close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Синтез субоптимального анизотропийного стохастического робастного управления методами выпуклой оптимизации

код для вставкиСкачать
ФИО соискателя: Чайковский Михаил Михайлович Шифр научной специальности: 05.13.01 - системный анализ, управление и обработка информации Шифр диссертационного совета: Д 002.226.01 Название организации: Федеральное государственное бюджетное учреждение
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ НАУКИ
ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ УПРАВЛЕНИЯ им. В.А. ТРАПЕЗНИКОВА
РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК
На правах рукописи
ЧАЙКОВСКИЙ Михаил Михайлович
СИНТЕЗ СУБОПТИМАЛЬНОГО АНИЗОТРОПИЙНОГО
СТОХАСТИЧЕСКОГО РОБАСТНОГО УПРАВЛЕНИЯ
МЕТОДАМИ ВЫПУКЛОЙ ОПТИМИЗАЦИИ
Специальность 05.13.01 — Системный анализ,
управление и обработка информации (в технических системах)
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
доктора технических наук
Москва — 2012
Работа выполнена в
Федеральном государственном бюджетном учреждении науки
Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова
Российской академии наук
Научный консультант:
доктор технических наук,
старший научный сотрудник А.П. Курдюков
Официальные оппоненты:
доктор технических наук,
профессор Б.Т. Поляк
доктор физико-математических наук,
профессор П.В. Пакшин
доктор технических наук,
профессор В.Н. Афанасьев
Ведущая организация:
Институт проблем машиноведения РАН
Защита диссертации состоится “ ”
2012 г. в
часов на
заседании Диссертационного совета Д002.226.01 при ИПУ РАН по адресу:
117997, Москва, ул. Профсоюзная, д. 65.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПУ РАН.
Автореферат разослан “ ”
Ученый секретарь
Диссертационного совета Д002.226.01
доктор технических наук
2012 г.
В.К. Акинфиев
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Задачи подавления неизвестных возмущений
являются чрезвычайно важными задачами теории управления, неизбежно
возникающими при проектировании современных систем управления техническими объектами. Как правило, системы автоматического управления работают в условиях помех, под влиянием неизвестных внешних воздействий, к
которым относятся как возмущения, так и задающие команды; измеряемые
значения сигналов содержат случайные ошибки; управляющие воздействия
могут отрабатываться со случайными погрешностями. При этом параметры реального технического объекта управления могут отличаться от параметров математической модели этого объекта, для которой проектировался
закон управления. Изменение параметров может быть обусловлено, в числе
прочего, стохастической изменчивостью среды функционирования системы
управления.
Для решения задач подавления возмущений в теории управления применяются разнообразные подходы. Задачу подавления возмущений можно
сформулировать как задачу минимизации (ограничения) влияния этих возмущений на качество работы системы управления. Выбор критерия качества в задаче подавления возмущений мотивируется различными предположениями о характере возмущений, действующих на систему. В задаче синтеза линейно-квадратичного гауссовского (ЛКГ) регулятора — линейного
регулятора, минимизирующего квадратичный по состоянию и управлению
функционал качества — предполагается, что внешнее возмущение является
гауссовским белым шумом. Основы этого подхода были заложены в начале
60-х годов ХХ века в работах А.М. Летова и Р. Калмана. Такая задача является частным случаем более общей задачи H2 -оптимизации, рассмотренной
в работе Д. Дойла, К. Гловера, П. Харгонекара, Б. Фрэнсиса1 . С другой стороны, если точная модель объекта управления недоступна или статистический характер внешнего возмущающего воздействия неизвестен, требуется
другое базовое предположение. При использовании H∞ оптимального подхода предполагается, что внешнее возмущающее воздействие представляет
собой сигнал, интегрируемый (суммируемый) с квадратом. Это направление было основано Д. Зеймсом в середине 80-х годов ХХ века и развивалось в
работах Д. Дойла, У. Шейкеда, Б. Фрэнсиса, Д. Гу, П. Иглесиаса, К. Гловера,
К. Шерера, К. де Сузы, Р. Скелтона, Т. Ивасаки, П. Гаинета, П. Апкаряна и
многих других исследователей.
Стохастическая неопределенность случайных возмущений, рассматриваемая как различие между неточно известным распределением реального шу1
Doyle J.C., Glover K., Khargonekar P.P., and Francis B.A. State-space solutions to standard H2 and H∞
control problems // IEEE Trans. AC, 1989, Vol. 34, p. 831–847.
1
ма измерений и распределением его номинальной модели, может значительно
ухудшить качество работы системы управления, если применяемая процедура синтеза регулятора основана на определенном законе распределения возмущения и предположении, что этот закон известен точно. Подобные ситуации могут также возникать из природного непостоянства условий рабочей
среды системы управления. Так, H2 и H∞ регуляторы являются полностью
эффективными лишь при достаточно точном выполнении базовых гипотез
о природе внешних возмущений. Известно, что H2 (или ЛКГ) регулятор
может оказаться недостаточно эффективным в случае, если внешнее возмущение представляет собой сильно коррелированный шум2 , в то время как
H∞ регулятор, проектируемый для наихудшего случая детереминированного возмущения, проявляет излишний консерватизм и требует избыточных
энергетических затрат на управление, если внешнее возмущение представляет собой некоррелированный или слабо коррелированный случайный сигнал.
Идеи построения регуляторов, которые сочетали бы положительные качества ЛКГ (H2 ) и H∞ регуляторов (т.е. минимизировали линейно-квадратичный критерий качества и были бы достаточно робастны) возникли
в начале 1990-х годов. В частности, можно выделить подход, предложенный Д. Бернстайном и В. Хаддадом3 и связанный с минимизацией H2 нормы замкнутой системы при ограничениях на ее H∞ норму. Эти идеи были
расширены на основе разделения внешних возмущений на сигналы с ограниченным спектром и ограниченной мощностью и применения смешанного H2 /H∞ критерия качества (К. Жоу, К. Гловер, Б. Боденхаймер, Д. Дойл,
Д. Ю, Р. Мирадоре, Г. Риччи). В основе другого подхода, разработанного Д. Мустафой и К. Гловером4 , лежит минимизация функционала H∞ энтропии при ограничениях на H∞ норму замкнутой системы (П. Иглесиас,
Д. Лаймбир, А. Яйш, У. Шейкед, Э. Фридман).
П. Харгонекар и М. Ротеа в 1991 г. рассмотрели смешанную H2 /H∞ задачу в терминах алгебраических неравенств (а не уравнений) Риккати и решили ее с помощью выпуклой оптимизации. С тех пор, как были разработаны
эффективные алгоритмы внутренней точки5 , выпуклая оптимизация стала
стандартной стратегией анализа и синтеза систем управления. Методы линейных матричных неравенств (ЛМН) и полуопределенного программирования зарекомендовали себя, как мощная и гибкая методика формулирования
проектных требований к разрабатываемой системе и синтеза регуляторов,
применимая к широкому спектру линейных задач теории управления. После
2
Doyle J.C. Guaranteed margins for LQG regulators // IEEE Trans. AC, 1978, Vol. 23, p. 756–757.
Bernstein D.S., and Haddad W.M. LQG control with an H∞ performance bound: a Riccati equation approach
// IEEE Trans. AC, 1989, Vol. 34, p. 293–305.
4
Mustafa D. and Glover K. Minimum Entropy H∞ Control. Springer-Verlag, NY, 1991.
5
Nesterov Yu. and Nemirovsky A. Interior point polinomial algorithms in convex programming, Vol. 13 of
Studies in Applied Mathematics. SIAM, Philadelphia, 1994.
3
2
того, как было получено решение задачи синтеза H∞ регулятора с помощью
ЛМН, полуопределенное программирование успешно применяется для решения смешанных H2 /H∞ и многокритериальных задач управления (К. Шерер,
П. Гаинет, М. Чилали, И. Масубучи, С. Бойд, М. Оливейра, Ж. Жеромель,
Ж. Бернуссо, П. Апкарян, Д. Арцелье, Д. Посель и др.).
Перспективный подход к подавлению неопределенных случайных возмущений на основе стохастического минимаксного управления был предложен в
середине 1990-х годов И.Г. Владимировым, разработавшим анизотропийную
теорию стохастического робастного управления. В свете этого подхода,
робастность в стохастическом управлении достигается с помощью явного
включения различных сценариев распределения шума в единый показатель
качества, подлежащий оптимизации; статистическая неопределенность измеряется в терминах энтропии, и показатель робастного качества можно
выбрать так, чтобы количественно охарактеризовать возможности системы
по подавлению наихудшего внешнего возмущения. Главными понятиями
анизотропийной теории стохастического робастного управления являются
анизотропия случайного вектора, средняя анизотропия случайного вектора
и анизотропийная норма системы. Функционал анизотропии является энтропийной мерой отклонения вероятностного распределения в евклидовом
пространстве от гауссовских распределений с нулевым средним и скалярными ковариационными матрицами. Средняя анизотропия стационарной
случайной последовательности характеризует величину статистической неопределенности, понимаемой как несоответствие между неточно известным
фактическим распределением шума и семейством номинальных моделей возмущения в виде стационарного дискретного гауссовского белого шума со
скалярной ковариационной матрицей6 . a-Анизотропийная норма дискретной
линейной стационарной системы (ДЛСС) количественно определяет возможности системы по подавлению возмущений наибольшим отношением мощностной нормы выхода системы к мощностной норме ее входа при условии,
что средняя анизотропия входного сигнала не превышает заданного неотрицательного уровня a7 .
В контексте стохастического робастного управления, направленного на
подавление потенциально неблагоприятного воздействия статистической неопределенности, анизотропийная теория предлагает важную альтернативу
методам синтеза оптимального управления, основанным на точном знании
закона распределения случайного внешнего возмущения. Минимизация критерия качества в виде анизотропийной нормы замкнутой системы приводит
6
Vladimirov I.G., Kurdjukov A.P., and Semyonov A.V. On computing the anisotropic norm of linear discretetime invariant systems // Proc. of the 13-th IFAC World Congr., San-Francisco, California, USA, 1996, p. 179–
184.
7
Diamond P., Vladimirov I.G., Kurdyukov A.P., and Semyonov A.V. Anisotropy-based performance analysis
of linear discrete time invariant control systems // Int. J. Contr., 2001, No.74, p. 28–42.
3
к стабилизирующему регулятору по выходу, который проявляет меньший
консерватизм управления по сравнению с H∞ регулятором и является более
эффективным при подавлении коррелированных возмущений, чем H2 регулятор. Решение задачи синтеза анизотропийного оптимального регулятора в пространстве состояний, полученное И.Г. Владимировым, основано на
решении трех перекрестно связанных алгебраических уравнений Риккати,
алгебраического уравнения Ляпунова и уравнения относительно логарифма
детерминанта положительно определенной матрицы. Получаемый в результате решения задачи синтеза оценивающий регулятор полного порядка (центральный регулятор) является единственным. Но решение сложных систем
перекрестно связанных уравнений требует разработки и применения специальных вычислительных алгоритмов на основе метода гомотопий. Вместе
с тем, применяемая процедура синтеза на основе решения уравнений не направлена на синтез регуляторов пониженного или заданного порядка (а также децентрализованных и многокритериальных регуляторов, регуляторов с
заданной структурой), задачи синтеза которых до недавнего времени оставались открытыми.
В диссертационной работе разработаны регулярные методы решения задач синтеза субоптимальных анизотропийных регуляторов (в том числе пониженного и заданного порядка) методами полуопределенного программирования (ЛМН) и выпуклой оптимизации. Вместо минимизации анизотропийной нормы системы, субоптимальный регулятор стабилизирует замкнутую систему и обеспечивает ограниченность ее анизотропийной нормы заданным значением, т.е. гарантирует подавление случайных внешних возмущений, средняя анизотропия которых не превосходит известного уровня,
с качеством не хуже заданного. В отличие от синтеза оптимального анизотропийного регулятора, решение субоптимальных задач синтеза приводит к некоторому семейству регуляторов, оставляя дополнительные степени
свободы для определения некоторых дополнительных требований к замкнутой системе с целью достижения желаемого качества управления, например, требования заданного расположения полюсов замкнутой системы для
достижения желаемого качества переходных процессов. В диссертационной
работе получены результаты, направленные на применение мощной методологии полуопределенного программирования и выпуклой оптимизации к
синтезу анизотропийных субоптимальных и γ-оптимальных регуляторов в
общем случае заданного порядка. Разработанные процедуры анализа и синтеза являются привлекательными с вычислительной точки зрения и с точки
зрения инженерной практики. Эти методы легко реализуются средствами
некоммерческого программного обеспечения с открытым кодом, имеющегося в свободном доступе, для численного решения задач выпуклой оптимизации и полуопределенного программирования, реализованного в виде пакетов
4
программ, среди которых отметим свободно распространяемый интерфейс
YALMIP и программу-решатель SeDuMi для систем Matlab и Scilab.
Целью диссертационной работы является разработка регулярных методов синтеза субоптимальных анизотропийных стохастических робастных
регуляторов для управления дискретными линейными стационарными системами под воздействием случайных возмущений, а также распространение
стандартных методов выпуклой оптимизации и полуопределенного программирования (ЛМН) на решение задач синтеза анизотропийных субоптимальных и γ-оптимальных регуляторов для эффективного подавления случайных
внешних возмущений с неточно известными распределениями.
Методы исследования. В диссертационной работе применяются методы математической теории управления, оптимизации функций многих переменных, линейной алгебры и линейных матричных неравенств, а также
компьютерное моделирование.
Научная новизна. Результаты, полученные в диссертационной работе, постановки задач и методы их решения являются новыми в анизотропийной теории стохастического робастного управления. К основным новым
результатам относятся следующие. Сформулирована и доказана частотная
теорема для анизотропийной нормы в терминах неравенств. Решены задачи
синтеза анизотропийных субоптимальных регуляторов заданного порядка в
виде динамической обратной связи по выходу и анизотропийных субоптимальных регуляторов в виде статической обратной связи по выходу методами полуопределенного программирования (ЛМН) и численной оптимизации. Разработаны методы синтеза анизотропийных γ-оптимальных регуляторов на основе полуопределенного программирования и выпуклой оптимизации. Получено решение многокритериальных задач анизотропийного
управления, а также синтеза анизотропийного субоптимального регулятора, обеспечивающего размещение полюсов замкнутой системы в заданной
области комплексной плоскости. Получено решение задачи синтеза робастных анизотропийных субоптимальных регуляторов для систем, модели которых содержат неопределенные параметры, методами полуопределенного
программирования и численной оптимизации.
Теоретическая ценность. Результаты диссертационной работы являются развитием методов математической теории управления линейными системами и позволяют решать задачи анизотропийного анализа систем, а также осуществлять синтез новых линейных робастных регуляторов, характеризующихся меньшим консерватизмом, т.е. меньшими энергетическими затратами на управление, при подавлении неопределенных коррелированных
случайных внешних возмущений в сравнении с широко используемыми в настоящее время H∞ и H2 /H∞ регуляторами. Благодаря распространению методов выпуклой оптимизации и техники линейных матричных неравенств на
5
решение задач анизотропийной теории стохастического робастного управления разработаны регулярные методы синтеза анизотропийных регуляторов
(в том числе пониженного и заданного порядка), обеспечивающих также желаемую динамику переходных процессов в замкнутой системе посредством
размещения полюсов в заданной области и робастную устойчивость систем
с неопределенными параметрами. Разработанный и применяемый в диссертационной работе метод используется для решения задач анизотропийной
γ-оптимальной фильтрации. Появилась возможность применения анизотропийной нормы наряду с другими критериями качества и спецификациями,
сформулированными в терминах ЛМН, в стандартных современных многокритериальных задачах управления. Дальнейшее развитие результатов
диссертационной работы приводит к решению задач децентрализованного
анизотропийного управления и одновременного анизотропийного управления
множественными объектами.
Практическая ценность. Регулярные методы синтеза субоптимальных и γ-оптимальных анизотропийных регуляторов, разработанные в диссертационной работе, показали свою применимость для инженерной практики синтеза систем автоматического управления техническими объектами
как в задачах стабилизации, так и в задачах слежения. Разработанные методы могут применяться для управления техническими системами с переменными параметрами, если множество значений этих параметров ограничено
и границы его известны. Подробно рассмотрены примеры решения задач
синтеза устройства автоматического управления самолетом в режиме посадки в условиях ветровых возмущений и коррелированных шумов измерений,
а также устройства автоматического управления угловым положением гиростабилизированной платформы в условиях неопределенных ограниченных
внешних возмущений и коррелированных случайных помех. В этих примерах субоптимальные анизотропийные регуляторы продемонстрировали наилучшее качество подавления внешних возмущений и слежения при наименьших затратах на управление по сравнению с традиционным в общемировой
практике H2 , H∞ и H2 /H∞ управлением, а замкнутые системы с анизотропийными регуляторами характеризуются большей помехозащищенностью.
Реализация результатов работы. На основе результатов диссертационной работы совместно с ФГУП “НПЦ Автоматики и приборостроения
им. акад. Н.А.Пилюгина” разработаны методы расчета системы управления
одноосным силовым гиростабилизатором, элементом инерциальной навигационной системы [5]. Методы показали достаточную простоту и пригодность
для применения в инженерной практике. Для их численной реализации может использоваться некоммерческое программное обеспечение с открытым
кодом. Пример расчета устройства автоматического управления угловым
положением гиростабилизированной платформы в условиях неопределенных
6
ограниченных внешних возмущений и коррелированных случайных помех
подробно рассматривается в диссертационной работе.
Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы неоднократно докладывались и обсуждались на семинарах по теории
автоматического управления и оптимизации Лаборатории 7 им. академика Я.З. Цыпкина адаптивных и робастных систем ИПУ РАН, на научных
семинарах рабочей группы Методов и алгоритмов в управлении Лаборатории анализа и архитектуры систем CNRS, Тулуза, Франция (Groupe MAC,
LAAS-CNRS, Toulouse, France), на Санкт-Петербургском Городском семинаре по теории управления (ИПМаш РАН, Санкт-Петербург), Лаборатории
сигналов и систем университета SUPELEC, Париж, Франция (Laboratoire
de Signaux et Systemes, SUPELEC, Paris, France), на семинарах по теории
автоматического управления Лаборатории 1 динамических информационноуправляющих систем ИПУ РАН, на семинаре “Проблемы нелинейной динамики: качественный анализ и управление” Кафедры нелинейных динамических систем и процессов управления факультета ВМК МГУ, а также
на различных научных симпозиумах и конференциях: на IX, Х, XI Международных семинарах им. Е.С. Пятницкого “Устойчивость и колебания
нелинейных систем управления” (Москва, ИПУ РАН, 2008, 2010, 2012), 17й Международной конференции по управлению процессами PC’09 (Штрбске Плесо, Словакия, 9-12 июня 2009 г.), 6-м Симпозиуме ИФАК по синтезу робастного управления IFAC ROCOND’09 (Хайфа, Израиль, 16-18 июня
2009 г.), 3-й Мультиконференции IEEE по системам и управлению IEEE
MSC’09 (Санкт-Петербург, Россия, 8-10 июля 2009 г.), 4-й Международной
научной конференции по физике и управлению PHYSCON’09 (Катания, Италия, 1-4 сентября 2009 г.), Международной научно-технической конференции “Мехатроника, автоматизация и управление” (Дивноморское, Россия,
28 сентября-3 октября 2009 г.), 19-м Международном симпозиуме по математической теории сетей и систем MTNS’10 (Будапешт, Венгрия, 5-9 июля
2010 г.), 18-м Симпозиуме ИФАК по управлению в авиации и космонавтике
IFAC ACA’10 (Нара, Япония, 6-10 сентября 2010 г.), Конференции “Управление в технических системах” УТС-2010, (Санкт-Петербург, Россия, 1214 октября 2010 г.), 18-м Всемирном конгрессе ИФАК (Милан, Италия, 28
августа-2 сентября 2011 г.), 18-й Международной конференции по автоматическому управлению “Автоматика 2011” (Львов, Украина, 2011 г.), XIX
Санкт-Петербургской международной конференции по интегрированным навигационным системам (Санкт-Петербург, 28–30 мая, 2012 г.), на Американской конференции по управлению ACC2012 (Монреаль, Канада, 27-29 июля
2012 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1–37]. По теме диссертации опубликовано 12 статей в рецензируе7
мых журналах [1–3, 6, 8, 11, 14–16, 22, 25, 35], из них 9 статей в журналах,
включенных в международные индексы цитирования ISI Web of Science и
Scopus [1–3, 8, 11, 14, 16, 22, 35]. Все результаты, составляющие основное содержание диссертации, получены автором самостоятельно.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, выводов и списка литературы (186 источников), содержит
62 рисунка, 13 таблиц. Объем диссертации 193 страницы.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении выполнен обзор результатов, относящихся к теме работы,
обоснована актуальность темы исследования, сформулированы его цели и
задачи, дана общая характеристика полученных результатов, определена их
научная новизна.
В первой главе для замкнутости изложения приводится минимально
необходимый материал по анизотропии сигналов и анизотропийной норме
систем. Эти результаты являются известными и поэтому приводятся в краткой обзорной форме, без доказательств, с указанием ссылок на первоисточm
ники. Обозначим через Lm
2 класс интегрируемых с квадратом R -значных
случайных векторов, распределенных абсолютно непрерывно относительно
m-мерной лебеговой меры mes m . Для любого вектора W ∈ Lm
2 с плотноm
стью распределения вероятности (п.р.в.) f : R → R+ , анизотропия A(W )
определяется в работе8 как минимальное значение относительной энтропии
D(f pm,λ ) по отношению к гауссовским распределениям pm,λ в Rm с нулевым
средним и скалярными ковариационными матрицами λIm :
A(W ) := min D(f pm,λ ) =
λ>0
m
2πe
ln
E|W |2 − h(W ),
2
m
где E обозначает математическое ожидание, h(W ) — дифференциальную
энтропию W относительно mes m .
Пусть W := (wk )−∞<k<+∞ — стационарная последовательность векторов wk ∈ Lm
2 , интерпретируемая как дискретный случайный сигнал. Средняя анизотропия последовательности W определяется как средняя интенсивность анизотропии на единицу времени:
A(W0:N )
,
N →+∞
N
A(W ) := lim
8
W0:N
w0
:= ... .
wN
(1)
Владимиров И.Г., Даймонд Ф., Клоеден П. Анизотропийный анализ робастного качества линейных
нестационарных дискретных систем на конечном временном интервале // АиТ, 2006, 8, с. 92–111.
8
Обозначим через Gm (µ, Σ) класс Rm -значных гауссовских случайных векторов с математическим ожиданием Ewk = µ и невырожденной ковариационной матрицей cov(wk ) := E(wk −µ)(wk −µ)T = Σ. Пусть V := (vk )−∞<k<+∞
— последовательность независимых случайных векторов vk ∈ Gm (0, Im ), т.е.
m-мерный гауссовский белый шум. Предположим, что W = GV производится из V устойчивым формирующим фильтром с передаточной функцией
G(z) ∈ H2m×m . Тогда спектральная плотность W определяется выражением
S(ω) := G(ω)G∗ (ω),
−π
ω < π,
(2)
где G(ω) := G(eiω ) — граничное круговое значение передаточной функции
G(z). В работе9 показано, что среднюю анизотропию (1) можно вычислять в
терминах спектральной плотности (2) и H2 нормы формирующего фильтра
G по формуле
mS(ω)
1 π
dω.
(3)
ln det
A(W ) = −
4π −π
G 22
Поскольку распределение последовательности W полностью определяется
формирующим фильтром G или спектральной плотностью S, вместо A(W )
используются также альтернативные обозначения A(G) и A(S).
Функционал средней анизотропии (3) всегда неотрицателен. Он принимает конечные значения, если формирующий фильтр G полного ранга, в
противном случае A(G) = +∞. Равенство A(G) = 0 выполняется тогда и
только тогда, когда G является системой полного пропускания (фазовращающей системой) с точностью до ненулевого постоянного множителя. В этом
случае спектральная плотность (2) имеет вид S(ω) = λIm , −π ω < π, для
некоторого λ > 0, так что W представляет собой гауссовский белый шум с
нулевым средним и скалярной ковариационной матрицей10 .
p×m
Пусть F ∈ H∞
— дискретная линейная стационарная система (ДЛСС)
с m-мерным входом W и p-мерным выходом Z = F W . a-Анизотропийная
норма системы F определяется как
|||F |||a := sup
G∈Ga
FG 2
,
G 2
(4)
где Ga := G ∈ H2m×m : A(G) a — множество устойчивых формирующих
фильтров G, генерирующих гауссовские случайные последовательности W
со средней анизотропией (3), ограниченной заданным параметром a
0.
9
Vladimirov I.G., Kurdjukov
time invariant systems // Proc.
184.
10
Vladimirov I.G., Kurdjukov
time invariant systems // Proc.
184.
A.P., and Semyonov A.V. On computing the anisotropic norm of linear discreteof the 13-th IFAC World Congr., San-Francisco, California, USA, 1996, p. 179–
A.P., and Semyonov A.V. On computing the anisotropic norm of linear discreteof the 13-th IFAC World Congr., San-Francisco, California, USA, 1996, p. 179–
9
В терминах вход-выходных сигналов a-анизотропийная норма определяется
выражением
Z P
,
|||F |||a = sup
W ∈Wa W P
где Wa := {W ∈ ℓm
a} — множество входных сигналов с ограниP : A(W )
ченной средней анизотропией;
m
ℓm
P = {W = (wk )−∞<k<+∞ : wk ∈ L2 ∧ W
P
< +∞}
— пространство стационарных в узком смысле последовательностей интегрируемых с квадратом случайных векторов; мощностная норма последовательности случайных векторов определяется как
W
P
:=
1
lim
N →∞ 2N + 1
1/2
N
k=−N
E|wk |2
.
p×m
Известно, что a-анизотропийная норма заданной системы F ∈ H∞
является неубывающей функцией уровня средней анизотропии a, удовлетворяющей соотношениям
1
√ F
m
2
= |||F |||0
lim |||F |||a = F
a→+∞
∞.
(5)
Важно отметить, что ДЛСС с ограниченной a-анизотропийной нормой асимптотически устойчива.
Во второй главе сформулирована и доказана частотная теорема для
анизотропийной нормы, представляющая собой расширение известной частотной теоремы для H∞ нормы на класс дискретных линейных стационарных систем, на вход которых поступают случайные воздействия с ограниченной средней анизотропией. Модель дискретной линейной стационарной
p×m
системы F ∈ H∞
с m-мерным входом W , n-мерным состоянием X и pмерным выходом Z имеет вид
xk+1
zk
=
A B
C D
xk
wk
,
(6)
где размерности вещественных матриц A, B, C, D согласованы и матрица
A устойчива (ρ(A) < 1). Предполагается, что входная последовательность
W есть стационарная последовательность гауссовских случайных векторов
с ограниченной средней анизотропией a
0, т.е. W производится из mмерного гауссовского белого шума V с нулевым средним и единичной ковариационной матрицей неизвестным устойчивым формирующим фильтром G,
принадлежащим множеству Ga := G ∈ H2m×m : A(G) a . Задача состоит
10
в следующем: для заданной системы F, уровня средней анизотропии входного возмущения a 0 и числа γ > 0 проверить выполнение условия |||F |||a < γ,
где |||F |||a — анизотропийная норма системы F, определяемая (4). Критерий
проверки выполнения указанного условия установлен в следующей теореме.
p×m
Теорема 2.2. Пусть F ∈ H∞
— система с реализацией в пространстве состояний (6), где ρ(A) < 1. a-Анизотропийная норма (4) системы
F строго ограничена заданным значением γ > 0, т.е.
|||F |||a < γ,
(7)
если существует η > γ 2 , такое что неравенство
η − (e−2a det(ηIm − B T ΦB − DT D))1/m < γ 2
(8)
выполняется для вещественной (n × n)-матрицы Φ = ΦT ≻ 0, удовлетворяющей ЛМН
AT ΦA − Φ + C T C
AT ΦB + C T D
B T ΦA + DT C
B T ΦB + DT D − ηIm
≺ 0.
(9)
Неравенства (8) и (9) формируют выпуклые ограничения относительно обеих переменных η и Φ. Известно, что11
1. Функция (det Ψ)p (m × m)-матрицы Ψ = ΨT
своему аргументу для любого 0 p m1 .
0 является вогнутой по
2. Функция (det Ψ)1/m (m × m)-матрицы Ψ = ΨT
0 есть не что
иное как среднее геометрическое собственных значений этой матрицы
1/m
λ1 (Ψ) . . . λm (Ψ).
3. Подграфик геометрического среднего двух неотрицательных величин,
множество
λ1 λ2
(λ1 , λ2 , t) ∈ R3 | x1 , x2 0, t
представимо в виде конуса второго порядка
(λ1 , λ2 , t) | ∃τ : t
τ; τ
0,
τ
λ1 −λ2
2
2
λ1 + λ2
2
,
а подграфик геометрического среднего 2l неотрицательных величин,
множество
(λ1 , . . . , λ2l , t) ∈ R2l+1 | λi
0, i = 1, . . . , 2l , t
l
(λ1 λ2 . . . λ2l )1/2
также представимо в виде пересечения конечного числа конусов второго
порядка.
11
Ben-Tal A. and Nemirovskii A. Lectures on Modern Convex Optimization. Technion, Haifa, Israel, 2000.
11
1
4. Если p — рациональное число, 0
p
m , то выпуклая функция
−(det Ψ)p (m × m)-матрицы Ψ = ΨT
0 представима в виде ЛМН.
А именно, множество
(Ψ, t) | Ψ = ΨT
0, t
(det Ψ)p
представимо в виде
(Ψ, t) | Ψ = ΨT
0,
Ψ
∆
T
∆ diag ∆
0, t
(δ1 . . . δm )p ,
где ∆ — нижняя треугольная (m × m)-матрица, составленная из вспомогательных переменных с диагональными элементами δi . Подграфик
вогнутого одночлена t (δ1 . . . δm )p представим в виде конуса второго
порядка12 и, следовательно, в виде ЛМН.
Систему неравенств (8), (9) теоремы 2.2 можно решить с помощью доступных свободно распространяемых программных пакетов для решения
задач выпуклой оптимизации, позволяющих использовать выпуклую функцию −(det(Ψ))1/m (m × m)-матрицы Ψ
0 не только в качестве целевой
функции, но и в качестве ограничения. Такими программными средствами
являются, например, интерфейс YALMIP (Дж.Лефберг, 2004) в сочетании
с программой-решателем SeDuMi (Дж.Штурм, 1999) для систем Matlab и
Scilab.
С учетом обозначения γ := γ 2 , условия теоремы 2.2 позволяют вычислять
минимальное значение γ из решения следующей задачи выпуклой оптимизации:
найти γ⋆ = inf γ
на множестве Φ, η, γ, удовлетворяющих (8), (9).
Если минимальное значение γ⋆ найдено, a-анизотропийная норма системы F
вычисляется приближенно как |||F |||a ≈ γ⋆ .
Условия теоремы 2.2 рассматриваются в двух важных предельных случаях, когда уровень средней анизотропии a гауссовской входной последовательности равен нулю и стремится к бесконечности. Поскольку H2 норма и
H∞ норма являются двумя предельными случаями a-анизотропийной нормы
при a → 0, +∞ (см. (5)), неравенства (8), (9) трансформируются в критерии проверки строгой ограниченности масштабированной H2 нормы и H∞
нормы системы F заданным пороговым значением γ. Показано, что в случае нулевого уровня средней анизотропии из выполнения неравенств (8), (9)
следует
tr(B T ΦB + DT D) < mγ 2 ,
AT ΦA − Φ + C T C ≺ 0.
12
Ben-Tal A. and Nemirovskii A. Lectures on Modern Convex Optimization. Technion, Haifa, Israel, 2000,
p. 108.
12
что эквивалентно √1m F 2 < γ.
В случае a → +∞ из локализации γ 2 < η < γ 2 /(1−e−2a/m ) следует η → γ 2 ;
неравенство (8) становится недействительным. В этом случае, изменяя мас¯ := γΦ и применяя лемму Шура, ЛМН (9) можно привести
штаб матрицы Φ
к виду
T
¯
¯ −Φ
¯
CT
AT ΦB
A ΦA
¯
¯ − γIm DT ≺ 0,
B T ΦA
B T ΦB
(10)
C
D
−γIp
хорошо известному в контексте H∞ управления для дискретных систем.
Этот факт тесно связан со сходимостью lima→+∞ |||F |||a = F ∞ в (5), благодаря чему неравенство (7) ‘аппроксимирует’
F
∞
<γ
(11)
для достаточно больших значений a. Таким образом, в пределе при a → +∞,
теорема 2.2 становится частотной теоремой для H∞ нормы, устанавливающей эквивалентность между выполнением (11) и существованием положительно определенного решения ЛМН (10).
В диссертационной работе приводятся и обсуждаются результаты вычислительных экспериментов, выполненных на достаточно большой выборки
случайных реализаций устойчивых систем для проверки эффективности и
надежности техники вычисления a-анизотропийной нормы методом выпуклой оптимизации.
Частотная теорема для анизотропийной нормы в терминах неравенств
является ключевым результатом, который применяется для решения задач синтеза анизотропийных субоптимальных (и γ-оптимальных) регуляторов методами выпуклой оптимизации и полуопределенного программирования, рассматриваемыми в третьей главе. Такие регуляторы гарантируют
ограниченность анизотропийной нормы замкнутой системы заданным пороговым значением, гарантируя подавление возмущений с уровнем средней
анизотропии, не превышающим a, с качеством не хуже заданного, или, соответственно, синтезируются для минимального порогового значения. Объект
управления представлен дискретной линейной стационарной моделью P (z)
с nx -мерным состоянием X, mw -мерным входом возмущения W, mu -мерным
входом управления U, pz -мерным управляемым выходом Z и py -мерным измеряемым выходом Y :
xk+1
A Bw B u
xk
P (z) : zk = Cz Dzw Dzu wk ,
(12)
yk
Cy Dyw 0
uk
где размерности всех матриц согласованы, pz
mw , пара матриц (A, Bu )
является стабилизируемой, а пара (A, Cy ) — детектируемой. Предполага13
ется, что средняя анизотропия (3) последовательности W не превосходит
известного неотрицательного уровня a.
Задача синтеза — найти регулятор заданного порядка по измеряемому
выходу в форме динамического компенсатора
K(z) :
ξk+1
uk
=
Ac Bc
Cc Dc
ξk
yk
(13)
с nξ -мерным состоянием Ξ = (ξk )−∞<k<+∞ , стабилизирующий замкнутую систему и гарантирующий некоторый заданный уровень качества подавления
внешних возмущений. Предполагается, что для объекта управления (12) и
регулятора (13) выполняется условие Кимуры13 порядка nξ : nξ > nx −mu −py .
Выполнение этого условия гарантирует существование стабилизирующего
регулятора заданного порядка nξ . Пусть Tzw (z) — матричная передаточная
функция замкнутой системы от возмущения W к управляемому выходу Z.
Задача 3.1. Для заданных объекта управления P с моделью в пространстве состояний (12), уровня средней анизотропии a
0 входного возмущения W и некоторого желаемого порогового значения γ > 0, найти дискретный линейный стационарный регулятор по выходу K с моделью в пространстве состояний (13), стабилизирующий замкнутую систему и гарантирующий, что ее a-анизотропийная норма не превосходит порогового
значения γ, т.е.
|||Tzw |||a < γ.
(14)
Для объекта управления P и регулятора K, определенных выше, реализация
замкнутой системы имеет вид
Tzw (z) :
χk+1
zk
=
A B
C D
χk
wk
,
(15)
где χk ∈ Rn , n = nx + nξ ,
A + Bu Dc Cy Bu Cc Bw + Bu Dc Dyw
A B
.
Bc Cy
Ac
Bc Dyw
:= C D
Cz + Dzu Dc Cy Dzu Cc Dzw + Dzu Dc Dyw
Условия (8), (9) частотной теоремы 2.2 для анизотропийной нормы невозможно непосредственно применить для решения поставленной задачи синтеза из-за перекрестных произведений неизвестной матрицы Φ и матриц реализации замкнутой системы (A, B, C, D), аффинно зависящих от параметров
регулятора. Преодолеть указанную трудность позволяет введение вспомогательной переменной, вещественной (mw ×mw )-матрицы Ψ = ΨT ≻ 0, которое
приводит к следующей модификации теоремы 2.2.
13
Kimura H. Pole assignment by gain output feedback // IEEE Trans. AC, 1975, Vol. AC-20, p. 509–516.
14
pz ×mw
Лемма 3.1. Пусть Tzw ∈ H∞
— матричная передаточная функция
системы с реализацией (15), где ρ(A) < 1. Анизотропийная норма системы
Tzw строго ограничена заданным пороговым значением γ > 0, т.е. |||Tzw |||a <
γ, если существует η > γ 2 , такое что неравенство
η − (e−2a det Ψ)1/mw < γ 2
(16)
выполняется для некоторых вещественных (mw ×mw )-матрицы Ψ = ΨT ≻ 0
и (n × n)-матрицы Φ = ΦT ≻ 0, удовлетворяющих неравенствам
−Φ
0
AT
CT
T
T
Ψ − ηImw B
D
0 −ηImw BT
DT −1
≺ 0. (17)
B
−Φ
0 ≺ 0, A
B
−Φ−1 0 D
0
−Ipz
C
D
0
−Ipz
Решение общей задачи 3.1 синтеза регулятора заданного порядка получено
прямым применением условий (16), (17) леммы 3.1 к реализации замкнутой
системы (15).
Следствие 3.2. Для заданных a 0, γ > 0, динамический регулятор по
выходу K порядка nξ с реализацией (13), являющийся решением задачи 3.1,
существует, если система неравенств
η − (e−2a det Ψ)1/mw < γ 2 ,
(18)
∗
∗
∗
Ψ − ηImw
Bw + Bu Dc Dyw −Π11
∗
∗ ≺ 0,
Bc Dyw
−ΠT
−Π
∗
22
12
Dzw + Dzu Dc Dyw
0
0
−Ipz
−Φ11
∗
∗
∗
∗
∗
T
−Φ12
−Φ22
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
0
0
−ηImw
A + Bu Dc Cy Bu Cc Bw + Bu Dc Dyw −Π11
∗
∗
T
Bc Cy
Ac
Bc Dyw
−Π12 −Π22 ∗
Cz + Dzu Dc Cy Dzu Cc Dzw + Dzu Dc Dyw
0
0
−Ipz
η > γ 2,
Φ :=
Φ11 Φ12
ΦT
12 Φ22
≻ 0,
Ψ ≻ 0,
Π :=
Π11 Π12
ΠT
12 Π22
≻0
(19)
≺ 0,
(20)
(21)
разрешима относительно скалярной переменной η, вещественных (mw ×
mw )-матрицы Ψ, матриц Ac ∈ Rnξ ×nξ , Bc ∈ Rnξ ×py , Cc ∈ Rmu ×nξ , Dc ∈ Rmu ×py
и двух взаимнообратных (n × n)-матриц Φ, Π, удовлетворяющих условию
ΦΠ = In ,
15
(22)
где n = nx + nξ — порядок замкнутой системы.
Матрицы параметров регулятора Ac , Bc , Cc и Dc непосредственно входят
в неравенства синтеза (19), (20), что позволяет накладывать на них дополнительные структурные ограничения для синтеза, например, децентрализованного управления (с блочно-диагональными матрицами Ac , Bc , Cc и Dc )
или регулятора заданной структуры (с матрицами параметров регулятора
Ac , Bc , Cc и Dc заданной структуры) из решения задачи (18)–(22).
Задача вычисления матриц параметров (Ac , Bc , Cc , Dc ) динамического регулятора заданного порядка (13), являющегося решением задачи 3.1, сводится к проверке разрешимости системы неравенств (18)–(21) при условии (22),
из-за которого задача (18)–(22) не является выпуклой. Хотя применение известных алгоритмов поиска взаимнообратных матриц, удовлетворяющих линейным матричным неравенствам (19), (20) при выпуклом ограничении (18),
может привести к успешному решению задачи (18)–(22), каждый из известных алгоритмов может сойтись к локальному минимуму. Применение одного
из таких алгоритмов на основе метода условного градиента (модификация
алгоритма Фрэнка и Вольфа) рассматривается в главе 5.
В диссертационной работе рассматриваются три частных случая структуры объекта управления и регулятора: регулятор в виде статической
обратной связи по состоянию для объекта, состояние которого измеряется
точно; динамический регулятор полного порядка по измеряемому выходу;
регулятор в виде статической обратной связи по измеряемому выходу.
Следующая теорема устанавливает достаточные условия существования
анизотропийного субоптимального регулятора в форме статической обратной связи по состоянию в случае полной информации о векторе состояния,
когда модель объекта управления описывается уравнениями (6), где Cy = Inx ,
Dyw = 0.
Теорема 3.1. Для заданных a
0, γ > 0, статический регулятор по
состоянию uk = Kxk , стабилизирующий замкнутую систему (ρ(A+Bu K) <
1) и гарантирующий выполнение условия (14), существует, если система
неравенств
(23)
η − (e−2a det Ψ)1/mw < γ 2 ,
−Π
∗
∗
∗
Ψ − ηImw ∗
∗
0
−ηImw ∗
∗ ≺ 0, (24)
Bw
−Π ∗ ≺ 0, AΠ + Bu Λ
Bw
−Π ∗ Dzw
0 −Ipz
Cz Π + Dzu Λ Dzw
0 −Ipz
η > γ 2,
Ψ ≻ 0,
Π≻0
(25)
разрешима относительно скалярной переменной η, вещественных (mw ×
mw )-матрицы Ψ, (nx × nx )-матрицы Π и (mu × nx )-матрицы Λ. Если зада16
ча (23)–(25) разрешима и неизвестные переменные найдены, матрица статического регулятора определяется выражением K = ΛΠ−1 .
Неравенства (23)–(25) являются не только выпуклыми по Ψ и аффинными
по Π и Λ, но также линейными относительно γ 2 . Минимизация γ 2 при ограничениях (23)–(25) приводит к минимизации γ при тех же ограничениях.
Обозначим γ := γ 2 . Условия теоремы 3.1 позволяют вычислять наименьшее
значение γ из решения задачи оптимизации
γ → inf
на множестве Ψ, Π, Λ, η, γ,
удовлетворяющих ограничениям (23)–(25).
(26)
Если задача выпуклой оптимизации (26) разрешима, матрица усиления статического регулятора по состоянию вычисляется согласно теореме 3.1. Анизотропийные регуляторы, получаемые из решений задач оптимизации, аналогичных (26), называются анизотропийными γ-оптимальными регуляторами.
Для решения задачи синтеза регулятора полного порядка (nξ = nx ) эффективно применяется известная линеаризующая замена переменных, введенная П. Гаинетом в работе14 . Решение задачи 3.1 синтеза регулятора полного порядка дано в следующей теореме.
Теорема 3.2. Для заданных a 0, γ > 0, динамический регулятор по выходу K полного порядка nξ = nx с реализацией (13), являющийся решением
задачи 3.1, существует, если система неравенств
(27)
Ψ − ηImw
∗
∗
∗
Bw + Bu Dc Dyw −Π11
∗
∗ Φ11 Bw + Bc Dyw −Inx −Φ11 ∗ ≺ 0,
Dzw + Dzu Dc Dyw
0
0
−Ipz
η − (e−2a det Ψ)1/mw < γ 2 ,
−Π11
∗
∗
∗
∗
∗
−Inx
−Φ11
∗
∗
∗
∗
0
0
−ηImw
∗
∗
∗
AΠ11 + Bu Cc
A + Bu Dc Cy
Bw + Bu Dc Dyw −Π11
∗
∗
Ac
Φ11 A + Bc Cy
Φ11 Bw + Bc Dyw −Inx −Φ11
∗
Cz Π11 + Dzu Cc Cz + Dzu Dc Cy Dzw + Dzu Dc Dyw
0
0
−Ipz
η > γ 2,
Ψ ≻ 0,
Π11 ≻ 0,
Φ11 ≻ 0,
Π11 Inx
Inx Φ11
(28)
≺ 0,
≻0
(29)
(30)
разрешима относительно скалярной переменной η, вещественных (mw ×
mw )-матрицы Ψ, матриц Ac ∈ Rnx ×nx , Bc ∈ Rnx ×py , Cc ∈ Rmu ×nx , Dc ∈
14
P. Gahinet. Explicit controller formulas for LMI-based H∞ synthesis // Automatica, 1996, Vol. 32, p. 1007–
1014.
17
Rmu ×py и двух (nx × nx )-матриц Π11 , Φ11 . Если задача (27)–(30) разрешима и
неизвестные переменные найдены, матрицы регулятора Ac ∈ Rnx ×nx , Bc ∈
Rnx ×py , Cc ∈ Rmu ×nx , Dc ∈ Rmu ×py единственным образом определяются
выражениями
Dc
Cc
Bc
Ac
:=
:=
:=
:=
Dc ,
(Cc − Dc Cy Π11 )Π−T
12 ,
Φ−1
12 (Bc − Φ11 Bu Dc ),
T
Φ−1
12 (Ac − Φ12 Bc Cy Π11 − Φ11 Bu Cc Π12 −
−Φ11 (A + Bu Dc Cy )Π11 )Π−T
12
(31)
(32)
(33)
(34)
и вычисляются из решения задачи нахождения двух невырожденных (nx ×
nx )-матриц Π12 , Φ12 , удовлетворяющих условию
Π12 ΦT
12 = Inx − Π11 Φ11 .
(35)
Условия теоремы 3.2 позволяют вычислять γ-оптимальный регулятор из численного решения задачи выпуклой оптимизации, аналогичной (26).
В случае синтеза анизотропийного субоптимального управления в виде
статической обратной связи по измеряемому выходу
uk = Kyk
(36)
предполагается, что для объекта управления (12) выполняется условие Кимуры нулевого порядка nx − mu − py < 0. Выполнение этого условия гарантирует существование стабилизирующей статической обратной связи по
измеряемому выходу. Прямое применение достаточных условий (16), (17)
леммы 3.1 к реализации замкнутой системы приводит к следующему прямому решению задачи 3.1.
Следствие 3.4. Для заданных a 0, γ > 0, статический регулятор по
выходу (36), являющийся решением задачи 3.1, существует, если система
неравенств
η − (e−2a det Ψ)1/mw < γ 2 ,
(37)
Ψ − ηImw
∗
∗
Bw + Bu KDyw −Π
∗
Dzw + Dzu KDyw 0 −Ipz
≺ 0, 2
η>γ ,
−Φ
∗
∗
∗
0
−ηImw
∗
∗
A + Bu KCy
Bw + Bu KDyw −Π
∗
Cz + Dzu KCy Dzw + Dzu KDyw 0 −Ipz
Ψ ≻ 0,
Φ ≻ 0,
Π≻0
≺ 0,
(38)
(39)
разрешима относительно скалярной переменной η, вещественных (mw ×
mw )-матрицы Ψ, (mu × py )-матрицы K и двух взаимнообратных (nx × nx )матриц Φ, Π, удовлетворяющих условию
ΦΠ = Inx .
18
(40)
Матрица параметров регулятора K непосредственно входит в неравенства синтеза (38), что позволяет накладывать на матрицу K дополнительные структурные ограничения для синтеза, например, децентрализованного
управления (с блочно-диагональной матрицей K). Для решения системы
неравенств (37)–(39) при ограничении (40) применяются алгоритмы поиска
взаимнообратных матриц.
Линеаризующая замена переменных, предложенная К. Шерером в рабо15
те , может сделать результирующую задачу оптимизации выпуклой для
отдельного класса объектов управления, определенного структурным свойством
Pyu (z) := Cy (zInx − A)−1 Bu = 0.
(41)
Для стабилизируемого и детектируемого объекта управления (12), если выполняется условие (41), существует преобразование подобия T, такое что
A11 A12 Bw1 Bu1
−1
T AT
T Bw T Bu
Cz T −1 Dzw Dzu = 0 A22 Bw2 0 (42)
Cz1 Cz2 Dzw Dzu −1
Cy T
Dyw
0
0 Cy2 Dyw 0
где подсистема (A11 , Bu1 ) является управляемой, (A11 , Cy2 ) — наблюдаемой, а
матрица A22 — устойчивой. В следующей теореме установлены достаточные
условия существования анизотропийной субоптимальной статической обратной связи по выходу для объекта управления со структурным свойством (41).
Теорема 3.3. Предположим, что для объекта управления P с реализацией (12) выполняется условие (41). Для заданных a 0, γ > 0, статический
регулятор по выходу (36), являющийся решением задачи 3.1, существует,
если система неравенств
Ψ − ηImw
∗
∗
B(R, S, K) P(Q, R)
∗
D(K)
0
−Ipz
P(Q, R) :=
−Q 0
0 −R
B(R, S, K) :=
η − (e−2a det Ψ)1/mw < γ 2 ,
≺ 0, P(Q, R)
∗
∗
∗
0
−ηImw
∗
∗
A(Q, R, S, K) B(R, S, K) P(Q, R)
∗
C(Q, S, K)
D(K)
0
−Ipz
, A(Q, R, S, K) :=
Bw1 + Bu1 KDyw − SBw2
RBw2
(43)
≺ 0,
(44)
A11 Q A11 S − SA22 + A12 + Bu1 KCy2
0
RA22
,
, D(K) := Dzw + Dzu KDyw ,
C(Q, S, K) := [ Cz1 Q Cz1 S + Cz2 + Dzu KCy2 ] ,
15
Scherer C.W. An efficient solution to multi-objective control problems with LMI objectives // Syst. & Contr.
Let., 2000, Vol. 40. p. 43–57.
19
η > γ 2,
Ψ ≻ 0,
Q ≻ 0,
R≻0
(45)
разрешима относительно скалярной переменной η, вещественных (mw ×
mw )-матрицы Ψ, матрицы регулятора K и матриц Q, R и S.
Кроме класса систем, определяемого структурным свойством (41), известны два важных частных случая структуры объекта управления, которые позволяют сформулировать задачу синтеза статического регулятора по
выходу в виде некоторой задачи выпуклой оптимизации посредством применения невырожденных преобразований координат и введения структурированных вспомогательных переменных подобно тому, как это было сделано в
работе16 для задач синтеза H∞ регуляторов. Эти случаи называются сингулярными задачами управления и фильтрации.
В сингулярной задаче управления матрица Dzu реализации объекта управления (12) равна нулю, а матрица Bu имеет полный ранг по столбцам. В
таком случае существует невырожденная матрица преобразования координат состояния Tu , такая что
Imu
0
¯u := Tu Bu =
B
.
В новых координатах матрицы реализации объекта управления имеют вид
A¯ := Tu ATu−1 ,
¯w := Tu Bw ,
B
C¯z := Cz Tu−1 ,
C¯y := Cy Tu−1 .
(46)
Теорема 3.4. Пусть для объекта управления P с реализацией (12) выполняется Dzu = 0 и rank Bu = mu . Для заданных a 0, γ > 0, анизотропийный субоптимальный регулятор в виде статической обратной связи по
выходу (36), являющийся решением задачи 3.1, существует, если система
неравенств
η − (e−2a det Ψ)1/mw < γ 2 ,
(47)
Ψ − ηImw
∗
∗
T
¯
¯
¯
¯
¯
S Bw + LDyw Φ − S − S
∗
Dzw
0
−Ipz
≺ 0,
2
η>γ ,
¯ B
¯w , C¯z , C¯y
где A,
тельно скалярной
(nx × nx )-матрицы
¯
−Φ
0
¯y
S¯A¯ + LC
¯
Cz
Ψ ≻ 0,
∗
−ηImw
¯w + LDyw
S¯B
Dzw
∗
∗
¯ − S¯ − S¯T
Φ
0
∗
∗
∗
−Ipz
≺ 0,
(48)
(49)
¯ ≻ 0,
Φ
определяются выражениями (46), разрешима относипеременной η, вещественных (mw × mw )-матрицы Ψ,
¯ и двух структурированных матричных переменных
Φ
S¯ :=
S¯1 0
0 S¯2
,
16
L :=
L1
0
.
Lee K.H., Lee J.H., and Kwon W.H. Sufficient LMI conditions for H∞ output feedback stabilization of linear
discrete-time systems // IEEE Trans. AC, 2006, Vol. 51, p. 675–680.
20
Если система неравенств (47)–(49) разрешима и неизвестные переменные
найдены, матрица статического регулятора по выходу K = S¯1−1 L1 .
В сингулярной задаче фильтрации матрица Dyw реализации объекта
управления (12) равна нулю, а матрица Cy имеет полный строчный ранг.
В таком случае существует невырожденная матрица преобразования координат Ty , такая что C¯y := Cy Ty−1 = Ipy 0 . В новых координатах матрицы
реализации объекта управления имеют вид
A¯ := Ty ATy−1 ,
¯w := Ty Bw ,
B
¯u := Ty Bu ,
B
C¯z := Cz Ty−1 .
(50)
Теорема 3.5. Предположим, что для объекта управления P с реализацией (12) выполняется Dyw = 0 и rank Cy = py . Для заданных a
0, γ > 0,
статический регулятор по выходу (36), являющийся решением задачи 3.1,
существует, если система неравенств
Ψ − ηImw ∗
∗
¯
¯
Bw
−Π
∗
Dzw
0 −Ipz
η − (e−2a det Ψ)1/mw < γ 2 ,
¯
T
≺ 0,
η > γ 2,
¯−R
¯
Π−R
∗
∗
∗
0
−ηImw ∗
∗
¯
¯+B
¯u M
¯w
A¯R
B
−Π
∗
¯ + Dzu M
C¯z R
Dzw
0 −Ipz
Ψ ≻ 0,
¯ ≻ 0,
Π
(51)
≺ 0,
(52)
(53)
¯ B
¯w , C¯z , C¯y определяются выражениями (50), разрешима в отгде A,
ношении скалярной переменной η, вещественных (mw × mw )-матрицы Ψ,
¯ и двух структурированных матричных переменных
(nx × nx )-матрицы Π
¯ :=
R
¯1 0
R
¯2
0 R
,
M :=
M1 0 .
Если система неравенств (51)–(53) разрешима и неизвестные переменные
¯ −1 .
найдены, матрица статического регулятора по выходу K = M1 R
1
Результаты теорем 3.1–3.5 позволяют вычислять статический анизотропийный γ-оптимальный регулятор по выходу из решения задач выпуклой
оптимизации, аналогичных (26).
Известно, что задачу синтеза динамического регулятора заданного порядка можно представить в виде задачи синтеза статического регулятора по
выходу, дополнив вектор состояния объекта управления состоянием регулятора:
A
0
B
0
B
w
u
0 0
0 Inξ 0 A Bw Bu
Cz Dzw Dzu := Cz 0 Dzw 0 Dzu .
(54)
Cy Dyw 0
0 Inξ 0
0
0
Cy 0 Dyw 0
0
21
Реализация замкнутой системы с расширенным объектом управления (54)
имеет вид
A B
C D
=
A Bw
Cz Dzw
+
Bu
Dzu
Cy Dyw
K
=
=
A + Bu KCy
Bw + Bu KDzw
Cz + Dzw KCy Dzw + Dzu KDyw
,
Bc
где матрица K включает матрицы параметров регулятора: K := ACcc D
.
c
В четвертой главе решается многокритериальная субоптимальная задача анизотропийного управления для стандартного объекта управления, в
котором можно выделить несколько групп каналов от входов внешних возмущений с различными уровнями средней анизотропии к управляемому выходу, методами полуопределенного программирования и выпуклой оптимизации. Рассматривается объект управления, представленный дискретной линейной стационарной моделью P (z) с nx -мерным состоянием X, mw -мерным
внешним входом W, mu -мерным входом управления U, pz -мерным управляемым выходом Z и py -мерным измеряемым выходом Y :
xk+1
A Bw B u
xk
P (z) : zk = Cz Dzw Dzu wk ,
yk
Cy Dyw 0
uk
(55)
где размерности всех матриц согласованы, pz
mw , пара матриц (A, Bu )
является стабилизируемой, а пара (A, Cy ) — детектируемой.
Предполагается, что в векторе управляемого выхода Z объекта управления (55) с учетом требований технического проектирования выделены N
групп каналов управляемых выходов Zj (состоящих в минимальном случае
из одного канала), и в векторе внешнего входа W также выделены N групп
каналов внешних входов Wj , в которые могут входить как внешние возмущения, шумы измерений, так и эталонные сигналы. Одинаковые группы каналов управляемых выходов Zj = Zi или внешних входов Wj = Wi считаются
различными при j = i. Разбиение каналов по группам может осуществляться с учетом технических особенностей системы (например, эталонные сигналы/внешние возмущения/шумы измерений) или близости свойств сигналов
(например, слабо/сильно коррелированные сигналы). Для каждой из групп
каналов внешних входов Wj предполагается, что средняя анизотропия (3)
последовательности Wj не превосходит известного неотрицательного уровня
aj : A(Wj ) aj , j = 1, . . . , N.
Пусть Tzw (z) обозначает матричную передаточную функцию от внешнего входа W к управляемому выходу Z замкнутой системы с регулятором
22
заданного порядка K(z) в форме динамического компенсатора
K(z) :
ξk+1
uk
=
Ac Bc
Cc Dc
ξk
yk
(56)
с nξ -мерным состоянием Ξ = (ξk )−∞<k<+∞ , стабилизирующим замкнутую
систему и обеспечивающим некоторый заданный уровень подавления внешних возмущений или заданное качество отслеживания эталонных сигналов.
Тогда Tzj wj (z) := Lj Tzw (z)Rj — матричная передаточная функция от группы внешних входов Wj к группе управляемых выходов Zj , j = 1, . . . , N, где
Lj ∈ Rpzj ×pz , Rj ∈ Rmw ×mwj — матрицы выбора групп входов и выходов,
соответственно.
Задача 4.1. Для заданных объекта управления P с моделью в пространстве состояний (55), уровней средней анизотропии aj
0 групп внешних входов Wj и некоторого набора желаемых пороговых значений γj > 0,
j = 1, . . . , N, найти дискретный линейный стационарный регулятор по выходу K с моделью в пространстве состояний (56), стабилизирующий замкнутую систему и обеспечивающий одновременное выполнение условий
|||Tzj wj |||aj < γj .
(57)
Реализация передаточной функции замкнутой системы Tzj wj (z) = Lj Tzw (z)Rj
от группы внешних входов Wj к группе управляемых выходов Zj имеет вид
A + Bu Dc Cy
Bu Cc
Bwj + Bu Dc Dywj
A Bj
,
Bc Dywj
Bc Cy
Ac
=
(58)
Cj Dj
Czj + Dzj u Dc Cy Dzj u Cc Dzj wj + Dzj u Dc Dywj
где
Dzj wj
Bwj := Bw Rj ,
Czj := Lj Cz ,
:= Lj Dzw Rj , Dzj u := Lj Dzu , Dywj := Dyw Rj .
(59)
Для каждой из спецификаций (57) задачи 4.1 условия леммы 3.1 (частотной
теоремы для анизотропийной нормы) устанавливают, что Tzj wj удовлетворяет j-й спецификации (57), если существуют скалярная величина ηj < γj2
и матрицы Ψj ≻ 0, Φj ≻ 0, удовлетворяющие неравенствам (16), (17). Из
выполнения неравенств (16), (17) следует AT Φj A − Φj ≺ 0, т.е. квадратичная форма для замкнутой системы с матрицей Φj ≻ 0 является функцией
Ляпунова Vj (χ) = χT Φj χ. Прямое применение достаточных условий (16),
(17) леммы 3.1 к реализации (58) каждой из передаточных функций Tzj wj (z),
j = 1, . . . , N, приводит к прямому решению задачи 4.1, аналогичному результатам следствия 3.2.
Следствие 4.1. Для заданных aj
0, γj > 0, j = 1, . . . , N, динамический регулятор по выходу K порядка nξ с реализацией (56), являющийся
23
решением задачи 4.1, существует, если система неравенств
ηj − (e−2aj det Ψj )1/mwj < γj2 ,
(60)
∗
∗
∗
Ψj − ηj Imwj
Bwj + Bu Dc Dywj −Π11j
∗
∗ ≺ 0,
Bc Dywj
−ΠT
−Π
∗
22j
12j
Dzj wj + Dzj u Dc Dywj
0
0
−Ipzj
−Φ11j
−ΦT
12j
0
A+B D C
u c y
Bc Cy
Czj + Dzj u Dc Cy
Φj :=
∗
−Φ22j
0
Bu Cc
Bwj
Ac
Dzj u Cc Dzj wj
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
−ηj Imwj
∗
∗
∗
+ Bu Dc Dywj
−Π11j
∗
∗
T
Bc Dywj
−Π12j −Π22j
∗
+ Dzj u Dc Dywj
0
0
−Ipzj
ηj > γj2 ,
Φ11j Φ12j
ΦT
12j Φ22j
Ψj ≻ 0,
≻ 0,
Πj :=
Π11j Π12j
ΠT
12j Π22j
≺ 0,
≻ 0,
(61)
(62)
(63)
j = 1, . . . , N,
разрешима относительно N скалярных переменных ηj , N вещественных
(mwj × mwj )-матриц Ψj , матриц Ac ∈ Rnξ ×nξ , Bc ∈ Rnξ ×py , Cc ∈ Rmu ×nξ ,
Dc ∈ Rmu ×py и 2N взаимнообратных (n × n)-матриц Φj , Πj , удовлетворяющих условию
Φj Πj = In ,
(64)
где n = nx + nξ — порядок замкнутой системы.
Решение задачи (60)–(64) следствия 4.1 эквивалентно совместному решению N задач (18)–(22) следствия 3.2 для реализаций передаточных функций
Pj (z) :=
Lj 0
0 Ipy
P (z)
Rj 0
0 Imu
,
(65)
заданных значений aj , γj относительно переменных ηj , Ψj , Φj , Πj , j =
1, . . . , N, и одних и тех же неизвестных матриц реализации регулятора Ac ,
Bc , Cc и Dc . Как и в следствии 3.2, матрицы параметров регулятора непосредственно входят в неравенства синтеза (61), (62), что позволяет накладывать на реализацию регулятора дополнительные структурные ограничения. Задача вычисления матриц параметров (Ac , Bc , Cc , Dc ) динамического регулятора заданного порядка (56) предполагает применение алгоритмов
поиска взаимнообратных матриц. Вычислительный процесс может быть затруднен большой размерностью блочно-диагональных взаимнообратных матриц blockdiag(Φ1 , . . . , ΦN ), blockdiag(Π1 , . . . , ΠN ) и возможными проявлениями локальной сходимости известных алгоритмов.
24
Применение стандартных процедур овыпукления позволяет сделать результирующую задачу оптимизации выпуклой для ряда частных случаев
структуры объекта управления и порядка регулятора. Решение многокритериальной задачи синтеза анизотропийного регулятора в виде статической
обратной связи по состоянию можно сформулировать в виде задачи выпуклой оптимизации в случае полной информации о векторе состояния, когда
модель объекта управления описывается уравнениями (55), где Cy = Inx ,
Dyw = 0, если применить известную линеаризующую замену переменной
K = ΛΠ−1 , как это было сделано в теореме 3.1. Для применения данной
процедуры овыпукления требуется существование общей функции Ляпунова
в виде квадратичной формы
V(χ) = χT Φχ,
Φ ≻ 0,
AT ΦA − Φ ≺ 0,
(66)
для всех передаточных функций Tzj wj (z) в (57), что эквивалентно введению
дополнительного ограничения
Φ1 = · · · = ΦN = Φ,
Π1 = · · · = ΠN = Π
(67)
в системе неравенств (16)–(17) леммы 3.1 (частотной теоремы для анизотропийной нормы), записанных относительно каждой матричной передаточной
функции Tzj wj (z) от группы внешних входов Wj к группе управляемых выходов Zj , j = 1, . . . , N. Известно, что ограничение (67) является жестким и
вносит консерватизм в решение задачи синтеза. Тем не менее, применяемый
подход обладает рядом неоспоримых преимуществ. Во-первых, он приводит
процедуру синтеза к численному решению задачи выпуклой оптимизации.
Во-вторых, данный подход позволяет использовать все доступные степени
свободы субоптимальной задачи. В-третьих, в рамках парадигмы существования общей функции Ляпунова на замкнутую систему можно накладывать
и другие дополнительные ограничения, которые могут быть сформулированы в терминах ЛМН, например ограничения на H2 норму, ограничения на
H∞ норму, условия размещения полюсов замкнутой системы в заданной выпуклой области комплексной плоскости, условия строгой пассивности, условия ограниченности в секторе, ограничения на максимум импульсной переходной характеристики, ограничения на время установления переходного
процесса, подавление известных возмущений, отслеживание известных сигналов17 . Следующая теорема устанавливает достаточные условия существования многокритериального анизотропийного субоптимального регулятора
в виде статической обратной связи по состоянию.
Теорема 4.1. Для заданных aj
0, γj > 0, j = 1, . . . , N, статический
регулятор по состоянию uk = Kxk , стабилизирующий замкнутую систему
17
Scherer C.W., Gahinet P., and Chilali M. Multiobjective output-feedback control via LMI optimization //
IEEE Trans. AC, 1997, Vol. 42, p. 896–911.
25
(ρ(A + Bu K) < 1) и гарантирующий выполнение условий (57) существует,
если система неравенств
∗
Ψ − ηj Imwj ∗
Bwj
−Π
∗
Dz j w j
0 −Ipzj
ηj − (e−2aj det Ψj )1/mwj < γj2 ,
≺ 0,
ηj > γj2 ,
−Π
∗
∗
∗
0
−ηj Imwj ∗
∗
AΠ + Bu Λ
Bwj
−Π
∗
Czj Π + Dzj u Λ Dzj wj
0 −Ipzj
Ψj ≻ 0,
Π ≻ 0,
j = 1, . . . , N,
(68)
≺ 0, (69)
(70)
разрешима относительно N скалярных переменных ηj , N вещественных
(mwj × mwj )-матриц Ψj , (nx × nx )-матрицы Π и (mu × nx )-матрицы Λ. Если
задача (68)–(70) разрешима, и неизвестные переменные найдены, матрица
статического регулятора определяется выражением K = ΛΠ−1 .
Решение выпуклой задачи (68)–(70) теоремы 4.1 эквивалентно одновременному решению N систем неравенств (23)–(25) теоремы 3.1 для реализаций передаточных функций (65), заданных значений aj , γj относительно
переменных ηj , Ψj , j = 1, . . . , N, и одних и тех же матриц Π и Λ.
Обозначим γi := γi2 . Условия теоремы 4.1 позволяют вычислять наименьшее пороговое значение γi для одной из N групп каналов при заданных значениях γj , j = i, из решения задачи оптимизации
γi → inf
на множестве Ψj , Π, Λ, ηj , γi ,
удовлетворяющих ограничениям (68)–(70).
(71)
Если задача выпуклой оптимизации (71) разрешима, матрица усиления статического регулятора по состоянию вычисляется согласно теореме 4.1. Фактически возможна минимизация не единственного квадрата порогового значения γi , а суммы или линейной комбинации нескольких или даже всех γj ,
j = 1, . . . , N.
Для решения задачи синтеза многокритериального анизотропийного регулятора полного порядка (nc = nx ) используется линеаризующая замена переменных матриц регулятора П. Гаинета, используемая в теореме 3.2. Применить данную процедуру овыпукления можно при условии существования
общей функции Ляпунова в виде квадратичной формы (66) для всех спецификаций (57), что эквивалентно введению дополнительного ограничения (67).
Следующая теорема является ‘многоканальным’ аналогом теоремы 3.2.
Теорема 4.2. Для заданных aj
0, γj > 0, j = 1, . . . , N, динамический
регулятор по выходу K полного порядка nξ = nx с реализацией (56), являющийся решением задачи 4, существует, если система неравенств
ηj − (e−2aj det Ψj )1/mwj < γj2 ,
26
(72)
Ψj − ηj Imwj
∗
∗
∗
Bwj + Bu Dc Dywj −Π11
∗
∗ ≺ 0,
Φ11 Bwj + Bc Dywj −Inx −Φ11
∗ Dzj wj + Dzj u Dc Dywj
0
0
−Ipzj
−Π11
∗
∗
∗
∗
∗
−Inx
−Φ11
∗
∗
∗
∗
0
0
−ηj Imwj
∗
∗
∗
AΠ11 + Bu Cc
A + Bu Dc Cy
Bwj + Bu Dc Dywj
−Π11
∗
∗
Ac
Φ11 A + Bc Cy
Φ11 Bwj + Bc Dywj
−Inx −Φ11
∗
Czj Π11 + Dzj u Cc Czj + Dzj u Dc Cy Dzj wj + Dzj u Dc Dywj
0
0
−Ipzj
ηj > γj2 , Ψj ≻ 0, Π11 ≻ 0, Φ11 ≻ 0,
Π11 Inx
Inx Φ11
(73)
≺ 0,
≻ 0, j = 1, . . . , N,
(74)
(75)
разрешима относительно N скалярных переменных ηj , N вещественных
(mwj × mwj )-матриц Ψj , матриц Ac ∈ Rnx ×nx , Bc ∈ Rnx ×py , Cc ∈ Rmu ×nx , Dc ∈
Rmu ×py и двух (nx × nx )-матриц Π11 , Φ11 . Если задача (72)–(75) разрешима и неизвестные переменные найдены, матрицы регулятора Ac ∈ Rnx ×nx ,
Bc ∈ Rnx ×py , Cc ∈ Rmu ×nx , Dc ∈ Rmu ×py единственным образом определяются
выражениями (31)–(34) и вычисляются из решения задачи нахождения двух
невырожденных (nx × nx )-матриц Π12 , Φ12 , удовлетворяющих условию (35).
Условия теоремы 4.2 позволяют минимизировать одно или несколько значений γj2 аналогично (71). Теорема 4.2 позволяет применять анизотропийную норму замкнутой системы в целевой функции или спецификации качества для определенных групп вход-выходных каналов замкнутой системы
в задачах многокритериального управления, решение которых основано на
существовании общей функции Ляпунова, наряду с любыми другими спецификациями качества и целевыми функциями, которые могут быть сформулированы в терминах ЛМН17 .
В случае синтеза многокритериального регулятора в виде статической
обратной связи по измеряемому выходу предполагается, что для объекта
управления (12) выполняется условие Кимуры нулевого порядка nx − mu −
py < 0. Прямое применение достаточных условий (16)–(17) леммы 3.1 к реализации замкнутой системы приводит к следующему прямому решению задачи 4.1 — аналогу следствия 3.4 для многокритериальной задачи.
Следствие 4.3. Для заданных aj
0, γj > 0, j = 1, . . . , N, статический
регулятор по выходу uk = Kyk , являющийся решением задачи 4.1, существует, если система неравенств
ηj − (e−2aj det Ψj )1/mwj < γj2 ,
27
(76)
Ψj − ηj Imwj
∗
∗
Bwj + Bu KDywj −Πj
∗ ≺ 0,
Dzj wj + Dzj u KDywj 0 −Ipzj
(77)
−Φj
∗
∗
∗
0
−ηj Imwj
∗
∗ ≺ 0,
A + Bu KCy
Bwj + Bu KDywj −Πj
∗ Czj + Dzj u KCy Dzj wj + Dzj u KDywj 0 −Ipzj
ηj > γj2 ,
Ψj ≻ 0,
Φj ≻ 0,
Πj ≻ 0,
(78)
j = 1, . . . , N,
(79)
разрешима относительно N скалярных переменных ηj , N вещественных
(mwj × mwj )-матриц Ψj , (mu × py )-матрицы K и 2N взаимнообратных
(nx × nx )-матриц Φj , Πj , удовлетворяющих условию
Φj Πj = Inx .
(80)
Задача вычисления матрицы статической обратной связи по выходу K в
общем случае не является выпуклой из-за условия (80) и требует применения алгоритмов поиска взаимнообратных матриц. Линеаризующая замена
переменных К. Шерера15 , применяемая в теореме 3.3, может сделать результирующую задачу оптимизации выпуклой для отдельного класса объектов
управления, определенного структурным свойством (41).
Теорема 4.3. Предположим, что для объекта управления P с реализацией (55) выполняется условие (41), т.е. Pyu (z) = 0. Для заданных aj
0,
γj > 0, j = 1, . . . , N, статический регулятор по выходу uk = Kyk , являющийся решением задачи 4.1, существует, если система неравенств
ηj − (e−2aj det Ψj )1/mwj < γj2 ,
(81)
Ψj − ηj Imwj
∗
∗
B(Rj , Sj , K) P(Qj , Rj )
∗ ≺ 0,
D(K)
0
−Ipzj
(82)
P(Qj , Rj )
∗
∗
∗
0
−ηj Imwj
∗
∗ ≺ 0,
A(Qj , Rj , Sj , K) B(Rj , Sj , K) P(Qj , Rj )
∗ C(Qj , Sj , K)
D(K)
0
−Ipzj
P(Qj , Rj ) :=
A(Qj , Rj , Sj , K) :=
−Qj 0
0 −Rj
,
A11 Qj A11 Sj − Sj A22 + A12 + Bu1 KCy2
0
Rj A22
28
(83)
,
B(Rj , Sj , K) :=
C(Qj , Sj , K) :=
Bw1j + Bu1 KDywj − SBw2j
RBwj2
,
Cz1j Qj Cz1j Sj + Cz2j + Dzj u KCy2
,
D(K) := Dzj wj + Dzj u KDywj ,
ηj > γj2 ,
Ψj ≻ 0,
Qj ≻ 0,
Rj ≻ 0,
j = 1, . . . , N,
(84)
где матрицы реализации определяются выражением (42) с учетом обозначений (59), разрешима относительно N скалярных переменных ηj , N вещественных (mwj × mwj )-матриц Ψj , матрицы регулятора K и 3N матриц
Qj , Rj и Sj .
В отличие от результатов теорем 4.2 и 4.1, применение линеаризующей
замены переменных К. Шерера не требует существования общей квадратичной функции Ляпунова для всех ограничений (57) и потому не вносит дополнительного консерватизма в решение задачи синтеза.
С точки зрения обеспечения желаемого качества переходных процессов в
замкнутой системе, большой интерес представляют решения задач синтеза
анизотропийных субоптимальных регуляторов, обеспечивающих размещение полюсов замкнутой системы в заданной ЛМН-области комплексной плоскости. В работе18 ЛМН-областью называется любое подмножество D комплексной плоскости C, которое можно определить как D = {z ∈ C: fD (z) ≺
0}, где fD (z) = L + zM + z ∗ M T — характеристическая функция области
D, L = LT и M — заданные вещественные матрицы. Определение ЛМНобласти включает полуплоскости, вертикальные и горизонтальные полосы,
диски, конусы, а также их любые пересечения. Известно, что любые пересечения ЛМН-областей также являются ЛМН-областями. ЛМН-области являются выпуклыми и симметричными относительно действительной оси. Любая выпуклая область комплексной плоскости, симметричная относительно
действительной оси, может быть аппроксимирована ЛМН-областью с любой
желаемой степенью точностью.
В задачах синтеза анизотропийного субоптимального регулятора заданного порядка и регулятора в виде статической обратной связи по выходу для
объекта управления общего вида можно учитывать ограничения на расположение полюсов замкнутой системы в диске заданного радиуса с центром
в начале координат Dr = {z ∈ C: |z| < r}, r < 1. В случае динамического
регулятора заданного порядка система ограничения (18)–(22) следствия 3.2
или ограничения (60)–(64) следствия 4.2 (для многокритериальной задачи)
18
Chilali M. and Gahinet P. H∞ Design with pole placement constraints: an LMI approach // IEEE Trans.
AC, 1996, Vol. 41, No. 3, p. 358–367.
29
дополняются условиями
−rQ11 −rQ12 A + Bu Dc Cy Bu Cc
∗
−rQ22
Bc Cy
Ac
∗
∗
−rP11
−rP12
∗
∗
∗
−rP22
P11 P12
T
P12
P22
= P ≻ 0,
Q11 Q12
QT
12 Q22
≺ 0,
= Q ≻ 0,
P Q = In .
При решении задач синтеза анизотропийного регулятора в виде статической
обратной связи по выходу для объекта управления общего вида ограничения (37)–(40) следствия 3.4 или (76)–(80) следствия 4.3 (для многокритериальной задачи) дополняются условиями
−rQ
A + Bu KCy
T T T
A + Cy K Bu
−rP
T
≺ 0,
P ≻ 0,
Q ≻ 0,
P Q = Inx .
Ограничения на расположение полюсов замкнутой системы в произвольной ЛМН-области можно учитывать в трех частных случаях, соответствующих определенной структуре объекта управления и регулятора. Предполагается, что заданная ЛМН-область представляет собой пересечение s
элементарных ЛМН-областей: D = ∩si=1 Di ⊂ {z ∈ C: |z| < 1}, fDi (z) =
Li + zMi + z ∗ MiT .
В случае, когда вектор состояния в объекте управления измеряется точно, и модель объекта управления описывается уравнениями (12) или, для
многокритериальной задачи, уравнениями (55), где Cy = Inx , Dyw = 0, неравенства синтеза (23)–(25) теоремы 3.1 или система неравенств (68)–(70)
теоремы 4.1 дополняются неравенствами18
Li ⊗ Π + Mi ⊗ (AΠ + Bu Λ) + MiT ⊗ (ΠAT + ΛT BuT ) ≺ 0, i = 1 . . . s.
В случае, когда в задачах синтеза 3 и 4 порядок анизотропийного субоптимального регулятора равен порядку объекта и применяется линеаризующая
замена переменных П. Гаинета, неравенства синтеза (27)–(30) теоремы 3.2
или система неравенств (72)–(75) теоремы 4.2 дополняются неравенствами17
Li ⊗
Π11 Inx
Inx Φ11
+ Mi ⊗
+ MiT ⊗
AΠ11 + Bu Cc A + Bu Dc Cy
+
Ac
Φ11 A + Bc Cy
T
AT
Π11 AT + CT
c
c Bu
≺ 0, i = 1 . . . s.
T
T T T
T
A + Bu Dc Cy A Φ11 + CyT BT
c
Если объект управления характеризуется структурным свойством (41),
т.е. Pyu (z) = 0, и применяется линеаризующая замена переменных К. Шере30
ра, неравенства синтеза (43)–(45) теоремы 3.3 или система неравенств (81)–
(84) теоремы 4.3 дополняются неравенствами
Li ⊗
Qi 0
0 Ri
A11 Qi A11 Si − Si A22 + A12 + Bu1 KCy2
+
0
Ri A22
Qi AT
0
11
≺ 0,
T
T
T T
T T
T T
Si A11 − A22 Si + A12 + Cy2 K Bu1 A22 Ri
+ Mi ⊗
+ MiT ⊗
Qi ≻ 0,
Ri ≻ 0,
i = 1 . . . s.
Полученные результаты применяются для решения задачи синтеза робастных анизотропийных субоптимальных регуляторов для систем, модели
которых содержат неопределенные параметры, методами полуопределенного
программирования и выпуклой оптимизации. Рассматривается объект управления, представленный дискретной линейной стационарной моделью с неопределенными параметрами P∆ (z) с nx -мерным состоянием X, mw -мерным
внешним входом W, mu -мерным входом управления U, pz -мерным управляемым выходом Z и py -мерным измеряемым выходом Y. Модель объекта управления в пространстве состояний имеет вид
xk+1
A Bw B u
P∆ (z) : zk = Cz Dzw Dzu +
yk
Cy Dyw 0
xk
B∆
+ Dz∆ ∆(Ip∆ − D∆∆ ∆)−1 C∆ D∆w D∆u wk , (87)
uk
Dy∆
где размерности всех матриц согласованы, pz
mw , пара матриц (A, Bu )
является стабилизируемой, а пара (A, Cy ) — детектируемой. Модель (87)
содержит неопределенные (неизвестные) параметры, представленные матри−2
цей ∆ ∈ Rm∆ ×p∆ , удовлетворяющей условию ∆T ∆
γ∆
Ip∆ для извест−1
γ∆ . Предполагается, что
ного числа γ∆ > 0, что эквивалентно σ(∆)
det(Ip∆ − D∆∆ ∆) = 0. Матричную передаточную функцию P∆ (z) можно выразить через верхнее дробно-линейное преобразование P∆ (z) = Fu (P, ∆) =
Pyu +Pyw ∆(Ip∆ −Pzw ∆)−1 Pzu , где P (z) — передаточная функция номинальной
модели объекта управления.
Модель в пространстве состояний (87) можно представить в эквивалентной форме с дополнительными p∆ -мерным выходом неопределенности Z∆ и
m∆ -мерным входом неопределенности W∆ :
xk+1
A B∆ B w B u
xk
z∆k C∆ D∆∆ D∆w D∆u w∆k P∆ (z) : zk = Cz Cz∆ Dzw Dzu wk , w∆k = ∆z∆k . (88)
yk
Cy Dy∆ Dyw
0
uk
31
Предполагается, что средняя анизотропия (3) последовательности внешнего
возмущения W не превосходит известного неотрицательного уровня a.
Пусть Tzw (z) — матричная передаточная функция замкнутой системы
от возмущения W к управляемому выходу Z, заданная нижним дробнолинейным преобразованием Tzw (z) = Fl (P∆ , K) = Fl (Fu (P, ∆), K). Предполагается, что для объекта управления (88) и регулятора (89) выполняется
условие Кимуры порядка nξ : nξ > nx − mu − py . Общая постановка задачи синтеза анизотропийного субоптимального регулятора заданного порядка для объекта с неструктурированной неопределенностью, ограниченной по
спектральной норме, следующая.
Задача 4.4. Для заданных объекта управления P∆ с моделью в пространстве состояний (88), уровня средней анизотропии a
0 внешнего возмущения W, числа γ∆ > 0 и некоторого желаемого порогового значения γ > 0,
найти дискретный линейный стационарный регулятор по выходу K с моделью в пространстве состояний
K(z) :
ξk+1
uk
=
Ac Bc
Cc Dc
ξk
yk
(89)
с nξ -мерным состоянием Ξ = (ξk )−∞<k<+∞ , стабилизирующий замкнутую
систему и гарантирующий, что ее a-анизотропийная норма не превосходит порогового значения γ, т.е.
|||Tzw |||a < γ
(90)
для всех допустимых неопределенностей ∆ ∈ ∆, где
∆ := ∆ ∈ Rm∆ ×p∆ : σ(∆)
−1
γ∆
.
Для решения задачи 4.4 ставится вспомогательная многокритериальная
задача синтеза анизотропийного субоптимального регулятора для вспомогательного объекта управления
xk+1
A B∆ B w B u
xk
z∆k C∆ D∆∆ D∆w D∆u w∆k P (z) : (91)
zk = Cz Cz∆ Dzw Dzu wk yk
Cy Dy∆ Dyw
0
uk
Z∆
, в котором вход и выход
Z
неопределенности W∆ и Z∆ в каждый момент дискретного времени k связаны
соотношением
−2
E|z∆k |2 .
(92)
E|w∆k |2 γ∆
с расширенным управляемым выходом Z =
32
Задача 4.5. Для заданных вспомогательного объекта управления P с моделью в пространстве состояний (91), (92), уровня средней анизотропии
a
0 внешнего возмущения W, числа γ∆ > 0 и некоторого желаемого
порогового значения γ > 0, найти дискретный линейный стационарный
регулятор по выходу K заданного порядка nξ с моделью в пространстве
состояний (89), стабилизирующий замкнутую систему Fl (P , K) и обеспечивающий одновременное выполнение условий
|||Tzw |||a < γ,
(93)
Tzw∆
(94)
∞
< γ∆ .
Связь между решениями вспомогательной и исходной задач устанавливается
следующей леммой.
Лемма 4.1. Пусть для замкнутой системы Fl (P , K) с регулятором K выполняются неравенства (93), (94), т.е. регулятор K является решением
задачи 4.5. Тогда для замкнутой системы Fl (P∆ , K) с тем же регулятором K неравенство (90) выполняется для всех ∆ ∈ ∆, т.е. регулятор K
является также решением задачи 4.4. Обратное утверждение в общем
случае неверно.
Задача 4.5 — частный случай задачи 4.1 синтеза многокритериального анизотропийного регулятора для вспомогательного объекта управления
P (z), представленного реализацией (91), с расширенным управляемым выходом Z и двумя группами входов внешних возмущений W и W∆ , характеризующихся уровнями средней анизотропии a1 = a и a2 → +∞. Решения задач
синтеза робастных анизотропийных субоптимальных регуляторов получены
прямым применением следствия 4.1 (динамический регулятор по выходу заданного порядка), теоремы 4.1 (статическая обратная связь по состоянию),
теоремы 4.2 (регулятор по выходу полного порядка) и следствия 4.3 (статическая обратная связь по выходу) к реализациям передаточных функций Tzw (z),
Tzw∆ (z) с учетом предельного случая (10), (11). Неравенства синтеза регуляторов в виде статической обратной связи по состоянию и полного порядка
по выходу могут дополняться ограничениями, обеспечивающими робастное
расположение полюсов замкнутой системы в заданной ЛМН-области.
В главе 5 диссертационной работы рассматриваются примеры применения разработанных методов для синтеза систем управления техническими
объектами. Регулярные методы синтеза субоптимальных и γ-оптимальных
анизотропийных регуляторов на основе выпуклой оптимизации и полуопределенного программирования показали свою применимость для инженерной
практики синтеза систем автоматического управления техническими объектами как в задачах стабилизации, так и в задачах слежения. Эти методы
могут применяться для управления техническими системами с переменными параметрами, если множество значений этих параметров ограничено и
33
границы его известны. Подробно рассмотрены примеры решения задач синтеза устройства автоматического управления самолетом в режиме посадки
в условиях ветровых возмущений и коррелированных шумов измерений, а
также устройства автоматического управления угловым положением гиростабилизированной платформы (ГСП) в условиях неопределенных ограниченных внешних возмущений и коррелированных случайных помех. В этих
примерах субоптимальные анизотропийные регуляторы продемонстрировали наилучшее качество подавления внешних возмущений и слежения при
наименьших затратах на управление, а замкнутые системы с анизотропийными регуляторами обладают большей помехозащищенностью.
Приведем некоторые результаты решения задачи управления угловым
положением ГСП с переменным кинетическим моментом гироблока (ГБ) под
воздействием внешних возмущений в условиях шумов измерений. Упрощенная линейная математическая модель одноосного гиростабилизатора с учетом влияния качания ротора синхронного гистерезисного двигателя (СГД)
на угловую погрешность имеет вид [5, 6]
α(t)
˙
= ωα (t),
H(t)
1
1
Kgα
ωα (t) −
ωβ (t) + Mαw (t) − Mαu (t),
ω˙ α (t) = −
Jα
Jα
Jα
Jα
˙
β(t) = ωβ (t),
H(t)
Kgβ
1
1
ω˙ β (t) =
ωα (t) −
ωβ (t) + Mβw (t) − Mβu (t),
Jβ
Jβ
Jβ
Jβ
H(t) = H0 + ∆H0 sin (2πf t),
(95)
где α(t) — текущее угловое положение оси стабилизации ГСП; ωα (t) — текущая угловая скорость ГСП относительно оси стабилизации; β(t) — текущее угловое положение оси прецессии чувствительного элемента (ЧЭ) ГБ;
ωβ (t) — текущая угловая скорость ЧЭ ГБ относительно оси прецессии; H(t)
— переменный кинетический момент ГБ; H0 — номинальный кинетический
момент ГБ; ∆H0 — амплитуда гармонического изменения кинетического момента ГБ; f — частота качания ротора СГД; Jα — момент инерции ГСП
относительно оси стабилизации; Jβ — момент инерции ЧЭ ГБ относительно
оси прецессии; Kgα — коэффициент вязкого трения в опорах карданова подвеса ГСП; Kgβ — коэффициент вязкого трения жидкости ГБ; Mαw (t) — внешние возмущающие моменты относительно оси стабилизации ГСП; Mβw (t) —
внешние возмущающие моменты относительно оси прецессии ЧЭ ГБ; Mαu (t)
— управляющее воздействие от двигателя силовой стабилизации ГСП; Mβu (t)
— управляющее воздействие от двигателя силовой стабилизации ЧЭ ГБ.
В качестве внешних возмущений рассматриваются неопределенные сигналы конечной мощности. Шумы измерений представляют собой коррелированные гауссовские случайные сигналы с неизвестными параметрами закона
распределения.
34
Для объекта управления (95) требуется синтезировать алгоритм управления, обеспечивающий приведение ГСП к заданному угловому положению
и нечувствительность выбранных управляемых переменных по отношению
к неопределенным внешним возмущениям и шумам измерений. Управление направлено на отслеживание входных команд αc , задающих требуемое
угловое положение оси стабилизации ГСП, и обеспечение одновременной стабилизации в ноль текущего углового положения β оси прецессии ЧЭ ГБ в
присутствии неизвестных внешних возмущающих моментов Mαw , Mβw и коррелированных шумов измерений nα , nβ угловых скоростей ωα и ωβ . Управление угловым положением ГСП требует знания не только текущих значений углов, но и текущих значений интегралов ошибки углового положения.
Для решения задачи управления положением система (95) была расширена и приведена к стандартной форме объекта управления (55) для задачи
многокритериального управления, где
x(t)
w1 (t)
w2 (t)
u(t)
z(t)
y(t)
=
=
=
=
=
=
[
[
[
[
[
[
(αc − α) α ωα β β ωβ Mαu Mβu ]T ,
αc Mαw Mβw ]T ,
n α n β ]T ,
uα u β ] T ,
αc − α β uα uβ ]T ,
(αc − α) α ωα + nα β β ωβ + nβ ]T
и в векторе внешних входов w(t) выделены две группы каналов w1 (t) (команды управления и внешние возмущающие моменты) и w2 (t) (шумы измерений). Для достижения целей управления применяется регулятор в форме динамического компенсатора (56). Управляющие моменты Mαu , Mβu от
двигателей силовой стабилизации формируются интегрированием сигналов
управления на выходе регулятора:
M˙ αu (t) = Kuα uα (t),
M˙ βu (t) = Kuβ uβ (t),
где Kuα , Kuβ — статические коэффициенты усиления. Предлагаемая структура управляющего устройства позволяет избежать дифференцирования измеряемого значения текущего углового положения оси прецессии ЧЭ ГБ, но
требует измерения текущих угловых скоростей ГСП и ЧЭ ГБ и двухкратного интегрирования измеряемых значений.
В силу ограниченности переменного кинетического момента ГБ H(t) ∈
[H0 − ∆H0 , H0 + ∆H0 ], задачу синтеза управления для модели с переменным параметром можно решать как задачу синтеза робастного управления
для модели с неопределенным параметром. В этом случае переменный коэффициент H(t) в системе линейных уравнений (95) можно рассматривать
как аффинный неопределенный параметр, принимающий любые значения из
35
известного интервала:
H(t) = H0 + ∆H,
∆H ∈ [−∆H0 , ∆H0 ].
Для объекта управления P∆ с моделью в пространстве состояний (88),
известных уровней средней анизотропии a1 , a2 0 внешних возмущений, заданных пороговых значений γ1 , γ2 > 0 и числа γ∆ > 0, найти дискретный
линейный стационарный регулятор по выходу K полного порядка с моделью в пространстве состояний (89), стабилизирующий замкнутую систему
и гарантирующий подавление влияния внешних возмущений на увеличение
ошибки отработки команды αc с качеством не хуже заданного, т.е. выполнение неравенств
|||Tzw2 |||a2 < γ2
|||Tzw1 |||a1 < γ1 ,
для всех допустимых неопределенностей ∆, удовлетворяющих условию
−1
σ(∆)
γ∆
. Цель управления — отслеживание кусочно-постоянного задающего воздействия αc при одновременной стабилизации β — в рассматриваемой задаче достигается за счет включения ошибки слежения eα = αc − α
и угла оси прецессии ЧЭ ГБ β в вектор управляемых переменных Z, а
интегралов от ошибки слежения и угла оси прецессии eα , β — в вектор измерений Y. Многокритериальный анизотропийный субоптимальный
регулятор полного порядка Ka1 /a2 был получен из решения задачи 4.5 для
уровней средней анизотропии возмущений a1 = 1.6, a2 = 0.6 и значения
γ∆ = 1/(2∆H0 ) = 0.016667. Для сравнения управления и замкнутых систем
был синтезирован H2 /H∞ регулятор K∞/2 .
Некоторые результаты решения задачи и моделирования замкнутых систем с различными регуляторами в условиях внешних возмущений и шумов
измерений представлены в табл. 1 и проиллюстрированы на рис. 1–4. Опорные значения αc генерировались как ступенчатые сигналы со случайной амплитудой из диапазона от 0 до 90 град равной продолжительности 2 с. На
диаграммах рис. 1–4 системе с регулятором K∞/2 соответствует обозначение
H2 /H∞ , системе с регулятором Ka1 /a2 — обозначение RMAC19 . При моделировании замкнутых систем на входы внешних возмущающих моментов Mαw ,
Mβw подавались периодические сигналы
Mαwk = −∆Mαw sign sin ωM tk + ∆Kαimp sign sin ωimp tk + KαnM nM k ,
Mβwk = ∆Mβw sign sin ωM tk + ∆Kβimp sign sin ωimp tk + KβnM nM k ,
M
где nM — гауссовский белый шум (рис. 4), ωωimp
> 20. На входы шумов измерений подавалась гауссовская последовательность с уровнем средней анизотропии a2 = 0.6.
19
Robust Multiobjective Anisotropic Controller — робастный многокритериальный анизотропийный регулятор
36
Таблица 1 . Управление положением ГСП. Сравнение замкнутых систем
Регулятор в цепи обратной связи
Ka1 /a2
K∞/2
Результаты решения:
⋆
γa⋆1 (γ∞
)
4.2435
4.0875
⋆
⋆
γa2 (γ2 )
1.5056
1.728
|||Tzw1 |||1.6
1.0014
1.033662
|||Tzw2 |||0.6
0.020269
0.019157
Tzw1 ∞
2.1318
2.6936
Tzw2 2
0.00038681
0.000576
Время ЦП, с
29.531
26.947
Результаты моделирования ЗС с переменным параметром:
max |αc |, град
90
90
max |α|, град
120.4
138.1
max |β|, град
2
2
max |ωα |, град/с
1305
1582
max |ωβ |, град/с
3083
2132
u
5
max |Mα |, г·см
4.563 · 10
4.631 · 105
u
4
max |Mβ |, г·см
2.226 · 10
2.096 · 104
max |uα |, А
2.297
1.651
max |uβ |, А
0.07861
0.09924
Angular positions of stabilization and precession axes
150
α (deg)
100
α
50
c
H2/H∞
0
−50
0
RMAC
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
Time (sec)
6
7
8
9
10
50
0
c
α −α (deg)
100
−50
−100
0
2
β (deg)
1
0
−1
−2
0
Рис. 1. Управление ГСП, модель с переменным параметром, задача слежения. Текущее угловое положение оси стабилизации ГСП α (верхняя
диаграмма); ошибка текущего углового положения оси стабилизации ГСП eα (средняя диаграмма); текущее угловое положение оси
прецессии ЧЭ ГБ β (нижняя диаграмма)
37
Angular velocities of stabilization and precession axes
2000
ω (deg/sec)
H /H
2
1000
∞
RMAC
α
0
−1000
−2000
0
1
2
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4
5
6
7
8
9
10
7
8
9
10
2000
0
β
ω (deg/sec)
4000
−2000
−4000
0
Time varying moment of inertia
520
2
−1
H(t) (kg*m *s )
540
500
480
460
0
1
2
3
4
5
Time (sec)
6
Рис. 2. Управление ГСП, модель с переменным параметром, задача слежения. Текущая угловая скорость ГСП относительно оси стабилизации ωα (верхняя диаграмма); текущая угловая скорость ЧЭ ГБ
относительно оси прецессии ωβ (средняя диаграмма); переменный
кинетический момент ГБ (нижняя диаграмма)
Control actions of force stabilization motors
5
5
x 10
H /H
2
∞
0
u
α
M (g⋅ cm)
RMAC
−5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
Time (sec)
6
7
8
9
10
4
3
x 10
1
0
u
β
M (g⋅ cm)
2
−1
−2
−3
0
Рис. 3. Управление ГСП, модель с переменным параметром, задача слежения. Управляющее воздействие от двигателя силовой стабилизации
ГСП Mαu (верхняя диаграмма); управляющее воздействие от двигателя силовой стабилизации ЧЭ ГБ Mβu (нижняя диаграмма)
38
External disturbing moments
1000
M (g⋅ cm)
500
v
α
0
−500
−1000
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
Time (sec)
6
7
8
9
10
10
0
β
Mv (g⋅ cm)
5
−5
−10
0
Рис. 4. Управление ГСП, модель с переменным параметром, задача стабилизации. Внешние возмущающие моменты Mαv (верхняя диаграмма), Mβv (нижняя диаграмма)
Моделирование замкнутых систем выполнялось с учетом физических
ограничений на угловое значение оси прецессии ЧЭ ГБ |β| 2 град. Анализ
результатов моделирования, представленных в табл. 1 и на рис. 1–3 показывает, что
• при отслеживании кусочно-постоянного задающего сигнала αc максимальное перерегулирование в ЗС с анизотропийным регулятором Ka1 /a2
составляет 30.4 град (33.778%), а в ЗС с H2 /H∞ регулятором K∞/2 —
48.1 град (53.444%);
• максимальная амплитуда управляющего воздействия от двигателя силовой стабилизации ГСП Mαu в системе с H2 /H∞ регулятором K∞/2
больше на 6800 г·см (1.4684%), а от двигателя силовой стабилизации
ЧЭ ГБ Mβu — меньше на 1300 г·см (5.8401%).
В задаче управления угловым положением ГСП с переменным кинетическим
моментом ГБ в условиях неизвестных внешних возмущений (задача слежения) робастный многокритериальный анизотропийный регулятор Ka1 /a2
обеспечивает наилучшее качество слежения и подавления внешних возмущений при наименьших затратах на управление.
В заключении диссертации подведены итоги проведенных исследований
и сформулированы основные выводы.
39
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ
1. Сформулирована и доказана частотная теорема для анизотропийной
нормы в терминах неравенств.
2. Поставлена и решена задача синтеза анизотропийных субоптимальных
регуляторов заданного порядка в виде динамической обратной связи по
выходу методами полуопределенного программирования и численной
оптимизации.
3. Поставлена и решена задача синтеза анизотропийных субоптимальных
регуляторов в виде статической обратной связи по выходу методами
полуопределенного программирования и численной оптимизации.
4. Разработан метод синтеза анизотропийных γ-оптимальных регуляторов на основе выпуклой оптимизации.
5. Выполнены постановки многокритериальных задач анизотропийного
управления и получены их решения.
6. Получено решение задачи синтеза анизотропийных субоптимальных
регуляторов, обеспечивающих размещение полюсов замкнутой системы
в заданной выпуклой области комплексной плоскости.
7. Разработаны методы решения задач синтеза робастных анизотропийных субоптимальных регуляторов для систем, модели которых содержат неопределенные параметры, на основе полуопределенного программирования и численной оптимизации.
40
ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
1. Чайковский М.М. Синтез анизотропийных субоптимальных регуляторов
методами выпуклой оптимизации // Дифференциальные уравнения, 2012,
T. 48, № 2, с. 156–158.
2. Тимин В.Н., Чайковский М.М., Курдюков А.П. Решение задачи анизотропийной субоптимальной фильтрации методом выпуклой оптимизации
// Доклады Академии Наук, 2012, Т. 444, № 6, с. 612–615.
3. Чайковский М.М., Курдюков А.П. Критерий строгой ограниченности
анизотропийной нормы заданным значением в терминах матричных неравенств // Доклады Академии Наук, 2011, Т. 441, № 3, с. 318–321.
4. Чайковский М.М. Синтез статических субоптимальных анизотропийных
регуляторов методами выпуклой оптимизации // Тезисы докл. ХI Межд.
сем. им. Е.С. Пятницкого “Устойчивость и колебания нелинейных систем управления”, Москва, ИПУ РАН, 2012, с. 334–336.
5. Межирицкий Е.Л., Никифоров В.М., Чайковский М.М., Егупов Н.Д. Робастная стабилизация динамических систем в условиях неопределенности внешних возмущающих факторов методами выпуклой оптимизации
// Доклады XIX Санкт-Петербургской межд. конф. по интегрированным навигац. сист., Санкт-Петербург, Россия, 28–30 мая, 2012.
6. Никифоров В.М., Сапожников А.И., Орлов С.В., Ширяев А.С., Виноградов И.Е., Чайковский М.М. Влияние импульса подмагничивания синхронного гистерезисного двигателя на угловую погрешность одноосного
гиростабилизатора // Труды “ФГУП НПЦ АП” “Системы и приборы
управления”, 2012, 2, с. 3–21, М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана.
7. Чайковский М.М., Курдюков А.П. Оптимальный анизотропийный регулятор на основе наблюдателя Люенбергера минимального порядка //
Труды 18-й Межд. конф. по авт. управл. “Автоматика 2011”, Львов,
Украина, 2011.
8. Чайковский М.М. Анизотропийная ǫ-оптимальная редукция дискретной
линейной стационарной системы // Автоматика и телемеханика, 2010,
№ 12, с. 86–110.
9. Чайковский М.М., Курдюков А.П. Программное обеспечение и вычислительные алгоритмы для редукции анизотропийных регуляторов методом
сбалансированного отсечения // Труды конф. “Управление в технических системах”, Санкт-Петербург, 12-14 октября 2010, с. 308–311.
41
10. Чайковский М.М. Синтез оптимального анизотропийного регулятора пониженного порядка при частичном отсутствии шумов измерений // Тез.
докл. Х Межд. сем. им. Е.С. Пятницкого “Устойчивость и колебания
нелинейных систем управления”, Москва, ИПУ РАН, 2010.
11. Чайковский М.М., Курдюков А.П. Нормализованная задача анизотропийной стохастической H∞ оптимизации для редукции замкнутой системы методом сбалансированного отсечения // Автоматика и телемеханика, 2010, № 5, c. 53–69.
12. Курдюков А.П., Чайковский М.М. Робастный стохастический регулятор пониженного порядка для управления самолетом в условиях внешних
возмущений // Докл. Межд. науч.-тех. конф. “Мехатроника, автоматизация и управление”, Дивноморское, 28 сентября - 3 октября, 2009.
13. Чайковский М.М., Курдюков А.П. Робастное управление переходными
процессами в энергетических системах // Доклады 4-й Международной
конференции по проблемам управления, Москва, ИПУ РАН, 2009.
14. Чайковский М.М., Ядыкин И.Б. Оптимальная настройка ПИДрегуляторов для многосвязных билинейных объектов управления // Автоматика и телемеханика, 2009, № 1, с. 130–146.
15. Бойченко В.А., Курдюков А.П., Тимин В.Н., Чайковский М.М., Ядыкин
И.Б. Некоторые методы синтеза регуляторов пониженного порядка и заданной структуры // Управление большими системами. Выпуск 19. М.:
ИПУ РАН, 2007, с. 23–126.
16. Чайковский М.М. Нахождение сильно минимизирующего ранг решения
линейного матричного неравенства // Автоматика и телемеханика,
2007, № 9, с. 96–105.
17. Чайковский М.М. Нахождение сильно минимизирующего ранг решения линейного матричного неравенства // Тезисы докл. IX Межд. сем.
“Устойчивость и колебания нелинейных систем управления” имени
Е.С. Пятницкого, Москва, ИПУ РАН, 31 мая – 2 июня, 2006.
18. Tchaikovsky M.M. Static output feedback anisotropic controller design by
LMI-based approach: General and special cases // Proc. 2012 American
Control Conf., Montreal, Canada, June 27–29, 2012.
19. Tchaikovsky M.M., Kurdyukov A.P., and Timin V.N. Strict anisotropic norm
bounded real lemma in terms of inequalities // Proc. 18th IFAC World
Congr., Milano, Italy, 2011.
42
20. Tchaikovsky M.M. and Kurdyukov A.P. Reduced-order stochastic robust
controller design for aircraft control in landing approach // Proc. 18th IFAC
Symp. on Automat. Contr. in Aerospace, Nara, Japan, September 6-10, 2010.
21. Kurdyukov A.P., Maximov E.A., and Tchaikovsky M.M. Anisotropy-based
bounded real lemma // Proc. 19th Int. Symp. on Mathematical Theory of
Networks and Systems, Budapest, Hungary, 2010, p. 2391–2397.
22. Tchaikovsky M.M. Stochastic robust flight control under windshear by
reduced-order anisotropic controller // Archives of Control Sciences, 2009,
Vol. 19(LV), No. 4, p. 385–422.
23. Tchaikovsky M.M. and Kurdyukov A.P. Anisotropy-based approximation of
linear discrete time-invariant stochastic system // Proc. 4th Int. Scientific
Conf. on Physics and Contr., Catania, Italy, 2009.
24. Tchaikovsky M.M. and Kurdyukov A.P. Stochastic robust controller
reduction by anisotropic balanced truncation // Proc. 4th IEEE Multiconf.
Syst. Contr., Saint-Petersburg, Russia, 2009, p. 1772–1777.
25. Tchaikovsky M.M. Anisotropic balanced truncation: Application to reducedorder controller design // AT&P J. Plus 2 (ISSN 1336-5010), 2009, p. 6–18.
26. Tchaikovsky M.M. and Kurdyukov A.P. On simplifying solution to
normalized anisotropy-based stochastic H∞ problem // Proc. 6th IFAC
Symp. Robust Control Design, Haifa, Israel, 2009, p. 161–166.
27. Tchaikovsky M.M. Anisotropic balanced truncation: Application to reducedorder controller design // Proc. 17th International Conference on Process
ˆ
Control, Strbsk´
e Pleso, Slovakia, June 9-12, 2009, p.14–27.
28. Yadykin I.B. and Tchaikovsky M.M. Optimal industrial controller tuning
algorithms in view of constraints for stability margins // 13th IFAC Symp.
on Inform. Contr. Probl. in Manufact., Moscow, Russia, June 3-5, 2009.
29. Kurdykov A.P., Tchaikovsky M.M., Misrikhanov M.S., and Ryabchenko V.N.
LMI-Based robust controller design for power systems // Proc. Int. Conf. on
Math. Probl. in Engineering, Aerospace and Sciences, Genoa, Italy, 2008.
30. Kurdyukov A.P. and Tchaikovsky M.M. Model reduction according to
minimum anisotropic norm performance // Stability and Oscillations of
Nonlinear Control Systems: Book of Abstracts of E.S. Pyatnitskiy X Int.
Workshop, Moscow, 2008, p. 166–167.
43
31. Yadykin I.B. and Tchaikovsky M.M. PID Controller tuning for bilinear
continuous time invariant MIMO system // Proc. of 3rd IFAC Symp. on
System, Structure and Control, Iguassu Falls, Brazil, 2007.
32. Kurdyukov A.P. and Tchaikovsky M.M. Longitudinal robust anisotropic
optimal flight control in a windshear // Prep. 17th IFAC Symp. on Automatic
Control in Aerospace, Toulouse, France, 2007.
33. Kurdyukov A.P., Maximov E.A., and Tchaikovsky M.M. Homotopy method
for solving anisotropy-based stochastic H∞ optimization problem with
uncertainty // 5th IFAC Symp. Rob. Contr. Design, Toulouse, France, 2006.
34. Kurdyukov A.P., Maximov E.A., and Tchaikovsky M.M. Homotopy-based
algorithm for computing stochastic H∞ -optimal controller for LTI-system
with uncertainty // Proc. 7th International Technical Conference on Process
Control, Kouty nad Desnou, Czech Republic, 2006.
35. Tchaikovsky M.M. and Kurdyukov A.P. On computing anisotropic norm of
linear discrete-time-invariant system via LMI-based approach // Archives of
Control Sciences, 2006, Vol. 16, No. 3, p. 257–281.
36. Kurdyukov A.P., Maximov E.A., and Tchaikovsky M.M. Computing
anisotropic optimal controller for system with parametric uncertainty via
homotopy-based algorithm // Proc. IV Int. Conf. “System identefication
and contr. probl.”, Moscow, Jan. 30 – Feb. 2, 2006.
37. Tchaikovsky M.M. and Kurdyukov A.P. LMI-based approach to computing
the anisotropic norm of linear discrete time-invariant system // Proc. 15th
ˆ
Int. Conf. on Process Control, Strbsk´
e Pleso, Slovakia, 2005.
В работах, опубликованных в соавторстве, личный вклад автора состоит в следующем:
в [5, 7, 23, 24, 30] автору принадлежат постановки задач, формулировки и доказательства
теорем, численные расчеты; в [3, 11, 19, 26, 35, 37] автору принадлежат формулировки и доказательства теорем, численные расчеты; в [2, 9, 12, 14, 20, 28, 31–34, 36] автору принадлежат
вычислительные алгоритмы, численные расчеты; в [6, 13, 21, 29] автор участвовал в численных расчетах и анализе моделей объектов управления.
44
Документ
Категория
Технические науки
Просмотров
61
Размер файла
1 024 Кб
Теги
Докторская
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа