close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Лабораторная работа1 (2)

код для вставкиСкачать
1 Лабораторная работа № 1
СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ОБЪЕКТОВ
Цель занятия
1Изучить методы математической статистики, используемые для получения основных характеристик производственных объектов
2Изучить методы проверки статистических гипотез
3Выполнить расчеты по заданию, выданному преподавателем, и проанализировать полученные результаты
Порядок выполнения работы
1Изучить основные статистические характеристики производственных объектов
2Изучить методы проверки статистических гипотез
3Получить исходные данные у преподавателя 4Выполнить расчеты
5Оформить отчет с результатами расчетов и проанализировать полученные данные Содержание отчета
1Ответы на контрольные вопросы
2Исходные данные
3Результаты расчетов с анализом полученных данных
4Выводы
Контрольные вопросы
1Основные статистические характеристики производственных объектов
2Нормальное распределение
3Проверка статистической гипотезы о законе распределения (критерий Пирсона)
1.1 Вариационные ряды и их характеристики
При решении многих прикладных задач, в частности, для составления моделей и алгоритмов управления объектами автоматизации, необходимы вероятностные характеристики случайных факторов, присущих объекту исследования. В большинстве случаев эти характеристики неизвестны исследователю и определяются по экспериментальным данным.
Кратко охарактеризуем методы, используемые при статистическом анализе случайных величин.
Установление статистических закономерностей, присущих массовым случайным явлениям, основано на изучении статистических данных - сведений о том, какие значения принял в результате наблюдений интересующий нас признак (случайная величина X).
В практике статистических наблюдении различают два вида наблюдений: сплошное, когда изучаются все объекты (элементы, единицы) совокупности, и выборочное, когда изучается часть объектов. Теоретическую основу применимости выборочного метода составляет закон больших чисел, согласно которому при неограниченном увеличении объема выборки практически достоверно, что случайные выборочные характеристики как угодно близко приближаются (сходятся по вероятности) к определенным параметрам генеральной совокупности.
Различные значения признака (случайной величины X) называются вариантами (обозначим их через x).
Пример. Получены следующие данные о распределении 100 рабочих цеха по выработке в отчетном году (в процентах к предыдущему году):
Первый шаг к осмыслению имеющегося статистического материала - это его упорядочение, расположение вариантов в порядке возрастания (убывания), т.е. ранжирование вариантов ряда:
xmin ... xmax
В таком виде изучать выборку тоже не очень удобно из-за обилия числовых данных. Поэтому разобьем варианты на отдельные интервалы, т.е. проведем их группировку. Число интервалов т следует брать не очень большим, чтобы после группировки ряд не был громоздким, и не очень малым, чтобы не потерять особенности распределения признака.
Согласно формуле Стерджеса рекомендуемое число интервалов т = 1 + 3,3221gn, a величина интервала (интервальная разность, ширина интервала):
где xmax - xmin - разность между наибольшим и наименьшим значениями признака.
Сгруппированный ряд представляют в виде таблицы (табл.1.1).
Таблица 1.1
iИнтервал
[xi, xi+1]Частота niЧастость wi=ni/nНакопленная частота
niнакНакопленная
частость
wi нак= niнак/n194,0-100,030,0330,032100,0-106,070,07100,13106,0-112,0110,11210,214112,0-118,0200,2410,415118,0-124,0280,28690,696124,0-130,0190,19880,887130,0-136,0100,1980,988136,0-142,020,0210011001,00--
Числа, показывающие, сколько раз встречаются варианты из данного интервала, называются частотами (обозначаем ni), а отношение их к общему числу наблюдений - частостями или относительными частотами, т.е. wi=ni/n. Частоты и частости называются весами.
Определение. Вариационным рядом называется ранжированный в порядке возрастания или убывания ряд вариантов с соответствующими им весами (частотами или частостями)
При изучении вариационных рядов наряду с понятием частоты используется понятие накопленной частоты (обозначаем niнак). Накопленная частота показывает, сколько наблюдалось вариантов со значением признака, меньшим х. Отношение накопленной частоты niнак к общему числу наблюдений я назовем накопленной частостью wiнак= niнак/n.
Накопленные частоты (частости) для каждого интервала находятся последовательным суммированием частот (частостей) всех предшествующих интервалов, включая данный. Для задания вариационного ряда достаточно указать варианты и соответствующие им частоты (частости) или накопленные частоты (частости) (в табл. 1.1 приведены и те, и другие).
Вариационный ряд называется дискретным, если любые его варианты отличаются на постоянную величину, и - непрерывным (интервальным), если варианты могут отличаться один от другого на сколь угодно малую величину. Для графического изображения вариационных рядов наиболее часто используются полигон, гистограмма, кумулятивная кривая.
Полигон, как правило, служит для изображения дискретного вариационного ряда и представляет собой ломаную, в которой концы отрезков прямой имеют координаты (xi, ni), i =1,2,..., m.
Гистограмма служит только для изображения интервальных вариационных рядов и представляет собой ступенчатую фигуру из прямоугольников с основаниями, равными интервалам значений признака ki = xi-1 - xi; i =1,2,...,т, и высотами, равными частотам (частостям) ni (wi) интервалов. Если соединить середины верхних оснований прямоугольников отрезками прямой, то можно получить полигон того же распределения.
Кумулятивная кривая (кумулята) - кривая накопленных частот (частостей). Для дискретного ряда кумулята представляет ломаную, соединяющую точки (xi, niнак) или (xi, wiнак), i = 1,2,..., т.
Для интервального вариационного ряда ломаная начинается с точки, абсцисса которой равна началу первого интервала, а ордината - накопленной частоте (частости), равной нулю. Другие точки этой ломаной соответствуют концам интервалов.
Весьма важным является понятие эмпирической функции распределения.
Определение. Эмпирической функцией распределения Fn(x) называется относительная частота (частость) того, что признак (случайная величина X) примет значение, меньшее заданного х, т. е. Fn(x)=w(X<x) = wxнак(1.1)
Другими словами, для данного х эмпирическая функция распределения представляет накопленную частость wxнак = nxнак / n.
Вариационный ряд является статистическим аналогом (реализацией) распределения признака (случайной величины X). В этом смысле полигон (гистограмма) аналогичен кривой распределения, а эмпирическая функция распределения - функции распределения случайной величины X.
На практике часто оказывается достаточным знание лишь сводных характеристик вариационных рядов: средних или характеристик центральной тенденции; характеристик изменчивости (вариации) и др. Расчет статистических характеристик представляет собой второй после группировки этап обработки данных наблюдений.
1.2 Средние величины и показатели вариации
Средние величины характеризуют значения признака, вокруг которого концентрируются наблюдения или, как говорят, центральную тенденцию распределения. Наиболее распространенной из средних величин является средняя арифметическая.
Определение. Средней арифметической вариационного ряда называется сумма произведений всех вариантов на соответствующие частоты, деленная на сумму частот: (1.2)
где xi - варианты дискретного ряда или середины интервалов интервального вариационного ряда; ni- соответствующие им частоты; Очевидно, что
где wi=ni/n - частости вариантов или интервалов.
Для несгруппированного ряда все частоты есть "невзвешенная" средняя арифметическая.
Кроме аналитических средних величин, в статистическом анализе применяют структурные или порядковые средние. Из них наиболее широко применяются медиана и мода.
Определение. Медианой вариационного ряда называется значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений.
Для дискретного вариационного ряда с нечетным числом членов медиана равна серединному варианту, а для ряда с четным числом членов - полусумме двух серединных вариантов.
Для интервального вариационного ряда находится медианный интервал, на который приходится середина ряда, а значение медианы на этом интервале находят с помощью линейного интерполирования. Не приводя соответствующей формулы, отметим, что медиана может быть приближенно найдена с помощью кумуляты как значение признака, для которого nxнак = n/2 или wxнак =1/2.
Достоинство медианы как меры центральной тенденции заключается в том, что на нее не влияет изменение крайних членов вариационного ряда, если любой из них, меньший медианы, остается меньше ее, а любой, больший медианы, продолжает быть больше ее. Медиана предпочтительнее средней арифметической для ряда, у которого крайние варианты по сравнению с остальными оказались чрезмерно большими или малыми.
Определение. Модой вариационного ряда называется вариант, которому соответствует наибольшая частота.
Моду можно найти графическим путем с помощью гистограммы.
Особенность моды как меры центральной тенденции заключается в том, что она не изменяется при изменении крайних членов ряда, т.е. обладает определенной устойчивостью к вариации признака.
Средние величины, рассмотренные выше, не отражают изменчивости (вариации) значений признака.
Простейшим (и весьма приближенным) показателем вариации является вариационный размах R, равный разности между наибольшим и наименьшим вариантами ряда:
R = x max - x min .
Наибольший интерес представляют меры вариации (рассеяния) наблюдений вокруг средних величин, в частности, вокруг средней арифметической.
Средним линейным отклонением вариационного ряда называется средняя арифметическая абсолютных величин отклонений вариантов от их средней арифметической:
(1.3)
(Заметим, что "простая" сумма отклонений не может характеризовать вариацию признака, ибо согласно свойству средней арифметической эта сумма равна нулю для любого вариационного ряда).
Определение. Дисперсией s2 вариационного ряда называется средняя арифметическая квадратов отклонений вариантов от их средней арифметической:
(1.4)
Формулу для дисперсии вариационного ряда можно представить в виде: где wi = пi/п . Для несгруппированного ряда (пi = 1) по формуле (1.4) имеем
Дисперсию s2 часто называют эмпирической или выборочной, подчеркивая, что она (в отличие от дисперсии случайной величины σ2) находится по опытным или статистическим данным.
Желательно в качестве меры вариации (рассеяния) иметь характеристику, выраженную в тех же единицах, что и значения признака. Такой характеристикой является среднее квадратичное отклонение s - арифметическое значение корня квадратного из дисперсии:
(1.5)
Рассматривается также безразмерная характеристика - коэффициент вариации, равный процентному отношению среднего квадратичного отклонения к средней арифметической:
(1.6)
Если коэффициент вариации признака, принимающего только положительные значения, высок (например, более 100%), то, как правило, это свидетельствует о неоднородности значений признака.
1.3 Нормальное распределение
Нормальное распределение используется в ситуациях, связанных с измерением веса или объема товаров, роста людей, срока работы электроламп и т.п. Нормальное вероятностное распределение - это распределение, симметричное относительно среднего значения случайной величины. Теоретически значения случайной величины находятся в интервале от минус до плюс бесконечности, то есть непрерывная случайная величина может принимать любу значения, как положительные, так и отрицательные. Однако на практике нормальное распределение обычно используется для случайной величины, значения которой расположены в ограниченном интервале.
Характерные свойства нормального распределения:
1. Площадь, образуемая кривой нормального распределения, представляет собой вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значения из заданного интервала.
2. Общая площадь под кривой нормального распределения равна полной вероятности, то есть 1. 3. Вероятность того, что непрерывная случайная величина принимает в точности какое-то конкретное значение, равна нулю. Функция плотности вероятности, зависящая от среднего значения случайной величины a и ее дисперсии 2, для нормального (гауссового) распределения имеет вид
(1.7)
Нормальный закон распределения случайной величины с параметрами a = 0 и  = 1, т.е. N(0;1) называется стандартным или нормированным. График функции плотности вероятности для стандартного нормального распределения - на рис. 1.1. Рисунок 1.1 - График функции плотности вероятности для стандартного нормального распределения
Можно показать, что функция распределения случайной величины X, распределенной по нормальному закону с параметрами a и , выражается через функцию Лапласа следующим образом
(1.8)
где интеграл Лапласа .
Нормальное распределение занимает особое место в теории вероятностей, а нормально распределенные величины широко применяются на практике. Это связано со следующим положением, вытекающим из центральной предельной теоремы А.М. Ляпунова.
Если случайная величина х представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то х распределена по закону, близкому к нормальному.
Такое положение имеется, например, при измерении физических величин, технологических параметров производственных процессов, определении объемов сбыта продукции и т.п. Так как на результат измерения влияет большое количество различных независимых факторов, то можно полагать, что ошибка измерения имеет нормальное распределение.
1.4 Проверка гипотез о законе распределения
Одной из важнейших задач математической статистики является установление теоретического закона распределения случайной величины. Для решения этой задачи необходимо определить вид и параметры закона распределения.
Предположение о виде закона распределения может быть выдвинуто исходя из теоретических предпосылок (например, выполнение условий центральной предельной теоремы может свидетельствовать о нормальном распределении случайной величины).
Параметры распределения, как правило, неизвестны, поэтому их заменяют наилучшими оценками по выборке.
Как бы хорошо ни был подобран теоретический закон распределения, между эмпирическим и теоретическим распределениями неизбежны расхождения. Естественно возникает вопрос: объясняются ли эти расхождения только случайными обстоятельствами, связанными с ограниченным числом наблюдений, или они являются существенными и связаны с тем, что теоретический закон распределения подобран неудачно. Для ответа на этот вопрос и служат критерии согласия.
Пусть необходимо проверить нулевую гипотезу Н0 о том, что исследуемая случайная величина X подчиняется определенному закону распределения. Для проверки гипотезы Н0 выбирают некоторую случайную величину U, характеризующую степень расхождения теоретического и эмпирического распределений. Закон распределения случайной величины U при достаточно больших п известен и практически не зависит от закона распределения случайной величины X.
Зная закон распределения U, можно найти вероятность того, что U приняла значение не меньше, чем фактически наблюдаемое в опыте и, т.е. U и. Если P(U  и) =  мала, то это означает в соответствии с принципом практической уверенности, что такие, как в опыте, и большие отклонения практически невозможны. В этом случае гипотезу Н0 отвергают. Если же вероятность P(U  и)=  не мала, расхождение между эмпирическим и теоретическим распределениями несущественно и гипотезу Н0 можно считать правдоподобной или по крайней мере не противоречащей опытным данным.
2- критерий Пирсона. В наиболее часто используемом на практике критерии 2-Пирсона в качестве меры расхождения U берется величина 2, равная сумме квадратов отклонений частостей (статистических вероятностей) wi от гипотетических pi, рассчитанных по предполагаемому распределению, взятых с некоторыми весами сi:
Веса сi вводятся таким образом, чтобы при одних и тех же отклонениях (wi - pi) больший вес имели отклонения, при которых pi мала, и меньший вес - при которых pi велика. Очевидно, этого удается достичь, если взять сi обратно пропорциональными вероятностям pi. Взяв в качестве весов , можно доказать, что при п   статистика или (1.9)
имеет 2 -распределение с k = m-r-1 степенями свободы, где т - число интервалов эмпирического распределения (вариационного ряда); r - число параметров теоретического распределения, вычисленных по экспериментальным данным.
Числа пi = nwi и npi называются соответственно эмпирическими и теоретическими частотами.
Схема применения критерия 2 сводится к следующему:
1. Определяется мера расхождения эмпирических и теоретических частот 2.
2. Для выбранного уровня значимости  по таблице 2-распределения находят критическое значение при числе степеней свободы k=m-r - 1.
3. Если фактически наблюдаемое значение 2 больше критического, т.е. 2 >, то гипотеза Н0 отвергается, если 2  гипотеза Н0 не противоречит опытным данным.
Замечание. Как уже отмечено, статистика имеет 2-распределение лишь при п  , поэтому необходимо, чтобы в каждом интервале было достаточное количество наблюдений, по крайней мере 5. Если в каком-нибудь интервале число наблюдений пi < 5, имеет смысл объединить соседние интервалы, чтобы в объединенных интервалах пi было не меньше 5 (поэтому при вычислении числа степеней свободы в качестве величины m берется соответственно уменьшенное число интервалов).
1.5 Пример
Для эмпирического распределения рабочих цеха по выработке по данным первых двух граф табл. 1.1 подобрать соответствующее теоретическое распределение и на уровне значимости  = 0,05 проверить гипотезу о согласованности двух распределений с помощью критерия 2 .
Решение. По виду гистограммы распределения рабочих по выработке (рис. 1.2) можно предположить нормальный закон распределения признака. Параметры нормального закона a и 2, являющиеся соответственно математическим ожиданием и дисперсией случайной величины X, неизвестны, поэтому заменяем их "наилучшими" оценками по выборке - несмещенными и состоятельными оценками соответственно выборочной средней и "исправленной" выборочной дисперсией . Так как число наблюдений n = 100 достаточно велико, то вместо "исправленной" можно взять "обычную" выборочную дисперсию s2. В примере вычислены , s2 =87,48,
Рисунок 1.2 - Гистограмма распределения рабочих по выработке
Для расчета вероятностей рi попадания случайной величины X в интервал [xi, xi+1] используем функцию Лапласа в соответствии со свойством нормального распределения:
Например, и соответствующая первому интервалу теоретическая частота npi=100*0,01661,7 и т.д. Для определения статистики 2 удобно составить таблицу (табл. 1.2).
Таблица 1.2 iИнтервал
[xi, xi+1]Эмпирические частоты niВероятности рiТеоретические частоты nрi(ni -nрi)2(ni -nрi) 2/ nрi194,0-100,030,0171,72100,0-106,070,05975,95,760,7583106,0-112,0110,14114,19,610,6824112,0-118,0200,22822,87,840,3445118,0-124,0280,24724,710,890,4416124,0-130,0190,18218,20,640,0357130,0-136,0100,0878,78136,0-142,020,0292,90,160,0141000,99099,02 =2,27
Учитывая, что в рассматриваемом эмпирическом распределении частоты первого и последнего интервалов (n1 = 3, n8 = 2) меньше 5, при использовании критерия 2-Пирсона целесообразно объединить указанные интервалы с соседними.
Итак, фактически наблюдаемое значение статистики 2 = 2,27
Так как новое число интервалов (с учетом объединения крайних) т = 6, а нормальный закон распределения определяется r 2 параметрами, то число степеней свободы k=m-r-1 = 6-2-1 = 3. Соответствующее критическое значение статистики 2 по Приложению А = 7,82. Так как 2 < то гипотеза о выбранном теоретическом нормальном законе с параметрами N(119,2;87,48) согласуется с опытными данными.
1.6 Задание для расчета
В таблице дано распределение признака X (случайной величины X), полученной по n = 100 наблюдениям. Необходимо:
1) построить полигон (гистограмму) и кумуляту;
2) найти:
а) среднюю арифметическую, медиану, моду;
б) дисперсию, среднее квадратичное отклонение и коэффициент вариации.
3) проверить соответствие статистических данных нормальному закону распределения по критерию Пирсона.
Вариант 1i1234567891011xi4-66-88-1010-1212-1414-1616-1818-2020-2222-2424-26ni13611152014121062Вариант 2i1234567891011xi4-66-88-1010-1212-1414-1616-1818-2020-2222-2424-26ni2571215181411862Вариант 3i1234567891011xi4-66-88-1010-1212-1414-1616-1818-2020-2222-2424-26ni879121822241820128
Вариант 4i1234567891011xi4-66-88-1010-1212-1414-1616-1818-2020-2222-2424-26ni5791512111210973Вариант 5i1234567891011xi4-66-88-1010-1212-1414-1616-1818-2020-2222-2424-26ni241214131210111093Вариант 6i1234567891011xi4-66-88-1010-1212-1414-1616-1818-2020-2222-2424-26ni1218161412964333Вариант 7i1234567891011xi4-66-88-1010-1212-1414-1616-1818-2020-2222-2424-26ni23510121415131286Вариант 8i1234567891011xi4-66-88-1010-1212-1414-1616-1818-2020-2222-2424-26ni0224816201812108Вариант 9i1234567891011xi4-66-88-1010-1212-1414-1616-1818-2020-2222-2424-26ni91416121815103210Вариант 10i1234567891011xi4-66-88-1010-1212-1414-1616-1818-2020-2222-2424-26ni2412141681065230
Вариант 11i1234567891011xi4-66-88-1010-1212-1414-1616-1818-2020-2222-2424-26ni82614128986432Вариант 12i1234567891011xi4-66-88-1010-1212-1414-1616-1818-2020-2222-2424-26ni4614108141820420Вариант 13i1234567891011xi9-1111-1313-1515-1717-1919-2121-2323-2525-2727-2929-31ni5681214141612850Вариант 14i1234567891011xi9-1111-1313-1515-1717-1919-2121-2323-2525-2727-2929-31ni567889101415126Вариант 15i1234567891011xi9-1111-1313-1515-1717-1919-2121-2323-2525-2727-2929-31ni24810121415181241Вариант 16i1234567891011xi9-1111-1313-1515-1717-1919-2121-2323-2525-2727-2929-31ni4610121420158641Вариант 17i1234567891011xi9-1111-1313-1515-1717-1919-2121-2323-2525-2727-2929-31ni24610121814121084
Вариант 18i1234567891011xi9-1111-1313-1515-1717-1919-2121-2323-2525-2727-2929-31ni12361011141516184Вариант 19i1234567891011xi9-1111-1313-1515-1717-1919-2121-2323-2525-2727-2929-31ni4121418161297530Вариант 20i1234567891011xi9-1111-1313-1515-1717-1919-2121-2323-2525-2727-2929-31ni0447121518161482Вариант 21i1234567891011xi9-1111-1313-1515-1717-1919-2121-2323-2525-2727-2929-31ni3814181415118522Вариант 22i1234567891011xi9-1111-1313-1515-1717-1919-2121-2323-2525-2727-2929-31ni3781314161812522Вариант 23i1234567891011xi9-1111-1313-1515-1717-1919-2121-2323-2525-2727-2929-31ni3561217201810522Вариант 24i1234567891011xi9-1111-1313-1515-1717-1919-2121-2323-2525-2727-2929-31ni31015201412107522 Критические значения 2 распределения с заданным числом степеней свободы
df\area.995 .990 .975 .950 .900 .750 .500 .250 .100 .050 .025 .010 .005 10,0000,0000,0010,0040,0160,1020,4551,3232,7063,8415,0246,6357,87920,0100,0200,0510,1030,2110,5751,3862,7734,6055,9917,3789,21010,59730,0720,1150,2160,3520,5841,2132,3664,1086,2517,8159,34811,34512,83840,2070,2970,4840,7111,0641,9233,3575,3857,7799,48811,14313,27714,86050,4120,5540,8311,1451,6102,6754,3516,6269,23611,07112,83315,08616,75060,6760,8721,2371,6352,2043,4555,3487,84110,64512,59214,44916,81218,54870,9891,2391,6902,1672,8334,2556,3469,03712,01714,06716,01318,47520,27881,3441,6472,1802,7333,4905,0717,34410,21913,36215,50717,53520,09021,95591,7352,0882,7003,3254,1685,8998,34311,38914,68416,91919,02321,66623,589102,1562,5583,2473,9404,8656,7379,34212,54915,98718,30720,48323,20925,188112,6033,0533,8164,5755,5787,58410,34113,70117,27519,67521,92024,72526,757123,0743,5714,4045,2266,3048,43811,34014,84518,54921,02623,33726,21728,300133,5654,1075,0095,8927,0429,29912,34015,98419,81222,36224,73627,68829,819144,0754,6605,6296,5717,79010,16513,33917,11721,06423,68526,11929,14131,319154,6015,2296,2627,2618,54711,03714,33918,24522,30724,99627,48830,57832,801165,1425,8126,9087,9629,31211,91215,33919,36923,54226,29628,84532,00034,267175,6976,4087,5648,67210,08512,79216,33820,48924,76927,58730,19133,40935,718186,2657,0158,2319,39010,86513,67517,33821,60525,98928,86931,52634,80537,156196,8447,6338,90710,11711,65114,56218,33822,71827,20430,14432,85236,19138,582207,4348,2609,59110,85112,44315,45219,33723,82828,41231,41034,17037,56639,997218,0348,89710,28311,59113,24016,34420,33724,93529,61532,67135,47938,93241,401228,6439,54210,98212,33814,04117,24021,33726,03930,81333,92436,78140,28942,796239,26010,19611,68913,09114,84818,13722,33727,14132,00735,17238,07641,63844,181249,88610,85612,40113,84815,65919,03723,33728,24133,19636,41539,36442,98045,5592510,52011,52413,12014,61116,47319,93924,33729,33934,38237,65240,64644,31446,9282611,16012,19813,84415,37917,29220,84325,33630,43535,56338,88541,92345,64248,2902711,80812,87914,57316,15118,11421,74926,33631,52836,74140,11343,19546,96349,6452812,46113,56515,30816,92818,93922,65727,33632,62037,91641,33744,46148,27850,9932913,12114,25616,04717,70819,76823,56728,33633,71139,08742,55745,72249,58852,3363013,78714,95316,79118,49320,59924,47829,33634,80040,25643,77346,97950,89253,672
Таблица значений интеграла вероятностей Лапласа
хФ(х)ХФ(х)хФ(х)хФ(х)хФ(х)0,000,000000,750,546751,500,866392,250,975553,000,997300,050,039880,800,576291,550,878862.300,978553,100,998060,010,079660,850,604681,600.890402,350,981233,200,998630,150,119240,900,631881,650,901062,400,983603,300,999030,200,158520.950,657891,700.910872,450,985713,400,999330,250,197411,000,682691,750,919882,500,987583,500,999530.300,235821,050,706281,800,928142,550,989223,600,999680,350,273661,010,728671,850,935692,600,990683,700,999780,400,310841,150,749861,900,942572,650,991953,800,999860,450,347291,200,769861,950,948822,700,993073,900,999900,500,382921,250,788702,000,95452,750.994044,000,999940,550,417681.300,806402,050,959642,800,994894,100,999960,600,451491,350,822982,010,964272,850.995634,200,999970,650,484311,400,838492,150,968442,900.996274,400,999990,700,516071,450,852942,200,972192,950,996824,500,99990 
Документ
Категория
Рефераты
Просмотров
357
Размер файла
374 Кб
Теги
работа, лабораторная
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа