close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Вариационные задачи о контакте упругих тел, содержащих жесткие включения

код для вставкиСкачать
ФИО соискателя: Ротанова Татьяна Александровна Шифр научной специальности: 01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление Шифр диссертационного совета: Д 212.174.02 Название организации: Новосибирский государств
?а правах рукописи
Ротанова Татьяна ?лександровна
??Р??Ц????Ы? ????Ч? ? ???Т??Т?
УПРУ??Х Т??? С???Р??Щ?Х ??СТ???
???ЮЧ???Я
???????? ? дифференциальные уравнения?
динамические системы и оптимальное управление
??Т?Р?Ф?Р?Т
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико?математических наук
?овосибирск ? ????
Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учрежде?
нии науки ?нституте гидродинамики им? ???? ?аврентьева Сибирского
отделения Российской академии наук?
?аучный руководитель? доктор физико?математических наук? профессор
Хлуднев ?лександр ?ихайлович?
?фициальные оппоненты?
?лехин ?ладимир ?итальевич? доктор физико?математических наук? до?
цент? Федеральное государственное бюджетное учреждение науки ?нсти?
тут гидродинамики им? ???? ?аврентьева Сибирского отделения Россий?
ской академии наук? ведущий научный сотрудник?
?амм Роберт ?икторович? доктор физико?математических наук? профес?
сор? Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования ?Тихоокеанский государствен?
ный университет?? зав? кафедрой П??Т и ?С?
?едущая организация? Федеральное государственное бюджетное учрежде?
ние науки ?нститут математики им? С??? Соболева Сибирского отделения
Российской академии наук?
?ащита состоится ?? сентября ???? года в ????? на заседании диссертацион?
ного совета ? ?????????? при Федеральном государственном бюджетном об?
разовательном учреждении высшего профессионального образования ??о?
восибирский национальный исследовательский государственный универси?
тет? по адресу? ??????? г? ?овосибирск? ул? Пирогова? ?? ауд? ???а главного
корпуса?
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ?овосибирского госу?
дарственного университета?
?втореферат разослан
???? г?
Ученый секретарь диссертационного совета
доктор физико?математических наук
Старовойтов ????
?бщая характеристика работы
?иссертационная работа посвящена исследованию краевых задач о рав?
новесии контактирующих друг с другом упругих тел? содержащих жест?
кие включения? в негладких областях? Предполагается? что область кон?
такта заранее неизвестна? так что рассматриваемые задачи относятся к
классу проблем с неизвестной границей? ?а допустимые функции накла?
дывается ограничение типа неравенства? отражающее физическое требова?
ние непроникания? Таким образом? краевые условия имеют вид равенств и
неравенств?
?ктуальность темы? ?еханика контактных взаимодействий твердых
деформируемых тел представляет в настоящее время большую и актив?
но развивающуюся область механики сплошных сред? Широкий интерес к
данной тематике обусловлен тем? что все механизмы и конструкции состо?
ят из взаимодействующих деталей? физические процессы в которых описы?
ваются задачами контактного взаимодействия? Текущее развитие науки и
техники создает необходимость в математических постановках новых задач
о контакте упругих и неупругих тел и их изучении?
?ольшое число физических и инженерных задач с неизвестной грани?
цей могут быть сформулированы как вариационные? в частности? задачи
о контакте упругих и неупругих тел? ?ариационная постановка статиче?
ских задач контактного взаимодействия подразумевает? что допустимые
функции удовлетворяют дополнительному ограничению? имеющему фор?
му неравенства ?так называемые односторонние контактные задачи?? Это
ограничение?неравенство отражает физическое требование непроникания?
и с точки зрения приложений эта модель предпочтительнее классических
линейных моделей с граничными условиями вида равенств для контактных
задач?
Теория вариационных неравенств как новый раздел теории уравнений
с частными производными сформировалась во второй половине ?? ве?
ка? ?сточником для создания этой теории послужила практическая за?
дача из теории упругости ?задача Синьорини? ?? ?????r??? ?????? впер?
вые полностью изученная в работе ?? ?????r?? где были заложены осно?
вы теории вариационных неравенств? ?атем исследования вариационных
неравенств продолжались в теоретических работах ?? ?????t? ?? ?????
????? ????s? ?? ?t????????? и др? ?альнейшее развитие теория и методы ре?
шений конкретных задач получили в работах ??С? ?равчука? ???? ?ьвова?
???? Садовского? ???? Хлуднева? ?? ????????? ???? ????r????? ?? ??? ??s??
?
?? ?r??????? ?? ??s?????r? ?? ?????
?????? P? P??????t??????s? ?? ???????s?? и др?
? настоящее время в связи с активным изучением композитных мате?
риалов представляет интерес исследование нового класса задач о контакте
с неизвестной границей? а именно? задач о контакте упругих тел? содержа?
щих жесткие включения? Под жестким включением понимается подобласть
пластины? характеризующаяся нулевыми деформациями? ?днако переме?
щения точек данной области имеют заданную структуру и не всегда ну?
левые? в отличие от абсолютно жестких недеформируемых тел? ?звестно?
что уравнение равновесия упругого тела не выполняется в области жест?
кого включения? ?атематическая постановка данного класса задач требу?
ет принципиально нового подхода? ? ряде недавних работ ???? Хлудне?
ва? ???? ?лексеева? ?? ?????r???? ???? Рудого? ???? ????t??? ?? ???????s???
?? ??????s??? ???? ?еустроевой? посвященных описанию и анализу дву?
мерных задач о контакте упругих тел? содержащих трещины и жесткие
включения? был предложен метод? позволяющий выписать полную систе?
му краевых условий на границе жесткого включения?
? диссертационной работе рассматриваются однослойные пластины из
неоднородного анизотропного материала? которые являются упругими и
подчиняются линейному уравнению состояния в рамках модели ?ирхгофа?
?ява? ?дносторонним контактным задачам для упругих пластин с неиз?
вестной областью контакта были посвящены работы таких исследователей?
как ???? ?откин? ???? Хлуднев? ???Х? Хоффманн? ???? ????r????? ??? ??s??
?? ?r??????? ?? ?????r???? ?? P???r??? ?? ??????? ?? ????? ? данной рабо?
те предполагается? что пластины содержат жесткие включения? ?адачи о
контакте пластин? одна из которых содержит жесткое включение? иссле?
довались ???? ?еустроевой? однако в этих работах учитываются только
вертикальные перемещения пластин? Существенным продвижением в дан?
ном направлении исследований является то? что в диссертационной работе
рассматриваются задачи? описывающие контакт жестких подобластей друг
с другом?
Цель работы? Целью диссертационной работы является доказатель?
ство разрешимости и вывод дифференциальных постановок для вариаци?
онных задач о контакте упругих тел? содержащих жесткие включения?
?етоды исследования? ? диссертации используются фундаменталь?
ные результаты и методы теории дифференциальных уравнений? функ?
циональных пространств Соболева? вариационного исчисления? выпуклого
анализа?
?сновные результаты диссертации? Результаты были получены для
?
двух различных задач?
?? ?адача о контакте упругой пластины с тонкой балкой?
?оказаны существование и единственность решения задачи? ?айдена
полная система краевых условий на множестве возможного контакта для
различных случаев расположения балки относительно пластины? ?оказа?
на возможность предельного перехода по параметру жесткости балки при
стремлении параметра к бесконечности? Рассмотрено жесткое включение в
пластине? ? предположении достаточной гладкости решения найдена пол?
ная система краевых условий на множестве возможного контакта?
?? ?адача о контакте двух пластин? расположенных под заданным углом?
?оказаны существование и единственность решения задачи? Рассмотре?
ны задачи с одним жестким включением в верхней или нижней пластинах?
а также задачи с двумя жесткими включениями в пластинах? выходящи?
ми на множество возможного контакта? При этом исследованы случаи с
различным расположением жестких включений? ? предположении доста?
точной гладкости решения найдена полная система краевых условий на
линии контакта для различных случаев расположения жестких включе?
ний в пластинах? Показано? что задачи с жесткими включениями могут
быть получены как предельные для семейства задач теории упругости с
параметром?
?аучная новизна? ?се основные результаты работы? выносимые на
защиту? являются новыми? их достоверность основана на строгих матема?
тических доказательствах?
Теоретическая и практическая значимость результатов? Резуль?
таты диссертации носят теоретический характер и могут быть использо?
ваны для дальнейшего исследования задач контактного взаимодействия
упругих тел с жесткими включениями? проведения расчетов и численного
анализа? ?роме того? полученные системы дифференциальных уравнений
могут послужить основой для постановки новых задач вариационного ис?
числения и механики деформируемого твердого тела?
?пробация работы? ?сновные результаты диссертации обсуждались
на семинаре ??атематические проблемы механики сплошной среды? под
руководством чл??корр? Р?? П??? Плотникова в ??и? С? Р??? семинаре
?Теоретические и вычислительные проблемы задач математической физи?
ки? под руководством проф? ???? ?лохина в ?? С? Р??? ??ифференци?
альные уравнения и смежные вопросы анализа? под руководством проф?
??С? ?елоносова и проф? ???? Фокина в ?? С? Р??? ??збранные вопро?
сы математического анализа? под руководством проф? ?? ?? ?емиденко в
?
?? С? Р???
?ошедшие в диссертацию результаты докладывались на ???? ?ежду?
народной студенческой конференции ?Студент и научно?технический про?
гресс? ?г? ?овосибирск? ?????? на конкурсе работ молодых ученых ??и?
С? Р?? ?в ????? ????? ???? гг??? на ??? ?еждународной конференции
?Современные проблемы механики сплошной среды? ?гг? Ростов?на??ону?
?зов? ?????? на ?? ?олодежной международной научной школе?конференции
памяти академика ???? ?аврентьева ?Теория и численные методы реше?
ния обратных и некорректных задач? ?г? ?овосибирск? ?????? на ?серос?
сийской молодежной научной конференции ?Современные проблемы мате?
матики и механики? ?г? Томск? ?????? на ????? ?????r ????????????r????
????????? Pr?????s ?? ????????s? ?г? Санкт?Петербург? ?????? на ?? ?се?
российской конференции молодых ученых ?Проблемы механики? теория?
эксперимент и новые технологии? ?г? ?овосибирск? ??????
Публикации? ?сновные результаты диссертации опубликованы в ра?
ботах ??? ? ????? ?з них ? работы ? в журналах из списка изданий? рекомен?
дованных ????
Структура и объем диссертации? ?иссертация состоит из введе?
ния? трех глав? разбитых на параграфы? и списка цитируемой литературы?
?бъем работы ??? страниц? включая ?? рисунков? Список цитируемой ли?
тературы содержит ??? наименований?
?раткое содержание диссертации
обоснована актуальность и история исследуемых задач?
излагаются основные результаты диссертации и применяемые методы ис?
следования?
? первой главе рассматривается задача об одностороннем контакте
неоднородной анизотропной упругой пластины с тонким упругим препят?
ствием ?балкой?? Пусть срединная плоскость пластины занимает ограни?
ченную область ? ? R2 с границей ? класса C 1,1 ? а линия ? ? ? соот?
ветствует тонкому препятствию? таким образом? ? ? область возможного
контакта пластины и балки? Функции w(x1 , x2 )? u(x) описывают вертикаль?
ные перемещения точек пластины и тонкого упругого препятствия соответ?
ственно? Пластина является жестко закрепленной на внешней границе об?
ласти ?? а балка ? в концевых точках линии ? ? ?ля описания свойств пла?
стины вводится симметричный? положительно определенный тензор моду?
лей упругости A = {aijkl }? aijkl ? L? (?)? Свойства балки характеризуются
коэффициентом упругости b ? L? (?)? ?а пластину и балку действуют за?
?о введении
?
данные внешние силы ? функции g ? L2 (?)? f ? L2 (?) соответственно?
? пункте ???? представлены три эквивалентные формулировки задачи?
а также с помощью вариационного подхода доказывается существование и
единственность ее решения? ?адача формулируется как поиск минимума
функционала энергии на множестве K = {(w, u) ? H02 (?) Ч H02 (?)| w ? u ?
0 на ?}, обеспечивающем условие непроникания точек пластины и балки?
Таким образом? на множестве возможного контакта? имеющем меньшую
размерность? чем область? в которой ищется решение? ставится условие?
имеющее вид неравенства? ?адача минимизации эквивалентна вариацион?
ному неравенству
aijkl w,kl (wЇ ? w),ij ?
(w, u) ? K,
???
?
?
g(wЇ ? w) +
?
buxx (Ї
u ? u)xx ?
?
f (Ї
u ? u) ? 0 ?(w,
Ї uЇ) ? K,
???
?
?w
где w,i = ?x
? i = 1, 2? (x1 , x2 ) ? ?? ux = du
dx ? x = x1 ?
i
? этом пункте предполагаем? что ? ? ? = ?? ?з вариационного неравен?
ства с использованием обобщенной формулы ?рина получены все необхо?
димые краевые условия для дифференциальной постановки задачи? ?айти
функции w? u? определенные в ? и ? соответственно? такие? что?
???m = g в ? \ ?Ї ,
???
m + A??w = 0 в ?,
???
w = wn = 0 на ?,
???
w ? u ? 0, [w] = [w? ] = 0, [m? ] = 0 на ?,
???
[t? (m)] ? 0, [t? (m)](w ? u) = 0 на ?,
???
[t? (m)] = ?(buxx )xx + f на ?,
???
u = ux = 0 на ??.
???
?десь n и ? ? нормали к ? и ? соответственно? {mij } ? тензор моментов?
t ? перерезывающая ?поперечная? сила? при этом
n
m? = ?mij ?j ?i , t? (m) = ?mij,k sk sj ?i ? mij,j ?i , s = (s1 , s2 ) = (??2 , ?1 ).
?w
+
?
±
?роме того? wn = ?w
?n , w? = ?? ? [w] = w ?w ? а значения w соответствуют
значениям w на ? ± ?
Утверждается? что имеет место следующий результат?
?
Пусть возможно продолжение ? до замкнутой кривой ? клас?
са C ? Решение вариационного неравенства ???? ??? удовлетворяет си?
стеме ???????? ?ладкое решение краевой задачи ??????? является реше?
нием вариационного неравенства ???? ????
Теорема ?
1,1
?собое внимание в первом пункте уделяется точной интерпретации кра?
евых условий? Последнее из условий ??? выполнено в смысле H ?1/2 (?)?
первое из условий ??? выполнено в смысле [t? (m)], ? 3/2,? ? 0 для всех
? ? H02 (?) и ? ? 0 на ? ? ?десь скобки , 3/2,? обозначают двойственность
между пространствами H 3/2 (?) и H ?3/2 (?)? где H ?3/2 (?) ? пространство?
сопряженное к H 3/2 (?)? ? указанных формулах ? является произвольной
замкнутой кривой класса C 1,1 с заданными свойствами? содержащей ? ? ?т?
метим? что набор краевых условий представляет собой совокупность ра?
венств и неравенств?
? пункте ???? рассматривается выход области возможного контакта ?
на границу области? отвечающей срединной плоскости пластины? обозна?
чаемой в этом пункте как ?1 ? ?анная особенность не влияет на результаты?
касающиеся существования и единственности решения? ?днако продолже?
ние ? до гладкой кривой ?? лежащей в ?1 ? невозможно? поэтому не удается
применить обобщенную формулу ?рина? Предполагая достаточную глад?
кость решения? выписать дифференциальную постановку можно? однако
точную интерпретацию краевым условиям в этом случае дать не полу?
чается? ?ля преодоления этой трудности используется метод фиктивных
областей? ? рассмотрение вводится фиктивная область ?2 и задача ста?
вится уже в расширенной области ?? объединяющей ?1 и ?2 ? при этом в
? возможно продолжение ? до замкнутой кривой? ? расширенной области
строится семейство вспомогательных задач с параметром?
a?ijkl (x) = aijkl /?,
a?ijkl (x) = aijkl ,
x ? ?2 , 0 < ? < ?0 ;
x ? ?1 .
?сновным результатом пункта является теорема о сходимости решения
этих задач к решению исходной при стремлении параметра к нулю? При
этом для краевых условий в каждой из задач с параметром может быть
дана точная формулировка?
? пункте ???? с помощью вариационного подхода исследуется неогра?
ниченное возрастание параметра жесткости балки b в одной из ее частей?
?водится семейство задач с параметром? характеризующим рост парамет?
?
ра жесткости балки?
b? (x) = b,
b? (x) = ??1 b,
x ? ?1 ;
x ? ?2 , ? > 0,
и рассматривается предельный переход? соответствующий переходу балки
от упругого состояния к жесткому на ?2 ? Предельная задача описывает
контакт пластины с балкой? часть которой является абсолютно жесткой?
w ? u|?1 ? 0, w|?2 ? 0, w ? H02 (?), u ? H02 (?1 ),
aijkl w,kl (wЇ ? w),ij ?
?
g(wЇ ? w) +
?
f (Ї
u ? u) ? 0, ????
buxx (Ї
u ? u)xx ?
?1
????
?1
выполняющееся для всех пробных функций (w,
Ї uЇ) таких? что
(wЇ ? uЇ)|?1 ? 0, w|
Ї ?2 ? 0, wЇ ? H02 (?), uЇ ? H02 (?1 ).
????
предполагаем? что пластина содержит жесткое включе?
ние ? подобласть ?1 ? ? с границей ? класса C 1,1 ? ? ? ? = ?? При этом
Ї соответствует упругой подобласти пластины? Пусть ? состоит
?2 = ?\?
1
из ? и ? \ ? ? причем на части ? границы между жестким включением и
упругой пластиной осуществляется возможный контакт между пластиной
и балкой?
Перемещения точек жесткого включения ?1 принадлежат пространству
аффинных непрерывных функций
? пункте ????
L(?1 ) = {l | l(x) = a0 +a1 x1 +a2 x2 , ai = const, i = 0, 1, 2; x = (x1 , x2 ) ? ?1 }.
?пределим функционал энергии на H02 (?) Ч H02 (?)?
?(w, u) =
1
2
aijkl w,kl w,ij ?
?
gw +
?
1
2
bu2xx ?
?
f u.
?
?аметим? что внешняя сила g приложена ко всем точкам пластины? и к
упругой? и к жесткой подобластям? несмотря на то? что в жесткой подобла?
сти уравнение равновесия не выполняется? ?опустимыми перемещениями
будут являться элементы множества? задающего перемещение точек ?1 и
условие непроникания пластины и балки?
K?1 = {(w, u) ? H02 (?) Ч H02 (?)| w ? u ? 0 на ?; w|?1 ? L(?1 )}.
Решение задачи минимизации функционала ?(w, u) на множестве K?1 су?
ществует? ?ействительно? исходное пространство функций H02 (?) Ч H02 (?)
?
рефлексивно? функционал ?(w, u) является слабо полунепрерывным снизу
и коэрцитивным? множество K?1 слабо замкнуто? Таким образом? решение
задачи минимизации существует по обобщенной теореме ?ейерштрасса?
?апишем задачу в виде вариационного неравенства? эквивалентного за?
даче минимизации?
(w, u) ? K?1 ,
aijkl w,kl (wЇ ? w),ij ?
????
?2
g(wЇ ? w) +
?
?
?
f (Ї
u ? u) ? 0 ?(w,
Ї uЇ) ? K?1 . ????
buxx (Ї
u ? u)xx ?
?
?етрудно показать? что решение вариационной задачи ????? ???? единствен?
но? ?з вариационного неравенства получена дифференциальная постанов?
ка задачи? ?айти функции w? u? определенные в ?? ? соответственно? такие?
что?
???m = g в ?2 ,
????
t? (m)l ?
?
m + A??w = 0 в ?2 ,
????
w = wn = 0 на ?,
????
w ? u ? 0, [w] = [w? ] = 0 на ?,
????
u = ux = 0 на ??,
????
w|?1 = l0 , где l0 ? L(?1 ),
????
(buxx )xx ? f ? 0 на ?,
????
((buxx )xx ? f )(w ? u) = 0 на ?,
????
m? l? ?
?
((buxx )xx ? f )l = 0 ?l ? L(?1 ).
gl +
?1
????
?
?тметим? что уравнение равновесия и состояния пластины ????? ???? вы?
полняются в области упругости пластины? Условие равновесия жесткой
подобласти ?1 описывается интегральным соотношением ????? имеющим
место для всех функций из пространства? задающего структуру жестких
перемещений? Справедлива следующая теорема?
?сли решение вариационного неравенства ????? ???? доста?
точно гладкое? то оно удовлетворяет системе ?????????? ?ладкое реше?
ние краевой задачи ????????? является решением вариационного неравен?
ства ????? ?????
Теорема ?
??
Таким образом? существует единственное решение краевой задачи ?????
?????
?о второй и третьей главах рассматривается задача об односторон?
нем контакте двух упругих пластин? расположенных под заданным углом
? друг к другу и в естественном состоянии контактирующих по линии ? ?
?ижнюю пластину можно интерпретировать как тонкое упругое препят?
ствие для верхней пластины? Центральной особенностью задачи является
наличие одного или двух жестких включений в пластинах?
? пункте ???? описана геометрия данной задачи? Пусть ограниченные
области ?, G ? R2 отвечают срединным плоскостям верхней и нижней пла?
стин соответственно? при этом ? ? граница области ?? кривая класса C 1,1 ?
а ?G ? граница области G? кривая класса C 0,1 ? Пусть ? ? ?G? ? ? ? = ?? и
?G = ? ? ?Ї0 ? ?ижняя пластина перемещается в своей плоскости? а верхняя
подвержена изгибу? функции w(y) и u(x) = (u1 (x), u2 (x))? y = (y1 , y2 ) ? ??
x = (x1 , x2 ) ? G описывают перемещения точек верхней и нижней пластин
соответственно? ?бозначим q = (q1 , q2 ) ? вектор внешней нормали к гра?
нице ?? ? = (?1 , ?2 ) ? вектор нормали к ? ? расположенный в плоскости ??
n = (n1 , n2 ) ? вектор нормали к ? ? расположенный в плоскости G? ?удем
рассматривать пространство функций H?10 (G) Ч H02 (?)? где
H?10 (G) = {u ? [H 1 (G)]2 | u = 0 на ?0 }.
?роме того? на нижнюю и верхнюю пластины действуют внешние силы
g = (g1 , g2 )? gi ? L2 (G)? i = 1, 2? f ? L2 (?) соответственно?
?ля описания верхней пластины вводится билинейная форма
(w,11 v,11 + w,22 v,22 + ж(w,11 v,22 + w,22 v,11 ) + 2(1 ? ж)w,12 v,12 ),
a? (w, v) =
?
где ж ? коэффициент Пуассона? изгибающий момент m(w) = ж w + (1 ?
2
ж) ???w2 и перерезывающая сила
t? (w) =
? 2w
?
( w + (1 ? ж) 2 ), s = (s1 , s2 ) = (??2 , ?1 ).
??
?s
?ижняя пластина характеризуется симметричным? положительно опреде?
ленным тензором модулей упругости B = {bijkl }? bijkl ? L? (G)? тензорами
деформаций ?(u) = {?ij (u)} и напряжений ? = {?ij }?
1
?n = (?1j nj , ?2j nj ), ?ij (u) = (ui,j + uj,i ), i, j = 1, 2.
2
??
Функционал энергии на H?10 (G) Ч H02 (?) имеет следующий вид?
E(u, w) =
1
2
1
gu + a? (w, w) ?
2
?(u)?(u) ?
G
G
f w.
?
?алее во второй главе рассматривается одно жесткое включение в ниж?
ней или верхней пластинах? выходящее на область возможного контакта
пластин ? ?
? пункте ???? предполагаем? что нижняя пластина G содержит жесткое
включение ? подобласть ? ? G? При этом G \ ?
Ї соответствует упругой
части пластины? в которой выполняется закон ?ука ? = B?(u)? Разобьем
линию возможного контакта на три части? ? = ?1 ? ?2 ? ?3 ? тогда границу
подобласти ? обозначим ?? = ?2 ? ?0 ? где ?0 является кривой класса C 0,1 ?
Перемещения точек жесткого включения ? принадлежат пространству
инфинитезимальных жестких перемещений
R(?) = {? = (?1 , ?2 )|?(x) = Cx + D, x ? ?},
где
C=
0 c
?c 0
, D = (d1 , d2 ),
где c, d1 , d2 = const.
?опустимыми перемещениями будут являться элементы следующего мно?
жества? задающего условие взаимного непроникания пластин и структуру
перемещений точек ? ?
K? = {(u, w) ? H?10 (G) Ч H02 (?)| un sin ? + w ? 0 на ?; u|? ? R(?)}.
Решение задачи минимизации функционала E(u, w) на множестве K? су?
ществует по обобщенной теореме ?ейерштрасса? ?адача может быть запи?
сана в эквивалентном виде?
????
(u, w) ? K? ,
?(u)?(Ї
u ? u)?
G\Ї
?
g(Ї
u ? u)+a? (w, w?w)?
Ї
G
f (w?w)
Ї
? 0 ?(Ї
u, w)
Ї ? K? .
?
????
Решение данной вариационной задачи единственно? ?з вариационного нера?
венства получена дифференциальная постановка задачи? ?айти функции
u? w? определенные в G и ? соответственно? такие? что?
?div(B?(u)) = g в G \ ?
Ї,
??
????
2
w = f в ?? ,
????
u = 0 на ?0 ,
????
w = wq = 0 на ?,
????
u|? = ?0 , где ?0 ? R(?),
????
un sin ? + w ? 0 на ?,
????
[w] = [w? ] = 0, [m(w)] = 0, [t? (w)] ? 0, [t? (w)](un sin ? + w) = 0 на ?,
????
?
[t (w)]n sin ? = ??n на ?1 ? ?3 ,
????
[t? (w)]?n sin ? +
?n · ? +
?0
?2
g? = 0 ?? ? R(?).
????
?
?тметим? что уравнение равновесия нижней пластины ???? выполнено в
подобласти упругости? уравнение верхней пластины ???? ? в области с
разрезом? Условия ????? ???? обеспечивают жесткое защемление пластин
на внешних границах? Условие равновесия жесткой подобласти ? описыва?
ется интегральным соотношением ????? имеющим место для всех функций
из пространства? задающего структуру жестких перемещений? ?меет место
следующая теорема?
Пусть возможно продолжение ? до замкнутой кривой класса
C ? ?сли решение вариационного неравенства ????? ???? является доста?
точно гладким? то оно удовлетворяет системе ?????????? ?ладкое реше?
ние краевой задачи ????????? является решением вариационного неравен?
ства ????? ?????
Теорема ?
1,1
Таким образом? существует единственное решение краевой задачи ?????
?????
Пункт ???? посвящен анализу других возможных расположений жест?
кого включения в нижней пластине? ?сли ? полностью выходит на ? или
кроме области возможного контакта пластин дополнительно выходит на
часть границы нижней пластины? не контактирующую с верхней? то пере?
мещения точек ? нулевые? ?меем задачу о контакте верхней пластины с
абсолютно жестким препятствием и задачу о равновесии нижней пластины
с абсолютно жестким включением? функции w и u находятся независимо?
?сли же происходит односторонний выход жесткого включения на границу
области возможного контакта пластин в точке x0 ? то мы получаем условие
??
на жестком включении? выполненное для особого класса функций? ? имен?
но? условие на жестком включении выполнено не для всех ? ? R(?)? а для
таких? которые принимают нулевое значение в точке x0 ?
? пункте ???? показано? что исследуемая задача с жестким включе?
нием в нижней пластине может быть получена как предельная для семей?
ства задач с параметром ? > 0? описывающих односторонний контакт двух
упругих пластин? расположенных под углом ? друг к другу?
b?ijkl (x) =
??1 bijkl ,
bijkl ,
x ? ?, 0 < ? < ?0 ;
x ? G \ ?.
? задачах из указанного семейства при каждом ? > 0 подобласть ? соот?
ветствует упругому включению в пластине? а при ? = 0 точка x ? ? будет
иметь перемещение ?0 (x) ? R(?)?
? пункте ???? рассматривается выход ? на границу верхней пластины
?? ?бласть возможного контакта пластин разбивается на четыре части? при
этом ?1 ? ?2 является частью границы ?? а ?3 ? ?4 лежит внутри области
?? Предполагаем? что жесткое включение в нижней пластине выходит на
?2 ? ?3 ? Таким образом? на каждом из четырех участков ? выполняются
различные краевые условия? ?раевые условия выписаны в предположении?
что формула ?рина может быть применена к областям с кусочно?гладкими
границами? а также в предположении достаточной гладкости решения? При
этом с помощью метода фиктивных областей построено семейство задач
в расширенной области и показано? что решения этих задач сходятся к
решению исходной?
? пункте ???? предполагаем? что нижняя пластина не содержит жест?
ких включений? а подобласть ?1 ? ? с границей ?2 ? ?1 ?где ?1 кри?
вая класса C 1,1 ? ? жесткое включение в верхней пластине? ?бозначим
µ = (µ1 , µ2 ) ? внутренняя нормаль к ?1 ? Перемещения точек жестко?
го включения ?1 представляют собой элементы пространства аффинных
непрерывных функций L(?1 )? ?ножество допустимых перемещений зада?
ет условие непроникания и структуру перемещений точек ?1 ?
K?1 = {(u, w) ? H?10 (G) Ч H02 (?)| un sin ? + w ? 0 на ?; w|?1 ? L(?1 )}.
?адача минимизации функционала E(u, w) на множестве K?1 эквивалент?
на следующему вариационному неравенству?
(u, w) ? K?1 ,
?(u)?(Ї
u ? u)?
G
??
????
?
f (wЇ ? w) ? 0 ?(Ї
u, w)
Ї ? K?1 . ????
g(Ї
u ? u) + a?\Ї?1 (w, wЇ ? w) ?
G
?
?тметим? что выполнены все условия обобщенной теоремы ?ейерштрасса?
и вариационная задача имеет единственное решение?
?з вариационного неравенства ????? ???? получена дифференциальная
постановка задачи? ?айти функции u? w? определенные в G и ? соответ?
ственно? такие? что?
?div(B?(u)) = g в G,
????
2
1
sin ?
????
u = 0 на ?0 , w = wq = 0 на ?,
????
w|?1 = l0 , где l0 ? L(?1 ),
????
un sin ? + w ? 0, [w] = [w? ] = 0 на ?,
????
?n ? 0, ?? = 0, ?n (un sin ? + w) = 0 на ?,
????
[m(w)] = 0, [t? (w)]n sin ? = ??n на ?1 ? ?3 ,
????
t? (w)+ l ?
?n l +
?2
w = f в ? \ (Ї
?1 ? ?Ї ),
?2
tµ (w)? l +
m(w)+ l? ?
?2
?1
m(w)? lµ ?
?1
?l ? L(?1 ).
fl = 0
?1
????
?десь ?n = ?ij nj ni , ?? = ?n ? ?n n, ?? = (??1 , ??2 )? Уравнение равнове?
сия верхней пластины ???? выполнено в подобласти упругости с разрезом?
Условие равновесия жесткой подобласти ?1 описывается интегральным со?
отношением ????? верным для всех функций из пространства? задающего
структуру жестких перемещений? ? работе доказано следующее утвержде?
ние?
Пусть возможно продолжение ? до замкнутой кривой класса
C ? ?сли решение вариационного неравенства ????? ???? является доста?
точно гладким? то оно удовлетворяет системе ?????????? ?ладкое реше?
ние краевой задачи ????????? является решением вариационного неравен?
ства ????? ?????
Теорема ?
1,1
?тсюда заключаем? что решение краевой задачи ????????? существует и
единственно?
? третьей главе предполагаем? что и верхняя? и нижняя пластины со?
держат жесткие включения? ?лияние внешних сил на жесткие части пла?
стин описывается с помощью уравнения и неравенства в соответствии с
??
принципом виртуальных перемещений? смысл которого состоит в следую?
щем? работа внутренних сил на допустимых перемещениях точек тела не
меньше? чем работа внешних сил? а на истинных перемещениях работа об?
ращается в нуль? ?казывается? что принцип виртуальных перемещений в
точности эквивалентен вариационному принципу?
? пункте ???? жесткие включения в верхней и нижней пластинах ?
подобласть ?1 с границей ??1 = ?2 ? ?1 ?где ?1 кривая класса C 1,1 ? и под?
область ?2 ? G с границей ??2 = ?2 ? ?0 ?где ?0 кривая класса C 0,1 ? ?
контактируют по участку ?2 ? при этом линия возможного контакта пла?
стин разбивается на три части? ? = ?1 ? ?2 ? ?3 ? Предполагаем в этом
пункте? что ??1 ? ? = ?? Перемещения точек ?1 обладают структурой аф?
финных непрерывных функций L(?1 )? перемещения точек ?2 принадлежат
пространству инфинитезимальных жестких перемещений R(?2 )? Рассмат?
ривается множество допустимых перемещений
K?1 ,?2 = {(u, w) ? H?10 (G) Ч H02 (?)| un sin ? + w ? 0 на ?;
w|?1 ? L(?1 ), u|?2 ? R(?2 )}.
?адача ставится следующим образом? Требуется найти функции u? w?
определенные в G и ? соответственно? такие? что?
?div(B?(u)) = g в G \ ?
Ї2,
2
????
w = f в ? \ (Ї
?1 ? ?Ї ),
????
u = 0 на ?0 , w = wq = 0 на ?,
????
u|?2 = ?0 , где ?0 ? R(?2 ),
????
w|?1 = l0 , где l0 ? L(?1 ),
????
un sin ? + w ? 0, [w] = [w? ] = 0 на ?,
????
[m(w)] = 0, [t? (w)] ? 0,
[t? (w)]n sin ? = ??n, [t? (w)](un sin ? + w) = 0 на ?1 ? ?3 , ????
?
t? (w)+ ? ?
?n · ? +
?2
?0
?
g? ?
?2
?2
f? ? ?
?1
tµ (w)? ? +
m(w)+ ?? ?
?1
m(w)? ?µ ?
?1
[t? (w)](?n sin ? + ?) ?(?, ?) ? K?1 ,?2 ,
?1 ??3
??
????
?
t? (w)+ l0 ?
?n · ?0 +
?2
?0
tµ (w)? l0 +
m(w)+ (l0 )? ?
?2
?
?1
g?0 ?
?2
m(w)? (l0 )µ ?
?1
f l0 = 0.
????
?1
Уравнение равновесия нижней пластины ???? справедливо в подобласти
упругости? уравнение равновесия верхней пластины ???? выполнено в под?
области упругости с разрезом? ? области G \ ?
Ї 2 выполняется закон ?ука
? = B?(u)? Условия ???? обеспечивают жесткое защемление пластин? Усло?
вия ???? и ???? представляют собой реализацию принципа виртуальных
перемещений? ?десь w|?1 = l0 и u|?2 = ?0 ? где l0 ? L(?1 )? ?0 ? R(?2 )?
?ариационная постановка задачи имеет следующий вид?
(u, w) ? K?1 ,?2 ,
?(u)?(Ї
u ? u)?
????
G\Ї
?2
?
f (wЇ ? w) ? 0 ?(Ї
u, w)
Ї ? K?1 ,?2 . ????
g(Ї
u ? u) + a?\Ї?1 (w, wЇ ? w) ?
G
?
?тметим? что решение задачи ????? ???? существует ?по обобщенной теореме
?ейерштрасса? и единственно?
?меет место следующий результат?
Пусть возможно продолжение ? до замкнутой кривой класса
C 1,1 ? ?сли решение вариационного неравенства ????? ???? является доста?
точно гладким? то оно удовлетворяет системе ?????????? ?ладкое реше?
ние краевой задачи ????????? является также решением вариационного
неравенства ????? ?????
Теорема ?
Таким образом? решение краевой задачи ????????? существует и единствен?
но?
? пункте ???? рассматривается случай? в котором жесткое включение
в верхней пластине выходит на всю линию контакта? ? предположении
гладкости решения получена дифференциальная постановка задачи? экви?
валентная вариационной?
Пункт ???? посвящен выходу на линию контакта жесткого включения
нижней пластины? Эту задачу можно сформулировать в виде вариацион?
ного неравенства?
w ? K?1 = {w ? H02 (?)| w ? 0 на ?; w|?1 ? L(?1 )},
??
????
a?\Ї?1 (w, wЇ ? w) ?
f (wЇ ? w) ? 0 ?wЇ ? K?1 ,
????
?
описывающего контакт упругой пластины? содержащей жесткое включе?
ние? с абсолютно жестким препятствием? и уравнения Эйлера для задачи
о равновесии тела с абсолютно жестким включением?
u ? K?2 = {u ? H?10 (G)| u|?2 = 0},
?(u)?(Ї
u) ?
G\Ї
?2
gЇ
u = 0 ?Ї
u ? K?2 .
G\Ї
?2
?адача распадается на две подзадачи? для каждой из которых решение
единственно и находится независимо от решения другой? ?ля каждой из
подзадач в предположении гладкости решения найдена дифференциальная
постановка? эквивалентная вариационной?
? этом же пункте анализируется предельный случай? соответствующий
возрастанию параметра жесткости нижней пластины до бесконечности?
?ля этого вместо закона ?ука ? = B?(u) в ???? рассматривается семей?
ство законов? характеризующихся параметром ? ?
?? =
B
?(u? ), ? > 0.
?
Предельная задача описывается в точности вариационным неравенством
??????????
? пункте ???? предполагаем? что жесткое включение в верхней пла?
стине выходит на границу ? области ?? где пластина является жестко за?
щемленной? Таким образом? мы получаем задачу о контакте двух пластин?
верхняя из которых содержит абсолютно жесткое включение? а нижняя ?
жесткое включение? перемещения точек которого принадлежат простран?
ству инфинитезимальных жестких перемещений? Решение данной задачи
существует и единственно? ? предположении достаточной гладкости реше?
ния выписана дифференциальная постановка задачи?эквивалентная вари?
ационной?
Также в этом пункте анализируется предельная задача? возникающая
при неограниченном возрастании параметра жесткости верхней пластины?
?втор выражает глубокую признательность научному руководителю про?
фессору ???? Хлудневу за постоянное внимание к работе и всестороннюю
поддержку?
??
Работы автора по теме диссертации
?? Стекина Т??? ?ариационная задача об одностороннем кон?
такте упругой пластины с балкой?? ?естн? ??У? Серия? ?атема?
тика? механика? информатика? ????? Т??? ??? С? ??????
?? Ротанова Т??? ?адача об одностороннем контакте двух пла?
стин? одна из которых содержит жесткое включение ?? ?естн?
??У? Серия? ?атематика? механика? информатика? ????? Т????
??? С? ??????
?? Ротанова Т??? ?онтакт пластин? жесткие включения в ко?
торых выходят на границу ?? ?естн? Томск? гос? ун?та? Серия?
?атематика и механика? ????? Т???? ??? С? ???????
?? Ротанова Т??? ? постановках и разрешимости задач о кон?
такте двух пластин? содержащих жесткие включения ?? Сиб?
журнал индустриальной математики? ????? Т???? ??? С? ????????
Стекина Т???
??
?ариационная задача об одностороннем контакте упру?
гой пластины с балкой ?? ?атериалы ???? ??С?? ?овосибирск? ?овосиб?
гос? ун?т? ?????
??
?адача об одностороннем контакте двух пластин? од?
на из которых содержит жесткое включение ?? ??? ?еждународная кон?
ференция ?Современные проблемы механики сплошной среды?? Тез?докл?
Ростов н??? ?зд?во ЮФУ? ????? С? ???
??
?адача о контакте двух пластин? каждая из кото?
рых содержит жесткое включение ?? ?атериалы ?сероссийской молодеж?
ной научной конференции Томского государственного университета? Томск?
?зд?во Том? ун?та? ????? С? ????????
??
?адачи о контакте упругих пластин с жесткими вклю?
чениями ?? ?? ?еждународная конференция по математическому моде?
лированию? Тез? докл? ? Под редакцией ???? ?горова? ???? ?асильева?
Якутск? ???? ?едиа?холдинг Якутия? ????? С? ????????
??
?дносторонний контакт упругих пластин с жесткими
включениями ?? ??атематическое моделирование и краевые задачи?? Тру?
ды восьмой ?сероссийской научной конференции с международным уча?
стием? Самара? Сам?ТУ? ????? С? ????????
???
???t??t Pr????? ??r t?? P??t?s ???t?????? ????? ?????s???s
?? ???? ?? ??str??ts ?? ????? ??t?r??t????? ?????r ????????????r????
????????? Pr?????s ?? ????????s?? ?t??P?t?rs??r?? ??st?t?t? ??r Pr?????s ??
?????????? ???????r???? ????? P? ???
Ротанова Т???
Ротанова Т???
Ротанова Т???
Ротанова Т???
??t????? ??
??
??Р??Ц????Ы? ????Ч? ? ???Т??Т?
УПРУ??Х Т??? С???Р??Щ?Х ??СТ??? ???ЮЧ???Я
автореферат
Р?Т????? Татьяна ?лександровна
Подписано в печать ?тпечатано
Документ
Категория
Физико-математические науки
Просмотров
47
Размер файла
303 Кб
Теги
кандидатская
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа