close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ОБЪЕКТОВ В ВЕРХНЕЙ МАНТИИ

код для вставкиСкачать
ФИО соискателя: Иванисова Ольга Владимировна Шифр научной специальности: 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела Шифр диссертационного совета: Д 212.101.07 Название организации: Кубанский государственный университет Адрес организации: 35004
На правах рукописи,
ИВАНИСОВА ОЛЬГА ВЛАДИМИРОВНА
НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ
ОБЪЕКТОВ В ВЕРХНЕЙ МАНТИИ
01.02.04 – Механика деформируемого твердого тела
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Краснодар
2012
Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном
образовательном учреждении высшего профессионального образования
«Кубанский государственный университет»
Научные руководители:
доктор физико-математических наук,
профессор Ефремов Ион Иванович
кандидат физико-математических наук,
доцент кафедры информационных
технологий КубГУ
Лукащик Елена Павловна
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук,
доцент, профессор кафедры математического
моделирования КубГУ
Павлова Алла Владимировна
доктор физико-математических наук,
профессор кафедры производства
строительных конструкций и строительной
механики КубГТУ
Дунаев Владислав Игоревич
Ведущая организация:
Учреждение Российской академии наук
Южный научный центр РАН
Защита состоится 30 ноября 2012 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д212.101.07 в Кубанском государственном университете по
адресу: 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149, ауд. 231.
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Кубанского
государственного
университета
по
адресу:
350040,
г. Краснодар,
ул. Ставропольская, 149.
Автореферат разослан
29 октября 2012 г.
И.о. ученого секретаря
диссертационного совета
М.В. Зарецкая
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность работы0,
Решение проблем обеспечения сейсмической безопасности регионов требует исследования причин развития сейсмического процесса. Глубинные землетрясения могут быть вызваны сложными воздействиями на части литосферных плит, получивших разлом в зоне астеносферы. Проблема оценки взаимодействия литосферы и верхней мантии относится к числу малоисследованных.
Открытым является вопрос о землетрясениях, эпицентры которых расположены
на глубинах астеносферы, т.е. в пределах 40–350 км. В настоящей диссертации
изучается возможность их возникновения в связи с разломом отвалившихся от
нижних границ литосферных плит плоских фрагментов. Разрушение этих плоских фрагментов уже при дрейфе в астеносфере может быть причиной глубинных землетрясений.
В первом приближении литосферные плиты можно описать как твёрдые
тела, перемещающиеся по поверхности мантии, от которых могут отслаиваться
плоские фрагменты. Существование таких плоских фрагментов может обнаруживаться магнитотеллурическим методом, сканирующим электрическое сопротивление среды до глубины 150 км. В масштабах Земли эти фрагменты можно
рассматривать как тела с относительно малой толщиной. Объектами диссертационных исследований являются линейно-деформируемые тела, подверженные
напряжениям при их движении в астеносфере. Напряженно-деформированное
состояние таких тел с учетом внешних воздействий будет определять возможность их разрушения и инициирования сейсмического события.
В отличие от литосферы верхняя часть мантии – астеносфера – не обладает пределом прочности и её вещество способно к течению даже под действием
очень малых избыточных давлений. Астеносфере принадлежит ведущая роль в
движении литосферы. Её течение увлекает за собой литосферные плиты и вызывает их перемещение. Динамика мантии определяет движение плит как в
вертикальном, так и горизонтальном направлении. Жидкоподобное поведение
верхней мантии объясняет выбор гидродинамической теории тепловой конвекции в жидкости для исследований конвективных движений в мантии.
Таким образом, в геологическом масштабе времени астеносфера может
рассматриваться как жидкая среда. Для описания процессов в земной коре и
мантии используются различные модели механики деформируемого твердого
тела и механики сплошных сред. Однако к настоящему времени поведение находящихся в верхней мантии частей литосферных плит при сложных нестационарных воздействиях еще мало изучено. Как правило, при моделировании движение в астеносфере фрагментов литосферных плит заменяется нестационарным движением тонких упруго-деформируемых пластин в жидкой ограниченной среде. В целом, исследуемая задача относится к классу смешанных задач,
возникающих в механике сплошных сред.
3
Сложность задачи обтекания погруженных тел обусловливается неизвестностью формы границы раздела сред и нелинейностью выполняемых на
этой границе условий. К проблемам с границами раздела сред можно добавить
учёт формы самого тела, на котором должно выполняться условие плавности
обтекания. Для упрощения математической модели течения прибегают к различным гипотезам, исходя из физических соображений. Самой известной является гипотеза о малости амплитуды волн по отношению к их длине, что, например, имеет место, когда возмущения на границе раздела сред достаточно
малы. Первое систематическое изложение теории волн малой амплитуды принадлежит Г. Лэмбу. Воздействие тела (телесного контура) на течение при его
моделировании заменяют, как правило, одной или несколькими гидродинамическими особенностями, расположенными на срединной линии контура.
Фундаментальные методы изучения поведения погруженного тонкого тела были разработаны такими выдающимися учёными, как М.В. Келдыш,
М.А. Лаврентьев, Н.Е. Кочин и Л.И. Седов. Исследованию движений плоского
контура в несжимаемой жидкости посвящены работы В.А. Целищева,
И.И. Ефремова, Г.Г. Тумашева, С.И. Филиппова и др.
Несмотря на продолжительную историю исследований до сих пор недостаточно полных и надежных количественных данных о влиянии весомости
жидкости, наличия границ жидкой среды на величину сил воздействия на погруженные упругие тела даже для плоских задач.
Предлагаемая в диссертации методика основана на методе интегральных
уравнений и позволяет решать достаточно широкий класс гидродинамических
задач, даёт возможность получения численных значений гидродинамических и
упругих характеристик и позволяет определять параметры нормального устойчивого функционирования различных систем.
Значительный вклад в развитие методов исследования и решения интегральных уравнений внесли В.М. Александров, Б.Д. Аннин, Н.Х. Арутюнян,
В.А. Бабешко, А.В. Белоконь, А.О. Ватульян, И.И. Ворович, Б.М. Глинский,
Е.В. Глушков, Н.В. Глушкова, А.Г. Горшков, Р.В. Гольдштейн, И.Г. Горячева,
В.И.Ерофеева, Д.А. Индейцев, В.В. Калинчук, В.И. Колесников, С.А. Лурье,
А.В. Манжиров,
Н.Ф. Морозов,
А.Д. Полянин,
В.И. Моссаковский,
С.М. Мхитарян, В.В. Панасюк, Г.Я. Попов, О.Д. Пряхина, М.В. Сильников,
А.В. Смирнова, Т.В. Суворова, Д.В. Тарлаковский, Л.А. Фильштинский.
Вопросы концентрации напряжений в деформируемых тонкостенных телах были глубоко изучены в работах В.А. Бабешко, В.Г. Баженова, А.К.Беляева,
И.И. Воровича, И.Г. Горячевой, А.Н. Гузя, И.М. Дунаева, В.А. Еремеева,
Л.М. Зубова, Д.А. Индейцева, Л.А. Игумнова, Д.М. Климова, Л.П. Лебедева,
Е.В. Ломакина,
Н.Ф. Морозова,
А.В. Наседкина,
В. Новатского,
И.Ф. Образцова, Б.Е. Победри, М.Г. Селезнева, А.Ф. Резчикова, Ю.А. Устинова,
В.И. Феодосьева, К.В. Фролова, Е.И. Шемякина, Ю.Г. Яновского.
4
Цель и задачи исследования0,
Цель работы – исследование процессов, происходящих в верхнем слое
мантии, в астеносфере Земли, способных вызвать глубинные землетрясения.
Достижение данной цели предполагает: построение математических моделей
движения плоских фрагментов, отслоившихся от литосферных плит при нестационарных воздействиях в области астеносферы, разработку методики численного эксперимента и на её основе проведение исследования влияния параметров жидкой среды и характера внешних воздействий на динамические характеристики тонких плоских тел.
Выполнение следующих задач в рамках диссертационной работы способствовало реализации указанной цели:
1. Моделирование нестационарных движений тонкой пластины, находящейся в весомой жидкости вблизи границы раздела сред.
2. Сведение краевой задачи к сингулярному интегральному уравнению.
3. Разработка метода численного решения интегрального уравнения.
4. Анализ влияния границ жидкой среды, весомости жидкости и жесткости пластины на гидродинамические силы и упругие деформации.
Методы исследования0,
В диссертационной работе используются классические методы теории
функций комплексного переменного и теории обобщенных функций с применением преобразования Фурье. Предложенные численные схемы основываются
на численном методе дискретных особенностей. Для проведения численного
эксперимента разработаны алгоритмы, реализация которых проводилась в среде математического пакета MathCAD.
Научная новизна0,
Разработана новая методика исследования нестационарных воздействий
на поведение тонких плоских фрагментов литосферных плит в астеносфере. В
ходе математического моделирования получена модель поставленной задачи в
виде сингулярного интегро-дифференциального уравнения. Разработана схема
численного решения. Создан программный комплекс определения гидродинамических нагрузок и упругих деформаций. Проведено численное исследование
гидродинамических и упругих характеристик тонкой пластины, формы каверны, а также формы упругой пластины. Для различных режимов движения определены значения параметров, при которых гибкая пластина динамически неустойчива.
Достоверность результатов0,
Достоверность полученных формул обеспечивается применением строгих
математических методов. Результаты проведенных численных экспериментов
согласуются с некоторыми известными результатами, полученными другими
методами. Достоверность численных результатов подтверждается проведением
в предельных случаях асимптотической оценки динамических реакций, а также
известными точными решениями для ряда частных задач.
5
Научная и практическая значимость0,
Полученные результаты могут быть использованы в системах мониторинга сейсмичности территории для решения проблем прогноза и снижения
риска возникновения глубинных землетрясений.
Разработанные математические методы могут быть полезны в различных
отраслях науки и техники, где встает проблема исследования динамического
поведения гибких устройств при сложных воздействиях.
Представленные в диссертации материалы можно использовать в учебном процессе для демонстрации практического применения методов решения
уравнений математической физики.
Исследования проводились в КубГУ при финансовой поддержке Минобрнауки РФ (проект 1. 1926. 2011, выполняемый в рамках государственного
задания на оказание услуг (выполнение работ)).
Основные положения.,выносимые на защиту<,
1. Математические модели нестационарных движений тонких плоских
фрагментов литосферных плит в верхней мантии. Разработанные методы решения задач для весомой ограниченной жидкой среды при следующих режимах
движения:
– обтекание поступательным потоком жёсткой и упругой пластины;
– колебание жёсткой и упругой пластины;
– воздействие на жёсткую пластину волнового потока.
2. Численные схемы, учитывающие особенности решения полученных
сингулярных интегральных уравнений.
3. Комплекс программ, реализующих численные схемы решений.
4. Результаты численных исследований влияния глубины погружения и
весомости жидкости на гидродинамические и упругие характеристики, на форму каверны и форму гибкой пластины, на коэффициенты прохождения и отражения. Расчётные данные о влиянии на гидродинамические характеристики
массы пластины при колебании в весомой жидкости; о влиянии упругих
свойств пластины на ее устойчивость при колебаниях и поступательном движении.
Апробация работы0,
Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на научном семинаре кафедры вычислительной математики и информатики Кубанского государственного университета, на XII Международном симпозиуме
«Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (Харьков, 2005), на XI Всероссийской школе-семинаре «Современные проблемы математического моделирования» (п. Абрау-Дюрсо, 2005), на VIII и X международных научно-практических конференциях «Инновационные технологии в образовательном процессе» (Краснодар, 2006, 2008), на VI Всероссийской конференции молодых ученых «Проблемы механики: теория, эксперимент и новые
технологии» (Новосибирск, 2007), на IV, V Всероссийских научных конференциях молодых учёных и студентов «Современное состояние и приоритеты раз6
вития фундаментальных наук в регионах» (Анапа, 2007, 2008), на Восьмой молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения-2009» (Казань,
2009), на Международной научно-технической конференции «Современные
информационные технологии» CIT-conference (Пенза, 2010), на XIV Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды»
(Ростов н/Д; Азов, 2010).
Публикации0,
По теме диссертации опубликовано 18 работ [1–18], в том числе 10 в соавторстве, из них 5 – в изданиях, рекомендованных ВАК. В работах [1], [6–8],
[12] научному руководителю профессору И.И. Ефремову принадлежат постановка задачи и основные идеи. Автору диссертации принадлежат реализация
идей И.И. Ефремова, вывод основных соотношений и формул, получение численных результатов и их анализ. В работах [3], [4], [17], [18] научному руководителю доценту Е.П. Лукащик принадлежат постановка задачи, выбор методов
решения и указание основных параметров исследования. В [2], [17], [18] соавтору Ю.Н. Колесниковой принадлежит часть исследований, проведённых в слое
весомой жидкости.
Получено свидетельство о государственной регистрации программы для
ЭВМ «Программный комплекс нахождения гидродинамических характеристик
погруженного профиля» № 2011616071 от 3. 08. 2011.
Структура и объём работы0,
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 107 наименований. Нумерация формул и рисунков ведётся по главам. Общий объём работы – 145 страниц, диссертация включает 55 рисунков и
2 таблицы.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована практическая значимость и необходимость исследований нестационарных процессов, происходящих в верхней мантии Земли, для диагностики и прогнозирования глубинных землетрясений. Отмечаются
свойства физических тел и сред, характерных для рассматриваемых физических
явлений, полезные при построении адекватных математических моделей. Излагаются используемые в диссертационной работе подходы к разработке методов
и численных схем решения поставленных задач. Сформулирована цель и задачи
работы, приведены положения, выносимые на защиту. Делается обзор литературы и современного состояния изучаемых проблем.
Общим во всей работе при математическом моделировании задач является линеаризация уравнений и граничных условий. В линеаризованной постановке задачи решаются методом интегральных уравнений с применением преобразования Фурье. В результате решение исходной задачи сводится к решению сингулярного интегрального уравнения, ядро которого вычисляется с помощью теории функций комплексного переменного. Для численного решения
7
интегрального уравнения применяется метод дискретных вихрей или дискретных особенностей.
Первая глава посвящена исследованию движения тонкой пластины длины
2% при погружении её в весомую жидкость на глубину J . Постановка краевой
задачи производится относительно потенциала скорости j ( 1, 2 ) возмущённого
течения:
ìDj = 0 при 2 < J , кроме { 2 = 0, 1 Î [- % , + % ]},
ï 2
ï ¶ j + n ¶j = 0 при 2 = J ,
ï¶12
¶2
ï
ïï ¶j
= u¥
при
1 £ %,
í¶ 2
1
2=0
ï
ï Ñj ® 0 при 1 ® -¥ для всех 2,
ï
ï j ( 1, 2 ) < O = yx,- при 1 ® +¥,
ï
ïîj ( 1, 2 ) ® 0 при 2 ® -¥ равномерно по 1,
где n =
u ¥2
, u ¥ – скорость набегающего потока на бесконечности перед пла-
стиной; – сила тяжести; (1) – форма обтекаемого тела.
Для решения краевой задачи вводится в рассмотрение функция распредеz - z+
ления гидродинамического давления вдоль пластины g ( 1) = , z- и z+
ru ¥
– давление в жидкости под и над пластиной; r – плотность жидкости.
В результате получено интегральное уравнение относительно g :
%
ò g ( ,)$ ( 1 - ,), = -u ¥ ¢( 1) ,
(1)
-%
1 æ 1
1
ö
çR + 2
÷ - T( 1) ,
2p è 1 1 + 4 J 2 ø
ì n + ¥ b 1
(n cos 2b J + b sin 2b J ) b
при 1 < 0;
ï- ò 2
2
p
b
n
+
ï
0
T( 1) = í
+¥
- b 1
ïn
- 2n J
cosn 1 при 1 > 0.
ïp ò b 2 + n 2 (n cos 2 b J + b sin 2 b J ) b - 2n î 0
Решение интегрального уравнения (1) используется при определении значений нормальной силы, момента и центра давления в безразмерном виде по
формулам
w
1 %
1 %
1
=
.
g
(
x
)
x
,
x
g
(
x
)
x
,
2 =
=
w
ò
ò
2
u¥ % -%
u¥ % -%
2
$ ( 1) =
8
Численное решение уравнения (1) выполнено методом дискретных вихрей с точками 1" = -% + " - 14 2P% , , # = -% + # - 34 2P% , ", # = 1, P , P – количество
точек.
Отдельно в первой главе проводится учет толщины пластины и исследуется движение погруженной тонкой пластины с образованием кавитационной
области. При решении таких задач потенциал возмущённого течения представляется как сумма потенциалов вихревого и простого слоя. Для этих потенциалов сформулированы и решены краевые задачи.
Для заданных форм пластины найденные решения для потенциалов использовались при определении интенсивности вихревого слоя g (1 ) . Коэффициент нормальной силы вычисляется по формуле
(
(
)
2 =
)
+1
ò [g ( , ) -n , {( , )], ,
-1
где n = n % , { определяется производной от функции распределения толщины
пластины.
На рис. 1, 2 приведены графики зависимостей коэффициента нормальной
силы от числа Фруда R| = 1 / 2n % в том случае, когда форма границы пластины описывается уравнениями + ( 1) = a (1 + 1 - 1 2 ) , - (1) = a 1 , a – угол атаки.
Рис. 1. Зависимость коэффициента нормальной силы от малых
чисел Фруда при разных глубинах погружения пластины
9
Рис. 2. Зависимость коэффициента нормальной силы от больших
чисел Фруда при разных глубинах погружения пластины
При изучении задачи кавитационного обтекания рассматривается тонкая
пластина длиной 1 с длиной каверны % > 1. В окрестности передней кромки интенсивности вихрей g (1 ) и источников { (1 ) имеют один и тот же порядок особенности, а в окрестности хвостовой части каверны особенность есть только у
интенсивности источников. Для того чтобы сравнять порядки особенности интенсивностей, выполнена замена переменных 3 = 1 , t = , . Дискретные значения g # и { # найдены с применением численного метода дискретных особенностей, в котором рассматриваются P вихрей и источников на отрезке [0, 1]:
31" = " - 14 P1 , t 1 # = # - 34 P1 , 3 2" = " - 34 P1 , t 2 # = # - 14 P1 , ", # = 1, P
и O источников, заменяющих каверну за пластиной (на отрезке [1, % ]):
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) O%-1 , t 3 # = 1 + ( # - 14 ) O%-1 ,
% -1
% -1
34" = 1 + (" - 14 ) O
, t 4 # = 1 + ( # - 34 ) O
, ", # = 1, O .
33" = 1 + " - 34
Значения { # , # = 1, P + O используются для нахождения толщины каверны и её формы.
Коэффициенты нормальной силы и момента относительно передней
кромки определяются по формулам
1
1
0
0
с 2 = 2 ò g (, ), , сw = 2 ò ,g (, ), .
На рис. 3 приведены формы каверны при заданной форме пластины
0 ( 1 ) = - 1 для % = 4, P = 40 , O = 80.
10
а)
б)
Рис. 3. Форма каверны: а) для ! = 0,1 ; б) для ! = 0,25
при разных значениях числа кавитации s
Во второй главе исследуются гармонические с частотой w колебания
пластины длиной 2% вблизи границы раздела сред. Рассматривается весомая
жидкость бесконечной глубины. Краевая задача для комплексных амплитуд
имеет вид
ìDj = 0,
ï
¶j
ïw 2j = 0 при 2 = !,
¶2
ï
ï ¶j
ï
= u 2 ( 1), 2 = 0, 1 Î [- % , + % ],
ï¶ 2
ï
íj ® 0 при 2 ® -¥,
ï
± "s 1
при 1 ® ±¥, s > 0,
ïj = N± ï j < O = yx,- при 1 ® ±% ,
ï
ï ¶j
-c
ï ¶ 1 ~ ( 1 ± % ) , c < 1 при 1 ® m % ,
ï
î
где u 2 (1) – заданная комплексная амплитуда вертикальной скорости точек пластинки, ! – глубина погружения пластины.
Относительно функции g (1 ) , которая связана с перепадом давления
вдоль пластины формулой
¶ æ z + - z- ö
ç
÷ = "wg (1 ) , получено интегральное
¶1 è
r
ø
уравнение
%
ò g ( , )$ ( 1 - ,), = -u 2 ( 1) ,
-%
11
(2)
1 æ 1
1
ö
"n 1
- n ," x 1 × - 2n ! +
çR - 2
2÷
2p è 1 1 + 4! ø
," x1 ¥ - b 1 n cos 2 b ! + b sin 2 b !
w2
+n
.
b , n =
p ò0
n2 +b2
Функция g (1 ) относится к классу функций, неограниченных на кромках
пластины, с дополнительным условием безциркуляционного обтекания
где $ ( 1 ) =
+%
ò g (, ), = 0 ,
-%
что обеспечивает ограниченность давления на кромках.
С помощью численного решения уравнения (2), в котором использованы
3 ö 4%
æ 1 ö 4%
æ
точки 1" = -% + ç " - ÷
, , # = -% + ç # - ÷
, " = 1, P - 1 , # = 1, P , найP
P
4
2
1
4
2
1
è
è
ø
ø
дены безразмерные коэффициенты нормальной силы
2 P
2 P
x = -" (1x + " 2 x ) , 1x = - å ,g 1 , # , 2 x = - å ,g 2 , #
P # =1
P # =1
( )
и присоединённого момента инерции
1
K nр = -" K1nр + "K 2 xz , K1xz = P
(
)
P
( )
å , 2g 1 , # , K 2 xz = # =1
( )
1
P
å , 2g 2 (, # ).
P
# =1
В § 2.5 и 2.6 гл. 2 при рассмотрении движения пластины производится
учет её массы O . Вертикальные перемещения центра масс с (1) пластины
описываются следующим дифференциальным уравнением:
2 с
(3)
O
=R-S,
- 2
где S = S0 × -" w - — заданное возмущение нагрузки на пластинку, R — гидродинамическое давление жидкости на пластину.
Результаты расчётов для случая поступательных колебаний массивной
O ~ ! ~ w 2%
пластины при разных значениях w =
, != ,n =
приведены на рис. 4
%
r %2
и 5.
С помощью разложения в ряд Тейлора проведён асимптотический анализ
динамических свойств колеблющейся тонкой и массивной пластины.
В § 2.7 и 2.8 рассмотрены колебания тонкой пластины при движении в
весомой жидкости бесконечной глубины. В качестве основной неизвестной величины поставленной краевой задачи рассматривается полная вихревая интенсивность, равная сумме интенсивностей присоединенных и свободных вихрей.
На рис. 6, 7 приведены результаты численного эксперимента при разных глубинах погружения пластинки и значениях параметра весомости.
12
Рис. 4. Зависимость коэффициента присоединённых масс сx1 и коэффициента
~
демпфирования сx 2 от приведённой частоты при ! = 0, 2
Рис. 5. Зависимость коэффициента присоединённых масс сx1 и коэффициента
~
демпфирования сx 2 от приведённой частоты при ! = 0,5
13
Рис. 6. Зависимость амплитуды нормальной силы от числа Струхаля z =
w%
u¥
при n =
%
u¥
2
Рис. 7. Зависимость амплитуды нормальной силы от малых чисел Струхаля при ! = 0,2
14
=1
В § 2.9 и 2.10 изучено воздействие на пластину, погруженную в весомую
жидкость бесконечной глубины, плоских регулярных волн.
В результате дифракции возникает отражённая плоская волна. Общий потенциал j волнового движения состоит из потенциала j * падающего поля и
потенциала j~ дифрагированного поля. Волновые движения жидкости рассматриваются как установившиеся гармонические колебания частоты w .
С использованием комплексного представления потенциалов для амплитуды дифракционного потенциала j~ ставится следующая краевая задача:
ìDj~ = 0 при 2 < !, кроме { 2 = 0, 1 Î [- % , + % ]},
ï
~
ï- n j~ + ¶j
= 0,
ï
¶ 2 2 =!
ï
í~
"n 1
, 1 ® ±¥,
ïj = N ± ï ~
¶j *
ï ¶j
= - Mn "n 1 , 1 < % ,
=ï ¶ 2 2 =0
¶ 2 2 =0
î
w2
где n =
; % ,O,полудлина пластины0,
Поставленная краевая задача сводится к интегральному уравнению вида
(2) с правой частью, равной Mn "n 1 .
Безразмерные коэффициенты прохождения ` и отражения T определяются по формулам
` = 1+ - 2n !
1
ò g (x ) - "n x
x ,
-1
T=
- 2n !
1
ò g (x ) "n x
x ,
-1
!
; n =n % .
%
На рис. 8 представлены коэффициенты отражения и прохождения в зависимости от приведённой частоты n . Показано, что для коэффициентов отражегде ! =
2
2
ния и прохождения справедлив закон сохранения энергии: T + ` = 1 .
Рис. 8. Зависимость модуля коэффициента отражения T
и прохождения ` от приведённой частоты n при разных !
15
Третья глава посвящена постановке и решению связанной задачи гидроупругости тонкой упруго-деформируемой пластины в потоке тяжелой жидкости бесконечной глубины при различных условиях закрепления кромок пластины.
В качестве уравнения связи формы деформируемой пластины (1) с распределением давления вдоль её границ рассмотрено уравнение цилиндрического изгиба пластины
4 2 (4)
P 4 -`
= z- - z + ,
1
1 2
где P – изгибная жесткость; Т – усилие в срединной плоскости.
Для решения упругой части (4) задачи применён метод функций Грина.
Реакции гидродинамических сил на гибкую погруженную пластину, а также
формы прогибов упругой пластины определены через решение интегрального
уравнения
1
é 1 æ
ù
ö
¶S1, 2
1 -x
1
ç
÷
(
)
R
+
1
T
1
g
x
x
l
(
x
b
)
(
)
+
,
,
ê
ú x =
ò
ç 1 - x ( 1 - x )2 + 16 ! 2 ÷
1
2
p
¶
ê
úû
-1
ø
ë è
= - 0¢ ( 1 ), 1 £ 1,
где
0 ( 1) – начальная форма пластины; b =
R| = u¥
2 %
l
ru ¥2 %
ru¥2 % 3
, m=
, l=
,
`
P
m
,
1
ì
ï 2b 2 (ch 2b - b sh 2b - 1) {(ch b (1 + 1 ) - 1) ´
ï
ï´ [ch b (1 + x ) + 1 - ch 2b - ch b (1 - x ) + b (1 - x )sh 2b ] ï
- sh(b (1 + 1 )) ´ [sh b (1 + x ) + b (1 + x ) - 2b ch b (1 - x ) +
ï
¶S1
ï
1 £x,
( 1,x , b ) = í+ b (1 - x ) ch 2b - sh 2b + sh b (1 - x )]},
¶1
ï
1
ï 2
{(1 - ch b (1 + x )) ´
ï 2b (ch 2b - b sh 2b - 1)
ï´ [ch b (1 + 1 ) + 1 - ch 2b - ch b (1 - 1 ) + 2b sh b (1 - 1 )] +
ï
ïî+ (sh b (1 + x ) - b (1 + x )) ´ [sh b (1 + 1 ) + sh b (1 - 1 ) - sh 2b ]}, 1 ³ x ,
ì 1 é sh b (1 - x )
1
ù
(
)
(
)
+
1
ch
1
b
1
x
ï
ú, 1 £ x ,
2 ê
2
¶S2
û
ï b ë sh 2b
( 1, x , b ) = í
¶1
ï 1 é ch b (1 - 1 ) sh b (1 + x ) - 1 (1 + x )ù, 1 ³ x ,
ú
ï b 2 êë sh 2 b
2
û
î
16
(
)
ì 1 +¥
, 1
cos 4!, + 2 R| 2 , sin 4!, ,
при 1 < 0;
ï
ò
2
4
p
+
4
1
,
R|
0
ï
ï +¥
- , 1
ï1
cos 4!, + 2 R| 2 , sin 4!, , T( 1) = í ò
2
4
ïp 0 4 , R| + 1
ï
2!
ï- 1 - R| cos 1
при 1 > 0.
ïî R| 2
2 R| 2
Индекс 1 в производной функции Грина соответствует случаю жесткого
закрепления, а индекс 2 — случаю шарнирного закрепления кромок пластины.
В результате дискретизации интегральное уравнение для гибкой пластины трансформируется в систему линейных алгебраических уравнений, которая
представляется в матричном виде следующим образом:
( M - $N )g = O ,
(5)
где M и N – матрицы порядка P ´ P ; O – вектор правой части; g – вектор интенсивностей дискретных вихрей g " ; $ принимает значение m в случае мягкой
пластины и l в случае упругой.
Точки разрывов гидродинамических нагрузок (рис. 9) на упругую пластину соответствуют действительным значениям собственных чисел матрицы
N -1 M (5); если собственные числа – комплексные, то потери устойчивости не
происходит.
(
)
2
Рис. 9. Влияние изгибной жесткости на значение
гидродинамической нагрузки при R| = 2, ! = 0,5
(–– шарнирное, – – жесткое закрепление)
Рис. 10. Зависимость наименьшего критического
значения m 1 от малых чисел Фруда
17
Зависимость значения наименьшего критического числа m1 , при котором
происходит потеря статической устойчивости мягкой пластины, от весомости
жидкости при различных глубинах погружения изображена на рис. 10.
В четвертой главе предметом исследований являются волновые движения, возникающие в весомой жидкости бесконечной глубины при колебаниях
погруженной упругой тонкой пластины. Для определения прогибов пластины
под действием гидродинамических сил используется линейное дифференциальное уравнение изгиба пластины при наличии заданных постоянных усилий в
срединной плоскости:
4 2
(6)
- r 0 !0 w + P 4 = Ρ( 1 ) - r ,
1
где P — изгибная жесткость пластины; w — частота колебаний пластины;
!0 — толщина пластины; r 0 — плотность материала пластины; r — плотность жидкости; R (1 ) — гидродинамическое давление.
Решение уравнения (6) проводится методом функций Грина. Для построения функции Грина используются балочные функции Крылова _ ( 1 ) ,
b ( 1 ) , a ( 1 ) , ` ( 1 ) . Вид функции Грина зависит от условий закрепления упругой пластины.
Выражение для упругих перемещений свободно опертой балки имеет вид
ü
"n ì 1
c
c
(1 ) =
í ò g (x )[1 - _ (m ( 1 - x ))]x + M b (m (1 + 1 )) + N ` (m (1 + 1 ))ý,
wn - 1 î-1
þ
где константы определяются по формулам
1
-1
Mc = 2
ò g ( ,){b (2m )[1 - _ (m (1 - , ))] + ` (2m )a (m (1 - , ))}, ;,
b ( 2 m ) - ` 2 ( 2 m ) -1
1
1
N = 2
ò g ( ,){b (2m )a (m (1 - , )) + ` (2m )[1 - _ (m (1 - , ))]}, ;
b ( 2 m ) - ` 2 ( 2 m ) -1
c
r !
( r 0 !0w 2 - r ) % 4
m =
= (w ×n - 1)b , w = 0 0 — относительная масса,
P
r%
4
b=
w 2%
r %4
— параметр упругости, n =
.,
P
Упругие перемещения консольной балки имеют следующий вид:
ü
"n ì 1
d
d
[
]
g
x
m
x
x
m
m
(1 ) =
(
)
1
(
(
)
)
(
(
1
)
)
(
(
1
)
)
_
1
M
b
1
N
a
1
+
+
+
+
ý,
íò
wn - 1 î-1
þ
1
1
M =
ò g (, ){b (2m )a (m (1 - , )) - _ (2m )` (m (1 - , ))} , ;
` (2 m )b (2 m ) - _ 2 (2 m ) -1
d
18
1
1
ò g (, ){` (2m )` (m (1 - , )) - _ (2m )a (m (1 - , ))} , .
` (2 m )b (2 m ) - _ 2 (2 m ) -1
По распределению упругих перемещений можно определить изгибающий
момент и перерезывающую силу по следующим формулам:
2 (1 )
3 (1 )
O (1 ) = - P
; S( 1 ) = - P
.
1 2
1 3
На рис. 11 показано поведение гидродинамической нормальной силы в
зависимости от изменения упругих свойств (жесткости) пластины.
С помощью решения задачи о собственных колебаниях закрепленной
пластины определены критические значения параметров m x , соответствующие
динамической неустойчивости колеблющейся пластины.
На рис. 12 и 13 показано распределение динамических характеристик для
пластины различной жесткости. Вид кривых обусловлен близостью параметра
m к соответствующему собственному значению для данного способа закрепления.
N =
d
Рис. 11. Влияние жесткости на величину коэффициента
присоединенных масс l при n = 0,5 , ! = 0,5 , w = 10
(–– свободно опертая балка, - - - - консольная балка)
a)
б)
Рис. 12. Зависимость распределения: а) изгибающего момента;
б) перерезывающей силы от упругих свойств свободно опертой балки
(n = 0,5 , ! = 0,5 , w=10 )
19
б)
a)
Рис. 13. Зависимость распределения: а) изгибающего момента;
б) перерезывающей силы от упругих свойств консольной балки
(n = 0,5 , ! = 0,5 , w = 10 )
В заключении приведены основные выводы по диссертации.
Разработаны математические модели для различных типов нестационарных движений фрагментов литосферных плит в астеносфере. При моделировании фрагменты литосферных плит заменялись тонкими упругодеформируемыми пластинами, а область астеносферы — жидкой ограниченной
средой. На основе этих моделей проведено математическое исследование и получены следующие результаты:
1. При поступательном движении тонкой слабо искривленной жесткой
пластины в слое весомой жидкости установлено:
- немонотонное поведение нормальной силы при малых числах Фруда и
малых погружениях пластины; при погружениях менее 0,5 длины пластины наблюдаются локальные максимумы при числах Фруда, меньших глобального;
при этом с уменьшением погружения максимум коэффициента нормальной силы смещается в сторону меньших чисел Фруда; аналогичный эффект обнаружен и для слабо искривлённой дужки, и при учете толщины пластины;
- при малых числах Фруда наблюдается резкий перепад величины модуля коэффициента момента относительно середины пластинки; коэффициент
момента имеет наименьшее значение в районе максимума нормальной силы;
- колебание центра давления в передней части пластинки; перемещение
центра давления к середине пластинки наблюдается в окрестности числа Фруда
0,5, причем тем значительнее, чем меньше глубина погружения пластинки.
2. Изучено влияние границ и весомости жидкости на гидродинамические
характеристики тонкой кавитирующей пластины и форму каверны. Установлено, что каверна имеет волнообразную верхнюю границу, но этот эффект пропадает с увеличением глубины погружения пластины и с уменьшением параметра
весомости жидкости n = 1 R| 2 .
3. При исследовании симметричных колебаний жёсткой пластины, погруженной в весомую жидкость, получено, что при малых погружениях и малых частотах резко меняет направление нормальная сила.
20
При рассмотрении несимметричных колебаний обращает на себя внимание тот факт, что присоединенный момент инерции при небольших частотах
имеет резонанс. Положение резонансных пиков зависит от глубины погружения.
Изучено влияние массы колеблющейся пластины на величину гидродинамических нагрузок на пластину. С уменьшением массы пластины уменьшаются коэффициенты демпфирования и присоединённых масс.
Показано, что при малых погружениях пластины и небольших частотах
вынужденные колебания носят резонансный характер. При этом слой жидкости
между пластиной и верхней границей жидкости играет роль восстанавливающей силы. На основе асимптотики получены формулы для оценки коэффициента нормальной силы с учетом и без учета массы симметрично колеблющейся
пластинки.
4. При рассмотрении колебаний тонкой жёсткой пластины в потоке весоn
мой жидкости бесконечной глубины показано, что при числах Струхаля z <
4
(n – параметр весомости жидкости) возмущения представляют собой комбинацию 4 типов волн (одна волна распространяется вперед, а три – назад за плаn
стину); при z > – комбинацию только 2 типов волн, которые распространя4
ются за пластину.
5. В рамках построенной модели воздействия плоских регулярных волн
на пластину исследовано влияние приведенной частоты на коэффициенты прохождения и отражения. Анализ результатов показал, что:
- с уменьшением глубины погружения тонкой пластинки локальный
максимум модуля коэффициента отражения, а также локальный минимум модуля коэффициента прохождения смещаются в сторону меньших частот;
- с увеличением глубины погружения тонкой пластинки модуль коэффициента отражения уменьшается, а модуль коэффициента прохождения увеличивается.
6. Результаты численного эксперимента для случая обтекания поступательным потоком гибкой пластины подтвердили, что упругие деформации изменяют распределение нагрузки вдоль пластины. Установлено, что поведение
упругой пластины в потоке жидкости существенно зависит от условий закрепления. Так, при жесткой заделке по обоим краям пластина становится более устойчивой.
Произведённые численные исследования поведения гибкой пластины позволили установить зависимость нормальной силы от изгибной жесткости и натяжения, а также определить формы прогибов упругой пластины.
Проведено исследование влияния весомости жидкости и упругих свойств
на устойчивость пластины в потоке.
7. При изучении установившихся колебаний упругой пластины рассмотрены два случая закрепления: шарнирное закрепление обоих концов (свободно
21
опертая балка) и жесткое закрепление одного конца пластинки, другой конец –
свободен (консольная балка). Полученные закономерности свидетельствуют о
том, что:
- значения, при которых происходит потеря устойчивости, зависят от
свойств пластины (жесткости, массы), свойств жидкости и частоты колебаний;
- консольная балка менее устойчива, чем свободно опертая балка, т.е.
при прочих равных условиях резонансные явления наблюдаются для более жестких пластин.
Полученные характеристики поведения жестких и упругих пластин позволяют определить качественный и количественный характер геодинамических процессов, способных вызвать землетрясения на глубинах астеносферы.
Отмеченные закономерности могут быть полезны в системах прогноза сейсмической активности.
Список работ, опубликованных автором по теме диссертации:
Статьи в рецензируемых научных изданиях.,,
включенных в перечень ВАК<,
1. Ефремов И.И., Иванисова О.В., Лукащик Е.П. Колебания массивной
твердой пластинки в весомой жидкости // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2007. №1. С. 30–34.
2. Иванисова О.В., Колесникова Ю.Н. Определение смоченной длины
тонкого профиля, глиссирующего по поверхности весомой жидкости // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2009. №2. С. 18–21.
3. Лукащик Е.П., Иванисова О.В. Влияние волнообразования на гидроупругую устойчивость подводного профиля // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2011. №1(13). С. 105–119.
4. Лукащик Е.П., Иванисова О.В. Исследование динамической гидроупругости погруженной пластины на основе теории обобщенных функций // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2011. №1. С. 49–61.
5. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ
№ 2011616071 от 3.08.2011 / Программный комплекс нахождения гидродинамических характеристик погруженного профиля. Иванисова О.В. Заявка
№ 2011614241, дата поступления 09.06.2011г.
Статьи в сборниках научных трудов,
и тезисах докладов на научно-практических конференциях<,
6. Ефремов И.И., Иванисова О.В. Колебания пластинки под свободной
поверхностью весомой жидкости // Труды XII Междунар. симп. МДОЗМФ.
2005. С. 140–144.
7. Ефремов И.И., Иванисова О.В. Гидродинамические характеристики
малопогруженного подводного крыла // Современные проблемы математиче-
22
ского моделирования: труды XI Всерос. школы-семинара. Ростов н/Д: Изд-во
РГУ, 2005. С. 138–144.
8. Ефремов И.И., Иванисова О.В. Колебания тонкого профиля, глиссирующего по свободной поверхности тяжелой жидкости // Инновационные технологии в образовательном процессе: материалы VIII межрегиональной науч.метод. конф. Краснодар: КВВАУЛ, 2006. Т. 2. C. 57–60.
9. Иванисова О.В. Колебания массивной твердой пластинки под свободной поверхностью весомой жидкости // Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии: тезисы докл. VI Всерос. конф. молодых ученых.
Новосибирск: Доксервис, 2007. С. 27–28.
10. Иванисова О.В. Форма свободной поверхности при колебаниях твердой пластинки, плавающей на поверхности весомой жидкости // Современное
состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах: труды IV
Всерос. науч. конф. молодых ученых и студентов. Краснодар: ПросвещениеЮг, 2007. Т. 2. С. 129–130.
11. Иванисова О.В. Вращательные колебания пластинки под свободной
поверхностью весомой жидкости // Методы дискретных особенностей в задачах
математической физики: труды международных школ-семинаров. Орёл: Изд-во
ГОУ ВПО «Орловский государственный университет», 2007. Вып. 5. С. 53–57.
12. Ефремов И.И., Иванисова О.В., Лукащик Е.П. Дифракция волн на
массивной пластине, плавающей на поверхности тяжелой жидкости неограниченной глубины // Инновационные технологии в образовательном процессе:
материалы X Юбилейной Междунар. науч.-практ. конф. Краснодар: КВВАУЛ,
2008. Т. 3. C. 77–81.
13. Иванисова О.В. Дифракция волн на погруженной пластине // Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах:
труды V Всерос. науч. конф. молодых ученых и студентов. Краснодар: Просвещение-Юг, 2008. Т. 2. С. 113–115.
14. Иванисова О.В. Обтекание тонкого телесного профиля под свободной
поверхностью весомой жидкости // Методы дискретных особенностей в задачах
математической физики: труды междунар. школ-семинаров. Орёл: Изд-во ГОУ
ВПО «Орловский государственный университет», 2008. Вып. 6. С. 45–50.
15. Иванисова О.В. Стационарное обтекание тонкого профиля с каверной
конечной длины под свободной поверхностью тяжёлой жидкости // Лобачевские чтения – 2009: материалы Восьмой молодёжной науч. школыконференции. Казань: Казан. матем. об-во, 2009. Т.39. С. 235–237.
16. Иванисова О.В. Кавитационное обтекание тонкого профиля под свободной поверхностью весомой жидкости // Прикладная математика и механика:
сб. науч. тр. Ульяновск: УлГТУ, 2009. С. 109–117.
17. Лукащик Е.П., Иванисова О.В., Колесникова Ю.Н. Исследование гидроупругого взаимодействия при обтекании гибкого крыла ограниченным потоком весомой жидкости // Современные информационные технологии: труды
23
Междунар. науч.-техн. конф. Пенза: Пензенская гос. технологическая академия,
2010. Вып. 11. С. 23–25.
18. Лукащик Е.П., Иванисова О.В., Колесникова Ю.Н. Устойчивость упругого профиля при движении в слое весомой жидкости // Современные проблемы механики сплошной среды: труды XIV Междунар. конф. Ростов н/Д:
Изд-во ЮФУ, 2010. Т.2. С. 202–206.
Автореферат,
,
И в а н и с о в а Ольга Владимировна
НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ
ОБЪЕКТОВ В ВЕРХНЕЙ МАНТИИ
Подписано в печать 12.05.09 Формат 60x84 1/16.
Печать цифровая. Уч.-изд. л. 1,5. Тираж 100 экз. Заказ № 456
Издательско-полиграфический центр
Кубанского государственного университета
350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149
Документ
Категория
Физико-математические науки
Просмотров
61
Размер файла
372 Кб
Теги
кандидатская
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа