close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Модифицированный метод сплайн-коллокации в задачах статики и динамики тонких пластин при произвольных граничных условиях

код для вставкиСкачать
ФИО соискателя: Ромакина Оксана Михайловна Шифр научной специальности: 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела Шифр диссертационного совета: Д 212.243.10 Название организации: Саратовский государственный университет им.Н.Г.Чернышевского Адр
На правах рукописи
Ромакина Оксана Михайловна
Модифицированный метод сплайн-коллокации
в задачах статики и динамики тонких пластин
при произвольных граничных условиях
01.02.04 – Механика деформируемого твердого тела
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Саратов – 2012
Работа выполнена на кафедре математической теории упругости и биомеханики
ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет
имени Н. Г. Чернышевского».
Научный руководитель:
доктор технических наук
профессор Недорезов Петр Феодосьевич
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук
профессор Козлов Владимир Анатольевич
(Воронеж, ВГАСУ)
доктор физико-математических наук
профессор Шляхов Станислав Михайлович
(Саратов, СГТУ)
Ведущая организация:
Институт проблем точной механики и управления РАН
(Саратов)
Защита состоится «
совета
»
ноября 2012 г. в 1530 на заседании диссертационного
Д 212.243.10 при Саратовском государственном университете им. Н.Г.
Чернышевского по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83, СГУ, 9
корп., 18 ауд
С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке Сара­
товского государственного университета.
Автореферат разослан «
» «
» 2012 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета
к. ф.-м. н., доцент
Шевцова Ю.В.
Общая характеристика работы
Диссертационная работа посвящена разработке модифицированного метода
сплайн-коллокации для решения задач статического изгиба и установившихся ко­
лебаний токих идеально упругих и вязкоупругих пластин при различных условиях
закрепления или нагружения контура пластины. В рамках предлагаемой модифи­
кации на граничные условия накладывается единственное ограничение – их вид
в пределах каждой из сторон контура остается неизменным.
Актуальность работы.
Начало теории пластин и стержней положили работы великих математиков.
Изучением деформации стержней занимались Я. Бернулли, Л. Эйлер, Д. Бернул­
ли. Уравнение изгиба пластины было получено С. Жермен, а Г. Кирхгоф и А.
Сен-Венан окончательно сформулировали идею понижения размерности. Изуче­
нию уравнений теории анизотропных пластинок посвящены работы С.Г. Лехниц­
кого. Случай изотропных пластинок рассматривается в работах Б.Г. Галеркина
и С.П. Тимошенко. В статьях М.М. Фридмана были получены решения задач об
изгибе различных изотропных пластинок. Теории пластин и оболочек посвящены
также монографии С.А.Амбарцумяна, A.Л. Гольденвейзера. В работах Тимошен­
ко и Войновского-Кригера основное внимание уделяется решению конкретных за­
дач об упругих деформациях пластинок и оболочек. Здесь проводится различие
между тонкими пластинками, подвергающимся малым, в сравнении с толщиной
пластинки, прогибам, и тонкими пластинками, подвергающимся большим проги­
бам. Чтобы вычислить напряжение для любой точки пластинки первого типа
необходимо решить дифференциальное уравнение в частных производных, кото­
рое вместе с граничными условиями определяет прогиб пластинки, являющийся
функцией двух координат в ее плоскости. Для таких пластинок разных геометри­
ческих форм рассмотрены изгибы по цилиндрической поверхности, чистый изгиб,
симметричный изгиб, поперечные нагрузки, различные условия опирания по кра­
ям; также описывается изгиб анизотропной пластинки.
В настоящее время усилиями многих поколений ученых построены различные
теории, описывающие напряженно-деформированное состояние тонкостенных кон­
струкций, и разработаны эффективные методы их расчета. Несмотря на то, что
3
достигнуты значительные успехи в развитии теории и разработке приближенных
методов решения различных прикладных задач, круг проблем, требующих своего
разрешения, по-прежнему обширен.
Одной из актуальных является проблема, связанная с разработкой таких при­
ближенных методов решения краевых задач теории пластин, которые были бы
универсальны, эффективны и не слишком требовательны к машинным ресурсам
при реализации.
Цели диссертационной работы.
∙
Разработка модифицированного метода сплайн-коллокации для решения за­
дач статического изгиба и установившихся колебаний идеально упругих и
вязкоупругих прямоугольных пластинок при сложных способах закрепле­
ния контура.
∙
Решение модельных задач для апробации разработанной методики, сравне­
ние результатов с известными аналитическими решениями.
∙
Решение различных задач при нестандартных условиях закрепления (пла­
стинка с двумя смежными закрепленными сторонами, консольная пластин­
ка, пластинка, подкрепленная в угловых точках и пр.).
Научная новизна. В работе впервые построена модификация метода сплайн­
коллокации для решения задач статического изгиба и установившихся колебаний
идеально упругих и вязкоупругих прямоугольных пластинок для сложных спо­
собов закрепления контура. Все задачи, решенные в рамках апробации предло­
женного метода, решены впервые (за исключением модельных). В ходе вычис­
лительных экспериментов выявлен и исследован ряд механических эффектов и
закономерностей.
Достоверность. Достоверность полученных результатов обеспечивается стро­
гостью математической постановки задачи и обоснованным применением соответ­
ствующего математического аппарата при построении метода и хорошим совпаде­
нием результатов для модельных задач при численном решении.
Практическая значимость. Работа имеет как теоретический, так и при­
кладной характер. Предложенный в работе метод может найти применение при
4
решении широкого спектра задач статического изгиба и установившихся колеба­
ний тонких пластин с разнообразными условиями закрепления или нагружения
контура. Результаты, полученные в ходе численного решения задач, могут исполь­
зоваться при моделировании поведения различных тонких пластин в разнообраз­
ных прикладных областях.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докла­
дывались на:
∙
Второй Всероссийской научной конференции (Самара, СамГТУ, 2005г);
∙
V Российской конференции с международным участием «Смешанные зада­
чи механики деформируемого тела» (Саратов, СГУ, 2005г);
∙
XXI Международной конференции по теории оболочек и пластин (Саратов,
СГТУ, 2005);
∙
научных семинарах кафедры математической теории упругости и биомеха­
ники Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского
под руководством д.ф.-м.н., профессора Коссовича Л.Ю.
На защиту выносятся следующие основные результаты и положе­
ния:
∙
Модификация метода сплайн-коллокации для решения задач статического
изгиба и установившихся колебаний идеально упругих и вязкоупругих пла­
стинок для сложных способов закрепления контура.
∙
Результаты и выводы, сделанные по итогам вычислительных эксперимен­
тов по определению напряженно-деформированного состояния и резонанс­
ных частот прямоугольных пластинок со сложными условиями закрепления
контура.
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 9 печатных работах,
из них 5 статей в журналах из списка, рекомендованного ВАК, 4 публикации в
трудах конференций и сборниках научных трудов.
5
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из
введения, пяти глав, заключения и списка цитированной литературы. Материал
работы изложен на 124 страницах, содержит 41 рисунок и 17 таблиц, список ци­
тированной литературы содержит 93 наименования.
Содержание работы
Во введении обоснована актуальность выбора темы диссертационной рабо­
ты, сформулированы цели и задачи, дан краткий обзор публикаций по теории тон­
ких пластин, и аргументирована научная новизна исследований, показана практи­
ческая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту
положения.
В первой главе работы рассмотрена постановка задачи статического изгиба
тонких пластинок из изотропного идеально упругого материала. Предполагает­
ся, что пластинка испытывает малые деформации, подчиняющиеся закону Гука.
Предполагаются справедливыми гипотезы Кирхгофа (рис.1).
Рассматривается прямоугольная пластинка малой толщины
плана
 × .
Стороны
=0
и
=
ℎ
деформированы или загружены заданным
образом, вид условий на этих сторонах не меняется. Условия при

с размерами
 = 0
и
 =
могут быть произвольными, в том числе не исключается случай разрывных
граничных условий.
q(x, y)
В безразмерных координатах
 = /,  = /
уравнение для определения безразмерного прогиба
B
O
x
Q
M
имеет вид
y A
4
4
C
4
 
(, )
2  
4 
+
2
+

=
,
 4
 2  2
 4
*
(1)
Рис. 1.
ℎ40
где обозначено  (, ) = (, )/ℎ, * =
— приведенная цилиндриче­
12(1 −  2 )
ская жесткость пластинки на изгиб, ℎ0 = ℎ/ — безразмерная толщина,  = /,

и

— модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала.
Внутренние моменты и перерезывающие силы связаны с функцией прогиба
6
соотношениями
 = −* 
2
(︂
2
 2
2 
+ 
 2
 2
3
 3
2  
 = −* 
+
 3
   2
(︂
)︂
)︂
, 
 2
,
= −(1 − )*  
  
2

, * = −* 

(︂
2
 2
2 
+ (2 − )
 2
 2
(2)
)︂
,
( ⇔ ;  ⇔ /) .
Для численного решения задач об изгибе пластинки с двумя произвольно закреп­
ленными противоположными сторонами Я.М.Григоренко и Н.Н.Крюковым был
предложен ставший классическим метод сплайн – коллокации.
Согласно этому методу, решение краевой задачи для уравнения (1) ищется в
виде
 (, ) =

∑︁
 () (),
(3)
=0
где
 ()
— линейные комбинации
системе узлов
 -сплайнов
пятой степени, определенные на
 = ℎ ( = −5;  + 5), ℎ = 1/ ,
при
 ≤ −3
и
 ≥ +3
5, () ≡ 0
Функции
 () определяются как решение краевой задачи для системы обык­
новенных дифференциальных уравнений, которые получаются в результате под­
становки (3) в уравнение (1) из требования, чтобы последнее удовлетворялось
в точках коллокации. Граничные условия (ГУ) для
закрепления или нагружения при
 = 0
и
 = 1.
 ()
следуют из условий
Полученная краевая задача
решается численно, например, методом дискретной ортогонализации С.К. Году­
нова. Однако данный метод неприменим, когда стороны
0
и

деформированы
заданным образом или загружены усилиями и моментами известной интенсивно­
сти. В этих случаях в (3) не удается подобрать функции
 ()
так, чтобы ГУ
удовлетворялись в точках коллокации.
В диссертационной работе предложена модификация метода сплайн-коллока­
ции, позволяющая рассмотреть различные варианты ГУ. Решение уравнения (1)
ищется в виде
 (, ) =

+2
∑︁
=−2
7
5, ()Φ ().
(4)
В работе рассматриваются различные варианты ГУ на сторонах
В случае, если на стороне
0
0
и
 .
заданы прогиб и угол поворота
 (0 , ) = 0* (), Θ(0 , ) =
  (0 , )
= Θ*0 ().

(5.1)
или условия смешанного типа
(0)
 (0 , ) =
0* (),
2
 ()
 2  (0 , )
2   (0 , )
+ 
=−  2 ,
2
2


* 
(5.2.1)
или
  (0 , )
 3  (0 , )
 3  (0 , )
* ()
*
2
= Θ0 (),
+

(2
−
)
=
−
,

 3
   2
* 
(5.2.2)
тогда
Φ− () =
2
∑︁
()
(0)
 Φ () +  (), ( = 1, 2)
(*)
=0
Выражения для
()

и
(0)

для каждого варианта ГУ приводятся в работе.
В случае, когда на стороне
0
заданы условия
(0)
2
 ()
 2  (0 , )
2   (0 , )
+


=
−
,
 2
 2
 * 2
 3  (0 , )
 3  (0 , )
* ()
2
+

(2
−
)
=
−
.
 3
   2
* 
(5.3)
2
2
2
∑︁
∑︁
2 Φ−
()
()  Φ
(0)
=
 Φ () +

+  (), ( = 1, 2)
2
2


=−2
=0
(**)
имеем
Выражения для
()

и
(0)

для данного варианта ГУ также приводятся в работе.
Аналогичные результаты получаются на стороне
 .
В зависимости от сочетания вариантов ГУ на сторонах
0
и

методика
дальнейшего решения будет отличаться деталями. В случаях условий (5.1) и (5.2)
на сторонах
0
и

функции

 (, ) =
представляются в виде

∑︁
 ()Φ () + 1 (, ).
=0
8
(6)
Выражение для
1 (, )
известно и приводится в работе. Далее выражение (6)
подставляется в (1) и требуется, чтобы результат подстановки выполнялся в точ­
ках коллокации. В результате получается система обыкновенных дифференциаль­
ных уравнений, которое представляется в виде
¯
¯
2 Φ
4 Φ
¯
¯ * (),
+
0 4 = 2 2 + 4 Φ()


(7)
где
{︁
}︁
¯
Φ() = Φ () , ( = 0,  )
а коэффициенты
(***)
¯ * () - известны. Данная система ОДУ
0 , 2 , 4 и компоненты 
стандартным методом приводится к системе ОДУ 1 порядка, записанной в нор­
мальной форме Коши. ГУ для вектора
¯
Φ()
можно представить в виде
1 Φ (0) = 1 , 2 Φ (1) = 2 .
(8)
Полученная краевая задача (7),(8) решается численно методом дискретной орто­
гонализации Годунова.
Если сторона
0
закреплена заданным образом, а при

задана внешняя
нагрузка, то W имеет вид
 (, ) =

+2
∑︁
 ()Φ () + 2 (, ),
(9)
=0
Тогда после подстановки (9) в (1) и требования, чтобы результат подстановки вы­
полнялся в точках коллокации, получается система N дифференциальных урав­
нений 4 порядка, к которой следует добавить дифференциальные соотношения
для
Φ +1
и
Φ +2 ,
определяемых соотношением (**). Полученная в этом случае
система уравнений после преобразований принимает вид
2 Φ
4 Φ
0 4 + 2 2 + 4 Φ () + 1 Φ +1 + 2 Φ +2 = * () ,


(10)
и сводится к системе уравнений 1го порядка, записанной в нормальной форме
Коши.
В случае, если на стороне
лена заданным образом, то

0
задана внешняя нагрузка, а сторона

закреп­
имеет вид
 (, ) =

∑︁
 ()Φ () + 3 (, ).
=−2
9
(11)
Ход рассуждений в этом случае повторяет предыдущий.
Последнее возможное сочетание граничных условий получается, когда сторо­
ны
0
и

загружены усилиями заданной интенсивности. В этом случае система
N+1 уравнений получается в результате подстановки
 (, ) =

+2
∑︁
 ()Φ () + 4 (, ),
(12)
=−2
в (1), к которой добавляются уравнения (**) и им подобные для
Φ +1 , Φ +2 .
Тогда
2 Φ
4 Φ
˜ 1 Φ−1 + 
˜ 2 Φ−2 = * () .
0 4 + 2 2 + 4 Φ () + 1 Φ +1 + 2 Φ +2 + 




ГУ в данном случае должны выполняться как в точках коллокации, так и в кон­
цевых точках сторон пластинки.
Полученные краевые задачи во всех перечисленных случаях решаются чис­
ленно устойчивым методом дискретной ортогонализации Годунова.
Для оценки эффективности предлагаемой модификации были решены три
модельные задачи, которые допускают применение метода сплайн – коллокации в
классической форме. Рассматривались стальные квадратные пластинки, изгиба­
емые равномерно распределенной по поверхности пластинки нагрузкой
,
стороны
 = 0,  = 0,  = 1
которых жестко закреплены. При
(, ) =
=1
при­
нимались три варианта граничных условий: 1) жесткая заделка; 2) шарнирное
опирание и 3)свободная от закрепления незагруженная сторона. В этом случае
прогиб ищется в виде
 (, ) =

+2
∑︁
 () ().
(13)
=0
Сравнение результатов, полученных как классическим, так и модифицированным
методом, показывает их совпадение с точностью до трех значащих цифр.
Для иллюстрации возможностей предлагаемой модификации были решены
несколько задач. Рассматривались задачи определения НДС квадратных изотроп­
ных пластинок с двумя свободными смежными сторонами, изгибаемых равномер­
но распределенной по поверхности пластинки нагрузкой
 = 1,  = 1
свободны. В задаче 1 стороны
10
(, ) = ,
 = 0,  = 0
стороны
свободно оперты, в
задаче 2 стороны
 = 0,  = 0
щемлена, а сторона
 = 0
жестко защемлены, в задаче 3 сторона
свободно оперта. Точка
 =  = 1
 =0
за­
в перечисленных
случаях считается свободной. По результатам вычислений построены графики
изменения безразмерного прогиба

в точках диагонали
=
и вдоль стороны
 = 1 (рис.2). Номера кривых соответствуют номеру задачи, кривая 4 изображает
поведение функции
 (1, ).
Рис. 2.
Рассматривались аналогичные задачи, когда точка
 =  = 1
на шарниром. На рис. 3 и 4 приведены графики изменения функции
* (, ) =
Рис. 4.
Рис. 3.
 (, )/ max | (, )|
подкрепле­
соответственно для задач 2 и 3.
Также рассмотривалась задача определения НДС изотропной пластинки, че­
тыре угловые точки которой подкреплены шарнирами. На пластинку действует
распределенная нагрузка интенсивности
 = 0,
при
(, ) = .
 = 0,  = 1  =  = 0,
При
 = 0,  = 1  =
в угловых точках O, A, B и C
 =  = 0. Вычисления были выполнены для стальной и алюминиевой пласти­
˜ * (, ) =  (, )/ max | (, )| для стальной
нок. Рис.5 - поверхность функции 
пластинки.
Для стальной пластинки
из алюминия
max  = 1, 393·10−4 , для пластинки, изготовленной
max  = 3, 893 · 10−4
.
11
Рис. 5.
Рис. 6.
Для пластинки, у которой точки О, А, В подкреплены шарнирами, а точка
С свободна, график изогнутой срединной поверхности приведен на рис.6.
В работе также исследовались задачи изгиба консольной изотропной пластин­
ки, где край
 = 0 жестко закреплен,а остальной контур свободен. Угловые точки
В и С либо подкреплены шарнирами
( = 0,  = 0)
(задача a), либо свободны
( = 0,  = 0) (задача b). Изгиб пластинки осуществляется либо распределен­
ными вдоль
вдоль
=1
 = 1
изгибающими моментами (задача 2), либо распределенными
перерезывающими силами (задача 1), либо равномерно распределен­
ной по всей поверхности пластинки нагрузкой (задача 3). Проведено подробное
исследование влияния отношения сторон

Рис. 7. — задача 2.а
на характеристики НДС.
Рис. 8. — задача 2.b
Построены графики функции
(, 0.5) =  (, 0.5)/ max  (, 0.5).
Кривая 1(сплошная линия) построена для значения
тирная линия) - для
ствует значениям
 = 0.03, кривая 2 (пунк­
 = 1. На рис.7 кривая 3 (штрих-пунктирная линия) соответ­
0.1 · (, 0.5)
при
 = 20,
12
на рис. 8 – 12 эта кривая изображает
функцию
Рис. 9. — задача 1.а
Рис. 10. — задача 1.b
Рис. 11. — задача 3.а
Рис. 12. — задача 3.b
(, 0.5)
при
 = 33
.
Также в первой главе работы рассмотрена задача изгиба пластинки, состав­
ленной
из
двух
различных
изотропных
материалов
В этом случае для прогибов каждой из частей пла­
стинки имеют место уравнения
4
()
4
()
 4  ()
 ( () , )
2  
4 
=
+2 ()2 2 +
, ( = 1, 2).
()
 4
 ()4
 
*
(14)
Решение этих уравнений должно быть подчинено усло­
виям закрепления краев и условиям на линии контакта.
13
Рис. 13.
(рис.13).
Методика решения этих уравнений подробно изложена в работе.
Во второй главе работы рассматривается методика исследования НДС пря­
моугольных пластинок из ортотропного материала. Предполагается, что главные
направления анизотропии параллельны краям пластинки. Тогда в соответствии с
гипотезами Кирхгофа дифференциальное уравнение для безразмерного прогиба
имеет вид
4
4
4
2  
4 
+ 23 
+ 2 
= (, ).
1
 4
  2 2
 4
(16)
В этом случае численное решение также можно получить модифицированным
методом сплайн – коллокации, изложение которого применительно к орторопным
пластинкам приведено в работе. Данная методика была применена при решении
задач, в которых стороны
 = 0
и
 = 0
жестко закреплены, остальная часть
контура свободна. Угловая точка C либо свободна от закрепления – задача 1,
либо подкреплена шарниром – задача 2. Пластинка деформируется равномер­
но распределенной нагрузкой
(, ) = 1.
На рис. 14 (задача 1) и рис.15 (за­
Рис. 15.
Рис. 14.
дача 2) приводится изогнутая срединная поверхность пластинки из СВАМ 5:1.
Также исследовались задачи изгиба распределенной по
поверхности нагрузкой
(, ) =  ортотропной пла­
стинки при шарнирном закреплении четырех или трех
угловых точек.
Графики изменения прогиба (для задачи 1) для
различных материалов вдоль одной из диагоналей пла­
Рис. 16.
стинки приведены на рис. 16. Здесь кривая, изображенная штриховой линией,
соответствует материалу АГ-4с (1
= 2.1 · 1010 , 2 = 1.6 · 1010 , 1 = 0.09188, 2 =
14
0.07),
кривая, изображенная пунктирной линией — дельта - древесине (1
3.05 · 1010 , 2 = 0.457 · 1010 1 = 0.1328, 2 = 0.02),
=
сплошная линия показывает
изменение прогиба вдоль диагонали для стальной пластинки. В силу симметрии
графики построены для значений

0.5.
В третьей главе работы рассматриваются установившиеся колебания пла­
стинок из изотропного материала. По-прежнему деформации предполагаются ма­
лыми. Решение проводится в рамках справедливости гипотез Кирхгофа. Уравне­
ние для амплитудного значения прогиба при динамическом изгибе изотропной
пластинки имеет вид
(︂

4
4
4 
2  
4 
+ 2
+
 4
  2 2
 4
)︂
− ℎ0  2  (, ) = 0 (, ).
(17)
В данном случае численное решение также можно получить модифицированным
методом сплайн – коллокации, изложение которого для случая установившихся
колебаний изотропных пластинок приводится в работе.
Данный подход использовался для исследования колебаний изотропных квад­
ратных пластинок с двумя свободными смежными сторонами под действием рас­
пределённой нагрузки
 = 1,  = 1
(, , ) = 0 sin(), 0 = .
свободны. Стороны
 = 0,  = 0
 = 0, 3,
стороны
либо свободно оперты (задача 1),
либо жестко защемлены (задача 2), либо сторона
=0
Здесь
 = 0
защемлена, а сторона
свободно оперта (задача 3).
Рис. 17.
На рис. 17а – 18а (задача 1) и рис 17б – 18б (задача 3) изображены формы
изогнутой поверхности при
 =  − , ( = 2, 3), 
— мало. График изогну­
той поверхности пластинки для частоты, близкой к первой критической частоте,
качественно подобен графику, приведенному для статического случая.
15
Рис. 18.
Исследовались задачи колебаний изотропных квадратных пластинок с шарнир­
ным опиранием 4 угловых точек под действием распределенной нагрузки
(, , ) =
0 sin(), 0 = .
Рис. 19.
Рис. 20.
На рис. 19, 20 - формы изогнутой поверхности стальной пластинки с шарнир­
ным опиранием в 4 угловых точках для частот
 − , ( = 2, 3)).
В четвертой главе работы рассматриваются установившиеся колебания
пластинок из ортотропного материала.
Уравнение для амплитудного значения прогиба при динамическом изгибе ор­
тотропной пластинки имеет вид
4
4
4 
2  
4 
+


+


− 4  = 0 (, )/1 ,
4
1
4
2
2
4

 

где
4 = ℎ20 2  2 /1
— безразмерный частотный параметр,1
(18)
= 2 /1 , 2 =
2 /1 , 3 = (3 + 2 )/1 , 4 = 23 /1 . Выражения для амплитудных значе­
ний внутренних моментов и обобщенных поперечных усилий приводятся в работе.
Граничные условия для функции
 (, )
16
определяются способом закрепления и
нагружения контура пластинки. Для численного решения соответствующей кра­
евой задачи применяется модифицированный метод сплайн – коллокации. Для
ортотропной пластинки также решались задачи определения амплитудных ха­
рактеристик НДС пластинок, изгибаемых равномерно распределенной нагрузкой
(, , ) = 0 sin(), 0 = ,
ко защемлены, стороны
у которых смежные стороны
 = 1,  = 1
 = 0,  = 0
жест­
свободны, точка пересечения свободных
сторон либо свободна (задача 1), либо подкреплена шарниром (задача 2). Мате­
риал АГ-4с,
 = 1900кг/м2 .
Рис. 22.
Рис. 21.
На рис. 21, 22 изображены формы изогнутой поверхности для частот
, ( = 2, 3))
 −
для задачи 1, а на рис. 23, 24 - для задачи 2.
Рис. 23.
Рис. 24.
Аналогичные исследования были проведены для такой же пластинки, у ко­
торой все угловые точки подкреплены шарнирами. Соответствующие графики
приводятся на рис. 25,26.
Для всех перечисленных случаев значения первых трех резонансных частот
приведены в работе.
17
Рис. 25.
Рис. 26.
В пятой главе работы модифицированный метод сплайн-коллокации при­
меняется для исследования установившихся колебаний вязкоупругой пластинки
при произвольных граничных условиях на боковой поверхности.
Для такой пластинки прогиб
1 (, ) cos  + 2 (, ) sin .
 = ℎ(−1) ()
 (, , )
представляется в виде
 (, , ) =
Тогда для безразмерных составляющих прогиба
система уравнений в безразмерных переменных может быть запи­
сана в виде
2
4
4
∑︁
 4 
2  
4 
 2
+−1  = (−1)−1  0 (, ),
+
2
+

+
(−1)

4
2
2
4

 

=1
(19)
где
 = 12(1 −  2 )ℎ−4
0
∞
1 + 2 =

,  = ℎ2  , ( = 1, 2), 3 = −1 , 3 = −1 ,
2
2
1 + 2
() 
— комплексный модуль материала,
0
— безразмерная толщина пластинки,

3 = −1 , ℎ0 = ℎ/
— плотность материала.
Соответствующие формулы для составляющих внутренних моментов и уси­
лий в пластинке приведены в работе.
Были исследованы колебания вязкоупругой квадратной пластинки, стороны
 = 1,  = 1
которой свободны, стороны
действием распределенной нагрузки
ЭД-6 МА (
 = 0,  = 0
жестко закреплены, под
(, , ) = 0 sin(), 0 = .
Материал
= 1250кг/м3 , 1 = 2.7 · 109 H/м2 , 2 /1 = 0.015,  = 0.4).
На рис. 27, 28 изображены графики поверхностей первой и второй составля­
ющей прогиба для первой критической частоты
18
1 ,
на рис. 29, 30 — для второй
Рис. 27.
Рис. 28.
Рис. 29.
Рис. 30.
Рис. 31.
Рис. 32.
критической частоты
2 , на рис. 31, 32 - для третьей критической частоты 3 . По­
дробные выкладки и результаты расчетов приведены в диссертационной работе.
19
Основные результаты и выводы
∙
Основной результат диссертационной работы состоит в построении модифи­
цированного метода сплайн-коллокации. Предложенная модификация суще­
ственно расширяет класс численно разрешимых задач статического изгиба
и установившихся колебаний при сложных условиях закрепления контура.
∙
Для малых значений отношения сторон (
0.2)
НДС консольной пластин­
ки близко к НДС соответствующим образом изгибаемого стержня прямо­
угольного сечения, а при больших значениях отношения сторон (
10)
прогибы пластинки конечных размеров стремятся к прогибам бесконечно
длинной в направлении
∙

полосы.
Анизотропия материала оказывает существенное влияние на размеры и фор­
мы "горбов“ и "впадин“ на изогнутой срединной поверхности пластинки, а
в случае установившихся колебаний, помимо этого, существенно влияет на
значения резонансных частот.
∙
В случае вязкоупругой пластинки при любых значениях частоты амплитуда
прогиба остается ограниченной. Для значений частот, отличных от крити­
ческих, значение первой составляющей прогиба
по величине значение второй составляющей
1
2 . При подходе к критической
частоте обе составляющие возрастают, причем
2 растет быстрее 1 . Когда
частота внешнего возбуждения равна критической,
ходит
значительно превышает
2
значительно превос­
1 .
Публикации
1.
Ромакина, О.М. Метод сплайн-коллокации и его модификация в задачах
статического изгиба тонкой ортотропной прямоугольной пластинки / О.М.
Ромакина, Ю.В. Шевцова // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика.
Механика. Информатика. 2010. Т. 10 вып. 1 С. 78 — 82
2.
Ромакина, О.М. Модифицированный метод сплайн–коллокации в задачах
20
изгиба прямоугольных пластинок / П.Ф.Недорезов, Ю.В.Шевцова, О.М.Ромакина
// Математическое моделирование и краевые задачи. Тр. Второй Всерос. на­
учн. конф. Самара: СамГТУ, 2005. Ч.1. С. 203–209.
3.
Ромакина, О.М. Модифицированный метод сплайн – коллокации в задачах о
колебаниях тонкой прямоугольной вязкоупругой пластинки // П.Ф.Недорезов,
О.М. Ромакина, Р.А.Сафонов // Изв. Сарат. ун-та. Нов. Сер.. 2010. т.10. Сер.
Математика. Механика. Информатика, выпуск 3. С.59-64..
4.
Ромакина, О.М. О модификации метода сплайн–коллокации в задаче стати­
ческого изгиба прямоугольных пластинок / П.Ф.Недорезов, О.М. Ромакина
// Смешанные задачи механики деформируемого тела. Материалы. V Росс.
конф. с междунар. участием. Саратов: СГУ, 2005. С.237–242.
5.
Ромакина, О.М. Об установившихся поперечных колебаниях прямоугольной
пластинки из ортотропного материала / О.М. Ромакина // Изв. Сарат. ун­
та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2010. Т. 10 вып. 1
С. 71 — 77
6.
Ромакина, О.М. Статическая и динамическая задача изгиба пластинки /
А.В. Аристамбекова, О.М. Ромакина// Сб. науч. тр. Механика. Математика,
Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 12 вып., 2010. С. 132 — 135.
7.
Ромакина, О.М. Установившиеся изгибные колебания прямоугольной изо­
тропной пластинки с частично закрепленным контуром / П.Ф. Недорезов,
О.М. Ромакина // Труды XXI Mеждунаpодной конф. по теоpии оболочек и
пластин. (Саратов, 14 – 16 ноябpя 2005 г.). – Саратов: СГТУ, 20.
8.
Ромакина, О.М. Численное исследование изгиба кусочно – однородной пря­
моугольной пластинки из изотропного материала / П.Ф.Недорезов, О.М.
Ромакина // Изв. Сарат.ун-та. Нов. Сер.. 2008. т.8. Сер. Математика. Меха­
ника. Информатика. Выпуск 1. С.43-50.
9.
Ромакина, О.М.. Численное исследование НДС при изгибе прямоугольных
пластинок с двумя свободными смежными краями / П.Ф. Недорезов, О.М.
21
Ромакина // Смешанные задачи механики деформируемого тела. Тез. докл.
V Росс. конф. с междунар. участием. Саратов: СГУ, 2005. С.112.
22
Документ
Категория
Физико-математические науки
Просмотров
60
Размер файла
2 113 Кб
Теги
кандидатская
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа