close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Курсовой фильтр

код для вставкиСкачать
Задание
Смоделировать фильтр с передаточной характеристикой H(z) = 1/(1-0.9 z^(-1)+ 0.81 z^(-2) ) в программе MatLab, провести анализ эффективности двух любых методов спектрального анализа - параметрического и непараметрического.
Анализ задания
Для исследования были выбраны методы Юла-Уокера и коррелограммный СПМ. Характеристика цифровых фильтров
Различают два общих класса сигналов: аналоговые и дискретные. Аналоговым сигналом называется сигнал, определенный для каждого момента времени, дискретным сигналом - сигнал, определенный только в дискретные моменты времени. Как дискретный, так и аналоговый сигналы могут быть однозначно представлены некоторыми функциями частоты, которые называются их частотными спектрами.
Фильтрацией называется процесс изменения частотного спектра сигнала в некотором желаемом направлении. Этот процесс может привести к усилению или ослаблению частотных составляющих в некотором диапазоне частот, к подавлению или выделению какой-нибудь конкретной составляющей и т. п.
Цифровым фильтром называется цифровая система, которую можно использовать для фильтрации дискретных сигналов. Он может быть реализован программным методом или с помощью специальной аппаратуры, и в каждом из этих случаев цифровой фильтр можно применить для фильтрации сигналов как в реальном времени, так и предварительно записанных.
Цифровой фильтр можно представить структурной схемой, изображенной на рис. 1.1. На этой схеме x(n) и y(n) - соответственно, входное воздействие и реакция фильтра на это воздействие. Функционально они связаны соотношением
,
где вид оператора зависит от свойств конкретной системы.
Рис. 1.1
Реакцию цифрового фильтра на произвольное воздействие можно представить с помощью импульсной характеристики фильтра. Допустим, что x(n) - входная, а y(n) - выходная последовательности фильтра и пусть h(n) - отклик на единичный импульс, называемый импульсной характеристикой. Тогда
.
Таким образом, x(n) и y(n) связаны соотношением типа свертки. Частотная характеристика фильтра определяется следующим выражением:
.(1.1)
Поскольку частотная характеристика является периодической функцией частоты , равенство (1.1) можно рассматривать как разложение в ряд Фурье, причем коэффициенты являются одновременно отсчетами импульсной характеристики. Согласно теории рядов Фурье, коэффициенты h(n) могут быть выражены через :
.
Из этого соотношения видно, что h(n) по существу является суперпозицией синусоид с амплитудами , которые можно представить следующим образом:
.
Выражение называют амплитудной характеристикой фильтра, а - фазовой характеристикой фильтра.
Свойства цифровых фильтров
Дадим несколько определений, посвященных цифровым фильтрам.
Цифровой фильтр называется стационарным, если его параметры не изменяются во времени, т. е. предварительно невозбужденный фильтр, в котором x(n) = y(n) = 0 при всех n < 0, называют стационарным тогда и только тогда, когда для всех возможных воздействий.
Цифровой фильтр называют линейным тогда и только тогда, когда для всех  и  - произвольных постоянных и для всех допустимых воздействий x1(n) и x2(n).
Цифровой фильтр называют физически реализуемым, если величина отклика при n = n0 зависит только от значений входной последовательности с номерами n  n0. Это означает, что импульсная характеристика h(n) равна нулю при n < 0.
Цифровой фильтр называется устойчивым тогда и только тогда, когда реакция на ограниченное воздействие ограничена, т. е. если из при всех n следует при всех n. Необходимым и достаточным условием устойчивости фильтра является следующее требование к его импульсной характеристике:
.
Представление цифрового фильтра в виде разностного уравнения
Цифровой фильтр в общем виде представляется следующим образом как разностное уравнение:
,(1.2)
где aj и bi - вещественные или комплексные коэффициенты.
Цифровые фильтры принято делить на два класса: нерекурсивные (НФ) и рекурсивные (РФ). Если в (1.2) все коэффициенты aj = 0, что соответствует отсутствию обратной связи, то фильтр является нерекурсивным и описывается уравнением
.(1.3)
Если в (1.3) хотя бы один из коэффициентов aj  0, то фильтр является рекурсивным и представляет собой устройство с обратной связью.
Таким образом, для рекурсивных фильтров соотношение между входной последовательностью {x(n)} и откликом фильтра {y(n)} может быть записано следующим образом:
,(1.4)
т. е. текущий отсчет отклика y(n) определяется не только текущим и предшествующим значениями входной последовательности, но и предшествующими отсчетами отклика.
В нерекурсивных фильтрах связь между входной последовательностью и откликом имеет вид
,
т. е. текущий отсчет отклика зависит от текущего и предшествующих значений входной последовательности.
Для анализа систем, описываемых разностными уравнениями, широко применяется z-преобразование. Прямое z-преобразование X(z) последовательности x(n) определяется формулой
.(1.5)
В разностных уравнениях существенной операцией является единичная задержка, описываемая оператором 1/z, или z-1 (т. е. для последовательности x(n-1) z-преобразование будет иметь вид z-1X(z).
Передаточной (системной) функцией H(z) цифрового фильтра называется отношение z-преобразований выходного Y(z) и входного X(z) сигналов фильтра. Для рекурсивного и нерекурсивного фильтров из (1.3) и (1.4), используя (1.5), получаем:
Комплексная частотная характеристика цифрового фильтра, представленного в виде разностного уравнения (1.2), может быть получена подстановкой в выражение для передаточной функции значения . Для рекурсивного фильтра общего вида частотная характеристика будет иметь вид
.
Аналогично, для нерекурсивного фильтра имеем:
.
Методы реализации цифровых фильтров
Цифровые фильтры с заданной передаточной функцией можно построить различными способами. В любом реальном фильтре шумы и погрешности, появляющиеся при квантовании, существенно зависят от структуры фильтра. Прежде всего все фильтры можно разделить на два больших класса:
рекурсивные;
нерекурсивные.
Для рекурсивных фильтров соотношение между входной последовательностью {x(n)} и откликом фильтра {y(n)} может быть записано следующим образом: т. е. текущий отсчет отклика y(n) определяется не только текущим и предшествующим значениями входной последовательности, но и предшествующими отсчетами отклика.
В нерекурсивных фильтрах связь между входной последовательностью и откликом имеет вид , т. е. текущий отсчет отклика зависит от текущего и предшествующих значений входной последовательности.
Реализация может осуществляться на основе следующих форм построения схем фильтра:
прямой;
канонической прямой;
каскадной;
параллельной.
Методы спектрального анализа
Спектральные методы анализа получили в настоящее время очень широкое распространение. Анализ спектральной плотности мощности колебаний дает информацию о распределении мощности в зависимости от частоты колебаний. Применение спектрального анализа позволяет количественно оценить различные частотные составляющие колебаний.
Различают параметрические и непараметрические методы спектрального анализа. К первым относится, например, авторегрессионный анализ, ко вторым - быстрое преобразование Фурье (БПФ) и периодограммный анализ.
В непараметрических методах используется только информация, содержащаяся в отсчетах анализируемого сигнала.
Наиболее часто для спектрального анализа используют быстрое преобразование Фурье (БПФ), с помощью которого сигнал можно разложить на составляющие его колебания различной частоты и амплитуды.
Результатом (БПФ) является построение графика зависимости мощности колебаний от их частоты.
Дискретное преобразование Фурье реализуется в MATLAB с помощью функций fft и ifft.
Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) позволяет превратить N отсчетов сигнала {x(k)} в столько же спектральных отсчетов .
Параметрические методы предполагают наличие некоторой статистической модели случайного сигнала, а процесс спектрального анализа в данном случае включает в себя определение параметров этой модели.
Коррелограммный метод
Математическое ожидание случайной величины x(n) (среднее) есть:
;
Автокорреляционная функция определяется как скалярное произведение сигнала и его копии в функциональной зависимости от переменной величины значения т.н. корреляционного сдвига m: rxx(m) = E[x(n + m)x(n)].
Сущность метода
Согласно теореме Винера-Хинчина автокорреляционная функция и спектральная плотность мощности S(ω)связаны соотношением (преобразованием Фурье):
,
где T - интервал дискретизации. На практике для вычисления спектральной плотности мощности используют ограниченную сумму и некоторую оценку автокорреляционной функции. Например, можно использовать оценку
,
которая является несмещенной (т. е. ). Также можно пользоваться смещенной оценкой:
,
математическое ожидание которой
.
При наличии оценки (например, несмещенной) автокорреляционной функции для максимально возможного корреляционного сдвига L, вычисление спектральной плотности мощности выполняется по формуле:
.
Коррелограммный метод дополняется умножением автокорреляционной функции на функцию весового окна w(m):
.
Коррелограммный метод заключается в подстановке в определение спектральной плотности мощности оценку автокорреляционной последовательности (коррелограммы). Таким образом, имея две оценки автокорреляционной последовательности получаем две оценки спектральной плотности мощности:
, , где Эффект неявно присутствующего окна из-за конечности данных приводит к свертке истинной спектральной плотности с преобразованием Фурье дискретно-временного прямоугольного или треугольного (как в случае со смещенными оценками) окна. Для уменьшения этого эффекта используется корреляционное окно и коррелограммная оценка спектральной плотности мощности в общем виде выглядит следующим образом:
Моделирование фильтра
Для моделирования была использована программа MatLab 6.5. Исходный текст программы:
close all; clear all; clc;
%-----------white noise parameters------------------------
% fft points
Np = 1024; % number of values
Nv = 1e3; % Average quadratic deviation (AQD)
aqd = 1; % AQD*AQD
aqd2 = aqd^2; % noise amplitude
namp = sqrt(aqd2/2); % noise function
noise = namp*(randn(1, Nv));
%-----------------filter coefficients----------------------
% 1
%_____________________________
% 1 - 0.9z^(-1) + 0.81z^(-2)
%numerator
a = 1;
%denominator
b = [0.81 -0.9 1];
ff = filter(a, b, noise);
%-------------------Peak-Frequency characteristic----------
figure(1);
subplot(2,1,1);
freqz(a,b); title('Peak-Frequency Characteristic');
%--------------------Yule-Walker Method---------------------
%filer coefficients calculation
yw_coeffs = aryule(ff,2) subplot(2,1,2);
%power spectral density estimation
pyulear(ff,2); %--------------------Correlogram method---------------------
PSD = fftshift(10*log10(abs(fft(xcorr(ff),Np))));
f1 = 0:2/(Np-1):1;
figure(2)
plot(f1,PSD(Np/2+1:Np));
grid on
xlabel('Digital Frequency');
ylabel('PSD, dB');
title('PSD Correlogram Estimation');
%-----Error estimation for Yule-Walker method----------------
%-----------filter restoration-------------------------------
filter_tf = tf({a},{b})
yul_tf = tf({1},{yw_coeffs})
Результаты моделирования:
Рис.1. Моделирование методом Юла-Уокера
Рис.2. Моделирование коррелограммным методом
Выходные данные:
yw_coeffs =
0.8392 -0.8680 0.9602
Transfer function:
1
--------------------
0.81 s^2 - 0.9 s + 1
Transfer function:
1
----------------------
0.8392 s^2 - 0.868 s + 0.9602
>>
Как видим, в результате синтеза передаточной функции по результату анализа методом Юла-Уокера мы получили изменения коэффициентов при степенях:
2 - с 0,81 на 0,8392 (3,6 %)
1 - с -0,9 на -0,868 (3,5 %)
0 - с 1 на 0,9602 (3,9 %)
Документ
Категория
Рефераты
Просмотров
123
Размер файла
121 Кб
Теги
курсовой, фильтра
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа