close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Уравнения среднего магнитного поля с учетом флуктуаций крупномасштабной скорости

код для вставкиСкачать
ФИО соискателя: Томин Дмитрий Николаевич Шифр научной специальности: 01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика Шифр диссертационного совета: Д 501.001.85 Название организации: Московский государственный университет им.М.В.Ломоносова
??С???С??? ??СУ??РСТ????Ы? У????РС?Т?Т
имени ???? ??????С???
?еханико?математический факультет
?а правах рукописи
У?? ??????
Томин ?митрий ?иколаевич
УР??????Я СР?????? ?????Т????
П??Я С УЧ?Т?? Ф?У?ТУ?Ц??
?РУП????СШТ????? С??Р?СТ?
Специальность ???????? ? Теория вероятностей
и математическая статистика
??Т?Р?Ф?Р?Т
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико?математических наук
?осква ? ????
Работа выполнена на кафедре теории вероятностей механико?математического
факультета ?осковского ?осударственного Университета имени ?????омоносова?
?аучный руководитель
?фициальные оппоненты
?едущая организация
доктор физико?математических наук? профессор
С?????? ?митрий ?митриевич
доктор физико?математических наук? профессор
????Ч?? ?ладимир ?горевич?
профессор кафедры
теории функций и функционального анализа
механико?математического факультета
?осковского ?осударственного Университета
имени ?????омоносова
доктор физико?математических наук
П?ТР?? ?лександр Пхоун Чжо?
ведущий научный сотрудник
?нститута прикладной математики
им? ???? ?елдыша Р??
?нститут механики сплошных сред
Уральского отделения Р??? г? Пермь
?ащита состоится ? ? ? ноября ???? г? в 16 часов 45 минут на заседании
диссертационного совета ? ?????????? при ?осковском государственном уни?
верситете имени ???? ?омоносова по адресу? ??????? ?СП??? ?осква? ?енин?
ские горы? д??? главное здание ??У? механико?математический факультет?
аудитория 16?24?
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико?математического
факультета ??лавное здание? ?? этаж??
?втореферат разослан ? ? ? октября ???? г?
Ученый секретарь ?иссертационного
Совета ? ?????????? при ??У?
доктор физико?математических наук?
профессор
???? Сорокин
?бщая характеристика работы
?ногие астрофизиче?
ские объекты ?галактики? звезды? планеты? обладают собственными крупно?
масштабными магнитными полями? Происхождение? сохранение и эволюция
этих полей составляют один из основных вопросов космологии? ?читается?
что они обязаны своим происхождением работе механизма гидромагнитного
динамо? идея которого? принадлежащая ?армору? ? состоит в том? что вслед?
ствие действия электромагнитной индукции кинетическая энергия движу?
щейся электропроводящей среды? превращаясь в энергию магнитного поля?
экспоненциально усиливает начальное магнитное поле при отсутствии внеш?
них Э?С? Эволюция магнитного поля H в объеме движущейся электропрово?
дящей жидкости в безразмерных переменных описывается уравнением маг?
нитной индукции
?H/?t = ? Ч (V Ч H) + ?m ?2 H
???
?бъект исследования и актуальность темы?
при ?H = 0? ?V = 0? где ?m = 1/Rm > 0 ? коэффициент магнитной ин?
дукции электропроводящей жидкости? Rm ? магнитное число Рейнольдса?
V = V(x, t) ? поле скорости движущейся жидкости? ?аиболее интересным
и важным в космической физике является случай малых ?m ?больших Rm ??
?собую роль играет так называемое быстрое динамо? то есть динамо? не ис?
чезающее в пределе ?m ? 0 ?Rm ? ???
?ольшую роль для генерации магнитного поля играет геометрическая
?топологическая? структура поля скорости? ?апример? согласно теореме ?а?
улинга? , ? для осесимметричного потока невозможно магнитное динамо с той
же осью магнитного поля? Также магнитное динамо не возникает для плос?
кого ?двумерного? поля скорости? , ? , ? ?
?аиболее интересна реализация механизма магнитного динамо? основан?
ная на так называемом ??эффекте? суть которого состоит в том? что во враща?
ющейся турбулентности или конвекции происходит своеобразное нарушение
зеркальной симметрии? так что в результате действия силы ?ориолиса в вы?
ражении для средней Э?С индукции ?с которой связан электрический ток?
появляется член? параллельный магнитному полю? ?апомним? что обычно
электрический ток перпендикулярен магнитному полю? ? результате дей?
ствия ??эффекта в течении электропроводящей жидкости возникает круп?
номасштабное магнитное поле? пространственный масштаб которого может
? ??r??r
P? ????????
?? ??? ????? ? r?t?t??? ???? s??? ?s t?? ??? ?????? ? ?????t? ???? ?r?t? ?ss??? ???? ????? ?????
? ??????? ???? ??? ?????t?? ???? ?? s??s??ts? ???t?? ??t? ???? ?str? ????? ????? ?? ??? P? ??????
? ?аулинг Т? ?агнитная гидродинамика? ??? ??? ?????
? ?ельдович Я??? ?агнитное поле при двумерном движении проводящей турбулентной жидкости?
?ЭТФ? ????? Т? ??? ?ып? ?? ?? ????????
? ?ельдович Я???? Рузмайкин ???? ?агнитное поле проводящей жидкости? движущейся в двух изме?
рениях? ?ЭТФ? ????? Т? ??? ?ып? ?? ?? ????????
? ?ельдович Я???? Рузмайкин ???? ?идромагнитное динамо как источник планетарного? солнечного и
галактического магнетизма? Успехи физ? наук? ????? Т? ???? ?ып? ?? ?? ????????
?
намного превосходить основной масштаб турбулентности? Это описание ??
эффекта требует последовательной интерпретации турбулентности как слу?
чайного статистически локально однородного и изотропного поля? ?дея Пар?
кера о возможности возникновения магнитного динамо в турбулентном пото?
ке электропроводящей жидкости с полем скорости? обладающим ненулевой
спиральностью и не имеющем зеркальной симметрии? привела к дальнейше?
му развитию теории магнитного динамо и послужила основой для создания
теории магнитной гидродинамики средних полей? , ? , ? ?
?епосредственно со времени развития концепции ??эффекта в середине
???ых годов предпринимаются усилия для того? чтобы воспроизвести его и
в моделях? которые непосредственно привлекают описание течений на языке
статистической гидромеханики? ?опрос о том? насколько это можно сделать?
принадлежит к одному из наиболее дискуссионных в данной области? ?д?
на из плодотворных возможностей для такого описания была предложена
???? ?рнольдом?? , ?? ? который ввел ставшую широко известной модель ABC ?
потока? являющегося? с одной стороны? классическим примером так назы?
ваемого детерминированного хаоса? а с другой ? течением ?ельтрами? то
есть в этом потоке rot v ? v? иными словами? гидродинамическая спираль?
ность ABC ?потока v rot v ? максимально возможная? ?казывается? что спи?
ральность и определяет ??эффект? так что ожидалось? что ABC ?поток дол?
жен хорошо моделировать свойства вращающейся турбулентности? ?ля кон?
кретного ????потока произведен численный расчет?? магнитного динамо
на Э??? ?казалось? что поведение магнитного поля в детерминированном
ABC ?потоке существенно отличается от его поведения в зеркально?асиммет?
ричной турбулентности? ?агнитное поле в этом потоке на самом деле растет
?если магнитное число Рейнольдса оказывается достаточно большим?? Этот
рост соответствует быстрому динамо? однако пространственный масштаб рас?
тущего магнитного поля не превышает масштаба течения?
Я??? ?ельдовичем и др? в ???? г? ?см? ?? ? сформулировано представление
о том? что причина несходства ABC ?потока и зеркально?асимметричной тур?
булентности в отношении генерации быстрого крупномасштабного магнитно?
го динамо состоит в стационарности первого? ?ыла высказана надежда?? на
то? что введение случайности в коэффициенты ABC ?потока должно сделать
? Паркер ?? ?осмические магнитные поля? ??? ?ир? ????? Т? ? и ??
? ?айнштейн С???? ?ельдович Я???? Рузмайкин ???? Турбулентное
?????
динамо в астрофизике? ??? ?аука?
? ?раузе Ф?? Рэдлер ???Х? ?агнитная гидродинамика средних полей и
?? ?рнольд ???? ?амечание о поведении течений трехмерной жидкости
теория динамо? ??? ?ир? ?????
при малом возмущении началь?
ного поля скоростей? Прикладная математика и механика? ????? Т? ??? С? ????????
?? ?рнольд ???? ?атематические методы классической механики? ??? ?аука? ?????
?? ?рнольд ????? ?оркина ???? Рост магнитного поля в трехмерностационарном потоке несжимаемой
жидкости? ?естник ??У? Серия матем? и мех?? ????? ?ып? ?? С? ??????
?? ?ельдович Я???? Рузмайкин ????? Соколов ???? ?агнитные поля в астрофизике? ? ???жевск? ????
?????
?? ?????t? ??? ????? P?? P??q??t ?? ?????r ??? ?????????r ??????s ?ss????t?? ??t? ??? ???s? ??????s?
?str????s? ????? ??????? ????? ?? ??? ?ss?? ?? P? ????????
?
поведение магнитного поля в этом потоке намного более похожим на его по?
ведение в зеркально?асимметричной турбулентности? ?дна из задач данной
работы ? проверить это предположение?
?тметим? что техника вывода уравнения среднего поля в турбулентной
среде? обладающей развитой иерархией масштабов? хорошо известна? С фи?
зической точки зрения мы находимся в иной ситуации? ?ы рассматриваем
случайные поля скорости? описывающие потоки? в определенных отношени?
ях похожие на турбулентные? но в других сильно от них отличающиеся? Эти
потоки? которые мы называем рандомизированными короткокоррелирован?
ными случайными полями ?Р?ПС?? с одной стороны? более бедные и оттого
более обозримые? и это ключевое отличие? С другой стороны? они содержат
многие часто применяемые поля скорости при условии рандомизации их ко?
эффициентов? ?огласно сформулированной выше гипотезе Я??? ?ельдови?
ча? подтверждаемой в данной работе для случайных ????потока и потока
?? Робертса? являющихся частными случаями Р?ПС? введение случайно?
сти в коэффициенты этих потоков сближает их по свойствам с зеркально?
асимметричной турбулентностью? по крайней мере? в отношении ??эффекта
и крупномасштабного динамо?
? ???? г? С??? ?олчановым и др??? , ?? для описания магнитного поля в
нестационарном потоке со случайными флуктуациями был предложен метод
вывода уравнений среднего магнитного поля для короткокоррелированного
случайного поля скорости с функциональным управляющим параметром? что
наряду со сложностью вычислений по этому методу ?держивало его примене?
ние к конкретным случайным полям скорости ?в частности? уравнения сред?
него поля даже для представляющих особый интерес случайных ABC ?потока
и потока ?? Робертса до сих пор не были получены??
Цель работы? Цель настоящей диссертации состоит в решении следу?
ющих задач? разработать конструктивный метод вывода уравнений среднего
магнитного поля ?отталкиваясь от подхода? предложенного С??? ?олчано?
вым и др?? для введенного автором класса Р?ПС? получить явные уравнения
среднего магнитного поля для содержащихся в этом классе случайных ABC ?
потока и потока ?? Робертса? исследовать крупномасштабное динамо в этих
конкретных случайных потоках и проверить для них гипотезу Я??? ?ельдови?
ча? вывести уравнения среднего магнитного поля в декартовых и цилиндриче?
ских координатах во всем пространстве для винтового цилиндрического поля
скорости с короткокоррелированными коэффициентами? провести статисти?
ческую обработку результатов наблюдений солнечной активности с целью
обнаружения и исследования ??эффекта?
?? ?олчанов С???? Рузмайкин ????? Соколов ???? Уравнения динамо в случайном короткокоррелиро?
ванном поле скорости? ?агнитная гидродинамика? ????? ? ?? С? ??????
?? ?олчанов С???? Рузмайкин ????? Соколов ???? ?инематическое динамо в случайном потоке? УФ??
????? ?? ???? ??? С? ????????
?
?се результаты диссертации являются новыми и
получены автором самостоятельно? Перечислим основные из них?
?? Разработан метод вывода уравнений среднего магнитного поля ?на
основе подхода С??? ?олчанова и др?? для случайных полей скорости из вы?
деленного автором класса Р?ПС? а также получены сами эти уравнения и
предложен матричный алгоритм вычисления их коэффициентов?
?? ?айдены уравнения среднего магнитного поля для конкретных
Р?ПС? получающихся короткокоррелированной рандомизацией коэффици?
ентов классических детерминированных ABC ?потока и потока ?? Робертса?
?? Показано? что вопрос о генерации крупномасштабного магнитного ди?
намо в Р?ПС с независящими от времени базисными полями скорости ввиду
уравнений среднего поля с усредненными по пространству коэффициентами
сводится к исследованию спектра некоторой связанной с этим Р?ПС мат?
рицы? ? частности? для указанных выше случайных ABC ?потока и потока
?? Робертса получены эти уравнения и доказано возникновение ??эффекта?
турбулентной диффузии и крупномасштабного кинематического динамо? чем
подтверждена гипотеза Я? ?? ?ельдовича?
?? ?ыведены уравнения среднего магнитного поля в декартовых и цилин?
дрических координатах в пространстве для рандомизированного винтового
цилиндрического потока?
?роме того? произведена статистическая обработка результатов наблю?
дений солнечной активности в связи с проявлениями ??эффекта для магнит?
ного поля Солнца?
?етоды исследования? ? работе используются методы теории веро?
ятностей? случайных процессов? математической статистики? математическо?
го анализа? дифференциальных и интегральных уравнений? математической
физики? ? частности? при построения решения задачи ?оши для уравнения
магнитной индукции применяются методы теории мультипликативных инте?
гралов? а при исследовании крупномасштабного динамо ? метод Фурье?
Теоретическая и практическая значимость работы? Работа но?
сит теоретический характер? Систематизированная техника вывода уравне?
ний среднего магнитного поля для введенного класса Р?ПС? основанная на
предложенном автором матричном алгоритме? может быть использована при
исследовании широкого круга как чисто теоретических задач? так и задач?
возникающих в приложениях и связанных с теоретическими? эксперимен?
тальными и вычислительными моделями магнитного динамо? ? этих моделях
одним из важнейших элементов исследования является усреднение уравне?
ния индукции и нахождение моментных уравнений? в частности? уравнения
среднего поля для магнитного поля в соответствующем случайном потоке?
?ногие как экспериментальные? так и теоретические модели динамо связа?
ны именно с теми конкретными полями скорости? которые рассмотрены в
настоящей работе? ABC ?поток? поток ?? Робертса и винтовое поле скорости?
?аучная новизна?
?
По теме диссертации были сделаны доклады?
в ???? и ???? гг? на ?ольшом семинаре кафедры теории вероятностей
механико?математического факультета ??У ?руководитель семинара и заве?
дующий кафедрой ? академик Р?? ???? Ширяев??
в ???? г? на семинаре ??есконечномерный анализ и стохастика? кафед?
ры теории функций и функционального анализа механико?математического
факультета ??У ?руководитель ? профессор? д?ф??м?н? ???? ?огачев ??
в ???? г? на семинаре ?Физическая гидродинамика? под руководством
профессора? д?ф??м?н? П??? Фрика в ?нституте механики сплошных сред
Уральского отделения Р??? Пермь?
в ???? г? на ?строфизическом семинаре ?тделения теоретической физи?
ки Ф??? ?руководитель семинара ? академик Р?? ???? ?уревич??
Результаты диссертации докладывались на следующих научных конфе?
ренциях? ?еждународная конференция ?СС??? ?Трансформация волн? коге?
рентные структуры и турбулентность?? ?осква? ???? г?? ?t? ???? ?????r????
?????????? s?st??s? ????r??t??? ?q??t???s ??? ???????t???s?? ?r?s???? ??r?????
????? ???? конференция ??ктуальные проблемы внегалактической астроно?
мии?? Пущинская радиоастрономическая обсерватория ??Ц Ф???? Пущи?
но? ???? г?
Публикации? Список основных научных работ? опубликованных по те?
ме диссертации? состоит из ? наименований? приведен в конце автореферата
??? ? ??? и содержит ? статей в журналах из списка ??? РФ и ? работы ? в
тезисах конференций?
Структура и объем диссертации? ?иссертация состоит из введения
?глава ??? двух разбитых на параграфы основных глав? приложения и списка
литературы из ?? наименований? ?е общий объем составляет ??? страницы?
включая ? рисунков и ? таблицу?
?пробация работы?
?раткое содержание диссертации
? первой главе?
являющейся введением? представлен обзор публика?
ций? близких к теме диссертации? рассмотрен объект исследования и раскры?
та актуальность темы? поставлены основные цели и сформулированы задачи
диссертационной работы? указана научная новизна полученных результатов
и кратко изложено содержание диссертации?
?торая глава содержит вывод уравнений среднего магнитного поля
в декартовых координатах для вводимого здесь автором класса Р?ПС на
основе метода15,16 ? Сведения? представленные в первых трех параграфах? по
существу? известны15,16 ? для полноты изложения и последующих ссылок мы
приводим их с доказательствами в удобном для дальнейшего виде? ? ????
рассматривается задача ?оши для уравнения ???? которая в матричной форме
?
при лагранжевом подходе может быть записана следующим образом?
dH ?V
=
H + ?m ?H,
dt
?x
???
H(?, 0) = H0 (?).
???
?десь и далее для любого (x, t) ? R3 Ч [0, +?) имеем H = (Hj )3Ч1 ?
?V dH ?H ?H
?V
?Vi
=
и в ??? H? ?H?
и
=
+
V рас?
?x
?xj ij
?x
dt
?t
?x
сматриваются в точке (x(?, t), t)? где x(?, t) = r(?, t, 0) и x = r(x0 , t, t0 ) при
фиксированных x0 ? R3 и t0 ? 0 есть положение частицы жидкости в любой
момент времени t ? 0 при ее движении в поле скорости V(x, t) и ее положении
x0 в начальный момент t0 ? ?екторное поле H0 (?) есть начальное ?затравоч?
ное? магнитное поле? предполагаемое ограниченным и соленоидальным в R3 ?
Считаем? что поле скорости V(x, t) задано и является соленоидальным по x
и ограниченным в R3 Ч [0; +?) детерминированным векторным полем? При
заданном ? ? R3 задача ?оши ???? ??? описывает эволюцию магнитного поля
вдоль траектории x = x(?, t) частицы жидкости? находившейся в положении
? в момент t0 = 0?
? ???? рассматривается течение без магнитной диффузии для детерми?
нированного поля скорости? что соответствует предельному случаю ?m = 0?
Уравнение ??? при ?m = 0 описывает перенос магнитного поля H вдоль
траектории x(?, t) движущейся частицы жидкости и отражает ?вморожен?
ность? силовых магнитных линий в движущуюся среду?? ,16 ? ?спользуя тех?
нику мультипликативного интегрирования?? , ?? ? мы получаем решение задачи
?оши ??????? как в терминах обратного мультипликативного интеграла? так
�s = r(x0 , t0 ? s, t0 )
и в терминах матрицы ?рина? Пусть t0 > 0? x0 ? R3 и ?
при 0 ? s ? t0 ? Тогда
V = (Vj )3Ч1 ?
H(x0 , t0 ) = G(x0 , ?�s , s, t0 )H(?�s , t0 ? s),
???
�s , s, t0 )
где 0 ? s ? t0 и любой элемент Gij (s) матрицы ?рина G(s) ? G(x0 , ?
есть решение задачи ?оши ??ij ? символ ?ронекера?
dGij (s)
?Vk �
= Gik (s)
(? , t0 ? s),
ds
?xj s
Gij (0) = ?ij .
???
?десь и далее используется обычное соглашение о суммировании по повто?
ряющимся индексам в одночленных индексных объектах ?по r и s от 1 до
указанного ниже натурального числа m? а по остальным малым латинским
индексам ? от 1 до 3??
?? ?льфвен Ч? ?осмическая электродинамика? ??? ??? ?????
?? ?антуров ???? ?ультипликативный интеграл? Проблемы
?? ?антмахер Ф?Р? Теория матриц? ??? Физматлит? ?????
?
геометрии? ????? Т? ??? С? ??? ? ????
? ???? рассматривается течение с диффузией для детерминированного
поля скорости? то есть случай ?m > 0? При учете магнитной индукции поле
не переносится вдоль одной траектории? ?днако? как и в теории броуновско?
го движения?? , ?? ? можно ввести пучок случайных винеровских траекторий?
стартующих в начальный момент времени t0 = 0 и приходящих к моменту t
в точку x ?фиксируем x ? R3 и t > 0??
s
?�s = x ?
V(?�? , t ? ? )d? +
?
2?m w(s), 0 ? s ? t,
???
0
?интегральное уравнение ?аца ? Фейнмана?? где w(s) = (w1 (s), w2 (s), w3 (s))
? трехмерный случайный винеровский процесс с независимыми компонента?
ми? в частности? E wj (s) = 0, E (wj (s)wk (s)) = s?jk ?s ? 0? Перенос поля
вдоль отдельной траектории подобен лагранжеву случаю? ? ???? показано?
что решение уравнения ??? в точке (x, t) при ?m > 0 получается усреднением
правой части ??? ?при x0 = x и t0 = t? по всем траекториям пучка ????
H(x, t) = Ex G(x, ?�s , s, t)H(?�s , t ? s) , 0 ? s ? t.
???
? ???? вводится понятие рандомизированного короткокоррелированного
поля скорости ?Р?ПС?? Пусть m ? натуральное число? Р?ПС порядка m
есть случайное поле скорости вида
V(x, t) = A1 (t)? 1 (x, t) + A2 (t)? 2 (x, t) + . . . + Am (t)? m (x, t),
???
где ? 1 (x, t), . . . , ? m (x, t) ? так называемые базисные поля скорости? образу?
ющие линейно независимую систему ограниченных и достаточно гладких по
(x, t) в R3 Ч [0, +?)? соленоидальных по x векторных полей? ?оэффициенты
Ar (t) (r = 1, 2, . . . , m) являются случайными процессами? зависящими от вре?
мени t на промежутке [0, +?) и представляющимися в виде суммы регуляр?
ных и нерегулярных частей? Ar (t) = AЇr + A�r (t)? ?а счет выделения регуляр?
ных частей AЇr ? являющихся постоянными? нерегулярные части ?флуктуации
коэффициентов? A�r (t) обладают нулевыми средними A�r (t) = 0? ?удем счи?
тать? что флуктуации A�r (t) (r = 1, 2, , . . . , m) образуют m?мерный коротко?
коррелированный случайный процесс? Это означает? что каждый случайный
процесс A�r (t) рассматривается как предел при ? ? 0 случайных процессов
Dr? (t)? постоянных на каждом из промежутков [0, ?), [?, 2?), [2?, 3?), . . .?
независимых и одинаково распределенных на разных таких промежутках
?промежутках обновления?? причем
Dr? (t) = 0,
?? ?ихман
?? ?аккин
Dr? (t), Ds? (t) = ?rs /?,
Dr? (t) = O(??1/2 )
????? Скороход ???? ?ведение в теорию случайных процессов? ??? ?аука? ?????
Х?П? Стохастические интегралы? ??? ?ир? ?????
?
при всех r, s = 1, 2, . . . , m и t ? 0? где ковариации ?rs являются постоян?
ными? При этом флуктуации A�r (t) становятся белым шумом? Этот предель?
ный переход является обычным при исследовании влияния флуктуаций сре?
ды на поведение в ней физических полей? Р?ПС ??? является пределом при
? ? 0 семейства случайных полей скорости V? (x, t) = A?
r (t)? r (x, t)? где
?
?
Ї
Ar (t) = Ar + Dr (t)?
Ї ? ? где
Р?ПС можно рассматривать как упорядоченную тройку V, A,
матрицы V ?матрица Р?ПС?? AЇ ?столбец средних Р?ПС?? ? ?матрица кова?
риаций Р?ПС? имеют вид? V = (?ir )3Чm ? AЇ = (AЇr )mЧ1 ? ? = (?rs )mЧm ? При
этом r?й столбец матрицы V состоит из декартовых компонент ?1r ? ?2r ? ?3r
r?ого базисного поля скорости ? r (x, t) (r = 1, 2, . . . , m)? Средние AЇr могут
быть произвольными вещественными числами? ?атрица ? может быть лю?
бой симметричной неотрицательно определенной вещественной матрицей? в
?
частности? имеем? ?rr ? 0 и |?rs | ? ?rr ?ss при всех r, s = 1, 2, . . . , m?
? ???? мы получаем уравнение среднего магнитного поля для Р?ПС ???
на основе подхода15,16 ? Пусть x ? R3 ? 0 < t < t + ?t? ?аменим Р?ПС V(x, t)
из ??? аппроксимирующим его случайным полем скорости V?t (x, t)? считая
[t, t+?t] промежутком обновления? ?ля каждой реализации V?t (x, t)? задав?
шись полем H(x, t) в момент t? по формуле ??? находим решение уравнения
магнитной индукции в момент времени t + ?t? ?атем усредняем его по полю
скорости V?t ?обозначение . . . ? на отрезке [0, t + ?t]? причем в ??? можно
переставить порядок усреднения Ex (. . .) = Ex ( . . . )? Получаем
H (x, t + ?t) = Ex ( G(? ?t , ?t)H(? ?t , t) ) ,
где 0 ? s ? t + ?t? ? s ? ? s (?t) = r(x, t + ?t ? s, t + ?t)? G(? ?t , ?t) ?
? G(x, ? ?t , ?t, t + ?t) ? матрица ?рина? ? силу ??? случайный процесс ? s
удовлетворяет следующему уравнению ?аца ? Фейнмана на [0, t + ?t]?
s
V?t (? ? , t + ?t ? ? )d? +
?s = x ?
?
2?m w(s).
0
?а первом этапе проводим усреднение GH 1 по полю скорости на [0, t]?
Так как ввиду ??? G(? ?t , ?t) зависит от V?t лишь при значениях времени на
[t, t + ?t]? то на этом этапе нужно усреднить лишь H(? ?t , t)? При этом при?
меняем следующую лемму? имеющую? возможно? самостоятельный интерес?
?е доказательство использует соотношение?? w(s) = ?
O(s? )? выполняющееся
при ? < 1/2 для 0 ? s ? ?t? и оценку V?t (t) = O(1/ ?t)?
?? ?улинский
????? Ширяев ???? Теория случайных процессов? ??? Физматлит? ?????
?
?емма ??????
Справедливы следующие асимптотические формулы?
Hj (? ?t , t)
1
= Hj
1
+
? Hj 1
(? ?t ? x)k +
?xk
1 ? 2 Hj 1
+
(? ? x)k (? ?t ? x)l + o(?t);
2 ?xk ?xl ?t
? ?t ? x =
?
2?m w(?t) ? V?t ?t ?
?
???
?t
?V?t
2?m
?x
w(s)ds +
0
?t
+
Hj (? ?t , t)
1
= Hj
1
+
?
1 ?V
V?t (?t)2 + o(?t);
2 ?x
2?m wk (?t) ? Vk?t ?t ?
?
2?m
?Vk?t
????
?t
wl (s)ds +
?xl
0
? Hj
1 ?Vk?t ?t
Vl (?t)2
+
2 ?xl
?xk
1
+
1
2?m wk (?t)wl (?t) ?????
2
2
?
?t
?t
?t ?t
2 ? Hj 1
? 2?m wk (?t)Vl + wl (?t)Vk ?t + Vk Vl (?t)
+ o(?t);
?xk ?xl
?
?Vi?t
? 2 Vi?t
Gij (? ?t , ?t) = ?ij +
?t + 2?m
?xj
?xj ?xk
?t
wk (s)ds +
0
+
1 ?
2 ?xk
?t
?t ?Vk
Vi
?xj
?
?t
?t ?Vi
Vk
?xj
? правых частях (9)?(12) компоненты полей
ные рассматриваются в точке (x, t)?
(?t)2 + o(?t).
H
1
????
? V?t и их производ?
?а втором этапе усредняем G(? ?t , ?t) H(? ?t , t) 1 по V?t на [t, t + ?t]
? . . . 2 ?? оставляя с помощью леммы ????? лишь слагаемые порядка O(?t) и
используя? ввиду короткой памяти поля скорости? расщепление корреляций
типа
2
2
Hj 1
?t ?t ? Hj
= Vk Vl
.
?xk ?xl 2
?xk ?xl
Усреднив полученную формулу по траекториям w? находим разностные
уравнения для компонент Bi среднего магнитного поля B = H вида
Bi (x, t + ?t) ? Bi (x, t) = . . . + o(?t) и приходим к основному результату?
Ї ??
Теорема ??????
?V, A,
R3 Ч (0, +?)
?
Vk?t Vl?t
?ля Р?ПС
всюду в
следующие уравнения среднего магнитного поля?
?Bi
? 2 Bi
?Bi
?Bj
= ?m ?Bi + ckl
+ dk
+ pijk
+ qij Bj ,
?t
?xk ?xl
?xk
?xk
?
справедливы
????
где i = 1? 2? 3 и коэффициенты находятся по формулам
?
1
1
??ks
??is
?
?
? AЇr ?kr , pijk = ??rs ?kr
,
? ckl = ?rs ?kr ?ls , dk = ?rs ?lr
2
2
?xl
?xj
1
??ir ??ks
? 2 ?ir
??ir
?
?
? ?ks
+ AЇr
.
? qij = ?rs
2
?xk ?xj
?xj ?xk
?xj
????
? ???? исследуется проблема возникновения крупномасштабного дина?
мо в квазистационарном Р?ПС? то есть в Р?ПС ??? с базисными полями
скорости ? r (x)? не зависящими от времени t? ? этом случае после усредне?
ния по пространству ( . . . sp ) коэффициентов ???? получаем линейные УЧП
второго порядка с постоянными коэффициентами? а именно? уравнения ?????
коэффициенты ???? которых заменены соответственно числами c�kl = ckl sp ?
d�k = dk sp ? p�ijk = pijk sp ? q�ij = qij sp ? Применяя метод Фурье? ищем нену?
левое решение B = e?t+i(n,x) (Yi )3Ч1 ? где n = (n1 , n2 , n3 ) ? волновой вектор?
(n, x) = n1 x1 + n2 x2 + n3 x3 ? комплексное число ? ? порядок экспоненциаль?
ного роста во времени? Yi ? постоянные? и приходим к задаче исследования
спектра матрицы (aij )3Ч3 с элементами ?n = n21 + n22 + n23 ?
aij = q�ij + ink p�ijk + ?ij ink d�k ? ?m n2 ? c�kl nk nl .
?рупномасштабное магнитное динамо возникает? если наибольшая вещест?
венная часть собственного числа ? матрицы (aij ) положительна?
? третьей главе рассматриваются применения результатов второй гла?
вы к некоторым конкретным Р?ПС?
?ля облегчения вычисления коэффициентов ???? в ???? разработан со?
Ї ? ? ?ведем
ответствующий матричный алгоритм? Рассмотрим Р?ПС V, A,
квадратные матрицы третьего порядка Zk =
??ks
?xl
(k = 1, 2, 3)?
? где верхний индекс T означа?
ет транспонирование матрицы? матрица симметрична? 2) d ? (dk )3Ч1 =
= (dk )3Ч1 ?V AЇ? где
? есть полусумма всех элементов матри?
цы? получаемой поэлементным произведением ? и Zk V ? 3) при i = 1, 2, 3 для
квадратных матриц третьего порядка Pi = (pijk )jk справедлива формула
Pi = ?(V?Zi )T ? 4) q ? (qij )3Ч3 = (qij )3Ч3 + (yij )3Ч3 ? где при i, j = 1, 2, 3 qij
есть полусумма всех элементов матрицы? получающейся поэлементным
?V ?Zi
?
V ? yij есть произведение j ?ой строки
умножением матриц ? и Zi ?x
?xj
j
матрицы ZiT на столбец средних AЇ?
1) C ? (ckl )3Ч3 = 21 V?V T
C
dk , (k = 1, 2, 3)
sl
Теорема ??????
ABC ?поток с постоянными коэффициентами A? B ? C ? введенный
?? ?? ?рнольдом10,11 ? определяется полем скорости
V(x, t) = (B cos y + C sin z C cos z + A sin x A cos x + B sin y)T .
??
Рандомизация приводит к Р?ПС порядка ? с основными матрицами
?
0 cos y sin z
V = ? sin x 0 cos z ? ,
cos x sin y
0
?
?
AЇ
Ї ?,
AЇ = ? B
CЇ
?
?
?
?xx ?xy ?xz
? = ? ?yx ?yy ?yz ? .
?zx ?zy ?zz
?а основе теорем ????? и ????? в ???? получаем следующую теорему?
Уравнения среднего магнитного поля для рассматри?
ваемого случайного ABC ?потока имеют вид
Теорема ??????
?Bi
= ?m ?Bi + Ki + Li + Mi + Ni ,
?t
????
где i = 1? 2? 3? выражения Ki и N1 определены ниже? Li и Mi получаются
из Ki согласованными циклическими перестановками символов x? y? z и AЇ?
Ї ? CЇ ? а N2 и N3 получаются из N1 согласованными циклическими переста?
B
новками индексов 1? 2? 3? символов x? y? z и параметров AЇ? BЇ ? CЇ ?
1
? 2 Bi
2
2
Ki =
?yy cos y + 2?yz cos y sin z + ?zz sin z
+
2
?x2
? 2 Bi
+ (?yz cos y cos z + ?yx cos y sin x + ?zz sin z cos z + ?zx sin z sin x)
+
?x?y
1
1
Ї cos y ? CЇ sin z ?Bi ,
?xz cos x cos z ? ?xy sin x sin y ? B
+
2
2
?x
?B2
?B2
+ (?yz cos z + ?yx sin x)
+ (?yx cos x +
?x
?y
?B2
?B3
?B3
+?yy sin y)
? cos z (?zy cos y + ?zz sin z)
+ (?zz cos z + ?zx sin x)
+
?z
?x
?y
?B3
1
+(?zx cos x + ?zy sin y)
? (?yx sin y cos x + ?zx cos z sin x)B1 +
?z
2
1
Ї sin y B2 +
+ ?xy sin x cos y + ?yz cos y cos z ? B
2
1
+ ?zx sin z cos x + ?zy sin y sin z + CЇ cos z B3 .
2
N1 = sin y (?yy cos y + ?yz sin z)
? ???? исследуется вопрос о возможности возникновения крупномасштаб?
ного магнитного динамо в случайном ABC ?потоке?
После усреднения коэффициентов первого уравнения
среднего поля (15) по пространству это уравнение принимает вид
Теорема ??????
?B1
1
? 2 B1 1
? 2 B1
= ?m ?B1 + (?yy + ?zz ) 2 + (?zz + ?xx ) 2 +
?t
4
?x
4
?y
1
? 2 B1 1 ?B2 1 ?B3
+ (?xx + ?yy ) 2 + ?yy
? ?zz
.
4
?z
2
?z
2
?y
??
????
Уравнения для B2 и B3 получаются из (16) согласованной циклической пе?
рестановкой нижних индексов 1? 2? 3 и переменных x? y? z?
?спользуя метод Фурье? приходим к дисперсионному соотношению
µ3 + µ(n21 ?yy ?zz + n22 ?xx ?zz + n23 ?xx ?yy ) = 0,
????
где
1
µ = ?2i ? + ?m n2 + [(?yy + ?zz )n21 + (?xx + ?zz )n22 + (?xx + ?yy )n23 ] .
4
Члены в уравнении ????? выражающиеся через ? с различными индексами?
аналогичны членам с ??эффектом и турбулентной диффузией в стандартном
уравнении Штеенбека??раузе?Рэдлера? Разделение средней Э?С на эти два
эффекта и выделение турбулентного диамагнетизма отталкивается от карти?
ны нарушения зеркальной симметрии в локально однородном и изотропном
случайном поле?
При ?xx = ?yy = ?zz = ? случайный ABC ?поток наиболее симметри?
чен? то есть близок к однородной изотропной турбулентности? ? этом случае
дисперсионное соотношение ???? имеет ? корня и
?
?
?
+ ?m n
????
2
2
? единственный из них? соответствующий растущему при подходящих значе?
ниях волнового вектора решению? ?ля выявления в этом решении ??эффекта
и турбулентной диффузии вернемся к размерным единицам? введя длину реб?
ра ячейки течения l = 2? ? Тогда мы получаем ? = v/3? ? = vl/3 + ?m с
v = 2?/3? то есть ?при подходящем определении характерной скорости v ?
стандартные формулы теории длины перемешивания?
?ы выяснили? что поведение среднего магнитного поля в случайном
ABC ?потоке определяется уравнением? сводящимся к уравнению Штеенбе?
ка??раузе?Рэдлера для ??эффекта? Тем самым мы подтверждаем ?по
крайней мере? в рамках этого показательного примера? верность гипотезы
Я??? ?ельдовича о соотношении динамического хаоса и турбулентности? ?о?
нечно? теоретически можно допустить? что более удачный выбор течения с
хаотическими линиями тока и без рандомизации приведет к самовозбужде?
нию крупномасштабного магнитного поля? ?звестно ????? ?рнольд и др??
?????? что этого можно добиться для некоторого течения в специально по?
добранном римановом пространстве? ?еизвестно? можно ли этого добиться в
обычном пространстве?
?етерминированный поток ?? Робертса?? , ?? имеет вид
?=n
V(x) = A?(x) = A(? sin x cos y
?? ????rts
?? ????rts
cos x sin y
sin x sin y)T ,
???? ???t????? ??r????? ??????s? P???? ?r??s? ?? ???? ?????? ????? ????? P ????????
???? ?????? ??t??? ?? ???? ??t???s ??t? t???????s????? ??r??????t?? P???? ?r??s? ?? ???? ???????
????? ????? P? ????????
??
где A ? постоянная? ?го рандомизация в ???? приводит к простой Р?ПС
с матрицей V = ?(x)? Столбец средних AЇ и матрицу ковариаций ? можно
рассматривать как числовые параметры ?AЇ = AЇ ? R? ? ? 0?? После расчета
коэффициентов уравнений среднего поля по матричному алгоритму ???? с
последующей подстановкой в ???? получаем следующий результат?
Уравнения среднего магнитного поля для случайного
потока ?? Робертса имеют вид
Теорема ??????
2
2
2
?Bi
?
2
2 ? Bi
2
2 ? Bi
2
2 ? Bi
= ?m ?Bi +
sin x cos y 2 + cos x sin y 2 + sin x sin y 2 ?????
?t
2
?x
?y
?z
2
2
2
? Bi
? Bi
? Bi
1
? sin2 x sin 2y
+ sin 2x sin2 y
+ Ri ,
? sin 2x sin 2y
2
?x?y
?x?z
?y?z
где
?
?
?B1
?
R1 = ? sin 2x cos 2y + AЇ sin x cos y
+
sin 2y + cos2 x ·
4
?x
4
2
?
?B1
?B
1
+
sin 2x sin 2y ? AЇ sin x sin y
+
· sin 2y ? AЇ cos x cos y
?y
4
?z
?
?B2 ?
?B2
?B2
+ sin2 x sin 2y
? sin 2x sin2 y
? ? sin2 x sin2 y
+
2
?x
2
?y
?z
?
+
cos 2y ? AЇ cos x cos y · B1 + AЇ sin x sin y · B2 ,
2
?B1 ?
?B1
?B1
?
+ sin 2x sin2 y
+ ? sin2 x sin2 y
+
R2 = ? sin2 x sin 2y
2
?x
2
?y
?z
?
?
?B2
?
+ sin 2x + sin 2x cos2 y + AЇ sin x cos y
?
sin 2y cos 2x +
4
2
?x
4
?B2
?
?B2
?
sin 2x sin 2y + AЇ sin x sin y
?
+AЇ cos x sin y
?y
4
?z
?
?AЇ sin x sin y · B1 +
cos 2x + AЇ cos x cos y · B2 ,
2
?B1
?B1 ?
?B1
?
sin 2x sin 2y
? ? cos2 x sin2 y
? sin 2x sin2 y
+
4
?x
?y
2
?z
?B2 ?
?B2 ? 2
?B2
+? sin2 x cos2 y
? sin 2x sin 2y
? sin x sin 2y
+
?x
4
?y
2
?z
?
?B3
?
?B3
+
sin 2x + AЇ sin x cos y
+
sin 2y ? AЇ cos x sin y
?
4
?x
4
?y
?B3
?
?AЇ sin x sin y
+ ? sin 2y + AЇ cos x sin y B1 +
?z
2
?
+
sin 2x + AЇ sin x cos y B2 .
2
R3 =
? ???? доказывается следующая теорема?
??
После усреднения по пространству коэффициентов
уравнений среднего поля (19) для случайного поля ?? Робертса получаем сле?
дующую систему УЧП с постоянными коэффициентами?
Теорема
??????
?B1
?
? ?B2
?B2
?
? ?B1
= ?m +
?B1 ?
,
= ?m +
?B2 +
,
?t
8
4 ?z
?t
8
4 ?z
?
? ?B2 ?B1
?B3
= ?m +
?B3 +
?
.
?t
8
4 ?x
?y
Применение метода Фурье приводит к дисперсионному соотношению
µ(16µ2 ? ?2 n23 ) = 0,
где
µ = ? + ?m +
? 2
n.
8
?се корни ? этого уравнения вещественны? и лишь один из них может быть
положительным? ?сли n = (0, 0, n)? где n > 0? то этот корень равен
?=n
?
?
?
+ ?m n .
4
8
?тсюда ?так же? как из ???? для случайного ABC ?потока? следует? что круп?
номасштабное магнитное поле в случайном потоке ?? Робертса растет со ско?
ростью? аналогичной скорости роста для среднеполевого динамо в зеркально?
асимметричной турбулентности с ??эффектом? Тем самым еще раз подтвер?
ждается гипотеза Я??? ?ельдовича о том? что зависимость от времени ?в дан?
ном случае в виде случайных короткокоррелированных по времени флукту?
аций коэффициентов? снимает препятствия для возникновения и развития
крупномасштабного быстрого кинематического динамо в классических пото?
ках? ?озможен и иной анализ? состоящий в том? чтобы рассматривать слу?
чайные ABC ?поток и поток ?? Робертса как примеры неоднородной и ани?
зотропной турбулентности и воспользоваться известными выражениями для
коэффициентов переноса магнитного поля в подобной турбулентности? Этот
анализ? содержащийся в ???? в отличие от разрабатываемого диссертантом
другого подхода15,16 ? не вполне безупречен логически? так как мы как раз
и хотим проверить? насколько ABC ?поток и поток ?? Робертса можно рас?
сматривать как примеры турбулентности? Тем не менее в том? что касается
возникновения крупномасштабного магнитного динамо в случайных ABC ?
потоке и потоке ?? Робертса? эти подходы приводят к качественно близким
результатам? ?тметим? что в статье ??? диссертанту принадлежат только об?
щие для этих двух альтернативных подходов методы и результаты? связанные
с получением и исследованием дисперсионных соотношений ?см? статьи ??? и
???? все результаты которых? за исключением постановки задачи? принадле?
жат диссертанту??
? ???? уравнение магнитной индукции ??? записано в цилиндрических
координатах r, ?, z для полей скорости вида ?последнее из них представляет
??
собой винтовое цилиндрическое течение?? , ?? ??
?
Vr (r, ?, z)
V = ? V? (r, ?, z) ? ,
Vz (r, ?, z)
?
?
0
V(r, ?, z) = ? r?(r) ? .
Vz (r)
?
?
0
V(r, ?, z) = ? r?(r, ?, z) ? ,
Vz (r, ?, z)
?
? ???? выводятся уравнения среднего магнитного поля для случайно?
го винтового потока? ?аписав соответствующий детерминированный поток в
цилиндрических координатах? введя коэффициенты и рандомизируя их? по?
лучаем Р?ПС с компонентами V1 = ?A1 (t)y?(r)? V2 = A1 (t)x?(r)? V3 =
= A2 (t)Vz (r)? где r = x2 + y 2 ? Aj (t) (j = 1, 2, 3) ? короткокоррелированные
случайные процессы? ?сновные матрицы этого Р?ПС имеют вид
?
?y?(r)
0
0 ?,
V = ? x?(r)
0
Vz (r)
?
AЇ =
AЇ1
AЇ2
,
?=
?11 ?12
?21 ?22
.
?начале в ???? вычисляются коэффициенты уравнения среднего поля
согласно матричному алгоритму ???? и выписываются уравнения среднего
магнитного поля для винтового цилиндрического потока в декартовых коор?
динатах? ?озвращаясь к цилиндрическим координатам r, ?, z ? после преобра?
зований получаем следующую теорему?
Уравнения среднего магнитного поля для случайного
винтового потока в цилиндрических координатах имеют вид
Теорема ??????
?Br
?Br
?Br
= ?AЇ1 ?
? AЇ2 Vz
+ ?m
?t
??
?z
1 ? 2 Br ? 2 Br
+ 2
+
r ??2
?z 2
?
1
1 ?Br
2 ?B? ? 2 Br
B
+
?
+
+
r
r2
r ?r
r2 ??
?r2
2
2
? 2 Br
1
2 ? Br
2 ? Br
+
?11 ?
+ 2?12 ?Vz
+ ?22 Vz
,
2
??2
???z
?z 2
?B?
d?
?B?
?B?
= AЇ1 r Br ? AЇ1 ?
? AЇ2 Vz
+ ?m
?t
dr
??
?z
?
1
2 ?Br
B
+
+
?
r2
r2 ??
1 ?B? ? 2 B?
1 ? 2 B? ? 2 B?
+
+
+
r ?r
?r2
r2 ??2
?z 2
+
1
? 2 B?
?11 ?2
+
2
??2
+
+2?12 ?Vz
? 2 B?
? 2 B?
+ ?22 Vz2
???z
?z 2
?r
?Br
d?
?Br
+ ?12 Vz
?11 ?
,
dr
??
?z
?Bz
dVz
?Bz
?Bz
1 ?Bz ? 2 Bz
Ї
Ї
Ї
= A2
Br ? A1 ?
? A 2 Vz
+ ?m
+
+
?t
dr
??
?z
r ?r
?r2
?? ?????????
????? ??????? ???? ??? ?????r?? ???? ???r??????t?? s?r?? ??????? ?? ????? ?????? ?????
?? ???? P? ??????
?? Пономаренко
Ю??? ? теории гидромагнитного динамо? Прикл? мех? техн? физика? ????? ??а ?? ?? ??????
??
+
1 ? 2 Bz ? 2 Bz
+
r2 ??2
?z 2
+
2
? 2 Bz
1
? 2 Bz
2 ? Bz
?11 ?2
+
2?
?V
+
?
V
12
z
22 z
2
??2
???z
?z 2
?
?
dVz
?Br
?Br
?12 ?
+ ?22 Vz
.
dr
??
?z
Полагая здесь B = e?t+i(m?+kz) · (br (r) b? (r) bz (r))T ? получаем приве?
денную в параграфе ???? систему трех дифференциальных уравнений? кото?
рая при ?11 = ?12 = ?22 = AЇ1 = AЇ2 = 0 превращается в систему уравнений
??????? из работы25 для детерминированного винтового потока?
?о недавнего времени ??эффект оставался чисто теоретической кон?
струкцией? но в последнее время стало возможным наблюдать величины? его
определяющие? в активных областях солнца? обработка этих данных под?
тверждает основные выводы теории динамо? Этой тематике? в частности?
посвящен ????? в котором на основе ???? ??? производится сравнение некото?
рых наблюдаемых характеристик ??эффекта? ?втору в этом параграфе ?как
и в статьях ???? ???? принадлежит вся статистическая обработка результатов
наблюдений солнечной активности? в частности? нахождение доверительных
интервалов и построение графиков?
? Приложении приводятся необходимые сведения из теории мульти?
пликативных интегралов[18],[19] ?
?втор выражает глубокую благодарность своему научному руководите?
лю доктору физико?математических наук? профессору ?митрию ?митриеви?
чу Соколову за постановку задачи и внимание к работе?
?сновные публикации автора по теме диссертации
Томин ????? Соколов ????
???
?агнитное поле во флуктуирующем ????
потоке? Письма в астрономический журнал? ????? Т? ??? ??? С? ????????
???
?????? ?? ???t??t??? ??? ???? ??????s?
?str????s? ????? ????? ????? ?? ???? ??? ???? P? ????????
???
????????? ??????s
?? r????? ?r????????tr?????????r?ss ??? ????rts ???s? P??s???? ??????? ???
????? ?? ??? ??????? ? ??
???
?????t?? ??? ??rr??t
??????t??s ?? s???r ??????s? ???? ??? ??s?? ????? ?? ??? P? ???? ? ?????
???
??rr??t ??????t? ??? t??st ?s t?? ??????t?rs ?? t?? ??rr?r
?s????tr? ?? s???r ?????t?? ????s? ????r P??s??s? ????? ?? ???? ????? P? ??????
???
Флуктуирующий ????поток и гипотеза
?ельдовича о быстром динамо? Сборник трудов международной конференции
?СС??? ?Трансформация волн? когерентные структуры и турбулентность??
????? ??? ??????? ??
?????r?? ??? ????????s??? ??? ??????? ??? ????? ??
??????? ??? ????? ??? ???????? ????? ????? ??
??????? ????? ????? ??? ???????? ????? ??r???? ????? ????? ?????
??t?????? ????
Соколов ????? Томин ????
??
?осква? ????? ?? ????????
???
?????? ?? ???t??t ?? ??????????
?????tr?? ? ??t????t???? t??? ??? ??s????????? ???????t???s? ?t? ????
?????r???? ?????????? s?st??s? ????r??t??? ?q??t???s ??? ???????t???s??
??str??ts? ?r?s???? ??r????? ????? P? ???
???
Уравнения среднего магнитного поля и крупномасштаб?
ное динамо в случайных ABC ?потоке и потоке Робертса? ???? конференция
??ктуальные проблемы внегалактической астрономии?? Пущинская радио?
астрономическая обсерватория ??Ц Ф???? Пущино? ????? Тезисы докладов?
С? ???
?писание личного вклада диссертанта в статьях в соавторстве содержит?
ся в тексте автореферата?
??????? ??? ????? ??? ????s??? ??
Томин ????
??
Документ
Категория
Физико-математические науки
Просмотров
16
Размер файла
350 Кб
Теги
кандидатская
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа