close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Спектральный анализ дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами, порожденных линейными отношениями

код для вставкиСкачать
ФИО соискателя: Диденко Владимир Борисович Шифр научной специальности: 01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ Шифр диссертационного совета: Д 212.038.22 Название организации: Воронежский государственный университет Адрес органи
На правах рукописи
Диденко Владимир Борисович
Спектральный анализ дифференциальных операторов
с неограниченными операторными коэффициентами,
порожденных линейными отношениями
01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный
анализ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Воронеж – 2012
Работа выполнена в Воронежском государственном университете
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор Баскаков Анатолий Григорьевич,
Воронежский государственный университет
зав. кафедрой математических методов
исследования операций
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
доцент Бичегкуев Маирбек Сулейманович,
Северо-Осетинский государственный
университет
зав. кафедрой функционального анализа
и дифференциальных уравнений.
доктор физико-математических наук,
профессор Перов Анатолий Иванович,
Воронежский государственный университет
профессор кафедры нелинейных колебаний
Ведущая организация: институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН
Защита состоится 16 октября 2012 года в 15 часов 10 минут на заседании
диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном
университете по адресу: 394006, Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 335.
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского
государственного университета.
Автореферат разослан ”
” сентября 2012 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета Д 212.038.22
д.ф.-м.н., профессор
Ю.Е. Гликлих
Общая характеристика работы
Актуальность работы. Диссертация посвящена исследованию вопросов существования и качественных свойств решений дифференциальных
уравнений с неограниченными операторными коэффициентами и граничными условиями, заданными при помощи линейных отношений, исследованию дифференциальных уравнений с многозначными импульсными воздействиями и дифференциальных уравнений (операторов) с периодическими коэффициентами.
Состояние качественной теории дифференциальных уравнений в банаховых пространствах долгое время отражали известные монографии Ю.Л.
Далецкого, М.Г. Крейна “Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве”, Х.Массера, Х. Шеффера “Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства”, авторы которых отмечали крайнюю важность развития соответствующей теории дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в связи с приложениями к дифференциальным уравнениям с частными производными.
В последние семнадцать лет была установлена глубокая связь между
теорией дифференциальных уравнений с неограниченными операторными
коэффициентами, теорией полугрупп операторов, теорией разностных операторов (как непрерывного аргумента, так и дискретного), спектральной
теорией линейных отношений. Новые подходы развивались в работах А.Г.
Баскакова, Ю.Д. Латушкина, Ф. Ребигера, Р. Шнаубельта, А. Фавини, А.
Яги, Д. Хенри, М.С. Бичегкуева, В.М. Брука, Г.В. Демиденко.
Необходимость в использовании спектральной теории линейных отношений возникает также при изучении дифференциальных уравнений с необратимым оператором при производной. Изучению таких дифференциаль3
ных уравнений посвящено большое число работ, в частности, монографии
А. Фавини, А. Яги “Degenerate evolution equations in Banach spaces”, Г.В.
Демиденко, С.В. Успенского “Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной”.
Дифференциальные уравнения на конечном промежутке с граничными
условиями, заданными парой линейных операторов на конечномерном фазовом пространстве изучались в монографии Ф. Аткинсона “Дискретные
и непрерывные граничные задачи”. В ней отмечалось (стр. 9): “В высшей
степени желательно было бы развить соответствующую теорию для уравнений в частных производных и их аналогов; однако дискретная теория,
и, тем более, синтез двух теорий, представляются здесь очень слабо развитыми”.
Таким образом, развиваемая в диссертации теория краевых задач для
абстрактных параболических уравнений является актуальной.
Цель диссертационной работы состоит в исследовании вопросов существования и свойств решений дифференциальных уравнений с абстрактными граничными условиями, заданными при помощи линейных отношений, в исследовании дифференциальных уравнений с многозначными импульсными воздействиями, а также в исследовании дифференциальных
уравнений на всей оси с неограниченными периодическими коэффициентами.
Методика исследования. В работе используется спектральная теория
линейных операторов и линейных отношений, методы дифференциальных
уравнений в банаховом пространстве, методы функционального анализа.
Научная новизна. Все результаты, включенные в диссертацию являются новыми. Наиболее значимые из них перечислены в следующем списке:
1. Найдены необходимые и достаточные условия нахождения в опреде4
ленном состоянии обратимости дифференциального оператора с граничными условиями, заданными при помощи линейного отношения.
Полученные результаты применяются к случаю, когда граничные условия задаются при помощи упорядоченной пары линейных операторов.
2. Описан спектр дифференциального оператора с граничными условиями, заданными при помощи линейного отношения.
3. Найдены необходимые и достаточные условия непрерывной обратимости и фредгольмовости дифференциального оператора с многозначным импульсным воздействием в фиксированный момент времени.
4. Найдены необходимые и достаточные условия нахождения в определенном состоянии обратимости дифференциального оператора с неограниченными периодическими коэффициентами как в пространстве периодических, так и непериодических функций.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты, изложенные
в диссертации, имеют в основном теоретическую ценность. Они могут быть
использованы для исследования дифференциальных уравнений с краевыми условиями, задаваемыми упорядоченной парой линейных операторов,
исследования дифференциальных уравнений с многозначными импульсными воздействиями, а также для исследования дифференциальных уравнений на всей числовой оси с неограниченными периодическими коэффициентами.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Воронежских зимних математических школах С.Г. Крейна 2008,
2010, 2012, на Крымских осенних математических школах 2008, 2009, 2010,
2011, на конференции DFDE 2011 (Москва), на семинарах А.Г. Баскакова,
а также на научных сессиях ВГУ.
5
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в [1 –
11]. Работы [7, 8] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых
научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,
4 глав и библиографии, включающей 71 наименование. Общий объем диссертации 105 страниц.
Содержание работы
Во введении описывается постановка задачи, дается краткий обзор
литературы и полученных результатов.
В диссертации определение и исследование дифференциальных операторов осуществляется с использованием семейства эволюционных операторов.
Пусть J — это или некоторый отрезок числовой прямой [a, b], или вся
числовая прямая R. Символом ∆ обозначим множество J×J. Отображение
U : ∆ → EndX, где EndX — банахова алгебра линейных ограниченных
операторов на банаховом пространстве X, называется (сильно непрерывным) семейством эволюционных операторов на J, если выполнены следующие условия:
1) U(t, t) = I — тождественный оператор для любого t ∈ J;
2) U(t, s)U(s, τ ) = U(t, τ ) для всех t, s, τ из J;
3) отображение (t, s) −→ U (t, s)x : ∆ → X непрерывно для любого x ∈
X;
4)
sup ||U(t, s)|| = M < ∞.
0≤t−s≤1
Отметим, что в случае, когда J является отрезком, условие (4) можно
убрать, в силу принципа равномерной ограниченности.
6
Если семейство U определено лишь на множестве ∆+ = {(t, s) ∈ ∆, t ≥
s}, то тогда оно называется семейством эволюционных операторов «вперед».
Oсобо отметим, что рассмотренные в диссертации линейные операторы
строятся по произвольному эволюционному семейству операторов и для
них тем не менее применяется термин «дифференциальный оператор».
Каждому семейству эволюционных операторов U : ∆ → EndX можно
сопоставить линейный оператор Lmax : D(Lmax ) ⊂ L1 (J, X) → L1 (J, X),
который определяется следующим образом. Непрерывная функция x : J →
X включается в D(Lmax ), если существует функция f ∈ L1 (J, X) такая, что
для пары функций (x, f ) выполняются равенства
t
x(t) = U(t, s)x(s) +
U(t, τ )f (τ ) dτ,
(t, s) ∈ ∆.
(1)
s
При этом полагается Lmax x = f .
В главе 1 приведена сводка широко используемых в диссертации понятий и результатов из теории линейных отношений и теории упорядоченных
пар линейных операторов.
В диссертации рассматриваются следующие функциональные пространства. В диссертации рассматриваются следующие функциональные пространства. Символом Cb = Cb (J, X) будем обозначать банахово пространство непрерывных и ограниченных на J функций, принимающих свои значения в банаховом пространстве X, с нормой, определяемой равенством
||x|| = sup ||x(t)||.
t∈J
Символом C1 = C1 (R, X) будем обозначать замкнутое подпространство из
Cb (R, X) периодических периода 1 функций.
Через Lp = Lp (J, X), p ∈ [1, ∞], обозначим банахово пространство измеримых по Бохнеру функций, действующих из J в X, для которых конечна
7
величина (принимаемая за норму в соотвествующем пространстве)
p
||x||p =
||x(τ )|| dτ
1/p
,
p = ∞,
||x||∞ = ess sup ||x(τ )||,
p = ∞.
J
τ ∈J
Через Lp1 = Lp1 (R, X), p ∈ [1, ∞], обозначим банахово пространство измеримых по Бохнеру периодических периода 1 (классов) функций, действующих из R в X, для которых конечна величина (принимаемая за норму в
соотвествующем пространстве)
1
||x(τ )||p dτ
||x||p =
1/p
,
p = ∞,
||x||∞ = ess sup ||x(τ )||,
p = ∞.
0
τ ∈[0,1]
Далее символом F(R, X) обозначается одно из перечисленных выше
пространств функций, определенных на все оси — Lp (R, X), p ∈ [1, ∞],
Cb (R, X), Lp1 (R, X), p ∈ [1, ∞], C1 (R, X). Символом F1 = F1 (R, X) будем обозначать пространства периодических функций Lp1 (R, X), p ∈ [1, ∞],
C1 (R, X). Символом F([a, b], X) будем обозначать пространство функций,
определенных на отрезке [a, b] — Lp ([a, b], X), p ∈ [1, ∞], Cb ([a, b], X).
Однородным пространством двусторонних последовательностей Fd =
F(Z, X), ассоциированным с пространством F(R, X), будем называть банахово пространство последовательностей lp (Z, X), суммируемых со степенью 1 ≤ p < ∞, если F совпадает с пространством Lp ; банахово пространство ограниченных последовательностей l∞ (Z, X), если F совпадает с одним из пространств L∞ или Cb ; банахово пространство l(Z, X)
стационарных последовательностей, т.е. таких последовательностей x, что
x(n) = x(k), для всех k, n ∈ Z , если F совпадает с одним из пространств
периодических функций C1 или Lp1 .
8
В главе 2 изучается дифференциальный оператор LΓ : D(LΓ ) ⊂
F([a, b], X) → F ([a, b], X) на отрезке [a, b], который строится по оператору Lmax и граничным условиям, заданным при помощи некоторого линейного отношения Γ. Непрерывная функция x : [a, b] → X, для которой (x(a), x(b)) ∈ Γ, включается в D(LΓ ), если существует функция
f ∈ F([a, b], X) такая, что Lmax x = f .
При этом полагается LΓ x = f . Отметим корректность определения оператора LΓ (т.е. единственность функции f , построенной по x).
Основные результаты первой главы связаны с утверждением о том, что
оператор LΓ обладает такими свойствами как непрерывная обратимость,
инъективность, сюръективность, фредгольмовость и др. (см. следующее
определение) тогда и только тогда, когда этим свойством обладает линейное отношение Γ − U (b, a).
Определение 2.1.2. Пусть A — некоторое линейное отношение из
LR(X ), где X — банахово пространство. Рассмотрим совокупность условий, которые могут быть выполнены для отношения A:
1) A ∈ LRC(X );
2) KerA = {0}, то есть отношение A инъективно;
3) отношение A корректно (равномерно инъективно), т.е. KerA = {0} и
обратное отношение ограниченно;
4) α(A) = dimKerA < ∞;
5) KerA — замкнутое дополняемое подпространство в X ;
6) ImA = ImA;
7) ImA — замкнутое дополняемое в X подпространство;
9
8) ImA — замкнутое подпространство конечной коразмерности β(A) =
codimImA;
9) ImA = X , т. е. A — сюръективное отношение;
10) отношение A непрерывно обратимо.
Теорема 2.2.1. Оператор LΓ непрерывно обратим тогда и только тогда, когда непрерывно обратимо отношение Γ − U (b, a), при этом обратный оператор представим в виде
(L−1
Γ f )(t)
b
=
G(t, s)f (s) ds, t ∈ [a, b],
a
f ∈ F([a, b], X), где
U(t, a)(Γ − U(b, a))−1 U(b, s) + U(t, s), s ≤ t,
G(t, s) =
U(t, a)(Γ − U(b, a))−1 U(b, s),
s > t.
Теорема 2.2.2. Оператор LΓ фредгольмов тогда и только тогда,
когда фредгольмовым является отношение Γ − U(b, a). Если оператор
LΓ фредгольмов, то dimKerLΓ = dimKer(Γ − U (b, a)), codimImLΓ =
codimIm(Γ − U (b, a)), а значит, и их индексы совпадают.
Теорема 2.2.4. Если для оператора LΓ выполнено одно из приведенных
в определении 2.1.2 десяти свойств, то соответствующим свойством
обладает отношение Γ − U (b, a). Любое из десяти свойств определения
2.1.2, выполненное для отношения Γ − U (b, a), исключая, быть может,
первое и пятое свойства, выполнено и для оператора LΓ .
В главе 3 изучается дифференциальный оператор L : D(L) ⊂
C([t0 , t2 ], X) → C([t0 , t2 ], X) на отрезке [t0 , t2 ], который строится при помощи семейства эволюционных операторов U, граничных условий, заданных
при помощи замкнутого линейного отношения Γ и многозначного импульсного воздействия, также определенного при помощи замкнутого линейного
отношения A.
10
Символом C = C([t0 , t2 ], X) обозначается пространство непрерывных
на каждом из промежутков [t0 , t1 ] и (t1 , t2 ] (t1 — некоторая фиксированная
точка из интервала (t0 , t2 )) ограниченных функций x : [t0 , t2 ] → X, имеющих предел справа x+ (t1 ) в точке t1 . Норму в C определим равенством
||x|| = sup ||x(t)||.
t∈[t0 ,t2 ]
Стандартным образом можно показать, что пространство C является
банаховым.
Функция x из C, для которой выполняются условия
(x(t0 ), x(t2 )) ∈ Γ,
(x(t1 ), x+ (t1 )) ∈ A,
включается в область определения D(L) оператора L, если существует такая функция f из C, что для пары функций (x, f ) равенства (1) выполняются для всех (t, s) таких, что t0 ≤ s ≤ t ≤ t1 или t1 < s ≤ t ≤ t2 .
При этом полагается Lx = f . Отметим корректность определения оператора L (т.е. единственность функции f , построенной по x).
Введем в рассмотрение линейное отношение
D = Γ − U(t2 , t1 )AU (t1 , t0 )
и два подпространства из X
X1 = Γ0 ∩ U (t2 , t1 )A0,
X2 = U(t1 , t0 )D(Γ) + D(A).
Теорема 3.2.2. Оператор L непрерывно обратим тогда и только тогда, когда непрерывно обратимым является отношение D и выполняются
равенства
X1 = {0},
11
X2 = X.
Теорема 3.2.3. Оператор L фредгольмов тогда и только тогда, когда
фредгольмовым является отношение D, подпространство X1 является
конечномерным и подпространство X2 имеет конечную коразмерность.
Если оператор L фредгольмов, то его индекс можно вычислить по формуле
indL = dimKerD − codimImD + dimX1 − codimX2 .
В главе 4 изучается дифференциальный оператор L : D(L) ⊂
F(R, X) → F (R, X), построенный по периодическому семейству U : ∆+ →
EndX эволюционных операторов «вперед». Непрерывная функция x из
F(R, X) включается в область определения оператора L, если существует
функция f ∈ F (R, X) такая, что для любых (t, s) ∈ ∆+ верны равенства
(1). При этом полагается Lx = f . Отметим корректность определения оператора L (т.е. единственность функции f , построенной по x).
Изучение оператора L осуществляется при помощи разностного оператора D : Fd (Z, X) → Fd (Z, X), определяемого равенствами
(Dxd )(n) = xd (n) − U (1, 0)xd (n − 1),
xd ∈ Fd , n ∈ Z.
Показано, что за многие свойства оператора L такие как непрерывная
обратимость, фредгольмовость, инъективность, сюръективность и др. (см.
следующее определение) отвечает оператор D.
Определение 4.2.1. Пусть A : D(A) ⊂ X → X — замкнутый оператор.
Рассмотрим следующие условия:
1) KerA = {0} (т.е. оператор A инъективен);
2) 1 ≤ n = dimKerA ≤ ∞;
3) KerA — дополняемое подпространство либо в D(A)(с нормой графика), либо в X;
12
4) ImA = ImA, что эквивалентно положительности величины (минимального модуля оператора A)
γ(A) =
||Ax||
||y||
=
inf
,
dist(x, KerA)
x∈D(A)\KerA dist(x, KerA)
(x,y)∈A,x∈KerA
/
inf
где dist(x, KerA) = inf x0 ∈KerA ||x − x0 ||;
5) Оператор A корректен (равномерно инъективен), т.е. KerA = {0} и
γ(A) > 0;
6) ImA — замкнутое дополняемое в X подпространство;
7) ImA — замкнутое подпространство из X коразмерности 1 ≤ m =
codimImA ≤ ∞;
8) ImA = X, т.е. A — сюръективный оператор;
9) оператор A непрерывно обратим.
Если для A выполнены все условия из совокупности условий S =
{i1 , . . . , ik }, где 1 ≤ i1 < i2 < . . . < ik ≤ 9, то будем говорить, что оператор
A находится в состоянии обратимости S. Множество состояний обратимости оператора A обозначим символом Stinv (A).
Теорема 4.2.1. Оператор L непрерывно обратим тогда и только тогда, когда непрерывно обратимым является оператор D. Обратный оператор в пространстве непериодических функций может быть представлен
в виде
t
(L−1 f )(t) =
U(t, τ )e−λ(t−τ ) f (τ ) dτ,
t ∈ R.
−∞
Теорема 4.2.2. Оператор L непрерывно обратим в пространстве периодических функций F1 тогда и только тогда, когда непрерывно обратимым является оператор I − U (1, 0). Обратный к L оператор задается
13
формулой
1
(L−1 f )(t) =
G(t, τ )f (τ ) dτ,
t ∈ [0, 1],
0
где функция (Грина) G : [0, 1] × [0, 1] → EndX имеет вид
(U(t, t − 1) − I))−1 U(t, τ ),
0 ≤ τ ≤ t ≤ 1,
G(t, τ ) =
(U(t, t − 1) − I))−1 U(t, τ − 1), 0 ≤ t < τ ≤ 1.
Теорема 4.2.7. Для операторов L и D имеет место равенство их
множеств состояний обратимости:
Stinv (L) = Stinv (D).
Теорема 4.2.8. Для операторов L и I − U (1, 0) в пространстве периодических функций имеет место равенство их множеств состояний
обратимости:
Stinv (L) = Stinv (I − U (1, 0)).
Список публикаций по теме диссертации
[1] Диденко В.Б. К спектральной теории упорядоченных пар линейных операторов на конечномерных пространствах / В.Б. Диденко // Вестник
ВГУ. Физика. Математика. — 2007. — № 2. — C. 104-107.
[2] Диденко В.Б. Об обратимости и фредгольмовости операторов, порожденных семейством эволюционных операторов и краевыми условиями,
заданными с помощью линейного отношения / В.Б. Диденко // Вестник
ВГУ. Физика. Математика. — 2008. — № 2. — C. 71–74.
[3] Диденко В.Б. К спектральной теории упорядоченных пар линейных операторов на конечномерных пространствах / В.Б. Диденко // Труды Во14
ронежской Зимней Математической Школы С.Г. Крейна. — 2008 — С.
114–116.
[4] Диденко В.Б. К спектральной теории упорядоченных пар линейных операторов на конечномерных пространствах / В.Б. Диденко // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна. Тез. докл. — 2008. —
C. 49–50.
[5] Диденко В.Б. Об обратимости и фредгольмовости дифференциальных
операторов с многозначными импульсными воздействиями / В.Б. Диденко // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна. Тез.
докл. — 2010. — C. 54.
[6] Диденко В.Б. О состояниях обратимости дифференциальных операторов с неограниченными периодическими операторными коэффициентами / В.Б. Диденко // Международная конференция КРОМШ. Сборник
тезисов. — 2011. — С. 18.
[7] Диденко В.Б. О непрерывной обратимости и фредгольмовости дифференциальных операторов с многозначными импульсными воздействиями / В.Б. Диденко // Вестник ВГУ. Физика. Математика. — 2011. —
№ 1. — C. 134–137.
[8] Диденко В.Б. О спектральных свойствах дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами, определяемых
линейным отношением / В.Б. Диденко // Матем. заметки. — 2011. — Т.
89. — № 2. — C. 226–240.
[9] Диденко В.Б. Состояния обратимости дифференциальных операторов
с неограниченными периодическими операторными коэффициентами /
15
В.Б. Диденко // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна. Тез. докл. — 2012. — C. 54–55.
[10] Диденко В.Б. Спектральный анализ дифференциальных операторов
с неограниченными периодическими коэффициентами: препринт № 44
НИИМ ВГУ : Июль 2012 / В. Б. Диденко // Воронеж: Воронежский
государственный университет, 2012. — 20 с.
[11] Didenko V.B. On continuous invertibility and Fredholm property of the
differential operators with multivalued impulse effects / V.B. Didenko
// The Sixth International Conference on Differential and Functional
Differential Equations, Moscow, Peoples’ Friendship University of Russia,
Russia. — 2011. — P. 18–19.
Работы [7], [8] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.
16
Документ
Категория
Физико-математические науки
Просмотров
67
Размер файла
278 Кб
Теги
кандидатская
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа