close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

ser

код для вставкиСкачать
Министерство образования Российской Федерации
Самарский Государственный Аэрокосмический Университет имени академика С.П. Королева
Лабораторная работа №1
Расчет параметров регулятора для линейной динамической системы
Вариант 94
Выполнил: Ковалевский С. Ю.
Группа: 645
Проверил: Станкевич А. И.
Самара 2007
Постановка задачи
Линейная динамическая система, описывающая поведение объекта управления, записывается в виде
, (1) где - вектор переменных состояния системы, - скалярное управление, матрица и вектор характеризуют объект управления и считаются заданными. В данной лабораторной работе размерность вектора состояния .
При рассмотрении задачи управления линейной динамической системой обычно в качестве критерия оптимальности применяется функционал с квадратичной подинтегральной функцией . (2)
Здесь , - симметричная квадратичная форма вектора , (3)
где - транспонированный вектор , - квадратная симметричная матрица.
Предполагается, что функция есть положительно определенная квадратичная форма , причем только при . Проводя перемножения в соотношении (3) в скалярном виде можно записать , (4)
Для системы второго порядка функция принимает вид . (5)
Задача оптимального управления линейной динамической системой формулируется так: среди допустимых управлений системой (1) найти такое управление, которая доставляет минимум функционалу (2) и переводит систему из начального положения в начало координат , где - время перехода.
Для нашего случая:
, где Расчет оптимального регулятора линейной динамической системы (ЛДС)
1 Определение управляемости ЛДС
Рассмотрим динамическую систему:
,
где , , , u=u(y1, y2).
Найдем матрицу преобразования V. Для этого найдем собственные числа и вектора матрицы В.
,
где V(1), V(2) - собственные вектора матрицы В.
В главных координатах: y=Vy*, тогда система примет вид: ,
Где , (λ1,2 - собственные значения матрицы В)
.
Критерий Гильберта: Динамическая система (1) является управляемой, если она может быть переведена из любого начального состояния в любое другое желаемое состояние за некоторый промежуток времени путем приложения допустимого управления .
Для определения управляемости линейная система (1), должна быть приведена к главным координатам , , (6)
где собственные значения матрицы , - преобразованный вектор .
Система (1) приводится к виду (6), если среди собственных значений матрицы нет кратных .
Тогда, согласно критерию Гильберта : система (1) управляема, если ни один из компонентов вектора не является нулевым, где - матрица собственных векторов для матрицы .
В нашем случае получаем: , матрица не содержит нулевых элементов, т.е. система управляема по Гильберту.
2 Исследование ЛДС без управления (u=0). Фазовый портрет системы
Пусть u=0, тогда система примет вид:
, собственные значения матрицы В равны λ1= 0.03, λ2= 0.0002. Т. е. Получаем особую точку типа "неустойчивый узел". Рис. 1 - Фазовый портрет системы без управления.
3 Решение задачи оптимального управления системы u.
Принцип оптимальности Беллмана для ЛДС.
- линейная динамическая система
y - отклонение от начала координат или от заданного направления.
- квадратичный критерий оптимальности,
где c>0,
а - положительно определенная матрица;
,.
Применим принцип Беллмана для нахождения оптимального управления:
,
где u - управление, скалярная величина.
,
- необходимое условие экстремума,
;
Составим систему относительно А11, А22 и А12 и решим ее в общем виде:
В результате решения получаем следующуее решение:
Коэффициенты оптимального регулятора рассчитываются по формуле:
Проверим выполнение условий Сильвестра:
В нашем случае мы получили:
Таким образом оптимальное управление 4 Исследование динамической системы с управлением. Учитывая управление получаем новую матрицу В.
Собственные значения новой матрицы
Получили особую точку типа "неустойчивый узел"
Рис. 2 - Фазовый портрет системы с управлением.
5 Вывод.
Проверив управляемость линейной динамической системы, убедились в том, что она управляема по критериям Гильберта (следует заметить, что система хорошо управляема) и Калмана. Построив фазовый портрет системы без управления, получили особую точку типа "седло". Решив задачу оптимального управления системы, построили фазовый портрет системы с управлением и получили особую точку типа "устойчивый узел".
6.Листинг программы Mathcad
4. Определение управления
Найдем коэффициенты А11, А22, А12:
Проверим выполнение условия Сильвестра:
Коэффициенты оптимального регулятора:
Полученное уравнение:
Измененная матрица динамической системы:
5. Исследование полученной замкнутой системы
Тангенсы углов наклона:
2
Документ
Категория
Рефераты
Просмотров
16
Размер файла
384 Кб
Теги
лабораторная работа, лаба, ser, лабораторная
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа