close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Задача об ограниченных решениях и операторные пучки с полиномиально ограниченной резольвентой

код для вставкиСкачать
ФИО соискателя: Печкуров Андрей Викторович Шифр научной специальности: 01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ Шифр диссертационного совета: Д 212.038.22 Название организации: Воронежский государственный университет Адрес органи
На правах рукописи
Печкуров Андрей Викторович
Задача об ограниченных решениях и
операторные пучки с полиномиально
ограниченной резольвентой
01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный
анализ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Воронеж – 2012
Работа выполнена в Воронежском государственном университете
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор Баскаков Анатолий Григорьевич,
Воронежский государственный университет
зав. кафедрой математических методов
исследования операций
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор Овчинников Владимир Иванович
Воронежский государственный университет
профессор кафедры математического
моделирования
кандидат физико-математических наук,
доцент Брук Владислав Моисеевич
Саратовский государственный технический
университет
доцент кафедры “Математика
и моделирование”
Ведущая организация:
Южный федеральный университет
Защита состоится 16 октября 2012 г. в 15 часов 10 минут на заседании
диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном
университете по адресу: 394006, Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 335
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.
Автореферат разослан
“
” сентября 2012 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета Д 212.038.22
д.ф.-м.н., профессор
Ю.Е. Гликлих
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Задачей об ограниченных решениях называют
задачу о нахождении ограниченных на действительной прямой R решений
линейного дифференциального уравнения u − Au = f , соответствующих
ограниченным свободным членам f . С одной стороны, задача об ограниченных решениях является разновидностью краевых задач, в которых роль
краевых условий играют условия ограниченности решения на бесконечности. С другой стороны, задача об ограниченных решениях тесно связана
с задачей об устойчивости: существование единственного ограниченного
решения при любом ограниченном свободном члене соответствует специальному типу неустойчивости — экспоненциальной дихотомии решений однородного уравнения.
В литературе в основном изучен случай, когда коэффициент A является
матрицей, либо линейным ограниченным оператором, действующим в банаховом пространстве. Задача об ограниченных решениях для обыкновенных дифференциальных уравнений считается классической и имеет многочисленные применения. Поэтому актуальна задача перенесения известных
результатов на более общие уравнения — уравнения с неограниченными
операторами (являющиеся моделью уравнений с частными производными)
и уравнения, не разрешенные относительно производной.
Настоящая диссертация посвящена уравнению
F u − Gu = f,
(1)
не разрешенному относительно производной. Здесь F и G — линейные ограниченные операторы, действующие из банахова пространства X в банахово
пространство Y .
Ограниченность решения u и свободного члена f можно интерпретировать несколько по-разному, что и делается в разных главах диссертации. В
3
самом общем виде (глава 1) под ограниченностью понимается принадлежность пространству обобщенных функций Шварца S . Более узкая трактовка понятия ограниченности — принадлежность пространству C непрерывных и ограниченных на R функций или пространству C n непрерывных
и ограниченных на R вместе с производными до n-го порядка функций.
Также рассматриваются (§ 2.3) пространства C n с отрицательными n. Обсуждается вопрос о связи гладкости решения u и свободного члена f .
Целью работы является нахождение условий, при которых каждому
ограниченному свободному члену f соответствует единственное ограниченное решение u уравнения (1).
Научная новизна. Основными результатами диссертации являются
следующие.
• Доказано, что условием однозначной разрешимости уравнения в пространстве обобщенных функций умеренного роста является существование и полиномиальный рост резольвенты пучка на мнимой оси.
• Для бисекториальных пучков изучена связь между гладкостью свободного члена и гладкостью решения.
• Показано, что изменение нормы в пространстве операторов позволяет улучшить зависимость гладкости решения от гладкости свободного
члена.
• Изучена структура функции Грина биограниченного пучка.
• Доказано, что функция Грина, имеющая конечномерный образ, является прямой суммой нулевого оператора и обратимого оператора,
осуществляющего изоморфизм между некоторыми конечномерными
пространствами.
4
Методы исследования. Основным средством решения поставленной
задачи являются методы функционального анализа: спектральная теория
операторов и операторных пучков, функциональное исчисление и обобщенные функции. Кроме того, используются основные понятия дифференциальных уравнений и методы теории функций комплексного переменного.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации
имеют в основном теоретическую ценность. Они могут быть использованы
для исследования дифференциального уравнения (1).
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Воронежских зимних математических школах С.Г. Крейна 2008 [3], 2010 [4],
2012 [10], на Крымских осенних математических школах 2008, 2009, 2010
[5], на конференции DFDE 2011 [11], на семинарах А.Г. Баскакова, а также
на научных сессиях ВГУ.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в [1 – 11]. Работы [7, 8, 9] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных
журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,
пяти глав и списка литературы, включающего 89 наименований. Общий
объем диссертации составляет 104 страницы.
Содержание работы
Пусть X и Y — комплексные банаховы пространства. Обозначим символом B(X, Y ) множество всех линейных ограниченных операторов, действующих из X в Y .
Диссертация посвящена задаче об ограниченных решениях для дифференциального уравнения
F u (t) − Gu (t) = f (t),
5
t ∈ R,
(2)
где F, G ∈ B(X, Y ).
(Линейным операторным) пучком, соответствующим уравнению (2), называют функцию
λ → λF − G,
λ ∈ C.
(3)
Резольвентным множеством пучка (3) называют множество ρ(F, G),
состоящее из всех λ ∈ C, при которых оператор λF − G обратим, а резольвентой — функцию (семейство) Rλ = (λF − G)−1 . Дополнение σ(F, G) к
резольвентному множеству называют спектром пучка.
Глава 1 посвящена задаче об ограниченных решениях в случае пучка
умеренного роста. Пучок λ → λF − G назовем пучком умеренного роста,
если мнимая ось содержится в резольвентном множестве ρ(F, G), причем
существуют такие w ∈ Z и M > 0, что
(iωF − G)−1 : Y → X ≤ M (1 + |ω|)w ,
ω ∈ R.
Основным результатом главы 1 является следующая теорема.
Теорема 1.3.2. Пусть пучок имеет умеренный рост. Тогда для любой
f ∈ S (R, Y ) уравнение (2) имеет единственное решение u ∈ S (R, X). При
этом преобразование Фурье uˆ решения u задается формулой
uˆ(ω) = (iωF − G)−1 fˆ(ω).
Здесь символ S означает пространство Шварца обобщенных функций умеренного роста.
В главе 2 на пучок накладывается дополнительное условие бисекториальности. Пучок λ → λF − G называют w-бисекториальным, где w ∈ Z,
или просто бисекториальным, если существуют такие δ0 ∈ (0, π/2] и h0 > 0,
6
что множество (см. рис. 1 слева)
π
π
− δ0 < arg λ < + δ0 ∪
2
2
3π
3π
∪ λ ∈ C:
− δ0 < arg λ <
+ δ0 ∪ {λ ∈ C : | Re λ| < h0 }
2
2
Ωδ0 ,h0 = λ ∈ C :
содержится в резольвентном множестве пучка, причем для каждых δ ∈
(0, δ0 ) и h ∈ (0, h0 ) существует такое M > 0, что
(λF − G)−1 : Y → X ≤ M (1 + |λ|)w ,
λ ∈ Ωδ,h .
Условие бисекториальности позволяет получить более точные соотношения
между гладкостью свободного члена f и решения u уравнения F u − Gu =
f , чем в теореме 1.3.2.
∆0 ,h0
∆,h
∆0 ,h0
∆0 ,h0
∆0 ,h0
∆,h
∆0 ,h0
Рис. 1: Слева: множество Ωδ0 ,h0 (выделено белым); справа: границы Γδ0 ,h0 и Γδ,h множеств Ωδ0 ,h0 и Ωδ,h соответственно (стрелками показана ориентация)
Изложение в главе 2 ведется в терминах функции Грина (более подробно
называемой регулярной частью полной функции Грина)
X + (t),
если t > 0,
G(t) =
−X − (t), если t < 0,
7
где
X ± (t) =
1
2πi
Γ±
δ,h
eλt (λF − G)−1 dλ,
а Γ±
δ,h — контуры, изображенные на рис. 1 справа. Как обычно, функция
Грина удовлетворяет дифференциальному уравнению F G (t) − GG(t) = 0
при t = 0 (предложение 2.2.4) и экспоненциально убывает на бесконечности вместе с производной (предложение 2.2.5), но ее поведение в нуле оказывается более сложным (предложение 2.2.11), чем у краевых задач для
уравнения u − Au = f , разрешенного относительно производной.
Пусть E — банахово пространство. Обозначим через C 0 = C = C(R, E)
пространство непрерывных ограниченных функций u : R → E с нормой
u = u
C
= sup u(t) ,
t∈R
а через C n = C n (R, E), n = 1, 2, . . . , — пространство всех n раз непрерывно
дифференцируемых функций u : R → E, ограниченных по норме
u = u
C
+ u
C
+ · · · + u(n)
C.
Очевидно, C n = C n (R, E) — банахово. Принадлежность пространству C n
интерпретируется в диссертации как вариант ограниченности.
Пространство C −n = C −n (R, E), n = 1, 2, . . . , определяется как пространство всех обобщенных функций u ∈ S , представимых в виде u =
(n)
u0 + u1 + · · · + un , где u0 , u1 , . . . , un ∈ C, а производные берутся в смысле
(n)
обобщенных функций. Представление u = u0 +u1 +· · ·+un не единственно.
Норма на C −n определяется по формуле
n
u = u
C −n
n
uk
= inf
C
(k)
u=
k=0
u k , u0 , u 1 , . . . , u n ∈ C .
k=0
Пространства C −n , n = 1, 2, . . . , оказываются полными (предложение 2.3.3).
Оператор U u = u + u устанавливает изоморфизм между пространством
C n+1 и пространством C n при всех n ∈ Z (предложения 2.3.2 и 2.3.4).
8
В § 2.4 приводятся основные результаты главы 2. В них описывается
связь между гладкостью свободного члена и решения, а также приводятся
некоторые формулы для решения.
Теорема 2.4.4. Пусть пучок является w-бисекториальным. Тогда при
любой f ∈ C n (R, Y ), n ∈ Z, решение уравнения (2) принадлежит пространству C n−w−1 (R, X). При этом при n ≥ w + 2
w
+∞
u(t) =
−1 w+1 (w+1)
G(t − s)(F G )
f
G−1 (F G−1 )k f (k) (t).
(s) ds −
−∞
k=0
Примеры бисекториальных пучков приводятся в § 3.4 главы 3.
В главе 3 обсуждается вариант бисекториальности, когда норма пространства B(Y, X), в котором принимается значения функция Грина G,
заменяется другой, меньшей исходной. Мы ограничиваемся случаем, когда резольвента пучка убывает на бесконечности как λ1 ; в результате все
решения выражаются через (регулярную) функцию Грина.
Необходимость внесения изменений в определение бисекториальности в
случае, когда резольвента пучка убывает на бесконечности как λ1 , показывает теорема 3.1.2. В этой теореме говорится, что такой пучок является
(−1)-биограниченным в смысле главы 4, т. е. его спектр оказывается ограниченным множеством. В качестве упомянутого изменения в диссертации
предлагается замена нормы на X или на Y .
Идея замены нормы в множестве значений X функции Грина подсказана аналогией с теорией полугрупп, порожденных секториальными операторами. В случае неограниченного секториального оператора A и соответствующего ему уравнения u − Au = f коэффициент A действует из своей
области определения D(A) ⊂ X в X, но порожденная им полугруппа операторов T (t), t ≥ 0, действует из X в X (а не в D(A)!). Поэтому решение
u(t) =
+∞
T (s)f (t
0
− s) ds принимает значения в X (а не в D(A)).
9
В случае бисекториального пучка λ → λF −G и уравнения F u −Gu = f
пространство X, на котором заданы F и G, является аналогом D(A) и
поэтому для функции f , принимающей значения в Y , следует ожидать,
что решение принимает значения в более широком пространстве, чем X.
Для уравнения F u − Gu = f нахождение более широкого подходящего
пространства, содержащего X, является дополнительной задачей. Она обсуждается в § 3.3. А в § 3.2 описывается более простой подход, когда вместо расширения пространства X используется сужение пространства Y .
Иными словами, рассматриваются функции f , принимающие значения в
некотором подпространстве Y 1 пространства Y .
В рамках обсуждаемого в главе 3 подхода всплывает принципиальное отличие рассматриваемых уравнений от обыкновенных дифференциальных.
Если для обыкновенных дифференциальных уравнений функция Грина
t → G(t) имеет в нуле разрыв первого рода, то для бисекториального пучка возникает суммируемый разрыв второго рода (предложение 3.2.7).
Приведем конкретные результаты главы 3.
Предположим, что в Y имеется линейное подпространство Y 1 , полное
относительно своей нормы
·
1,
обладающей свойством y ≤ y
1
для
y ∈ Y 1 . Очевидно, T : Y 1 → X ≤ T : Y → X для любого T ∈ B(Y, X).
Пучок λ → λF − G назовем Y 1 -бисекториальным, если существуют
такие δ0 ∈ (0, π/2] и h0 > 0, что множество Ωδ0 ,h0 (см. рис. 1) содержится
в резольвентном множестве пучка, причем для каждых δ ∈ (0, δ0 ) и h ∈
(0, h0 ) существует такое M > 0, что выполнена оценка
(λF − G)−1 : Y 1 → X ≤
M
,
1 + |λ|
λ ∈ Ωδ,h .
Теорема 3.2.8. Пусть пучок является Y 1 -бисекториальным. Тогда для
любой функции f ∈ C(R, Y 1 ) уравнение (2) имеет единственное решение
10
u ∈ C 1 (R, X), которое представимо в виде
+∞
u(t) =
G(t − s)f (s) ds,
t ∈ R.
(5)
−∞
Следствие 3.2.9. Пусть пучок является Y 1 -бисекториальным. Тогда
для любой функции f ∈ C n (R, Y 1 ), n ∈ Z, уравнение (2) имеет единственное решение u ∈ C n+1 (R, X), которое при n ≥ 0 представимо в виде (5).
Предположим теперь, что X вложено в линейное пространство X −1 ,
полное относительно своей нормы
·
−1 ,
обладающей свойством x
−1
≤
x для x ∈ X. Очевидно, T : Y → X −1 ≤ T : Y → X для любого
T ∈ B(Y, X). Предположим также, что оператор G−1 F : X → X допускает
продолжение до непрерывного оператора G−1 F : X −1 → X −1 . (Напомним,
что 0 ∈
/ σ(F, G), т. е. оператор G : X → Y обратим.)
Пучок λ → λF − G назовем X −1 -бисекториальным, если существуют
такие δ0 ∈ (0, π/2] и h0 > 0, что множество Ωδ0 ,h0 содержится в резольвентном множестве пучка, причем для каждых δ ∈ (0, δ0 ) и h ∈ (0, h0 )
существует такое M > 0, что выполнена оценка
(λF − G)−1 : Y → X −1 ≤
M
,
1 + |λ|
λ ∈ Ωδ,h .
Понятие X −1 -бисекториальности является более точным аналогом понятия секториальности, используемого в теории полугрупп, чем понятие Y 1 бисекториальности.
Теорема 3.3.3. Пусть пучок является X −1 -бисекториальным. Тогда для
любой функции f ∈ C(R, Y ) уравнение (2) имеет единственное решение
u ∈ C 1 (R, X −1 ), которое представимо в виде
+∞
u(t) =
G(t − s)f (s) ds,
t ∈ R,
(6)
−∞
где расширенная функция Грина G(t) совпадает с прежней функцией Грина G(t) Y → X, но рассматривается как действующая из Y в X −1 .
11
Следствие 3.3.4. Пусть пучок является X −1 -бисекториальным. Тогда
для любой функции f ∈ C n (R, Y ), n ∈ Z, уравнение (2) имеет единственное
решение u ∈ C n+1 (R, X −1 ), которое при n ≥ 0 представимо в виде (6).
В § 3.4 приводятся примеры Y 1 - и X −1 -бисекториальных пучков.
Пример 3.4.3. Обозначим через C2π банахово пространство непрерывных 2π-периодических функций x : R → C, рассматриваемое с нормой
x = maxξ |x(ξ)|, а через C2π 0 — замкнутое подпространство функций
x ∈ C2π , для которых
2π
0
1
x(ξ)dξ = 0. Обозначим через C2π
0 подпростран-
ство функций x ∈ C2π 0 , лежащих в C2π 0 вместе с производной с нормой
x
1
= x
C2π 0
+ x
C2π 0 .
1
Рассмотрим оператор D : C2π
0 → C2π 0 , определенный по формуле
Dx = ix .
1
Очевидно, операторы D, 1 : C2π
0 → C2π 0 , где 1 — тождественный опера-
тор, ограничены, причем D является изоморфизмом. Нетрудно видеть, что
спектр оператора D, рассматриваемого как действующий из C2π 0 в C2π 0 с
1
областью определения C2π
0 ⊂ C2π 0 , совпадает с множеством Z \ {0}.
Рассмотрим уравнение
u (t) − Du (t) = f (t)
(7)
1
с функцией f : R → C2π 0 относительно функции u : R → C2π
0.
1
Положим X = C2π
0 и Y = C2π 0 . Показано, что пучок является 0-
бисекториальным. Следовательно, по теореме 2.4.4 уравнение (7) при лю1
бой f ∈ C n (R, C2π 0 ) имеет единственное решение u ∈ C n−1 (R, C2π
0 ).
1
1
1
Положим Y 1 = C2π
0 . При таком выборе Y пучок является Y -бисекто-
риальным. Следовательно, по следствию 3.2.9 уравнение (7) при любой
1
n+1
1
f ∈ C n (R, C2π
(R, C2π
0 ) имеет единственное решение u ∈ C
0 ).
12
Наконец, положим X −1 = C2π 0 . При таком выборе X −1 пучок является X −1 -бисекториальным. Поэтому по следствию 3.3.4 уравнение (7) при
любой f ∈ C n (R, C2π 0 ) имеет единственное решение u ∈ C n+1 (R, C2π 0 ).
В главе 4 обсуждается простейшая ситуация, в которой появляется полиномиальный рост резольвенты пучка на бесконечности. Этот случай наиболее близок классической постановке задачи об ограниченных решениях
для обыкновенных дифференциальных уравнений с ограниченными коэффициентами.
Пучок λ → λF − G называется w-биограниченным, где w ∈ Z, или просто биограниченным, если резольвентное множество пучка содержит мнимую ось, а также проколотую окрестность бесконечности и при достаточно
больших |λ| выполняется оценка
(λF − G)−1 : Y → X ≤ M (1 + |λ|)w .
По сравнению с бисекториальностью здесь требуется, чтобы (конечный)
спектр пучка был ограничен.
В этой главе ранее определенная функция Грина G носит название регулярной функции Грина и обозначается символом Gr . Это связано с тем,
что возникает необходимость в рассмотрении дополнительно так называемой сингулярной функции Грина Gs (t) = −
w
k+1
k=0 N
δ (k) (t), которая в
сумме с регулярной образует (как показывает теорема 4.3.6) полную формулу Грина.
В отличие от бисекториального случая здесь регулярная функция Грина
имеет в нуле разрыв первого рода (предложение 4.2.2). Основным результатом главы является следующая теорема.
Теорема 4.3.6. Пусть пучок является w-биограниченным. Тогда при
всех f ∈ C n (R, Y ), n ∈ Z, решение уравнения (2) принадлежит C n−w (R, X).
13
При этом при n ≥ 0
w
+∞
u(t) =
N k+1 (1 − ΠF )f (k) (t).
Gr (t − s)ΠF f (s) ds −
−∞
k=0
Здесь Π — коэффициент при
1
λ
в разложении резольвенты пучка в ряд
Лорана в окрестности бесконечности, N — коэффициент при λ0 , а символ
N k+1 означает (k + 1)-ую степень N относительно умножения
A
B = AF B.
В главе 5 изучается структура функции Грина, обладающей тем свойством, что все входящие в нее операторы имеют конечномерный образ.
Установлено (теорема 5.3.1), что такая функция Грина представляет собой
сумму нулевого оператора и конечномерного.
Теорема 5.3.1. Пусть G — функция Грина w-бисекториального пучка,
обладающая свойством dim Im G(t) < ∞ при t = 0. Тогда пространства X
и Y допускают разложения
X = X0± ⊕ X1± ,
Y = Y0± ⊕ Y1±
в прямые суммы замкнутых подпространств X0± , X1± , Y0± и Y1± , не зависящих от t и инвариантных относительно G(t) в том смысле, что
G(t)Y0+ ⊆ X0+ ,
G(t)Y1+ ⊆ X1+ ,
t > 0,
G(t)Y0− ⊆ X0− ,
G(t)Y1− ⊆ X1− ,
t < 0.
При этом сужения функции Грина G(t) на Y0± состоят из нулевых операторов, Y1± конечномерны, а сужения G(t) Y1± → X1± являются обратимыми
операторами.
Подчеркнем, что здесь dim Im G(t) априори может зависеть от t.
14
Публикации по теме диссертации
[1] Печкуров А.В. Комплексификация упорядоченных пар линейных операторов / А.В. Печкуров // Вестник ВГУ. Физика. Математика. —
2007. — № 2. — С. 143–147.
[2] Печкуров А.В. Об упорядоченный парах линейных операторов / А.В.
Печкуров // Труды Воронежской зимней математической школы С.Г.
Крейна. — 2008. — С. 225–231.
[3] Печкуров А.В. Комплексификация упорядоченной пары линейных
операторов / А.В. Печкуров // Воронежская зимняя математическая
школа С.Г. Крейна. Тез. докл. — 2008. — С. 111–112.
[4] Печкуров А.В. О структуре полугруппы операторов, имеющих конечномерный образ / А.В. Печкуров // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна. Тез. докл. — 2010. — С. 116–117.
[5] Печкуров А.В. О структуре полугруппы операторов, имеющих конечномерные образы / А.В. Печкуров // Международная конференция
КРОМШ. Сборник тезисов. — 2010. — С. 38.
[6] Печкуров А.В. Операторные пучки, биполугруппы и задача об ограниченных решениях / А.В. Печкуров // Spectral and Evolution Problems.
Proceedings of the Twenty First Crimean Autumn Mathematical SchoolSimposium (Kromsh-2010). — 2011. — Vol. 21, № 2. — P. 75–86.
[7] Печкуров А.В. Об обратимости в пространстве Шварца оператора,
порожденного пучком умеренного роста / А.В. Печкуров // Вестник
ВГУ. Физика. Математика. — 2011. — № 2. — С. 116–122.
15
[8] Печкуров А.В. О структуре полугруппы операторов, имеющих конечномерные образы / А.В. Печкуров // Матем. заметки. — 2012. — Т. 91,
№ 2. — С. 240–252.
[9] Печкуров А.В. Бисекториальные операторные пучки и задача об ограниченных решениях / А.В. Печкуров // Известия вузов. Математика. — 2012. — № 3. — С. 31–41.
[10] Печкуров А.В. О функции Грина операторного пучка, имеющей конечномерные образы / А.В. Печкуров // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна. Материалы межд. конф. — 2012. —
С. 180–182.
[11] Pechkurov A.V. Bisectorial operator pencils and bounded-solutions
problem / A.V. Pechkurov // The Sixth International Conference on
Differential and Functional Differential Equations, Moscow, Peoples’
Friendship University of Russia, August 18-20, 2011, Abstracts. —
Russia. — 2011. — P. 52–53.
Работы [7, 8, 9] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых
научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.
16
Документ
Категория
Физико-математические науки
Просмотров
22
Размер файла
385 Кб
Теги
кандидатская
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа