close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Нестационарные волны в упругих моментных средах

код для вставкиСкачать
ФИО соискателя: Лай Тхань Туан Шифр научной специальности: 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела Шифр диссертационного совета: Д 212.125.05 Название организации: Московский авиационный институт (государственный технический университет) Ад
На правах рукописи
ЛАЙ ТХАНЬ ТУАН
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ В
УПРУГИХ МОМЕНТНЫХ СРЕДАХ
Специальность 01.02.04 – Механика деформируемого твердого тела
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Москва – 2012
Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)»
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук, профессор,
Тарлаковский Дмитрий Валентинович
Официальные оппоненты: Ерофеев Владимир Иванович,
доктор физико-математических наук, профессор,
Нижегородский филиал Института машиноведения им. А.А.Благонравова РАН, заместитель директора.
Земсков Андрей Владимирович,
кандидат физико-математических наук, доцент,
Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), доцент.
Ведущая организация:
Нижегородский государственный университет
им. Н.И. Лобачевского (НИИ механики)
Защита состоится «09» ноября 2012 г. в 1400 часов на заседании диссертационного совета Д 212.125.05 в ФГБОУ ВПО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)», по адресу: 125993,
г.Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, дом 4.
С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке
ФГБОУ ВПО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)».
Автореферат разослан «08» октября 2012 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета
Федотенков Г.В.
2
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность работы. В настоящее время наиболее исследованными являются задачи о распространении нестационарных возмущений в классических
упругих средах. При этом практически отсутствуют публикации по проблеме
распространения нестационарных волн в упругих средах с учетом внутреннего
момента количества движения (моментные среды). Наличие внутреннего момента количества движения связано с тем, что сплошная среда с микроскопической точки зрения состоит из частиц, обладающих согласованным моментом
количества движения даже при нулевой макроскопической скорости. К таким
средам относятся гранулированные среды, среды с гиромагнитными свойствами, магнитные жидкости, жидкие кристаллы и т.д. Поэтому исследование нестационарных процессов моментных сред представляет собой актуальную проблему.
Целью диссертационной работы является постановка и построение аналитических решений двухмерных задач о распространении нестационарных осесимметричных граничных возмущений в «неклассической» упругой среде со
сферическими границами, в качестве модели которой выбран один из вариантов несимметричной теории упругости – псевдоконтинуум Коссера.
Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем.
1. Получены решения новых нестационарных осесимметричных задач о распространении поверхностных возмущений со сферическими границами (пространство со сферической полостью и сплошной шар) и о дифракции волны
расширения (плоской или сферической) на сферической полости в псевдоконтинууме Коссера;
2. Разработан и реализован алгоритм обращения преобразований Лапласа
для коэффициентов рядов по полиномам Лежандра в полученных решениях.
3
Практическое значение работы. Полученные результаты обеспечивают
возможность исследования поведения различных конструкций из композиционных материалов при действии на них нестационарных нагрузок, что особенно
актуально при создании современных объектов авиационной и ракетнокосмической техники.
Достоверность и обоснованность научных положений и полученных результатов подтверждается использованием законов и уравнений механики деформируемого твердого тела, применением для решения начально-краевых задач строгих математических методов, а также сравнением результатов с известными решениями для частных случаев.
Апробация работы и публикации. Результаты диссертационной работы докладывались на
- Международных симпозиумах «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова (Ярополец,
Московская обл., 2011, 2012 г.г.);
- Всероссийской конференции «Механика наноструктурированных материалов и систем» (Москва, Ленинградский проспект, 7, 13 – 15 декабря 2011 года);
- Московской молодежной научно-практической конференции «Инновация в
авиации и космонавтике» (Москва, МАИ, 17 – 20 апреля 2012 г.);
- Ломоносовских чтениях. Подсекции: Механика деформируемого твердого
тела. (Москва, МГУ, 16 – 20 апреля 2012 г.).
Основные результаты диссертации опубликованы в девяти печатных работах, в том числе в двух статьях в журналах, рекомендованных ВАК РФ.
Объём и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения,
четырех глав, заключения, списка литературы и содержит 111 страниц. Список
используемой литературы включает 110 наименований.
4
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обосновывается актуальность научных исследований, изложенных в диссертации, а также сформулированы цель и задачи, определена научная новизна, практическая и теоретическая ценность диссертационной работы.
В первой главе преведен обзор литературы, определена проблема получения
аналитического решения нестационарных задач механики деформируемого
твердого тела. Отмечено, что наибольшее развитие общей теории несимметричной упругости получили в конце 50-х – 70-х годов прошлого столетия В.
Новицкий, В.Т. Костер, Э.Л. Аэроб и Е.В. Кувшинский, Р.Д. Миндлин и Г.Ф.
Тирстен, Р.А. Тупин, И.А. Кунин, В.А.Пальмов, А.И. Лурье и др. Cовременные
исследования задач моментных сред принадлежат следующим авторам: С.М.
Белоносову, Г.Л. Бровко, Г.А. Ванину, В.И. Ерофееву, В.В. Корепанову, М.А.
Кулешу, В.П. Матвеенко, Б.Е. Победре, А.Г. Угодчикову, Kumar Rajneesh, Liu
Jun, Nistor I., Suiker A.S.J. Некоторые нестационарные задачи для моментных
сред исследованы в работах А.А. Саркисяна, Birsan Mircea, Gheorghita Vitali,
Han S.Y.
Здесь же приведена полная система уравнений несимметричной теории упругости, в которую входят линейные векторные уравнения движения в перемещениях, геометрические и физические соотношения. Сформулированы начальные и основные граничные условия для среды Коссера и псевдоконтинуума
Коссера. С использованием представления полей перемещения и угла поворота
в виде потенциальной и соленоидальной частей записана система уравнений
движения относительно скалярных и векторных потенциалов.
Получены безразмерные уравнения осесимметричного движения относительно скалярного потенциала и ненулевой компоненты векторного потенциала для псевдоконтинуума Коссера в сферической системе координат
r , , ( r 0 , 0 , 0 2 ):
5
1 2 1 r
sin
;
2 r r r sin 1 1
1 11 0, 1 2 2 ,
2
4
r sin , (1)
а также соответствующие геометрические и физические соотношения:
ur w 1 1 ctg , u v , u 0;
r r r r
1 rv w w
v
, r ,
, r 0; rr 2r r
r
r
1 w
1 v
1
r v , w , w vctg ;
r r r
1 r , r , , ctg ,
r
r
r r
r r 0; rr r r 0;
(2)
r r r , r r r , ,
, , ;
rr rr , rr , rr ,
(3)
1 1
r r r , r r r r ,
2
2
1 1 r r 2 r r ctg .
2 r
r r r r где - оператор Лапласа; , , - безразмерные параметры, связанные с физическими характеристиками среды; ui и i
i r , , - физические компо-
ненты векторов перемещения u и поворота щ ; i j , i j , i j и i j i, j r, , физические компоненты тензоров деформаций г , изгиба-кручения ч, моментных напряжений м и напряжений у .
Рассмотрены два типа волн растяжения-сжатия, распространяющиеся в бесконечном псевдоконтинууме Коссера: плоские и сферические. Показано, что
для каждого из них потенциал перемещений есть суперпозиция двух волн: прямой (расходящейся) и обратной (сходящейся), распространяющихся со скоростью, равной единице.
6
Во второй главе построено решение осесимметричной задачи о распространении нестационарных возмущений от сферической полости в псевдоконтинууме Коссера. На поверхности полости r 1 задано нормальное перемещение,
а касательное перемещение и вращение отсутствуют:
w |r 1 w0 , , v |r 1 0, |r 1 0.
(4)
В начальный момент времени среда находится в покое, что соответствует
однородным начальным условиям. На бесконечности возмущения отсутствуют.
Для решения задачи используется метод неполного разделения переменных,
который заключается в представлении потенциалов и компонент напряженнодеформированного состояния среды, а также правых частей граничных условий
в ряды по многочленам Лежандра Pn cos и Гегенбауэра Cn3/2
1 cos . В результате приходим к начально-краевым задачам
1
1
n n n2 n
2
4
wn r 1 w0 n , vn r 1 0, n r 1 0;
n nn
n 0,
n 0 n 0
n n 1 ;
(5)
2 2 n n 1
n 0 n 0 0; n 2 ,
r
r r
r2
и соответствующим геометрическим и физическим соотношениям относительно коэффициентов рядов.
Для решения задач (5) используется преобразование Лапласа по времени ( s
- параметр, индекс « L » соответствует изображению):
n nL r , s s 2 nL r , s 0
n 0;
2n nL r , s 2 1 n nL r, s 4s 2 nL r , s 0 n 1 .
(6)
Общее решение уравнений (6) с учетом ограничения решений в бесконечности записывается в виде:
L
n
r, s r
1 2
1
Cn1 s K n 1/2 rs , 2
L
n
r , s r Cnm2 s K n1/2 r
1 2
m 1
m ,
(7)
2
где Cn11 s и Cnm
s m 1,2 - постоянные интегрирования; K z - модифи-
цированные функции Бесселя порядка второго рода; 1,2 - корни характери7
стического
уравнения,
которое
получается
при
подстановке
n nL r , s nL r , s во второе уравнение в (6).
Используя связь модифицированных функций Бесселя полуцелого индекса с
элементарными функциями, получаем изображения коэффициентов рядов для
L
потенциалов перемещений ( AnL s , Bnm
s - новые произвольные функции):
L
n
r, s 1
r
n 1
L
n
A s Rn 0 rs e
r 1s
L
n
,
r, s 1
r
n 1
2
B s R r
L
nm
n0
m e r 1
m1
m
, (8)
где
n
Rn 0 z Ank z n k , Ank k 0
n k !
0 k n ; Ank 0 k 0,
n k !k !2k
k n .
Постановка (8) в преобразованные по Лапласу геометрические соотношения
относительно коэффициентов рядов приводит к следующим выражениям для
изображений коэффициентов рядов для перемещений и угла поворота:
2
1 L
r 1 s
A
s
R
rs
e
n
n
1
BnmL s Rn0 r m e r 1
n 2 n n1 r m 1
2
1 L
vnL r , s n 2 AnL s Rn 0 rs e r 1 s Bnm
s Rn 3 r m e r 1 m ,
r m 1
1 2 L
L
n r, s n 3 Bnm s Qn r m e r 1 m ,
2 r m 1
wnL r, s m
,
(9)
где
n 1
Rn1 z Rn1,0 z nRn 0 z Bnk z n1k , Bnk An 1,k nAn ,k 1 ,
k 0
Rn 2 z Rn 2,0 z 2n 1 Rn1,0 z n n 1 Rn 0 z ,
n 1
Rn 3 z Rn 1,0 z n 1 Rn 0 z Cnk z n 1k , Cnk An1,k n 1 An ,k 1 ,
k 0
n 2
Qn z Rn2,0 z 2n 3 Rn 1,0 z Dnk z n 2k , Dnk An 2,k 2n 3 An 1,k 1.
k 0
Используя эти соотношения и преобразованные по Лапласу граничные условия (5), получаем следующие представления изображений коэффициентов рядов для перемещений и угла поворота (для краткости приведена формула только для нормального перемещения):
8
2
wnL0 s L
r 1 j r 1 s
w r , s n 2 Wn 0 r , s e
n n 1 WnLj r , s e
(10)
.
r
j 1
Здесь
X n s WnL0 r , s Rn1 rs S n1 1 , 2 , X n s WnL1 r , s Rn 0 r 1 S n 2 s, 2 ,
L
n
X n s Rn1 s Sn1
n n 1 R
1 ,
n0
2
s Sn2 1 , 2 Sn 2
, ,
2
1
S n1 x, y Rn 3 x Qn y Rn 3 y Qn x , S n 2 x, y Rn 0 x Qn y .
Формулы для функций WnL2 r , s получаются из соответствующего равенства
для WnL1 r , s с помощью умножения на (-1) и перемены местами 1 и 2 .
Структура изображений (10) не позволяет найти оригиналы аналитически
ввиду наличия в них слагаемых, содержащих радикалы
1,2 . Поэтому строит-
ся асимптотика решений в окрестности начального момента времени, что соответствует разложениям изображений в ряды Лорана в окрестности бесконечно
удаленной точки. В результате приходим к разложениям всех слагаемых изображений коэффициентов рядов для перемещений и угла поворота. Например,
для нормального перемещения они имеют следующий вид:
L
n0
W
r, s e
r 1s
e
r 1s
w r s
m /2
n0m
L
n1
,W
r, s e
r 1 1
e
r 1 0 s
m0
WnL2 r, s e r 1
2
e r 1 0
w r s
n1m
m /2
,
m 3
s
w r s
n1m
m /2
.
(11)
m 3
Оригиналы коэффициентов рядов (11) находятся с помощью теорем операционного исчисления и следующих табличных соотношений:
1
ks e s
k Г m /2 1
e a s s m /2 e
21m 0 ;
a2
8
(12)
a D1m 2 m 0,1, 2...;
Re a 0 ,
где Г - гамма-функция; D x - функция параболического цилиндра;
x x H x ; H x - функция Хевисайда.
Приведен пример расчетов. В качестве материала, заполняющего пространство выбран зернистый композит из алюминиевой дроби в эпоксидной матрице
9
( 7.59 ГПа , 1.89 ГПа , 2.64 кН ), что соответствует безразмерным
параметрам 0.67 , 0.00232 . На поверхности полости заданы перемещения следующего вида:
w0 , 1
1 cos 2 H .
2
(13)
На рисунках 1 – 2 изображены графики нормального перемещения w r , , в зависимости от времени на расстояниях r 1.01, r 1.03 , r 1.05 и r 1.08 от
центра полости при значениях угла 0 , 4 . Все графики построены для
четырех членов степенных рядов. При учете еще одного члена результаты
практически совпадают.
Рис. 1
Рис. 2
Во третьей главе решается задача о дифракции нестационарных волн на
сферической полости в псевдоконтинууме Коссера. На сферическую полость
набегает волна расширения-сжатия одного из двух типов: плоская или сферическая (рис. 3).
Рис. 3
Соответствующие потенциалы набегающей волны в безразмерном виде записываются так (индекс « 0 » соответствует набегающей волне):
10
0 r, , f r cos 1 H r cos 1 ,
0 r , , (14)
d0 1
f d 0 1 l H d 0 1 l ,
l
где l r 2 d 02 2rd0 cos ; d 0 D0 R0 ; f - произвольная функция, задающая закон изменения потенциала во времени.
Предполагается, что начальные условия однородные, на бесконечности возмущения отсутствуют, а поверхность полости r 1 свободна от напряжений
при наличии стесненности поворотов, что соответствует следующим граничным условиям:
rr
r 1
rr 0
r 1
0, r
r 1
r 0
r 1
0, r 1 0 .
(15)
Используя метод неполного разделения переменных, преобразование Лапласа по времени для коэффициентов рядов по полиномам Лежандра и Гегенбауэра, а также физические соотношения относительно коэффициентов рядов для
компонентов возмущенного состояния. В частности, для напряжений они записываются так:
2
1 r 1 s
L
r , s n 3 Pn1 rs An s e
n n 1 Pn 2 r i BniL s e r 1
r i 1
2
1 r 1 s
r 1 L
L
r n r, s n 3 Pn 2 rs An s e
Pn 3 r i BniL s e i ,
r i 1
L
rrn
i
,
(16)
где
n 2
Pn1 z Enk z
k 0
n 1
n 2 k
, Pn 2 z Fnk z
k 0
n 4
n 1 k
, Pn3 z Gnk z n 4k ;
k 0
Enk An2,k 2n 2 1 An1,k 1 n n 11 An ,k 2 ,
Fnk 1 An 1,k n 1 An,k 1 , Gnk A
4r
2
n 4,k
2n 5 A
2r 2
n 3,k 1
1
1 2n 5 2n 3 A
2
n
1
An 1,k 3 n 2 1 1 An ,k 4 .
2 n 2,k 2
4r 2
2
При этом функции rrL 0 n r , s и rL 0 n r , s находятся с помощью выражений
(14), геометрических и физических соотношений.
11
Удовлетворение граничным условиям приводит к следующим окончательным выражениям для изображений коэффициентов рядов для перемещений, угла поворота и напряжений (здесь указаны только нормальные напряжения):
L
rrn
r, s 2
1 L
r 1s
L
H
r
,
s
e
n
n
1
H nm
r , s e r 1
n0
n 3 r m1
,
m
(17)
где
H nL0 r , s Pn1 rs AnL s ,
, n n 1 s Y ,
s Z s s Y s, s Y s , ,
s Z s s Y s, s Y s, ;
AnL s Z n s rrL 0 n s Yn1
BnL1
BnL2
L
H nm
r , s Pn 2 r m BnmL s ;
L
rr 0 n
n
n3
L
rr 0 n
n
1
L
r 0 n
2
L
r 0 n
2
n3
n4
L
r 0 n
1
n2
1
2 ,
2
n4
1
Yn1 x, y Qn x Pn 3 y Qn y Pn 3 x , Yn 3 x, y Pn 2 x Qn y ,
Yn 2 x, y Qn x Pn 2 y Qn y Pn 2 x , Yn 4 x, y Pn1 x Qn y ,
Z n s Pn1 s Yn1
1 , 2 n n 1 Pn 2 s Yn 2
1 , 2 ;
rrL 0 n rrL 0 n s f L s Pn1 s e2 s Pn1 s ,
rL 0 n s rL 0 n s f L s Pn 2 s e 2 s Pn 2 s ;
n
n
1 1
1 1 d 0 1 Rn 0 d 0 s 1 n n 1 , 2 n .
2 s
2
s 2 n1d 0n
Структура изображений (17) не позволяет найти оригиналы аналитически.
Поэтому аналогично главе 2 строится асимптотика решений в окрестности начального момента времени. Окончательно получаем выражения для всех слагаемых изображений коэффициентов рядов для напряжений и угла поворота
(здесь приведено только нормальное напряжение):
H
L
n0
H
L
n1
H
L
n2
r, s e
r, s e
r 1s
e
r 1 1
r, s e
r 1 2
r 1 s
e
L
nrr01m r nrr02m r L
rr 0 n s m 2 n n 1 r 0 n s m 2 ,
s
s
m 0
m 3
r 1 0 s
e
L
nrr11m r nrr1m2 r L
rr 0 n s m 2 r 0 n s m 2 ,
s
s
m 5
m 3
r 1 0 s
rr1
rr 2
n1m r n1m r L
L
rr 0 n s m 2 r 0 n s m 2 .
s
s
m 5
m 3
12
(18)
Оригиналы коэффициентов рядов в (18) находятся с помощью теорем операционного исчисления и формул (12).
Приведены примеры расчетов для указанного выше материала в случае плоской волны. Функция, задающая закон изменения потенциала во времени принимается в виде f 2 2 , что соответствует равенству единице нормальных
напряжений на фронте волны в момент 0 ее касания поверхности полости:
На рис. 4 – 5 изображены графики радиального напряжения rr r , , в зависимости от времени на расстояниях r 1.01, r 1.03 , r 1.05 , r 1.08 от
центра полости при значениях 0 , 2 . Все графики соответствуют девяти членам степенных рядов и n 4 .
Рис. 4
Рис. 5
В четвертой главе дано решение задачи о распространении нестационарных
возмущений от границы сплошного шара. На поверхности шара заданы граничные условия (4). Начальные условия являются нулевыми. Предполагается,
что все компоненты напряженно-деформированного состояния ограничены.
Общее решение системы уравнений (6) с учетом ограничения решения в
центре шара имеет следующий вид:
2
nL r, s r 1 2Cn12 s I n 1/2 rs , nL r , s r 1 2 Cn2, j 2 I n 1/2 r j ,
(19)
j 1
где I z - модифицированные функции Бесселя порядка первого рода, а 1,2
- корни указанного в главе 2 характеристического уравнения.
13
Используя связь I n 1/2 z с элементарными функциями, получаем изображения коэффициентов рядов для потенциалов перемещений:
nL r , s 1
r
n 1
AnL s Rn 0 rs e rs Rn 0 rs e rs ,
2
1
r
r , s n1 B s Rn 0 r j e
r j 1
L
n
L
nj
j
(20)
Rn 0 r j e
r j
.
Аналогичные главе 2 преобразования приводят следующим окончательным
выражениям для изображений коэффициентов рядов для компонентов напряженно-деформированного состояния (указано только нормальное перемещение):
2
w0Ln s L
w r , s n 2 Wn 0 r , s n n 1 WnjL r , s .
r
j 1
L
n
(21)
Здесь
r , s 1 r
2
0
WnL2 r , s 1 r
2
2
L
n0
W
Gn1 rs U n1
1 , 2
Zn s ,W
Gn 0 r 2 U n 2 s, 1
Zn s L
n1
;
1 r
2
1
r, s Gn 0 r 1 U n 2 s, 2
0 e 2 s , 1 e2
Zn s 1
, 2 e 2
,
(22)
2
;
U n1 x, y Gn 2 x Gn3 y Gn 2 y Gn 3 x , U n 2 x, y Gn 0 x Gn 3 y ,
1 , 2 n n 1 Gn 0 s U n 2 1 , 2 U n 2
2 z
Gn 0 z Rn 0 z Rn 0 z e , Gn1 z Rn1 z Rn1 z e 2 z ,
Z n s Gn1 s U n1
2 , 1 ;
Gn 2 z Rn 3 z Rn3 z e 2 z , Gn 3 z Qn z Qn z e 2 z .
Для построения оригиналов решения аналогично главам 2, 3 представляем
изображения в виде рядов по степеням s 1/2 в окрестности бесконечно удаленной точки.
1
Для этого используется следующее разложение функции Z n s :
d 0k0 d1k1 ...d 6k6 k0 k3 k4 k6 k1 k3 k5 k6 k2 k4 k5 k6
K ; k0 , k1 ,..., k6 0
1
2
.
Z n s K 0 k0 k1 ...
d K 1
1
... k6 K
Здесь величины d и di ( i 0,6 ) есть определители третьего порядка:
14
(23)
2 ,
2 ,
d3 s, 1 , 2 ,
d6 s, 1 , 2 ,
2 ,
d s, 1 , 2 , d 0 s, 1 , 2 , d1 s, 1 , 2 ,
d 2 s, 1 ,
d 5 s, 1 ,
d 4 s, 1 ,
Rn1 x n n 1 Rn0 y n n 1 Rn0 z x, y, z Rn0 x Rn3 y Rn3 z ,
Qn y 0
Qn z а K ; k0 , k1 ,..., k6 K ! k1 !k2 !...k6 ! - мультииндекс.
Учитывая правила действий со степенными рядами, для степеней величины
d и di ( i 0,6 ) получаем:
diki s
ki 2 n 3 K 1 2 n 3
inm s m/2 , d K 1 s nm s m/2 .
m 0
(24)
m0
Отсюда находим изображения всех слагаемых для изображений коэффициентов рядов для перемещений и угла поворота (приведено только первое слагаемое для нормального перемещения в (21)):
WnL0 r, s U n1
1 , 2 Gn1 rs s 2n 3
nk
K 0 k0 ... m 0
k6 K
0 ...k6
sm 2
H
T
T
0 0 k0 ...k6 1 01 k0 ...k6 2 02 k0 ...k6 .
(25)
Здесь
N w s M w s 0 m /2 0i e
0i
U n1
e
f
r
s
,
inm
i 0 m 0
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
N 00 N 02 N 04 N 06 0, N 01 N 03 N 05 N 07 2r , M 00 M 01 0
1 , 2 Gn1 rs s 4n 5
2
7
w M w 2 , M w M w 2 , M w M w 2 ;
M 02
0
0
0
0
03
04
05
06
07
H 0 k
T01 k
m 0
0 ...k6
0 ...k6
n k
k0 k3 k4 k6 1 r 2,
T21(k0 ...k6 ) k1 k3 k5 k6 , T02 k
0 ...k6
sm
2
m
0 ...k6
T12( k0 ...k6 ) k2 k4 k5 k6 ,
0nm
K ; k0 ,..., k6 m 2 ... 6mnm2
m0 s
m0 s
15
s mnm2 .
m 0
При этом экспонентная часть в (25) записывается в таком виде 0,2 :
H k
0 ...k6 0
T
T
1 1 k0 ...k6 2 2 k0 ...k6 e
2 H k
0 ...k6 s 2 L ( k ...k ) s 0 6
c ( k0 ...k6 ) m
e
m 0
s
m /2
,
L ( k0 ...k6 ) T 1 k ...k 0 T 2 k ...k 0 ,
0
6
0
6
c (k0 ...k6 )m
s m/ 2
m 0
A 2T
m
1 k0 ...k6 Am 2T 2 k0 ...k6 .
m/ 2
m /2
s
s
m 0
m 0
Окончательно получаем выражения для всех слагаемых в изображениях коэффициентов рядов для перемещений и угла поворота. Например, первое слагаемое для нормального перемещения имеет вид:
WnL0
1 7 r
,
s
s i 0 K 0 k
e
w
0 i ( k
0 ... k6 )
w
s 0 i ( k
0 ...k6 )
e
s m0
0 ...
k6 K
wn0i (k0 ...k6 )m r sm 2
,
(26)
где
wn0i ( k0 ...k6 ) m r m 0
w
0i ( k ...k )
0
6
s m /2
m 0
w
N 2H
0i
n k
0 ...k6
m
0
6
0
f inm
m /2 ,
m /2
s
m 0
m 0 s
w
w
0( k0 ...k6 ) , 0i ( k ...k ) M 0i 2 L0( k0 ...k6 ) .
s m /2
c0( k0 ...k6 ) m
Оригиналы коэффициентов рядов для перемещений и угла поворота находятся с помощью теорем операционного исчисления и формул (12).
Приведен пример расчетов для того же материала, что и в примерах глав 2 и
3. На поверхности шара заданы перемещения вида (13). На рис. 6 – 7 продемонстрировано нормальное перемещение w r , , в зависимости от времени на
расстояниях r 0.99; 0.95; 0.92; 0.88 от центра шара при 0 , 4 и
K 1 . Они соответствуют четырем членам степенных рядов. При разных зна-
чениях K 1 или учете еще одного члена степенных рядов графики практически совпадают.
16
Рис. 6
Рис. 7
В главах 2, 3, 4 проведен предельный переход к симметричной теории упругости. Для этого в полученных соотношениях (10), (17), (21) полагается, что
0 и 0 . При этом для 1,2 имеют место следующие соотношения:
1 , 2 2 s 2 1 .
Полученные результаты показывают совпадают с точностью до обозначений
с известными решениями соответствующих задач.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ
1. С помощью представления искомых функций в виде рядов по полиномам
Лежандра и преобразования Лапласа получены решения новых нестационарных
осесимметричных задач о распространении поверхностных возмущений в псевдоконтинууме Коссера со сферическими границами (пространство со сферической полостью и сплошной шар).
2. Проведено исследование влияния на напряженно-деформированное состояние среды различного типа поверхностных возмущений (кинематических и
силовых).
3. С использованием результатов для задачи о распространении поверхностных возмущений построено решение новой задачи о дифракции волны расширения (плоской или сферической) на сферической полости в псевдоконтинууме
Коссера.
17
4. Для изображений преобразования Лапласа, содержащих множители в
виде экспонент с радикалами, разработан алгоритм обращения для коэффициентов рядов по полиномам Лежандра, основанный на разложении изображений
в ряды Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки, что соответствует
степенным рядам в окрестности начального момента времени. Построена и реализована методика определения коэффициентов этих рядов.
5. Проведено численное исследование сходимости в полученных решениях
рядов по полиномам Лежандра и степенных рядов по времени.
6. Выполнен предельный переход в полученных решениях к классической
теории упругости. Показано совпадение с известными результатами.
СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
В рецензируемых научных изданиях и журналах:
1. Лай Тхань Туан, Тарлаковский Д.В. Распространение нестационарных кинематических возмущений от сферической полости в псевдоконтинууме Коссера // Механика композиционных материалов и конструкций, 2011. Т. 17, № 2. –
С. 184 – 195.
2. Лай Тхань Туан, Тарлаковский Д.В. Распространение нестационарных
осесимметричных возмущений от поверхности шара, заполненного псевдоупругой средой Коссера // Электронный журнал «Труды МАИ», 2012, № 53,
www.mai.ru/science/trudy/.
В других научных изданиях и журналах:
1. Лай Тхань Туан, Тарлаковский Д.В. Распространение нестационарных
осесимметричных возмущений от сферической полости в упругом моментном
пространстве // Материалы XVI Международного симпозиума «Динамические
и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им.
А.Г. Горшкова. Т.2. – Чебоксары: ГУП «ИПК «Чувашия», 2010. – С. 66.
2. Лай Тхань Туан, Дмитрий Тарлаковский. Осесимметричные нестационарные волны в упругой моментной среде со сферической полостью // Матема18
тичнi проблеми механiки неоднорiдних структур / Львiв: Iнститут прикладних
проблем механiки i математики iм. Я. С. Пiдстригача НАН Украiни, 2010. – С.
442 – 443.
3. Лай Тхань Туан, Тарлаковский Д.В. Дифракция нестационарных волн на
сферической полости в сфере псевдокоссера // Механика и наноструктурированных материалов и систем / Труды Всероссийской конференции. Т. I. Москва, 13-15 декабря 2011 г. – М.: Альянстрансатом, 2011. - С. 65-74.
4. Лай Тхань Туан, Тарлаковский Д.В. Нестационарные волны в заполненном упругой средой псевдокоссера шаре // «Механика наноструктурированных
материалов и систем». Материалы Всероссийской конференции. Москва, 13 ноября – 15 декабря 2011 г. – М.: ИПРИМ РАН, 2011. – С. 97.
5. Лай Тхань Туан, Тарлаковский Д.В. Нестационарные осесимметричные
граничные возмущения от сферической полости в псевдоконтинууме Коссера //
Материалы XVII Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова.
Т.2. – М.: ООО «TP-принт», 2011. – С. 28 – 29.
6. Лай Тхань Туан, Тарлаковский Д.В. Нестационарные осесимметричные
возмущения от границы сплошного шара, заполненного упругой моментной
средой // Материалы XVIII Международного симпозиума «Динамические и
технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г.
Горшкова. Т.2. – М.: ООО «TP-принт», 2012. – С. 41 – 43.
7. Лай Тхань Туан, Тарлаковский Д.В. Дифракция плоских (сферических)
волн на сферической полости в псевдоконитууме Коссера // Московская молодежная научно-практическая конференция «Инновации в авиации и космонавтике - 2012» 17-20 апреля 2012 года. Москва. Сборник тезисов докладов
конференции. - М.: ООО «Принт-салон», 2012. - С. 272-273.
19
Документ
Категория
Физико-математические науки
Просмотров
21
Размер файла
666 Кб
Теги
кандидатская
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа