close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О полной наблюдаемости нестационарных динамических систем

код для вставкиСкачать
ФИО соискателя: Фам Туан Кыонг Шифр научной специальности: 01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление Шифр диссертационного совета: Д 212.038.22 Название организации: Воронежский государственный университет
На правах рукописи
ФАМ ТУАН КЫОНГ
О полной наблюдаемости нестационарных
динамических систем
01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы
и оптимальное управление
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Воронеж 2012
Работа выполнена в Воронежском государственном университете
Научный руководитель:
Оффициальные оппоненты:
доктор физико-математических наук,
профессор Баев Александр Дмитриевич
Каменский Михаил Игоревич, доктор
физико-математических наук, профессор,
Воронежский государственный университет,
заведующий кафедрой функционального
анализа и операторных уравнений
Покровский Андрей Николаевич, доктор
физико-математических наук, профессор,
Санкт-Петербургский государственный
университет, профессор кафедры
диагностики функциональных систем
Ведущая организация:
Южный федеральный университет
Защита состоится 4 сентября 2012 г. в 15.10 на заседании диссертационного
совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу:
394006, г.Воронеж, Университетская пл., 1, ВГУ, ауд. 333.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.
Автореферат разослан
июня 2012 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета Д 212.038.22,
доктор физ.-мат. наук, профессор
Гликлих Ю.Е.
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Рассматривается система
dx(t)
= Ax(t) + f (t),
dt
(1)
F (t) = Bx(t),
(2)
где B : Rn → Rm , A : Rn → Rn , x(t) ∈ Rn , f (t) ∈ C 0 ([0, T ], Rn ), F (t) ∈ Rm ,
t ∈ [0, T ] (T — конечно или бесконечно).
Система (1), (2) называется системой наблюдения, вектор–функция x(t) — состоянием системы, функции f (t) и F (t) — входной и выходной функциями соответственно.
В динамической системе, описываемой соотношениями (1), (2), в результате
реализованного неизвестного начального состояния x(0) происходит переходный
процесс. Состояние системы недоступно непосредственному измерению, в распоряжении наблюдателя имеются лишь наблюдаемые функции f (t) и F (t).
Система называется полностью наблюдаемой, если начальное значение x(0)
по выходной функции F (t) определяется однозначно.
Для системы (1), (2) из единственности x(0) следует единственность x(t), поэтому система (1), (2) является полностью наблюдаемой, если состояние системы
x(t) в любой момент времени по выходной функции F (t) определяется однозначно.
Таким образом, возможность выявления состояния объекта по выходному сигналу определяет именно свойство наблюдаемости системы.
Во многих случаях к решению задачи управления, а именно, к синтезу обратной связи можно приступать только после решения задачи наблюдения для
исходной системы. Поэтому исследование свойства наблюдаемости различных динамических систем является актуальной задачей.
Математическую постановку задачи полной наблюдаемости динамической системы (1), (2) с f (t) ≡ 0 относят ко второй половине прошлого века и связывают с именем Р. Калмана. Им же был сформулирован, ставший классическим,
критерий полной наблюдаемости, согласно которому система (1), (2) является
полностью наблюдаемой тогда и только тогда, когда для матрицы A∗ , сопряженной к матрице A, выполняется условие:
3
ранг матрицы наблюдаемости (B A∗ B ... (A∗ )n−1 B) совпадает с размерностью n исходного пространства.
Свойства наблюдаемости различных систем (с запаздыванием, с малым параметром, систем с переменными коэффициентами, нелинейных систем, систем
с частными производными, дискретных систем и т. д.) анализировались в многочисленных монографиях, обзорах, статьях, где отражена и история вопроса:
Андреев Ю.А., Асмыкович И.К., Бояринцев Ю.Е., Васильев Ф.П., Габасов Р.Ф.,
Марченко В.М., Кириллова Ф.М., Д’Анжело Г., Квакернаак Х., Копейкина Т.Б.,
Красовский Н.Н., Ли Э.Б., Попов В.М., Цехан О.Б., Щеглова А.А., Cobb J.D.,
Campbell S.L., Hou M., Ishihara J.Y., Jacob B., Koumboulis F.N., Paraskevopoulos
P.N., Uetake Y., Yip E.L., Sincovec R.F.
Для линейных стационарных систем наблюдения рассматривался, как правило, случай m = n и регулярного матричного пучка B − λI (матричный пучок
B − λI называется регулярным, если существует обратная матрица (B − λI)−1
для некоторого λ ∈ C).
Для линейной нестационарной системы вида
dx(t)
= A(t)x(t),
dt
(3)
F (t) = B(t)x(t)
(4)
сформулирован ряд критериев и условий полной наблюдаемости.
Например: система, описываемая уравнениями (3), (4) полностью наблюдаема на интервале [t0 , t1 ] тогда и только тогда, когда столбцы матрицы
B(t)X(t, t0 ) линейно независимы на интервале [t0 , t1 ] ( Г. Д’Анджело).
dx(t)
(X(t, t0 ) — матрица Коши (переходная матрица) системы
= A(t)x(t),
dt
0 t0 < t T ) .
Наряду с вопросом о полной наблюдаемости весьма актуальной является задача построения функций состояния рассматриваемых систем. Однако, лишь в
отдельных работах строятся функции состояния, например, в монографии С.А.
Красновой, В.А. Уткина, или определяются отдельные компоненты функции состояния в частных случаях, например, в работах Campbell S.L.
Теория и методы построения функций состояния для широкого класса полностью наблюдаемых динамических систем разработаны недостаточно глубоко и
полно. Настоящая работа посвящена восполнению этих пробелов.
4
В работах Зубовой С.П., Раецкой Е.В. разработан метод каскадного расщепления пространств на подпространства, в результате чего на каждом этапе расщепления исходная система сводится к системе относительно неизвестной, принадлежащей более узкому подпространству.
Алгоритм применения данного метода предполагает, в случае выявления полной наблюдаемости системы, предъявление формулы для построения функции
состояния исследуемой системы. Выявление характера связей между входной и
выходной функциями исследуемой системы, необходимо реализующихся в случае
полной наблюдаемости системы, также не требует дополнительных исследований,
а осуществляется естественным путем, в ходе реализации метода каскадного расщепления.
В монографии Красновой С.А., Уткина В.А. при построении функции состояния стационарной системы наблюдения используется сходная схема перехода к
системам в подпространствах, однако, для ее реализации авторы прибегают к
достаточно громоздким матричным преобразованиям, что сопряжено со значительными временными затратами и достаточно объемными вычислениями.
Цель работы.
1. Исследование полной наблюдаемости линейной нестационарной динамической системы:
dx(t)
= A(t)x(t) + f (t),
(5)
dt
F (t) = B(t)x(t).
(6)
2. Исследование полной наблюдаемости линейной нестационарной динамической системы:
dx(t)
dx(t)
= A(t)x(t) + G(t; x(t);
) + f (t),
(7)
dt
dt
F (t) = B(t)x(t)
(8)
dx(t)
). Рассматривается случай прямоугольdt
ной матрицы B(t), что исключает использование свойств регулярности матричного пучка B − λI при каждом фиксированном t ∈ [0, T ].
3. Анализ влияния малых возмущений на полную наблюдемость нестационарной динамической системы, а именно, исследование полной наблюдаемости возмущенной линейной системы:
с нелинейным слагаемым G(t; x(t);
dx(t, ε)
= A(t, ε)x(t, ε) + f (t, ε),
dt
5
(9)
F (t, ε) = B(t, ε)x(t, ε).
(10)
4. Анализ влияния малых возмущений на полную наблюдемость нелинейной
нестационарной динамической системы:
dx(t, ε)
dx(t, ε)
= A(t, ε)x(t, ε) + G(t, ε; x(t, ε);
) + f (t, ε),
dt
dt
(11)
F (t, ε) = B(t, ε)x(t, ε),
(12)
с коэффициентами, аналитически зависящими от малого параметра ε ∈ (0, ε0 ].
5. Сравнение полной наблюдемости невозмущенной и возмущенной линейных нестационарных систем, а также невозмущенной и возмущенной нелинейных
нестационарных систем.
6. Построение функций состояния для полностью наблюдаемых линейной и
нелинейной нестационарных динамических систем, а также систем, возмущенных
при помощи малого параметра.
7. Установление соотношений, которым необходимо удовлетворяют наблюдаемые входная и выходная функции наблюдаемых нестационарных систем.
Методы исследования. Основным методом, применяемым в данной работе
для исследования полной наблюдаемости нестационарных динамических систем,
является метод каскадного расщепления уравнений на уравнения в подпространствах. Также используются общие методы анализа, качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, элементы теории матриц.
Научная новизна. Все результаты являются новыми. В числе наиболее важных следует отметить:
1. Установлены необходимые и достаточные условия полной наблюдаемости
определённых выше динамических систем.
2. Для полностью наблюдаемых линейной и нелинейной нестационарных систем выведены формулы для построения состояний систем x(t).
3. Установлены соотношения ”входа–выхода” — условия, которым необходимо удовлетворяют функции входа f (t) и выхода F (t) полностью наблюдаемых
линейной и нелинейной нестационарных систем.
4. Произведен анализ влияния малых возмущений ε ∈ (0, ε0 ] на полную наблюдаемость линейной и нелинейной нестационарных систем.
5. Сформулированы условия, при выполнении которых возмущенные системы
являются полностью наблюдаемыми.
6
6. Построены функции состояния x(t, ε) полностью наблюдаемых возмущенных линейной и нелинейной нестационарных систем.
7. Сформулированы условия ”входа–выхода” для полностью наблюдаемых
возмущенных систем.
8. Доказано, что из полной наблюдаемости предельных (ε = 0) систем следует
полная наблюдаемость возмущенных систем.
Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы
в различных прикладных задачах, а также в задачах межотраслевой динамики,
которые в ряде случаев можно формализовать как задачи наблюдения для линейных (5), (6) и нелинейных (7), (8) нестационарных динамических систем, а также
возмущенных линейных (9), (10) и нелинейных (11), (12) систем.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях: Воронежская весенняя математическая
школа "Понтрягинские чтения"(Воронеж, 2010, 2011, 2012); Воронежская зимняя
математическая школа "Современные методы теории функций и смежные проблемы"(Воронеж, 2011); Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна
(Воронеж, 2012); Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2010); Международная научная конференция "Современные физико-математические и информационные методы в
естествознании, технике и гуманитарных науках"(Тамбов, 2010); IV Международная научная конференция "Современные проблемы прикладной математики,
теории управления и математического моделирования"(ПМТУММ - 2011) (Воронеж, 2011); Международная конференция по математической теории управления и механике (Суздаль, 2011); The 8-th Congress of the International Society for
AnaLysis, its Applications, and Computation (Moscow 2011).
Публикации. Результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в работах [1]–[16]. Из совместных публикаций [1], [2], [5], [6], [7], [8], [12], [14] в диссертацию вошли только полученные автором результаты. Работы [1]–[5] опубликованы
в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и
списка цитируемой литературы из 65 наименований. Общий объем диссертации
145 страниц.
7
Содержание работы
Во введении формулируется объект и предмет исследования, обосновывается
актуальность работы, научная новизна.
В главе 1 исследуется полная наблюдаемость нестационарных линейной (5),
(6) и нелинейной (7), (8) динамических систем.
В первом разделе первой главы приводятся некоторые известные и доказываются некоторые новые факты из теории матриц, применяемые в дальнейших
исследованиях.
Используется свойство нестационарной матрицы B(t), действующей из Rn в
Rm : при каждом t ∈ [0, T ] имеют место разложения исходных пространств в прямые суммы:
˙
Rn = KerB(t)+CoimB(t),
˙
Rm = CokerB(t)+ImB(t).
(13)
Используются: проекторы P0 (t), Q0 (t), (I − P0 (t)), (I − Q0 (t)) на подпространства KerB(t), CokerB(t), CoimB(t) и ImB(t), соответственно, отвечающие раз˜ −1 (I − Q0 (t)) — полуобратная матрица (B(t)
˜ — сужение
ложению (13); B − (t) = B
отображения B(t) на подпространство CoimB(t); отображения и соответствующие им матрицы обозначаем одинаково).
Используется свойство: алгебраическое уравнение (6) при каждом t ∈ [0, T ]
эквивалентно системе:
Q(t)F (t) = 0,
x(t) = B − (t)F (t) + P (t)x(t),
где P (t)x(t) — произвольная вектор–функция со значениями в подпространстве
KerB(t).
Применение метода каскадного расщепления исходных пространств для исследования полной наблюдаемости динамической системы предполагает постоянство размерности подпространств на каждом шаге расщепления, для чего ввоd
дится условие: ∃ P (t), ∀t ∈ [0, T ], выполнение которого влечет dimKerB(t) ≡
dt
const, ∀t ∈ [0, T ], а также dimCoimB(t) ≡ const, ∀t ∈ [0, T ].
Во втором разделе первой главы исследуется полная наблюдаемость нестационарной линейной динамической системы (5), (6). Выявляются условия, при
выполнении которых возможна реализация метода каскадного расщепления. Доказывается
8
Лемма 1.2.1. При выполнении условий
∃
d
Pi (t),
dt
i = 0, k − 1,
(14)
в случае 0 < nk < nk−1 < ... < n0 < n система (5), (6) эквивалентна системе:
Qi (t)Fi (t) = 0,
xi (t) = Bi− (t)Fi (t) + Pi (t)xi (t),
dxk (t)
= Ak (t)xk (t) + fk (t),
dt
Fk (t) = Bk (t)xk (t),
где xi+1 (t) = Pi (t)xi (t) ∈ KerBi (t) (здесь x0 (t) = x(t), f0 (t) = f (t), F0 (t) =
F (t), B0 (t) = B(t), A0 (t) = A(t), ni = dimKerBi (t)).
В силу конечномерности исходного пространства процесс каскадного расщепления полностью реализуется за конечное, равное p (p
n) число шагов. На
последнем, p–ом, шаге приходим к системе:
dxp (t)
= Ap (t)xp (t) + fp (t),
dt
(15)
Fp (t) = Bp (t)xp (t).
(16)
Условия полной наблюдаемости редуцированной системы последнего шага
сформулированы в следующем утверждении:
Лемма 1.2.2. Eсли матрица Bp (t) является инъективной при каждом фиксированном t ∈ [0, T ], то при выполнении условий (14) (при k = p) редуцированная нестационарная линейная система (15), (16) является полностью наблюдаемой.
Выводятся необходимые и достаточные условия полной наблюдаемости линейной нестационарной системы (5), (6):
Теорема 1.2.1. (Критерий полной наблюдаемости нестационарной линейной системы). При выполнении условий (14) нестационарная линейная
дифференциально–алгебраическая система (5), (6) является полностью наблюдаемой тогда и только тогда, когда существует такое p ∈ N (0 p n), что
матрица Bp (t) инъективна при каждом фиксированном t ∈ [0, T ] (KerBp (t) =
{0}).
9
Выведена формула для функции состояния полностью наблюдаемой системы
(5), (6):
p
Bi− (t)Fi (t).
x(t) =
(17)
i=0
Определяется вид связи (условия ”входа-выхода”) между входной и выходной
функциями полностью наблюдаемой линейной системы, то есть условия, которым
необходимо удовлетворяют наблюдаемые входная и выходная функции:
p
d
f (t) = (
Bi− (t)Fi (t)) − A(t)
dt i=0
p
Bi− (t)Fi (t).
i=0
Здесь же доказано
Следствие 1.2.1. Система (5), (6) не является наблюдаемой тогда и только
тогда, когда ∃p ∈ N (0 p n), такое, что Bp (t) ≡ 0, ∀t ∈ [0, T ].
В третьем разделе первой главы исследуется полная наблюдаемость нестационарной нелинейной динамической системы (7), (8). Установлено, что при выполнении условий (14) и условия:
˜ i (t) ≡ 0,
(I − Pi (t))G
i = 0, k − 1,
(18)
система (7), (8) редуцируется к эквивалентной системе произвольного шага в подпространствах.
Процесс каскадного расщепления за конечное число шагов реализуется полностью. На последнем p - ом шаге расщепления приходим к редуцированной нелинейной системе, для которой сформулированы условия полной наблюдаемости.
Теорема 1.3.1. (Критерий полной наблюдаемости нелинейной нестационарной системы). При выполнении условий (14), (18) с i = 0, 1... и неединственности
решения x(t) уравнения (7) нелинейная нестационарная система (7), (8) является полностью наблюдаемой тогда и только тогда, когда ∃p ∈ N (0 p n)
такое, что Bp (t) — инъективна ∀t ∈ [0, T ].
В процессе реализации метода каскадного расщепления, строится функция состояния x(t) системы (7), (8) вида (17), а также устанавливаются соотношения
”входа–выхода”. Доказано, что при выполнении условий теоремы 1.3.1, справедливо следующее утверждение:
Следствие 1.3.1. Нелинейная нестационарная система (7), (8) не является полностью наблюдаемой тогда и только тогда, когда ∃p ∈ N, такое, что
Bp (t) ≡ 0.
10
В четвертом разделе первой главы проводится исследование полной наблюдаемости нестационарной нелинейной динамической системы, описывающей распространение эпидемического заболевания в обществе. Исследуются свойства коэффициентов, при которых нелинейная система является полностью наблюдаемой.
При решении практических задач зачастую целесообразнее производить эквивалентные замены переменных и переходить к системам меньшей размерности,
чем осуществлять построение соответствующих проекторов, и производить расщепления исходных пространств на подпространства, что и продемонстрировано
на данном примере.
Вторая глава посвящается исследованию полной наблюдаемости возмущенных при помощи малого параметра нестационарных линейной (9), (10) и нелинейной (11), (12) динамических систем.
В первом разделе второй главы леммой 2.1.1 установлено, что при выполнении
условий (14) с i = 0, l и ε < min(ε0 , ε1 , ..., εi ), где εi таково, что:
εi Bi− (t)Bi1 (t, ε) < 1,
∀t ∈ [0, T ], i = 0, l,
(19)
исходная система сводится ко вполне эквивалентной ей редуцированной возмущенной системе произвольного шага расщепления.
Получены условия полной наблюдаемости редуцированной линейной возмущенной системы p–го шага в случае инъективной матрицы Bp (t). Доказано следующее утверждение.
Теорема 2.1.1.(Условия полной наблюдаемости возмущенной линейной нестационарной системы). При выполнении условий (14) с i = 0, p, (19) с i = 0, p, возмущенная нестационарная система (9), (10) является полностью наблюдаемой,
если ∃p ∈ N, такое, что матрица Bp (t) инъективна при каждом фиксированном t ∈ [0, T ].
При этом функция состояния x(t, ε) единственным образом определяется по
формуле
p
x(t, ε) =
j
(
(I + Bi− (t)Bi1 (t, ε))−1 )Bj− (t)Fj (t, ε)
(20)
j=0 i=0
и наблюдаемые входная и выходная функции необходимо удовлетворяют условию
”входа–выхода”.
Далее исследуется полная наблюдаемость возмущенной нестационаной линей-
11
ной динамической системы (9), (10) в случае Bp (t) ≡ 0. Формулируются условия:
∃
d
Ppi (t), ∀t ∈ [0, T ] i ∈ N,
dt
(21)
˜ − (t)B
˜pi1 (t, ε) < 1,
ε < min(εp1 , εp2 , ..., εpi ), где εpi таково, что εpi B
pi
(22)
при выполнении которых редуцированная система p - го шага расщепления
сводится к эквивалентной ей редуцированной возмущенной системе последнего
(p + m)–го шага расщепления.
Выводятся условия полной наблюдаемости редуцированной возмущенной системы (p + m)–го шага расщепления в случае инъективной матрицы Bpm (t) при
Bp (t) ≡ 0. Доказывается утверждение.
Теорема 2.1.2. (Условия полной наблюдаемости исходной возмущенной системы в случае Bp (t) ≡ 0). При выполнении условий (14) с k = p, (19) с l = p;
и условий (21), (22) с i = 0, m, при np = np−1 , система (9), (10) является
полностью наблюдаемой, если матрица Bpm (t) инъективна при каждом фиксированном t ∈ [0, T ].
В этом случае получена формула для функции состояния x(t, ε) и формулируются соотношения "входа–выхода" .
При выполнении некоторых ограничений выводятся необходимые и достаточные условия полной наблюдаемости нестационарной возмущенной линейной системы.
Во втором разделе второй главы производится сравнение полной наблюдаемости возмущенной (9), (10) и невозмущенной (5), (6) нестационарных линейных
динамических систем.
Теорема 2.2.1. При выполнении условия (22) из полной наблюдаемости
предельной системы (5), (6) следует полная наблюдаемость возмущенной системы (9), (10).
Обратное, вообще говоря, неверно. То есть предельная система (5), (6) может быть ненаблюдаемой, а возмущенная (9), (10) система является полностью
наблюдаемой. Это подтверждается приведенными в диссертации примерами.
В третьем разделе второй главы исследуется полная наблюдаемость возмущенной нестационарной нелинейной динамической системы (11), (12).
Установлено, что при выполнении условий (14), (22) и условий
(I −Pi (t))(I +εBi− (t)Bi1 (t, ε))Gi (t, ε, xi+1 (t, ε),
12
dxi+1 (t, ε)
) ≡ 0,
dt
i = 0, l − 1, (23)
система (11), (12) редуцируется к возмущенной нелинейной системе произвольного
шага в подпространствах.
Доказано, что при выполнении условий (14), (22) и (23), редуцированная нелинейная нестационарная система p–го шага является полностью наблюдаемой в
случае инъективной матрицы Bp (t).
Теорема 2.3.1. При выполнении условий (14), (22), (23) с l = p возмущенная
нелинейная нестационарная система (11), (12) является полностью наблюдаемой, если ∃p ∈ N такое, что матрица Bp (t) инъективна при каждом фиксированном t ∈ [0, T ].
В этом случае строится функция состояния x(t, ε) системы (11), (12), а также
устанавливаются соотношения "входа–выхода" .
Далее исследуется полная наблюдаемость возмущенной нестационарной нелинейной динамической системы в случае Bp (t) ≡ 0.
Формулируются условия, при выполнении которых редуцированная нелинейная система p–го шага расщепления сводится к эквивалентной ей редуцированной
возмущенной нелинейной системе последнего (p + m)–го шага расщепления в случае Bp (t) ≡ 0.
Устанавливаются условия полной наблюдаемости редуцированной нелинейной
возмущенной системы (p + m)–го шага расщепления:
Лемма 2.3.4. В случае np = np−1 , при выполнении условий (21), (22) и условия
−
(I − Ppi (t))(I + εBpi
Bpi 1 (t, ε))Gpi (t, ε, xpi (t, ε),
dxpi (t, ε)
) ≡ 0,
dt
∀t ∈ [0, T ], (24)
редуцированная нелинейная возмущенная система (p + m) - го шага расщепления:
dxpm (t, ε)
dxpm (t)
= Apm (t, ε)xpm (t, ε) + Gpm (t, ε, xpm (t, ε),
) + fpm (t, ε),
dt
dt
˜pm (t, ε)xpm (t, ε),
F˜pm (t, ε) = B
(25)
(26)
˜pm (t) инъективна
является полностью наблюдаемой, если ∃m ∈ N, такое, что B
при любом фиксированном t ∈ [0, T ].
Выполнение условий леммы требуется при i = 0, m.
Получены условия полной наблюдаемости исходной возмущенной системы в
случае Bp (t) ≡ 0:
13
Теорема 2.3.2 При выполнении условий (14) с k = p, (19) с l = p, (23) с l = p
и при np = np−1 , условий (21), (22), (24) с i = 0, m, нелинейная возмущенная
система (11), (12) является полностью наблюдаемой, если матрица Bpm (t)
инъективна при каждом фиксированном t ∈ [0, T ].
Выводится формула для функции состояния x(t, ε) полностью наблюдаемой
системы (11), (12) и условия ”входа-выхода”.
Установлен критерий полной наблюдаемости нестационарной возмущенной линейной системы:
Теорема 2.3.3.При выполнении условий (14) с k = s + 1, (19) с l = s, (23)
с l = s + 1 нелинейная возмущенная нестационарная система (11), (12) является полностью наблюдаемой тогда и только тогда, когда ∃s ∈ N, такое, что
матрица Bs (t) инъективна при каждом фиксированном t ∈ [0, T ].
В четвертом разделе второй главы производится сравнение полной наблюдаемости возмущенной (11), (12) и невозмущенной (7), (8) нестационарных нелинейных систем. Доказано, что при выполнении условия (22) из полной наблюдаемости
предельной (7), (8) нелинейной системы следует полная наблюдаемость возмущенной нелинейной системы (11), (12).
Публикации автора по теме диссертации
[1] Фам Туан Кыонг. Полная наблюдаемость нестационарной дифференциальноалгебраической системы / C.П. Зубова, Е.В. Раецкая, Фам Туан Кыонг // Вестник Воронежского государственного технического университета. ISSN 17296501. Воронеж. - 2010. - Т.6, № 8. - С. 82 - 86.
[2] Фам Туан Кыонг. Об инвариантности нестационарной системы наблюдения
относительно некоторых возмущений /C.П. Зубова, Е.В. Раецкая, Фам Туан
Кыонг // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. Тамбов. - 2010. - Т. 15, вып. 6. - С. 1678 - 1679.
[3] Фам Туан Кыонг. Исследование полной наблюдаемости одной нелинейной системы / Фам Туан Кыонг// Вестник Ижевского государственного технического
университета. ISSN 1813 - 7903. Ижевск. - 2011. - № 3. - С.152 - 154.
[4] Кыонг, Фам Туан. Исследование полной наблюдаемости нестационар-
14
ной возмущенной динамической системы / Фам Туан Кыонг// Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [электронный ресурс]. - Краснодар : КубГАУ, 2012. - № 06(80). - Режим доступа:
http://ej.kubagro.ru/2012/06/pdf/03/pdf, 0,625 у.п.л.
[5] Кыонг, Фам Туан. Исследование полной наблюдаемости динамической системы, моделирующей распространение информации в обществе/ М.В. Драпалюк,
С.П. Зубова, Фам Туан Кыонг, Е.В. Раецкая // Вестник Воронежского государственного технического университета. Воронеж. - 2012. Т.8, № 5. - С. 10-14.
[6] Фам Туан Кыонг. О полной наблюдаемости одной нестационарной дескрипторной системы / C.П. Зубова, Е.В. Раецкая, Фам Туан Кыонг // Международная
конференция по дифференциальным уравнениям. Тезисы докладов. Москва. 2010. - С. 89 - 90.
[7] Фам Туан Кыонг. Об инвариантности возмущенной дескрипторной нестационарной динамической системы/ C.П. Зубова, Е.В. Раецкая, Фам Туан Кыонг
// Международная конференция по математической теории управления и механике: тезисы докладов. Суздаль. - 2011. - С. 85 - 86.
[8] Фам Туан Кыонг. О полной наблюдаемости дифференциально-алгебраической
нестационарной системы / C.П. Зубова, Е.В. Раецкая, Фам Туан Кыонг //
Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней
математической школы "Понтрягинские чтения-XXI". - Воронеж : ВорГУ. 2010. - С.97-98.
[9] Фам Туан Кыонг. О полной наблюдаемости динамической системы, описывающей процесс изменения долей потребления и накопления в национальном доходе/ Фам Туан Кыонг// Современные методы теории краевых задач: материалы
Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения-XXII".
Воронеж : ВорГУ. - 2011. - С. 191.
[10] Фам Туан Кыонг. Об инвариантности стационарной системы наблюдения,
неразрешенной относительно производной/ Фам Туан Кыонг// Современные
методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронежской зимней
математической школы. - Воронеж : ВорГУ. - 2011. - С. 330 - 331.
[11] Фам Туан Кыонг. О полной наблюдаемости нестационарной возмущенной ди-
15
намической системы / Фам Туан Кыонг// Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна 2012: материалы международной конференции.- Воронеж : ВорГУ. - 2012. - С. 139 - 140.
[12] Фам Туан Кыонг. О полной наблюдаемости одной нелинейной возмущенной
динамической системы / C.П. Зубова, Е.В. Раецкая, Фам Туан Кыонг // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна 2012: материалы международной конференции.- Воронеж : ВорГУ. - 2012. - С. 81 - 82.
[13] Фам Туан Кыонг. О полной наблюдаемости одной нелинейной системы / Фам
Туан Кыонг// Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования (ПМТУММ - 2011: материалы IV
Mеждународной научной конференции.- Воронеж : ВорГУ. - 2011. - С. 173 174.
[14] Cuong Pham. On the invariance of time-variable nonlinear system of observation
with respect to special perturbation/ S.P. Zubova, E.V. Raetskaya, Tuan Cuong
Pham// The 8-th Congress of the International Society for AnaLysis, its
Applications, and Computation: Abstracts. Moscow. - M. : PFUR. - 2011. - P.
397.
[15] Фам Туан Кыонг. Исследование полной наблюдаемости возмущенной нелинейной нестационарной системы / Фам Туан Кыонг// Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы
"Понтрягинские чтения-XXIII". Воронеж : ВорГУ. - 2012. - С. 11 - 12.
[16] Фам Туан Кыонг. О полной наблюдаемости одной возмущенной стационарной системы / Фам Туан Кыонг// Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения-XXIII". Воронеж : ВорГУ. - 2012. - С. 12 - 14.
Работы [1]–[5] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных
журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.
16
Документ
Категория
Физико-математические науки
Просмотров
37
Размер файла
228 Кб
Теги
кандидатская
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа