close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Стабильность диагональных действий и многообразия двойных смежных классов

код для вставкиСкачать
ФИО соискателя: Анисимов Артём Борисович Шифр научной специальности: 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел Шифр диссертационного совета: Д 501.001.84 Название организации: Московский государственный университет им.М.В.Ломоносова А
?осковский государственный университет
им? ?? ?? ?омоносова
?а правах рукописи
У?? ??????
?нисимов ?рт?м ?орисович
Стабильность диагональных действий и
многообразия двойных смежных классов
???????? ? математическая логика? алгебра и теория чисел
?втореферат
диссертации на соискание уч?ной степени
кандидата физико?математических наук
?осква? ????
Работа выполнена на кафедре высшей алгебры ?еханико?математичес?
кого факультета ?осковского государственного университета имени
?? ?? ?омоносова?
?аучный руководитель?
?фициальные оппоненты?
доктор физико?математических наук?
доцент ?ржанцев ?ван ?ладимирович
?нищик ?ркадий ?ьвович? доктор
физико?математических наук? профессор
кафедры алгебры и математической
логики математического факультета
Ярославского государственного университета?
?гун ?ладимир Сергеевич? кандидат
физико?математических наук? научный
сотрудник ?аучно?исследовательского
института системных исследований Р??
?едущая организация?
Самарский государственный
университет
?ащита диссертации состоится ?? мая ???? г? в ?? ч? ?? м? на заседании дис?
сертационного совета ? ?????????? при ?осковском государственном универ?
ситете имени ?? ?? ?омоносова по адресу? Российская Федерация? ???????
?осква? ?СП??? ?енинские горы? д? ?? ??У? ?еханико?математический фа?
культет? аудитория ??????
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ?еханико?
математического факультета ??У ??лавное здание? ?? этаж??
?втореферат разослан ?? апреля ???? г?
Уч?ный секретарь
диссертационного совета
? ?????????? при ??У
доктор физико?математических наук?
профессор
?? ?? ?ванов
?бщая характеристика работы
?ктуальность темы
?иссертация посвящена решению ряда актуальных задач теории алгебраи?
ческих групп преобразований? ?сследуются задачи? связанные с построением
факторов для действий алгебраических групп? Первая из них состоит в дока?
зательстве того? что типичные орбиты диагонального действия полупростой
группы на достаточно большом числе копий аффинного многообразия допус?
кают параметризацию точками категорного фактора? ?торая часть диссер?
тации посвящена задаче параметризации двойных смежных классов в алгеб?
раических группах? здесь исследуются два вопроса ? о возможности такой
параметризации и о том? когда пространство параметров устроено наиболее
просто? а именно? когда многообразие двойных смежных классов является
аффинным пространством?
?дной из основных целей изучения инвариантов действия G : X являет?
ся параметризация его орбит? или? выражаясь более точно? построение фак?
тормногообразия для заданного действия алгебраической группы? Построе?
ние фактора как множества всех орбит с фактор?топологией не да?т решения
этой задачи по той причине? что такой фактор зачастую не будет алгебраи?
ческим многообразием? этому препятствует? например? наличие незамкнутых
орбит у действия G : X ?
Пусть G ? аффинная алгебраическая группа и X ? ал?
гебраическое многообразие? снабж?нное регулярным действием группы G?
для действия G : X называется регулярное? постоян?
ное на G?орбитах отображение ? : X ? Y в алгебраическое многообразие Y ?
обладающее следующим универсальным свойством? всякий постоянный на G?
орбитах морфизм ? : X ? Z пропускается через ? единственным способом?
т? е? существует и единственен морфизм ?
� : Y ? Z ? для которого коммута?
тивна следующая диаграмма?
?пределение?
?атегорным фактором
X AA
?
AA
A
? AA
Y
?
/ Z.
}>
}
}}
}} ?�
}
}
?ногообразие Y обозначается X// G? ?ногда? допуская вольность речи?
мы будем называть категорным фактором само многообразие X// G? ?тме?
тим? что универсальное свойство категорного фактора гарантирует его един?
ственность и сюръективность отображения ? : X ? Y ? Хорошо известно?
что всякое действие G : X редуктивной группы на аффинном алгебраиче?
ском многообразии обладает категорным фактором? им является отображе?
ние ? : X ? Spec k[X]G ? двойственное к вложению алгебр k[X]G ? k[X]?
? случае? когда рассматривается действие G : X группы? не являющейся
редуктивной? категорный фактор X// G может не существовать? ? работе?
?? ?ялиницкого??ирули и в работе? ?? ?? ?ржанцева? Ю? Хаузена и ?? Це?
лика был предложен подход? позволяющий расширить класс действий? обла?
дающих категорным фактором? ?ля этого оказывается необходимым расши?
рить категорию? в которой рассматривается фактор? а именно? рассмотреть
категорию конструктивных пространств? т? е? пространств с пучком функций?
локально изоморфных конструктивным подмножествам в аффинных много?
образиях? ? диссертации мы покажем? что рассмотрение этой категории поз?
воляет определить конструктивные пространства двойных смежных классов
в ситуациях? где многообразие двойных смежных классов не существует?
?ля действий редуктивных групп на аффинных многообразиях хорошо
известно? ? что отображение факторизации ? : X ? X// G разделяет замкну?
тые орбиты? поэтому интерес представляют действия? для которых типичные
орбиты замкнуты?
?ействие алгебраической группы G на алгебраическом мно?
гообразии X называется
? если орбиты точек общего положения
?т? е? точек из некоторого плотного открытого подмножества? замкнуты в X ?
?пределение?
стабильным
Стабильность действия G : X в случае аффинного многообразия X связа?
на со свойствами стабилизатора общего положения G? ? ?о?первых? отметим?
? ??
?????????????r???? ?????r??? q??t???ts? ????r???t ????r? ??? ?????r??? ?r??s??r??t??? ?r???s? ??? ???
????????????? ??t?? ????? ???? ???? ??r????r???r???? ??r???? ?????
? ?? ?? ?r????ts??? ?? ?????? ?? ???s??? ???t?r??? ?????r??? ?r??? ??t???s ??? ??t???r???? q??t???ts?
?r??????????????? ???t?????? ?? ????s?
? Э? ?? ?инберг? ?? ?? Попов? Теория инвариантов ??лгебраическая геометрия ? ??? ?тоги науки и тех?
ники? Серия ?Современные проблемы математики? Фундаментальные направления?? ??? ??? ????Т??
?????
?
что из теоремы ?? ?уны и Р? Ричардсона? следует? что всякое стабильное дей?
ствие обладает стабилизатором общего положения ?с? о? п??? ?алее? согласно
критерию ?ацусимы??нищика? ? стабилизатор точки? имеющей замкнутую
орбиту? редуктивен? Это означает? что с? о? п? для стабильного действия G : X
является редуктивной подгруппой в G? ?ля определ?нного класса действий
верно и обратное? ? именно? критерий Попова? утверждает? что если мно?
гообразие X факториально и группа G полупроста? то редуктивность с? о? п?
равносильна стабильности действия G : X ? ?апомним? что многообразие X
называется
? если алгебра регулярных функций k[X] факто?
риальна?
?казывается? свойство стабильности действия G : X можно определить в
чисто алгебраических терминах? ? Рассмотрим разложение алгебры регуляр?
ных функций k[X] = k[X]G ?k[X]G ? где k[X]G ? подалгебра G?инвариантных
функций на X ? а k[X]G ? единственное G?инвариантное прямое дополнение
к k[X]G ? ?бозначим через p : k[X] ? k[X]G оператор проекции вдоль k[X]G ?
С помощью p мы можем определить на алгебре k[X] симметрическую би?
линейную форму? положив (f, g) = p(f g)? ?евырожденность этой билиней?
ной формы равносильна? стабильности действия G : X ?з такого описания
получаются удобные для проверки достаточные условия стабильности дей?
ствий? ?оротко опишем их? ?бозначим через ?(G, X) полугруппу? состоя?
щую из старших весов простых G?модулей? входящих в k[X]? а через ?? ?
старший вес двойственного к V (?) модуля? ?ля стабильности диагонально?
го действия G : X Ч Y достаточно? чтобы множество ?(G, X) ? ?(G, Y )?
было группой? ? ?з этого утверждения следует? что если действие G : X мож?
но продолжить до действия некоторой б?
ольшей связной редуктивной груп?
пы R : X ? то для стабильности действия G : X достаточно? чтобы мно?
жество ?(R, X) ? ?(R, R / G) было группой? ?анные утверждения будут
играть решающую роль в доказательстве стабилизации диагональных дей?
ствий G : X Ч · · · Ч X при увеличении числа копий X ?
?дной из задач? которые будут интересовать нас в диссертации? являет?
ся вопрос о стабильности диагональных действий? ?оказанная ?? ?? ?ржан?
факториальным
? ?? ??
Попов? ?ритерий стабильности действия полупростой группы на факториальном многообразии?
?звестия ?? СССР ?? ??????? ????????
? ?? ?? ?????r?? ?? st?????t? ?? ??t???s ?? r????t??? ?????r??? ?r???s? ??? ??? ?????r?s? ????s ??? ????t??
?????s? ??s? ???? ????? ?? ?? ????????? ?? ????????? ??r????r???r???? ???? ????? ????? ????????
?
цевым теорема? показывает? что всякое действие полупростой группы G на
аффинном многообразии X становится стабильным при переходе к диаго?
нальному действию на достаточно большом числе копий X ? ?ы покажем? в
частности? что количество копий X ? необходимое для получения стабильного
действия? ограничено сверху числом? зависящим
от группы G?
?дной из задач диссертации является изучение многообразий двойных
смежных классов? возникающих из действий максимального тора классиче?
ской группы G на аффинных сферических однородных пространствах G / H?
Сферические однородные пространства также возникают при построении
нижних оценок на индексы стабильности простых групп G?
только
сферической
Подгруппа H ? G называется
?а однородное
пространство G / H ?
?? если действие борелевской подгруп?
пы B ? G на G / H левыми сдвигами имеет открытую орбиту?
?пределение?
сферическим
Пусть G ? редуктивная алгебраическая группа? Рассмотрим изотипное
разложение алгебры k[G / H] = k[G]H
k[G / H] =
k[G / H]? ,
???+ (G)
где ?+ (G) ? множество доминантных весов группы G? а k[G / H]? ? сум?
ма всех простых подмодулей k[G / H]? изоморфных простому G?модулю со
старшим весом ?? множество тех весов ?? для которых изотипная компо?
нента k[G / H]? ненулевая? называется
представления G в алгеб?
ре k[G / H]? ?сли многообразие G / H квазиаффинно? то условие сферично?
сти H эквивалентно тому? что спектр представления G : k[G / H] прост? т? е?
каждый простой G?модуль входит в k[G / H] с кратностью 0 или 1?
?звестно? что сферичность однородного пространства G / H является ло?
кальным свойством? т? е? зависит только от касательных алгебр Lie G и Lie H?
? качестве примеров сферических однородных пространств привед?м ?ал?
гебраические? симметрические пространства? т? е? однородные пространства
G / H? где H ? подгруппа неподвижных точек инволютивного автоморфиз?
ма группы G? и орисферические однородные пространства G / Q? где Q ?
подгруппа? содержащая максимальную унипотентную подгруппу группы G?
спектром
? ?? ??
?ржанцев?
?
стабильности
диагональных
метки ???? ??????? ????????
?
действий?
?атематические
за?
Теория сферических однородных пространств является одним из наиболее
разработанных разделов теории алгебраических групп преобразований? Сфе?
рические однородные пространства интенсивно изучались многими авторами
с различных точек зрения начиная с ???х годов прошлого века и продолжают
активно изучаться в настоящее время? ?бзор различных направлений иссле?
дования сферических однородных пространств? а также достигнутых по этим
направлениям результатов можно найти в монографии ?? ?? Тимаш?ва? ?
?удем говорить? что G?многообразие X
? если оно содержит
сферическое однородное пространство в качестве плотной орбиты? ?аж?
ным для нас примером сферических многообразий являются определ?н?
ные Э? ?? ?инбергом и ?? ?? Поповым? конусы старших векторов ?или HV ?
многообразия?? HV
называется замыкание орбиты старше?
го вектора в простом G?модуле? ?тметим? что стабилизатор всякой точ?
ки на HV ?многообразии содержит максимальную унипотентную группу?
т? е? HV ?многообразия являются примерами орисферических многообразий?
? главе 1 мы покажем? что HV ?многообразия являются ?плохими? с точки
зрения вопроса о стабилизации диагонального действия? нижние оценки на
индексы стабильности простых групп получаются именно при рассмотрении
подходящих HV ?многообразий?
? главах 2 и 3 диссертации изучаются категорные факторы специально?
го вида? которые возникают при рассмотрении двойных смежных классов в
алгебраических группах?
сферично
?многообразием
Пусть G ? аффинная алгебраическая группа? а F и H ? е? за?
мкнутые подгруппы?
F\\G//H ? это
подлежащее пространство категорного фактора для действия группы F Ч H
на группе G? заданного формулой (f, h) ? g = f gh?1 ?
?пределение?
?ногообразие двойных смежных классов
?ля таких категорных факторов мы рассматриваем два вопроса ? когда
он существует? и когда изоморфен аффинному пространству?
?сли подгруппы F и H редуктивны? то ответ на вопрос о существовании
многообразия двойных смежных классов положителен? F\\G//H совпадает со
? ?? ??
????s???? ??????????s s????s ??? ?q????r???t ?????????s? ????????????? ?? ??t????t???? ???????s
???? ??r????r???r???? ??r???? ????????r?? ?????
? Э? ?? ?инберг? ?? ?? Попов? ?б одном классе квазиоднородных аффинных многообразий? ?звестия ??
СССР ?? ??????? ????????
?
спектром алгебры F k [G] H регулярных функций на G? инвариантных относи?
тельно описанного действия F Ч H? ?сли дополнительно группа G редуктив?
на? то F\\G// H параметризует типичные (F, H)?смежные классы? ?сли же
не требовать редуктивности подгрупп F и H? то даже существование много?
образия F\\G//H гарантировать нельзя? ?писанию явлений? возникающих в
данном случае? посвящена глава 2? ? этой же главе установлено? что при есте?
ственных и достаточно общих ограничениях на подгруппы F и H существует
конструктивное пространство двойных смежных классов F\\G//H?
?нтересно сравнить свойства действий {e} Ч H : G? приводящих к одно?
родным пространствам? и свойства действий F Ч H : G? приводящих к мно?
гообразиям двойных смежных классов ? какие из свойств действий H : G
сохраняются? а какие нет? ?апример? все орбиты действия H : G замкнуты?
действия F Ч H сохраняют это свойство для типичных орбит? ?если F? H и
G редуктивны?? ?екоторые же свойства существенно меняются? ?апример?
Х? ?рафт и ?? ?? Попов показали?? ? что если группы H G редуктивны? то
однородное пространство G / H не может быть изоморфно аффинному про?
странству?? ? ? то же время несложно видеть? что аффинным пространством
оказывается T\\SL4//Sp4 ? где T ? максимальный тор SL4 ? ?сли не требовать
редуктивности подгрупп F и H? то можно построить много таких примеров?
?сли подгруппы F и H превосходны? то многообразие F\\G//H является аф?
финным пространством?? ? ?апомним? что сферическая подгруппа H ? G
называется
? если весовая полугруппа ?(G, G / H) порождена
непересекающимися линейными комбинациями фундаментальных весов? т? е?
каждый фундаментальный вес входит в разложение не более одной образу?
ющей?
Привед?нные примеры подводят к вопросу об описании троек F, H ? G со
свободной алгеброй F k[G]H ? Схожая задача уже рассматривалась для линей?
превосходной
? ??
????? ??r ??s ?r??t?s ??r????s ??s ?r????s ??????r?q??s r?????t??s? ?????t????s ??t????t???? ?? ???????
????
?? ??
?r??t? ?? ?? P????? ????s????? ?r??? ??t???s ?? t?? t?r?? ?????s????? ???? s???? ?r? ?????r?
??????t?r?? ??t????t??? ?????t??? ?? ??????? ????????
?? ?десь существенно требование того? что характеристика основного поля равна нулю? При char k = 2
имеется пример транзитивного действия SL2 : A2 ? ?б этом примере автора известил профессор
?? ван дер ?аллен?
?? Э? ?? ?инберг? С? ?? ?индикин? ?ырождение орисфер в сферических однородных пространствах? ?е
опубликовано?
?
ных представлений редуктивных групп? ? ?апример? Э? ?? ?инберг? ?? ?? ?ац
и ?? ?? Попов получили полную классификацию простых G?модулей простых
групп? имеющих свободную алгебру k[V ]G ? ?ак оказалось? ? свободная порож?
д?нность алгебры k[V ]G для таких модулей равносильна другим хорошим
свойствам действия G : V ? а именно? равноразмерности морфизма факто?
ризации ? : V ? V // G? наличию лишь конечного числа G?орбит в каждом
слое ? и? наконец? нетривиальности стабилизатора точки общего положения?
?ля многообразий двойных смежных классов аналогичная классификация
неизвестна? ? главе 3 мы рассмотрим вопрос о классификации многообра?
зий F\\G//H со свободной алгеброй F k[G]H в случае? когда G ? классическая
группа? H ? G ? связная редуктивная сферическая подгруппа и F ? G ?
максимальный тор?
Цель работы
?? ?сследовать стабилизацию диагональных действий полупростых
групп G и получить оценки на количество копий G?многообразия?
необходимое для получения стабильного диагонального действия?
?? Привести примеры несуществования многообразия двойных смежных
классов F\\G//H?
?? Провести классификацию троек (G, T, H)? где G ? классическая линей?
ная группа? T ? G ? максимальный тор? H ? G ? связная редуктивная
сферическая подгруппа? для которых многообразие двойных смежных
классов T\\G//H является аффинным пространством ?эквивалентно? ал?
гебра T C[G]H свободна??
?аучная новизна
Результаты диссертации являются новыми? получены автором самостоятель?
но? и заключаются в следующем?
?? ?айдены оценки на число копий G?многообразия полупростой группы G?
необходимое для получения стабильного диагонального действия? при?
ч?м эти оценки зависят от группы G? а не от G?многообразия?
?
?? Построены примеры троек H, F ? G линейных алгебраических групп?
для которых категорный фактор F\\G//H не существует в категории ал?
гебраических многообразий и найдены некоторые достаточные условия
его существования в категории конструктивных пространств?
?? Получен критерий того? что многообразие двойных смежных клас?
сов T\\G//H ?где G ? классическая простая алгебраическая группа?
T ? G ? максимальный тор и H ? G ? связная редуктивная сфери?
ческая подгруппа? является аффинным пространством и найдены все
тройки (G, T, H) с таким свойством?
?сновные методы исследования
? диссертации используются методы алгебраической геометрии? теории пред?
ставлений? теории алгебраических групп и теории инвариантов?
Теоретическая и практическая ценность работы
Полученные в диссертации результаты имеют теоретическое значение? ?ни
могут найти применение в теории алгебраических групп преобразований и
теории инвариантов?
?пробация работы
Результаты диссертации докладывались?
? на научно?исследовательском семинаре ??руппы ?и и теория инвариантов?
кафедры высшей алгебры ?еханико?математического факультета ??У
?под руководством Э? ?? ?инберга? ?? ?? ?нищика? ?? ? ?ржанцева и
?? ?? Тимаш?ва? в период с ???? по ???? год ?неоднократно??
? на второй международной школе?конференции ??лгебры ?и? алгебраиче?
ские группы и теория инвариантов? ??осква? ??У? февраль ???? г???
? на семинаре по теории представлений кафедры высшей алгебры ?еханико?
математического факультета ??У ?под руководством Ю? ?? ?еретина? в
???? году?
?
Публикации
?сновные результаты диссертации опубликованы в тр?х работах автора? Спи?
сок работ приводится в конце автореферата ??????
Структура и объ?м диссертации
?иссертация состоит из введения? тр?х глав и списка литературы? ?лавы раз?
биты на параграфы? параграфы ? на пункты? Список литературы включа?
ет 44 наименования? ?бщий объ?м диссертации составляет 72 страницы?
?раткое содержание работы
?о введении приводятся основные понятия? обсуждается история вопроса?
формулируются основные результаты диссертации? а также освещается их
место в современной теории алгебраических групп преобразований и теории
инвариантов?
Первая глава посвящена вопросу о стабильности диагональных действий
полупростых групп и его связи с вопросом о существовании инвариантов в
тензорных степенях линейных представлений?
?пределение?
Пусть G ? связная полупростая алгебраическая группа? ?бо?
значим
индекс метастабильности группы
• sm (G) ?
G ? такое минимальное на?
туральное число? что для любого аффинного многообразия X с эффек?
тивным действием группы G диагональное действие G на произведении
sm (G) экземпляров X стабильно?
индекс стабильности группы
• s(G) ?
G ? такое минимальное натураль?
ное число? что для любого аффинного многообразия X с эффективным
действием группы G и для любого натурального k ? s(G) диагональное
действие G : X k стабильно?
?пределение?
Пусть G ? связная алгебраическая группа? Положим
M (G) := n ? N | V ?n
G
= {0} для любого ненулевого
рационального G ?модуля V .
?бозначим через m(G) минимальный элемент полугруппы M (G)?
?
Теорема ??
вид?
Полугруппы M (G) для простых односвязных групп G имеют
?руппа G
SLn
Spin2n+1
Spin4n+2
Spin4n+4
Sp2n
M (G)
nN
2N
4N
2N
2N
?руппа G
??G?
G2
F4
E6
E7
E8
{n ? N | n ? 2}
{n ? N | n ? 2}
3N
2N
{n ? N | n ? 2}
Пусть G ? связная аффинная алгебраическая группа?
Gu ? е? унипотентный радикал и H = G Gu ? Тогда M (G) = M (H)?
Утверждение ??
?егко видеть? что если редуктивная группа G имеет нетривиальный цен?
тральный тор? то M (G) = ?? поэтому в действительности данное утверждение
сводит вычисление полугруппы M (G) к случаю полупростой группы G?
Пусть группа G = G1 Ч G2 является прямым произведе?
нием полупростых групп G1 и G2? Тогда M (G) = M (G1) ? M (G2)?
Утверждение ??
?ычисление полугруппы M (G) для односвязных простых групп G ока?
зывается связанным с задачей описания уравновешенных наборов в группе
?ейля системы корней касательной алгебры группы G?
Пусть W ? группа ?ейля? соответствующая группе G? ?у?
дем говорить? что набор е? элементов w1 , . . . , wk ? W
? если
w1 + · · · + wk = 0 ?сумма здесь понимается как сумма линейных операторов?
действующих в Q?линейной оболочке корней группы G??
?пределение ??
уравновешен
Пусть W ? группа ?ейля системы корней касательной алгеб?
ры простой группы G? ?руппа W обладает уравновешенным набором из m
элементов тогда и только тогда? когда m ? M (G)?
Теорема ??
?сновным результатом первой главы являются оценки индексов стабиль?
ности?
?ля односвязной простой группы G имеем m(G) ? sm(G)?
Пусть e(G) ? такое натуральное число? что для любого аф?
финного многообразия X с эффективным действием G действие G : X e(G)
имеет конечный стабилизатор общего положения? Тогда выполнена оценка
s(G) ? e(G)m(G)?
Теорема ??
Теорема ??
??
Теорема ? является прямым следствием доказательства теоремы о стаби?
лизации диагонального действия полупростой группы? ? ?тметим? что чис?
ло e(G) существует и не превосходит размерности группы G? Теорема ? дока?
зывается пут?м предъявления G?многообразий X ? для которых диагональные
действия стабилизируются только при рассмотрении m(G) копий многообра?
зия X ?
Пусть G ? связная полупростая? но не обязательно односвяз?
ная аффинная алгебраическая группа? все линейные представления которой
самосопряжены? Тогда sm(G) = m(G)?
Теорема ??
?о второй главе рассматривается вопрос о существовании многообразия
двойных смежных классов? ? случае? когда подгруппы F и H редуктивны?
многообразие F\\G// H существует? прич?м оно аффинно и точки F\\G//H
параметризуют замкнутые двойные смежные классы? ? случае нередуктив?
ных подгрупп F и H мы приводим примеры?
?? унипотентной группы G и е? подгруппы U таких? что действие U Ч U
на G не допускает категорного фактора? т? е? многообразие U\\G//U не
существует?
??? редуктивной группы G и двух е? подгрупп F и H таких? что многообра?
зие F\\G//H не существует?
???? полупростой группы G и двух е? подгрупп F и H? для которых алгеб?
ра F Ч H?инвариантных регулярных функций R = F k[G]H конечно по?
рождена и естественный морфизм ? : G ? Spec R сюръективен? но не
является категорным фактором?
?ак отмечалось выше? замена категории алгебраических многообразий на
категорию конструктивных пространств расширяет класс действий? облада?
ющих категорным фактором? ?ы показываем? что при достаточно общих
предположениях о подгруппах F и H существует конструктивное простран?
ство двойных смежных классов F\\G//H?
Пусть G ? связная аффинная алгебраическая группа?
F, H ? G ? связные замкнутые подгруппы? которые не имеют нетриви?
альных характеров? Предположим? что алгебра Fk[G]H конечно порождена?
Утверждение ??
??
и обозначим через ? : G ? Spec(Fk[G]H) морфизм? отвечающий вложе?
нию алгебр Fk[G]H ? k[G]? Тогда F\\G//H существует как конструктивное
пространство и отображение ? : G ? ?(G) является конструктивным
фактором для действия F Ч H : G?
? третьей главе проводится классификация троек (G, T, H)? где G ?
классическая линейная группа? T ? G ? максимальный тор? H ? G ? связ?
ная редуктивная сферическая подгруппа? для которых многообразие двой?
ных смежных классов T\\G//H является аффинным пространством ?эквива?
лентно? алгебра T C[G]H свободна??
?лава начинается с установления общих фактов? касающихся многообра?
зий двойных смежных классов? ?ни имеют б?
ольшую общность? чем нужно
для решения поставленной задачи? и могут представлять самостоятельный
интерес?
имеют максимальное
?удем говорить? что подгруппы F и H
? если для всякого g ? G размерность g F g ?1 ? H не превосходит
размерности F ? H?
?пределение?
пересечение
?есложно видеть? что при работе с многообразиями двойных смежных
классов можно ограничиться рассмотрением подгрупп с максимальным пе?
ресечением? Такие подгруппы обладают рядом полезных свойств?
Пусть G ? связная редуктивная подгруппа? F ? G ? е?
максимальный тор ?соотв?? максимальная унипотентная или борелевская
подгруппа?? ?сли H ? G ? ещ? одна подгруппа? имеющая максимальное
пересечение с F? то H ? F является максимальным тором ?соотв?? макси?
мальной унипотентной или борелевской подгруппой? в H?
Предположим? что редуктивные подгруппы F, H ? G
имеют максимальное пересечение? Тогда двойной смежный класс F H за?
мкнут в G? а пересечение F ? H является редуктивной подгруппой?
Утверждение ??
Утверждение ??
?ля того? чтобы отбросить многообразия двойных смежных классов? кото?
рые заведомо не могут быть изоморфны аффинному пространству? мы ука?
зываем на них особые точки? ?ля этого оказывается полезным следующее
утверждение?
??
Пусть F, H ? G ? редуктивные подгруппы и ? : G ?
F\\G//H ? морфизм факторизации? Предположим? что двойной смеж?
ный класс F H замкнут в G? Пусть Z ? категорный фактор для дей?
ствия F ? H : Lie G / (Lie F + Lie H)? индуцированного присоедин?нным дей?
ствием F ? H на Lie G? ? этом случае точка ?(e) ? F\\G// H является глад?
кой тогда и только тогда? когда Z ? аффинное пространство?
Утверждение ??
Перейд?м к основным результатам третьей главы?
Пусть G ? классическая группа? T ?
G ? е? максимальный тор? H ? G ? связная редуктивная сферическая под?
группа и ? : G ? T\\G//H ? морфизм факторизации? ?ногообразие двой?
ных смежных классов T\\G//H является аффинным пространством тогда
и только тогда? когда образ ?(e) единичного элемента группы является
гладкой точкой?
Теорема ?
?критерий свободности??
Теорема ? по своей формулировке повторяет критерий свободной порож?
д?нности алгебры инвариантов линейного представления редуктивной груп?
пы? ?
Пусть G ? классическая группа?
T ? G ? е? максимальный тор и H ? G ? связная редуктивная сфериче?
ская подгруппа? ?ногообразие двойных смежных классов T\\G//H является
аффинным пространством тогда и только тогда? когда G и H входят в
следующий список?
Теорема ?
?теорема классификации??
G
SLn+1
SL4
SO2n+1
SO2n
SO4
SO8
SO6
SO4
SO3
Sp4
H
S (GLn Ч GL1 )
Sp4
SO2n
SO2n?1
GL2
Spin7
GL3
SO2 Ч SO2
GL1
Sp2 Ч Sp2
??
dim T\\G//H
n
2
n
n?1
1
3
3
2
1
2
?ля получения списка? привед?нного в теореме ?? мы сначала отбрасываем
многообразия T\\G//H? которые имеют негладкую точку ?(e)? а в оставшихся
случаях проверяем? что T\\G//H изоморфно аффинному пространству?
?лагодарности
Я выражаю глубокую благодарность своему научному руководителю док?
тору физико?математических наук ?? ?? ?ржанцеву за постановку задач?
многочисленные обсуждения и постоянное внимание к работе? ?тдельную
благодарность я хотел бы высказать профессору Э? ?? ?инбергу и доценту
?? ?? Тимаш?ву? которые сыграли важную роль в мо?м образовании? ?лаго?
дарю весь коллектив кафедры высшей алгебры ?еханико?математического
факультета ??У имени ?? ?? ?омоносова за творческую атмосферу?
Публикации автора по теме диссертации
из списка ??? ?
?
??? ?? ?? ?нисимов? Стабильность диагональных действий и тензорные ин?
варианты? ?атематический сборник ????? ??????? ?? ? ???
??? ?? ???s????? ????r???? s???r???s ??? ?????? ??s?t ??r??t??s? ???r??? ?? ???
????r? ?? ??????? ??? ?? ????????
не из списка ??? ?
?
??? ?? ?? ?нисимов? Стабильность диагональных действий и тензорные ин?
варианты? ?торая школа?конференция ??лгебры ?и? алгебраические группы
и теория инвариантов?? ?осква? Россия? ?? января ? ? февраля ???? г? Тезисы
докладов? ?осква? ?зд?во ??л ?и Принт?? ????? ????
??
Документ
Категория
Физико-математические науки
Просмотров
22
Размер файла
253 Кб
Теги
кандидатская
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа