? приводятся программы на ??????? и результаты чис?
ленного интегрирования для двукратных интегралов от тестовой функ?
ции? Результаты сопоставимы с параллелепипедальными сетками? но
несколько хуже?
? разделе ? приводятся аналогичные программы для численного ин?
тегрирования трехкратных интегралов от тестовых функций по методу
Фролова? Так как кубические иррациональности чисто?вещественного
кубического алгебраического поля над полем рациональных чисел нель?
зя задать символически? не используя сложных формул ?ардано? вы?
ходящих в комплексную область? то приводятся простейшие программы
вычисления корней кубического неприводимого многочлена и численные
расчеты необходимых матриц для метода Фролова? Результаты экспери?
мента оказались удовлетворительные?
Раздел ? содержит результаты численного эксперимента для четы?
рехкратных интегралов? которые показали неэффективность прямого
подхода при реализации метода Фролова при размерности s = 4? ?ыло
найдено теоретическое объяснение этому факту и предложено улучше?
ние первого варианта реализации метода Фролова для четырехкратных
интегралов?
? разделе ? дается улучшенный вариант вычисления четырехкрат?
ных интегралов? который также дал неудовлетворительные результаты
с точки зрения объема холостой работы? связанной с проверкой попада?
ния точек решетки в область интегрирования?
Раздел ? содержит попытку улучшения характеристик алгоритма пе?
речисления узлов сетки за счет более аккуратной подготовки каждо?
го следующего из четырех вложенных циклов? Это? конечно? привело
к улучшению характеристик программы? но не улучшило кардинально
ситуацию?
? раздел ? было осуществлено теоретическое исследование алгорит?
мической проблемы исключения холостой работы? ?нализ конкретной
сетки? опирающийся на явное задание узлов сетки как линейных це?
лочисленных комбинаций квадратичных иррациональностей? позволил
найти точную параметризацию узлов сетки?
Раздел ? содержит несколько вариантов реализации алгоритма инте?
??
грирования? основанных на точной параметризации узлов сетки?
сформулированы основные результаты диссертации?
? заключении
?? Показано? что метод Фролова позволяет строить квадратурные фор?
мулы? имеющие точный порядок погрешности для непрерывных пе?
риодических функций с периодом? равным единице по каждой из
переменных x? (? = 1, 2, . . . , s)? принадлежащих классу Es? (C)?
?? Разработана программа в ??????? для приближенного вычис?
ления четырехкратных интегралов с помощью алгебраических па?
раллелепипедальных сеток на основе рассмотрения биквадратич?
ных полей ?ирихле?
?? Проведен теоретический анализ? который позволил найти точную
параметризацию узлов квадратурной формулы? исключающую хо?
лостую работу по проверке попадания точки в область интегриро?
вания?
??
Р???ТЫ ??Т?Р? П? Т??? ??СС?РТ?Ц??
?? ?ерцог ?? С? Численное вычисление четырехкратных ин?
тегралов по методу Фролова с использованием?алгебраи?
ческих сеток биквадратичного поля ?ирихле Q( 2+ ?3) ??
?звестия Тульского государственного университета? ?сте?
ственные науки? ?ып? ?? ? Тула? ?зд?во Тул?У? ????? ? С?
?? ? ??? ? ??? п?л?
?? ?ерцог ?? С? Параметризация четырехмерной сетки би?
квадратичного поля ?ирихле ?? ?аучные ведомости ?ел?
городского государственного университета? Серия? ?ате?
матика? Физика? ????????? ? ?ып? ?? ? ?елгород? ?зд?во
?ел?У? ????? ? С? ?? ? ??? ? ??? п?л?
?? ?ерцог ?? С?? Ребров ?? ??? Триколич ?? ?? ? методе ?? ?? Фролова
в теории квадратурных формул ?? Чебышевский сборник ? Т? ??
?ып? ?????? ? Тула? ?зд?во Тул? гос? пед? ун?та им? ?? ?? Толстого?
????? ? С? ?? ? ??? ? ??? п?л? ?авторский вклад ?? ? ?
?? ?ерцог ?? С? П???С Т??? ?иквадратичные поля и квадратур?
ные формулы ?? ?атериалы международной научно?практической
конференции ? ?ного?масштабное моделирование структур и нано?
технологии? посвященной ????ле?тию со дня рождения академика
Пафнутия ?ьвовича Чебыш?ва? столетию со дня рождения акаде?
мика Сергея ?асильевича ?онсовского и ???летию со дня рождения
член?корреспондента ?иктора ?натольевича ?уравихина ? Тула?
?зд?во Тул? гос? пед? ун?та им? ?? ?? Толстого? ????? ? С? ??? ?
???? ? ??? п?л?
??
Документ
Категория
Физико-математические науки
Просмотров
17
Размер файла
261 Кб
Теги
кандидатская
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа