close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Решение задачи нелинейной оптимизации тепловых процессов при граничном управлении

код для вставкиСкачать
ФИО соискателя: Красниченко Любовь Сергеевна Шифр научной специальности: 01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление Шифр диссертационного совета: К 730.001.02 Название организации: Кыргызско-Российский Славя
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Диссертационный совет К 730.001.02
на правах рукописи
КРАСНИЧЕНКО ЛЮБОВЬ СЕРГЕЕВНА
Решение задачи нелинейной оптимизации тепловых процессов при граничном управлении
01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Бишкек-2012
Работа выполнена в Кыргызско - Российском Славянском Университете Научный руководитель:доктор физико-математических наук Керимбеков А. К.
Официальные оппоненты:доктор физико-математических наук Скляр С.Н.
Кандидат технических наук Миркин Е.Л.Ведущая организация:Иркутский государственный университет. Защита состоится "30" мая 2012 г. в 14.00 часов на заседании диссертационного совета К 730.001.02 при Кыргызско-Российском Славянском Университете по адресу: Кыргызстан, 720000, г. Бишкек, ул. Киевская, 44.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Кыргызско-Российского Славянского Университета по адресу: Кыргызстан, 720000, г. Бишкек, ул. Киевская 44.
Автореферат разослан "27" апреля 2012г.
Ученый секретарь
диссертационного совета
к.ф.-м.н., доцент С. Н. Землянский
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами, основы которой были заложены в 60-е годы прошлого столетия в работах А.Г. Бутковского, А.И. Егорова, Т.К. Сиразетдинова и др., в настоящее время, является одним из интенсивно развивающихся научных направлений. Теория получила широкое развитие в исследованиях А.Г. Бутковского, А.И. Егорова, Т.К. Сиразетдинова, К.А. Лурье, В.И. Плотникова, Ж.Л. Лионса, их учеников и последователей. На практике встречаются множество задач прикладного характера, где действие функции внешнего воздействия сосредоточено в одной точке, которая может быть как фиксированной, так и подвижной. В случаях, когда точка приложения внешних воздействий сосредоточена на границе появляется задача оптимизации с граничными управлениями. Примеры подобного рода задач для тепловых процессов приведены в монографиях А.Г. Бутковского 1) Оптимальное управление системами с распределенными параметрами. - М.: Наука, 1965; 2) Методы управления системами с распределенными параметрами. - М:.Наука, 1975. В природе реальные процессы обычно протекают нелинейно. Поэтому многие задачи прикладного характера, в частности задачи оптимизации, по своей сущности являются нелинейными. Однако нелинейные задачи оптимизации из-за сложности их исследования и недостаточной разработанности методов их решения относятся к мало изученной области теории оптимального управления. В диссертации основное внимание уделено исследованию задачи нелинейной оптимизации, где граничное управление является нелинейной функцией от управляющих параметров, например, задача оптимального нагрева стержня при тепловом лучистом обмене на концах стержня, происходящего по закону Стефана-Больцмана, приводит к задаче с нелинейным граничным управлением. Исследование разрешимости нелинейных задач оптимизации и разработка конструктивных методов их решения является одной из актуальных задач теории оптимального управления системами с распределенными параметрами.
Цель работы Исследовать разрешимость задачи нелинейной оптимизации тепловых процессов при нелинейных граничных управлениях в случае, когда
функция граничного воздействия (теплового потока) нелинейно зависит от скалярной функции управления;
функция граничного воздействия (теплового потока) нелинейно зависит от векторной функции управления;
и разработать алгоритм построения приближенного решения, доказать их сходимость к точному решению задачи нелинейной оптимизации по оптимальному управлению, оптимальному процессу и функционалу.
Методика исследования. В процессе исследования использованы методы теории оптимального управления системами с распределенными параметрами, теории дифференциальных уравнений в частных производных, теории интегральных уравнений, функционального анализа, а также метод решения нелинейных интегральных уравнений с дополнительным условием в виде неравенства, разработанный проф. А. Керимбековым.
Научная новизна работы. Впервые, на примере управления тепловыми процессами, происходящими в стержне конечной длины, разработан алгоритм построения приближенного решения нелинейной задачи оптимизации тепловых процессов в случае,
1) когда функция граничного воздействия (теплового потока) нелинейно зависит от скалярной функции управления (управление с одного конца);
2) когда функций граничных воздействий (тепловых потоков) нелинейно зависят от векторной функции управления (векторное управление с двух концов).
Полученные результаты являются новыми в теории оптимального управления системами с распределенными параметрами, в частности
- установлено, что оптимальное управление определяется как решение нелинейного интегрального уравнения и удовлетворяет дополнительному условию в виде неравенства;
- найдено достаточное условие разрешимости задачи нелинейной оптимизации с нелинейным граничным управлением и результаты обобщены на векторный случай;
- разработан алгоритм построения приближенного решения задачи нелинейной оптимизации (как в случае скалярного, так и в случае векторного управлений) и доказана их сходимость к точному решению.
Основные положения, выносимые на защиту:
- найдены достаточные условия разрешимости задачи нелинейной оптимизации теплового процесса, происходящих в стержне, в случае минимизации квадратичного функционала и управления с одного конца;
- найдены достаточные условия разрешимости задачи нелинейной оптимизации теплового процесса, происходящих в стержне, в случае минимизации квадратичного функционала и векторного управления с двух концов;
- разработан алгоритм построения приближенного решения задачи нелинейной оптимизации тепловых процессов при нелинейных граничных скалярных и векторных управлений и доказана его сходимость;
- теоретические выводы подтверждены численными расчетами которые проводились на модельных задачах управления тепловыми процессами. Теоретическая и практическая ценность. Разработанный алгоритм построения приближенного решения задачи нелинейной оптимизации при нелинейных граничных управлений может быть использован на практике в прикладных задачах связанных с управлением тепловых процессов. Полученные теоретические выводы представляют интерес в теории оптимального управления системами с распределенными параметрами, ибо они могут быть использованы для развития методов исследования и при разработке конструктивных методов решения нелинейных задач оптимизации. Апробация результатов. Основные результаты диссертации были доложены на
Ежегодной конференции молодых ученых и студентов: "Современные техника и технологии в научных исследованиях" МНИЦГП научная станция РАН (Бишкек, 2009-2011) международной научной конференции "Асимптотические, топологические и компьютерные методы в математике", посвященной 80-летию члена-корр. РАН Иманалиева М.И. (Бишкек, 2011)
научном семинаре "Оптимальное управление системами с распределенными параметрами" кафедры "Прикладная математика и информатика" Кыргызско-Российского Славянского Университета (научн. рук. д.ф.-м.н., проф. Керимбеков А.)
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, 3 глав, заключения, списка литературы из 69 наименований и приложений. Общий объем работы содержит 105 страниц машинописного текста, 9 таблиц и 13 рисунков. Нумерация математических соотношений и формул производится по главам и параграфам в виде (a.b.c), где а - номер главы, b - номер параграфа в данной главе, c - номер формулы в данном параграфе. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении изложена актуальность исследования задач оптимизации с нелинейными граничными условиями и разработки конструктивных методов решения нелинейной задачи оптимизации систем с распределенными параметрами. В первой главе приведены примеры задач оптимизации с граничными управлениями для тепловых процессов, сделан краткий обзор исследований, примыкающих к теме диссертации и изложено краткое содержание диссертации.
Во второй главе исследованы вопросы однозначной разрешимости задачи нелинейной оптимизации теплового процесса в случае, когда управление нелинейно входит в граничное условие и минимизируется квадратичный функционал. Установлено, что оптимальное управление удовлетворяет нелинейному интегральному уравнению и дополнительному условию в виде неравенства. Найдено достаточное условие однозначной разрешимости задачи нелинейной оптимизации.
В §2.1 рассматривается краевая задача управляемого процесса V_t=V_xx+f(t,x), (t,x)∈Q, (1) V(0,x)=ψ(x), x∈(0,1) , (2) V_x (t,0)=0, V_x (t,1)+αV(t,1)=p[t,u(t)], 0<t<T, (3) где заданная функция f(t,x)∈H(Q), p[t,u(t)]∈H(0,T) нелинейно зависящая от функции управления u(t)∈H(0,T), описывает изменения граничного теплового потока; ψ(x)∈H(0,1) Т - фиксированный момент времени; H - пространство Гильберта.
Построено слабо обобщенное решение краевой задачи (1) -(3) в виде
V(t,x)=∑_(n=1)^∞▒〖[e^(-λ_n^2 t) ψ_n+∫_0^t▒〖e^(-λ_n^2 (t-τ) ) 〖(f〗_n (τ)+z_n (1)p[τ,u(τ)])dτ〗] z_n (x),〗
где {z_n (x)} - полная ортонормированная система собственных функций краевой задачи.
В §2.2 сформулирована задача оптимального управления, где требуется найти управление u^0 (t)∈H(0,T), которое вместе с соответствующим ему решением V^0 (t,x) краевой задачи (1)-(3) минимизирует интегральный квадратичный функционал
I[u(t)]=∫_0^1▒〖[V(T,x)-ξ(x)]〗^2 dx+β∫_0^T▒u^2 (t)dt, β>0, где ξ(x)∈H(0,1) заданная функция.
Согласно принципа максимума для систем с распределенными параметрами получены условия оптимальности
П_u (∙,u)=p_u (t,u)ω(t,1)-2βu=0, П_uu (∙,u)=p_uu (t,u)ω(t,1)-2β<0, где ω(t,x) - решение краевой задачи сопряженной (1)-(3)
ω_t+ω_xx=0, (t,x)∈Q, (4) ω(T,x)+2[V(T,x)-ξ(x)]=0, x∈(0,1), (5) ω_x (t,0)=0, ω_x (t,1)+αω(t,1)=0, 0≤ t<T. (6) Решение сопряженной краевой задачей (4) - (6) найдено по формуле ω(t,x)=-2∑_(n=1)^∞▒〖[e^(-λ_n^2 t) ψ_n+∫_0^t▒〖e^(-λ_n^2 (t-τ) ) 〖(f〗_n (τ)+z_n (1)p[τ,u(τ)])dτ-〗-ξ_n (t)] e^(-λ_n^2 (T-t) ) 〗 z_n (x) В §2.3 согласно условиям оптимальности установлено что, оптимальное управление удовлетворяет нелинейному интегральному уравнению
βu(t) p_u^(-1) [t,u(t)]+∑_(n=1)^∞▒G_n (t,1) ∫_0^T▒〖G_n (τ,1) 〗 p[τ,u(τ)]dτ=∑_(n=1)^∞▒G_n (t,1) h_n (7)
и дополнительному условию
p_u [t,u(t)] (u/(p_u [t,u(t)] ))_u>0, (8)
т.е. оптимальное управление определяется как решение задачи (7)-(8) при известной функции p[t,u(t)]. Заметим, что задача (7)-(8) представляет интерес и в теории интегрального уравнения, как самостоятельная задача.
Далее рассматривается вопрос однозначной разрешимости интегрального уравнения (7). Согласно методике, разработанной проф. Керимбековым А., положим
βu(t) p_u^(-1) [t,u(t)]=θ(t). Отсюда, согласно (8), функция u(t) определяется однозначно т.е. существует функция φ(∙) такая, что
u(t)=φ[t,θ(t),β]. (9)
Относительно новой неизвестной функции θ(t) нелинейное интегральное уравнение (7) приводится к виду
θ(t)+∑_(n=1)^∞▒G_n (t,1) ∫_0^T▒〖G_n (τ,1) 〗 p[τ,φ[τ,θ(τ),β]]dτ=∑_(n=1)^∞▒G_n (t,1) h_n, которое далее исследуется в операторной форме
θ=G ̃(θ), (10)
где оператор G(θ) действует по формуле
G ̃(θ)=∑_(n=1)^∞▒G_n (t,1)(h_n-∫_0^T▒〖G_n (τ,1) 〗 p[τ,φ[τ,θ(τ),β]]dτ)=h(t)+G(θ)
Теорема: Пусть функция p[t,u(t)] удовлетворяет условиям 1) (∂p[t,u(t)])/∂u≠0, ∀t∈[0,T] , 〖2) ‖ p[t,u(t)]- p[t,¯u(t)]‖〗_H≤p_0 ‖u(t)-¯u(t)‖_H, p_0>0, а функция φ[t,θ(t),β] - условию
〖3) ‖ φ[t,θ(t),β] - φ[t,¯θ (t),β] ‖〗_H≤φ_0 (β) ‖θ(t)-¯θ (t)‖_H, 〖 φ〗_0 (β)>0.
Тогда при выполнении условия γ=M_1 p_0 φ_0 (β)(1/(λ_1^2 )+1/6)<1 операторное уравнение (10) в пространстве H(0,T) имеет единственное решение θ ̃(t)∈H(0,T).
Это решение найдено методом последовательных приближений по схеме
θ_n (t)=G ̃[θ_(n-1) (t)], n=1,2,3,...,
θ ̃(t)=lim┬(n→∞)⁡〖θ_n (t)〗 , где θ_0 (t) произвольный элемент пространства H(0,T) , и удовлетворяет оценке
‖θ ̃(t)-θ_n (t)‖_H≤γ^n/(1-γ) ‖G ̃[θ_0 (t)]-θ_0 (t)‖_(H.) (11) Найденное решение θ ̃(t) подставляя в формулу (9) находим решение нелинейного интегрального уравнения (7)
u^0 (t)=φ[t,θ ̃(t),β]. Управление u^0 (t) может претендовать на "оптимальность" лишь тогда, когда на этом управлении выполняется второе условие оптимальности (8). Это обстоятельство может повлиять на существование оптимального управления, т.е. если найденное управление u^0 (t) не удовлетворяет условию (8), то решение задачи нелинейной оптимизации может не существовать. Однако можно указать класс функций {p[t,u(t)], 0<t<T} , для которых условие (8) выполняется для любых функций u(t), в частности и для функций u^0 (t).
В §2.4 построено решение задачи нелинейной оптимизации виде тройки (u^0 (t),V^0 (t,x),I[u^0 (t)]), где u^0 (t)- оптимальное управление, V^0 (t,x)- оптимальный процесс, I[u^0 (t)]- минимальное значение функционала.
Поскольку на практике найти точное решение нелинейного интегрального уравнения (10) не всегда удается, то строится приближенное решение, удовлетворяющее желаемой точности. Дальнейшие выводы получены при условии, что θ_0 (t)=h(t). В этом случае оценка (11) приводится к виду
‖θ ̃(t)-θ_k (t)‖_H≤γ^k/(1-γ) ‖G[θ_0 (t)]‖_H. Оптимальное управление, его приближение определяются формулами u^0 (t)=φ[t,θ(t),β] , u_k (t)=φ[t,θ_k (t),β]
и удовлетворяют оценке
‖u^0 (t)-u_k (t)‖_H≤φ_0 (β) ‖θ ̃(t)-θ_k (t)‖_H. Оптимальный процесс, его приближение определяются формулами
V^0 (t,x)=∑_(n=1)^∞▒〖[e^(-λ_n^2 t) ψ_n+∫_0^t▒〖e^(-λ_n^2 (t-τ) ) z_n (1)p[τ,u^0 (τ)]dτ〗] z_n (x),〗
V_k (t,x)=∑_(n=1)^∞▒〖[e^(-λ_n^2 t) ψ_n+∫_0^t▒〖e^(-λ_n^2 (t-τ) ) z_n (1)p[τ,u_k (τ)]dτ〗] z_n (x).〗
и удовлетворяют оценке
‖V^0 (t,x)-V_k (t,x)‖_H≤[TM_1 (1/(λ_1^2 )+1/6)]^(1⁄2) p_0 ‖u^0 (t)-u_k (t)‖_H Минимальное значение функционала, его приближение определяются формулами
I[u^0 (t)]=∫_0^1▒〖[V(T,x)-ξ(x)]〗^2 dx+β∫_0^T▒(u^0 (t))^2 dt, β>0,
I[u_k (t)]=∫_0^1▒〖[V(T,x)-ξ(x)]〗^2 dx+β∫_0^T▒u_k^2 (t)dt, β>0,
и удовлетворяют оценке
|I[u(t)]-I[u_k (t)]|≤ С‖u^0 (t)-u_k (t)‖_H. C={(2‖V(T,x)‖_H+2‖ξ(x)‖_H ) [TM_1 (1/(λ_1^2 )+1/6)]^(1⁄2) p_0 〖+2β‖u(t)‖〗_H }
В §2.5 рассчитан модельный пример, подтверждающий теоретические результаты.
В третьей главе исследованы вопросы однозначной разрешимости задачи нелинейной оптимизации в случае двухстороннего управления процессом распространения тепла по стержню, причем функции граничного управления нелинейно зависят от векторного управления. Установлено, что оптимальное векторное управление удовлетворяет системе нелинейных интегральных уравнений и дополнительным условиям в виде системы неравенств. Разработан алгоритм построения приближенного решения задачи нелинейной оптимизации и доказана его сходимость к точному решению по управлению, по оптимальному процессу и по функционалу.
В §3.1 рассматривается краевая задача управляемого процесса в случае векторного нелинейного граничного управления V_t=V_xx+f(t,x), (t,x)∈Q (12)
V(0,x)=ψ(x), x∈(0,1) (13)
V_x (t,0)=p_1 [t,u ̅(t)], 0<t<T, V_x (t,1)+αV(t,1)=p_2 [t,u ̅(t)], 0<t<T, (14)
где u ̅(t)={u_1 (t), u_2 (t)}, u ̅(t)∈H^2 (0,T) - вектор- функция управления, p_1 [t,u ̅(t)],p_2 [t,u ̅(t)]∈H(0,T) функции нелинейно зависящие от вектор - функции управления , H^2=H×H- декартово произведение пространств H, остальные параметры имеют те же характеристики, и в краевой задача (1)-(3).
Построено слабо обобщенное решения краевой задачи (12)-(14) в виде
V(t,x)=∑_(n=1)^∞▒[e^(-λ_n^2 t) ψ_n+∫_0^t▒〖e^(-λ_n^2 (t-τ) ) [〖-z〗_n (0) p_1 [τ,u ̅(τ)]+┤ 〗┤ ├ z_n (1) p_2 [τ,u ̅(τ)]+┤ ├ +f_n (τ)]dτ] z_n (x) , где ψ_n, f_n (τ) - коэффициенты Фурье соответственно функций ψ(x) и f(t,x). В §3.2 сформулирована задача оптимального управления, где требуется минимизировать квадратичный интегральный функционал
I[u(t)]=∫_0^1▒〖[V(T,x)-ξ(x)]〗^2 dx+β∫_0^T▒〖(u_1^2 〗 (t)+u_2^2 (t))dt, β>0, ξ(x)∈H(0,1) заданная функция, на множестве решений краевой задачи (12)-(14).
Установлено, что компоненты вектор-функции u(t)определяются как решение системы нелинейных интегральных уравнений вида
βD^(-1) ((p_1,p_2)/(u_1,u_2 ))(■(u_1 (t)@u_2 (t)))+
+∑_(n=1)^∞▒〖∫_0^T▒(■(G_n (t,0)@G_n (t,1) )) (G_n (τ,0),G_n (τ,1)(■(p_1 (τ,u_1 (τ),u_2 (τ))@p_2 (τ,u_1 (τ),u_2 (τ)) ))dτ==〗 ∑_(n=1)^∞▒〖(■(G_n (t,0)@G_n (t,1) )) h_n, (15) 〗
где "G" _"n" ("t,0" )=〖"-e" 〗^("-" "λ" _"n" ^"2" ("T-t" ) ) "z" _"n" "(0)" , "G" _"n" ("t,1" )=〖"-e" 〗^("-" "λ" _"n" ^"2" ("T-t" ) ) "z" _"n" "(1)" ;
D((p_1,p_2)/(u_1,u_2 ))=|■((∂p_1)/(∂u_1 )&(∂p_1)/(∂u_2 )@(∂p_2)/(∂u_1 )&(∂p_2)/(∂u_2 ))|≠0, ∀t∈[0,T], и удовлетворяет дополнительным условиям
П_(u_(1u_1 ) ) (∙,u_1,u_2 )<0, |■(П_(〖u_1 u〗_1 ) (∙,u_1,u_2 )&П_(〖u_2 u〗_1 ) (∙,u_1,u_2 )@П_(〖u_1 u〗_2 ) (∙,u_1,u_2 )&П_(〖u_2 u〗_2 ) (∙,u_1,u_2 ) )|=(П_(〖u_1 u〗_1 ) (∙,u_1,u_2 ) П_(〖u_2 u〗_2 ) (∙,u_1,u_2 )-〖-(П_(〖u_2 u〗_1 ) (∙,u_1,u_2 ))〗^2 )>0, где
П_(u_(1u_1 ) ) (∙,u_1,u_2 )=
=[(-u_2 (∂p_2)/(∂u_1 )+u_1 (∂p_2)/(∂u_2 )) (∂^2 p_1)/(∂u_1^2 )+(u_2 (∂p_1)/(∂u_1 )-u_1 (∂p_1)/(∂u_2 )) (∂^2 p_2)/(∂u_1^2 )] 1/|D((p_1,p_2)/(u_1,u_2 ))| -1;
П_(u_(1u_2 ) ) (∙,u_1,u_2 )=
=[(-u_2 (∂p_2)/(∂u_1 )+u_1 (∂p_2)/(∂u_2 )) (∂^2 p_1)/(∂u_1 ∂u_2 )+(u_2 (∂p_1)/(∂u_1 )-u_1 (∂p_1)/(∂u_2 )) (∂^2 p_2)/(∂u_1 ∂u_2 )] 1/|D((p_1,p_2)/(u_1,u_2 ))| ;
П_(〖u_2 u〗_1 ) (∙,u_2,u_1 )=
=[(-u_2 (∂p_2)/(∂u_1 )+u_1 (∂p_2)/(∂u_2 )) (∂^2 p_1)/(∂u_1 ∂u_2 )+(u_2 (∂p_1)/(∂u_1 )-u_1 (∂p_1)/(∂u_2 )) (∂^2 p_2)/(∂u_1 ∂u_2 )] 1/|D((p_1,p_2)/(u_1,u_2 ))| ;
П_(〖u_2 u〗_1 ) (∙,u_2,u_1 )=
=[(-u_2 (∂p_2)/(∂u_1 )+u_1 (∂p_2)/(∂u_2 )) (∂^2 p_1)/(∂u_1 ∂u_2 )+(u_2 (∂p_1)/(∂u_1 )-u_1 (∂p_1)/(∂u_2 )) (∂^2 p_2)/(∂u_1 ∂u_2 )] 1/|D((p_1,p_2)/(u_1,u_2 ))| -1,
|D((p_1,p_2)/(u_1,u_2 ))|=(∂p_1)/(∂u_1 ) (∂p_2)/(∂u_2 )-(∂p_1)/(∂u_2 ) (∂p_2)/(∂u_1 )≠0. Далее система (15) приводится к виду
θ ̃(t)=G[θ ̃(t)]+ℏ(t),
где βD^(-1) (p ̃/u ̃ ) u ̃(t)=(■(θ_1 (t)@θ_2 (t)))=θ ̃(t)
и u ̃(t)=φ ̃[t,θ ̃(t),β]=(■(φ_1 [t,θ_1 (t),θ_2 (t),β]@φ_2 [t,θ_1 (t),θ_2 (t),β] )). Теорема. Пусть выполнены условия:
p ̃[t,u ̃(t)]∈H^2 (0,T), ∀u ̃(t)∈H^2 (0,T), D((p ̅(t,u ̅))/u ̅ )≠0, ∀t∈[0,T].
‖ p ̃[t,u ̃(t)]- p ̃[t,u ̅(t)]‖_(H^2 )≤p_0 ‖u ̃(t)-u ̅(t)‖_(H^2 ), p_0>0, ‖ φ ̃[t,θ ̃(t),β] - φ ̃[t,¯θ (t),β] ‖_(H^2 )≤φ_0 (β) ‖θ ̃(t)-¯θ (t)‖_(H^2 ), Тогда при выполнении условия
γ=M_1 P_0 φ_0 (β)(1/(λ_1^2 )+1/6)<1, М_1>0, операторное уравнение (16) имеет единственное решение θ ̅(t)∈H^2 (0,T).
Далее построены решение задачи нелинейной оптимизации в виде тройки (u ̃^0 (t),V ̃^0 (t,x),I (u ̃^0 (t))) и его приближения (u ̃_k (t),V ̃_k (t,x),I (u ̃_k (t))). Установлены следующие оценки ‖θ ̃(t)-θ_k (t)‖_(H^2 )≤γ^k/(1-γ) ‖G ̃[θ_0 (t)]-θ_0 (t)‖_(H^2 ),
‖u ̅(t)-u ̅_k (t)‖_(H^2 )≤〖φ_0 (β)‖θ ̃(t)-θ ̃_k (t)‖〗_(H^2 ),
‖V(t,x)-V_k (t,x)‖_(H^2)^2≤2TM_1 (1/(λ_1^2 )+1/6) P_0^2 ‖u ̅(t)-u ̅_k (t)‖_(H^2)^2,
|I[u ̅(t)]-I[u ̅_k (t)]|≤ С‖u ̅(t)+u ̅_k (t)‖_(H^2 ),
из которых следует сходимость приближенного решения задачи нелинейной оптимизации к точному при k→∞.
В конце главы приведены численные расчеты подтверждающие теоретические выводы.
Основное содержание диссертации опубликовано
в следующих работах
Керимбеков А.К, Красниченко Л.С. Решение задачи нелинейной оптимизации тепловых процессов при минимизации кусочно-линейного функционала, в случае граничного управления. // Ежегодная конференция молодых ученых и студентов. Современные техника и технологии в научных исследованиях. Бишкек: МНИЦГП Научная станция РАН, 2011. 45 с. Керимбеков А.К., Красниченко Л.С. О разрешимости задачи нелинейной оптимизации тепловых процессов при граничном управлении // Вестник КНУ им. Ж. Баласагына. Асимптотические, топологические и компьютерные методы в математике. Бишкек, 2011. С.76-79.
Керимбеков А.К., Красниченко Л.С. Приближенное решение задачи нелинейной оптимизации // Вестник КРСУ. Бишкек: 2012. Т.12. №4. С.168-172.
Красниченко Л.С. Приближенное решение задачи нелинейной оптимизации тепловых процессов при векторном граничном управлении // Вестник КРСУ. Бишкек: 2012. Т.12. №4. С. 172-175.
РЕЗЮМЕ
Красниченко Любовь Сергеевна
"Решение задачи нелинейной оптимизации тепловых процессов при граничном управлении"
Ключевые слова: тепловой процесс, слабо обобщенное решение, квадратичный функционал, нелинейное интегральное уравнение, оптимальное управление.
В диссертации исследованы вопросы однозначной разрешимости задачи нелинейной оптимизации теплового процесса в случае, когда скалярное (или векторное) управление нелинейно входит в граничное условие и минимизируется квадратичный функционал. Установлено, что оптимальное управление удовлетворяет нелинейному интегральному уравнению (или системе уравнений) и дополнительному условию в виде неравенства (или системы неравенств). Найдено достаточное условие однозначной разрешимости задачи нелинейной оптимизации и разработан алгоритм построения решения со сколь угодной точностью. Подписано в печать 25.04.12. Формат 60×841/16
Офсетная печать. Объем 1,25 п.л.
Тираж 100 экз. Заказ 308.
Отпечатано в типографии КРСУ
720048, г. Бишкек, ул. Горького, 2
1
Документ
Категория
Физико-математические науки
Просмотров
205
Размер файла
73 Кб
Теги
кандидатская
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа