close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Разностные операторы. Допустимость пар пространств

код для вставкиСкачать
ФИО соискателя: Афанасьева Татьяна Николаевна Шифр научной специальности: 01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ Шифр диссертационного совета: Д 212.038.22 Название организации: Воронежский государственный университет Адрес орг
На правах рукописи
Афанасьева Татьяна Николаевна
Разностные операторы.
Допустимость пар пространств
01.01.01 — вещественный, комплексный и
функциональный анализ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Воронеж — 2012
Работа выполнена в Кубанском государственном университете
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор Цалюк Зиновий Борисович,
Кубанский государственный университет
зав. кафедрой дифференциальных
и интегральных уравнений
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор Сапронов Юрий Иванович,
Воронежский государственный университет
профессор кафедры математического
моделирования,
доктор физико-математических наук,
доцент Авсянкин Олег Геннадиевич,
Южный федеральный университет
профессор кафедры дифференциальных
и интегральных уравнений
Ведущая организация: Дагестанский государственный университет
Защита состоится 19 июня 2012 г. в 15 час. 10 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская пл. 1, ауд. 314.
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке
Воронежского государственного университета.
Автореферат разослан «
» мая 2012 г.
Ученый секретарь диссертационного совета
доктор физ.-мат. наук, профессор
2
Ю.Е.Гликлих
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию допустимости различных пар пространств относительно линейных и нелинейных разностных уравнений. Такие уравнения являются дискретным аналогом интегральных уравнений Вольтерра.
Теория интегральных уравнений Вольтерра за последние десятилетия превратилась в хорошо развитую и далеко продвинутую теорию. В противоположность этому их дискретные аналоги
изучены достаточно слабо, хотя, особенно с развитием численных методов, такие аналоги приобретают все большее значение (
А. Д. Эпплби, И. Гуори и Д. Рейнолдс, К. Кьюевас и Пинто, С.
Илайди, С. Мукарами, Е. Камияма и др.).
Изучаемые в диссертации разностные уравнения являются
естественным обобщением дискретных уравнений, ядра которых
зависят от разности аргументов n − k . Глубокие результаты по
теории таких уравнений были получены в работах Ф. Д. Гахова
и Ю. И. Черского, Н. К. Карапетянца, С. Г. Самко, И. Б. Симоненко, В. Б. Дыбина и С. Б. Джиргаловой, Я. М. Ерусалимского,
И. Л. Ойнас и других.
В данной диссертации исследуются асимптотические свойства решений разностных уравнений в пространстве l∞ ограниченных последовательностей векторов. Основная задача — выяснить свойства решения в зависимости от свойств свободного
члена, а именно, получить условия, при которых решение обладает определенным свойством, если свободный член принадлежит некоторому классу F . Другими словами, требуется указать
условия, при которых решение уравнения принадлежит некоторому множеству X , если свободный член лежит в F , т. е.
условия допустимости пар пространств ( F , X ) ( F , X ⊂ l∞ )
относительно разностного уравнения T (x) = f .
Подобные исследования ранее не проводились и потому представляются актуальной задачей.
Цели работы. Исследовать допустимость пар пространств
относительно разностных уравнений.
3
Научная новизна. Все результаты диссертации являются
новыми. Основные результаты работы:
— критерии допустимости различных пар пространств относительно линейных разностных операторов;
— связь допустимости пар пространств и устойчивости;
— критерий допустимости пары ( X , X ) ( X ⊂ l∞ ) относительно линейных разностных уравнений c устойчивыми положительными ядрами;
— в случае устойчивых ядер, не являющихся знакопостоянными, критерии допустимости пар ( α0 , α0 ) и ( c0 , c0 ) относительно линейных разностных уравнений;
— допустимость различных пар подпространств относительно нелинейного разностного уравнения общего вида и уравнения
типа Вольтерра – Гаммерштейна.
Методы исследования. В диссертационной работе используются методы математического и функционального анализа,
методы теории разностных уравнений, а также методы теории
интегральных уравнений.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит
теоретический характер. Ее результаты представляют интерес
для теории разностных уравнений и теории допустимости пар
пространств.
Апробация работы. Материал диссертации докладывался на Воронежской весенней математической школе «Современные методы в теории краевых задач» ( Воронеж, 2001 г.); на
международной научной конференции «Актуальные проблемы
математики и механики» (Казань, 2001 г.); на Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения – XIII»
(Воронеж, 2002 г.); на VI и IX Казанских международных летних школах-конференциях «Теория функций, ее приложения и
смежные вопросы» (Казань, 2003 и 2009 г.г.); на II международной научной конференции «Современные проблемы прикладной
математики и математического моделирования» (Воронеж, 2007
г.); на международной конференции «X Белорусская математическая конференция» (Минск, 2008 г.); на IV и V международных
научных конференциях «Функционально – дифференциальные
уравнения и их приложения» (Махачкала, 2009 и 2011 г.г.); на
4
Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные вопросы» (Воронеж, 2011 г.).
С докладами о результатах диссертации автор выступал на
международных научных конференциях «Современные методы
и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их
приложения» в Южном федеральном университете (Ростов-наДону, 2011 и 2012 г.г.), а также многократно на семинарах кафедры дифференциальных и интегральных уравнений Кубанского
госуниверситета (руководитель — доктор физ. - мат. наук, проф.
З. Б. Цалюк).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[16]. Из совместных опубликованных работ [1,4] в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору.
Работы [1]-[3] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на 10 параграфов. Объем работы —
120 страниц. Библиография содержит 130 наименований.
Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Цалюку З.Б. за постановку задач, поддержку и внимание к работе.
Содержание работы
Во введении обоснована актуальность темы исследования,
содержатся предварительные сведения, изложены основные результаты.
Предварительные сведения. Положим
n−1
k=n
ak = 0 .
Рассмотрим нелинейное разностное уравнение
n−1
K(n, k, xk ) + fn ,
xn =
n ≥ 0,
(1)
k=0
где K( n, k, x ) ∈ C m , 0 ≤ k ≤ n − 1 , x ∈ C m , fn ∈ C m ,
xn ∈ C m .
5
Если K( n, k, x) = Ank x , Ank ⊂ C m×m , то (1) — линейное
разностное уравнение.
Пусть T — действующий из U в V оператор и X , F —
подпространства U и V соответственно.
Определение 1 Пара ( F , X ) называется допустимой
относительно уравнения T (x) = f , если при любом f ∈ F это
уравнение имеет решение x ∈ X .
Определение 2 Пара ( X , F ) называется допустимой относительно оператора T , если любой элемент из пространства
X он переводит в элемент пространства F , т. е. T (X) ⊂ F .
Определение 3 Тривиальное решение ( при fn ≡ 0 )
уравнения (1), называется устойчивым, если для любого ε > 0
существует такое δ > 0 , что из f ∈ l∞ , f l∞ ≤ δ следует
x ∈ l∞ и x l∞ ≤ ε .
Определение 4 Тривиальное решение ( при fn ≡ 0 )
уравнения (1) называется асимптотически устойчивым, если
оно устойчиво и из lim fn = 0 следует lim xn = 0 .
n→∞
n→∞
В первой главе рассматривается линейное разностное уравнение
n−1
xn =
Ank xk + fn ,
n ≥ 0,
(2)
k=0
в пространстве l∞ ограниченных последовательностей векторов.
Исследуются вопросы допустимости различных пар пространств
относительно уравнения (2) и соответствующего линейного разностного оператора.
При любом f = {fn } уравнение (2) имеет единственное решение, представимое в виде xn = fn +
n−1
k=0
Rnk fk , n ≥ 0 , где
R — резольвента ядра A , которая определяется как решение
уравнения Rnk = Ank +
n−1
i=k+1
Rni Aik , 0 ≤ k ≤ n − 1 , (§ 1.1).
Обозначим через R — разностный оператор, порожденный
резольвентой R ядра A .
Так как x = f + Rf , то каждый критерий допустимости
пары ( X , F ) , X ⊂ F , относительно оператора приводит к
6
сформулироваенному в терминах резольвенты критерию допустимости этой пары относительно уравнения (2). Но резольвента, в общем виде, может быть найдена лишь в редких случаях,
поэтому интерес представдяют критерии, сформулированные в
терминах ядра.
Отметим, что для некоторых подпространств X пространства l∞ из допустимости пары ( X , X ) относительно уравнения (2) следует его устойчивость. Естественным образом возникает задача описания подпространств, для которых это справедливо. Так как допустимость пары ( X , l∞ ) относительно
уравнения (2) равносильна допустимости этой пары для оператора R , то необходимо описать такие подпространства X ⊂ l∞ ,
что из допустимости относительно разностного оператора пары
( X , l∞ ) следует допустимость пары ( l∞ , l∞ ) . Решение поставленной задачи приведено в § 1.2 . Оно дает возможность, в
частности, при решении вопроса о существовании ограниченных
решений уравнения (2) воспользоваться более узким, чем l∞ ,
«пробным» множеством свободных членов f . Такие подпространства обладают так называемым свойством (L).
Определение 1.2.3 N–срезкой x = ( x0 , ..., xN −1 , xN , ...)
называется вектор xN = ( x0 , ..., xN −1 , 0, ...) .
Определение 1.2.4 Будем говорить, что замкнутое подпространство X ⊂ l∞ обладает свойством (L), если существует
такое положительное число r , что для любого натурального N
единичный шар множества N–срезок векторов из X содержит
шар радиуса r пространства N–срезок векторов из l∞ .
Фигурирующее в определении число r ≤ 1 . Пример подпространства X = {x ∈ l∞ : xn Rm ≤ cϕn , n ≥ 0} , где inf ϕn = r
n≥0
и r ∈ ( 0 , 1 ] , показывает, что радиус r шара пространства N–
срезок векторов из l∞ , который содержится в единичном шаре
множества N–срезок векторов из X , может принимать любые
значения из ( 0 , 1 ] .
Теорема 1.2.1 Если замкнутое подпространство X ⊂ l∞
обладает свойством (L) и пара ( X , l∞ ) допустима относи-
7
тельно оператора A , то
n−1
M = sup
n≥1
Ank
Rm×m
< ∞.
(3)
k=0
Обратно, если для любого оператора A , для которого пара
( X , l∞ ) допустима, выполняется условие (3), то X обладает
свойством (L).
Изучается асимптотическое поведение решений уравнения на
бесконечности. Следовательно, нас интересуют свойства последовательностей векторов при n → ∞ . Естественным образом
возникают основные подпространства пространства l∞ , а именно,
α0 = {x ∈ l∞ : ∃ lim xn } ,
n→∞
c0 = {x ∈ l∞ : lim xn = 0} .
n→∞
Заметим, что подпространства α0 и c0 обладают свойством
(L) с числом r = 1 .
Пусть D — некоторое подпространство l∞ . Обозначим
через Π(D) — множество таких последовательностей m × m матриц An , каждая последовательность одноименных столбцов
которых лежит в D .
Теорема 1.2.3. Пусть D — замкнутое подпространство
l∞ . Пара ( c0 , D ) допустима относительно оператора A
тогда и только тогда, когда выполнены условие (3) и при любом
N ≥0
{AnN }∞
(4)
n=0 ∈ Π(D) .
Теорема 1.2.4 Пусть D — замкнутое подпространство
l∞ . Пара ( α0 , D ) допустима относительно оператора A
тогда и только тогда, когда выполнены условия (3), (4) и
∞
n−1
∈ Π(D) .
Ank
k=0
n=0
8
При изучении вопросов допустимости различных пар пространств относительно разностных уравнений допустимость оказывается тесно связанной с устойчивостью уравнения. Действительно, из определения линейного обратного оператора непосредственно следует, что уравнение (2) устойчиво тогда и только
тогда, когда оператор (I − A)−1 действует из l∞ в l∞ и
является непрерывным, и уравнение (2) асимптотически устойчиво, если (I − A)−1 непрерывно действует из l∞ в l∞ и
(I − A)−1 (c0 ) ⊂ c0 .
Основные результаты § 1.3 характеризуют устойчивость через свойства резольвенты R ядра A линейного уравнения.
В § 1.4 для неотрицательного устойчивого ядра найдено решение задачи получения эффективного критерия допустимости
пары ( X , X ) ( X — замкнутое подпространство l∞ ) относительно уравнения (2).
Справедлива следующая важная
Теорема 1.4.1 Пусть Ank ≥ 0 при 0 ≤ k ≤ n − 1 , ядро A
устойчиво, X — замкнутое подпространство l∞ . Для допустимости пары ( X , X ) относительно линейного разностного
уравнения (2) необходимо и достаточно, чтобы эта пара была
допустима относительно линейного разностного оператора A .
Другими словами, чтобы при f = {fn }∞
n=0 ∈ X решение
уравнения x = {xn }∞
∈
X
необходимо
и
достаточно,
чтобы
n=0
A(X) ⊂ X .
Получен критерий устойчивости уравнения (2), выраженный
через само ядро A уравнения.
Теорема 1.4.2 Пусть Ank ≥ 0 при 0 ≤ k ≤ n − 1 . Тогда
1. Для устойчивости ядра A необходимо и достаточно,
чтобы выполнялось условие (3) и при некотором l , l ≥ 2 ,
спектр матрицы Bl = limn→∞
n−1
k=N
(Al )nk , Al = {(Al )nk }∞
n,k=0
— l-тое итерированное ядро, лежал в круге единичного радиуса.
2. Если ядро A устойчиво, то при любом l , l ≥ 2 , спектр
матрицы Cl = limn→∞
n−1
k=N
(Al )nk лежит в единичном круге.
Естественным образом возникает вопрос: а не будет ли спра9
ведлив аналог теоремы 1.4.1 и для неположительных ядер. Как
оказалось, для подпространств α0 и c0 указанное утверждение справедливо и в случае устойчивого ядра, не являющегося
знакопостоянным (§ 1.5).
Теорема 1.5.2 (Теорема 1.5.1 ) Пусть ядро A удовлетворяет условию (3) и пара ( l∞ , l∞ ) допустима относительно
уравнения (2).
Пара ( α0 , α0 ) ( ( c0 , c0 ) ) допустима относительно уравнения (2) тогда и только тогда, когда она допустима для оператора A .
Во второй главе рассматриваются нелинейное разностное
уравнение
n−1
xn =
K(n, k, xk ) + fn ,
n ≥ 0,
(1)
k=0
где K(n, k, x) ∈ C m , x ∈ C m , fn ∈ C m в пространстве
l∞ ограниченных последовательностей векторов. Исследуются
вопросы допустимости различных пар пространств относительно
уравнения (1).
В § 2.1 рассматривается уравнение (1) с ядром
K(n, k, x) = Ank x + K1 (n, k, x) ,
K(n, k, 0) = 0 .
Теорема 2.1.1 Пусть ядро A устойчиво и выполнено условие
n−1
1
sup
K1 (n, k, x) C m = 0 .
(5)
lim sup
ε→0 ε n≥1
x C m ≤ε
k=0
Тогда тривиальное решение уравнения (1) устойчиво.
Теорема 2.1.2 Пусть A асимптотически устойчиво, выполнено условие (5) и пара ( c0 , c0 ) допустима относительно оператора K1 . Тогда тривиальное решение уравнения (1)
асимптотически устойчиво.
В § 2.2 представлены условия допустимости пары ( X , X )
относительно уравнения (1) при наличии оценки ядра K . В
случае линейной оценки имеет место следующая теорема.
10
Для x = ( x1 , ..., xm ) ∈ Rm обозначим |x| = ( |x1 |, ..., |xm | ) .
Теорема 2.2.1 Пусть X ( X — замкнутое подпространство l∞ ) обладает свойством (L) и пара ( X , X ) допустима
относительно оператора K . Пусть
|K(n, k, x) − K(n, k, y)| ≤ Ank |x − y| ,
0 ≤ k ≤ n − 1,
и ядро A устойчиво. Тогда пара ( X , X ) допустима относительно уравнения (1).
При наличии нелинейной оценки ядра K справедлива следующая
Теорема 2.2.2 Пусть пара ( X , X ) допустима относительно оператора K и существует такая непрерывная неубывающая по третьему аргументу неотрицательная функция
ω(n, k, τ ) , что
K(n, k, x) − K(n, k, y)
Cm
и
≤ ω(n, k, x − y
Cm ) ,
0 ≤ k ≤ n−1,
n−1
sup
n≥1
ω(n, k, τ ) < τ .
k=0
Тогда пара ( X , X ) допустима относительно уравнения (1).
Это следствие обобщенного принципа сжимающих отображений М. А. Красносельского.
В § 2.3 рассматривается нелинейное разностное уравнение
типа Вольтерра — Гаммерштейна
n−1
Ank (xk + ϕ(k, xk )) + fn ,
xn =
n ≥ 0,
(6)
k=0
где Ank ∈ C m×m , ϕ(k, x) ∈ C m , x ∈ C m и fn ∈ C m .
Уравнение (6) преобразуется к более простому виду
n−1
Rnk ϕ(k, xk ) + ((I + R)f )n ,
xn =
k=0
где R — резольвента ядра A .
11
n ≥ 0,
Справедливы следующие утверждения (§ 2.5).
Пусть α — некоторое число из интервала ( 1 , ∞ ) . Обозначим через Yα — замкнутое подпространство ограниченных последовательностей векторов, для которых существует такое чисc
ло α ∈ [ α , ∞ ) , что xn C m ≤ (n+1)
α , n ≥ 0 , т. е.
Yα = {x ∈ l∞ : ∃α : α ≥ α > 1 : xn
Теорема 2.5.2 Пусть
ϕ(n, x)
C
m
≤ an x
C
m
Rnk
+ bn x
C m×m
1+β
Cm
c
, n ≥ 0} .
(n + 1)α
c1
≤
, α1 ≥ α > 1 ,
(n + 1)α1
Cm
≤
∞
, β > 0 ,
ak < ∞ и
k=0
∞
bk < ∞. Тогда пара ( Yα , Yα ) допустима относительно
k=0
уравнения (6).
Следующая теорема является дискретным аналогом соответствующей теоремы об экспоненциальной устойчивости решений
интегрального уравнения Вольтерра.
Обозначим через F — линейное подпространство ограниченных последовательностей векторов, для которых при некотором
q , 0 < q < 1 , выполняются неравенства xn C m ≤ cq n , n ≥ 0 ,
т. е.
F = {x ∈ l∞ : xn
Cm
Теорема 2.5.3 Пусть
ϕ(n, x)
Cm
≤ an x
Cm
≤ cq n , 0 < q < 1 , n ≥ 0} .
Rnk
+ bn x
C m×m
1+β
Cm
≤ c1 q1n , где 0 < q1 < 1 ,
∞
ak < ∞ ,
, β > 0 ,
k=0
∞
bk < ∞ . Тогда пара
(F , F )
допустима относительно
k=0
уравнения (6).
Список публикаций по теме диссертации
1. Афанасьева, Т. Н. Допустимость пар пространств относительно линейных разностных операторов и уравнений / Т. Н.
12
Афанасьева, З. Б. Цалюк // Экологический вестник научных
центров Черноморского экономического сотрудничества. – 2010.
– № 2. – С. 12-20.
2. Афанасьева, Т. Н. Допустимость пар пространств относительно нелинейных разностных операторов и уравнений / Т. Н.
Афанасьева // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. – 2011. – № 1. – С. 8-12.
3. Афанасьева, Т. Н. Допустимость пар пространств относительно нелинейных разностных уравнений / Т. Н. Афанасьева //
Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. – 2011. – № 2. – С. 5-9.
4. Афанасьева, Т. Н. О допустимости некоторых пар пространств для разностного уравнения Вольтерра и об устойчивости его решений / Т. Н. Афанасьева, И. Л. Ойнас // КубГУ. –
Краснодар. – 2000. – 18 с. – Деп. в ВИНИТИ 19.01.00, № 94-В00.
5. Афанасьева, Т. Н. Об устойчивости и допустимости некоторых пар пространств для линейных разностных уравнений с
неотрицательными ядрами / Т. Н. Афанасьева // Материалы Воронежской весен. матем. шк. «Современные методы в теории
краевых задач». – Воронеж: ВГУ. – 2001. – С. 11-12.
6. Афанасьева, Т. Н. Об устойчивости и допустимости пары
( c0 , c0 ) для линейных разностных уравнений / Т. Н. Афанасьева // Материалы международной научной конференции «Актуальные проблемы математики и механики». – Казань: Казанский
госуниверситет. – 2001. – С. 25-26.
7. Афанасьева, Т. Н. О допустимости некоторых пар пространств для линейных разностных уравнений / Т. Н. Афанасьева // Материалы Воронежской весен. матем. шк. «Понтрягинские чтения - XIII». – Воронеж: ВГУ. – 2002. – С. 8.
8. Афанасьева, Т. Н. Об устойчивости по первому приближению / Т. Н. Афанасьева // Материалы VI Казанской международной летн. шк.-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы». – Казань: Казанский госуниверситет.
– 2003. – С. 9.
9. Афанасьева, Т. Н. Об устойчивости линейных разностных
уравнений с неотрицательными ядрами / Т. Н. Афанасьева //
Материалы II международной научной конференции «Современ13
ные проблемы прикладной математики и математического моделирования». – Воронеж: ВГУ. – 2007. – С. 21-22.
10. Афанасьева, Т. Н. О допустимости некоторых пар пространств относительно линейных разностных уравнений / Т. Н.
Афанасьева // Материалы X Белорусской матем. конференции.
– Минск: БГУ. – 2008. – С. 49.
11. Афанасьева, Т. Н. К вопросу о допустимости некоторых
пар пространств для линейных разностных операторов / Т. Н.
Афанасьева // Материалы IX Казанской международной летн.
шк.-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные
вопросы». – Казань: Казанский госуниверситет. – 2009. – С. 2123.
12. Афанасьева, Т. Н. О допустимости некоторых пар пространств для линейных разностных операторов. / Т. Н. Афанасьева // КубГУ. – Краснодар. – 2009. – 14 с. – Деп. в ВИНИТИ
31.08.09, № 555-В09.
13. Афанасьева, Т. Н. Об устойчивости и допустимости пар
( c0 , c0 ) и ( α0 , α0 ) для линейных разностных уравнений /
Т. Н. Афанасьева // Материалы IV международной научной конференции «Функционально – дифференциальные уравнения и их
приложения». – Махачкала: ДГУ. – 2009. – С. 69-71.
14. Афанасьева, Т. Н. К вопросу о допустимости некоторых
пар пространств для нелинейных разностных уравнений / Т. Н.
Афанасьева // Материалы Воронежской зимн. матем. шк. «Современные методы теории функций и смежные вопросы». – Воронеж: ВГУ. – 2011. – С. 27-28.
15. Афанасьева, Т. Н. О допустимости некоторых пар пространств для линейных разностных операторов и уравнений /
Т. Н. Афанасьева // Материалы международного научного семинара «Современные методы и проблемы теории операторов и
гармонического анализа и их приложения». – Ростов-на-Дону:
ЮФУ. – 2011. – С. 4-5.
16. Афанасьева, Т. Н. О допустимости некоторых пар пространств для нелинейных разностных уравнений / Т. Н. Афанасьева // Материалы V международной научной конференции
«Функционально – дифференциальные уравнения и их приложения». – Махачкала: ДГУ. – 2011. – С. 57-58.
Работы [1] — [3] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК
Минобрнауки РФ.
15
Подписано в печать ...0..2012. Формат 60х84 1/16.
Печать трафаретная. Усл.печ.л.1,3. Уч.-изд.л.1
Тираж 120 экз. Заказ № .
Тираж изготовлен в издательско-полиграфическом центре
ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет»,
350040 г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149,
с оригинал-макета заказчика.
Документ
Категория
Физико-математические науки
Просмотров
45
Размер файла
345 Кб
Теги
кандидатская
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа