close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Центральные единицы целочисленных групповых колец знакопеременных групп

код для вставкиСкачать
ФИО соискателя: Каргаполов Андрей Валерьевич Шифр научной специальности: 01.01.04 - геометрия и топология Шифр диссертационного совета: Д 004.006.03 Название организации: Институт математики и механики УрО РАН Адрес организации: 620219, г.Екатеринбу
?а правах рукописи
?аргаполов ?ндрей ?алерьевич
Ц??ТР??Ь?Ы? ?????ЦЫ Ц???Ч?С????ЫХ
?РУПП??ЫХ ????Ц ?????П?Р?????ЫХ ?РУПП
???????? ? математическая логика? алгебра и теория чисел
?втореферат
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико?математических наук
?катеринбург ????
Работа выполенена в Ф???У ?П? ?Южно?Уральский государственный
университет????У? на кафедре алгебры?
?аучный руководитель?
доктор физико?математических наук?
доцент? ?леев Рифхат ?алялович
?фициальные оппоненты?
доктор физико?математических наук?
доцент? Ревин ?анила ?легович
кандидат физико?математических наук?
?аслова ?аталья ?ладимировна
?едущая организация? Челябинский государственный университет
?ащита состоится ?? мая ???? года в ????? часов на заседании специали?
зированного совета ? ?????????? в ?нституте математики и механики Ур?
Р?? по адресу? ??????? г? ?катеринбург? ул? С? ?овалевской? ???
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ?нститута ма?
тематики и механики Ур? Р?? ?г? ?катеринбург? ул? С? ?овалевской? ????
?втореферат разослан
Ученый секретарь
диссертационного совета?
кандидат физ??мат? наук
апреля ???? года
?? ?? ?елоусов
??Щ?Я Х?Р??Т?Р?СТ??? Р???ТЫ
?ктуальность темы? ?иссертация посвящена исследованию вопроса
о центральных единицах групповых колец знакопеременных групп?
?рупповые кольца ? естественный и важный объект современных ал?
гебраических исследований? Результаты? относящиеся к групповым коль?
цам? широко используются не только во многих разделах алгебры? но и в
других разделах математики? например? в топологии? ? теории групповых
колец можно выделить два основных направления? исследования кольце?
вой структуры и исследование мультипликативной структуры? ?анное ис?
следование в основном касается второго направления? то есть изучаются
группы единиц ?обратимых элементов? групповых колец?
Сначала вопросы мультипликативной структуры колец рассматрива?
лись для колец целых элементов полей алгебраических чисел? ?апример?
теорема ?ирихле о группах единиц колец целых полей алгебраических чи?
сел? результаты Синнота о группах единиц колец целых абелевых полей
?полей с абелевой группой ?алуа над полем рациональных чисел?? Хигман
исследовал группы обратимых элементов групповых колец над конечными
алгебраическими расширениями кольца целых чисел?
?лассическим объектом исследований в теории групповых колец явля?
ются целочисленные групповые кольца конечных групп? ?нтерес к таким
кольцам связан с тем? что именно для них наиболее ярко проявляются са?
мые важные характеристики групповых колец конечных групп? ?сли рас?
сматривать групповые алгебры над полями характеристики ?? то классиче?
ская теория представлений сводит их изучение к матричным кольцам над
телами?
Так как группа центральных единиц совпадает с центром группы всех
единиц? то получение информации об этой группе является важной задачей
при исследовании группы всех единиц? ?ополнительную значимость этому
придает тот факт? что в большинстве случаев на центре заканчивается
верхний центральный ряд группы единиц? ?роме того? полные описания
групп всех единиц целочисленных групповых колец получены лишь для
некоторых групп небольших порядков?
? мультипликативной теории групповых колец можно выделить две
основные области исследований? построение подгрупп единиц? имеющих
определенные свойства ?свобода? центральность? конечность индекса и др???
и выяснение свойств групп всех единиц?
?
Цель работы? Целями данной работы являются вычисление рангов
групп центральных единиц для как можно б?
ольших степеней знакопере?
менных групп? вывод приближенных формул для рангов и полное описа?
ние группы центральных единиц целочисленного группового кольца знако?
преременной группы степени 14? что является первым примером полного
описания в случае ранга большего 1?
?етоды исследования? ? исследовании применяются методы теории
конечных групп? теории характеров? теории чисел и компьютерной алгеб?
ры? ?ля вычислений используется компьютерная система ??P и разрабо?
танные автором программы на ???? и С???
?аучная новизна? ?се основные результаты являются новыми и снаб?
жены полными доказательствами?
Практическая и теоретическая ценность? Результаты диссертации
позволяют в группах центральных единиц целочисленных групповых колец
знакопеременных групп?
• находить центральные единицы?
• строить подгруппы конечного индекса?
• находить ранги групп центральных единиц?
• полностью описывать группы центральных единиц таких колец?
? работе также впервые дано полное описание группы центральных еди?
ниц целочисленного группового кольца знакопеременной группы степени
?? ?первый случай? когда ранг не равен 1??
?пробация работы? Результаты диссертации докладывались на ???
?еждународной школе?конференции посвященой ???летию ??С? ?ондра?
тьева ?г? Челябинск? ?????? на ?еждународной молодежной школе ? конфе?
ренции ??лгоритмические вопросы теории групп и смежных областей??г? ?о?
восибирск? ?????? на ?? и ?? молодежной школе?конференции ?Проблемы
теоретической и прикладной математики? ?г? ?катеринбург? ????? ?????? на
?? ?? и ??? научной конференции аспирантов и докторантов ЮУр?У ?г? Че?
лябинск? ????? ????? ?????? По результатом работы автор неоднократно вы?
ступал на городском алгебраическом семинаре ?г? Челябинск? ???????????
?
Публикации? ?сновные результаты диссертации опубликованы в ра?
ботах ????? ?????
Структура и объ?м работы? ?иссертация состоит из введения? че?
тырех глав? библиографии и приложений? ?на изложена на ?? страницах?
библиография содержит ?? наименований?
С???Р????? Р???ТЫ
Первая глава
?Предварительные сведения и результаты?
? этой главе содержатся необходимые определения? обозначения и ре?
зультаты? которые используются в последующих главах?
?торая глава
??ычисление рангов U (Z (ZAn ))?
?анная глава посвящена разработке алгоритмов для поиска рангов? ?о
всех алгоритмах используются разбиения натуральных чисел?
?пределение? Разбиением натурального числа n называется всякая ко?
нечная невозрастающая последовательность натуральных чисел a1 , . . . , ar ,
r
для которой i=1 ai = n. Числа ai называются частями разбиения?
Связь рангов с разбиениями следует из результата Ферраза?
?емма ?? Ранг группы U (Z (ZAn )) равен числу разбиений a = (a1 , . . . , am )
натурального числа n? удовлетворяющих следующим свойствам?
(1) ai нечетно при 1?i?m;
(2) ai =aj при i=j;
(3) n ? m (mod 4);
(4)
m
i=1 ai
не является квадратом натурального числа.
? первом параграфе приводится параллельный переборный алгоритм?
Перебор подвергнут жесткой оптимизации? перебираются только разбие?
ния? удовлетворяющие условиям (1)?(3) леммы ?? проверка условия (4)
выполняется с помощью битовых операций над степенями простых чисел
?
в разложении элементов разбиения вместо непосредственного произведе?
ния чисел? Эти оптимизации и успешное распределение вычислений между
узлами кластера позволили вычислить ранги групп центральных единиц
целочисленных групповых колец знакопеременных групп An до n = 800?
что значительно больше? чем удавалось ранее ?n = 240??
?о втором параграфе описывается алгоритм? активно использующий
оперативную память для сохранения промежуточных результатов? Этот
алгоритм называется улучшенным? он позволяет вычислить ранги для зна?
копеременной группы большей степени? но его сложнее распараллелить?
поэтому в диссертации он последовательный?
?оличество разбиений? удовлетворяющих условиям (1)?(3) леммы ??
обозначается r(mod 4) (n)? а число разбиений? удовлетворяющих условиям
(1)?(3)? но не удволетворяющее условию (4) ? squares(n) ?сами разбиения
при этом обозначаются as (n)?? ?оличество разбиений? удовлетворяющих
всем условиям? обозначается rank(n)?
Приводится рекурсивный алгоритм R4Count для вычисления r(mod 4) (n)?
а также доказывается теорема о его корректности и вычислительной слож?
ности?
Теорема ?? ?лгоритм R4Count корректен? Получение значения r (mod 4) (n)
требует O(n2 ) операций?
Такая вычислительная сложность позволяет вычислить значения
r (mod 4) (n) для достаточно больших n? ??ольшую сложность составляет вы?
числение squares(n) ?алгоритм SquaresCount??
После того как была предпринята попытка посчитать разбиения? эле?
менты которых в произведении являются квадратом натурального числа?
а не наоборот? удалось записать необходимые условия? невыполнение кото?
рых позволяет сузить перебор?
? диссертации доказывается ? таких условия?
?емма ?? ? разложении элементов as (n) на простые множители от?
сутствуют простые числа p в нечетной степени такие? что p > n/4?
?емма ?? ?оличество разбиений n на положительные нечетные слага?
емые? произведение которых делится на простые числа p1 , . . . , pl ? равно
нулю? если li=1 pi > n?
?
Следующее условие более общее? и именно оно используется в алгоритме
вычисления рангов?
?емма ?? ?оличество разбиений n на положительные нечетные слагае?
мые не м?еньшие? чем k ? произведение которых делится на простые числа
p1 , . . . , pl ? равно нулю? если
min
Pj > n,
P
где P ? это разбиение p1 , . . . , pl на непересекающиеся подмножества? а
Pj ? минимальное нечетное число такое? что содержит все простые
числа j ?го подмножества в качестве делителей и Pj ? k ?
Приводится эффективный алгоритм M inimumSum для проверки усло?
вия леммы ? с использованием динамического программирования?
? конце второй главы приводится алгоритм вычисления squares(n) и
rank(n)? а также посчитанные ранги до n = 1000?
Третья глава
?Приближенные формулы для рангов U (Z (ZAn ))?
?анная глава посвящена доказательству различных формул для коли?
чества разбиений? которые помогут в подсчете рангов U (Z (ZAn ))?
Сначала приводится рекуррентная точная формула для r (mod 4) (n)?
R (n, k, shif t) = R (n ? k, k + 2, (shif t + 1 ? k)
(mod 4)) +
+R (n, k + 2, shif t) ,
где R (0, ?, 0) = 1? 1?k?n? k?1 (mod 2)? 0?shif t < 4?
Чтобы узнать r (mod 4) (n) нужно вычислить значение R(n, 1, 0)? то есть
r
(mod 4) (n)
= R (n, 1, 0) .
?атем для r(n)?
n
? (j) r (n ? j),
nr (n) =
j=1
?
где
2i+1?n
(?1)m+1 (2i + 1)
? (n) =
i=0
(2i+1)m=n
m?N
?а основе интегральной теоремы ?оши доказывается асимптотическая
формула для r (n) при n ? ??
Теорема ?? При n ? ? имеет место асимптотическая формула
?
??n / 6
r (n)
где ?n = n ?
e
,
?
3/2
4
2 24?n
1 1/2
?
24
?анные формулы не позволяют точно вычислить ранг U (Z (ZAn ))? но
они позволяют вычислить его приближенно? ?роме того? из вычислитель?
ных экспериментов следует? что для рангов выполняются следующие пред?
положения?
Предположение ?? При n ? ? имеет место формула
r
(mod 4) (n)
r (n) /2.
Предположение ?? При n ? ? имеет место формула
rank (n)
r
(mod 4) (n)
?
e n/6
?
.
4
4 24n3
?
? конце третьей главы приводится сравнение приближенно вычислен?
ных рангов с точными значениями? ?се значения дают хорошее приближе?
ние к rank(n)?
Четвертая глава
?Построение U (Z (ZAn ))?
? четвертой главе впервые проводится исследование случая? когда ранг
группы центральных единиц целочисленного группового кольца знакопе?
ременной группы больше 1? а именно? получено полное описание группы
центральных единиц знакопеременной группы A14 ? ранг которой равен ??
Результаты данной главы опубликованы в работе ?????
?
Пусть ? ? нецелый
неприводимый
характер группы An ? тогда нецелые
?
?
значения ? это 1+b2 d и 1?b2 d ? где b натурально? d свободно от квадратов
?? характерах полусимметрической группы ?? ??????
?бозначение? Положим
и
?
1+ d
wd =
,
2
?
1+b d 1?b
=
+ bwd
?=
2
2
?
1
?
b
d 1?b
?? =
=
+ bwd? ,
2
2
? ? единица кольца Z [b?d ] ,
u (?) ? локальная единица U (Z(ZAn )).
?емма ?? Пусть ? ? единица кольца Z [b?d ]? u (?) =
единица U (Z(ZAn ))? Тогда? согласно ????
?i =
?i yi ? локальная
tr (? (xi ) (? ? 1))
,
z
|An |
где z = deg
? ? yi ? классовые суммы для классов с представителями xi ? ?i
? целочисленны?
Следующая лемма позволяет вычислять нужные для определения u (?)
следы на основе ? и ? ?
?емма ?? Пусть ? = ? + ?? ? тогда
tr (? ? 1) = 2 (? ? 1) + ?,
1 + bd
tr (? (? ? 1)) = (? ? 1) +
?,
2
1 ? bd
tr (? ? (? ? 1)) = (? ? 1) +
?.
2
По условию леммы ? нужно? чтобы ?i для всех i были целыми? поэтому
можно сформулировать требование на коэффициенты ? и ? ? при которых
выполняется это условие?
?
?емма ?? u (?) ? U (Z (ZAn )) тогда и только тогда? когда для некото?
рого целого t
?
?
? ? = 1 + z bd + 1 t,
2 bd
z
?
?
? = ? t.
bd
? конце четвертой главы приводится основной результат ? описание
группы центральных единиц целочисленного группового кольца знакопе?
ременной группы A14 ?
Теорема ?? U (Z(ZA14 )) = ?1 Ч u20 (1 + ?13 )3360 Ч u57 (19 + 8?33 )840 Ч
u59 (2 + 3?5 )504 ? ?десь u20 ? локальная единица? соответствующая ха?
рактеру группы A14 степени 4752? u57 ? локальная единица? соответ?
ствующая характеру группы A14 степени 29952? u59 ? локальная едини?
?
1+ 13
ца? соответствующая
характеру группы A14 степени 34320? ?13 = 2 ?
?
?
?33 = 1+2 33 ? ?5 = 1+2 5 ?
Список литературы
??? ?леев Р??? Центральные единицы целочисленных групповых колец
конечных групп? дис? д?ра физ??мат? наук ? Р??? ?леев? Челябинск?
????? ??? с?
??? ?леев Р??? ?диницы полей характеров и центральные единицы цело?
численных групповых колец конечных групп ? Р??? ?леев ?? ?атем?
труды? ????? том ?? ? ?? ?? ?????
??? ?леев Р??? Числа Хигмана конечных групп ? Р??? ?леев ?? ?атем?
труды? ????? том ?? ?? ?????
??? ?леев Р??? ? группах центральных единиц целочисленных группо?
вых колец знакопеременных групп ? Р??? ?леев? ???? Соколов ?? Тру?
ды института математики? ????? том ??? ? ?? ?? ?????
??? ?оревич ???? Теория чисел ? ???? ?оревич? ??Р? Шафаревич ??
?осква? ?аука? ?????
??? ?ормен Т? ?лгоритмы? построение и анализ ? Т? ?ормен? Ч? ?ейзер?
сон? Р? Ривест? ?? Штайн ?? ?здательский дом ??ильямс? ? ?????
??
??? ?ипский ?? ?омбинаторика для программистов ? ?? ?ипский ??
?осква? ?ир? ?????
??? Постников ???? ?ведение в аналитическую теорию чисел ? ???? Пост?
ников ?? ?осква? ?аука? ?????
??? Финхтенгольц ???? ?урс дифференциального и интегрального ис?
числения ? ???? Фихтенгольц ?? Т? ??? ?осква? Ф????Т??Т? ?????
???? Фробениус ?? Теория характеров и представлений групп ? ?? Фробе?
ниус ?? Харьков? ?ос? науч??техн? изд Украины? ?????
???? Шпаковский ???? Программирование для многопроцессорных си?
стем в стандарте ?P? ? ???? Шпаковский ???? ???? Серикова ?? ?инск?
??У? ?????
???? Эндрюс ?? Теория разбиений ? ?? Эндрюс ?? ?осква? ?аука? ?????
? ???????s ???tr?? ???t t???r?? ???ts ?? ??t??r?? ?r??? r???s ??
???? ????? ?? ?
? ????? ?? ??t?r?? ?? ??
???t? ?????? ?r???s ??? ????????? ?????rs ? ?? ??
?????r? ??? ?????? ????? ???? ?? ? ?? ?? ????????
???? ????? ?? ?? ??tr????t??? t? t?? ?????t?? t???r? ?? ?????rs ? ?? ?????
?? ???r???? ??t????t???? s????t?? ?????
???? ??rr?? ???? ?????? ????????ts ??? ???tr?? ???ts ?? ?r??? r???s ? ????
??rr?? ?? ???r??? ?? ?????r?? ????? ???? ???? ? ?? ?? ????????
???? ???????t P? ?????t?? ???????t?r??s ? P? ???????t? ?? ????????? ??
????r???? ?????rs?t? Pr?ss? ?????
???? ??P? ??? ??P ?r???? ??P ? ?r???s? ????r?t??s? ??? Pr??r???????
??rs??? ?????? ???? ?? ?tt????????????s?st????r??
???? ??t? ???? ??? ?????r ?? P?rt?t???s ?? ? ??t ? ???? ??t? ?? ???
???r???? ??t????t???? ???t???? ???ts?????? ????? ???? ??? ? ?? ?? ????????
Работы автора по теме диссертации
???? ?леев Р??? Ранги групп центральных единиц целочисленных груп?
повых колец знакопеременных групп ? Р??? ?леев? ???? ?аргаполов?
???? Соколов ?? Фундамент? и прикл? матем? ?осква? ????? том ??? ? ??
с? ??????
??
???? ?аргаполов ???? Разбиения натуральных чисел и их приложения
в алгебре и комбинаторике ? ???? ?аргаполов ?? ?аучный поиск?
материалы первой научной конференции аспирантов и докторантов?
Социально?гуманитарные и естественные науки? Челябинск? ЮУр?У?
????? с? ??????
???? ?аргаполов ???? Параллельный алгоритм для нахождения рангов
групп центральных единиц целочисленных групповых колец знакопере?
менных групп ? ???? ?аргаполов ?? Труды ???й ?сероссийской моло?
дежной конф? ?катеринбург? Ур? Р??? ????? с? ????????
???? ?аргаполов ???? Параллельный алгоритм для нахождения рангов
групп центральных единиц целочисленных групповых колец знакопере?
менных групп ? ???? ?аргаполов ?? ?лгоритмы и программные сред?
ства параллельных вычислений? Сб? научных трудов? ?катеринбург?
Ур? Р??? ????? ? ??? с? ?????
???? ?аргаполов ???? Приближенные формулы для рангов групп цен?
тральных единиц целочисленных групповых колец знакопеременных
групп ? ???? ?аргаполов ?? Тезисы ???й ?сероссийской молодежной
конф? ?катеринбург? Ур? Р??? ????? с? ??????
???? ?аргаполов ???? ?симптотическая формула для рангов групп цен?
тральных единиц целочисленных групповых колец знакопеременных
групп ? ???? ?аргаполов ?? ?аучный поиск? материалы второй науч?
ной конференции аспирантов и докторантов? ?стественные науки? Че?
лябинск? ЮУр?У? ????? с? ??????
???? ?аргаполов ???? ?руппа центральных единиц целочисленного груп?
пового кольца знакопеременной группы степени ?? ? ???? ?аргаполов
?? ?естник ЮУр?У? Серия ??атематика? ?еханика? Физика??? Челя?
бинск? ЮУр?У? ????? ? ??? с? ??????
???? ????? ????? ??? r???s ?? ???tr?? ???t ?r???s ?? ??t??r?? ?r??? r???s
?? ??t?r??t??? ?r???s ? ????? ?????? ???? ??r???????? ???? ??????? ??
???r??? ?? ??t????t???? ???????s? ??? ??r?? ??r????r? ????? ???? ???? ? ??
?? ????????
??
Документ
Категория
Физико-математические науки
Просмотров
25
Размер файла
261 Кб
Теги
кандидатская
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа