close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Верхние оценки размерности Хаусдорфа отрицательно инвариантных множеств и аттракторов коциклов

код для вставкиСкачать
ФИО соискателя: Слепухин Александр Сергеевич Шифр научной специальности: 01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление Шифр диссертационного совета: Д 212.232.49 Название организации: Санкт-Петербургский госуда
-
01.01.02 -
-
2012
:
-
)
(
,
)
"
07”
212.232.49
199178
2012
11
00
-
14
-
.
.
"
12
?
??Щ?Я Х?Р??Т?Р?СТ??? Р???ТЫ
?иссертация посвящена исследованию коциклов? порожд?нных в пер?
вую очередь неавтономными обыкновенными дифференциальными уравне?
ниями? изучению инвариантных множеств и глобальных аттракторов таких
коциклов? а также оценке сверху размерности по Хаусдорфу этих инвариант?
ных множеств и аттракторов?
? к т у а л ь н о с т ь т е м ы?
Теория коциклов является мощным инструментом в различных обла?
стях теории динамических систем? ? частности? коциклы можно рассматри?
вать в качестве обобщ?нных динамических систем и эффективно использо?
вать их для исследования неавтономных обыкновенных дифференциальных
уравнений? ?дним из наиболее важных и актуальных направлений в теории
коциклов является изучение их глобальных аттракторов и оценка размерно?
сти ?например? размерности по Хаусдорфу? таких аттракторов?
?ажными результатами на пути развития теории общих динамических
систем и их аттракторов были работы ?? ?? ?ебутова ???? Р? ?? ?иллера и
?? Р? Селла ???? ?? Р? ?екмана ???? П? ?? ?лоедена и ?? Шмалфуса ??? и другие?
?первые общие верхние оценки размерности Хаусдорфа для отрицательно
инвариантных множеств и аттракторов конечномерных динамических систем
были получены ?? ?уади и ?? ?эстерле ???? ?? ?? ?еонов и ?? ?? ?ойченко
впервые ввели функции ляпуновского типа в оценки размерности Хаусдорфа
инвариантных множеств ??? ???
?иссертация является развитием указанных исследований из теории ди?
намических систем на случай аттракторов и инвариантных множеств коцик?
лов?
Ц е л ь р а б о т ы?
Целью работы является обобщение на случай коциклов? в частности?
порожд?нных неавтономными уравнениями? известных методов оценки раз?
мерности Хаусдорфа глобальных аттракторов динамических систем? исполь?
зующих функции ляпуновского типа? Работа также направлена на развитие
эффективных методов оценки сингулярных чисел линейных неавтономных
систем? используемых в теории оценки размерности?
? е т о д ы и с с л е д о в а н и я?
?ля исследования аттракторов коциклов и их размерности Хаусдор?
?
фа? в частности? для коциклов? порожд?нных неавтономными обыкновенным
дифференциальными уравнениями? в работе используются?
? общая теория глобальных аттракторов коциклов?
? развитие теории ?уади??эстерле о верхней оценке размерности Хаус?
дорфа инвариантных множеств динамических систем?
? методы функций ляпуновского типа и матричных неравенств ?япу?
нова в оценке сингулярных чисел?
Р е з у л ь т а т ы? в ы н о с и м ы е н а з а щ и т у?
? Получены теоремы существования коциклов? порожд?нных квазили?
нейным уравнением и системой ?оренца с непрерывными по времени возму?
щениями?
? Получены теоремы о существовании глобального B?аттрактора при
вытягивании назад для коциклов? порожд?нных квазилинейным уравнением
и системой ?оренца с непрерывными по времени? в том числе реккурентными
или почти периодическими? возмущениями?
? Получено обобщение на случай коциклов известной теоремы ?уади?
?эстерле о верхней оценке размерности Хаусдорфа инвариантных множеств
динамических систем?
? Получено обобщение на случай коциклов метода? использующего
функции ляпуновского типа в теории оценки размерности по Хаусдорфу для
динамических систем? ?оказана теорема о верхней оценке размерности Хау?
сдорфа отрицательно инвариантных множеств коциклов? порожд?нных неав?
тономными обыкновенными дифференциальными уравнениями?
? Получена вехрняя оценка размерности Хаусдорфа отрицательно ин?
вариантного множества локального коцикла? порожд?нного системой Р?ссле?
ра с гладким по времени возмущением? Результат содержит как частный
случай известную верхнюю оценку размерности Хаусдорфа инвариантного
множества автономной системы Р?сслера ????
? ?ля эффективной оценки размерности Хаусдорфа отрицательно ин?
вариантных множеств коциклов получено обобщение метода матричных не?
равенств ?япунова?
? Приведены результаты численных экспериментов? показывающие за?
висимость аттракторов системы ?оренца с различными возмущениями от
класса таких возмущений и параметра?
?
? о с т о в е р н о с т ь р е з у л ь т а т о в?
?се основные полученные теоретические результаты математически
строго доказаны?
При использовании доказанных методов верхней оценки размерности
Хаусдорфа в частном случае для исследования отрицательно инвариантного
множества локального коцикла? порожд?нного системой Р?сслера с возму?
щением? был получен результат? который содержит как частный случай из?
вестную оценку сверху размерности по Хаусдорфу инвариантного множества
автономной системы Р?сслера ????
? а у ч н а я н о в и з н а?
?се основные результаты? представленные в диссертации? являются но?
выми?
Т е о р е т и ч е с к а я и п р а к т и ч е с к а я ц е н н о с т ь?
Работа носит теоретический характер? Полученные в диссертации ре?
зультаты могут быть использованы для исследования коциклов? в частности?
порожд?нных неавтономными обыкновенными дифференциальныи уравне?
ниями? и верхней оценки размерности Хаусдорфа их глобальных аттракто?
ров? Также полученные методы и результаты работы могут быть использо?
ваны для дальнейшего обобщения теории ?уади??эстерле верхней оценки
размерности по Хаудорфу инвариантных множеств? в частности? на случай
коциклов на многообразиях?
? п р о б а ц и я р а б о т ы?
Результаты представленной работы докладывались на международных
конференциях ?????????? ?????tr? ??? ???????s? ??????? ????r?????Санкт?
Петербург ? ?????? ?P??s???????????еон? ?спания ? ?????? ???????? ??? Pr???
r?ss ? ??????Санкт?Петербург ? ??????
?роме того? в рамках стипендиальной программы имени ?еонарда Эй?
лера ?ерманской службы академических обменов ?????? диссертант прош?л
научную стажировку в Свободном университете ?ерлина? в течение которой
были представлены доклады по теме диссертационной работы ???????
П у б л и к а ц и и?
?сновные результаты диссертации представлены в ? печатных работах
???????? в том числе в ? статьях ???? ???? опубликованных в рецензируемых
журналах и изданиях? рекомендованных ????
?
? работах ??????? соавторам принадлежит постановка задачи? все основ?
ные результаты получены диссертантом самостоятельно?
? б ъ е м и с т р у к т у р а д и с с е р т а ц и и?
?иссертационная работа состоит из введения? тр?х глав? разбитых на
разделы? заключения и списка литературы? включающего ?? наименования?
Работа изложена на ??? страницах машинописного текста и содержит ?? ри?
сунок?
?С?????? С???Р????? Р???ТЫ
П е р в а я г л а в а полностью посвящена общей теории коциклов? в част?
ности? порожд?нных неавтономными дифференциальными уравнениями? ?с?
следуются вопросы существования коциклов и их глобальных B ?аттракторов
при вытягивании назад?
Пусть (?, ?? ) обозначает некоторое метрическое пространство? где ?? ?
его метрика? Пусть задано непрерывное отображение ? : RЧ? ? ?? действу?
ющее как (t, ?) ? ? t (?) и удовлетворяющее следующим свойствам?
?? ? 0 (·) = ??? ?
?? ? t+s (·) = ? t (·) ? ? s (·)? для любых t, s ? R?
Тогда пара ({? t }t?R , (?, ?? )) называется базисным потоком?
Пусть далее U ? Rn ? открытое множество? ?n ? метрика в Rn ? по?
рожд?нная евклидовой нормой? и пусть U рассматривается как топологи?
ческое пространство с индуцированной топологией и метрикой ?U ? Пусть
T ? {R, R+ }? D := TЧ?ЧRn ?
Пусть на множестве D задано непрерывное отображение ? : D ? U ? дей?
ствующее как (t, ?, u) ? ?t (?, u) и удовлетворяющее следующим свойствам?
?? ?0 (?, ·) = ??U ? для любых ? ? ??
?? ?t+s (?, ·) = ?t (? s (?), ?s (?, ·))? для любых ? ? ? и любых t, s ? T?
Тогда пара {?t (?, ·)}??? , (U, ?U ) называется коциклом над базисным
t?T
({? }t?R ,(?,?? ))?
Пусть задано уравнение
потоком
t
u? = f (t, u),
где f : R Ч U ? Rn ? непрерывное отображение?
???
?
?ля правой части уравнения ??? задаются отображения сдвига
? t (f ) := f (· + t, ·),
для каждого t ? R? и бер?тся замыкание множества {f (· + t, ·), t ? R} все?
возможных таких сдвигов в некоторой топологии?
Полученное множество H(f ) = {f (· + t, ·), t ? R}? где черта означает
замыкание в выбранной топологии? называется оболочкой f ?
Пара ({? t }t?R , (H(f ), ?H(f ) ))? построенная указанным образом? называ?
ется потоком ?ебутова на оболочке H(f )?
?алее рассматривается расширение исходного уравнения ??? на обо?
лочку? ?ля этого используется непрерывное отображение взятия значения
f : H(f ) Ч U ? Rn ? заданное для любых ? ? H(f ) и u ? U как
f (?, u) := ?(0, u).
?сли вместо ?0 брать f ? т? е? правую часть уравнения ???? то
f (? t (?0 ), u) = f (t, u),
для любых t ? R и любых u ? U ? Таким образом? рассматривается семейство
уравнений
u? = f (? t (?), u),
? ? H(f ),
???
где t ? R? u ? U и где при ? = ?0 уравнение ??? совпадает с исходым ????
Пусть для уравнения ??? с начальными данными t0 ? R? u0 ? U су?
ществует единственное глобальное решение u(·, t0 , u0 )? определ?нное для всех
t ? T? такое что u(t0 , t0 , u0 ) = u0 ? Пусть оно непрерывно и непрерывно зави?
сит от начальных данных?
Тогда пусть ?t (?0 , u0 ) = u(?0 + t, ?0 , u0 ) для любых t ? R? ?0 ? H(f )?
u0 ? U ? ?ля таких ? и ? пара
{?t (?, ·)}??H(f ) , (U, ?U )
есть коцикл над
t?T
потоком ?ебутова на оболочке? порожд?нный исходным уравнением ????
Пусть для коцикла {?t (?, ·)}??? ,(U, ?U ) задано отображение? действу?
t?T
ющее как ? ? ? ? Z(?) ? U ? тогда совокупность Z = {Z(?)}??? называется
неавтономным множеством для заданного коцикла?
?еавтономное множество Z = {Z(?)}??? называется компактным? ес?
ли для каждого ? ? ? множеств? Z(?) ? U компактны?
?
?еавтономное множество Z = {Z(?)}??? называется инвариантным
для заданного коцикла? если
?t (?, Z(?)) = Z(? t (?)),
для любых t ? R? ? ? ?? и отрицательно инвариантным для заданного
коцикла? если
?t (?, Z(?)) ? Z(? t (?)),
для любых t ? R+ ? ? ? ??
?ножество Z называется глобально B ?притягивающим при вытяги?
вании назад ????????? ?????????? ?ttr??t???? для заданного коцикла? если для
любого ? ? ? и любого ограниченного множества B ? U выполнено
??st ?t (? ?t (?), B), Z(?) ????? 0.
t?+?
?омпактное? инвариантное? глобально B ?притягивающее при вытягива?
нии назад множество Z называется глобальным B ?аттрактором при вытя?
гивании назад ??????? B ????????? ?ttr??t?r? для заданного коцикла?
?алее в первой главе описываются классы дифференциальных уравне?
ний с возмущениями? исследуемые в данной работе? ?атем? также описыают?
ся классы этих возмущений? приводятся их свойства? ?роме того? в первой
главе доказаны теоремы существования коциклов? порожд?нных квазилиней?
ным уравнением и системой ?оренца с непрерывными по времени возмуще?
ниями? ?ля этих коциклов доказаны теоремы существования глобальных B ?
аттракторов при вытягивании назад?
Система ?оренца с непрерывным по времени возмущением рассматри?
вается в следующем виде
?
?
?
? x? = a(y ? x) + ?x (t),
y? = rx ? y ? xz + ?y (t),
?
?
? z? = ?bz + xy + ? (t),
???
z
?
?
?x (·)
?
?
где a, r, b > 0 ? положительные параметры? ?(·) = ??y (·)? : R ? R3 ?
?z (·)
ограниченная и равномерно непрерывная функция возмущения?
?
Пусть построено расширение системы ??? на оболочку H(f )? где f ?
правая часть ????
Т е о р е м а ?? ?оцикл? порожд?нный системой ?оренца ??? на оболоч?
B ?аттрактор при вытягивании назад для всех зна?
чений параметров a, r, b > 0?
? т о р а я г л а в а полностью посвящена вопросам оценки размерности
по Хаусдорфу отрицательно инвариантных множеств и аттракторов коцик?
лов?
Пусть L : Rn ? Rn ? линейный оператор и пусть ?1 (L)
...
?n (L)
обозначают его упорядоченные сингулярные числа ? уч?том кратности?
Пусть для любых d ? [0, n]? таких что d = d0 +s? где d0 ? {0, 1, . . . , n?1}
и s ? (0, 1]
ке? имеет глобальный
?k (L) :=
?1 (L)?2 (L) . . . ?d0 (L)?ds0 (L), при k > 0,
при
1,
k = 0.
?еличина ?d (L) называется функцией сингулярных чисел оператора L по?
рядка d?
Пусть задан глобальный коцикл {?t (?, ·)} ??? , (Rn , ?n ) над базисным
t?R+
потоком ({? }t?R , (?, ?? ))? для которого отображения ?t (?, ·) : Rn ? Rn
C 1 ?гладкие для всех ? ? ? и t ? R+ и пусть задано неавтономное множе?
ство Z = {Z(?)}??? для этого коцикла?
Пусть выполнены следующие предположения?
???? ?еавтономное множество Z = {Z(?)}??? компактно и отрица?
тельно инвариантно для коцикла?
???? Пусть ?2 ?t (?, u) : Rn ? Rn обозначает для произвольных точек
(?, u) ? ? Ч Rn и t > 0 дифференциал функции ?t (?, u) относительно u?
который обладает следующими свойствами?
?? для любых ? > 0 и t > 0 функция
t
?? (t, ?) :=
sup
v,u?Z(?)
0< v?u ?
?t (?, v) ? ?t (?, u) ? ?2 ?t (?, u)(v ? u)
v?u
ограничена на ? и ?? (t, ?) ??? 0 для каждого фиксированного t?
??0
??
??? для любых t > 0 выполнено
?2 ?t (?, u)
sup sup
op
< ?,
??? u?Z(?)
где L op обозначает операторную норму L?
Пусть для произвольного множества Z ? Rn величина dimH Z обозна?
чает размерность Хаусдорфа множества Z ?
Т е о р е м а ?? Пусть выполнены предположения ???? и ???? и следу?
ющие условия?
?? существует компактное множество
K ? Rn
такое? что
Z(?) ? K;
???
?? существуют непрерывная ограниченная функция
момент времени
? >0
и число
d ? (0, n]
? : ? Ч Rn ? R+ ?
такие? что выполнено?
Z(?) ? Z(? ? (?));
?(? ? (?), ?? (?, u))
?d (?2 ?? (?, u)) < 1.
?(?, u)
(?,u)??ЧK
sup
dimH Z(?) d для каждого ? ? ??
?налогичный результат получен для случая локальных коциклов?
Пусть задано неавтономное обыкновенное дифференциальное уравне?
Тогда
ние
???
u? = f (t, u),
где f : R Ч Rn ? Rn ? C k ?гладкое (k
2) отображение? ?тносительно ???
рассматривается оболочка f ? заданная как
H(f ) = {f (· + t, ·), t ? R},
где замыкание бер?тся в компактно?открытой топологии? Пусть далее
u? = f (? t (?), u),
? ? H(f ),
???
есть расширение ??? на оболочку?
Пусть ??? порождает коцикл
{?t (?, ·)} ??H(f ) , (Rn , ?n ) над базисным
t?R+
потоком {? }t?R , (H(f ), ?H(f ) ) ? где отображение ? зада?тся с помощью ре?
шения уравнения ????
t
??
Пусть w(t, ?0 , u0 ) обозначает решение вариационного уравнения вдоль
траектории коцикла через точку (?0 , u0 ) ? H(f )ЧRn ? ?ариационное уравнение
имеет вид
w? = ?2 f (? t (?0 ), ?t (?0 , u0 ))w,
???
где t ? R+ и задано начальное условие w(0, ?0 , w0 ) = w0 ? Rn ? Тогда
?2 ?t (?0 , u0 )w0 = w(t, ?0 , w0 )
для любых t ? R+ ?
Пусть ?1 (?, u) ?2 (?, u) · · · ?n (?, u) ? упорядоченные собственные
числа матрицы 21 ?2 f€(?, u) + ?2 f€(?, u)T ? взятые с уч?том кратности?
Пусть Z = {Z(?)}??H(f ) ? неавтономное множество для коцикла? по?
рожд?нного дифференциальным уравнением ????
Т е о р е м а ?? Пусть для коцикла? порожд?нного уравнением ??? вы?
полнены предположения
????? ????
и следующие условия?
?? существует компактное множество
K ? Rn
такое? что
Z(?) ? K;
??H(f )
V : H(f ) Ч Rn ? R? для кото?
d
рой существуют производные dt V (? t (?), ?t (?, u0 )) вдоль данной траекто?
рии траектории коцикла? число ? > 0 и число d ? (0, n]? записанное как
d = d0 + s? где d0 ? {0, 1, . . . , n ? 1} и s ? (0, 1]? такие? что выполнено?
?? существуют непрерывная функция
Z(?) ? Z(? ? (?));
?
?1 (? t (?), ?t (?, u0 )) + . . . + ?d0 (? t (?), ?t (?, u0 ))+
0
+ s?d0 +1 (? t (?), ?t (?, u0 )) +
d
V (? t (?), ?t (?, u0 )) dt < 0
dt
? ? H(f ) и u0 ? K?
Тогда dimH Z(?)
d для всех ? ? H(f )?
?налогичный результат получен для случая локальных коциклов?
для всех
??
Система Р?сслера ? неавтономными коэффициентами имеет вид
?
?
?
? x? = ?y ? z,
y? = x,
?
?
? z? = ?b(t)z + a(t)(y ? y 2 ),
???
где a, b : R ? R+ ? гладкие функции? такие? что
a(t) = a0 + a1 (t),
b(t) = b0 + b1 (t).
?десь a0 и b0 ? положительные константы? a1 (·) и b1 (·) ? C 1 ?гладкие функции?
удовлетворяющие неравенствам
|a1 (t)|
?a0 ,
|b1 (t)|
???
?b0
для всех t ? R? где ? ? (0, 1) ? малый параметр? Пусть существует l > 0
такое? что
?
|b(t)|
?l,
???
для всех t ? R?
Пусть оболочка H(f )? где в качестве f бер?тся правая часть ???? ком?
пактна в компактно?открытой топологии?
Расширение системы ??? на оболочку имеет вид
?
?
?
? x? = ?y ? z,
y? = x,
?
?
? z? = ?b(? t (?))z + a(? t (?))(y ? y 2 ),
? ? H(f ).
????
Семейство ???? порождает локальный коцикл {?t (?, ·)} ??H(f ) , (Rn, ?n )
t?[0,?(?,u))
над базисным потоком ({? }t?R , (H(f ), ?H(f ) ))? где интервал [0, ?(?, u)) ? неот?
рицательная часть максимального промежутка существования решения ?????
проходящего через точку (?, u) ? H(f ) Ч Rn ?
Пусть для этого локального коцикла существует компактное неавтоном?
ное множество Z = {Z(?)}??H(f ) ? для которого выполнено?
?? ?уществует компактное множество K ? Rn такое? что
t
Z(?) ? K;
??H(f )
??
?? ?уществует такое время 0 < ? < min ?(?, u)? что Z отрицательно
??H(f )
u?Z(?)
инвариантно для локального коцикла?
Пусть ?k (? t (?), ?t (?, x, y, z))? где k = 1, 2, 3? ?1 (·, ·) ?2 (·, ·) ?3 (·, ·) ?
упорядоченные собственные числа симметризованной матрицы Якоби
1
t
t
t
t
T
для правой части урав?
2 ?2 f (? (?), ? (?, x, y, z)) + ?2 f (? (?), ? (?, x, y, z))
нения ???? вдоль траектории локального коцикла?
Пусть V (? t (?), ?t (?, x, y, z)) есть функция ?япунова? заданная для всех
t ? [0, ? ]? (x, y, z) ? K и ? ? H(f ) следующим образом
1
V (? t (?), x, y, z) := (1 ? s)?(z ? b(? t (?))x),
2
где ? ? R ? варьируемый параметр?
?ля оценки сверху размерности Хаусдорфа множества Z с помощью
теоремы ? проверяется неравенство
?1 (? t (?), ?t (?, x, y, z)) + ?2 (? t (?), ?t (?, x, y, z))+
d
+ s?3 (? t (?), ?t (?, x, y, z)) + V (? t (?), ?t (?, x, y, z)) < 0
dt
для всех? t ? [0, ? ]? (x, y, z) ? K и ? ? H(f )?
После некоторых преобразований с использованием оценок ??? и ??? по?
лучена верхняя оценка
dimH Z(?)
2(1 ? ?)b0
3?
(1 + ?)b0 +
(a0 + 2b0
)2
,
2
????
+ b0 + 1 + ? · C
для всех ? ? H(f )? где множитель C > 0 вычисляется из параметров системы
a0 ? b0 ? ?? l системы ???? ?ножитель C ограничен сверху для любого малого
? ? (0, 1)?
При ? ? 0 оценка ???? совпадает с извествной верхней оценкой раз?
мерности Хаусдорфа компактного инвариантного множества K автономной
системы Р?сслера ???
dimH K
2b0
3?
b0 +
(a0 + 2b0
.
)2
2
+ b0 + 1
?алее доказана модификация теоремы ? с использованием метода мат?
ричных неравенств ?япунова?
??
Пусть для уравнения ??? построено расширение на оболочку ???? по?
строен коцикл? порожд?нный этим уравнением? проведена линеаризация это?
го коцикла и получено вариационное уравнение ???? Пусть Z = {Z}??H(f ) ?
неавтономное множество для коцикла?
Пусть J(? t (?), ?t (?, u)) := ?2 f (? t (?), ?t (?, u)) ? матрица Якоби правой
части системы ????
Т е о р е м а ?? Пусть для коцикла? порожд?нного уравнением ??? вы?
полнены следующие условия?
?? предположения
????
и
????
теоремы ??
?? существует компактное множество
K ? Rn
такое? что
Z(?) ? K;
??H(f )
?? существуют непрерывная на
H(f ) функция Q? такая что для любо?
? ? H(f ) Q(? (·) (?)) ? непрерывная симметричная положительно опреде?
л?нная матричная функция порядка n Ч n? и непрерывная на H(f ) функция
? ? такая что для любого ? ? H(f ) ?(? (·) (?), ?(·) (?, ·)) : R+ Ч K ? R ?
го
непрерывная функция? для которых имеет место матричное неравенство
J(? t (?), ?t (?, u))T Q(? t (?)) + Q(? t (?))J(? t (?), ?t (?, u))+
+ 2?(? t (?), ?t (?, u))Q(? t (?))
(?, u) ? H(f ) Ч K? t ? R+ ?
существуют такие ? > 0 и d ? (0, n]?
0,
для всех
??
что
?
[(n ? d)?(? t (?), ?t (?, u)) + tr J(? t (?), ?t (?, u))]dt < 0,
0
для любых
(?, u) ? H(f ) Ч K?
d/2
?1
и
d/2
Q(? ? (?)) ?1
Q(? ? (?))?1 < 1,
? ? ??
Тогда dimH Z(?)
d для каждого ? ? H(f )?
? условии ?? неравенство означает? что симметричная матрица в левой
части неотрицательно определена?
для любых
??
? условии ?? ?1 Q(? ? (?))
и ?1 Q(? ? (?))?1
для всех ? ? H(f ) обо?
значают наибольшие собственные числа матриц Q(? ? (?)) и Q(? ? (?))?1 ? соот?
ветственно?
? т р е т ь е й г л а в е приводятся результаты численных экспериментов
по локализации глобальных B ?аттракторов коциклов? порожд?нных систе?
мой ?оренца с различными непрерывными возмущениями? По результатам
экспериментов можно проследить зависимость этих аттракторов от класса
функции возмущения и параметров?
С п и с о к ц и т и р у е м о й л и т е р а т у р ы?
?? ????? ??? ??st?r??? ?? ?????s??? ?? ???s??r? ??s ?ttr??t??rs ?? ????t?s
?????s ?? ??????????? ??s ???????s P?r?s ???r?? ?? ????? ? ???? P? ??????????
?? ??????? P? ??? ????????Я ?? ?????t??????s s?st??s? ??????? ?ttr??t?rs
??? ??r????? t????st?? ??s?r?t???t??? ?? ????r???? ????r?t??s? ????? ?? ??? ? ????
P? ????????
?? ?????? ?? ??? ????????? ?? ?? ?????????s ??r??t ??t??? ?? t?? ?st????
t??? ?? t?? ???s??r? ?????s??? ?? ?ttr??t?rs ?? ??t? ??????????? ??t????t????
????? ?? ??? P? ?????
?? ?????r ?? ??? ???? ?? ?? ???st????? ???q????ss ??? ???t????t? ?? s???t???s
?? ??t??r?? ?q??t???s ?? ?????? ?? ??t????t??? P?r? ?? ???????t?? ????? ?? ???
P? ????????
?? ??????? ?? ?? ?? ???????t??? ?? t?????????? ???????s t? ??t??? ? ???
????r????? ?r???rt? ??r ??????t??????s ?r????r? ????r??t??? ?q??t???s ?? ???r???
?? ????r??t??? ?q??t???s? ????? ?? ??? ?ss? ?? P? ????????
?? ?ебутов ?? ?? ? динамических системах в пространстве непрерывных
функций ?? ?юллетень ?еханико?математического факультета ??У? ?????
?? ?? ?? ?????
?? ?еонов ?? ?? ?б оценках хаусдорфовой размерности аттракторов ??
?естник ??У? ?ерия ?? ????? ?ып? ?? С? ??????
??
ПУ?????Ц?? ??Т?Р? П? Т??? ??СС?РТ?Ц??
??? ?еонов ?? ??? Райтманн Ф?? Слепухин ?? С? ?ерхние оценки
хаусдорфовой размерности отрицательно инвариантных множеств
локальных коциклов ?? ?оклады ?кадемии ?аук? ????? Т? ???? ? ??
С? ????????
??? Райтманн Ф?? Слепухин ?? С? ? верхних оценках размерно?
сти Хаусдорфа отрицательно инвариантных множеств локальных
коциклов ?? ?естник Санкт?Петербургского университета? Серия ??
????? ?ып? ?? С? ??????
??? ?????? ?? ??? ???t???? ??? ????????? ?? ?? ????r ???s??r? ?????s???
?st???t?s ??r t?? ?????? ?ttr??t?rs ?? ??????t??????s s?st??s ? ??str??ts ?? t??
?????????? ?????tr? ??? ???????s? ??????? ????r???? ?????r????? ?????r? ???
??? ????? ????t?P?t?rs??r?? ??ss??? ????? P? ??????
??? ?????? ?? ??? ???t???? ??? ????????? ?? ?? ???????? ????t???s ?? ???s?
??r? ?????s??? ?st???t?s ?? ??????? ?ttr??t?rs ? Pr????????s ?? t?? 5th ??t?r???
t????? ?????r???? ?P??s????? ???t????r ???? ????? ???
??? ?????? ?????
??? ????????? ?? ?? ???????? ????t???s ?? ???s??r? ?????s??? ?st???t?s ??
??????? ?ttr??t?rs ? Pr????????s ?? t?? 2nd ??t?r??t????? ?????r???? ???????? ???
Pr??r?ss?? ???????r ?????? ????? ????t?P?t?rs??r?? ??ss??? ?????
Документ
Категория
Физико-математические науки
Просмотров
21
Размер файла
559 Кб
Теги
кандидатская
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа