close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Константы Лебега L-сплайнов с равномерными узлами

код для вставкиСкачать
ФИО соискателя: Ким Владимир Аркадьевич Шифр научной специальности: 01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ Шифр диссертационного совета: Д 004.006.02 Название организации: Институт математики и механики УрО РАН Адрес организаци
На правах рукописи
КИМ Владимир Аркадьевич
КОНСТАНТЫ ЛЕБЕГА L-СПЛАЙНОВ
С РАВНОМЕРНЫМИ УЗЛАМИ
01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Екатеринбург — 2012
Работа выполнена в отделе теории приближения функций Института математики и механики Уральского отделения РАН.
Научный руководитель
член-корреспондент РАН,
доктор физико-математических наук,
профессор
Субботин Юрий Николаевич
Официальные оппоненты
доктор физико-математических наук,
доцент
Волков Юрий Степанович
кандидат физико-математических наук,
старший научный сотрудник
Новиков Сергей Игоревич
Ведущая организация
Математический институт
им. В. А. Стеклова РАН
Защита состоится 15 ноября 2012 года в 10:00 на заседании диссертационного совета Д 004.006.02 при Институте математики и механики Уральского отделения РАН по адресу: 620219, г. Екатеринбург, ГСП - 384,
ул. Софьи Ковалевской, д. 16.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики
и механики Уральского отделения РАН.
Автореферат разослан "
"
Ученый секретарь
диссертационного совета Д 004.006.02
доктор физико-математических наук
2012 года.
Н.Ю.Антонов
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Предлагаемая работа посвящена вычислению представлений функций Лебега и констант Лебега в нормах C и L интерполяционных L-сплайнов с равномерными узлами формально-самосопряженного
дифференциального оператора произвольного порядка с постоянными вещественными коэффициентами и формул констант Лебега в норме C интерполяционных L-сплайнов малых порядков, в том числе для дифференциального оператора третьего порядка, в общем случае не являющегося
формально-самосопряженным.
Начало исследованию констант Лебега в C процесса сплайнинтерполяции было положено в 1968 году, когда Ф.Шурер и Е.В.Чени1
вычислили константы Лебега в C для интерполяционных периодических
кубических сплайнов с равномерными узлами. Годом позже Ф.Шурер2
вычислил константы Лебега в C для интерполяционных периодических
сплайнов пятой степени с равномерными узлами. Одним из важных результатов классической теории интерполяционных полиномиальных сплайнов
стало вычисление формул констант Лебега в C для интерполяционных полиномиальных сплайнов произвольной степени с равномерными узлами
Ф.Ричардсом3 и независимо А.А.Женсыкбаевым4 для интерполяционных
периодических полиномиальных сплайнов. Ф.Ричардс получил результат
в виде матрицы из значений специальных сплайнов, а А.А.Женсыкбаев
— в виде числового ряда. В 1975 году Ф.Ричардс5 нашел асимптотику
констант Лебега в C для интерполяционных ограниченных на вещественной прямой полиномиальных сплайнов с равномерными узлами в зависи1 Schurer
F. On interpolating cubic splines with equally-spaced nodes / F. Schurer,
E.W. Cheney // Proc. Nederlande Acad. van Wetenschappen. – 1968. – Bd. 71, H. 5.
– P. 517–524.
2 Schurer F. On interpolating periodic quintic spline functions with equally-spaced
nodes / F. Schurer. – Eindhoven, 1969. – Tech. Univ. Eindhoven; Report 69-WSK-01.
– 56 p.
3 Richards F. Best bounds for the uniform periodic spline interpolation operator
/ F. Richards // J. Approx. Theory. – 1973. – № 7. – P. 302–317.
4 Женсыкбаев А.А. Точные оценки равномерного приближения непрерывных периодических функций сплайнами r-го порядка / А.А. Женсыкбаев // Мат.
заметки. – 1973. – Т. 13, №. 2. – С. 217–228.
5 Richards F. The Lebesgue constants for cardinal spline interpolation /
F. Richards // J. Approx. Theory. – 1975. – № 2. – P. 83–92.
3
мости от степени. Задача определения асимптотического поведения констант Лебега в C для интерполяционных периодических полиномиальных
сплайнов с равномерными узлами в зависимости от степени и числа узлов
была решена Ю.Н.Субботиным и С.А.Теляковским6 . Аналогичную задачу в L на всей вещественной прямой решили М.Дж.Марсден, Ф.Ричардс
и С.Д.Рименшнайдер7 , а в 2003 году Ю.Н.Субботин и С.А.Теляковский8
определили асимптотику констант Лебега в L для периодических суммируемых на периоде полиномиальных сплайнов в зависимости от степени и
числа узлов.
Естественным обобщением классической теории полиномиальных
сплайнов является теория L-сплайнов, определяемых линейными дифференциальными операторами. Пусть далее D — оператор дифференцирования. И.Цимбаларио9 доказал, что если для последовательности
формально-самосопряженных дифференциальных операторов
N −1
LN (D) = D
(D − αj ), αj ∈ R, j = 1, N − 1,
j=1
существует число d > 0 такое, что
sup
sup
|αj | ≤ d,
N ∈N\{1} 1≤j≤N −1
то последовательность констант Лебега в C интерполяционных L-сплайнов
с равномерными узлами по порядку этих операторов не ограничена.
Х.Морше10 нашел асимптотику по порядку констант Лебега в C интерполяционных L-сплайнов с равномерными узлами для формально6 Субботин
Ю.Н. Асимптотика констант Лебега периодических интерполя-
ционных сплайнов с равномерными узлами / Ю.Н. Субботин, С.А. Теляковский
// Мат. сб. – 2000. – Т. 191, № 8. – С. 131–140.
7 Marsden
M.J. Cardinal spline interpolation operators on lp data /
F.B. Richards, S.D. Riemenschneider // Indiana Univ. Math. J. – 1975. – Vol. 24. –
P. 677–689.
8 Субботин Ю.Н. Нормы в L периодических интерполяционных сплайнов с
равноотстоящими узлами / Ю.Н. Субботин, С.А. Теляковский // Мат. заметки.
– 2003. – Т. 74, №. 1. – С. 108–117.
9 Tzimbalario J. Lebesgue constants for cardinal L-spline interpolation /
J. Tzimbalario // Canad. J. Math. – 1977. – Vol. 29, № 2. – P. 441–448.
10 ter Morsche H.G. On the Lebesgue constants for cardinal L-spline interpolation
/ H.G. ter Morsche // J. Approx. Theory. – 1985. – Vol. 45, № 3. – P. 232–246.
4
самосопряженных дифференциальных операторов нечетного порядка
n
L2n+1 (D) = D
(D2 − αj ), αj > 0, j = 1, n.
j=1
Таким образом теория констант Лебега интерполяционных L-сплайнов
с равномерными узлами на момент написания предлагаемой работы развита достаточно слабо, однако представляет большой теоретический интерес
как обобщение теории констант Лебега интерполяционных полиномиальных сплайнов с равномерными узлами.
Цель данной работы заключается в отыскании представлений функций
Лебега и констант Лебега в нормах C и L интерполяционных L-сплайнов с
равномерными узлами формально-самосопряженного дифференциального
оператора произвольного порядка с постоянными вещественными коэффициентами и точных значений констант Лебега в норме C интерполяционных L-сплайнов малых порядков, в том числе для дифференциального
оператора третьего порядка, в общем случае не являющегося формальносамосопряженным. Предполагается, что шаг сетки узлов интерполяции и
узлов разрывов старшей производной интерполяционных L-сплайнов определяется параметром h > 0, который полагается произвольным. Представления функций Лебега и констант Лебега в нормах C и L интерполяционных L-сплайнов с равномерными узлами формально-самосопряженного
дифференциального оператора произвольного порядка с постоянными вещественными коэффициентами найдены через BL-сплайны, а точные значения констант Лебега в норме C интерполяционных L-сплайнов малых
порядка - через параметр сетки h > 0 и параметры дифференциальных
операторов, определяющих интерполяционные L-сплайны.
Методы исследования. В работе применяются методы математического и функционального анализа. С помощью теоремы Ю.Н.Субботина о
решении бесконечных систем разностных уравнений удается построить
представление интерполяционного L-сплайнов через BL-сплайны и значения интерполируемой функции в узлах интерполяции. Это представление
применяется к отысканию вида фундаментального L-сплайна через BLсплайны. Находятся представления искомых функций Лебега и констант
Лебега с использованием фундаментального L-сплайна и его свойств.
Научная новизна. В диссертации впервые найдены точные значения и
представления констант Лебега в нормах C и L для интерполяционных
5
L-сплайнов с равномерными узлами формально-самосопряженного дифференциального оператора произвольного порядка с постоянными вещественными коэффициентами. Впервые построены представления функций
Лебега в норме C интерполяционных L-сплайнов с равномерными узлами формально-самосопряженного дифференциального оператора произвольного порядка с постоянными вещественными коэффициентами через BL-сплайны. Впервые найдены точные значения констант Лебега в
норме C интерполяционных L-сплайнов с равномерными узлами дифференциального оператора, в общем случае не являющегося формальносамосопряженным.
Основные положения, выносимые на защиту:
1. Представления функций Лебега и констант Лебега в норме C интерполяционных L-сплайнов с равномерными узлами формальносамосопряженного дифференциального оператора произвольного порядка с постоянными вещественными коэффициентами
n
L2n+µ (D) = Dµ
(D2 − αi2 ),
αi > 0,
n ∈ N,
µ ∈ {1, 2}.
i=1
2. Формулы констант Лебега в норме C интерполяционных L-сплайнов
с равномерными узлами формально-самосопряженных дифференциальных операторов третьего и четвертого порядков
L2+µ (D) = Dµ (D2 − α2 ),
µ ∈ {1, 2}.
α > 0,
3. Формулы констант Лебега в норме C интерполяционных L-сплайнов
с равномерными узлами дифференциального оператора третьего порядка, в общем случае не являющегося формально-самосопряженным
L3 (D) = D(D − α)(D − β),
α < 0,
β > 0.
4. Представления констант Лебега в норме L интерполяционных Lсплайнов с равномерными узлами формально-самосопряженного
дифференциального оператора произвольного порядка с постоянными вещественными коэффициентами
n
L2n+µ (D) = Dµ
(D2 − αi2 ),
αi > 0,
i=1
6
n ∈ N,
µ ∈ {1, 2}.
Практическая ценность результатов. Константы Лебега находят применение в численном анализе при оценке погрешности аппроксимации
"зашумленных"данных, а именно справедливо неравенство Лебега: пусть
функции f, fδ : R → R таковы, что ||f − fδ || ≤ δ для некоторого δ > 0, S(f )
и S(fδ ) — интерполяционные L-сплайны соответственно для функций f и
fδ , и ||LL || — константа Лебега для интерполяционных L-сплайнов, тогда
||f − S(fδ )|| ≤ ||f − S(f )|| + ||LL || · δ.
Аппробации работы. Основные результаты диссертации докладывались
на международных конференциях "Современные проблемы математики,
механики, информатики"
(Россия, Тула, 2006), "Международная конференция, посвященная 100-летию С. Л. Соболева" (Россия, Новосибирск, 2008), "2nd Dolomites workshop on constructive approximation and
applications" (Italy, Alba di Canazei, 2009), "Методы-сплайн функций"
(Россия, Новосибирск, 2011).
Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и
списка цитированной литературы, который содержит 37 наименований.
Общий объем работы составляет 87 страниц.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1, 2, 3] в
научных журналах из Перечня российских рецензируемых научных журналов, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученых степеней доктора и кандидата наук.
Личный вклад соискателя. Диссертация является самостоятельным научным исследованием соискателя. В статьях [1, 2, 3] постановка задачи
принадлежит Ю.Н.Субботину.
7
Основное содержание работы
Во введении обоснована актуальность темы диссертации и кратко изложено содержание работы. Через B(·) будет обозначаться центральный BLсплайн и везде далее h > 0.
Первая глава состоит из четырех параграфов и посвящена отысканию
представлений функций Лебега и констант Лебега в норме C интерполяционных L-сплайнов с равномерными узлами формально-самосопряженного
дифференциального оператора произвольного порядка с постоянными вещественными коэффициентами. В данной главе узлы интерполяции Lсплайнов порядка N ∈ N\{1} выбраны в точках {2hi, i ∈ Z}, а узлы
возможных разрывов (N − 1)-ой производной — в {2hi + hN, i ∈ Z}. §0
— введение для данной главы. §1 содержит вспомогательные результаты,
на которые опираются доказательства данной главы: теорему С.Карлина11
об оценке точной верхней грани числа перемен знака в последовательности
значений L-сплайна через число перемен знака в последовательности коэффициентов разложения рассматриваемого L-сплайна через BL-сплайны
и обобщения теорем Ф.Ричардса12 об оценке числа нулей на периоде периодического L-сплайна и о свойстве сохранения знака фундаментальным
L-сплайном, а также теорему Ю.Н.Субботина13 о решении бесконечных
систем разностных уравнений с возвратным характеристическим многочленом. §2 посвящен отысканию представлений функций Лебега в норме C интерполяционных L-сплайнов с равномерными узлами формальносамосопряженного дифференциального оператора произвольного порядка с постоянными вещественными коэффициентами. Доказаны следующие
теоремы:
Теорема 1.1. Для дифференциальных операторов
n
L2n+µ (D) = Dµ
(D2 − αi2 ),
αi > 0,
n ∈ N,
µ ∈ {1, 2},
i=1
при любом x ∈ [0, 2h] и p ∈ N\{1} функция Лебега LL
p (x) интерполяци11 Karlin
S. Total positivity / S. Karlin. Stanford: Univ. Press, 1968. – Vol. 1.–
576 p.
12 Richards F. Best bounds for the uniform periodic spline interpolation operator
/ F. Richards // J. Approx. Theory. – 1973. – № 7. – P. 302–317.
13 Субботин Ю.Н. О связи между конечными разностями и соответствующими производными / Ю.Н. Субботин // Тр. МИАН СССР. – 1965. – Т. 78. –
C. 24–42.
8
онных 2hp-периодических L-сплайнов совпадает с L-сплайном lpL (x), рассматриваемым на всей вещественной прямой и задаваемым следующим
образом:
если p нечетно, то
+∞
p
n
p−(|t−q| mod p)
(−1)q−1 (xs
lpL (x) =
(1 −
t=−∞ q=1 s=1
xps )P
|t−q| mod p
+ xs
(xs )
)xn−1
s
B(x − 2ht);
если p четно, то
+∞
lpL (x)
=
t=−∞
p
p/2
n
p−(|t−q| mod p)
(−1)q−1 (xs
n
+
(1 −
q=1 s=1
p−(|t−q| mod p)
(−1)q (xs
q=p/2+1 s=1
xps )P
|t−q| mod p
+ xs
p
(1 − xs )P (xs )
|t−q| mod p
+ xs
(xs )
)xn−1
s
)xn−1
s
B(x − 2ht),
где {xs , s = 1, n} — нули многочлена
2n
B(2h(j − n))z j ,
P (z) =
j=0
лежащие на (−1, 0), и |l| mod p — остаток от деления |l| на p.
Теорема 1.2. Для дифференциальных операторов
n
L2n+µ (D) = Dµ
(D2 − αi2 ),
αi > 0,
n ∈ N,
µ ∈ {1, 2},
i=1
при любом x ∈ [0, 2h] функция Лебега LL
∞ (x) интерполяционных ограниL
ченных на вещественной прямой L-сплайнов совпадает с L-сплайном l∞
(x),
рассматриваемым на всей вещественной прямой и задаваемым следующим
образом:
0
n
L
l∞
(x) =
t=−∞ s=1
+∞ n
Qs (t)
Qs (−t + 1)
B(x−2ht)+
B(x−2ht),
(1 + xs )P (xs )
(1
+ xs )P (xs )
t=1 s=1
где Qs (τ ) = (|xs |τ −2|xs |+|xs |τ +1 )xn−1−τ
и {xs , s = 1, n} — нули многочлена
s
2n
B(2h(j − n))z j ,
P (z) =
j=0
лежащие на (−1, 0).
9
§3 посвящен отысканию представлений констант Лебега в норме
C интерполяционных L-сплайнов с равномерными узлами формальносамосопряженного дифференциального оператора произвольного порядка с постоянными вещественными коэффициентами. Доказаны следующие
теоремы:
Теорема 1.3. Пусть p ∈ N\{1}. Для дифференциальных операторов
n
L2n+µ (D) = Dµ
(D2 − αi2 ),
n ∈ N,
αi > 0,
µ ∈ {1, 2},
i=1
константы Лебега в C интерполяционных 2hp-периодических L-сплайнов
выражаются следующим образом:
если p нечетно, то
p
n+1
n
|t−q| mod p
p−(|t−q| mod p)
+ xs
P (xs )(1 − xps )
(xs
||LL
p ||∞ =
t=−n q=1 s=1
)xn−1
s
(−1)q−1 B(h−2ht);
если p четно, то
n+1
||LL
p ||∞ =
t=−n
p
p/2
n
(−1)
|t−q| mod p
+ xs
P (xs )(1 − xps )
(xs
q=1 s=1
n
+
p−(|t−q| mod p)
(−1)q−1
|t−q| mod p n−1
)xs + xs
B(h
(xs )(1 − xps )
p−(|t−q| mod p)
q (xs
P
q=p/2+1 s=1
)xn−1
s
− 2ht),
где |t − q| mod p — остаток от деления |t − q| на p и {xs , s = 1, n} — нули
многочлена
2n
B(2h(j − n))z j ,
P (z) =
j=0
лежащие на (−1, 0).
Теорема 1.4. Для дифференциальных операторов
n
L2n+µ (D) = Dµ
(D2 − αi2 ),
αi > 0,
n ∈ N,
µ ∈ {1, 2},
i=1
константы Лебега в C интерполяционных ограниченных на вещественной
прямой L-сплайнов выражаются следующим образом:
0
n
||LL
∞ ||∞ =
t=−n s=1
n+1 n
Qs (t)
Qs (−t + 1)
B(h−2ht)+
B(h−2ht),
(1 + xs )P (xs )
(1
+ xs )P (xs )
t=1 s=1
10
где Qs (τ ) = (|xs |τ −2|xs |+|xs |τ +1 )xn−1−τ
и {xs , s = 1, n} — нули многочлена
s
2n
B(2h(j − n))z j ,
P (z) =
j=0
лежащие на (−1, 0).
Глава 2 состоит из трех параграфов и посвящена отысканию точных
значений констант Лебега в норме C интерполяционных L-сплайнов с равномерными узлами формально-самосопряженных дифференциальных операторов третьего и четвертого порядков с постоянными вещественными коэффициентами. В данной главе узлы интерполяции L-сплайнов третьего и
четвертого порядков выбраны в точках {2hi, i ∈ Z}, а узлы возможных
разрывов второй производной интерполяционных L-сплайнов третьего порядка — в {2hi + h, i ∈ Z} и узлы возможных разрывов третьей производной интерполяционных L-сплайнов четвертого порядка — в {2hi, i ∈ Z}.
§0 — введение для данной главы. §1 посвящен отысканию точных значений констант Лебега в норме C интерполяционных L-сплайнов с равномерными узлами формально-самоспряженного дифференциального оператора
третьего порядка. Доказаны следующие теоремы:
Теорема 2.1.
оператора
Пусть p ∈ N\{1} и p — нечетно. Для дифференциального
L(D) = D(D2 − α2 ), α > 0,
константы Лебега в C интерполяционных 2hp-периодических L-сплайнов
имеют следующее явное выражение:
||LL
p ||∞ =
1 − |x1 |p
1 + |x1 |p
ch(2hα) − 1
,
(ch(hα) − 1)2 − sh2 (hα)
где
− ch(2hα) + ch(hα) +
x1 =
(ch(2hα) − 1)((ch(hα) − 1)2 + sh2 (hα))
ch(hα) − 1
Теорема 2.2.
оператора
.
Пусть p ∈ N\{1} и p — четно. Для дифференциального
L(D) = D(D2 − α2 ), α > 0,
константы Лебега в C интерполяционных 2hp-периодических L-сплайнов
имеют следующее явное выражение:
||LL
p ||∞ =
1 − |x1 |p/2
·
1 + |x1 |p/2
ch(2hα) − 1
,
(ch(hα) − 1)2 + sh2 (hα)
11
где
− ch(2hα) + ch(hα) +
x1 =
(ch(2hα) − 1)((ch(hα) − 1)2 + sh2 (hα))
ch(hα) − 1
.
Теорема 2.3. Для дифференциального оператора
L(D) = D(D2 − α2 ), α > 0,
константы Лебега в C интерполяционных ограниченных на вещественной
прямой L-сплайнов имеют следующее явное выражение:
||LL
∞ ||∞ =
ch(2hα) − 1
.
(ch(hα) − 1)2 + sh2 (hα)
§2 посвящен отысканию точных значений констант Лебега в норме
C интерполяционных L-сплайнов с равномерными узлами формальносамоспряженного дифференциального оператора четвертого порядка. Доказаны следующие теоремы:
Теорема 2.4.
оператора
Пусть p ∈ N\{1} и p — нечетно. Для дифференциального
L(D) = D2 (D2 − α2 ), α > 0,
константы Лебега в C интерполяционных 2hp-периодических L-сплайнов
выражаются следующим образом:
||LL
p ||∞ =
1
2(1 −
xp1 )
·
(hα ch(2hα) − sh(2hα) + hα)(hα ch(2hα) − hα)
·
· ((2hα ch(2hα) − sh(hα) − hα)(1 + xp1 )+
+(sh(hα) − hα)(|x1 |p + 2|x1 |p−1 − 2|x1 | − 1) ,
где
x1 =
1
· −2hα ch(2hα) + sh(2hα)+
sh(2hα) − 2hα
+2 (hα ch(2hα) − sh(2hα) + hα)(hα ch(2hα) − hα) .
Теорема 2.5.
оператора
Пусть p ∈ N\{1} и p — четно. Для дифференциального
L(D) = D2 (D2 − α2 ), α > 0,
12
константы Лебега в C интерполяционных 2hp-периодических L-сплайнов
выражаются следующим образом:
1
·
||LL
p ||∞ =
2(1 − xp1 ) · (hα ch(2hα) − sh(2hα) + hα)(hα ch(2hα) − hα)
· (2hα ch(2hα) − sh(hα) − hα)(1 − |x1 |p/2 )2 + (sh(hα) − hα)·
·(−|x1 |p − 2|x1 |p−1 + 2|x1 |p/2+1 + 2|x1 |p/2 + 2|x1 |p/2−1 − 2|x1 | − 1) ,
где
− ch(2hα) + ch(hα) +
x1 =
(ch(2hα) − 1)((ch(hα) − 1)2 + sh2 (hα))
.
ch(hα) − 1
Теорема 2.6. Для дифференциального оператора
L(D) = D2 (D2 − α2 ), α > 0,
константы Лебега в C интерполяционных ограниченных на вещественной
прямой L-сплайнов выражаются следующим образом:
||LL
∞ ||∞ =
2hα ch(2hα) − sh(hα) − hα + (2x1 − 1)(sh(hα) − hα)
2
(hα ch(2hα) − sh(2hα) + hα)(hα ch(2hα) − hα)
,
где
x1 =
+2
1
· −2hα ch(2hα) + sh(2hα)
sh(2hα) − 2hα
(hα ch(2hα) − sh(2hα) + hα)(hα ch(2hα) − hα) .
Глава 3 состоит из пяти параграфов и посвящена отысканию функции
Лебега и константы Лебега в норме C интерполяционных ограниченных
на вещественной прямой L-сплайнов дифференциального оператора третьего порядков с постоянными вещественными коэффициентами, в общем
случае не являющегося формально-самосопряженным. В данной главе ω
— единственный на (0, 2h) нуль специальной функции, а узлы интерполяции L-сплайнов третьего порядка выбраны в точках {2hi, i ∈ Z} и узлы
возможных разрывов второй производной — в {2hi − ω, i ∈ Z}. L-сплайны
с так выбранными узлами обладают рядом отличительных аппроксимативных свойств, доказанными в работах С.И.Новикова14 , С.И.Новикова15 ,
14 Новиков
Ln
С.И. Приближение класса W∞
интерполяционными периодиче-
скими L-сплайнами / С.И. Новиков // Приближение функций полиномами и
сплайнами. – Свердловск, 1985. – С. 118–126.
15 Новиков С.И. Приближение одного класса дифференцируемых функций
L-сплайнами / С.И. Новиков // Мат. заметки. – 1983. – Т. 33, № 3. – С. 393–408.
13
В.Т.Шевалдина16 , И.Н.Володиной17 , С.И.Новикова18 . §0 — введение для
данной главы. §1 содержит вспомогательную для данной главы теорему
Ю.Н.Субботина19 о решении бесконечных систем разностных уравнений с
произвольным характеристическим многочленом. В §2 выписано представление интерполяционного L-сплайна третьего порядка через BL-сплайны
и значения интерполируемой функции в узлах интерполяции. В §3 найдена функция Лебега в норме C интерполяционных ограниченных на вещественной прямой L-сплайнов дифференциального оператора третьего
порядка с постоянными вещественными коэффициентами, в общем случае
не являющегося формально-самосопряженным:
Теорема 3.1. Для дифференциального оператора
L(D) = D(D − α)(D − β), α < 0, β > 0,
функция Лебега интерполяционных L-сплайнов 2h-периодична и для
x ∈ [−ω, 0] представима в виде
LL
∞ (x) =
+
e2hβ I−1 − (1 + e2hβ )I0 + I1 (x+ω)α
·e
+
α(α − β)
e2hα I−1 − (1 + e2hα )I0 + I1 (x+ω)β
·e
+
β(β − α)
+
e2h(α+β) I−1 − (e2hα + e2hβ )I0 + I1
,
αβ
а для x ∈ [0, 2h − ω] — в виде
LL
∞ (x) =
16 Шевалдин
e2hβ J−1 − (1 + e2hβ )J0 + J1 (x+ω)α
·e
+
α(α − β)
В.Т. L-сплайны и поперечники / В.Т. Шевалдин // Мат. замет-
ки. – 1983. – Т. 33, № 5. – С. 735–744.
17 Volodina I.N. Exact value of widths of certain class of solutions of linear
differential equations / I.N. Volodina // Analysis Math.– 1985. – Vol. 11, №. 1. –
P. 85–92.
18 Новиков С.И. Поперечник одного класса периодических функций, определяемого дифференциальным оператором / С.И. Новиков // Мат. заметки. – 1987.
– Т. 42, № 2. – С. 194–206.
19 Субботин Ю.Н. Экстремальные задачи функциональной интерполяции и
интерполяционные в среднем сплайны / Ю.Н. Субботин // Тр. МИАН: Приближение функций и операторов. – 1975. – Т. 138. – C. 118–173.
14
+
e2hα J−1 − (1 + e2hα )J0 + J1 (x+ω)β
·e
+
β(β − α)
+
e2h(α+β) J−1 − (e2hα + e2hβ )J0 + J1
,
αβ
где
1
I−1 = √ ·
∆
1
I1 = √ ·
∆
1
1
+
1 + x1
1 + x2
2x21 + x1
x2
−
1 + x1
1 + x2
1
, I0 = √ ·
∆
1
, J−1 = √ ·
∆
x1
x2
+
1 + x1
1 + x2
,
−1
2 + x2
+
1 + x1
x2 (1 + x2 )
,
1
x1
1
1
1
x2
J0 = √ ·
+
, J1 = √ ·
+
,
1 + x1
1 + x2
1 + x1
1 + x2
∆
∆
x1 , x2 — два вещественных отрицательных нуля многочлена
P (z) = B(2h) + B(0)z + B(−2h)z 2 , причем x2 < −1 < x1 < 0,
∆ — дискриминант многочлена P (z).
В §4 найдена константа Лебега в норме C интерполяционных ограниченных на вещественной прямой L-сплайнов дифференциального оператора третьего порядка с постоянными вещественными коэффициентами, в
общем случае не являющегося формально-самосопряженным:
Теорема 3.2. Для дифференциального оператора
L(D) = D(D − α)(D − β), α < 0, β > 0,
если x1 x2 ≤ 1, то для константы Лебега в C интерполяционных ограниченных на вещественной прямой L-сплайнов третьего порядка выполняется
||LL
∞ ||∞ = −
1
·
αβ
e2hα I−1 − (1 + e2hα )I0 + I1
· e2hβ I−1 − (1 + e2hβ )I0 + I1
β
β−α
α
α−β
−
− e2h(α+β) I−1 − (e2hα + e2hβ )I0 + I1
,
если же x1 x2 ≥ 1, то
||LL
∞ ||∞ = −
1
·
αβ
e2hα J−1 − (1 + e2hα )J0 + J1
· e2hβ J−1 − (1 + e2hβ )J0 + J1
β
β−α
−
− e2h(α+β) J−1 − (e2hα + e2hβ )J0 + J1
15
.
α
α−β
Здесь
1
I−1 = √ ·
∆
1
I1 = √ ·
∆
1
1
+
1 + x1
1 + x2
2x21 + x1
x2
−
1 + x1
1 + x2
1
, I0 = √ ·
∆
1
, J−1 = √ ·
∆
x1
x2
+
1 + x1
1 + x2
,
−1
2 + x2
+
1 + x1
x2 (1 + x2 )
,
1
x1
1
1
x2
1
+
, J1 = √ ·
+
,
J0 = √ ·
1
+
x
1
+
x
1
+
x
1
+
x2
∆
∆
1
2
1
x1 , x2 — два вещественных отрицательных нуля многочлена
P (z) = B(2h) + B(0)z + B(−2h)z 2 , причем x2 < −1 < x1 < 0,
∆ — дискриминант многочлена P (z).
Четвертая глава состоит из трех параграфов и посвящена отысканию
представлений констант Лебега в норме L интерполяционных L-сплайнов
с равномерными узлами формально-самосопряженного дифференциального оператора произвольного порядка с постоянными вещественными коэффициентами. В данной главе узлы интерполяции L-сплайнов порядка
N ∈ N\{1} выбраны в точках {2hi, i ∈ Z}, а узлы возможных разрывов (N − 1)-ой производной — в {2hi + hN, i ∈ Z}. §0 — введение для
данной главы. §1 содержит вспомогательную для данной главы теорему
Ж.Шаоху и Л.Йонгпина20 об интегральном представлении константы Лебега в L суммируемых на вещественной прямой L-сплайнов, интерполирующих суммируемые последовательности, посредствам фундаментального
L-сплайна. §2 посвящен отысканию представлений констант Лебега в норме L интерполяционных L-сплайнов с равномерными узлами формальносамосопряженного дифференциального оператора произвольного порядка с постоянными вещественными коэффициентами. Доказаны следующие
теоремы:
Теорема 4.1.
Для дифференциальных операторов
n
L2n+µ (D) = Dµ
(D2 − αi2 ),
αi > 0,
n ∈ N,
µ ∈ {1, 2},
i=1
константы Лебега в L суммируемых на вещественной прямой L-сплайнов,
интерполирующих суммируемые последовательности, имеют следующее
20 Shaohui
G. Asymptotic estimate for the Lebesgue constant of cardinal L-spline
interpolation operator / Gui Shaohui, Liu Yongping // East J. on Approx. – 2007. –
Vol. 13, № 3. – P. 331–355.
16
явное выражение:
−1
n
||LL
∞ ||1 =
t=−n−2 s=1
где
Q∗s (τ )
n+1 n
Q∗s (t)
Q∗s (−t − 1)
B ∗ (h+2ht)+
B ∗ (h+2ht),
(x
)
(1 + xs )P (xs )
(1
+
x
)P
s
s
t=0 s=1
= (2 − |xs |l − |xs |l+1 )xn−1−τ
, {xs , s = 1, n} — нули многочлена
s
2n
B(2h(j − n))z j ,
P (z) =
j=0
∗
лежащие на (−1, 0), и B (x) — BL∗ -сплайн для дифференциального оператора L∗ (D) = DL(D).
Теорема 4.2. Пусть p ∈ N\{1}. Для дифференциальных операторов
n
L2n+µ (D) = Dµ
(D2 − αi2 ),
n ∈ N,
αi > 0,
µ ∈ {1, 2},
i=1
константы Лебега в L 2hp-периодических L-сплайнов, интерполирующих
периодические последовательности, имеют следующее явное выражение:
если p нечетно, то
p−1 n
n+1
p−(|t−q| mod p)
|t−q| mod p
+ xs
P (xs )(1 − xps )
(xs
||LL
p ||1 =
t=−n−2 q=0 s=1
)xn−1
s
(−1)q B ∗ (h+2ht);
если p четно, то
p/2−1 n
n+1
||LL
p ||1
=
t=−n−2
p−1
n
+
p−(|t−q| mod p)
(−1)q
(xs
q=0 s=1
p−(|t−q| mod p)
(−1)
q−1 (xs
q=p/2 s=1
|t−q| mod p
+ xs
P (xs )(1 − xps )
|t−q| mod p
+ xs
P (xs )(1 − xps )
)xn−1
s
)xn−1
s
B ∗ (h + 2ht),
где {xs , s = 1, n} — нули многочлена
2n
B(2h(j − n))z j ,
P (z) =
j=0
∗
лежащие на (−1, 0), B (t) — BL∗ -сплайн для дифференциального оператора L∗ (D) = DL(D), и |t − q| mod p — остаток от деления |t − q| на p.
Автор благодарен Ю.Н.Субботину за постановку задач и внимание, оказанное к данной работе.
17
Список публикаций автора по теме диссертации
1. Ким В.А. Точные константы Лебега для интерполяционных Lсплайнов третьего порядка / В.А. Ким // Мат. заметки. – 2008. –
Т. 84, № 1. – С. 59–68.
2. Ким В.А. Точные константы Лебега для интерполяционных ограниченных L-сплайнов третьего порядка / В.А. Ким // Сиб. мат. журнал.
– 2010. – Т. 51, № 2. – С. 330–341.
3. Ким В.А. Точные константы Лебега для интерполяционных Lсплайнов формально-самосопряженного дифференциального оператора / В.А. Ким // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. –
2011. – Т. 17, № 3. – C. 169–177.
18
Документ
Категория
Физико-математические науки
Просмотров
54
Размер файла
383 Кб
Теги
кандидатская
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа